автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Сложные режимы установившихся нелинейных колебаний пластин и оболочек

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО - СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ДЕХТЯРЮЕ Евгений Свиввовяч

УДК 539.3

СЛ01НЫЕ РЕШУ УСТАНОВИВШИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ШСШ И ОБОЛОЧЕК

гЪ

05.23.17 - строительная ноханава

Автореферат диосертадши на совсвавав ученой стопам доктора твхнщчвск« надк

Киев - 1990

Работа выполнена на кафедре строительной механики и в Проблемной научно-исследовательской лаборатории тонкостенных пространственных конструкций Киевского инженерно-строительногс института.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, црофессо]

ШАПОШНИКОВ H.H.,

доктор технических наук, профессор ВАЛШВИЛИ Н.В.,

доктор технических наук, профессо] ГОРОДЕЦКИЙ A.C.

Ведущее .предприятие: Институт проблем прочности АЙ ?СС]

{Завдата состоится "_"_1990 г. в __

часов на заседании специализированного совета Д 06В.ОБ.02 npi Киевском инженерно-строительном институте (252037, Киев, Возд; хофлотский проспект, 31).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

Автореферат разослан "_"__1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор технических наук

В.К;ЧИБИРЯКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблем. В современной инженерной практике • >и проектировании и создании новых сооружений, машин и аппара-' >в различного назначения основное влияние на окончательное кон-■руктивное решение оказывают соображения поддержания баланса >,яду двумя конкурирующими тенденциями: требованием увеличения ;яничной мощности (производительности или другого идентичного жазателя) и отрешением к предельно возможному снижению мате-:алоемкости конструкции. В.круге проблем, связанных с весовым технологическим совершенствованием сложных объектов современ--2 техники, к числу наименее изученных относятся задачи, в кото-х речь идет о расчете пластинчатых и оболочечных конструкций и действии на них значительных по уровню динамических нагрузок, ебувдих детального учета фактора геометрической нелинейности формирования.

В гибких пластинах и оболочках могут проявляться различные жимы колебаний, характеризуете сложными резонансами, срывом лебаний, возникновением стоячих либо бегущих волн и другими фактами. Все эти явления в той или иной форме обусловлены вза-овлиянием различных мод колебаний, включая те, которые "орто-нальны" возмущающему воздействию.

Наличие тесной связи между уровнем динамической нагрукенно-и и прогнозом эксплуатационной надежности и долговечности кон-рукций не позволяет ограничиться рассмотрением простых динами-ских моделей в ущерб адекватности описания ими реально проте-ющих процессов. Это обстоятельство влечет за собой кеобходи-сть основываться в анализе этих процессов на нелинейных дина-ческих моделях с большим числом параметров, что, естественно, язано со значительными трудностями как принципиального, так вычислительного характера. Разработка многопараметрических намических моделей гибких пластин и оболочек и методики иссле-зания на этой основе их динамического поведения является ак-зльной задачей современной строительной механики. Решение этой 1ачи имеет большое прикладное значение в силу той определяющей га, которую играют уточненные оценки уровня кагружекности на-цих элементов при выработке критериев работоспособности содер-цнх их конструкций.

Цель работы состоит в разработке методики, алгоритмов и программного обеспечения для исследования нелинейной динамики пластин и оболочек, анализе с помощью этих средств общих закономерностей протекания колебательных процессов, возможных критичес ких состояний и характера закритического поведения конструкций.

Научная новизна результатов работы, состоит в следующем:

- предложен общий метод построения полймодальных моделей динамических процессов, протекающих в гибких пластинах и оболочках;

- разработана численная методика реализации полимодального подхода на основе метода конечного элемента;

- предложен эффективный метод численного построения и исследования устойчивости установившихся (периодических и квазипериодических) режимов колебаний существенно нелинейных динамически х систем;

- разработан численный алгоритм анализа бифуркационных состояний динамических режимов на основе получаемых расчетным путей критериальных параметров, исчерпывающим образом характеризующих как само особое состояние, так и направление дальнейшей эволидо динамического процесса при изменении параметров внешнего воздействия;

- на основе проведенного глобального анализа докритическогс режима колебаний, перестройки пространственно-временной конфигурации динамического состояния в критических точках и закритического поведения различных силовых элементов тонкостенных конструкций выявлены особенности протекания в них сложных колебательных процессов в зависимости от параметров внешнего воздействия.

Достоверность результатов, полученных в работе,•определяется использованием обоснованной геометрически нелинейной модели динамического деформирования тонких оболочек, применением контролируемой по точности методики дискретизации континуальных соотношений на конечноэлементной основе, применением высокоточных алгоритмов решения задач об определении собственных значений и векторов, данными экспериментальных проверок внутренней сходимости результатов при сгущении конечноэлементных сеток и увеличении числа степеней свободы расчетных динамических моделей, качественным и количественным совпадением полученных в работе результатов с давними расчетов, проведенных другими авторами, и имешдамися для некоторых задач аналитическими решениями.

Практическая ценность результатов исследования состоит

- в разработке методики определения параметров устойчивости ршамических режимов геометрически нелинейных пластин и оболочек, 1рогнозирования эволюции этих режимов в зависимости от изменения шраме тров нагружения;

- в разработке численной методики анализа бифуркационных ¡итуаций, имеющей инвариантный характер и применимой к исследо-шнию широкого класса нелинейных динамических систем;

-в создании развитого проблемно-ориентированного вычислительно комплекса, предназначенного для проведения в условиях инже-шрной практики многопараметрического полимодального анализа ре-' 1льных конструкций.

Исследования выполнены в соответствии с планом научно-иссле-ювательских работ Киевского инженерно-строительного института 1а 1981-1990 г.г. по теш тине, определенной двумя заданиями рес-[убликанской целевой научно-технической программы "Материалоемкость" (номера гос.регистрации 01830051508 и 01860102176), двумя темами координационного плана АН УССР по проблеме "Механика деформируемого твердого тела" (номера гос,регистрации 81081976 и 11660060737), а также договорами на выполнение НИР по заданиям >яда цроизводственных , проектных и научных организаций.

Результаты исследований внедрены в инженерную практику на >снове переданных заинтересованным организациям методик, данных доведенных расчетов и программных комплексов.

Разработанный комплекс программ сдан в Республиканской фонд [Лгоритмов и программ УССР.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на следую-[их научных съездах и конференциях: на У Всесоюзной конференции :о проблемам устойчивости (Ленинград, 1973 г.), на Всесоюзной :онференции "Проблемы нелинейных колебаний механических систем" Киев, 1978), на симпозиуме по нелинейной динамике пластин и обо-очек (Казань, 1980), на П и Ш научно-технических конференциях Совершенствование эксплуатации и ремонта корпусов судов" (Ка-ининград,1981, 1983), на I и Ш Республиканских конференциях по овышениы надежности и долговечности машин и сооружений (Киев, 982,1988), на П Всесоюзной конференции "Совершенствование мето-ов расчетов зданий и сооружений на динамические воздействия" Москва, 1982), на научно-технической конференции "Численная ре-лизация физико-механических задач прочности" (Горький, 1983), а научно-технической конференции "Цифровое машинное моделирова-

юге сложных технических систем" (Пенза, 1983), на У Всесоюзном симпозиуме "Колебания упругих конструкций с жидкостью" (Новосибирск, 1983), на научно-технических конференциях "Проблемы оптимизации и надежности в строительной механике" (Вильнюс, 1983, 1988), на Международном симпозиуме. "Прочность материалов и элементов конструкций при звуковых и ультразвуковых частотах нагру-жения" (Киев, 1984), на семинаре "Динамика и прочность автомобиля" (Москва, 1984), на П Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, 1985), на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент,1986) на 1У Всесоюзной школе "Расчет и управление надежностью БМС"-(Свердловск, 1988), на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи расчета конструкций в условиях высоких температур" (Саратов, 1988), на научно-технической конференции по пространственным строительным конструкциям (Туапсе, 1988), на Всесоюзной научно-практической конференции "Методы и средства виброакустической диагностики машин" (Ивано-Франковск, 1988), на Национальном'конгрессе по теоретической и прикладной механике (НРБ, Варна,1989).

