автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель шарнирной стержневой системы при больших перемещениях

Введение.

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ШАРНИРНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ.

1.1 Условия совместности деформаций.

1.2 Граничные условия.

1.3 Математическая модель шарнирной стержневой системы.

1.4 Ограничения на предлагаемую математическую модель.

1.5 Доказательство полноты системы уравнений.

1.6 Выбор решения.

1.7 Определение геометрического места точек решения системы

1.8 Сопоставление математических моделей.

Задача о расчете шарнирных стержневых конструкций насчитывает несколько веков. Методы расчет статически определимых ферм известен еще с 19 века - это метод Кремоны, метод Риттера, способ вырезания узлов и т.д. Метод сил, метод перемещений, смешанный метод применяют для расчета статически неопределимых стержневых систем. С появлением ЭВМ и применением их для расчетов конструкций метод конечных элементов (МКЭ) позволил решать этот класс задач быстро и точно. Новые методы разрабатывались в соответствии с новыми потребностями. Со временем увеличивается разнообразие конструкций и области их применения. Шарнирная стержневая система представляет собой расчетную схему таких стержневых конструкций как фермы, ванты, различные висячие конструкции. На сегодняшний день актуальными являются задачи расчета на нагрузки выше критических, поведения конструкции в экстремальных условиях, при больших перемещениях узлов, появляются новые виды конструкций. Достаточно полно охарактеризовал современное состояние теории стержневых систем А.В.Хечумов в /90/: "Специфика деформирования стержневых систем такова, что в настоящее время нет общепринятой теории их расчета, хотя частные задачи разработаны достаточно подробно, например в /20, 30, 33, 34, 44, 60, 61, 86, 93, 96/".

Среди многочисленных исследований по механике стержневых систем можно выделить два главных направления /53, 109/. Первое объединяет работы, связанные с изменением и развитием традиционных методов сил и перемещений, конечно-разностных и других методов, позволяющих учитывать индивидуальные деформационные свойства элементов системы в полной мере. Второе - работы, в которых реальная стержневая система 6 иным способом сводится к соответствующей континуальной конструктивно - анизотропной модели /70/.

Если говорить о численных расчетах стержневых систем и их программных реализациях, то в настоящее время практически повсеместно применяется МКЭ. При рассмотрении уравнений, на которых базируется МКЭ, видно отражение двух направлений в исследовании стержневых систем. Так, часть программных комплексов реализует МКЭ на базе технической теории малых перемещений в описании напряженно-деформированного состояния (НДС), при переходе к глобальным координатам и формировании матрицы жесткости учитываются "жесткие" смещения /28/. Уравнения получаются линейными относительно приращений перемещений. Профессор Н. Н. Шапошников предлагает /21/, плоские геометрически нелинейные стержневые системы рассчитывать, исходя из линейных уравнений строительной механики для стержня.

Второе направление в расчетах стержневых систем использует МКЭ в основе, которого положена нелинейная теория механики деформируемого твердого тела, и система уравнений формируется для всего объекта, как, например, в /3/, уравнения получаются нелинейные.

Разнообразие предлагаемых приемов очень велико, рассмотрим некоторых из них.

Так, в семидесятых годах Л. А. Розин занимался автоматизацией метода сил /67,68/, проблема автоматизации связана с неоднозначностью выбора основной системы /1, 67, 92, 94, 101/, которая определяется особенностями метода сил. Матрица податливости зависит от способа анализа уравнений равновесия, к тому же элементы матрицы расположены хаотично, поэтому необходимо хранить информацию о матрице уравнений равновесия в узлах системы, в то время как элементы матрицы жесткости кон7 струкции в методе перемещений определяются нумерацией узлов системы. К преимуществам метода перемещений относятся удобные в вычислительном смысле свойства матрицы жесткости: она является положительно определенной, хорошо обусловленной, слабо заполненной, ленточной. В виду этих преимуществ промышленные программные комплексы для расчета стержневых систем, как правило, применяют метод конечных элементов на основе уравнений метода перемещений.

