автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численные методы статического и динамического расчета конструкций на основе многоуровневых подходов

?г • Ой

московский государственный строительный университет

На правах рукописи УДК 624.04:539.3

БЕЛЫЙ Михаил Венедиктович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТАТИЧЕСКОГО И ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ МНОГОУРОВНЕВЫХ ПОДХОДОВ

05.23.17 — строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете.

Официальные оппоненты:

профессор, доктор физико-математических наук

A. М. Проценко,

профессор, доктор физико-математических наук

B. С. Никишин,

профессор, доктор технических наук М. А. Дашевский

Ведущая организация: АО НИИ Энергетических сооружений

Защита состоится « ¿-О. » . X.//. . . 1994 г. в «... » часов на заседании спецализированного Совета Д 053.11.02 при Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, аудитория №

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, МГСУ, Ученый совет.

Автореферат разослан « . X/. . . . 1994 г.

/2>52>- [22./ВЧ

Ученый секретарь специализированного Совета д. т. н., профессор

Г. Э. Шаблинскин

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа заключается в разработке и совершенствовании эффективных численных методов расчета сооружении. Все представленные в работе методы можно отнести к многоуровневым в той смысле, что процедуры вычисления решения основаны на использовании упорядоченных пЬсхдадователностеа вспомогательных задач.: В работе рассматриваются два многоуровневых подхода к статическому ■ и динамическому расчету конструкций:.; прямые метода , на , основе метода сугорэлементов и итерационные алгоритиы на основе миогосеточного метода.; ;

' Актуальность темы»' Благодаря прогрессу в области компьютерной техники й вычислительной математики, современный : этап развития ¿триятельноа механики характеризуетсяшироким использованием чийлэнных методов. Расчетная практика выдвигает задачи исследования ' сложнейших конструкций, полное решение которых может быть-получено а : большинстве случаев лишь чис^вптм' путем. Одаа;со, ;; даже .; прииспользовании высокопроизводительных ЭВМ расчет обширного круга конструкция остается нетривиальной задачей * Имеющийся многолетний опыт , показывает, что эффективность внедрения вычислительных подходов \ в практику , расчетов сооружения зависит не столько от мощности ЭВМ, сколько от разработки рациональных алгоритмов. Поэтому, существующая тенданодя к максимально полному учету специфики работы :конструкций в нормальных и акстремальных условиях требует постоянного совершенствования численных методов и алгоритмов расчета; сооружений,' а также разработки новых аффективных подходов к численному решения задач строительной механики. Целы) работы является: : : :■

- построение новых вариантов метода сутарэлэментов для статического расчета конструкций и эффективных алгоритмов для их реализации:

- разработка варианта метода сутгарзлзментов для расчета собственных колебания конструкций;

- распространение метода сутарэлемеатов на решение нестационарных задач ' динамики сооружения, в частности, на динамический расчет конструкций с локальными нелинеаностями;

- разработка многоуровневого (шогосеточного) итерационного метода для решения трехмерных задач статического расчета конструкция;

- разработка итерационного варианта многоуровневого метода расчета собственных колебаний упругих систем;

- разработка эффективных алгоритмов и структур данных для решения трехмерных краевых задач расчета конструкций, а такие для расчета

пространственных ствргаевых конструкций; ,

- разработка программ расчета конструкций на основе прямых итерационных многоуровневых подходов; ' - ;

- аналитическое и численное исследование многоуровневых методов численные эксперименты на модальных задачах; \

- приложение многоуровневых ; методов к решению практических зада расчета сложных конструкций;-;

Научная новизна состоит в: ;■•/, '

- построении модифицированного варианта метода супэрэлеиантов таг метода расширенная области дяя статического расчета инструкций; ;

- разработке /и исследовании метода сугорздэментов для расчеа собственных колебания конструкций; ■ ' ' ^ '••

- получении априорных оценок точности для приближенного сушрзлемеш ного подхода к расчету собственных колэбания;

- разработке метода сугаралекентов для решения нестационарных , данаш ческих задач расчета конструкция; : . ' ; . , ■

- распространении метода сударэлэментов па решение динамических задг расчета конструшдай с локальными нелияесностями;

- разработке. варианта многоуровневого (многосеточного) метода да решения пространственных 1фаевых задач;

- исследовании сходимости иногосеточного катода - теоретическом численном (на модельных задачах);'- использован;::* метода ;ад«ораишваяия связеа (дискретного вариан* метода сосредоточенных' упругих деформация) . для по строе! универсального вармнта .многоуровневого итерационного штод; пригодного для расчета любых конечноэлементных систем; ■

- разработке варианта многоуровневого итерационного катода дяя расчет собственных колебания конструзсщж; ■'."'■■<.

- разработке структура, данных и аффективных алгоритмов дяя рэшаш трехмерных задач теории - упругости, теплопроводности, термоупругос многоуровневым итерационным методом в сочетании с нкэ;

- разработке алгоритмов и стутауры данных дяя расчета трехмерных фэ] с помощью шогоуровневого итерационного катода;

- расчете трехмерного вапрдошно-деформировашшго состоял практических конструкций. '

Практическая данность состоит в:

- построении эффективных многоуровневых методов расчета сл~ж конструкция, применение которых дает существенную эконом вычислительных ресурсов и расягоряет область применения расчета

рограмм по методу конечных элементов; разработке пакетов программ:

а) для расчета конструкция на статические и динамические 5 воздействия методом суперзлэментов;

й) для решения трехмерных краевых задач распета конструкция многосеточным методом; : в> для расчета трехмерных стеркневых конструкций с помощью многоуровневого- итерационного метода;

- расчете напряженно-деформированного состояния реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработаны« методов, алгоритмов и программ для расчета конструкция в организациях: ЩШИСК им.В.А;Кучеренко, НИИЗКБ, МНИИТЭП, ВНИИГ, ЛЕШЦЦРОСТАЛЬ, ВНИШИЭТ, Институт физики высоких давлений АН РФ, Научно-исслэдозательскиа центр "СТАЦИО", а также в различных подразделениях ИГСУ, таких как: лаборатория исследования напряжений, лаборатория инженерного мерзлотоведения, лаборатория динамики соорувешш,вычислительша центр. На защиту выносятся:

- модифицированный вариант, метода сугоралэ коптов типа метода расширенной области для статического расчета конструкция;

- вариант метода суперэлементов для расчета собственных колебании конструкция;

- априорные оценки точности дяя приближенного суиерэлементного подхода К расчету собственных колебания;

-' метод судараленентов дяя решения нестационарных динамических задач расчета упругих конструкция и констругадай с локальными нелшейностдаи;

- примеры решения нестационарных линейных, динамических задач и задач с локальными, нелинеяностями с. помощь» разработанного варианта динамического метода сутюрзлекентов; •

- многоуровпевыв многосеточный йетод для решения пространственных краевых задач;

- универсальный многоуровневый лтерациопяыа алгоритм дгя решения конечноэлементных задач на основе метода замораживания связей;

вариант многоуровневого итерационного метода для расчета собственных колебаний конструкция;

~ структура данных и эффективные алгоригш для решения трехмерных задач теории упругости, теплопроводности, термоупругости многоуровневым итерационным методом в сочетании с МКЭ; ~ алгоритмы для расчета трехмерных фзрм с помощью многоуровневого итерационного метода;

.. -е- примеры расчете . папряженно-деформированного состояния .: ре&яьнш пространственных конструкщш. >Уу 7

Апробация работы; состоялась яа следующих конференциях ' и семинарах: : ; , ■-; !!•; 477.'ууу-ф; :'-.Ч;.г> :

- Всесоюзное совещание "Расчетные предельные состояния бетонных железобетонных конструкция энергетических сооружешти,1990 г., Нарва.

- Международная школа "Применение компьютера в гидротехнике ; и охранг водных ресурсов", 1890 г., Варна, Болгария. .7/7

- 2-й Международный конгресс; по выадсдаггелшоа механике, 1990 г., Штутгарт, Германия; |Л':.;' 'ууу'фу '^Фу^'Ф'Фф^Ф!

- 1-я Европейская конференция го механика твердого тела, 1992г., Мюнхен* Германия; Фу^'.Уу)1 ; ' Г

- Российско-польский .' семинар "Теоретические основы строительства", 1983, МГСУ, Москва*';!:-;■.у ф'фф'--': .7 ■

- 1-я Европейская конференция пр.; нелинейным колебаниям," . 1993г. Гамбург, Германия; ^ 777' ..уф'фу-; ::■ [■:.

- Международная •;. конференция ; "Численное ;; моделирование .^бетонных конструкций", 1994 г., Инсбрук,./встрия;. /.; ' ■Г

- Семинар НЩ СТАДО "Современнее численные метода -и программы расчета сложных инженерных сооружен® " шд руководством Л.М.Еелостоцкого. I

- Международный .аэройосшШскиа^кошрэсб,'1994 г.,' Москва.'

