автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Многосеточные методы и агрегирование в расчете конструкций

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ им. В. В. КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи УДК 624.04 :539.3

БУЛГАКОВ Виталии Евгеньевич

МНОГОСЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ

И АГРЕГИРОВАНИЕ В РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ

05.23.17 — строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительном институте им. В. В. Куйбышева.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

профессор, доктор физико-математических наук А. М. ПРОЦЕНКО,

профессор, доктор технических наук В. И. ТРАВУШ,

'профессор, доктор технических наук А. М. БУТ КО

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко

Защита состоится « . . . г. в « (Ут ча-

сов на заседании специализированного совета Д 053.11.02 при Московском инженерно-строительном институте им. В. В. Куйбышева по адресу: 113М4, г. Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, аудитория № О

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

(Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, МИОИ им. В. В. Куйбышева, Ученый совет.

Автореферат разослан « Ж . » . // . . . 1992 г.

м ¿15"*- - № /Эк

Ученый секретарь специализированного Совета

д. т. н., профессор Г. Э. Шаблинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа заключается в разработке численных методов расчота конструкция на основа вспомогательных аппроксимация доскретной формулировки задачи. Вспомогательная аппроксимация, осуществляемая посредством введения крупных сеточных разбиенма или зон агрегирования по всеа конструкции или на границе дэ.кния на подаонструкции, позволяет строить эффективные итерационные и прямые подхода решения слотом уравнениа метода коночных элз ментов (МКЭ) большой размерности, воэникавэд« при расчета сложных конструкция.

Актуальность тогли. Обеспечение прочности, надежности, окопомичности сооружения, соворсенствованнэ конструктивных ре за та приводят к необходимости бодэе детального расчета соорухаnía. ¡Ьгтрорьдшоо развития вычислительной техники вносот существенный вклад а сопярЕюнствовашю расчета конструкций численными методами. Несмотря па это, расчет слоишх конструкта, особенно в трехмерной постановка, требувдий огвращм с doiuist! количество« неизвестных, зачастуо сталхиаазтся с серьезными проблемами.

Применение стандартных подходов по кэгоду конечных элементов дел тают вадэч требует больсш вычислительных затрат, что вастааляэт идти па упроадшэ расчетных crea, cmnisnise точности и автоматизация расчота. В связи с втин дадьногиаа развитие. аффективных численных кэтодов расчета констругаца явллотся актуальным. К тому га закетпал тенденция к переходу па персональна компьютеры, ведудая к накоторсму сшжетоо производительности используемых вычислительных средств, повшает вначенет сф.{э!сптньгх кэтодоз и алгорхггнов, гостровнкя которых посвясрла насто/щая работа.

Цальв работа является:

- рйзрвйопса итерационных методов ревения систем уравнениа ШО о ¡атогоуровнзвым згтиваяаптныа ошратороа но основе введения вспокогательных аппроксимация дпскретпоа задачи;

- построение иногосеточн-сго подхода па основе иногоуровнаго кпгода, гда в качостав вспомогательных аппроксимация используются зспоиогательяь» крупные сеточныа разбшншя;

- разработка аффективных ввкторшзованвш алгоритаов и структуры мяпых для гф^егггшшого решения пространственных краевых задач мсчэта конструкциа аа прочность и расчета пространственных тегцстых кхгэа;

- разработка различных моделей агрегирования при построении вспомогательных крупных равбкэниа для шюгоуровного оторзциошюго катода, ориентированных на расчет шхотяаоких систем общего лада;

- разработка и исследование разлита сглаживающих процедур, в тоа чиалэ процедуры, основанной на использовании фундаионталышх решения краевых задач, необходимых для подавления шсокочостотпкг составляющих невязки в итерационных процессах;

- разработка алгоритма, основанного на смэщэншх агрегировании* состояниях, для повышения эффективности подходов агрегирования при расчете конструкций со сложными очертаниями;

- разработка пр1з5лвкенного катода подазнструкщш, приводящрго к сильно разреженным граничным систеиаи уравнений, па осново шрохода к-новому граничному базису, связанному о вводэншш вспомогательного крупного сеточного разбшния по гранвдэ;

- разработка алгоритмов щюэютфовашш во дискретном уровпо пространственной вадачи теория упругости па различные модаш, испольвуемыэ в расчетах конструкций, (наклонная опора, плоская задачи теории упругости, плиты, оболочки);

- исследованда точности п сходимости предлагаемых подходов, решети тестовых и практических задач.

Научная новизна состоит в:

- построении многоуровпего яюрацианного процесса па основа введения вквивалентного оператора, шсшчахагрго всгшогатольнда аппроксимации дискретной задачи;

- построении аффективных Еехсгоризовзнпых алгоритмов рошэния прстранственных краевых вадач много сотаишм иетодаы, в том чп&ез» с да лендам на подконструкции;

- построении пропрдурц спшашаняя дот итерационных алгоритмов агрегирования па основе использования производных от фундаментальных решение краовьй вадач;

- явном использовании специальных базисов, связанных с ВБодэшгагЗ вспомогательных крупных сеточных разбиения и агрегирования;

- разработка приближенного двухсоточного метода редукции систем уравнений ШЭ на границу, приводящего к граничным системам уравнений с быстрым убыванием алиментов матрицу, допускающим отбрасывание малых элементов, использовании соответствующего континуального граничного интегрального оператора при построении приближенных разреженных систем уравнений по границе;

- уточненном расчете пространственных конструкций в трехмерно«

постановке;

- расчете новых конструкций.

Практическая цэнность состоит в:

- построении эффективных алгорггыов решения задач раочета конструкция большой размерности, дающих существенную экономии шчисл1ггольных ресурсов и трудозатрат;

- разработке оффективного пакета программ расчета конструкциа в трэхгорноа постановке;

- определении напрянапно-дефорынрованного состояния реальных конструквда.

Внедрение работы состоит в использовании методов, алгоритмов и программ в исследовании коиструища в организациях: МИСИ (лаборатория исследования папрлжэшга, шчислзгголькыа центр, лаборатория шяетюрного ¡.¡х'лтопсдзштл), ШИИТЭП, ЕНИИГ, ЧиркейГэсСтрой, ЛЕНГВДРОСТАЛЬ, Институт физики высоких давлений (ИФВД), ВНИИПИЭТ и в других организациях, дm которых проводились расчеты конструкций.

lia запиту выносятся:

- итерационные методы с многоуровневым эквивалентным оператором;

- быстрые векторизованные алгоритмы н структура данных для решения пространственных краэгшх задач раочета конструкциа многосеточньм

ютодсм;

- шогосаточныз вариант иэтода подаонструкциа;

подходи, сочэтс££5»э шюгоуроапзвыя иэтод с техникой агрегирования;

- использование фундаментальных реванш континуальной задачи в щюцэдуро сглаживания;

- алгор;ггми стаг.энниг проегадш и их сочетание о агрегирование«;

- построения базиса, связанного с введением вспомогательной кругаса cotïci! по граш*цэ долепил конструкции на подаопструкции, и редукция с его помоцыо системы уравнений на границу;

- связь новой граничное за лачи о континуальным аналогом в вида граничной интегральной формулировки;

- получение приближавши разрекэнпых граничных систем уравнения и алгоритмизация процедур формирования и рвЕония приближенной системы на о с но по метода супэрзлоувнтоп;

- алгоритмы, связанные с проектированием дискретаоа задачи при рошонни пространственных задач теории упругости;

- описание программного комплекса РКТГ1 решения пространственных кряепых задач расчета конструкциа;

- примеры расчета.реальных пространственных конструкция.

