автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач динамики сооружений по многоуровневой суперэлементной схеме при различных вариантах демпфирования

/1 >л

' . 1 МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВЗ

- -.МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (ШИТ)

На правах рукописи

МАЗУР ГЕННАДИЙ ЭДУАРДОВИЧ

УДК 539.3:534.1:624.04

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ ПО МНОГОУРОВНЕВОЙ СУПЕРЗЛЕМЕНТНОй СХЕЬЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТАХ ' ДЕМПФИРОВАНИЯ

05.23.17 - Строительная механика

05.13.12 - Системы автоматизация проектирования

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата технических каук

Москва 1593

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор ШАПОШНИКОВ H.H.

Официальные оппоненты -доктор'технических наук, проф. Цейтлин А.И. кандидат технических наук доц. Мануйлов Г.А.

Ведущая организация - . ГИПРОТРАНСМОСТ

Защита состоится МйР'ТА в /& часов на

заседании специализированного совета Д.114.05.02 при Московском государственном университете путей сообщения по адресу. 101475, ГСП, Москва, А^55, ул. Образцова, д. 15, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан фозро^я 199^г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу университета.

Учекый'.секретарь специализированного совета МАЛЬЦЕВ В.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. При решении задач динамики сооружений в рамках суперэлементного подхода наиболее утазерсальшм является мэтод прямого интегрирования уравнений движения, но в ряде случаев решение мохет быть получено значительно быстрее, если предварительно определены параметры собственных колебания конструкции. С теоретической точки зрения вопросы определения частот и форм собственных колебаний при отсутствии демпфирования изучены уке достаточно глубоко, но практическое воплощение теоретических разработок применительно к многоуровневой схеме МСЭ останется актуальной задачей.пока не будет накоплен достаточный опыт создания и эксплуатации супэрэлементных комплексов прочностного расчета и выработаны оптимальные решения в области организации вычислительного процесса.

С развитием вычислительной техники массового использования снова выходит на передний план теория динамического галения колебаний конструкций. Задачи о собственных колебаниях конструкций, оборудованных динамическими гасителями с вязким трением, не могут быть .сведены к задачам о собственных колебаниях недемпфированных систем а требуют особых методов решения. Теоретические и практические исследования в области решения подобных задач еще продолжаются, и вопрос о выборе оптимальных методов и алгоритмов решения, тем более применительно к динамическим системам большого порядка, сохраняет свою актуальность и сегодня.

ЛИЧНЫЙ- ВКЛАД СОИСКАТЕЛЯ включает разработку алгоритмов решения задач о собственных и вынужденных колебаниях конструкций при пропорциональном и непропорциональном демпфировании в мно-

гоуровневой суперэлеменгкой постановке, создание реализующих указанные алгоритмы программ и исполнимых модулей универсального суперэлементного програ\(МНого комплекса.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ заключается в разработке алгоритмов для определения частот и форм собственных колебаний недемпфированных конструкций, а таккв комплексных характеристических показателей и форм собственных колебаний конструкций с непропорциональным демпфированием применительно к многоуровневому методу суперэлементов; в разработке методики и алгоритмов расчета конструкций на динамические воздействия яри различных вариантах моделирования внутреннего трения на основе метода разложения по формам собственных колебаний в многоуровневой суперэлементной постановке; в разработке реализующего указанные алгоритмы программного обеспечения и создании специализированных ■ модулей универсального суперэлеменгного программного комплекса статического и динамического анализа конструкций на персональных ЭЕМ.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Разработано алгоритмическое и программное -Обеспечения для расчета конструкций на собственные и вынужденные колебания с использованием суперэлементного подхода при различных типах демпфирования. Разработаны модификации метода Ланцоша и метода итераций в подпространстве для решения обобщенной квадратичной задачи о собственных значениях, возникающей яри расчете конструкций с непропорциональным демпфированием на собственные колебания, в конечноэлэментной и многоуровневой суперэлементной постановке. Выработан и обоснован критерий окончания процесса Ланцоша при исчерпании динамических степеней свободы, если число их заранее неизвестно. Разработан и обосно-

