автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение метода электромеханических аналогий для математического моделирования шарнирно-стержневых систем

Введение.

ГЛАВА 1. СОПОСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ТЕОРИИ

ШАРНИРНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.

1.1 Анализ и дополнение системы аналогий между параметрами электрических цепей и шарнирных стержневых систем.

1.2 Моделирование шарнирных стержневых конструкций с использованием контурного условия совместности деформаций как аналога второго закона Кирхгофа.

1.3 Электротехническое моделирование шарнирных стержневых систем при физической и геометрической нелинейностях.

ГЛАВА 2. ТЕХНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ШАРНИРНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ.

2.1 Проблемы электротехнического моделирования стержневых систем в физическом эксперименте.

2.2 Вывод критерия подобия между параметрами шарнирных стержневых систем и электрических цепей.

2.3 Вывод масштабных коэффициентов между параметрами стержневых систем и электрических цепей.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В ПРИМЕНЕНИИ К ТЕОРИИ

ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.

3.1 Вывод уравнений метода узловых координат.

3.2 Пример расчета шарнирной стержневой конструкции методом узловых координат.

ГЛАВА 4. ФОРМАЛИЗАЦИЯ РАСЧЕТА ШАРНИРНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ КООРДИНАТ.

4.1 Формализация метода узловых координат.

4.2 Пример получения уравнений метода узловых координат матричным методом.

ГЛАВА 5. ЭКСПЕРИМЕНТ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ.

5.1 Определение характеристик материала конструкции.

5.2 Описание эксперимента.

5.3 Практическое применение метода узловых координат.

Изучение объектов одной природы (механической, тепловой и так далее) с помощью объектов другой природы (например, электрической), явления в которых описываются сходными уравнениями, называется математическим моделированием. При этом предполагается, что эксперимент на модели можно осуществить быстрее, точнее, с меньшей затратой сил и средств, чем на изучаемом объекте [65]. Модели бывают аналоговые и квазианалоговые (модели непрямой аналогии). Уравнения аналоговых моделей с точностью до постоянных масштабов совпадают с уравнениями объекта. Квазианалоговая модель - это аналоговая модель некоторых других уравнений, из решения которых можно достаточно просто выделить решения уравнений объекта.

В основе электрического моделирования лежит соответствие между уравнениями электрической цепи и уравнениями изучаемого объекта. Это приводит к тому, что при соответствующем выборе параметров модели распределение электрических величин в соответствующей части модели с точностью до постоянных множителей будет совпадать с распределением искомых величин объекта.

Анализ литературы за последние сорок лет показывает, наличие большого количества публикаций по электрическому моделированию (метод аналогий) до начала семидесятых годов и практическое отсутствие подобных работ после. Это связано с бурным развитием вычислительной техники и предназначенных для нее численных методов. Наибольшее развитие получил метод конечных элементов и сейчас он является лидирующим. Всесилие и экономическая целесообразность численных методов привело к невостребованности методов физических аналогий. Оказалось легче и проще численно решать задачи любой сложности на компьютере. То есть вместо аналоговых и квазианалоговых устройств, предназначенных для решения уравнений исследуемого процесса, экономичнее оказались численные модели в компьютере.

Однако в настоящее время некоторые научные организации применяют моделирование стержневых конструкций электрическими схемами для исследования их на ударную и динамическую нагрузки [57]. Например, в Минской политехнической академии исследуются свободные колебания стержневой системы, не прибегая к решению так называемого векового уравнения, которое усложняется с ростом числа степеней свободы системы. Вместо этого электрической схемой моделируется динамическое уравнение, описывающее свободные колебания. В свою очередь, электрическая схема численно моделируется ЭВМ.

На сегодняшний день, благодаря широкому распространению программных продуктов для моделирования электрических схем, зародилось новое «двойное» электрическое моделирование, когда для механической конструкции сначала составляется моделирующая электросхема, которая в свою очередь моделируется на ЭВМ каким - ни будь программным продуктом.

Есть основания полагать, что аналоговая модель, обслуживаемая современной ЭВМ, позволит в автоматизированном эксперименте получить больше информации о явлении. С другой стороны, физические явления, имеющие одинаковые математические модели с исследуемым явлением, обладают собственным набором аналитических приемов. Перекрестное применение математических моделей приносит пользу в обеих областях. Мало того, программное обеспечение, разработанное для электрических цепей, может оказаться полезными при численном моделировании исследуемого явления.

Существующие методы моделирования стержневых систем электрическими схемами предназначены в основном для моделирования процессов изгиба и кручения стержней, составляющих рамы.

При этом схем-аналогов стержня известно большое количество. Все они основаны на моделировании той или иной системы уравнений стержня при изгибе, растяжении-сжатии и кручении и являются трех- или четырехпо люсными.

