автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие кинематического метода предельного равновесия для расчёта пластинок и балок постоянной и переменной жёсткости

На правах рукописи

Морозов Станислав Александрович

РАЗВИТИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ РАСЧЁТА ПЛАСТИНОК И БАЛОК ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ЖЁСТКОСТИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Орёл-2011

2 2 СЕН 2011

4853404

Работа выполнена на кафедре «Строительные конструкции и материалы» ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК».

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ, Заслуженный строитель РСФСР, доктор технических наук, профессор Коробко Виктор Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Юрьев Александр Гаврилович

кандидат технических наук, доцент Ступишин Леонид Юлианович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Защита состоится 14 октября 2011 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.182.05 при ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» по адресу: 302030, г. Орёл, ул. Московская, 77, ауд. 426.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» и на официальном сайте - www.gu-unpk.ru.

Отзывы на автореферат просьба отправлять по адресу: 302020, г. Орёл, Наугор-ское шоссе, 29.

Автореферат разослан 12 сентября 2011 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

'1Л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пластинки и балки являются одними из самых распространённых конструктивных элементов в строительных и машиностроительных конструкциях, занимая одно из наиболее значимых мест: несущие элементы мостовых конструкций, элементы обшивки крыла, фюзеляжа самолёта или корпуса корабля, элементы перекрытия и покрытия в зданиях и сооружениях. Для их расчёта применяются в большинстве своём численные методы (метод конечных элементов, метод конечных разностей) и создаются программные комплексы, при использовании которых часто теряется физическая сущность задачи.

Однако в расчётной практике по-прежнему придаётся большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических, в том числе и приближённых, методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность, жёсткость и устойчивость конструкций, что способствует более правильному пониманию её силовой схемы.

Одним из таких методов является метод предельного равновесия, который даёт возможность определить разрушающую нагрузку путём сравнительно несложного расчёта и во многих случаях обеспечивает рациональное расходование материала. Метод предельного равновесия позволяет решать задачи, которые с трудом поддаются расчёту другими методами из-за сложности математических вычислений. Определение несущей способности конструкций с учётом пластических деформаций производится с использованием различных условий текучести, а также с применением теорем предельного равновесия.

В справочной и научной литературе приводится весьма ограниченный набор известных решений задач предельного равновесия пластинок, большинство из них получены приближёнными методами и имеют разную степень точности и достоверности.

Вместе с тем важное теоретическое и практическое значение имеет дальнейшее развитие кинематического метода предельного равновесия для расчёта пластинок и стержневых систем постоянной и переменной жёсткости.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются пластинки постоянной жёсткости с произвольным выпуклым контуром и однородными граничными условиями по всему контуру (либо шарнирное опирание, либо свободное опира-ние, либо жёсткое защемление), пластинки линейно-переменной толщины и статически неопределимые балки ступенчато-переменной жёсткости. Материал пластинок и балок удовлетворяет условиям жёсткопластического деформирования. Предметом исследования являются кинематический метод предельного равновесия, способы и методики определения разрушающих нагрузок для пластинок и балок, нагруженных сосредоточенной силой или равномерно распределённой нагрузкой, изучение и использование взаимосвязи кинематического метода с методом интерполяции по коэффициенту формы.

Цель диссертационной работы заключается в развитии кинематического метода предельного равновесия для оценки несущей способности пластинок постоянной жёсткости произвольного вида и различными граничными условиями, разработке теоретического аппарата для расчёта пластинок линейно-переменной жёсткости и балок переменного сечения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- получить аналитические зависимости границ перехода между возможными

схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в произвольной точке, и на их основе разработать алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок;

- исследовать возможные схемы разрушения шарнирно опёртых пластинок в форме трапеции, параллелограмма, треугольника при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы;

- выявить закономерности изменения разрушающих нагрузок для пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной в их геометрическом центре;

- получить функциональные зависимости «разрушающая нагрузка - коэффициент формы пластинок» для пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, имеющих различные очертания опорного контура;

- разработать теоретическую базу для расчёта пластинок линейно-переменной толщины, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой или сосредоточенной силой, кинематическим методом предельного равновесия для пирамидальных и конических схем разрушения;

- исследовать поведение замкнутого краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины, получить соответствующее дифференциальное уравнение и его интеграл;

- провести экспериментальные исследования прямоугольных шарнирно опёртых пластинок линейно-переменной толщины, для выяснения вопроса об угле выхода криволинейного шарнира текучести на опорный контур;

- исследовать несущую способность оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.

Методы исследования. В ходе проведения теоретических исследований использовались классические методы строительной механики и теории сооружений, при обработке результатов экспериментальных исследований - методы математической статистики. Для исследования геометрической стороны изучаемой проблемы применялись методы геометрического подобия плоских фигур (аффинные преобразования), а при исследовании физической стороны - кинематический метод предельного равновесия, метод конечных разностей, метод интерполяции по коэффициенту формы. Для аппроксимации полученных решений использовался программный комплекс «Table Curve 2D V. 5.01», оценка погрешности найденных функций выполнялась в приложении «Microsoft Office Excel 2003». Для получения численных решений применялся программный комплекс «MathCAD 14».

Научную новизну диссертационной работы составляют следующие результаты:

- аналитическое и графическое представление границ перехода между возможными схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы, алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок, разработанный на основе полученных решений;

- аналитические зависимости для определения разрушающей нагрузки различных четырёхугольных пластинок (в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба) при произвольном месте приложения сосредоточенной нагрузки;

- закономерность о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок для четырёхугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в их геометрическом центре;

- граничные кривые, представленные в координатных осях «разрушающая на-

грузка - коэффициент формы», для пластинок с различным очертанием опорного контура, однородными граничными условиями и нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;

- аппроксимирующие функции для определения параметров схем разрушения пластинок с образованием угловых элементов в полигональных свободно опёртых пластинках, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;

- расчётные формулы для определения разрушшощих нагрузок пластинок линейно-переменной толщины и закономерности образования пирамидальных и конических схем излома;

- новые результаты экспериментальных исследований по выявлению закономерностей поведения криволинейного шарнира текучести при его выходе на шарнирно опёртый контур.

Теоретическая значимость и практическая ценность результатов диссертационной работы заключается в следующем:

- в выявлении закономерностей и физических эффектов при исследовании работы пластинок в предельном состоянии с их аналитической и графической интерпретацией; в использовании этих закономерностей при выводе расчётных формул для определения разрушающих нагрузок пластинок произвольного вида с однородными граничными условиями при воздействии на них сосредоточенной силы или равномерно распределённой нагрузки;

- в построении граничных функций «разрушающая нагрузка - коэффициент формы», позволяющих использовать аппарат изопериметрического метода и метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач предельного равновесия пластинок;

- в разработке теоретической базы для расчёта пластинок линейно-переменной толщины кинематическим методом предельного равновесия; в теоретическом исследовании поведения замкнутого шарнира текучести в жёстко защемлённых пластинках, нагруженных сосредоточенной силой; в экспериментальном исследовании поведения незамкнутого краевого шарнира текучести с выходом его на шарнирно опёртый контур пластинки линейно-переменной толщины;

- в разработке алгоритма и программы для определения несущей способности прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой;

- в методике определения разрушающей нагрузки для оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.

Достоверность представленных научных положений и результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики и теории сооружений, сопоставлением полученных результатов с известными решениями других исследователей, а также решением большого количества тестовых задач.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

- аналитические зависимости и графическое представление границ перехода между возможными схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы, алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок, разработанный на основе полученных решений;

- аналитические зависимости для определения разрушающей нагрузки различных четырёхугольных шарнирно опёртых пластинок (в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба) при произвольном месте приложения сосредоточенной силы;

- двусторонние оценки разрушающей нагрузки шарнирно опёртых трапециевидных, параллелограммных и треугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной в их геометрическом центре;

- графическое представление граничных кривых Рразр - Кг для пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, а также примеры расчёта, демонстрирующие эффективность применения построенных кривых при оценке несущей способности пластинок в задачах строительной механики, связанных с произвольной выпуклой областью;

- аппроксимирующие функции для определения параметров схем излома пластинок с образованием угловых элементов в полигональных свободно опёртых пластинках, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;

- расчётные формулы для определения разрушающих нагрузок пластинок линейно-переменной толщины и закономерности образования пирамидальных и конических схем разрушения;

- вывод и численное решение дифференциального уравнения замкнутого краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины;

- результаты экспериментальных исследований по выявлению закономерностей поведения криволинейного шарнира текучести при его выходе на шарнирно опёртый контур;

- методика определения разрушающей нагрузки для оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ОрёлГТУ (Госуниверситета - УНПК) в 2009...2011 гг.; Международных академических чтениях «Биосферно-совместимая безопасная среда обитания с позиции архитектурно-градостроительного комплекса» (Брянск, 2007 г.); Международных академических чтениях «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» (Курск, 2009...2010 гг.); 2-ой Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 8 статей в ведущих рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертационных исследований на соискание учёной степени кандидата технических наук.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка литературы, включающего 164 наименования, в том числе 50 зарубежных, и 8 приложений. Работа изложена на 274 страницах, включает 202 страницы основного текста, содержит 67 рисунков, 51 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и задачи исследования, доказывается научная новизна, достоверность полученных результатов, их теоретическая значимость и практическая ценность, приводятся положения, выносимые на защиту, излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе изложен обзор работ по проблеме расчёта строительных конструкций методом предельного равновесия, а также его теоретические основы.

Ведущую роль в процессе разработки, обоснования и практического применения теории предельного равновесия сыграли фундаментальные работы A.A. Гвоздева,

A.A. Ильюшина, А. Надаи, В. Прагера, А.Р. Ржалицына, Р. Хилла, Ф.Г. Ходжа и др.

Расчёт железобетонных плит методом предельного равновесия проводился советскими учёными A.A. Гвоздевым, A.C. Григорьевым, A.M. Дубинским, М.И. Ерховым,

B.C. Зыряновым, Д.Д. Ивлевым, A.C. Калманком, А.Р. Ржаницыным и др. Из зарубежных исследователей следует отметить работы М. Арьенпура, Г. Гопкинса, К.В. Йоган-сена, E.H. Мансфилда, Э. Митчелла, М.П. Нильсена, В. Ольшака, В. Прагера, А. Савчука, 3. Соботки, Ф.Г. Ходжа, М. Хораши и др. Среди диссертационных исследований следует выделить работы С. Греха, Б.Ж. Давранова, K.M. Джеманкулова, К.Ф. Исламо-ва, Ю.В. Киржаева, В.И. Коробко, Г.И. Коротеева, В.В. Ражайтиса, K.M. Тельконурова, ДА. Темралинова и др.

При решении задач предельного равновесия пластинок широко применяются методы математического программирования, среди которых наибольшее распространение получило линейное программирование. Из работ этого направления следует выделить исследования Г.Н. Брусенцова, Д. Джонсона, Д. Купмана, Р. Ланса, В. Прагера, A.M. Проценко, А.Р. Ржаницына, В.И. Терёхиной, A.A. Чираса и др.

Экспериментальной проверкой теории предельного равновесия занимались советские учёные К.К. Антонов, B.C. Булгаков, A.A. Гвоздев, JI.H. Зайцев, Р.В. Зиновьева, B.C. Зырянов, Н.И. Карпенко, С.М. Крылов, A.C. Щепотьев и др. Из зарубежных исследователей следует отметить работы С. Джейна, Д. Кеннеди, М. Масиратта, Ц. Меруани, Д. Мэгера, Р. Парка, Д. Робинсона, Р. Тейлора, Б. Хэйса и др.

Определять несущую способность конструкций можно и приближёнными инженерными методами (с помощью изопериметрического метода, метода интерполяции по коэффициенту формы), которые имеют строгое и чёткое математическое обоснование применительно к задачам предельного равновесия. Из работ этого направления следует выделить исследования В.И. Коробко, A.B. Коробко и их учеников.