- 2-я Европейская конференция по ' механике ' твердого тела , 1934г., Генуя, йгалйя.' ;У/Фф 7 7..' ••'/,/'.■- . '

- Ссдшар-кафедры -информатики и прикладной математики МГСУ под руководствам профоссора В.В.Кучеренко, 1994 г.; - 'А'/; ' ...

- Межв.узоБС1Ш семинар "Численные' ютодц строительной . механики" под руководство« профессоров Л.Л.Бозина, Р.А.Хечумоаа и Я Л.Шапошникова,• 1994 г.; ; 7 ¡УФ, ' ..7"'7.' -.-;7:-

Объединенный семинар да£едр сопротивления материалов и строительной механики НГСУ под руководством профессора- Г,С.Варданяна,. 1994 г..;; ?. Достоверность, результатов основана на: , з:- ,-' 77 ■

- строгости используемого, матемаляэского аппарата.;

- сопоставлении формул метода гадаонструкцна для конечнозлементных задач с их непрерывными аналогами; ' /

~ вывода одаих и.тех жэ фориул и уравнений адьтернативнши способами;

- сопоставлении результатов решения задач с известными аиашгпгаесши решениями и решениями с помощью других численных методов;

- сопоставлении результатов расчетов с . экспериментальными данными и данными натурных наблюдения за реальными конструкциями;

- анализе результатов счета и приеме гас заказчиками, отвечающими за надежность и эффективность конструкция.

Личный вклад состоит в непосредственной разработке предлагаемых методов и в руководстве совместной с учениками работой по их реализации.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 25 печатных работ , из них 18 в соавторстве с сотрудниками и учениками, принимавшими участие в реализации предлагаемых методов, и с заказчиками, обе стачивавшими инженерную постановку задач и анализ результатов расчетов.

Объем и структура. Диссертация состоит их введения, в глав, заключения, списка литературы из 149 наименования. Главы 3, 5 и 6 состоят из двух частей (каждая). 285 страниц основного текста и 50 страниц приложений включают ев рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сформулирована основная цэль работы - разработка и совершенствование эффективных численных методов расчета сложных конструкций. Обсуждаются преимущества многоуровневых алгоритмов на основе метода подконструкций и многосеточного метода.

: В первой главе содеркится обзор многоуровневых численных методов решения задач расчета конструкций. В шрвуга очередь обсуждаются метод сугарэлементов и многосеточные методы.

Наиболее универсальным и широко распространенным численным методом расчета сооружения является метод конечных элементов (МКЭ), который формально позволяет выполнить исследование конструкций любой степени сложности. Однако, на практике, расчет сложных простанственных. конструкция этим методом встречает серьезные трудности. Это обусловлено тем, что с увеличением порядка систем разрешающих уравнений МКЭ резко возрастает время счета ввиду ограниченного быстродействия ЭВМ и необходимости многократных обращений к внешней памяти.

Одним из подходов, направленных ' на увеличение вычислительных п??чожностей конечноэ.тзмзнтных программ является метод суперэлементов (МСЭ), основанный на представлении расчетной схемы сооружения в виде иерархической системы подконструкций. Основные идеи метода суперэлементов были впервые изложены A.A. Гвоздевым применительно к расчету стержневых систем. Большой вклад в развитие метода суперэлементов как средства решения конечноэлементных задач внесли Е.С.Пржемшщкий:, К.Мейснер, Дк.Аргирис, Е.Л.Вилсон, З.И.Бурман, А.С.Вольмир, В.А.Пост-

нов, Н.Н.Шапошников и др. Особенно эффективным МСЭ оказывается при расчете больших конструктивных систем, состоящих : из большого числа одинаковых частей - подконструкний. Одним из главных преимуществ метода суперэлементов является возможность организации структуры данных таким образом, что внесение изменений в расчетную схему может производиться независимо для каждой подаонструкции, без повторного проведения начального этапа расчета для других частей сооружения. :

МСЭ для статического расчета конструкций можно • рассматривать как вариант блочного метода, исключения для. решения;,системы ■ линейных алгебраических уравнений. Очевидное распространение этого, метода па ревоние динамических задач состоит в использовании " суперэлементного алгоритма решения системы линейных уравнений на .каждом ..шаге."- неявной схемы прямого интегрирования системы уравнений движения или на каждой итерации алгоритма для определения частот и форм собственных колебаний конструкции. Такой подход не содержит принципиальной. новизны: и его эффективность зависти от реализации сулерэлзментаой структуры данных и необходимых алгоритмов. Альтернативный' и ; более /предпочтительный . с нашей точки зрения подход состоит в разработке динамических вариантов МСЭ, т.е. блочеых методов исключения неизвестных для задач динамики.

В общем случае МСЭ не . приводит к . уменьшению! ■ количества арифметических операций, по сравнению с современными вариантами метода исключения, для систем уравнений с разреженными матрицами. Поэтому для больших трехмерных задач (например, для расчета массивных; конструкций в трехмерной постановке) он оказывается недостаточно '•- эффективным'. Другой подход к решению конечноэлементных систем уравнений . состоит, в использовании итерационных методов. Применение итерационных методов для расчета строительных конструкций берет свое начало с работ Л.Ричардсона по расчету плотин методом конечных разностей. , Бурное развитие итерационных методов связано с внедрением -. ЭВМ в: практику инженерных расчетов во второй половине нашего века. В настоящее, время итерационные методы представляют . собой обширный и детально разработанный раздел вычислительной математики. Подробное изложение теории итерационных методов решения систем линейных уравнений содержится в книгах Д.К.Фадцеева и В.Н.Фадцеевой, Л.А.Самарского ' и Е.С.Николаева, Г.И.Марчука, Л.Хейгемана и Д.Инга и в большом числе других литературных источников. Однако, применительно к решению задач МКЭ область использования традиционных итерационных алгоритмов ограничена расчетом конструкций с достаточно простыми геометрическими очертаниями и граничными условиями. Попытки, решения этими методами

более сложных задач, как правило, приводят к большим вычислительным затратам из-за плохой сходимости итерационных процессов. Дело в том, что практически все классические итерационные схемы решения дискретных аналогов эллиптических задач проявляют хорошую сходимость только по быстроизменяющимся составляющим решения, соответствующим членам его спектрального • разложения для больших собственных значения. Как правило, наблюдается плохая сходимость этих методов по медленноизменяющимся, плавным составляющим, которые вносят основной вклад в решения' задач строительной механики.

Известно, что для задач статического расчета сооружения существенный вклад в решение вносят плавные составляющие, для аппроксимации которых требуется конечноэлементная модель с небольшим числом узлов. Подробная модель с высокой степенью сеточного разбиения требуется лишь для аппроксимации быстро- изменяющейся части решения. Более того, каждому "диапазону ; плавности", для составляющих решения соответствует определенная необходимая степень детализации конечнозле-ментной. расчетной схемы. Поэтому кажется естественным построить итерационный процесс решения задачи на последовательности сеток, самая мелкая из которых совпадает с исходным конечноэлементным разбиением конструкции, а остальные являются вспомогательными. Реке гага задачи на самой крупной сетке целесообразно осуществлять прямым методом.

Идея использования нескольких сеток при решении краевых задач механики не нова. Например, в приложении к известной монографии по теории упругости С.П.Тимошенко и Дк.Гудьера описан алгоритм решения задачи кручения методом конечных разностей, использующий последовательность вспомогательных сеток. Интенсивное развитие многосеточные методы получили начиная с работ Р.П.Федоренко в начале 60-х годов. Существенный вклад в развитие многосеточных методов внесли Н.С.Бахвалов, Г.П.Астратчнцев, Г.А.Руховец, В.В.Шайдуров, В.Хакбуш, А.Брандг,С.Ф.Мак-Кормик и др. Приложению многосеточных методов к расчету деформируемых систем посвядены работы А.В.Вовкушевского, А.Н. Паутова, Ш.Руже, К.Е.Бэррет и др. Вариант многосеточного полуитерационного метода дяя расчета трехмерных массивных конструкций был разработан и исследован в работах М.В.Белого и В.Е.Булгакова.

Вторая глава посвящена распространению классических методов механики стержневых систем - метода сил, метода перемещений, смешанного метода, на общую задачу расчета сооружения методом подконструкций. Для этого используются операторные формулировки краевых задач строительной механики по методу расширенной области

А.Б.Золотова и- аппарат функций Грина.

Операторные формулировки краевых задач.

Многие задачи строительной механики являются частными случаями краевой задачи для эллиптической системы из т уравнений второго порядка в пространстве п координат :

= г, £ иш I с^а. и, (I)

* 1=1

где = , и={и1,ил,...ит) , сц - квадратные матрицы

порядка ш, элементы которых представляют собой скалярные функции координат - коэффициенты уравнений системы.

