автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение метода сплайн-аппроксимаций в задачах численного расчета стержней и пластинок с разрывными параметрами

На правах рукописи

РГ6 од

2 2 ЙЕН ?мп

Катеринина Светлана Юрьевна.

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СПЛАЙН -АППРОКСИМАЦИЙ В ЗАДАЧАХ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИНОК С РАЗРЫВНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 2000

Работа выполнена в Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии

Научный руководитель: заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор В.А. Игнатьев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор А. П. Николаев кандидат технических наук, доцент О.В. Коновалов.

Защита состоится декабря 2ООО года в 10 часов на заседании диссертационного совета К 064.63.02 в Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии по адресу: 400074, г.Волгоград, ул. Академическая, д. 1, ауд. В ¿ОУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии.

Автореферат разослан " декабря 2000 года.

Отзывы просим направлять по адресу:

400074, г.Волгоград, ул. Академическая, д. 1, Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия, Ученый совет К 064.63.02.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент у__» \/

Г.Г. Шкода

нт . 016, о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Одним из перспективных направлений строительной развита^ механики является разработка и совершенствование методов расчета конструкций сооружений на основе математических моделей, максимально приближенных к их реальной работе. Усовершенствование методов расчета относится в первую очередь к конструкциям с разрывными параметрами.

Известные аналитические методы расчета конструкций с разрывными параметрами (пластин, оболочек и др.) сложны и очень трудоемки в реализации. Такие основные численные методы как МКР и МКЭ, хотя и позволяют решать задачи с разрывными параметрами, требуют сильного сгущения расчетной сетт ки в близи разрывов и приводят к осложнениям математического и вычислительного характера при решении получаемых систем алгебраических уравнений.

Поэтому дальнейшее развитие усовершенствование методов расчета конструкций с разрывными параметрами является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка усовершенствованной методики численного расчета конструкций с разрывными параметрами на основе уточненных дискретных аналогов (конечно-разностных операторов) соответствующих дифференциальных уравнений.

Для достижения этой цели необходимо решить ряд задач:

- Разработать и исследовать методику построения конечно - разностных операторов на основе сплайн - интерполяции;

- Разработать методику граничных конечно - разностных уравнений;

- Осуществить компьютерную реализацию разработанных методик и алгоритмов;

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

- Разработана методика,построения уточненных конечно - разностных аналогов дифференциальных уравнений для конструкций с разрывными

параметрами;

- Получены уточненные конечно - разностные операторы для некоторых типов дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих напряженно - деформированное состояние (НДС) конструкций с разрывными параметрами;

- Получены уточненные конечно - разностные операторы для различных типов граничных условий;

- Разработана Есхе1 - технология для автоматического формирования матриц коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений на основе полученных дискретных аналогов дифференциальных уравнений для сеточной области.

Достоверность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечивается корректностью постановки задачи, использованием общепринятых допущений и гипотез строительной механики, сравнением полученных численных результатов с известными решениями.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методики и алгоритмы, реализованные в программном комплексе, могуг быть эффективно использованы при проектировании балочных, плитных и пластинчатых конструкций. Анализ результатов расчетов подтверждает высокую эффективность предложенных методик и алгоритмов.

Практическая реализация. Разработанные алгоритмы и программы приняты к использованию в расчетной практике проектного института «Волго-градгражданпроекг», а также используются в учебном процессе по курсу строительной механики в Волгоградской государственной архитектурно. -строительной академии. Соответствующие акты о внедрении прилагаются.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на межвузовской конференции "Современные технологии в промышленности, строительстве и высшем образовании" (Камышин, 1996) и ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Вол-

гоградской государственной архитектурно - строительной академии в1994 -1999 годах.

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 7-ми статьях автора. Наименования статей приводятся в списке использованной литературы.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, изложена на стр. с иллюстрациями, имеет список использованной литературы из 126 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении обосновывается актуальность темы исследования и.определяются цели работы.

В первой главе дано краткое изложение основных идей наиболее широко используемых в настоящее время численных методов - метода конечных разностей (метода сеток), метода конечных элементов, сплайн - методов и их модификаций.

Подчеркнута взаимосвязь этих методов и роль в их развитии таких ученых, как Н.П. Абовского, П.М. Варвака, Д.В. Вайнберга, С.К. Годунова, М.И. Длугача (МКР),0. Зенкевича, В.А. Постнова, В.А.Игнатьева, Л.А. Розина (МКЭ), Дж. Алберга, П.М. Варвака и Л.П. Варвака, Ю.С. Завьялова, В.А. Игнатьева, Нгуена Ван Нго (сплайн - методы).

Так как за основу дальнейших исследований принят метод последовательных аппроксимаций (МПА) в форме, предложенной Р.Ф. Габбасовым, то приведена постановка задачи и некоторые основные формулы МПА.

Во второй главе излагается, разработанный автором, алгоритм построения дискретного аналога дифференциального уравнения общего вида, используемого при расчете изгибаемых пластинок:

<рх(0т + <ргш^ +<ръа+(р5сотп +<р6б)^п +<р7со^ + +(])

+ <рчсо*"'' л-<рт(о^пп +<рпсо" + <рисопп +<рпа)',пп +<рио>цт'1 =-(и + 0).

где <р - постоянные коэффициенты в пределах рассматриваемой области, со -

функция, описывающая напряженно - деформированное состояние, рассматриваемой области, и и в-функции внешнего загружения.

Здесь и далее принята сокращенная запись частных производных функции в). 01^ =дла)/д44 =53(у/3£3 =д3й)/д£2 дг] и так далее по аналогии.

Используется безразмерная координатная система ц с центром в точке У, в которой задана прямоугольная область, состоящая из четырех прямоугольных элементов, примыкающих друг к другу (рис. 1). На этой области задаются некоторые функции <о, и и в, непрерывные в пределах каждого элемента и претерпевающие конечный разрыв первого рода на границах элементов.

<-Л/

1--У-

¡+ш

I -1/2.0 ( • 'Л 1 -Ы III I 0^-1/2

II ( Р' IV

4 I

¡-1^+1

4+1

1+1 и

<•+/.;+/

Рис.1

Осуществляется декомпозиция уравнения (I) путем введения пяти коэффициентов а, р, 5, а и у функционально связанных с 14 коэффициентами (<»1 -<ри) соотношениями: <р\=с?\ <рг=2а5; <рз=а( £; <ру=2ар, щ=2 (аа+Щ',

<р,=Р*2б(Г, (р%=2ау\ рг\ (¡>>=2 ор), <Р\о=2ур, <рп=ст, <рп=2уа, <ри=у2.

Результатом такой декомпозиции является замена дифференциального уравнения 4-го порядка системой 2-х дифференциальных уравнений второго порядка: аи% + Ри$п + оиг> +уи'>п =-0,

аа+ 8(0* + ра^ + ой)4 + = -и.

(1а)

Так как каждое из уравнений (1а) отличается друг от друга лишь обозначением переменных, то строится дискретный аналог дифференциального уравнения общего вида:

асо& +8со$ + +аюп +усопп =-9.

