автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач о концентрации напряжений методом граничных интегральных уравнений

РГ6 од

НР^ОЭД^ИР^СК^Й ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

На правах рукописи

ВЛАСОВ Алексей Гариевич

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ МЕТОДОМ

ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 05.23.17 — Строительная механика 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

НОВОСИБИРСК 1993

Работа выполнена в Новосибирском ордена Трудового Красного знамени институте инженеров железнодорожного транспорта.

Научный руководитель

Член-корреспондент Академии транспорта РФ, засл. деят. науки и техники РФ, доктор физ.-мат. наук, профессор 10. И. Соловьев

Официальные оппоненты

Доктор технических наук Д. Я. Бялик Кандидат технических наук, доцент И. П. Олегин

Ведущая организация — Институт горного дела

Защита состоится « 1У » ГиТ/гЛ 1993 г. в часов

на заседании специализированного совета Д 114.02.01 при Новосибирском институте инженеров железнодорожного транспорта (630023, Новосибирск, ул. Дуси Ковальчук, 191. НИИЖТ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта.

Автореферат разослан «

№ » 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 114.02.01,

канд. техн. наук, доц. ПОПОВ А. М.

0Е1ЯАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование прочности элементов конструкций, сооружений, а также деталей машин связано в настоящее время с проблемами развития различных методов решения пространственных задач теории упругости для тел сложной формы при наличии концентраторов напряжений и задании разрывных граничных условий. Отдельный класс задач теории упругости, имеющих болыцую практическую ценность, составляют задачи о телах с разрезами или трещинами. Развитие эффективных методик, позволяющих получать нап-ря-кенно-деформированное состояние элементов конструкций с разрезами или трещинами, а также дающих возможность прогнозировать ' поведение трещины при нагруткении конструкции, требует применения новых подходов к существующим методам решения краевых задач.

К наиболее эффективным методам решения задач теории упругости относятся метода потенциала и, в частности, метод граничные интегральных уравнений (ГЙУ). Теоретическую основу этих методов составляет разработанная В.Д.Купрадзе-и С.Г.Михлиным теория обобщенных упругих потенциалов и многомерных сингулярных интегральных уравнений. Вопросам численной реализации и практического использования методов потенциала посвящены работы А.Я.Александрова, Ю.В.Вершского, Е-.М. Зиновьева, Ю.Д.Копейкина, П.Й.Перлина,' Ю.И.Соловьева, Н.М.Хуторянсного, К. £>ге Ь^са^ТТ Э. а Ь. $¿220 и др.

Математический аппарат теории потенциала разработан при весьма жестких ограничениях на гладкость границ рассматриваемых областей и граничных условий. Следовательно, возникает потребность применения этого аппарата к реальным объектам, -геометрия и нагру-кение которых не отвечает условиям краевой задачи. Применение новых потенциалов, отличающихся по свойствам от классических, такхе вызывает интерес и имеет практическое значение. Слезет отметить,

что в настоящее-время среди специалистов нет единого мнения по вопросу сравнения эффективности различных потенциальных представлений краевых задач, & также относительно выбора рациональных схем численной реализации метода ТИУ для тел с негладкими границей и нагрузками, а также для тел с разрезами.

Таким образом, представляется ритуальным развитие метода П!У с целью его прженения к решению граничных задач теории упругости для тел слогкной формы и для тел с разрезами.

Цель:о работ является:

- разработка методики решения пространственных задач теории упругости, основанной на применении тохдесгЕа Еетти-Сомкльяны для сплошных тел сложной фор:лы и для тел с разрезами, основанной на применении неклассических потенциалов;

- сравнение используемого в данной работе и классического /В.Д.Купрадзе/ потенциалов;

- построение эффективной схемы численной реализации метода ГШ и разработка на ее основе пакета прикладных программ для расчета напрякенно-деформированного состояния упругих тел сложной формы и тел с разрезами;

- разработка эффективных методик определения коэффициентов интенсивности напряжений /КИН/ в задачах о трещинах и определения остаточных напряжений в элементах конструкций;

- решение новых задач прикладного характера.

Научная новизна. В диссертационной работе получил дальнейшее развитие метод- ГЩ применительно к решению пространственных задач теории упругости для тел сложной формы и для тел с разрезами.