Содержание работы в целом докладывалось на всесоюзной школе "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1983 г.), на научном семинаре Института проблем прочности АН УССР ■ (Киев, 1986 г.) и научном семинаре по строительной механике и механике деформируемого твердого тела при КИСИ (Киев, 1990 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 100 науч ных работ. Основное содержание изложено в 33 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из семи разделов, заключения и списка литературы и содержит 296 страниц машинописного текста,106 страниц рисунков, 22 страницы таблиц. Список литературы включает 314 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первый раздел (введение) содержит ретроспективный анализ эволюции представлений строительной механики в области динамики упругих систем. • .

Инженерная практика и многочисленные экспериментальные исследования показали, что процесс колебаний может сопровождаться возникновением сложных резонансов, срывом колебательного режима, приводящим к резкому изменению пространственно-временной конфи-

гурации динамического состояния, стоячими либо бегущими волнами. Такие эффекты наиболее характерны для колебательных режимов обо-»очек с немалыми динамическими перемещениями, когда цроявляется юлинейная связь между перемещениями и деформациями.

Основы нелинейной теории деформирования оболочек заложены ) трудах Н.А.Алумяэ, В.В.Болотина, А.С.Вольмира, И.И.Воровича, С.З.Галимова, Э.И.Григолюка, А.Н.Гузя, Л.Г.Доннела, Т.Каршна, 1,С.Коргашина, Х.М.Муштари, В.В.Новожилова, П.Ф.Папковича, A.B. Гогорелова, В.И.Зеодосьева, К.Ф. Черных.

Классическая континуальная модель колебаний оболочек пред-¡тавляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в [астных производных. Непосредственное применение этой модели [ри изучении конкретных задач связано с рядом трудностей, нераз-1ешимых на современном уровне развития теории и методов яссле-;ованяя колебаний. Поворотным моментом в развитии нелинейной гехатшг является переход к рассмотрению дискретных моделей ^определенных систем.

На базе дискретных моделей нелинейные колебания тонких ластин и оболочек исследовались в трудах В,В.Болотина, A.C. ольмира, И.И.Воровича, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, И.С.Киль-ибекова, В.Д.Кубенко, Г.В.Мищенкова, Г.С.Писаренко, Э.Рейссне-а, В.И.Феодосьева, Д.А.Эвансена. В этих работах'Использовались, ак правило, модели с одной или двумя степенями свободы. Иссле-ования проводились методами нелинейной механики, фундамент ко-орой заложен в трудах А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, А.А.Андронова, .Н.Боголюбова, Б.Ван-дер-Поля, Л.И.Мандельитама, Ю.А.Митрополь-кого.

Одномерные и двумерные модели позволили выявить ряд важных ачественных закономерностей, характеризующих нелинейные колеба-ия пластин и оболочек: зависимость частоты собственных колеба-ий от размаха колебаний (неизохронность), "искривление" ампли-удно-частотных зависимостей, несимметрию колебаний оболочек тносительно ее недеформированного состояния и др. Сравнение анкых теоретических исследований и результатов экспериментов оказывает, что при определенных режимах колебаний результаты, элученные с помощью одно- или двумерных моделей, хорошо соот-этствуют опытным данным. Однако, как показали исследования .Д.Кубенко, В.А.Смирнова, Дж.Кивихико, К.Нагой, А.Найфэ.М.Сать-лурти.Х.Уно, Н.Ямаки, простые модели не позволяют описать фи-яческие эффекты, обусловленные взаимодействием различных форм

Я'У-1'1? 5

колебаний. Дальнейшими исследованиями в этой области установлено, что применение многомод льного подхода открывает путь к теоретическому описанию новых эффектов, свойственных протекании колебательных процессов в геометрически нелинейных конструкциях.

Прогресс нелинейной динамики тонкостенных систем тесно связан с успехами в разработке методов построения и анализа дискретных динамических моделей, ориентированных на современные ЭВМ. В значительной мере продвижению методов численного анализа в области динамики тонкостенных конструкций способствовали работы A.C. Городецкого, В.Н.Кислоокого, А.С.Сахарова, Н.Н.Шапошникова, Дж. Лргироса,. И.Г.Бергана, Л.Р.Геррманна, О.Зенкевича, Р.В.Кпафа, Д.М.Кэмбела, Дж.Стриклина, посвященные построению конечноэлемент-ных аналогов континуальных систем, деформируемых за пределами области применимости геометрически линейных соотношений. Параллельные исследования В.А.Баженова, Е.А.Гоцуляка, В.И.Гуляева, Н.В.Валишвили в области разработки конечномерных эквивалентов те: же систем на основе различных модификаций конечноразностного подхода также оказали значительное влияние на формирование прикладного инструментария решения задач динамики тонкостенных конструкций.

. В настоящее время особую актуальность приобрела проблема разработки алгоритмичных численных методов нелинейного анализа, позволяющих проводить глобальные исследования установившихся режимов колебаний в системах с глубокой нелинейностью. Решета этой задачи сопряжено со значительными вычислительными трудностями, обусловленными необходимостью оперировать большим числом дискретных переменных, характерных для конечномерных моделей континуальных тел.

Для проведения глобального анализа необходима также разработка численных методов исследования особых состояний динамических систем, в которых происходит перестройка на закритические режимы установившихся колебаний.

Представляется актуальной в прикладном отношении и перспективной в научном плане разработка численных методов анализа установившихся режимов нелинейных колебаний пластин и оболочек, в том числе критических и закритических состояний, и проведение на их основе исследования общих закономерностей, характерных для этих режимов.

Во втором разделе получены соотношения, в совокупности определяющие так называемую динамическую модель изгибных колебаний

6

гластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке. Понятие "динамическая модель" естественным образом связано с систе- 1 юй ограничений, наложенных на пределы изменения и характер взаи-юсвязи геометрических и силовых параметров. Введены следующие -упущения:(а) деформации (как мембранной группы, так и изгибной) :читаются малыми; (б) изгибная компонента перемещений предполагается имеющей порядок толщины, а мембранные считаются малыми ю сравнению с толщиной, которая, в свою очередь, мала по сравне-шю с размерами расчетной области; (в) динамические режимы в иастинах и оболочках порождаются распределенной по поверхности гагрузкой, интенсивность которой гармонически меняется во времени : частотой, лежащей в диапазоне, охватывающем несколько первых :обственных частот, соответствувдих линейной постановке; (г) эффекты, связанные с распространением упругих волн в продольных ¡вправлениях, не учитываются; (д) материал конструкции считается щнородным, изотропным, подчиняющимся закону Гука.