В качестве иллюстрации рассмотрим [55] механическую конструкцию (рис.1), ее описание (1,Г)> и схему для моделирования (рис.2). Моделируемой конструкцией в данном случае является трехстержневая шарнирная конструкция. Каждый ее стержень рассматривается как отдельный элемент и определяется четырьмя уравнениями. Уравнения проекций усилий в стержнях 1-3 и 1-2 для левого и правого узлов имеют вид:

EF ?

Nl3 cosa\3 =—j-[(x\ -x3)cos a13 + (уг -y3)cosal3 sinau];

EF 2

NU cosai3=——[~(xi ~x3)cos a13 -(y1 - y3)cosau sinaX3];

EF , (1)

Ni3sinai3 = —j—[(xi - x3 )sina\3cosa\3 + (y\ -y3 )sin a\3];

EF 2

-Ni3sina\3 =—-[-(x\ - x3 )sina\3 cosa\3 -(y\ -y3 )sin a\3];

Для стержня 2-3 проекции усилия N23 на горизонтальную и вертикальную оси определяются следующими уравнениями:

EF ?

N23 cos =-j-[(ХЪ ~ x2 ) cos «23 + (^3 ~ J2 cos «23 sin «23 7/ iiF 2

- 7V23 cosa 23= — [~(x3 ~x2 J cos «23 - Г^3 - У 2 ) cos «23 «23 7/ J

EF 9

TV23 S/W «23 = "у f(x3 ~ x2 ) sin «23 cos «23 + (УЗ ~ У2 ) sin «23 7/

EF 2

- N2з «23 = "у /4x3~x2) sin «23 «23 " (>3 ~ У 2 ) sin «23 7/

Уравнениями связи в блюдут уравнения сумм проекций усилий в узлах конструкции.

Для моделирования уравнений (1, Г) предназначена электросхема (Рис. 2), которая характеризуется уравнениями электрического тока: h =0g + g\)U\ -3gUi ~giU2 +gU3 - gU4/ h =-gUl+(2g + gl)U2 -3gU2-gU3 + gU4/

3 = £^1 -^2 + ("2# + £2Д/3 -g2UA>

4 =-^1 + "#2^3 +(3g + gl)U4 ~3g2U4;

Уравнения (Г) моделируются схемой, уравнения которой имеют вид:

I5 =(lg + g\)U5-2gU5-g]U6-gU7 + gU g / h=-gU5 +(2g + g\)U6 -3gU6+gU7 - gUg / ll =-gU5 + gU6+(2g + g2)U7 -3gU7 -g2Us; 78 = ~gU$ -gU6-g2U7 +(3g + g2)U8 — 3g2Ug/

Считаем, что

EF 2

7/^13 «В/ a13;

12 =Yi(~N 13 cosau); h =YiN 13 sinau;

U =7iNn(~Nn sinau );

U\=yuxi; иъ =ГиУ\'

Для уравнений (2) и (2'): 75 = YiN23 cosa2y,

16 =n(-N2з cosa23); h =n(-N 23 sin a 23 ); h =nN23 «««23/ Ul =ГиУЗ'

EF 2 g2=rg-j-sin a13;

EF g = 7p-cosa\з sina\3; и2=Уихъ; U 4 = УиУЗ>

EF 2 ft^-y-™ «23/

EF 2 g2=7g—l-sln «23/

EF g -y „-cos «23 ^ «23 / Yux2 / = У иУ2 /

Уравнения (2 и 2') эквивалентны уравнениям нормальных усилий системы (1 и Г) . Проводимости схемы-аналога определяют жесткостные характеристики стержня.

Рис. 2

Бросается в глаза то обстоятельство, что электрическая модель получается топологически не подобной исследуемой стержневой системе. Кроме того, если для типовых элементов конструкций существуют электрические аналоги, то для сложных конструкций очень сложно построить электрическую схему. Об этих затруднениях свидетельствует то обстоятельство, что даже для простых конструкций модели регистрируются на уровне изобретений [59].

В работе [66] предлагается классификация, в которой схемы-аналоги стержня подразделены на 2 больших класса, различающиеся видами электромеханических аналогий. В первой системе аналогий моменты моделируются напряжениями, углы поворота и перекоса - токами, погонные жесткости - сопротивлениями. Однако, схемы-аналоги стержня этого класса не получили большого распространения из-за отсутствия наглядной аналогии между расчетной схемой механической системы и схемой электрической модели.

Во второй системе электромеханических аналогий, изгибающие моменты и усилия в стержнях моделируются токами, углы поворота и переноса - напряжениями, а погонные жесткости - проводимостями. Схемы этого класса получили большое распространение в построенных моделях.

Каждая группа, основанная на первой или второй системе аналогий, подразделяются далее на более конкретные системы аналогий.

