автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач устойчивости оболочек с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы

На правах рукописи

Чикулаев Алексей Витальевич

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ии34729 15

Орел - 2009

003472915

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет».

доктор технических наук, профессор Коробко Андрей Викторович

доктор технических наук, профессор Трещев Александр Анатольевич

кандидат технических наук, доцент Кожаринова Лилия Владимировна

Белгородский государственный технологический университет имени В.Г. Шухова

Защита состоится 26 июня 2009г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.182.05 при ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» по адресу: 302030, г. Орел, ул. Московская, 77, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке и на официальном сайте ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» - www.ostu.ru.

Автореферат разослан мая 2009г.

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

А.И. Никулин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория оболочек является одним из наиболее актуальных разделов строительной механики. Оболочки, как и другие тонкостенные пространственные конструкции, широко применяются в различных отраслях. Экономическая эффективность такого рода конструкций доказана на практике. Обладая относительно малой массой, оболочка представляет собой исключительно прочную конструктивную форму. Особое значение приобрело применение оболочек в строительстве, где они становятся одним из наиболее характерных конструктивных решений. Возможность перекрывать огромные пролеты тонкостенными перекрытиями без промежуточных опор сделала оболочки незаменимыми при строительстве специальных сооружений. Поиски инженеров и архитекторов привели к созданию новых конструктивных и архитектурных форм сооружений. Однако инженеры-строители далеко еще не исчерпали все многообразие этих форм, и, в связи с этим, нельзя считать, что развитие в этом направлении уже закончено.

Для расчётов оболочек, находящихся под действием различного рода нагрузок и имеющих различные граничные условия, на прочность, жесткость и устойчивость, применяются в основном численные методы и создаются на их основе целевые программные комплексы. Однако в расчётной практике до сих пор придается большое значение разработке и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач, которые не требуют разработки сложных расчётных программ, избавляют конструктора прибегать к применению ЭВМ на стадии проектировочного расчета, а также помогают ему правильно истолковывать и контролировать результаты проверочных расчётов.

В последние годы д.т.н., профессором A.B. Коробко был предложен новый инженерный метод решения двумерных задач строительной механики -метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных характеристик в задачах технической теории пластинок и интегральной характеристики их формы (коэффициента формы Kf ). Этот, метод позволяет, используя разнообразные геометрические преобразования с помощью известных «опорных» решений, получать с достаточно высокой точностью значения интегральных характеристик пластинок и мембран при анализе задач свободных колебаний, поперечного изгиба и устойчивости пластинок.

МИКФ требует дальнейшего совершенствования, поскольку остается еще множество нерешенных проблем при его применении к расчету пластин определенного класса форм, а к расчету оболочек он и вовсе не применялся. Кроме того, несмотря на очевидную простоту практической реализации этого метода, имеется необходимость разработки исследовательского программного комплекса для проведения конструкторских расчетов.

В связи с этим, решение задач устойчивости оболочек с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы является актуальной темой исследования.

Цель диссертационной работы состоит в совершенствовании метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) применительно к расчету устойчивости оболочек различной формы, имеющих постоянную гауссову кривизну.

Основными задачами исследования являются:

- изучение изопериметрических свойств и закономерностей изменения коэффициента формы для плоских областей при различных геометрических преобразованиях;

- разработка алгоритмов расчета коэффициента формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром;

- получение аналитической зависимости для расчета коэффициента формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну;

- изучение изопериметрических свойств и закономерностей изменения коэффициента формы для поверхностей с постоянной гауссовой кривизной;

- рассмотрение возможности применения метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач устойчивости оболочек;

- получение новых решений задач устойчивости оболочек методом конечных элементов;

- построение и исследование свойств граничных аппроксимирующих функции в координатных осях «верхняя критическая нагрузка - коэффициент формы» при однородных граничных условиях для исследуемых задач;

- разработка различных способов определения верхней критической нагрузки с использованием граничных аппроксимирующих функций;

- разработка алгоритмов и программного комплекса для решения конструкторских задач, связанных с анализом устойчивости оболочек.

Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использованы методы геометрического подобия областей при проведении различных геометрических преобразований. При исследовании физической стороны проблемы были применены метод конечных элементов, методы физико-механического подобия, геометрические методы строительной механики (изопериметрический и метод интерполяции по коэффициенту формы).

Научная новнзна работы состоит в следующем:

- разработаны алгоритмы, позволяющие вычислять коэффициент формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром;

- получена аналитическая зависимость, позволяющая рассчитывать коэффициент формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну;

- построены аппроксимирующие функции, ограничивающие область распределения верхней критической нагрузки оболочек, которые могут ис-

пользоваться для получения «опорных» решений при исследовании задач устойчивости;

- разработана методика использования МИКФ для определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек;

- разработан алгоритм программного комплекса для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек с помощью МИКФ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановки задач, подтверждается использованием фундаментальных математических принципов и методов, а также методов строительной механики и теории упругости, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими исследователями, приводимыми в научной и учебной литературе.

Теоретическая значимость и практическая ценность полученных в работе результатов.

Алгоритмы для расчета коэффициента формы плоских областей, аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей, свойства и закономерности изменения коэффициента формы поверхностей при различных геометрических преобразованиях являются теоретически значимыми результатами работы и позволяют существенно расширить область применения метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач теории пластин и оболочек.

Графическая интерпретация результатов исследования, позволяющая наглядно оценивать качественную и количественную стороны задач устойчивости оболочек с однородными граничными условиями; методика использования МИКФ для решения задач устойчивости оболочек рассматриваемых форм при различных однородных граничных условиях; программный комплекс для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и решения конструкторских задач по определению верхней критической нагрузки оболочек с помощью МИКФ имеют практическую ценность для решения задач устойчивости оболочек.

На защиту выносятся:

- алгоритмы расчета коэффициента формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром;

- аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну;

- аппроксимирующие функции, ограничивающие с двух сторон область распределения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек с различными однородными граничными условиями;

- методика использования МИКФ для определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек;

- алгоритм программного комплекса для расчета коэффициента формы

произвольных плоских областей с выпуклым контуром и вычисления верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек, имеющих постоянную гауссову кривизну с помощью МИКФ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Н-х Международных академических чтениях РААСН «Новые энергосберегающие архитектурно-конструктивные решения жилых и гражданских зданий» (Курск, 2007); Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности материалов и конструкций: модели, методы решения» (Самара, 2007); I всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2008).

Реализация результатов работы. Результаты проведенных исследований внедрены в проектную практику ООО Научно-технический центр «АПМ», ОАО «Гражданпроект», а также в учебный процесс ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» и ФГОУ ВПО «Орловский государственный аграрный университет».

Публикации, lio теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК России для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 160 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, списка использованных источников, включающего 127 наименований, и двух приложений. В работе приведены 56 рисунков и 9 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся ее общая характеристика, формулируются основная цель и задачи исследования, указываются достоверность и научная новизна результатов работы, их теоретическая значимость и практическая ценность, содержится информация об апробации работы, а также краткое содержание работы.

В первой главе содержится краткий ретроспективный обзор развития теории оболочек и теории устойчивости оболочек, описание аналитических и численных методов решения задач устойчивости оболочек; указываются перспективы развития и применения геометрических методов расчёта, в частности изопериметрического метода и МИКФ, сформулированы основная цель и задачи работы.

Большой вклад в исследование общих вопросов теории оболочек внесен в пауку отечественными учеными (Б.Г. Галеркин, В.З. Власов, С.П. Тимошенко, А.И. Лурье, В.В. Новожилов, АЛ. Гольденвейзер, Ю.Н. Работнов, И.Н. Векуа, К.Ф. Черных, Х.М. Муштари, К.З. Галимов, H.A. Алумяэ, В.М. Даревский, H.A. Кильчевский, Н.И. Мусхелишвили, П.М. Огибалов, В.В. Бо-

логин, и др.) и рядом иностранных (Э. Рейсснер, Е. Мейсснер, J1. Доннелл, В. Флюгге, Ф. Дишингер, В. Койтер, и др.).