Матричная запись дифференциального оператора д имеет виц:

ь = о с V, (2)

где с - матрица порядка т-пхш-п, о=7®1т% о*=7*®хт, хт- единичная матрица порядка т, ^¿рай, Знак ® обозначает прямое

(Кронекеровское) произведение матриц, т.е.

о =

1

1 1Г

0 1

2 тг

о I

П !Г»

О = -

Например, дифференциальный оператор задачи теории упругости для изотропного тела записывается в виде (2> с матрицей с.

с =

Важную роль при построении

А+2М 0 0 0 \ 0 0 0 к "

0 и 0 н 0 0 0 0 0

0 0 м 0 0 0 м о 0

0 р 0 и 0 0 "3 о а :

X. 0 0 0 0 0 0 \

0 0 0 0 0 л SL.iL- 0

б'" "о "¡Л б" "б" 0 Ц 0

0 0 0 0 0 0 и 0

к 0 0 0 X 0(0 0

играет

оператора краевой задачи

Г1, х е а;

характеристическая функция области в(х)=< которая является

1.0, х е ах

основным средством описания геометрии области.

Имеют место следующие формулы дифференцирования е(ж): V е = - и бг , а1 е = - vl бг,

где ,иа,...1>п>т- единичный вектор внешней нормали к дранице области, <5Г- дельта- функция границы г , определяемая соотношением

X 6р р Ас = / 1о ОТ II Г

дая произвольной функции р(х).

Укножая оператор l, записанный в форжэ (2), слова на в(х>, нетрудно получить важное соотношение:

0D С D = D ее D-(D*e)C D = D С D в - ÛC(D9) - {D в)С D, (3)

где D9=-6rN, D*9=6rN*,

Введем обозначения для оператора естественных краевых условии и сопряженного к нему оператора:

n n г> п

l=N CD = 2 £ ULCiiaif l*=D*Сti= " 2 s 6 Si")'

i « i j = i e Введем также обозначение для самосопряженного оператора xo=d в ср.

С учетом введенных обозначений, равенства (3) можно переписать в

вида:

вСи = JfQu - 6piu = Wu - <5piu + l (<5pU>. (4)

Используя эти соотношения, можно получить операторные формулировки вида хи=у основных типов краевых задач для эллиптической системы (I), которые представляют собой уравнения, включающие условия как внутри области, так и на ее границе.

Первая краевая задача: L и = F, лко; и = д, жг.

£= W-6rt - £o-6rt~tôr = eL-{'&r\ Г = GF -t" {6гд), Вторая краевая задача. L и = F, *en; tu = f, хег.

I0±t*&r - £а = 0L+ г = ер + &rf.

Аналогичным образом можно получеть выражения для оператора и правой части в случае смешанной краевой задачи. Представление решения через функцию Грина.

Подействуем на правую и левую части ■ равенства (4) интегральным оператором Грина J"<?oc,ç ){■ )<%, где G(x,z) - функция Гркна некоторой краевой задачи для системы дта1)фере!щиальный уравнений (I), удевлетворящая уравнения lg(x,k (х,к ). Получи?.?:

eu(x!=$G(x,Z >FtK )dr+- ¡G(x,z )1киК )drK- (JrÇ ,хЛтиС? JdT^ . (5)

О Г г

Формула (5) дает представление решения в виде суммы объемного

потенциала, потенциала простого слоя и потенциала двойного слоя. В теории упругссти эта формула носит название формулы Сомильяны.

Подействовав оператором t на правую и левую части равенства (5)« получим:

в tu (х) - N* С N &г и -

- fV'V"':^ +fi erx.çrf ufç;dr_ -fi U,G(l ,*)f )dry (S) - * - x ( Ç V X С С

n г г

В случае задачи теории упругости формула (6) дает представление для напряжений на площадке с вектором нормали у.

Пусть о, игх> - постоянная вектор-функция, компоненты которой равны элементам .1-го столбца единичной матрицу Объединяя

результаты для 1=1.2.....ш, получаем:

/слвг=/ *хи?<?гг ,хлтйг?. г г

Первая из этих формул выражает известное граничное свойство потенциала

двойного слоя. Вторая формула позволяет шреписать формулу <6> в виде:

в1ц(х) =

(х,к )<%+рхв(х,г: и г? )Ог1,+$1х1гг,ва ,х>)т1и(х)-и({(7)

п г г

Метод подконструкций.

Под методом подконструкций понимается следующая процедура расчета составной конструкции. На тарвом этапе каждой подконструкции производится исключение неизвестных, которые непосредственно не использукяся в условиях стыковки. Это приводит к системе граничных уравнений. Затем граничные уравнения для всех подконструкций решаются совместно с учетом условий их сопряжения. Естественным путем для построения метода подконструкций является использование классических методов строительной механики.

Пусть напряженно-деформированное состояние подконструкции описывается системой уравнений (I). Рассмотрим смешанную краевую задачу для системы (I) с краевыми условиями

и(х) = д, хеГ1 ; I и(х) = Г, хеГ2; Г\иГ,=Г, Г1ПГ2=0.

Граничное уравнение метода перемещений.

Введем обозначение и(х> = г<х) при хегг и воспользуемся представлением (14) через функцию Грина ) первой краевой задачи, которая представляет сабой функцию влияния для основной системы метода перемещений. Переходя к пределу при стремлении точки * к участку границы г2 изнутри области и учитывая, что 1ш ги(х)=г(х),

1ш и(х)=г(х), получим интегральное уравнение для определения

х-г

2

неизвестной граничной плотности г(х)\

г

г

= .Их) - / Схв1 (х,( )Р(1)(% 4 / ' ' п г,

г

•В частном случае второй краевой задачи приходим к уравнению:

J ,x)\r[Z(x)-Z(Z лсг? = f(x) - j t}Gi (X,K )F(K )dt . (9)

Г n

Используя свойство взаимности для функции Грина, можно показать, что оператор граничного уравнения метода перемещения является самосопряженным.

С помощью аналогичных рассувдения в работе получены грапичные интегральные уравнения метода сил и смешанного метода.

Кратко остановимся на построении разрешающей системы граничных уравнений для ансамбля подконструкций. Рассмотрим составную область р=о1иг>ги...ипм, (o.m =0, i"j). Гранину подобластей обозначим »oi, 1=1,.,*,N. Для решения второй краевой задачи на области п выберем основную систему метода перемещений, закрепив границы подобластей п. . Граничные уравнения для подобластей записываются в виде:

-fVV^ Г?.хЛТ[2 (X)-Zx «Л<Г = fi (х)~ jtxev Cx.iJi-. к )<х, *Е=аО., дО П.

V I

где в - функция Грина для первой краевой задачи на п . Условие стыковки подобластей о^ и П) имеет ввд: г (xj=Z}fx), хево пю^.

Разрешающая система уравнения для определения неизвестных граничных перемещения z записывается в виде:

N

\*jx) Gy <к ,x)}Tiz(xj-za: ;]сгк =

i •» эа

L

N

= Y * >х! \f (X)- и О Г*,? )F f? Jeer I , V&a u. . .U<?fj .

м t Ц i '*' X i v J 12 N

. = 1 О

I

f i, x^ea ;

Здесь характеристическая функция границы : <х>- jQ ^^

Выше для построения граничных уравнений использовались фушецш Грина краевых задач на исходной области п. Возможен другой подход к редукции краевых задач на границу, когда в качестве основной системы используется краевая задача на расширенной области для которой исходная область о является подобластью. Область ш выбирается из условия удобства построения для нее функции Грина. В частности, в качестве расширенной области можно использовать все пространство как это традиционно делается в теории потенциала. Тогда функция Грина rtf.v,; i-r« /у -f i, где s - фундаментальная функция дифференциального оператора задачи, удовлетворяющая уравнению: lmx)=aix). Использование расширенной области позволяет получить, например, следующее граничное

урзвнешкэ метода перемещений для второй краевой задачи:

Jt^GK ,x)flw(x)-wK)1dr( = fix) - jtxG(x.i; (Ю)

Г to

Здесь f(x)~ плотность поверхностной нагрузки, w*;- скачок перемещений на границе исходной области.

Аналогичные граничные уравнения формулируются для первой и смешанной краевых задач.

Полученные граничные уравнения метода сил, метода перемещений, смешанного метода можно рассматривать как симметричные варианты непрямых формулировок граничных интегральных уравнений. В частности, граничное уравнение метода сил для первой краевой задачи соответствует частному случаю метода компенсирующих нагрузок Б.Г.Коренева.

В конца второй главы представлены операторные формулировки и граничные уравнения метода сил, метода перемещений и смешанного метода для нестационарных начально-краевых задач динамики сооружений.

