автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение суперэлементной методики расчета тонкостенных пластинчатых и пластинчато-стержневых систем типа зданий

На правах рукописи

РГВ ОЛ

" 4 ЯНВ 2x0

Гурова Елена Владимировна

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ СУПЕРЭЛЕМЕНТНОЙ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ ПЛАСТИНЧАТЫХ И ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ТИПА ЗДАНИЙ.

Специальность 05.23.17 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой стеисни кандидата технических наук

Волгофад 2000

Работа выполнена на кафедре строительной механики Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии

(

Научный руководитель: заслуженный деятель науки и техники РФ

доктор технических наук, профессор Игнатьев В.А.

Научные консультанты: кандидат технических наук, доцент Карасев Г.М.;

старший преподаватель Гаевскнй С.К.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Кукса Л.В. кандидат технических наук доцент Коновалов О.В.

Ведущая организации: «Волгоградгражданпроект»

Защита состоится «19» декабря 2000 года в 10 часов на заседании диссертационного совета К 064.63.02 в Волгоградской архитектурно-строительной академии по адресу: г. Волгоград, ул. Академическая, 1, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Волгоградской архитектурно-строительной академии.

Автореферат разослан «17» ноября 2000 года

Отзывы просим направлять по адресу:

400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д.1, Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия, Ученый совет К 064.63.02

Ученый секретарь диссертационного совета, \ ¡у.-*----

кандидат технических наук, доцент ск X х О Л о 'Шкода Г. Г./

циг .егг .046 , о

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

В настоящее время трудности, связанные с расчетом зданий и сооружений как сложных систем, ставят перед проектировщиком ряд проблем, связанных как с выбором расчетной модели рассматриваемого сооружения, расчетных предпосылок и гипотез, так и метода расчета.

Для расчета пространственных коробчатых систем, которыми являются здания, предложены различные численные методы, в частности, метод конечных элементов, который лучше других приспособлен для реализации на ЭВМ. Однако, применение метода конечных элементов к расчётам сложных структур вызывает необходимость представления конструкции большим числом элементов, что приводит к системам алгебраических уравнений высокого порядка, значительным затратам машинного времени.

Для устранения этих трудностей были предложены различные идеи по модификации метода конечных элементов, имеющие целью уменьшить объем вводимой и хранимой в памяти ЭВМ информации, понизить порядок разрешающей системы уравнений и увеличить вычислительные возможности программ, реализующих методы расчета сложных конструкций. Наибольшее распространение получила идея метода суперэлементов, которая позволяет рассматривать сложную конструкцию по частям с последующим их объединением и составлением системы уравнений, выражающей условия равновесия всей конструкции, как совокупности элементов. Совместность деформаций обеспечивается при этом только в расчетных узлах. Снижение размерности системы разрешающих уравнений обеспечивается процедурой статической конденсации.

В свою очередь, традиционная форма метода суперэлементов несвободна от ряда недостатков, таких как многоэтапный характер, подразумевающий хранение матриц жесткости суперэлементов всех уровней, ограничения в процедуре статической конденсации, относительно высокий порядок системы разре-

шающих уравнений, несмотря на редукционный характер метода, разрыв перемещений в промежуточных узлах граней смежных суперэлементов.

Поэтому дальнейшее развитие и совершенствование суперэлементной методики применительно к расчетам конкретных классов конструкций является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является:

- дальнейшее развитие методики суперэлементного расчета тонкостенных пространственных систем (типа зданий);

- разработка для таких конструкций методики и эффективного алгоритма построения матрицы жесткости прямоугольного суперэлемспта со связями только в угловых узлах;

- апробация и оценка эффективности разработанного алгоритма на примерах расчёта и проведение численных исследований.

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

- разработана усовершенствованная методика суперэлементного расчета тонкостенных пространственных систем

- разработана методика формирования матрицы жесткости прямоугольного суперэлемента в условиях плоского напряженного состояния со связями только в угловых узлах с сохранением совместности деформаций стыкующихся суперэлементов;

- разработан и описан элемент жестко-упругого конгура;

- разработаны алгоритмы формирования матрицы жесткости суперэлемента со связями в угловых узлах с применением жестко-упругого контура для практических расчетов.

Достоверность результатов подтверждается использованием общепринятых гипотез и допущений строительной механики и сравнением полученных численных результатов с известными решениями.

Практическая ценность. Выполненное исследование позволяет с достаточной для практики степенью точности выполнять расчеты сложных пластинчатых и коробчатых систем типа зданий. Применение метода жестко-упругих контуров позволяет в несколько раз снизить трудоемкость расчета и подготовки исходных данных. Разработанные в диссертации методика и алгоритмы могут быть рекомендованы для применения в проектных и научно-исследовательских организациях и эффективно использоваться при прочностных расчетах пластинчато-стержневых и коробчатых систем.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры строительной механики ВолгГАСА под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора Игнатьева В. А.

Публикации. Основное содержание работы отражено в трех научных статьях.

Структура н объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы из 83 наименований и приложения, изложена на стр. с иллюстрациями.

Основное содержание работы

Первая глава посвящена обзору литературы и постановке задач исследования. Она начинается с классификации многоэтажных зданий и их расчетных схем. Рассматриваются работы, посвященные методам расчета сложных систем.

Различным сторонам матричной формулировки задач расчета многократно неопределимых систем посвящены работы Смирнова А.Ф., Аргирисз Дж., Александрова A.B., Масленникова A.M., Шапошникова H.H., Розина JI.A. и других исследователей. Наиболее точные дискретно-континуальные модели и методы применительно к расчету пластинчато-стержневых систем, в том числе и метод конечных элементов развивались в работах Власова В.З., Александрова A.B., Постнова В.А., Розина Л.А., Шапошникова H.H., Зенкевича О., Масленникова A.M., и других. Практика расчета многоэтажных зданий породила мно-

жество приближенных инженерных методов. Они развиты в работах Жемочки-на Б.Н., Егупова В.К., Дроздова ПФ., Игнатьева В.А., Лишака В.И., Подольского Д.М., Сапожникова А.И., Ханджи В.В. и других исследователей.