Анализ основных положений геометрически нелинейной теории содержатся в монографиях A.C. Вольмира, С.П. Тимошенко, Х.М. Муштари, К.З. Галимова, Э.И. Григолюка, В.В. Кабанова, В.В. Болотина, А.Р. Ржаницына и работах В.М. Даревского, H.A. Алфутова и Г. Циглера. Геометрический аспект теории устойчивости тонких оболочек и нелинейной теории оболочек предложен в трудах A.B. Погорелова.

Изопериметрический метод решения задач строительной механики, теории упругости и математической физики, основоположниками которого считаются Г. Полна и Г. Сеге, в последние годы находит широкое применение.

Перспективы развития изопериметрического метода технической теории пластинок достаточно подробно рассмотрены в работах В.И. Коробко.

К эффективным геометрическим методам решения задач теории пластинок относится и метод интерполяции по коэффициенту формы, впервые предложенный A.B. Коробко и интенсивно развивающийся в последние годы. Основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных характеристик в задачах технической теории пластинок и интегральной характеристики их формы (коэффициента формы), метод, по своей математической сути, позволяет интерполировать решения между известными (опорными) и экстраполировать их за пределы интервала по коэффициенту формы.

Анализ работ, посвященных развитию геометрических методов расчёта пластинок, в частности изопериметрического метода и метода интерполяции по коэффициенту формы, показал, что эти методы дают возможность на основе геометрических аналогий получать решения сложных физических задач путём их сведения к элементарным геометрическим задачам. Были также попытки применения изопериметрического метода к решению задач теории оболочек, но дальнейшего развития ни изопериметрический метод, ни метод интерполяции по коэффициенту формы в этой области не получили.

В связи с этим тема диссертационного исследования «Решение задач устойчивости оболочек с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы» является актуальной.

Во второй главе приводятся общие сведения о коэффициенте формы плоской области, излагается геометрическая и физическая сущность МИКФ; разрабатываются алгоритмы расчета коэффициента формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром; выводится аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну, изучаются изопериметрические свойства и закономерности его изменения; рассматривается возможность применения МИКФ к решению задач устойчивости оболочек; излагается общая методика использования МИКФ для расчета верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек.

Коэффициент формы плоской области с произвольным выпуклым контуром (рисунок 1) определяется интегралом:

гсЬ

(О

где сЬ - линейный элемент контура, «а» - точка внутри замкнутой области, к -перпендикуляр, опущенный из точки «а» на касательную, проведённую к переменной точке контура.

1 /,

Рисунок 1 - Произвольная плоская область с выпуклым контуром

Рисунок 2 - Плоская область с выпуклым полигональным контуром

Для областей с полигональным контуром выражение (1) представляется в виде суммы:

А/,

К/а = 1т=1 [ctF.cc, + ) =£ (аЯа, + ),

,2

ч /

с1<р.

(3)

/=1"; ;=1 ■ 1=1 где п - число сторон многоугольника, а остальные принятые обозначения указаны на рисунке 2.

Для областей с криволинейным контуром формула (1) принимает следующий вид:

/. о

Для контура состоящего из прямолинейных и криволинейных участков применяется комбинация выражений (2) и (3).

Функции (1) и (3) имеют один глобальный экстремум, то есть т\пК/-и=К[ . Эта минимальная характеристика, численно определяющая

степень «правильности» (симметричности) плоских фигур и позволяющая сравнивать их между собой, обычно и применяется при решении задач строительной механики.

Если представить распределение значений Ку в координатных осях

Ку - К/р (где К - наибольший радиус вписанной в фигуру окружности, р -

наименьший радиус описанной вокруг нее окружности), то:

- все множество значений коэффициента формы для плоских областей с выпуклым контуром ограничено с двух сторон: нижнюю границу образуют

эллипсы, а верхнюю - правильные многоугольники и равнобедренные треугольники;

- для четырехугольных и треугольных областей нижнюю границу образуют прямоугольники.

Эти свойства и закономерности графически представлены на рисунке 3.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 R/P Рисунок 3 - Распределение значений К у

в координатных осях К^ - Д/р

Разрабатываются алгоритмы расчета коэффициента формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром.

Ввиду значительных математических трудностей при проведении интегрирования по каждому криволинейному участку, уравнение которого может быть задано самым произвольным образом, необходимы алгоритмы и программный комплекс для вычисления коэффициента формы областей с таким контуром.

Для поиска минимума контурного интеграла (1) используется метод координатного спуска. Этот метод позволяет свести задачу поиска наименьшего значения функции двух переменных К^а(х,у) к многократному решеншо

одномерной задачи.

На основе этого алгоритма был создан программный комплекс, который позволяет вычислять значения коэффициента формы для любой плоской области с выпуклым контуром.

На основании принципов дифференциальной геометрии с использованием полугеодезической параметризации поверхности была выведена аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну.

A7=«S

i=l

/ ."> л Ц_ 2А

y2A+Gi

где п - число участков ограничивающего контура; (7 - коэффициент первой квадратичной формы; А - площадь поверхности; Ь - периметр ограничивающего контура.

С учетом теоремы Гаусса-Бонне коэффициент формы для поверхностей постоянной гауссовой кривизны будет определяться по формуле:

„ п " .э 2АпГ ... к/=—Х1>+-7-V' (5)

2 А ,-=] п

2-л + Е ;=1

ei -]kGds

, А V

где Г - гауссова кривизна; 6t - входящие углы, образуемые ограничивающим контуром; kG - геодезическая кривизна.

Полученные зависимости были подробно изучены, в частности изопе-риметрические свойства и закономерности изменения коэффициента формы поверхностей при различных геометрических преобразованиях. На основании этого сформулированы основные его свойства:

- коэффициент формы не зависит от масштаба фигуры, то есть он инвариантен к изменению масштаба;

- коэффициент формы также инвариантен к изменению одной из главных кривизн поверхности. Так, например, при искривлении прямоугольной плоской поверхности в цилиндрическую поверхность коэффициент формы остается постоянным. Это свойство коэффициента формы является аналогом изометричности поверхностей описанной A.B. Погореловым.

В связи с этим была выдвинута гипотеза о том, что регулярные поверхности Ф| и Ф2 образованные изгибанием1 имеют одинаковый коэффициент формы.

A.B. Погореловым доказана теорема: если регулярные поверхности Ф{ и Ф2 можно параметризовать так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы, то эти поверхности изометричны; и обратно, если поверхности Ф, и Ф2 изометричны, то они могут быть параметризованы так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы.

Так как при изгибании поверхности длины кривых не изменяются, то она в любой момент изгибания изометрична исходной поверхности и при соответствующей параметризации первая квадратичная форма не будет изменяется.

' Изгибанием поверхности называется такал непрерывная сс деформация, при которой длины кривых на поверхности не изменяются. Примером может служить изгибание листа бумаги.

С учетом этой теоремы A.B. Погорелова можно выделить еще одно очень важное свойство коэффициента формы поверхностей: поверхности, образованные изгибанием, изометричны и имеют при соответствующей параметризации одинаковые первые квадратичные формы и коэффициенты формы.

На основании общей аналитической зависимости (5) для вычисления коэффициента формы поверхностей с постоянной гауссовой кривизной были получены простые формулы для частных случаев цилиндрических поверхностей, имеющих прямоугольный, треугольный, параллелограммный, эллиптический ограничивающий контур при развертке в плоскость, а также для сферических поверхностей, которые не могут быть образованы изгибанием.

Коэффициент формы для произвольной цилиндрической поверхности Ф| может быть подсчитан по формуле для плоской поверхности Ф2 , полученной путем изгибания поверхности Ф\ .