Замечание. Для одномерных краевых задач, которые возникают при расчете стеряневых систем, полученные граничные уравнения (9), (10) совпадают с каноническими системами уравнений метода перемещений. Однако, для двумерных и трехмерных задач использование этих уравнения является нетривиальным. Строго говоря, из-за сильной сингулярной особенности ядра ,xjlT, оператор системы граничных уравнений

метода перемещён^, нельзя трактовать как граничный интеграл. Для работа с такими операторами приходится прибегать к регуляризации в смысле теории обобщенных функций или к другим специальным приемам.

Третья глава состоит из двух частей. Первая часть посвящена методу суперэлементов применительно к задачам статики сооружения. С математической точки зрения этот метод можно рассматривать как вариант блочного метода исключения для решения системы линейных уравнений.

Опишем основную процедуру МСЭ для исключения неизвестных, соответствующих внутренним степеням свободы подконструкции, известную как метод статической конденсации. Рассмотрим систему уравнений равновесия конечноэлементной модели подконструкции:

к и ■ t (II)

где к- матрица жесткости, и- вектор узловых перемещений, г- вектор-узловых нагрузок. Разобьем неизвестные на внутренние (индекс "з")> и-граничные (индекс "ь"), Систему (II) представим в блочной форме::

к. V V •ч» " 1-П

л> V, н ~к

Выразим из первой блочной строки системы о.: иь=к. .< и

подставим во второе блочное уравнение. Получим систему уравнения относительно иь (уравнения равновесия супэрэлзмента):

ЬЬ Ь V и IЬ Ь Ь Ы I I I "

(12)

Система уравнений равновесия суперэлементэ (12) представляет собой систему канонических уравнений метода перемещений для дискретной конечноэлемэнтной модели подконструкции. Матричная .форма записи этих уравнений по форме и по сути аналогична операторной записи системы граничных интегральных уравнений метода перемещений (9).

Наряду с традиционным алгоритмом статической конденсации в данной работе предлагается следующий модифицированный вариант МСЭ, основанный на дополнении кавдоя подконструкции до некоторой окаймляющей области простой формы. Пусть подконструкция занимает область I с грашщэа в Дополним ее до окаймляющей области о. Дополнительную часть области обозначим £ьо\(л>в), так что п^дла^Е. Произведем конечнозлементную дискретизацию области о. Узлы сетки, принадлежащие областям 1,в,е будем называть соответственно внутренними ( индекс "¿"), граничным!! (индекс "в") и внешними (индекс "в"). Рассмотрим следующие задачи: (а)исходную (на области гив): (бвспомогательную (на области юз):

к и + К , и = Г I V 1 V Ь Ь г

к. и + »О* и. = Г. Ь* «. ъь ь ь

+ К. V =о ЬЬ ь ь» *

К V + К V =0 •Ь Ь ,4 »

Очевидно, решение задачи (б): *ь=о. "/в=°- Введем сеточную функцию *ь, сосредоточенную на границе в такую, что иь=*ь+»ь. Подставляя выражение для иь в (а) и (б), приходим к следующей системе уравнений:

К и + К V

III 1С Ь

Ьь1 ЬЬ Ь Ь«е

к Л + К V

•Ь Ь • • Ф!

+ к « = г I Ъ ь I

+ <ьЧ = = о

(13)

кк и

Ь ь I

+ К

+ К,

ьь

•ь = ГЬ

ЬЬ ь

... Первое уравнение этой системы есть первое из уравнений (а), второе представляет собой сумму второго уравнения (а) и первого уравнения (б), третье - второе уравнение (б), и наконец, четвертое уравнение есть второе уравнение (а). Во втором уравнении системы использовано

обозначение: к =к Исключая из системы (13) и,

ЬЬ ЬЬ ЬЬ V

приходим к системе уравнений относительно » :

« = г -ЦК ь ь и

Р,

(14)

с fl

Ч ' » ii ' *3

0

»

к. V V 0

Кк bi к

0 К.ь к

где L=[ ^ О], F=

Матрица к^ представляет собой матрицу жесткости для задачи на расширенной области п. Полученное уравнение (14) представляет собой дискретный аналог граничного интегрального уравнения метода перемещений (10).

Г) рамках настоящей работы была выполнена программная реализация МСЭ на базе многоцелевого конечнозлементного комплекса "СТАДИО" (работа проводилась в НИЦ СТАДИО совместно с А.М.Белостоцкш). Была разработана многоуровневая сударэлементная структура данных и эффективные алгоритмы для основных операция МСЭ. __В частности, для практического вычисления матрицыК и правой части £ системы уравнения равновесия суперэлемента, был реализован эффективный алгоритм, основанный на частичном треугольном разложении матрицу жесткости:

О

' к . V 1 Klb' и. * г, г.' 1

V иъ

U1 о

о

и к

О к

Программная реализация алгоритма выполнена с учетом профиля ленты матрицы жесткости <по столбцам).

Во второй части туо/ьей главы исследуется суверэлементныа подход к расчету собственных колебаний конструкций. Применение МКЭ сводит задачу о собственных колебаниях к следующей обобщенной проблеме собственных значений:

к и = рги и , (15)

где ким- соответственно матрица жесткости и матрица масс р -круговая частота собственных колебаний. Перепишем (15) в виде:

[к. - р2и..:

Li IV

- Р

- Р "v J bt bi bb

l«bbJ W=

0,

bb J 4 b^

i- и "ь" указывает на внутренние и граничные неизвестные.

где индексы

Формально применяя процедуру статической конденсации, получим

*1Ь - Р

"lb1'

Чь-РЧь-^-РЧ^С^и-РЧ^'^^ь-РЧь»«, =0. (16)

Преобразуем последнее уравнение к более удобному виду. Пусть матрицы в и о=(11ай[ь)1,ш2,...,шп 3 представляют собой решение

обобщеняой проблемы собственных значения:

к $ = м .» о*, «тм « = I . (17)

».I 1.1 I

СтолЗиы матрицы $ представляют собоя формы колебания конструкции с закрепленными граничными степенями свобода («ь=0). т.е. основной системы метода перемещения, а диагональные элементы матрицы о -соответствующие этим формам круговые частоты собственных колебании. Имеет место следующее равенство:

[к - р2м 1"' = $ [о2 - р'ч Г1*7,

II 11 и

используя которое можно преобразовать уравнение (16) к виду:

ккиь - ргмк"ь - р\цпг - р21. Г*ето*иь = <18>

где к = к - к .к'1 к , е= [ки к~* -м м;1)» ,

м к ЬЬ |.Ь и Ь1 ' к Ь1Ч Ьь II и '

М, = К К'*« К"'к , - К К"'И - М^ К"*К ^ + м,. . к си 1111 II ъЬ Ь I I 1 I Ъ и и 1Ь ЬЪ

Полученное суперэлементное уравнение (18) представляет собой нелинейную задачу на собственные значения. В этом нет ничего удивительного. Достаточно вспомнить, что метод перемещений, применительно к задаче о собственных колебаниях стеркневой системы с распределенными параметрами, также приводит к однородной системе нелинейных уравнений относительно частоты собственных колебашм.

Суперзлемзнтное уравнение (18) является точным, если для его построения используются все частоты и формы собственных колебаний основной системы метода перемещений, что возможно лишь для небольших конечноэлементных задач. Ограничиваясь лишь частью частот и форм колебания закрепленной по границэ подконструкции, приходим к приближенному сугорзлементяому уравнению, запись которого совпадает с (18) при условии, что в матрице $ отбрасывается часть столбцов, а в матрице п - соответствующая часть диагональных элементов. В »частном случае, когда в (18) не удерживается ни одной формы колебаний закрепленной по границе подконструкции, получаем простейшую из приближенных задач рассматриваемого семейства: - , К^ъ - = О •

Это уравнение* 'мют быть получено также другим путем на основе гипотезы об отсутствии сил инерции во внутренних узлах.

Дяя первой собственной частоты приближенной суперэлементной задачи удалось получить априорную оценку точности. Пусть в уравнении (18) удерживается г форм колебания закрепленной по границе подконструкции. усть р - искомая минимальная частота собственных колебаний исходной

задачи, qL- минимальная собственная частота приближенной задачи. Тогда

справедливы неравенства:

2 2 , 2

Ч, - Р. 1 ' ы

О s —!--î_ s --s -!—.

г 2 /2 ,2 2

p to /р — 1. ы — о

, » Г-Н 1 Г+1 1

Последнее неравенство позволяет оценить число форм колебаний закрепленной подконструкции, необходимое для получения первой собственной частоты с заданной точностью, не используя информации о величине р*. С помощью такой оценки можно организовать адаптивный алгоритм решения задачи, когда базис из форм колебаний для каждой подконструкции формируется из условия обеспечения заданной точности.

В четвертой главе разрабатывается метод суперзлементов для решения нестационарных динамических задач строительной механики.