Апггробяция работы состоялась на следующих конференциях. и

еегаыяраг: ;

- Всесоюзные семинары по кетодам конечных и граничных элементов под председательством Л.А.Роаипа - 1£В4г. Киев, ICffir. Нарва, I99Qr. Челябинск;

- Всесоюзныа семинары по гидротехнике - 1бвЭг., 1090г. Парна;

- 2-ой Международный Конгресс по Вычислительной Ыохснико (иссм-2), 1990г. Ютутторгг;

- Мовдународная конференция по численный катодам расчота конструкций (cst ), 1991г. Эдинбург;

- ЕЬкегодныэ научно-техничзскш конференции МИСИ;

- Семинары кафедры прикладной матоыатиш;

- Межвузовсюа семинар "Численные метода стронгольноа кахапики* под руководством профессоров Розша Л.А., Хочуыова P.A., Шапошникова H.H.

Достоверность результатов основана па:

- использований стандартных коночных элементов;

- численной проверке сходимости итерационных алгоритмов и точности получаемых решений;

- сопоставлении результатов счета с экспериментом;

- анализе результатов счета заказчиками, отвечающими па надеашость конструкций.

Личный вклад состоит в непосредственной разработке предлагаемых подходов и их реализации на ЭШ.

Публикации. По материалам диссертации опублшсовсло 25 печатал работ, из них 15 в соавторство с сотрудниками, оказьшзвшши помогав в реализации предлагаемы* алгоритмов и заказчиками, обеспечивавшими кнжонерную постановку задач и анализ результатов.

Объем и структура. Диссертация состоот из введения, 7 глав, еаключония, списка лсторатуры из 138 напмзпованнй. 208 страякц основного токста и ßß страниц приложений включают Ш рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во вводзнш дана точка зрения автора на достоинства и недостатки традиционных подходов по методу конечных эло&знтов. Обсуждается не каких общих принципах, связанных о введением вспомогательных аппрокскй-зцка дискретной задали, иогэт совершенствоваться числзнньа

расчет конструкций.

В пэрвоа главе проводется обзор литературы и кетодов с позиции разработанных в диссертации подходов, даны исходные предпосылки развквее»5ых в работа иногосеточныз катодов и подходов связанных о агрегированием дал задач расчета конструкций с применением МКЭ.

Появление ЫКЭ позволило сделать универсальным и автоматизированным расчет многих сложных конструкций. Среди специалистов, внесших вклад в развитга МКЭ применительно к расчету конструкций, а также в его теорию ноною отеэтоть О.Зинкевича, Д.Аргириса, К.Бате, Е.Вильсона, Г.Стренга, Л.А.Розша, В.Г.Корнеова, В.А.Постнова, Н.Н.Шапошникова, А.С.Городецкого, А.С.Сахарова, Р.А.Хачуиова и да. Разработано большое число пакетов программ по ИКЭ, многие из которых приобрели мировую известность и стали стандартными.

Основные проблекы, возникавшее при использовании МКЭ в решении оло-дпых и особаино пространстпэнных задач в линейной и нелинеаноа постановке, связаны о рекашгеа больших систем линейных уравнений. Использования а итаз цэлях пряных кэтодов требует большого объема гычислэниа. Проотьи прнкэроа атому слуииг то, что при разбиении кубика сеткой конечных алекэнтов размером «кМхН количество ар^этичэскйх операций, требуемое дет решения системы уравнений, пропорционально и7.

В тех случаях, когда конструкция включает в себя повторяющиеся Фрагмента или еотзстЕвнным образом распадается на фрагменты, полезно пр!С»шпъ еэтод супэрэлзкзнтов <ИСЭ), известный таю;» как катод подкопотрукцна. Применению МСЭ к расчету конструкции поовящено иного работ, среди которых работы Е.Вилсона, В.А.Постнова, Я.З.Бурмана и

др.

Дяя рэсэния систем ИКЭ используются таю» итерационные метода. В своз время в качестве аффективных 1тгерационных (¿етодов предлагались вконоишчныа разностные схемы (схеш с факторизованным оператором, попэрэкзвно треугольные и др^) а разработке которых принимали учаоткэ Писиан, Яиг, В.К.Саульев, Е.Г.Дьяконов, А.А.Самарский и др. К раочету пространственных конструкция такие схекы применяли А.В.Золотев, Б.В.Фрадкин и др.

В настояпдао время получили развил» и практическое применение кетода, основанные на неполной факторизации, где в качества спектрально-эквивалентного оператора в итерационном процессе используется результат приЗлияенного разложения на уножигели матрицы разрешай!»« системы уравнения.

Сдацификой задач расчета конструкций является то, что существенный вклад в решение вносят как высокочастотные, так и низкочастотные (плавные) функции, требующие принципиально различных подходов дм их эффективного поиска. В прямом методе решения систем МКЭ используется единый подход, что делает его универсальным. Однако "расплатой" за это являются большие вычислительные затраты. Большинство известных итерационных подходов в основном направлено на подавление высокочастотных составляющих ошибки, что приводит к неудовлетворительной сходимости при решении сложных задач.

Пожалуй не существует иного способа построить аффективный метод, ориентированный на широкий класс задач при значительной асимгтготике роста числа неизвестных, как включить в алгоритм решения процедуру, реализующую решение вспомогательной "грубой* задачи. Понимание этого факта восходит к инженерным приемам решения задач, где после расчета "грубой" модели проводятся локальные уточнения. Однако следует отметить, что ответственность за точность результата во многом зависит здесь от опыта и интуиции расчетчика, так как отсутствует обратная связь с исходной расчетной схемой в целом. Такой прием часто использовался и при решении сеточных задач во времена ручного и механизированного счета, где в качестве вспомогательной модели использовалось укрупненное сеточное разбиение, на котором решить задачу было сравнительно нетрудно.

Вариант такой обратной связи предложил в 1961 году Р.П.Федоренко, построив метод для конечно-разностной дискретизации уравнения Пуассона в квадрате, который лаг в основу многосеточных методов. Прием Федоренко основан на . быстрой сходимости большинства итерационных процессов для высокочастотных гармоник, о чем говорилось выше. Это позволяет погасить их вклад в ошибку, за малое количество итераций. Подавляющую часть ошибки могут составлять низкочастотные гармоники и сходимость по ним значительно медленнее. Через несколько итераций ошибка становится плавной сеточной функцией, для которой можно поставить вадачу с невязкой в правой части. Но ввиду плавности решения эту вадачу можно о достаточной степенью точности поставить на укрупненном сеточном разбиении.

Одним из основных пропагандистов многосеточных методов стая немецкий ученый В.Хакбуш. В его монографиях приводятся достаточно подробные библиографии по этому кзтоду. Следует таккэ отметить работы В.В.Шайдурова, Н.С.Бахв&лова, Ы.В.Белого, А.Н.Пвутова, Б.В.Фрадкина, А.В.Вовкушевского и др. Вариант многосеточного метода,

основашый на несколько иных принципах и реализованный в для пространственной задачи теории упругости был предложен автором в 1080г.

Во второй главе разрабатываются итерационные , метода о многоуровневым эквивалентным оператором, исследуется сходимость в общем случав, а тактсв на модальных задачах и примере пространственной задачи теории упругости.

Систему уравнений ИКЭ

Аи-Г. (I)

гдэ а - матрица жесткости, « - Еектор рекениа, ' - вектор нагрузок, будем решать о помощью следующей итерационной схеш

в-а(аи"-г> - р (2)

»11 - а.

к ' к

Здесь в - эквивалентный оператор, который в литературе также известен как регуляризатор, оператор обращения, спектрально-эквивалентный оператор, прэдобуславливатоль. ¡Итерационные параметры и определяются с помощью метода шшиальных невязок.

Двухуровневый подход.