Рассматривается возможность применения МИКФ к решению задач устойчивости оболочек на примере пологих цилиндрических панелей, имеющих форму прямоугольника на плане, и путем несложных математических преобразований известного решения показывается, что верхняя критическая нагрузка таких оболочек функционально зависит от коэффициента формы поверхности:

где Е - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона, И - толщина.

В этой же главе излагается общая методика использования МИКФ для расчета верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек.

В третьей главе строятся аппроксимирующие граничные функции для прямоугольных, треугольных и эллиптических непологих цилиндрических оболочек, а также сферических оболочек с шарнирно опертым и жёстко защемлённым контуром; излагается методика определения верхней критической нагрузки для оболочек рассматриваемых форм с помощью МИКФ; проводится тестирование полученных зависимостей.

Рассматривается применение МИКФ к нахождению верхней критической нагрузки в задачах устойчивости непологих цилиндрических оболочек без каких либо предположений о форме потери устойчивости. Данная задача представляется в физически и геометрически линейной постановке, связанной с вычислением первого собственного значения, соответствующего первой собственной форме потери устойчивости.

Задача ставится следующим образом. Требуется определить верхнюю критическую нагрузку для оболочки с толщиной /г и однородными граничными условиями. Оболочка нагружена равномерно распределенной по всей поверхности нагрузкой с/, Па, действующей со стороны выпуклости.

(6)

Общее решение задачи устойчивости непологих цилиндрических оболочек ищется в виде

1

Eh

;s/2

\1/2

3/2

Л 2\3/4 (1-V )

(7)

где Kq - приведенная верхняя критическая нагрузка, А - площадь цилиндрической оболочки, Ап - площадь прямоугольной цилиндрической оболочки, b-(pR- криволинейный размер, R - радиус кривизны.

Для того, чтобы каждый раз не находить опорные решения для цилиндрических оболочек методом конечных элементов при различных геометрических преобразованиях, целесообразно построить один раз аппроксимирующие функции по найденным решениям. При построении аппроксимирующих функций использовались решения полученные с помощью модулей АРМ Studio (препроцессор создания моделей для конечно-элементного анализа) и АРМ Structure3D (процессор конечно-элементного анализа и постпроцессор визуализации результатов). Для построения каждой кривой использовалось не менее девяти известных значений. По полученным данным подбирались аппроксимирующие кривые с использованием программы MS Excel и Table Curve и определялись отклонения от заданных значений. Аппроксимирующие кривые получены численными методами; критерием достоверности аппроксимации служил коэффициент детерминации R2. Далее проводился анализ представленных результатов, и, таким образом, были выявлены наиболее простые для использования при ручном счете и более точные функции.

v i ' *

■•и I' / . -

&

a-tpR

л » , ?

< , .г,-,.а"

а) б) в)

Рисунок 4 - Аффинное растяжение квадратной цилиндрической панели в прямоугольную

По полученным с помощью МКЭ данным для прямоугольных цилиндрических оболочек (рисунок 4) построены следующие аппроксимирующие функции для ручного счета: - шарнирное опирание -

Кч = а + ЬК+ сК/2 + (1К/3 + вК^ , (8)

где а = 1,287; Ь = -46,853; с = 1059,982; <1 = -9992,312; е = 36696,702.

■ жесткое защемление -

Кч = а + ЬК/} + сК{~2 + йК}'ъ + еК^ , где а = 2,301; ¿ = -101,081; с = 2385,084; ¿ = -23203,276; е = 82165,671.

| У

I / А

м * ■

а) б) в)

Рисунок 5 - Аффинное растяжение треугольной на плане цилиндрической панели

Для цилиндрических оболочек, имеющих форму равнобедренных треугольников при развертке в плоскость (рисунок 5):

- шарнирное опирание-

К=а + ЬКГх+сКг-2+с1Кг'ъ+еК/4, " (10)

4 J J } 3 - -

где а = 4,073; ¿> = -281,643; с = 8000,525; й? = -92984,44; е = 394152,74.

- жесткое защемление -

Кч =а + ЬК/1 + сК]~г + ¿К/3 + еК/4 , (11)

где а = 4,615; ¿> = -307,62; с = 8900,254; ¿ = -105212,35; е = 452254,58.

ЛЛ _ а

V У

а-фИ аг'и

\ т-- 1

•Л/, *

■Л" 1

а) б) в)

Рисунок 6 - Аффинное растяжение эллиптической на плане цилиндрической панели

Для цилиндрических оболочек, имеющих эллиптическую форму при развертке в плоскость (рисунок 6): - шарнирное опирание -

Кч =а + ЬК/{ + сК/2 + ¿¿у3 + еК/4, (12)

где а = 1,619; ¿> = -54,469; с = 977,167; ¿ = -7184,996; е = 19927,95.

■ жесткое защемление -

К„ = а + ЬК

{ 1 +сК/'2 + Ж/3 +еК/л ,

(13)

где а = 4,003; ¿ = -143,937; с = 2352,314; й = -16323,199; е = 41826,765.

Результаты, полученные с помощью аппроксимирующих функций МИКФ и МКЭ, совпадают с погрешностью не более 3,5%.

Значения приведенной верхней критической нагрузки, подсчитанные с помощью полученных аппроксимирующих функций представлены графически на рисунке 7 при различных однородных граничных условиях для различных форм непологих цилиндрических оболочек.

/

I

7

1

-р

/

/I

У ч /

- -

а 001 о.о? о.оз ом о.ю о.об ао? о.ш о.® о.1 о.п ал? из о.м 0.19 а>5

0.01 а.02 0,03 0.0« 0.09 О.ОБ С.07 О.Ш С,[В 0.1 0." 0, и 0,13 0.1« 0,19 0Л6 0,1? |

а) б)

Рисунок 7 - График зависимости приведенной верхней критической нагрузки от коэффициента формы для рассмотренных цилиндрических оболочек при: а) шарнирном опирании, б) жестком защемлении ограничивающего контура

На приведенных выше рисунках кривая 1 соответствует треугольным на плане цилиндрическим панелям, кривая 2 - прямоугольным, а кривая 3 - эллиптическим.

Рассматриваются примеры применения метода интерполяции по коэффициенту формы с использованием полученных граничных кривых в качестве опорных решений.

Пример 1. Требуется определить верхнюю критическую нагрузку для шарнирно опертой по всему контуру овальной цилиндрической оболочки (рисунок 8) с радиусом кривизны ограничивающего контура Л = 0,5 л*, толщиной

/7 = 0,01 м и размерами при развертке в плоскость а = 2м, <рЯ = 1 м (рисунок 9); физические свойства материала: коэффициент Пуассона у = 0,3, модуль упругости £ = 2-10" Па. Коэффициент формы данной панели равен К^8, площадь Л = 1,785л<2.

1

.V ; Т

\»I

.Л

V \

ч

Г

Рисунок 8 - К постановке

задачи устойчивости овальной на плане непологой цилиндрической оболочки

На рисунке 9 показано геометрическое преобразование прямоугольной цилиндрической оболочки (рисунок 9,а) в цилиндрическую оболочку, имеющую форму эллипса при развертке в плоскость (рисунок 9,в), при котором

' а) б) в)

Рисунок 9 - Геометрическое преобразование прямоугольной на плане цилиндрической оболочки в эллиптическую

В качестве опорных фигур выбираем прямоугольную цилиндрическую оболочку с коэффициентом формы Кп = 10 и эллиптическую ( Кп = 7,854 ), решение для которых ищем с помошью граничных функций (8) и (12): кя1= 0,879, А;2 = 0,932.

Продемонстрируем это графически на рисунке 10.

Как видно из графика, значения приведенной верхней критической нагрузки для опорных решений практически равны. Они отличаются всего лишь на 6%. Значение приведенной верхней критической нагрузки для овальной цилиндрической оболочки лежит между ними. Не прибегая к дополнительным вычислениям, приняв это значение, равным среднеарифметическому двух опорных, получим К =0,906. В результате

мы получаем решение данной задачи уже с максимально возможной погрешностью в 3%.