При динамическом расчете по МКЭ система уравнений движения конструкции с соответствующими начальными условиями имеет вид: M и + К и - S(t) при t>0; U(0) » uo , ¿(0) - vo, где к- матрица жесткости, м- матрица масс , u(t)- вектор узловых перемещений, f(t)- вектор узловых нагрузок. Сформулируем эту задачу в ввде одного операторного уравнения, включающего начальные условия:

M (fu/Ût2 4 К u .. f (t) + м { Vé(t) + uo5(t> }. (19)

»V

Здесь u(t)=h(t)u(t), где h(t) - единичная фунзсция Хевисайда (h(t)=l, t>0; h(t)=0, t<0); <5(t)=dh(t)/dt - дельта-фушсция.

Обозначим Dpq= Mp4ds/dt2+ к , p,q="i","b" и представим систему уравнений (13) в блочном виде:

Т С ** "I с ^

" I I г.

(20)

D. . D. .

VV Lb

Р Р Ъ1 ьь

где г. - г. + "1,^о.б(1)+ио.ба)) н н.ь{хоьб(г)+иоьб(1)}, ръ - Ч^) + "ь^о^^ос^» + иьь<уоь6<г>+иоъ^>>-

ГО ГУ (V ,

Выразим и из первой блочной строга (19): ^¿-^ь'-'ь*: и

подставим во второе блочное уравнение:

с - ] "и = - • <21>

ЬЬ Ь1 V I ьЬ Ь Ь Ь1 и I

Полученное уравнение относительно граничных степеней свободы представляет собой уравнение движения суперэлемента. Однако, для практического использования это уравнение необходимо преобразовать к более удобному виду.

Огорэтор D( представляет собоя оператор динамической задачи для подконструквди с закрепленными граничными степенями свободы. Поэтому ка кнсягостш вектор-функций h={v«=v: v=h(t)v(t)) оператор, обратный к d., строится по формуле:

d"f = « СГ* sin[OtJ* «Т, где матрицы * и n=diag[o>t,uI,...un] являются решением обобщенной Проблемы собственных значений (17), sinmtbdiagtsinito t>).

Подставляя выражение для а * в (21) после определенных Преобразований приходим к окончательному виду системы интегро-¿даффэренциальных уравнений движения суперэлемента:

м iib+ к vb +• Jg о SIN[n(t-T)] GTub(T)dT = f(t> - G n*q(t);

о

ub<°) ■ uob- "ь<°>=\>ь' <22>

где q(t )=COS[ot)*ти iV +o"1SIN[0t]$TM . vo. -W'SINtot ]* $Tfv(t), Я = H - M M"'n L, Z = к - к к 'к ,

bb bv IV vb bb bt vl vb

G = G, $ = К $ сГг- MS, Г = f. - М , ,

k bv bi * b bi Ц 1*

u = u 4- КГ'* U , , V = v + К~'К. v .

ov ov ч vb ob" ot Ov w vb ob

Так же как в случае задачи о собственных колебапиях, суперзлементноо уравнение (22) порождает семейство приближенных задач, которые получаются с помощью редукции базиса из форм колебания основной системы метода перемещения.

Для численного решения задачи (22) предлагается следующий алгоритм. На отрезке t^tit^, t^i-tr>=At, т.е. в пределах одного iflara по вреиоии, прхзтатается следующая аппроксимация для вектора граничных уекорониа: .

^(t) = it-«)i:'b(tj + «uk(tn>1) =ап. <аз)

Перешцзнш ш скорости граничных узлов в момент времени t=tnil вычисляется по фор^лам:

"wit > = ) + At а , (24)

b * n+t ' b * n ' n »

) = 4. (t ) + At uw(t ) + 0.5 At2 a , (25)

b n+i b n b n

где с« - скалярный параметр. Учитывая, что "b(t) аппроксимируется Кусочно-постоянной функцией времени, получаем аппроксимацию дин Интегрального члена:

х"* ЗШпи-т )]стиь(т )бт = 2п"'31Мг(0.5д№14тбт гп +

и

^»„м'Уи- С0БЮ1пФ1ив<1п); (26)

Здесь ->сО) и ^(1) - вектор-функции времени, для которых имеют место следующие рекуррентные формулы:

;8(0)=о. где .

Подставляя (23)-{26) в уравнение (22) и удовлетворяя ему при приходим к системе линейных алгебраических уравнений для определения вектора "ь После решения этой системы по формулам

(24) и (25) вычисляются значения скоростей и перемещений граничных узлов для с=гп(1, а также вычисляются и по формулам

(26) для подготовки к следующему шагу по времени.

Большое число численных примеров иллюстрирует эффективность предлагаемого подхода для решения задач динамики сооружения. В частности, в работе представлено решение волновой- задачи об ударе прямоугольной пластинки с тремя круговыми отверстиями о жесткую преграду и динамический расчет аварийного режима работы многополостного сосуда давления.

Для многих конструкция реакция нз динамические воздействия имеет существенно нелинейный характер лишь в одной или нескольких заранее известных локальных зонах. При этом остальная часть конструкции ведет себя линейно упруго. Рассмотрим динамическую задачу, для конечноэлементной расчетной схемы конструкции с . локальными нелинейностями:

м и + к и .^(и, и) » г(1;), г>0; и(0) ■ ио , и(0) = V , ?(и,и)- вектор внутренних нелинейных сил, т.е. реакций в нелинейных связях. Ввиду локального характера нелинейности, вектор ** имеет лишь малое число отличных от нуля элементов и при соответствующей нумерации степеней свободы .может быть представлен в виде:

У(и.и)

•ГьЧ'иь>

Повторяя рассуждения, использовавшиеся при выводе уравнения (22), приходим к формулировке задачи в 'терминах только тех неизвестных, которые участвуют в нелинейных связях :

t

о Ь I Ь о Ъ Ъ

о

иь<°> " иоь• "ь<°> ■ \>ь"

Алгоритм численного решения полученной системы нелинейных шггегро-даФФерэнциальных уравнения полностью аналогичен описанному выше алгоритму для линейного случая. Отличие состоит лишь в том, что на каящом шаге по времени решается система нелинейных уравнений, например, методом Ныотона-Рафсона.

Предлагаемый подход был испробован на большом числе модельных и практических задач. Ряд примеров, в том числе, динамический расчет гравитационной плотины .с трещиной на сейсмическое воздействие по платформенной схеме, представлены в диссертации.

В пятой главе разрабатываются • многоуровневые подходы к статическому и динамическому расчету конструкций на основе варианта многосеточного метода, разработанного автором совместно с В.Е.Булгаковым. Первая часть главы посвящена многосеточному методу решения статических задач. Для решения конечноэлементной системы уравнений равновесия

к и = г, (27)

используется двухслойная итерационная схема:

В ик>1= В ик - т, (К ик - О, к

где в - модельный оператор итерационного процесса, тк- итерационный параметр, и1"- вектор решения на к-й итерации. Выбор модельного оператора является определяющим фактором, влияющим на скорость сходимости и вычислительную эффе1стивпость метода. Суть предлагаемого многосеточного метода состоит в том, что для построения оператора в используются вспомогательные вложенные укрупняющиеся конечноэлементные разбиения конструкции.

Двухсеточный вариант многосеточного метода.

Наряду с исходной мелкой сеткой 5 введем вспомогательную крупную сетку 5о, являющуюся подсеткой сетки Б. Пространство сеточных функция на Б со скалярным произведением (-.•)„ обозначим Нс. Элементам Н0 будем приписывать нижний индекс 0, например "0еНо. Пусть о - оператор интерполяции (продолжения) сеточных функций с крупной сетки на мелкую, а а*- сопряженный с ним оператор, удовлетворяющий условию: (и,ог )=-(о*и,*о> . с механической точки зрения о представляет собой оператор приведения нагрузок, сосредоточенных в .узлах мелкой сетки, к

узлам крупной сетки. Представим оператор к в виде к=окз, гда о - легко обратимый оператор, е=к-о. Сформулируем задачу с оператором, "близким'* к оператору исходной задачи (27) и определенную на исходной мелкой сетке:

о у + а а уо = г, (28)

гдо *о- решение следующей задачи на крупной сетке

КоУо = Го' Гда Ко = О*«' Го = °*г-

Матрица кц и вектор го представляют собой сужения оператора исходной задачи и вектора правой части на крупную сетку. Выражая вектор у из (28), получаем:

V = О"'(I -СО К"'о*) г = В"4г,

где в"' = о~'(1 - а а к^а'). (29)

Действие на вектор оператором в"1 включает решение задачи малой размерности (на крупной сетке), решение системы с легко обратимым, (по определению) оператором о и выполнение нетрудоемких операций интерполяции и сужения векторов. Следовательно, оператор в, является легко обратимым. Для практического осуществления итерационного процесса достаточно иметь формулу (29) для оператора, в'1, 'Явная формула для оператора в имеет вид:

* .А

в ! г 4 в о (ко - о <ю) о i о.