разработаны алгоритмы и осуществлена программная реализация методов Г'КУ для решения пространственных задач теории упругости, в том числе и задач о разрезах. В задачах о разрезах применены ковке по свойствам дппольные потенциалы двойного слоя первого рода, предлокеннне В.М.Зиновьевым. Показана ш. тождественность клас-

зическим. Разработаны метод:«и определения КИН и определения остаточных напряжений в элементах конструкций.

,Едно решение новых задач прикладного характера: криволинейный разрез в упругой плоскости, плоские и цилиндрический разрезы в упругом пространстве и определение для них Х7Н, определение остаточных напряжений з головке железнодорожного рельса, концентрация напряжений для изотропного полупространства с различными выемками, короткий толстостенный цилиндр под внутренним давлением.

Достоверность результатов. Достоверность полученных на основе разработанных методик результатов подтверждалась сравнением их с тестовыми аналитическими и численными решениями.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты использованы в ряде научно-исследовательских организаций: во ВНИИ металлургического машиностроения /г.Москва/, в Башкирском государственном университете /г.Уфа/, в СибКИА /г.Новосибирск/ и в НПО "Алтай" /г.Бийск/.

Программы разработанного пакета прикладных программ включены в фонды алгоритмов и программ НИКНГГа /г.Новосибирск/, ВНИИМЕТМШа /г.Москва/ и БГУ /г.Уфа/.

Результаты диссертационной работы могут найти практическое применение в научно- исследовательских и проектных организациях, выполняющих расчеты напрженно-деформированного состояния элементов конструкций. и деталей машин со сложным характером геометрии и нагру-хе-ния или имеющих разрезы или трещины.

Аппробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на У Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций /г.Киев,1565г./, на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" /г.Харьков,1935г./, ка Краевой научно-технической конференция "Применение методов механики разрушения в расчетах строительных металлических конструкций на хрупкую прочность к долговечность" /г.Красноярск,1984г./, на научно-технической конференции

"Вопросы ускорения научно-технического прогресса на железнодорожном транспорте" /г.Новосибирск,1586/, на научно-техническом семинаре по прочности и надежности Новосибирского института' инженеров железнодорожного транспорта под руководством М.Х.Ахметзянова /г.Новосибирск ,Г991г/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в п печатных 'работах.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из, введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы и содержит 132 страницы машинописного текста, 47 рисунков и 2 таблицы. В списке литературы приведено 84 наименования, в приложении даны документы о внедрении результатов работы в расчетную практику,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор исследований по методам потенциала применительно к решению пространственных задач теории упругости, обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована постановка основных задач, рассматриваемых в данной работе, дана краткая анотация содержания всех глав диссертации.

В первой глазе поставленные задачи сводятся к РИГ/, основанным на применении тождества Вэтти-Обмильяны для сплошных тел и на применении дипольных потенциалов для тел с разрезами.

В п.1.1 пространственная задача теории упругости для сплошных тел приводится к ГИУ:

иЫ) + ] А ^'/-,(4) /I/

* / Л») с*)

где: г. ) - проекции вектора полного напряжения по площадкам,

/ /1

касательным к поверхности тела; йл^ )- искомые смещения точек по-вс-рхносги тела; (/■ ,(\<л ) - смешения, вызванные действием единиц-

¿А, 3

ной силы; ¿¿0"'.,) - заданные на границе усилия.

В п.1.2 на основе понятия силового диполя /нормального и мо-:.'с-нтнэго/ конструируется потенциал двойного слоя первого рода, с

применением которого получена разрешающая система интегро-дифференциальных уравнений для криволинейного разреза в плоскости и система граничных интегро^дифференциальных уравнений второй основной задачи теории упругости для изотропного пространства, ослабленного пространственным криволинейным разрезом . Последняя имеет вид:

А 3 и)

где: ¿ =1,2,3; индекс К . относится к осям локальной системы координат; - направляющие косинусы внешней нормали к ^ в точке а/, ; решение Кельвина о действии сосредоточенной -силы, приложенной в точке л/ ; и ¿^ ) - заданные на берегах, разреза усилия; а левая часть равенства /2/ представляет собой проекции вектора напряжений на площадках, касательных к ^ , на оси общей системы координат Х^ от неизвестных обобщенных нагрузок а .(а/) .