Тем не менее, для большего уточнения решения применим линейную интерполяцию, в результате которой получим Кц - 0,929.

О 0,01 Ц02 0.03 0,04 0,05 0.06 0,07 0,09 1' Кп 1 ' £п 0.1Л 0,15 0,16 0.17 ^ -у

Рисунок 10 - Графическое представление задачи в координатных осях К -1/

Рисунок 11 - Форма потери устойчивости

Вычисляем значение верхней критической нагрузки по (7):

д = 5,967 -106 Па, и сравниваем полученный результат с результатом МКЭ (рисунок 11):

Чмкэ = 6,01 • 106 Па. Погрешность составляет 0,72% .

Приводятся также примеры вычисления верхней критической нагрузки в задачах устойчивости непологих цилиндрических оболочек, имеющих при развертке в плоскость форму трапеции и правильного шестиугольника.

Рассматривается применение МИКФ к нахождению верхней критической нагрузки в задаче устойчивости сферической оболочки.

В качестве геометрического преобразования, описывающего все множество форм сферических поверхностей, используется изменение гауссовой кривизны сферической оболочки при сохранении размеров на плане (рис. 12).

2 г

Ы

</\, a, ip, а

а, > а >а2 <Р1<Ч><<Р2 Я, > R > R2

а) б) с)

Рисунок 12 - Геометрическое преобразование сферической поверхности

Пример 2. Определим верхнюю критическую нагрузку для шарнирно опертой по всему контуру сферической панели с углом а = 75°, радиусом кривизны ограничивающего контура г =0,05 м, толщиной h = 0,001 м ; коэффициент Пуассона v = 0,3, модуль упругости £ = 2-10и Па. Коэффициент формы такой панели равен Kf =6,605 .

В качестве опорных фигур выберем сферические панели с углами а| =85° (угол раствора =10°) и а2 =60° (угол раствора ср2 =60°), решение для которых ищем с помощью МКЭ (таблица 1).

Предположим, что зависимость приведенной верхней критической нагрузки от коэффициента формы панели линейная. Используя линейную интерполяцию

ц* = 161523,69-Кf -1014277,39 , (14)

получим д*МШФ =52540,54Я , что отличается от решения, полученного методом конечных элементов (с/ *Ш(Э = 51779,58 Я ) на 1,47%,

Таблица 1 - Решение задачи устойчивости для опорных фигур методом конечных элементов.

Первое опорное решение а, = 85" Второе опорное решение а2 = 60°

Коэффициент формы К( 6,319 7,546

Верхняя критическая нагрузка д, Я / м2 0,822 ТО6 24,308-Ю6

Площадь поверхности А, м2 7,868-Ю"3 8,417-Ю"3

Приведенная верхняя критическая нагрузка д* = д ■ А, Я 6465,64 204607

Форма потери устойчивости

Пример 3. Не ограничиваясь только зоной пологости, найдем приведенную верхнюю критическую нагрузку для шарнирно опертой сферической оболочки с углом а = 15° при тех же значениях физических свойств материала, радиуса кривизны ограничивающего контура и толщины оболочки, что и в примере 2. Коэффициент формы такой оболочки равен Кг=13,268 . В качестве опорных выберем те же решения (таблица 1), что и в примере 2. Соответственно, линейно экстраполируя, используя (14), вычисляем ц*ШКФ = 1128855,11Я, что отличается от решения, полученного методом конечных элементов (ц*мкэ = 1118768,37 Я ) на 0,9% .

Обобщая полученный результат на все множество сферических оболочек решение задачи устойчивости ищется в виде:

И2 Г

д=кч--=, (15)

где А - толщина оболочки, А - площадь поверхности оболочки, К - приведенная верхняя критическая нагрузка.

Таким образом, для всего множества сферических оболочек без каких либо предположений о форме потери устойчивости получаем величину верхней критической нагрузки в следующем виде:

- шарнирное опирание

- жесткое защемление

Кч =0,77 -Kf

-4,84,

(16)

^=0,8-^-5,02,

(17)

Следует также отметить тот факт, что решение задачи устойчивости сферических оболочек с помощью МИКФ в пасти определения верхней критической нагрузки сводится к единственной разрешающей формуле, тем самым, объединяя задачи устойчивости сферических оболочек и пологих сферических панелей.

В четвертой главе разрабатывается алгоритм решения задач с помощью МИКФ, приводится описание программного комплекса «МИКФ». Представлены принципы работы программы, её возможности, излагается методика работы с программным комплексом. На конкретных примерах рассматривается функционирование алгоритма программы.

Визуально программа оформлена в виде рабочего окна со строкой главного меню, табло и набором необходимых компонентов (рисунок 13).

Программный комплекс «МИКФ» представляет собой отдельную программу, выполненную в виде исполняемого файла, написан на языке Object Pascal в среде Delphi7. Программа предназначена для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек с различными граничными условиями методом интерполяции по коэффициенту формы.

а в

gjg«^»^j

У, » ..'*. т ,

\

? г

РбЯЦС Я

В«(Х<№» крКПММЖ«: HS

Рисунок 13 - Диалоговые окна программного комплекса «МИКФ»

В приложении А приводится листинг программного комплекса «МИКФ».

В приложении К приводятся акты о внедрении результатов диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В данной диссертационной работе представлено решение актуальной задачи по развитию метода интерполяции по коэффициенту формы применительно к анализу устойчивости оболочек различных форм, имеющих постоянную гауссову кривизну, при этом:

• разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитывать коэффициент формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром, который может быть использован при решении задач технической теории пластинок в постановке МИКФ;

• получена аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей постоянной гауссовой кривизны, существенно расширяющая возможности МИКФ в теории оболочек;

• изучены закономерности изменения коэффициента формы для поверхностей с постоянной гауссовой кривизной, сформулированы основные его свойства;

• теоретически и численными расчётами подтверждена функциональная связь верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек с коэффициентом формы для поверхностей, рассмотрены возможности применения метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач устойчивости оболочек;

• методом конечных элементов с использованием модулей АРМ Structure 3D и АРМ Studio, входящих в состав CAD/CAE АРМ Civil Engineering, решены задачи устойчивости для сферических и непологих цилиндрических оболочек с различными однородными граничными условиями;

• построены граничные аппроксимирующие функции в координатных осях «верхняя критическая нагрузка - коэффициент формы» и исследованы их свойства при однородных граничных условиях для рассматриваемых задач, что позволяет наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны задач устойчивости оболочек;

• разработанная методика использования МИКФ для определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек протестирована на многочисленных примерах и показала хорошую сходимость результатов (погрешность не превышает 6%);

• разработан алгоритм программного комплекса для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и для решения конструкторских задач, связанных с анализом устойчивости оболочек.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих научных работах: Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертации:

1. Коробко, A.B. Коэффициент формы области с криволинейной поверхностью [Текст] / A.B. Коробко, В.Н. Сокотущенко, A.B. Чикулаев // Строительная механика и расчет сооружений. - М.: ФГУП «НИЦ «Строительство», 2007.-С. 50-53.

2. Коробко, A.B. Решение задачи устойчивости сферической оболочки [Текст] / A.B. Коробко, A.B. Чикулаев II Известия ОрелГТУ. Сер.: Строительство. Транспорт. - Орел: ОрелГТУ, 2007. - №4. - С. 44-47. Публикации в других изданиях:

3. Коробко, A.B. Повышение точности двусторонних оценок изоперимет-рического метода в двумерных задачах строительной механики. [Текст] / A.B. Коробко, И.Н. Трусов, A.B. Чикулаев II Известия ОрелГТУ. Сер.: Строительство. Транспорт. - Орел: ОрелГТУ, 2004. - №3-4. - С. 47-49.