Для построения эквивалентного оператора в введем операггор продолжения о, действующий из пространства кеныпей размерности па исходное, определяемое сеточным разбившим МКЭ. В гшогосе точном варианте га то да - это опзрзтор, о с уш?э ствлякщл лине ¡злую интерполяцмо по значениям, заданным в узлах вспомогательной крупной сотки (Рис.1). В случае построения вспомогательной модели па основа агрегирования, этот оператор осуществляет распространение решения по зздяноиу правилу внутри непересекающихся зон (зон агрегирования) <Рис.2), которые объединяют узлы или группы степеней свободы.

1—т 'I 1 1 Г" I

1 1 1 1 I 1

1 1 1 1 1 1

! ___ 1 Рис.1

Рис.2

Оператор о , сопрямвнныа к о является оператором сужения. Матрица ло-о"до является сужением исходной матрицы жесткости и предполагается логко обратимой. Будем приближенно решать задачу

Луг (3)

с вектором невязок *-ой итерации г*Аик-г в правой части. Для этого представим решение с в вида

у-й * 0/Г*<3*г (4)

О

подставляя (4) в (3) получим задачу относительно вектора

ау-рг <б>

где р-х-*о/Г'в". Отсюда * ал'о,оя>г. Заменяя а на како»-лиЗо

легко обратимый оператор о получим * ал'о1а*)г, откуда

в"* - »"V + в/Гжо" (в)

В этом случае, при ак»1 и лк»0, оператор перехода вектора ошибок итерационного процесса (2), действующие по правилу и-и1,*,«т»и-ик>, принимает вид

г-(1-0'1а>р* (7)

Оператор р"-»-оа~*о*л является оператором ортогонального проектирования в смысла энергетического скалярного произведения <>, >) •> и его норма, соответствующая этому скалярному произведении, равна единиц». Это приводит к оцэнио

которая говорит о том, что процэоо <2) сходатоя при правильном выбора о, таком что ч-о~'а»л<1. Однако истинная сходимость определяется теи, что оператор Р* является орггпроектором на подпространство . ортогональное шторподяятсы (результата?.! продолжения с кругаоа нэ походную еэтку), который "срезает* большую часть вклада плавных составляюсдх озибки и позволяет первому сомножителю и-о~*л> болое г^фэктивно гасить оставшуюся часть вклада в вэктор ошибок. В качестве в можно использовать <11ад(А), шзкнко треугольную часть матрицы л, рззультат неполной факторизации а. В работа тага» продижш подход к построению о о помовдо фундаментального решения соотЕэтствуюЕэа краевой вадачп.

Приближенное ресониэ задача (5) шшо получоть таюке о пойощыо итераций

? - а 1 - Г{О'*{ар 1-рг> <8)

Показано, что правая часть (5) благодаря огоратору р представляет собой вектор из подпространства орггогонального интерполянтам в емькш обычного скалярного произведения, которое соотоэт из самоуравновешенных сеточных функций. Например в многосоточном сдучсэ элементарным базисным вектором этого подпространства является вектор, имеющий для регулярных сеток тря ненулевых компоненты -О. Б, I, -О.Б в соседних узлах. Эти векторы носят высокочастотный характер, что обеспечивает более аффективную сходимость процесса (в). При г4«1» ^>=1 и опэратор перехода процесса (2) икзет взд

р* <9)

где л - количество внутренних итераций (6). (О) в отличкэ от (7) позволяет доказать сходимость не только в энергетической, но я в

обычиой норка. Получен такте явный евд эквивалентного оператора о внутрепниш итерациями для случая . =1

в"*» 0А~10" *■ с'т: (1-Р'1А>110"Р °

1 -а

Многоуровневый вариант.

При росте числа степеней свободу решаемой задачи целесообразно вводить промежуточные уровни вспомогательной аппроксимации, что позволяет достичь лучшей сходимости итерационного процесса. В иногосоточном варианте - это послэдоватолыгасть вложенных сеток. В кногоуровневом варианта конструкция эквивалентного оператора основана

на обобезкш даухуроанего варианта путем замены л~а1 на оператор обратные эквивалентному, строгацшзся на предыдущем уровне. Ддя случая эквивалентного оператора с внутренними стерациями при... ^оХ да всех

уровплх для а" получим агэдующ«» рякуряптгтоп солтяетеяке я" » о о" а* * с £ а -л о о"' о"; рм,2,...,<*

Р Р »' 1 Р Р Р р р Р р р р-» р

гдэ а"Аа-> °т"э» ^р"0*.• °р * опэратор интерполяции о

уроппя р-/ на уровень р, » - число вспомогательных уровней.

В работе доказывается сходимость штогоуровнего варианта, для одномерного примера получена точная скорость сходимости для няогосето'шого случая с одной н дзумя вспомогательными сетками без внутренних игораша, согласно которой итерационный процесс сюдагся с коэффущюнтои сяатия 1/3. Основная информация об эффеюнвности предлагаемого многоуровневого ьтатодз получена из опыта решения тестовых и практических задач, примеры которых в большой количестве приведены в работе.

Третья глава посвпгяна разработке структуры данных и быстрых сэкторизовонных алгоритмов для решения пространственных краевых задач расчета конструкция нногосето^ньм катодом. В осново структуры данных леяат слэдушие предпосылки. Сетка .толзхна быть топологически аквивагантна прямоугольной. Для описания конструкции она искривляется п, если необходимо, добавляются нулевые злег,ганты (конечные агакента о нулевыми физическими характеристиками), так, что в результата получается топологический параллелепипед. Такая структура сепсп позволяет однозначно идентифицировать каядай узел сетки и каждый конечный элемент с помощью тройки индексов </ ,/ > индексной системы киординат. Помимо этого для задачи теории упругости применяется нетрадиционная нумерация неизвестных, такая' что каждое

дарекащоние сгруппировано в один вектор размером с количество уалоа сотки. Это приводит к тому, что матрица разрешводэй системы уравнения состоит из блоков размером с количество узлов сетки, а каадыа блек состоит максимум ив 27 ненулевых диагоналей

а •

а а а а й а А

а а а

а -

Такая структура данных позволяет свести основные вычисления к олементарным базовьш« ошрациям с большми масспаагя! чисел (в отличю от традиционной обработки списков), которые могут быть аффективно реализованы на языке ассемблера, лиЗо па параллэльных или Бокторншг машинах.

Для реализации кшогосеточного ¡,:этода разработаны слэдухдиэ основные алгоритмы:

- умношние матрица на вактор, в основа которого лажит гоэлэкзятно© умножение вектора-диагонали на вектор с последующим накопленном;

- продолженш (линейная ипторгашщия) и срйнкэ индексного типа;

- сужение матрицы на крупную сотку, которое осусэспштся поблочно (душ задачи теории упругости) с покощьв умпохания блока на вектор, о котором сгруппирована система базисных еэкторов, тек, что о результате одного умножения о результирующей юкторо собран набор столбцов суженной матрицы или еэ блока;

- сглажизаша с помощьэ матриц, являющихся диагональ» и шкшой (верхней) треугольной частя>.га матрицу яккглсости;

- форчировапш исходной матрицы еосткости с кспояьзошшта стадиального еосыодзлоеого коночного олэкзпта, стропззгосл на осдовс суперпозиции коглбинащга тотраэдршвеклг здоюятов, и ю требущ-эп численного интегрирования.

Разработаны таю::о сушрзлошютыэ тюгосото'шь» едгоритш, гда да каздоа подаопструкадгл используются упомянутые бьлез процэдуры Алгоритмы реализованы в прогрш,шом когтлэксо РКТП реезгш простр^пспюшшх кр£2Ш2 зздзч рзеч-зта копструкцха.