Применение к расчету сложных конструкций широко распространенных на сегодняшний день вариационных методов и МКЭ приводит к системам алгебраических уравнений очень высокого порядка, что снижает эффективность выполняемых расчетов или делает их выполнение вообще невозможным. Наиболее эффективным и кардинальным способом преодоления затруднений, связанных с высокой размерностью решаемых задач, является редукционное понижение порядка вводимых в расчет матриц с использованием суперэлементной методики, которая, в свою очередь, также имеет ряд существенных недостатков.

Повышение эффективности расчета по МСЭ возможно при использовании суперэлементов, построенных при условии энергетической эквивалентности исходной и редуцированной расчетных схем. Сохранение потенциальной энергии деформации СЭ при редуцировании дает возможность исключать узлы на границах суперэлемента, что приводит к существенному снижению числа расчетных узлов. Основным недостатком использования процедуры статической конденсации при исключении граничных узлов суперэлсмента являегся разрыв перемещений промежуточных узлов на гранях смежных суперэлемсн-тов.

Развитие суперэлементной методики привело к разработке методов, использующих процедуру статической конденсации для понижения порядка матрицы жесткости суперэлемента (метод контурных точек, метод расчетных точек), дающих возможность еще более понизить порядок разрешающей системы уравнений, исключая часть контурных узлов. Такой подход дает возможность построения суперэлемента со связями только в угловых узлах, исключая внутренние контурные узлы. Но в этом случае также возникает проблема разрывности перемещений на границах соседних суперэлементов

В данной работе развивается методика использования жестко-упругого контура для аппроксимации линии деформирования граней суперэлемеита с помощью линейной функции, а также исследование и описание контурного элемента для практического применения метода жестко-упругих контуров в инженерных расчетах.

Во второй главе описана методика суперэлементного расчета с использованием жестко-упругого контура.

Рассчитываемый прямоугольный суперэлемент заключается в рамку, состоящую из «специальных» контурных элементов. Эти элементы ставятся между контурными узлами (в том числе и промежуточными контурными узлами) формируемого суперэлемента (рис.1). Размеры контурных элементов определяются соответствующими размерами базовых конечных элементов, которыми

]

■ Iх г

а)

б)

Рис. 1 Расположение элементов жестко-упругого контура при различном характере разбиения суперэлемеита: а) симметричном в двух направлениях, б)

несимметричном

описывается формируемый суперэлемент. Контурный элемент представляет собой «жестко-упругий» стержень, имеющий с двух сторон абсолютно жесткие вставки. Между ними в середине длины стержня - упругая часть (рис.2). За счет упругой части осуществляется передача разницы перемещений менаду соседними контурными узлами. При смещении углового узла в направлении одной из

Ъ ' I и

Рис.2 Расчетная схема контурного элемента осей координат упругие вставки смежного ребра, параллельного этой оси, растягиваясь, передают разницу между перемещениями соседних узлов. Упругие вставки ребра, направление которого перпендикулярно направлению смещения, сдвигаясь, образуют «ступеньки», за счет которых передается разница перемещений (рис.3, 4, 5). Величина деформаций растяжения и сдвига упругой вставки <5 при деформации контура определяется требуемым значением разницы перемещений соседних узлов. Величина разницы перемещений между соседними узлами зависит только от характера разбиения на базовые конечные элементы формируемою суперэлемента (рис.1).

Коэффициенты жесткости отдельного контурного элемента определяются стандартным образом для стержня, защемленного двумя концами с учетом его продольной жесткости. Порядок матрицы жесткости элемента жестко-упругого контура зависит от числа неизвестных перемещений в узле базового конечного элемента. Основным требованием является совместимость матриц жесткости базового конечного элемента и элемента жестко-упругого контура, что обусловливает количество, направление и порядок описания неизвестных для элемента жестко-упругого контура. Длина элемента при определении его матрицы жесткости принимается равной длине упругой части. При формировании матрицы жесткости контурного элемента в случае, когда местная система координат не совпадает с общей, используется матричное преобразование

г' = У7-г-У. (1)

В этом случае матрица перехода V совершает преобразования вращения в плоскости координат.

Рис.2 Деформированная схема суиерэлемента и жестко-упругого контура

при Ду'=1

Рис.3 Деформированная схема суперэлемента и жестко-упругого контура

при Дх'=1

* У

Рис.4 Деформированная схема пустого контура при Дх'=1 Жесткостные характеристики упругой части элемента жестко-упругого контура не зависят от жесткости системы, находящейся в контуре, как не зависят и от характера разбиения суперэлемента на базовые конечные элементы.

При единичном смещении углового узла промежуточные узлы смежных смещаемому узлу ребер также получают заданные значения перемещений. Остальные ребра и угловые узлы являются несмещаемыми. Кривая деформаций граней суперэлемента аппроксимируется линейной функцией. Таким образом, как и в стандартном методе конечных элементов принимаем гипотезу о линейном распределении перемещений между двумя соседними узлами суперэлемента.

При принятом линейном характере распределения перемещений по граням суперэлемента перемещение ¡-го контурного узла смещаемого ребра определится как

а , =! + £, Ч > *,■=-—;

1\ (2),

Л,

где /„ 1р расстояние от ¡-го ()-г0) промежуточного контурного узла ребра до смещаемого узла, Г, С- длина соответствующего ребра.

Промежуточные контурные и угловые узлы являются общими для жестко упругого контура и суперэлемента. Совместность деформаций жестко-упругого контура и формируемого суперэлемента соблюдается только в этих узлах. При

этом кривая деформирования контура носит кусочно-линейный характер, в то время как кривая деформирования грани суперэлемента соответствует линейному закону.

Матрица жесткости всего суперэлемента формируется з соответствие со стандартной процедурой метода конечных элементов путем суммирования по узлам соответствующих коэффициентов жесткости отдельных контурных элементов и элементов структуры внутри контура.

Полная матрица жесткости суперэлемента в соответствие с процедурой статической конденсации приводится к расчетным точкам (угловым узлам).

[сЫО-М-Ы-Ы (3).

где Ярр- матрица коэффициентов жесткости расчетных точек,

/?,,,,- матрица коэффициентов жесткости внутренних точек,

КРЧ /?,,,- матрицы влияния.

Выражение (3) -стандартная форма процедуры статической конденсации для податливого ребра.