V

В п.1.3 и 1.1 приводятся общие выражения для полей смещений и напряжений от различных силовых источников (сил, диполей, центров . расширения и вращения), а такте фундаментальные решения от действия перечисленных силовых источников.

В п.1.я дано сравнение классического потенциала двойного слоя первого рода В.Д.Купрадзе и потенциала, используемого в данной работе при решении задач о разрезах. Показано, что номпбненты ядра потенциала В.Д.Купрадзе могут быть представлены в виде смещения, создаваемого определенной комбинацией диполей. Так для плоского случая смещения (а также создаются сочетанием нормаль-.

нж(Ми и И^ и моментных (М^ и Л^) диполей:

а смещения и ~ сочетанием:

• 5

где: _ сосредоточенный диполь; -угол_наклона нормали

к площадке с положительным направлением оси . 0~Х ; £ и характеристики материала.

Во второй главе обсуждаются вопросы чйсленной реализации методов ГИУ, относящиеся к выбору потенциального представления решения, разработке рациональных схем численного интегрирования, построению эффективного алгоритма решения второй основной задачи теории упругости для сплошных тел и тел с разрезами, а также вопросы численного интегрирования,

В п.2.1 описан алгоритм численной реализации метода ГИУ на . основе тождества Сомильякы для решения второй основной задачи теории упругости для сплошных тел. Дискрэти:. зщия геометрии тела осущест вляется с использованием шесткузловых криволинейных изопараметри-ческих элементов с квадратичными функциями формы. Для вычисления коэффициентов матрицы и правых частей системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученной из /I/, используются кубатур-ные формулы Гаусса различной кратности. Достаточная кратность применения формул Г&усса устанавливалась тестовыми вычислениями. СЛАУ решается итерационным методом Зейделя. Расходимость итерационного процесса, возникающая вследствие вырожденности матрицы СЛАУ, устраняется путем закрепления тела, что позволяет исключить на каждой итерации вектор жесткого смещения. Компоненты напрякенно-деформи-рованного состоянье во внутренних: точках тела вычисляются с помощью дискретного аналога тождества Сомильяны.

Здесь не приводятся алгебраические аналоги системы ГИУ /2/ для тел с разрезали, которые построены при помощи дипольных потенциалов.

В п.2.2 рассмотрены вопросы вычисления.коэффициентов СЛАУ. При вычислении несобственных интегралов используется метод устранения особенностей с помощью замены переменных. Сингулярные интегралы

вычисляются с использованием обобщенной теоремы-Гаусса. При решении задач о разрезах сингулярные интегралы вида

7 » ^ О, ^жс^.^о!^ ; (ЛедЗ)-, ./.у

СдЭ)

сводятся к несобственным и вычисляются в смысле главного значения при помощи представления плотности С^!^) в виде

в результате чего:

СлЭ) СйЗ)

Здесь подинтетральное* выражение первого интеграла в правой части

/6/ является функцией, ограниченной на А 5 , а второй интеграл вычисляется в квадратурах.

В п.2.3 приводятся результаты исследования сходит,юсти численного интегрирования. На ряде тестовых примеров прослеживается необходимая кратность применения кубатурных формул Гаусса. Дются некоторые рекомендации, учитывающие способ аппроксимации геометрии тела и искомых величин.

В третьей главе даны постановки и решения трех плоских задач теории упругости прикладного характера, а также приведен сравнительно простой способ определения коэффициентов интенсивности напряжений /КИН/ для тел с разрезами.

В п.ЯЛ рассматривается напряженно-деформированное состояние упругой плоскости с прямолинейным разрезом. Разрешающие граничные уравнения имеют вид:

дат *9 '; 1 «й '

/7/

Это два независимых интегральных уравнения, на которые распадается система /2/. При решении задачи нормального отрыва испояь-

зуется первое из них, а при решении задачи сдвига - второе.

В п.3.2 приводятся результаты решения задачи теории упругости о криволинейном разрезе в плоскости. Здесь рассмотрены три задачи:

1). Пластина с разрезом по дуге окружности нагружена на бесконечности. равномерным всесторонним растяжением = =1» бере-

■К у

га разреза свободам от напряжений.

