автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач строительной механики методом итерационного агрегирования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ строительный университет

РГБ ОД

- з СЕН 1Я<-Ь

На правах рукописи УДК 624.04:681.3

ГОРБУНОВА Татьяна Николаевна

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИОННОГО АГРЕГИРОВАНИЯ

05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА 1894

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: кандидат технических наук» доцент

М.В. Белый

СШЩШЪНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор технических наук, профессор

H.H. Шапошников

кандидат технических наук, старший научный сотрудник A.M. Белостоцкий

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: ЦНИИСК им. В.А.Кучаренко

Зашита состоится " 4 " октября IB94 г. в " " часов на заседании-специализированного совета К.053.II.08 при Московском государственном строительном университете по адресу: II3II4, г. Москва, Шлюзовая набережная* д.8„ аудитория Я

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Прост Вас? нршять участив в защите и направить Ваш отзыв по адресу: 12833?,. г. Москва, Ярославское' шоссе, д. 2®, МГСУ.

Автореферат разослан ** •» ■ - 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета

H.H. Анохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертационная работа посвящена разработке численных методов решения задач строительной механики на основе многоуровневых итерационных алгоритмов.

Актуальность теш.

Наиболее универсальным и широко распространенным методом расчета строительных конструкций является метод конечных элемоптов (МКЭ), который формально позволяет выполнить расчет конструкций любой степени сложности.' Однако, на практике, расчет сложных сооружений с большим числом конструктивных элементов с помощью МКЭ встречает серьезные трудности. Это, в пврвую очередь, обусловлено тем, что с увеличением алгебраической размерности системы разрешающих уравнений МКЭ резко возрастают вычислительные затраты на ее решение.

Численное моделирование напряженно-деформированного состояния пространственных (трехмерных) строительных • конструкций с использованием традиционных подходов к МКЭ требует больших затрат машинного времени даже при использовании современной вычислительной техники, К тому же стоимость машинного времени на современных суперкомпьютерах, позволяющих решать трехмерные задачи в реальные сроки, крайне высока. Не говоря о том, что такие компьютеры пока практически не получили распространения в нашей стране. Предлагаемые в диссертации методы расчета сложных пространственных конструкций ориентированы на использование ЭВМ малой и средней мощности и для рассматриваемого класса конструкций представляется существенно более эффективными, чем стандартные подхода к решению конечнозлэментных задач. Целью работы является:

- разработка варианта многоуровневого итерационного метода для расчета произвольных, в частности, стержневых конструкций, аналогичного многосеточному методу для решения пространственных краевых задач;

- распространений многоуровневых итерационных подходов на решение задач расчета собственных колебаний упругих систем;

- программная реализация многоуровневых итерационных методов и их использование для решения задач строительной механики.

Научная новизна состоит в:

- построении варианта многоуровневого итерационного метода для расчета нерегулярных конструкций - метода этерадаошюго агрегирования;

- разработке многоуровневого итерационного алгоритма для расчета собственных колебаний упругих систем;

разработка алгоритмов для расчета пространственных стержневых конструкций. /

Практическая ценность состоит в:

- усовершенствовании пакета программ для расчета массивных конструкций в трехмерной постановка (в рамках трехмерной задачи теории упругости);

- разработке пакета программ для расчета пространственных шогостержнэвых ферм;

- результатах решешш конкретных задач расчета конструкций с использованием многоуровневых итерационных подходов.

Внедрение работы состоит в использовании методов, алгоритмов и программ расчета конструкций в трехнерноз постановка в МГСУ, НИЦ СТАДИО, ИФВД АН РФ.

На заииту выносятся:

вариант многоуровневого итерационного метода для статического расчета пространственных конструкция;

- вариант многоуровневого итерационного алгоритма для расчета собственных колебаний упругих систем.

- алгоритмы и пакет програш ддя расчета пространственна стержневых конструкций.

Апробация работы состоялась на семинарах:

кафедры прикладной математики МГСУ, кафедры строительной механики МГСУ, научно-инженерного центра СТАДНО.

Достоверность результатов основана на:

- строгости математических выкладок;

- сопоставлении результатов решения модальных задач с аналитическими решениями и решениями другими известными численными методами.

Публикации.

По материалам и результатам исследований опубликованы две научные статьи.

Объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения,

изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка, список литературы на 70 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сформулированы цели и задачи работы, показана актуальность исследуемой проблемы, .