В. В. Лалин в работе /36/ предложил иной алгоритм, в котором строится матрица совместности деформаций отдельных контуров стержневой системы. Однозначное определение структуры матрицы податливости нумерацией статически неопределимых контуров позволила избежать анализа уравнений равновесия узлов системы. Более подробно уравнения совместности деформаций контуров, описанные в работе /36/, рассмотрим позже, здесь же отметим, что работы /8 - 10, 36 - 38/ максимально приблизили метод сил к методу перемещений по конкурентоспособности при расчетах на ЭВМ.

Ведутся исследования по расчету стержневых структур ферменного типа в работах /69, 71, 72/ (И. Ф. Образцовым, JI. С. Рыбаковым, И. В. Мишустиным) была предложена методика построения строгих замкнутых линейных теорий упругого деформирования плоских регулярных ферм и тонкостенных стержневых систем ортогональной структуры. «В основе ее лежит метод склейки в версии, предполагающий членение изучаемой упругой системы на наименьшие элементы, поэлементный анализ их механического поведения и постановку геометрических условий сопряжения всех этих элементов. Каждая из упомянутых теорий описывается функциями дискретных аргументов и справедлива для упругой системы вполне конкретной структуры. . Определяющие соотношения теории сформированы 8 в терминах узловых смещений, полных удлинений и начальных усилий стержней и представлены статическими, физическими и геометрическими уравнениями, включая уравнения совместимости полных удлинений стержней, образующими в своей совокупности совместную замкнутую систему уравнений в частных разностях. . даны альтернативные постановки задач" /53/.

В рассмотренных выше работах предлагались новые усовершенствования методов расчета статических линейных задач расчета ферм, в них не упоминается нелинейный анализ; однако прослеживание изменения НДС необходимо, так как "позволяет усовершенствовать проектирование и дает экономический эффект за счет меньшего расхода материалов. Поэтому так важен геометрически и физически нелинейный расчет стержневых систем" /90/.

Поскольку в упругопластической стадии деформирования конструкция ведет себя сложным образом, то это ведет к изменению расчетной схемы и неустойчивости или расхождению итерационного процесса при расчете по методу перемещений. Поэтому Р. А. Хечумов и А. А. Покровский предложили смешанную форму М?СЭ, в сравнении со смешанным методом профессора А. А. Гвоздева /15/ он обладает рядом преимуществ, однако как отмечается авторами их смешанная модель имеет следующие недостатки: "усложнение процесса формализации получения разрешающих уравнений; необходимость выбора "основной системы"" /90/. Строго говоря, к недостаткам можно отнести также то, что "геометрические уравнения составляются в предположении малости перемещений" /90/.

Уравнения методов первого направления справедливы для линейного закона зависимости напряжений от деформаций, то есть физически линейных задач, а для пластической зоны деформации и нелинейноупругих ма9 териалов используется линеиная математическая модель и метод последовательного нагружения. При выводе всех рассмотренных методов оговаривалось, что вывод справедлив только для малых перемещений, следовательно, для больших перемещений требуется доказательство применимости и итерационный процесс или метод последовательных нагружений.

Иллюстрацией исследований в области континуальных задач может служить работа /27/, в ней рассмотрен вариант учета геометрической и физической нелинейности деформаций.

Учет геометрической нелинейности, то есть нелинейности вектор-функции F(r, q), которая определяется геометрическими соотношениями типа Коши и функцией формы в соотношениях: £(r) = F(r, q), или в диф ференциальной форме: dt = В (г, q) dq, где £ - вектор, составленный из компонент тензора деформаций, г - радиус вектор точки тела, q - вектор обобщенных узловых перемещений, В = dF(r,q)/dq представляется в виде B(q)=B0+Bj(q). На F(q) накладывается условие квадратичной нелинейности. Матрица В0 определяет геометрические соотношения при бесконечно малых деформациях, Bi - линейная однородная форма компонент вектора п

1- Buj = . к=1

Физическая нелинейность, то есть упругопластическое деформирование материала, учитывается с применением теории течения, тогда получаются соотношения между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций: d(Jx dcTy =ED: dsy dyXy D р

1 + v

1-v а 2 l-2v 5 t t

V G xG у l-V l-2v

7 T x xy l-2v S 2

---7Г- 2 S

10

Эти выражения для матриц, описывающих упругопластическое поведение материала в рамках теории пластического течения и ассоциированного закона текучести, получены также в /111, 112/. Из сказанного видно, что при подобном подходе решение задачи значительно усложняется.

