автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации для решения неполной проблемы собственных значений и собственных векторов в динамике сооружений

На правах рукописи

Сухин Кирилл Александрович

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ВАРИАНТА МЕТОДА ЧАСТОТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕПОЛНОЙ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ В ДИНАМИКЕ СООРУЖЕНИЙ

Специальность 05.23.17 - СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 2004

Работа выполнена в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель

кандидат технических наук, доцент Макаров Александр Владимирович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Пшеничкина Валерия Александровна кандидат технических наук, доцент Киселев Анатолий Петрович

Ведущая организация

Саратовский государственный технический университет г. Саратов

Защита состоится «24» июня 2004 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. 203 Б.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан «21» мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.т.н., профессор

Л.В. Кукса

Актуальность темы. В настоящее время большинство инженерных конструкций и сооружений имеет усложненную структуру, большие размеры, сложную геометрическую форму и работает в сложном напряженно деформированном состоянии. Расчет таких конструкций и сооружений стал возможным благодаря развитию новых численных методов строительной механики, основанных на использовании ЭВМ.

В основном все сложные инженерные конструкции и сооружения, такие как оболочки, большепролетные и высотные сооружения, конструкции морских судов и т.п. следует подвергать динамическому анализу, то есть исследованию свободных и вынужденных колебаний как отдельных элементов, так и конструкции в целом, а также расчету на общую устойчивость.

При решении задач динамики и устойчивости конструкций приходится сталкиваться с решением алгебраической проблемы собственных значений (СЗ) и собственных векторов (СВ) матриц коэффициентов разрешающих алгебраических уравнений, так как собственные значения соответствуют собственным частотам свободных колебаний, а собственные векторы характеризуют формы этих колебаний.

Наиболее универсальным численным методом строительной механики является метод конечных элементов (МКЭ), который используется при решении как статических, так и динамических задач. При применении этого метода требуемая точность расчета достигается путем представления конструкции как совокупности достаточно большого числа конечных элементов. Как правило, расчет сложных континуальных или дискретных систем сводится при этом к решению систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка Вследствие этого возникает

необходимость одновременной обработки большого объема информации, что оказывается весьма затруднительным даже при использовании современных ЭВМ.

Решение задач динамики и устойчивости сводится к полной

алгебраической проблеме СЗ и СВ, при все

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

собственные значения и соответствующие им собственные векторы, или к неполной (частичной) проблеме, при которой находится определенная и необходимая для практических целей часть собственных значений и соответствующие им собственные векторы.

Большинство существующих точных методов решения полной проблемы СЗ и СВ используются практически только для систем с относительно небольшим числом степеней свободы. Даже при наличии сегодня современных компьютерных достижений' и вычислительных технологий многие динамические задачи большого порядка остаются недосягаемыми для прямого решения.

Следует отметить при этом, что практическое значение во многих случаях имеет именно неполная алгебраическая проблема СЗ и СВ, так как даже в достаточно сложных и больших системах инженера интересует лишь несколько первых частот и форм собственных колебаний:

Поэтому разработка более эффективных по сравнению с имеющимися методов значительного понижения порядка системы разрешающих линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) при решении алгебраической проблемы СЗ и СВ является очень актуальной и перспективной задачей. Целью диссертационной работы является:

- развитие энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации (ЧДК), предложенного В.А. Игнатьевым;

- разработка методик и эффективных алгоритмов» решения неполной проблемы СЗ и СВ в форме метода сил и метода перемещений;

- реализация разработанных методик, алгоритмов и программ при решении задач динамики стержневых систем и пластинок, проведение численных исследований, анализ результатов.

Научная новизна диссертационной работы:

- получил дальнейшее развитие энергетический вариант метода частотно-динамической конденсации;

- разработаны методика расчета и алгоритмы на основе энергетического варианта метода ЧДК в форме метода перемещений с предварительной статической конденсацией;

- разработаны программы в математической среде Maple, реализующие вышеуказанные алгоритмы.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием известных общепринятых гипотез и допущений. При расчете тестовых задач был произведен анализ полученных результатов и сравнение их с известными точными аналитическими решениями.

Практическая ценность работы состоит в большей эффективности разработанных методик и алгоритмов расчета, реализующих их программ при расчетах сложных инженерных конструкций на динамические воздействия, по сравнению с имеющимися.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета в 2003-2004 г.г., на научных семинарах кафедры «Строительная механика и САПР» ВолгГАСУ (Волгоград, май 2003 г., январь 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в трех публикациях.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 134 страницах, состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы из 131 наименования и содержит 48 рисунков, 20 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе анализа ранее проведенных исследований по теме диссертации обосновывается актуальность темы, сформулированы - цель и задачи исследования, основные научные положения, выносимые на защиту, а также практическая ценность работы.

В первой главе отмечается, что в МКЭ уравнение движения системы без учета демпфирования описывается уравнением Лагранжа. Так как потенциальная и кинетическая энергии являются квадратичными формами от функций перемещений и ее производной, то уравнения движения можно рассматривать как уравнения динамического равновесия. После перехода от вектора перемещений к обобщенным перемещениям уравнения сводятся к системе однородных алгебраических уравнений. Решение этой системы называется в математике алгебраической проблемой собственных значений (СЗ) и соответствующих им собственных векторов (СВ), а в строительной механике задачей о свободных колебаниях системы. Поэтому были рассмотрены наиболее распространенные методы решения полной, а также неполной проблемы СЗ и СВ.

Произведен анализ существующих подходов и методов по решению полной алгебраической проблемы собственных значений и собственных векторов. Существует достаточно много точных методов решения полной алгебраической проблемы. Выбор наиболее эффективного метода определения СЗ и СВ зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Однако, данные методы, такие как метод обобщенных итераций Якоби, метод одновременных итераций в подпространстве, метод QR-Хаусхолдера и другие, разработаны и успешно действуют только лишь для случая матриц относительно невысокого порядка. Попытка использовать любой из этих методов для решения проблемы СЗ и СВ высокого порядка встречает серьезные затруднения. Это связано с тем, что необходимое согласно используемому алгоритму количество машинных операций и объем оперативной памяти начинают существенно превосходить вычислительные ресурсы даже самых современных персональных ЭВМ. Кроме того, в практике расчета инженерных конструкций важно знать лишь нижнюю либо верхнюю часть спектра частот собственных колебаний и соответствующих им форм колебаний. Именно совпадение частоты динамической нагрузки с

собственными частотами приводит к росту инерционных сил и явлению резонанса.

Сформулирован вывод о том, что проблема понижения порядка исходных матриц жесткости и масс является актуальной. Исходя» из этого, большое развитие получили методы, основанные на сведении систем со многими степенями свободы к системе с меньшим числом степей свободы (методы конденсации).

Отечественными и зарубежными учеными разработан ряд таких методов, называемых редукционными, основанных на понижении (редукции) порядка исходных матриц. При использовании этих методов понижение порядка достигается путем преобразования исходной системы в систему со значительно меньшим числом степеней свободы, но обладающую эквивалентными по отношению к исходной системе динамическими характеристиками. Тогда выполняется решение неполной проблемы СЗ и СВ для редуцированной системы с существенно уменьшенным порядком и использованием для этой цели стандартных алгоритмов и методов. Получаемый при этом результат приближенно рассматривается как результат расчета исходной (нередуцированной) системы с большим числом степеней свободы. Наибольшее распространение в последнее время получили методы статической и динамической конденсации.