Общая теория моделирования предполагает, что система уравнений в объекте моделирования и физической модели одинакова, то есть в пределах комплекта базовых понятий, основных и модельных все законы, связывающие эти понятия внутри физической группы, выполняются и идентичны между физическими группами. Пример: моделирование потенциальных течений жидкости электрическим полем [гидромеханика], здесь все соотношения, характерные для потенциальных полей, идентичны в двух физических процессах разной природы.

В нашем случае линейные цепи постоянного тока есть частный случай потенциального электрического поля (линейная задача); для базовых понятий I,(p,R -все возможные законы электрических цепей это частный случай теории потенциалов, это закон Ома и первый и второй законы Кирхгофа. Для моделирования стержневых систем в настоящее время применяется следующая система аналогий:

Табл.1

Механические величины Электрические величины мизг, I,

N, р,и (т-фг),

1/EF G где Мизг- изгибающий момент, N -усилие продольного растяжения -сжатия в стержне / - электрический ток, (р - угол поворота (изгиба), и ~ перемещение узла по одной из осей координат, щ ,(р2 - электрический потенциалы, 1/EF- жесткость стержня, G- проводимость электрической ветви.

Проверим на примере простейшей 3-х стержневой конструкции, соблюдаются ли для стержневых систем законы аналогичные 1 и 2 законам Кирхгофа.

J4T -►

Рис. 3

Начальные данные: а} =60°, а2 =120°,а3 =0= h = /з = 1м,Р=1000 кг. Уравнения равновесия:

Njm} +N3m3+RJx=0, Njnj + N3n3 + Rlv =0, -N21*12 -N3m3 -Pmp =0.

Направляющие косинусы: mi =0.5, m2 =-0.5, m3 =1; tii = n2 = 0.866, n3 =0. В результате расчета имеем: N} = 0 кг, N2 = 0 кг, N3 =1000 кг.

Очевидно, что 1 закон Кирхгофа при проецировании уравнений равновесия на оси координат выполняется, и сумма проекций сил на оси координат в узле равна 0. Проверим, выполняется ли второй закон Кирхгофа.

Очевидно, что при существующей системе аналогий (табл. 1), сумма перемещений узлов в контуре по одной оси должна быть равна сумме удлинений стержней по этой же оси. При указанной нагрузке удлинение имеет только третий стержень. Это удлинение равно перемещению узла 2 по оси X. Однако, кроме узла 2 по оси X перемещается узел 3. Очевидно, что второй закон Кирхгофа не выполняется.

Таким образом, система аналогий, предложенная в [4] предлагает в качестве аналогичных величин параметры, которые в объекте моделирования и в модели ведут себя совершенно по-разному, что несомненно является недостатком данной системы аналогий.

Рассматривая систему аналогий, предложенную в [66], отметим следующий ее недостаток: поскольку изгибающие моменты в ней моделируются постоянным током, который имеет одинаковое значение по всей электрической ветви, а изгибающий момент по длине стержня имеет переменное значение (рис. 3), то несоответствие между этими двумя параметрами очевидно. В общем же можно сделать вывод: поскольку в модели не выполняются основные законы объекта, то поведение модели не будет соответствовать поведению объекта. Р

Рис. 3

Применяемая на сегодняшний день электротехническая модель настолько сложна, что электрическое моделирование стержневой

14 конструкции является доступным лишь специалисту в электротехнике и затруднительно для расчетчика стержневых конструкций, не владеющего достаточными знаниями в области электротехники.

В данной работе исследована математическая модель, описывающая шарнирную стержневую конструкцию с целью отыскания аналогичной математической модели электрических цепей. Определена система аналогий между параметрами электрических схем и шарнирных стержневых конструкций, наглядно показывающая формальную общность физических процессов, происходящих в них. Разработана методика вычисления параметров модельной электросхемы через применение системы масштабных коэффициентов. Разработана методика электрического моделирования стержневых систем при деформациях стержней сравнимых с размерами самой конструкции. Доказана возможность применения на основе общности математических моделей аналитических приемов электротехники для расчета шарнирно -стержневой конструкции при больших перемещениях узлов. Разработана методика применения, формализация и автоматизация расчета стержневых систем.

Выводы:

1. Определена электрическая модель произвольной шарнирной стержневой системы, в которой совпадают не только топология и уравнения, описывающие эти два явления, но и все существенные для объекта и модели физические соотношения.

2 Выявлены и обозначены трудности технической реализации модели, поставлена задача об отыскании масштабных коэффициентов и критериев подобия (глава 2).

3. На основании анализа полноты процесса моделирования (табл. 1.1) поставлена задача о возможность применения аналитических методов применяемых в теоретической электротехнике для описания шарнирных стержневых систем (глава 3).

4. Предложены методики моделирования шарнирно - стержневой системы при ее работе в условиях физической и геометрической нелинейностей.

