автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие теории и разработка численной методики расчета составных стержней и пластин

На правах рукописи

ФИЛАТОВ ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННОЙ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

22 АПР 2015

Москва 2015

005567680

005567680

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет»

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович Официальные Коробко Виктор Иванович, доктор технических

оппоненты: наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Государственный

университет - учебно-научно-производственный комплекс», профессор кафедры «Строительные конструкции и материалы»

Иванов Вячеслав Николаевич, доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет дружбы народов», профессор кафедры «Прочность материалов и конструкций»

Иванов Сергей Павлович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», заведующий кафедрой «Сопротивление материалов и прикладная механика»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)»

Защита состоится «14» мая 2015 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, зал Ученого совета МГСУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» www.mgsu.ru.

Автореферат разослан «/С» а "¿¿ел я 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы определяется необходимостью дальнейшего развития теории составных стержней и пластин с жесткими поперечными связями, разработкой численных алгоритмов расчета таких конструкций, решения новых задач в рамках теории А.Р. Ржаницына, изложенной в его монографии «Составные стержни и пластины» (М., Стройиздат, 1986,316 е.).

Широкое применение составных стержней и пластин с жесткими поперечными связями подробно освящено в упомянутой выше книге, что избавляет нас от повторного приведения этого материала здесь. Отметим, что в монографии А.Р. Ржаницына решены относительно простые задачи, что объясняется применением аналитических методов. Для решения сложных задач нужно использовать численные методы.

Цель диссертационной работы - развитие теории А.Р. Ржаницына применительно к расчету составных стержней и пластин: с большими прогибами; на упругом основании; с переменными (в том числе разрывными) значениями коэффициента жесткости швов; на вынужденные колебания и устойчивость; с учетом трещинообразования; разработка эффективной численной методики расчета с привлечением разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА).

Научная новизна работы состоит в том, что выполнено обобщение теории составных стержней и пластин с жесткими поперечными связями на случай больших перемещений с учетом кусочно-переменных значений коэффициента жесткости швов; получены дифференциальные уравнения составных пластин в рамках теории А.Р. Ржаницына для расчета этих конструкций на упругом основании, на вынужденные колебания, устойчивость и с учетом трещинообразования в одном из слоев; построена упрощенная теория расчета многослойных составных пластин и балок; разработана численная методика расчета составных балок и пластин на статические и динамические нагрузки, на продольно-поперечный изгиб и устойчивость; решены новые задачи по расчету составных балок и пластин: неразрезных, на упругом основании, многослойных, с переменным коэффициентом жесткости швов на статические, динамические нагрузки и устойчивость с учетом различных сочетаний краевых условий.

Таким образом, личный вклад соискателя заключается в обобщении, систематизации и развитии теоретических составляющих исследуемых вопросов; разработке численной методики решения вышеперечисленных задач и составлении соответствующих программ для ЭВМ.

Достоверность полученных результатов устанавливается обоснованной постановкой сформулированных задач, сходимостью численных решений, сопоставлением с результатами других методов, а для некоторых задач -сравнением с экспериментальными данными.

Практическое значение работы заключается в том, что разработанные алгоритмы и программы используются в инженерных расчетах с применением компьютеров. Разностная форма МПА настолько удобна для практического применения, что ряд задач по построенной в диссертации упрощенной теории

ъ

о

составных пластин и стержней может быть решен на микрокалькуляторе при небольшом числе разбиений. Акты о внедрении результатов диссертации в производство приведены в приложении.

Апробация диссертации определяется докладами автора по отдельным разделам работы на:

- Международной научно-технической конференции «Современные проблемы строительства и реконструкции зданий и сооружений» (Вологда, 2003 г.),

- Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ф-та ПГС МГСУ (Москва, 2004 г.),

- IV Международной научно-технической конференции «Итоги строительной науки» (Владимир 2005),

- IV Всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука -региону» (Вологда, 2006 г.),

Международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» (Москва, МИИТ, 2006 г.),

- Юбилейной научной сессии, посвященной 100-летию со дня рождения В.З.Власова и 85-летию кафедры «Строительная механика» (Москва, МГСУ, 2006 г.),

Юбилейной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ИСА МГСУ (Москва, МГСУ, 2006),

- XVI Международном Российско-Польско-Словацком семинаре (г. Жилино Словацкая республика, Москва, 2007),

- VI Всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука -региону» (Вологда, 2008 г.),

XVII Международном Российско-Польско-Словацком семинаре «Теоретические основы строительства» (Москва, 2008),

- II Международной научно-технической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. (Филипповские чтения)» (Москва, МГСУ 2009),

- Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ИСА МГСУ (Москва, МГСУ, 2010),

- III Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Посвящена 100-летию со дня рождения Б.Г. Коренева» (Москва, МГСУ 2010),

- XV научно-методической конференции Военного инженерно-технического института «Дефекты зданий и сооружений. Усиление строительных конструкций», посвященной памяти проф. В.Т.Гроздова (Санкт-Петербург, 2011),

- IV Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Посвящена 100-летию со дня рождения А.Р. Ржаницына» (Москва, МГСУ 2011),

- Международной научной конференции «Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании» (Москва, МГСУ, 2011)

- Международной научной конференции «Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании» (Москва, МГСУ, 2013),

- на заседании кафедры строительной механики МГСУ( Москва, 2007),

- на объединенном научном семинаре кафедр сопротивления материалов и строительной механики МГСУ (Москва, 2014).

Публикация основного содержания диссертации отражена в 40 работах автора. Наименование статей приводится в конце реферата.

На защиту выносятся: обобщение теории А.Р. Ржаницына по расчету составных стержней и пластин на случай больших перемещений с учетом кусочно-переменных значений коэффициента жесткости швов; построение упрощенной теории расчета многослойных пластин и балок с абсолютно жесткими поперечными связями; решение задач по расчету многослойных составных пластин на упругом основании, вынужденные колебания, продольно-поперечный изгиб и устойчивость, разработанные численные алгоритмы по расчету составных балок и пластин, решение новых задач расчета составных пластин, в том числе с учетом трещинообразования.

Диссертация состоит из введения, девяти глав и приложения; изложена на 292 страницах содержит 54 рисунка, 36 таблиц, имеет список использованной литературы из 358 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, излагаются цели диссертации, научная новизна, практическая ценность и достоверность результатов.

Здесь же дается краткий обзор работ, вышедших в свет после 1986 г., т.е. после публикации монографии А.Р.Ржаницына, в которой описываются труды по расчету составных конструкций до 1986 г.

В обзоре к первой группе отнесены работы по расчету составных балок и пластин с абсолютно жесткими поперечными связями. Это работы: О.О. Булановой, Х.Мохаммеда, В.И. Коробко, A.A. Рогачева, A.B. Туркова и К.В. Марфина, C.B. Якубовской и Б.А. Гуляева, Ю.Е. Якубовского и его соавторов.

Представляют интерес работы А.Я. Александрова и Е.А.Король, в которых имеются экспериментальные данные.

Ко второй группе отнесены работы по расчету слоистых конструкций без жестких поперечных связей. Это публикации И.В. Авдеева и A.B. Артемьева, A.M. Гольдштейна, А.Г. Горшкова, Э.И Старовойтова и Д.В. Леоненко, И.В. Локтевой и В.И. Феодосьева, О.В. Машковой, С.М. Наумова и Я.С. Боровской, В.И. Олифера и ИЛ. Подольского, К.И. Рузиева и П.А. Патиддинова, Л.С. Рыбакова и И.В. Мишустина.

К третьей группе отнесены работы зарубежных авторов: Bryant Anthony, Deng Zingbo, Gincu V, Greiner L, Kim Hyeyng, Yun Hwang Woonoong, Kollar Laszlo, Luo H., Hanagut S., Младенов К., Mostowicz S.J., Niziof J., Potztc О., Kollar L.

Отдельно выделим авторов публикаций по расчету слоистых пластин: С.А. Аскеров, В.Н. Багмутов, Д.В. Багмутов, О.Ю. Белова, М.В. Белубекян, Е.И. Бесполова, С.Н. Бобров и соавторы, А.Ш. Боженов, Н.М. Большакова, Н.В. Василенко и соавторы, В.В. Васильев, Г.Б. Вержбовский, К.Ю. Волох,

A.M. Гольдштейн, Э.И. Григолюк и соавторы, A.A. Дергачев и Д.И. Макаревский, O.A. Егорычев, О.О. Егорычев, И.С. Заривняк, В.И. Зубко, K.M. Иерусалимский, А.Т. Касимов, A.B. Крысько и соавторы,

B.Н. Максименко, В.И. Малый и соавторы, К.А. Матвеев, B.C. Наумов, В.Н. Паймушин и соавторы, В.Г. Пискунов и соавторы, А.П. Прусаков и соавторы, В.М. Рябов и соавторы, М.Ю. Рязанцева, A.B. Сибиряков, Н.В. Сметанкина и соавторы, И.А. Судакова и A.A. Трещев, A.A. Токарев и И. Маланта, В.М. Толкачев, Ю.З. Тотоев и соавторы, С.И. Трушин, H.H. Шапошников.

