автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей

Ъ 1 Г, 9 я г

ЛШСКОВСКИИ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛ ЬНЫй ИНСТИТУТ им. В. В. КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи

ПОКРОВСКИ Й

Александр Александрович

УДК 624.072:539.37

СМЕШАННАЯ ФОРМА МКЭ В РАСЧЕТАХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

05.23.17 — Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Пензенском инженерно-строительном институте.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор, Н. Н. Шапошников

доктор технических наук, профессор, П. А. Лукаш

доктор технических наук, профессор, В. Н. Скопинский

Ведущая организация — Вычислительный центр РАН.

Защита состоится «¿0 » 1992 г. в часов на

заседании специализированного совета Д.053.11.02 в Московском инженерно-строительном институте им: В. В. Куйбышева по адресу: 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., дом 8, в ауд. № Ш .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26., МИСИ им. В. В. Куйбышева. Ученый Совет.

Автореферат разослан « £ » 1992 г.

Ученый секретарь Спецсовета

/ГД ШаЛ/ишсхми.

-.Г - • '

ЬИГгП*'. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Стержневые системы весьма разнообразны и специфика юс д'еформи-ровашш такоБа, что в настоящее время нет общепризнанной нелинейной теории их расчета, хотя попытки ео построения предпринимались неоднократно.

.Учет физической и геометрической нелинейно с тей необходим при исследовании кинетики напряженно-деформировакных состояний на различных стациях, что позволит совершенствовать нормативные документы в области расчета конструкций.

При расчете стержневых систем приходится реоать три основные проблемы: 1/ получение системы уравнений, 2/ ее решение, 3/ формализация расчетов на ЭВМ.

Эти проблемы эффективно решаются только в линейных задачах путем применения МКЭ в форме метода перемещений, вытекавдого из вариационного принципа Лагранка.

При решении« геометрически нелинейных задач МКЭ в форме метода перемещений применяют в двух вариантах: е первом - матрицу вест-кости КЭ получают по нелинейной теории, что приводит к нелинейной системе уравнений, решаемой обычно итерационно методом Ньютона-Рафсона; во втором - матрицу несткостл КЭ получают по линейной теории, что приводит к линейной системе уравнений относительно приращений перемещений от достигнутого уровня. Расчет -со обоим вариантам ведут при поэтапном нагружении. Оба варианта решения нелинейной задачи имеют положительные и отрицательные стороны. Следует отметить, что дифференциальные уравнения изгиба тонких упругих стержней и провеса гибких нитей в элементарных функциях не интегрируются, поэтому выбор аппроксимирующих Фунта ий перемещений на КЭ определяет и точность и трудоемкость расчета.

Наибольшие трудности расчета стержневых систем связаны с учетш флгической нелинзйности. Б настоящее время нет теории прочности, достоверно описывающей напряженные и деформированные состояния в области всестороннего сжатия и растяжения:. Это не позволяет прослеживать процесс разрушения сечений без привлечения расчетных условных моделей. При больших деформациях гипотеза плоских сечений, используемая в расчетах стержней, не подтверждается, что хорошо наблюдается в аоне шейки стандартного образца при испытании'на растяжений . завершающегося разрывом образца. Поэтому при расчетах металлических- конструкций в упруго-пластической стадии принимают со« чепия не разрушающимися и па ыенявдими своих размеров. Но да^а в етом случае расчет по МКЭ в форма метода перемещений остается слс© ш и трудоемким. При атом црзходотся членить каддыи стериепь по длине на большое число алеыентов, а по высота сечений - на большоо число полос, определять приведенные жесткостные характеристики по деформациям, уточняемом итерационно, перестраивать систему уравнений при каздом наступлении предельного расчетного состояния в опао ных сечениях с появлением разрывов в уравнениях совместности, следить за величиной деформаций. Пореход конструкции из статически неопределимой в определимую, а затем в условный механизм с одной или несколькими степенями свобода ведет к необходимости смены параметра нащрунення, составления дополнительно геометрических уравнений, наряду с уравнениями равновесия и ограничениями по прочное-; ти и деформация;,!. Таким образом, из полной системы уравнений используется только ее часть в зависимости от стадии напряженно-деформированного состояния. Зое это свидетельствует о том, что для получения полной системы уравнений не может быть применен один вариационный принцип и нельзя подобрать класс аппроксимирующих функ-

С

диН ва КЭ, пригодных ко всем стадиям работы конструкции. При больших деформациях,. возникавдтс в предельном состоянии сечений, учет

физической нелинейности неизбежно приводит к н-зобходимости учета и геометрической нелинейности.

Расчет стержневых систем с учетом физической и геометрической полинейностей при больших деформациях связан с большими трудностями, как при формировании разрешаших уравнении, так и при их решении и формализации, всего процесса, расчета на ЭШ. Имеются только отдельные публикации, СЕвдетольствунщиэ о сложности решаемой проблемы.

Напряжанно-деформировинныэ состояния различных типов стержневых систем и на различных стадиях лучше всего описать с помощью смешанных граничных условий. Именно смеванныа граничные условия позволяют проще выделить "жесткие" смещения, составить уравнения равновесия по деформированной схема, учесть разрывы в уравнениях совместности, составить гоомеарические уравнения, описывающие геометрию условного механизма с одноП или несколькими степенями свободы.

Приведенные особенности расчетов стеряшев]сс систем свидетельствуют о том, что разработка алгоритмов и способов описания напря-к о н 1! о-д еформ ир о в ш ш их состояний на различных стадиях с учетом физической и геометрической нелинейностей яашится актуальной темой, решение которой представляет народно-хозяйственную задачу, отра-аенную в целевых отраслевых программах.

Цель работы:,

- разработка алгоритмов расчета стержневых систем разновидностью смешанно^ формы МКЭ с учетом физической и геометрической нелинейностей применительно к зяцачам прочности, устойчивости, динамики, оптимизации; 1

- проведение численных расчетов стержиевьсс систем смешанной формой МКЭ с анализом полученных.результатов и сравнением с известными решениями;

- разработка алгоритмов и способов решения равнений, полученных

по смешанной форме МКЭ и описывающих поведение стержневых систем на различных стадиях}

- разработка способа описания геометрии кривой по заданным деформациям в расчетных сечении с двусторонними оценками деформированного состояния и применением его к расчету суперэлементов в виде гибкого стержня, нити или кинематической цепи;

- разработка алгоритма определения обобщенных деформаций /

в сечонии стержня при заданных силовых воздействиях / Ыл^Мх/ с учетом физических свойств материалов и ограничениями по деформациям ; .

- разработка алгоритмов оптимизации статических и геометрические, параметров стержневых систем в задачах упругой устойчивости;

о

Научная новизна работы- состоит:

- в применении разновидности смешанного метода на конечно-элемент ной основе к расчету стержневых систем различного типа с учетом физической и геометрической нелшейностей;

- в способе составления разрешающих уравнений смешанного типа, применимого к различным стериневш конструкциям и стадиям их ре боты;

- в разработке алгоритмов и способов решения нелинейных уравнешй описывающих поведение стержневых систем-различного типа и на различных стадиях их работы;

- в разработке способа описания геометрии кривой по зздашшм деформациям в расчетных сечениях с двусторонними оценками деформированного состояния; '

- в разработке алгоритма определения деформаций по заданным *сши в сечении с учетом физической нелинейности свойств материалов, ограничениями по деформациям, двусторонними оценками точности вычисления деформаций;

- в разработке алгоритмов оптимизации статических и геометрскссл

параметров стержневых систем в задачах упругой устойчивости.

Практическая ценность и эффективность тзезулътатов характеризуется

следующими данными:

- смененная форма МКЭ п алгоритмы опробованы на большом числе примеров расчета стержневых систем различного типа в задачах прочности, устойчитпстз, динамики с сравнением результатов с известными решениями;

- из системы уравнений смешанного типа одновременно определяются и усилия и перемещения в расчетных сечениях;

«• система уравнений смешанного типа в линейных задачах ыояет быть решена по нескольким вариантам, выбираемым в зависимости от условий задачи;

- разработан способ описания геометрии кривой по заданным деформациям независимо от причин их появления и позволяющий получать двусторонние оценки деформированных состояний гибких стершей, питей, кинематических цепей;

- разработан алгоритм определения деформаций в сечении по заданным силам с учетом физической нелинейности свойств материалов и введением ограничений по деформациям, что резко сокращает затраты малинного времени и дает двусторонние оценки по деформациям;

- полная система уравнений смешанного типа позволяет прослеживать

■' все стадии деформирования конструкции, включая условные кинематические механизмы;

- оптимизация статических и геометрических параметров стержневых систем в задачах упругой устойчивости позволяет существенно повысить параметр критической нагрузки без изменения расхода материалов, как проектируемых, так и существующих конструкций.