ГЛАВА 2. ТЕХНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

2.1 Проблемы электротехнического моделирования стержневых систем в физическом эксперименте

При физическом моделировании электросхемами сложности возникают с практической реализацией, например =1,002 вольта или киловольта, или стабилизации R[ с точностью до 0,2%, если R[ =0,003 ома, и т.д.; но выбором масштабов можно сделать элементы схемы технически реализуемыми.

Физическая особенность стальной шарнирно-стержневой конструкции как физического объекта заключается в очень малых изменениях физических параметров: длины стержня /0 и площади поперечного сечения Sq. В частности, приращение длины стержня А/ при упругих деформациях может быть в пределах О,ОО2/0, т.е. 0,2%, причем именно эти изменения ответственны за суть происходящих (исследуемых) процессов. В электросхеме изменения аналога моделируемого параметра длины стержня - ЭДС в ветви в таких пределах просто несущественны, традиционно несущественны, поскольку в электротехнике практически никакой роли не играют. В физическом эксперименте, если задаться такой целью, на пределе возможности приборов первого класса, можно получить статистически достоверный результат с погрешностью не более 0,2%, но дело в том, что в моделируемом объекте весь процесс идет в диапазоне 0 ^ 0,2% при расчете на прочность. i W с Е r0 R

Рис.2.1

Стержень (рис. 2.1 а) моделируется в идеале ветвью электрической цепи, содержащей Е и R, порядок этих величин соответствует представленным в табл. 1.5. Реальные источники ЭДС имеют внутренние сопротивления г0, тогда ветвь схемы имеет вид, показанный на рисунке 2.1 б. В реально осуществимых источниках ЭДС величина г0 весьма значительна, это учтено в электротехнике введением, помимо ЭДС еще и понятия «напряжение на клеммах» источника ЭДС включенного в сеть, оно отличается на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении, которое для нормально рассчитанной схемы составляет 10 - 20% от ЭДС. В диапазоне R, г , I, U, Е, принятым (существующим) в электротехнике цепей постоянного тока, можно представить себе шарнирно-стержневую конструкцию, состоящую из упругих элементов с абсолютной деформацией не менее 0,5-1 и модулем упругости ОД кН/см , то есть пружинные или резиновые стержни, или элементы с регулируемой длиной.

Рассмотрим на конкретном примере проблему технической реализации эксперимента. Рассматриваемая конструкция - простейшая 3-х стержневая безмоментная система (рис. 1.6). f' г'ГТГНч'" ' 1

ГОГ „ ' ViJ БИБЛлС .„.сЛА 41

Для этого зададим следующие значения начальных данных: внешняя сила: /*=500кг, длина стержней: /1=/2=/з= 100 см, площадь поперечного сечения стержней: Si=S2=S3= 1 см .

Углы наклона стержней к оси X: «/=75°, «2=135°, «3=15°. Угол наклона внешней силы к оси X: ар=-75°.

После расчета усилий и новых направляющих косинусов параметры нагруженной шарнирно-стержневой системы будут иметь следующие: значения новых направляющих косинусов и аналога контурной ЭДС: т0=0,25921, т7=0,70748, т2=0,96644, 8К=0,605.

Под аналогом контурной ЭДС 8К в механической схеме понимается сумма проекций длин всех стержней после нагружения.

При этом необходимо распределить контурную ЭДС по ветвям, в соответствии с численными значениями и знаками слагаемых в последнем уравнении системы (1.3).

80=-25,291 В, Si=-70,748 В, 82=96,644 В.

Для обеспечения требуемой ЭДС в ветвях электрической схемы необходимо применение источников вторичного электропитания (ИВЭП), которые делятся согласно [18] по допустимому отклонению выходного напряжения от номинального на - низкой (относительное отклонение 5%), средней (от 1% до 5%) и высокой (от 0,1% до 1%) точности, а также прецизионные (менее 0,1%). При отклонении выходного напряжения каждого источника питания на 0,5% контурная ЭДС будет равна: 8К=-0,358 В сравнить с (1)). Разница с расчетной ЭДС 0,963 В. Учитывая малость сопротивления, такая погрешность весьма негативно скажется на результатах эксперимента.

Жесткость каждого стержня моделируется активным сопротивлением ветви, при самом лучшем изготовлении резистор как элемент цепи может иметь погрешности значительно более 0,02%. Активное сопротивление является функцией длины и площади поперечного сечения моделируемого стержня и наверняка может возникнуть ситуация, когда для моделируемого стержня будут отсутствовать стандартные резисторы, необходимо применение регулируемых резисторов. В случае настройки схемы с помощью моста можно достичь хороших результатов.