(2)

на основе которого определяется дискретный аналог уравнения (1), как результат решения системы (1), путем простой замены переменных.

Построение дискретного аналога уравнения (2) выполняется сначала для области, занимаемой ячейкой IV (рис I). Для класса задач, относящихся к напряженно - деформированному пластинчатых конструкций в качестве аппроксимирующей функции со принят, как и в МКЭ двумерный сплайн (неполный бикубический полином) вида:

Использование сплайна такого типа автоматически удовлетворяет основному дифференциальному уравнению изгиба пластинки. Коэффициенты полинома (3) выражаются через значения функции и ее производных в начале принятой системы координат, совпадающей с одной из вершин прямоугольной ячейки IV (рис 1). В целях снижения громоздкости расчетных формул обозначения вершин элемента IV - индексы /у; Ц+1; ¡+1^ ; ¡+1^+1 заменяются на 00, 01, 10, 11. Вводятся относительные координаты £ = х/й;7 = з>/ги относительные шаги сетки по осям х, у - А =а'п, г ~Ь'т\ п, т - число шагов сетки вдоль осей £ и щ соответственно. С учетом этого записываются координаты узлов элемента: <$ю= = 0; -Л ; Т)Ю = 0 ; т]и= щ= г.

Аппроксимирующий полином (3) представляется в двух вариантах одномерного аппроксимирующего полинома в соответствии с двумя направлениями принятых локальных координат:

= о, + аг£ + *37 + 1 + а£т] + аьцг + а7£3 + а£гг\ + а£т\г +

(3)

а) аК4,7) = Л„ (7)+Л, № + Ь2 Щ1 + ¿з №'.

б) <о(4,7) = с0 (£)+с, + с2 (£)72 + с3 (4)г}3.

(4)

где с',,(£) = я, + + а7£3,

Ыч)=а2 +о5?}+а9т]2 +а12г}\

Л2(7) = а4 +О87, А3(7) = а7 +Оц7.

(4а)

Для нахождения коэффициентов а, ,с, и Ь, полиномов (4) строятся все их производные и затем находятся значения функций (4) и их производных в начале координат, т.е. при £=0,77=0. Таким образом, все коэффициенты аппроксимирующего полинома (3) выражаются через значения аппроксимирующей функции в начальном узле 00 элемента через производные в этом узле:

«(£,7) = «00 + «oof + аоо1 + zr^oot2 + «wf7 + + +

2 2 6 (За)

Аналогично (За) записываются и выражения для производных от функции со. На основе полученных общих выражений для функции со и ее производных в локальной системе координат определяются конкретные значения тех же функций в угловых точках рассматриваемого элемента: «оо = «оо (при £ = о.7 = °>.

«01 = <%> + + ^й>™г3(при£ =0.7 = Г).

2 о

«10 =<а00 + «00^ (при £ = А. ¡7 = 0), (5)

2 6

«п = «оо + ®ооА + «оо* + т«оол2 + А»" + г г2 + А3 + т^й"1*2* + 2 2 о 2

+ + -а&ОТГ3 Л3Г+-^""'ЛГ3 (при£ = Л. 7, = г)

2 6 6 6 .

Последнее уравнение для определения ©ц может иметь иные формы записи:

г2 г3

й>„ =«ю + «|70г + — «¡У +—•

2 63 (5а)

i F A a h MI o)u =aot +û>Z,h + — a>£ .

В тех же точках определяются значения первых и смешанных производных:

1) cofn + 2) coil = <Bg

3) = tu7, + cafj/i + jt»(f ft2, 4) cofH = + /1,

s)4 =«f() +«f(;'r + i«frr2, 6)«,",^»v^bi^/,2,

10 ®«0 •

Из (5), (5а) и (6) определяются первые, вторые прямые и смешанные производные функции а>:

®оэ = Л (®ю " «оо >" т "оо " ? ®оо* -А АЗ

'"да =-¡-(«01 "«оо)—®оо "Т^оГ. г г 3

(7)

¿с 2 2 с И ¿ч

И|0 =4(«н -«т)--«^

т1 г 3

г 1 / . А г щ

®оо -®оо)--®оо--¿-^оо '

г 2 о •

Е 1 , . Л м Л ме

«01 =^(^11 -«О!)--^! ~"б"®0» ' (8)

®10 ='~(®11 -®Ю)-^< -V«ю'',

г 2 6

й),

¿7 _ «I, "^00 ^10 ~аОО 1 ¿77 . _ I пМЧ и 'оо - £ ^ б 00 Г 6 00

С учетом (8) получается иная форма записи для :

еЛп -О"" +0}м г^/'/ И лМп ^ „Жп х „Лчп _

»оо ~ ^ ^оо "^^оо оо ~~\2 °о 4 оо

г2 ¿„77 _(«п -Д>о1 ~«ю) Л А2 ^ г (чп ¿ппп _ _ Т2" ~-тЛ-~ 2 00 ~6~ 2 00 6

(«11 + ®оо ~ ~ «ю) й 1^77

гЛ 3 00 ~3 00 ' (9)

Для оставшихся вершин смешанные производные определяются аналогичным образом:

_ («и + «оо ~ «01 ~ «ю) 2«ш И ~ «оо г *0. - ^ 6- .

,¿7 («11 +«00 -<»01 ~«ш) ,

«ю =-з-+-2-' (>

ОТ о

& _ («и +«(Ю -«01 ~«ю) , + «<>Гг «и _

тЛ 6

. Производные со и о/44 исключаются дифференцированием, уравнения (1)по£и 77:

аа)^ + ёа)К + рсоКч + + усо^ч =-в1; аа^ + 8со4'' + рсо^ + асоп" + уй/">" = -О?

Записываются уравнения (2) и (10) для каждой из вершин прямоугольной ячейки. Согласно принятым допущениям уравнения для определения значений

А , Д в!Цх , Д вх0 , А , не записываются :

вершина "00"

°®оо + =-6,оо, х 13

асо444 +<5со44 + па + Уса4'1'' = -в4 ишоо ^ аш 00 + Рш 00 + аш00+'ш00 а00' х 5 — 2

аса44'1 + ¿со4п + Во)4пп +птг>п + геоп')п = -в'' , х51 2

вершина "10" О® 10 + р0)\1 +аб)п10 х 2

10 +Ой)\0+Р(Ою + а(010 У ю - "ю' Т х —

вершина "01" ««01 + ^0. + /*» т +<У6>1\ + гсо 11 = -001' х 2

асо444 +ёсо%+рв>$ + осо% +усо^ Л х — 2

вершина "11" асоЦ +8(и/, + Ра\\ + ой>* + усо™ =-вп- XI

Для построения дискретного аналога дифференциального уравнения (2) для для области, занимаемой прямоугольной ячейкой IV, составим линейную комбинацию уравнений системы (11). Коэффициенты, на которые следует умножить каждое из уравнений, указаны справа от них. При этом, вместо функции со и в и их производных подставляются значения этих величин в угловых точках, вычисленные на основе аппроксимирующего полинома.