Перспектива развития;

разработанные алгоритмы расчета стержневых систем разновидностью

смешанной формы 1.ЖЗ с учетом физической и геометрической нелиней-

«остей позволят: 1/ накопить опыт проел сшивания кинетики напря-Ебнно-дефорыированных состояний; 2/ совершенствовать нормативные документы по проектированию конструкций; 3/ улучшать качество подготовки специалистов-расчетчиков в учебных заведениях.

Апробация работа осуществлялась в форме докладов:

- на кафедрах строительной механики и сопротивления материалов ШСИ / 1977,1979,1988-91Г./; .

- на научном семинаре отделения'расчета сооружений ЦНШЖа под руководством докт. техн. наук Ы.И.Ерхова /1977г./;

- на меавувовском семинаре "Численные методы строительной механп« ки" под руководство!) профессоров Л.А.Рознна, Р.АДечуыова, Н.Н.Шапошникова / 1990г./;

- на научно-технических конференциях в городах: Волгоград/1990г./ Пенза / 1977-90г./;

на научном семинаре по строительной механике и ыехашшо дефор» мируеыого тела под руководством профессоров А.С.Григорьева, Л.Н.Проценко /1391г./;

- на объединенном научном сеюшаро кафедр строительно!! механики, сопротивления материалов п лаборатории исследования напряжений под руководством профессоров Н„Н.Леонтьева, Г.С.Вардапяна, Г.Л.Хесина /1991г./.

Шлття,.

По теме диссертации опубликовано 16 статей и 2 тезиса докладов. Соавтором по 4 публикациям является научный консультант профессс Р.А.Хечумов, с которым обсуцдалясь основные идеи и постановки • эадач. ,

На заашгу выносятся:

- алгоритмы расчета стержневых систем разновидностью смеианноА формы 'ЖЭ с учетом физической и геометрической нелинейностой

Ьриыенительно к задачам прочности, устойчивости, динамики, оптими» ■ зации;

- результаты расчетов различных типов стержневых систем смешанной ! формой МКЭ в нелинейных постановках;

- способ описания геометрии кривой по заданным деформациям в расчетных сечениях независимо от против их появления с двусторонними оценками деформированного состояния и приложением его к расчету суперэлеыентов в виде гибкого стержня, нити, кинематической цепи;

- алгоритм определения обобщенных деформаций в сечении стэркня по задании.! внутренним силам с учетом физической нелинейности свойств материалов и ограничениями по деформациям;

- алгоритмы оптимизации статических п геометрических параметров стержневых систем в задачах упругой устойчивости.

Объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 226 страниц и включает 46 таблиц, 28 страниц иллюстраций.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

¿о введении представлено обоснование важности проблемы, ее значимости, сложности решения и необходимости применения смешанных граничных условий для описания напряженно-деформированных состояний, сформулированы цель работы, определены ее новизна, практическая ценность п оффективность результатов, перспективы дальнейшего развития.

Первая глава посвящена краткому обзору современного состояния теории расчета сте].жневых систем, численной реализации ее методов и алгоритмов, проблемам проектирования. Обзор проведен по разделам: линейные системы, физически нелинейные системы, геометричес-

1ки нелинейные системы, физически и геометрически нелинейные системы.

В разделе линейных сйстем обращено внимание на получение систем уравнений, их решению и формализации процесса расчета на ЭВМ. Получению систем уравнений на базе метода сил, применению сетевого описания конструкций и теории графов, локализации исходного базиса метода сил посвящены работы Берт К», Бранина С.Ф», Бусыгина В,Г«. Гребня Е.С., Клемперта Ю.З., Ливслл Р., Рабиновича И.М., Резникова P.A., Розина Л.А., ТананаВко О.Д., Фенвеса О.Д., Филина А.П., Харари 4>., Черневой И.М., Шварца Ы.А. и других. Проблеме решения систем линейных алгебраических уравнений, плохой обусловленности посвящены работы механиков и математиков Аргироса Дя., Арсепина Б® Ь Бахвалова Н,С., Воеводина В.В., Гольдштейна Ю„Во, Демцдовича Б.Н., Клемперта Ю.З., Крона Г., Кублановской В.Н., Марона К.А., Резникова P.A., Розина Л.А., Смирнова А.Ф,, Стренга Г., Тихонова A«Hi, Тьюарсона Р., Уилкинсопа Дд:Д., Фадцеева Д.К., Фаддеевой Б«Н., Филина А.П. и др. Применению метода перемещений на конечпо-элемопт«« ной основе в расчетах стергпевых систем посвящены работы Лбовско-го Н.П., Александрова A.B., Андреева 0.0«, Аргироса Бате К., Вилсона Е., Лащеникова Б .Я., Лпвсли Р., Масленникова A.M., Музы*-ченко Ю.Н., Рйаншдана А.Р., Резникова P.A., Роэипа Л,А., Сегерлин-да Л., Смирнова А.Ф., Сшнцыва А.П., Филина А.П,» Шапошникова H.H., и многих других. Смешанный метод расчета стержневых систем сформулировал АвА.Гвоадев для конструкций определенного типа, позволяющий понизить порядок системы уравнений по сравнен™ с расчетом методами сил шш перемещений. Уравнения смешанного типа получены Р.А.Резшпсовш на основе условно-экстремального принципа. Все внутренние усилия и перемещения определяются с помощью двух матриц - равновесия п податливостой. Развито смешанного метода посвящены работы Д.М.Бепнамшюва, Им показано, что для составления канонических уравнений по любому методу строительной мсхшыки не обходи-

«о гадать липь двэ матрицы - гзомотричэсгсую и жесткости. Уравнения смешанного типа использовали в работах Вашицу К., Вебок Б,Е., Гольденвейзер A.A., Никольский М.Д,, Рейсснэр Э„, Тананайко О.Д., Ху X., Шапошников H.H., Шварц U.A., и др.

Б разделе физически нелинейных систем оточено, что исторически расчет сложился в двух направлениях: 1/ определение предельных нагрузок условного механизма; 2/ исследование напряженно-деформированных состояний па различных стадиях с точечными или распределенными пластическими деформациями. Принцип предельного равновесия сформулировал Г.Галилей, а основные теоремы - А.А.Гвоздев. Предельные нагрузки определяют с использованием основных теорем, а также методами линейного программирования. Расчеты балок и рам с точечными или распределенными пластическими деформациями приводят практически к одинаковым значениям предельной нагрузки, а по- перемещен ниям - второй вариянт приводит к их значительному увеличению. Вопросам определения предельных нагрузок, перемощений посвдаена работы Баха Г., Безухова Н.И., Бвдьфянгера Г.Б., Вуда Р., Гвоздева' A.A. Герстнера Ф.И., Гринберга X., Двайта Дк., Истмана Е., Киста П., Мерчанта В., Надаи А., Нила Б., Прагера В., Реплея Ф.А., Ржаницы--на А.Р.Г Сен-Венана, Симопдса П., Фейнберга С.М., Фриче Дк,, Ход-кинсона И., Хренникова А., Чираса A.A. и др. Испытания над балками и рамами проводили Еакер И., Беленя E.H., Бвдл Д., Бычков DJB., Горбунов Б.Н., Джонстон Е., Казинчи Г., Кнудсен К.,-Майер-Лейбниц X. Маламент Л .И., Пайков М.Ы., Розенблат Г.И., Русек И., Туркин B.C., Хейман И., Хендри А., Шиллинг:С., Шутц Ф., Эйкхоф К. и др. Влияние продольной силы на величину предельного пластического момента в арках исследовали Свида В., Иогянсен К.В., Хендри А., Онат Е.Т., Прагер В. и др. Влияние поперечной силы на прочность сечения исследовали Стуеси '1-., Безухов Н.И,,. Ржаницын А.Р., Папкович П.Ф., Бро-уле U.M., Иельчепский С.Л. и лр.-Г->|Д;;чя о кручпнии стецхня рассмат-l.'.n.-vwcb Oi'-I "нне.г,, |!пдаи A.v Гмллптнм А.Г. и щ. Продольному

изгибу стершей в упруго-пластической стадии посвящено огромное число публикаций, среди которых следует выделить работы Энгессера Ясинского Ф.С., Шэнли 0., Хвалла £., Еаска К., Кармана Т. и ывогиз других»

Из приведенного oösopa работ в этом разделе следует, что расчет стергглсЕнх сиотда с учетом физической нелинейности является слоеной проблемой, решенной только в частных случаях. Отсутствие условия прочности для часта данш стерся с. полный вектором усилий по торцйы не позволяет решать пространственную задачу депортирования стергневк! .конструкций на различшз: стадшш без привлечения у слог пюс расчетных моделей«