4. Коробко, A.B. Способ и алгоритм определения коэффициента формы для областей с криволинейными участками контура. [Текст] / A.B. Коробко, В.В. Гефель, A.B. Чикулаев II Известия ОрелГТУ. Сер.: Строительство. Транспорт. - Орел: ОрелГТУ, 2005. - №3-4. - С. 55-57.

5. Коробко, A.B. Расчет устойчивости прямоугольной в плане пологой оболочки методом интерполяции по коэффициенту формы [Текст] / A.B. Коробко, A.B. Чикулаев // Известия ОрелГТУ. Сер.: Строительство. Транспорт. - Орел: ОрелГТУ, 2006. - №3-4. - С. 35-38.

6. Коробко, A.B. Использование метода интерполяции по коэффициенту формы для областей с выпуклой поверхностью [Текст] / A.B. Коробко, A.B. Чикулаев, Ю.В. Шурупова // Актуальные проблемы динамики и прочности материалов и конструкций: модели, методы решения. Материалы международной научно-технической конференции (1-3 июня 2007 г., Самара). - Орел: ОрелГТУ, 2007. - С. 25-26.

7. Коробко, A.B. Коэффициент формы области с криволинейной поверхностью [Текст] / A.B. Коробко, A.B. Чикулаев II Проблемы оптимального проектирования сооружений. Материалы 1-ой всероссийской конференции (8-10 апреля 2008 г., Новосибирск). - Новосибирск: НГАСУ Сибст-рин, 2008.-С. 184-190.

Подписано к печати 14.05.2009 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Объем 1,0 усл. п.п. Тираж 100 экз.'Заказ № 2015

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе Орловского государственного технического университета 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ РАБОТ ПО УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

1.1 Краткий исторический обзор

1.2 Основные методы решения

1.3 Обоснование выбора темы исследования

2 МЕТОД ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ

2.1 Интегральная характеристика формы плоской выпуклой области 35 (коэффициент формы)

2.2 Способы и алгоритмы определения коэффициента формы для 43 плоских выпуклых областей с произвольным ограничивающим контуром

2.3 Коэффициент формы области в виде криволинейной 48 поверхности

2.4 Основные свойства коэффициента формы поверхностей 52 постоянной гауссовой кривизны

2.5 Функциональная связь верхней критической нагрузки в задачах 59 устойчивости оболочек с коэффициентом формы

2.6 Методика использования МИКФ

3 УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКИХ И НЕПОЛОГИХ 71 ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

3.1 Устойчивость непологих цилиндрических оболочек

3.1.1 Выбор аффинных преобразований и способы решения задач

3.1.2 Построение аппроксимирующих кривых

3.1.3 Постановка задач в методе конечных элементов

3.1.4 Цилиндрические оболочки прямоугольные на плане

3.1.5 Цилиндрические оболочки треугольные на плане

3.1.6 Цилиндрические оболочки эллиптические на плане

3.1.7 Примеры решения задач

3.2 Устойчивость сферических оболочек

4 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

4.1 Основные положения

4.2 Расчет коэффициента формы произвольных плоских областей 102 с выпуклым контуром с помощью программного комплекса «МИКФ»

4.3 Расчет верхней критической нагрузки в задачах устойчивости 105 оболочек постоянной гауссовой кривизны с помощью программного комплекса «МИКФ»

Актуальность темы. Теория оболочек является одним из наиболее актуальных разделов строительной механики. Оболочки, как и другие тонкостенные пространственные конструкции, широко применяются в различных отраслях. Развитие строительных, авиационных, судостроительных и других конструкций во многих случаях связано с использованием тонкостенных систем: в машиностроении - это корпуса всевозможных машин; в приборостроении - гибкие упругие элементы: мембраны, тарельчатые пружины; в гражданском и промышленном строительстве - перекрытия, навесы и козырьки; в кораблестроении -корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении - фюзеляжи и крылья самолетов; в ракетостроении - корпуса ракет; в тоннелестроении - обделка тоннелей; в гидротехническом строительстве - арочные плотины, затворы; в промышленной аппаратуре - всевозможные емкости, резервуары; и т.п. Экономическая эффективность такого рода конструкций доказана на практике. Обладая относительно малой массой, оболочка представляет собой исключительно прочную конструктивную форму. Особое значение приобрело применение оболочек в строительстве, где они становятся одним из наиболее характерных конструктивных решений. Возможность перекрывать огромные пролеты тонкостенными перекрытиями без промежуточных опор сделала оболочки незаменимыми при строительстве специальных сооружений. Поиски инженеров и архитекторов привели к созданию новых конструктивных и архитектурных форм сооружений. Однако инженеры-строители далеко еще не исчерпали все многообразие этих форм, и, в связи с этим, нельзя считать, что развитие в этом направлении уже закончено.

Непростыми бывают в ряде случаев условия опирания элементов тонкостенных конструкций. Следует, к тому же, иметь в виду огромное разнообразие воздействий, испытываемых рассматриваемыми конструкциями (различные силовые и температурные воздействия - как статические, так и динамические). Наряду со сложностью форм и воздействий тонкостенные конструкции, как правило, отличаются еще и тем, что к ним предъявляются жесткие требования в отношении надежности и одновременно легкости. В связи с этим расчет таких конструкций исключительно ответствен, и вместе с тем он очень сложен. Указанными обстоятельствами и объясняется то большое внимание, которое уделяется разработке теории оболочек.

Для расчётов оболочек, находящихся под действием различного рода нагрузок и имеющих различные граничные условия, на прочность, жесткость и устойчивость, применяются в основном численные методы и создаются на их основе целевые программные комплексы. Однако в расчётной практике до сих пор придается большое значение разработке и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность, жесткость и устойчивость конструкций, что способствует более правильному пониманию её расчетной схемы. Такие методы не требуют разработки сложных расчётных программ, избавляют конструктора прибегать к применению ЭВМ на стадии проектировочного расчета, а также помогают ему правильно истолковывать и контролировать результаты проверочных расчётов. Кроме того, упрощённые аналитические методы применяются в системах автоматизированного проектирования на стадиях оптимизации геометрии конструкций, когда проверочный расчёт многократно повторяется с целью подбора ее оптимальных параметров.

В последние годы д.т.н., профессором A.B. Коробко был предложен новый инженерный метод решения двумерных задач строительной механики - метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных характеристик в рассматриваемых задачах технической теории пластинок и интегральной характеристики их формы (коэффициента формы Кf). Этот метод позволяет, используя разнообразные геометрические преобразования с помощью известных «опорных» решений, получать с достаточно высокой точностью значения интегральных характеристик пластинок и мембран при анализе задач свободных колебаний, поперечного изгиба, жесткости и устойчивости пластинок.

Однако МИКФ требует дальнейшего совершенствования, поскольку остается еще множество нерешенных проблем при его применении к расчету пластин определенного класса форм, а к расчету оболочек он и вовсе не применялся. Кроме того, несмотря на свою очевидную простоту практической реализации, имеется необходимость разработки исследовательского программного комплекса для проведения конструкторских расчетов.

Цель диссертационной работы состоит в совершенствовании метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) применительно к расчету устойчивости оболочек различной формы, имеющих постоянную гауссову кривизну.

Основными задачами исследования являются:

-изучение изопериметрических свойств и закономерностей изменения коэффициента формы для плоских областей при различных геометрических преобразованиях;

-разработка алгоритмов расчета коэффициента формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром;

-получение аналитической зависимости для расчета коэффициента формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну;

-изучение изопериметрических свойств и закономерностей изменения коэффициента формы для поверхностей с постоянной гауссовой кривизной;

-рассмотрение возможности применения метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач устойчивости оболочек;

-получение новых решений задач устойчивости оболочек методом конечных элементов;

-построение граничных аппроксимирующих функции в координатных осях «верхняя критическая нагрузка — коэффициент формы» и исследование их свойств при однородных граничных условиях для рассматриваемых задач;

-разработка различных способов определения верхней критической нагрузки с использованием граничных аппроксимирующих функций;

-разработка алгоритмов и программного комплекса для решения конструкторских задач, связанных с анализом устойчивости оболочек.

Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использованы методы геометрического подобия областей при проведении различных геометрических преобразований. При исследовании физической стороны проблемы были применены метод конечных элементов,' методы физико-механического подобия, геометрические методы строительной механики (изопериметрический и метод интерполяции по коэффициенту формы).

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработаны алгоритмы, позволяющие вычислять коэффициент формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром;

- получена аналитическая зависимость, позволяющая рассчитывать коэффициент формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну;

- построены аппроксимирующие функции, ограничивающие область распределения верхней критической нагрузки оболочек, которые могут использоваться для получения «опорных» решений при исследовании задач устойчивости;

- разработана методика использования МИКФ для определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек;

- разработан алгоритм программного комплекса для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек с помощью МИКФ.

Теоретическую значимость и практическую ценность полученных в работе результатов составляют:

- построенные алгоритмы расчета коэффициента формы для плоских областей, ограниченных произвольным выпуклым контуром;

- полученная аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну, и анализе свойств и закономерностей изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях;

- графическая интерпретация результатов исследования геометрической и физической сторон задач устойчивости оболочек с однородными граничными условиями, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;

- разработанная методика использования МИКФ для решения задач устойчивости оболочек рассматриваемых форм при различных однородных граничных условиях;

- разработанный программный комплекс для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и решения конструкторских задач по определению верхней критической нагрузки оболочек с помощью МИКФ.

Достоверность полеченных в работе результатов обеспечивается корректностью постановки задач, подтверждается использованием фундаментальных математических принципов и методов, а также методов строительной механики и теории упругости, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими исследователями, приводимыми в научной и учебной литературе.

На защиту выносятся:

- алгоритмы расчета коэффициента формы для произвольных плоских областей с выпуклым контуром;

- аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей, имеющих постоянную гауссову кривизну;

- аппроксимирующие функции, ограничивающие с двух сторон область распределения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек с различными однородными граничными условиями;

- методика использования МИКФ для определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек;

- алгоритм программного комплекса для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и вычисления верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек, имеющих постоянную гауссову кривизну с помощью МИКФ.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: И-х Международных академических чтениях РААСН «Новые энергосберегающие архитектурно-конструктивные решения жилых и гражданских зданий» (Курск, 2007); Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности материалов и конструкций: модели, методы решения» (Самара, 2007); I всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2008).

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 160 страницах, включающих 122 страницы основного текста, и состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, списка использованных источников, включающего 127 наименований, и двух приложений. В работе приведены 56 рисунков и 9 таблиц.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В данной диссертационной работе представлено решение актуальной задачи по развитию метода интерполяции по коэффициенту формы применительно к анализу устойчивости оболочек различных форм, имеющих постоянную гауссову кривизну, при этом:

• разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитывать коэффициент формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром, который может быть использован при решении задач технической теории пластинок в постановке МИКФ;

• получена аналитическая зависимость для расчета коэффициента формы поверхностей постоянной гауссовой кривизны, существенно расширяющая возможности МИКФ в теории оболочек;

• изучены закономерности изменения коэффициента формы для поверхностей с постоянной гауссовой кривизной, сформулированы основные его свойства;

• теоретически и численными расчётами подтверждена функциональная связь верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек с коэффициентом формы для поверхностей, рассмотрены возможности применения метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач устойчивости оболочек;

• методом конечных элементов с использованием модулей АРМ Structure 3D и АРМ Studio, входящих в состав CAD/CAE АРМ Civil Engineering решены задачи устойчивости для сферических и непологих цилиндрических оболочек с различными однородными граничными условиями;

• построены граничные аппроксимирующие функции в координатных осях «верхняя критическая нагрузка - коэффициент формы» и исследованы их свойства при однородных граничных условиях для рассматриваемых задач, что позволяет наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны задач устойчивости оболочек;

• разработанная методика использования МИКФ для определения верхней критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек протестирована на многочисленных примерах и показала хорошую сходимость результатов (погрешность не превышает 6%).

• разработан алгоритм программного комплекса для расчета коэффициента формы произвольных плоских областей с выпуклым контуром и для решения конструкторских задач, связанных с анализом устойчивости оболочек.

1. Ал футов, H.A. Устойчивость движения и равновесия Текст. / H.A. Алфутов, К.С. Колесников. М. - Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 256 с.

2. Алумяэ, И.А. Теория упругих оболочек и пластинок Текст. / И.А. Алумяэ М. - Механика в СССР за 50 лет, Наука, 1972. - т. 3. - С. 234, 236, 261.

3. Анпилогова, A.B. Геометрические свойства и несущая способность оболочек Текст. / Анпилогова, A.B., Дехтярь A.C., Погорелый Д.Ф. // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1987. - N 4. - С. 26-29.

4. Болотин, В.В. Вопросы общей теории упругой устойчивости Текст. /

5. B.В. Болотин // Прикладная математика и механика. 1965. - вып. 5.1. C. 12-19.

6. Болотин, В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости Текст. /В.В. Власов. М. - Физматгиз, 1961.-340 с.

7. Власов, В.З. Общая теория оболочек Текст.: Избранные труды. Том I, ч.Ш. / В.З. Власов.- М. АН СССР, 1962. - 528 с.

8. Вольмир, A.C. Гибкие пластины и оболочки Текст. / A.C. Вольмир. М. - Гостехиздат, 1956. — 419 с.

9. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем Текст. /A.C. Вольмир. М. - Наука, 1967. - 880 с.

10. Гефель, В.В. Развитие и применение МИКФ к решению задач технической теории пластинок, связанных с треугольной областью Текст.: дис.' . канд. техн. наук: 05.23.17 / Гефель Владислав Владимирович. Орел, 2006. — 183 с.

11. Гольденвейзер, A.JI. Теория упругих тонких оболочек Текст. /A.JL Гольденвейзер. — М. — Наука, 1976. — 544 с.

12. Гольденвейзер, A.JI. Уравнения теории тонких оболочек Текст. /А.Л. Гольденвейзер // Прикладная математика и механика 1940. - т. 4, №2. -С. 35-42.

13. Григолюк, Э.И. Устойчивость оболочек Текст. / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов. М. - Наука, 1978. - 360 с.

14. Дехтярь, A.C. О форме и несущей способности замкнутых рам Текст. / A.C. Дехтярь // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1989. — N 3. — С.19-22.

15. Дехтярь A.C. Форма и несущая способность призматических оболочек Текст. / A.C. Дехтярь, Д.Ф. Погорелый // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1989. - N 55. - С. 41-44.

16. Доннелл, Л.Г. Балки, пластины и оболочки Текст. / Л.Г. Доннелл: под ред. Э.И. Григолюка. М. - Наука, 1982. - 568 с.

17. Кильчевский, H.A. Основы аналитической механики оболочек Текст. / H.A. Кильчевский. Киев. - Наукова думка, 1963. - 353 с.

18. Киржаев, Ю.В. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач предельного равновесия пластинок Текст.: дис. . канд. техн. наук: 05.23.17 / Киржаев Юрий Викторович.-Орел, 2005.- 161 с.

19. Колесник, И.А. К вопросу о геометрической жесткости кручения секториальных призматических брусьев Текст. / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Математическое и электронное моделирование в машиностроении. Киев. - Ин-т кибернетики АН УССР. - 1989. -С. 77-84.

20. Колесник, И.А. Кручение упругих призматических брусьев с сечением в виде' параллелограмма Текст. / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Проблемы машиностроения. 1991. -N 36. - С. 34-39.

21. Колесник, И.А. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии Текст. / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. — Киев. 1993. - N 61.

22. Колесник, И.А. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике Текст. / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев. - Институт кибернетики АН Украины. - 1993.

23. Колку нов, H.B. Основы,: расчета упругих оболочек Текст. / II. В.i

24. Колкунов. М. — Высшая школа. - 1987. - 255 с.

