автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение метода последовательной частотно-динамической конденсации к решению задач устойчивости сложных систем

На правах рукописи

pre од

" Ц flHR Ж0

г.

Катеринин Константин Викторович

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 2000

Работа выполнена в Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Игнатьев В.А.

кандидат технических наук, доцент Макаров A.B.

доктор технических наук, профессор Пшеничкина В.А.;

кандидат технических наук, доцент Блохина И.В.

Ведущая организация:

''Волгоград гражданпроект"

Защита состоится '45" декабря 2000 года в 13_часов на заседании диссертационного совета К 064.63.02 при Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии по адресу: 400074, Волгоград, ул. Академическая, д.1, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии.

Автореферат разослан'

ноября 2000 г.

Отзывы просьба направлять по адресу:

400074, Волгоград, ул. Академическая, д.1, Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия, Ученый совет К 064.63.02

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

Шкода Г.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Инженерная практика, связанная с проектированием строительных сооружений, конструкций авиа- и судостроения, ставит перед исследователями все более сложные задачи строительной механики, охватывая деформируемые системы сложной формы и строения. Требование рациональности проектирования таких сооружений и конструкций обусловливает необходимость выполнения расчета их как на прочность/так и

V

на устойчивость, и в ряде случаев именно расчет на устойчивость является определяющим при оценке величины несущей способности.4

Наиболее простой среди задач устойчивости, и поэтому наиболее широко используемой при практических расчетах является задача расчета конструкций и их элементов на общую потерю устойчивости на основе линейной теории. И хотя линейная теория устойчивости приводит только к качественным результатам анализа устойчивости, знание нескольких младших критических значений параметра внешней нагрузки и соответствующих форм потери устойчивости позволяет решать некоторые вопросы оптимального проектирования сложных конструкций, такие как вопросы о количестве и местах постановки дополнительных связей с целью повышения ее несущей способности. Кроме того, линейная теория устойчивости является основой для построения нелинейной теории устойчивости и решения задач продольно-поперечного изгиба, что представляет большой практический интерес.

Таким образом, исследование различных сооружений и конструкций на общую устойчивость является весьма важной задачей строительной механики. Однако существующие методы ее решения не всегда удовлетворяют растущим запросам практики, в частности, тем из них, которые связаны с рассмотрением сложных конструкций, а также изучением влияния вариаций параметров системы на соответствующие изменения ее спектральных свойств.

Большой интерес при исследовании сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость представляет использование дискретных расчетных моделей, в частности МКЭ, позволяющих просто и с высокой степенью детализации учитывать нерегулярности в геометрии конструкции и характере нагрузки. Однако необходимость решения связанной с этим классом задач алгебраической проблемы собственных значений высокого порядка сильно снижает эффективность применения дискретного подхода.

В связи с вышесказанным разработка методик и алгоритмов эффективного и экономичного решения задач общей устойчивости сложных систем, представленных дискретной расчетной схемой, является актуальной задачей.

Цслыо данной работы является:

- дальнейшее развитие предложенных проф. В.А. Игнатьевым вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК);

- разработка на их основе методик и алгоритмов эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем, представленных дискретной расчетной схемой с большим числом степеней свободы;

- создание программ, реализующих эти алгоритмы и предназначенных для определения с высокой точностью низшей части спектра критических . нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости систем с большим числом степеней свободы, с ориентацией на их использование на современных персональных ЭВМ класса Репйит-Н-Ш, наиболее распространенных в настоящее время в научных и проектных организациях;

- апробация и оценка эффективности разработанных алгоритмов на примерах расчётов различных классов конструкций.

Научная новизна работы:

- разработаны методики и алгоритмы эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем на основе вариантов метода последовательной ЧДК В.А. Игнатьева: последовательной ЧДК с использовани-

ем собственных значений и собственных векторов парциальных систем, энергетического варианта метода последовательной ЧДК, последовательной ЧДК с использованием базовых значений парциальных систем.

