автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение метода последовательной частотно-динамической конденсации к решению задач устойчивости сложных систем

Введение

1. Современное состояние проблемы устойчивости сложных сооруже- 9 ний и конструкций и задачи исследования

1.1. Краткий обзор методов решения задач устойчивости сложных со- 9 оружений и конструкций

1.2. Обзор методов решения алгебраической проблемы собственных 13 значений и анализ возможности их использования при решении задач общей устойчивости сложных сооружений и конструкций

1.3. Выводы по главе

2. Решение задачи общей устойчивости сложных систем, представ- 23 ленных дискретной расчетной схемой в форме МКЭ

2.1. Введение

2.2. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 23 основанная на методе последовательной частотно-динамической конденсации с использованием собственных значений и собственных векторов парциальных систем

2.3. Решение задачи общей устойчивости сложных систем на основе 47 классических редукционных методов с повышением их эффективности путем применения блочного подхода

2.3.1. Методика, основанная на методе последовательной статической 48 конденсации

2.3.2. Методика, основанная на методе последовательной динамиче- 57 ской конденсации

2.3.3. Методика, основанная на методе последовательной частотнодинамическои конденсации 2.4. Выводы по главе

3. Решение задачи общей устойчивости сложных систем в форме МКЭ 69 на основе энергетического варианта метода последовательной частотно-динамической конденсации

3.1. Введение

3.2. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 69 основанная на энергетическом варианте метода последовательной частотно-динамической конденсации

3.3. Выводы по главе

4. Решение задачи общей устойчивости сложных систем в форме МКЭ 86 при представлении уравнения устойчивости в виде стандартной проблемы собственных значений

4.1. Введение

4.2. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 87 основанная на методе последовательной частотно-динамической конденсации с использованием базовых парциальных значений

4.3. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 91 основанная на методе последовательной частотно-динамической конденсации с использованием собственных значений и собственных векторов парциальных систем

4.4. Выводы по главе

Инженерная практика, связанная с проектированием строительных сооружений, конструкций авиа- и судостроения, ставит перед исследователями все более сложные задачи строительной механики, охватывая деформируемые системы сложной формы и строения. Требование рациональности проектирования таких сооружений и конструкций обусловливает необходимость выполнения расчета их как на прочность, так и на устойчивость, и в ряде случаев именно расчет на устойчивость является определяющим при оценке величины несущей способности.

Наиболее простой среди задач устойчивости, и поэтому широко используемой при практических расчетах является задача расчета конструкций и их элементов на потерю устойчивости первого рода на основе линейной теории (потеря устойчивости по Эйлеру). Несмотря на то, что линейная теория применительно к расчету сложных сооружений приводит только к качественным результатам анализа устойчивости, знание нескольких младших критических значений параметра внешней нагрузки и соответствующих им форм потери устойчивости позволяет решать некоторые вопросы оптимального проектирования сложных конструкций, такие как вопросы о количестве и местах постановки дополнительных связей с целью повышения несущей способности. Кроме того, линейная теория является основой для построения нелинейной теории устойчивости и решения задач продольно-поперечного изгиба, что представляет большой практический интерес.

Таким образом, исследование различных сооружений и конструкций на устойчивость первого рода является весьма важной задачей строительной механики, имеющей как самостоятельную теоретическую и практическую значимость, так и служащей основой для решения более сложных задач устойчивости. Однако существующие методы ее решения не всегда удовлетворяют растущим запросам практики, в частности тем из них, которые связаны с рассмотрением сложных сооружений и конструкций, и в особенности - с изучением влияния вариаций каких-либо параметров на соответствующие изменения их спектральных свойств. В последнем случае необходимость выполнения серий расчетов с постепенным изменением варьируемых параметров накладывает особенно строгие ограничения на допустимые величины затрат машинного времени.

Большой интерес при исследовании сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость представляет использование дискретных расчетных моделей, в частности МКЭ, позволяющих просто и с высокой степенью детализации учитывать нерегулярности в геометрии конструкции и характере нагрузки. Однако необходимость решения связанной с этим классом задач алгебраической проблемы собственных значений высокого порядка сильно снижает эффективность применения дискретного подхода.

В связи с вышесказанным разработка методик и алгоритмов эффективного и экономичного решения задач общей устойчивости сложных систем, представленных дискретной расчетной схемой, является актуальной задачей.