Рассматриваются основные методы решения неполной проблемы СЗ и СВ. Сформулирован вывод о том, что для решения неполной проблемы СЗ и СВ наиболее эффективными являются предложенные В.А. Игнатьевым и его учениками методы частотно-динамической конденсации (редуцирования), основанные на поэтапном понижении порядка исходных матриц.

Наиболее универсальным из методов конденсации является энергетический вариант метода частотно-динамической конденсации, позволяющий существенно снизить трудоемкость нахождения СЗ и СВ.

Во второй главе рассмотрены методики решения задач динамики сложных систем представленных дискретной расчетной схемой на основе

энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации предложенного В.А. Игнатьевым.

Данный вариант метода ЧДК базируется на следующих допущениях: ■ Равенство собственных значений исходной и конденсированной систем; Равенство компонентов соответствующих собственных векторов характеристических матриц для редуцированной и исходной систем; Равенство кинетических энергий исходной и конденсированной систем. На основе энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации предложен ряд методик конденсации.

Методика конденсации с использованием минимальных собственных частот подсистем.

На основании изложенных допущений эквивалентность кинетических энергий исходной и конденсированной систем может быть записана следующим образом:

1.тг<о2у^ + 'Е.т^у* = !(/яг + . (1)

где - конденсационные добавки, являющиеся результатом

приведения всех точечных масс во второстепенных узлах (степенях свободы) к массам главных узлах (степенях свободы), принимаемых за узлы к которым производится конденсация.

Выражение (1) после преобразований принимает вид

Тт^^т^у}. (2)

в матричной форме Ь^КМ = (лГК^Н Л} > (3)

где - подвекторы полного собственного вектора, то есть

узловых перемещений точек, в которых расположены точечные массы. Система разрешающих уравнений, записанная в форме метода сил

[5М-Х£]{у} = 0, (4)

где М- диагональная (как правило) матрица масс системы; 6 - матрица податливости системы; Я.= 1/(02 - собственное значение; Е- единичная матрица

После разделения степеней свободы на основные (главные) и вспомогательные уравнение (4) может быть записано в блочном виде:

Связь между основными уг и второстепенными у узловыми перемещениями, получаемая из второго уравнения системы (5) имеет вид:

Уъ =-(5иЛ/5-ХЕ,)]5„МгУг . (6)

Рассмотрим форму колебаний соответствующую минимальной собственной частоте Представив выражение (6) в виде

{лМАг^ап.ахШ*}. (7)

и подставив выражение (7) в (6), получим зависимость

{Уг)Т [О^ЧК** )]Г Ы[Аг(5)атах )]{у,} = {уг ) • (8)

из которой находим конденсационные добавки

[т{5>]=[Огг(5'(Хгаах)]7'К][Огг(5>(^„,аЛ. (9)

Правая часть выражения (9) является квадратной матрицей порядка г % г. Для приведения ее к диагональному виду, соответствующему структуре матрицы все ее строки суммируются и результат записывается в виде

диагональной матрицы.

Находя подобным образом матрицы конденсированных масс для каждой из / групп масс, приложенных во вспомогательных узлах, получим окончательный вид для конденсированной системы разрешающих уравнений

[5гДЛ/г+Л/г(*)-,)-?1£г|=0. (10)

Суммирование производится по всем 1 группам, на которые разделены вспомогательные степени свободы.

Для оценки эффективности применения данной методики рассмотрен ряд тестовых задач. Для иллюстрации ниже показана шарнирно опертая по концам балка с двенадцатью равномерно расположенными по длине точечными массами. Выполнена конденсация к четырем основным массам с делением

конструкции на подсистемы (рис.1). К основным (главным) массам сведены конденсационные добавки, являющиеся результатами приведения масс, расположенных во вспомогательных узлах, к массам, расположенным в узлах конденсации.

I- ' • 1 ' 1 1 ' 1 ' '

Рис.1

После определения собственных значений для каждой из парциальных систем найдены коэффициенты приведения (конденсации) второстепенных

масс к основным массам. Результаты расчета приведены в таблице 1. __Таблица I

Количество узлов конденсации Номера частот Точные значения хк Значения Хк энергетический вариант Д,%

1 2 3 4 5

1 0,13346 0,13341 0,09

4 2 0,00833 0,00897 7Д

(рис.1) 3 0,00165 0,00206 20,1

4 0,00052 0,00092 13,8

Методика конденсации в форме метода сил с использованием собственных векторов подсистем.

Как и в предыдущем случае разделим степени свободы системы на основные и второстепенные и запишем выражение для кинетической энергии исходной системы:

(И)

После приведения масс тг второстепенных степеней свободы в узлы конденсации кинетическая энергия конденсированной системы может быть записана следующим образом:

(12)

где Кк - коэффициент конденсации всех масс к массам Щ-Приравняв выражения (11) и (12), получим:

ки = +*5>,®2л2

К" =41шгсо2 у} +&:т,Кпп2у}

В матричной форме

Ы^НлМ*}1^'",]^}. (14)

При этом после, разделения степеней свободы - на основные и второстепенные, исходное уравнение (4) будет записано в блочном виде (5).'

Зависимость между основными у, и- второстепенными у5 узловыми перемещениями определяемую выражением (6), представим в виде

(15)

где [Л5Г] - матрица, преобразующая второстепенные неизвестные в основные.

Подставив выражение (16) в выражение (14), получим матрицу коэффициентов конденсации:

Л,п = [Л]ТК]К][1/тг], (16)

где [Ля] = ЫЫХ ■ (17)

Находя подобным образом матрицы конденсированных масс для каждой из t групп масс, приложенных во вспомогательных узлах, получим окончательное уравнение для конденсированной системы в виде

1бггЛ/г-^,]=0, (18)

где + (19)

Решив проблему СЗ и СВ, записанную в виде

[8„Мг-ХЕг1гг}=0. (20)

получим искомые собственные значения редуцированной системы, близких к старшим СЗ исходной системы, и собственных векторов, компоненты которых будут близки к основным компонентам СВ исходной системы

Решая проблему СЗ и СВ для уравнения (20), соответствующего конденсированной системе, получим редуцированный спектр СЗ и соответствующие им СВ исходной системы.

В качестве примера расчета по предложенной методике рассмотрим < балку, приведенную на рисунке 1. Результаты расчета приведены в таблице 2.

При сведении к четырем основным степеням свободы количество второстепенных степеней свободы в блоке равнялось единице, двум и четырем.

Таблица 2.

СХЕМА п/1Ч Номер К Собственные значения полученные по

п % я МКЭ Энергетический вариант с использованием СВ Д,%

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,13356 0,07

2 I 0,13346 0,13342 -0,03

4 0,13343 -0,02

1 0,00849 1,88

2 И 0,00833 0,00862 336

Рис. 1 4 33 4 0,0085 2,00

1 0,00169 2,37

2 III 0,00165 0,00179 7,82

4 0,00173 4,62

1 0,00062 16,13

2 IV 0,00052 0,00059 11,86

4 0,00058 10,34

Методика конденсации с предварительной статической конденсацией в форме метода перемещений.