Б раздела гешатрэтесм аелипс-Зиых систом отмочено, чю теории ра чета гибких стершей посищеин работы Бйлора Л., Николаи ЕЛ., Кирхгсфа Г», Клайша А., Попова Е*П. и др<> Ери этом следует-отае-теуь, что. дейзрсэдпгдыюе урашсше изгиба' топкого етергш! в зле кштаргшх рушащие по шгетрцруотся, MKS в форме метода перемещений в расчетах геоагтрачоси!'псгсзеДша етергневых систем полчка 'развитие в двух Еацравлсшгяхв В порвем - иатрипу йесясости КЗ ко-лучааг по.нелшю£лой теории, пркЕОДшзей к системе нелинейных ypai Hcanli, posaeunx посдодоватедышии прийлЕлонияий методом Пыстона-Рафсона в сочетании с шаговые: гшгргжшяемв Во-вторых » г1атрицу гесткости ЕЭ получаю? по линейной теории, приводящей к система лкпейпнх уравнений относительно приращений перемещений. Оба иапрг ления иыеат и положительные п отрицательные стороны, Характерным для обоих направлений является то, что приходится задаваться видом аппроксимирующих фушщцй оаргшдЕйщЙ на КЭ, определяющих точность а достоверность результатов, В качестве примера приводятся работы первого иапраглония - Аиппяпа B.C., Босвелла Л,, Мора Г., Мияьнера X., й в качество второю - padoiu Зылева В.Б., Соловьева Г.П., Ыуоея Да«, Согли L'., Лемайра 1J», Поспаил Г., Хасегшш А, Несколько иной подход. в posa^r гашатдетсси нояжеШшг сюрзро-

сшс систем предложен Н.Н.Щапопшшовны - путем рассмотрения трех стород задачи для стержня. Смешанным моделям ШСЭ посвящены только отдальныо работы. В качества" пршэра указаны работы Иалвуса Д.С,, Хягоса Т., Одена Да. Гибкая нить является составной тастьэ васячдх конотрукций» В теории расчета гибкой нити шослз апачптояыгиЗ вклад .Дмитриев Л.Г., Касилов A.B., Качурип В.К., Квроешю В.И., Кузнецов Э.Н., Кульбах В.Р., Мацолинский Р.Н., Москалев Я.С., Смирнов В.А., Соботка 3., Соколов A.A., Фрей 0., Харчопко Р.Б., ЕткшзовскеЗ В.Н. п др. Кинематике цепей, посвящены работы ¡1.М.Рабшкшшт. Такта образом, в расчетах геометрически пелппсйшяс спатен пзт едплого подхода и метода, хотя эти конструкции могут быть гродставпелы в виде кинематических цепей, на что указывал ИЛиРабетовот. В раздело физически а геометрически нелинейных спетом рассмотрены только некоторые работы, таз как по етоЗ продажа пуйптадаа патао-гочпеленны, Сдато~изогнутг? Д.. стержень с учетом физической и геетот». ричэской полпнеДпостей гпоршо рассмотрит Л.Г.Нясарсэ. В дальпоЗ-исм постановка задача уточнялась Лейтосоч СЛ., Гро^лс Г.11», Алэ-пшнекиа Ю.Н., Цакаровим Б.П. Расчету стпт; в упругонмастичоксЗ стадии по дефорыяровшшоЗ схеме посапдопн работа ГуялазовоЭ М.А. а Ерхова М.И., Себеаева В.Г. и Иизопае A.B., Кспа М, к Абдоль-Роала-на М,, Жиля С.С. Кесттаа нити подучили игроков прпиепенив в покрытиях. Теория расчета цосткой пологой патл с учетса пластических свойств материала и деформированной схскз папболоо полно галозепа в мопографизи Шпмаповского В.й. а Соколова А.А, Расчету еэстейх нитей номшены работы Еедапакога Г.С., Иллепко K.II», Качурппа B.K, Кирсанова И.К., Москалева Н.С., Немчинова Б.К., Теяояна А.Л., а многих других. Экспериментальные исследования отдешыгпх жестких нитей проводились в НЖШБа, И£!СКо, HUSiCTa и др» Из приведенного обоора рсбот в этом разделе следует, что пег единого подхода и мо-тодп расчета различных типов стеретевнх спетом. Ра с чат у стяртипрых cncfv по »Ж в.-Jcivs котода пераац&нкЗ с уче-

том физически и геометрически нелинейных постановок посвящено небольшое число работ. Методика расчета рассмотрена Анаияном В.В., ' Рекачем Ф.В. Ее суть сводится к следующему. Перемещения на КЭ задаются в форме полиномов Лагранаа той или иной степени и выражаются через узловые:

¿•1 ¿•I

где a/j), t¡(\) - функции формы типа полиномов Лагранжа, выраженные в нормализованных координатах; ¿¿ ,V - перемещения вдоль и доперек КЭ;^)«-{UífiijVlfi j - вектор линейных и угловых перемещений узлов. В качестве обобщенных деформаций принимают осевую деформацию и кривизну /в плоских системах/i? \ ~ {£<>» 1/р\ . Используя тензор Грина, точное выражение кривизны и функции формы в нормализованных координатах получают матрицу связи обобщенных деформаций с узловыми перемещениями: . в качестве обобщенных внутренних сил принимают продольную силу и момент: . = [£(*?]•{£} » [&&)]- матрица упругости, sa- : висящая от уровня тапротенно-деформярованного состояния. На основе принципа возможных перемещений получают систему уравнений МКЭ: ¿{Ш}Т-1<?]-оЬи-<11 -{Ш)\Г-{Р} , где MJ' dx/c¿.¡ _ детерминант Якоби, связывающий ¡элемент длины в локальной (X) и нормализованной (|) системах координат, | Р J - вектор узловой нагрузки по соответствующим направлениям. Еариация обобщенных деформаций связана с вариацией узловых перемещений матрицей

'{ШНьШШЬ т

С учетом принятых обозначений и сокращения на {(Г(d) j¡ система уравнений МКЭ принимает вид:

Такт/ образом, матрица жесткости элемента в локальной системе координат сводится к численному интегрированию выражения:

где - весовая функция.

Определение матрицы жесткости КЭ представляет трудоемкую задачу. Переход к глобальной системе координат осуществляют с помощью матрицы И: • По матрицам жесткостей элементов формируют матрицу жесткости всей конструкции. Решение нелинейной системы уравнений Евдут методом Ныотона-Рафсона в сочетании с методом шагового нагружения. При неустойчивом решении в предельном состоянии производят смену параметра нагрузки на характерное перемещение. По этой методике Ананяном В.В. рассчитана рама и арка. При заданных соотношениях жесткостей ригеля и стоек рамы разница мевду предельными нагрузками с учетом и без учета геометрической нелинейности составила только 1.8$, а разница между характерными перемещениями при одной и той же нагрузке существенна. Разница между значениями предельных нагрузок в арке с учетом и боа учета геометрической нелинейности составила- около 20%, Из приведенного следует, что вопрос оценки точности решения п достоверности результатов во многом зависят от вида аппроксимирующих функций, величины фибровых деформаций, числа элементов, точности численного интегрирования, точности определения внутренних усилий и приведенных яесткостных характеристик сечений. Рассматривая проблемы проектирования, отмечено, что при подборе параметров конструкции нельзя одновременно удовлетворить требованиям прочности, жесткости, устойчивости, технологичности, архитектурной выразительности и т.д., так как некоторые из них противоречивы. Переход к расчету конструкций с учетом физической и геометрической нелинейностей и функционального назначения сооружения позволят в принципе изменить методику проектирования. Втаал глага посвящена применении разновидности смешанной форлы МКЗ в расчетах линейных стпржнеинх систем применительно к задачам

/

статики,.устойчивости, динамики. Разновидность смешанной формы МКЭ состоит в том, что выбирается статически определимая геометрически неизменяемая "основная система0 со смешанными неизвестными, представляющими собой усилия в удаленных связях и перемещения поставленных связей. Такая схема применима к статически определимым и неопределимым» геометрически неизменяемым п изменяемым конструк циям, остается воязыешюЯ на всех стадиях, включая стадир перехода конструкции в условный механизм с одной или несколькими степенями свободы, пригодна к еадачаи статика, устойчивости, динамики, оптимизации. Система уравнений состоит вз уравнений равыовесшз в уравнений неразрыЕностей. Пра резонна задач статшш она имеет вал: ¿-•S +■ = О; ft s t Л* - А ■ г /2.1/ Б задачах устойчивости она записывается так: Л S -А-Я /2.2/. В задачах динамики на вынужденные колебания система уравнений такова: A-S t Sf* ityG^-2-' - Л 2 /2.3/, а на собственные - она имеет вид: /Vs^. m ^j1 ß i'» Ar-2 /2.4/. При решении вадач статшш« устойчивости, диивткж составляются только две матрицы - равновесия и податлввостей. При составлении матрицы равновесия ыогут пс— пользоваться тра типа КЭ в вависгмости от типа конструкции. При составлении матрацу иодатлпвостеД используется формула Пора и методы численного интегрирования. В качестве КЭ может быть принят суперэлемент в виде группы стержней.

Система уравнений /2.1/ может быть решена по нескольким вариантам.