Целью данной работы является:

- дальнейшее развитие предложенных проф. В.А. Игнатьевым вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК);

- разработка на их основе методик и алгоритмов эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем, представленных дискретной расчетной схемой с большим числом степеней свободы;

- создание программ, реализующих эти алгоритмы и предназначенных для определения с высокой точностью низшей части спектра критических нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости систем с большим числом степеней свободы, с ориентацией на их использование на современных персональных ЭВМ класса Реп1:шт-П-Ш, наиболее распространенных в настоящее время в научных и проектных организациях;

- апробация и оценка эффективности разработанных алгоритмов на примерах расчётов различных классов конструкций.

Научная новизна работы:

- разработаны методики и алгоритмы эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем на основе вариантов метода последовательной ЧДК В.А. Игнатьева: последовательной ЧДК с использованием собственных значений и собственных векторов парциальных систем, энергетического варианта метода последовательной ЧДК, последовательной ЧДК с использованием базовых значений парциальных систем.

- разработаны методики и алгоритмы эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем на основе методов статической конденсации, динамической конденсации и метода частотно-динамической конденсации при использовании предложенного В.А. Игнатьевым алгоритма последовательной блочной конденсации второстепенных неизвестных, существенно повышающего эффективность этих методов;

- разработан комплекс программ для ПЭВМ в среде математических процессоров Майюас! и МАТЪАВ, реализующий все указанные алгоритмы и использованный для расчета содержащихся в диссертации тестовых задач.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием общепринятых гипотез и допущений, апробированных расчетных схем и подтверждается сравнением результатов расчетов по предлагаемым методикам с результатами расчетов по тем же расчетным схемам по МКЭ. Правильность используемых расчетных схем проверена в свою очередь сопоставлением результатов с имеющимися точными аналитическими решениями и справочными данными.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные в диссертации методики и алгоритмы, а также реализующие их программы могут быть рекомендованы к применению в практике проектирования при выполнении расчетов сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость.

Внедрение результатов. Теоретические результаты диссертационной работы включены в рабочую программу по курсу строительной механики в раздел "Устойчивость сооружений" (спец. курс). Разработанные программы используются на кафедре строительной механики и САПР ВолгГАСА.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии 1998-1999 г.г. и на юбилейной научно-технической конференции ВолгГАСА (Волгоград, май 2000). В целом диссертационная работа была доложена на научном семинаре кафедры строительной механики и САПР ВолгГАСА (Волгоград, июнь 2000).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в пяти публикациях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и основных выводов. Основное содержание изложено на 108 страницах машинописного текста. Список литературы состоит из 118 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Существующие на сегодняшний день методы решения задачи общей устойчивости сложных сооружений и конструкций оказываются недостаточно эффективными из-за большого объема сопутствующих вычислений либо невысокой точности получаемых результатов.

2. В диссертации на основе метода последовательной частотно-динамической конденсации В.А. Игнатьева разработаны методики и алгоритмы, позволяющие эффективно решать задачи общей устойчивости сложных систем путем представления их дискретной расчетной схемой и последующего понижения порядка матричного уравнения.

3. К основным достоинствам метода последовательной частотно-динамической конденсации В.А. Игнатьева, являющегося основой предлагаемых методик и алгоритмов, можно отнести следующие: а) решение неполной проблемы СЗ и СВ для матриц высоких порядков заменяется решением проблемы СЗ и СВ для нескольких матриц меньшего порядка, что приводит к существенному снижению объема вычислений и требований к мощности используемой ЭВМ; б) использование парциальных СЗ и СВ при конденсации каждого блока неизвестных позволяет точнее аппроксимировать энергетические свойства этих подсистем в конкретном диапазоне и в итоге получать более точные результаты для всей системы.

4. Выполненные с использованием разработанных в диссертации методик и алгоритмов расчеты тестовых задач продемонстрировали высокую точность определения низшей части спектра критических нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости, а также показали существенное снижение компьютерной ресурсоемкости, что позволяет сделать вывод об эффективности предлагаемых алгоритмов и целесообразности их использования при расчетах сложных систем на общую устойчивость.

97

5. Разработанные в диссертации методики и алгоритмы, а также реализующие их программы могут быть рекомендованы к применению в практике проектирования при выполнении расчетов сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1986. - 383 с.

2. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций // Современные методы расчета статически неопределимых систем: Сб. ст./ Пер. с англ. -Л., 1961.-С. 37-256.

3. Абрамович В.И. Эффективный способ хранения глобальных матриц жёсткости, построенных на регулярных сетках узлов // Проблемы прочности. 1983.- №6. С.59-62.

4. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, ч. I / Под ред. А.Ф. Смирнова, М.: Стройиздат, 1976, - 248 с.

5. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983. -488 с.

6. Аргирис Дж. Современные методы расчёта сложных статически неопределимых систем. Л.: Судпромгиз, 1961. - 190 с.

7. Айронс Б.М. Задачи о собственных значениях матриц конструкций: исключение лишних переменных // Ракетная техника и космонавтика, Т.З, №3, 1965.-С. 207.

8. Anna, Смит, Хьюз. Рациональное изменение масштаба в задачах о собственных значениях // Ракетная техника и космонавтика, Т. 10, №7, 1972. -С.133-134.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.- 598 с.

10. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. - 466 с.

11. Бате К., Вилеон Е. Методы решения задач на собственные значения в строительной механике: Пер. с англ. Л., 1983. - 38 с.

12. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. М.: Стройиздат, 1969. 424 с.

13. Бенфилд В.А., Руда Р.Ф. Исследование колебаний конструкций, основанный на рассмотрении форм колебаний отдельных элементов // Ракетная техника и космонавтика, Т.9, №7, 1971. С. 52-63.

14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т.1. -632 с.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т.2. -640 с.

16. Блохина И.В. Сравнение эффективности различных вариантов метода динамической конденсации при определении частот собственных колебаний сложных стержневых систем / Волгоградский инж.-строит.ин-т Волгоград, 1987.- 25 е.- Деп. в ВИНИТИ 3.02.87, №1134.

17. Блохина И.В. Развитие суперэлементной методики статического и динамического расчёта тонкостенных коробчатых систем. Дис. . канд. техн. наук / Волгоград, 1989. 227 с.

18. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965.-284 с.

19. Борисов В.П., Шакирзянов P.A. Об одном алгоритме решения неполной собственной проблемы при расчёте на колебания сложных конструкций типа фюзеляж // Известия вузов. Авиационная техника. 1982. - Т.4 - С. 24-28.

20. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчётах. М.: Машиностроение, 1988. - 254 с.

21. ВарвакП.М., Бузин И.М., Городецкий A.C. Метод конечных элементов. -Киев: Вища школа, 1981. 176 с.

22. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. - 154 с.

23. Вольмир A.C. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989. - 248 с.

24. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. - 880 с.

25. Волынский М.И. Алгоритм итерационного поиска собственных значений в задачах устойчивости упругих систем // Строительная механика и расчет сооружений, №3, 1988. С. 44-48.

26. Воронёнок Е.А., Сочинский C.B. Интерполяционное редуцирование матриц жёсткости при решении задач строительной механики методом суперэлементов // Прикладная механика, Т. 17, №6, 1981. С. 114 - 118.

27. Гайан Р.Дж. Приведение матриц жёсткости и масс // Ракетная техника и космонавтика. Т.З, №2, 1965. С.287.

28. Галлагер Р., Падлог Д. Исследование устойчивости конструкций на основе анализа дискретных элементов // Ракетная техника и космонавтика. №6, 1963. С. 194-196.

29. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

30. Геммерлинг A.B. Различные формы потери устойчивости рам // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1978. С. 31-36.

31. Геммерлинг A.B. Устойчивость сложных стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений, №4, 1979. С. 58-64.

32. Головин O.A., Троицкая O.A. Конденсация в задачах на собственные значения с использованием изопараметрических элементов /

33. Ленингр. политех, ин-т. Л., 1966. 12 с. Деп. в ВИНИТИ № 6509 - В86.

34. Гриненко Н.И., Мокеев В.В. О задачах исследования колебаний конструкций методом конечных элементов // Прикладная механика. 1985. Т.21, №3. - С.12-15.

35. Гриненко Н.И., Мокеев В.В. О повышении эффективности метода конечных элементов в задачах проектирования динамических систем // Расчёт и управление надёжностью больших механических систем. Свердловск -Ташкент, 1988. С.20-25.