Чзтшртая глава поезкрнз 1ггс рационном алгор;ггкза с кспользоваязаз агрегирования. Модель построения вспомогательной алпроксгаащш в основе агрегирования заключается в тон, что все множество узлов сет»

(степзпеа свобода) делится на непересекающиеся группы (агрегаты), внутри которых решение подчиняется определенному правилу и зависит от малого числа параметров. В простейшем случав решение считается постоянным. Для такого варианта оператор иожет быть представлен в аидэ матрицы со следующими коэффициентами

{1 если * принадяеигг агрегату J

о о ели / на пршадаэшгг агрегату ) При зтоа су;кэша мгггр:ида па пространство моньеэй размерности осуществляется по простой формула, требукщеа не большое количество операций, чем при уняой»ини матрицу на сектор

сл з » 3 ^

о тш /4

И'

кмП 1сЛ

гдэ п^ паляэтся кнйяястЕсм нопроз степеней свободу, соответствугазп агрэгату в.

Алгор1пты, основанные на агрэпгропзнии п отличие от многосеточных подходов могут быть адаггпфОЕагм под любую структуру данных МКЭ и позволяет решать вирами класс задач строительной механики.

Дет решения задач о помощью агрегирования используется двухуровневый вариант мяогоурсвкзго подхода,'рассмотренного во второй гласе. Однако для внутренних итерация помимо схекы (0) вводится.такте иодфнмропспнвл схема, которая основана на том, что решение * задачи (Б) принадлежит подпространству на которое проектирует ортпрсоктор ря*1-ал~^а*А. эта схема пмзот слэдуетна вид

V ; 4-т Р*0~*1АЪ 1-Лг)

ь

Она обэсгочизеэт принадЕзяность * указанному вызэ гюдпроотрапотву, а сектора повязок ау^-рг подпространству, на которое проектирует оператор р, состоял»?» из высокочастотных функций. Такая схема требует дополшггельны! вычислений, по в ряда случаев позволяет существенно улучиить сходимость всего итерационного процесса. Помимо этого она позволяет построить оффеклшную полуаналитическую процедуру сглаягаааия для краевых задач, символически обозначгемая как действие отратора и"' на вэктор. В основа зтоа процедуры лежит то, что правая часть задачи с оператором о (вектор невязок), решаемая па каждой внутренней итерации раскладывается по базису, состоящему из векторов с двумя нонулгвыми компонентами, равными -I, +1 в сосодпп узлах, прянадгеитщих одному агрегату. Это аппроксимирует на сотке первую производную от ¿--функции, которая, в своя очередь, дает производную от фундаментального [екания. В задаче теории упругости производная от

фундаментального решения является убывающей функцией. Значения птоз Функции в узлах сетки, взятые в локальной зоне, используются как решение задачи с оператором а. Эта про цэ дура вкономична, как показывает вычислительный опыт обесточивает хорошую сходимость, нэ требует формирования глобальной матрицы шэсткости и удобна при использовании операторных подходов.

На рис.3 изображен численный пример дхя задачи теплопроводности. Дана сотка МКЗ и зоны агрегирования. Исходная задача имеот 781 степени свободы, вспомогательная задача в агрегированных переменных -48 сто поной свобода. Рассмотрены ощцующвэ варианты. Вариант i -простая схеме внутренних игорзциа, в - главная диагональ а. Вариант 2 - простая схема внутренних итераций, в - нгсхняя треугольная часть л. Вариант з - модифицированная схема внутренних итераций, в - гоишпя троугольвая часть л. Вариант 4 - модафж&фозанпая схема впутрошпп итераций, процэдура сглаживания, основанная па использования фундаментального решения.В вариаето 4 ревония задачи в процедура сглаживания, основанной па использовании фундаментального решпия для двумерного уравнения Лапласа, вклада от производаых от фундаментального решения собираются только о 12 точок, лонащих но серединах ребер коночных олемантов, примыхащих к россматривзекоиу текущему узду. На рио.4 изобряшпы графики сходимости итерационного продосса по крот-орим Muk - m^/iAu0 - «ix^-rt*^».

Простейший вариант агрегирования бал исслэдовш таюа длп задач теории упругости и задачи расчета структурного писрытия.

При роиении задач строительной махашпси, вкяачажщих задачу теории упругости, расчет стершшевых и' других ><юханических систем, о использованием простейшоа модели агрегирования для поремещэниа, вспомогательпал задача метают быть интерпретирована как систона жестких фрагментов, имеющих толысо поступатэльнш степени свобода. Вполне очевидно, что при больших поворотах фрагеэнтов конструкций такая модель является не внолно естественной. В работе предлагается добавить поворотную степень свобода в модель агрегирования, которая делает ее болзо естественной о шхвннческоа точки зрения и, в ряде случаев, позволяет существенно повысить эффективность решения задач. Модель деформирования, при наличии и отсутствии поворотной стегани свобода в агрэгировашшх переменных мохэт быть проиллюстрирована с помощью схемы, изображенной на рис.б. Здесь, помимо поступательных шромещэниа кэстких фрагеэптов, присутствует их врашениз как кзеткого полого.

/\>

№

Ш

m

1 !

я

и

я *

: í -I ♦

ef

р»

FPñpm FfflR+i

'''' Iii»

DC?

^^^ I 11 I *

Ьц

1, CÖ

А i

С формальных позиций введение поворотной стегани свобода в агрегированное состояние приводит к появлению дополнительных столбцов в матрице о, соответствующей оператору продолжения. Эти столбцы отвечают за распространение поступательных перемещений во все узлы, принадлежащие агрегату, при его единичном положительном повороте. Например для плоской задачи теории упругости вспомогательная задача в агрегированных переменных имеет уже не две, а три степени свобода дм каждого агрегата

где и* и о* являются поступательными степенями свобода, ее -вращательной. Для введения поворотной агрегированной переменное требуется выбрать центр вращения. При реализации этот центр можно расположить в любом узле, входящем в агрегат. Каждый узел сетки характеризуется расстоянием от центра г и углом «»' «при отсчете, например, от оси . При повороте на малью положительный угол в появляются приращения линейных перемещений равные соответственно -втпа в направлении оси и вгео»а в направлении оси

Если вектор -г является вектором сосредоточенных сил, то при сужении для каждого агрегата первая компонента вектора *а

является суммой сил по первому направлению, вторая компонента -суммой сил по второму направлении я третья компонента - суммой моментов. Тогда, если для ненулевого вектора / справедливо «"/-о, то вто означает, что компоненты вектора * представляют собой самоуравновешенные воздействия как о точки зрения сил, так и с точки зрения моментов. С математической точки зрения это условие означает то, что вектор 1 принадлежит подпространству ортогональному интерполянтам, элементарный базисный вектор которого может быть представлен ввиде пары сил, направленных в противоположные стороны по одной прямой (пара сил с нулевым течем):

Рассмотренный ранее оператор р-1-ма-^ч , проектирующий на подпространство ортогональное интерполянтам, обеспечивает, таким образом, для задачи, решаемой внутренними итерациями, правую часть состоящую из полностью самоуравновешенных воздействий что

и

обесточивает бсиээе эффективные внутренние итерации. Это приводит к тому, что в операторе перехода итерационного процесса т-<1 - 'р*

происходит более эффективное подавление "оставшейся части" веотора ошиЗок, чей при простейшем агрегировании, так как подпространство а-ортогональное интерполянтам, на которое проектирует оператор р", имеет, соответственно, меньшую размерность.

Введение поворотной степени свобода не вносит принципиальных изменений в реализацию алгоршнов агрегирования. , Сужение матрицы кэсткости производится о помощью формулы суммирования с весами

к «О 1сО

я» •

гдэ оя является множеством номеров элементов, соответствующих агрегату », о вео /»ь1 либо равен единица, ли5о вычисляется на основе информации о координатах центра- пэсткого вращения агрегата и геометрии сотки конечных элементов. Для тестовой реализации используется алгоритм формирования л-го столбца матрица *а

ы 3 - в*ао» ,

гдэ в( - единичный вектор с единицей па ./-ом месте.