Расчёты по предельному состоянию основываются на использовании упрощённых зависимостей (диаграмм) 0-е между напряжениями и продольными деформациями материала. Состоянию предельного равновесия, когда все волокна в растянутой, и в сжатой зонах будут находиться в состоянии текучести, соответствует предельный погонный момент шг = 0,25а,Ь2.

При использовании кинематического метода предельного равновесия составляются уравнения работ внешней нагрузки и внутренних усилий, возникающих в шарнирах текучести. Значение предельной нагрузки определяется из условия равенства нулю полной потенциальной энергии системы. В случае действия на пластинку сосредоточенной нагрузки потенциальная энергия внешних сил Т может быть найдена как произведение силы Р на величину максимального прогиба: Т = - Pw0, а для случая действия на пластинку распределённой нагрузки интенсивностью q(x, у) - из выражения

п

Т = -JJq(x,y)wdA . Работа внутренних сил U определяется из выражения U = £ fmT9,dsi ,

А ¡.1 о

где l-t - длина i-ro шарнира текучести; 0; - двугранный угол перелома в i-ом шарнире текучести, dsj - длина ребра перелома i-ro шарнира текучести.

Двугранный угол перелома 0; упругих граней пластинки в цилиндрическом шарнире текучести AB в точке С (рисунок 1) определяется следующим образом:

- для полигональных пластинок

1 1

= W„| -+-а Ь

^(йва.+^РО; (1)

- для пластинок с криволинеиным контуром

2г'2 ~

е, = + йё|3 ¡)1+—^—— ИФ , (2)

I, V гг)

а работа внутренних сил из выражений: - для полигональных пластинок

Рисунок 1 - Определение двугранного угла перелома в цилиндрическом шарнире текучести

и = тту/0^ (^с^ + ^^ ) ;

(3)

- для пластинок с криволинеиным контуром

и = тт\У0

(4)

где г = г(ф) - уравнение контура пластинки в полярной системе координат.

Вторая глава посвящена расчёту пластинок постоянной толщины кинематическим методом предельного равновесия.

В работах А.Р. Ржаницына отмечается, что для прямоугольных шарнирно опёртых пластинок в зависимости от места приложения сосредоточенной силы возможны схемы разрушения, представленные на рисунке 2. 6)

Рисунок 2 - Схемы разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок

Значения разрушающих нагрузок соответствующие предельным состояниям, изображённым на рисунке, определяются следующим образом:

Схема а)

Схема б)

Схема в) Схема г), з)

тт|а/у и- а/(Ь - у) + Ь/х + Ь/(а - х)];

4шт(а/Ь + Ь/а);

10,283тг;

11,425тТ;

Схема д)

Схема е)

у Ь-у х ,, 2ч[ 2

+ —+-- +-+(1+С ) -Т- + 11

х х Ь-у и_с

где параметр «с» определяется из транецен-

2ч „ 1 + С2 ХЧу! 2( 1 + с )я + 2---+- 3

где пара-

дентного уравнения

у 1 + с Ь-у 1-е

= р-™/2

1-е ху

метр «с» определяется из трансцендентного

у 1 + с _„

уравнения---= е

х 1-е

Схема ж)

2шт(1 + с2) (¿Н , где параметр «с» определяется также как и для схемы д).

Используя выражения, представленные выше, были построены границы перехода между возможными схемами разрушения для прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой. Получены шесть интервалов, в каждом из которых координаты «х», «у» границ перехода между схемами излома будут иметь различные значения:

к> 2,093, 1,8121 < к < 2,093. 1,5465 < к< 1,8121,

1,2465 <к< 1,5465, 1,2262 < к< 1,2465, 1 < к < 1,2262.

Найденные интервалы позволяют найти границы областей, вдоль которых будет происходить переход между возможными схемами разрушения. Графическое построение таких областей даёт наглядное представление этих границ и позволяет определить ту схему разрушения, которая будет реализо-вываться для пластинки с заданным отношением сторон к при заданных координатах «х», «у» места приложения нагрузки. Пример построения таких областей для одного из интервалов приведён на рисунке 3.

Графическое представление областей перехода между возможными схемами разрушения для каждого из

№ ТОЧКИ Координата точки X? ТОЧКИ Координата точки

X У X У

1 0,1797Ь 0,5Ь 6 0,5а 0,2689Ь

2 0,1814Ь 0,4394Ь 7 0,2389Ь 0,5Ь

3 0,3020Ь 0,3020Ь 8 0,4405^ 0,2635Ь

4 0,4735Ь 0,1954Ь 9 1,0465Ь 0,5Ь

5 0,9056Ъ 0,2689Ь 10 0,5Ь 0,5Ъ

У 4,425т,

□ 10,283т,

I | схема д)

| [ схема ж)

{ ] схема е)

Рисунок 3 - Границы перехода между схемами разрушения для интервала к > 2,093 (на рисунке показана четверть пластинки)

полученных интервалов позволило разработать алгоритм и программу для определения несущей способности прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой.

При уменьшении отношения сторон пластинки к, точка, в которой несущая способность будет минимальной, смещается от диагонали в центр.

Всё множество значений разрушающих нагрузок для прямоугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, в зависимости от отношения сторон пластинки к, ограничено с двух сторон (рисунок 4).

Точка 1 на этом рисунке соответствует квадратной пластинке, кривая 1-2 - прямоугольным пластинкам с соотношением сторон к < 1,6957, горизонтальная прямая 2-3 - прямоугольным пластинкам, у которых к > 1,6957, горизонтальная прямая 4-5 является верхней границей всего множества значений разрушающих нагрузок для прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой.

Для шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой возможны схемы разрушения с образованием криволинейных шарниров текучести (рису-

1,6957

Рисунок 4 - Свойство ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок для прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой

мок 5), которые очерчиваются по логарифмической спирали и выходят на опорный контур под углом 45°.

а) 6) Эп. Получены выражения для на-

хождения предельных нагрузок, приходящихся на образование зон пластичности в окрестности острого и тупого углов пластинок (для общего случая приложения нагрузки):

- для острого угла пластинки (рисунок 5, а):

Рисунок 5 - Зоны пластичности 5 окрестности острого и тупого углов пластинки

= 2т.

1 + сг I — а.

1 + с; 1-е;

- для тупого угла пластинки (рисунок 5, б):

2(1 + с2] * + Р„ +Р,2 ] + 2-|^7+с18р|, +с18р|2

(5)

(6)

где значения параметров «С|», «с2» и «с» определяются из трансцендентных уравнений И, 1+с, _ -о,с«о-ц.) 112 1+с; Ь, 1+с .цл+р,,»р,,)

Ь, 1-С| Ь, 1-е, Ь, 1-е

Из формул (5) и (6) вытекают частные случаи приложения сосредоточенной нагрузки, рассмотренные А.Р. Ржаницыным.

Трапеции являются наиболее общими фигурами среди четырёхугольников. Они включают в себя как частные случаи прямоугольники (в том числе квадраты), параллелограммы (в том числе ромбы), треугольники (в том числе правильные и равнобедренные треугольники). Поэтому, если найти общее решение задач предельного равновесия трапециевидных пластинок, то для остальных видов пластинок расчётные формулы будут следовать автоматически из полученных решений.

На рисунке 6 представлены схемы разрушения трапециевидных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в центральной их части.

Рисунок 6-Схемы разрушения трапециевидных шарнпрно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой

Значения предельных нагрузок, соответствующие этим схемам излома, определяются следующим образом:

- для схемы разрушения «а»

\1+сг]|-а, +(1+сН|-р2

+ 2

1+сг 1+с;

—-5

1 — сг 1-е;

+ ОДа21 +с^а,2 +^РМ +й§Р|2 > :

— для схемы разрушения «б»

+ 2

1 + С| 1 + С; 1-е? 1-е?

+<^ри +Ctg|}2l [;

-для схемы разрушения «в»

+ с'бРм +с'ё|3|2 +С'§Р21 +^ёР22 + + ctga2:

где значения параметров «С]» и «с2» определяются из трансцендентных уравнений

1 + с,

= (схема а); = (схема б).

113 1 — с2 Ь3 1 — с2

Ь2 1-е,

Здесь и далее будем считать, что Ь, и (Н - Ь|) - высоты, опущенные из точки приложения сосредоточенной силы на нижнее и верхнее основания трапеции, Ь2 и Ь3 - высоты, опущенные на её левую и правую боковые стороны соответственно.

Для вытянутых в горизонтальном направлении трапециевидных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в центральной их части, возможны схемы разрушения, представленные на рисунке 2, в, ж. Схема разрушения «в» (см. рисунок 2) будет справедлива для всех вытянутых в горизонтальном направлении пластинок с двумя параллельными сторонами, в частности и для вытянутых в горизонтальном направлении трапециевидных пластинок. Разрушающая нагрузка при такой схеме излома всегда постоянна и равна 10,283шт. Для схемы разрушения «ж», когда сосредоточенная сила отступает на некоторое расстояние «у» от основания трапециевидной пластинки, предельную нагрузку следует определять по той же формуле, что и для прямоугольных пластинок, приняв Н = Ь. Схема «в» переходит в схему «ж», когда точка приложения сосредоточенной силы находится в середине высоты трапеции, а в схему «з» (см. рисунок 2) - когда у < 0,2689Н (эта граница была получена в диссертации при определении зон перехода между возможными схемами разрушения прямоугольных пластинок).

Для вытянутых в вертикальном направлении трапециевидных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в центральной их части, возможны схемы разрушения, представленные на рисунке 7.

Рисунок 7 - Схемы разрушения трапециевидных шарнирно опёртых пластинок, вытянутых в вертикальном направлении и нагруженных сосредоточенной силой

Значения предельных нагрузок, соответствующие этим схемам излома, определяются следующим образом:

- для схемы разрушения «а»

= 2т,

1+с; 1-е?

-+ 1 + с

1 + с* 1-е?

где значения параметров «С!» и «С2» определяются из трансцендентных уравнении

Ь2 1 + с,

Ь, 1 + с,

причём А, = я/2 - 5 = Зл/2 - р1 - |}2, А2 = я/2 + 8 =

1ъ 1-е, Ь2 1-с2

= Зл/2 - я, - а2, а 8 - угол, образованный боковыми сторонами трапеции; -для схемы разрушения «б»

1 + с*

= 2т,

1 + с

1 + с, 1-е?

+ (1 + с2гК

1+с; 1-е?

н(1 + С=)Б3

1-е?

где значения параметров «С[», «с2» и «с3» определяются из трансцендентных уравне-

нии

Ь, 1 + с,

„-■Л

1 + с2

1-е,

Бз = л/2 - а2;

- для схемы разрушения «в»

Рр«,р = тт

2(1 +с2 )з

+ 2

ь,

1 + с2

1 + с3 1-е,

причём Б, = А|, Б2 = л/2 — аь

где Ъ,

значение параметра «с»

из трансцендентного уравнения

1-е2 определяется

1 + с 1-е

', причём В = А2.

Для трапециевидных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной вблизи вершины угла, возможны схемы разрушения, представленные на рисунках 2, е и 3. Значения предельных нагрузок для этих схем излома, изображённых на рисунке 3, определяются из выражений (5), (6) соответственно, а для схемы «е» (см. рисунок 2) также как и для прямоугольных пластинок.

Для трапециевидных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной вблизи стороны, возможны схемы разрушения, представленные на рисунке 2, г, д, з. Значения предельных нагрузок, соответствующие этим схемам излома определяются также как и для прямоугольных пластинок. Несущая способность прямоугольной трапециевидной пластинки при схеме разрушения «д» определяется по соответствующей формуле для прямоугольной пластинки, приняв Н = Ь; при схемах «г» или «з», которые могут образоваться вдоль любой стороны трапециевидной пластики произвольного очертания, - имеет постоянное значение Рршр = 11,425шт.