Анализ программ расчета стержневых систем показывает, что:

1) основой метода является МКЭ на базе метода перемещений;

2) в новых версиях программ расширяются возможности физически и геометрически нелинейного расчета.

В сопровождении программы MsCNASTRAN for Windows есть запись " An advancing scheme is a strategy used to apply loading in a logical and controlled manner. Advancing schemes are used as a part of a strategy to obtain an efficient, numerically stable solution. The most common advancing scheme is the application of loads or enforced displacements in equal increments. The magnitude of the load or displacement increment is important, especially when small values of load or displacement cause a large change in response. The number of increments in a load step is a user defined parameter in the nonlinear solution definition." (пер. с англ.: Переменная схема - это стратегия, использующая приложение нагрузки логическим и управляемым способом. Переменная схема используется как часть стратегии, чтобы получить эффективное, в цифровой форме устойчивое решение. Наиболее об-щая(обычная) схема изменения - это приложение нагрузок или начальных смещений в узлах с равными приращениями. Величина нагрузки или приращения смещения важна, особенно, когда маленькие значения нагрузок или смещения вызывают большое изменение в результате. Величину приращений в шаге нагрузки пользователь определяет параметром при нелинейном анализе схемы.). То есть в случае неудовлетворительной скорости

11 сходимости расчета в методе последовательного нагружения изменить шаг нагружения.

Поиски усовершенствованных подходов к расчету ведутся по направлению усложнения уравнений и методов. Поставим вопрос иначе: может быть изменить математическую модель шарнирной стержневой системы? То есть искать иные условия совместности деформаций, поскольку усложнение решений связано с применением существующих условий совместности деформаций за пределами физической и геометрической линейности. Нашей исследовательской группой предпринята попытка замены уравнений совместности деформаций на более' универсальные, в смысле не ограниченности физической и геометрической линейностью. Поиски велись в области геометрических соотношений, справедливых для любого этапа нагружения, независимо от величины перемещения узлов и за пределами линейной упругости вплоть до потери устойчивости стержня.

В работе сформулировано условие совместности деформаций исходя из анализа замкнутых контуров. Ранее на соотношения в контурах обратил внимание только В. В. Лалин в /8-10, 36-38/. Он для статически неопределимого контура выбирает некоторую произвольную точку и соединяет ее со всеми вершинами контура. Затем для этого контура записывает уравнения совместности деформаций е\ = 0 /37/, выражающие мысль о том, что "алгебраическая сумма деформаций в любом статически неопределимом замкнутом контуре равна нулю", здесь следует иметь в виду, что определение понятия деформаций, данное в /37/, отличается от классического /21/.

В /24/ сформулировано иное условие совместности деформаций. Суть работы состоит в следующем. Основой геометрически неизменяемой шарнирной стержневой системы (в том смысле, что она не является механизмом) является элемент, состоящий из стержней, соединённых шарнирами в

13 где кУ-число стержней, сходящихся в узле, Ргвектор внешней нагрузки в узле.

Именно это условие совместности деформаций и уравнения, полученные на его основе, были исследованы и дополнены в данной работе. Вся терминология в данной работе общеприйятая /21/.

Целью работы является формулирование универсальной математической модели шарнирной стержневой системы, позволяющей учитывать физическую нелинейность и большие перемещения узлов. Для достижения цели ставились следующие задачи: сформировать новую математическую модель, на базе новых условий совместности деформаций, доказать полноту полученной системы уравнений, определяющей математическую модель шарнирной стержневой системы; исследовать работу математической модели за пределами линейных закономерностей: физических, геометрических и определений деформаций; ? провести эксперимент и сравнить его результаты с результатами расчетов по существующей и предлагаемой математической модели; вывести новые условия совместности деформаций для трехэлементного контура шарнирной стержневой системы, исследовать взаимную независимость уравнений условий совместности деформаций для замкнутого контура; разработать методику применения математических моделей к расчету конструкций (формализовать расчет), составить алгоритмы и создать комплекс программ на базе полученных моделей; исследовать погрешности расчета; в качестве практического применений рассчитать конструкцию, применяемую в народном хозяйстве.