Следует откатить, что при решении пространственной задачи теории упругости для учета жесткого поворота во вспомогательной задаче для каждого агрегата вводятся три дополнительных степени свобода, что приводит к удвоению числа агрегированных пзрешнных. Однако существенное повышение эффективности метода по сравнению с простейшим вариантом агрегирования, что продемонстрировано на численных примерах, полностью компенсирует этот недостаток.

В приведенных ниже примерах на каждом шаге используется три внутренних итерации, осуществляемые по немодифицированноа схеме, в. качестве сглашвателя используется нижняя треугольная часть матрицы еесткости. Коэффициент Пуассона взят равным 0.1. Преимущество агрегирования о поворотное степенью свобода хорошо видно из простого призера, изображенного на рис.в, где существенны изгийные деформации, о следовательно келатален учет поворота при построении вспомогательной модели. Первая кривая на . графике сходимости отерационпого процесса соответствует агрегированию с поворотпоя степенью свобод«, а вторая - простейшему варианту агрегирования. При помощи численного эксперимента было показано, что скорость сходимости »портретного процесса не зависит от размерности исходной задачи, если при млльчении сетки количество узлов, ■ входящих в

агрегвт, остается постоянным. Дхя этого решалась задача, при сеточных разбиениях вхв, 9x9, 12x12 и 15x15. Во всех случаях дхя достижения точности 0.001, в соответствии о введенным выше критерием, потребовалось выполнить 10 итераций при вычислении невязок по норме It и 7 итераций - по Евклидовой норме.

Численные эксперименты, проводились также для задач со скачком модуля упругости в 1000 и 10000 раз, показывая хорошую сходимость. Рассмотрим пример, изображенный ва рис.7. Этот пример моделирует возможность использования предлагаемого метода для решения плохо обусловленных задач, возникающих при вырождении одного из характерных размеров по всей конструкции или ва ее фрагменте, ' что очень часто встречается при решении практических задач. В данном случае с помощью плоской задачи теории упругости моделируется рамная конструкция. В подобных случаях агрегирование имеет значительное преимущество над многосеточным подходом. Агрегирование, как модель построения вспомогательной задачи, не имеет в данном случае многосеточного аналога, так как в многосеточном варианте нельзя иметь только один узел по толщине конструкции. Также очевидно, что в самой модели агрегирования здесь необходим учет поворотной степени свобода, так как значительны изгибные деформации. По существу модель агрегирования с поворотом, в данном случае, сама по себе является моделью дхя расчета рам. Расчет производился дхя двух вариантов нагружения, дхя которых на рис.8 приведены графики оходимости итерационного процесса по норме Как видно скорость сходимости итерационного процесса практически та па, что и при расчете массивного тала.

В пятой главе предлагается вариант многоуровнего подхода, основанный не на вложенных, а на "смещенных" вспомогательных аппроксимациях. На основе этого подхода вводятся смешанные агрегированные состояния, которые во многих случаях позволяют существенно повысить эффективность решения сложных задач строительной механики. В один агрегат разумно объединять та степени свободы, которые имеют близкие по величине перемещения в соответствии с физическим смыслом. Использование "смещений" в агрегированных состояниях позволяет повысить вероятность появления того, которое наилучшим образом соответствует физическому смыслу.

Непосредственно алгоритм смещенных проекций заключается в том, что для решения системы уравнений л»»г используется следующая шаговая процедура

<

*-

а

Pn.9

, PSö.8

i г з 4 s в т а ето-пи-змвиггвюго НОМЕР UTEP.

Рис.10

. I__I - •

" * г - <Ю)

г'-г1"'-/«^*', ¿-1,2,3,...

начиная о г"-г

где о1 - оператор продолжения, соответствующий му агрегированноиу

состоянию, а и.-а*л<з. - сужение матрицы жесткости МКЗ на '-о

агрегированное состояние. Вполне очевидно, что на практике реально

ввести только несколько сиещвнных агрегированных состояний. Если * -

количество таких состояний, то операторы о^, а следовательно и «к

повторяются в алгоритме каждые * шагов. Показано, что сходимость

достигается, если подпространства, на которые проектируют

к в

ортпроекторь нй ижт обяих векторов, т.е. п

где V - пространство сеточных функций на исходной сетке конечных элементов. Это условие позволяет построить сходящийся процесс ддя положительно определенных матриц без дополнительных условие. Однако а задачах теории упругости ц строительной механики алгоритм (10) аффективен в сочетании о рассмотренным ранее многоуровневым алгоритмом, если его использовать вместо второго слагаемого в (4). В атом случае оператор перехода игерационного працэсоа (2) при рассмотренных выше условиях на итерационные параметры имеет вид

т - и-о-*Л)* г'р' (II).

где ) - количество внутренних итераций (8), а ' - количество шагов алгоритма смещенных проекций (10). Последовательность. огвратороэ проектирования в этой формуле существенно "фильтрует" вектор ошиЗок от низкочастотных и других составляющих, прежде чем подвергнуть его сглаживанию, что ва практике существенно улучшает сходимость по сравнению о вариантом использования только одного агрегированного состояния. Формула (II) таюке говорит о том, что при использовании в сочетании о многоуровневым алгоришом нет необходимости добиваться сходимости . в алгоритме смешенных агрегированных состояний. Появление хотя бы одного дополнительного состоятия уже может дать сильный аффект, что будет видно из приведенного няне численного примера.

Рассмотрим следующий пример, приведенный в работе (см.рио.О). В вычислительном процассе участвуют два агрегированных состояния. С физической точки врения первое состояние является некорректным, таи как в одном агрегате оно объединяет стегани свобода, принадлежат« различным берегам щели. Второе состояние является с втой точки арония

коррэктным. Задача имеет постоянный модуль упругости и коэффициент пуаосона, равный о.|. Здесь используются три внутренних итерации (8). Рассматриваются два случая, моделирующие практическую ситуацию. В первом случая используется только одно, некорректное агрегированное состояний. Во втором случае используются оба состояния, обеспечивая два пага по алгоритму <10) на каждом шаге (2). На рис.10 сравниваются сходимости итерационного процессе для обоих схем решения задачи. Легко видать, что вариант, где участвует корректная вспомогательная модель имеет существенно лучшую сходимость.

В шестой главе разрабатывается двухсеточный приближенный метод подконструкцяй. Метод основан на введении вспомогательного крупного сеточного разбиения го границе подконструкций, о помощью которого строится система граничных базисных сеточных функций, состоящая из единичных интерполянтов с>1 н ортогональных им функций вк (рис .11). Функции из второй группы связаны о сеточной аппроксимацией второй производной я их количество существенно больше, чем количество функций та первой группы. На основе нового базиса, который можно

а

а

-0.31 |-0.5

РИС.II

рассматривать как пробные функции метода перемещения, строится граничная система уравнений 8"в"г с блочной матрицей в в

II II

в в

11 К

Блок , определяет вычислительные затраты на формирование и решение граничной систеш, т.к. построен, исключительно на основе пробных функция второй группы - св4 • (ар°, ), где а - исходная матрица пэсткости задачи,' - результат решения задачи с закрепленной границей у и возмущением в виде граничной базисной функций Быстрое убывание коэффициентов этого блока позволяет отбросить большинство из них н тем самым га ре яти к решению сильно рэзреяюнных систем уравнений относительно граничных степеней свободы. В рябого проводится аналогия между коэффициентами граничной матрицы и билкнеаноа формой граничного интегрального оператора

2

-1/п $ С1/Х* » •¿х>1 ш (к>4х ■ Г

Показано, что для моделирования поведения коэффициентов блока вм требуется четырехкратное дифференцирование ядра оператора, что увеличивает порядок особенности и приводит к асимптотической оценке коэффициентов блока гя,«-'и 0 помощью величины Для

криволинейных границ исследуется возможность оценки убывания коэффициентов с помощью величины 1/г®, где ^ — геометрическое расстояние между точками границы, определяемыми индексами 'и/, Для вадачи теплопроводности, изображенной на рис.12, показано на сколько близки теоретическая модель асимптотического поведения коэффициентов блока ва1 граничной матрицы и реальное поведение коэффициентов.