Проблема СЗ и СВ в форме метода перемещений записывается в виде:

[*--Ш][у} = О,

(21)

где К, М - матрицы жесткости и эквивалентных масс системы соответственно; - собственное значение.

После разделения степеней свободы на основные-(г) и второстепенные-уравнение (21) примет вид:

1г 1 Гм м ~ПГл) 1

(22)

Реальные инженерные конструкции при расчете их по МКЭ приводится к дискретным системам с большим числом степеней свободы Решение проблемы СЗ и СВ для таких систем за один этап конденсации не эффективно, да и не возможно. Поэтому конструкция и соответствующая ей система алгебраических уравнений разбивается на ряд блоков и конденсация проводится по блочно для каждой парциальной системы (блок узлов

конденсации уг плюс второстепенный блок у5<')). Выбор узлов конденсации при

решении задачи о свободных колебаниях системы с большим числом степеней свободы в методе перемещений существенно отличается от выбора узлов конденсации при решении задачи в форме метода сил.

Следует отметить, что элемент матрицы жесткости к - это реакция во введенной упругой связи, закрепляющей сосредоточенную массу. Основные степени свободы (узлы конденсации) следует выбирать так, чтобы блок второстепенных степеней свободы распался на ряд независимых друг от друга блоков. Тогда матрица второстепенных степеней свободы будет представлена в квазидиагональной форме. Удаление масс и упругой связи в процедуре конденсации изменяет смежные элементы, матрицы жесткости, так как изменяются размеры конечных элементов. Поэтому для каждой парциальной системы необходимо корректировать матрицу жесткости и матрицу масс (в случае распределенной массы), что не дает возможности произвести конденсацию по алгоритмам, приведенным выше.

Для корректировки исходных матриц предлагается использовать известное статическое преобразование Гайана. Полный вектор перемещений представляется в виде:

(23)

где

- матрица-преобразователь Гайана (24)

Матрицы жесткости и масс для каждой парциальной системы примут вид:

М-№14

И=мт[лФ]

(26)

(25)

Порядок матриц

Таким образом, проблема СЗ и СВ для парциальной системы имеет вид:

Далее выполнялась частотно-динамическая конденсация.

Разделяя степени свободы на основные и вспомогательные, запишем взаимосвязь основных и вспомогательных узловых перемещений, полученных из второго уравнения системы (22):

Ы=К1Ы. (28)

где матрица, позволяющая преобразовать

второстепенные неизвестные в основные.

Выражение (27) справедливо для всех собственных векторов системы. Тогда для первых г собственных векторов можно записать:

Ы=КЫ . (29)

где — матрица второстепенных компонентов первых г собственных векторов порядка - квадратная матрица основных компонентов СВ.

И^МЬ.]"'. (30)

Используя выражение (29), запишем выражение для полного вектора перемещений через новые координаты:

где

М-

Е

А*.

(31)

(32)

ку=втк'в. мУ=вгм'в.

Конденсированные матрицы жесткости и масс парциальной системы могут быть получены с помощью конгруэнтного преобразования:

(33)

(34)

Выполнив конденсацию всех t блоков второстепенных степеней свободы и просуммировав результат, получим матрицы масс и жесткости в окончательном варианте:

(35)

(36)

где ¿-количество второстепенных блоков.

По предложенной методике в третьей и четвертых главах произведены тестовые расчеты стержневых и пластинчатых систем.

В третьей главе на основе предложенного энергетического варианта ЧДК с предварительной статической конденсацией рассмотрены примеры расчета различных вариантов стержневых систем в форме метода перемещений. По разработанному алгоритму выполнено решение ряда тестовых задач по нахождению собственных частот и соответствующих форм колебаний балок и рам.

Для иллюстрации точности предлагаемой методики ниже рассмотрена однопролетная, жестко защемленная по концам балка. По длине балка разбита на семьдесят два стержневых конечных элемента. Общее количество степеней свободы равно ста сорока двум. Результаты расчета приведены в таблице 3.

Таблица 3.

Номер к Собственные значения полученные при

решении полной проблемы системы N = 142 статической -конденсации системы к 10 ' основным с.с. частотно-динамической конденсации системы к 10 основным степеням свободы

6 блоков сведения по 22 втор. с.с. 3 блока сведения по 44 втор. с.с. 2 блока сведения по 66 втор. с.с.

Хк Д,% А* Д,% А* Д,% Як А, %

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1,862Е-05 1.8636Е-05 0,05 1.8626Е-05 0,00 1.8626Е-05 0,00 1.8626Е-05 0,00

2 0,000141 0,000142 0,39 0,000141 0,00 0,000141 0,00 0,000141 0,00

3 0,000543 0,000551 1,42 0,000543 0,00 0,000543 0,00 0,000543 0,00

4 0,001486 0,001538 3,41 0,001486 0,00 0,001486 0,00 0,001486 0,00

5 0,003316 0,003463 4,25 0,003316 0,00 0,003316 0,00 0,003316 0,00

6 0,006470 0,008355 22,56 0,006471 0,01 0,006470 0,00 0,006470 0,00

7 0,011468 0,016139 28,94 0,011478 0,08 0,011472 0,03 0,011469 0,01

8 0,018921 0,030908 38,78 0,018972 0,27 0,018924 0,02 0,018931 0,05

9 0,029524 0,057503 48,66 0,029750 0,76 0,030054 1,77 0,030234 235

10 0,044061 0,096938 54,55 0,045666 3,52 0,046140 4,51 0,045838 3,88

По данной методике выполнен расчет однопролетной балки с 142-я степенями свободы при различных вариациях количества степеней свободы основного и второстепенных блоков. Также произведен конденсационный расчет четырехпролетной неразрезной балки, однопролетной двухэтажной рамы.

Однопролетная двухэтажная рама разбита на восемнадцать стержневых конечных элементов. Общее количество степеней свободы равно шестидесяти шести. Конденсация выполнялась к десяти основным степеням свободы в шесть этапов. Результаты расчета приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Собственные значения полученные при

Номер !< . решении полной статической конденсации к ЧДК системы к 10 <

проблемы системы 10 основным с.с. ОСНОВНЫМ С.С.

N = 66 хк Д,% А, %

1 2 3 4 3 4

1 0,94334 0,95083 0,79 0,94334 0,00

2 4,15938 5,32689 21,92 4,15985 0,01

3 5,39297 7,71121 30,06 5,39397 0,02

4 8,19999 8,40841 2,48 8,20214 0,03

5 37,9270 54,7123 30,68 38,3215 1,03

6 39,5599 66,5320 40,54 40,3215 1,89

7 46,4969 80,9650 42,57 56,0487 17,04

8 51,9747 128,802 59,65 96,7262 46,27

9 69,0507 219,735 68,58 135,651 49,10

10 98,5372 356,826 72,39 161,633 39,04

Анализ полученных результатов расчета показывает что, по сравнению с известными методами и основанными на них алгоритмами разработанный алгоритм ЧДК позволяет существенно повысить точность вычисления СВ до 70 % части от редуцированного спектра.

В качестве примера расчета реальной конструкции выполнен расчет двухпролетной шестиэтажной рамы промышленного здания.