Непосредственной проверкой устанавливается, что в"1 к о = а, т.е. оператор в 'к действует на векторы видэ *=оу0. как

тождественный. Отсюда следует, что оператор в близок к оператору к на множестве ' плавных сеточных функция, которые могут быть хорошо, приближены иитерполяитами с крупной сетки. Это позволяет надеяться на быструю сходимость итерационного процесса по плавным составляющим решения.

Для обоснования сходимости итерационного ■ процесса . введем пространство сеточных функция на мелкой сетке Нк со скалярным

произведением 1и^) = (ки,у) и нормой пии=/1и,и).; Если и - точное решение задачи, 'го дня вектора погрешности на к-и итерации ^-и'-и, имеет место соотношение: -

, где Тк = I » гкВ"*1С.

Пусть итерационный' параметр т^-1. Тогда , для нерады оператора перехода тк имеет место опенка: . . '.'..

П и! I! (I - и '<)»«

ИТ II ' сир ---- • - пир ............. £ I 1> 'к- .

..к II и II <1*11

ч..!! исж

где V/ - ортогональное дополнение к подпространству интерпо.зднтов с крупной сетки, т.е. векторов вида *=ого. в правой части полученного неравенства стоит норма оператора, который является оператором перехода для двухслойного итерационного процесса

Р ик**= О ик - (К ик - Г)

с модельным оператором в. Отсюда следует, что при тк=1 предлагаемый вариант многосеточного метода сходится не хуже, чем другие двухслойные итерационные методы, определяемые видом оператора о, причем можно надеяться на лучшую сходимость многосеточного метода, так как подпространство V уже, чем Н*.

Многосеточный метод в общем случае.

В общем случае, когда используется последовательность конечноэлементных разбиения р=0,1,..,,и, расположенных в порядке возрастания количества узлов, (т.е. Э0- самая крупная сетка, Бт- самая мелкая сетка, совпадающая с ^исходной), для оператора в 1=вй* предлагается рекуррентная формула:

в"1 = К*1, в"1 = - 6 о в"1 О*), Р=1.....Ш.

о о' р р р р р р-1 р "

Здесь I - тождественный оператор на р-й сетке,

' °Р операторы интерполяции сеточных функция.

Для оператора перехода итерационного процесса при тк=1 имеет место

т

оценка: кт^я < «г -о^'кп ЦшахЙ.ш -о^'к 1 1, где и ■ »р- норма в

пространстве сеточных функций на> рчг сетке, порождаемая' скалярным произведением1 í ир ,гр ]=(к^ )к

Конкретны® вид. гагогоееточзшо1 яодвапьного оператора определяется выбором'операторов^ п» ,, рН'„иг,. яоторш- будем называть операторами

сглаживания1,, га оперзшоро® штерюяяцш векторов ор, р=1.....пт.

Оператора; сглвшквапниь. Вассягатривавшс в- работе варианты выбора оператора- и основывается! на1 представяшпш матрица* к в виде:

К = И. + +

где и - нижняя' треугольная' часть матрица1,.- - верхняя треугольная часть матрицы, а л - диагональная матрица, £>=сйай(к41,..,,1спп): Вариант I: и = я; Вариант 2: о = ь + х>.

Вариант 3. о = (ь + х>)£Г1(и + л). __

Вариант 4. и = (ь + о + {и + я + ш), где -) '.

Последний вариант оператора и является нетрадиционным, однако можно доказать, что в случае симметричной положительно определенной

матрицы к итерационный процесс с таким модельным оператором сходится.

В результате численных экспериментов наилучшим из четырех был признан второй вариант, который обеспечивает устойчивую сходимость процесса при меньших затратах на вычисление чем другие варианты.

Операторы интерполяции. Для построения операторов интерполяции и сужения сеточных функций, предлагается два различных подхода. Первый подход ориентирован на решение пространственных; краевых задач и основан на использовании дискретных функций формы,- аналогичных базисным функциям при вариационном подходе к методу конечных элементов. Второй подход основан на аппроксимации, конечноэлементной расчетной схемы механической' моделью из твердых- тел, соединенных упругими связями. Его можно рассматривать как распространение метода сосредоточенных упругих деформаций А.Р.Ржаницына на случай дискретной конечноэлементной модели. Второй подход можно использовать для расчета произвольных конструкций.

Для автоматизированного выбора величины параметра тк итерационного процесса при решении задач в данной работе используется метод

минимальных невязок, который приводит к формуле: г = -:—=— .

(КВ-г^юГ1^)

Во второй части пятой главы предлагается многоуровневый итерационный метод для решения задач о собственных колебаниях конструкция.

Рассмотрим вначале итерационный алгоритм - для . вычисления минимального собственного значения . х и соответствующего собственного вектора задачи

К и г. к М и.

Двухслойная итерационная схема для определения первой собственной пары имеет вид:

и, = а и | Й В" V . к ♦ 1 к к к к •

где гк=кик-мкмик - вектор невязки, а текущее приближение к собственному з для вектора ик:

собственному значению мк вычисляется с использованием отношения Рзлея

= рЫ ) =----—

<м

В качестве модельного оператора используется построенный выше многосеточный оператор в.

Итерационные параметры будем выбирать из условия локальной минимизации отношения Рэлея на каждом шаге итерационного процесса. При этом что «к и представляют собой элементы собственного вектора,

зоответствующего минимальному собственному значению задачи

к ( = ¡1 Я

(Кик,ик) (К

(К В*1!- ,и ) (К В'1г.,в"<г)

М=

(м в"1^,«^)

<* ) (М В~*г.,В-г.)

Алгоритм для определения нескольких: первых собственных пар.

Пусть .....- приближения к собственным векторам,

полученные на к-я итерации, ... - соответствующие приближения

к собственным значениям. Вычисление к+1-го приближения осуществляется в два этапа:

1-я этап: Для каждого вектора ^, ¿=1, . делается шаг по двухслойной схеме, т.е. вычисляется Ч*1=акик+/3кВ~1гк' где

- итерационные параметры, способ вычисления которых описан выше, .

2-й этап: Вычисляются аппроксимации Рэлея-Ритца в подпространстве. Для этого решается полная проблема собственных значений

К 7} = р М Г), (30)

где элементы матриц к и м вычисляются по формулам:

= <к "и >. = (И и' -и^ .).

Ij 1 к+1 к + 1 щ л к+1 к+1

Собственные значения этой задачи принимаются в качестве очередных приближений к собственным числам исходной задачи. Аппроксимации

ч

ГЧ " 141 {

собственных векторов вычисляются по формулам и^ = £ где

_7-й элемент ¿-го собственного вектора задачи (30).

В шестой главе представлены алгоритмы и структуры данных для реализации многоуровневых итерационных методов.

Первая часть главы посвящена разработке алгоритмов для решения трехмерных краевых задач. В целях построения эффективных алгоритмов сетка конечных элементов принимается топологически эквивалентной прямоугольной, состоящей из 8-узловых пространственных конечных элементов. В случае необходимости сетка дополняется до топологически регулярной нулевыми элементами (конечными элементами с пулевыми физическими характеристиками материала), так, что в результате получается топологический параллелепипед.. Принятая структура сетки позволяет однозначно идентифицировать каждый ее узел с помощью тройки индексов (• ^ ■-»'а'• в задачах с векторными неизвестными, (например, теории упругости) .элементы вектора узловых значений неизвестных

(перемешений), нумеруются таким образом, чтойн образовать отдальшЕ векторные компоненты, соответствующие каждой стедани свобода. Пусти число компонент неизвестной векторной функции равно т. Тогда вектор узловых значений решения имеет вид: - {V

При указанной нумерации неизвестных матрица жесткости имеет следующую блочную структуру:

• • • г

Г* А Д • х. lm

А' 21 К 22

к=

К ml К , . т2 . А mm

Порядок каждого блока /г J равен количеству узлов сетки; к ). Ввищ

топологической регулярности кокечноэлементного разбиения, каждый блоь

включает не более 27 ненулевых диагоналей и может быть представлен [ 111

виде 2 ^ £ где - матрица, содержащая ненулевые

р = - = - 1(= - 1 элементы лишь в одной диагонали:

диагональномер n(p,q,r)= р+ q п + г ш1ш ,

где ш.

га - размеры сетки.

Алгоритм умножения матрицы на вектор.

Рассмотрим векторный алгоритм для вычисления v=ku, где и и * -векторы, к - матрица описанной выше блочной структуры. Для блочных компонент вектора v имеет место очевидная формула:

m mill.