14 >

Применение и практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы расчета и комплекс программ могут быть применены для расчета безмоментных конструкций, в том числе с большими перемещениями узлов и с учетом физической нелинейности без использования метода последовательных нагружений. Получено два свидетельства о регистрации программ. Рассчитано гидробиотехническое сооружение.

Краткое содержание диссертации

В главе 1 сформулированы математическая система уравнений и исходные условия задачи расчета конструкции. Доказана полнота полученной математической модели, поскольку'решение не единственно, то предложен критерий выбора частного решения; определена геометрическая область решений системы уравнений. Проведен анализ теорем и методов расчета классическим и новым методом, из чего сделан вывод о месте новой математической модели при расчете нелинейных задач шарнирных стержневых систем.

В главе 2 новая математическая модель применена для нелинейных задач расчета безмоментных стержневых систем - это задачи физической нелинейности, геометрической нелинейности и логарифмического закона деформирования, описан эксперимент. В первой части главы показаны отличия в геометрических условиях совместности деформаций в классической и предлагаемой постановке. Во втброй части главы для случая физической нелинейности показано преобразование математической модели, , приведены примеры расчета и графики зависимости усилий в стержнях шарнирной стержневой системы от приложенной нагрузки, как для линейной, так и нелинейной зоны деформации. В третьей части - математическая модель преобразована для логарифмического закона деформирования как для линейной зависимости напряжения от деформации, так и нелиней

15 ного. В четвертой части рассмотрен эксперимент, иллюстрирующий возможности и преимущества новой математической модели. Исследована висячая конструкция с резиновыми тросами в качестве основных несущих элементов с упруго-нелинейной характеристикой материала. В процессе нагружения перемещения узлов были сопоставимы с размерами конструкции в целом, а деформации стержней более 50%.

В главе 3 проводится анализ возможности получения новых условий совместности деформаций для трехэлементного замкнутого контура. Приводится вывод новых условий совместности деформаций и соответствующих им систем уравнений. Оказалось, что многие соотношения в треугольнике могут служить для этой цели. Приводится вывод соотношений с использованием теоремы косинусов в первой части, теоремы синусов - во второй и теоремы о проекциях - в третьей, в первой части рассмотрен пример расчета. Для математических моделей из второй и третьей части проведена формализация и разработаны алгоритмы расчета, реализованные в программном комплексе. В третьей части главы приводится доказательство линейной зависимости уравнений математической модели, полученной из теоремы о проекциях для треугольника и математической модели из гл. 1, таким образом для любого контура двумерной задачи можно записать только два линейно-независимых уравнения (для пространственной конструкции - три уравнения). Поскольку все соотношения для треугольника выводимы друг из друга, то это заключение распространяется и на них. Далее подробно рассматривается только модель из гл. 1.

В главе 4 проведена формализация расчета фермы с привлечением теории графов, что позволило математическую модель гл. 1 записать в матричной форме. При разработке метода расчета на ЭВМ была принята концепция МКЭ разбиения конструкции на конечные элементы - стержни, и в

16 соответствии с ними формируются матрицы коэффициентов и вектора неизвестных. Так как исходная математическая модель нелинейная, то в качестве численного метода расчета принят метод Ньютона. Приведен алгоритм расчета шарнирной стержневой системы, подробно рассмотрен пример расчета конструкции.

В главе 5 приведен пример практического применения математической модели - рассчитано гидробиотехническое сооружение (ГБТС) на прочность и жесткость, а так же определена для него критическая сила, вызывающая потерю несущей способности ГБТС и коэффициент запаса в условиях эксплуатации, дана практические рекомендации по выбору форме конструкции.

В приложении в виду того, что в предлагаемой модели снимаются ограничения на геометрическую линейность, приведен иллюстративный пример расчета конструкции со стержнем со значительно меньшей жесткостью, чем у остальных стержней, что вызывает большие перемещения узлов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения, изложенных на 143 машинописном листе. В работе 39 рисунков и графиков и 11 таблиц. Применяется двойная нумерация формул, рисунков и таблиц; первая цифра указывает номер главы.

Заключение

В представленной работе исследована новая математическая модель шарнирной стержневой системы при больших перемещениях узлов, позволяющая непосредственно учитывать различные виды физической нелинейности. Доказана ее полнота; поскольку решение аналитически не единственно, предложен способ выбора физически реализуемого решения.

