автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение изопериметрического метода к решению задач устойчивости пластинок

РОСТОВСКИМ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫМ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ХУСТОЧКИН АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНОК

Специальность 05. 23. 17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону, 1991

Работа выполнена в Ставропольском политехническом институте

доктор технических наук, профессор В. И. К0Р0БК0

доктор технических наук, профессор Р. Ф. ГАББАСОВ

кандидат технических наук, профессор И. А. КРАСНОБАЕВ

Дальневосточный научно-исследовательский институт эксперементального проектирования

(ЬевгШал 1992 Г. В /о ^ часов на заседании специализированного совета К 063.64.01 Ростовского инженерно-строительного института 344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162 в зале заседаний Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ специализированного Совета,

кандидат технических наук Ю. А. ВЕСЕЛЕВ

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится

I

I

^ссертади;) | ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пластинки, как элементы несущих конструкций, находят широкое применение в различных областях современной техники. Требование рациональности конструирования пластинок обусловливают необходимость расчета их как на прочность, так и на устойчивость. В ряде случаев расчет на устойчивость является определяющим при оценке несущей способности пластинок. Основы теории расчета упругих пластинок были заложены в XIX веке, широкое их использование в инженерном деле началось в начале XX столетия в связи с появлением новых строительных материалов, в частности, железобетона.

Одним из основных направлений в совершенствовании методов расчета пластинок является разработка приближенных методов, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможность получения двусторонних оценок. Изопериметрический метод также относится к приближенным методам. Основные его закономерности в задачах строительной механики пластинок получаются с помощью известного в вариационном исчислении модифицированного метода Релея-Ритца. При этом возможность выделения из интегро-дифференциалышх зависимостей теории пластинок величины, характеризующей форму контура замкнутой области, делает во многих случаях изопериметрический метод предпочтительнее друг** вариационных методов, так как отпадает необходимость в решении систем большого числа алгебраических уравнений. Решение при этом сводится к двусторонней оценке изучаемой физической величины.

Изопериметрический метод нашел широкое применение в задачах поперечного изгиба и колебаний пластинок, их оптимального проектирования и предельного равновесия, получено большое количество оценок для пластинок различной конфигурации. Однако в задачах, устойчивости пластинок изопериметрический метод применяется недостаточно, сформулированы только самые общие изопериметрические теоремы, найдены решения для ограниченного класса задач (при частных случаях напряженного состоя- -ния, контурных условий и форм пластинок). Поэтому представляется весьма актуальным как с практической, так и с научной точек зрения, исследования, направленные на разработку и со-

вершенствованяе изопериметрического метода решения задач устойчивости пластинок произвольной формы.

Цель работы заключалась в следующем :

1. Обоснование изопериметрического подхода к проблеме устойчивости пластинок. Разработка теории расчета и математического аппарата исследования поставленной проблемы на основе выделения из интегро-дифференциальных зависимостей теории устойчивости величины, характеризующей форму контура пластинки.

2. Анализ влияния величины коэффициента формы пластинок на изменение критического усилия равновеликих пластинок.

3. Графическое представление границ изменения критического усилия как для всего множества пластин выпуклой в плане формы, так и для отдельных видов пластинок (треугольные, четырехугольные, ромбические, параллелограммные и т.д.).

4. Исследование способа симметризации пластинок и вывод на его основе изопериметрических неравенств для оценки критического усилия пластинок.

5. Разработка графоаналитического способа исследования задачи устойчивости и получение аналитических выражений для приближенного определения критического усилия пластинок.

6. Определение взаимосвязи между задачами устойчивости и поперечного изгиба пластинок и использование этой закономерности для получения приближенных значений критического усилия пластинок.

7. Разработка, обоснование и применение некоторых геометрических способов расчета устойчивости пластинок равномерно и всесторонне сжатых по контуру.

8. Исследование свойств некоторых геометрических характеристик, связанных с конформным отображением области пластинок на единичный круг и их использование для получения оценок критического усилия пластинок.

Метод исследования : использован изопериметрический метод исследования задачи устойчивости пластинок.

Достоверность научных положений и полученных численных результатов подтверждается сравнением с результатами, найденными с помощью фундаментальных методов строительной механики пластинок.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Исследованы возможности применения изопериметрическо-го метода к решению задачи устойчивости пластинок.

2. На основе выделения из основных интегро-дифференци-альных зависимостей теории устойчивости пластинок геометрической величины - коэффициента формы, получено выражение, дающее представление исследуемой проблемы в изопериметрическом виде.

3. На основе известного в математической физике геометрического преобразования плоской области - симметризации Штей-нера и его свойств разработана прикладная теория построения двусторонних оценок критического усилия пластинок с выпуклым шарнирно опертым контуром.