Первый - как система вида ах + в = О ; второй - сведением к пере- ,1* ■ * с * п

метениям Ъ ¿г у Kf ° • третий - сведением к усилиям -"</_;

четвертый - сведением к усилиям в "лишних" связях + 'V пятый - к раздельному решению уравнений равновесия и нерьзрывнос-тей в статически определимых конструкциях. Таким образом, существует несколько алгоритмов расчета одной и той же конструкции,поэтому выбирают наиболее эффективный в зависимости от условий задачи. В задачах устойчивости к динамики так же возможны различные

алгоритмы расчета, аналогичные нзлодвниым. По смешанной форме МКЗ просчитано большое число примеров расчета балок, ферм, арок, рам в задачах статики, устойчивости, динамики, представшгвдих интерес в методическом плане, с КЭ в виде стержней или их групп - супер-, элементов, с учетом и без учета податлпвостей соединений в уалах. В главе 3 рассматриваются вопросы пртюноиия смешанной формы МКЭ в расчетах физически иелинойних сторзневых систем, а такде разработан алгоритм определения деформаций в сечении по заданным силам с ограничениями по дефорлациям в двусторонними оценками точности вычислений.

Физическая нелинейность обусловлена нелинейной связью между напря-аениями и деформациями, которая устанавливается экспериментально на стандартных образцах. При больших деформациях происходит изменение размеров сечения образца и не соблюдается гипотеза плоских сечений в зоне "шейки". Поэтому применение экспериментальных диаграмм <1~-е с учетом разрыва образца в расчетах стержневых систем является сложной проблемой. В практических расчетах применяют упрощенные модели, полагал, что размеры сечения неизменны и разрывов нет.

Применение статически определимой "основной системы" со смешанными неизвестными в задачо определения предельной нагрузки позволяет ограничиться только уравнениями равновесия, но добавляются ограничения по прочности сечений: »-^»-0; (¿1 ^ /3,1/. Для решения системы уравнений /3.1/ применяют симплекс-метод, а задача формулируется, как задача линейного программирования. В качестве примеров рассмотрены ферма и рама, а результаты представлены в таблицах и на графиках. При исследовании напряженно-деформированных состояний моделей систем с точечными шарнирами пластичности рнэ^ешшше уравнения ваписивают в виде: А-5 + 5р О;

/3.2/. При срабатывании ограничения по шдитм шарнир кластичивстч а соответстпущео урапнишо

неразрывностей исключается. Так прослеживается процесс образования пластических шарниров до предельного состояния с вычислением перемещения на. всех стадиях. £ качестве примеров рассмотрены: 1/ балка с одним защемленным, а другим,- шарнврно опертым концом . с силой в середине пролета; 2/ балка с двумя защемленными концами в силсй в одной трети пролета. По результатам расчетов ностоены графики изменения перемещений и усилий в опасных сечениях с ростом параметра нагрузки. При применении модели с распределенной.пластичность» матрица податливостей уточняется итерационно. Задача становится.трудоемкой, поэтому рассмотрены сначала аналитические решения для частных случаев изгиба балок путем интегрирования дифференциальных уравнений. Рассмотрены консольная балка с силой на конце и шарнирно опертая с моментом ка одной опоре и с равными моментами на обеих опорах. Нагрузка и моменты возрастают до их предельных значений. Сечение балок принято прямоугольное из стали со связью в форме диаграммы Врандтля. Получены аналитические выражения, связывающие обобщенные силы и перемещения, ва основании которых построены графики. В случае постоянной кривизны по длине при приближении момента к предельному значении углы поворота концевых сечений балки и прогиб в середине неограниченно растут, что является следствием применения приближенного 'дифференциального уравнения. Б двух других случаях в предельном состоянии прогибы и углы поворота сечений конечны и составляют 20/9 ох соответствующих значений начала текучести. Пластические деформации занимают 1/3 длины балки и их величина резко растет по мере приближения к опасному сечению. Б табличной форме показаны относительные значения моментов, прогибов, углов поворота сечений при заданных значениях фибровых относительных деформаций. При постоянной кривизне по длине балки получено точное решение, определен максимальный прогиб, равный Умх^с^иСк соответствующий угол поворота сечения на опоре . Учет распределенных зон пластичности в статичес-

'пи неопределимых балках, рассмотренных ранее с точечными шарнирами пластичности, привел к возрастании прогибов в предельном состоянии в 40/27 раз, а предельные нагрузки в обоих случаях неизмени-лйсь. Закон изменения кривизны по длине балок резко повлиял на результаты деформированных состояний.

Для оценки напряженно-деформированных состояний прямоугольного сечения со связью 6в форме диагралаш Прандтля, заданными значе-ешг-ш усилий //, м приведены расчетные формулы для случаев односторонней и двусторонней текучести. При возрастании усилий пропорционально одному парам атру при приближения к продельному состоянию по усилиям деформации неограниченно растут. При нзоднопараметри,-ческоз нагруяешги воличппа предельного момента падает с ростом продольной силы, а деформации неограниченно растут. Результаты расчетов представлены в ферме таблиц и иа графиках. Для определения обобщенных деформаций / кг / по заданны?.! силам /ч,м^.,1 для езчеппй любой форлы и любой диаграммы разрабо-

тан алгоритм численного расчета. Связь мазлу обобщенными деформа>-цшзмп и оплата при нешшеЗной зависимости б~-е такте нелинейна и колот быть установлена в двух вариантах - с помощью секущего или касательного модуля упругости. Применение секущего модуля приводит к системе уравнений вида:

I

гд

Решениэ этой системы уравнений с переменными коэффициентами ведут ' последовательными приближениями, начиная с упругого решения. При численном интегрировании сечение по высоте делят на ряд полос, в центре которых определяют деформации с использованием гипотезы плоских сечений с •£„ 1-к-У при значениях £„/ к , взятых из предыдущего приближения, по заданной связи -5"-6 вычисляют и при-г-(щепные жесткостнпе характеристики сечения, решают систему урав-

нений и Находят £в/к . Выход из итерационного цикла осуществляют нрн достижении заданной погрешности смежных приближений жесткост-ных характеристик или . Оценку точности решения производят сравнением результатов с разным числом полос по высоте сечения,

/

При приближении к "предельному" состоянию решение становится неустойчивым, так как матрица коэффициентов стремится к вырозденной. Таким образом, условием предельного состояния является равенство нулю определителя из коэффициентов уравнений. Приведенный алгорита неприменим црн связи 6"-£ о нисходящей ветвью. Применение, касательного модуля приводит к система уравнений:

гдо (ел)' ЧЕ^А Л^ *{Г:"

» л

Решение этой системы уравнений с переменными коэффициентами еодут последовательными приближениями, начкная с упругого расчета. До-формации получают суммированием приращений: ^ » + ^ ч , кп* /с" Нагрузку делят на ряд этапов. Этот алгорита шэ-

ет те же недостатки, что и предыдущий. Анализ примеров точного ро тения для прямоугольного сечения позволяет внести ряд существенных измепс-шй в приведенные алгоритмы. Во-первых, вводится ограни чецио по фибровым дефор.',ациягл ¿„^ 4 ¿^ , при продольно-по

перечном изгибе, - при одноосном растяжении-сжатии. При

таких деформациях внутрешше усилия близки или равны "предельным" •значениям к дальнейший итерационны!1 процесс целесообразно исключить, что резко сокращает затраты машинного времени. Во-вторых, приращения деформаций определяют по первоначал ьньм яест-

костным характеристикам из независимых уравнений лы/еА, Л к ~ А / е.4. Этот прием известен как метод постоянной жесткости. С одной стороны он избавляет от необходимости вычисления гее костных характеристик а решения совместных уравнений, а с другой г.одет к уналгачешш числа приближений, особенно при медленно сход

»

Щемся процесса. Но в сочетании с порвш допущением этот прием оправдан, Кроме того в "предельном" состоянии матрица косффициеитов но становится вырожденной. В-третьих, внутренние усилия вычисляют с утрированием напряденных состояний полос по высота сочения И-« х. =2при любой связи , даже о нисходящей

ветвыв« Крсмэ того, ыотод средних позволяет сдолать двусторонние оценки приближений к точному, как по усилиям, так н по деформациям. Поело завершения итерационного щ?цесса устанавливают "валку" разброса по усилиям и деформациям. Для чего за постоянные напрлаз-пия и деформации в пределах полосы принимает значения по границам. ."Вилка" разброса по усилиям п деформациям позволяет судить о достаточности числа полос.

По этому алгоритму просчитано больсое число примеров. Сравнение результатов тостовнх пушеров делалось с точным решением для прямоугольного сочонкя с диаграммой 6"-£ по Прандтлю. Совпадение результатов находится в пределах задаваемой погрешности по усилиям и деформациям. Причем погрешность по деформациям более строгал, чем по усилиям. Число полос задавалось в пределах 10 т 40. При задании нагрузок выло*"предельных" срабатывает ограниченно по деформациям а выдаются па печать контрольные результаты. Алгоритм падояеи и удобен в работе.