В первой главе содержится обзор литературы по прямым и итерационным методам решения конечноэлементных задач. Основное внимание уделяется многоуровневым методам решения конечноэлементных систем уравнений. Такая направленность определяется содержанием последующих глав настоящей ' работы. Существенный вклад в развитие многоуровневых методов, использующих декомпозицию расчетной модели на подконструкции внесли Л.А.Гвоздев, В.А.Постнов, А.С.Вольмир, В.В.Болотин, З.И.Бурман, Н.Н.Шапошников, И.Ф.Образцов, Дк.Аргирис, Е.Пржемницкий, Е.Вилсон и ряд других отечественных и зарубежных ученых.

Многоуровневые итерационные подхода к численному решению краевых задач, как правило, связаны с использованием многосеточных методов. Известно, что для большинства задач статического расчета сооружений существенны!! вклад в решение вносят плавные составляющие, для удовлетворительная аппроксимации которых требуется конечноэлементная модель с небольшим числом узлов. Подробная конечноэлементная модель с высокой степенью сеточного разбиения требуется лишь для аппроксимации быстроизменяющейся части решения. Более того, каждому "диапазону плавности" для составляющих решения соответствует определенная необходимая степень детализации конечноэлементной расчетной схемы. Поэтому кажется естественным построить итерационный процесс решения задачи на последовательности сеток, самая мелкая из которых совпадает с самым детальным конечноэлементным разбиением конструкции, а остальные являются вспомогательными. Решение ' задачи на самой крупной сетке целесообразно осуществлять прямым методом.

Идея использования при решении задачи нескольких сеток не нова. Например, в приложении к известной монографии Тимошенко и

Б.

ГудьераП' описан алгоритм решения задачи кручения методом конечны? разностей, использующий последовательность вспомогательных сеток. Интенсивное развитие многосеточные методы получили начиная с работ Р.П.Федоренко в начале 60-х годов. Существенный вклад в развитие многосеточных методов внесли Н.С.Бахвалов, Г.П.Астраханиев, В.Е.Булгаков, М.В.Белый, А.В.Вовкудавский, А.Н.Паутов, В.В.Шайду-ров„ №.НаскЬизЬ, Б.МсСогт1с и рад других авторов.

Во второй главе рассматривается многоуровневый подход л статическому расчету конструкций на основе варианта многосеточногс метода для решения конечноэлементных задач большой размерности. Этот вариант многосеточного метода был первоначально разработав М. В. Белым и В.Е.Булгаковым для решения трехмерных краевых задач. Е данной работе метод распространяется на решение произвольных зада^ равсчета конструкций. В данной главе представлено теоретическое описание предлагаемого варианта многоуровневого итерационного метода и приведены результаты по его сходимости. Ввиду того, чтс для произвольной конечноэлементной модели понятие "сетка коночеьп элементов'' носит весьма условный характер, этот катод кожвс назвать методом итерационного агрегирования.

Для решения конечноэлвиентной системы уравнений равновесия

К и = Г, <1)

где и и г - вектор! соответственно узловых перемещения и нагрузок, а к - дискретный симметричный положительно определенный оператор задачи - матрица жесткости, используется двухслойная итерационная схема

В и1"^ В и* - тк(К и* - Г), (2)

где в - эквивалентный оператор итерационного процесса, тк-игерационный параметр, ик- вектор решения на к-й итерации. Выбор эквивалентного оператора является определяющим фактором, влияющде на скорость сходимости и вычислительную эффективность методе.

Суть предлагаемого многосеточного метода состоит в том, чтс дай построения эквивалентного оператора в используютс* вспомогательные вложенные укрупняющиеся конечноэлементные разбиения конструкции или усредненные модели конструкции, которые получаются путем наложения дополнительных связей.

В случае двухуровневого варианта метода формула.

зписывающая действие оператора в"1 имеет вид:

в"1 = о"[1 - (к-d) Q k~*q*], (3)

-да d— jsnco обратимый оператор сглаживания (см. ниш), ko--q*kq -лвратор вспомогательной задачи на крупной сетке, Q - ошратор штерполяции (продолжения) сеточных функций с крупной сетки па вдкую, а а*- сопряженный с ним оператор сужения с мелкой сетки на срупную.С механической точки зрения а* представляет собой ошратор фиведения сосредоточенных нагрузок, приложенных в узлах мелкой датки, к узлам крпупной сетки. Дэйствие на вектор оператором в"4 [т.е. решениэ с истемы с матрицэй в) включает решение задачи с «©ратором к0 малой размерности (на крупной сетке), решение ¡истемы с легко обратимым (по определению) огаратором о и ¡ыполненйэ нетрудоемких операций интерполяции и сужения векторов, ¡ледовательно, ошратор в является легко обратимым.