Для параллелограммных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной нагрузкой, возможны схемы излома, изображённые на рисунках 2, г, 3 и 6, а. Значения предельных нагрузок для этих схем разрушения были приведены ранее. Минимальное значение предельной нагрузки для параллело-граммной пластинки будет тогда, когда сосредоточенная сила приложена в её центре. В этом случае разрушающая нагрузка определяется из выражений:

2 ' I .. ' 1 ~_2с46а

Рр„р=2т1

1-е2

(7)

\2 ) а

д«/2-«)

а Ь —1- — Ь а

1

- 2ctga

(8)

где а - острый угол параллелограмма; а и Ь - его стороны, а значение параметра «с»

определяется из трансцендентного уравнения

1 + с 1-е '

—с(ж/2-а)

Из формул (7) и (8) вытекают все частные случаи для четырёхугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в центре, связанных с параллелограммом (пластинки в виде квадрата, ромба, прямоугольника).

Применив к прямоугольным пластинкам геометрическое преобразование аффинного сдвига параллельно основанию, нетрудно убедиться в том, что всё множество параллелограммов можно заключить между прямоугольниками и ромбами. Очевидно, что и всё множество разрушающих нагрузок будет лежать между соответствующими решениями для прямоугольных и ромбических пластинок. Покажем это графически.

Выберем в качестве аргумента выражение кс = (а/Ъ + Ь/аУэта, которое характеризует форму параллелограмма и в явном виде входит в формулы (7) и (8). Построим график Рразр - кг (рисунок 8).

Точка 1 на нём соответствует квадратной пластинке, прямая 1-2 -прямоугольным пластинкам с соотношением сторон а/Ь < 2,093, гори-

10,283 ~

V? . .!. !.... ; Y

i ! 4,—i-i-i-

! [А 2.57

10 12 14 16 18 20

22,947

Рисунок 8 - График зависимости Pp»3p- кр

зонтальная прямая 2-3 - прямоугольным пластинкам, у которых а/Ь > 2,093. Нижняя кривая 1-4 соответствует ромбическим пластинкам, она асимптотически стремится к прямой 2-3. Из рисунка 8 видно, что всё множество значений разрушающих нагрузок для параллелограммных пластинок заключено между указанными границами, что аналитически можно записать в виде двустороннего неравенства

4т,

+ 1 + ——ctga sina

<(Р ) <

— разр/пар —

4т,(а/Ь + Ь/а) при кг <2,570,

(9)

[10,283тТ при кг> 2,570

Несущая способность треугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, может быть найдена из формул, полученных ранее для трапециевидных пластинок, комбинацией слагаемых для того или иного пластического механизма разрушения. Минимальные значения предельных нагрузок для треугольных пластинок (в том числе и равнобедренных) будут тогда, когда сосредоточенная сила приложена в её центре. В этом случае можно записать следующее неравенство:

[9,142тг, если р < л/2; гДе Р ~ тупой или прямой угол при

|2mt[2 + p + ctg(p/2)], если р> ti/2,

11,425

(10)

вершине треугольника.

Представим зависимость (10) для пластинок в виде равнобедренных треугольников графически (см. рисунок 9). Как видно из рисунка,' все решения для таких пластинок лежат на одной линии, причём на участке 1 -2 (Р < я/2) эта линия прямая, на участке 2-3 (р > л/2) - кривая. Для пластинок, нагруженных не в центре, эта линия будет являться нижней границей Рразр. Прямая 4-5 (Рршр = 11,425тт- рисунок 2, г) является верхней границей предельной нагрузки для всего множества пластинок, нагруженных не в центре.

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 Р.грая Рисуиок 9 - График зависимости Ррт,р - р

Поскольку всё множество трапеций заключено между прямоугольниками и треугольниками, то и всё множество минимально возможных разрушающих нагрузок будет лежать между соответствующими решениями для прямоугольных и треугольных пластинок. С учётом сказанного, получим двустороннее неравенство

9,142т т, 1 |4тТ(а/Ь + Ь/а) при k = a/b<2,093,

2mT [j3 + 2 + ctg(ß/2)]j р"р),р"""[10,283шт при k = a/b>2,093. ( '

Неравенства (9)...(11) позволяют получать двусторонние оценки Ррмр с удовлетворительной точностью, не прибегая к анализу схем разрушения пластинок. Более точные оценки можно получить, используя приём интерполяции границ на внутреннее множество значений Рразр по коэффициенту формы области, предложенному в работах д.т.н. A.B. Коробко.

В работах д.т.н. В.И. Коробко была доказана функциональная зависимость между разрушающей нагрузкой и коэффициентом формы - безразмерной геометрической характеристикой плоской области, обладающей рядом изопериметрических свойств. На основании одного из таких свойств - свойства о двусторонней ограниченности коэффициента формы - было сделано заключение о том, что всё множество значений разрушающих нагрузок для пластинок с однородными граничными условиями ограничено сверху и снизу граничными кривыми, с помощью которых при использовании метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) находятся опорные решения.

Используя известные решения задач предельного равновесия пластинок, представленные в справочной и научной литературе, а также формулы для определения их коэффициента формы, заимствованные из монографий A.B. Коробко и В.И. Коробко, построим графические зависимости «разрушающая нагрузка - коэффициент формы» для пластинок с однородными граничными условиями, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой (рисунок 10).

На этих графиках точки 1, 2, 3, 4 соответствуют решениям для пластинок в виде круга (точка 1), квадрата (точка 2), равностороннего треугольника (точка 3), равнобедренного прямоугольного треугольника (точка 4). Прямая 1-3 описывает решения для пластинок в виде правильных n-угольников, прямая 2-5 - для ромбических пластинок, прямая 3-5 - для пластинок в виде равнобедренных треугольников, кривая 2-6 - для прямоугольных пластинок, кривая 1-7 - для эллиптических пластинок.

Кривые и прямые, изображённые на рисунке 10, в соответствии со свойствами и закономерностями коэффициента формы Kf являются граничными для всего множества пластинок с произвольным выпуклым контуром. Для шарнирно опёртых пластинок

35 к,

20 25 30 К, 2л 10 15 20

а) шарнирное опирание по контуру,

б) свободное опирание по контуру

Рисунок 10 - Зависимости Р^, - Кг для пластинок нагруженных равномерно распределённой нагрузкой

верхней границей разрушающей нагрузки будет являться прямая 1-5, а нижней - кривая 1-7 (см. рисунок 10). Для свободно опёртых пластинок кривая 1-2 очень близко расположена к участку кривой 1-7, поэтому для оценки несущей способности можно принимать какую-либо одну из них. По мере увеличения Кг участок кривой 1-7 сливается с кривой 2-6. В этом случае также возможно использование только одной из указанных кривых.

Сопоставление графиков, представленных на рисунках 10, а, б, показывает, что для шарнирно опёртых и свободно опёртых пластинок верхняя и нижняя границы меняются местами, что объясняется существенным отличием схем разрушения пластинок в виде правильных фигур. Несущая способность жёстко защемлённых пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, будет в два раза выше соответствующих значений, найденных для случая шарнирного опирания (это следует из формул, представленных в научной литературе).

Построенные границы позволяют с достаточной для инженерных расчётов точностью с помощью МИКФ определять несущую способность пластинок с произвольным выпуклым контуром, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, без анализа возможных схем разрушения в состоянии предельного равновесия. Это является существенным преимуществом МИКФ перед методом предельного равновесия. Таблица 2 — Аппроксимирующие функции В таблице 2 пред-

дпя характерных граничных прямых Рр,,р = А[Кг)тпт ставлены функциональ-

ные зависимости между разрушающей нагрузкой

(Рраэр ЧразрА, где А — единичная площадь пластинки) и коэффициентом формы пластинки (Кг). Анализ зависимостей Рра1р - Кг (см. рисунок 10), показал, что построенные кривые очень близки к прямым линиям. Поэтому в качестве аппроксимирующих функций принимались линейные зависимости, которые с погрешностью до 1,2 % удовлетворяют точным решениям. В связи с этим при определении несущей способности пластинок с помощью МИКФ следует также использовать линейную интерполяцию по коэффициенту формы, вычисляя два неизвестных параметра в линейной зависимости с помощью опорных (граничных) решений.

Третья глава посвящена расчёту пластинок линейно-переменной толщины кинематическим методом предельного равновесия.

Для пластинок линейно изменяющейся толщины высота Ь является переменной величиной и выражается функцией Ь = Ь0 + кгсоэф, где Ь0 - толщина пластинки в точке приложения сосредоточенной нагрузки; к - коэффициент, определяющий характер изменения толщины пластинки; г и <р - полярные координаты. Подставляя закон изменения толщины пластинки, записанный выше, в выражения (3) и (4) получим формулы для определения несущей способности пластинок линейно-переменной толщины.

Численные исследования шарнирно опёртых пластинок линейно изменяющейся толщины в форме правильных фигур, имеющих форму треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, круга, нагруженных сосредоточенной нагрузкой в геометрическом центре, при пирамидальной (конической) схеме излома показали, что:

Пластинки в виде: Граничные условия пластинок

шарнирное опирание свободное опирание

прямоугольника 8,0770 + 2,0262КГ 6,1683 + 2,0456КГ

равнобедренного треугольника - 0,0006+ ЗКГ 9,8786+ 1,5842КГ

ромба 0,0013 + ЗКГ 8,8951 + 1,6549КГ

правильного п-уголькика 0,0011 + ЗКг 7,6353 + 1,7912КГ

эллипса 6,3435 + 2,0262КГ 6,3435 + 2,0262КГ

- пластинки линейно-переменной жёсткости экономичнее пластинок постоянного сечения с толщиной Ь0 = Упереы/А (Уперем - объём пластинки переменного сечения, А - её площадь);

- направление, вдоль которого изменяется толщина пластинок, существенно влияет на их несущую способность: для квадратной пластинки наибольший эффект достигается тогда, когда линия наибольшего ската расположена параллельно двум её сторонам; для пластинки в форме правильного треугольника - вдоль высоты от вершины к основанию; для пластинки в форме правильного пятиугольника - вдоль высоты от основания к вершине; для пластинки в форме правильного шестиугольника - перпендикулярно сторонам;

- из рассмотренных'форм пластинок равной площади и одинакового объёма наибольшую несущую способность имеет пластинка в форме правильного треугольника, а наименьшую — круглая пластинка;

- установлено, что значение минимальной разрушающей нагрузки, а также отношение координаты точки её места приложения к размеру стороны пластинки (8) при одном и том же направлении изменения толщины зависят только от к (с ростом крутизны ската пластинки это отношение смещается от геометрического центра к стороне с меньшей высотой).

Для выполнения практических расчётов по результатам численных исследований были найдены функциональные зависимости минимальной разрушающей нагрузки от соответствующей координаты точки приложения сосредоточенной силы, расположенной на оси симметрии пластинки. Аппроксимирующие функции для определения этих величин представлены в таблице 3.

Таблица 3 - Аппроксимирующие функции для определения минимальной разрушающей нагрузки и коэффициента, обеспечивающего это значение

Пластинки в виде: Разрушающая нагрузка Рр7р = ВД-°т Коэффициент 5 = С(к)

квадрата (толщина изменяется вдоль стороны) 8-33,0713к2 + 2,1281 к3 0,5-2,4983к

квадрата (толщина изменяется вдоль диагонали) 8-35,1468к2 — 57,3157к3 0,5-1,7163к

треугольника (толщина изменяется от вершины к основанию) 10,392 + 30,5092к2 +154,4958к3 0,667-1,5333к

треугольника (толщина изменяется от основания к вершине) 10,392 + 30,4330к2 + 286,6031 к3 0,667-1,2539к

пятиугольника (толщина изменяется от вершины к основанию) 7,265-47,1403к2 +13,9268к3 0,5-2,И14к

пятиугольника (толщина изменяется от основания к вершине) 7,265 - 52,5219к2 + 50,5268к3 0,5 - 2,0709к

шестиугольника (толщина изменяется вдоль вершин) 6,928 - 57,5898к2 - 22,2867к3 0,5 — 2,3186к

шестиугольника (толщина изменяется перпендикулярно сторонам) 6,928-55,0990к2-3,7272к3 0,5-2,6691 к

круга 6,283 — 1,3089к — 1057,5519к2 --7689,1445к3 -14286,6670к< -18,7426к + 140,1679к2 1-10,2661к + 40,626!к2

Примечание: Функциональные зависимости, представленные в таблице, с погрешностью 0,85 % удовлетворяют точным решениям.