В четвертой главе приведены примеры расчетов пластинок различного очертания и закрепления, выполненных по предложенной методике энергетического варианта ЧДК с предварительной статической конденсацией.

В качестве примера приведен расчет прямоугольной жестко защемленной по четырем сторонам пластинки изображенной на рисунке 2. Пластинка покрыта сеткой прямоугольных конечных элементов 10 х 14. Общее количество динамических степеней свободы п=351. При расчетах конструкция пластинки разбивалась на четыре подструктуры. Блоки второстепенных степеней свободы изолированы друг от друга узлами конденсации.

/

✓ ✓ / /

у / /

/ /

У /

✓ /

✓ /

/

/ / г

/

/ /

А ?

/ У

51

/ / /

Рис. 2.

Частотно-динамическая конденсация тс шестидесяти трем основным степеням свободы выполнялась в четыре этапа (число степеней свободы парциальной системы 135). Результаты расчета и сравнения с методом статической конденсации и полной проблемой СЗ и СВ системы приведены в таблице 5.

Таблица^.

Номер к Собственные значения полученные при

решении полной проблемы гогтсми конденсации системы к 63 основным с.с.

статическая коидевсапия ЧДК

Хк Д.%

1 2 3 4 5 6

1 0,000167 0,000170 1,99 0,000167 0,18

2 0,000633 0,000721 12,22 0,000633 0,03

3 0,000748 0,000873 1430 0,000745 -0,42

4 0,001460 0,002311 36,79 0,001465 0,32

5 0,001990 0,002906 31,53 0,001994 0,20

6 0,002480 0,003487 28,89 0,002435 -1,85

7 0,003185 0,006485 50,89 0,003208 0,73

8 0,003535 0,007427 52,40 0,003691 4ДЗ

9 0,005036 0,010562 52,32 0,005303 5,04

10 0,005796 0,011562 49,87 0,005953 2,63

В данной главе выполнены также расчеты прямоугольной пластинки с шарнирным опиранием по контуру и Г-образной пластинки, жестко защемленной по контуру. Анализ полученных результатов показывает что, разработанный алгоритм. ЧДК позволяет существенно повысить точность вычисления СВ для 30 % редуцированной части спектра собственных частот.

В заключении сформулированы основные выводы о достоинствах разработанных методик и алгоритмов на основе энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации и области их применения.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Классические методы решения неполной проблемы собственных значений и собственных векторов для матриц высокого порядка, связанные с динамическим расчетом сложных строительных конструкций и сооружений недостаточно эффективны по степени точности получаемых результатов и из-за большого объема вычислительных операций.

2. В диссертации получил дальнейшее развитие энергетический вариант метода частотно-динамической конденсации, предложенный В.А. Игнатьевым и его учениками, основанный на равенстве энергетических характеристик исходной и конденсированной систем. Разработаны методики и алгоритмы, ориентированные на расчет сложных систем, как в форме метода сил, так и в форме метода перемещений.

3. Предложен новый вариант метода частотно-динамической конденсации с предварительной статической конденсацией в форме метода перемещений.

4. На основе предложенных методик решение проблемы СЗ и СВ для матриц высоких порядков заменяется решением проблемы СЗ и СВ для нескольких матриц меньшего порядка.

5. Анализ численных результатов полученных при решении тестовых примеров на основе предлагаемой методики энергетического варианта ЧДК с предварительной статической конденсацией позволил сделать вывод о том, что с достаточной точностью можно определить до 30% СЗ редуцированного спектра для пластин и до 70% для одномерных балочных конструкций.

6. Предложенные методики и алгоритмы расчета имеют относительно простую цифровую матричную формулировку, и решаются достаточно просто на ПЭВМ. Результаты расчета тестовых примеров подтвердили возможность

достижения требуемой точности при значительном снижении затрат машинного времени и трудоемкости по сравнению с другими методами.

7. Разработаны программы в системе аналитических вычислений Maple, реализующие предложенные алгоритмы. Данные программы могут быть использованы для практического использования в расчетах широкого класса конструкций, испытывающих динамические нагрузки.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Игнатьев В.А., Сухин К.А. Расчет стержневых и пластинчатых систем с помощью энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации // Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы III Международной научно-технической конференции, 27-29 марта 2003 г., Волгоград. В 4-х ч./ ВолгГАСА. Волгоград, 2003 г. 4.1. - С. 10-18.

2. Игнатьев В.А., Макаров А.В., Сухин К.А. Расчет стержневых систем на основе энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации с использованием собственных векторов подсистем // Городские агломерации на оползневых территориях: Материалы Международной научной конференции, 15-17 октября 2003 г., Волгоград / ВолгГАСА. - 2003. 4.1. С.113-120.

3. Игнатьев В.А., Макаров А.В., Сухин К.А. Новый вариант метода частотно-динамической конденсации со статической подготовкой в форме метода перемещений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.-2004.-Приложение №2. - С. 42-45.

110 29 8

Сухин Кирилл Александрович

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ВАРИАНТА МЕТОДА ЧАСТОТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕПОЛНОЙ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ В ДИНАМИКЕ СООРУЖЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 20.05.04. Формат 64*84/16

Бумага офсетная. Печать трафаретная. Гарнитура Тайме. Уч.-издл. 1,3- Усл. печл. 1,2. Тираж 100. Заказ № 65.

Отпечатано НП ИПД «Авторское перо»

Введение

1. Современное состояние задачи исследования и методы решения 10 неполной . алгебраической проблемы собственных значений и собственных векторов

1.1. Введение

1.2. Постановка исходной задачи

1.3. Основные методы решения алгебраической проблемы 12 собственных значений и собственных векторов

1.4. Обзор методов решения частичной алгебраической проблемы 16 СЗ и СВ (методов конденсации) при решении задач динамики сооружений

1.5. Выводы по главе

2. Решение задач динамики с помощью энергетического варианта 26 метода частотно-динамической конденсации

2.1. Введение

2.2. Методика решения задач динамики при помощи 27 энергетического варианта метода частотно - динамической конденсации с использованием минимальной собственной частоты подсистем.

2.3. Методика расчета стержневых систем в форме метода сил 36 при помощи энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации с использованием собственных векторов подсистем.

2.4. Методика решения задач динамики при помощи энергетического 45 варианта метода частотно-динамической конденсации с предварительной статической конденсацией в форме метода перемещений.

2.5. Выводы по главе.

3. Примеры расчета стержневых систем на основе энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации с предварительной статической конденсацией

3.1. Введение

3.2. Примеры расчета балок

3.2.1. Однопролетные балки

3.2.2. Неразрезные балки

3.3. Примеры расчета рам

3.4. Выводы по главе. 82 4. Примеры расчета пластин на основе энергетического варианта 84 метода частотно-динамической конденсации с предварительной статической конденсацией

4.1. Введение

4.2. Пластины простого очертания

4.3. Пластины сложного очертания

4.4. Выводы по главе. 105 Основные выводы 106 Список литературы 108 Приложения

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время большинство инженерных конструкций и сооружений имеет усложненную! структуру, большие размеры, сложную геометрическую форму и работает в сложном напряженно деформированном состоянии. Расчет таких конструкций и сооружений стал возможным; благодаря «развитию новых численных методов; решения строительной механики, основанных на использовании ЭВМ.