4. На основе полученных изопериметрических оценок, а также известных точных и приближенных решений границы изменения критического усилия представлены графически как для всего множества выпуклых шарнирно-опертых и жестко защемленных пластинок, так и для отдельных их видов (треугольные, параллелог-раммные и т. п.).

5. На основе графического представления границ изменения критического усилия получены приближенные выражения для определения величины критического уситая некоторых видов пластинок.

6. Исследованы свойства конформных радиусов выпуклой области и разработана прикладная теория построения оценок критического усилия с помощью свойств конформного отображения области пластинки на внутренность и внешность единичного круга.

7. Предложены некоторые геометрические приемы получения оценок критического усилия пластинок : способ, основанный на использовании леммы "о включении'', способ вписанной и описанной пластинок.

» 8. Установлена взаимосвязь задач продольного и поперечного изгиба пластинок и показана возможность использЬвания этой закономерности для приближенного определения величины критического усилия полигональных шарнирно опертых пластинок.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанная в диссертации методика может быть использована при проектировании элементов конструкций в виде пластинок.

На защиту выносится обоснование изопериметрического под-

хода и методика решения задач устойчивости пластинок с помощью изопериметрического метода.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ.

Апробация заботы. Результаты, изложенные в диссертации, представлялись и докладывались на научно-технических конференциях преподавателей Ставропольского политехнического института (Ставрополь, 1989, 1990, 1991 г.г.); ХХУ111 Всесоюзной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1990) ; научно-технической конференции "Надежность и эффективность нетрадиционных систем сейсмо-защиты зданий и сооружений" (Севастополь, 1991) ; научно-технической конференции "Динамика конструкций при вибрационных и сейсмических нагрузках" (Севастополь, 1991).

Структура -работы. Диссертация, основное содержание которой изложено на 175 страницах машинописного текста, состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы 121 наименования. Работа иллюстрирована 23 рисунками, содержит 36 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы и определяются цели работы, метод исследования, ее научная новизна и практическая ценность. Приводится ее краткое содержание.

Первая глава посвящена краткому историческому обзору и анализу современного состояния вопроса исследования устойчивости пластинок. Решение Брайеном в конце прошлого века задач об устойчивости радиально сжатой жестко защемленной круглой пластинки и равномерно сжатой вдоль одной или двух сторон шар-нирно опертой прямоугольной пластинки принято считать началом исследования устойчивости пластинок. Основные положения современной. науки об устойчивости пластинок изложены в работах Ф. Блейха, В. В. Болотина, Б. М. Броуде, А. С. Вольмира, А. Н. Динника, П. №. Огибалова, П. Ф. Папковича, А. Р. Рканицына, С. П. Тимошенко и др..

Решение задач устойчивости осуществляется преимущественно с помощью методов, в основу которых положены динамический, ста-

тический и энергетический критерии устойчивости. Анализируя используешь в теории устойчивости пластинок критерии устойчивости, отмечено, что точное решение задачи устойчивости пластинки произвольной Формы если не невозможно, то весьма затруднительно в силу возникающих при этом довольно существенных математических трудностей. Поэтому в развитии методов расчета пластинок четко прослеживается тенденция к разработке специальных способов и приемов, обладающих большой простотой и наглядностью, позволяющих получать эффективные двусторонние оценки физико-механических характеристик пластинок. В последнее время широкое развитие для решения различных задач строительной механики пластинок получил изопериметрический метод.

У истоков изопериметрического метода лежали труды Б. Сен-Венана, Л. Релея, Пуанкаре, Фабера, Куранта, Пойа и других известных математиков и механиков. Среди работ, посвященных развитию и применению этого метода, следует отметить работы В. И. Ко-робко и Г. А. Мануйлова. Приведенный в диссертации обзор исследований, посвященных развитию изопериметрического метода показывает, что изопериметрический метод является весьма эффективным для решения широкого круга задач технической теории пластинок. Он позволяет получать простые выражения для оценки с достаточной точностью различных физико-механических характеристик произвольных шарнирно опертых и жестко защемленных пластинок с выпуклым контуром на основании геометрических характеристик этих пластинок. Поэтому актуальной задачей является разработка и применение изопериметрического метода к расчету пластинок на устойчивость.

Во второй главе проводится анализ основных интегро-диффе-ренциальных зависимостей теории устойчивости пластинок с позиции изопериметрического метода. Сущность такого подхода заключается в выделении из интегро-дифференциальных зависимостей, описывающих напряженно-деформированное состояние пластинок в момент потери устойчивости, геометрической величины Кф - коэффициента формы пластинок. В общем виде коэффициент формы можно

лгтоттоттфт. тжч тзилятоиий •

точки "а", взятой внутри области пластинки, к касательной в переменной точке кривой контура ; - линейный элемент контура пластинки ; / - периметр заданной кривой ; 6*<5{р) - полярное уравнение контура пластинки.