Численные исследования шарнирио опёртых пластинок линейно изменяющейся толщины, имеющих форму правильных фигур, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, при пирамидальной (конической) схеме излома показали, что вершина пирамиды разрушения не попадает ни в геометрический центр пластинки, ни в центр тяжести пластинки по материалу. При этом минимальные величины предельных нагрузок для указанных схем разрушения имеют значения, которые не превышают несущую способность пластинок постоянной толщины (при одинаковом объёме). Поэтому пластинки в форме правильных многоугольников, нагруженные равномерно распределённой нагрузкой, в случае, когда деформированная поверхность представляет собой пирамиду, выгоднее проектировать постоянного сечения.

В случае пирамидальной (конической) схемы разрушения жёстко защемлённых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой Р, кроме радиальных шарниров текучести образовываются и краевые (периферийные) шарниры текучести, идущие по контуру, ограничивающему область разрушения. Для достаточно вытянутых пластинок краевой шарнир текучести будет разделять пластинку на упругую и пластическую зоны. Полная разрушающая нагрузка в этих случаях определяется следующим образом:

"2* ( г'2^ Н к2 У 2г'2 [(ь0 + кгсскф)2! 1 + — 1с1ср + И2 + 110кгсо5ф + — г2соз2ф 1 1 + —-2---и<р

= 0,25а,

(12)

или в развернутом виде:

р

1%( 4 г'2 г'2

= 0,25от | 2Ь5 + ЗЬ0кгсозф + —к2г2со52ф + ЗЬ„ — + 4110к—соэф +

оч г г

5 г" к2 ^

+ —к2г'2соз2ф-Ь?--Ь0кг"сО5ф--гт"соз2ф Ир. (13)

3 г 3 )

Форму кривой краевого шарнира текучести г(ф) найдём из условия минимума разрушающей нагрузки Р, определяемого из уравнения Лагранжа—Эйлера:

' (14)

Эг с!(р Эг' ёф Эг"

где Б - подынтегральное выражение в (13). После подстановки найденных значений и некоторых преобразований, уравнение (14) примет вид:

-г"(В г + 2А г2 собф + 6С г3 соэ2ф) + г'2 (В + А г соэф) + +г'(2А г2 БШф + 6,5С г3 зш2ф) + г3 (А соэф + 4Сг соэ2ф + С г соз2ф) = 0 , (15)

где А = 4110к, В = 4Ь^, С = 2к2/3. (16)

Дифференциальное уравнение (15) решить аналитически не представляется возможным, поэтому будем решать его приближённо одним из численных методов.

А.Р. Ржаницын для пластинок постоянной толщины, имеющих криволинейный контур, получил уравнение краевого шарнира текучести в виде логарифмической спирали г = Аесч>, где произвольные постоянные «А» и «с» определяются координатами выхода шарнира текучести на опорный контур. Такое же уравнение было получено Я.Б. Львином из предположения, что работа предельных моментов в краевом шарнире текучести равна работе предельных моментов на радиальных шарнирах текучести. Если это свойство краевого шарнира текучести справедливо и для пластинок переменного сечения, то дифференциальное уравнение краевого шарнира текучести для этих пластинок может быть получено более простым путём.

Приравняв слагаемые правой части выражения (12) и проведя преобразования, получим:

г*(А г2 созф + В г + 2Сг3 соэ2ф) + г'2 (-В + 2С г2 со52ф) + г1 (Асовф + 4С гсоз2ф) = 0 , (17) где значения параметров А, В, С определяются также как и в уравнении (15). Сравнение выражений (15) и (17) показывает, что они отличаются друг от друга. Однако это обстоятельство не является определяющим в решении вопроса о правомерности использования свойства равенства работ предельных моментов для краевого и радиальных шарниров текучести к пластинкам переменного сечения.

Для окончательного выяснения вопроса о применимости указанного свойства к пластинкам переменного сечения проведено численное решение обоих уравнений на конкретном примере. Определим положение краевого шарнира текучести для круглой жёстко защемлённой пластинки радиусом 30 см, нагруженной сосредоточенной нагрузкой. Изменение толщины пластинки идёт в направлении полярной оси. Высота пластинки в месте приложения нагрузки Ь0 = 2 см, коэффициент изменения толщины к = - 0,02. Необходимые расчётные данные показаны на рисунке 11.

Решение дифференциальных уравнений (15) и (17) будем производить методом конечных разностей. В этом случае значения производных гиг, входящие в эти уравнения, запишутся следующим образом: г' = (К;+] - К.и)/2\|/; г = (1^+1 - 211; + К;.,)/^2, где - принятый шаг угла (для нашего случая у = я/6).

Подставляя в уравнения (15) и (17) выражения производных гиг, записанных в конечных разностях, получим две системы нелинейных алгебраических уравнений, решая которые находятся искомые значения

Для решения систем уравнений использовался вычислительный комплекс «Ма1ЬСАО». Результаты численного решения обеих систем нелинейных алгебраических уравнений приведены в таблице 4. Таблица 4 - Результаты численного решения уравнений (15) и (17)

г=а\|- к =-0,02

Y

11-30 11.-30

Рисунок 11 — К расчёту

круглой пластинки переменной толщины,

нагруженной сосредоточенной силой

Из приведённой таблицы видно, что значения найденные из (15) и (17) при одних и тех же значениях углов ф, не равны между собой. Это означает, что свойство равенства работ предельных моментов краевого и радиальных шарниров текучести для пластинок линейно изменяющейся толщины не соблюдается.

Анализируя результаты численного решения дифференциального уравнения (15), можно заметить, что его форма представляет собой окружность с центром в точке с координатами 0°, 1,212 (И= 11,212). В этом легко убедиться подстановкой значений 11, из таблицы 4 в уравнение окружности:

Фь град 30 : 60;::\ : ....... ; 120 ; 150

Я; из (15) 12,424 12,246 11,697 11,041 10,482 10,123

К из(17) 8,167 8,308 8,623 9,058 9,516 9,867

ф„ град 180 ■ 210 ■■: 240 270 300 330

^ из (15) 10,000 10,123 10,482 11,041 11,697 12,246

И, из(17) 10,000 9,867 9,516 9,058 8,623 8,308

гг+ 1,212'-2,424гсоб(|>- 11,2122 = 0.

(18)

Для определения величины разрушающей нагрузки необходимо по найденным численным значениям (см. таблицу 4) записать уравнение краевого шарнира текучести на каждом из участков, расположенных между двумя соседними шарнирами к, и IVI. В качестве аппроксимирующей удобно принять логарифмическую функцию г = Аесф, где постоянные «А» и «с» определяются для каждого из интервалов по отдельности. Записав уравнения, описывающие краевой шарнир текучести на каждом участке, и подставив их в выражение (13), получим значение разрушающей нагрузки Р^Г=10,720от.

Для определения несущей способности пластинки можно также воспользоваться уравнением (18), предварительно выразив из него уравнение краевого шарнира текучести г(ф). В этом случае необходимо учесть, что центр окружности будет несколько смещён относительно точки приложения сосредоточенной нагрузки. Поэтому толщина пластинки Ь0 в центре этой окружности будет несколько меньше. Подставляя найденные значения высоты пластинки в центре разрушения (Ъо) и уравнение краевого шарнира текучести т(ц>) в (13), найдём значение разрушающей нагрузки Р^" = 9,883аг, что отличается от точного значения на 7,81 %. Для пластинки постоянной жёсткости с толщиной Ь0 = 'Упсрем/А значение разрушающей нагрузки равно Р^ = 8,043стт, что

меньше несущей способности пластинки, линейно-переменной толщины на 24,98 %.

Таким образом, пластинки линейно-переменной жёсткости экономичнее пластинок постоянного сечения, имеющих один и тот же объём.

В тех случаях, когда краевой шарнир текучести не образует замкнутый контур, для определения истинной формы разрушения необходимо определить точки его выхода на опорный контур при условии обеспечения минимума функционалу (13). Эти точки следует искать методами вариационного исчисления, в которых данная задача известна как задача с подвижными концами. В диссертационной работе выдвинута гипотеза о том, что угол выхода криволинейного краевого шарнира текучести на опорный контур для пластинок линейно-переменной жёсткости близок к 45°. В ходе проведённых экспериментальных исследований опытных образцов бетонных плит эта гипотеза получила подтверждение. Максимальные отклонения полученных в экспериментальных исследованиях значений не превышают 5 %.

Четвёртая глава посвящена расчёту статически неопределимых металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, кинематическим методом предельного равновесия.

Эффективность применения балок ступенчато-переменной жёсткости обусловлена возможностью снижения материалоёмкости их изготовления за счёт изменения из-гибных жесткостей по длине на отдельных участках и рациональном выборе длин этих участков. Предельное состояние в таких элементах возникает при образовании трёх шарниров (пластических или конструкционных), расположенных в одном пролёте. Поэтому при расчёте балок переменной жёсткости кинематическим методом предельного равновесия будем рассматривать оба возможных случая образования пластического механизма для каждой из расчётных схем.

Исследуем две схемы статически неопределимых балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, изображённые на рисунке 12.

Схема 1 Схема 2

И Н- а) И

г * > г 1 1 1 1 > 1 » 1 > » 1 1 1 > 1 » » « • I I I < . 1 1 1 '1 1 . ) ( 1 I 1 . 1 1 ; ,•■( гк

Ш пШ к/ 1 (1-кУ 1 ы к/ «Е1 И Р <1-210! 1 и 1

\ ~ ^ 1 ".......^ ......."......1

~2 М 2 ь-

"'(ЧЛ-гР'

Рисунок 12 —Схемы балок ступенчато-переменной жёсткости

Рассматривая каждую схему разрушения, составляем уравнения работ внешних сил и предельных моментов на возможных перемещениях балки в предельном состоянии, из которых определяем разрушающие нагрузки, либо параметры, определяющие предельную работу балки под нагрузкой. Результаты расчёта приведены в таблице 5. Таблица 5 - Формулы для вычисления значений разрушающих нагрузок и параметров усиления

Схема 1

Схема 2

Предельные нагрузки, соответствующие возможным схемам разрушения

_ 3(т™+3ш7) 6т7(4-3к)

<ц«>- р ; Чирея2~ (2-зк>(1-кк2

_ 8(т°" + т"р) _ Чпред 1 -2 ' Ягг

16т''

Предельные изгибающие моменты т°" и т^ (рисунок 12, д)

т°" = аТ[0,5112э + а5(Ь - 5) + 2г(11 - 1)(Ь - э)] ; =ат[0,5Ь25 +21(11-О(Ь-з) Параметр к, характеризующей длину участка со стороны жёсткой заделки

5т°" +9т"р +42т™т7 +153(ш7)2

6(т°" ^-Зга;")

к = 0,5-

2(т°" + т'?)

Параметры 5 и ё, характеризующие толщину и ширину элементов усиления

Ь т/мЬ2-4К К

2 гГ^Л ' ~~ от5(Ь — 6)

где

К = т?( 28'6к -4 I Зк -5к + 2

К = 2т"

(1 -2к)

Используя выражения, представленные в таблице 5, можно находить предельные нагрузки для той или иной схемы разрушения балки ступенчато-переменной жестокости, а также получать оптимальные параметры усиления, которые будут наиболее рациональными, так как определяются из условия, что обе схемы разрушения могут наступить одновременно. Кроме того, как показали тестовые расчёты, применение метода предельного равновесия позволяет добиться снижения материалоёмкости самой конструкции и увеличения интенсивности равномерно распределённой нагрузки по сравнению с упругой стадией работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты, полученные в процессе проведённого исследования, можно сделать вывод о том, что в диссертационной работе кинематический метод предельного равновесия получил существенное развитие в направлении расчёта пластинок постоянной жёсткости и линейно-переменной толщины. В работе показано, что кинематический метод предельного равновесия для расчёта пластинок органично связан с методом интерполяции по коэффициенту формы, который позволил определять разрушающую нагрузку пластинок постоянной жёсткости сложного вида без выбора и анализа схем их разрушения.