Следует отметить, что полученный аффект имеет простой . физический смысл. Величина са^г^, в терминах метода перемещений, есть обобщенная реакция в точке * на обобщенное воздействие в точна 1.При атом, в отличии от стандартного подхода суперзлвментов, воздействие является самоуравновешенным возмущением, а от реакции также берется только самоуравновешенная часть.

Возможность отбрасывания малое коэффициентов исследуется как теоретически, так численно о помощью задач теории упругости я теплопроводности о различной конфигурацией границ суперзлементов. На рис.13 изображена задача теории упругости, где между двумя узлами крупной сетки по границе имеется весть узлов исходной. Здесь т изображена граничная матрица у которой в блоке размером 24*24 сохранена ненулевая полоса шириной 7 и при этом достигнута высокая степень точности результирующего решения по всей области. В ряде случаев хорошая точность достигалась уме при вирине полосы, равной 5.

На практике предлагаемый подход реализуется как модификация стандартных суперэлементных алгоритмов. Один из вариантов - это преобразование исходной системы, сформированной со стандартным разделением на внутренние и граничные степени свободы

о помощью рассмотренных выше граничных базисных функций

к виду

(о»)|%) * М-гда и з"*8Тл»5' 38 сч£п

локальности базисных функций эта процедура не является трудоемкой,

11111111 m

10 1

0.1 0.01 1.00Œ-03 1.0C0E-0f 1.000E-05 1.000E-00 1.CCCE-07 1.000E-09

Я I*-'. y>l"H- "|i

Ы.

' ' I ' « I » « I «

j I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j I I

1 4 7 10 13 13 19 22 26 23 31 34 ЗГ 40

Rw.12

rrr' |tBJ I m 1 яг

J

Я 89

Pao.13

\

При конденсации неизвестных на границу в процессе исключений формируются те элементы граничной матрицу (матрицы дополнений Шура), которые по введенному критерию не являются малыми, что обеспечивает экономию вычислений уже при формировании граничной матрицы." Возаошн также вариант преобразования ужо сформированной граничной системы к новому базису с учетом заполнения только ненулевых, согласно заданному критерию, о-вэментов.

В седьмой главе работы пред*агаотся подхода, которые для определенного класса задач могут служить альтернативой программным комплексам с развитой библиотекой конечных элементов, включащэй аламанты плит и оболочек, будучи реализованы в качестве "приставив" к простым программам, где предусмотрены стандартные операции на сетко конечных элементов ддя пространственной задачи теории упругости. Такой подход полезен для исследовательских пакетов програьсл, ориентированных на проведение прочностного анализа конструкция и их фршгхентов, тестирование различных моделей поведения материалов и т.д. Основу составляет операции интерполяции о, сужения с" и ортогонального проектирования р-аю'о)"'о*, производикш посла дискретного представления задачи теории упругости с помощью УКЭ, которые строятся на основе тех или иных предположений о работе конструкции, ведущих к с шею низо числа независимых степепее свобода. Например при налошенш на конструкция наклонной связи по нвпргвлэнко, но совпадающему с о с гаи координат, в двумерном случае справедливо условие и1-(«1па/со»а)и1^1, где ", " перемещения по

направлениям *4 и в узле с вомероы ', а а - угол наклона связи к оси Тогда опэраторы интерполяции и проектирования распадащиэся,

в данном случае, по узлам сетки, иаоют следукдаа вид а

я . Другиа примером слуиет проектирование, строяг^зеся

на основе гипотезы прямых норыалав, справедливое для плит и оболочек. В атом случае оператор интерполяции восстанавливает по линейному закону перемещения по тщине плиты по известный перемещения«- узлов на противоположных поверхностях.

Выосто исходной системы уравнений 1ЖЭ мы приходим к [«гонга либо спроектированной задачи рар*-р1 , формально ;шешэ2 разыррность исходное, лийо к суженной задаче где * имеыао®

меньшую раз^рность. При этом радукция матрицы весткисти л к * производился в нераспакованном виде с помощью простых фориул. Суженная задача может быть решена прямым методом, а спроектированная

- ютрационным, напркшр по схемэ и**' - рси^-т^в'*(рарик-р*)ъ . При стон оператор р может как гйзнять постановку задачи (например в случая учета наклонной опоры), так и скорректировать задачу существенно увеличивая скорость сходимости итерационного процесса. Например, если конструкция или ее фрагмент представляет собой тонкую плиту, то использование для этого конечноэлементной модели пространственной задачи теории упругости является, как известно, некорректным. Это педот к плохо обусловленным системам, что мояит дать неверный результат в случае использования прямого катода и плохую схода.',ость или песходимость 1ггарационного метода. Использование специальных копечных олшентов типа плиты приводот к известным трудностям при стыковке с массивным толом, а также выводит из простой схемы дискретизации, о которой говорилось вьсэ. , Введение проектора "срезает" верхняя часть спектра, соотвэтствущуя формам изменения ратания по толщине шзггы, которые не появляется в реальной ситуации. Например дяя задачи изображенной на рис.14 проектирование можно вести в незйпггрихованной зоне.

I--1

Рис.14

Наконец отлетам, что проекпфопешю па основе тех или иных предположений о роботе конструкции моют являться вариантом построения вспомогательной модели для многоуровневого метода, предлагаемого в работе.

В приткэтп! прздстаагэны результаты практического пр1я,<эпепия гшогосвточпого котода и алгоритмов, описанных в главах 2 и 3, к ресошго пространственных задач расчета конструкция.

Высокая скорость сходности прэдлохзвного многоуровневого катода в сочетании о иногосеточяьи подходом дяя краевых задач со слокшши областями и крззсымп условиями, произвольным рэсггрэдолзншм фмзичоскиз характеристик позволили разргботать пакот программ прогалзлзнного типа, прэдзазначошшя для расчета реальных пространственных конструкций в обгешой постановке с высокая степаныо сеточного разбиения. На основа ¡.шогоуровневого ттодэ, описанного п главе 2, и алгоритмов, описанных в глава 3, совгзстпо с Бзлъгм М.В. разработан пвкет прогргга РКГП, прздназпаченпый для рэгопил пространственных краевых задач теории упругости, тормоупругости, стацконарнса я нестационарной тегтзпроводзосш. Шкот программ ор-ентирован на ЭВМ серии ЕС. Основная часть програкшого компязкса

яапасана ва языка pl/i. Программы нижнего уровня, выполняющие опэрацки о массивами большой длины в соответствии с разработанными сэкторными алгоритмами, а такига программа обмена о внешними пакопителши на магнитных дисках написаны на языке ассемблера, что суфствешю повысило эффективность решения задач большой размерности.

В работе приведены примори пространственного упругого и торггоупругого расчетов строительных и машиностроительных конструкций с пысокоа стопэньо сеточной аппроксимации, имеются вывода о работе рлда из них, полученные заказчиками из результатов расчета. Среди рзгатптых задач расчет шгталнчно-игпф'ового соединения (45000 гэизвэстеых), расчет корпуса реактора ВГ-400 (около 100000 ЙЭК5В9СТПЫХ) (рпо.15), расчет арочной плотины Чиркейской ГХ ссзкэстпо со скальной основанием (40000 неизвестных) (рис.1в>, расчет русловой шотппц Усть-Хоптааскоа. ГЭС совместно о основанием и бзрэггия долины (багэе 4C0GQ езизвостных), расчет откатных ворот espira Ленинграда от наводнений (около 70000 тысяч неизвестных) и др.