ван способ вычисления проекции матрицы эффективной хесткости в суперэлементном методе итераций в подпространстве с использованием результатов прямого хода многоуровневой статической конденсации. Обоснована применимость метода деления спектра при решении обобщенной проблема собственных значений к результатам многоуровневой статической конденсации матриц эффективной гэст-кости подконструкций.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Созданы исполнимые модули универсального суперэлементного комплекса прочностного расчета конструкций на персональных ЭЕМ, предназначенные для ресения задач о собственных колебаниях конструкций (в том числе с непропорциональным демпфированием) и задач о взнузданных колебаниях с использованием разложения по собственным форма«.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.' Ссношае положения и результаты диссерта-цпокной работа докладывались на кафедре "САП? транспортных конструкция я соорухекий" ( 1991, 1992 гг. ) и на научной конференции "Неделя науки - 93" в Московском институте инженеров гвлезнодорохяого транспорта, 25.05.1993 г.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 5 статей, в тем числе 1 - в соавторстве.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Общй объем диссертации - 164- стр., з тем числе 12 стр. иллюстраций. В библиографическом списке литературы 106 наименований.

СОДЕРХАНИВ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Каждая глава диссертации разбита на разделы и пункты; б соответствии с зтта принята двойная нумерация разделов и тройная - пунктов.

- б -

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассматриваются некоторые известные теоретические положения, метода и "алгоритмы, непосредственно связанные с тег,'ой исследования.

В первом разделе глэеы приводятся основные уравнения динамики упругих тел: общее уравнение динамики Даламбера - Эйлера, уравнения Лаграняа второго рода и матричное уравнение движения упругой системы с конечным числом степеней свободы.

Во втором разделе главы дан краткий, исторический обзор одного из направлений развития методов решения задач механики упругих. тал - от метода Рктца к' методу конечных элементов (!ЖЗ) и к методу супарэлементов (МСЭ) как модифицированному варианту МКЭ. Описаны в общем виде основные этапы реиения задач динамики упругих тел по МКЭ. Раскрываются преимущества МСЭ перед традиционной формой МКЭ при расчете больших и сложных конструкций.

Подробно описан в матричной форме процесс статической конденсации 'ансамбля матриц жесткости подконструкций и векторов нагрузки при решении задач статики и динамики по многоуровневой схеме МСЭ. Отмечается эквивалентность статической конденсации, матрица аесткости подконструкции и блочного Ш.т-разлояения, когда элементы матрицы, соответствующие суперузлам подконструкции, рассматриваются как единый блок, то есть

I? =

г ка ?Чо

"А* 0 ■

л» Е

®»1 0

е{

О Е

(1)

где шдекс "1" соответствует внутренним узлам подконструкции, индекс "е" - суперуз^ам;

левая треугольная матрица с единицами на диагонали;

и

Ье{ -.прямоугольная матрица, профиль которой соответствует профилю блока II матрицы кесткости подконструкции;

Ви - диагональная матрица;

Ввэ - матрица жесткости суперэлемента.

В третьем разделе главы кратко описывается связь мезду матричным уравнением свободных колебанка упругих тел с конечным числом степеней свободы при отсутствии диссипации и обобщенной линейной проблемой собственных значений

( К - ) и{ = О (2)

где И - матрица яесткостя, !1 - матрица масс, X - собственное значение, равное квадрату 1-ой круговой частоты, и - собственный вектор или вектор 1-ой фэрмы собственных колебаний.

В четвертом разделе главы проводится сравнительный анализ различных теория поглощения энергии: теории вкепкего сопрог,з-лекия Рэлэя, теории вязкого трения Кальвина - Сойхта и теории неупругого сопротивления Е.С.Сорокина.

В пятом разделе главы дается сравнительный обзор наиболее распространенных методов ресения частичной проблемы собственных значений (2) для матриц Сользого порядка.

При непропорциональном демпфировании, описываемом произвольной симметричной матрицей диссипации С , приближенное решение уравнений движения для задач большой размерности может быть со-лучено разложением по формам собственных колебаний упругой системы без демпфирования ( при этсм ураБкекия движения не разделяются ), прямым интегрированием либо разложением по формам собственных колебаний системы с непропорциональным демпфированием, для вычисления которых необходимо определить комплексные собственные значений и собственные векторы обобщенной квадратичной проблемы собственных значений

агы + к + и ) [) = о О)

Последний метод даег наиболее полную информацию о качественном влиянии демпфирования на динамические свойства системы.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвядейа описанию алгоритмов решения задач о собственных колебаниях упругих систем без демпфирования на основе верей! метода Ланцоша и метода одновременных итераций, адаптированных к многоуровневой схеме МСЭ. Анализируются особенности организации вычислений,' связанные с суперэлемзнтной схемой расчета.