Основные научные и практические результаты работы:

1. Для шарнирно опёртых прямоугольных пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой:

- получены аналитические зависимости границ перехода между возможными схемами разрушения пластинок, что позволяет определять разрушающую нагрузку прямоугольных пластинок путём однократного расчёта без анализа схем разрушения;

- разработан алгоритм и программа для расчёта таких пластинок.

2. Для шарнирно опёртых трапециевидных, параллелограммных и треугольных пластинок:

- исследованы возможные схемы разрушения при действии сосредоточенной силы, приложенной в произвольном месте пластинки;

- получены двусторонние неравенства, ограничивающие всё множество значений разрушающих нагрузок для пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в их геометрическом центре, в зависимости от коэффициента формы пластинок.

3. Для пластинок с произвольным выпуклым контуром, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой:

- построены граничные кривые (функциональные зависимости) Рразр - Кг, охватывающие всё множество опорных решений при определении несущей способности пластинок с использованием методики метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ);

- приведены решения тестовых примеров и показана эффективность применения МИКФ к исследованию задач предельного равновесия пластинок.

4. Для пластинок линейно-переменной толщины:

- разработан теоретический аппарат для их расчёта при действии равномерно распределённой нагрузки и сосредоточенной силы для случая образования пирамидальных (или конических) схем разрушения;

- исследовано влияние направления изменения толщины пластинок на их несущую способность;

- найдены функциональные зависимости минимальной разрушающей нагрузки от параметра, определяющего характер изменения толщины пластинок;

- исследовано поведение замкнутого краевого шарнира текучести, получено соответствующее дифференциальное уравнение и приведено его приближённое решение с анализом выявленных закономерностей;

- экспериментальным путём проверена выдвинутая гипотеза о том, что угол выхода криволинейного краевого шарнира текучести на шарнирно опёртый контур близок к 45°.

5. Исследована несущая способность статически неопределимых металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой; получены аналитические зависимости, позволяющие найти оптимальный вариант их усиления (проектирования) путём однократного расчёта.

6. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНГПС» при изучении дисциплины «Теория упругости и пластичности», в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» госбюджетной НИР ОрёлГТУ (Госуниверситета - УНПК) «Исследование энерго-, ресурсоэффективных конструктивных систем с высоким уровнем конструктивной безопасности и живучести» (государственный контракт № 02.740.11.0151), а также при обследовании несущих и ограждающих конструкций зданий Орловской ТЭЦ, которые выполнял Центр экспертизы промышленной безопасности ОрёлГТУ, при проведении поверочных расчётов монолитных участков перекрытий.

Основные положения работы опубликованы в 12 статьях и научных докладах.

Публикации в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации для кандидатских диссертаций:

1. Коробко, A.B. Расчёт шарнирно опёртых параллелограммных пластинок, нагруженных в центре сосредоточенной силой, методом предельного равновесия /

A.B. Коробко, М.Ю. Прокуров, С.А. Морозов // Строительство и реконструкция. -Орёл: ОрёлГТУ. - 2010. -№ 3. - С. 22-26.

2. Коробко, A.B. Расчёт шарнирно опёртых трапециевидных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, методом предельного равновесия / A.B. Коробко, М.Ю. Прокуров, С.А. Морозов // Строительство и реконструкция. - Орёл: ОрёлГТУ. -2010.-№5.-С. 18-23.

3. Коробко, В.И. Предельное равновесие неразрезных балок ступенчато-переменной жёсткости / В.И. Коробко, С.А. Морозов // Известия ОрёлГТУ. Серия «Строительство. Транспорт». - Орёл: ОрёлГТУ. - 2009. -№ 1. - С. 46-50.

4. Коробко, В.И. Краткий аналитический обзор работ по проблеме расчёта строительных конструкций (балок, пластинок и оболочек) методом предельного равновесия /

B.И. Коробко, С.А. Морозов II Строительство и реконструкция. - Орёл: ОрёлГТУ. -2009.-№ 6.-С. 21-35.

5. Коробко, В.И. Расчёт прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой, методом предельного равновесия / В.И. Коробко, М.Ю. Прокуров, С.А. Морозов II Строительная механика и расчёт сооружений. - М.: ОАО «НИЦ «Строительство». - 2011. - № 2. - С. 2-8.

6. Коробко, В.И. Уравнение краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины / В.И. Коробко, С.А. Морозов II Строительство и реконструкция. - Орёл: Госуниверситет - УНПК. - 2011. - № 2. - С. 30-35.

7. Морозов, С.А. Предельное равновесие шарнирно опёртых пластинок линейно-переменной жёсткости / С.А. Морозов, В.И. Коробко // Известия ОрёлГТУ. Серия

«Строительство. Транспорт». - Орёл: ОрёлГТУ. - 2009. - № 2. - С. 18-27.

8. Морозов, С.А. Расчёт полигональных пластинок постоянной толщины, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, методом предельного равновесия / С.А. Морозов /I Строительство и реконструкция. - Орёл: Госуниверситет - УНПК. -2011.-Х» 1.-С. 26-34.

Публикации в других изданиях:

9. Коробко, В.И. Оптимальное проектирование пластинок ступенчато-переменной жёсткости, находящихся в предельном состоянии / В.И. Коробко, С.А. Морозов // Матер. Междунар. академ. чтений «Биосферно-совместимая безопасная среда обитания с позиции архитектурно-градостроительного комплекса». - Брянск: БГИТА, 2007.-С. 39-43.

10. Коробко, В.И. Балка ступенчато-переменной жёсткости: расчёт в упругой стадии и по предельному равновесию / В.И. Коробко, С.А. Морозов II Матер. Междунар. академ. чтений «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения». -Курск: КурскГТУ, 2009. - С. 85-91.

11. Коробко, В.И. Расчёт прямоугольных шарнирно опёртых пластинок методом предельного равновесия / В.И. Коробко, М.Ю. Прокуров, С.А. Морозов И Матер. Междунар. академ. чтений «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения». - Курск: КГУ, 2010. - С. 48-58.

12. Коробко, В.И. Определение несущей способности пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, методом интерполяции по коэффициенту формы / В.И. Коробко, С.А. Морозов // 2-я Всеросс. конф. «Проблемы оптимального проектирования сооружений». - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2011. - С. 177-184.

Подписано к печати 07.09.2011 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,05. Усл. печ. л. 1,05. Тираж 100 экз. Заказ X»

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» 302030, г. Орёл, ул. Московская, 65.

ВВЕДЕНИЕ.

I АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ПРОБЛЕМЕ РАСЧЁТА СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ.

1.1 Аналитический обзор работ по проблеме расчёта строительных конструкций методом предельного равновесия.

1.2 Теоретические основы метода предельного равновесия.

1.2.1 Физические основы метода предельного равновесия.

1.2.2 Геометрическая проблема в теории предельного равновесия пластинок.

Актуальность темы. Пластинки и балки являются одними из самых распространённых конструктивных элементов в строительных и машиностроительных конструкциях, занимая одно из наиболее значимых мест: несущие элементы мостовых конструкций, элементы обшивки крыла, фюзеляжа самолёта или корпуса корабля, элементы перекрытия и покрытия в зданиях и сооружениях. Проектирование таких конструкций связано с прочностными расчётами на действие различных статических и динамических нагрузок. Для этого применяются в большинстве своём численные методы (метод конечных элементов, метод конечных разностей) и создаются программные комплексы, при использовании которых часто теряется физическая сущность задачи.

Однако в расчётной практике по-прежнему придаётся большое.значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических, в том числе и приближённых, методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность конструкций, что способствует более правильному пониманию её силовой схемы.

Одним из таких методов является метод предельного равновесия, который даёт возможность определить разрушающую нагрузку путём сравнительно несложного расчёта и во многих случаях обеспечивает рациональное расходование материала. Метод предельного равновесия позволяет решать задачи, которые тяжело поддаются расчёту другими методами из-за сложности математических вычислений. Определение несущей способности конструкций с учётом пластических деформаций производится с использованием различных условий текучести, а также с применением теорем предельного равновесия.

В справочной и научной литературе [25, 40, 101, 109, 127, 133, 143, 146, 149, 151, 152, 156, 163] приводится весьма ограниченный набор известных решений задач предельного равновесия пластинок, и все они получены разными приближёнными методами и имеют разную степень точности и достоверности.

Вместе с тем важное теоретическое и практическое значение имеет дальнейшее развитие кинематического метода предельного равновесия для расчёта пластинок и стержневых систем постоянной и переменной жёсткости.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются пластинки постоянной жёсткости с произвольным выпуклым контуром и однородными граничными условиями по всему контуру (либо шарнирное опира-ние, либо свободное опирание, либо жёсткое защемление), пластинки линейно-переменной толщины и статически неопределимые балки ступенчато-переменной жёсткости. Материал пластинок и балок удовлетворяет условиям жёсткопластического деформирования. Предметом исследования являются кинематический метод предельного равновесия, способы и методики определения разрушающих нагрузок для пластинок и балок, нагруженных сосредоточенной силой или равномерно распределённой нагрузкой, изучение и: использование взаимосвязи кинематического метода с методом интерполяции по коэффициенту формы.

Цель,диссертационной работы заключается в развитии кинематического метода предельного равновесия для оценки несущей; способности пластинок постоянной жёсткости и определении разрушающих нагрузок без анализа возможных схем разрушения, разработке теоретического аппарата для. расчёта пластинок линейно-переменной жёсткости и балок переменного сечения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- получить аналитические зависимости границ перехода между возможными схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в произвольной точке, и на их основе разработать алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок;

- исследовать возможные схемы разрушения шарнирно опёртых пластинок в форме трапеции, параллелограмма, треугольника при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы;

- выявить закономерности изменения разрушающих нагрузок для пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной в их геометрическом центре;

- получить функциональные зависимости «разрушающая нагрузка - коэффициент формы пластинок» для пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, имеющих различные очертания опорного контура;

- разработать теоретическую базу для расчёта пластинок линейно-переменной толщины, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой или сосредоточенной силой, кинематическим методом предельного равновесия для пирамидальных и конических схем разрушения;

- исследовать поведение замкнутого краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины, получить соответствующее диффе- -ренциальное уравнение и его интеграл;

- провести экспериментальные исследования прямоугольных шарнирно опёртых пластинок линейно-переменной толщины, для выяснения вопроса об угле выхода криволинейного шарнира текучести на опорный контур;

- исследовать несущую способность оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.

Методы исследования. В ходе проведения теоретических исследований использовались классические методы строительной механики и теории сооружений, при обработке результатов экспериментальных исследований - методы математической статистики. Для исследования геометрической стороны изучаемой проблемы применялись методы геометрического подобия плоских фигур (аффинные преобразования), а при исследовании физической стороны -кинематический метод предельного равновесия, метод конечных разностей, метод интерполяции по коэффициенту формы. Для аппроксимации полученных решений использовался программный комплекс «Table Curve 2D V. 5.01», оценка погрешности найденных функций выполнялась в приложении «Microsoft Office Excel 2003». Для получения численных решений применялся программный, комплекс «MathCAD 14».

Научную новизну диссертационной работы составляют следующие результаты:

- аналитическое и графическое представление границ перехода между возможными схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы, алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок, разработанный на основе полученных решений;

- аналитические зависимости для определения разрушающей нагрузки различных четырёхугольных пластинок (в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба) при произвольном месте приложения сосредоточенной нагрузки;

- закономерность о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок для четырёхугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в их геометрическом центре;

- граничные кривые;,представленные в координатных,осях «разрушающая нагрузка - коэффициент формы», для пластинок с различным очертанием опорного контура, однородными граничными условиями и нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;

- аппроксимирующие функции для определения параметров схем разрушения пластинок с образованием угловых элементов в полигональных свободно опёртых пластинках, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;

- расчётные формулы для определения разрушающих нагрузок пластинок линейно-переменной толщины и закономерности образования пирамидальных и конических схем излома;

- новые результаты экспериментальных исследований по выявлению закономерностей поведения криволинейного шарнира текучести при его выходе на шарнирно опёртый контур.