Для npcicnnocicoa оценки оффэкгивности коншо привести следующие дзявнэ* гжзкдася в работе. В одном из вариантов расчета корпуса рэшггерз ВГ-400 даскрэтаая задача вювочвот 03483 степени свобода. Использованы три аяэдуга&п соточных уровня з?х17х47 - исходная езтаз, 20*9x24 - прокэгяуточная вспомогательная сотка, 10x3x13 - самая гфлшзл вспомогательная соткз. Задача решалась па ЭВМ EC-I045. На полное решошгэ оадачп потребовалось порядка 200 иинут. Закатим, что пря использовании пр/кого кэтодэ для рзгания этой задачи потребовалось бы рэЕзнгэ рэсэниэ спсто:.щ размера м-чзчаз шириной ¿гояты l а 2ооо. Учитывая, что количество операций, требуемое для рзезпия ¿знточпоа спстеиы пряльпа нэтодом (по учитывая обратный ход) пропорционально ta.3, а такяэ учитывая быстродействие настоящей ЗВН подучим, что на рэсэнга такса, системы будэт оатрачоно порядка 40000 глкнут (не учитывая обменов с внешними накопителями), а памяти для разйэнзэщвд матрацы носкости порядка 800 Мб. Эффективность решения окмзшх практических задач обеспечивала высокая скорость сходимости игзреционного процэсса. Напрккор при расчете типового варианта шготпны Чиркааской был получен с-гадувздай протокол сходимости

ите рация

е- | || х||Ди°-/| | хЮО*

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9

10 11 12

100.00

39.51 16.43 7.84 5.03 3.63 2.76 2.17 1.7В 1.50 1.29 1.12 0-99

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДУ

1. В диссертации разработаны и исследованы многоуровневые алгоритмы, повышающие эффективность расчета конструкций с большим числом степеней свободы, когда применение стандартных процедур метода конечных элементов является трудоемким. Исходными позициями работы являются следующие. Дяя эффективного решения больших задач необходимо использовать вспомогательные "грубые" аппроксимации дискретной задачи. Это позволяет выработать стратегию, направленную на одновременный учет вклада плавных и высокочастотных составляющих решения. Введение вспомогательных аппроксимаций позволяет с малыми затратами учесть работу конструкции в «злом и выделить, в качестве "компенсации", задачу на самоуравновешенныа воздействия, которые, благодаря их локальности, также требуют малых вычислительных взгрет. Указанные соображения лэиат в основе предлагаемых итерационных подходов и приближенного прямого подхода.

2. Разработаны итерационные метода в основе которых лежат итерационные процессы с эквивалентным оператором, имещии многоуровневую структуру. В нем сочетаются вспомогательные .модели вложенных аппроксимаций с процэдуров сглаживания, что обеспечивает хорошую сходимость итерационного процесса по всем гармоникам, участвующим в решении.

Предлагаются различные варианты эквивалентного оператора. Доказана и обоснована сходимость итерационного процесса, показано отличью от известных итерационных методов и преимущество перед ними при решении сложных пространственных задач теории упругости, термоупругости, теплопроводности и других.

Для многосеточной вспомогательной аппроксимации получена оцэпка скорости сходимости итерационного процесса на модельных примерах и проведено исследование сходимости на численных примерах.

3. Разработаны векторизованные алгоритмы решения пространственных краевых задач расчета конструкций многосеточным методом. Использование сетки топологически эквивалентной прямоугольной, элементов с нулевыми физическими характеристиками и специальной нумерации неизвестных позволило отказаться от трудоемких операций с локальными матрицами жесткости и списковой структуры данных, а также естественным образом ввести вспомогательные вложенные сеточные разбиения. Благодаря этому удалось построить алгоритмы, ориентированные на операции нижнего уровня с большими массивами чисел, которые при реализации на языке ассемблера дают существенный выигрыш в скорости, а также удобны для машин с векторными и параллельными вычислениями.

Предлокэн вариант многосеточных алгоритмов с делентам всей задачи на подконструкции, позволяющий использовать указанные алгоритмы. Подход мояэт трактоваться как многосеточный метод суперэлэментов. .

4. Проведен анализ применения двухуровневого . варианта разработанного итерационного метода в сочетании с техникой агрегирования. В простейшем варианте в основе ее лежит кусочно-постоянное продолжение внутри зон агрегирования при построении вспомогательной аппроксимации дискретной задачи. В отличив от многосеточного варианта такой подход примени« к задачам строительной механики более общего вида, чем краевые, например, к стеряшевым конструкциям. Структура данных и алгоритмы, связанные со вспомогательной модель», основанной» на агрегировании, оказались просты и универсальны. 'Проведен численный эксперимент на задачах теории упругости, теплопроводности и расчета пространственного структурного покрытия, который показал высокую эффективность предлагаемого подхода для расчета реальных конструкций с большим числом степеней свобода.

При решении краевых задач большое количество информации можно извлечь из фундаментальных решений, особенно если требуется оценить эффект от самоуравновешенного воздействия в локальной зоне. На основе одного из вариантов многоуровнего метода и агрегирования разработан алгоритм сглаживания во внутренних итерациях, использующий производные от фундаментального решения соответствующей краевой задачи, не требующий вычисления. коэффициентов матрицы разретагарй

-ЗР-

системы уравнений. Численные исследования показали высокую эффективность подхода.

Разработан вариант агрегирования с поворотной степенью свободу, механической моделью которого является система жестких фрагментов, для которых разрешены поступательные перемещения и повороты вокруг выбраных центров 'вращения. Такая модель лучше отражает работу конструкций и, в ряде случаев, когда велики нагибные деформации, в аадачах с жесткими включениями и других, существенно повышает скорость сходимости итерационного процесса.

Б. Разработан подл од, предусматривают« работу с вабороа невложенных (смещенных) вспомогательных аппроксимаций, которые позволяет повысить вероятность выбора удачного расположения зон агрегирования в тех практических случаях, когда такой выбор неочевиден. Такая проблема возникает при автоматизации ревэния практических задач, когда построение одной вспомогательное аппроксимации или системы вложенных вспомогательных аппроксимации а помощью агрегирования может не обеспечить корректной вспомогательной модели. Например при объединении в один агрегат двух берегов трещины, мало влияющих друг на друга. Подход апробирован ва примере задач теории упругости, в том числе на задаче с перепадом модуля упругости в 1000 раз, где обеспечил высокую скорость сходимости итерационного процесса.

в. Разработан приближенный супэрзлэментныя подход, позволяющей сократить вычислительные затраты, связанные с формированием и решением граничных систем, по сравнению с обычны» методой суперэлементов. В основе подхода лежит использование вспомогательного крупного сеточного разбиения по границе суперэлементов, позволяющего построить специальный набор пробных функций, преобладающа большинство которых локальны ы самоуравновешены. Это приводит к граничным матрицам с быстро убывающими коэффициентами, Экономия вычислений достигается ва счет пренебрежения малыми коэффициентами, что обеспечиввет сильную разреженность матрицам граничных систем. Полученный эффект обосновывается в работе как с помощью континуального аналога, связанного с граничными операторами с высоким порядком особенности, такги физического смысла коэффициентов матрица метода перемещений. Показано, что в сложных случаях убывание коэффициентов граничное матрицы может оцениваться с помощью величины, обратно* шестой степени геометрического расстояния между точками на границе супэрзлементов. Проведено численное исследование на примере

оадяч теплопроводности и теории упругости, показаваэо применимость подхода для роиепия практических задач.

Показана возможность включения данной методики в стандартные супзрэ^гйптпыв алгоритмы основываясь па стратегии работы о профильными матрицами. D этом случае удается достичь зкономии вычисления кок па зтата рэдугацл системы па границу, так п непосредственно щ?л ресошм граничной системы по&вэдиаго этапа супэрэлзментной сборки.