В основном все сложные инженерные конструкции и сооружения; такие как оболочки, большепролетные и высотные сооружения, конструкции морских судов и т.п. следует подвергать динамическому анализу, то есть исследованию свободных и вынужденных колебаний, как отдельных элементов, так и конструкции в целом, а также расчету на общую устойчивость.

При решении задач динамики и устойчивости» конструкций приходится сталкиваться с решением алгебраической проблемы собственных значений (СЗ) и собственных векторов (СВ) матриц коэффициентов разрешающих алгебраических уравнений, так как собственные значения соответствуют собственным частотам свободных колебаний,, а собственные векторы характеризуют формы этих колебаний.

Наиболее универсальным численным методом строительной механики является метод конечных элементов (МКЭ), который: используется, при решении как статических,. так ш динамических задач. При применении этого метода требуемая точность расчета достигается, путем представления конструкции? как совокупности достаточно большого числа конечных элементов; Как правило, расчет сложных континуальных или дискретных систем, сводится при этом, к решению систем линейных алгебраических уравнений' высокого порядка iV-lO^lO5. Вследствие этого возникает необходимость одновременной обработки большого объема информации, что оказывается весьма затруднительным, даже при использовании современных ЭВМ;

Решение задач динамики и устойчивости сводится к полной алгебраической проблеме СЗ и СВ, при которой необходимо определить все собственные значения и соответствующие им собственные векторы, или к неполной (частичной) проблеме, при которой находится; определенная и необходимая для; практических целей часть собственных значений и соответствующие им собственные векторы.

Большинство существующих точных методов решения полной проблемы СЗ и СВ используются практически только для систем с относительно небольшим числом степеней свободы. Даже при наличии сегодня современных компьютерных достижений и вычислительных технологий многие динамические задачи большого порядка остаются; недосягаемыми для прямого решения.

Следует отметить при этом, что практическое значение во многих случаях имеет именно неполная; алгебраическая; проблема СЗ и СВ, так как даже в достаточно сложных и больших системах инженера интересуют лишь несколько первых частот и форм собственных колебаний. Это позволяет осуществить достаточно большое количество существующих на сегодняшний день приближенных методов. Это метод приведенных масс, методы, основанные на качественной теории равновесия, методы конденсации (редукции).

Методы конденсации (редукции) основаны на понижении порядка матриц жесткости и масс или матрицы податливости. Среди методов конденсации; следует выделить статическую конденсацию, динамическую конденсацию и частотно-динамическую конденсацию.

Однако данные методы позволяют определить с достаточной точностью первое СЗ или небольшое количество старших СЗ редуцированного спектра.

Поэтому разработка более эффективных по сравнению с имеющимися методов значительного понижения порядка системы разрешающих линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) при решении алгебраической проблемы СЗ ь и СВ является очень актуальной и перспективной задачей.

Наиболее эффективным из методов понижения порядка (СЛАУ) является предложенный В.А. Игнатьевым и его учениками (И.В. Блохиной, А.В. Макаровым и др.) энергетический вариант метода частотно-динамической конденсации (ЧДК). Данный вариант этого метода основывается на равенстве энергетических характеристик конденсированной и исходной систем. Ими были разработаны и применены к расчету стержневых и - пластинчатых систем различные методы и алгоритмы, основанные на последовательной ЧДК и на энергетическом варианте метода: ЧДК как: наиболее универсальных и эффективных методов конденсации.

Целью данной диссертационной работы является: развитие энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации (ЧДК), предложенного В.А. Игнатьевым; разработка методик и эффективных алгоритмов решения неполной проблемы СЗ и СВ в форме метода сил и метода перемещений; реализация разработанных методик, алгоритмов и программ при решении задач динамики стержневых систем и пластинок, проведение численных исследований, анализ результатов.

Научная: новизна диссертационной: работы заключается в следующем: получил дальнейшее развитие энергетический вариант метода частотно-динамической конденсации; разработаны методика расчета и алгоритмы на основе энергетического варианта метода ЧДК в форме метода перемещений предварительнойатической конденсацией; разработаны программы в математической среде Maple; реализующие вышеуказанные алгоритмы.

Достоверность результатов обеспечивается использованием известных общепринятых гипотез и допущений. При расчете тестовых задач был произведен анализ полученных результатов и сравнение их с известными точными аналитическими решениями.

Практическая ценность состоит в большей эффективности разработанных методик и алгоритмов расчета, реализующих их программ при расчетах сложных инженерных конструкций на динамические воздействия, по сравнению с имеющимися.

Апробация: работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета в 2003-2004 г.г., на научных семинарах кафедры «Строительная механика и САПР» ВолгГАСУ (Волгоград, май 2003 г., январь 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в трех публикациях.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 134 страницах, состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы из 131 наименования и содержит 48 рисунков, 20 таблиц.

Содержание работы:

В первой главе произведена постановка исходной задачи нахождения СЗ и СВ при решении задач исследования собственных колебаний. А также дан анализ существующих подходов и методов по решению полной алгебраической проблемы собственных значений и собственных векторов. При этом рассматриваются основные наиболее универсальные и известные методы решения неполной проблемы СЗ и СВ. С формулирован вывод о том, что для решения неполной проблемы СЗ и СВ эффективными являются, предложенные В;А. Игнатьевым и его учениками, методы конденсации (редукции) основанные на поэтапном понижении порядка матриц жесткости и масс или матрицы податливости.

Наиболее универсальным из методов конденсации является энергетический вариант метода частотно-динамической конденсации, позволяющий существенно снизить трудоемкость нахождения СЗ и СВ.

Во второй главе рассматриваются методики решения задач динамики систем представленных дискретной расчетной схемой на основе энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации, предложенного В.А. Игнатьевым и его учениками. Данный вариант метода ЧДК основывается на. равенстве кинетических энергий исходной и конденсированной систем.

Ставится задача всестороннего исследования и развития энергетического варианта ЧДК и создание на его основе следующих методик: методика использования минимальной собственной частоты подсистем; методика расчета стержневых систем в форме метода сил с использованием собственных векторов подсистем; методика расчета стержневых и пластинчатых систем на основе энергетического варианта ЧДК с предварительной статической конденсацией при решении задач в форме метода перемещений;

На основе методик просчитан ряд тестовых задач на примере балок и пластин. Сравнение с результатами расчета по методу конечного элемента и полной проблемы, СЗ и СВ показывает высокую точность результатов по предлагаемым методикам:

В третьей главе на основе предложенного энергетического варианта ЧДК с предварительной статической конденсацией' рассмотрены примеры расчета различных вариантов стержневых систем в форме метода перемещений;

По разработанному алгоритму просчитан ряд тестовых задач на примере балок и рам. Произведены сравнения с результатами расчета по методу статической конденсации и при решении полной проблемы СЗ и СВ системы. Анализ полученных результатов показывает, что разработанный алгоритм ЧДК позволяет существенно повысить точность вычисления СВ до 70 % части редуцированного спектра.

В четвертой главе на основе предложенного энергетического варианта ЧДК с предварительной статической конденсацией рассмотрены примеры расчета различных вариантов пластинок.