В криволинейной системе координат, к которой отнесена обо-ючка, нормальные перемещения считаются постоянными по толщине, i мембранные - изменяющимися по линейному закону:

t) -1%. (x'.x'JJ + xtyJz'.xUj,

ъ(х\х\х\ t) = wfx'xfíj,

\це V¿(x,xlx, t) , f¿" /,2,3) - ковариантные компоненты вектора шремещений в произвольной точке оболочки, компо-

[енты (Ь) , {(X. «• i,Z) характеризуют мембранные переме-(ения точки срединной поверхности,

(pjx\x,t) .(сс 4,2) - гра-

даент мембранных перемещений по толщине - прогиб. Считается, [то максимальные значения квадратов углов поворота - величины щного порядка с мембранными деформациями. С учетом приведенных гредпосылок компоненты тензора деформаций записываются следующим •бра з ом:

■да = Vo,<Pp - изменение кривизны срединной поверхности, ieличины 6af¡ - - uffcp характеризуют деформацию в срединной юверхности, Cúa-Vccttr+ (L^V^ - изменете угла между нормаля-!И, - компоненты тензора второй квадратичной формы средин-

ной поверхности.

. Уравнения движения получены на основе принципа Гамильтона:

+ С ^(2)

Здесь = (у/у, &Г, (р,ф} ^ - пятикомпонентная вектор-

функция. определяющая пространственно-временную конфигурацию динамического состояния, = и) - матрица инерции, С° С,С, С<р,СР/1 - матрица демпфирования,^ -линейный оператор, действующий на вектор 11 по правилам

(Хи),=-

&■,('*') ~ билинейный оператор с компонентами

(ЗС,(и,и% • ^МХ^ъ^Ь ^

(Х(и,и)1го,

СКг(','>") ~ трилинейный оператор:

(Хг(ил,и1 - (Ж(илм)**-о,

т

вектор-функция Р (¡¿ф'ф, .

Уравнения (2) определены на множестве^** , где У -двумерное многообразие в Р3 с границей $ •

Граничные условия, обеспечивающие единственность решения, записаны в линеаризованной форме:

Ри(хЛ)-0 , Я. . (з)

Преобразование континуальной модели движения (2)-(3) в дискретную проводится на основе метода обобщенных координат. Пространственно-временное решение задачи представляется в виде линейной комбинации базисных состояний, выраженных функциями только

8

оординат срединной поверхности, взятых с неизвестными заранее есовыми коэффициентами, являющимися функциями только времени.-

В качестве базисных функций в математической физике обычно ринидаются собственные функции линейной задачи. В предположении олноты базиса каждое поле перемещений может быть аппроксимиро-ано с любой заданной наперед точностью взвешенной суммой. По-кольку при решении конкретных задач количество учитываемых ба-исных функций невелико,вопрос полноты не так важен. Значительно ажнее достичь возможно более точной аппроксимации поля переме-эний с использованием ограниченного числа собственных форм.

В качестве базисных функций естественно выбрать несколько изших изгибных собственных форм» На множестве изгибных форм до-таточно хорошо воспроизводятся компонент тензора конечных де-эрмаций , углы поворота СОл и изменения кривизны .

цнако, применение операции проектирования на совокупность форм риводит к существенному искажению значений мембранных перемеще-1й и, следовательно, компонент тензора мембранных деформаций

Чтобы улучшить аппроксимации мембранных перемещений, поле зремещекий 'И - представляется в виде

г , ¿К, (4)

\1КV?,<р,<р) - вектор-функция, являющаяся линейной ком-шацией изгибных форм, а вектор-функция &11 * (а&1&1Т, 0,0,0} эполнительная составляющая мембранных перемещений. Учитывая груктуру систему (2) и представления (4), пренебрегая членами' и 'Са'Ц'Р■ , характеризующими'плотность мембранных сос-звляющих сил инерции и диссипацию, относительно вектор-функции & И можно з а пи с ать^ с к с т е му статических уравнений

ХЪЩАЪ (5)

¿¡«¿г*

1е с/ - - компоненты тензора констант материала. Вектор-функ-вд &11 удовлетворяет однородным граничным условиям (3).

В соответствии с методом обобщенных координат поле переме-записано в виде:

- иЛ)й%) , и - /, 2.....п,}, (6)

% - изгибные собственные формы линейной задачи, кото-(Я описывается системой (2), если отбросить в ней диссипатлвные нелинейные операторы и правую часть принять равной нулю, Щ^} обобщенные координаты. В результате подстановки (5) в (5) потаено следующее представление дополнительных мембранных перемэ-

щений л 11 :

ли = и^Ь)^(1)АК!'{Х), (¿.¡- п]. (7)

С учетом (4), (6) и (7) из вариационного принципа Гамильтона получены уравнения движения в обобщенных координатах, соответ ствущие конечномерной динамической модели объекта:

где СОс - собственные частоты, - коэффициенты демпфирования, Я, , £-г - матрицы квадратичной и кубической нелинейностей, р„с - обобщенная нагрузка. При исследовании колебаний пластин 0.

Учет диссипативных сил проводится согласно модели частотно-независимого демпфирования.

Уравнения (8) описывают основную математическую модель, при нятую в работе для исследования разнообразных по своим качествен ним проявлениям динамических режимов в пластинах и оболочках. Пс строение конечномерного аналога основного уравнения движения (2) представляет достаточно сложную в вычислительном плане проблему. Для решения ее в работе используется метод конечных элементов.

В третьем разделе излагаются методы построения установившихся режимов колебаний пластин и оболочек. Пусть Интенсивность ■ нагрузки, действующей на конструкцию, является 7 -периодической функцией времени. В терминах расчетной динамической модели (8) это означает, что вектор-функция обобщенной нагрузки Д (Ь)* = {р«,,Рс1,.:,Рап.}Т Удовлетворяет условию

рЛ)=рЛ+Т). (9)

Рассматриваются два варианта установившихся колебаний, возбуждаемых в системе нагрузкой р, : режим периодических колебаний и режим квазипериодаческих колебаний. В первом случае вектор-функция обобщенных координат и(Ц=(ц(Ь), -Ц, (С),—, ип Щ Г удовлетворяет условию

. и(1+£Т), (ю)

где К Ь / -целое число.

Во втором случае ЩЬ} представима в виде

иЩ* ЩсЛ,Ь)Л), (И)

где вектор-функция и(фп'<рг) удовлетгоряет условиям

^ (Р„ <Рг} ' К (<Р,* <Рг) , -«2)

и(<р„(р1)>"11(<р1)<рг<2л-),

Ю

(13)

периоды - рационально независимы.

Для решения уравнения (8) с условиями (1С5 (или (П))использо-ш подход, базирующийся на^синтезе процедуры продолжения реше-щ по ведущему параметру, метода Ньютона-Канторовича, теории юке и методов теории ветвления. Вводится параметр Л , харак-физующий интенсивность внешнего воздействия. Система (8) перерывается в виде г Ч1 г цЦ

ис * <»1 ис Ащщ +1ЛгЩЩ - Лро1 (у,

действо решений 11\Л) системы (13), удовлетворяющие условию 3) &ли (II)), представляет собой кривую реакций Г • Построение :ой кривой реализуется следующим образом. Рассматриваемой зада-I ставится в соответствие операторное уравнение

г(и,А)*0, (14)

[ределенное на некотором подмножестве функционального пространна, Если при определенном значении Л"Л(£) известно прибли-¡нное решение 11{£) уравнения (14), то решение, отвечающее Л{£) + *Ж(£н) ' ВДется в виде •

Чы рьо +[И] '(щМЬ&ш], (15)

;е Гц, и Гц - производные по Фреше оператора Г . Исходя из кого-либо известного состояния А(а) , Що) , меняя пошагово |раметр Я , можно проследить соответствующую эволецию дашама-ских состояний. Обычно в качестве исходного выбирается ненаг-■женное состояние А{с) = О, Щ,) = 0. Аналогичный подход применяли при построений резонансных кривых и(со) , описывающих эво-цшо режима колебаний при изменении частоты СО внешнего воз-йствия фиксированной интенсивности. Точки на кривых состояний, которых вырождается линеаризованный оператор уравнения А), являются особыми, В этих точках формула (15) неприменима-возможно ветвление кривых состояний.