2). Пластина с разрезом по эллиптической дуге нагружена на бесконечности всесторонним равномерным растяжением <о =1, берега разреза свободны от напряжений. Уравнения дуги: X = а Со* в , у = 6

ВР) » отношение полуосей а/В=0,8.

3). Пластина с разрезом по' эллиптической дуге нагружена напряжениями & А =1 и =0, действующим по берегам разреза ^ (п., £ - нормаль и касательная к •$ , соответственно).

В п.3.3 рассматривается вопрос определения КИН. Используя формулы асимптотического распределения смещений в окрестности вершины трещины, вычисляются скачки смещений при переходе с одного берега трещины на другой. С другой стороны находятся те же скачки смещений при действии диполей, распределенных по линии трещины. Приравнивая эти скачки и после преобразований, имеем:

кгАк-Ш> /8/

где: Д , А,. - неизвестные коэффициенты, которые находятся из ре* в .

шения СЛАУ. В качестве примера приводится сравнение точного результата и полученного по вышеприведенной методике изменение КИН в за' висимосги от параметра § 11 (рис.1). Сплошная линия на графике соответствует точному решению, точки - численному.

В п.3.4 решена плоская задача о пластине с круговым отверстием. На рис.2 приведены расчетная слема и некоторые результаты расчета.

В четвертой главе дари постановки и решения некоторых пространственных задач теории упругости.

В п.4.1 рассматривается задача об определении остаточных напря-

жений в элементах конструкций. Предлагаемая схема здесь является расчетно-экспериментальной. Экспериментальная часть ео заключается в замерах тензодатчиками деформаций на поверхности' конструкции при освобождении остаточных напряжений. Освобождение напряжений происходит из-за послойного снятия материала справа и слева от датчиков. Расчетная часть методики состоит в построении модели влияния оево-боздаемых остаточных напряжений на деформации поверхности. Основой этой модели являются матрицы влияния деформаций Л и напряжений 5 , которые позволяют составить СЛАУ относительно искомых остаточных напряжений• (С - номер слоя по глубине). Элементами матрицы А являются деформации точек поверхности, в которых производилось тен-зог.'етрироЕан/.е, от единичной нагрузки, распределенной по площадкам поверхности среза, оставшегося после снятия слоя материала. Разбивка поверхности среза на плацадки проводилась учета изменение остаточных напряжений по толцмпо. Элементами матрицы -5 являются напряжения в точках нижележащих слоев от загружения площадок вшио-ле.-кащэго слоя. Остаточные напряжения в первом слое находятся: б £ . После его снятия напряжения в материале перараспреде-

ляются. Добавки к напряжениям Ь£ второго слоя можно найти:

• Т01^0, напряжения во втором слое будут: .

Обобщая, остаточные напряжения в любом шнележащем слое определяются

где: - остаточше напряжения в К-ом слое, /Ак - матрица вли-

яния деформаций, составленная из деформаций <Ь:; точек К- от пооче-

V

редкого загружения ля пло:цадок К-того слоя единичными напряжениями =Г, 6 - приращения деформаций £ в точках пооерхности К/" при снятии к -того слоя; 3„ ; - наград! влияния напряжений

V Гч и

размером ¡п * т » компонентами которых яелял'ся напряжения в центральных точках К-того слоя от загруяе:«я площадок первого (¿^ ) , второго (З^^4) 11 слОеБ'

Для построения матриц влияния А и многократно решалась

задача теории упругости по алгоритму, приведенному в п,2.1 с ис-: пользованием /2.6/.

В качестве примера были определены остаточные напряжения в головке железнодорожных рельсов, изъятых вследствие наличия дефекта P2I (поперечные усталостные трещины) с кривых участкоа пути Западно-Сибирской железной дороги и экспериментального кольца ВНИШТа.

IIa рис.3,а приведены изолинии для нззакаленного рельса,

полученные методом разрозни на бруски; на рис.3»б - изолинии <3^ , полученные по вышеизложенной методике; на рис.3,в - то же, но для закаленного рельса.