В общем случав m вспомогательных сеточных уровней для шератора в""1=в_1 тлеет место рекуррентная формула:

в*1 » о"*(1 -еов"'о), р=1,...,ш. (4)

р р р ррр-1р' * 4 '

!дэсь I ~ тождественный оператор на р-й сетке, ар- ошратор ¡нтерполяции с (р-1)-й сетки на р-ю сетку, °р=кр_°р« : к о ' .

р р»1 р*1

Для вектора погрешности на к-й итерации гк=ак-и (и - точное ©шение задачи (I)) итерационного процесс^ (2) имеет место оотношониэ

ткгк» тк - 1 - ткВ"К- (5)

[оказано, что для даухсеточного варианта иетода при случае тк=1 :

>Тк1 = £ 1Г-0_1К1 <1, (6)

.е. • что итерационный процесс (2) сходится не хуже, чем терационная схема с эквивалентным оператором о

о ик*,= и ик - (к и" - I). (7)

нелогичная оценка получена и в общем случае.

Как видно из формул (3) и (4), конкретный вид многосеточного бивалентного оператора определяется выбором операторов ор, =1.....а, которые, ввиду специфической структуры оператора в,

о

отвечают за подавлений в итерационном процзссе быстроизданяздихс составляющих вектора невязки. Поэтому эти ошратори будем называт операторами сглаживания. В работа обсувдаотся насколько варианте выбора легко обратимых операторов в, обесшчизавдих' сходишст итерационного прЬцвсса (7) и удовлетворяющих дополштэльж условиям:

{к) Одаратор о однозначно определяется значениями элементе матрицу к исходной задачи.

(В) Использование оператора о не. требуат хранения ' никакс дополшггельноа информации и. не предъявляет никаких дополнительнь требований к структуре данных используемой кояэчноэлшентне программ.

Эта два требования особенно судаствзнны для внадреш предлагаемого многосэточного метода в качества блока решния универсальные прохрашныэ коишзясы по катоду конечных злэментов, Все рассматриваемые варианты основывается на продсташзш матрицы к в вида

к и ь + з> + и, (;

гдэ ь - штяя треугольная часть матриц, и - верхняя трэугольв часть матрицу, а ® - диагональная матрица, амИаз^,...,^). В качества, и можно принять:

(1) о = а (эквивалентный оператор для метода Якоби);.

(2) о = ь + а (эквивалентный оператор дяя катода Войдоля);

(3) о = (ь + а>)в"4(и + (частный случай мэтода симметрии посовдовательной верхней релаксации);

(4) о = (ь + ® + д.)а>"*{и + а + ш), где ¿=/-1 .

Послэдаий вариант выбора оператора о является новым. Показано, ^ при таком эквивалентном операторе итерационный процэ'сс (7) сз дятся для лаЗой симметричной' полоетгэльно опрэдэлзппой матрицу * Рассмотрены два альтернативных подхода к реализации оператор интерполяции и сукэния сеточных функций, которые используется ; построения вспомогательных аппрокешаций ошратора задачи. Порг подход основан Еа использовании дискретных функций Фор?, аналогичных базисным функциям при вариационном подхода к кате конечных элементов. Такой подход является удобным при роше:

лростанственных краевых задач и был использован М.В.Белым и З.Е.Булгаковым в программном комплексе РКТП для расчета трехмерных пассивных конструкций. Второй подход основан на аппроксйкация [содачнозлэментной расчетной схемы механической моделью с мэньшм числом степеней свобода. Его' можно рассматривать как распространение метода сосредоточенных упругих деформация А..Р.РЖавицына на . случай дискретной конечшэлементноя модели. Второй подход является более общим и может быть использован для расчета произвольных, конструкция. Он удобен для реализации многоуровневых итерационных методов решения задач в рамках универсальных конечноэлементных комплексов.

Суть второго подхода в следующем..