Рассмотрим на конкретном примере, как повлияет на результат эксперимента погрешность сопротивлений в 0,02%. В главе 1 система уравнений (1.2) была использована для нахождения новых направляющих косинусов после нагружения. Поскольку эта система содержит жесткости стержней конструкции, воспользуемся ею для расчета усилий после нагружения, подставив в нее значения новых направляющих косинусов и же-сткостей стержней с погрешностями в 0,02%.

Nq —^—h Nj —--N2 = S j /

EF0 EFj EF2

- Ngmg + Njmj + Pmp = 0;

- Njmi - AT2tn-2 - 0; где St ё =-l0itn1 - l02m2 +l03m3 =-0.024.

Значения новых направляющих косинусов приведены в начале этой главы, в результате расчетов усилий в стержнях имеем:

Заключение

Обобщая приведенные в работе результаты исследований по применению метода электромеханических аналогий для математического моделирования шарнирных стержневых систем, можно сделать следующие выводы:

1. В представляемой работе исследована новая математическая модель стержневой конструкции - шарнирно-стержневой системы. В результате дополнена система электромеханических аналогий, что позволило представить электрическую модель системы в виде двух, топологически ей подобных электрических схем, параметры которых определяются пересчетом параметров конструкции. При этом полученный метод электрического моделирования позволяет получать значения новых направляющих косинусов стержней шарнирной стержневой конструкции при деформации, сравнимой с ее начальными размерами. Это необходимо при расчете новых координат узлов конструкции методом узловых координат.

2. Технические трудности осуществления (реализации) электрических схем по прямым параметрам расчета преодолены двумя подходами.

Первый: Компьютерная, программная реализация электрических цепей ELECTRONICS WORKBENCH 5.0.

Второй: методами теории подобия вводятся критерии подобия и система масштабных коэффициентов, позволяющие пересчитывать электрические схемы, они остаются топологически подобными, но входящие в них параметры элементов получаются технически реализуемыми.

3. Основные достоинства предлагаемой дополненной системы аналогий в том, что:

3.1 В модели выполняются все закономерности, выполняющиеся в моделируемом объекте, что предполагает возможность моделирования, кроме поставленных, достаточно широкого круга задач.

3.2 Топологическое подобие схем электрической модели схеме конструкции и формальный аппарат теории подобия переводит моделирование шарнирных стержневых систем из искусства на уровне изобретения [57] в простейшую техническую задачу. (Способы моделирования отдельных стержней, работающих на растяжение - сжатие существовали и ранее [55], но новое условие совместности деформаций в виде контурного уравнения позволило создать полную топологическую аналогию между механической системой и электрической моделью, по крайней мере, при статическом нагружении системы).

1. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. -М.: Стройиздат, 1983. -488с.

2. Аленин В. П. Упругопластический расчет стержневых систем как систем с внутренними односторонними связями. //Сиб. автомоб.-дор. ин-т. Омск. - 1998. - 10 е. - Деп. в ВИНИТИ 15.01.98, N 97-В98.

3. Ананян В.В. Расчет геометрически и физически нелинейных стержневых систем методом конечного элемента.// Исследования по расчету элементов пространственных систем. Сб.тр. /Унив. Дружбы народов. -М, 1987.-С. 116-122.

4. Анвельт Ф.А. Электротехника. М. Энергоатомиздат, 1970.

5. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов./ Перевод с англ. А.С. Алексеева и др.; Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1982. - 447с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т 1,2 Учеб. пособ. для вузов. М.: Физматгиз, 1960 1962. т.1 - 464с., т.2 - 620с.

7. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Т. 1,2 М.: Высшая школа 1978. С. 750.

8. Бронштейн , Семендяев справочник по высшей математике.

9. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Алгоритмизация расчета плоскопространственных стержневых систем методом сил на основе уравнений совместности деформаций.//СПбГТУ.-СПб. -1997. -36с.:ил. -Деп. в ВИНИТИ 24.12.97. № 3738-В97.

10. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Исследование обусловленности матриц податливостии жесткости статически неопределимых стержневыхсистем.//СПбГТУ.-СПб. -1998. -34с.:ил. -Деп. в ВИНИТИ 06.03.98. № 660-В98.

11. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Сведение произвольной нагрузки на стержневую систему к начальным деформациям.//СПбГТУ.-СПб. -1997. -18с.:ил. -Деп. в ВИНИТИ 07.05.97. № 1528-В97.

12. Вершинский А.В. и др. Строительная механика и металлические конструкции: Учебник для вузов по спец. «Подъемно-транспортные машины и оборудование» /А.В. Вершинский, М.М. Гохберг, В.П.Селинов. JL: Машиностроение, Ленингр.отд-ние, 1984. - 231с., ил.

13. Воронков И.М. Курс теоретической механики. (Для вузов) Изд-е 13-е. М.: Физматгиз, 1966. 596с.

14. Вострокнутов Н.Г. Техника измерений электрических и магнитных величин. М., J1. Госэнергоиздат 1958.- 368с.

15. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Физматгиз. 1959. - 783с.16. Гартмахер. Теория матриц.

16. Гвоздев А. А. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем. -М.: МИИТ, 1927. -97с.

17. Герасимов В.Г. Электротехнический справочник Tl, М.: Энергоатомиздат, 1985.-327с.

18. Герасимов В.Г. Электротехнический справочник ТЗ, М.: Энергоатомиздат, 1988.-615с.

19. Гольденблат И.И., Бажанов B.J1. Физические и расчетные модели сооружений., JL, Строительная механика и расчет сооружений 1971 №5 23-27с.

20. Гончаров Н. В., Михайлов JI. К., Полянский Е. С. Экспериментальные исследования напряженного состояния стрелыэкскаватора. //Том. гос. архит.-строит. ун-т. Томск. - 1998. - 19 е.: ил. - Библиогр.: 4 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 23.12.98, N 3841-В98.

21. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1986. - 310с., ил.

22. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек.// -М.:ВИНИТИ.-1973. Т.5.-292с.

23. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. -М.: Высш. шк, 1986. 608с.

24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. /Под ред. Демидовича. -изд. 2-е, испр. М.: ФМ, 1963. - 660с.

25. Дорохов А.Н. Унифицированный способ расчета стержневых систем. -М.: Стройиздат, 1981. 164с., ил.

26. Жеребко К. В., Петров М. Р., Петрова А. Н. Непосредственное моделирование ферменных конструкций электрическими схемами. Настоящий сборник.

27. Жеребко К.В., Петрова А.Н. Формализация расчета ферменных конструкций. // Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях: материалы междунар. научной конф. (г. Комсомольск на - Амуре 21-26 сент. 1998г.) В 2-х ч. Ч 2.

28. Комсомольск на - Амуре: Комсомольск-на-Амуре гос. техн. ун-т., 1998.-С. 65-69.

29. Жеребцов И.П. Основы электроники JI. Энергоатомиздат 1990 -352с.

30. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541с.

31. Зылев В.Б. Соловьев Г.П. Алгоритм расчета плоской стержневой системы в случае больших перемещений // Строит, механика и расчет сооружений.-1980. -№5. -С. 35-38.

32. Ильин В.П. и др. Численные методы решения задач строительной механики: Справ.пособ./В.П. Ильин, В.В. Карпов, A.M. Масленникова. Минск: Вышэйш. шк., 1990. - 349с., ил.

33. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. -Киев.: Наукова думка, 1979.-16с.

34. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. /Пер. с болг. Т.Д. Караманского, Под ред. Г.К. Клейна. М.: Стройиздат, 1980.434с., ил.

35. Кац А.С. Расчет неупругих строительных конструкций. Л.: Стройиздат, 1989. - 168с., ил.

36. Качурин В.К. Гибкие нити с малыми стрелами. М.: Гостехиздат, 1956.-224с.

37. Кирсанов Н.М. Висячие системы повышенной жесткости. М.: Стройиздат, 1973. - 112с.

38. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для мат. Специальностей ун-тов. /А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. 4-е изд., перераб. - М.: Наука, 1976. -543с.

39. JIалии В.В. Уравнения совместности деформаций как основа алгоритмизации метода сил для стержневых систем.//Строительная механика и расчет сооружений.-Спб.: СПбГЛУ, 1992. -С. 96-111.

40. Лалин В.В., Розин Л.А., Бугаева Т.Н. Метод контурных усилий в статике стержневых систем.//Изв. Вузов. Строительство. -1998. -№10. -С. 15-24.

41. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978.-204с.

42. Малбиев С. А., Шумаев Д. В. Применение ЭВМ для расчета пространственных перекрестно-стержневых конструкций, //изв. Иван, отд-ния Петр. Акад. наук и искусств. 1998, N 3. - С. 33-35.

43. Масленников A.M. Приложение метода конечных элементов к расчету строительных конструкций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978, 227с.

44. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами: Учеб. Пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987, 224с.

45. Мацелинский Р.Н. Статический расчет гибких висячих конструкций. -М., Л: Стройиздат, 1950. 192с.

46. Метод конечных элементов в статике сооружений. /Я. Шмельтер, М. Дацко, С. Доброчинский, М. Вечорек; Пер. с пол. М.В. предтеченского; под ред. В.Н. Сидорова. М.: Стройиздат, 1986. -220с., ил.

47. Наместников В. С. Метод перемещений в задачах ползучести. //Вестн. машиностр. 1998, N 4. - С. 11-14.

48. Наместников В. С. Метод перемещений в теории ползучести. //Моск. гос. акад. приборостр. и информат. М. - 1997. - 16 е. - Деп. в ВИНИТИ 01.09.97, N 2781-В97.