При формировании суперэлемента со связями только в угловых узлах матрица единичных смещений уже не будет единичной, как при податливом ребре, а примет следующий вид:

О,

О,

'• = 1 -Р (4)

Здесь вектор-строка О/ содержит не только соответствующее единичное смещение ¡-го углового узла, но и соответствующие смещения внутренних контурных узлов двух смежных ребер, примыкающих к ¡-му угловому узлу (рис.2). Таким образом, матрица единичных смещений расчетных узлов имеет квазидиагональный характер, и ее порядок определится как ((р-г)хлЛ пч=(Л + Р)-р-2>

где - общее число узлов, г - число неизвестных в узле, (рг) - число единичных расчетных затружений, р - число расчетных узлов.

Матрица, определенная при описанном выше характере единичных смещений, не является матрицей жесткости суперэлемента, а является матрицей усилий, действующих на ребра. Для построения квадратной матрицы жесткости угловых узлов эти усилия необходимо привести к углам суперэлемента как величины реакций от этих сил. Таким образом, матрица жесткости определится как

(5),

Хр - матрица отображения единичных реакций в контурных точках в групповые реакции граней суперэлемента. Матрица Хр позволяет учесть реакции в промежуточных узлах в реакциях расчетных (угловых) узлов после расчета на единичные смещения.

У - диагональная корректирующая матрица. Ее элементами являются коэффициенты, определяемые в соответствие с выражением

Г,,=—=-Ц— (6).

Здесь ]ГА,, " суммы значений перемещений промежуточных узлов,

расположенных на смежных относительно смещаемого узла ребрах, горизонтальном и вертикальном, соответственно (см. рис.4, рис.3). Матрица У позволяет привести полученные при описанном выше характере единичных смещений коэффициенты жесткости к их действительным значениям на основе энергетической эквивалентности исходной и преобразованной систем. Ее коэффициенты зависят только от количества и расположения промежуточных контурных узлов на смежных смещаемому узлу ребрах.

После определения матрицы жесткости суперэлемента совместно с жестко-упругим контуром в соответствии с описанным выше подходом определяется матрица жесткости пустого контура при таком же характере его разбиения на

конечные элементы и вынужденных единичных смещениях, что и при совместном расчете.

Искомая матрица жесткости суперэлемента определиться как

где [С„] - искомая матрица жесткости суперэлемента,

[С„] - редуцированная матрица жесткости для суперэлемента с угловыми связями, состоящего из базовых конечных элементов и жестко-упругого контура,

[С,] - редуцированная матрица жесткости для пустого жестко-упругого контура.

Внешняя нагрузка приводится к узлам редкой сетки суперэлемента из условия равенства работ внешних сил для исходного и редуцированного суперэлемента.

Система уравнении равновесия суперэлсмента на редкой сетке узлов примет вид

ии={р,}, (8)

где С - матрица жесткости редуцированного суперэлемента; цр - вектор перемещений угловых узлов; Рр- заданная нагрузка, приведенная к расчетным узлам.

Построение глобальной матрицы жесткости всего сооружения осуществляется по стандартной процедуре метода конечных элементов путем суммирования соответствующих коэффициентов жесткости элементов, входящих в расчетную схему.

Результатом расчета по методу конечных элементов в форме метода перемещений на заданные нагрузки и воздействия будут действительные перемещения узлов глобальной расчетной схемы. Подробное напряженно-деформированное состояние суперэлемента определяется по значениям действительных перемещений его угловых узлов.

При формировании суперэлемента из базовых конечных элементов плоской задачи теории упругости с двумя линейными смещениями в узле аппроксимация поля перемещений выглядит следующим образом: и =а, + а2х + а}ху + алу~0.5а1у1 у = а5 + а6у + а7ху + а>х-0.5а3х1

здесь а, Ь - размеры конечного элемента по направлению осей ох и оу соответственно.

При формировании суперэлемента из элементов плоской задачи теории упругости элементы с тремя неизвестными в узле (два линейных смещения и угол поворота в плоскости пластины) аппроксимация поля перемещений выглядит следующим образом:

и =а, + а2х + а^у + а4у2 -(2а5 + 3а6а)х>>+ 2 +а8>'3 +а,ху' у = а10 +агх + а,1у + а<х2 -(2ап +2а1 +За9Л)г'>'/Зо (10)

— = а. +2аАу-(2а5 + 3а6а)х + 2а7ху + Заеу2 +3 а9ху2 ду

Эти функции перемещений удовлетворяют условиям межэлементной непрерывности и получены с учетом требования

ди _ ду ду дх

По описанной выше методике возможно построение матриц жесткости прямоугольного суперэлемента со связями только в угловых узлах, составленного из стержневых конечных элементов. Здесь, как и в случае с конечными элементами плоской задачи теории упругости, часть рассчитываемой конструкции, заменяемой суперэлементом, описывается совокупностью базовых конечных элементов, в данном случае стержневых.

При расчете коробчатых систем с использованием суперэлементной методики каждая из граней рассматривается как отдельный суперэлемент или их комбинация. Матрица преобразования матрицы жесткости конечного элемента из локальной системы координат в глобальную является квазидиагональной. Ее

диагональные элементы представляют собой матрицу направляющих косинусов локальной системы координат.

Далее, расчет сооружения осуществляется по стандартной процедуре

МКЭ:

[*]*{?Ж = 0,

где [К],{д},{Р}- матрица жесткости всей системы, вектор узловых перемещений и вектор узловых нагрузок соответственно.

Основным достоинством рассматриваемого метода является возможность построения прямоугольного суперэлемента в условиях плоского напряженного состояния со связями только в угловых узлах при обеспечении совместности деформаций промежуточных контурных узлов стыкующихся суперэлементов. При этом значительно снижается порядок разрешающей системы уравнений, что приводит к существенному снижению требований к аппаратной части ЭВМ и уменьшению объема вычислительных затрат. Разработанные алгоритмы применения жестко-упругого контура к расчету пластинчато-стержневых систем в условиях плоского напряженного состояния позволяют получать результаты, достаточно хорошо совпадающие с ранее полученными решениями.

В третьей главе рассматривается применение жестко-упругого контура к расчетам пластинчатых и коробчатых систем, дано сравнение результатов.

0,41

Рис.6.Стеновая панель, а) схема, б) расчетная схема четверти панели

18В4 ЗР 1SB4

21В4 21В4

а С2 а

33 If4 , ЗЗВ4

а СЗ

33 В4 ЗЗВ4

а а а

21В 4 21В4

а 27В4 а 2 зр , С1 27В4

а 27В4 ЗР а 27В4

а а а а

18В4 ЗР 1SB4

CI

С2

схема!