Для достижения поставленной цели используется известный в вариационном исчислении модифицированный метод Релея-Ритца, . Функцию прогибов пластинки заменили кусочно гладкой

однопараметрической функцией ¿/<3(^0)7 -<#(?) с линиями уровня подобными контуру пластинки. После чего интегрируется по площади пластинки бигармонический оператор, определенный на выбранной таким образом функции, предварительно представленный в полярных координатах ;

о-Ш «

00

где в квадратных скобках приводится оператор Лапласа, представленный в полярных координатах.

В результате интегрирования выражения (2) с использованием неравенств Коши-Буняковского и Мора-Нолля, получим следующую зависимость :

/I - площадь пластинки.

Для получения численного значения исследуемого интеграла от бигармонического оператора необходимо в выражение (3) подставить функцию прогибов^(Р) . Результат будет тем лучше, чем более "похожей" на действительную будет выбрана функция. Однако, учитывая то, что для каждой конкретной пластинки и $>(р) представляют из себя некоторые числовые коэффициенты, зависящие только от выбора функции ^[р) , показано, что наименьшее собственное значение заданного бигармонического уравнения для равновеликих пластинок определяется некоторой функцией по параметру Кф.

В дифференциальное уравнение устойчивости равномерного и всестороннего сжатия кроме бигармонического оператора входит и оператор Лапласа, который после подстановки функции прогибов

л(р) можно представить в виде : /Ж?

Проинтегрировав это выражение по площади пластинки, получим :

где

Тогда, с учетом выражений (з) и (4) критическое усилие можно определить следующей зависимостью :

(5)

где = и ~ некоторые

числовые коэффициенты, величина которых зависит от выбора функции прогибов £(р) .

Выражение (5) дает представление задачи устойчивости равномерного сжатия пластинок в изопериметрическом виде. Как видно, изменение критического усилия пластинок равной площади может быть приближенно описано с помощью линейной функции параметра К^. При этом для определения численного значения коэффициентов' К, и /£ можно отойти от подбора функции в виде линий уровня . что обычно довольно сложно, а использовать для

этого известные решения исследуемой задачи. Такой подход позволяет получать приближенные зависимости для определения критического усилия некоторых видов пластинок.

Кроме того, показано, что изменение критического усилия пластинок в основном зависит от изменения коэффициента формы Кф. Следовательно, по изменению величины Кф можно судить и об изменении критического усилия равновеликих пластин. На основании этого были сформулированы следующие изопериметрические теоремы.

1. Из всех жестко защемленных пластинок равной площади наименьшее значение критического усилия соответствует круглой пластинке.

2. Из всех Ц. -угольных пластинок равной площади наименьшее значение критического усилия будут иметь соответствующие правильные Н- -угольники.

3. Все множество решений для равновеликих жестко защемленных пластинок ограничено с двух сторон двумя положительными

границами : с одной стороны - решениями для равнобедренных треугольных и правильных П. -угольных пластинок, с другой - решениями для эллиптических пластинок.

4. Все множество решений для треугольных и четырехугольных пластинок ограничено с двух сторон решениями для равнобедренных треугольных и прямоугольных пластинок.

5. При симметризации Штейнера критическое усилие пластинок уменьшается (не увеличивается).

В третьей главе для исследования устойчивости пластинок используется графоаналитический способ. Для чего известные решения для жестко защемленных и шарнирно опертых по контуру пластинок, записанные в изопериметрическом виде, представлены графически в зависимости от изменения коэффициента формы Кф (см. рис. 1 и 2). Такой подход к исследованию устойчивости пластинок позволил установить и наглядно представить общие границы изменения величины критического усилия всего множества выпуклых в плане пластин.

Так, для жестко защемленных пластинок (рис. 1) кривая 1-3, объединяющая множество решений для правильных /^-угольных пластинок, служит нижней границей изменения критического усилия для пластинок с Кф ^ 10,392 ; кривая 0-3 (решения для пластинок в виде равнобедренных треугольников ) является нижней границей изменения критического усилия для пластинок с Кф5> г>10,392. Верхней границей изменения критического усилия служат решения для эллиптических пластинок'(кривая 0-1 на графике ) . Аналогичные границы установлены и для шарнирно опертых пластинок. )

Анализ известных решений задачи устойчивости с позиции изопериметрического метода позволил построить приближенные зависимости по параметру Кф, описывающие с хорошей точностью изменение критического усилия для пластинок в виде равнобедренных треугольников, ромбов, правильных и аффинно-правильных фигур как при шарнирном опиранин, так и при жестком защемлении по контуру. С помощью полученных выражений общие границы изменения критического усилия пластинок представлены в виде системы неравенств, использование которых позволяет получать удовлетворительные оценки критического усилия для произвольных жестко защемленных и полигональных шарнирно опертых пластинок.