/

■Глава 4 посвящена применению смешанной форлы МКЭ з расчетах геометрически нелинейных стержневых систем, а также разработка способа описания геометрии кривой по заданным деформациям в расчетных сечениях и его применении к расчету стер&невых систем. Применение статически определимой геометрически неизменяемой "основной системы" со смешанными неизвестными позволяет записать разрешающие уравнения в двух вариантах. В пэрЕОМ варианте в качество неизвестных принимают приращения усилий а в удаленных связях и приращения перемещений л £ поставленных связей' от достигнутого уревня н<;.пря«екно-дефоркировалного состояния:

А+А 1 " '

где матрица равновесия, составленная по деформированной схе-

ме предыдущего приближения; И> - матрица податливостей от обобщен-, ных единичных сил, составляется для каадого типа КЗ по форлуле ра С учетом влияния продольного изгиба в общем случае; - вектор приращений перемещений по направлениям удаленных связей от приращений местной нагрузки; АЙр - вектор приращений усилий в.поставленных связях от прпращений нагрузки.

Формирование уравнений равновесия и неразрывностей осуществляв поэлементно. При реализации формулы Мора прЕмошш1 методы численного интегрирования. Членение конструкции на конечные элемент производится в рамках применимости технической теории. Полные усилия и перемещения получают добавлением приращений к црадвдуаеуу приближению: !>'

Корректировку геюо?рга делают в виде: ^ * я-гс Хл.[(Ул1-У*1)/сЗ Этому варианту свойственно большое число приближений и накоплению погрешностей дра больших перемещениях. Во втором варианте выделяв? "весткие" поворота

и система уравнений записывается в виде:

М'&)• * * * о , ск*сн±е*-ые I ,¿4 I

й.иА^^П&Ю, |

где Г (о) - геометрическая матрица, представляющая собой перекедшш

по направлениям удаленных связей от смещений поставленных связей, составляется для каадого типа КЭ. Решение нелинейной системы уравнений /4.4/ ведут последовательными приближениями в зависимости от типа конструкции и рода задачи. Алгоритмы расчета рассматриваются на конкретных примерах. : .

Ферма Мизеса. Исследуется связь кеаду прогибом узла и нагрузкой без потери устойчивости элементами фермы. "Основная система" шЗ-рана путем удаления связи в направлении распора а постановки св«зн в набавлении прогиба. Решение нелинейной системы уравнений производится, заданием прогиба п отысканием распора и нагрузки. Резуль-

таты расчета представлены в таблице и на графиках'/ г до прослеживается пеланейпая связь медду перемещением и нагрузкой, перемещением и распором, В зависимости Р - £ наблюдается "перескок" из неустойчивого состояния в устойчивое. Эта'задача решена П.Л.Лукашем путем рассмотрения уравнений равновесия, физичостасс, геометрических. Стотнппь с пруятгой. Исслодуотся связь мевду нагрузкой и прогибом, распором и прогибом. "Основная система" получена путал удаления связи в паправяопни распора и постановки связи а направлении про-гпба. Решение цешагойноЯ системы уравнений произведено заданпем прогиба п отысканием нагрузки и распора. Результата расчета пред-стгшлопы в таблгщо а да графиках, где прослеживается нелинейная связь искомых величин,, Эту задачу решали несколько гпчоров по МКЭ в фэрмэ метода порсйяюакВ с матрицей аосткостп КЗ по линейной и ноятзйггаЗ тоорши Рсзолпэ по сисшапноЯ форно значительно проще и паглязшеэ»

Котгооят-ттпя балка с гоупптом, яа колда. Определяются -Перемещения-конца консоли при заданных размерах и нагрузке. "Основная система" получаса удалением связи в заделке и постановр связи в направлении прогпба. Посколысу балка статически определила, то уравнение рав-ПОЕОСГТЛ легко решается, аз уравнения неразрывностей определяется . "зестшй" поворот, а аз геометрических - находят координаты конца, 'сшсола а угол поворота сечения. Тал как в геометрических уравне-пяях принята длина хорда равпой длило балки & ^ £ , то перемещение'

получилось меньше точного на 22.8$, а -».больше точного на 4.3?, сС - рарно точному значению, Действительная длина хорды равна 0.35385 г? . С еэ учотегл результаты члелошшэ совпадают с точными. При членения длины башш па 5 элементов получено: ик меньше точного па 0.886$, - больше точного па 0.3.67$. Эта задача рассмотрена в точной постановке П.А.Лукашем, а по Ш(Э в форме метода перемещений - рядом авторов с матрицей несткостп КЭ, вы-чпс.лешкИ по линейной ¡(.нелинейной теориям. Реиешш по смостанной

'форьш ЫКЭ проще в наглядное, чем со мьтоду перемещений. ■Крнсодьная балка о поперечной силой на ионпв. Исследуется связь ыавду' нагрузкой в прогибом црн аадашшх разыарах. Решение уравнений произведено путси задания относительного прогиба и отыскания валютный нагруБКи. Результаты расчетов при одном КЭ представлены в таблица и на графако. При Р * 0.1 кг. прогиб по линейной теории равен мл ® 0.667 £ , а по нелинейной" ул = 0.54 6 , т.е. линейная теория дает вавшениов значений прогиба на £3.52. При у* « 0.5 £ по линейной теории получено Р *= 0.075 кг., а по нелинейной Р ■ 0.090 кг., т.е. ладейная теория дает ванЕкеяную нагрузку на 16.7^. Ира других уровнях нагрузки и прогиба ати проценты будут другими. При &> 0.5 длина хорды ¿'^ существенно остается от длины £ , по-втому надо членить балку на несколько адемвнтов. Гибкая банка-ошейка с ловш вшасшюшаод концом и правым шарннрно опертым. Исследуется связь мезду силой, приложенной в одной трети пролета от правой опоры, в прогибом при ваданных размерах» Решение нелинейной системы уравнений при двух КЭ произведено путел задания прогиба и отыскания нагрузки и моментов б двух сечениях. Результаты расчетов представлена в таблице п на графиках. При У/<? до 0.2Б наблюдается связь мезду 1;- У и Р - У близкая к линейной. Плоская тротгзвенпая кинематическая пепь с абсолютно еосткени аяо-ментши» Вертикальные нагрузки в узлах = 4, 6, точки подвеса на одном уровне с щ&етомЬ = 10 м, длины элементов = 4ч, ¿£ = 6м, ¿з = 5м. Определяются распор н координаты узлов. "Основная система" получена удалением связи в направлении распора и постановки двух связей в направлении прогибов. Система уравнений состоит из двух уравнений равновесия и двух геометрических:

Решение нелинейной, системы уравнений'производится по одному из вариантов.

Вариант 1 - задают значение а отыскивают Н, удовлетворяющего уравнениям равновесия. Этот вариант применим только к системе с одпой степенью свободы.

Вариант 2 - последовательные приближения. Задают значения Н и У^ п определяют невязкй з уравнениях равновесия и геометрических. По*» следовательно задают приращения А Н и А У; и снова вычисляют невязки. Строят матрицу Яжоба, "связывающую приращения л Н, Л У; с приращеяи-

IX *** л*

ям невязок. Геометрию корректируют итерационно У<; « + А У; Этот вариант применим к цепи с любым числом степеней свободы, но он трудоемкий.

Вариант 3 - метод начальных параметров. Уравнения преобразуют так: Ь'^-Рл*0 I вг'^с^ (Р-:/И)

>к- - Р* * 1 Дх^е^ся^-ь, 'Х^пв: /4.6/

При заданных значениях и" определяют и 9^. Полагают приращения А ¡^ АН пропордлопалышми невязкам по перемещениям:

. Л^йЖ/Л, ¿/Г-в /4.7/

Величины А з В в псрвсг,1 приближении мшено принять равными Л « 'В последующие приближениях пр:шикают: , Н"лНп

Этот вариант применим к цепи с любил числом степеней свобода и тлеет преимущества порзд двумя другими. Результаты расчета по этому алгоритму: --4.4643,- И =2.Ь6Ь8, х^, =1.2932, х^ =7.8973, х3=10.0и,

=3.4680, 5^=4.5364, у, =0.00. Пространственная кинематическая пепт. с точками подвеса на разных уровнях с узловыми силами в направлении координатных осей. Определяются три составляющие реакции в начальной точке подвеса и координаты узлов с учетом деформаций элементов и без гсс учета. Система уравнений предлагается в виде:_

е.- £ 11+к), Сц~~ <•'«•; + а - 4/ / Г

1-1 1»41,з; * - , с '-('*, К *} j

где ¿; - проекции змл.т.аэде"! лилии точек подвеса на коордааатныв оси, /г - число эломентоз, к - ируер узла сзгагрузксЗ. '

Алгоритм расчета принят по аналогии с предыдущим: задают значения

, вычисляют да , ^ , определяют швязки перемещений в концевой точке | вычисляют приращения статических начальных параметров л - Р-х] , уточняют начальные статические параметры ¡¿^ _ + ^ ^ . По этому алгоритму рассчитана цепь из /1 = 10 абсолютно иестких элементов равной душны % = 1.6 и, с проекциями I* = 12 м, ¿> = А? = 0. Сила Р приложена в плоскости ху в четвертом узле под углом 60°к оси х. Результаты расчета двух пробных вариантов (1% = 0.5 Р , 0.8 Р и окончательные щшводову на рисунке. Усилия н координата раш:ы: //;_у= 1*0326 Р, Л£_/(,=0.239£?, Ду« 4.125м, уу = 4.357м.