а

а

а схема2

.сз

Рис.7 Укрупненные расчетные схемы и расчетные схемы суперэлементов Расчет стеновой панели. Определялось деформированное состояние защемленной по боковым сторонам изотропной панели с симметричным отверстием от действия силы тяжести. Поведем сравнение результатов с решением, полученным Масленниковым A.M. Результаты расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1

Число неизвестных Прогибы узлов верхней кромки, см (нумерация узлов от середины)

1 2 3 4 5

Подробная схема 180 2,4582 2,3152 1,9233 1,356 0,7143

Схема 1 16 1,9777 1,3185 0,6635

Схема 2 24 2,5037 2,3815 1,9726 1,3151 0,6587

Погрешность, % 1.8 2,8 2,7 3,0 7,0

Все конечные элементы, составляющие расчетную схему одинаковы. Для сравнения численных результатов расчета приняты следующие характеристики панели: Н = 270000 т/м2, /г = 0,1 м, Ь = 6 м, Р = 2 т.

Расчет балки-стенки с симметричными и несимметричными отверстиями. Для иллюстрации изложенной выше методики рассмотрены различные расчетные схемы. Рассмотрим балку стенку, расчетная схема которой представлена на рисунке 10, загруженную в трех узлах горизонтальной узловой нагрузкой.

>

а С1 а 4

3

С1 С1 С1

2

С1 а а

I

а а а

Рис. 10. Расчетная схема балки-стенки

21

1

-I -1 к 61

21

.1 'П

1

--21— г-1 - -21/3

6Ь

Рис.11. Расчетные схемы суперэлемента балки-стенки с симметричным отверстием С1 при равномерной и неравномерной разбивке.

Базовые конечные элементы - изотропные, толщина И = 0,1м, модуль упругости Е= 2.70000 т/м2, коэффициент поперечной деформации /<-0,167, Ь = 0,6 м, Р= 100 т. Сравниваются перемещения отмеченных на рисунке 10 узлов.

При построении матрицы жесткости всей конструкции использовались суперэлементы в одном случае с симметричной равномерной разбивкой (схема А) на базовые конечные элементы, в другом - с несимметричной (схема В).

21 21

45

1 ч 1

-1 А 1 б£ -I. - 1- 61. -

Рис. 13 Расчетные схемы суперэлемента балки-стснки с несимметричным отверстием С1 при равномерной и неравномерной разбивке

Результаты расчета приведены в таблице 2.

Таблица 2

Число неизвестных Перемещения узлов, см (гор/верт)

1 | 2 | 3 | 4

Бапка-стеика с симметричными отверстиями

Подробная схема 888 19,014 -15,221 40,664 -21,272 60,557 -22,685 77,744 -22,689

Схема А 32 18,736 -15,789 40,347 -22,579 61,412 -24,476 80,581 -24,639

Схема В 32 19,524 -15,882 42,486 -22,868 65,201 -24,751 82,373 -24,723

Погрешность, % 4,5 6,2 7,2 6,1

Балка-стенка с несимметричными отверстиями

Подробная схема 888 22,059 -17,156 47,261 -24,233 71,253 -26,351 92,414 -26,552

Схема А 32 21,093 -17,214 45,117 -24,402 68,234 -26,356 89,271 -26,522

Схема В 32 20,8 -17,503 44,641 -23,909 67,133 -25,102 87,476 -24,57

Погрешность, % 5,7 2,2 5,7 7,2

Расчет консольной коробки. Жестко заделанная тонкостенная пространственная система, несимметрично нагруженная сосредоточенными горизонтальными силами приложенными на ребре (рис.14).

а) б)

Рис.14 Консольная тонкостенная коробка а) подробная схема, б) укрупненная схема Расчет проводился с учетом только линейных перемещений (мембранная коробка). Сравнение перемещений узлов крайнего торцевого сечения (угловые узлы и середины сторон) для подробной и укрупненной схем приведено в таблице 3.

Таблица'З

Число неизвестных Перемещения по осям г/у, см

1 2 3 4 5 6 7 8

Подробная схема 192 -4,659 -2,187 -4,784 6.365 -4,94 14,6 0,000 15,07 5,563 16,81 5,267 7.402 5,13 -2,152 0,000 -2,136

Укрупненная схема 24 -5.509 -2.414 -5.414 6.253 -5 23 15.22 0.23 16.31 5.68 17.40 5.448 7.34 5.216 -2.392 0.18 -2.403

Погрешность, % 12 11 6 8 4 3 10 и

Одним из основных достоинств предлагаемого метода жестко-упругого контура и разработанных на его основе алгоритмов можно отнести то, что решение систем уравнений высоких порядков заменяется решением нескольких систем уравнений меньшего порядка, что приводит к существенной экономии машинного времени. Выполненные примеры расчета позволили сделать сравнения предлагаемого метода жестко-упругого контура с имеющимися решениями. Такие сравнения подтвердили эффективность предлагаемого метода и возможность получения достаточно точных результатов по сравнению с другими методами при значительно меньшей сложности вычислительных алгоритмов.

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. В диссертации получила дальнейшее развитие суперэлементная методика расчета тонкостенных пространственных систем, основанная на идее статической конденсации второстепенных степеней свободы. Разработаны методика расчета и алгоритмы, ориентированные на расчет пластинчато-стержневых и коробчатых систем в форме метода перемещений (МКЭ).

2. Разработана методика формирования матрицы жесткости прямоугольного суперэлемента плоского напряженного состояния со связями в угловых

узлах с сохранением совместности деформаций по граням стыкующихся суперэлементов

3. Разработан и описан элемент жестко-упругого контура, разработаны алгоритмы формирования матрицы жесткости суперэлемента с применением жестко-упругого контура для практических расчетов с использованием прямоугольного суперэлемента со связями в угловых узлах.

4. К основным достоинствам предлагаемого метода жестко-упругого контура и разработанных на его основе алгоритмов можно отнести:

а) решение систем уравнений высоких порядков заменяется решением нескольких систем уравнений меньшего порядка, что приводит к существенной экономии машинного времени; тем большей, чем выше порядок решаемой за-, дачи.