49. Наместников В. С. Метод сил в задаче ползучести. //Изв. РАН. Мех. тверд, тела (бывш. Изв. АН СССР). Мех. тверд, тела. 1998, N 2. - С. 139-145.

50. Обен Ж-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. /Пер. с англ. Б.С. Дарховского, Г.Г. Магарил-Ильяева; с предисл. В.М. Тихомирова. -М.: Мир, 1988. 510с.: ил.

51. Образцов И.Ф., Рыбаков Л.С., Мишустин И.В. О методах анализа деформирования стержневых упругих систем регулярной структуры.// ИПРИМ РАН. Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т.2. №2. С. 3-14.

52. Овсянко В.М. Синтез электронных моделей деформируемых объектов. Минск. "Наука и техника". 1982.

53. Овсянко В.М. Моделирование геометрической нелинейных изгибаемых систем на основе электроаналогий. Изв. Вузов. Строительство. 1997. №3.

54. Овсянко В.М. Деформируемые системы с большими перемещениями: новое направление в моделировании. Архитек тура и строительство Беларуси. 1994-№5,6.-С.29-34.

55. Овсянко В.М. Расчет стержневых конструктивно нелинейных систем методом электроаналогий. Строительная механика и расчет сооружений. 1971. №3 24-27с.

56. Овсянко В.М. Устройство для моделирования прямолинейного изгибаемого стержня. Авторское свидетельство №.279189, класс 42, с приоритетом от 1 октября 1968 г. Бюллетень «Открытия, изобретения, промышленные образцы, товарные знаки». №26 1970.

57. Оре О. Теория графов. /Пер. с англ. И.Н. Врубельской; Под ред. Н.Н. Воробьева. 2-е изд., стериотип. - М.: Наука, 1980. - 336с., ил.

58. Петров М.Р., Петрова А.Н. Жеребко К.В. Метод узловых координат в теории ферм. //

59. Петров М.Р., Петрова А.Н. Жеребко К.В. Непосредственное моделирование ферменных конструкций электрическими схемами. //

60. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней.-Jl.-М. :Гостехиздат, 1948.-178с.

61. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней.-М. -.Наука, 1986.-294с.

62. Пухов Т.Е. Электрическое моделирование задач строительной механики. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 212с.

63. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. М.:Госстройиздат, 1960. 519с., ил.

64. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-711с.

65. Ред. Журавлев А. А. Легкие строительные конструкции: Сб. науч. тр. /Рост. н/Д гос. акад. стр-ва. Ростов н/Д: Изд-во Гос. акад. стр-ва. -1996.- 116 с.

66. Ржаницин А.Р. Строительная механика: Учеб. пособие для строит, спец. вузов. 2-е изд., перераб. -М.: Высш. шк., 1991. - 438с., ил.

67. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. 128с.

68. Розин J1.A. Стержневые системы как системы конечных элементов. -Л.: ЛГУ, 1976.-232с.

69. Розин. Л. А. Автоматизация метода сил в строительной механике.//Строит, механика и расчет сооружений.-1974. -№4. -С. 2126.

70. Рыбаков Л.С. О теории одной плоской регулярной упругой структуры ферменного типа.//Изв. РАН. МТТ. 1995. №5. С. 171-179.

71. Рыбаков Л.С. О теории одной плоской циклической стержневой структуры ферменного типа.//Изв. РАН. МТТ. 1998. №3. С. 117-127.

72. Рыбаков Л.С. Упругий анализ одной плоской регулярной стержневой структуры.//Изв. РАН. МТТ. 1996. №1. С. 198-207.

73. Рыбаков Л.С. Упругий анализ плоской прямоугольной панели с регулярно-ортогональной системой стрингеров.// Вестник МАИ. Т.З. №2. С. 66-71.

74. Свентиков А. А., Бахтин В. Ф. Конструктивно-нелинейный расчет висячих стержневых систем. //Изв. вузов. Стр-во. 1998, N 6. - С. 1417.

75. Свентиков А. А., Бахтин В. Ф. Расчет висячих стержневых конструкций с учетом переменности расчетной схемы. //Соврем, методы стат. и динам, расчета сооруж. и конструкций. 1998, N 4. -С. 44-50.

76. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. /Пер. с англ. А.Шестакова. Под ред. Б.Е. Победри. М.: Мир, 1979. - 392с.

77. Слюсарь В. М. Нелинейные задачи статики упругих подвесов. // С.Петербург. междунар. конф. по интегрир. навигац. системам, Санкт-Петербург, 26-28 мая, 1997: Докл. СПб. - 1997. - С. 136-145.

78. Строительная механика. Изд. 7-е, перераб. и доп. Под ред. А.В. Даркова. Учебник для вузов. М.: Высш. школа, 1976. 600с.

79. Строительная механика. Стержневые системы: Учебник для вузов. /Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1981. - 512с.