- разработаны методики и алгоритмы эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем на основе методов статической конденсации, динамической конденсации и метода частотнодинамической конденсации при использовании предложенного В.А.Игнатьевым алгоритма последовательной блочной конденсации второстепенных неизвестных, существенно повышающего эффективность этих методов;

- разработан комплекс программ для ПЭВМ в среде математических процессоров МаЛсас! и МАТЬАВ, реализующий все указанные алгоритмы и использованный для расчета содержащихся в диссертации тестовых задач.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием общепринятых гипотез и допущений, апробированных расчетных схем и подтверждается сравнением результатов расчетов по предлагаемым методикам с результатами расчетов по тем же расчетным схемам по МКЭ. Правильность используемых расчетных схем проверена в свою очередь сопоставлением результатов с имеющимися точными аналитическими решениями и справочными данными.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные в диссертации методики и алгоритмы, а также реализующие их программы могут быть рекомендованы к применению в практике проектирования при выполнении расчетов сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость.

Внедрение результатов. Теоретические результаты диссертационной работы включены в рабочую программу по курсу строительной механики в раздел "Устойчивость сооружений" (спец. курс). Разработанные программы используются на кафедре строительной механики и САПР ВолгГАСА.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии 1998-1999 г.г. и на юбилейной научно-технической конференции ВолгГАСА (Волгоград, май 2000). В целом диссертационная работа была доложена на научном семинаре кафедры строительной механики и САПР ВолгГАСА (Волгоград, июнь 2000).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в пяти публикациях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и основных выводов. Основное содержание изложено на страницах машинописного текста. Список литературы состоит из 118 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе выполнен обзор работ по теории и методам решения задач устойчивости сооружений и конструкций. Здесь следует отметить работы таких ученых, как JI. Эйлер, Ф.С. Ясинский, С.Д. Лейтес, В.В. Болотин, A.M. Ляпунов, A.C. Вольмир, Л.С. Ляхович, Я.Л. Нудельман, P.P. Матевосян, Х.М. Муштари, A.A. Уманский, Н.В.Колкунов и других. Отмечено, что при расчете конструкций сложной формы и строения наиболее рациональным является использование дискретных расчетных моделей (МКЭ, МКР, классические методы строительной механики и т. д.), позволяющих просто и с высокой степенью детализации учитывать нерегулярности в геометрии конструкции и в характере заданной внешней нагрузки. В этом случае задача определения критических значений нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости сводится к решению алгебраической проблемы собственных значений (СЗ) и собственных векторов (СВ), порядок которой равен числу степеней свободы в расчетной схеме. Последнее при расчете сложных конструкций может составить величину порядка

104+105 и более. В то же время, практический интерес для нас представляют лишь несколько наименьших значений критического параметра нагрузки.

Далее выполнен обзор существующих методов решения проблемы СЗ и СВ и на его основании сделан вывод о том, что к настоящему времени для матриц невысокого порядка разработаны достаточно эффективные точные методы решения этой задачи (метод Якоби, метод Хаусхолдера, метод решения характеристического уравнения, метод одновременных итераций в подпространстве и другие) и реализующие их программы для ЭВМ. Однако, попытка использовать любой из этих методов для решения проблемы СЗ и СВ высокого порядка встречает серьезные затруднения. Это связано с тем, что необходимое согласно используемому алгоритму количество машинных операций и объем оперативной памяти начинают существенно превосходить вычислительные ресурсы даже самых современных персональных ЭВМ. Использование же современных суперкомпьютеров, позволяющих выполнять непосредственное решение таких задач в реальные сроки, не является универсальным выходом в данной ситуации, так как стоимость машинного времени на них крайне высока, не говоря уже о том, что суперкомпьютеры практически не получили распространение в нашей стране.

В то же время, для приближенного решения неполной алгебраической проблемы СЗ и СВ при высоком порядке матриц отечественными и зарубежными учеными разработан ряд методов, называемых редукционными, (методы статической, динамической и частотнодинамической конденсации, а также различные варианты метода последовательной ЧДК), основанных на понижении порядка исходной проблемы СЗ. Большой вклад в развитие этого направления внесли такие ученые как Р.Дж. Гайан, Е.А. Вороненок, C.B. Сочинский, В.И. Ивантеев, В.Д. Чубань, Н.И. Гриненко, В.В. Мокеев, В.А. Игнатьев и другие.