б) использование метода жестко-упругого контура при конденсации неизвестных для построения матрицы жесткости прямоугольного суперэлемснта со связями в угловых узлах позволяет исключить разрывность деформаций в промежуточных контурных узлах стыкующихся суперэлементов и соблюсти граничные условия по граням суперэлемента.

5. Выполненное исследование позволяет с достаточной для практики степенью точности выполнять расчеты пластинчато-стержневых и коробчатых систем. Анализ результатов, полученных с использованием метода жестко-упругого контура, показал его эффективность в смысле значительного снижения вычислительных затрат. Разработанные алгоритмы, реализующие описанный метод, для расчета стержневых систем, а также континуальных систем, находящихся в условиях плоского напряженного состояния с двумя и тремя неизвестными в узле могут быть рекомендованы для практического использования в расчетах широкого класса конструкций или включены в имеющиеся программные комплексы.

Публикации по работе

1. Гурова Е.В. Метод жестко-упругих контуров в исследовании напряженно-деформированного состояния тонкостенных коробчатых систем в условиях плоского напряженного состояния. Информ. листок №51-278-00/ Водгогр. Центр науч. - техн. информации. - Волгоград, 2000, - 4с.

2. Игнатьев В.А., Гурова Е.В., Карасев Г.М., Гаевский С.К. Метод жестко-упругих контуров в исследовании напряженно-деформированного состояния континуальных систем. Информ. листок №51-257-00/ Волгогр. Центр науч. - техн. информации. - Волгоград, 2000, - 4с.

3. Игнатьев В.А., Гурова Е.В., Карасев Г.М., Гаевский С.К. Метод жестко-, упругих контуров в исследовании напряженно-деформированного состояния систем в условиях плоского напряженного состояния. Информ. листок №51-273-00/ Волгогр. Центр науч. - техн. информации. - Волгоград, 2000, -4с.

Введение

1. Современное состояние вопроса и задачи исследования

1.1. Краткий обзор работ по развитию численных методов расчета 9 строительных конструкций

1.1.1. Краткий обзор существующих конструктивных и 9 расчетных схем зданий и сооружений

1.1.2. Применяемые численные методы расчета 17 1.2 Обзор исследований по уточнению матрицы жесткости 28 суперэлемента

1.3. Выводы по главе

2. Методика суперэлементного расчета с использованием жестко-упругого контура

2.1. Постановка основной задачи

2.2. Описание элемента жестко-упругого контура

2.3. Формирование матрицы жесткости суперэлемента с 46 использованием жестко-упругого контура

2.4. Расчет схемы сооружения, составленной из суперэлементов со 51 связями в угловых узлах

2.5. Использование метода жестко-упругого контура при расчете 55 систем в условиях плоского напряженного состояния с двумя неизвестными в узле

2.6. Использование метода жестко-упругого контура при расчете 59 систем в условиях плоского напряженного состояния с тремя неизвестными в узле

2.7. Использование метода жестко-упругого контура при расчете 65 стержневых систем

2.8. Метод жестко-упругого контура при расчете коробчатых систем

2.9. Выводы по главе

3. Применение метода жестко-упругого контура к расчету пространственных тонкостенных систем пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры

3.1. Расчет стеновой панели

3.2. Расчет балки-стенки с симметричными отверстиями

3.3. Расчет балки-стенки с несимметричными отверстиями

3.4. Расчет тонкостенной пространственной системы пластинчатой 82 структуры

3.5 Расчет тонкостенной пространственной системы пластинчатой структуры, ослабленной вырезами

3.6. Выводы по главе

Актуальность темы исследования

В настоящее время уровень развития строительной техники, совершенствование конструктивных схем и форм предъявляют повышенные требования к используемым методам расчета с точки зрения обеспечения требуемой прочности и надежности конструкций. Трудности, связанные с расчетом зданий и сооружений как сложных систем, ставят перед проектировщиком ряд проблем, связанных как с выбором расчетной модели рассматриваемого сооружения, расчетных предпосылок и гипотез, так и метода расчета.

Современный уровень развития строительной механики и вычислительной техники обеспечивает возможность расчёта на основе математических моделей, максимально приближенных к действительной работе конструкций. Возможность выполнения таких расчётов обеспечивает в свою очередь разработку высококачественных и эффективных проектных решений.

Для расчета пространственных коробчатых систем, которыми являются здания, в зависимости от характера неизвестных разработаны различные расчетные схемы и соответствующие методы их расчета. Наибольшее распространение получил метод конечных элементов, который лучше других приспособлен для реализации на ЭВМ. Однако, применение метода конечных элементов к расчётам сложных структур вызывает необходимость представления конструкции большим числом элементов, что приводит к системам алгебраических уравнений высокого порядка, значительным затратам машинного времени.

Для устранения этих трудностей были предложены различные идеи по модификации метода конечных элементов, имеющие целью уменьшить объем вводимой и хранимой в памяти ЭВМ информации, понизить порядок разрешающей системы уравнений и увеличить вычислительные возможности программ, реализующих методы расчета сложных конструкций. Наибольшее распространение получила идея метода суперэлементов, которая позволяет рассматривать сложную конструкцию по частям с последующим их объединением и составлением системы уравнений, выражающей условия равновесия всей конструкции, как совокупности элементов. Совместность деформаций обеспечивается только в узах стыкующихся суперэлементов. Снижение размерности системы разрешающих уравнений при помощи исключения второстепенных степеней свободы обеспечивается процедурой статической конденсации. Редуцированная система уравнений имеет в качестве неизвестных только основные степени свободы, а все остальные степени свободы (дополнительные) исключаются. Эта система содержит значительно меньше неизвестных, чем в методе конечных элементов. На обратном ходе определяется подробное напряженно-деформированное состояние каждого описанного ранее суперэлемента.

В свою очередь, традиционная форма метода суперэлементов несвободна от ряда недостатков, таких как многоэтапный характер, подразумевающий хранение матриц жесткости суперэлементов всех уровней, ограничения в процедуре статической конденсации, относительно высокий порядок системы разрешающих уравнений, несмотря на редукционный характер метода, разрыв перемещений в промежуточных узлах граней смежных суперэлементов.