В результате такой линейной комбинации получается:

+ Р

Ш* + 2 +2®« + <»« + |(5«« +«« ) + 1(5»«» + «*»)

13<а2о + 2<Цд, + 2гу'0 +<а?, +-

^ + а>"

+ Г

Подстановка в (12) значений функции ю и ее производных, замена старших производных их аналогами, выраженными через младшие производные и искомую функцию, последующее преобразование получаемых аналитических зависимостей в конечном итоге приводит к следующему уравнению, являющемуся дискретным аналогом уравнения (2) для прямоугольной ячейки IV:

а±соад + а3ю01 +а2&ю +о,юп - ¿0а& - А,®!, ~соыт -с1«ю + л2(|Кю ~

3 2

■ Р.

оо

10

0,1/2

'' -

"4гЦ/2,0

(13)

= —[(13^00 +2^ю + 20о1 +*„)+£(*&

г г. А А с г 5т с - ~ А А где: а-+-<У+3/7+-ст+>'- = а1 ; 5а-+— 8-Ър--о-у- = а1\ Л 2 "2 г Л 2 2 г

г г. 5Л А г 5г ' 5А А

-а---5-Ър+—сг+5/—-а3; -5а---5+3/?--о--5^- = а4;

Л 2 2г А2 2 г

о

5,2 А

2гаг--я ст+—/ = о,

12 г '

5 г2

2Ак--г2<У+—а = сп

12 А 0

5 1.2 ^ л

— п а--у=Ь,;

12 г 1

5 2Л г2

; —г о--а-сI

12 А 1

(14)

Далее производится стыковка прямоугольных ячеек I - IV (рис 1.), окружающих базовый узел 00(Ц), для которых записываются уравнения типа (12) с соответствующей заменой индексации и учетом знаков координат вершин этих ячеек. В итоге получаем дискретный аналог уравнения (I) для любого внутреннего узла у сеточной области кроме краевого:

л}„ . 111,, Л11 ш„ , i„ i„ .i i„ ,

«1 «;-l.y-l+ «2 <*>;-!,/ + 2 a\ <Чг-1./+1 + «3 <4.7-1+ «i,y +

. I1I„ III,, ,111 III, .II 11, .11 II, _JV„ IV„ ,11 II„ ,

+ a4 (O, ¡+ аъ coi j+x+ a2 ü>,y_,+ a4 a>,j+ a3 coI J+l+ ax (WI+l.y-i +

+ a2 «,41./+ a2 a>,+ij+ a¡ «/+U+1+A( b¡ Acoi,j-i+ °2 hcúli + • III-IV. III-IVA,,í .III-IV.III-IV., í X , , /l-lll I-IIIa„>7 ,

-M+l

77+1

3

oi-m

(15)

, +21%+1 +21П^_1у +13>у)

"У? з гу+л з

~У?+1-з-;--гу+Л+1-з--

Здесь римские цифры в надстрочных индексах означают принадлежность искомой величины к соответствующей ячейке. Коэффициенты а, Ьлс вычисляются по формулам, аналогичным (14):

ах,

2А,. п

ar¡

2 Л,

а, =2—-—t¡S + 6/?-/i¿ сг+—Ц "а. =2—+ —;

Л, - и J

К

ат. 2Л - ocr¡

а2 =10-STjS + bp+hiO——; 'а3 =-2—+ г¡д-бр + hcr, A, Tj h¡

_ 5h,S 2Д _ 4аг7 5A,¿ 2Д 2агу 5гуа

"i . 2 ---7~+-> ci ; ; >

'- h¡ 6

6 т

h, 6 гу

2агу 5TJ<T щ

С 9 —----1--,

Л, 6 гу

Остальные значения коэффициентов a, b и с вычисляются аналогично, в соответствии с величинами приведенными в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

Множители при а, Д 5,аи упри определении значений коэффициентов а

для элементов I - IV.

Гип элемента а 5 er r

I iTj/h, -T, 6 •h, 2 A,/ry

Ol II 2ry/AI+, -Г/ -6 A,» 1 2A/+I /т j

III 2Г/+1 /А, 6 -A, 2V>i

IV 2г7+|/Л)+| Г/.1 -6 A,(/ 2A,+1/r,41

I IOry./A,. -6 A, -2h,/Tj

аг II 10r,/A,+1 -5z; 6 -А,ч 1

III 10r,+l/A, 5 9+1 6 -A, -2A,/r7+1

IV i<W/v+i 5J}4i -6 -A,+1 _2А(+1/гу+|

I -iTj/h; 9 -6 -5h, ЮЛ,/г,

Ol II 6 5A.+ 1 ">А(+,/ту

III -2ry+1/A, -9+1 6 -5h, 10Л,/гу+1

IV -2r;+i/Ai+I -t/м -6 5A,+i •0А1Ч,/гу+1

I -10 r,/A, 59 6 5h, -ЮЛ,/г,

а4 II -\QTjjhM 59 -6 -5h,+\ -10й,ч1/гу

III -10r>+1/A, -59+1 -6 5h, -10А,/г/+1

IV -10ry+1/Aj+1 -5 r7+1 6 -5Ajti -iOÄ,-+I/ry+I

Таблица 2

Множители при а, р, б,а и упри определении значений коэффициентов Ъ и с на линиях стыковки смежных величин.

Гип смежны? элементов а 8 P <7 Y

Ао 1-й 2r,/A, - - -5/I2A,

III - IV 2r;+i/A, - - -5/Щ А,7Г/+1

I — II - - - 5/12 А,- -Чч

III-IV - - - 5/12 h.

Со I — III Tilhi -5/12A, - - 2ry/A,.

II-IV -5/12Л, - - 2гу+,/Лу

Ci I — III 5/12 A, - - -

II-IV 5/12 - - -

Если в уравнении (2) принять а=у= 1, 8=Р=а=0,то это будет соответствовать случаю изгиба пластинки. Для этого частного случая дискретный аналог (разностный оператор) будет выглядеть следующим образом:

А, г

1 У

"М.У-!

+

V + г/+1у

III,

-5

-5

(

+

<у+1

А.

+

V И> ГУ>1

, А,41

Л+1 гу , Г, А; ^

Л, г,,

V ' У

III

"1-1,7+1

V Л< ГУ+> У

К т, ,

^1-1,; +

- 5

ш

А,

+

V у

ш

/\у+1

-5

'/+1

а,

Г/+' "/41 |1У„ --—

'|+1 4

-5

'¡+1

"/41 (IV

"/+1

"/+1

7 У

<0

»+1.У-1 +

Л,+1

г>+1 , ¿,41 ^',41 г;41;

IV

®/41.у41 +

У У

1+1,у +

ГУ+1 ¿,41

IV

«,41.у +

У

2 — + — Л г<

V 1 л у

д'-"^ +

V г " •"1.У+1 /" , \

+ г

1+1

(15а)

А, -1-'

Ап'1УеоЦ —а'1

~ А,

/41

<+1,У

Г/+1Л<+1 „-IV,

(13 ^ +214 +2 0(Ч1,,Ч1).