В виду отсутствия ограничений в рассматриваемой математической модели линейными законами, так как при ее выводе не применялся принцип суперпозиции и геометрические ограничения, показана работоспособность модели в областях физической нелинейности, геометрической нелинейности, логарифмического закона деформации; проведено преобразование математической модели для соответствующих задач.

Проведен натурный эксперимент, bs экспериментальной конструкции происходили большие перемещения узлов, сопоставимые с размерами самой конструкции, а характеристики материала были упруго-нелинейными, к тому же в ходе нагружения происходило значительное изменение площади поперечного сечения стержней, деформации достигали 70%.

Результаты расчетов подтверждаются проведенным экспериментом и были получены без использования метода последовательных нагружений, в отличии от МКЭ.

Показана возможность выработки новых условий совместности деформаций на базе тригонометрических соотношений углов и сторон треугольника. В целом исследована возможность формулировки условий совместности деформаций, исходя из соотношений в замкнутом контуре. i

Найдено несколько принципов построения условий совместности деформаций, однако в работе установлено, что существует линейная зависимость этих уравнений для одного контура: можно использовать совместно только

125 два уравнения для двумерной задачи (и три для пространственной), составленных по любому из принципов (или два принципа могут использоваться совместно, но каждый участвует в системе только одним уравнением).

Неограниченность новых математических моделей линейными законами предполагает широкие возможности их применения, например, задачи о расчете шарнирной стержневой системы, имеющей стрежни в виде пружин, гидроцилиндров и т.д.

Для применения новой математической модели при расчетах шарнирных стержневых систем выполнена формализация и алгоритмизация методов расчета; а так же в процессе исследований создана программная реализация рассматриваемых методов.

Сформулирована матричная запись новой математической модели, что позволило формализовать расчет, составлены алгоритмы расчета без-моментной конструкции на прочность и жесткость.

Разработан комплекс программ, получено два авторских свидетельI ства на программу «Ферма» и «Графический редактор "ГРАФ"».

В качестве примера практического применения рассчитано подводное гидробиотехническое сооружение, представляющее собой тросовую систему.

Из изложенного следует, что математическая модель, которой посвящена работа, применяемая при больших перемещениях узлов и позволяющая учитывать физическую нелинейность, найдет широкое применение в расчетах шарнирных стержневых систем.

1. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. -М.: Стройиздат, 1983. -488с.

2. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов./ Перевод с англ. А.С. Алексеева и др.; Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1982. - 447с.I

3. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Исследование обусловленности матриц податливости жесткости статически неопределимых стержневых систем.//СПбГТУ.-СПб. -1998. -34с.:ил. -Деп. в ВИНИТИ 06.03.98. № 660-В98.

4. Вертинский А.В. и др. Строительная механика и металлические конструкции: Учебник для вузов по спец. «Подъемно-транспортныеимашины и оборудование» /А.В.; Вершинский, М.М. Гохберг, В.П.Селинов. JL: Машиностроение, Ленингр.отд-ние, 1984. - 231с.,ил.

5. Воронков И.М. Курс теоретической механики. (Для вузов) Изд-е 13-е. М.: Физматгиз, 1966. 596с.

6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Физматгиз. 1959.-783с.

7. Гвоздев А.А. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем. -М.: МИИТ, 1927. -97с.

8. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: ФМ, 1961. 228с.

9. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек.// -М.:ВИНИТИ.-1973. Т.5.-292с. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. -М.: Высш. шк, 1986. 608с.

10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. /Под ред. Демидовича. -изд. 2-е, испр. М.: ФМ, 1963. - 660с. Дорохов А.Н. унифицированный способ расчета стержневых систем. - М.: Стройиздат, 1981. - 164с., ил.

11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541с.

12. Зуев Н.Н., Князев Э.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элемен-тов.//Изв. РАН. МТТ. 1997. №6. С. 136-147.

13. Зылев В.Б. Соловьев Г.П. Алгоритм расчета плоской стержневой системы в случае больших перемещений // Строит, механика и расчет сооружений.-1980. -№5. -С. 35-38.