Теоретическая значимость и практическая ценность результатов диссертационной работы, проведённой в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» госбюджетной НИР ОрёлГТУ (Госуниверситета - УНПК) «Исследование энерго-, ресурсоэффективных конструктивных систем с высоким уровнем конструктивной безопасности и живучести» (государственный контракт № 02.740.11.0151), работы заключается в следующем: в выявлении закономерностей и физических эффектов при исследовании1 работы пластинок в предельном состоянии с их аналитической и графической интерпретацией; в использовании этих закономерностей при выводе расчётных формул для определения разрушающих нагрузок пластинок произвольного вида с однородными граничными условиями при воздействии на них сосредоточенной силы или равномерно распределённой нагрузки;

- в построении граничных функций «разрушающая нагрузка — коэффициент формы», позволяющих использовать аппарат изопериметрического метода и метода интерполяции,'по коэффициенту формы дляфешения задач предельного равновесия пластинок;

- в разработке теоретической базы для расчёта пластинок линейно-переменной толщины кинематическим методом предельного равновесия; в теоретическом исследовании поведения замкнутого шарнира текучести в жёстко защемлённых пластинках, нагруженных сосредоточенной силой; в экспериментальном исследовании поведения незамкнутого краевого шарнира текучести с выходом его на шарнирно опёртый контур пластинки линейно-переменной толщины; в разработке алгоритма и программы для определения несущей способности прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой; в методике определения разрушающей нагрузки для оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.

Достоверность представленных научных положений и результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики и теории сооружений, сопоставлением полученных результатов с известными решениями других исследователей, а также решением большого количества тестовых задач.

На защиту выносятся следующие положения и результаты: аналитические зависимости и графическое представление границ перехода между возможными схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы, алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок, разработанный на основе полученных решений; аналитические зависимости для определения разрушающей нагрузки различных четырёхугольных шарнирно опёртых пластинок (в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба) при произвольном месте приложения сосредоточеннойсилы;, 1 . двусторонние оценки разрушающей нагрузки шарнирно опёртых трапециевидных, параллелограммных.и треугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной в их геометрическом центре; графическое представление граничных кривых Рра3р - Кг для пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, а также примеры расчёта, демонстрирующие эффективность применения построенных кривых при оценке несущей способности пластинок в задачах строительной механики, связанных с произвольной выпуклой областью; аппроксимирующие функции для определения параметров схем излома пластинок с образованием угловых элементов в полигональных свободно опёртых пластинках, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;

- расчётные формулы для определения разрушающих нагрузок пластинок линейно-переменной толщины и закономерности образования пирамидальных и конических схем разрушения;

- вывод и численное решение дифференциального уравнения замкнутого краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины; результаты экспериментальных исследований по выявлению закономерностей поведения криволинейного шарнира текучести при его выходе на шарнирно опёртый контур; методика определения разрушающей нагрузки для оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ОрёлГТУ (Госуниверситета — УНПК) в 2009.2011 гг.; Международных академических чтениях «Биосферно-совместимая безопасная среда обитания с позиции архитектурно-градостроительного комплекса» (Брянск, 2007 г.); Международных академических чтениях «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» (Курск, 2009.2010 гг.); 2-ой Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 8 статей в ведущих рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертационных исследований на соискание учёной степени кандидата технических наук.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка литературы, включающего 164 наименования, в том числе 50 зарубежных, и 8 приложений. Работа изложена на 274 страницах, включает 202 страницы основного текста, содержит 67 рисунков, 51 таблицу.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты, полученные в процессе проведённого исследования, можно сделать вывод о том, что в диссертационной работе кинематический метод предельного равновесия получил существенное развитие в направлении расчёта пластинок постоянной жёсткости и линейно-переменной толщины. В работе показано, что кинематический метод предельного равновесия для расчёта пластинок органично связан с методом интерполяции по коэффициенту формы, который позволил определять разрушающую нагрузку пластинок постоянной жёсткости и сложного вида без выбора и анализа схем их разрушения.

Основные научные и практические результаты работы:

1. Для шарнирно опёртых прямоугольных пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой:

- получены аналитические зависимости границ перехода между возможными схемами разрушения пластинок, что позволяет определять разрушающую, нагрузку прямоугольных пластинок путём однократного расчёта без анализа схем разрушения;

- разработан алгоритм и программа для расчёта таких пластинок.

2. Для шарнирно опёртых трапециевидных, параллелограммных и* треугольных пластинок:

- исследованы, возможные схемы разрушения при действии сосредоточенной силы, приложенной в произвольном месте пластинки;

- получены двусторонние неравенства, ограничивающие всё множество значений разрушающих нагрузок для пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в их геометрическом центре, в зависимости от коэффициента формы пластинок.

3. Для пластинок с произвольным выпуклым контуром, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой:

- построены граничные кривые (функциональные зависимости) Рразр - К6 охватывающие всё множество опорных решений при определении несущей способности пластинок с использованием методики метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ);

- приведены решения тестовых примеров и показана эффективность применения МИКФ к исследованию задач предельного равновесия пластинок.

4. Для пластинок линейно-переменной толщины:

- разработан теоретический аппарат для их расчёта при действии равномерно распределённой нагрузки и сосредоточенной силы для случая образования пирамидальных (или конических) схем разрушения;

- исследовано влияние направления изменения толщины пластинок на их несущую способность;

- найдены функциональные зависимости минимальной разрушающей нагрузки от параметра, определяющего характер изменения толщины пластинки;

- исследовано поведение замкнутого краевого шарнира текучести, получено соответствующее дифференциальное уравнение и приведено его приближённое решение с анализом выявленных закономерностей;

- экспериментальным путём проверена выдвинутая^ гипотеза о том, что угол выхода криволинейного краевого шарнира текучести на шарнирно опёртый контур близок к 45°.

5. Исследована несущая способность статически неопределимых металлических балок ступенчато-переменной' жёсткости, нагруженных равномерно распределённой, нагрузкой; получены аналитические зависимости, позволяющие найти оптимальный вариант их усиления (проектирования) путём однократного расчёта.

6. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ФГОУ ВПО «Госуниверситет — УНПК» при чтении лекционного курса по дисциплине «Теория упругости и пластичности», в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» госбюджетной НИР ОрёлГТУ (Госуниверситета - УНПК) «Исследование энерго-, ресурсоэффективных конструктивных систем с высоким уровнем конструктивной безопасности и живучести» (государственный контракт № 02.740.11.0151), а также при обследовании несущих и ограждающих конструкций зданий Орловской ТЭЦ, которые выполнял Центр экспертизы промышленной безопасности ОрёлГТУ, при проведении поверочных расчётов монолитных участков перекрытий.

1. Алдушкин, Р.В. Оптимальное подкрепление однопролётной металлической балки ступенчато-переменной жёсткости с жёстко защемлёнными опорами Текст. / Р.В. Алдушкин, С.А. Морозов // Известия ОрёлГТУ. Серия «Строительство. Транспорт». 2006. — № 3-4. - С. 3-6.

2. Алифанов, JI.A. Расчёт железобетонных плит статическим методом предельного равновесия Текст. / JI.A. Алифанов // Вестник КГТУ. «Транспорт». Вып. 25. Красноярск: КГТУ. - 2001. - С. 150-155.

3. Антонов, К.К. Экспериментальное исследование железобетонных плит, опёртых на податливый контур Текст. / К.К. Антонов, А.Н. Кусаков // Бетон и железобетон. М.: Стройиздат. - 1965. — № 5. - С. 33-36.

4. Антонов, К.К. Экспериментальное исследование железобетонных плит, опёртых на железобетонный контур Текст. / К.К. Антонов, А.Н. Кусаков // Бетон и железобетон. М.: Стройиздат. - 1969. - № 6. - С. 24-27.

5. Боровских, A.B. Расчёты железобетонных конструкций по предельным состояниям и предельному равновесию: Учебное пособие Текст. / A.B. Боровских. М.: АСВ, 2004. - 320 с.

6. Брусенцов, Г.Н. Применение линейного программирования к задаче предельного равновесия при плоском напряжённом состоянии Текст. / Г.Н. Брусенцов, А.Р. Ржаницын // Строительная механика и расчёт сооружений. 1968. - № 5. - С. 5-6.

7. Вайнберг, Д.В. Пластинки, диски, балки-стенки Текст. / Д.В. Вайнберг, Е.Д. Вайнберг. Киев: Госстройиздат УССР, 1959. - 1049 с.

8. Варвак, П.М. Исследование прямоугольных плит при смешанных граничных условиях Текст. / П.М. Варвак, М.Д. Дубинский // Тр. П Всесо-юзн. конф. по теор. пласт, и обол. Львов: Изд-во АН УССР. - 1962.

9. Вилен, Ф.И. Расчёт плит по методу предельного равновесия с учётом уточнения схемы излома Текст. / Ф.И. Вилен // Бетон и железобетон. -М.: Стройиздат. 1968. - № 3. - С. 36-37.

10. Гвоздев, A.A. Определение величины разрушающей нагрузки для статически неопределимых систем, претерпевающих пластические деформации Текст. / A.A. Гвоздев // Тр. конф. по пластич. деформ. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1938. - С. 19-30.

11. Гвоздев, A.A. Обоснование § 33 «Норм проектирования железобетонных конструкций» Текст. / A.A. Гвоздев // Строительная промышленность. -М. 1939. -№ 3. - С. 51-58.

12. Гвоздев; A.A. Расчёт несущей способности конструкций по методу, предельного равновесия: в 2-х т., Т. 1: Сущность метода и его обоснование Текст. / A.A. Гвоздев. М.: Госстройиздат, 1949. - 280 с.

13. Гвоздев, A.A. Метод предельного равновесия в применении к расчёту железобетонных конструкций Текст. / A.A. Гвоздев // Инженерный сборник. - M:-JI. - 1949.- Т. 5. - С. 3-20.

14. Гвоздев, A.A. Совершенствование расчёта- статически^ неопределимыхжелезобетонных конструкций Текст. / A.A. Гвоздев, С.М. Крылов. -М.: Стройиздат, 1968:.-312 с.

15. Гопкинс, Г. Несущая способность круглых пластинок Текст. / Г. Гоп-кинс, В. Прагер // Сборник переводов «Механика». — 1955. № 3.

16. Гопкинс, Г. Пределы экономии, материала в пластинках Текст. / Г. Гопкинс, В. Прагер // Сборник переводов «Механика». 1955. - № 6.

17. Григорьев, A.C. Изгиб круглых и кольцевых пластин переменной и постоянной толщины за пределом упругости Текст. / A.C. Григорьев // Инженерный сборник. М. - 1954. - Т. 20.

18. Григорьев, A.C. О плитах равного сопротивления изгибу Текст. / A.C. Григорьев // Инженерный сборник. М. - 1959. - Т. 25.

19. Григорьев, A.C. Изгиб круглой защемлённой пластинки за пределом упругости Текст. / A.C. Григорьев // Известия АН СССР ОТН «Механика и машиностроение». 1960. - № 6.

20. Давранов, Б.Ж. Особенности работы слабоармированных опёртых поконтуру плит перекрытий жилых зданий Текст.: дис. . канд. техн. наук: 05.23.01 / Давранов Бахадиржан Жораевич. М., 1992. - 139 с.

21. Дехтярь, A.C. Сосредоточенные нагрузки, приложенные в произвольных точках пластины Текст. / A.C. Дехтярь // Пространственные конструкции зданий и сооружений. Вып. 10. — M.: МОО «Пространственные конструкции». 2006. - С. 24-29:

22. Джеманкулов, K.M. Предельное равновесие и прочностный расчёт плосконапряжённых железобетонных элементов Текст.: автореф. дис. . канд. техн. наук: 05.23.17 / Джеманкулов Кенешбек Мусаевич. М., 1994.-26 с.

23. Дубинский, A.M. Расчёт несущей способности железобетонных плит Текст. / A.M. Дубинский. — Киев: Госстройиздат УССР, 1961.-181 с.