Полученные результаты позволили сделать вывод о существенно неравномерном распределении остаточных напряжении по длине рзльсов. Несмотря на качественное соответствие распределения остаточных напряжений в закаленных рельсах выявлено существенное отличие в их величине и градиентах.

В п.4.2 проведено «следование концентрации напряжений б упругой полупространстве в окрестности цилиндрических ьыемок (рис.4,а,б) Задача просчитывалась при разных отношениях Н / R. =0,1,2,4,8; при значениях угла ci = 3t/6,0i74, Т/Л, 372 и при трех схемах нагруженш всестороннее растяжение полупространства на бесконечности, одностороннее растяжение и внутреннее постоянное давление на стенки выемки.

Расчеты производились по алгоритму, приводс-нному в п.2.1 и показали, что наибольшая концентрация напряжений возникает в точках: А - на поверхности полупространства и 6 - в вершине полусферы, непосредственно под выемкой (рис.4). Наибольшая концентрация напряжении на поверхности-(/точка А} возникает при одностороннем растляеш» полупространства и oL =\/Г/б. Угол наклона оси выемки к поверхности полупространства, как выяснилось, на концентрацию напряжений в точке В практически не вликот, однако концентрация напряжений здесь зависит от глубины выемки. Одновременно была выявлена несущественная зависимость концентрации напряжений от коэффициента Цу-ассона.

Рис.4 Полупространство с выемной

Рис.5 Полупространство с выемкой

Рис.6 Толстостенный цилиндр под внутренним давлением 13

Некоторые результаты расчетов приведены на рис.5.

В п.4.3 исследовалось напряженно-дефорюфованное состояние короткого полого кругозого толстостенного цилиндра под внутренним давлением. Причем рассматривалось три варианта загручсения цилиндра.

В первом варианте принималось Q =С , нагрузка постоянной ((э =-1),

t*

то есть задача обладала тремя плоскостями геометрической и физической симметрии (рис.6,а). Во втором варианте - Q /с , нагрузка постоянной (<>Л=-1). В третьем варианте - О ^ & / С , закон изменения интенсивности G^ показан на ркс.6,6. В двух последних случаях задача обладала двумя плоскостями физической симметрии. Решение задачи производилось по алгоритму, приведенному в п.2,1. Некоторые результаты расчета (для варианта 3) показаны на рис.6,в.

В п.4.4 рассмотрен класс задач теории упругости о плоских разрезах в упругом изотропном пространстве (прямоугольный, кольцевой и круговой). В калдом кз этих случаев рассматривались задачи нормального отрыва и сдвига. Разрешающая система граничных уравнений для каждой задачи выводилась из /2/. Искомые плотности обобщенны): нагрузок аппроксимировались степенными полинома;«;. Для учета асимптотики напряженки при подходе к контуру и углам трещины в аппроксимирующие полиномы вводились соответствующие слагаемые. Вычисление коэффициентов СЖУ производилось с учетом /4/ по кубатурным форму-: лам Гаусса открытого типа. СЛАУ решалась прямым методом Гаусса с использованием метода наименьших квадратов отклонений.

Некоторые результаты расчетов представлены на рис.7,а,б и 8,а,б На рис. 7,а приведены эпюры напряжений 'о^ для прямоугольного разреза нормального отрыва; на рис.7,б - то 'же для задачи сдвига; на рис.8,а - эпюры С>2 для кольцевой трещины нормального отрава (точное решение - сплошной линией, численное - точками) и на рис.8,б -эпюры Сдля круговой трещины нормального отрыва, причем кривая I соответствует точному решению, кривая 2 - численному без учета особенности напряжений при подходе к контуру трещины, кривая 3 - репе-

Задача сдвига

Рис.7 Прямоугольная трещина

Кольцевая трещина

• Круговая трещина

Рис.8 Трещины нормального отрыва

ним с учетом особенностей.

В п.4.5 приводится решение задачи о цилиндрической трещине в упругом пространстве. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния материала в окрестности трещины и определены соответствующие КИН.

В п.4.6 рассмотрен вопрос об определении коэффициентов интенсивности напряжений для пространственного случая. Для этого использован подход, аналогичный приведенному в п.3.3 для плоского случая. Определены КИН для прямоугольной, кольцевой, круговой плоских и цилиндрической трещин в упругом пространстве.