Вид операторного уравнения (14) определяется алгоритмом по-роения установившихся режимов колебаний.

В работе изложенный подход реализован в двух принципиально зличных вариантах: в пространстве состояний путем решения ряда дач Коши и в частотной области на основе представления искомого шения в виде отрезка ряда Фурье.

Построение периодических решений системы (13) в пространст-состояний осуществляется следующим образом. Условия периодич-

сти (10) для уравнения (13) эквивалентны краевым условиям

•• . и(о) = и(Т), ж(о). ¿у ае;

Ставится задача определения значений Щи/ и "gf[О/ , при которых решение U(t, 1l(Q}, ¿$(0), А) системы (13) удовлетворяло бы условиям периодичности , . • ■

и(о)-я1(ТМо),то),А)--о, ^(oj. duiTMonmou)__0t

Условия периодичности^?!?) представляют собой систему 2 П. нелинейных уравнений относительно ft компонент вектора 11(0) и It компонент вектора ^ffi(O) • Формуле (15) можно придать следующий вид:

где

и(т) - матрица монодроми^ уравнения 7ЬЛ\Ь) - решение системы ^ 1 ' ^ '

dusZeMi+cotSui %ugdiL^. Щ>ш

fl,U 1,1 * f, 2,..., fl),

с нулевыми начальными условиями. ' '

Таким образом, для выполнения очередного шага продолжения по параметру необходимо 71+2 раза решить задачу Коши: для системы (13) с начальными условиями

,для системы (20) с нулевыми начальными условиями и /т задач Коши для построения матрицы монодромки системы (19).

•При изучении периодических режимов колебаний используется также частотный метод. Исключительно этим методом исследуются квазипериодические режимы. При рассмотрении квазйпериодических колебаний удобно перейти от системы обыкновенных дифференциальных уравнений (13) для вектор-функции u(t) = 1Ъ(оЛ,й)аЬ) к системе уравнений в частных производных относительно вектор-функции

* S'Ui „ d'lLi - / dui dlLi ) ^

w+ж r

* о\щ и^и£ =•рос (щ), (21)

де вектор—функция раЩ р0(~у), (1 ..,п).

Это уравнение представляет собой гиперболическую систему с ву№ независимыми переменными, изменяющимися в квадрате[0,к <Д2.x] . С учетом условия (10) удобно считать, что система г 71 ) задана на двумерном торе ¿7"* . Отображение Т : А*—^ , ¡Р,ж , (рг = СЦ, £) задает параметрическое уравнение прямой на ¡рте тора, на самой поверхности получается "обмотка" тора.Струк-деа системы (21) и область определения переменных позволяет при-знять различные численные подходы. В частности, при частотном )дх0де используется аппарат двойных рядов фурье.

Считается, что вектор-функция р*((р1) представлена выраке-

1ем У а

Ш* (22)

гшение системы (21) ищется в виде

<23)

В представлении (23) 11/£ ~ ^ _меР1!ые векторы, составляю-1е которых являются коэффициентами Фурье -периодических по Р, и <р2 координат вектор-функции Ю((р,, Ввиду того, что »осматриваются вещественные решения системы ( 21), компоненты ¡кторов Ие,^ и . 11 ^.комплексно сопряжены.

После подстановки выражений (22) и (23) в уравнения (21) пу-)М проектирования формируется система нелинейных алгебраических эавнений относительно коэффициентов Фурье. Эта система соответ-:вует при частотном подходе оператору Р(и, Я) в уравнении (14). ¡посредственная реализация изложенного алгоритма сопряжена с >лышш числом арифметических операций. Эффективность вычисления )эффициентов Фурье компонент вектор-функции р(и>А)ъ матрицы-гнкции существенно увеличена путем использования прсце-

гры быстрого умножения многочленов, которая в работе реализована ! основе алгоритма быстрого преобразования Фурье. При рассмотре-и в частотной области периодических режимов колебаний использу-■ся одномерные ряды Фурм: .

Щ)'1.%еа? (24)

да СО - частота внешнего воздействия.

Построение кривых, характеризующих эволюцию решений, сопро-

ч- 13

вождается анализом устойчивости описываемых этими решениями динамических состояний. Анализ основывается на теоремах устойчиюсти по первому приближению.

Пусть ЩхХ) - 7* -периодическое решение системы (2),удовлетворяющее граничным условиям (3). В окрестности нелинейная система (2) порождает линейный дифференциальный операто! ¿/(Я) . Оценка устойчивости решения 11 (X, Ь) проводится на основе исследования устойчивости тривиального решения уравнения в вариациях С?(А) У(. Общее решение этого уравнения задается представлением Флоке .. е+

У(х,Ц=е61$(х,г). (25)

Линейный оператор порождает спектральную задачу, с помощью которой исследуется устойчивость решения И(х, ь) . Если все собственные значения €(Л) спектральной задачи лежат в лево! полуплоскости Яеб <О , то режим колебаний устойчив.

Выход главного собственного значения на мнимую ось символизирует потерю устойчивости основного режима колебаний.

При численном исследовании колебательных режимов устойчивость решения системы (15) анализируется с помощью уравнения (19). • ■

■ Если решение осуществляется в пространстве состояний, критерии устойчивости выражены с помощью мультипликаторов р^, (ц* 1,

системы (19), которые определяются из решения задачи на собственные значения матрицы монодромии 1ь\Т} . При использовании частотных методов для исследования устойчивости общее решение системы (19) ищется в виде^^

ди$) 1 (26)

где 6 - характеристический показатель системы (19). Для его определения путем подстановки (24) и (26) в (10) и последующего проектирования составляется задача на собственные значения размерностью

Исследование устойчивости квазипериодических режимов колебаний нелинейных механических систем, .возбуждаемых периодическим воздействием, проводится на основе анализа соответствующего отображения Пуанкаре и показателей Ляпунова.

Далее предложенные в работе методы построения расчетных динамических моделей и исследования на их основе установившихся режимов колебаний применяются для проведеюш глобального анализа эволщии пространственно-временной конфигурации динамического

14

зостолия тонкостенной конструкции при изменении характеристик знеш»го воздействия.

В четвертом разделе исследуется устойчивость основных режи-юв вынужденных установившихся режимов колебаний пластин и обо-ючек. Строятся кривые реакций и резонансные кривые, определяют-;я области неустойчивости основного динамического состояния.Гра-пцы областей неустойчивости, построенные без учета влияния дем-фирования, пересекают ось частот в точках СО ^2.СОп/А. _в слу-ае области простого резонанса и в точках-

случае области комбинационного резонанса &п,пц£ (^я -соб-твенные частоты свободных линейных колебаний,^ - целое число).

Построения проведены, в основном, в частотной области. Мате-атическая модель нелинейной динамической системы ( 21) в зада-ах изгибных колебаний пластин характерна тем, что-в ней отсутст-ует билинейный оператор над компонентами вектора перемещений, оэтому, если действующая периодическая нагрузка не имеет стати-еской составляющей, в докритической области средний за период рогиб равен нулю.

Характер потери устойчивости основного режима существенно ависит от частоты внешнего воздействия. Эта связь иллюстрирует-я на примере колебаний шарнирно опертой квадратной пластины с ецодвижным контуром, находящейся под действием равномерно рас-ределенной нагрузки, интенсивность которой меняется во времени о гармоническому закону с частотой й) . Из 9 низших собствен-ых форм, учитываемых в расчете, четыре формы (1,5,6,9) - симмет-ичны, остальные - кососимметричны. На рис.1 ,а в координатах-'¿3- Л) изображены области неустойчивости и основ-

ого режима колебаний. Фрагменты этих областей, построенные при чете рассеяния энергии, соответствующего декременту колебаний А =0.05, заштрихованы.