В нервом разделе главы описывается суперэлементная версия метода Ланцоша и приводится подробная схема алгоритма Ланцоша с трансформацией спектра применительно к многоуровневой схеме МСЭ.

Для контроля ортогональности вектора невязки к ранее вычисленным векторам Ланцоша используется критерий Сайгона; при необходимости проводится ортогонализация невязки.

Качество ортогонализации считается хорошим, если изменениэ ддшы Еектора невязки достаточно мало; в противном случае орго-гоналлзацшо нугшо повторить. Если число шагов алгоритма Ланцопа становится разным числу "динамических" степеней свободы системы, то с каздой новой ортогонализацией вектор невязки стремится к нулевому,но критерий качества ортогонализация не выполняется.

Пусть (3 обозначает И-длину вектора невязки г ф = ■/ гт13 г ) до ортогонализация, р - новое значение р после ортогонализации. В диссертации показало, что если ортогонализация повторная и р/р < е1/4/Д3/2» где е - машинная точность,'а 3 - номер шага, то система имеет 3 динамических степеней свободы и процесс Льнцоша необходимо прекратить.

В диссертации приводятся схемы алгоритмов ортогонализации невязки применительно к многоуровневой схеме МСЭ, а также алго-

piимы проверки необходимости ортогопализации и контроля ее качества.

Во втором разделе главы описывается суперэлементная Еерсия метода итераций в подпространстве. Общая схема алгоритма метода применительно к многоуровневой схема МСЭ приводится в текста диссертации.

Если число "динамических" степеней свобода d неизвестно и количество векторов п в пакете Оазисных векторов S превысит й, то матрицы R(k) и Utk) - проекции матриц R и Ц на линейную оболочку векторов текущего базиса S = R~1U S - yss на первом шаге окал?утся вырозденныма, а часть собственных значений 8(к) , полученных при ровэнии полной обобщенной задачи о собственных значениях для матричного пучка ( Rik>, U(k) ) - неопределенны;,!:!. В этом случае, как показано в диссертации, после вычисления матрицы U(11 мозно применить к ней процедуру 1ЖТ- разложения. Если при этом окатятся, что яля некоторого V М ,/п° | < Vf., то количество итерируемых Еекторов п следует уменьшить до к-1.

При традиционной схеме вычисления матрицы-проекции R(k) копии правых частей Р приходится сохранять во вторичной памяти. Автором предложен альтернативный вариант вычисления Rik), суть которого заключается в следуицем. Пусть процесс' статической конденсации ансамбля матриц эффективной ээсткостя подконструк-ций описывается уравнением (1) и после прямого хода по правой части получен пакет "промежуточных" векторов Y{, где индекс "1" соответствует внутренним узлам годаонструнции. Тогда матрицу R(k) мокно вычислить по формуле

R = S S ( Yt Dtlri > j

л. j

где k - номер итерации, n - номер уровня, 3 - номер подконст-

рукщи уровня п. Доказательство приводится в диссертации.

В третьем разделе главы'описывается применение метода деления спектра при ревении 'задач о собственных колебаниях конструкций по многоуровневой схеме метода суперэлементов. Доказывается, что при проведении многоуровневой статической конденсации матриц эффективной жесткости подконструкций R —аМ суммарное по всем подконструкцяям число отрицательных элементов диагональных маонителей, стоящих в позициях, соответствующих внутренним узлам,, раню количеству собственных частот всей конструкции, квадраты которых меньше а.

Следует.отметить, что суперэлементная версия метода деления спектра ранее была рассмотрена в работах В.А.Постнова, однако в диссертации приводится альтернативная формулировка результата и альтернативное обоснование метода, непосредственно связанные с представлением процесса статической конденсации как блочного bDLT-разложения (1).

В четвертом разделе главы анализируются результаты репения тестовых и реальных задач о свободных колебаниях конструкций по методам Ланцоша и одновременных итераций. Расчеты производились с использованием разработанных автором специализированных модулей универсального суперэлемеытного комплекса прочностного расчета конструкций на персональных ЭВМ "Супер-ПК", который с 1991 г. создавался сотрудниками кафедры "САПР транспортных конструкта и сооружений" МГУПС под руководством Ю.Н.Огурцова и H.H. Шапошникова. i

В диссертации приводится подробная статистика временных затрат на расчет конструкций различной степени сложности на собственные колебания по коначноэлементной и суперэлементной схе-

мам,. Результаты показывают, что соединение метода Ланцспа и МСЭ позволяет сократить время решения по сравнении с МКЭ для задач большого порядка (103 и выше), для которых время формирования и обработки ансамбля матриц эффективной жесткости превышает время выполнения итераций процесса Лакцсза.