В третьей главе дается построение дискретных аналогов уравнения (2) для контурных узлов сеточной области и для одномерных задач. Основой для построения служит уравнение (13). • - базовый узел, - свободное опирание

л

+

ч

г/шя. - жесткое опирание,

а)

б)

в)

00 г 10

- Г2

í-1,0

-ф-

Í+1.0

i,i

+1,1

LV

т

ш

_5у_

л (П) п

О.у t¡ 1

Ч

Ty+Tj

i-Jj

П0

'-ly '-'./H

M"1

н

+ 1У-1

ы

í+iy -V-

Расположение базового узла на контуре и степень его закрепления определяет тип краевого условия и, следовательно, количество прямоугольных ячеек сеточной области, примыкающих к узлу и определяющих его напряженно-деформированное состояние. По месту расположения базовые контурные узлы классифицируются на три типа (рис.2): угловые внешние (для внешнего контура плиты), угловые внутренние (для внутреннего многосвязанного контура) и узлы промежуточные. В первом случае напряженно-деформированное состояние базового узла определяется единственной прямоугольной ячейкой, во втором тремя и в третьем - двумя примыкающими к узлу ячейками. По типу закрепления контурные базовые узлы разделяются на однородный тип закрепления и комбинированный (рис.2г). По степени закрепления контурных базовых узлов - на жесткое, шарнирное и свободное от закреплений. Комбинированный тип закрепления предполагает различие в степени закрепления контурных узлов ячеек примыкающих к базовому.

Принятая классификация позволяет учесть различные варианты расчетных схем проектируемых конструкций, а также позволяет использовать единый подход к построению конечно - разностных уравнений как для внутренних узлов сетки, так и для контурных. Последнее обстоятельство имеет большое значение при создании унифицированных технологий расчета конструкций, осо-

бенно при анализе их напряженно-деформированного состояния. В диссертации на основе построенных дискретных аналогов получены граничные конечно- разностные уравнения для наиболее часто встречаемых в расчетной практике условий опирания по контуру (рис 2).

В основу построения дискретных аналогов для одномерных задач положено то обстоятельство, что любую одномерную задачу можно рассматривать как частный случай двумерной задачи. Действительно, если в (1) положить Р=у=а= 0, то получим дифференциальное уравнение для одномерной задачи:

аай +8й>4 = -9 (1а)

Далее используя дискретный аналог для прямоугольного элемента в форме (13). Считая для данного случая:

<? - м« - Л,£ - ■Л1« - „,« - ««•

«00 =®01 =®о;<ыЮ =®11 =®1;<а00 =®01 = ®0,1/2 =®0;®00 =®(

0<ю = *0| = 0о'Ао =0п =0ив1 = 0« =<;г = 1;«(7ю =<0 = = = «$ =0,

записывается уравнение (13) для одномерного элемента:

<57г

(а4 + аъ )<м0 + (а2 + а,)«, - (А0 + А, + 4а)©| + -^-сор =

(16)

С учетом значений а, Ь и с, вычисляемых по (14) при принятых выше соотношениях запишем уравнение (16):

а + +(« + ~+ = ~1Т+ 01 "06а)

Уравнения типа (16а) записываются для двух одномерных элементов, прижги

Рис.3

мыкающих к базовому узлу / слева и справа, являющемуся началом локальной системы координат а - £ (рис.3). В результате стыковки этих элементов получается дискретный аналог уравнения (1а) для одномерных задач:

а~т К' {"'тЬ =

12

И

Ь,

(17)

Для построения дискретных аналогов сжато-изогнутых балок использованы дифференциальные уравнения изгиба стержня переменного сечения с учётом влияния продольных сил на изгибные деформации в безразмерных величинах, заимствованными из работ С.П. Тимошенко:

(18) (19)

: м к = иег. _ д(х) д0е2 '

где = 7 т - к ; = м- =

ЖЕ30 _ Я30

5 ^

Е3(*)'

£ характерный размер; </0 - интенсивность нагрузки в какой либо точке; Е30 -жёсткость характерного сечения.

Дискретный аналог уравнения (18) получается из уравнения (17), если

П I п л

принять <5 =0;ср=1; й)=т; в = д + к=

( А2

"/-1

12

Ш: +

Ь___/, , Яр ак -Ч ле£ ^

нм 12 ' ' ' 1:

¿4 + (20)

Д/н; = — 12

Д/н, = > -"/«, ; Ал/;,4 =Л/и/ -п/и,{; Д^

Л г 12 '

Дискретный аналог уравнения (19) строится аналогично, если принять в

уравнении (17) <У=0;<г=1; (о=м, в = %т,'-

1,-|

л

т, +

"<+1

' Л,

12

п . Л _ Л _

£¡+1 тм

12

Для краевых точек разбивочной сетки дискретные аналоги уравнений (18) и (19) получаются на основе уравнений (20) и (21) путем приравнивания нулю значений законтурных величин т и». Так для левого края балки они будут соответственно равны:

К

-М»,2

I 12 1

то + [1 ~ К -

12

Л« л А, {

(20а)

- 1^0+Л|Яо«о]+А1*'о -м'о + м'! =0- (21а)

Для правого края (20а) и (21а) записываем в «зеркальном» отображении, при этом ти ^ меняют знаки на обратные.

Дифференциальные уравнения изгиба балки на упругом основании, заимствованные из работ Р.Ф. Габбасова, имеют вид:

тЯ=-(д-г) (22)

(23)

где г= г(х) с/() - безразмерный отпор основания, который для основания с двумя

Ш2

коэффициентами постели кх и к2 = —— определяется следующим образом:

и>« = - ^т

/•3

г =к.мг —— ±кг т. —— ' 1 ' Я30 2 ' ' Я30

(24)

При к2=0 (N=0) формула (24) соответствует основанию Винклера. Поло-

</оЛ> <1о Я„

- М:30 м , , 14/-:з0 ~ , /Й7

и=-г''т~--;/=!,) =</ ~ , к =к 2 I—- , (24) переписывается

- 14 12 » ь у

в виде : /■ =4^ + 2Аг£,и;у , (24а)

а уравнение (22) примет вид:

=4/-(4и',+2^,т,)} (22а)

Дискретный аналог уравнения (23а) получается из (20) путем замены в нем kgm на (4н>; + 2кgimj).

В четвертой главе рассмотрены примеры решения широкого круга одно-

и двумерных задач строительной механики с использованием построенных во второй и третьей главах диссертации дискретных аналогов дифференциальных уравнений (балочные конструкции при различных условиях опирания и способах загружения, постоянной и переменной жесткости: балки, работающие на поперечный изгиб; сжато-изогнутые балки; балки на упругом основании; пластинчатые конструкции постоянной жесткости 7-ми типов опирания с различным соотношением сторон, загруженные сплошной и локальной равнораспре-деленными и полосовой нагрузками, а также сосредоточенной силой). Приведены примеры составления систем разрешающих уравнений для часто используемых в расчетной практике расчетных схем балок и плит. Это особенно важно, если учесть полученные системы имеют невысокий порядок и могут быть решены с использованием простейших калькуляторов.