Границы области £?гг определяются влиянием низшей косо-имметричной форш с собственной частотой СОе = 2.5.-

Исследовалась эволюция основного режима колебаний и его пе-естройка на дополнительные режимы при увеличении интенсивности Л гармонического воздействия частоты СО = 2.75. На рис.1,6 в оординатах (К*- Я) представлена кривая реакций раз-

ах колебаний центра четверти пластины). Здесь и в дальнейшем унктирными линиями изображены участки, отвечающие неустойчивым ежимам колебаний. Ветвь 0-А-З-С соответствует основному режиму олебаний. В точках А и В эта ветвь пересекает область дананичес-

Ч* 15

кой неустойчивости. На участке ОА режим основных колебаний шляется. устойчивым. Так как кососимметричные изгибные формы ортогональны действующей нагрузке, вся энергия внешнего воздействие распределяется мевду симметричными модами. В системе (13) кошо-ненты вектора обобщенной нагрузки, соответствующие кососимметр!ч-ным формам, равны нулю. Тем не менее, нелинейный характер деформирования обуславливает наличие в тех уравнениях системы в за-риациях (19), которые отвечают этим формам, параметрических членов. Таким образом, эти уравнения являются уравнениями типа Хил-ла. При эволюции динамических состояний, соответствующей участку кривой реакций ОА, все мультипликаторы 22)

системы (19), перемещаясь в комплексной плоскости, остаются внут ри единичного круга. Эволюция мультипликаторов Р/(Я) и, соответствующих низшей кососимметричной форме, и мультипликаторов рз(Л) и « отвечающих низшей симметричной форме, показана на рис Л,б. ^

При Я • Я А мультипликатор р, (л/ выходит на единичную окружность р^(Ак) = I. Это означает потерю устойчивости основ ного режима колебаний. Участок АВ отражает совокупность решений уравнений движения, соответствующих неустойчивым режимам колебаний. Точка С находится на лиши предельных точек (см.рис.1,6). Здесь происходит жесткая потеря устойчивости основного режима колебаний, при этом сохраняется тип пространственно-временной конфигурации основного состояния, однако "скачком" возрастает интенсивность колебаний.

Область Ф/^г (рис.1,а) обусловлена взаимовлиянием первой и пятой симметричных мод колебаний, выше изображена лиши предельных точек (кривая К'З'Р ). На рис. 1,в в координатах \Л/0 ~ Я показана кривая реакций, соответствующая частоте внешнего воздействия &) = 3;25 ( размах колебаний в центре пластины). Ветвь О-А-В-Е соответствует эволюции основного режима колебаний. На этой частоте, как и в предыдущем случае, возбуждается режим Т -периодических колебаний с симметричной пространственной конфигурацией. Точка А на кривой реакций является бифуркационной. Анализ показывает, что этот случай отвечает принципиально другому типу потери устойчивости.

Рассмотрены также колебания шарнирно опертой пластины со свободно смещающимися кромками. Выявлено существенное влияние податливости контура в плоскости пластины на количественные характеристики колебательных режимов. Исследованы также колебания

16

защемленной пластины, пластины с контурными ребрами.

Вследствие характерного для оболочек влияния нормальных перемещений на компоненты тензора мембранных деформаций срединной поверхности и обусловленного этим наличия квадратичных членов в уравнениях движения (13) протекание динамических процессов в них обладает рядом специфических особенностей в сопоставлении с теми же режимами в пластинах. Это проявляется в наличии статической составляющей нормального прогиба, а также в том, что внешнее воздействие с частотой со генерирует колебательные режимы, в дискретном спектре которых присутствуют частоты Ztico . На фоне этих специфических для оболочек закономерностей проявляется эффект связанности различных,мод изгибных колебаний. Появление гармоник с частотами, кратными частоте вынуждающей нагрузки, иллюстрируется примером расчета колебаний шарнирно опертой цилиндрической панели. Ее однопараметрическая модель подробно анализировалась многими авторами. В расчете учтены II низших собственных форм (формы 1,5,7,11 симметричны, остальные - кососимметричны).

На рис.2,а изображена структура областей неустойчивости Q/,j>t и £?/,/ основного режима колебаний в диапазоне частот нагрузки 1.82 4 & 4- 2.1. Первая область неустойчивости соответствует комбинационному резонансу суммарного типа. Область

Q определяется низшей формой колебаний.

На рис.2,б в координатах (W0 - Л) представлен кривая реакций, соответствующая частоте внешнего воздействия СО =1.998. Ветвь 0-А-В-И соответствует основному режиму колебаний. Следует отметить, что частотным методом прослеживался только участок кривой ОА, далее построения велись в пространстве состояний. Основной режим колебаний, соответствующий точке А, где кривая реакций пересекает границу области Qt, , является критическим. При эволюции этого режима, отвечающей участку ОА кривой реакций, все мультипликаторы pjf/i), (3* /, 2.....2.2 J системы (19), переменяясь в комплексной плоскости, остаются внутри единичного круга. Эволюция мультипликаторов Pt(Ä)t...,pt(J) показана на рис.2,г. 1рж А = Ла мультипликатор pt (/) , соответствующий низшей аде, выходит но границу единичного круга.

Кривая реакций, соответствующая частоте внешнего воздейст-зия СО = L.87, представлена на рис.2,в. Ветвь Рг соответст-зует основному режиму колебаний. В точке А возбуждаются ква-зипериодичесхие колебания. Исследование колебаний в диапазоне гастот fl.82;2.2] выполнено в пространстве состояний.

Вопросы устойчивости основных режимов колебаний цилиндрических панелей рассмотрены также в связи с анализом влияния граничных условий, в частности, подкрепления контура ребрами жесткости.

Определенной спецификой обладают динамические процессы в оболочках, вращения. Осевая симметрия основного динамического состояния позволяет предложить несколько иную, отличную от представленной выше, методику построения полимодальной динамической модели. В основе этой модификации алгоритма лежат соотношения метода криволинейных сеток, предложенного Е.А.Гоцуляком. По атому методу содержащиеся в континуальных уравнениях динамики производные по криволинейным координатам срединной поверхности заменяются разностными уравнениями повышенного порядка точности, Тем самым взамен конечноэлементной аппроксимации по пространственным переменным вводится в рассмотрение конечноразностная, имеющая иную, независимо сформированную логическую основу, в связи с чем сопоставление полимодальных моделей, полученных по той и по другой методикам, может служить основанием для суждения о достоверности динамической модели и выводов, полученных с ее помощью,

Рассмотрены задачи устойчивости вынуаденных нелинейных колебаний сферических панелей с различными значениями параметра пологости под действием равномерно распределенной гармонической нагрузки. Сравнительный анализ областей неустойчивости для оболочек различной подъемистости показывает,что критическое состояние; более подъемистой оболочки наступает при меньших значениях интенсивности нагрузки, однако типы дополнительных режимов колебаний, ответвляющихся в точках бифуркации, совпадают.

Исследована устойчивость вынужденных колебаний фрагмента резервуара, составленного из гладко сопряженных цилиндрической, тороидальной и сферической оболочек. Резервуар подвержен действию пульсации внутреннего давления (рис.3,а) с частотой, лежащей В диапазоне 0.8 < СО < 2.