Автором был произведен расчет на собстЕешшз колебания мно-гоэтаааого здания комплекса "Бизнес-центр" в г. Москве. Размеры здания в плана - 190*25.5 м; максимальная Еысота - около 239 м. Расчет выполнялся на персональном ко'шьютерэ ?С АТ-386/38ТВХ-4.0; размерность задачи превышала 19000. Общее время расчета составило около 53 минут, из них 33 ищут было затрачено на процесс статической конденсации матриц гесткоста ансамбля и 12 минут -на определение трех низших частот и форм собственных колебаний, для чего потребовалось 7 шагов процесса Ланцопа. Оорма основного тона колебаний здания изображена на рис. 1.

Как известно, формы собственных колебаний недемпфированной упругой системы являются удобным базисом для исследования ее движения под действием динамической нагрузки при пропорциональном демпфировании. Соответствующие алгоритмы . описываются в ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ диссертации.

Обычно метод разложения по собственным формам сочетается с численным интегрированием разделенных уравнений дзизенпя. В диссертации описывается вариант метода, в котором динамическое воздействие представляется в виде совокупности элементарных воздействий, для которых зависимость нагрузки от времени имеет достаточно простой вид, позволяющий для каурого элементарного воздействия п каждого независимого уравнения дзпхения получить аналитическое решение. Общие регенпя независимых уравнений по-

Рис. t TfpsEfl форка копзйзкиД еысотного здажя

Форма 1

Формы 2(е) и 2(6) с, =20,

»* =¿7.52 £

^ «46.49 •» »0.436

Рис. 2. Фор;?ы колебаний модели пролетного сгроенмя моста

лучаютря суперпозицией решений, ' соответствующих элементарным воздействиям. Такой подход представляется оправданным, так как обычно при конечноэлементном (суперэлементном) моделировании загружается лишь небольшая часть узлов конструкции, а диначи-чэская нагрузка на каздый узел задается в виде совокупности элементарных нагрузок, кавдая из которых описывается небольшим набором параметров. ■

В первом и втором разделах главы рассматриваются процессы получения раз делящихся уравнений и их аналитического интегрирования при различных моделях диссипации энергии. Для различных элементарных воздействий приведены аналитические решения разделенных уравнений движения. В качестве элементарных воздействий рассматривались: ненулевые начальные условия при отсутствии нагрузки; нагрузка в виде импульса при нулевых начальных условиях; нагрузка, изменяющаяся во времени по линейному или гармоническому закону, при нулевых начальных условиях. При этом решения, по-полученные по теории Е.С.Сорокина, не требуют применения комплексной арифметики и разложения нагрузки в ряд Фурье и имеют та- . кой ке вид, как и решения, полученные по теориям Рэлея и Кельвина - Фойхта. Это позволяет создать универсальный алгоритм расчета, который подробно описан в третьем-разделе главы.

С точки зрения организации вычислений на ЭВМ использование аналитических решений уравнений движения представляется более предпочтительным, чем их численное интегрирование, т.к. в этом случае ошибки округления слабее влияет на результат из-за уменьшения количества арифметических операций; кроме того, снимается проблема выбора шага интегрирования и значительно сокращаются требования к памяти.

Процесс решения мокно представить в виде последовательности шагов:

Л. Вычисление коэффициента демпфирования п и частоты колебаний со в зависимости от заданного типа демпфирования.

Б. Вычисление коэффициентов аналитического выражения, связанного с заданным типом элементарного воздействия

В. Вычисление значения аналитического выражения для заданного момента времени.

Конкретное содержание этих шагов и общая схема алгоритма динамического расчета по методу разлокения по собственным фориам в многоуровневой суперэлементной постановке приводятся в тексте диссертации.

В четвертом разделе главы приведены результаты ропения зздач о вынуаденных колебаниях конструкций по методу разлокения по собственным формам с помощью разработанного автором специализированного модуля комплекса "Супер-ПК".