Подводя итог приведенному выше обзору литературы, отметим следующее. По расчету многослойных балок и пластин с учетом деформаций в поперечном направлении и деформаций сдвига выполнено большое число работ. Решены задачи по статике, динамике и устойчивости этих конструкций. Полученные теоретические и экспериментальные результаты представляют большую ценность. Но нет единой теории по расчету указанных конструкций с податливыми поперечными связями. В основном рассчитывались трехслойные и двухслойные прямоугольные панели с шарнирным опиранием по контуру, в области динамики подавляющее большинство авторов ограничилось определением собственных частот и форм колебаний. Из численных методов применение нашел лишь метод конечных элементов.

Что касается теории А.Р. Ржаницына, число трудов основанных на ней, порядка одного десятка. Сама теория, изложенная в книге «Составные стержни и пластинки» (М.:Стройиздат, 1986. 316с.), привлекательна применительно к строительным конструкциям своей общностью и сравнительной простотой. В статьях приведенных в начале нашего обзора, и в упомянутой выше работе не затронуты: расчеты при больших перемещениях; разрывных значениях коэффициентов жесткости швов; расчеты составных стержней и пластин на упругом основании; расчет многослойных балок и плит на вынужденные колебания; расчет составных пластин на устойчивость. Не было сделано попыток применения численных методов, включая МКЭ, к задачам, решаемым в рамках теории А.Р. Ржаницына.

К решению задач по теории А.Р. Ржаницына представляется целесообразным применить численный метод последовательных аппроксимаций (МПА), обладающий высокой точностью и хорошо приспособленный к решению систем дифференциальных уравнений второго порядка, к каковым сводится теория составных стержней и пластин. В работах Р.Ф.Габбасова изложены основы МПА и показано эффективное применение разностной формы этого метода к расчету пластин и оболочек на статические, динамические нагрузки и на устойчивость. Отметим, что МПА позволяет достаточно просто строить разрывные решения задач.

В первой главе диссертации получены дифференциальные уравнения для определения сдвигающих сил в швах изгибаемых составных балок с учетом уточненного значения кривизны составляющих брусьев. Разработан численный алгоритм решения задачи с привлечением разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА). На тестовых задачах показаны высокая точность и быстрая сходимость решений по МПА, что позволяет применять этот метод и в рассмотренных ниже других задачах. Даны примеры расчета составных балок по обобщенной теории А.Р.Ржаницына.

В диссертации показано, что безразмерные значения сдвигающих сил в шве 1 определяются из уравнения

^ = {a>-Tn0)-arcrf-giti_.l+{gi + gM)-ti + gi+lti+u (1)

" d2t: j С '4 El - Cj ЕЛ, ЕЛ, ^ _

где ,, = ; fi=fi —; с, у ^^ « =

W'=Z; v=i' ti=Tibr m0=M°irr w=r 1 - полУпРолет

2

составной балки; EJi - изгибная жесткость отдельной ветви; у - прогиб; q -коэффициент сдвиговой жесткости i — го шва.

Аналогично в безразмерном виде записаны дифференциальные уравнения для определения т° и w:

(m°) =-р- (2)

ч?' = -а{тй-со), (3)

I of d2m° , d2w ql3

где yn j =-—; w =——; p = ——; q - интенсивность разрывной нагрузки;

dy dtp EJi

M°- суммарный изгибающий момент в сечении составного стержня от действия внешней нагрузки; с, - по рисунку 1.

Построим численный алгоритм решения дифференциальных уравнений (1), (2), (3), привлекая разработанный Р.Ф. Габбасовым метод последовательных аппроксимаций (МПА).

Аппроксимация по МПА дифференциального уравнения (2) имеет вид:

nmj_1-2AmJ.+Am;41 + Am> + T-Am; =

т1 , ч Ч г3 (4)

= -у2 (V.+ ЮЧ+'Ч .

, _ dm , _ dp

где m' = р' = ; Дт.=лт,-Пт,; остальные члены с Д имеют

И »// >V и/ * ' J

dy/ ' dy/ '

л.

аналогичный смысл: правый верхнии индекс у m опущен; mj=mj,0\

nmj = mJ+0 ; т- шаг равномерной сетки.

Рисунок 1.

Для аппроксимации (3) во внутренней точке равномерной сетки достаточно в (4) -р заменить на правую часть (3). При записи этого уравнения будем полагать, что ползуны и врезанные шарниры в сечении составной балки

отсутствуют; тогда Ли^. = Ди^. = А= Лаг = 0; т° заменяем на т:

2

5 , г3 (5)

12 л ' ' ' 12 ' М '

Для аппроксимации (1) по МПА запишем это уравнение в следующем

виде:

К(6)

где Д = £а,с;; $ = ^; <5|>1 = ¿¡#м.

Аппроксимация (6) сводится к замене в (4): т на г''' и р - на правую часть (6). Следует иметь в виду, что индекс I означает номер шва, а индекс у -номер расчетной точки на безразмерной оси балки ¡с . В результате получим разностное уравнение, которое приводится в диссертации под номером (1.3.17). Под номерами (1.3.19)- (1.3.21) даны разностные уравнения для краевых точек.

Для расчета составной балки по обобщенной теории необходимо совместное решение алгебраических уравнений, аппроксимирующих (2), (3), (6) и записанных для каждой точки сетки.

Заметим, что если составная балка внешне статически определима, то выражения типа (4) образуют независимую систему алгебраических уравнений.

Решение задачи при /=1 имеет самостоятельное значение, поскольку соответствует теории А.Р.Ржаницына.

Алгоритм решения задачи в геометрически нелинейной постановке (/ * 1) построим методом последовательных приближений. На первом этапе решается задача при /= 1 по указанной выше схеме. В случае малых перемещений этот этап оказывается и завершающим. На втором этапе численно определяются w' по найденным на первом этапе w, и вычисляются / для каждой расчетной точки j. С учетом найденных f} решается указанная выше

система разностных уравнений; определяются новые значения т, tln, w. Процесс повторяется до исчерпания итераций с некоторой наперед заданной точностью.

При / = 1 были получены решения тестовых задач, которые практически совпали с аналитическим решением А.Р. Ржаницына. При / ф 1 для двухслойных балок отличие от линейной теории составляет ~7%.

В главе 2 показано, что разработанная в §1.3 диссертации численная методика может быть применена без каких-либо изменений к расчету неразрезных составных балок. В §2.2 эта методика распространяется на расчет составных балок на упругом основании. Рассмотрены балки на основании типа Винклера и с двумя коэффициентами постели.

В главе 2 проиллюстрировано, как разностные уравнения МПА могут быть использованы для решения дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами, что является развитием МПА, поскольку Р.Ф. Габбасовым дифференциальные уравнения с разрывными коэффициентами не рассматривались, а учитывались разрывы искомой функции, производных этой функции и разрывы правых частей дифференциальных уравнений.

В этой же главе дается расчет четырехслойной составной балки, и разрабатывается приближенная теория многослойных составных балок, что резко упрощает исследование их НДС.

Сравнение результатов приближенного решения с решениями в точной постановке показывает высокую точность приближенной теории. Она может быть предложена для практического применения. Результаты по wга1 и Ттах получаются с небольшим запасом, а при 4= const напряжения в конструктивных элементах швов определяются по Ттах.

Отметим, что при расчете неразрезных составных балок наряду с безразмерными изгибающими моментами т и прогибами w в расчетных точках определяются безразмерные реакции опор.

В случае расчета составной балки на основании Винклера вместо дифференциального уравнения (2) имеем

(m°) =-{р-р- w), (7)

/4

где Р = к—\к— коэффициент постели. Соответствующее разностное уравнение El

получим из (4) путем подстановки вместо р выражения [р- p w).

Остальные уравнения те же, что в главе 1.

В таблице 1 дается решение этой же задачи, когда составная балка контактирует не со сплошным упругим основанием (рис.2), т - шаг сетки; £=1. Имеет место быстрая сходимость.

В случае основания с двумя коэффициентами постели вместо (7) имеем дифференциальное уравнение

(1гт йу1

| _ у

где у/ , т°, р, и» определяются по главе 1 с заменой / на Ь: с\ = —----—;

Ь , ¡Е/(1-К02)

с2=-=; ——; Е1 - жесткость на изгиб монолитной балки; Е0, уп -Н у Ь0о

соответственно модуль упругости, коэффициент Пуассона материала основания; 3, Н - толщина и высота сжимаемого под конструкцией слоя грунта.