Структура' областей неустойчивости основного режима колебаний представлена на рис.3,а. Границы областей неустойчивости

» и ' образованы совокупностью предельных

точек (кривые 2,4,5), На рис.3,6 в координатах (ш - V,,) представлены резонансные кривые ( 1Уо -_размах колебаний вершины оболочки), в диапазоне частот со,<со<со9 они замкнуты. Неустойчивые участки (ОЬ) соответствуют области комбинационного резонанса.

18

Анализ полученных результатов показывает, что применение предложенного подхода позволяет дать прогноз поведения оболочки в достаточно широком диапазоне изменения частоты и интенсивности нагрузки.

Рассмотрены также вынужденные установившиеся нелинейные колебания сферических панелей с отверстиями и усеченных конических оболочек.

В пятом разделе работы исследуются перестройка основного ди-' намического состояния на границе области неустойчивости, переход в дополнительные режимы колебаний, а также эволюция этих режимов при закритических значениях параметров внешнего воздействия.

Для анализа перестройки основного динамического состояния в бифуркационной точке предложен численный алгоритм, конкретизирующий применительно к многопараметрическим динамическим моделям развитый Ж.Иоссом и Д.Джозефом подход, основанный на представления ответвляющихся решений нелинейных дифференциальных уравнений в виде рядов по степеням амплитуды и использовании альтернативы Бредгольма. Пусть по-прежнему параметр Л характеризует интенсивность внешнего воздействия. Кок указывалось выше, при 1фити-ческом значении А=Лв .главное собственное число спектраль-той'задачи, определяемой оператором ^ , равно ¿<4, при-

те м в силу структуры функции \?(хХ/ в представлении (25) моя-то считать, что 0< <л)в < сО^Г12Я. £ £ ;

В критическом состоянии вектор-функция 6 ' $(йсХ,Яе) определяет характер перестройки основного режима колебаний, при-1вм £(Я0) задает изменение пространственной конфигурации, иш временной конфигурации ответвлянцего режима колебаний пол-гостью определяется экспонентой в ьй>' ', причем все решает от-тошение X * й)о/0). гт.

Если ),ответвляющееся решение является / -

гариодаческой функцией, таким образом, в этом случае перестройка ¡ременной конфигурации динамического состояния не происходит.

При Ъ = 1/2 реализуется'переход на режим субгармоничвс-сих ¿Т7периодичёских режимов колебаний. Дяя Ь = 1/3 или Х- 2/3 субгармонические колебания имеют период зГ > а для ъ = : 1/4 или 3/4 4Т .

При остальных значениях осуществляется, вообще гово-

Iя, переход на режим квазигармонических колебаний, имеющий структуру:

и (х, и А) = и (х, соТ, сОа ш, У/,

где вектор-функция имеет период ¿Я" по <р, и

фг . По первой временной переменной период навязывается частотой внешнего воздействия, по второму времени вектор-функция обладает свойством решений автономных уравнений: при изменении сЛ-частота С00(Я) непрерывно меняется (й)0(Я) * й)0).

Исследовано закритическое поведение пластин и цилиндрических панелей, рассмотренных в предыдущем разделе.

На рис. 1,6 ветви А-Д-В и А-Е-В кривой реакций описывают закритические режимы колебаний пластины. Как указывалось выше, в критической точке Л ~ Р,*(Яа)'1 , что соответствует ¿Ц» =0, таким образом, при потере устойчивости сохраняется режим Т -периодических колебаний. Перестройка пространственной конфигурации определяется собственным вектором соответствующего линейного оператора, отвечающим кососимметричной форме. Поэтому в критическом состоянии вследствие перекачки энергии возбудятся колебания по кососимметричной форме, т.е. произойдет перестройка на режим несимметричных колебаний. С помощью предложенного численного алгоритма делается один шаг по ответвляющейся траектории, далее решение строится методом продолжения по параметру. Из рис. 1,в видно, что в точке А имеет место односторонняя субкритическая бифуркация, а в точке В - односторонняя суперкритическая. Следовательно, в окрестности точки А при Я< А а основной режим колебаний устойчив в малом, но неустойчив в большом, в окрестности точки В основной режим колебаний устойчив в большом.

Закритические режимы колебаний шарнирно опертой цилиндрической панели представлены на рис.2,в ветвью А-N -В кривой реакций, При Я * Яц Р(Яа)в-4 , что соответствует • В точке А происходит ответвление на режим субгармонических2/ -периодических колебаний. Анализ собственного вектора показывает, что пространственная конфигурация дополнительного динамического состояния является симметричной. Таким образом, при потере устойчивости изменяется временная конфигурация динамического режима, а пространственная сохраняется. В принятом представлении ответвляющиеся в точке А кривые на рис.3,в совпадают. В точках А и В имеет место односторонняя субкритическая бифуркация. Следовательно, в непосредственной окрестности этих точек основной режим колебаний устойчив в большом. Укпзашгав результаты были получены как в пространстве состояний, так ив частотной области.

20

Исследованы также 31 -периодические режимы колебаний пластин и оболочек. Среди особых точек кривых состояния основных режимов колебаний не было обнаружено бифуркационных с % = 1/3 или 1 - 2/3. Поэтому непосредственная бифуркация Т -периодических режимов в 3 7*-периодические режимы не реализуется. Кривые реакций, описывавдие ЬТ -периодические режимы колебаний, построены методом продолжения по параметру. В качестве исходного, соответствующего А = 0, принят режим свободных нелинейных коле- ■ баний.

Более сложные режимы установившихся нелинейных колебаний пластин и оболочек рассмотрены в седьмом разделе работы.

В шестом разделе исследованы динамическая устойчивость и нелинейные параметрические колебания механических систем. В этом случае, в отличие от вынужденных колебаний, основное динамическое состояние является безмоментным.

В задачах, связанных с исследованием параметрических колебаний .представление общего решения принимает вид £-

г) - уШиМ * Не (Ь)й1(ф и^и/Уа Щх), (27) ?де и(Х) характеризует безмоментное напряженно-деформированное зостояние конструкции, функция Ц>{Ь) определяет изменение во эремени параметрического воздействия. В системе (13) добавляются ¡лены,связанные с матрицей геометрической жесткости.

Точки, принадлежащие границам областей динамической неустойчивости, являются точками бифуркаций основного динамического ;остояния в периодические или квазипериодические режимы нелиней-шх параметрических колебаний.

В основу численной методики построения границ областей дина-шческой неустойчивости при параметрических реэонансах положено равнение метода матриц монодромии:

¿о, р) = М(и~рЕ) = 0, . (28)

>де и - матрица перехода системы уравнений в вариациях, р -ультйпликатор. В соответствии с теорией Флоке по радиусу р .елается вывод о динамической устойчивости систеш (27).

В точках на границах областей динамической неустойчивости Р можно представить как функцию действительной переменной р : р(р) ^(оуХР^&Л-Р}. Учитывая, что - величина комплекс-

ен, уравнение (28) можно записать в виде

О, 7тпР(Л, со, р) - О . (29)

Для решения системы (29) использован метод продолжения по араметру в пространстве состояний. Разложив функцию Г\л,&,р) в .

21

ряд Тейлора и удерживая только члены первого порядка, вместо (29) получим:

а,лЛ + §,&со + с,= г, # (зо)

& А + Ог&СО + -С,йр * Х.г ,

Д п^Ле^г, , с,= -ЯеР,

В случае простого параметрического резонанса С/, Я* > равны нулю.