14. Ильин В.П. и др. Численные методы решения задач строительноймеханики: Справ.пособ./В.П. Ильин, В.В. Карпов, A.M. Масленникоfва. Минск: Вышэйш. шк., 1990. - 349с., ил.129 f

15. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. -Киев.: Наукова думка, 1979.-16с.

16. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. /Пер. с бол г. Т.Д. Караманского, Под ред. Т.К. Клейна. М.: Стройиздат, 1980. 434с., ил.

17. Кац А.С. Расчет неупругих строительных конструкций. JT.: Стройиздат, 1989. - 168с., ил.

18. Качурин В.К. Гибкие нити с малыми стрелами. М.: Гостехиздат, 1956.-224с.

19. Кирсанов Н.М. Висячие системы повышенной жесткости. М.: Стройиздат, 1973. - 112с. ■

20. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами: Учеб. Пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987, 224с. Мацелинский Р.Н. Статический расчет гибких висячих конструкций. -М., Л: Стройиздат, 1950. - 192с.

21. Метод конечных элементов в статике сооружений. /Я. Шмельтер, М.

22. Дацко, С. Доброчинский, М. Вечорек; Пер. с пол. М.В. предтеченIского; под ред. В.Н. Сидорова. М.: Стройиздат, 1986. - 220с., ил. Наместников В. С. Метод перемещений в задачах ползучести. //Вестн. машиностр. - 1998, N 4. - С. 11-14.

23. Наместников В. С. Метод перемещений в теории ползучести. //Моск. гос. акад. приборостр. и информат. М. - 1997. - 16 е. - Деп. в ВИНИТИ 01.09.97, N 2781-В97.

24. Наместников В. С. Метод сил в задаче ползучести. //Изв. РАН. Мех. тверд, тела (бывш. Изв. АН СССР). Мех. тверд, тела. 1998, N 2. - С. 139-145.

25. Нефедов B.H., Осипова Р.А. Курс дискретной математики: Учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1992. - 264с.: ил.

26. Носов А. К., Кривошеин И. В., Петрунина Е. А. К исследованию влияния локальных повреждений на устойчивость стержней и рам. //Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов. - 1997. - 27 е.: ил. - Деп. в ВИНИТИ 25.12.97, N 3771-В97.

27. Обен Ж-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. /Пер. с англ. Б.С. Дарховского, Г.Г. Магарил-Ильяева; с предисл. В.М. Тихомирова. М.: Мир, 1988. - 510с.: ил. f

28. Образцов И.Ф., Рыбаков J1.C., Мишустин И.В. О методах анализа деформирования стержневых упругих систем регулярной структуры.// ИПРИМ РАН. Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т.2. №2. С. 3-14.

29. Оре О. Теория графов. /Пер. с англ. И.Н. Врубельской; Под ред. Н.Н. Воробьева. 2-е изд., стериотип. - М.: Наука, 1980. - 336с., ил.

30. Петров М.Р., Петрова А.Н. Жеребко К.В. Метод узловых координат в теории ферм. //

31. Петров М.Р., Петрова А.Н. Жеребко К.В. Непосредственное моделирование ферменных конструкций электрическими схемами. //

32. Петрова А.Н., Петров М.Р. Ферма // Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2000610522, Российское агентство по патентам и товарным знакам. М., 19.06.2000.

33. Петрова А.Н. Графический редактор "ГРАФ" // Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2000611287, Российскоеf

34. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней.-Л.-М. :Гостехиздат, 1948.-178с.

35. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней.-М.:Наука, 1986.-294с.

36. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. М.:Госстройиздат, 1960. 519с., ил.

37. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-711с.

38. Ред. Журавлев А. А. Легкие строительные конструкции: Сб. науч. тр. /Рост. н/Д гос. акад. стр-ва. Ростов н/Д: Изд-во Гос. акад. стр-ва. -1996,- 116 с.

39. Ржаницин А.Р. Строительная механика: Учеб. пособие для строит, спец. вузов. 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1991. - 438с., ил. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. - 128с.

40. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. -Л.: ЛГУ, 1976.-232с.

41. Рыбаков JT.С. Упругий анализ плоской прямоугольной панели с регулярно-ортогональной системой стрингеров.// Вестник МАИ. Т.З. №2. С. 66-71.

42. Свентиков А. А., Бахтин В. Ф. Конструктивно-нелинейный расчет висячих стержневых систем. //Изв. вузов. Стр-во. 1998, N 6. - С. 1417.