Получаемые результаты в табличной форме сопоставляются с точными решениями, либо с решениями, полученными другими авторами, если таковые имеются в отечественных и зарубежных публикациях. Показано, что даже при минимальном числе шагов разбивочной сетки (от двух до четырех) в тестовых примерах получены результаты, обладающие точность, вполне достаточной для инженерного анализа напряженно - деформированного состояния конструкции.

В заключении приведены выводы, сделанные по результатам диссертационной работы:

1 .Осуществлен новый подход к построению дискретных аналогов дифференциальных уравнений в частных производных, который позволил разработать универсальную методику построения дискретных аналогов этих уравнений.

2.Получила дальнейшее развитие и совершенствование идея использования аппроксимирующих функций, претерпевающих конечные разрывы в узлах интерполяции, реализованная Габбасовым Р.Ф. в МПА.

3.Отличительной чертой предлагаемой методики от МПА является простота ее расчетных выкладок и очевидность принимаемых допущений, что позволяет четко определять границы его применимости.

4.Разработана унифицированная технология построения дискретных аналогов (конечно - разностных операторов) дифференциальных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние разнообразных стержневых и плоских конструкций. В ее основу, положено получение шаблонов дискретных аналогов, используемых в расчетах изогнутых и сжато-изогнутых балок с скачкообразным и плавным изменением жесткости поперечного сечения, многообразием типов загружения и опирания, путем введения соответствующих корректив в инвариантный дискретный аналог обобщенного дифференциального уравнения. Аналогичный механизм построения дискретных аналогов используется и в расчетах плит постоянной и переменной жесткости, с вырезами, отверстиями, подкрепленными балками и т.п. В качестве внешних воздействий могут быть заданны также осадки опор и углы поворота заделанных концов. Метод расчёта можно распространить и на тепловое воздействие.

5 Расчетный аппарат, предложенной методики построения конечно— разностных операторов позволил разработать и применить унифицированную компьютерную технологию, принципиально отличную от существующих. Для этой цели использована среда современных табличных процессоров, являющихся мощным инструментом компьютерного моделирования при исследования напряженно-деформированного состояния конструкций при разнообразных воздействиях на них.

6.Перспективой развития предложенной методики является построение дискретных аналогов дифференциальных уравнений не только прямоугольных, но и элементов различной конфигурации, используемых для расчетов: устойчи-

вости стержней кусочно переменного и постоянного сечений, а также пластин постоянной и переменной жесткости, трехслойных панелей; на динамические воздействия балок переменного сечения, пластин и пологих оболочек и т.н. Использование же приближенных методик расчета одно - и двумерных конструкций в среде табличных процессоров, позволяющих мгновенно выдавать качественную оценку их напряженно - деформированного состояния при заданном интервале изменения внешних воздействий, дает новый толчок в оценке параметров надежности, долговечности и остаточного ресурса конструкций, подверженным разнообразным агрессивным воздействиям.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ I. Катеринина С.Ю. Реализация метода последовательных аппроксимаций в среде табличного процессора Excel - 5.0. Современные технологии в промышленности, строительстве и высшем образовании: инновации, опыт, проблемы, перспективы. Тезисы докладов Межвузовской научно - технической конференции-Камышин, 1996 г.

2. Катеринина С.Ю. К расчету стержневых систем на устойчивость с использованием сплайн - аппроксимаций форм потери устойчивости. Сб. Надежность и долговечность строительных конструкций и материалов. - Волгоград: ВолгГАСА, 1998:

3. Катеринина С.Ю. Метод последовательных аппроксимаций в среде табличного процессора EXCEL 5.0: Информ. листок № 225 -98; Сер. Р.50.51.17/ Волгогр. Центр науч.-техн. Информации. - Волгоград, 1998,-[2] с.

4. Катеринина С.Ю. Модифицированный метод сплайн - аппроксимаций в расчете пластинок. - Деп в ВИНИТИ. 01.04.98, № 2021 - В99.

5. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Использование табличного процессора SC - 5 в суперэлементном расчете пластинок и пластинчатых конструкций. Межвузовский научный сборник. Проблемы теории пластин и оболочек и стержневых систем. - Саратов: 1995.

2 i

6. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Новый подход к решению задач методом конечных элементов. - Деп в ВИНИТИ. 01.04.98, № 1066 - В98.

7. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Решение систем линейных уравнений ленточной структуры в среде табличного процессора SC - 5. Ден в ВИНИТИ. 21.02.97, № 570-В97.'

КАТЕРИНИНА Светлана Юрьевна. РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СПЛАЙН -АППРОКСИМАЦИЙ В ЗАДАЧАХ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИНОК С РАЗРЫВНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 23. 10 2000 г.Фор.мат 60x84/16 Бум ara офсетная. Уч.-изд.л. 1,9. Усл.печ.л. 1,6. Тираж 100 экз. Заказ № 5.

Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия. Информационно - издательский отдел. Волгоград, ул. Академическая, 1

1. Современное состояние вопроса и задачи исследования.

1.1 Метод конечных разностей (метод сеток).

1.2. Метод конечных элементов.

1.3 Метод последовательных аппроксимаций.

Выводы по главе.

2. Построение конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений изгиба стержней и пластинок с разрывными параметрами на основе метода сплайн - аппроксимаций.

2.1.Постановка задачи и обоснование принятых допущений.

2.2 Построение дискретного аналога дифференциального уравнения изгиба пластинки на регулярной прямоугольной сетке узлов.

2.3 Построение дискретного аналога уравнения (2.2а) для произвольного узла сеточной области.

2.4 Определение кривизны линии прогибов в узлах сеточной области.

Выводы по главе.

3. Построение дискретных аналогов уравнения (2.2а) для контурных узлов сеточной области и для одномерных задач.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Построение дискретных аналогов для контурных узлов сеточной области.

3.3 Дискретные аналоги дифференциального уравнения (2.2а) для одномерных задач.

3.3.1. Сжато - изогнутые балки.

3.3.2. Балки на упругом основании.

4. Практическое применение метода сплайн - аппроксимаций (МСА) в решении задач строительной механики.

4.1. Системы разрешающих уравнений для сжато-изогнутых балок переменной жесткости.

4.1.1 Балки с нагрузкой, распределенной по кусочно-линейному закону

4.1.2 Балки с шарнирным закреплением узлов "О", "2".

4.1.3 Балки с жестким закреплением левого узла "О".

4.1.4 Сжато изогнутые шарнирно опертые балки.

4.1.5 Тестовые примеры.

4.2.Системы разрешающих уравнений для балок на упругом основании с переменными коэффициентами жесткости.

4.2.1 Поперечный изгиб балок переменной жесткости.

4.2.2 Продольно - поперечный изгиб балок постоянной жесткости при двух коэффициентах постели.

4.2.3 Тестовые примеры.

4.3. Системы разрешающих уравнений для тонких упругих плит.

4.3.1 Плита шарнирно опертая по контуру.

4.3.2. Плита, загруженная равномерно распределенной нагрузкой.

4.3.3. Плита, загруженная полосовой нагрузкой.

4.3. Тестовые примеры.

Выводы по главе.

Повышение эффективности капитальных вложений на основе использования достижений научно-технического прогресса, применение экономичных проектных решений, снижение стоимости проектирования и строительства сооружений являются важной народно - хозяйственной задачей.