Таким образом, задача анализа динамической устойчивости механической системы при фиксированных значениях параметров Л и СО сведена к задаче непосредственного построения границ областей динамической неустойчивости, что позволяет существенно сократить объем вычислений. -/

Исследованы параметрические колебания шарнирно опертой пря-1 моугольной в плане цилиндрической панели, к которой приложена по торцам равномерно распределенная динамическая нагрузка, направленная вдоль образующей и изменяющаяся по гармоническому закону. При формировании математической модели использовались десять низших изгибных форм. Построены области динамической неустойчивости при главных параметрических резонансах (рис.4,а). Поскольку сйектр собственных частот &>£ панели достаточно плотен, области динамической неустойчивости накладываются друг на друга, что ■ обуславливает возможность взаимодействия изгибных форм при нелинейных параметрических колебаниях.

Исследован характер нелинейных параметрических колебаний, возбуждаемых при главном ( и) =» ) параметрическом резо-

нансе. Соответствующие резонансные кривые,^показывающие зависимость размаха колебаний \\/о от частоты (О , приведены на рис.4,б. Анализ устойчивости периодических режимов показал, что возможна потеря устойчивости по пятой нзгибной форме. Области неустойчивости нелинейных параметрических колебаний на рис.4,б заштрихованы.

Методика расчета, изложенная выше, иллюстрирована также анализом параметрических колебаний балки, квадратной панели и замкнутой цилиндрической оболочки.

В седьмом разделе рассматриваются квазипериодические и хаотические режимы колебаний пластин и оболочек, возбуждаемые гар-

22

монической нагрузкой. Их совместное рассмотрёниё"объясняется тем, что в методах численного исследования этих режимов наряду с принципиальными различиями существуют общие моменты. Как показали • проведенные исследования, для рассматриваемых систем представление Флоке при исследовании устойчивости квазипериодических режимов не всегда правомерно. Для анализа устойчивости приходится использовать методы, применяемые при изучении хаотических колебаний для идентификации предельных множеств. С этой целью в работе • используется метод отображений Пуанкаре. Кроме того, при идентификации предельных множеств в работе применяются показатели Ляпунова и спектральный анализ результатов численного моделирования колебательного режима.

Результаты численного исследования квазипериодических колебаний шарнирно опертой пластины представлены на рйс.1. Как указывалось выше, в точке А (рис.1,в) основной режим колебаний теряет устойчивость. Главный характеристический показатель ^(Ял)" = Сй)0' С-2*06 . Отношение ^»й^/^У = 0.633 указывает, что в этой точке реализуется переход на режим квазипериодических колебаний. Тип пространственной конфигурации основного режима колебаний сохраняется. Кривая А-С-В отражает эволюцию дополнительного режима колебаний. Участок ВС соответствует устойчивым режимам квазипериодических колебаний. Устойчивость контролировалась' с помощью отображения Пуанкаре. Изменение "автономной" частоты С00(Л) квазипериодических колебаний при изменении интенсивности гармонической нагрузки фиксированной частоты изображено на рис.1,г. График демонстрирует характерную для таких регамов колебаний "неизохронность" во второму времени. Из рис.1,д, на котором представлены нормальные перемещения V* центра пластины в интервале времени{о,32 7"} • видно, что процесс колебаний имеет выраженный квазипериодический характер.В дискретном спектре колебательного режима ,е) выделяются гармоники, определяемые частотами л ша , На рис.1,ж показано сечение плоскостью в расширенном фазовой пространстве тора, на который "наматывается" траектория (£/. Соответствующее отображение Пуанкаре представляет собой характерную для квазипериодических колебаний замкнутую кривую. Отображения Пуанкаре, генерируемые■■ точками участка СВ, имеют ту же топологическую структуру, что и кривая, показанная на рис.2,е. Это означает, что квазипериодические режимы колебаний, соответствующие этому участку, устойчивы. Отображения Пуанкаре, построеннш по начальным условия^,

23 " '

взятым с участка АС, вырождаются в точку, что соответствует / -периодическим режимам колебаний. Таким образом, этот участок отвечает неустойчивым режимам квазипериодических колебаний. Анализ показывает, что начальные условия, определяемые участком АС, лежат в зоне притяжения предельных множеств, соответствующих режимам / -периодических колебаний, представленных кривой ОА для

[ЯС,ЯЛ].

Исследовались сложные режимы колебаний шарнирно опертой цилиндрической панели при гармоническом воздействии. Характер колебательного процесса на этой частоте определяется областями неустойчивости и • рис.2,а вдоль границ ука-

занных областей показано изменение отношения . На рис

2,в показана ответвляющаяся в точке А кривая дс , соответствующая квазипериодическим колебаниям. Точка В.на кривой является критической: при малом увеличении X режим колебаний скачкообразно изменяется, становясь гт -периодическим (кривая Р2Т ). Сама же кривая /с*гг ответвляется от исходной !фивой Рт I в точке Л/ , соответствующей границе области гт -периодических колебаний.

Дальнейшее поведение рассматриваемой многомерной динамической системы следует сценарию перехода к хаотическому движению путем бесконечной цепочки бифуркаций удвоения периода (см.рис. 2,в и рис.2,г). Прослежены бифуркации путем численного-анализа й7*-периодических траекторий {11 =4,8,16,32,64), последовательно-ответвляющихся одна от другой в■критических точках с интен-• сивностью нагрузки А = 39.183, 39.47В, 39.795, 39.906, 39.95 соответственно. При увеличении шага • длина устойчивых участков 1фивых субгармонических колебаний последовательно уменьшается. Точка накопления, соответствующая моменту наступления хаоса, находится на уровне интенсивности нагрузки А~ 40.0. В рассматриваемом диапазоне значений параметра нагрузки 40 < А ^ 70 ко-'лебания являются хаотическими.

Для идентификации хаотических колебаний было выполнено построение сечения Пуанкаре (рис.2,з). Оно представляет собой результат беспорядочного "движения" отображающей точки на фазовой плоскости . Фурье-анализ (рис.2,к) траектории демонстрирует характерный для хаотических колебаний сплошной частотный спектр.

Ь заключении приведены выводы, сформулированные на основании результатов выполненных исследований. Основные из них состоят' в следующем:

1. Разработан общий метод построения полимодальных моделей динамических процессов, протекающих в гибких пластинах и оболочках, позволяющий проводить исследования сложных режимов колебаний. Отличительной особенностью метода является выбор в качестве Зазисных функций для реализации метода обобщенных координат системы собственных функций линеаризованной задачи, расширенной с ;елью адекватного описания мембранных компонент вектора переме-цений.

2. На базе моментной схемы метода конечных элементов разра-5отаны эффективные алгоритмы многопараметрической аппроксимации !азисных функций для численной реализации полимодального подхода, ) исследованиях динамических состояний. Инвариантность схемы гасленной дискретизации относительно конкретных особенностей гространственного очертания объектов расчета позволяет рассмот-)еть на основе единой методики широкий круг динамических задач

I нелинейных колебаниях тонкостенных конструкций.

3. Предложена численная методика построения и исследования стойчивости сложных режимов колебаний, реализованная в двух • ринципиально различных вариантах: в пространстве состояний и в астотной области. Это обстоятельство, наряду с возможностью не-ависимого определения и сопоставления параметров динамических ежимов, позволяет также оптимизировать вычислительный процесс

зависимости от конкретных особенностей рассматриваемого дина-ического состояния.

. 4. Установлено, что применение процедуры умножения многочле-ов на основе реализации алгоритма быстрого преобразования Фурье озволяет повысить эффективность частотного метода исследования анемических процессов, более чем на порядок.

5. Предложенные методы решения нелинейных задач динамики . вляются эффективной алгоритмической основой глобального анализа зтановившихся колебаний пластин и оболочек при периодическом тешнем возбуждении, в том числе, возникновения и протекания .

зазипериодических и хаотических режимов, перестройки простран-гвенно-временных конфигураций движения в критических точках и ¡критической эволюции динамических режимов.