24. Дубинский, A.M. Расчёт несущей способности железобетонных плит и оболочек Текст. / А.М. Дубинский. Киев: Бугцвельник, 1976. - 158 с.

25. Зиновьева, Р.В- Железобетонные, плиты с отверстиями Текст. / Р.В. Зиновьева, Н.Ф. Зиновьев, A.M. Фрактер. M.: Стройиздат, 1975. - 112 с.

26. Зырянов, B.C. Экспериментальные исследования плит, опёртых по контуру и трём сторонам Текст.7 B.C. Зырянов// Жилищное строительство. М.: ЦНИИЭПжилища. - 1980. - № 9. - С. 16-17.

27. Зырянов, B.C. Направления линий излома в плитах, опёртых по контуру Текст. / B.C. Зырянов // Бетон и,железобетон. М.: Стройидат. - 1983. -№ 1.-С. 41-42.

28. Зырянов, B.C. Определение схем излома и их влияние на. прочность опёртых по контуру железобетонных плит Текст. / B.C. Зырянов // Сб. науч. тр. «Конструкции крупнопанельных жилых зданий». М.: ЦНИИЭПжилища, 1990. - С. 52-61.

29. Зырянов, B.C. Обоснование расчёта плит по деформированной схеме

30. Текст. / B.C. Зырянов // Жилищное строительство. М.: ЦНИИЭП жилища. - 1998. - № 6. - С. 16-18.

31. Зырянов, B.C. Метод предельного равновесия и расчёт плит по деформированной схеме Текст. / B.C. Зырянов // Матер. 1-й Всеросс. конф. «Бетон на рубеже третьего тысячелетия». — М.: Ассоциация «Железобетон», 2001.-С. 854-865.

32. Зырянов, B.C. Развитие представлений о пластических шарнирах при учёте пространственной работы плит Текст. / B.C. Зырянов // Жилищное строительство. М.: ЦНИИЭП жилища. - 2001. - № 2. - С. 23-24.

33. Зырянов, B.C. Пространственная работа железобетонных плит, опёртых по контуру Текст. / B.C. Зырянов. М.: ЦНИИЭП жилища, 2002. -108 с.

34. Ивлев, Д.Д. Теория идеальной пластичности Текст. / Д.Д. Ивлев. М.: Наука, 1986.-221 с.

35. Калманок, A.C. К расчёту железобетонных плит по методу предельного равновесия Текст. / A.C. Калманок // Сб. «Исследования по теории сооружений». М.: Госстройиздат. - 1957. - Т. УЛ. - С. 36-42.

36. Калманок, A.C. Расчёт пластинок: Справочное пособие Текст. / A.C. Калманок. -М.: Госстройиздат, 1959. 212 с.

37. Карпенко, Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами Текст. / Н.И. Карпенко. М.: Стройиздат, 1976. - 208 с.

38. Каюмов, P.A. Об оценке несущей способности конструкций при произвольных условиях текучести Текст. / P.A. Каюмов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: Изд-во СО РАН. - 1993. -№ 1.-С. 115-120.

39. Киржаев, Ю.В. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач предельного равновесия пластинок Текст.: дис. . канд. техн. наук: 05.23.17 / Киржаев Юрий Викторович. -Орёл, 2005.-163 с.

40. Коробко, A.B. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твёрдого тела Текст. / A.B. Коробко. Ставрополь: Изд-во Ставроп. ун-та, 1995. - 166 с.

41. Коробко, A.B. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости Текст. / A.B. Коробко. М.: Изд-во АСВ, 1999.-304 с.

42. Коробко, A.B. Расчёт пластинок переменного сечения по методу предельного равновесия Текст. / A.B. Коробко, Е.В. Семёнова, М.О. Калашников // Строительная механика и расчёт сооружений. — М.: ФГУП «НИЦ «Строительство». 2006. - № 4. - С. 8-12.

43. Коробко, В.И. Некоторые вопросы расчёта пластин переменного сечения методом предельного равновесия Текст. / дис. . канд. техн. наук: 05.23.17 / Коробко Виктор Иванович. Новосибирск, 1969. - 140 с.

44. Коробко, В.И. Изопериметрический метод оценки несущей способности пластинок Текст. / В.И. Коробко // Пространственные конструкции. — Красноярск. 1975. - С. 18-21.

45. Коробко, В.И. Геометрические методы расчёта пластинок, находящихся в предельном состоянии Текст. / В.И. Коробко. Хабаровск: Хабар, книж. изд-во, 1979. - 104 с.

46. Коробко, В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: в 3-х т., Т. 1: Теоретические основы изопериметрического метода Текст. / В.И. Коробко. М.: Изд-во АСВ, 1997. - 390 с.

47. Коробко, В.И. Строительная механика стержневых систем: Учебник Текст. АВ.И.Коробко, А.В! Коробко. -гМ;:,Изд-во.<АСВ, 2007. 5й-0 е.

48. Коробко, В.И. Оптимальное проектирование пластинок ступенчато-переменной жёсткости, находящихся в предельном состоянии Текст. /

49. B.И. Коробко, С.А. Морозов // Матер. Междунар. академ. чтений «Биосферно-совместимая безопасная среда обитания с позиции архитектурно-градостроительного комплекса». Брянск: БГИТА, 2007. - С. 39-43.

50. Коробко, В.И. Балка ступенчато-переменной жёсткости: расчёт в упругой стадии и по предельному равновесию Текст. / В.И. Коробко,

51. C.А. Морозов // Матер. Междунар. академ. чтений «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения». Курск: КурскГТУ,2009.-С. 85-91.

52. Коробко, В.И. Предельное равновесие неразрезных балок ступенчато-переменной жёсткости Текст. / В.И. Коробко, С.А. Морозов // Известия ОрёлГТУ. Серия «Строительство. Транспорт». Орёл: ОрёлГТУ. — 2009. -№ 1.-С. 46-50.

53. Коробко, В.И. Строительная' механика пластинок: Техническая теория: Учебное пособие Текст. / В.И. Коробко, A.B. Коробко. М.: Издатель-.-. ский-дом «Спектр»,-2010. - 410 е.-•• ■ .

54. Коробко, В.И. Уравнение краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины Текст. / В.И. Коробко, С.А. Морозов // Строительство и реконструкция. — Орёл: Госуниверситет — УНПК. — 2011.-№2.-С. 30-35.

55. Коротеев, Г.И. Теорема о симметризации пластин переменной толщины

56. Текст. / Г.И. Коротеев, И.А. Чаплинский // Известия вузов. «Строительство и архитектура». Новосибирск: НГАСУ. - 1977. - № 8. - С. 47-48.

57. Коротеев, Г.И. Верхняя оценка предельной нагрузки пластин переменной толщины Текст. / Г.И. Коротеев // Известия вузов. «Строительство и архитектура». Новосибирск: НГАСУ. - 1978. - № 5. - С. 44-49.

58. Коротеев, Г.И. Оптимальное проектирование пластин Текст. / Г.И. Коротеев // Известия вузов. «Строительство и архитектура». Новосибирск: НГАСУ. - 1979. - № 7. - С. 34-38.

59. Коротеев, Г.И. Исследование несущей способности пластин переменной толщины Текст.: дис. . канд. техн. наук: 05.23.17 / Коротеев Геннадий Иванович. Новосибирск, 1980. - 122 с.

60. Крылов, С.М. Перераспределение усилий в статически неопределимых железобетонных конструкциях Текст. / С.М. Крылов. — М.: Стройиздат,1964.-166 с.

61. Крылов, С.М. Расчёт на ЭВМ несущей« способности железобетонных плит Текст. / С.М. Крылов, A.M. Проценко, В.Н. Хабарадзе // Исследование.стержневых и плитных железобетонных.статически неопределимых конструкций. -М.: Стройиздат, 1979. - С. 16-25.

62. Кулеш, В.А. Решение некоторых задач кинематическим методом теории предельного равновесия-Текст. / В.А.Кулеш // Вологдинские чтения. -Владивосток: ДВГТУ им. В.В. Куйбышева, 2005. № 49. - С. 43-48.

63. Купман, Д. О линейном программировании и теории предельного равновесия Текст. / Д. Купман, Р. Ланс // Сборник переводов «Механика».1965.-№2.-С. 150-160.

64. Ленкеи, П. Изучение предельных условий по линиям излома для железобетонных плит Текст. / П. Ленкеи // Научное сообщение НИИ по строительству в ВНР. Будапешт, 1966. - № 55. - С. 32-43.

65. Ленкеи, П. Некоторые вопросы расчёта железобетонных плит по методу предельного равновесия Текст. / П. Ленкеи // Сб. науч. ст. НИИЖБ «Совершенствование расчёта статически неопределимых железобетонных конструкций». М.: Стройиздат, 1968. - С. 62-77.

66. Львин, Я.Б. К вопросу о зависимости между разрушающими нагрузкамидля плиты, защемлённой и плиты, свободно опёртой по контуру Текст. / Я.Б. Львин // Тр. Воронеж, инж.-строит. ин-та. Воронеж: ВИСИ. -1950.-№2.

67. Морозов, С.А. Предельное равновесие шарнирно опёртых пластинок линейно-переменной жёсткости Текст. / С.А. Морозов, В.И. Коробко // Известия ОрёлГТУ. Серия «Строительство. Транспорт». — Орёл: Орёл. ГТУ. 2009. - № 2. - С. 19-28.

68. Мруз, 3. Несущая способность кольцевых пластин, закреплённых по обеим кромкам Текст. / 3. Мруз, А. Савчук // Известия АН СССР ОТН «Механика и машиностроение». 1960. - № 2.

69. Надаи, А. Пластичность.и разрушение твёрдых тел: Пер. с англ. Текст. / А. Надаи. MI: Изд-во иностр;: лит-ры, 1954. - 648 с.

70. Небогатов, В.М. Нижние оценки.предельных нагрузок идеально пластических конструкций Текст. / В.М. Небогатов, Ю.В. Немировский // Прикладная математика и механика. Вып. 56. М.: РАН. - 1992. - Т. 56. -№5.-С. 801-809.

71. Немировский, Ю.В. Нижние оценки предельных нагрузок идеально пластических однородных и неоднородных конструкций Текст. /Ю.В. Немировский // Доклады РАН, 2001. Т. 379. - № 1. - С. 59-62.

72. Ольшак, В. Современное состояние теории пластичности: Пер. с англ. Текст. / В. Ольшак, 3. Мруз, П. Пежина. М.: Мир, 1964. - 243 с.

73. Потапов Ю.Б. Железобетонные перекрытия с плитой, опёртой по контуру Текст. / Ю.Б. Потапов, В.П. Васильев, A.B. Васильев и др. // Промышпенное и гражданское строительство. М.: Изд-во ПГС. - 2009. -№3.-С. 40-41.

74. Потапов Ю.Б. Расчёт несущей способности треугольной в плане плиты, защемлённой по контуру Текст. / Ю.Б. Потапов, В.П. Васильев, А.В. Васильев и др. // Промышленное и гражданское строительство. М.: Изд-во ПГС. - 2010. - № 6. - С. 31-33.

75. Прагер, В. Теория идеально пластических тел: Пер. с англ. Текст. / В. Прагер, Ф.Г. Ходж. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1956. - 398 с.

76. Прагер, В. Проектирование пластин наименьшего веса Текст. /

77. B. Прагер // Сборник переводов «Механика». 1956. — № 6. - С. 108-111.

78. Прагер, В. Обобщение метода оптимального проектирования конструкций с учётом пластических деформаций Текст. / В: Прагер, Р. Шилд // Тр. амер. общ-ва инж.-мех. «Прикладная механика». 1967. - № 4.1. C. 36-58.

79. Проценко, А'.М. Предельное равновесие с учётом деформируемой схемы, Текст. / A.M. Проценко // Строительная механика и расчёт сооружений.-- 1969.-№3.-С.31-34. . . .

80. Проценко, А.М. Теория упруго-идеальнопластических систем Текст. / A.M. Проценко М.: Наука, 1982. - 288 с.