Совершенствование проектных решений может быть достигнуто за счет разработки математических моделей, максимально приближенных к действительной работе конструкции.

Современный уровень развития строительной механики, вычислительной техники и компьютерно-информационных технологий обеспечивает принципиальную возможность расчета сооружений с учетом их реальных свойств и различных особенностей их работы на основе численных методов.

Однако необходимо отметить, что при разработке и реализации методов расчета конструкции проблемы математического характера, связанные с усложнением расчетных схем, ограниченным объемом памяти и быстродействием ЭВМ остаются актуальными и на сегодняшний день.

Одной из таких проблем является проблема расчета конструкций с разрывными параметрами. Разрывные параметры, имеющие следствием разрывный характер решений, можно условно разделить на несколько групп:

- разрывы нагрузок (кусочно - переменные, распределенные по длине балки или стержня, по поверхности пластинки или оболочки);

- разрывы (нарушения) сплошности конструкций (разрезы, щели, накладки, отверстия различных форм, шарниры и другие конструктивные включения);

- разрывы жесткости конструкции (кусочно - переменное или кусочно - постоянное изменение жесткости, наличие ребер постоянного или переменного сечения в одном или двух направлениях);

- разрывы в геометрии конструкции (изломы оси или срединной поверхности, специально предусмотренные проектом или возникшие при монтаже). 5

Аналитические методы расчета сооружений с разрывными параметрами, в особенности конструкций типа пластин и оболочек [72], сложны и очень трудоемки в реализации. Такие известные численные методы, как метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР), хотя и позволяют решать задачи с разрывными параметрами, требуют сильного сгущения расчетной сетки вблизи разрывов и приводят к осложнениям математического и вычислительного характера при составлении и решении систем алгебраических уравнений.

Одним из перспективных направлений в решении этой задачи явилось использование Р.Ф. Габбасовым [22 -25, 27] для построения сеточных уравнений матриц интегрирования и дифференцирования на основе кусочно-полиномиальных функций (сплайн-функций). Это позволило учесть наиболее просто конечные разрывы искомой функции и ее производных и избежать (по сравнению с МКР) сгущения расчетной сетки вблизи разрывов и особенностей не прибегая к законтурным точкам.

Сочетание преимуществ и достижений МКР, МКЭ и метода последовательных аппроксимаций (МПА) Р.Ф. Габбасова дает возможность разработать новый подход к расчету конструкций с разрывными параметрами и реализующих ее алгоритмов.

Поэтому дальнейшее развитие и усовершенствование методов расчета конструкций с разрывными параметрами является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка усовершенствованной методики численного расчета конструкций с разрывными параметрами на основе уточненных дискретных аналогов (конечно-разностных операторов) соответствующих дифференциальных уравнений.

Для достижения этой цели необходимо решить ряд задач: - Разработать методику построения конечно - разностных операторов на основе сплайн - интерполяции; 6

- Разработать методику построения граничных конечно - разностных уравнений;

- Осуществить компьютерную реализацию разработанных методик и алгоритмов;

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

- Разработана методика построения уточненных конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений для конструкций с разрывными параметрами;

- Получены уточненные конечно-разностные операторы для некоторых типов дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкций с разрывными параметрами;

- Получены уточненные конечно-разностные операторы для различных типов граничных условий;

- Разработана Excel - технология для автоматического формирования матриц коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений на основе полученных дискретных аналогов дифференциальных уравнений для сеточной области.

Достоверность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечивается корректностью постановки задачи, использованием общепринятых допущений и гипотез строительной механики и подтверждается сравнением полученных численных результатов с известными решениями.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методики и алгоритмы, реализованные в программном комплексе, могут быть эффективно использованы при проектировании балочных, плитных и пластинчатых конструкций с разрывными параметрами. Анализ результатов расчетов подтверждает высокую эффективность предложенных методик и алгоритмов. 7

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на межвузовской конференции "Современные технологии в промышленности, строительстве и высшем образовании" (Камышин, 1996) и ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно - строительной академии в 1994 -1999 годах.

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 9 -ти статьях автора. Наименования статей приводятся в списке использованной литературы.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена на 121 странице с иллюстрациями, имеет список используемой литературы из 126 наименований.

Заключение и основные выводы

1. Проблема расчета конструкций с разрывными параметрами остается пока недостаточно разработанной, поэтому дальнейшее развитие и усовершенствование методов решения этой проблемы является актуальной задачей.

2. Предложен новый подход к построению конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений изгиба стержней и пластинок с разрывными параметрами на основе метода сплайн-аппроксимаций.

3. Применение сплайн- аппроксимации позволяет уменьшить число неизвестных в каждом узле сеточной области, а введение разрывов параметров в разрешающую систему дает возможность учесть их влияние на напряженно-деформированное состояние конструкции. Анализ результатов, проведенный на основе решения конкретных задач показал высокую точность предполагаемого подхода даже в случае минимального числа узлов разбивочной сетки.

4. Разработана унифицированная технология построения дискретных аналогов (конечно-разностных операторов) дифференциальных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние разнообразных стержневых и плоских конструкций.

5. На основе унифицированной технологии построены дискретные аналоги дифференциальных уравнений для граничных узлов сеточной области, позволяющие как и в МКР записывать сеточные уравнения для границ области без использования законтурных точек.

6. Построены шаблоны конечно-разностных уравнений для внутренних и граничных узлов сеточной области, позволяющие значительно упростить ввод информации при расчете на ЭВМ.

7. Разработана «Excel - технология» расчета стержней и плит, которая позволяет выполнять расчеты широкого класса задач с разрывными параметрами.

Ill

1. Абовский Н.П., Енджиевский J1.B. Некоторые аспекты развития численных методов расчета конструкций. Изв. ВУЗов. Стр-во и архитектура, 1981, № 6. с. 30-42.

2. Абовский Н.П. О непосредственном выводе уравнений метода сеток. В сб. Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1968.

3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. пер.с англ. Теория сплайнов и ее приложения.-М.: Мир, 1972, 310 с.

4. Александров A.B. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования. Тр. МИИТ, 1961, в. 131, -М., с.253 266.

5. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М., Стройиздат, 1976,ч I - 248 е., ч. II - 237 с.

6. Аргис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц, пер. с англ. М.: Стройиздат, 1968. 240 с.

7. Беляев Н.М. Сопротивление материалов М.: Наука, 1970, 606 с.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. т.П М., Физматгиз, 1962, 640 с.

9. Бовин В.А. Разностно вариационные методы строительной механики. - К., Гос. изд - во лит - ры по строительству и архитектуре УССР, 1963, 432 с.

10. Ю.Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. М.: Стройиздат, 1972,189 с.

11. П.Борисов М.В., Вахитов М. Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц. Казань: Тр. КАИ, 1974, в. 166, с. 32 -39.112

12. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин Киев: Бущвельник, 1970, 235с.

13. Вайнберг Д.В., Геращенко В.М., Райтфарб И.З., Синявский A.JI. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным способом, в сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Бущвельник, 1965.