Понижение порядка исходного матричного уравнения всеми редукционными методами осуществляется за счет исключения из него части коор-

динат, называемых второстепенными, и изменении коэффициентов при оставшихся (основных) так, чтобы собственные числа исходных и получаемых (редуцированных) матриц в интересующем нас диапазоне были наиболее близки. В этом случае за искомые СЗ и СВ исходного уравнения мы можем приближенно принять определенные с помощью любого точного метода СЗ и СВ редуцированного уравнения, вычисление которых ввиду невысокого порядка последнего уже не представляет затруднений.

Выполненный анализ характеристик и особенностей алгоритмов указанных методов позволил сделать вывод, что наиболее эффективными являются предложенные В.А. Игнатьевым варианты метода последовательной ЧДК, обеспечивающие получение результатов с высокой точностью при сравнительно невысоких требованиях к мощности используемой ЭВМ.

На основе выполненного обзора сделан вывод о том, что существующие на сегодняшний день методы решения задачи общей устойчивости сложных сооружений и конструкций оказываются недостаточно эффективными из-за большого объема сопутствующих вычислений либо невысокой точности получаемых результатов. В связи с этим весьма актуальной и перспективной представляется разработка методик решения задачи общей устойчивости сложных систем на основе дискретных расчетных схем, с последующим понижением порядка задачи при помощи эффективных редукционных алгоритмов.

Во второй главе излагаются разработанные автором методики решения задачи общей устойчивости сложных сооружений и конструкций, представленных дискретной расчетной схемой на основе МКЭ в форме метода перемещений. Матричное уравнение устойчивости в этом случае имеет вид:

\k-py\z\~ о, 0)

где к и у соответственно матрицы жесткости и потенциала нагрузки, р -параметр критической нагрузки, {2Т} - вектор неизвестных узловых перемещений, описывающий соответствующую форму потери устойчивости.

Сущность методики, основанной на предложенном В.А. Игнатьевым методе последовательной ЧДК с использованием СЗ и СВ парциальных систем, заключается в следующем. Примем часть степеней свободы расчетной схемы в количестве п за основные и обозначим их индексом "г", а все прочие, относимые ко второстепенным, будем исключать из уравнения (1). Тогда для конденсированной к основным степеням свободы системы уравнение устойчивости примет вид:

Л ?,,]{?,}= О, (2)

где Кп и У„ - редуцированные матрицы жесткости и потенциала нагрузки порядка п, Г иг,- параметр критической нагрузки и вектор формы потери устойчивости, получаемые из решения данной обобщенной проблемы СЗ и СВ. Полагая характеризующие устойчивость свойства исходной и редуци-ровашгой систем эквивалентными, примем следующие допущения:

- спектр критических нагрузок редуцированной системы равен соответствующему количеству младших критических нагрузок исходной системы;

- редуцированные формы потери устойчивости равны соответствующим компонентам форм потери устойчивости исходной системы.

Согласно этим допущениям можем переписать (2) в виде:

[к. К* ] = IКг К* Гад к-1,2,..., п. (3)

Здесь \2Г к ] = [{.?! г } г} ■ ■ ■, п г }] - квадратная матрица порядка их» ,

столбцами которой являются п младших форм потери устойчивости исходной системы с компонентами, относящимися только к основным степеням свободы, \Хк - диагональная матрица, содержащая п младших значений критических нагрузок исходной системы, расположенных в порядке, соответствующем порядку векторов в [гг к ]. Уравнение (3) может быть решено

относительно Кп либо Примем за Кгг статически конденсированную к основным неизвестным матрицу жесткости всей системы и обозначим ее

К'^, а Угг представим в виде [?„.]= , где - статически конден-

сированная к основным неизвестным матрща потенциала нагрузки, ДУ,, -матрица конденсационных добавок второстепенных элементов к основным. Последняя корректирует матрицу У'п до достижения равенства значений исходных и редуцированных СЗ и СВ. Выполняя указанные замены, преобразуем (3) к виду

откуда можем выразить матрицу конденсационных добавок:

д уп = [к К* к Г к,* - к 1 (5)

Вариант с корректировкой матрицы потенциала (а не матрицы жесткости) выбран из тех соображений, что при корректировке матрицы потенциала мы влияем лишь на вычисляемое значение суммарной работы внешних сил, тогда как общая схема деформирования сооружения и накапливаемая при этом потенциальная энергия деформации не меняются. Если же изменять жесткостные характеристики, то это приведет к изменению характера работы конструкции и отклонению напряженно-деформированного состояния расчетной модели от действительного. Последнее, в свою очередь, вызовет как необходимое изменение потенциальной энергии деформации, так и неконтролируемое - величины потенциала нагрузки, в результате чего возможна нестабильность получаемых результатов.