В соответствии с разработанным алгоритмом решен ряд тестовых задач на примере прямоугольных пластин простого очертания и пластин сложного очертания. Произведены сравнения с результатами расчета по методу статической конденсации и при решении полной проблемы СЗ и СВ системы, выполнен анализ полученных результатов.

В заключении сформулированы основные выводы о достоинствах разработанных методик и алгоритмов на основе энергетического варианта метода частотно-динамической конденсации, и области их применения.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Классические методы решения неполной проблемы собственных значений и собственных векторов для матриц высокого порядка, связанные с динамическим расчетом сложных строительных конструкций И: сооружений недостаточно- эффективны по степени точности получаемых результатов; и из-за большого объема вычислительных операций;

2. В диссертации получил, дальнейшее развитие энергетический вариант метода частотно-динамической конденсации, предложенный В:А. Игнатьевым и его учениками^ основанный на равенстве энергетических характеристик исходной и конденсированной систем. Разработаны методики и алгоритмы, ориентированные на расчет сложных систем, как в форме метода сил, так и в форме метода перемещений.

3. Предложен новый вариант метода частотно-динамической конденсации с предварительной статической- конденсацией в форме метода перемещений.

4. На основе предложенных методик решение проблемы СЗ и СВ для; матриц высоких порядков заменяется решением проблемы СЗ и СВ< для нескольких матриц меньшего порядка.

5: Анализ численных результатов полученных при решении тестовых примеров на основе предлагаемой методики энергетического варианта ЧДК. с предварительной статической конденсацией позволил сделать вывод о том, что с достаточной точностью можно определить до 30% СЗ редуцированного спектра для пластин и до 70% для одномерных балочных конструкций.

6. Предложенные методики и алгоритмы расчета имеют относительно простую цифровую матричную формулировку, и решаются достаточно просто на ПЭВМ. Результаты расчета тестовых примеров подтвердили возможность достижения требуемой точности при значительном снижении затрат машинного времени и трудоемкости по сравнению с другими методами.

7. Разработаны программы в системе аналитических вычислений Maple, реализующие предложенные алгоритмы. Данные программы могут быть использованы для практического использования в расчетах широкого класса конструкций, испытывающих динамические нагрузки.

1. Айронс Б.М. Задачи о собственных значениях матриц конструкций: исключение лишних переменных // Ракетная техника и космонавтика. — 1965.- Т.З, №3- С. 207.

2. Блохина И.В; Сравнение эффективности различных вариантов метода динамической конденсации при определении частот собственных колебаний сложных стержневых систем / Волгогр. инж.-строит. инт.- Волгоград, 1987. 25 с. - Деп. В ВИНИТИ 3.02.87, №1134.

3. Блохина И.В. Развитие суперэлементной методики статистического и динамического расчета тонкостенных коробчатых систем: Дис:. канд. техн. наук: Волгоград, 1989i 227 с.

4. Волынский» М.И. Алгоритм; итерационного поиска собственных значений в задачах устойчивости упругих систем // Строит, механика и: расчет сооружений.-1988 • №3:.— С.44-48.

5. Вороненок Е.А., Сочинский С.В. Интерполяционное редуцирование матриц жесткости при решении задач строительной механики • методом ^ суперэлементов/ Е.А. Вороненок, C.Bi, Сочинский // Прикладная механика. 1981. - Т. 17, №6.- С. 114-118.

6. Гайан Р.Дж. Приведение матриц жесткости и масс // Ракетная техника и космонавтика. 1965.-Т.З; №2. - С. 287.

7. Карпов В.В! Геометрически нелинейные задачи, для;пластин и оболочек и методы их решения: Учеб. пособие / СПбГАСУ. — Mi; СПб.: Изд-во АСВ, 1999.-154 с.

8. Головин О.А. Конденсация в задачах на собственные: колебания с использованием изопараметрических элементов/ О.А. Головин, О.А. Троицкая / Ленингр. политех, ин-т JI., 1986. -12 с. Деп. в ВИНИТИ №6509-В86.

9. Гриненко Н.И: О задачах: исследования! колебаний конструкций: методом конечных элементов/ Н.И: Гриненко, В.В. Мокеев // Прикладная механика. -1985. Т.21, №31 - С. 12-15.

10. Гриненко Н.И. О повышении эффективности метода конечных элементов в задачах проектирования динамических систем/ Н.И.

11. Гриненко, В.В. Мокеев // Расчет и управление надежностью больших механических систем. Свердловск; Ташкент,- 1988. -С. 20-25.

12. Демидов Т.В. Расчет частот и форм свободных колебаний стержневых конструкций методом суперэлементов/ Г.В. Демидов, Ю.В. Кривцов / МКЭ в некоторых задача численного анализа. -1984. С. 31-35.

13. Зайцев В.Н. Получение матриц масс для динамических задач с использованием конечного элемента // Тр. МАИ.—1976. Вып. 362.- С. 44-48.

14. Зубко A.M. Использование синтеза форм колебаний в методе суперэлементов для решения задач о колебаниях конструкций- М.: МФТИ., 1986. 12 с. Деп. в ВИНИТИ № 6358 - В86.

15. Ивантеев В.И. Расчет форм и частот свободных колебаний конструкций методом многоуровневой динамической конденсации/ В.И. Ивантеев^ В.Д. Чубань// Ученые записки ЦАГИ.- 1984. Т.15, №4. - С. 81-92.

16. Игнатьев В.А. Методы супердискретизации в расчетах сложных стержневых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 108 с.

17. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988. -160 с.

18. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. - 144 с.

19. Игнатьев- В.А. Новый: вариант метода частотно-динамической; конденсации со статической подготовкой; в форме метода перемещений/ В.А. Игнатьев, А.В. Макаров, К.А. Сухин // Изв. вузов: Сев.-Кавк. регион. Сер. техн. науки.-2004:-Приложение №21 — С. 42-45.

20. Игнатьев В.А. Расчет тонкостенных пространственных конструкций: пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры/ В.А. Игнатьев, О.Л. Соколов, И; Альтенбах, В: Киссинг —Mi: Стройиздат, 1996. 560 с.

21. Катеринин К.В. Развитие и применение метода последовательной частотно-динамической конденсации к решению задач устойчивости сложных систем: Дис. . канд. техн. наук Волгоград, 2000. - 108 с.

22. Катеринин К.В1 Решение задач; устойчивости сложных систем с помощью вариантов метода последовательной частотно-динамической; конденсации: Инф. листок Нижневолжск. ЦНТИ № 51-215-00-Волгоград, 2000.

23. Киселев? В.А. Строительная? механика. Специальный курс. — М.: Стройиздат, 1980:-616 с.44'. Клюева Ю.И. Определение собственных; частот т форм; колебаний составных конструкций/ Ю.И; Клюев, В.Ф. Соколов // Изв. вузов. Сер. Машиностроение, 1973: С.28-33.

24. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. — 504 с.

25. Кухар Е. Метод динамического преобразования в синтезе форм колебаний/ Е. Кухар, С. Сталь // Ракетная техника и космонавтика. -1974.-Т. 12, №5.- С. 120-129;

26. Ляхович Л.С. Метод определения критических сил; и собственных частот упругих систем; Томск: Изд-во Томского ун-та: 1970; — 108 с.