Гибкая нить,, Определяются координаты точек провеса нерастяотагЗ нити длиной £ = ЗОи под действием собственного веса ¡р «= 1 и/и с закреплением точок подвеса на одном уровне с пролетом и = 20м. Нить аппроксимируется кинематической цепью с числом элементов Я- «= 10 V 50. В таблица приведена ордината провеса в середине при разном числе элементов. Разница в провеса по сравнению с точным ревз-нием составляет 0.653$ при п. - 10 и 0.156$ при А- = 20 в сторону завышения,.

При -разработке способа описании геоглеторп кривой по заданным деформациям в расчетных сечениях вводится допущение постоянства кривизны и осевой деформации на участке, устанавливается связь иезду координатами концов отрезка, углами поворота концевых сеченый» дав-ной, осевой деформацией и-кривизной в форме начальных параметров /рис.1/: ^ _ ■ ~ /, У I /, ! •

» ун * , \ /4.9/

¿„•г**-*, е*» е-^Ш/(т), V■'

Далее рассматриваются три возможных варианта стыковки элементов /рис.2/ - кривая непрерывна, с переломом, со скачком;

а^ - ; < ^¿н' ^кс- /4.10/

В частном случав кривизна может отсутствовать /рис.3/ и уравнения /4.9/ ----—

При задании двух параметров в начале и одного в конце определяют

Способ примечателен тем, что не принимаются во внимание причины появления деформаций, их величина, состав и форма сечений стержня, материал. Кроме того, он позволяет получать двусторонние оценки дефорлированных состояний. Расчеты могут быть произведены по осред« пенным кривизнам а дефорлациям или по экстремальным на концах участков. Имея "вилку" разброса по перемещениям можно судить о достаточности числа элементов. На примере консоли Е = 1.0м с изменением кривизна по( треугольнику к, = ~ ?), 2 в таблице приведены результаты определения координат конца при числе элементов п. = 1 4- 10, полученных по к , кг/> , . Значения хл , при п. = 3 и п. = ю, вычисленных по ес/ разнятся в пределах 2%, При п = Ю вилка разброса по х* и % от "средних" составляет 4.7 и 5.7% соответственно. Этот способ применен к расчету стержней. Консольная балка-ллинейка. ■ Определяются , ул , с/е при заданных геометрических размерах и нагрузке. Процесс расчета ведется итерационно путем осреднения значений моментов смежных приближений, найденных по деформированной схеме.'Результаты расчета показывают быструю сходимость процесса. Сравнение сделано с решением по методу упругих параметров, которое отличается от численного в пределах 5Я при л. =10.

Стержень переменного сеченид из разномодульных материалов. Определяется величина Р^ при заданных размерах стержня и материалах сеченая в предположении упругой работы. Стержень из газо-бетона

/4.11/

/4.12/

FytL

Ui.

с Е/ш [0.1»ю'пг/смА; 0.25.10Укг/сн4^ с центральной арматурой 0 2 см я Е^п 2■ 10*хг/смА. Диаметр сечения з серэдине - Д(= 15см, а по ненцем - Д^е Юсм. Величина по двум вариантам бетона равна соответственно 39т а 11т. Расчет .производился итерационно путем задания пагрузкн в отыскания формы равновесия в закрнтической ста-дяз. Р^ определялись по графиком» построенным по точкам. В дптоЧ главе„ рассматриваются попроси применения смешанной формы ШЭ л способа оппсанвя гземетрап кривой по задавши деформациям. в расчетах стсрзповых систем с учетом фззпчоской а геометрической явлинеЗностеЗ. Спстсыа уравнений ПКЭ предлагается в виде:

6П= пЬН, с*С*Л*) , \ь[ < £,

При членении конструкции на КЗ предполагается применимой техническая теория деформирования в пределах элемента, справедлива формула Мора пока не срабатывает ограниченно по 5 нлп £ » но "песткпа" смещения ^ могут быть большими. Матрица податливостей р* п перемещения Д* вычисляются итерационно способами численного интегрирования от достигнутого уровня. В зависимости от стадии напряженно-деформированного состояния пэ /5.1/ используется только часть уравнений. Например, при срабатывании ограничения по 5 /юш £ / принимают 2* - »а соответствующее уравнение неразрывно стей исключают. При переходе конструкции в механизм остаются только уравнения равновесия и геометрические, а в качестве параметра нагррхения принимается характерное перемещение. Расчет констукций с учетом физической и геометрической нелпнейностей сопряжен с большими трудностями, так как приходится вести.его по различным алгоритмам в зависимости от стадии напрякеино-деформированного состояния и типа конструкции. Рассмотрены примеры расчета фермы, балок, стойки, рамы.

Ттехстестцеуая Феша. Исследуется связь уезду нагрузкой л прогибом у?М с разрушейяе*? сечений и без разрушения. Связь <5"-í прк-

/6.1/

Нята в виде диаграммы Прандтля с 10-£т или без ограничений. ; "Основная система" получена разрезом трех стержней и постановки одной связи в направлении прогиба. Система уравнений имеет вид:

Решение нелинейной системы уравнений производится пс следующему

л»

алгоритму: 1/. задается значение ^ и определяется ; 2/ вычисляется ; 3/ проверяются ограничения по ; 4/ по заданной связи ■ (о-£ находят б1; и вычисляют s¿ = А"х ; 5/ из уравнения равновесия по недеформированной или деформированной схеме находят Р. Результаты расчета приведены в таблице и на графиках. Нагрузка резко возрастает с ростом до = 1.5-ёг , а затем практически не меняется. Предельная нагрузка по деформированной и недеформированной схеме без разрушены сечений мало отличаются. При разрушении сечений нагрузка падает скачкообразно в сторону уменьшения. В примере геометрическая матрица не составлялась, хотя она может быть получена путем разложения функций ^ иКи^в определенных интервалах с/ Консольная балка. Исследуется запредельная стадия в двух вариантах 1/ при постоянном моменте МпЛ в заделке с изменением нагрузки Р { 2/ при уменьшающемся моменте в 8 ад елке и постоянной нагрузке I В первом варианте система уравнений имеет вид:

При , ЦА в Ыпл/^ уравнение равновесия приводится к безраз-

мерной форме: Р/Р„д= р = 1/сае.

Решение нелинейной системы уравнений может быть проведено по нескольким алгоритмам. Принят следующий: еадаытся значения Р в отыскиваются б* , ^ . Результаты расчетов представлены в таблице и на графиках, которые свидетельствуют о способности балки восприня нагрузку в несколько раз большую "предельной", найденной по теори предельного равновесия. В начале запредельной стадии малым приращениям нагрузки соответстпукт 5олшие приращения перемещений. Во

Ьтором варианте Мял= Меи = , = М = соа& .

Решенио системы уравнений произведено путем задания значений М и ; отысканием Ик, тГ* . Результаты расчета представлены в таблице и па графиках, на которых малым изменениям М в запредельной стадии соответствуют большие изменения прогиба . Кинематические положения балки двух вариантов задачи показали на рисунках. Балка с защемленными концами. Исследуется запредельная стадия 4ез разрушения сечений. Разрешающие уравнечия в безразмерной форме тлеют вид: I \ - , у

~ а. 1С * Си /г ),

Решение системы уравнений производят путем задания значений и отыскания'других параметров. Результаты расчетов представлепн в таблице и на графиках, которые показывают, что балка способна воспринять нагрузку в несколько раз большую "предельной". В расчете не учтено влияние продольного изгиба, а в оценке предельного состояния сечения учтен только момент,

Стойка-коисольо Исследуется запредельная стадия при возрастании нагрузок Р и 9 = С'Р пропорционально одному параметру или по заданной истории нагрукения, Влияние продольного изгиба не рассматривается, а в оценке продельного состояния сечения учтены момент и продольная сила. Система уравнений имеет вид:

Л»* ~ ~ - Г л/* Г >

¿*.сао ^ ' ' ' ^

Уравнение равновесия с учетом прочности сечения принимает вид:

Решение нелинейной системы уравнений производится заданием значений

& и отысканием других параметров. Результата расчетов представлены в таблице и на графиках, а кинематические положения балки показаны па рисунках. По результатам расчетов сделаны выводы:

1/ цри малых поперечных силах по сравнения с продольными в запра- • дельной стадии равновесие неустойчиво; 2/ при поперечных силах со-Еснергкшх с арододьншп в запредельной стадии возшшш устойчивые равповакшз состадшш1 3/ дои поперечных силах значительно превы-цшашх продольные в аапредельной стадии ыоето догрунать стойку; 4/ учет геометрической цзлшейности вааеп цри больших перемещениях!, Стаигавсня реостедожмая тз^ма. Определяется параметр предельной нагрузи с учетеш деформированной схемы и исследуется вапредельная стадия в саде паганизма. Ршна П-образвая, сэчопия прямоугольные из стала, .нагрувка Р^ 1'Р щшожана в уровне ригеля, % = 4-Р - в се-редано ригеля, несткость ригея в 8 pas бодьиз жесткости стоек» Сначала всслэдустсг цроцесс последовательного образования пласта» ческих варшзров, оцрадшшэтея. параметр срединой нагрузка по неде-формированной схема и соответствующие перемещения, затем проверяются допущения по срочности оечений г вдаишю продольного изгиба» Предельная натруска по деформированной . схем с. определяется сначала ао ирайшвопдоЗ формула йерчанта, которая оказалась на 10$ вше nepsaî» Для гсследоЕашш аадредельпой стадии рассматриваются 10 уравнений равновесия 4-х едо:антов"й 3-х узлов, которые сводятся к 4 уравнениям после учета Епастичбсгапс шарниров к перехода рамы в механизм с одной стенопы» свободы. Для выявления момента перехода раин в хашем составляются два уравнения иораэршшостей, а для последом-шя кеханаззда - составляются два геометрических уравнения» Пластическая деформация црпаягы точечными. Полная система уравнений имеет ввд;

- iùt% Hi+сеЩ êi fCkui^+'ieRi^J'/'

- ûeiô4 t\ ■ei&q tlï P '

A -fa.Ai^, "A - 4-4 )

Условия дальнейшего раскрытия пластических шарниров \д<Л.| >0. В уравнениях равновесия К/, вертикальная и горизонтальная составляющие реакции на первой опоре. Для определения ?*по деформированной схема в момент перехода -рамы в механизм предлагается следующей алгорятм решения системы уравнений: 1/ пз уравнений раЕнове-спя паяодят К^, ^, ? при , взятых из предыдущего приближения; 2/ из уравнения черазрывностей находят ^ , ; 3/ из геомотрп-." чоских уравнений опредйляют , 0,} ; 4/ повторяют цикл с лЛ до ста-Йилпзащп усштЗ п перемещений; .5/ проверяют условно прочности по ж дальнейшее раскрытие пластических шарниров \А%\> О 6/ добав-» яяют или исключают соответствующее уравнение неразрвдпостай при но-» йнлояпенш условий п.5 ; Результаты расчетов после 4-х праблпаонпЗ приведены в таблзщо. Учат дешорщрогаийой схемы привел к укеньшенш параметра "нрэдельпоЗ" нагрузки о 2,25 до 2.15, перемещения такяе уионышлись. Затем исследуются параметры раны в ысиола перэхода ра«-гш в механизм с двумя степенялп свободы яра: Мл = М„д= Зт?л по следующему «алгоритму: 1/задают прпращешю в сторону увеличения разрыва % } 2/ загшеляют Ох из уравнения неразрывности; 3/ определяют Щ пз геометрических уравнений; 4/ решают систему трех уравнений равновесия н находят Н^, , Р; 5/ определяют ф пз остающегося урав-ненпя равновесия я осредняет с прздцдущш значением; 6/ повторяют цш о п»2 до стабилизация усилий п перемещений; 7/ проверяют усло~ вкя раскрытия /или закрытая/, партеров пластичности^'^ \> о и при необходимости восстанавливают уравнения неразрывностей. Посла 4-х црн-блпзоплй расчета по отому алгоритму результаты продставлепы в таблице. Параметр нагрузка уменьшался до 1.9658, а перемещения у^возросли почта в'З раза. Лктпиюо развитие пластпчоегапс шарниров с ростом # содтверадаотсл, Длл'псследовати тохаапзма с 2-мя степенями свободы такта предлагается алгоритм. Зтот пртср свидетельствует..о пеобходи-

рости расчета но нескольким алгоритма.: в зависимости от стадик нь» пряыенно-деформированной рады и использовании только части уравнений из системы на кавдой стадии.

В этой ко главе щштняехся способ описания геометрии кривой в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелп-нейностей.

Стойка-консоль. Исследуются напряженно-деформированные состояния при заданных значениях поперечной нагрузки '<} = /0; 0.1; 6 кг./ при возрастании продольной нагрузки от нуля до предельного значения. Сочениэ принято прямоугольное из стали с диаграммой по Прандтлю. Для оценки напряженно-деформированных состояний сечения применяются формулы, соответствующие определенной стадии. Предельное состояние стойки соответствует предельному состоянию опасного сечения-. Результаты расчетов представлены в таблицах и на графиках. Гибкая стойка-консоль«, Определяется форма равновесия стойки при нагрузке Р = 1.5 Рэ. Сечение прямоугольное из стали с диаграммой по Цр^ндтлю. Для оценки напряженно-деформированных состояний сечений на различных стадиях применяются соответствующие формулы. Результаты расчета представлены в таблице и на графиках. ^Гибкая балка на упругом основании. Исследуются напряженно-дефорш*» рованные состояния балки при ее вдавливании силой в середине длины в упругое основание, контакт с которым может быть не во всех точках. Сечение балки прямоугольное из стали с диаграммой по Прандтлю, Основание по Винклеру с коэффициентом с = 0.1 кг/см. В качестве параметра нагружения принят прогиб у0 под силой. Расчет ведется по алгоритму: 1/ задают у0 в см; 2/ вычисляют интенсивность отпора грунта по прогибал: предыдущего приближения:^-« с-у; при у^О,

=0 при у-4 О I 3/ определяют М, , в предположении линейного изменения на участке: ^ = М; = №;+ (¡г^ + +

/6, У .в 4 - 1 ; 4/ вычисляют - ( + и-^А:, к .--к при

Кр-^Ь - »•,/*,- 1к^кт ; Ь/ по способу описан!!«

Геометрии кривой находят х;, у•„, Ji', б/ вычисляют р; = с• у^ при

О, 0 при jLi 0; 7/ осредняют значения интенсивностей грунта смежных приближений -/ + fij/2 я повторяют цикл с п.З до стабилизации усилий и перемещений.

Результаты расчетов по этому алгоритму представлены в таблице и па графиках. Эти примеры свидетельствуют об эффективности применения способа описания геометрии кривой к расчету стержней.

тестой главе рассматриваются вопросы оптимизации статических к геометрических параметров стержневых систем в задачах упругой устойчивости с разработкой алгоритмов сведения многопараметрических задач к одпопаршвтрпческим. Бцделяются три типа задач определения Mtwi'Kp при варьировании.только параметров цродольни сил эла~ кбагов К£., только параметров дmm элементов щ , только параметров ксмонтов инерции сечений щ при неизменном объеме материалов и заданных пределах варьирования параметров: 2. xL- а, к;.>0 ; ЮЧ = в»«-¿> 0 \Zhii ~ с, 0. /6.1/ при условии устойчивости iOfVl) = 0. / 6.2/. В /6.1/ величины а, в, с принимаются по результатам статического расчета. Первое ограничение является статическим, а два других - геометрическими. Эти постановки задач отягчаются от известных формулировкой условий, выбором неизвестных Й способом решения уравнений. Алгоритм расчета состоит в следую-¡¿¡¿М: 1/ от решения задачи устойчивости с известными параметрами Задается приращение, например к^; 2/ знал сумму it£ и соотношения оставшихся определяют их численные значения; 3/ вычисляют соотношения = £ • Hi/£Ji и решают однопараметрическую задачу по нахождению Ркр; 4/ цикл повторяется с постоянным или переменным пагом й до получения i*«xPKpi 5/ повторение цикла с калщш.1 до получения/«^Pj^p. Этот алгоритм сохраняется и при варьировании параметров пс пли/«; п напшш1ает по CBoeii идее метод направленного поиска. Трем задачам оптимизации найден геометрический образ. В Глчестве примера псследована двухяруююл стоика с заземлением вни-

;зу и шарнирным опираниш вверху и в средней части. Длины ярусов юдинаковыо, моменты инерции сечений одинаковые, нагрузка 1-Р приложена в верхней точке. Для расчета применен метод перемещений, так как приводит только к одному уравнению устойчивости ввда:

+ З ц-i/¿(й) = 0. Результаты расчетов с варьируемыми параметрами представлены в таблицах н на графиках. При варьировании параметров параметр критической нагрузки РКр увеличился в 1.2 pasa, параметры k¿ сильно изменились; к^ = 1.4485, icg «= 0.5515, нагрузка по ярусам перераспределилась Р^ = 0.8S70 Ркр, Р^= 0.5515PKj

Продольная сила в нервом яруса возросла в 1.7 раза, а во втором уменьшилась во столько же раз. Задача определения максимума суммарной узловой нагрузки другая, так как условие устойчивости показывает, что ое надо сосредоточить в первом ярусе. На графике четко выявляется область экстремума PRp. Б области экстремального решения РКр мало изменяется с изменением к^ в пределах 1.3-1.65, При варьировании параметров n¿ параметр критической нагрузки ува-яичился в 1.166 раз, параметры tit равны= 1.3, 0.7. В области экстремального решения РКр мало изменяется с изменением >4 в пределах 1.1-1.5.