Таблица 1

т Величииы^--\ 1/2 1/4 1/8 1/16

^тал 0,0710 0,0731 0,0736 0,0738

IV тах 0,0520 0,0536 0,0539 0,0540

Разностное уравнение, соответствующее (8), получено но МПА. Оно приведено в диссертации в двух вариантах. Уравнения для определения и Г те же, что и в главе 1.

В табл. 2 даны результаты расчета двухслойной составной балки по рисунку 3, полученные при т < 1 .

_Таблица 2

г Величины"--—^ 1/2 1/4 1/8 1/16

1,7772 1,7773 1,7773 1,7773

тп,ах 0,11408 0,11400 0,11399 0,11399

^тах 0,22805 0,22801 0,22800 0,22800

: 1/2

1/2 1/2

тг

р=1

П

Т777777777Т777У777Ъ

Рис.2

Рис. 3

В главе 2 дифференциальное уравнение А.Р.Ржаницына для определения сдвигающих сил в ¿-ом шве обобщается на случай, когда коэффициент жесткости = (х). Подробно рассмотрена двухслойная балка с нулевой толщиной шва, состоящая из ветвей прямоугольного сечения. Упомянутое выше дифференциальное уравнение при/=1 записывается так:

= (9)

с аЧ е!Т , ¡и] „, Щ

где ' ='Т; ' ' 77 по рисунку 1 с = с'

при 1=1. Остальные величины и уравнения для определения т и \м тс же, что и в главе 1.

Дифференциальное уравнение (9) аппроксимируется разностным уравнением МПА, оно приводится в диссертации.

Выполнен расчет однопролетной составной балки для случая

77 = ^(2-!/). (10)

Представляет интерес случай, когда # (в рассматриваемой задаче т]) меняется по кусочно-постоянному закону, т.е. величина 4 меняется скачкообразно, оставаясь постоянной, но различной на каждом из участков составной балки.

Если рассматривать такой случай применительно к двухслойной балке, то, поскольку 7'= 0, из (9) получим дифференциальное уравнение с разрывными коэффициентами:

= (11)

Аппроксимация (9) и (11) по МПА при непрерывных т , г , /но разрывных ?7 и т впервые дана в диссертации. Показан учет разрывных 4 (или ?7) в многослойных балках.

В диссертации дается алгоритм расчета составной балки по обобщенной теории, т.е. когда / * 1. Приведен пример расчета 4-слойной составной балки.

Во второй главе строится приближенная теория расчета многослойных составных балок. Задача сводится к решению трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно т, г, и» при/=1.

В главе 3 разработаны численные алгоритмы расчета составных балок на продольно-поперечный изгиб, устойчивость и колебания. При этом важным обстоятельством является то, что в зависимости от характера задачи меняется лишь дифференциальное и соответствующее разностное уравнения для определения изгибающих моментов т, а уравнения для определения ж и Г остаются прежними, полученными в главе 1 при расчете составных балок на статические нагрузки. Этот общий блок алгоритма позволяет строить и общую программу для расчета составных балок: в зависимости от вида задачи в общую схему включается то или иное разностное уравнение для определения т.

Меньше внимания уделено определению собственных форм и частот составных балок, поскольку для решения задачи о вынужденных колебаниях используется метод прямого интегрирования уравнений движения, который не нуждается в предварительном определении собственных форм колебаний. Здесь же показано, что учет геометрической нелинейности играет существенную роль при расчете составных балок на продольно-поперечный изгиб.

Для расчета составных балок на продольно-поперечный изгиб записывается дифференциальное уравнение (7) с учетом влияния сжимающих сил N на изгибные деформации:

т"-п-м/" = -{р-р-м>), (12)

где штрихи означают дифференцирование по Ц> Р определяется по главе 2;

- V 12

(13)

Верхний правый индекс 0 при т опускаем. При р = 0 получим дифференциальное уравнение для балки без упругого основания:

т" —й-и>" = —р . (14)

Аппроксимацию (14) по МПА для внутренней точки } равномерной сетки с шагом г и для точки ] левого края запишем при непрерывных ы , и>' н Д т) =0:

т: ,-2т] + т]+1 + Т■ Атп) -п-2™^ и-;+1)=

'4-х

=~( V.■ Ару■ АР! ;

(15)

т-т]+тГ т]+1 - п {т ■ у>'} + wj - н-) = ^ р) + ^ (5 р] + р;Ч1). (16)

Уравнения типа (15), записанные для каждой внутренней точки сетки, совместно с уравнениями для определения ю и г'1', записанными при / = 1 для тех же точек, с привлечением граничных условий для краевых точек образуют замкнутую систему линейных алгебраических уравнений для определения т, ю, г(,)(г = 7,2...л) с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации при заданных п , Д т , р .

Если положить в этих уравнениях Апг' = р = 0, следовательно, и р' = Ар = Ар' = 0 , получим однородную систему алгебраических уравнений относительно тех же неизвестных т, ж, г(|) (г'=1,2...н; п- число швов). Приравнивая нулю главный определитель системы, в этом случае получим уравнение для определения пкр , что позволит по (13) при произвольных £,/,- и I, найти критическую силу Nкр .

Отметим, что Л'™" можно вычислить итерационным способом, не прибегая к составлению детерминанта высокого порядка. Под сжимающей

силой N понимаем суммарную силу, каждая составляющая которой прикладывается к центру тяжести поперечного сечения отдельной ветви.

Выполнено четыре примера расчета составных балок на устойчивость.

Показано, что значение критической силы для четырехслойной балки значительно меньше таковой для двухслойной при прочих равных условиях: одна и та же высота поперечного сечения (2Н), один и тот же пролет (21), один и тот же коэффициент жесткости швов 0/=1), один и тот же модуль упругости Е материала слоев.

Алгоритм расчета многослойных составных балок с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации изложен в §3.1 диссертации. На базе этого алгоритма составлена общая программа для ЭВМ, которая позволяет рассчитать составную балку с произвольным числом слоев на произвольную нагрузку с учетом разных комбинаций краевых условий. При этом можно учитывать любое разумное число разбиений. Единственным ограничением является равномерная сетка. Но при необходимости программа может быть расширена на случай сетки с произвольными значениями шагов с использованием соответствующих разностных уравнений. Следует однако иметь в виду, что, как известно из литературы по численным методам, надежные результаты численные методы дают в том случае, когда сетка равномерная или по возможности близка к равномерной.

По разработанному алгоритму в диссертации выполнены два примера расчета составных балок на продольно-поперечный изгиб. Результаты подтверждены полученным автором аналитическим решением.

Численное решение задачи по определению собственных частот колебаний проиллюстрировано на примере составной балки из двух ветвей. После разделения переменных задача о собственных колебаниях таких балок сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка:

определяется по главе 2; I - полупролет; /1 - погонная масса всего составного стержня; со - частота собственных колебаний; Е! - изгибная жесткость отдельной ветви.

Дифференциальное уравнение (17) можно представить как систему трех дифференциальных уравнений второго порядка:

4 МО)'

2

(17)

(18)

(19)

(20)

Каждое из них можно аппроксимировать разностным уравнением МПА. В частности, аппроксимация (18) при отсутствии всех видов разрывов после несложных преобразований запишется так:

(l2-гУ )• Ц_г -2(l2+5т2Т]2)-Щ+{\2-Т2Т]2)-Щ+1 +

+0,25r277V(wJ._1 +10Н-. + w.+1)-rV2(^_, +10<pi+<pJH)=0. (21)

В качестве примера рассмотрена шарнирно опертая по краям составная балка без препятствий деформациям сдвига по шву на торцах. Приравнивая нулю главный определитель системы разностных уравнений, найдем р2 =7,39 при т=1. При т - Yi и прочих равных условиях рг - 7,73.

Аналитическое решение А.Р. Ржаницына для рассматриваемой задачи min р2 = 7,768 , что хорошо согласуется с полученным выше численным решением: погрешность при т - ^ - 0,5%.

Поскольку ниже при расчете составных балок и пластин на вынужденные колебания будет использоваться прямое интегрирование уравнений движения по оси времени, а не разложение по собственным формам, здесь мы ограничимся рассмотренной выше задачей.

Дифференциальное уравнение равновесия балки с учетом инерционных сил и сил сопротивления записывается в безразмерном виде: д2т _32vv _9w /

(22)

pl4 __ ^ - _ t , -^_q(x,t)

где Ц- 2 ; Х- „ ,„ ; 1PW<U--; Т0 - период основного тона

t,1,1 о о о Чо

колебаний; q(x,t) - поперечная распределенная по произвольному закону нагрузка, зависящая от времени г, ц - погонная масса составной балки; / -коэффициент поглощения энергии.