Разделим далее второстепенные степени свободы на < блоков и сформируем I парциальных (частичных) систем, каждая из которых представляет . собой систему, построенную на основе расчетной схемы исходной конструкции, степени свободы для которой назначаются в виде совокупности основных и одного из блоков второстепенных степеней свободы. Характеризующие эти системы парциальные матрицы жесткости и потенциала нагрузки формируются путем статической конденсации соответствующих исходных матриц ко входящим в данную парциальную систему степеням свобо-

ды. Важным свойством парциальной системы является полное исключение всех, кроме входящего в нее, второстепенных блоков. Это обеспечивает взаимную независимость последних для разных парциальных систем, благодаря чему суммарную конденсационную добавку можно представить в виде полной суммы парциальных конденсационных добавок:

ДКИ^кИМ'кЗГ-Ы (б)

1=1

Благодаря существенно уменьшенному по сравнению с исходным порядку парциальных матриц уже не представляет затруднений отыскание для каждой из t парциальных систем п младших критических нагрузок ¡Я^' ' и соответствующих им форм потери устойчивости [z{r'l j как СЗ и СВ парциального матричного уравнения. Используя распределительное свойство матричного умножения, окончательно представим (6) в виде:

^ггЛкМ^ШИУ -'[d. а)

/=1

Подставляя найденное таким образом Дв (4) и решая проблему СЗ и СВ для матриц пониженного порядка п любым стандартным методом, что уже не вызывает затруднений, получаем п наименьших критических нагрузок и основные компоненты соответствующих им форм потери устойчивости, характеризующие исходную систему высокого порядка. Второстепенные компоненты полных форм потери устойчивости могут быть получены по специальному алгоритму, не описываемому здесь для краткости изложения.

Выполненные тестовые расчеты по предлагаемой методике на примерах стержневых и континуальных систем показали высокую точность определения низшей части спектра критических нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости. Для примера приведем результаты расчета по данной методике центрально-сжатого стержня постоянного сечения, жестко защемленного с обоих концов и нагруженного постоянной продольной силой. Дискретная расчетная схема сформирована по МКЭ разбиением стерж-

ня на 21 стержневой КЭ и содержит 40 степеней свободы. Число основных степеней свободы принимается согласно таблице 1, а места их расположения назначаются с равным шагом по длине стержня. Результаты расчета представлены в таблице 1 в безразмерном виде, соответствующем стержню единичной длины и жесткости.

Таблица 1

Номер ЫРРкр по МКЭ Методика на основе ЧДК при числе основных с.с.:

4 (10% от общ.) 8 (20% от общ.) 12 (30% от общ.)

Р* Д,% Ркр Д,% Ркр Д,%

1 39,4789 39,9363 -1,37 39,4505 -0,07 39,4716 -0,02

2 80,7666 80,7139 -0,07 80,7567 -0,01 80,7666 0

3 157,9413 157,9741 -12,01 157,3132 -1,03 157,5038 -0,28

4 238,8124 238,9146 -11,26 238,2827 -0,22 238,8181 0

Следует особо отметить факт повышения точности результатов с увеличением числа основных степеней свободы, что характерно также для всех разработанных методик, рассматриваемых далее, и справедливо при расчете любых конструкций. С другой стороны, увеличение числа основных степеней свободы приводит к росту объема вычислений, что нежелательно. В связи с этим в диссертации данному вопросу уделено большое внимание и даны подробные рекомендации.