Ери варьировании параметров m¿ параметр критической нагрузки Ркр увеличился незначительно - в 1.046 раз, параметры /и; существенно изменились и стали равны: = 0.7, = 1.3. В области экстремального решения РКр мало изменяется с изменением в пределах 0.5-1.1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Приведенный обзор современного состояния теории расчета стержневых систем, ее методов и алгоритмов численной реализации, а так

i

se выполненные исследования автора по их расчету с учетом фнзичев* -кой и геометрической нелннейностей позволяют сделать следующие 'выводы:

1/ при расчете стержневых систем приходится решать три основные

'прблемы : ы/ получение системы уравнений; б/ ее решение; в/ формализация расчетов па ЭВМ;

2/ при расчете линейных систем решение указанных проблем проще осуществляется по МКЭ в форме метода перемещений; 3/ линейная система уравнений смешанного типа при статически оп~ ределжмой"основной системе" мозет быть решена по нескольким вариантам, что свидетельствует о различных алгоритмах расчета одной и той же конструкции;

4/ при расчете физически нелшеЗшзх Спетом необходимо следить sa величиной деформаций и ЕЫбнрать модель сечения без разрушения ила с разрушением, баз изменения размеров соченпя или ci ксмспсниом; 5/ при расчете физически нолипеЗвнх систем по МКЭ в v.-pto катода перемещений приходится сталкиваться с большими трудностями : а/ нельзя-подобрать luiacc функций перемещений пригодных д?-гя описания напряззнно-дсфорлирован;шх состояний на различные стадиях; б/ необходимо перестраивать систему уравнений на различию; этапах с появлением шарниров пластичности; в/ сгуиетшо сетки разбиения в 'зоне концентрации деформаций приводит к резкому росту- порядка системы уравпemu'î; г/ увеличение чнеда элементов яри 6олг-епх деформациях приводит к плохообусловнеппыи системам; 6/ для расчета физически нелинейных систем на различных стадиях лучше всего подходит смешанная форм МКЭ со статически определимой "основной системой";

7/ учет физической нелинейности при больших деформация:: неизбежно приводит к необходимости учета и геометрической нелинейности; 8/ введение ограничений по деформациям резко сокращает затраты машинного времени при проследквалЕИ образования пластических шар-пиров или наступлении предалышх состояний в опасных сечениях; 9/ опредф^ние осевой деформация и кривизны по задапнш внутренним силам в сочепш: с учетом физической нелинейности матергага яаля-отся пеейходгмой частью расчета,* сьязаяпой с форляроЕаййсм-матри-

цд податливостей конструкции;

10/ разработан надекный и удобный алгоритм определения напряженно-деформированных состояний сечения на различных стадиях с двусто- ¡ ронними оценками точности вычисления усилий и деформаций; 11/ разрешающие уравнения смешанной формы МКЭ в расчетах геометрически нелинейных систем могут быть записаны в двух вариантах - в форме приращений усилий и перемещений в уравнениях равновесия и перазрывностой или в форме полных усилий к перемещений, но с выделением "жестких" смещений и добавления геометрических уравнений; 12/ на осново анализа структуры уравнений смешанного типа разработан алгоритм численного расчета кинематической цепи в форме метода начальных параметров;

13/ разработан способ описания геометрии кривой по заданным деформациям в расчетных сечениях не-:вдаваясь, в причини.их появления с приложением его к расчету стержней,-нитей, цепей; 14/ полная система уравнений смешанной формы ЫКЭ состоит из уравне ний равновесия для деформированной схемы, уравнений неразрывносгей с выделением "жестких" смещений, геометрических, ограничений по прочности и деформациям?

15/ в зависимости от стадии напряженно-деформированного состояния используется только часть полной системы уравнений смешанного тшк 16/ способы решения системы уравнений нелинейных конструкций для каадой стадии напряженно-деформированных состояний различны; 17/ предложены'варианты деформирования конструкций в запредельной стадии: а/ при постоянных пластических моментах в сечениях и неменяющейся нагрузке; б/ при постоянной нагрузка с изменяющимися пла< тическимн моментами в сечениях;

18/ исследование механизма с одной степенью свободы целесообразно вести путем задапия "жесткого" поворота или смещения одного элеме! та и отыскания других параметров из системы уравнений; 19/ решение нелинейной системы уравнений ведется итерационно путе!

¡опрзделения усилий по деформированной схемо предыдущего приближения, если конструкция не является механизмом; 20/ способ описания геометрии кривой по заданным деформациям и способ определения деформаций в сечении по заданным внутренним, си» лам являются составной частью эффективного алгоритма расчета стерт гшей о учетом фпзгчаспой а геометрической иалинейноотбй; 21/ рачработаншо алгоритма позволили проследить кинетику насря-яешкьдофоршроЕашшх состояний конструкций на различных стадиях, включая иохалгоглн о пластическими шарнирм,ш; 22/ оптимизация статических п геометрических параметров в задачах устойчивости позволяет повысить параметр критической нагрузки без увеличения расхода материалов;

23/ ропоте глногопараиотрическлх задач устойчивости стерзсновых систем, предлозопо сводить к однопараметряческим о разработкой алгоритмов решэзая задач трах типов;

24/ в области оптдаалъяого решения существенное изменение статических а гзоцотрзчоскох параметров но приводит к 'существенному изменению параметра критической нагрузки.

Таким образам результаты диссертации дают возмоаность квалифицировать се как рошонна крупной научной проблему имеющей вааноэ народпо-хозяйствэдпоэ значенное

Ссттовпсо сопошант? ттссортатти, опубликовано в работах:.,

1. Покровский A.A. Численный метод рекония нолшшйпнх'дафферепца-алышх уравнений о поремоштиа коэффициентами, описывающих плоской изгиб стсрзней. - ЦИШ1С, НТЛ, Строительство я орх-ра, разд.Б, внп. 7, 1976,- 6о. '

2, Покровский АЛ. Истод конечных элементов в расчетах гибких нитей и плосхсгт кптоиа C-CTCJJ. «• ЦЙНИС, НТЛ, Строительство и арх-ра, разд. Б, Elm, 1, 1577.- 7с.

3. Покровский A.A. О перспективах развития структурных конструкций из железобетона и пластмасс. ЦИНИС, HTJÜ, Строительство к арх-ра, разд. Б, вып. 1, 1977.- 7с.

4. Покровский A.A. Численная геометрия плоской кривой и ее применение в расчетах гибких стержней н стержневых систем на температуру. ЦИНИС, НТ1, Строительство и арх-ра, разд. Б, вып. 6, 1977.-7С.

5. Покровский'A.A. Устойчивость стержня из разномодульных материалов. ЩШИС, НТД, Строительство и арх-ра, разд. Б, вып. 6, 1977,-Бо.

6. Покровский A.A. Метод конечных элементов в расчетах гибких стержней на упругом основании. - Известия вузов. Стр-во и арх-ра. JS 4, 1978.- с. 35-38.

7. Покровский A.A. Геометрические соотношения конечного элемента

и их применение к расчету гибких стершей и стерановых систем. - . Прикладная механика, том Х1У, J5 7, 1978.- с. 104-107.

8. Покровский A.A. Численный метод расчета дваэды нелинейных стержневых систем различного назначения. - Строит, механ. и расчет сооружений, & 1, 1980.- о. 36-40..

9. Покровский A.A. Расчет пространственной кинематической цепи.-Пензенский ВДТИ. Информацион, листок ß 71-65.

10. Покровский A.A. Способ решения щюхообусловленных систем линейных алгебраических уравнений. - Пензенский ДНТИ. Информацион. лио-ток & 103-65.

11. Покровский A.A. 1Синетика напряжений и деформаций в точках сечо-шш стержня на различных стадиях деформирования.// Численные метода рашшаш задач строительной механики, теории упругости и рластич-ности. Тезисы докл., 1990.- с. 117-119.

12. Покровский A.A. Устойчивость и оптимизация стержневых систем с варьцрушыми параметрами.// Вопросы оптимального проектирования конструкций и раочет юс рационального усиления. Тезисы докл.,1990.-о. 11*43.