Далее записывается разностная аппроксимация по МПА

d2w _ л Эи> _ 7 дифференциального уравнения (22), с обозначениями - w ; - w ;

р(у/,t)= р , полагая, что w" , w' - непрерывны; Am; = 0.

Построив параболический сплайн вдоль безразмерной временной оси Г с

— (t) " (к) ' постоянным шагом Т , выразим ускорение Wj и скорость Wj на к-ом

(к-l) (*-1) '

временном слое через значения w, , Wj на к -1 -ом временном слое:

р[<1-'Ч-('Ч]; (23)

■V/ = _1<*->V

1 г

(k)w\ =-<*-V --

] ; т

-"w

■у-'Ч].

(24)

Формулы (23), (24) рекуррентны. Записывая их для точек у +1 и

подставляя правые части этих формул, включая (23), (24), вместо w" н ж' в разностную аппроксимацию (22), запишем это уравнение для к-го временного слоя:

'т^-г^'т^'т^ + г-Д^т} +

_2 / ту

^"Чч,-

(25)

-»V.

Уравнение (25), записанное для каждой расчетной точки ], решается совместно с уравнениями для определения и (при / = 1), также записанными для каждой внутренней точкина к-ом временном слое.

Алгоритм решения задачи следующий. При к = 1 названные выше уравнения решаются относительно , , при заданных (в частности, нулевых) начальных значениях '"'и;, ,п\\<', т.е. при заданных начальных смещениях и скоростях. По (24) для каждой точки у пространственной сетки

вычисляются скорости '''и»1. При найденных значениях ) и "У (7 = 1,2..л) система перечисленных выше уравнений решается относительно <2'ш , *2)н',

(2)

/ ; по (24) вычисляются и так далее. Счет ведется до необходимого

значения безразмерного времени Г с некоторым выбранным временным шагом

п г-1

1/2 |1 за ¡2 Рис.4

Для иллюстрации алгоритма рассмотрен расчет двухслойной составной балки под действием равномерно распределенной по длине балки гармонической нагрузки.

На рис.4 даны полученные при г = —; г = графики изменения и>г, тс,

16 64

1С в зависимости от Г, где индекс с означает середина балки.

В четвертой главе получены формулы для уточненных значений кривизны изогнутой срединной плоскости составной пластины. Обобщены уравнения Ржаницина А.Р. для многослойных составных пластин с учетом уточненных значений кривизны. Разработана численная методика расчета многослойных составных пластин с использованием разностных уравнений МПА. Подробно рассмотрены случаи двухслойных и четырехслойных составных пластин симметричной структуры.

В этой главе показано, что при поперечной нагрузке расчет многослойной составной пластины сводится к решению системы дифференциальных уравнений трех типов. Запишем эти дифференциальные уравнения в безразмерных величинах: Э2/л Э2ш

Ъуг

дв2 Э2и>

,- + —г = -(т-ю); ду/ дв2

д у/

Э г; 2 дв2 '

Э2и>

д2и>

дуг2 дв2

где: = ; Х'%

4

С;= —; щ=к,-сг*\ * = /- 1.

1 а а1 А)

Здесь 8Ч определяются формулами из работы А.Р. Ржаницына:

8: , = -*- +

1-/г( 1

1

>ь л«,

Оп

Ей,-

1-А2.

Щ+

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

Формулы (31) записаны для случая, когда Е и ц одни и те же по всем слоям.

При выводе (28) использована уточненная величина кривизны изогнутой средней плоскости составной пластины = -и^ • / ; Ф„ = -и<ж • /, где

/ =

1+>4 +

1+ 2иС + 2IV,

0

Эи>

Эи'

Э(с2 '

Аппроксимация (26) производится по МПА:

дв

+ 4mf -20m,у +4m, + + »"¡+1.7-1 + 4'"i+lJ + »»¡+1.7+1 "

2 " V- у и .

Эт а Вт ^—: >" = т—; Ъу/ Ъв

типа имеют аналогичный смысл; верхний левый индекс означает принадлежность этой величины тому или иному элементу.

2

где: т

mjj ; остальные величины такого

i-l.J-1

I

i.}-1

П

/+1, j-l

М.у

MJ+1

П1

у

iv

н-и

1,7+1

H-1J+1

Рис. 5

Номера элементов показаны на рис. 5 римскими цифрами.

Если р = const в пределах элемента и меняется скачкообразно от элемента к элементу, то правая часть (32) 0.{р) приобретает вид:

(33)

• " „ л.™ „

т РЦ + Р

д

др

Э Р

Если р - непрерывна, но претерпевают разрывы Р - и Р - , то выражение для Sl(p) запишется так:

-yj(p/-l,y-l + 4P/-1,J + Pi-l.i+l +

(34)

+ 4Р,\7'-1 + 52Ру + 4Л,7+1 + + Р<+1,7-1 + 4Л+1,У + Р/+1.У+1 )■ Дифференциальные уравнения (27), (28) аппроксимируются по МПА аналогично.

Если составная пластина по краям шарнирно (свободно) оперта и на краях нет препятствий сдвигам, т.е. в краевых точках т = ы = = 0, то

уравнений типа (32) и аппроксимаций (27), (28), записываемых для всех внутренних точек сетки, достаточно для решения задачи.

Если краевые условия отличаются от приведенных выше, то к перечисленным уравнениям следует присоединить разностные выражения, описывающие соответствующие граничные условия. Они даны в диссертации.

Названные выше уравнения при / = 1 образуют систему алгебраических уравнений первого этапа расчета.

Если прогибы и> малы, расчет завершается первым этапом. При достаточно больших перемещениях выполняется второй этап расчета. Для этого по результатам первого этапа вычисляются , во всех расчетных точках у, по ним - и ац. Записываются уравнения с учетом найденных значений ау. Решение полученной на втором этапе системы алгебраических уравнений дает в общем случае новые значения неизвестных: т, Р, м. При необходимости итерационный процесс может быть продолжен с переходом к третьему этапу и т.д. Окончательные результаты используются для определения напряжений.

В главе 5 рассмотрены примеры расчета составных пластин на статические нагрузки по разработанной в главе 4 численной методике. В частности, решены задачи по расчету шарнирно опертой по контуру двухслойной пластинки со свободными на сдвиг торцами и с жесткими закреплениями против сдвигов. Рассмотрена двухслойная пластина с жестко заделанными сторонами. Рассчитана шарнирно опертая по всему контуру четырехслойная пластина.

В §5.4 отдельно рассмотрены задачи по расчету составных пластин с большими прогибами, при которых влияние уточненных значений кривизн существенно.

В §5.5 показано, что для определения нормальных напряжений в сечениях составляющих пластин продольные силы в этих пластинах могут быть найдены по приближенной формуле.

Рассмотрен расчет двухслойной составной пластины с нулевой толщиной шва на действие равномерно распределенной по всей ее поверхности безразмерной нагрузки р=1 при минимальном числе разбиений. Краевые условия по всему контуру: т = V? = 7 = 0 при свободных на сдвиг торцах.

00 01_02

С? 0

10 11 12

С

20 21 22

1/2 1/2

"V

Вторая задача - та же составная плита загружена полосовой нагрузкой; на рисунке 6 эта нагрузка показана жирной линией 10-11.

При т = У^ расчет на действие полосовой нагрузки по двум осям

симметрии можно выполнить, рассматривая лишь четверть пластины и учитывая диагональную симметрию. Поскольку уравнения разделяются, результаты могут быть получены с помощью настольных вычислительных устройств. В таблице 3 показана сходимость решения этой задачи на трех вложенных одна в другую квадратных сетках.

__Таблица 3

величины" — 1/4 1/8 1/16

6,5677 6,7091 6,7422

т тах 1,4493 1,5127 1,526

IV тах 0,1847 0,1927 0,1944

В табл.4 приводятся результаты расчета прямоугольной двухслойной пластины с жестким закреплением краев при действии полосовой нагрузки вдоль короткой оси симметрии (рис.7). Численное решение по разработанной для ЭВМ программе получено на трех вложенных одна в другую квадратных сетках.

Таблица 4

^величиньГ" -— 1/4 1/8 1/16

>Пп» -0,05993 -0,07060 -0,07182

"Кп -1,1723 -1,3319 -1,4146

тпп 1,2420 1,2607 1,2632

Кп 0,2136 0,2238 0,2249

™пп 0,02766 0,02892 0,02907

В таблице: тпо , топ - величины т в середине короткой и длинной сторон; тпп, г„„, мпг - соответствующие величины в центре составной плиты.

В 5 главе проиллюстрирован расчет четырехслойной пластины с одинаковыми слоями на действие равномерно распределенной по всей ее поверхности безразмерной нагрузки/= 1. Пластина шарнирно оперта по всему контуру. На всех краях: т = ы = 7 = 0 .