В третьей главе рассматривается разработанная автором на основе энергетического варианта метода последовательной ЧДК В.А. Игнатьева методика решения задач общей устойчивости сложных систем, представленных дискретной расчетной схемой. Данная методика, в дополнение ко введенным в предыдущей главе допущениям о равенстве СЗ и СВ редуцированной и исходной систем, использует допущение о равенстве величин потенциальной энергии деформации и потенциала внешней нагрузки редуцированной и исходной систем для п первых форм потери устойчивости. Математически это допущение можно представить для уравнений (1) и (2) в виде:

и = \ [гк Г К [гк ]:= I к , ]т к„ [гг к \

где и - потенциальная энергия деформации, равная работе внутренних сил, взятой с обратным знаком; (К-потенциал нагрузки, равный работе внешних сил на их перемещениях для соответствующей формы потери устойчивости. Матрицы узловых перемещений \ик ] и \7Г к ] составлены из ¿векторов {г}

и {г,}, расположенных в порядке возрастания соответствующих им СЗ. Выразим матрицу полных перемещений [гк] через основные компоненты перемещений \2г к ]. Для этого разделим первую на два блока и выразим

второстепенные неизвестные через основные:

-

2.

, (9)

КаНККА]- (Ю)

Имея к известных собственных векторов, находим матрицу преобразования основных неизвестных во второстепенные:

по

Таким образом, учитывая (9) и (10), получаем:

(12)

где |В0 г ] - матрица перехода, Ек - единичная матрица порядка к. Подставляя (12) в (8), получаем выражения для получения редуцированных матриц:

Кп = Кг Г к[в0г ], Угг = [в0г }т у\в0г ]. (13)

Вводя I парциальных систем, представим редуцированные матрицы в виде:

К = К + ЕАА'« , 9„ = Кг; . (14)

1=1 1=1

Используя (13) для получения парциальных редуцированных матриц с учетом (14) окончательно получаем:

Таблица 2

Схема расположения основных узлов Иос* % Номер Ркр МКЭ Методика на основе ЧДК Д,%

6,6 1 2 3 4 5 19,4372 48,1578 48,1578 74,2375 96,1714 18,5592 45,8962 47,1593 73,1893 100,1602 -4,52 -4,70 -2,07 -1,41 4,15

6.6 1 2 3 4 5 19,4372 48,1578 48,1578 74,2375 96,1714 19,3014 45,8681 46,8053 73,6653 98,2297 -0,70 -4,75 -2,81 -0,77 2,14

8,2 1 2 3 4 5 19,4372 48,1578 48,1578 74,2375 96,1714 19,3399 46,4968 47,3849 75,7148 94,1004 -0,50 -3,45 -1,60 1,99 -2,15

и ;=1

Подставляя полученные таким образом редуцированные матрицы в (2), находим п наименьших критических нагрузок и главные компоненты соответствующих им форм потери устойчивости. Второстепенные компоненты форм могут быть при необходимости восстановлены на основании соотношения (10), примененного ко всем парциальным системам.

Выполненные тестовые расчеты на общую устойчивость по данной методике на примерах стержневых и континуальных систем показали высокую точность получаемых результатов. В качестве примера приведем результаты расчета квадратной пластинки постоянной толщины, свободно опертой по контуру, сжатой в своей плоскости равномерно распределенной по периметру нагрузкой. Дискретная расчетная схема сформирована по МКЭ разбиением исходной конструкции на 64 равных пластинчатых КЭ и содержит 183

степени свободы. За основные приняты степени свободы в отмеченных на схемах узлах. Результаты расчета представлены в таблице 2 в безразмерном виде при вынесенном множителе Э/Ь2 (О - цилиндрическая жесткость плиты, Ь - размер ее стороны). Данный пример наглядно иллюстрирует установленное на основании выполненных в диссертации расчетов общее правило, которого следует придерживаться при назначении мест расположения основных степеней свободы: располагать их следует так, чтобы было можно с помощью их одних достаточно полно задать несколько младших форм потери устойчивости, то есть - в местах возможных наибольших амплитуд форм, таких как середины пролетов, смещения групп элементов и т.п.