6. На конкретных примерах расчета колебаний различных плес-га и оболочек выявлено существенное влияние учета взаимодейст-гя изгибных форм на качественные и количественные оценки пара-¡тров, характеризующих протекание динамических процессов.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С. Построение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1978. - Eta.32. - C.I06-II0.

2. Баженов В.А., Гоцуляк E.A.VГуляев В.И.-, Дехтярюк Е.С. Устойчивость периодических процессов в нелинейных механических системах // Динамика пространственных конструкций. - К., 1978. -С.61-64,

3. Дехтярюк Е.С., Лизунов П.П., Попов С.Л. Реализация численного метода построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1979. - Вып.35. - С.15-20.

4. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Минькович В.И. Исследование вынужденных и параметрических колебаний стержневых и пластинчатых систем // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1980. - Вып.36. - С.34-38.

5.-Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Мельник-Мельников П.Г., Минькович В.И. Пакет программ для решения обобщенной цроблемы собственных значений // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1981. - Вып.38. - С.21-25.

6. Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С., Киричук A.A. Устойчивость нелинейных вынужденных колебаний сферических сегментов // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1981. Вып.38. - С.53-57.

• - • 7. Бор'исенко В.Г., Дехтярюк Е.С., Чемлаев В.В. Устойчивость нелинейных колебаний продольно-сжатых цилиндрических панелей под действием поперечной нагрузки // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1981. - Вып.39. - С.8-12.

8. 'Борисенко В.Г., Дехтярюк Е.С., Гуляев В.И. К исследованию нелинейных колебаний механических систем // Прикладная механика. - К., 1981. - Т.ХУП. - № 10. - С.93-99.

9. Гоцуляк-Е.А., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С., Киричук A.A. Численное исследование устойчивости нелинейных вынужденных колебаний тонких упругих оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1981. - С.51-60.

10. Гопуляк Е.А., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С., Киричук A.A. Устойчивость нелинейных колебаний оболочек вращения // Прикладная механика. - К., 1982. - Т.ХУШ. - № 6. - С.50-56.

'II. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д. Алгоритм построения ре-26

¡ений уравнений нелинейных колебаний упругих тел // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1982. - Вып.40. -J.12-16.

12. Дехтярюк Е.С., Чемлаев В.В. Устойчивость нелинейных вы-гужденных колебаний пологих прямоугольных в плане сферических шнелей // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., :982. - Вып.41. - С.27-307.

13. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Дехтярюк Е.С., • [изунов П.П. Устойчивость периодических процессов в нелинейных юханических системах // Выща школа. - Львов, 1983 - 286 с.

14. Исаханов Г.В., Гхазали А., Дехтярюк Е.С., Лумельский ¡.Д. Численное исследование вынужденных колебаний тонкостенных инструкций с учетом внутреннего рассеяния энергии // Сопротив-[ение материалов и теория сооружений. - К., 1983.'- Вып.43. -1.3-8.

15. Григоренко Я.М., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С., Чемлаев I.B. Устойчивость нелинейных вынужденных колебаний пологих пря-гаугольных в плане цилиндрических оболочек // Известия АН СССР, ¡еханика твердого тела, № 6, С.137-142.

16. Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С., Попов С.Л. К нелинейной те-|рии классического и срывного флаттера // В кн.: Труды У Всесо-»зного симпозиума "Колебания упругих конструкций с жидкостью". -[овосибирск, 1983. - С. 17-18.

17. Борисенко В.Г., Дехтярюк Е.С., Исаханов Г.В. Устбйчи-¡ость нелинейных вынужденных колебаний конических оболочек // 'опротивление материалов и теория сооружений. - К., 1984. -¡ып.44. - С.3-6.

18. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д. Численное построение не-инейных динамических моделей пологих оболочек и пластин // Со-ротивление материалов и теория сооружений. - К., 1984. - Вып. 5. - С.5-9. ' ■

19. Дехтярюк Е.С. Исследование устойчивости периодических олебаний нелинейных механических систем // Сопротивление мате-иалов и теория сооружений. - К., 1985. - Вып.46. - C.I0I-I05.

20. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Смирнов И.Г. Построено расчетных моделей деформированного состояния тонкостенных ■ лементов конструкций // Сб, "Архитектура зданий и сооружений".

Хабаровск. 1985. - С.44-47.

21. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Смирнов И.Г. Устойчи-ость стационарных динамических состояний пластин и оболочек

■ 27 '

при гармоническом воздействии // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1986, - Вып.48. - С,6-8.

22. Дехтярш Е.С. Численное исследование нелинейных колебаний пластин в поле.случайных давлений // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1986. - Вып.49. - C.8-I0.

23. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Ковтунов В..Б. Построение областей динамической неустойчивости пластин и оболочек // Прикладная механика. - К., 1987. - Je 5, - С.37-44.

24. Исаханов Г.В., Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Чемлаев.

B.В. Численный метод построения динамических моделей в задачах нелинейной динамики пластин и оболочек // Надежность и долговечность машин и сооружений. - К., 1987, й 12. - С.39-44.

25. Исаханов Г.В., Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д.■ Устойчивость вынужденных колебаний защемленной цилиндрической панели // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., IS87. - Вып.

50. - С.7-И.

26. Дехтярюк Е.С. Устойчивость вынуадеиных поперечных нелинейных колебаний пластин в окрестности плоской и криволинейной форм равновесия при закритических усилиях продольного сжатия // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1987. - Вып.

51. - С.19-24.

27. Дехтярюк Е.С., Ковтунов В.Б. Численное исследование периодических режимов параметрических колебаний цилиндрической панели Ц Сопротивление материалов и теория сооружений. - К.,1983. - Вып. 52. - С. 15-19.

28. Дехтярюк Е-.С. Численное исследование субгармонической бифуркации режимов вынужденных нелинейных колебаний оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1983. - Вып. 53'. - C.II-I5.

29; Тоцуляк Е.А., Дехтярюк Е.С., Заблоцкий С,Б., Кондаков Г.С., Ворисенко В.Г, Расчет на устойчивость и колебания оболочек •сложной формы I/ Методические указания к использованию комплекса программ "Р§дбаз". - Киев: Изд. Киев. инж.-строит.инст., 1988. -128 с.

30. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Петрина Ю.С., Рубарату-ка И. -Устойчивость закритических режимов колебаний тонкостенных элементов конструкций при периодическом воздействии // Межвузовский научный сборник "Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций". - Саратов, Саратовский госуниверситет, 1989. -

C.II4-TI6,

31. Дехтярюк B.C. Устойчивость квазипериодических пластин и оболочек при периодическом воздействии // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1989. - Вып.54. - С.3-8.

32. Дехтярюк B.C. Устойчивость*вынужденных осесимметричннх колебаний оболочек, вращения // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К., 1989. - Вып. 55. - С.104-108.

33. йсаханов Г.В., Дехтярюк Е.С., Ковтунов В,Б., Лумель-сний Е.-Д. Устойчивость и-бифуркации стационарных режимов при

нелинейных колебаниях пластин и оболочек // Проблемы прочности. - К., 1989. - № 12. - С.97-102.

%

to

а/

го

Л-'¿г/ мл / / < ш

11111 \1 ¡р

Рис. А

Подп. к печ.И VI 90. ЪЬАЦЪЗ . Формат 60Х84'/|в. Бумага тип. №3 . Печать офсетная. Усл. псч. л. -Г,РС . Усл. кр.-отт.Х,Р9. Уч.-изд. л. ¿,0 . . . Тираж /Оч£>

Зак. №У-УЙ .Бесплатно.

ГП ПНО «Укрвузполи(раф». 25215(, I. Кис'о, ул. Волынская, 60.