Для того, чтобы максимально снизить число расчетных точек представляется перспективным построение суперэлемента со связями только в угловых узлах. В этом случае контурные точки, расположенные между угловыми узлами, рассматриваются также как дополнительные и исключаются из основного расчета. Но в этом случае при сборке системы, состоящей из суперэлементов возникает разрыв перемещений промежуточных контурных узлов стыкующихся суперэлементов.

Поэтому дальнейшее развитие и совершенствование суперэлементной методики применительно к расчетам конкретных классов конструкций является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является:

- дальнейшее развитие методики суперэлементного расчета тонкостенных пространственных систем (типа зданий);

- разработка для таких конструкций методики и эффективного алгоритма построения матрицы жесткости прямоугольного суперэлемента со связями только в угловых узлах;

- апробация и оценка эффективности разработанного алгоритма на примерах расчёта и проведение численных исследований.

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

- разработана усовершенствованная методика суперэлементного расчета тонкостенных пространственных систем

- разработана методика формирования матрицы жесткости прямоугольного суперэлемента в условиях плоского напряженного состояния со связями только в угловых узлах с сохранением совместности деформаций стыкующихся суперэлементов;

- разработан и описан элемент жестко-упругого контура;

- разработаны алгоритмы формирования матрицы жесткости суперэлемента со связями в угловых узлах с применением жестко-упругого контура для практических расчетов.

Достоверность результатов подтверждается использованием общепринятых гипотез и допущений строительной механики и сравнением полученных численных результатов с известными решениями.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано три статьи.

На защиту выносятся:

1. Методика построения матрицы жесткости прямоугольного суперэлемента со связями в угловых узлах.

2. Алгоритмы формирования матрицы жесткости суперэлемента со связями в угловых узлах с применением жестко-упругого контура для практических расчетов.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

3.6. Выводы по главе 3

1. Анализ результатов, полученных с использованием метода жестко-упругого контура, показал его эффективность в смысле значительного снижения вычислительных затрат.

2. Одним из основных достоинств предлагаемого метода жестко-упругого контура и разработанных на его основе алгоритмов можно отнести то, что решение систем уравнений высоких порядков заменяется решением нескольких систем уравнений меньшего порядка, что приводит к существенной экономии машинного времени; тем большей, чем выше порядок решаемой задачи.

3. Выполненные примеры расчета позволили сделать сравнения предлагаемого метода жестко-упругого контура с имеющимися решениями. Такие сравнения подтвердили эффективность предлагаемого метода и возможность получения достаточно точных результатов по сравнению с другими методами при значительно меньшей сложности вычислительных алгоритмов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. На основании обзора литературных источников можно отметить, что в ряде случаев существующие методы решения применительно к матрицам высоких порядков, связанным с расчетами сложных конструкций, оказываются недостаточно эффективными с точки зрения точности результатов, расхода машинного времени и простоты расчетов.

2. В диссертации получила дальнейшее развитие суперэлементная методика расчета тонкостенных пространственных систем, основанная на идее статической конденсации второстепенных степеней свободы. Разработаны методика расчета и алгоритмы, ориентированные на расчет пластинчато-стержневых и коробчатых систем в форме метода перемещений (МКЭ).

3. Разработана методика формирования матрицы жесткости прямоугольного суперэлемента плоского напряженного состояния со связями в угловых узлах с сохранением совместности деформаций по граням стыкующихся суперэлементов

4. Разработан и описан элемент жестко-упругого контура, разработаны алгоритмы формирования матрицы жесткости суперэлемента с применением жестко-упругого контура для практических расчетов с использованием прямоугольного суперэлемента со связями в угловых узлах.

5. К основным достоинствам предлагаемого метода жестко-упругого контура и разработанных на его основе алгоритмов можно отнести: а) решение систем уравнений высоких порядков заменяется решением нескольких систем уравнений меньшего порядка, что приводит к существенной экономии машинного времени; тем большей, чем выше порядок решаемой задачи. б) использование метода жестко-упругого контура при конденсации неизвестных для построения матрицы жесткости прямоугольного

87 суперэлемента со связями в угловых узлах позволяет исключить разрывность деформаций в промежуточных контурных узлах стыкующихся суперэлементов и соблюсти граничные условия по граням суперэлемента.

6. Выполненное исследование позволяет с достаточной для практики степенью точности выполнять расчеты пластинчато-стержневых и коробчатых систем. Анализ результатов, полученных с использованием метода жестко-упругого контура, показал его эффективность в смысле значительного снижения вычислительных затрат. Разработанные алгоритмы, реализующие описанный метод, для расчета стержневых систем, а также континуальных систем, находящихся в условиях плоского напряженного состояния с двумя и тремя неизвестными в узле могут быть рекомендованы для практического использования в расчетах широкого класса конструкций или включены в имеющиеся программные комплексы.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. - Красноярск: Изд-во Красноярск. Ун-та, 1986. - 383 с.

2. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций // современные методы расчета статически неопределимых систем: Сб. ст./ Пер. с англ. Л., 1961.-с. 37-256.

3. Абрамович В.И. Эффективный способ хранения глобальных матриц жесткости , построенных на регулярных сетках узлов // Проблемы прочности. 1983. №6. - с. 59-62.

4. Александров A.B., Лащеников Б .Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, ч. 1 / Под ред. Смирнова А.Ф., М.: Стройиздат, 1976. - 248 с.

5. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

6. Аргирос Дж. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Л.: Судпромгиз, 1961. - 190 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 598 с.

8. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. -200 с.

9. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. - 466 с.

10. Ю.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. т.1. 632 с.

11. П.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. т.2. 640 с.

12. Блохина И.В. Развитие суперэлементной методики статического и динамического расчета тонкостенных коробчатых систем. Дис. канд. техн. наук: Волгоград, 1989. 277 с.

13. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 154 с.

14. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

15. Власов В.З. Избранные труды. В 3-х т. М.: Изд-во АН СССР, 1962- 1964. т. 1. — 528 с. - т.2 - 507 с. -т.З - 427 с.

16. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Стройиздат, 1959.

17. Волков Е.А. Численные методы. М: Наука, 1987. 248с.

18. Вороненок Е.А., Сочинский C.B. Интерполяционное редуцирование матриц жесткости при решении задач строительной механики методом суперэлементов // Прикладная механика, т. 17, №6, 1981. с. 114-118.

19. Горелов С.Ф. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Астрахань, 1983. 178с.

20. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

21. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 659 с.

22. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова И.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.-368 с.