43. Стружанов В. В., Жижерин С. В. Деформирование и разрушение стержневых систем с разупрочняющимися элементами. //Ин-т машиновед. УрОРАН. Екатеринбург. - 1997. - 18 е. - Деп. в ВИНИТИ3006.97, N2162-B97. /

44. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов:Учеб. для вузов. 9-е изд. Перераб. М.: Наука, 1986. - 512с., ил.

45. Филин А.П., Тананайко О.Д., Чернева Н.М., Шварц М.А. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем.-М.: Стройиздат, 1983 .-232с.

46. Шварц М.А., Тананайко О.Д. Алгоритмы построения разрешающих систем уравнений для расчета стержневых конструк-ций.//Строительная механика и расчет сооружений. -1978. С. 25-30.

47. Шимановский В.Н., Смирнов Ю.В., Харченко Р.В. Расчет висячих конструкций (нитей конечной жесткости). Киев.: Буд1вельник, 1973.-200с.

48. Шулькин Ю.Б. Теория упругих стержневых конструкций. -М.: Наука, 1984. -272с.

49. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции. Справочник для поступающих в вузы. Киев.: Изд-во «Наукова думка», 1971. - 479с.

50. Antman S.S. The theory of rods.-Hand Phys., 1972.-6,a/2. S 641-703.

51. Canfield S. L., Soper R. R., Reinholtz C. F. Velocity analysis of parallel manipulators by truss transformations.// Mech. and Mach. Theory 1999. - 34, N 3. - C. 345-357.

52. Efthymiou M., Van de Graaf J. W., Trpmans P. S., Hines I. M. Reliability-based criteria for fixed steel offshore platforms. //Trans. ASME. J. Offshore Mech. and Arct. Eng. 1997. - 119, N 2. - C. 120-124.

53. Gaul L., Lenz J., Sachau D. Active damping of space structures by contact pressure control in joints. //Mech. Struct, and Mach. 1998. - 26, N 1. -C. 81-100.

54. Haslach Henry W. (Jr.). System parameter adaptive control of a spring supported truss member. //J. Vibr. and Contr. 1995. - 1, N 1. - C. 93113.

55. Hudli A. V., Pidaparti R. M. V. Analysis of truss structures using distributed object-oriented methods. //Comput. Mech. 1996. - 18, N 4. - C. 314-320.136

56. Kolakowski Przemyslaw, Holnicki-Szulc Jan. Sensitivity analysis of truss structures (virtual distortion method approach). //Int. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 43, N 6. - C. 1085-1108.

57. Lu Gang, Lu Feng, Li Junbao, Zhang Jinghui. Design guidelines of truss structures for damping control. //Zhendong gongcheng xuebao = J. Vibr. Eng. 1998. - 11, N2. - C. 144-151.

58. Patnaik S.N., Joseph K.T. Generation |of the Compatibility matrix in the integrated force method //Сотр. Meth/ appl/ mech. And ehg., 1989, V. 55, № 3, p. 239-257.

59. Pielorz A. Nonlinear discrete-continuous models in dynamic investigations of plane truss members. //Eng. Trans, бывш. Rozpr.inz.. 1997. -45, N l.-C. 133-152.

60. Sherman D/R/ Latticed structures: State of the art report // J. Struct. Div. ASCE. 1976. V. 102. No. ST-1.P.2197-2230.137

61. Sun Yuping. Restoring force of spatial trusses the multiple broken line model. //Gansu gongyo daxue xuebao = J. Gansu Univ. Technol. 1998. -24,N4.-C. 84-88.

62. Tin-Loi F., Xia S.H. Elastoplastic analysis of spase trusses considering the effects of large displacements and softening. //Mech. Struct, and Mach. 1998. - 26, N 4. - C. 423-441.

63. Ymada Y., Yoshimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic plastic problems by the finite element method // Intern. J. Mech. Sci. 1968. V.10. N 5. P 343-354.

64. Zienkiewicz O.C., Valliappan S., King I.P. Elasto-plastic solutions of engineering problems, initial-stress, finite element approach // Intern. J. Num. Meth. in Ing. 1969. V. 1. N 1. P. 75-100.138