Разделим узлы исходного мелкого конечноэлементного разбиения конструкции йа по непересекающихся групп. Заморозим все связи между узлами» принадовжащиш одной групш. В результате этого получим систему твердых тол, соединенных упругими связями (оставшимися посла заморакашания связями между 'узлами из разных групп), , которая приближенно описывает' поведение конструкции. Каздоо твердое толо в общем (трехмерном) случае имеет 6 степенеа свобода - 3 поступательных и три вращательных. Поэтому полученная механическая система не мсшт иметь более бпо стегонеа свобода. Перемещение кавдого твердого тола место представить в виде суммы поступательного перемещения й0 и поворота . с вектором 5 относительно этой характерной точки. В предположении малости поворота г перемещение произвольной точки твердого тела (узла соответствующей группы) вычисляется по известной формула:

и ш й0 + в *(г-?0), (9)

которая описывает действие оператора q: (ü0,5)—»(u^u,,...,t^.), где k-чисдо узлов в грушз. Аналогично, оператор Q*, имеющий смысл приведения системы сил, действующей на твердое тело к

равнодействующей и моменту, реализуется с помощью формул:

' <10>

IIa самом деле, для образования аппроксимирующая системы тверда: тел, соединенных упругими связями, можно вводить дополнительные абсолютно' жесткие связи. Это ' освобождает от необходимости

проведения кинематического анализа при автоматизирование разбшнш узлов на группы.

В конце второй главы приведены результаты по исслэдоваш сходимости многоуровневого итерационного метода па кодзльнь задачах.

В третьей главе многоуровневый итерационный подхс распространяется на решение задач расчета собственных колебанв конструкция. Предаэгаемыа алгоритм можно рассматривать как вариаз метода скорейшего спуска с многоуровневым модельным операторе» Дня вычисления нескольких первых собственных частот и фор колебания этот подход используется совместно с итерированием подпространстве.

' Применение метода конечных элементов дхя отыскания частот форм 1собственных колебаний упругой конструкции приводит обобщенное проблеме собственных значений

К и = о* Н и, (II

где и, к - матрицы масс и жесткости соответственно, ы - кругова частота собственных конструкции.

Рассмотрим вначале итерационный алгоритм для вычислена

минимального собственного значения х^в/задачи (II). Двухслоану игеращюннуи схему дал опродололшз шрзог собственной пэры вапише в виде

••к'ч<12

где гк = к - ик - вектор невязки. Текущее приближение

гвмшешу ззачошза Рзлэя душ вохтора

собствмшсшу ззачошза вычисляется с использованвзм отношени

<К и, )

"к - —-1—(13)

Для описания итерационного процесса по схеме (3.5) достаточн задать вид оператора в и способ вычисления параметро: итерационного процесса ак и />к. Например, . выбирая ак=-с, г?к=с в=х, получим алгоритм обратных итераций для вычисления р, Выбирая лк=сА'к, приходам к степенному методу да

шчнпдаиия Цри <*к=о, Рк=с, в = {к - мкм1* схема (13

представляет собой процесс обратных итераций с отношение» Раг&п

Зцзсь с - нормирующий множитель, назначаемый из условия ¡К^Н • 0 настоящей работе предлагается использовать многоуровневый Оператор в, описанный в предыдущей главе. Для вычисления Итерационных параметров воспользуемся процедурой метода скорейшего бйуска, основанной на теореме Рзлея, согласно которой

\ - min р{и) = min

(К u.u)

u (М u,u)

(14)

Йгерацнонныа параметр выбираются из условия локальной минимизации отношения Рэлея на каадом шаге итерационного процесса:

min.

При этом \ и Рк представляют собой элементы собственного вектора, Соответствующего минимальному собственному значению задачи

К ? = ¡7 Я

(16)

где

к =

Я =

? =

(к вЛ-к,ик)

(К ик>ик)

Гк,-к' '--- к'- 'к

<н uk'uk) (И B~'vV

(М В"1^,^) (М В-*Гк,В-*гк)

(к b-v ,и ) (к в-г ,в-'г )

Рассмотрим итерационный процесс дая определения гервых q собственных пар для задачи (II). Пусть u*,u*,...,i£ - приближения

Й собственным векторам, полученные на k-й итерации, .....^ -

бвответствущие приближения к собственным значениям. Вычисление fí+1 -го приближения осуществляется в два этапа: i-a этап: Для каждого вектора í=l,...,q делается шаг по

Лйухаяойной схеме (12), т.е. вычисляется

где г' = к и' - р^м а^,^, - итерационные параметры» способ вычисления которых описан выше. .