27. Макаров А.В. Применение метода частотно-динамической конденсации г для решения, задач динамики в форме метода перемещений? // Акт. проблемы прикладной математики. Саратов.: Изд-во Саратовского унта, 1991.- С.208-213.

28. Макаров; А.В. Решение неполной алгебраической проблемы собственных значений, записанной в форме метода перемещений/ А.В

29. Мануйлов 1F.А. О вычислении частот и форм собственных колебаний строительных, конструкций/ Г.А. Мануйлов, Л.П. Маслов, М.Н. Смирнов, В.М. Осокин // Тр. Моск. ин-т ж.-д. тр-та. -1979 №625-С. 13 6-1441,

30. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций5 численными; методами. -Л: Изд-во ЛБУ, 1987. 224 с.

31. Масленников A.M. Расчет статически неопределимых систем: в? матричной форме. Л.: Изд-во ЛГУ, 1970.- 128 с.

32. Масленников; A.M. Основы динамики, и; устойчивости! стержневых систем. СПб: СПб гос. архит.-строит. ун-т, 2000. - 204 с.

33. Матевосян P.P. Устойчивость сложных, стержневых систем (качественная теория). М!: Госстройиздат, 1961.-252 с.

34. Матевосян P.P. Некоторые приложения качественной теории колебаний упругих стержневых систем; с бесконечно} большим числом^ степеней свободы-Исследования по теории сооружений.- Mr, 1962. Вып. XL С. 25-29.

35. Математические, модели задач строительного профиля и численные методы; их исследования: Учеб. пособие / В.В.' Карпов, А.В. Коробейников; Под общ. ред. В.В. Карпова. М.; СПб.: Изд-во АСВ. СПбГАСУ.-1999.-188с.

36. Матросов А;В: Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.- СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.

37. Метод конечных элементов: Учеб. пособие для вузов > / Под ред. П.М. Варвака: Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1981.- 176 с.

38. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общ. ред. А .С. Сахарова и И. Альтенбаха. — Киев: Вшца школа, 1982. 480 с.

39. Мирович JI. G методе синтеза конструкций и подсистем/ JI. Мирович, А. Хейл // Ракетная техника и космонавтика. -1981. -Т. 19, №7. С.128-139.

40. Немчинов Ю.И. Использование конденсации динамических переменных в методе пространственных конечных элементов/ Ю.И. Немчинов, А.А. Козырь // Строит, механика и расчет сооружений 1985 - №1. С.10-13.

41. Нудельман Я.Л;, Методы; определения собственных: частот и критических сил для стержневых систем: Л.; М.: Гос. изд-во тех. теорет. лит.— 1949.

42. Нудельман ЯШ. Уточнение критерия, определяющего место заданного числа в спектре собственных частот и критических сил упругих систем/ Я.Л. Нудельман, Л.С. Ляхович. // Исслед. по строит, конструкциям: Сб; тр./ Томский индустр. ин-т 1968,- Т. XIV .

43. Основы; строительной механики; стержневых систем: Учебник / Н.Н. Леонтьев и др. М.: Изд-во АСВ- 1996. - 541 с.

44. Основы теории сейсмостойкости сооружений: Учебное пособие / А.А. Амосов, С.Б. Синицын. М.: Изд-во АСВ - 2001. - 96 с.

45. Палагушкин В.И. Итерационный5 алгоритм решения проблемы^ собственных значений для систем с большим числом степеней свободы // Пространств, конструкции в Красноярском крае. Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та - 1985. - С.64-68.

46. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Том 2. М.: Изд-во Наука. -1966. - 312 с.

47. Попов Ю.Г. Определение частот и форм собственных изгибных колебаний балок с дискретно расположенными массами/ Ю.Г. Попов, А.Ф. Кучинский // Тр. КАИ.-1974. вып. 166. С.32-37.

48. Постнов В;А. О применении метода подструктур в задачах колебаний и устойчивости/ В.А. Постнов, А.И. Москалев // Прочность судовых конструкций: Тр. Ленингр. кораблестроит. ин-та 1979. - С.69-72.

49. Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций/ В.А. Постнов, И.Я. Хархурим- Л.: Судостроение, 1974. -344 с.

50. Постнов В.А., Численные методы расчета судовых конструкций. — Л.: Судостроение 1977. -280 с.

51. Постнов В.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений/ В:А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А;А. Родионов.-Л.: Судостроение.- 1979. 288 с.

52. Прежемницкий Дж. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика-1962.- Т. 1, № 1.- С. 165-179:

53. Егупов В.К. Пространственные расчеты зданий/ В:К. Егупов, Т.А. Комадина, В.Н. Голобородько.- Киев: Будивельник, —1976. 264 с.

54. Ромакин М.И. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. М.: Изд-во МГУ, 1962. - 278 с.

55. Саргсян А.Е. Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов: Учебник / А.Е. Саргсян, А.Т. Демченко, Н.В; Дворянчиков, Г.А. Джинчвелашвили; Под ред. А.Е. Саргсяна. 2-е изд., испр. и доп. -М.: Высш. шк., 2000. - 416 с.

56. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.-М.: Наука, 1970.-564 с.

57. Харти. Динамический анализ конструкций, основанный на исследовании форм колебаний отдельных элементов // Ракетная техника и космонавтика 1965.- Т.З, №4.- С. 132-138.

58. Чернов: Ю.Т. Прикладные методы динамики сооружений (метод «нормальных форм» и его приложения): Учеб. пособие. — М.: Изд-во АСВ, 2001. 80 с.

59. Численные методы в теории упругости и теории оболочек: Учеб. пособие / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга, В.И. Савченков -Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1986. 384 с.

60. Шапошников Н.Н. Применение метода последовательного удвоения суперэлемента для расчета осесимметричных конструкций на действие статических нагрузок/ Н.Н: Шапошников, В.В. Юдин; МИИТ. М., 1983; -22 с. Деп. в ВИНИТИ 4.10.83, №4659.

61. Шапошников Н.Н. Применение метода последовательного удвоения суперэлемента для расчета осесимметричных конструкций на действие статических нагрузок/ Н.Н. Шапошников, В:В. Юдин; МИИТ. М., 1983: -38 с. Деп. в ВИНИТИ 4.07.83, №4658.

62. Шакирзянов Р.А. Суперэлементный метод сил в расчетах на собственные колебания комбинированных конструкций: Дис.канд. тех. наук.-Казань, 1989. 155 с.

63. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практ. руководство; Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 238 с.

64. Aitken А.С. Evaluation of latent roots and vectors of a matrix // Proc. Royal Soc. -1987.- Vol.57. P.269-304.

65. Bajan R. Vibration analysis of complex structural systems by model substitution / R. Bajan, C. Feng, I. Jaszlics/ Proceedings of the: 39th shock and vibration symposium-Monterey. Calif., 1968.

66. Berman A. Multiple Acceptable Solutions in Structurali Model Improvement // AIAA Journal -1995: -Vol.33, No. 5. P.924-927.

67. Bertolini Adrian F. Review of eigensolution procedures for linear dynamic finite element analysis // Transactions of the ASME. Appl. Mech.-Vol. 51., № 2 (February), -1998: -P. 155-172.

68. Bouhaddi N. Substructuring by a two level dynamic condensation method / N. Bouhaddi, R. Fillod // Computers & Structures 1996 - Vol. 60, № 3, p. 403-409.