14. Варвак Ü.M., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М: Стройиздат, 1977, 154 с.

15. Варвак П.М., Варвак Л.П. Некоторые вопросы теории кубических сплайнов, изложенные с позиций строительной механики. Куйбышев: Расчет пространственных конструкций, в.4, 1974, с. 57 - 62.

16. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий A.C., Пискунов В.Г. и др. Метод конечных элементов. Киев: Вища школа, 1981, 176 с.

17. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимаций в численном анализе, пер. с англ. М.: Мир, 1974, 124 с.

18. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики. Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1966. № 3, с. 50-61.

19. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. К применению метода прямых для расчета пластин. Тр. КАИ, 1972, в.143, с. 59 67.

20. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств на прочность. Казань: ТКИ, 1975,212 с.

21. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: 1978, 184 с.

22. Габбасов Р.Ф. К расчету стержней и стержневых систем методом последовательных аппроксимаций. Изв. ВУЗов. Стр-во и архитектура, № 4, 1980, с. 30-35.

23. Габбасов Р.Ф. О разностных формах метода последовательных аппроксимаций. Сб. Численные методы решения задач строительной механики. К.: КИСИ,1978,с. 121 -126.113

24. Габбасов Р.Ф. О численно интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследования по теории сооружений. - М.: Стройиздат, в XXII, 1976, с.27-34.

25. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах метода последовательных аппроксимаций. Строительная механика и расчет сооружений, №3,1978, с. 26-30.

26. Габбасов Р.Ф. Применение теории сплайнов к задачам строительной механики. В кн.: Некоторые вопросы прочности строительных конструкций-М.: МИСИ, № 156, 1978, с. 65 76.

27. Габбасов Р.Ф. Сравнение методов конечных элементов и последовательных аппроксимаций. Доклады IX Международного конгреса по применению математики в инженерных науках, т.2 Веймар: 1981, с12 — 14.

28. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Дис. .д-ра техн. наук. -М.: 1989

29. Габбасов Р.Ф., Исматов М. X. К расчету изгибаемых плит методом последовательных аппроксимаций. М.: Изв.ВУЗов. Строительство и архитектура. 1984, №2, с 23 -34.

30. Габбасов Р.Ф., Кайдалов Б.П. Разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций в задачах устойчивости пластин. М.: Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура, № 11, 1981, с. 31 - 37.

31. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит на локальные нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций. Расчет пространственных конструкций.-М.: МИСИ, № 157,1981, с.39 -43.

32. Габбасов Р.Ф. Применение численно интегрального метода к расчету плит на упругом основании. Прикладная механика, 1976, 12, № 10, с. 21 - 26.

33. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей- М.: Гостехиздат,1952, 412с.

34. Годунов С.К., Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука, 1973,400 с.114

35. Горбунов Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчет конструкций на упругом основании. -М.: Стройиздат, 1973,628 с.

36. Гордеев В.Н., Динкевич С.З. Численные методы решения задач строительной механики. Киев: 1978, 367 с.

37. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986, 606 с.

38. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.В. Численные методы анализа. -М.: Физматгиз, 1963, 664 с.

39. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. -К.: Наукова думка, 1964, 260 с.

40. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сеток к расчету пластин и оболочек . ЭЦВМ в строительной механике. М.: Стройиздат, 1966, с 550-560.

41. Добыш А.Д. Конструктивное представление гладких кривых и поверхностей. .- М.: МИСИ, № 83, 1979, с. 107 123.

42. Дукарт A.B., Олейник А.И. Динамический расчет балок и рам. М.: Изд - во Всесоюзного заочного политехнического института, 1990, 212 с.

43. Егупов В.К., Командрина Т.А., Голобородько В.Н. Пространственные расчеты зданий. Пособие по проектированию- Киев: Изд-во Буд1вельник, 1976, 264 с.

44. Жданов А.П. Тригонометрические полиномы по теории интерполирования и их применение к расчету регулярных статически неопределимых систем строительных конструкций. М.: Тр. МАДИ, 1972, вып. 36.

45. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций. -М.: Наука, 1980, 352 с.

46. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.(пер. с англ.). М.: Мир, 1975, 541 с.

47. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986,318 с.115

48. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979,423 с.

49. Игнатьев В.А. Расчет регулярных стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973,433с.

50. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1992.141 с.

51. Игнатьев В.А., Соколов O.JI, Альтенбах И., Киссинг В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато стержневой структуры-М: Стройиздат, 1996, 556 с.

52. Игнатьев В.А. Игнатьева О.М. Устойчивость сооружений. Учебное пособие. -Волгоград: Изд. Волгоградского политехнического института, 1986, 111 с.

53. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981, 428 с.

54. Каркаускас Р.П., Крутинис A.A. и др. Строительная механика программы и решения задач на ЭВМ. М.: Стройиздат, 1990, 360 с.

55. Катеринина С.Ю. К расчету стержневых систем на устойчивость с использованием сплайн аппроксимаций форм потери устойчивости. Сб. Надежность и долговечность строительных конструкций и материалов. - Волгоград: ВолгГАСА, 1998.

56. Катеринина С.Ю. Модифицированный метод сплайн аппроксимаций в расчете пластинок. - Деп в ВИНИТИ. 01.04.98, № 2021 - В99., Юс.

57. Керопян К.К., Карандаков Г.В., Музыченко Ю.Н. Электрическое моделирование и численные методы теории упругости. М: Стройиздат, 1973, 384 с.

58. Клейн Г.К., Леонтьев H.H. и др. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. М: Высшая школа, 1980, 384 с.

59. Колатц JI. Задачи на собственные значения, перев. с нем.- М.: Наука, 1968, 504 с.

60. Корнеев В.Г. Схемы методов конечных элементов высоких порядков точности. :Изд - во Ленинградского университета, 1977, 208 с.

61. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М.: Стройиздат, 1949. 235 с.

62. Лащеников Б.Я. Применение метода интегральной матрицы при разрывных и обобщенных функциях. ТР.МИИТ, 1963, в174, с 123 - 128.

63. Лащеников Б .Я. Континуально-дискретный метод перемещений в строительной механике пространственных систем. Дисс. на соиск. уч. степени доктора техн. наук. - М., МИИТ, 1970.

64. Левашов П.Д. Построение матриц жесткости тонкостенных систем на основе скользящей интерполяции. Изв. вузов. Авиационная техника, 1979, № 2, с. 37-43.

65. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами.-Л.: ЛГУ, 1987, 225 с.

66. Микеладзе Ш.Е. Некоторые задачи строительной механики. М.: Гостехиз-дат, 1948, 267 с.

67. Микеладзе Ш.Е. О численном решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона Изв. АН СССР,ОМЕН, серия матем. наук, 1938, № 2, с.271 -292.

68. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, перев. с англ. -М.: Мир, 1981,214 с.117

69. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами JL: Изд-воЛГУ, 1980, 196 с.

70. Моисеев H.H. Математика ставит эксперемент. М.: Наука, 1979, 224 с.

71. Мхеидзе О.Р. Исследования осесимметричных задач теории изгиба и оптимального расчета тонких плит и оболочек с учетом влияния некоторых физико геометрических факторов. Дисс.канд.техн.наук. - М.: 1980. 168 с.