^ -К",- I I 2 2 с;»,. -

1-1 jtlp»-lq=-ll=-l

Операция вычисления носит векторный xapaicrep. Пусть вектор t

содержит элементы ненулевой диагонали матрицы начало которой

совпадает с началом вектора. Тогда ненулевые элеме!ггы вектора w вычисляются следующим образом: w «> - ну. > • u(k+n+1. k-i....

. . . ,n-max< л_ : n+ i , n-m m2Hl ; n_=max { n f p . q . r I : 0 ); n + = I mi n< n I p , q. r ) ; О > I .

Алгоритм интерполяции сеточных функций.

Пусть имеется две сетки: мелкая и крупная, которая является подсеткой мелкой сетки и также топологически регулярна. В целях построения быстрого аА-оритма, интерполяцию сеточных функция с крупной сетки на мелкую производится не относительно геометрической системы координат, а относительно целочисленной (индексной) системы координат

-27> . . - . . <■ ~ *

^злов ,¿г, ) • В атом случав оператор интерполяции о представляется з вине произведения трех одномерных перестановочных операторов интерполяции по каждому из индексных направления: о^ч^д. Кавдьга из эператоров чк производит восполнение сеточной функции на мелкой сетке иевду слоями узлов крупной сетки в направлении возрастания соответствующего индекса ¡к по линейному закону.

. Алгоритм сужения матрицы на крупную сетку. ,

Пусть к - матрица жесткости на мелкоя сетке, к - матрица на крупной сетке, связанная с к соотношением К - о*ко, где а- оператор интерполяции. Процедура сужения может осуществляться отдельно для каждого блока матрицы к: 11 -о*к о.

Введем единичный вектор (сеточную функцию) на крупной сетке такую, что где <5<-.-) - символ

Кронекера, (^. ¿2. ) и - мультииндексы узлов крупной

сетки. Очевидно, что 7?р<зв^. является к-м столбцом блока л^, где ; и ш^^.йд - размеры крупной сетки. Существует возможность одновременного вычисления наборов столбцов блока К.. Для этого сформируем 27 векторов з;:

31т1*у - '.Л-У1'2-3'

•'.'■.'■"-■.■••■ J - _ где .х^,^.^) пробегает , все значения ;.+з.л+6____<т..

¿=>1.2.3. Нетрудно проверить, что векторы з^ представляют собой суммы

тех единичных векторов, которые, будучи умноженными на блок матрицы,

дают ненулевые результаты на непересекающихся множествах узлов. Для

вектора з; вычислим о* к р.з}, используя рассмотренные выше процедуры

интерполяции, умножения матрицы . на вектор сужения. Тогда

результирующий вектор будет содержать ненулевые элементы для

определенного набора столбцов блока я. .. Перебирая все 27 векторов з

можно найти все ненулевые элементы блока.

На основе разработанных алгоритмов совместно с В.Е.Булгаковым был написан программный комплекс РКТП, который был использован для расчетов большого числа практических. конструкций в трехмерной постановке. В качестве примера использования программного комплекса мо'ино привести пример расчета арочной п-.отины Чиркеяской ГЭС. Расчет проводился на гидростатическую нагрузку, нагрузку от собственного веса и температурные воздействия. На рис.1 представлена конечноэлэментная модель арочной плотины Чиркейской ГЭС. Порядок системы уравнения МКЭ для этой задачи равен' приблизительно 45000. Для расчета одного

варианта на ЭВМ .ЕС-1045 требовалось около 2 часов машинного времени, Е приведенной ниже Л. ...таблице представлен протокол сходимость многосеточного метода для одного из вариантов расчета. - г

иге_ ШСц^ fll

рация вки -fu рация

II Кц -fll к

IIKu -ГЦ о

■100*.

иге-

UKu -fll к

' рация . пки-fii

100%

1

2

3

4

39,51 16,43, 7,84 . 5,03.

56

7

8

3,65 2,76 2,17 / 1,78

9 10 11 12

. 1,50 i ,29 "■ 1.12. 0,99

Для оценки сходимости здесь используется норма вектора : iíuii =£j u |, сжодааость по которой является наиболее медленной.

Во второй части шестой главы' . описаны алгоритмы для расчета трэжиерньп ферм.» разработанные автором совместно, сТ.Н.Горбуновой. " В качестве пршера рассмотрен расчет порстранственной фермы, показанной на рмс.2. Расчет проводился на вертикальную сосредоточенную . нагрузку при шарнирном опирании фермы по. .четырем .углам. ■' В многоуровневом мтерадаонлоы процессе использо- валось три уровня:' исходный и . два вспомогательных. Число степеней сво- бода для задач на - кавдом уровне равно.„ соответственно: .3-3042=9126- на исходном уровне; 6-371-2226- на первом вспошогательном уровне, 6-91=5.46- на*..втором'-; вспомогательном уровне. В „следующей .таблице , представлен протокол сходимости многоуровневого,итерационного метода для данной задачи.,:

иге- :

рация я KuQ-fи

100%

итерация

U Ки -П1 к .

• 100%

ите-

IIKu -fll

■ к •

Ku^-fii рация iiKt!o-fii

too*

1 93,57 5' 4,41 0,14

2 7,66 6 1,11 10 ' 0,07

3 9,17 7 0,39 и , 0,03

, 4 8,12 8 0,19 12 0,00 -

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

Приложения I и 2 содержат результаты решении . динамических задач разработанным вариантом метода суперэлементов.

В приложении 3 приведены пять примеров использования предлагаемого варианта многосеточногэ метода для решения трехмерных задач расчета конструкция. На рис.3 представлены конечноэлементные расчетные схемы для двух их этих задач: 1/16-й симметричной части корпуса реактора ВГ-400 и рельса откатных ворот судопрохода.

Рис. 3

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДУ V

1. Для эллиптических краевых задач строительной механики . получены граничные интегральные .уравнения, аналогичные каноническим уравнениям классических методов: метода сил, - метода : перемещений, смешанного метода. При выводе граничных уравнений рассмотрены различные способы выбора основной системы. В частности,:.-в качестве основной системы можно использовать расширенную область. Операторы полученных граничных интегральных уравнений метода сил, смешанного метода и ; метода перемещений являются... самосопряженными. Эти.: уравнения ~ можно рассматривать как результат исключения неизвестных для:-. внутренних точек области, которую занимает, конструкция, и сведения задачи к определению неизвестных функций, сосредоточенных на ее границе. На основе полученных граничных уравнений . предлагается процедура метода подконструкций для решения задачи в составной области. Получены также операторные формулировки и граничные уравнения, метода сил, метода перемещений, смешанного метода для основных начально-краевых задач динамики сооружений. Эти уравнения можно использовать для распространения метода подконструкций на динамические задачи.

2. Рассмотрен численный метод сударэлементов для. статического расчета конструкций методом конечных элементов. Установлена аналогия между системой уравнении равновесия суперзлемента и граничным интегральным уравнением метода перемещений. Разработан новый , вариант метода суперзлементов типа метода расширенной области, аналогичный непрямому подходу в методе граничных элементов. Разработана эффективные алгоритмы и структура данных для■ реализации метода суперэлементов в рамках универсального проргаммного комплекса пс методу конечных элементов. Разработанные алгоритмы внедрены е конечноэлементный комплекс "СТАДИО" и успешно используются для решение практических задач расчета сложных сооружений.

3. Исследован суперэлементный подход к расчету собственные колебаний упругих систем. Получены точные суперзлементные уравненш для обобщенной проблемы собственных значений. На основе этих уравнение построено семейство приближенных вариантов метода. Получена оценка дл* первой собственной частоты, позволяющая вычислить эту частоту пс приближенному варианту метода суперэлементов с заданной точностью,

4. Метод суперэлементов распространен на нестационарные динамические задачи расчета конструкций. Получена' систем:

интехро-дофференвдальных уравнения движения суперэлемента. Установлена связь .. нестационарных суперэлементных уравнения с уравнениями равновесия суперэлемента и суперэлементными уравнениями для задач расчета собственных колебания. Разработан шаговый алгоритм прямого интегрирования" суперзлементной системы уравнения. Решено большое количество модальных и практических динамический задач. | ! 5. Динамический метод супэрэлементов распространен на решение задач динамического ; расчета конструкция с локальными нелинеяностями. Приведены - примеры использования такого подхода для исследования нелинейных колебаний конструкция.

! в. Разработан многоуровневый {многосеточный) итерационный метод для решения трехмерных задач расчета конструкция, приводящих к конечноэлементным системам уравнения высокоя алгебраической размерности. -Дало описание метода, теоретически обоснована его сходаиссть. Сходимость метода исследована также на модельных задачах. Исследованы различные варианты метода, которые определяются выбором операторов доасретной интерполяции. и сглаживания. При решении пространственных краевых задач интерполяцию предлагается осуществлять с - помощью дискретных функций формы. Другой, более универсальныя подход, пригодный для решения любых конечноэлементных задач, связан с методом замораживания связей, . который приводит к вспомогательным задачам' для, системы упруго соединенных твердых тел. В качестве операторов сглаживания предлагается использовать модальные операторы классических итерационных, схем. Предлагается также новый вариант оператора сглаживания - метод комплексной релаксации, сходимость которого обосновывается. ; В результате численных экспериментов установлено, что наиболее, предпочтительным является использование оператора сглаживания, соответствующего методу Зеяделя.