23. Дроздов П.Ф. Конструирование и расчет несущих систем многоэтажных зданий и их элементов. М.: Стройиздат, 1977.

24. Дроздов П.Ф., Додонов М.И., Паныпин JI.JI., Саруханян Р.Л. Проектирование и расчет многоэтажных зданий и их элементов. М.: Стройиздат, 1986.

25. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad7 в математике, физике и в Internet. M.: Изд-во Нолидж, 1999. 345 с.

26. Егупов В.К., Командрина Т.А., Голобордько В.Н. Пространственные расчеты зданий. Пособие по проектированию. Киев: Буд1вельник, 1976.

27. Егупов В.К. Расчет зданий на прочность, устойчивость и колебания. Киев: Буд1вельник, 1965.

28. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых ел. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1991. - 272 с.

29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. 541 с.

30. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.-318 с.

31. Игнатьев В.А. Методы супердискретизации в расчетах сложных стержневых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 108 с.

32. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластин и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988,- 160 с.

33. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. - 145 с.

34. Игнатьев В. А., Соколов O.JL, Альтенбах И., Киссинг В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры. -М.: Стройиздат, 1996. 560 с.

35. Игнатьев В.А., Каурова Т.М. Суперэлементный статический расчет коробчатых систем с использованием сплайн-интерполяции на прямом и обратном ходе / Волгоградский инж.-строит. ин-т. Волгоград, 1989. - 68 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.07.89. №4337-В89.

36. Ильяшенко В.А., Авшалумов Д.С. Метод конечного элемента для исследования пространственной работы блоков // Объемные блоки в жилищном строительстве: Сб. статей / НИИСК Госстроя СССР. Киев: Буд1вельник, 1975. С. 12-19.

37. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981. 430 с.

38. Киселев В.А. Строительная механика. Общий курс. М.: Стройиздат, 1985. - 520 с.

39. Лейбензон JI.C. Вариационные методы решения задач теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1943. 288 с.

40. Лейбензон JI.C. Курс теории упругости. M.-JI.: Гостехиздат, 1947.

41. Лишак В.И. Расчет бескаркасных зданий с применением ЭВМ. М.: Стройиздат. 1977. - 176 с.

42. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 454 с.

43. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. 224 с.

44. Матричная алгебра и линейная алгебра / Сб. науч. программ на ФОРТРАНЕ: Руководство для программиста. Пер. с англ. Виленкина С.Я. М.: Статистика, 1974.

45. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Под ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288с.

46. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общ. ред. A.C. Сахарова и И.Г. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. - 480 с.

47. Михлин С.Г. Прямые методы математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

48. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

49. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

50. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран и паскаль. Томск: МП Раско, 1992. - 270 с.

51. Немчинов Ю.И. Метод конечных элементов в механике тонкостенных пространственных и стержневых конструкций: Автореферат докт. дис. Л.: Ленингр. инж.-строит, ин-т., 1983 - 36 с.

52. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир,1981.-300 с.

53. Пастернак П.Л. Железобетонные конструкции. Специальный курс. М.: Стройиздат, 1961. - 855 с.

54. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

55. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

56. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.-288 с.

57. Райе Дж. Матричные исследования и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984.-264 с.

58. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. 128 с.

59. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. - 440 с.

60. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука,1989. - 432 с.

61. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк.,1982.-264 с.

62. Сапожников А.И. Метод суперэлементов в статике и динамике панельных зданий . Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1980 №9. с. 33-37.

63. Сапожников А.И. Методы контурных и расчетных точек в практике прочностных и деформационных расчетов сложных и пространственных сооружений. Методические указания. Астрахань, 1972.

64. Сапожников А.И. Основы общих принципов прочностных и деформационных расчетов сложных и пространственных сооружений. Методические указания. Астрахань, 1979.

65. Сапожников А.И., Горелов С.Ф. Расчет сооружений методом конечных элементов с поэтажным формированием матрицы жесткости. Строительная механика и расчет сооружений, 1982 №4. с. 54-56.

66. Сапожников А.И. Скользящие и расширяющиеся суперэлементы. Методические указания. Астрахань, 1987. 43 с.

67. Сапожников А.И. Применение методов контурных и расчетных точек для анализа напряженно-деформированного состояния цилиндрических резервуаров. Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1984 №1.

68. Сапожников А.И., Горелов С.Ф. Расчет сооружений методом конечных элементов с поэтажным формированием матрицы жесткости. Строительная механика и расчет сооружений, 1982 №4. с. 54-56.

69. Сапожников А.И., Горелов С.Ф. Сутырин В.И. Исходные и преобразованные расчетные схемы в практике расчета пространственных конструкций. -Сб. Прочность и надежность судов внутр. и смеш. плавания. Горький: ГИВТ, 1982.

70. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов . М.: Мир, 1979. -392 с.

71. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Стержневые системы. -М.: Стройиздат,1981. 512 с.512

72. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: 1977. 349 с.

73. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963. 734 с.

74. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-352 с.

75. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 280 с.

76. Шапошников H.H. Строительная механика транспортных сооружений. М.: МИИТ, 1983.-80 с.

77. Gawronski W. Superelement and modification techniques in the analysis of large mechanical systems // J.Arch. bud, masz., v.24, t No 2, 1977. p.265-282.

78. R. J. Guyan. Reduction of stiffness and mass matrices. Am. Inst. Aeronaut. Astronaut. 3, 380 (1975)

79. Hou G.H. Review of modal synthesis techniques and a new approach / Clock Vibration Bulletin. Naval research laboratory. No. 40, Dec.1969.T81 .Octega J., Kaiser H. The LL and QR methods for symmetric tridiagonal matrices

80. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярск. Ун-та, 1986. - 383 с.

81. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций // современные методы расчета статически неопределимых систем: Сб. ст./ Пер. с англ. Л., 1961.-с. 37-256.

82. Абрамович В.И. Эффективный способ хранения глобальных матриц жесткости , построенных на регулярных сетках узлов // проблемы прочности. 1983. №6. - с. 59-62.

83. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, ч. 1 / Под ред. Смирнова А.Ф., М.: Стройиздат, 1976. - 248 с.

84. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

85. Аргирос Дж. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Л.: Судпромгиз, 1961. - 190 с.

86. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. -598 с.

87. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. -200 с.

88. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. - 466 с.