7. Разработаны алгориплы, связанные с прсет-ировантем посла дискретизации по ЫКЭ, позволяющие рзспшрягь класс задач, решаемых о псмоцьв простая програ?«« вклзчгщих единственный тш конечного з^змепта - элэгяепта пространственной задачи теории упругости, предназначенных для псслэдовапий по прочности. Рассмотрены примеры проектирования на ограничения rraperreqama в заданном направлении, па плоское деформированное состоять, на напрятанное состояние типа плиты со сдвигом. Подход позволяет повысить точпость учета сопряжений з конструкциях, например массивного тела и irnrru. Обсуждается вариант обобщения шюгосоточпого пггода па основе других типов оператора прояхш31шя.

0. Совместно с Белье« II.В. создан пакет программ РКТП, реализующий разработанные много соточгоэ f.-отод и весторизованныз алгоритмы. Пакет предназначен для реиония пространственных краевых задач расчета конструкций. Он позволяет па ЭЕ.Ч таю ЕС-104Б - ЕС-ЮОО рэзать задачи, имеющие порядка ста тысяч неизвестных с малыми вроменными затратами. Для тага« задач мотет быть достигнута ICO - IODO кратпая экономия машшного времени и памяти по сравнения со стандартны?«! подходами ИЗО. Среда приведенных в робото призеров расчета реалышя конструкция - упругие и тор'яоупругпэ расчеты папрявашю-дефорглировапного состояния корпуса реактора ВГ-400, плотины Усть-Хантааской ГЭС, плотины Чиркейской ГЭС, стыка зданий, дэталзй из композитных материалов п других. Эта п друптэ оадапи были рэшопы как авторами коетиэкса, так я самими заказчиками, ййотся вывода о работе ряда конструкций, получоппыэ заказчикам! га результатов расчета.

Основное содэрсганпэ диссертации отрзпзпо п следующих публикациях: I. Булгаков В.Е. К ревенст про стран стеноз задачи теорт упругости

эгэрационным кзтодея. Сб. Числвнеьэ методы и алгоритм,

н.,цнииск,1сз1,с.ез-оа.

2. Булгаков В.Е., Золотов А.Б. К расчету термонапряженного состояния массивных конструкций. Депонент, ЖШб, Москва, ВШИС, 1982, Петр.

3. Булгаков В.Е., Золотов Л.Б., Белый И.В. Полуигерадаонныа метод решения . пространственных краевых задач расчета сооружений. Строительная механика и расчет сооружений, *в, 1985, C38-40 Булгаков В.Е., Белый Н.В. Алгоритмы автоматизированного решения пространственных краевых задач расчета сооружений полуитерационным методом, сб.МИСИ: Автоматизация расчета и проектирования промышленных и гражданских зданий и сооружений,U.,15йв,с.П2-123

Б. Булгаков В.Е., Белый Н.В., 0 сходимости подуйтерационного метода решения пространственной краевой задачи теории упругости. Ыежвуз. сб.:Прикладные проблемы прочности н пластичности (Автоматизация научных исслэдованиа по прочности), 188й,с.30-34

в. Булгаков В.Е., Белый М.В., Золотов A.B. Полуитерациошша многосеточный метод и его программная реализация для росанкя пространственных краевых задач. Журнал вычислительной математики и математической физики. Том 27,йв,1987,с.875-888

7. Булгаков В.Е., Савостьянов В.Н., Цинцадее П.П., Фршпер Л.П., Алексеева Е.Г. Моделирование термонапряженного состояния коробчатых конструкций зданий АЭС методом фото упругости. Сб. ИИСИ: Решение инженерных задач методам фотоупругости, IG83, о. 142-159

8. Булгаков В.Е., Белый Н.В., Дубровская Е.В. Расчет поля радиационных напряжений в блоке сухой защиты. Вопросы атомное науки и техники (ВАШИ), серия Проектирование в строительство, вып.2,1989,с.3-19

9. Булгаков В.Е., Белый 11.В. Расчет трехмерного терконапряжонного состояния конструкций гадросооруюениз полуитерациошпдз ыногосоточным методом. Программный комплекс РКТП. Материалы конференций и совещаний по гидротехника. Инженерное мерзлотоведение в гидротехнике (ИМГТ-88), Ленинград, внергоатомиздат (Лэнингр. отд.),1900,0.151-153

10. Булгаков В.Е., Белый К.В., Золотов А.Б. Пакет программ для расчета конструкций в трехмерной постановке. Сборник научных трудов: Развитое методов возведения, расчета и проектирования строительных конструкций,МИСИ, ВТШ г.Лейпциг969,с.24-29

11. Булгаков В.Е., Белый М.В., Садов О.В., Моагалова М./. Различныо приемы повышения сходимости по верхне* части спгктра оператора

-за-

при рэшзтш пространственных краевых задач расчета конструкций многосвточньм -это дом. Труда ЦНИИСК: Чйсяэввые катода расчета и оггптаизоции строительных конструкций, 1989,с.й2-87

12. Булгаков В.Е. Алгоритм стыковзш подкопструтщ при решении прострапственпых краевых задач шогосоточдьм методом. Сгршггэльнзя шхзяика и расчет соорудила, Ш, IG90,c.3I-36

13. Булгаков В.Е. О поиске .локальных рошогш злштпгазских краевых задач. Метода рэсчота я оптимизации строитолькъш конструкция на ЗВ!1, Сборник "трудов ЦНИИСК, 1990,0.40-51

14. Bulnakov V.E., Dalyi H.V. Multi-Grid Seal-Iterativa Method and rtlsortthsj« for Dourtdnry Valua РгоЫеаз of 3-D Thoory of Elasticity, in the proceedings of UCCH-2 «Second World Congrnss on Coapute t i ona1 Mechanics), August 1990, a tut tear t, pp.27-31.

16. Булгаков В.Е., Бежа H.B. Чисдэпный расчот плотна в трэхиарноз постанов!». Международная молодежная пкола "П^жэнешэ яомпьэтора в пиротехнике и охране водных росурсов", Варна, 12-16 октября,1090, Труда конференции, С.1Б7-Ш

10. Булгаков В.Е., Белый Н.В., Малапккп ЮЛ!., НэЕвльская Т.П. Пргаовотгэ пространственного и ococm,;oTpii4Eoro расчетов мя опродахэгоэт напрга:онно~да2юр?л!ровз1Шого состояния модели КВД. Вопросы атомной пауки и техгаии <ВАПИТ), серия - Прооютрованкэ и строительство, вьш.1,1691

17. Булгаков В.Е. К решошга пространственных кргеЕЫЗ садач теория упругости с использованием проекции на доскрэтпом уровне. Строительная гаяашка и расчот сооругашга ЛЭ,1991,о.81-в4.

10. Culoskov V.E. On the Boundary-Reducing Approximate/ Techniqufj for Solving Finite-Element Elliptic РгсЫеяа, Соявип. nppl. nuaer. aathods. Vol 7, No O.april 1901,pp.203-212.

19. Bulgakov V.E., Balyi M.V. On the Multi-Grid Technique for Oolvlns Threa-Dimens1onsa1 Boundary Vnlua Engineering Problems, Int. J. nuB»r. aethotit en«.. Vol.33, no.4, 1992, 7Г53-764.

20. JXilV.E., Delyl M.V. Faub Algorithms for Multi-Grid Solvers of 3-D Boundary Valu® Problems in Structural Analysis, Conputer* nnrl «tructurr*, Vol.44, no.4, 1992.

Подписано в печать 22.10.92 Формат 60x64^/16 Печ.офс.

И-243 Объем 2 уч.-изд.л. Т.100 Закал^ Бесплатно

ГЪтапринт МИСИ им.В.В.Куйбышевп