7. Разработан вариант шогоуровневого итерационного метода для расчета. собственных колебаний конструкций. В алгоритме совместно используются итерирование в подпространстве и метод скорэйшего спуска с ' многоуровневым модельным оператором, что обеспечивает • Еысокую скорость сходимости при умеренных-'вычислительных затратах.

8. Разработаны эффективные алгоритмы и структура данных для решения трехмерных 1сраевых задач расчета конструкций предлагаемым многоуровневым (многосеточным) методом. Совместно с В.Е.Булгаковым разработан программный комплекс РКТП, с помощью которого решены десятки трехмерных задач теории упругости, термоупругости.

теплопроводности. В работа содержатся примеры расчета арочной плотины Чиркеаскоя ГХ, исследования НДС корпуса реактора ВГ-400 и ряд . других примеров решенных практических задач.

9. Совместно с Т.Н.Горбуновой разработаны эффективныеалгоритш, структура данных и программа для расчета трехмерных:: ферм с многоуровневым итерационным методом. Для построения вспомогательных аппроксимация здесь использовался метод замораживания связей. Решенные примеры расчетов пространственных ферм позволяют сделать вывод о высокой эффективности и надежности метода. ■, Опыт реализации и использования многоуровневого итерационного метода в сочетании с методом замораживания связей позволяет сделать вывод о том, что он может быть внедрен в качестве блока решения в • универсальный конечноэлементный программный комплекс.'

10. Показано, что разработанный многоуровневый (многосеточныа) итерационный метод в определенном смысле есть итерационный вариант метода сударэлементов. Общим многоуровневых подходов является явное или неявное использование ' специальной нумерации неизвестных и разложения решения по специальному базису. ;

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Булгаков В.Е., Золотов А.Б., Белая М.В. Полуитерационный метол решения пространственных краевых задач расчета сооружений // Строительная механика и расчет сооружений, J(6,1985,с.38-40.

2. Белый М.В., Булгаков В.Е. Алгоритмы автоматизированного решения пространственных краевых задач, расчета сооружений полуитерационньш методом // Труда МИСИ: Автоматизация расчета и проектирования промышленных и гражданских зданий и сооружений, М.,1986,с Л12-123.

3. Белый М.В., Булгаков В.Е. О сходимости полуитерационного метода решения пространственной краевой задачи теории упругости // Межвуз. сб.:Прикладные проблемы прочности и пластичности. ; ' Автоматизации научных исследований по прочности, 1986, с.30-34.

4. Белый М.В., Булгаков В.Е., Золотов А.Б. Полуитерационныг многосеточный метод и его программная реализация для решения пространственных краевых задач//ЖВМиМФ, 1987, т.27, J66, с.875-888.

5. Белый М.В., Булгаков В.Е., Мозгалева м.Л., Садов О.В. Различные приемы повышения сходимости по верхней части спектра., оператора пру решении пространственных краевых задач расчета . конструкция многосеточным методом // Т^уды ЦНИИСК: Численные метода расчета v

оптимизации строительных конструкция, 1989, с.62-67

8. Белый М.В., Булгаков .В.Е., Дубровская Е.В. Раскат поля радиационных напряжений в блоке сухой защиты // Вопросы атомной науки и техники, серия Проектирование и строительство, 1889, Л2, с.3-19.

7. Белыа М.В., Булгаков В.Ё. Расчет трехмерного термонапряженного состояния конструкций гидросооружений . полуитерационным многосеточным методом. Программный комплекс РКТП.. // Материалы конференций и ; совещаний по гидротехнике. Инженерное мерзлотоведение в гидротехнике

(ИМГ1-88), Ленинград, Энвргоатомиздаг, 1989, СЛБ1-153.

8. Белый М.В., Булгаков В.Е., Золотое А.Б. Пакет программ для расчёта конструкций в трехмерной постановке // Cd. трудоа МИСИ и ВТШ г.Лейпциг (Германия): Развитие методов возведения, расчета и проектирования строительных конструкций, 1989, с.24-29.

9. Белый М.В,, Булгаков В.Е. Численный расчет плопш в трехмерной постановке // Международная молодежная школа "Применение компьютера в гидротехнику и охране водных ресурсов", Варна, Болгария, 12-16 октября 1990, Труды конфэренвди, с.157-168.

ID. Bulgakov У.I., Belyi M,V. Multi-grid seal-iterative method and algorithms for boundary value problems of 3-D theory or elasticity // Proceedings of the 2-nd World Congress on Computational Mechanics / Germany, Stuttgart, August 1990, p.27-31.

II; Белый M.В., Булгаков B.E., Крат Т.Ю. Расчет арочной плотины Чщлсейской ГЭС с использованием пакета программ РКТП // Сэякт-Петгербург, Материалы конференций и совещаний по гвдротехнике. Зцергоатошгадат (Санкт-Петербургское. отд.), 1991, с.56-60. 12. Belyi M.V., Bulgakov УЛ., Cryaznov V.G., Tanalrav M.Yu., Trusov 1.Х.Modeling of contact phenomena in nanocriatalline particles (NFs) under pressure // ISMC-I, September 1991, Munich, FRG, Confrence Abstracts, p.201-202.

13, Belyi M.V. On the substructure technique for transient dynamic problems // ISMC-I, September 1991, Munich, FRG, Conference Abstracts, p.19-20

14. Белый М.В., Булгаков B.E., Малаша® Ю.Н., Невельская Т.П. Применен!® пространственного и осесшметричного. расчетов для определения напряженно-деформированного состояния модели КВД//Вопросы атомной на-. угол и техники, серия Проектирование и строительство, 1991, Ж, с 12-20

15. Белый М.В. Решение задач динамического расчета сооружений методом подконструкций // Материалы российско-польского семинара

"Теоретические основы строительства", Москва, 1993, с.15-18.

16. Bulgakov V.£., Belyi M.V. On toe Multi-Grid Technique for Seisin Three-Dimerwional Boundary Value Engineering Problems // Internationa Journal lor Numerical Methods in Engineering, vol.33, 1992, p.753-764

17. Bulgakov 4.1., Belyi M.V. Fast Agprithms for Multi-Grid Solver о 3-B Boundary Value Problems in Structural Analysis // , Computers an Structures, vol.44. No 4, 1992, p. 869-875. ,

18. Belyi M.V. Superelement method lor. transient dynamic, analysis о structural systems//Int.;J.numer.methods eng.,1993,vol.36, p.2263-2286

19. Belyi M.V. On the dynamic substrueturing technique lor., th analysis ol transient oscillations ol linear structural,; systeos Bit local non-linearities // Abstracts of the 1st' European Honlinea Oscillation Corvlerence/Gerffiany.Gaaburg,August 1993,p.12 '■'"(.

20. Belyi M.V., Bulgakov V.E.; Gryaznov V.G., Tanakov M.Yu., t Гтзо' L.I. Ilastically Stressed State of Small Particles Under Conditions o; Hertzian Contacts // Journal of Physics D: Applied Physics, vol.26 1993, p.997-1001, Л .. "/ " ' 'Г -' ' :

21. Белый M.B., Горбунова Т.Н. Многоуровневые итерационные алгоритм! для вычисления частот и форм собственных колебания конструкция // М.: Депонент ВНИИНТПИ 1993, Я II4I0, 20 с. ' ;

22. Белый М.Ь., Белый В.Х. ' Расчет нестационарных колебании конструкций с локальными нелинейностями методом тдконструкций /< Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткосто строительных конструкций / Сб. трудов МГСУ, 1994.

23. Belyi M.V. A methodology for dynamic analysis of concrete structures with macrocracks and unilateral joints using subs true turin£ // Proceedings of the conference Computational Modeling' of Concrete Structures /Austria, Irmsburck, March 1994, p.669-678.

24. Belyi M.V. Fast algorithms for analysis of large non-linear lattice structures // Abstracts of the International: Aerospace Congress / Russia, Moscow, August 1994, p,509.

25. Belyi M.V., Shirinskaya I.V. Superelement approach to ргоЫепш of structural dynamics and nonlinear oscillations // Abstract book of the ESMC-2 /Italia, Genoa, September 1994, p.P4.

Подписано в печать 4.10.94 Формат 60x84Vie Печ.офс. И-207 Объем 2 уч.-изд.л. Т.100 Заказ¿'f/. Бесплатно

Ротапринт МГСУ