В четвертой главе излагаются разработанные автором методики решения задачи общей устойчивости сложных сооружений и конструкций, представленных дискретной расчетной схемой, при записи уравнения устойчивости в форме проблемы СЗ и СВ стандартного вида. Матричное уравнение устойчивости по МКЭ может быть представлено в такой форме в виде:

{А¥-ХЕ\г}= 0, (16)

где а — матрица податливости всей конструкции, е — единичная матрица, Я - величина, обратная критическому параметру нагрузки. Так как матрица податливости является обратной по отношению к матрице жесткости, то математически выражение (16) может быть получено из (1) путем умножения на К1, и деления на Р. Однако на практике обращение матрицы жесткости рассматриваемого высокого порядка является трудновыполнимой задачей из-за ее большой вычислительной емкости. Поэтому формирование матрицы податливости системы выполняется непосредственно, по специальному алгоритму. Данный алгоритм по сравнению с алгоритмом построения матрицы жесткости является более сложным из-за необходимости выбора статически определимой основной системы и построения матриц усилий от единичных нагружений. Однако, основной областью применения этих методик представляется случай решения уже сформированного уравнения ус-

тойчивости указанного вида, когда была предпринята неудачная попытка использования какой-либо стандартной итерационной процедуры нахождения собственных значений характеристической матрицы, большинство из которых требует приведения проблемы СЗ к стандартному виду. В этом случае вместо выполнения заново расчета по одной из приведенных в предыдущих главах методик, целесообразнее будет воспользоваться одним из предлагаемых алгоритмов. В пользу такого выбора говорит также тот факт, что процесс построения парциальных матриц податливости осуществляется простой выборкой соответствующих элементов из глобальной матрицы, что существенно упрощает алгоритм и повышает его эффективность.

Сущность методики, основанной на предложенном В.А. Игнатьевым методе последовательной ЧДК с использованием базовых значений парциальных систем, заключается в следующем. Разделим как в предыдущих главах степени свободы исходного уравнения на основные и второстепенные и обозначим их соответственно индексами "г" и V. Перепишем (16) в соответствующем этому разделению блочном виде:

~ \2Г

( А/ X п/ -А X ч

[Л, А,. У» /

= 0,

(17)

Из второй строки выразим второстепенные неизвестные через основные:

=-Й„Уя +аауи -Ае,уча„¥„ (18)

Подставляя это соотношение в первую строку, получаем:

Е,]г,=0, где (19)

/>„ (А)=ЛЛг - (АЛ+АЛ ХАЛ.+АЛ - м, Г (АЛ,+ал, ) (20)

- матрица конденсационных добавок второстепенных неизвестных к основным. Разделяя второстепенные неизвестные на I блоков, сформируем / парциальных систем, для каждой из которых на основании (20) находим матрицы парциальных конденсационных добавок Л^ (А,-):

Неизвестное базовое значение Я,- определяется из решения проблемы СЗ для произведения соответствующих парциальных матриц. Заменяя в уравнении (19) общую конденсационную добавку суммой парциальных, окончательно полугаем редуцированное уравнение устойчивости:

Решая данную проблему СЗ и СВ стандартного вида, находим значения критических нагрузок и соответствующие им формы потери устойчивости с компонентами, относящимися к основным неизвестным. Второстепенные компоненты форм могут быть получены из соотношения (18), последовательно примененного ко всем парциальным системам.

Использование в (21) базового парциального значения Я,- приводит к тому, что исходное уравнение аппроксимируется редуцированным только в области данного значения (а не во всем диапазоне редуцированного спектра критических нагрузок, как в методиках на основе других вариантов метода последовательной ЧДК). Этим объясняется отмеченное при выполнении практических расчетов определение с высокой точностью только одного параметра критической нагрузки, порядковый номер которого соответствует номеру использованных во всех парциальных системах базовых парциальных значений Я,- (считая от наибольшего значения, соответствующего наименьшему ркр). Выполненные тестовые расчеты подтверждают возможность определения по данной методике с высокой точностью нескольких младших значений критических параметров нагрузки (в количестве порядка 30-40% от принятого числа основных степеней свободы), путем выполнения серии расчетов с подстановкой в (21) на каждом этапе следующего по порядку Я,-.