Для сравнения эффективности метода разлокения по собственны;.! формам н одного из методов прямого интегрирования неразделенных уравнений двжкеыия - метода Нысыарка - была решена тестовая задача о действии внезапно приложенной сосредоточенной силы на изгибаемую прямоугольную пластинку. Исследовалось изменение прогиба пластинки в точке приложения силы на протяташи 10 временных шагов длительностью ДТ=0.002 с, что ■ в сумме несколько превышает наибольший период собственных колебаний (Т=0.01б с).

Результаты расчетов показали, что оба метода дают близкие результаты, отличащиеся от полученных аналитически в среднем еэ более, чем на 3.5 %. если при расчете по методу Ньюмарка величина пага интегрирования составляет примерно 1/160 периода

колебаний основного тона (время расчета - 23 минуты), а при использовании метода разложения по формам удерхивается 10 форм собственных колебаний (время расчета - 14 секунд). Тагам образом, вариант алгоритма суперэлементного расчета на динамические воздействия методом разлокения по собственным формат,î, использующий аналитические решения независимых дифференциальных уравнений движения при типовых воздействиях, по затратам машинного времени значительно эффективнее традиционных алгоритмов шаговой динамики, причег. в данном варианте алгоритма величина расчетного временного шага (шага вычисления перемещений) не влияет ни на скорость, расчета, ни на точность результатов.

Рассматривалась такне задача о действии на стальную ферму пешеходного моста движущейся сосредоточенной нагрузки. Согласно известным прибликениым решения,! амплитуда колебаний долкна быть максимальной, если время прохождения нагрузки по мосту равно половине периода собственных колебаний. Результаты, полученные по методу разложения да собственным формам, очень хорошо согласуются с приближенными оценками.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА диссертации содержит описания и обоснования алгоритмов решения ' •квадратичной проблема собственных значений (3) для матриц большого порядка, возникающей в задачах о собственных колебаниях упругих систем с непропорциональным^ демпфированием (ШЭД). При произвольной симметричной матрице диссипации С собственные пары задачи (3) в общем случае являются комплексными. Как известно, комплексные характеристические показатели К^ определяют частоты и коэфф;щиенты затухаипя собственных колебаний, а действительная и мнимая части комплексного собственного вектора v определяют 2 связанные фора собственных

где R

- 1б -

колебаний, сменяющие друг друга через четверть периода.

В первом разделе главы отмечается, что задача (3) мояэт Сыть сведена к обобщенной линейной проблеме собственных значений удвоенного порядка

R U> = X Ы © (5)

-R

£1

Среда решений (5) могут быть комшюксно-сопряшшыв, Taie как матричный пучок (R ,Й ) в общем случае не является положительно определенным. Обычно обе части (5) умнокают слева на П""1, получая таким образом стандартную задачу о собственных значениях несимметричной матрицы. Для решения такой задачи существуют стандартные алгоритмы - Сиортогональный алгоритм Лакцоша, метод Арнольда, двусторонние итерации Бауэра, метод Стьварта, "косые" итерации Стьюарта и Дженнингса. Но, как показано в диссертации, для решения задачи в формулировке (5) мояно использовать модифицированные стандартные алгоритмы методов Ланцоиа и одновременных итераций, при этом свойство симметрии матричного пучка (R ,Ц ) сохраняется.

Во втором разделе главы раскрывается суцность модафикащи метода одновременных итераций. Реаение "малой" проблемы собственных значений для матричного пучка (R<k),U(k)) ищется в виде вещественных матриц G(k) и б(к) таких, что:- 6(к)состоит из клеток 1*1 и 2*2, причем клетки Ы содержат вещественные собственные значения пучка Ш(к) ,U(k) ), а клетки 2*2 вида определяют комплексно-сопряженные соб-

ственные значения а ± .

- каждой клетке 1М в(к) соответствует собственный вектор

- IT -

g|k)- столбец матрицы Gík),a каздой клетке 2*2 соответствует пара соседних столбцов { gjk' .si1^ > матрицы G(1°, определяющих пару комплексно-сопряженных собственных векторов пучка (К<юциО) 8(Ю± g<k> .

Все остальные пункты схемы формально остаются неизменными. Необходимо только учитывать, что матрица в(к) имеет блочно-диа-гональный вид, в то время как в "классической" версии метода она является диагональной.

В диссертации дается обоснование предлагаемой модификации; в частности, показано, что если клеточная структура матриц 0Пс) от шага к шагу не изменяется, то линейная оболочка вещественных базисных векторов s0t' совпадает с линейной оболочкой базисных векторов "стандартного" метода одновременных итераций, проводимого в комплексной арифметике, а следовательно, сходится к тему ке инвариантному подпространству.