В таблице 5 показана сходимость численного решения на последовательности трех сеток.

Таблица 5

величиньГ~~~~-~----^ 1/4 1/8 1/16

Г(.) шах 0,07947 0,07960 0,07961

Г(2) шах 0,08350 0,08360 0,08360

XV шах 0,02797 0,02800 0,02800

В скобках показаны номера швов.

В главе 6 изложена методика расчета неразрезных составных пластин. Показано, что каких-либо дополнительных уравнений в этом случае не требуется. Полученные ранее разностные уравнения следует лишь грамотно использовать.

При расчете составных пластин на винклеровском основании меняется лишь разностное уравнение (32). Методика расчета иллюстрируется на конкретном примере.

Уделено внимание расчету составных пластин с переменными значениями коэффициента жесткости швов £ Изложена методика численного решения задачи по МПА в предположении, что с в пределах одного шва меняется по кусочно-постоянному закону. Выполненное в §6.3 можно рассматривать как дальнейшее развитие МПА. Ранее по МПА решались задачи при кусочно-переменных значениях искомых функций. Здесь же рассматривались кусочно-постоянные значения коэффициентов при неизвестных.

В §6.4 кратко изложена приближенная теория расчета составных пластин симметричной структуры. Показано, что допущение о том, что функция Т во всех швах одна и та же, приводит к удовлетворительным результатам. В этом убеждаемся, сравнивая результаты приближенной теории с результатами точной теории А.Р. Ржаницына.

В последнем параграфе этой главы излагается расчет трехслойных пластин по теории А.Р. Ржаницына. Нами предлагается приближенная методика учета образования трещин в среднем слое. Сравнение результатов этой методики с экспериментальными данными иллюстрирует их удовлетворительную сходимость.

На примере двухслойной составной пластины показано, что уравнения главы 4 позволяют рассчитывать неразрезные пластины, не прибегая к составлению каких-либо дополнительных уравнений. Изображенная на рисунке 8 двухпролетная неразрезная пластина загружена равномерно распределенной по всей ее поверхности безразмерной нагрузкой р = 10. По всему контуру опирание шарнирное: и> = т = 0. Будем полагать, что на контуре отсутствуют связи, препятствующие сдвигам, тогда в контурных точках 7 = 0. Расчетная сетка с шагом т = ^ показана на левой половине пластины (рис.8). —1—

7^77 . „ j 1/2 | ш |

Рис. 8

Рассмотрен расчет составных пластин на винклеровском основании. Как и в расчете сплошных плит, прогибы пластины равны осадкам основания, и отсутствует трение между пластиной и поверхностью грунта.

Изменится лишь дифференциальное уравнение (26). Вместо него будем иметь:

Э2т Э2т

ami \

+ —-=-(p~p-w)i

ду/2 дв2 где безразмерный коэффициент постели

Р =-

кпа"

(35)

(36)

Все прочие величины имеют тот же смысл, что и в главах 4 и 5.

Для аппроксимации (35) по МПА на квадратной сетке можно воспользоваться уравнением (32): достаточно в этом уравнении р заменить на

p-pw.

Для часто встречающегося случая, когда р = const и р = const , с учетом принятых в главе 4 допущений получим: + 4mi-ij +m;-ij+i + + 4ш, j_i — 20т,- j +4т,- j+i +

+ Щ+lJ-l + 4mi+l,j + mi+l,/+1 +

(37)

1 + 4wi-\,j +■ wi-Uj+l -+ 4wuj-\ +52н--,у + 4u',-J+1 +

" wi+\.j-\ + 4wi+\,j + WV+1,;+1) = -61"2? ■

В случае разрывных р правая часть (37) заменяется правой частью выражения (33).

Все прочие уравнения главы 4 справедливы и для рассматриваемого случая расчета составных пластин на упругом основании.

Для иллюстрации алгоритма рассмотрен расчет квадратной шарнирно опертой по контуру двухслойной пластины, загруженной равномерно распределенной по всей ее поверхности нагрузкой.

Таблица 6 иллюстрирует сходимость решения на последовательности пяти сеток.

Таблица 6.

^^ г величинЬг\_ 1/2 1/4 1/8 1/16

'"тах 0,62152 0,61079 0,61016 0,61014

^тах 0,1836 0,18852 0,18894 0,18898

"'тах 0,02372 0,02424 0,02429 0,02429

Вторая задача - свободно лежащая на сплошном винклеровском основании квадратная двухслойная пластина, загруженная по двум осям симметрии полосовой нагрузкой (рис. 9).

Д т

Следует отметить, что задачи рассматриваемого типа требуют значительного большего числа разбиений для получения достоверных результатов (табл. 7).

____Таблица 7_

величины 1/4 1/8 1/16

"по 0,013356 0,015489 0,015780

™пп 0,018526 0,020152 0,020366

по - середина левой стороны; пп - центр пластины; п - число разбиений половины стороны плиты.

Рассмотрен вопрос об учете податливости поперечных связей на примере расчета двухслойной симметричной составной пластины с нулевой толщиной шва, контактирующей со сплошным винклеровским основанием. Обозначены прогибы: верхнего слоя IV], нижнего - W2. Для приближенного решения задачи используется теория А.Р. Ржанинына для составных пластин с абсолютно жесткими поперечными связями, но в уравнениях А.Р. Ржаницына полагаем,

что прогиб составной пластины W = — (w, +W2).

Результаты исследования показывают, что при учете податливости поперечных связей верхний слой составной пластины, несущий непосредственно внешнюю нагрузку, деформируется больше. Изгибающие моменты в сечениях каждого слоя при найденных w определяются по формулам А.Р. Ржаницына.

На примере расчета двухслойной составной пластины рассмотрен случай, когда величина f не постоянна в пределах шва. Полагаем, что £ = const в пределах одного участка на рис.5, но меняется скачкообразно от элемента к элементу. Тогда в пределах каждого элемента справедливы дифференциальные уравнения главы 4.

Для иллюстрации алгоритма рассмотрен расчет шарнирно опертой по всему контуру квадратной двухслойной пластины на действие равномерно распределенной по всей ее поверхности безразмерной нагрузки. На краях w = т = t = 0. Будем полагать, что на заштрихованном участке пластины

В таблице 8 показана сходимость решения этой задачи на 4-х сетках.

Таблица 8

1/4 1/8 1/16 1/32

mmax 0,7375 0,7367 0,7367 0,7367

^max 0,1147 0,1112 0,1100 0,1096

H'max 0,03362 0,03393 0,03402 0,03403

Как показывают расчеты многослойных пластин (§5.3), значения Т! в швах мало отличаются друг от друга. Это обстоятельство позволяет по крайней мере для пластин симметричной по высоте поперечного сечения структуры и при ¿;=сопХ в швах считать, что 7}=Т.

Упрощенная теория расчета многослойных составных пластин симметричной структуры приводит к трем дифференциальным уравнениям: (26), (38) и (39). Последние два даны ниже

Ъу/ Э2~

д ы (

дв

т — п-г

-2"+ дв2

п +1

(38)

(39)

Ъу1

п - число швов.

Рассмотрен расчет трехслойных пластин по теории А.Р.Ржаницына с целью сравнения результатов численного решения с экспериментальными данными Ю.Е. Якубовского. Сечение трехслойной пластины симметричной структуры показано на рисунке 11.

Рис.11

На рис. 12 показана длина стороны квадратной трехслойной плиты а=1,14м, размеры участка загружения локальной равномерно распределенной нагрузкой 0,17x0,17 м. Краевые условия: т = 1 = н> = 0 .

11.Т

%

-М

7 7)

а=!140

Рис.12

Приближенную методику расчета рассматриваемой составной пластинки с учетом трещинообразования строим следующим образом. Будем считать, что

в сечении среднего слоя, в котором о р=Ир, вследствие быстрого разрушения сжатой части бетона образуется сквозная по высоте сечения трещина (рис.13). Тогда в этой расчетной точке, как и на торцах пластины, не будет препятствий сдвигам, и можно положить Т = 7 ~0. Но оставшиеся бетонные столбики будут служить жесткими поперечными связями (рис. 14).

Рис.13

Рис.14

Останутся в силе все вышеприведенные уравнения с той лишь разницей, что в расчетных точках, в которых о р > Яр, следует положить ! = 0 .

На рисунке 15 теоретическая кривая показана жирной линией. Звездочками показаны экспериментальные результаты Ю.Е. Якубовского.

Р, кН 100

50

V / ж / / * / *

у « кН «5=2.05*10

0,5

1,0 -Ж* 10, м рисд5

Из сравнения результатов следует, что построенная простая методика учета трещинообразования дает удовлетворительное решение.

В главе 7 разработана численная методика расчета составных пластин на устойчивость и продольно-поперечный изгиб с использованием теории А.Р. Ржаницына для составных пластин с абсолютно жесткими связями. Внесены следующие допущения.