25. Коробко, A.B. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим методом Текст.; / A.B. Коробко, А.Н. Хусточкин //

26. Изв. вузов. Авиационная техника. 1992. --•№ 1. - С. 105-114:29: Коробко,' А.В: Решение задач строительной механики; методом интерполяции, по коэффициенту формы Текст. / A.B. Коробко // Изв. вузов. Авиационная.техника. 1995:-№ 3. -С. 81-84.

27. Коробко, А.В: Решение задачг строительной механики, связанных с фигурами в виде, правильных многоугольников Текст. / A.B. Коробко А.В://Изв.,вузов. Строительство. 1995.-№ 4- С. 114-119.

28. Коробко; A.B. Метод? интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твердого тела Текст.; / A.B. Коробко Ставрополь. -Изд-во Ставропольского университета.- 1995. - 165 с.

29. Коробко, А.В; Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению; некоторых задач строительной механики Текст. /- А.В; Коробко // Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел. - 1996. - Вып. 2. - С. 114-122.

30. Коробко, A.B. Расчет трапециевидных пластинок (мембран, сечений) методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / A.B. Коробко // Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. - № 2. - С. 103-107.

31. Коробко, A.B. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости и строительной механики Текст.: дис. . д-ра техн. наук: 05.23.17 / Коробко Андрей Викторович. Орел, 2000.-331 с.

32. Коробко, A.B. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости Текст. / A.B. Коробко. М. - Изд-во АСВ.- 1999.-304 с.

33. Коробко, A.B. Построение полей внутренних усилий в задачах поперечного изгиба пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы Текст. / A.B. Коробко // Изв. вузов. Строительство. 2000. - N 5 - С. 17-21.

34. Коробко, В.И. Изопериметрический метод оценки несущей способности пластинок Текст. / В.И. Коробко // Пространственные конструкции. -Красноярск. 1975. - С. 18-21.

35. Коробко, В.И. Изопериметрический метод оптимального проектирования пластинок, работающих за пределом упругости Текст. /

36. B.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1977. - N 1.1. C. 18-21.

37. Коробко, В.И. Об одном способе решения плоской задачи теории упругости Текст. / В.И. Коробко // Исследования облегченных строительных конструкций. Хабаровск: - ХПИ. - 1977. - С. 15-20.

38. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению задач технической теории пластинок Текст. / В.И. Коробко. -Хабаровск. ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР. - 1978. - 66 с.

39. Коробко, В.И. Изопериметрические неравенства в теории упругих пластинок Текст. // Строит, механ. и расчет сооружений. — 1978. — N 5. — С. 35-41.

40. Коробко, В.И. Некоторые геометрические методы решения задач технической теории пластинок (препринт) Текст. / В.И. Коробко. — Хабаровск. ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР. - 1978. - 66 с.

41. Коробко, В.И. Геометрические методы расчета пластинок, находящихся в предельном состоянии Текст. / В.И. Коробко. Хабаровск. — Хабаровское книжное изд-во. - 1979. - 104 с.

42. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к расчету устойчивости упругих пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1979. — И 2. — С. 58-62.

43. Коробко, В.И. Оценка частот свободных колебаний пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1979. - N 10. -С. 21-23.

44. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению некоторых задач строительной механики пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1979. - N 4. - С. 21-23.

45. Коробко, В.И. Об одном способе симметризации пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1980. - N 2. - С. 36-39.

46. Коробко, В.И. Графическое представление границ изменения максимального прогиба пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. — 1983. -N2.-0. 62-64.

47. Коробко, В.И. Геометрические преобразования при решении задач строительной механики пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1983. -N1.-0. 36-39.

48. Коробко, В.И. Основные изопериметрические неравенства в технической теории упругих пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1986. - N 6. - С. 47-51.

49. Коробко, В.И. Графическое представление границ изменения геометрической жесткости сечений в виде выпуклых фигур Текст. /

50. B.И. Коробко // Изв. вузов. Машиностроение. - 1986. - N 3. - С. 2-7.

51. Коробко, В.И. Исследование графоаналитическим способом некоторых задач изгиба жестко защемленных пластинок Текст. / В.И. Коробко,

52. C.Г. Малых // Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1986. — N 1. — С. 126-130.

53. Коробко, В.И. Графоаналитический способ определения основной частоты колебаний и критической нагрузки мембран произвольного вида Текст. / В.И. Коробко // Тонкостенные пространственные конструкции покрытий зданий. — Таллинн. — 1986. С. 71-72.

54. Коробко В.И. и др. Графическое решение задач предельного равновесия пластинок, нагруженных сосредоточенной силой Текст. / В.И. Коробко [и др.] Ставрополь. - Ставроп. политехи, ин-т. - 1987. - Деп. во ВНИСЕ, N 7607 25.01.87.

55. Коробко, В.И. О "сравнимости" физико-механических характеристик в задачах теории пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1987. - N 9. - С. 32-36.

56. Коробко, В.И. О "сравнимости" физико-механических характеристик в задачах строительной механики, описываемых уравнениями эллиптического типа второго порядка Текст. / В.И. Коробко // Изв. Сев,

57. Кавк. научного центра высшей школы. Технические науки. 1987. -N 3. -С. 96-100.

58. Коробко В.И. Способ определения перемещения элемента под нагрузкой. Патент РФ № 1394110. Опубл. БИ, 1988, № 16.

59. Коробко, В.И. Количественная оценка симметрии Текст. / В.И. Коробко, A.B. Коробко. М. - Изд-во АСВ. - 2008. - 126 с.

60. Коробко, В.И. Об одной "замечательной" закономерности в теории упругих пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1989. - N 11. - С. 32-36.

61. Коробко В.И., Идрисов Н.Д. Способ определения перемещения плоских элементов конструкций под нагрузкой. A.C. РФ № 1647345. Опубл. БИ, 1991, № 14

62. Коробко, В.И. Изопериметрические неравенства в строительной механике пластинок Текст. / В.И. Коробко. М. - Стройиздат, - 1992. -208 с.

63. Коробко, В.И. Закономерности золотой пропорции в строительной механике Текст. / В.И. Коробко. Ставрополь: Ставроп. политехи, ин-т. - 1991.- 112 с.

64. Коробко, В.И. Изопериметрическая проблема в задачах расчета пластинок на упругом основании Текст. / В.И. Коробко, В.В. Ковалев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1991. — N 5. — С. 31-34.

65. Коробко, В.И., Использование линий уровня при исследовании предельного состояния пластинок Текст. / В.И. Коробко, Г.И. Коротеев // Исследования металлических конструкций с профилированными элементами сечений. Хабаровск. - ХПИ. - 1975. - С. 70-77.

66. Коробко, В.И. Устойчивость равномерно сжатых по контуру пластинок произвольной выпуклой формы Текст. / В.И. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. вузов. М. - Машиностроение. - 1991. - N 7-9. - С. 29-33.

67. Коробко, В.И. Взаимосвязь задач продольного и поперечного изгибов полигональных пластинок Текст. / В.И. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. Сев.-Кавк. научного центра высшей школы. Технические науки. 1991. -N3.-0. 36-39.

68. Коробко, В.И. К исследованию устойчивости равномерного сжатия пластинок Текст. / В.И. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. Сев.-Кавк. научного центра высшей школы. Технические науки. — 1991. N 4. - С. 47-51.

69. Коробко, В.И. Состояние и перспективы развития изоперметрического метода в строительной механике Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство. 1993.-N 11-12.-С. 125-135.

70. Коробко, В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода Текст. / В.И. Коробко.- М. Изд-во АСВ. - 1997. - Т. 1. - 396 с.

71. Коротеев, Г.И. Теорема о симметризации пластин переменной толщины Текст. / Г.И. Коротеев, И.А. Чаплинский // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1977. - N 8. - С. 47-48.