2-е этап: Вычисляется аппроксимации Ражэя-Ритца. Для этого решается полная проблема собственных значений

К »} Ц К Т,, (17)

где элементы матриц Кий вычисляются по формулам

/и - <к ЗиЯл Л, = <И З«.«^»-

Собственные значения этой задачи прививается в качества очередных приближений к собственным числам исходной задачи. Аппроксимации . собственных векторов вычисляются по формулам '

где г>* - \>й элемент ¿-го . собственного вектора . задачи (17). Собственные векторы задачи (17) нормируются так, что (Нч1,«1)«^. Тогда векторы вычисленные по формулам (18) удовлетворяют услолвиям (ми^.и^^)^, т.е. не нуждаются в дополнительной. нормировке.

В четвертой главе рассмотрены алгоритмы и структура , данных , для решения трехмерных краевых задач многоуровневым шгерадарпшд методом. . .

Структура данных, приводящая к зффэктшшым алгоритмам, базируется на следующих принципах пострсзния конечпозлементпой модели: ■ ' •'..;'

(1) Сетка конечных элементов принимается топологически: эквивалентной прямоугольной, состоящей • из 8-уздовых прстранственных конечных элементов.

(2) В случае необходимости сетка дополняется до топологически. регулярной нулевыми элементами (конечными элементами с нулевыми Физическими характеристиками материала), "так, что в результате получается топологический парадизлэшпэд.

В задачах . с векторными неизвестными, .(например, теории упругости) элементы вектора узловых значений неизвестных (перемещений), нумеруются таким образом, чтобы образовать векторные компоненты, соответствующие. каждой степени, свобода в

узлов. Пусть число компонент"неизвестной векторной функции равно и. Тогда вектор узловых значений решения имеет ввд

При указанной нумерации неизвестных матрица жесткости, аппроксимирующая ошратор краевой задачи 0 такие икеет следующую блочную структуру '".;•,.

К =

к., к.

К

К . к

к

Порядок каждого блока к. равен количеству узлов сетки; Ввиду топологической регулярности конечноэлвкентного разбиения, каждая блок включает не баязо 27 ненулеЕнх диагоналей и может быть представлен в вида

где

- матрица.

лишь в одной

содержащая ненулввые элементы диагонали.

■ Пршятая стру1сгура данных позволяет очень эффективно учесть разреженность матрицы. Хранению подлежат только ненулевые диагонали еэ блоков. Векторный характер описанной структуры данных создает предпосылки для разработки эффективных алгоритмов. Откатим, что использование топологически регулярных сеток является такве очень удобным для разработки пре- и постпроцессорных средств, а тэтою для введения вслоглогатэлъпых сеточных разбиений, что особенно важно для еффэктивной реализации многосеточного метода., -

В рамках описанной структуры данных разработаны следующие адгоригш: .:.'•.-;■".'

(1) Алгоршм умножения матрицы на вектор.

(2) Алгоритм шггерполящш сеточных функций с !фупной сетки на мелкую.

(3) Алгорига суйеаия сеточных функция с «елкой сетки па крупную.

(4) Алгоритм с:/и:втп матрицы на крупную сетку

-1

В качестве примера использования предлагаемых алгоритмов рассматривается решение трехмерной задачи расчета напряженна1? деформированного состояния (НДС) частиц наяокристадлическогр порошка под давлением. Задача решалась в предположении, что частицы порошка находятся в обьемно-центрировзяноа упаковке контактов, рисЛ(а)) или плотно упакованы (12 контактов, рис. Кб)). Распределение напряжений по площадке контакта принималось щ соответствиии с известным решением задачи Герца. С учетом; симметрии задача в каадом случав решалась для 1/8 часта сферы, конвчноэлвментная модель которой представлена на рис.1в. Результаты расчета НДС для различных вариантов нагружения представлены в работе.

В пятой главе предлагается алгоритмы и структура данных для раасчета пространственных многосгершевых ферм с использованием предлагаемых многоуровневых итерационных методов.

В различных областях современной техники используются пространственные стержневые системы, в частности, фермы. Например, среди перспективных конструкций космической техники встречаются трехмерные фермы, состоящие из десятков и сотен тысяч элементов. Расчет Таких конструкций связан со значительными вычислительными трудностями, которые возникают в связи с высо1озм порядком систем уравнений и плохой их обусловленастькз, Оценку напряженно-деформированного состояния регулярных стержневых структур можно получить на основе построения континуальных расчетных схем. Однако, это не снижает актуальности точного расчета трехмерны^ ферм как дискретных многостержневых . / систем, т.к. в случае нерегулярных стержневых систем такой расчет является единственной альтернативой.