1) Все слои составной пластины сжаты силами одной и той же величины, причем суммарная сила сжатия равна /V: в направлении .г - Ы„ в направлении у -Л^. (рис.16).

2) В каждом слое пластины реализуется однородное плоское напряженное состояние.

N

УШШШШ

N

Рис.16

Дифференциальное уравнение составных пластин при учете влияния продольных сил на изгибные деформации запишем в безразмерном виде:

д2т д 2т -д^Т+двТ~ - Иа2

а-

- + Р

+ 7-

ду/ ду/дв дв

где

а

N N

Цу.

N

(40)

(41)

N - максимальное из значений Ы„ Ny,

Уравнение (40) формально совпадает с полученным для расчета монолитных плит. Поэтому для аппроксимации уравнения (40) можно воспользоваться разностным уравнением МПА.

Упомянутое выше уравнение служит для расчета составных пластин на продольно-поперечный изгиб при заданных произвольных значениях «, /?, у, р, Дт¥, Атв и к < , где - минимальное значение критического параметра сжимающих сил к . При р = Ат¥ = Атв = 0 из этого уравнения получено разностное уравнение для расчета составных плит на устойчивость. Остальные уравнения главы 4 остаются без изменений.

Рассмотрен частный случай, когда в (40) /?=0; а~у= 1, т.е. случай, когда составная пластина со всех четырех сторон испытывает сжатие безразмерной нагрузкой к (рис.17).

Запишем (40) при р=0 в следующем виде:

дуг

где ю=к--м. (43)

Рассмотрим двухслойную пластину с нулевой толщиной шва и запишем

дифференциальное уравнение главы 4, умножая его слева и справа на к :

Э2^ д2ю —(

-к\т - г

дуг2 дв2 Суммируя (43) с (42), получим: д2т Э2

дуг2 дв2

-к{т-7).

(43)

(44)

ПИЦПО

00 01 \

10 11 \

I I М I > 1 ш

и ч»

Рис.17

Дифференциальное уравнение главы 4 для определения 7 :

д27 д27 г(.

— + ^=-^„-40. (45)

Таким образом, задача устойчивости составной пластины в рассматриваемом случае сводится к совместному решению двух дифференциальных уравнений: (44) и (45).

В качестве примера рассмотрен расчет квадратной двухслойной пластины с краевыми условиями т = 7 = IV = 0 при к = 3.

Ниже в таблице 9 приводятся значения к™п , полученные для рассмотренной выше задачи на четырех вложенных одна в другую сетках.

Таблица 9

т величины""----^ 1/2 1/4 1/8 1/16

"Г тт кр 26,21 27,46 27,55 27,55

В качестве следующего примера рассмотрен расчет на устойчивость двухслойной квадратной пластины, сжатой только в направлении оси ц/ (рис.18).

Левый край свободен от закреплений, остальные шарнирно оперты. На всех краях 7 = 0 ; на шарнирных краях т=и'=0.

1

В таблице 10 даны значения ккр при 7 < —.

Таблица 10 _

X 1/4 1/8 1/16 1/32

ккр 24,48 24,37 24,35 24,34

V

П 1 1 \ Ы <

00 то— 01 02 11 12

20 21 22

1......1 1 ♦ 4 ♦ ♦

1/2 1/2 |

С?

Рис.18

Применяя теорию А.Р.Ржаницына, будем рассматривать трехслойную панель как двухслойную составную пластину с ненулевой толщиной шва. Если полагать, что наружные слои имеют одинаковую толщину /г и одни и те же значения Е и будут справедливы дифференциальные уравнения главы 4.

Результаты, полученные при соотношении сторон пластинки 1:1,5, сведены в таблицу 11 и сравниваются с экспериментальными данными А.Я. Александрова.

Таблица 11

№ по поряд. в МПа Якр ■ а (кН) Разница в %

по расчету по экспер.

1 9,748 31,51 35,3 -10,8

2 10,09 30,79 30,79 0

3 14,67 73,75 80,91 -8,8

4 17,63 88,66 93,41 -5,1

5 12,24 61,49 63,99 -4,0

6 10,83 112,39 107,88 -4,2

Модель двухслойной составной пластины с ненулевой толщиной шва приводит к весьма простому алгоритму и дает приемлемые значения критической нагрузки по сравнению с известными экспериментальными.

В главе 7 рассмотрена в качестве примера квадратная двухслойная пластина с нулевой толщиной шва, сжатая со всех четырех сторон безразмерной нагрузкой к < к"р'п. Полагаем, что пластина нагружена также

поперечной нагрузкой. В этом случае дифференциальное уравнение (40) записываем при а-у= 1 и рфО.

Рассчитана прямоугольная составная пластина при р=\ 0; к = 3 \ к =15 < к^ . Краевые условия: т = 7 = и> = 0 . Результаты в таблице 12.

___Таблица 12.

т 1/4 1/8 1/16 1/32

ттах 1,70530 1,70254 1,70237 1,70237

'тах 0,50288 0,50205 0,50200 0,50200

^шах 0,064521 0,064386 0,064377 0,064377

В 8 главе рассмотрен расчет составных пластин на динамические нагрузки.

Дифференциальное уравнение (26) принимает вид:

д2т Э 2т . . Эуу

(47)

_ р-ал _ Ха* - '

где Р =-г; X —-; ( = — ', р - масса единицы площади составной

АЛ Д7м 'и пластины; у - коэффициент поглощения энергии; Тм - период основного тона колебаний монолитной плиты.

Прочие дифференциальные уравнения, записанные в главе 4 в безразмерном виде, остаются без изменений. Сказанное относится и к краевым условиям.

Рассмотрен расчет составной пластины по определению частоты основного тона собственных колебаний на примере двухслойной пластины с нулевой толщиной шва.

Запишем (47) при р(?) = 0 и 2 = 0, рассматривая решение задачи в идеализированной постановке: д2т д ~т _Э2и>

э^э^-'эр-0- (48)

Решение (48) будем искать в виде:

т = т{у/,в)-$тт \ ы = \\{у/,в) $тсог, (49)

где й) = й) Ти - безразмерная частота собственных колебаний.

Подставляя (49) в (48), получим:

д2т Э 2т .

^ + ^ = (50) где Я = р-Ш7.

Для аппроксимации (50) по МПА на квадратной сетке достаточно в (32) р заменить на а-уу и записать это уравнение для случая отсутствия разрывов.

Рассмотрена в качестве примера квадратная двухслойная пластина с нулевой толщиной шва и с краевыми условиями т = и> = / = 0. В таблице 13

/ 1 Е

даны значения 0)/(л, где ••,)---5-, Н - высота поперечного сечения

Н \р0 (\-ц )

составной пластины, р0 - плотность материала.

Таблица 13

X к 1/2 1/4 1/8

со/ /О. а/ /а а/ /а

ю3 0,00331 0,00370 0,00375

ю4 0,00333 0,00373 0,00377

106 0,00333 0,00373 0,00377

где w =

Найдена также частота основного тона собственных колебаний двухслойной составной пластины при ненулевой толщине шва.

В главе 8 рассмотрен расчет составных пластин на вынужденные колебания.

Запишем уравнение (47) при следующем виде:

Э2т Э2т г _ ¡г!

W+W=Mt)~pw 1 (5,)

э V

Для аппроксимации (51) по МПА на квадратной сетке с шагом г без учета разрывов на временном слое с номером t] достаточно переписать разностное уравнение, аппроксимирующее (50), с заменой A-w на [p(t)-p • w" ].

После определения <7?)vv скорость (7)w' в каждой точке пространственной сетки определяется по формуле (24).

Рассмотрено действие вибрационной нагрузки p(t) - р0 ■ sin(в-t). В

качестве примера рассчитана квадратная двухслойная симметричной структуры составная пластина с нулевой толщиной шва.

В таблице 14 даются значения w,m, t в центре рассмотренной составной пластины, полученные в момент времени t - 0,5 при различных Tut.

Таблица 14

Т 1/4 1/8 1/16 1/16

¥ 0,1 0,05 0,02 0,01

w 0,00137 0,00138 0,00142 0,00145

m 0,02858 0,02877 0,02962 0,03031

7 0,00391 0,00394 0,00405 0,00414

Таблица 15 иллюстрирует сходимость решения при постоянном шаге т= 1/16 и переменном временном шаге: ? = ; т = /■удо; ? = }\20; ^ = }\40'

___Таблица 15

г Ао Хоо /120 XiO

w 0,00142 0,00145 0,00146 0,00146

m 0,02962 0,03031 0,03048 0,03061

t 0,00405 0,00414 0,00416 0,00417

В 9 главе рассматривается расчет плоских двухветвевых стержней и пластин переменного сечения.