80. Строительная механика: Программы и решения задач на ЭВМ: Учеб. пособие для вузов/ Р.П. Каркаускас, А.А.Крутинис, Ю.Ю. Аткочюнас и др.; Под общ. ред. А.А. Чираса. -М.: Стройиздат, 1990. 360с.: ил.

81. Стружанов В. В., Жижерин С. В. Деформирование и разрушение стержневых систем с разупрочняющимися элементами. //Ин-т машиновед. УрОРАН. Екатеринбург. - 1997. - 18 е. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.97, N 2162-В97.

82. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов:Учеб. для вузов. 9-е изд. Перераб. М : Наука, 1986. - 512с., ил.

83. Филин А.П., Тананайко О.Д., Чернева Н.М., Шварц М.А. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем.-М.:Стройиздат, 1983 .-232с.

84. Форсайт Дж. и др. Машинные методы математических вычислений.

85. Харланов В. JL. Динамический анализ нелинейных стержневых систем. //Волгогр. гос. архит.-строит. акад. Волгоград. - 1997. - 5 е. - Библиогр.: 3 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 24.07.97, N 2482-В97.

86. Хечумов Р.А., Покровский А.А. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей.//Строит. механика и расчет сооружений.-1991.-№2.-С.5-11.

87. Чирас А.А. Строительная механика: Теория и алгоритмы: Учеб. для вузов. М.: Стройиздат,1989. - 255с.: ил.

88. Шварц М.А., Тананайко О.Д. Алгоритмы построения разрешающих систем уравнений для расчета стержневых конструкций.//Строительная механика и расчет сооружений. -1978. -С. 25-30.

89. Шимановский В.Н., Смирнов Ю.В., Харченко Р.В. Расчет висячих конструкций (нитей конечной жесткости). Киев.: Буд1вельник, 1973.-200с.

90. Шулькин Ю.Б. Теория упругих стержневых конструкций. -М.: Наука, 1984.-272с.

91. Antman S.S. The theory of rods.-Hand Phys., 1972.-6,a/2. S 641-703.

92. Canfield S. L., Soper R. R., Reinholtz C. F. Velocity analysis of parallel manipulators by truss transformations.// Mech. and Mach. Theory 1999. - 34, N 3. - C. 345-357.

93. Efthymiou M., Van de Graaf J. W., Tromans P. S., Hines I. M. Reliability-based criteria for fixed steel offshore platforms. //Trans. ASME. J. Offshore Mech. and Arct. Eng. 1997. - 119, N 2. - C. 120124.

94. Gaul L., Lenz J., Sachau D. Active damping of space structures by contact pressure control in joints. //Mech. Struct, and Mach. 1998. - 26, N 1. -C. 81-100.

95. Haslach Henry W. (Jr.). System parameter adaptive control of a spring supported truss member. //J. Vibr. and Contr. 1995. - 1, N 1. - C. 93113.

96. Hudli A. V., Pidaparti R. M. V. Analysis of truss structures using distributed object-oriented methods. //Comput. Mech. 1996. - 18, N 4. -C. 314-320.

97. Kolakowski Przemyslaw, Holnicki-Szulc Jan. Sensitivity analysis of truss structures (virtual distortion method approach). //Int. J. Numer. Meth. Eng. 1998. -43, N6.- C. 1085-1108.

98. Lu Gang, Lu Feng, Li Junbao, Zhang Jinghui. Design guidelines of truss structures for damping control. //Zhendong gongcheng xuebao = J. Vibr. Eng. 1998. - 11, N2.-C. 144-151.

99. Patnaik S.N., Joseph K.T. Generation of the Compatibility matrix in the integrated force method //Сотр. Meth/ appl/ mech. And ehg., 1989, V. 55, №3, p. 239-257.

100. Pielorz A. Nonlinear discrete-continuous models in dynamic investigations of plane truss members. //Eng. Trans, бывш. Rozpr.inz.. -1997. 45, N l.-C. 133-152.

101. Sherman D/R7 Latticed structures: State of the art report // J. Struct. Div. ASCE. 1976. V. 102. No. ST-l.P.2197-2230.

102. Sun Yuping. Restoring force of spatial trusses the multiple broken line model. //Gansu gongyo daxue xuebao = J. Gansu Univ. Technol. 1998. -24, N4. -C. 84-88.

103. Tin-Loi F., Xia S.H. Elastoplastic analysis of spase trusses considering the effects of large displacements and softening. //Mech. Struct, and Mach. 1998. - 26, N 4. - C. 423-441.112

104. Ymada Y., Yoshimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic plastic problems by the finite element method // Intern. J. Mech. Sci. 1968. V.10. N 5. P 343-354.

105. Представитель предприятия Начальник отдела1. СТРЕХА С.Ф. (Ф.И.О.)должность)подпись)