69. Bouhaddi N. A method for selecting master DOF in dynamic substructuring using the Gayan condensation method/ N. Bouhaddi, R. Fillod // Computers & Structures-1992, Vol. 45. № 5/6. P. 941-946.

70. Bouhaddi N. Substructuring using a linearized dynamic condensation method/ N. Bouhaddi, R: Fillod // Computers &. Structures 1992, Vol. 45. № 4. P: 679-683.

71. Cheu T-C. Quadratic reduction method for eigenvalues problems./ T-O. Cheu, C.P. Johnson, Jr. RR: Craig // Proc. 2nd Int. Modal Analysis Conf. Florida.- 1984.-P: 667-675.

72. Chowdhury P.S. An alternative to the normal mode method // J.Comput and Stract.- 1975.- Vol.5, № 5-6.- P.315.

73. Crandall S.H. Iterative Procedures: Related To Relaxation. Method for eigenvalue problems// Proceedings Royal Society London, 1951-A207. -P.416.

74. Dowell E.H. Free Vibration of an arbitrary structure in terms of component modes // J.of Appel.Mech.- 1972. -Vol.39., №-3; P.727-732.

75. Dyka C.T. A new approach to condensation for FEM/ C.T. Dyka, R.P. Ingel, L.D. Flippen// Computers & Structures 1996 - Vol. 61. № 4, P. 763-773.

76. Egeland 0. SESAM-69 a general? purpose finite element method: program. Int. 1./ 0; Egeland, P. Araldsen // Computers and Structures 1974. № 4-P.28-30.

77. Gawronski; W. Superelement and modification techniques in the analysis of large mechanical systems,// J.Arch, bad, masz 1977. Vol.24, № 2,- P.265-282.

78. Geradin Mi. An exact models reduction technique for beam structures: combination of transfer and dynamic stiffness; matrices/ M. Geradin, S.L. Chen // Journal of Sound and Vibration, 1995; 185(3); p.431-440.

79. Givens S.W. A Method of Computing eigenvalues and eigenvectors suggested by classical results on Symmetric matrices // National bureau of standards applied mathematics series 29, Covernment printing office-Washington, D.C., L.953. P.l 17-122.

80. Goldman R:L. Vibration analysis by dynamic partitioning // AIAA Journal-1969.- V.7. P.l 152-1154.

81. Gupta K.K. Vibration of frames and other structures with banded stiffness: matrix // Int.J.of numerical methods in engineering.- 1970 Vol.2,- P.221-228.

82. Gupta K.K. Solution * of eigenvalue problems: by the sturm sequence method // Int.J.of numerical methods in engineering — 1972 Vol.4. - P.379-404.

83. Gupta K.K. On a finite dynamic element method for free vibration analysis of structures // J. Comput.Meth.Appl. Mech.and Eng.- 1976.-Vol.9. № 1, -P.105-120.

84. Harty W.C. Vibration of structural5systems by component synthesis // J.of the Eng.Mechanics Division: Proc.ASCE 1960. - P.51-69:

85. Hintz R.M, Analytical methods in component modal synthesis II AIAA Journal. -1975. -Vol.13,- P.1007-1016.

86. Holze G.H; Free vibration analysis using substructuring/ G.Hi Holze, A.P. Boresi // J.of Struct.Division.- 1975.- Vol.11, № 12, P.2627-2639>.

87. Hou G.H. Revew of modal synthesis techiges and a new approach / Clock Vibration Bulletins/ Naval research laboratory - 1969.—№ 40(Dec).

88. Hughes T.J. A reduction scheme for problems of structural dynamics // Int.J.of solids and structures.- 1976. -Vol.12, № 11, P. 749-767.

89. Falk S. Das Jacobische Rotationsverfahren fur Reellsymmetrische Matrizenpaare Elektronische Datenverarbeitung/ S. Falk, P. Langemeyen.— 1960. S.30-34.

90. Farhat C. On a component mode synthesis method and its application to incompatible substructures/ C. Farhat, M. Geradin // Computers & Structures.- 1994.- V. 51. №. 5, -P. 459-473.

91. Forsythe G.E. The cyclic Jacobi method for computing the principal values of a complex matrix. / G.E. Forsythe, P. Henrici /Transactions of the Amer.Mathem. Society. -I960 Vol.94, - P. 1-23.

92. Kammer D.C. Selection of Component Modes for Craig-Bampton Substructure Representations/ D.C. Kammer, M.J. Triller // Transactions of the ASME. -1996.- Vol. 118, -P.264-270.

93. Mac-Neal R.H. A Hybrid methods in component mode synthesis // Comp.and Struct, J. -1971. -Vol.1, P.581-601.

94. Meirovitch L., Hale A. Synthesis andi dynamic characteristics of large structures with rotating substructures / L. Meirovitch, A. Hale // Proceedings of the IUTAM Symposium on the Dynamic of Multibody Systems. Berlin. — 1978.-P.231-244.

95. Nagamatsy A. Analysis of vibration by component mode synthesis method / A. Nagamatsy, M. Ookuma // Bull.ISME.- 1981.- Vol.24, № 194, РЛ448-1453.т

96. Octega J. The LL and QR methods for symmetric tridiagonal matrices / J. Octega, H. Kaiser // Computer Journal 1963- Vol.6,- P.99-101.

97. Przemieniecki J.S. Theory of matrix structural analysis-New-York: Mc.Graw Hill Bock CO., 1968. - 368 p.

98. Peterson H. Sub structuring and equation system solutions In finite element analysis/ H. Peterson, E. Popov // J.Comput., and Struct.- 1977. -Vol.7. № 2,-P. 197-206.

99. Pesterev A.V. On Vibrations of a System With an Eigenfrequency Identical to That of One of its Subsystems/ A.V. Pesterev, L.A. Bergman // Transactions of the ASME. -1995,- Vol. 117, -P.482-487.

100. Plan Т.Н. Basis of finite element methods for solid continues/ Т.Н. Plan, P. Tong // Int.J.Numer.Meth.Engr. -1969. -Vol.1,- P.3-28.

101. Rutishauser H. Computational Aspects ofF.L. Bauer's Simultaneous Iteration Method // Numerische Mathematik. -1969. -V.13,- P.4-13.

102. Ruin S. Improved Component Mode representation for structural dynamic analysis.// AIAA Journal. -1975.-V.13, - P.995-1006.

103. Sardella G. Vibration analysis and test of the Earth Resources Technology Satellite / G. Sardella, T. Cokonis // The shock and vibration bulletin./ Naval Research Lab., -1972. -№ 42. Pt.2, Washington.

104. Thomas D.L. Errors in natural frequency calculations using eigenvalues economization. // Int. JNumer Methods Eng-1985 Vol. 18. P. 1521-1527.

105. Wang X. Accelerated subspace iteration method for generalized eigenproblems. / X. Wang, J. Zhou // Submitted to Comput. Struct. -1997. P.203-217.

106. Zheng Z.C. Reduction method for large-scale unsymmetric eigenvalues problems in structural dynamics./ Z.C. Zheng, G.X Ren, W.J. Wang // J Sound Vib.-1991.— Vol. 199 № 2.- 3. 253-268.иложения