Для таких стержней с прямолинейными ветвями, соединенными планками или диафрагмами, в работе P.A. Хечумова "Вариационный метод расчета составных стержней переменного сечения" получено дифференциальное уравнение второго порядка для определения сдвигающих усилий Т в швах.

Из упомянутого выше дифференциального уравнения как частный случай следует ранее полученное А.Р.Ржанициным дифференциальное уравнение для двухветвевых стержней постоянного сечения. Запишем его здесь при коэффициенте ¡J(j=0 (P.A. Хечумов показал, что для реальных стержней коэффициент ^0=0): -А2

Г"-Л2-Г = —М° (52)

ьо

где Т - сдвигающее усилие; X2 определяется первой формулой (III.3) работы P.A. Хечумова; М°х- изгибающий момент, воспринимаемый всем сечением составного стержня; Ь0 - расстояние между центрами тяжести сечений ветвей в начале координат (рис.19).

По рисунку 19 М°х = ßo • х. Введем безразмерную абсциссу:

¥ = — (53)

Н

Н2

и безразмерное 1 - Т ——, (54)

где EIe=const - изгибная жесткость отдельной ветви. Внесем обозначения:

АН =а;-^Г~б0 = '7 = 1. (55)

EI. b0

Дифференциальное уравнение (52) в безразмерном виде запишем так:

dyr

Для аппроксимации (56) можно воспользоваться уравнением МПА с заменой w на Г, р - на a2(y/—t). В случае отсутствия разрывов получим при а2 = const после несложных преобразований для регулярной точки

1—— ^^- 0 _ TS:^^3" = _1-»- ), (57) и краевой точки (правого края):

'"Т^2}^-1 +(1+и*2®2}'' ~{1+п"2}1'^^2^'1 +5Vi (58)

Запишем (57) для точки 1, (58) - для точки 2 на рисунке 20 при а= 1; г=1/2 с учетом краевых условий, а именно ta = 0\ t'2= 0.

//

Q»

ы.

/--

/.....- —А

[ Ьн \

X

1/2

1/2

Рис. 19

777777

I

V Рис. 20

Из совместного решения этих двух уравнений получим: ii=0,1624 (0,06%); i2=0,2385 (0,04%). Точное решение по P.A. Хечумову (табл.1) /[=0,1623; ¿2=0,2384. Решение по методу Ритца (табл.1) а=1; р=0: ii=0,1626 (0,18%) Г2=2376 (-0,38%).

Видно, что точность обоих методов высокая, но метод Ритца дает решение по tmax не в запас прочности.

Далее рассмотрим расчет той же составной балки переменного сечения. В этом случае справедливо дифференциальное уравнение (Ш.2) P.A. Хечумова. Запишем это уравнение для случая ро=0 в следующем виде:

Л(х)-Г+В(х) Г-Л2(l + rx)2-T = -—(l + гх)■ М°х . (59)

ьо

Дифференциальное уравнение (59) запишем в безразмерном виде: d2t _ dt

^ = т

Оно аппроксимируется по МПА.

Из совместного решения разностных уравнений, записанных для точек 1 и 2 (рис.18), находим: fi=0,1395; i2=0,1657. По приближенному решению P.A. Хечумова (табл.1): г,=0,1297; /2=0,1586<0,1657.

Разница в решениях по г,^ составляет =4,5%. Отметим, что по вышеприведенному расчету составной балки постоянного сечения результат P.A. Хечумова для h ниже точного.

Результаты нашего решения нетрудно уточнить на более мелкой сетке. При т=1/4 : fmail=0,1656; для середины балки f=0,1386. Видно, что численное решение по МПА дает сходящееся решение: разница между tmax при г=1/2 и г=1/4 составляет меньше 0,1%.

Подробно рассмотрена задача по расчету двухветвего стержня переменного сечения, когда задан коэффициент жесткости шва = £ = const; толщина шва нулевая, толщина каждой ветви меняется по закону прямой:

+ = + (61)

Дифференциальное уравнение работы P.A. Хечумова приведено здесь в безразмерном виде

~ = (62)

1 у

ГДС С = 1 + у/ ' ^ = (l + y/f ' Для аппроксимации (62) используется МПА.

Получено решение задачи при г=1/2 (рис. 20): r,=0,5953; i2=0,8184. При т=1/4 -f=0,6000; t„a^0,8235. Разница между результатами при г=1/2 и т=1/4 составляет менее 1%.

В диссертации построена приближенная методика расчета составных стержней переменного сечения, рассматривая такие стержни как составные стержни с кусочно-постоянным законом изменения сечения по длине.

Задача по определению t сводится к решению на каждом участке дифференциального уравнения вида

d2t

= -(9 -cl-V-c^t), (64)

¿у1 1

где с^ = ^ + у ; Ч>, - абсцисса середины участка. Из результатов решения задачи

в приближенной постановке приведем значение 1тах при г=1/2 и г = 1/4 соответственно: Гтш=^=0,8788; /тш='-/=0,8372>0,8235. Разница в ?,„<„ по сравнению с решением в точной постановке составляет 1,7%.

Видно, что решение с переходом к составной балке кусочно-постоянной жесткости дает удовлетворительные результаты. Главное здесь в том, что можно и составные многослойные балки рассчитывать как кусочно-постоянной жесткости, пользуясь готовыми уравнениями А.Р.Ржаницына для составных балок постоянной жесткости, т.е. нет необходимости специально выводить

дифференциальные уравнения с учетом переменной жесткости слоев. Это относится и к составным пластинам с переменной толщиной слоев.

Для расчета составных пластин переменного сечения можно рассматривать пластинку переменного сечения как составную пластину кусочно-постоянной толщины. При этом могут быть использованы известные дифференциальные уравнения А.Р.Ржаницына для многослойных составных пластин постоянной толщины. Разница лишь в том, что на каждом расчетном участке пластина имеет заданную толщину, отличную от смежного участка. Скачок изменения толщины учитывается разностными уравнениями МПА.

Следует отметить одно важное обстоятельство. При расчете реальных пластин кусочно-постоянной жесткости (как составных, так и монолитных)

Мх+Мг

искомый суммарный изгибающий момент М = —\ +^ на грзницах участков

разной жесткости испытывает разрыв. Расчеты по МПА монолитных пластин с учетом указанного разрыва даны Габбасовым Р.Ф. В гладких пластинах переменной жесткости разрывы ЛМ=0. Последнее обстоятельство (ДМ=0) можно учесть в конце расчета, определяя вторые производные IV и вычисляя Мх, Му с учетом действительного значения высоты поперечного сечения пластины на границе участков.

Проиллюстрируем сказанное выше на расчете двухслойной пластины кусочно-постоянной жесткости с нулевой толщиной шва и с постоянным коэффициентом жесткости шва £ Пусть на каждом участке слои одинаковы по толщинам и физическим параметрам. Тогда остаются в силе уравнения главы 4, а дифференциальные уравнения для Г и и> при с-к запишутся так:

'Э2Г Э2П г Г, , ь

(65)

Ъу/2 ' дв2 {%3'" 'И2 ' )■ (66)

Задача сводится к совместному решению дифференциальных уравнений (26), (65) и (66).

При аппроксимации упомянутых дифференциальных уравнений разностными уравнениями в точке у на границе участков разной жесткости будем иметь четыре неизвестных: ] г,; и два значения т11, поскольку, как

уже указывалось выше, в этой точке претерпевает разрыв. Недостающее уравнение на границе разрыва жесткостей, параллельной оси в, получим из условия непрерывности безразмерных изгибающих моментов т'у). На рисунке 21 показана граница разрыва жесткостей жирной линией и часть квадратной сетки с шагом т; участок выше линии разрыва обозначим I, ниже II.

При расчете составных плит переменной жесткости в пределах элементов I и II (рис. 21) берутся усредненные толщины.

<'-1.7

I

/.7-1

/.7+1

II

'■+1.7

Рис.21

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Теория составных стержней и пластин А.Р. Ржаницына обобщена на случай больших перемещений. Получены дифференциальные уравнения для определения сдвигающих сил в швах изгибаемых составных балок и плит с учетом уточненных значений кривизны.

2. Разработан численный алгоритм решения указанных выше задач с привлечением разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА). На тестовых задачах показаны высокая точность и быстрая сходимость решений по МПА. Получены новые результаты расчета составных балок и пластин по обобщенной теории А.Р.Ржаницына.

3 Получены дифференциальные уравнения составных пластин (в том числе и неразрезных) в рамках теории А.Р. Ржаницына для расчета этих конструкций на упругом основании, на вынужденные колебания, устойчивость и продольно-поперечный изгиб. Рассмотрены основания типа Винклера и с двумя коэффициентами постели. Разработаны численные алгоритмы расчета составных балок и пластин на продольно-поперечный изгиб и устойчивость.