Подробная схема суперэломентной версии алгоритма модифицированного метода одновременных итераций содергится в тексте диссертации.

В третьем разделе главы описывается модификация стандартного алгоритма Ланцота, 'прйдн<1знпчс>рт™я для решения задачи (5) с, комплексно-содрякенными 'собственными парата. Формальное применение стандартного алгоритма Ланцоша с трансформацией' спектра к задаче (5) приводит к тому, что некоторые векторы лгнцоша q{ и коэффициенты - внедиагональные элементы симетричной трехдиа-гональной матрица " - становятся чисто мнимыми. В диссертация показано, что вычисления могно вести полностью в вещественной арифметике, если хранить в памяти веществекнне величины при этом тип вектора q. (вещественный или чисто мнимый) однозначно

■

определяется через знак произведения . Прозерка вы-

полнения критерия Саймона и ортогонализация невязки также может проводиться в вещественной арифметике.

Если определить элементы диагональной матрицы типов Б сог-* ?

ласно формуле ф^) и ввести диагональную матрицу и

такую, что и то матрица ?=ити-1 - вещественная несим-

метричная трехдиагональная, а ее собственные векторы отвечающие сошедшимся собственным значениям Т (или Р), связаны с собственными векторами (5) соотношением

= (7)

где матрица ОП - вещественная, а ее столбцы соответствуют реально хранимым (без учета типа) компонентам векторов Ланцоша. На каздом шаге к матрице Т применяется вариант ОЬ-алгоритма без квадратных корней, работающий также в вещественной арифметике. Результатом его работы является приведение матрицы 2 с "частично мнимой" поддаагональю к клеточно-диагональному вида'. Клетки первого порядка соответствуют вещественным собственным значениям Г, а клетки второго порядка - комплексно-сопряженным. •

Подробная схема суперэлементной версии алгоритма модифицированного метода Ланцоша приведена ниже. В диссертации указывается связь мезду рассматриваемой модификацией и биортогональным алгоритмом Ланцоша.

В четвертом разделе главы приводятся результаты расчета тестовых задач и реальных конструкций с НДЦ на собственные колебания. При тестировании разработанных автором модулей комплекса "Супер-ПК" решалась задача о колебаниях консольной балки с вязким демпфером на незакрепленном конце. Приведенные в диссерта-

ции данные свидетельствуют, что и при НПД метод Ланцоша более эффективен, чем метод одновременных итераций.

Задача определения комплексных собственных частот и форм модели коробчатого пролетного строения моста с вязкими дежфэ-рами, установленными в угловых точках торцевых сечений, была решена при различных значениях вязкости демпферов. Результаты расчета показали (см. рис. 2), что при увеличении вязкости демпферов до значения порядка 10.0 место первой формы колебаний занимает форма кзколебательного движения, а изгибныэ колебания характеризуются значительным коэффициентом затухания и выраженным искажением формы по сравнению с изгибными колебаниями недемпфированной системы.

В пятом разделе главы содержатся некоторые рекомендации по использованию комплексных собственных пар (5) при расчетах на динамические воздействия.

Если каздая комплексно-сопрякенные пары собственных векторов (5) хранится в матрице П в виде двух вещественных столбцоз Сu,v], ю векторы мокно нормировать так, чтобы матрица Т?тШ была диагональной с элементами +1 и -1.

В диссертации описывается методика динамического расчета конструкций с Н1Щ по методу разложения по собственным формам, основанная на предлагаемом способе нормировки комплексных собственных векторов и позволяющая проводить вычисления в вещественной арифметике. Показано, что применение метода разложения по собсственным формам при расчете на гармоническую нагрузку позволяет получить простой и удобный алгоритм построения амплитудно-частотной характеристики многомассового динамического гасителя колебаний с вязким трением.

Применение модифицированного алгоритма Ланцоша для решения задач о колебаниях упругих конструкций с НПД с учетом многоуровневого суперэлементного подхода.

I. Восхождение по уровням:

- формирование матриц масс Ы и демпферов С

II. Восхождение по уровням:

- формирование матриц BQ= В + оС + о2И ; Са= С + 2о11 .

- статическая конденсация матриц Re.