72. Нгуен Ван Нго. Применение теории сплайнов в расчете прямых стержней. -Строит, механика и расчет сооружений, 1978, № 3, с. 57-61.

73. Низомов Д.Н. Численное решение динамических задач по расчету балок, плит, пологих оболочек. Дисс.канд. техн. наук. М.: 1983, 169с.

74. Положий Г.Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента. Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1962. - Строит, механика и расчет сооружений, 1977, № 5, с. 24-34.

75. Рабинович И.М и др. Строительная механика в СССР (1917-1967), М.: Стройиздат, 1969.

76. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Стройиздат, 1960. 519 с.

77. Рабинович И.М. Применение теории конечных разностей к исследованиям неразрезных балок- М.: изд-во Высшего технического комитета НКПС, 1921.96 с.

78. Рабинович И.М. Рамы и фермы пространственные и плоские. М.: Гос-стройиздат, 1933, 390 с.

79. Рекач В.Г. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба плоского кривого бруса. Строит, механика и расчет сооружений, 1961, № 6, с. 11-16.

80. Рогалевич В.В. Решение нелинейных задач изгиба пластин с использованием сплайнов. Строит, механика и расчет сооружений, 1977, № 5, с. 29 - 34.

81. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: ЛГУ, 1978,212 с.118

82. Розин JI.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: 1976.

83. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A., Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979, 288 с.

84. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974, 341 с.

85. Пржеминицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подконструкций. М.: Ракетная техника и космонавтика, 1963, №1, с.88-95.

86. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976, 350 с.

87. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982, 479 с.

88. Смирнов А.Ф. Применение интегральной матрицы к изучению колебаний круговой арки. -М.: Тр. МИИТ, 1961, в. 131, с. 15 16.

89. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебание сооружений. М.: Трансжалдор-издат, 1958, 572 с.

90. Смирнов В.А. Расчет пластинки сложного очертания. М: Стройиздат, 1978, 300 с.

91. Смирнов В.А. Численный метод краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследования по теории сооружений-М.: Госстройиздат, 1969, в. XVII, с.111-123.

92. Смирнов В.А. Численный метод расчета ортотропной пластинки, лежащей на упругом основании с двумя коэффициентами постели. М.:Тр. МархИ 1970, в.2, с. 47-57.

93. Смирнов В.А. Численный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных на примере устойчивости ортотропной пластинки. Тр. НИИЖТ, 1970, в.96, с 375 - 379.119

94. Смирнов В.А., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Стержневые системы. М.: Стройиздат, 1981,509 с.

95. Смирнов В.А., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений М.: Стройиздат, 1981, 509 с.

96. Смоляк С.А. Сплайны и их применение. Экономика и мат. методы, 1971, т.7, № 8,с. 419-431.

97. Соломин В.И. Расчет балок на упругом основании методом конечных разностей. М.: Высшая школа, 1978,480 с.

98. Соломин В.И., Сытник Ф.С. Красчету фундаментных плит сложной конфигурации и переменной жесткости. Основания, фундаменты и механика грунтов, №5, 1874, с. 16 19.

99. Справочник проектировщика, расчетно теоретический. Под редакцией A.A. Уманского, книга 1. - М.: Стройиздат, 1973, 416 с.

100. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976, 248 с.

101. Стрелецкий Н.С. К расчету сложных статически неопределимых систем-М.: изд-во Высшего технического комитета НКПС, 1921.

102. Тимошенко С.П., Войновский Кригер. Пластинки и оболочки, пер. с англ. - М.: Наука, 1966, 635 с.

103. Томпсон, Хант Потеря устойчивости и выпучивание конструкций. М.: Наука, 1991,423 с.

104. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Использование табличного процессора SC- 5 в суперэлементном расчете пластинок и пластинчатых конструкций. Межвузовский научный сборник. Проблемы теории пластин и оболочек и стержневых систем. Саратов: 1995, с.71-72.

105. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Матричные преобразования в среде табличных процессоров. Тезисы докладов научно технической конференции,- ВолгГАСА, 1996 г.120

106. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Метод блочной прогонки при решении систем линейных уравнений. Тезисы докладов научно технической конференции. - ВолгГАСА, 1996 г.

107. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Новый подход к решению задач методом конечных элементов. Деп в ВИНИТИ. 01.04.98, № 1066 - В98, 8с.

108. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Решение систем линейных уравнений ленточной структуры в среде табличного процессора SC 5. Деп в ВИНИТИ. 21.02.97, № 570-В97,Юс.

109. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем и некоторые элементы использования ЭВМ. М.: Стройиздат, 1966, 440 с.

110. Филин А.П. Матричная форма методов строительной механики. Л.: вып. 1. Некоторые элементы строительной алгебры. 1965, 73 с.

111. Филин А.П., Гребень Е.С. Исследования по теории сооружений М.: Госстройиздат, 1959, вып. 8.

112. Филоменко Бородич М.М. и др. Курс сопротивления материалов, ч.П, Гостехстройиздат, 1956, с 82 - 87.

113. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых систем Киев: изд-во АН УССР, 1952, 146 с.

114. Antes H.G. Fundamental spline functionen bei einem variatiousverfahren zur Balken - bereehnung. - Wiss. Zeitsen. der Hoehsch. fïir Arch, und Bauw. Weimar, 1972,Heft 2, 131-134.

115. Cai C.W., Cheung Y.K., Chan C.H. Uncoupling of dynamic equation for periodic structures. Journal of sound and vibration, 1990. 253-263.

116. Fricker A.J.A simple method for uncluding hear deformations in thin plate elements. Internetional journalfor numerical methods in engineering, 1986. 13351366.

117. Harrison H. "Spase structures".- Oxford and Edinburg, 1967, p. 231 -243.

118. Yang T.Y., Sunil Saigal. A simple element for static and dynamic response of121beams with material and geometric non lineriatis. Internetional journal for numerical methods in engineering, 1984. 851-867.

119. Zeng Z., Huang T., Hamilton J.F. An effective approach to determine frequencies and mode shapes of constrained beamsusing lagrange multiplieres. The international journal of analitical and experimental modal analysis, 1990.- p. 109 — 114.

120. Pian Theodore.H. H. Variotional and finite element method in structural analyses. Isr. I. of technology. Vol. 16,1978.41 86.

121. Sadowsky M.A. Zweidimentionale Problem der Elastizitatsthevie. Zeitsch. fur Ang. Math.und Mech., 1928, № 8,107 - 121.

122. Severn R. Numerical methods for calculation of stress and strain. Phil. Frans. roy.svc, 1979, 274, № 1239, 339 - 350.

123. Siemes A.J.M.,Vrouwenvelder A.C.W.M.,van den Benkel A. Dirability of Buildungs: a reliability analysis.// Heron, 3985.- Vol. II.-№3.-p. 2-47.

124. Stanners 1. F. Use of Environmental Date in Atmospheric Corrosion Studies // British Corrosion Journal, 1'970, v. 5. №3, p. 117-121.