81. Проценко, A.M. К 60-летию создания А.А. Гвоздевым теории предельного равновесия Текст. / А.А. Гвоздев- // Бетон и железобетон. М:: Стройиздат. - 1997. - С. 2-4.

82. Ражайтис, В.В. Прочность, жёсткость, трещиностойкость треугольных железобетонных плит и их применение в системе безбалочного перекрытия связевого каркаса Текст.: дис. . канд. техн. наук: 05.23.01 / Ражайтис Викторас Викторович. Вильнюс; 1984. - 213 с.

83. Ржаницын, А.Р. Расчёт сооружений с учётом пластических свойств материала Текст. / А.Р. Ржаницын. — М.: Госстройиздат, 1954. 287 с.

84. Ржаницын, А.Р. Расчёт железобетонных плит методом линейного программирования Текст. / А.Р. Ржаницын // Тр. VI конф. по бетону и железобетону. -М.: Стройиздат. 1966. - С. 85-98.

85. Ржаницын, А.Р. Применение линейного программирования к задаче предельного равновесия»при плоском деформированном состоянии Текст. / А.Р. Ржаницын, Г.Н. Брусенцов // Строительные конструкции и расчёт сооружений. -М.: Стройиздат. 1969. - С. 9-15.

86. Ржаницын, А.Р. Строительная механика: Учебное пособие для вузов Текст. / А.Р. Ржаницын. М.: Высшая школа, 1982. — 400 с.

87. Ржаницын, А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек Текст. / А.Р. Ржаницын.-М.: Наука, 1983.-288 с. . . t„

88. СНиП П-23-81*. Стальные конструкции Текст. / Госстрой СССР. М.: ФГУП ЦПП, 2005. - 90 с.

89. Соколовский, В.В. Теория пластичности Текст.' / В .В: Соколовский. -М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

90. Тельконуров, K.M. Железобетонные сплошные плиты перекрытий крупнопанельных жилых зданий с краевой нагрузкой от наружных стен Текст.: дис. канд. техн. наук: 05.23.01 / Тельконуров Канат Мукушевич. -М., 2005.-117 с.

91. Темралинов, Д.А. Статическая работа железобетонных сплошных плит перекрытий жилых зданий с локальными нагрузками Текст.: дис. . канд. техн. наук: 05.23.01 / Темралинов Дамир Аманович. — М., 2003. -142 с.

92. Терегулов, И.Г. Расчёт конструкций по теории предельного равновесия Текст. / И.Г. Терегулов, P.A. Каюмов , Э.С. Сибгатуллин. Казань: Фэн, 2003.-180 с.

93. Терёхина, В.И. Использование двойственности в линейном программировании для расчёта круглых пластин Текст. / В.И. Терёхина // Строительные конструкции и расчёт сооружений. М.: Стройиздат. — 1969. — С. 15-23.

94. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки Текст. / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Наука, 1966. - 636 с.

95. Ходж, Ф.Г. Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций: Пер. с англ. Текст. / Ф.Г. Ходж. М.: Машгиз, 1963. - 380 с.

96. Холас, О. О предельном равновесии железобетонных плит Текст./ О. Холас // Известия АН СССР ОТН «Механика и машиностроение». -1956.-№8.

97. Чжао^ Цзу-у. Предельное равновесие железобетонных плит Текст. / Цзу-у Чжао // Вопросы теории пластичности и прочности строительных конструкций. -М.: Госстройиздат. 1961. - С. 226-236.

98. Чирас, А.А. Методы линейного программирования при расчёте упруго-пластических систем Текст. / А.А. Чирас. JL: Стройиздат, 1969. -198с."* * * - - г •, ^ .

99. Шаблий, О.Н. Об» оптимальном проектировании круглой пластинки Текст. / О.Н. Шаблий // Строительная механика и-расчёт сооружений. -1981.-№6.-С. 12-14.

100. Эстрин, М.И. К теории оптимального проектирования жёсткопластиче-ских плит Текст. / М.И. Эстрин // Новые методы расчёта строительных конструкций.-М.: Госстройиздат, 1971.-С. 156-162.

101. Aryanpour, М. Load carrying capacity of circular and annular plates using an arbitrary yield criterion Текст. / M. Aryanpour, M. Ghorashi // Computers and Structures. 2002. - № 23. - P. 1757-1762.

102. Braestrup, M.W. Yield-line theory and concrete plasticity Текст. / M.W. Braestrup // Magazine of Concrete Research. 2008. - № 60. -P. 549-553.

103. Canh, V.L. Novel numerical procedures for limit analysis of structures Текст. // Dissertation of degree of doctor of philosophy. University of Sheffield, 2009. - 179 p.

104. Ghorashi, M. Limit analysis of circular plates subjected to arbitrary rotational symmetric loadings Текст. / M. Ghorashi // International Journal of Mechanical Sciences. 1994. - № 2. - P. 87-94.

105. Ghorashi, M. Limit analysis of variable thickness circular plates Текст. / M. Ghorashi, M. Daneshpazhooh // Computers and Structures. 2001. -№2.-P. 461-468.

106. Ghorashi, M. Load carrying capacity of simply supported variable thickness circular plates Текст. / M. Ghorashi // International Journal of Engineering. -2001.-№2.-P. 155-162.

107. Grech, S. Solid-reinforced concrete slab capacity under line loading Текст. / S. Grech // Dissertation of degree of master of science in structural engineering. University of Surrey, 2006. - 80 p.

108. Guowei, M. Plastic limit analysis of circular plates with respect to unified yield criterions Текст. / M. Guowei, I. Shoji, M. Yutaka and others // International Journal of Mechanical Sciences. 1998. - № 10. - P. 963-976.

109. Haythornthwaite, R.M. The load-carrying capacity of wide beams at finite de. flection Текст. /-R.M. Haythornthwaite, W.C. Boyce // Proc. of 3rd*U.S. Nat;,

110. Cong. Appl. Mech. New York. - 1958. - P. 541-550.

111. Hill, R. The mathematical theory of plasticity Текст. / R. Hill. Oxford: Clarendon Press, 1950. - 356 p.

112. Islam, S. Yield-line analysis of two way reinforced concrete slabs with openings Текст. / S. Islam, R. Park // J. Inst. Struct. Eng. 1971. - № 6. -P. 269-276.

113. Johansen, K.W. Yield-line theory Текст. / K.W. Johansen // Cement and Concrete Association. London, 1962. - 180 p.

114. Johansen, K.W. Yield-line formulae for slabs Текст. / K.W. Johansen. -London: Cement and concrete association, 1972. 106 p.

115. Johnson, D. Mechanism determination by automated yield-line analysis Текст. / D. Johnson // The Structural Engineer. 1994. - № 19. -P. 323-327.

116. Johnson, D. Yield-line analysis by sequential linear programming Текст. / D. Johnson // International Journal Solids and Structures. 1995. - № 10.1. Р.1395-1404.

117. Johnson, D. Lower bound collapse analysis of concrete slabs Текст. / D. Johnson 11 Concrete Construction Conference. Crowthome: BCA, 1999. -P. 299-310.

118. Johnson, D. On the safety of the strip method for reinforced concrete slab design Текст. / D. Johnson // Computers and Structures. 2001. - № 79. -P. 2425-2430.

119. Jones, L.L., Yield-line analysis of slabs Текст. / L.L. Jones, R.H. Wood: -London: Thames and Hudson, 1967. 405 p.

120. Kennedy, G. Practical yield-line design Текст. / G. Kennedy, Ch. Goodchild. Crowthome, Berkshire: British Cement Association, 2003 . — 171 p.

121. Krabbenoft, K. Lower bound limit analysis of slabs with nonlinear yield criteria Текст.; / К. Krabbenoft, L. Damkilde // Computers and Structures. 2002. № 80. - P. 2047-2057.

122. Krabbenoft, K. A general nonlinear optimization algorithm for lower bound» limit analysis Текст. / К. Krabbenoft, L. Damkilde // International Journal- .-.for-Numerical Methods in Engineering:-.--2003*.-№,56;,-Р.Л65-184й-.,^--;

123. Krenk, S. Hoyer Limit analysis and optimal design of plates with equilibrium elements Текст. / S. Krenk, L. Damkilde, O. Hoyer // Journal of Engineering Mechanics. 1994. - № 120. - P. 1237-1254.

124. Lubliner, J. Plasticity theory Текст. / J: Lubliner. NewYork: Macmillan, 2006.-529 p.

125. Mansfield, E.H. Studies in collapse analysis of rigid-plastic plates with a square yield diagram Текст. / E.H. Mansfield // Proc. R. Soc. London, 1957.-P. 311-338.

126. Monotti, M.N. Reinforced concrete slabs compatibility limit design Текст. / M.N. Monotti. - Zurich: Swiss Fed. Inst, of Tech., 2004. - 90 p. Mroz, Z. On problem of minimum weight design [Текст] / Z. Mroz // Quart. Appl. Mech. - 1961. - № 2.

127. Nielsen, M.P. Limit analysis and concrete plasticity Текст. / M.P. Nielsen. -Boca Raton, Florida: CRC Press, 1998. 908 p.

128. Rahimi, G.H. Limit load analyses of plates with a hole under in-plane loads Текст. / G.H. Rahimi, R.A. Alashti // Scientia Iranica. 2005. - № 4. -P. 442-454.

129. Sawczuk, А. О mozliwosciach praktycanego loraystanis z rozwiazan teorii nosnosci graniczney plyt Текст. / A. Sawczuk // Arch. Ins-ril. Ladawej. -1956.-№2.

130. Sawczuk, A. Grenztragfahigkeits-theorie der platten Текст. / A. Sawczuk, T. Jaeger. Berlin: Springer-Verlag, 1963. - 522 p.

131. Sawczuk, A. Limit analysis of plates Текст. / A. Sawczuk, J. Sokol-Supel. -Warszawa: PWN, 1993.

132. Shield, R.T. Plate design for minimum weight Текст. / R.T. Shield // Quart. Appl. Mech. 1960. - № 2.

133. Shull, H.E. Load-carrying capacities of simply supported rectangular plates Текст. / H.E. Shull, L.W. Hu // Journal of Applied Mechanics. 1963.4.-P. 617-621.

134. Sobotka, Z. Plastica unosnost desek Текст. / Z. Sobotka // Silnice. 1956. -№5.-P. 17-32.

135. Sobotka, Z. Theory of plasticity and limit design of plates Текст. / Z. Sobotka. Amsterdam: Elsevier, 1989. - 656 p.

136. Suhud, N.F. Yield-line theory on slab design using Microsoft Visual Basic 6.0 Текст. // Dissertation of degree of bachelor of civil engineering. University Technology Malaysia, 2009. - 96 p.

137. Quintas, V. Two main methods for yield-line analysis of slabs Текст. / V. Quintas // Journal of Engineering Mechanics. 2003. - № 2. - P. 223-231.

138. Voyiadjis, G.Z. Elasto-plastic and damage analysis of plates and shells Текст. / G.Z. Voyiadjis, P. Woelke. New York, 2008. - 208 p.

139. Vrouwenvelder, A. The plastic behavior and the calculation of plates subjected to bending Текст. / A. Vrouwenvelder, J. Witteveen. Delft: Technical University, 2003. - 112 p.

140. Wager, P.C. Yield-line analysis of slabs with covered openings Текст. /

141. P.C. Wager // 26th Dept of-Defense Explosives Safety Seminar. -^¡¿Miami, . Florida, 1994. 79 p.

142. Wust, J. Systematic Prediction of Yield-Line Configurations for Arbitrary Polygonal Plates Текст. / J: Wust, W. Wagner. Karlsruhe: Baustatik, 2007. -24 p.

143. Wood, R.H. Plastic and elastic design of slabs and plates with particular reference to reinforced concrete floor slabs Текст. / R.H. Wood. London: Thames and Hudson, 1961. - 344 p.

144. Yang, W.H. Minimization approach to limit solutions of plates Текст. / W.H. Yang // Computer methods in applied mechanics and engineering. -1981.-№28.-P. 265-274.