III. Инициализация начального вещественного вектора р. Восхоадение по уровням:

- решение системы уравнений Rgr10= р (прямой ход) Нисхоздение по уровням:

- решение системы уравнений RQr(0= р (обратный ход)

" присвоение r20= rJ0 ; э0= 1

- накопление ßz, = ßz, + \ 1 в [ Zio 1 , ■ „ L го -I II 0 L гго J или ß* = г;0(Со+ 2И)Г,0 .

Присвоение з;= slgn(ß^)

IV. Итерации: для 1=1,2,3,...,11ШХ А. Восхоадение по уровням:

- вычисление очередного вектора Ланцоша

<?{= ( п / УТР^Т > • ( п= -1, если э1_,=+1 и а4=-1; иначе - п= 1 )

- формирование правой части р = - Сд Ц д2(

- решение системы уравнений йо г}{ = р (статическая конденсация - прямой ход)

Б. Нисхождение по уровням:

- решение системы уравнений Кв г { = р

(статическая конденсация - обратный ход)

- достройка вектора невязки г*2{ = д({

- коррекция вектора невязки т*{ = г{ -(если 1>1)

- накопление а, = а, + г/Г С8 и 1

[н о]

Л{ - т , {

или а{ = а{ + г^Седи + +

В. Нисхоздение по уровням:

- коррекция вектора невязки г1 = г - а{

-накопление р^, = й^ ' + г.тГ Св и 1 + 1 1+1 1 И О

г<

*** = + ГМСвГМ + Г«ИГ»* + ГМ1521

Присвоение з{+(= ).

Г. Если 1>1: проверка ортогональности невязки к векторам Ланцоша и (если необходимо) ортогонализация. Д. Вычисление приближений к собственным значениям. Проверка критерия сходимости. 7. Вычисление пакета собственных векторов (1 вещественной матрицы ЗМЛЭ для сошедшихся собственных значений. Для каздого столбца - нисхоздение по уровням: - вычисление .1-го столбца матрицы V собственных векторов исходной задачи = <3,5,.

- 22 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации описаны разработанные автором алгоритмы для решения задач о собственных колебаниях недемпфированных конструкций применительно к многоуровневой схеме метода суперэлементов на основе метода Ланцоша и метода итераций в подпространстве .

2. Вычисленные частоты и формы собственных колебаний недемпфированных конструкций могут быть использованы при расчетах на динамические воздействия при пропорциональном демпфировании. В диссертации представлены соотЕвтствущие алгоритмы расчета, основанные на методе разложения по формам собственных колебаний в многоуровневой суперэлементной постановке при различных вариантах моделирования внутреннего трения.

3. Для определения комплексных характеристических показателей и форм собственных колебаний конструкций с непропорциональным демпфированием в диссертации предлагаются модификации методов Ланцоша и итераций в подпространстве и описываются разработанные на их основе алгоритмы расчета с учетом многоуровневого суперэлементного подхода.

4. На основе описанных в диссертации алгоритмов разработано программное обеспечение и созданы специализированные исполнимые модули универсального программного комплекса, предназначенного для расчета конструкций на статические и • динамические воздействия по многоуровневой схеме метода суперэлементов на персональных ЭВМ.

Основное содержание диссертации отражено в работах:

1. Мазур Г.Э. Применение метода одновременных итераций для решения обобщенной квадратичной проблемы собственных значений // Моск. ин-т инж. я.-д. трансп. - М.,1993. - 13 с,-Деп. в ВИНИТИ 05.02.93 N 290-В93.

2. Мазур Г.Э. Учет особенностей суперэлементного подхода при • . исследовании собственных колебаний сооружений по методу

Ланцоша // Моск. ин-т инж. к.-д. трансп.- М.,1993.- 24 с.-Деп. в ВИНИТИ 30.04.93 П169-В93.

3. Мазур Г.Э. Применение метода Ланцоша для решения обобщенной квадратичной про Олега собственных значений // Моск. гос. ун-т путей сообщ.(ШЖТ) - М.,1993. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.11.93 N 2977-В93.

4. Огурцов Ю.Н., Мазур Г.Э. Деление спектра в суперэлементных задачах динамики сооружений // Моск.гос. ун-т путей сообщ. (ШИТ)- И., 1993. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.11.93 N

2978-В93.

5. Мазур Г.Э. О вычисления проекции матрицы жесткости в методе одновременных итераций применительно к суперэлементным задачам динемики сооружений // Моск. гос. ун-т путей-сообщ. (ЫИИТ) - М., "1993.- б с. - Деп. в ВИНИТИ 30.11.93 N

2979-В93.