36. Дашевский Е.М., Денисов Л.Д. Расчёт собственных колебаний и устойчивости при конечноэлементной дискретизации конструкции // Исследование динамики строительных промышленных зданий. Л.: Иад-во Ленпромст-ройизданий, 1983. - С.31-41.

37. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 659 с.

38. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967. 368 с.

39. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad7 в математике, физике и в Internet. М.: Изд-во Нолидж, 1999. 345 с.

40. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1991.- 272 с.

41. Залунин К.П. Деформационный расчет сжатых стержней переменного сечения и составных стержней. Ростовский инж.-строит. ин-т.: Ростов-на-Дону, 1958. - 50 с.

42. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

43. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.-318 с.

44. Ивантеев В.И., Чубань В.Д. Расчет форм и частот свободных колебаний конструкций методом многоуровневой динамической конденсации // Ученые записки ЦАГИ. 1984. Т. 15, №4. - С.81-92.

45. Игнатьев В. А. Методы супер дискретизации в расчетах сложных стержневых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 108 с.

46. Игнатьев В.А., Игнатьева О.М. Устойчивость сооружений (приближенные методы). Волгоград: Изд-во ВолгПИ, 1986. - 114 с.

47. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988. - 160 с.

48. Игнатьев В.А., Макаров A.B. Решение неполной алгебраической проблемы собственных значений по методу последовательной частотно-динамической конденсации / Волгоградский инж.-сроит. ин-т. Волгоград,1991. 25 с. Деп. в ВИНИТИ 18.02.91., №803-В91.

49. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. - 145 с.

50. Игнатьев В.А., Соколов О.Л., АльтенбахИ., КиссингВ. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры. М.: Стройиздат, 1996. - 560 с.

51. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981.-430 с.

52. Катеринин K.B. Решение задач устойчивости сложных систем с помощью вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации -Инф. листок ЦНТИ № 51-215-00. Волгоград, 2000.

53. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. -М.: Стройиздат, 1980.-616 с.

54. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1972.-296 с.

55. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. - 504 с.

56. Костенецкий В.И. Приближенное определение перемещений шарнирно-стержневых систем со сжато-изогнутыми элементами // Строительная механика и расчет сооружений, №2, 1981. С. 51-53.

57. Крюков В.Н. Устойчивость стержней переменного сечения при действии системы сосредоточенных продольных сил // Строительная механика и расчет сооружений, №1,1986. С. 71-74.

58. Лейтес С.Д. Спектральная функция в задачах устойчивости упругих стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1971. — С.28-32.

59. ЛивслиР. Матричные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1980.-284 с.

60. Ляхович Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. Изд-во Томского ун-та: Томск, 1970. - 108 с.

61. Макаров А. В. Применение метода частотно-динамической конденсации для решения задач динамики в форме метода перемещений // Актуальные проблемы прикладной математики. Саратов.: Изд-во Саратовского ун-та, 1991. - С.208-213.

62. Макаров A.B., Макарова И.Г. Решение неполной алгебраической проблемы собственных значений, записанной в форме метода перемещений / Волгоградский инж.-сроит. ин-т. Волгоград, 1992. - 19 с. Деп. в ВИНИТИ 04.03.92., №707-В92.

63. Макаров A.B. Применение и развитие метода частотно-динамической конденсации для решения задачи о свободных колебаниях систем с большим числом степеней свободы: Дис. . канд. техн. наук / Волгоград, 1993. -142 с.

64. Манч X. Фишер У., Цен М. Применение метода конечных элементов к исследованию динамических проблем механики твёрдого тела // Успехи механики. Т.З, №2, 1980. С.113-139.

65. Мануйлов Г.А., Маслов Д.П., Смирнов М.Н., Осокин В.М. О вычислении частот и форм собственных колебаний строительных конструкций // труды Моск. ин-та инж. ж.-д. транс., №625, 1979. С. 136-144.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -454 с.

67. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 224 с.

68. Матевосян P.P. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория). -М.: Госстройиздат, 1961. 184 с.

69. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений / Под ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

70. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел./ Под общ. ред. A.C. Сахарова и И.Г. Альтенбаха. Киев: Вища шк., 1982. - 480 с.

71. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран и паскаль. Томск : МП Раско, 1992. - 270 с.

72. Немчинов Ю.И. Метод конечных элементов в механике тонкостенных пространственных и стержневых конструкций: Автореферат докт. дис. Л.: Ле-нингр. инж.-строит. ин-т., 1983.- 36 с.

73. Немчинов Ю.И., Козырь A.A. Использование конденсации динамических переменных в методе пространственных конечных элементов // Строительная механика и расчёт сооружений. 1985, №1. С. 10-13.

74. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-300 с.

75. Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. -М.: Гостехиздат, 1949.

76. Палагушкин В.И. Итерационный алгоритм решения проблемы собственных значении для систем с большим числом степеней свободы // Пространственные конструкции в Красноярском крае, Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1985. - С.64-68.

77. Парлет Б. Симметрическая проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983.-382 с.

78. Плетнёв В.И. Расчёт многосекционных зданий методом подструктур // Расчёт строительных конструкций на статические и динамические нагрузки : Межвуз. сб.тр. Л.: Изд-во Ленингр. инж.-строит, ин-та, 1985. - С.18-22.

79. Постнов В.Д., Москалёв Л.И. О применении метода подструктур в задачах колебаний и устойчивости / Прочность судовых конструкций. Л.: Тр. Ленингр. кораблестроит. ин-та, 1979.-С.69-72.

80. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

81. Постнов В.А. Численные методы расчёта судовых конструкций Л.: Судостроение. 1977. - 280 с.

82. Постнов В.А., Дмитриев СЛ., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979. -288 с.

83. Потемкин В.Г. Введение в MATLAB. М.: Диалог-МИФИ, 2000. - 247 с.

84. Раевский А.Н. Примеры расчета стержневых систем на устойчивость Изд-во Саратовского ун-та.: Саратов, 1991. - 92 с.

85. Райе Дж. Матричные исследования и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. - 264 с.

86. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. - 440 с.

87. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

88. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1982.-264 с.

89. Сегердинд JL Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

90. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. -415 с.

91. СниткоН.К. Устойчивость конструкций. Руководство к проектированию. Л., 1973.-92 с.

92. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей). Под ред. П.М. Варвака. Киев, Буд1вельник, 1971.

93. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

94. Турский В. Методология программирования: Пер. с англ. М.: Мир, 1981.-264 с.

95. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

96. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

97. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-352 с.

98. Харти Р. Динамический анализ конструкций, основанный на исследовании форм колебаний отдельных элементов // Ракетная техника и космонавтика. Т.З, №4, 1965. С.132-138.

99. Хейгеман Jl., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. - 448 с.

100. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994. - 353 с.

101. Шапошников Н.Н. Строительная механика транспортных сооружений. -М.: МИИТ, 1983. 80 с.

102. Chowdhury P.S. An alternative to the normal mode method // J. Comput and Struct. /, 1975, v.5, No.5-6, P.315.

103. Crandall S.H. Iterative Procedures Related to Relaxation Methods for eigenvalue problems. Proceedings Royal Society. London. A207. 1951 - P.416.

104. Falk S., Langemeyen P. Das Jacobische Rotationsverfahren fur Reellsymmetrische Matrizenpaare Electronische Datenver-arbeitung. 1960. -s.30-34.

105. Forsythe G.E., Henrici P. The cyclic Jacobi method for computing the principal values of a complex matrix. / Transactions of the Amer. Mathem. Society, v.94, 1960.-P.1-23.

106. Giwens J.W. A Method of Computing eigenvalues and eigenvectors suggested by classical results on Symmetric matrices // National bureau of standards applied mathematics series 29, Government printing office, Washington, D.C., L.953. -P.117-122.

107. Gupta K.K. Vibration of frames and other structures with banded stiffness matrix // Int. J. of numerical methods in engineering, v.2, 1970. P.221-228.

108. Gupta K.K. Solution of eigenvalue problems by the Sturm sequence method // Int. J. of numerical methods in engineering, v.4, 1972. P.379-404.

109. Octega J., Kaiser H. The LLT and QR methods for symmetric tridiagonal matrices / Computer Journal, v.6, 1963. P.99-101.

110. Rutishauser H. Computational Aspects of F.L. Bauer's Simultaneous Iteration Method // Numerische Mathematik. v.13, 1969. P.4-13.