4. Разработан алгоритм расчета двухслойных пластин на винклеровском основании с учетом податливости поперечных связей.

5. Разработана численная методика расчета составных стержней и пластин с переменными значениями коэффициента жесткости швов.

6. Предложена численная методика расчета многослойных балок и пластин на вынужденные колебания, построенная на принципе прямого интегрирования. Разработан алгоритм определения собственных частот и форм колебаний указанных конструкций.

7. Предложена приближенная теория расчета многослойных составных балок и пластин симметричной структуры на статические нагрузки.

8. Предложена приближенная методика учета образования трещин в среднем слое трехслойных плит. Сравнение результатов этой методики с экспериментальными данными иллюстрирует их удовлетворительную сходимость.

9. Разработан алгоритм расчета двухслойных стержней переменного сечения.

10. Предложена приближенная методика расчета составных стержней и пластин переменного сечения.

Основные положения и результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

В периодических изданиях, включенных в перечень рекомендованных ВАК РФ:

1. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Численное решение задачи по расчету составных стержней с переменным коэффициентом жесткости шва // «Academia» Архитектура и строительство, 2007г, №2, с. 86-88.

2. Филатов В.В. К расчету составных стержней переменного сечения // Вестник МГСУ, №2, 2009, с.50-53.

3. Филатов В.В. О расчете неразрезных составных балок // Промышленное и гражданское строительство, 2009, № 8, с.59-60.

4. Филатов В.В. К расчету составных пластин переменной жесткости // «Academia» Архитектура и строительство, №4, 2009, с. 79-81.

5. Филатов В.В. К расчету составных балок по теории А.Р Ржаницына // Вестник МГСУ, №4,2009, с.70-73.

6. Филатов В.В. К расчету составных балок на упругом основании // Вестник МГСУ, №4, 2009, с.73-76.

7. Мусса Сали, Филатов В.В. Об учете податливости поперечных связей в расчетах составных пластин по теории А.Р. Ржаницина // Промышленное и гражданское строительство, №2, 2010, с. 28-29.

8. Филатов В.В. О расчете составных балок на упругом основании с двумя коэффициентами постели // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №3,2010, с. 38-40.

9. Филатов В.В. О расчете составных пластин на вынужденные колебания // Известия вузов. Строительство. 2010, №7. С. 125-128.

10. Филатов В.В. О расчете составных пластин на винклеровском основании //Промышленное и гражданское строительство №11, 2010г., с. 48-49.

11. Филатов В.В. Расчет сквозных балок по теории составных стержней А.Р. Ржанцына.// Вестник МГСУ, №9,2013, с.23-31.

12. Филатов В.В. Расчет составных пластин на винклеровском основании с кусочно-постоянным коэффициентом постели // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. 2014. Вып. 2(33). Ст. 22. Режим доступа: http://www.vestnik.vgasu.ru/

Монография

13. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Численный метод расчета составных стержней и пластин с абсолютно жесткими поперечными связями. - М.: Изд-во АСВ, 2014, 200 с.

Публикации в иных изданиях:

14. Филатов В.В. Об одном варианте нелинейной теории составных стержней // Международная научно-техническая конф. «Современные проблемы строительства и реконструкции зданий и сооружений». Вологда, 2003, с. 278-281.

15. Филатов В.В. К построению нелинейной теории расчета составных стержней // Сб. докладов НТК ф-та ПГС - МГСУ, М., 2004, с. 177-183.

16. Филатов В.В. Численное решение задачи устойчивости и продольно-поперечного изгиба составных балок по теории А.Р.Ржаницына // Материалы IV Международной научно-технической конф. «Итоги строительной науки». Владимир, 2005, с. 129-132.

17. Филатов В.В. Расчет составных плит на упругом основании // Материалы четвертой всероссийской НТК «Вузовская наука - региону». Вологда, 2006г., I том, с.360-362.

18. Филатов В.В. К расчету составных пластин по теории А.Р.Ржаницына// Тр. международной научно-технической конф. «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». Москва, МИИТ, 2006г., Том 2, с.414-416.

19. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. О расчете на устойчивость составных пластин по теории А.Р. Ржаницына // Юбилейный сб. докладов, посвященный 100-летию со дня рождения В.З. Власова, М., МГСУ, 2006, с.31-36.

20. Филатов В.В. Упрощенная теория расчета составных пластин // Сб. докладов юбилейной научно-технической конф. института строительства и архитектуры. Москва, МГСУ, 2006г., с.260-265.

21. Филатов В.В. К расчету составных пластин на устойчивость по теории Ржаницына А.Р // Сб. научных тр. ИФО МГСУ «Прикладные задачи механики». Выпуск 3, Москва 2006г., с.191-196.

22. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. К расчету на устойчивость трехслойных панелей // Строительная механика и расчет сооружений, 2006, №5, с.9-11.

23. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. О расчете составных пластин с переменными значениями коэффициента жесткости швов // «Современное промышленное и гражданское строительство». Том 3, №2, 2007, с. 103-107. Журнал основан Донбасской национальной академией строительства и архитектуры.

24. Филатов В.В. Упрощенная теория расчета составных стержней // «Теоретические основы строительства» международный XVI российско-польско-словацкий семинар, г. Жилино, Словацкая республика 11-15 июня 2007 г, Москва, МГСУ, с.85-88.

25. Филатов В.В. Численный алгоритм определения собственных частот и форм колебаний составной балки // Материалы шестой всероссийской НТК «Вузовская наука - региону». Вологда, 29 февраля 2008г, т. 1, с. 333-335.

26. Филатов В.В. Численный алгоритм расчета многослойных составных пластин по теории А.Р. Ржаницына // Сб. научных тр. XVII Российско-Польско-Словацкого семинара «Теоретические основы строительства», 02.06-06.06 2008г, т.1, с.161-164.

27. Филатов В.В. Численный алгоритм расчета многослойных составных балок на вынужденные колебания // Строительная механика и расчет сооружений, №5,2008, с. 59-61.

28. Филатов В.В. К определению частоты основного тона колебаний изгибаемых составных пластин // Сб. трудов II МНТК «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы»./ Мое. гос. строит, ун-т - М.:МГСУ, 2009, с.309-311.

29. Габбасов Р.Ф., Филатов B.B. Расчет составных пластин на продольно-поперечный изгиб // Сборник докладов традиционной НТК ППС ИСА/ Мое. гос. строит, ун-т - М.:МГСУ, 2010, с.222-225.

30. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. К расчету составных пластин на упругом основании // Сб. трудов III МНПК «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». Посвящена 100 летаю со дня рождения Б.Г. Коренева/ Мое. гос. строит, ун-т -М.:МГСУ, 2010, с.96-100.

31. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Расчет неразрезных составных пластин // Дефекты зданий и сооружений. Усиление строительных конструкций/ Материалы XV научно-методической конференции ВИТИ посвященной памяти В .Т. Гроздова./ Военн. инж. техн. ин-т. - СПб., 2011, с.153-157.

32. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Численный метод расчета составных пластин с учетом трещинообразования // Сб. трудов IV МНПК «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». Посвящена 100 летию со дня рождения А.Р. Ржаницына/ Мое. гос. строит. ун-т-М.:МГСУ, 2011, с.116-119.

33. Филатов В.В. К расчету составных пластин с переменными значениями коэффициента жесткости швов на упругом основании // Сб. трудов МНК «Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании». - М.:МГСУ, 2011. - Том 2, с.766-769.

34. Филатов В.В. Расчет пролетных конструкций надземного пешеходного перехода по теории составных стержней А.Р. Ржаницына // Сб. тезисов МНК «Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании». - М.гМГСУ, 2013. - с.135-137.

Свидетельства на программу для ЭВМ:

35. Филатов В.В. Программа для расчета двухслойных неразрезных балок// Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2014662134 от 24.11.2014.

36. Филатов В.В. Программа расчета многослойных составных пластин симметричной структуры на поперечный изгиб // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2014662738 от 08.12.2014.

37. Филатов В.В. Программа расчета двухслойных пластин на продольно-поперечный изгиб // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2014662814 от 09.12.2014.

38. Филатов В.В. Программа для расчета на изгиб двухслойных пластин с учетом кусочно-постоянных значений коэффициентов отпора упругого основания и жесткости шва // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2014662950 от 12.12.2014.

39. Филатов В.В. Программа расчета двухслойной шарнирно опертой пластины на действие вибрационной нагрузки // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2014662951 от 12.12.2014.

40. Филатов В.В. Программа для расчета двухслойных составных балок на вынужденные колебания // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2014662953 от 12.12.2014.

КОПИ-ЦЕНТР св.: 77 007140227 Тираж 100 г. Москва, ул. Енисейская, д. 36. тел.: 8-499-185-79-54,8-906-787-70-86 www.kopirovka.ru