Для решения задачи общей устойчивости, представленной в виде (16), разработана также методика на основе метода последовательной ЧДК с ис-

п

(22)

пользованием СЗ и СВ парциальных систем, уже использовавшегося за основу методики, описанной во второй главе. Обе данные методики имеют родственные алгоритмы, поэтому приведем только окончательное выражение для редуцированной аппроксимирующей матрицы всей системы:

я^Е^М'^кл,, (23)

ы

где О^ = ][А« - аппроксимирующая матрица коэффициентов

/-й парциальной системы, А„ и Уп - статически конденсированные к основным степеням свободы матрицы податливости и потенциала нагрузки. Значения критических нагрузок находим как величины, обратные СЗ матрицы . Также разработан алгоритм определения соответствующих полных форм потери устойчивости. Примечательно, что данная методика и представленная во второй главе методика на основе того же варианта ЧДК демонстрируют полную идентичность получаемых результатов, несмотря на различия в представлении исходного матричного уравнения.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Существующие на сегодняшний день методы решения задачи общей устойчивости сложных сооружений и конструкций оказываются недостаточно эффективными из-за большого объема сопутствующих вычислений либо невысокой точности получаемых результатов.

2. В диссертации на основе метода последовательной частотно-динамической конденсации В.А. Игнатьева разработаны методики и алгоритмы, позволяющие эффективно решать задачи общей устойчивости сложных систем путем представления их дискретной расчетной схемой и последующего понижения порядка матричного уравнения.

3. К основным достоинствам метода последовательной частотно-динамической конденсации В.А. Игнатьева, являющегося основой предлагаемых методик и алгоритмов, можно отнести следующие:

а) решение неполной проблемы СЗ и СВ для матриц высоких порядков заменяется решением проблемы СЗ и СВ для нескольких матриц меньшего порядка, что приводит к существенному снижению объема вычислений и требований к мощности используемой ЭВМ;

б) использование парциальных СЗ и СВ при конденсации каждого блока неизвестных позволяет точнее аппроксимировать энергетические свойства этих подсистем в конкретном диапазоне и в итоге получать более точные результаты для всей системы.

4. Выполненные с использованием разработанных в диссертации методик и алгоритмов расчеты тестовых задач продемонстрировали высокую точность определения низшей части спектра критических нагрузок и соответствующих ферм потери устойчивости, а также показали существенное снижение компьютерной ресурсоемкости, что позволяет сделать вывод об эффективности предлагаемых алгоритмов и целесообразности их использования при расчетах сложных систем на общую устойчивость.

5. Разработанные в диссертации методики и алгоритмы, а также реализующие их программы могут быть рекомендованы к применению в практике проектирования при выполнении расчетов сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях:

1. Катеришш К.В. Применение метода последовательной частотно-динамической конденсации по первому собственному значению к решению задач устойчивости // Юбилейная научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, посвященная 70-летию строительного образования в Волгоградской области: Тезисы докладов. -Волгоград: ВолгГЛСА, 2000. - с.36-37.

2. Катерипин К.В. Применение метода последовательной частотно-динамической конденсации с использованием собственных пар к реше-

нию задач устойчивости // Юбилейная научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, посвященная 70-летию строительного образования в Волгоградской области: Тезисы докладов — Волгоград: ВолгГАСА, 2000. - с.37-39.

3. Катершшн К.В. Расчет больших систем на устойчивость в форме МКЭ с помощью метода последовательной частотно-динамической конденсации с использованием собственных значений и собственных векторов парциальных систем // Перспективы развития Волжского региона: Материалы Всероссийской заочной конференции. - Вып.2. - Тверь: ТГТУ, 2000. -с.110-113.

4. Кагеринии К.В. Решение задач устойчивости сложных систем с помощью вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации - Инф. листок ЦНТИ № 51-215-00.-Волгоград, 2000.

5. Игнатьев В.А., Катершшн К.В. Применение различных вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации к решению задач устойчивости сложных систем // Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы II международной научно-технической конференции. - Волгоград: ВолгГАСА, 2000. - 4.1. - с. 157-159.

КАТЕРИНИН КОНСТАНТИН ВИКТОРОВИЧ

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 14.11.2000 Формат 60x84 1/16

Бумага офсетная. Усл.печл. 1,0. Уч.-изд.л. 1,0. Тираж 100. Заказ № 235 Бесплатно.

Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия. Информационно-издательский отдел. 400074, Волгоград, ул. Академическая, д.1