72. Коротеев, Г.И. Верхняя оценка предельной нагрузки пластин переменной толщины Текст. / Г.И. Коротеев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1978. —N5.-0. 44-49.

73. Коротеев, Г.И. Оптимальное проектирование пластин Текст. / Г.И. Коротеев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1979. N 7. - С. 34-38.

74. Лурье, А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек Текст. / А.И. Лурье. М. - Гостехиздат - 1947. - 252 с.

75. Ляв, А. Математическая теория упругости Текст. / А. Ляв. М. - Л. -ОНТИ.- 1935.-674 с.

76. Мануйлов, Г.А. Оценки критической нагрузки и основной частоты некоторых пластин полигонального очертания Текст. / Г.А. Мануйлов // Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций. Л. - ЛИСИ. - 1983. - С. 59-67.

77. Мануйлов, Г.А. Геометрические оценки прогиба шарнирно опертых пластин от действия контурных моментов Текст. / Г.А. Мануйлов // Прочность и жесткость машиностроительных конструкций. М. - 1984. -С. 87-94.

78. Мануйлов, Г.А. Оценки решений для четырехугольных пластин на основе некоторых геометрических преобразований Текст. / Г.А. Мануйлов // Численные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений. — М. 1986. — С. 63-70.

79. Мануйлов, Г.А. Геометрические оценки критической силы равномерного сжатия трехслойных шарнирно опертых пластин полигонального очертания Текст. / Г.А. Мануйлов // Расчеты на прочность. — М. — Машиностроение. 1987. - Выл. 28. - С. 30-36.

80. Мануйлов, Г.А. Геометрические оценки основной частоты шарнирно опертых полигональных пластин и пологих сферических оболочек Текст. / Г.А. Мануйлов // Инженерные проблемы прикладной механики. -М.- 1987. -С. 87-94.

81. Мануйлов, Г.А. Оценки прогибов некоторых пластин, имеющих форму описанных многоугольников Текст. / Г.А. Мануйлов // Прочность, устойчивость и колебания строительных конструкций. Л. - ЛИСИ. -1988.-С. 138-145.

82. Мануйлов, Г.А. О построении геометрических оценок решений для защемленных изотропных пластин Текст. / Г.А. Мануйлов // Научнотехнические проблемы судостроения и судоремонта. М. - 1988. - С. 45-50.

83. Муромский, A.C. Геометрическое и физико-механическое моделирование строительных конструкций в виде пластинок и балок Текст.: дис. . канд. техн. наук: 05.23.01 / Муромский Александр Сергеевич. Орел, 2001. - 182 с.

84. Муромский, A.C. Расчет параллелограммных пластинок с использованием аффинных преобразований Текст. / A.C. Муромский, A.B. Коробко // Изв. вузов. Строительство. № 11.- 2001.

85. Муромский A.C., Коробко В.И. и др. Способ определения максимального перемещения элемента конструкции в виде пластинки при поперечном изгибе под действием равномерно распределенной нагрузки (Изобретение № 99108937/28 от 15.02.2001).

86. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости Текст. / Н.И. Мусхелишвили. М. - Изд-во АН СССР, 1966.-707 с.

87. Муштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек Текст. / Х.М. Муштари, К.З. Галимов. Казань. — Академия наук, 1957. - 432 с.

88. Муштари, Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с применением к решению задач устойчивости упругого равновесия Текст./ Муштари, Х.М. // Прикл. матем. и механ. 1939. - т.2, № 4. - С. 439-456.

89. Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости Текст. / В.В. Новожилов Издательство: Едиториал УРСС, 2003. - 208 с.

90. Новожилов, В.В. Линейная теория тонких оболочек Текст. / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский. — JL — Политехника, 1991. 655 с.

91. ЮО.Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластинки Текст. / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. М. Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

92. Погорелов, A.B. Геометрическая теория устойчивости оболочекТекст. / A.B. Погорелов. М. - Наука, 1966. - 94 с.

93. Погорелов, A.B. Дифференциальная геометрия Текст. / A.B. Погорелов. -М.-Наука, 1974.- 176 с.

94. ЮЗ.Полиа Г. Изопериметрические неравенства в математической физике Текст. / Г. Полия, Г. Сеге. М. - Госматиздат, 1962. — 336 с.

95. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трех томах. М. — Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 831 с; Т.2. - 463 с; Т.З. - 567 с.

96. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. М. Машиностроение, 1989. - 520 с.

97. Рейсснер, Э. Некоторые проблемы теории оболочек. Текст. / Э. Рейсснер // Упругие оболочки. М. - Изд-во иностр. лит., 1962. - С.7-66.

98. Ржаницын, А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем Текст. / А.Р. Ржаницын. М. - Госматиздат, 1955. - 475 с.

99. Саченков, A.B. К расчету на устойчивость плоских пластин Текст. / A.B. Саченков // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. -N2. - С. 44-49.

100. Сен-Венан. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм Текст. / Сен-Венан. М. - Госматиздат, 1961. - 519 с.

101. Тимошенко, С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек/ С.П. Тимошенко. М. -Наука, 1971. - 383с.

102. Ш.Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки Текст. / С.П. Тимошенко, С.

103. Войновский-Кригер. М. - Физматгиз, 1963. — 636 с. 112.Флюгге, В. Статика и динамика оболочек Текст. / В. Флюгге. - М.

104. Стройиздат, 1961. -306 с. ПЗ.Циглер, Г. Основы теории устойчивости конструкций Текст. / Г. Циглер. М. - Мир, 1971.-191 с.

105. Черных, К.Ф. Линейная теория оболочек Текст. / К.Ф. Черных. Л. — Изд-во ЛГУ, 1964. - Ч. 1-2. - 395 с.

106. Шуман, В. Об одном изопериметрическом неравенстве в теории пластинок Текст. / В. Шуман // Механика. 1959. - N4. - С. 73-78.

107. Bathe, K.J. Finite Element Procedures Текст. / K.J. Bathe. Prentice Hall, 1996,- 1037 p.

108. Carleman, T. Uber ein Minimalproblem der mathematischen physik Текст. / Т. Carleman / // Mathematische Zeitschriti 1918. - V. I. - P. 208-212.

109. Courant, R. Beweis des satzes, das von allen homogenen Membrantn gegebenen Umfanges und gegeben Spannund die kreisförmige den tietstencrundtion gibt Текст. / R. Courant // Mathematische Zeitschrift. 1918. -V. l.P. 321-328.

110. Dhatt. G. The Finite Element Method Displayed Текст. / G. Dhatt, G. Touzot. Wiley Chichester: UK, 1984. - 510 p.

111. Faber, G. Beweis dab unter allen hovogenen Membranen von gleicher Flache und fleicher Spannung die kreisformide den tiefsten crundtion gibt Текст. / G. Faber // Sintzungsberichte der Bayrischen Akademie der Wissenschaften. 1923.-P. 169-172.

112. Gallagher, R. Finite Element Analysis Текст. / R.H. Gallagher. Prentice Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1975. - 428 p.

113. Krahn, E. Uber eine von Rayleigh formulirte Minimaleigenschaft des Kreises. Текст. / Mathematische Annaltn, 94/ 1924. - P. 97-100.

114. Liu, G. Mesh-free methods: moving beyond the finite element methods Текст. / G. Liu. CRC press, 2003. - 693 p.

115. Moaveni, S. Finite element analysis. Theory and Application with ANSYS Текст. / S. Moaveni. Pearson Education, 2005. - 822 p.

116. Thompson E. Introduction to the Finite Element Method Текст. / G. Erik. — Programming and Applications, 2004. 360 p.

117. Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method Текст. / О.С. Zienkiewicz, R.L. Taylor. Oxford. Butterworth-Heinemann, 2000. -Т.1.- 693 p.; T.2. -463 p.; Т.3.-338 p.

118. Zienkiewicz, O.C. Finite Element and Approximations Текст. / O.C. Zienkiewicz, K. Morgan. Wiley: New York, 1983. - 328 p.