В заключении сформулированы основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Рассмотрены вопросы вычисления регулярных:, несобственных и сингулярных интегралов, возникающих при численной реализации метода граничных интегральных уравнений.

2. Рассмотрены и реализованы в программе для ЭВМ вопросы аппроксимации геометрии тела и неизвестных функций при помощи функций фор- ; мы.

3. Рассмотрены два подхода к репению задач теории упругости для тел с разреза;,те: метод с использованием диполей, предложенный Б.М. Зиновьевым и метод с использованием потенциала двойного слоя В.Д. Купрадзе. Показана тождественность этих двух подходов, а также возможность представления потенциала В.Д.Купрадзе в виде комбинаций дипольных потенциалов. :

4. Численно исследована возможность использования в качестве компенсирующих нагрузок распределенных моментных и нормальных диполей. Исследованы поля напряжений и смещений при действии диполей, распределенных в плоскости и пространстве. Установлено, что смещения изменяются скачком при переходе через нагруженный диполями фраг- , . мент и что скачки смещений пропорциональны плотности диполя в точке перехода. Скачки напряжений пропорциональны первой производной плот- ' кости, а в случае криволинейного фрагмента зависят еще к от кривизны

фрагмента. На основании проведенных исследований сформированы требования к выбору аппроксимирующих функций для диполей и для поверхности исследуемого тела.

5. Получил дальнейшее развития метод решения задач теории упругости для тел с разрезами, основанный на свойстве диполей создавать скачки в смещениях. Дня реализации метода введены обобщенные нагрузки - такие сочетания диполей и сил, которые не дают скачков в напряжениях, входящих в граничные условия. Приведены соответствующие задачам о телах с разреза-ми интегро-дифференциальные сингулярные уравнения.

6. Численно реализован достаточно простой способ определения коэффициентов интенсивности, напряжений в задачах о трещинах, а также учет особенностей напряжений при подходе к кромкам трещины.

7. Решен ряд конкретных задач теории упругости, большинство которых ранее не рассматривались,

8. Разработанные предложения, алгоритмы к программы используются в ряде научно-исследовательских организаций: во ВНИИ металлургического машиностроения /г.Москва/, в Башкирском государственном университете /г.Уфа/, в СибНИА /г.Новосибирск/ и в НПО "Алтай" /г.Бийск/.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Власов А.Г., Зиновьев Б.М. Численное решение задач о напряженном состоянии вблизи плоских трещин нормального отрыва и сдвига //Изв.вузов. Строительство и архитектура. Новосибирск, 1987. ¡¡-'8.

С.41-45.

2. Власов А.Г., Зиновьев Б.М. Численное решение пространственных задач теории упругости для тел с разрезами //Метод дискретных особенностей в задачах математической физики: Тез.докл. Всесоюзной кон$. Харьков. 1385. С.26. ■

3. Власов А.Г., Зиновьев Б.М. Численное решение пространсгвсн-

ных задач упругости для тел с трещинами //Тез.докл. У Всесоюз.конф. по статике и динамике пространственных конструкций. Киев, 1985. С.45-46. :

4. Власов А.Г., 3>;ковьев Б.М. Напряженное состояние элементов конструкций с трещинами. // Применение методов механики разрушения в расчетах строительных металлических конструкций на хрупкую прочность и долговечность: Тез. докл. Республиканской конф. Красноярск, 1984.

5. Власов А.Г. Программы решения задач о плоских трещинах нормального отрыва и сдвига. / Сбор.алг. и программ для ЗБМ. Еш.1. Новосибирск, 1987.

6. Власов А.Г. Численное решение задач о напряженном состоянии вблизи плоских трещин нормального отрыва и сдвига методом компенсирующих нагрузок. // Тез.докл.науч.-тех.конф.НИИЖТа "Вопросы ускорения научно-технического прогресса на железнодорожном транспорте". Новосибирск, 1586.

7. Власов А.Г., Зиновьев Е.М., Кутовой В.П. Исследование остаточных напряжений в головке железнодорожных рельсов. // Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений. Новосибирск, ■ 1991.' С.107-114.