89. Ю.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. т.1. 632 с.

90. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. т.2. 640 с.

91. Блохина И.В. Развитие суперэлементной методики статического и динамического расчета тонкостенных коробчатых систем. Дис. канд. техн. наук: Волгоград, 1989. 277 с.

92. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 154 с.

93. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. - 154 с.

94. Власов В.З. Избранные труды. В 3-х т. М.: Изд-во АН СССР, 1962- 1964. т. 1. - 528 с. - т.2 - 507 с. - т.З - 427 с.

95. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Стройиздат, 1959.

96. Волков Е.А. Численные методы. М: Наука, 1987. 248с.

97. Вороненок Е.А., Сочинский C.B. Интерполяционное редуцирование матриц жесткости при решении задач строительной механики методом суперэлементов // Прикладная механика, т. 17, №6, 1981.-е. 114-118.

98. Горелов С.Ф. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Астрахань, 1983. 178с.

99. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

100. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 659 с.

101. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова И.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.-368 с.

102. Дроздов П.Ф. Конструирование и расчет несущих систем многоэтажных зданий и их элементов. М.: Стройиздат, 1977.

103. Дроздов П.Ф., Додонов М.И., Паныпин Л.Л., Саруханян Р.Л. Проектирование и расчет многоэтажных зданий и их элементов. М.: Стройиздат, 1986.

104. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad7 в математике, физике и в Internet. M.: Изд-во Нолидж, 1999. 345 с.

105. Егупов В.К., Командрина Т.А., Голобордько В.Н. Пространственные расчеты зданий. Пособие по проектированию. Киев: Буд1вельник, 1976.

106. Егупов В.К. Расчет зданий на прочность, устойчивость и колебания. Киев: Буд1вельник, 1965.

107. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых ел. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1991. - 272 с.29.3енкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

108. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.-318 с.

109. Игнатьев В. А. Методы супер дискретизации в расчетах сложных стержневых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 108 с.

110. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластин и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988 - 160 с.

111. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. - 145 с.

112. Игнатьев В.А., Соколов O.JL, Альтенбах И., Киссинг В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры. М.: Стройиздат, 1996. - 560 с.

113. Игнатьев В. А., Каурова Т.М. Суперэлементный статический расчет коробчатых систем с использованием сплайн-интерполяции на прямом и обратном ходе / Волгоградский инж.-строит. ин-т. Волгоград, 1989. - 68 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.07.89. №4337-В89.

114. Ильяшенко В.А., Авшалумов Д.С. Метод конечного элемента для исследования пространственной работы блоков // Объемные блоки в жилищном строительстве: Сб. статей / НИИСК Госстроя СССР. Киев: Буд1вельник, 1975. С. 12-19.

115. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981. 430 с.

116. Киселев В.А. Строительная механика. Общий курс. -М.: Стройиздат, 1985. 520 с.

117. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1943. 288 с.

118. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

119. Лишак В.И. Расчет бескаркасных зданий с применением ЭВМ. М.: Стройиздат. 1977. - 176 с.

120. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 454 с.

121. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. 224 с.

122. Матричная алгебра и линейная алгебра / Сб. науч. программ на ФОРТРАНЕ: Руководство для программиста. Пер. с англ. Виленкина С.Я. М.: Статистика, 1974.

123. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Под ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288с.

124. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общ. ред. A.C. Сахарова и И.Г. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. - 480 с.

125. Михлин С.Г. Прямые методы математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

126. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

127. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

128. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран и паскаль. Томск: МП Раско, 1992. - 270 с.

129. Немчинов Ю.И. Метод конечных элементов в механике тонкостенных пространственных и стержневых конструкций: Автореферат докт. дис. Л.: Ленингр. инж.-строит. ин-т., 1983 -36 с.

130. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир,1981.-300 с.

131. Пастернак П.Л. Железобетонные конструкции. Специальный курс. М.: Стройиздат, 1961. - 855 с.

132. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

133. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

134. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.-288 с.

135. Райе Дж. Матричные исследования и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984.-264 с.

136. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. 128 с.

137. Ржаницын А.Р. Строительная механика. -М.: Высш. шк., 1991. 440 с.

138. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука,1989. - 432 с.

139. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк.,1982.-264 с.

140. Сапожников А.И. Метод суперэлементов в статике и динамике панельных зданий . Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1980 №9. с. 33-37.

141. Сапожников А.И. Методы контурных и расчетных точек в практике прочностных и деформационных расчетов сложных и пространственных сооружений. Методические указания. Астрахань, 1972.

142. Сапожников А.И. Основы общих принципов прочностных и деформационных расчетов сложных и пространственных сооружений. Методические указания. Астрахань, 1979.

143. Сапожников А.И., Горелов С.Ф. Расчет сооружений методом конечных элементов с поэтажным формированием матрицы жесткости. Строительная механика и расчет сооружений, 1982 №4. с. 54-56.

144. Сапожников А.И. Скользящие и расширяющиеся суперэлементы. Методические указания. Астрахань, 1987. 43 с.

145. Сапожников А.И. Применение методов контурных и расчетных точек для анализа напряженно-деформированного состояния цилиндрических резервуаров. Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1984 №1.

146. Сапожников А.И., Горелов С.Ф. Расчет сооружений методом конечных элементов с поэтажным формированием матрицы жесткости. Строительная механика и расчет сооружений, 1982 №4. с. 54-56.

147. Сапожников А.И., Горелов С.Ф. Сутырин В.И. Исходные и преобразованные расчетные схемы в практике расчета пространственных конструкций. -Сб. Прочность и надежность судов внутр. и смеш. плавания. Горький: ГИВТ, 1982.

148. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов . М.: Мир, 1979. -392 с.

149. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Стержневые системы. М.: Стройиздат, 1981. - 512 с.512

150. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: 1977. 349 с.

151. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963. 734 с.

152. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-352 с.

153. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 280 с.

154. Шапошников H.H. Строительная механика транспортных сооружений. М.: МИИТ, 1983.-80 с.

155. Gawronski W. Superelement and modification techniques in the analysis of large mechanical systems // J.Arch, bud, masz., v.24, t No 2, 1977. p.265-282.

156. R. J. Guyan. Reduction of stiffness and mass matrices. Am. Inst. Aeronaut. Astronaut. 3, 380 (1975)