Учет специфики рассматриваемого класса конструкций и использование предлагаемого в данной работе многоуровневого ■итерационного метода в форме метода замораживания связей, рассмотренного в главе 2, позволяют построить очень эффективные алгоритмы расчета, .'не уступающие по производительности даже методам на основе континуализации дат регулярных систем. Для эффективной реализации основных алгоритмов, . используемых в многоуровневом итерационном методе, используется следующая простая структура данных.

Координаты узлов фермы хранятся в трех одномерных массивах XI, Х2 и ХЗ.Дяя хранения информации о стержнях используются 8 векторов: векторы N1 и N2 содоркат номера начальных и коночных узлов стержней фермы; вектор ' С содержит коэффициенты жесткости стершей; наконец, векторы С1, С2 и СЗ содержат направляющие косинусы стершей. При этом ¿-й стержень рассматривается как вектор, направленный от узла N1<л) к узлу N2(1).

В рамках такой структуры данных разработаны следующие алгоритмы:

(1) алгоритм для действия на вектор оператором исходной задачи и его частями (блочно-доагонзльной и блочно-треугольными);

(2) алгоритмы для действия на вектор оператором вспомогательной задачи и его частями;

(3) алгоритмы для интерполяции и сужения векторов;

(4) алгоритм для решения системы уравнений с треугольной матрицей. Эффективность алгоритмов иллюстрируется примерами расчетов

трехмерных ферм. В качестве примера рассмотрим расчет

порстранственной фермы, показанной на рис.2. Число узлов рассматриваемой фермы равно 3042. Расчет проводился на вертикальную сосредоточенную нагрузку при шарнирном опирании формы по четырем углам. В многоуровневом итерационном процессе использовалось три уровня: исходный и два вспомогательных. Число степеней свободы дая задач на каждом уровне равно, соответственно: 3-3042=9126 - на исходном уровне; 6-371=2226 - на первом вспомогательном уровне, 6-91=546 - на втором вспомогательном уровне. В таблице 6.2 представлен протокол сходимости многоуровневого итерационного метода для данной задачи. Таблица 6.2.

1ГГе_ к -1ППЯ- 1ГГ0~ к -чпп<у тэ~ к - 1 ПП<У

рация ШГ=ГГ 10°* рация Гк'инПГ 10°* рация ШГЧТГ 10С№

1 98,57 5 4,41 9 0,14

2 7,66 б 1.11' 10 0,07

3 9,17 7 0,39 11 0,03

4 8,12 8 0,19 12 0,00

Такая быстрая сходимость является типичной при использован™

Ii

РИС.2

предлагаемого многоуровневого подхода совместно с модифицированным вариантом метода сопряженных градиентов для расчета пространственных стержневых конструкций.

В заключении сформулированы основные вывода по работе и обсуждаются возможности дальнейшего развития предлагаемого подхода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные теоретические и практические результаты и вывода, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1. Разработан вариант многоуровневого итерационного метода для расчета произвольных, в частности, стержневых конструкций, аналогичный многосеточному методу для решения пространственных краевых задач.

2. Разработан многоуровневый итерационный алгоритм для расчета собственных колебаний упругих систем.

3. Предложены эффективные алгоритмы и структуры данных для решения пространственных краевых задач и для расчета трехмерных многостержневых ферм.

4. Разработан пакет программ для расчета трехмерных стернневых систем.

Б. Проведено численное исследоование сходимости многоуровневых итерационных методов на модельных задачах.

6. Получены численные решения ряда трехмерных задач на основе предлагаемых подходов.

Содержание диссертации отражено в работах:

1. Горбунова Т.Н», Белый М.В. Алгоритмы численного решения плоских и осесимметричных задач вязкоупругости. В сб. "Методы расчета и оптимизации строительных конструкций на ЭВМ", ЦНШСК им.В.А.Кучеренко, M.J 1990. с.39-45.

2. Белый М.В., Горбунова Т.Н. Многоуровневые итерационные алгоритмы для вычисления частот и форм собственных колебаний конструкций // Депонент ВНИИНТПИ, Вып.1, 1993, 20с.