Рис. 1

Рис. 2

Кроме того, показано, что рассматривая каждый вид пластинок отдельно, границы изменения критического усилия можно значительно сузить. Так, значение критического усилия для произвольных треугольных пластинок ограничены с двух сторон решениями для пластинок в виде равнобедренных треугольников и ромбов. Решения для всего множества параллелограммных пластинок ограничены с одной стороны решениями для ромбических, а с другой -решениями для прямоугольных пластинок. Проведенные исследования позволили получить приближенные зависимости для определения критического усилия пластинок в виде прямоугольного треугольника и параллелограмма.

Четвертая глава посвящена разработке способа симметризации пластинок, в основе которого лежит изопериметрическая теорема о симметризации, согласно которой при симметризации Штей-нера критическое усилие пластинок уменьшается (не увеличивается). Способ симметризации позволяет получать удовлетворительные односторонние и двусторонние оценки критического усилия, а в сочетании с другими закономерностями изопериметрического метода лает возможность в некоторых случаях получать аналитические зависимости, в которых в качестве аргумента используется коэффициент формы.

Так, исследуя множество четырехугольных пластинок, с помощью симметризации Штейнера получены общие границы изменения критического усилия таких пластинок как при шарнирном опирании, так и при жестком защемлении по контуру. Применительно к ромбическим, параллелограммным и трапециевидным пластинкам эти границы уточняются и приводятся неравенства, позволяющие получать двусторонние оценки критического усилия таких пластинок.

Аналогичные исследования проведены и для множества треугольных пластинок, получены выражения для оценки критического усилия как всего множества таких пластинок, так и для отдельных его видов (пластинки в виде равнобедренных и прямоугольных треугольников) . Сравнение оценок критического усилйя, полученных с помощью симметризации Штейнера, с некоторыми известными решениями показывает хорошую точность этого способа.

Кроме того, показано, что при исследовании устойчивости пластинок можно эффективно использовать и непрерывную симмёт-ризацию. Так, применительно к параллелограммным пластинкам с помощью этого способа удалось показать, что для пластинок рав-

ной площади и одинаковым значением коэффициента Формы решения для прямоугольной и ромбической пластинок служат, соответственно, верхней и нижней оценками критического усилия параплелог-раммной пластинки. Использование непрерывной симметризации применительно к расчету треугольных пластинок позволило получить приближенные зависимости для определения критического усилия произвольных шарнирно опертых и жестко заземленных пластинок.

В пятой главе для получения оценок критического усилия используются свойства кон-Тюрмного отображения области пластинки на единичный круг. С помощью известного вариационного представления квадрата частоты колебаний мембраны и мембранной аналогии записано выражение для получения оценок критического усилия шарнирно опертых полигональных пластинок :

—£¿15—— ^ ~ ¿¿С'+^А) ' &

Здесь у = 2,4048 - первый положительный корень бесселевой функции ; <Э - внутренний конформный радиус ; ¿V -

коэффициенты разложения отображающей функции в степенной ряд ;

- отношение интегралов, вычисляемых через квадраты бесселевых функций

Отмечено, что выражение (б) при удержании достаточно большого числа членов ряда разложения отображающей функции позволяет получать ассимптотически точные значения критического усилия. Однако большая математическая сложность и трудоемкость вычисления Ок снижает эффективность этого выражения. Показано, что оставив в разложении отображающей функции только первый член ряда - внутренний конформный радиус & , можно в ряде случаев оценивать критическое усилие с достаточной для инженерных расчетов точностью. Кроме того, получаемые при этом оценки критического усилия можно значительно улучшить, если рассматривать отдельно каждый вид ^.-угольных пластинок. Для чего выражение (б) с- учетам вышесказанного представлено в более общем виде : п

(7)

где С/1 - некоторый коэффициент, подлежащий определению путем удовлетворения выражения (7) решению для соответствующих правильных /г—угольников.

Далее, с учетом того, что площади всех треугольников, ромбов и правильных фигур выражаются через их конформные радиусы А , получена зависимость, связывающая критическое уси-

лие пластинок с безразмерной характеристикой <£/¥ :

где & - внешний конформный радиус пластинки.

Анализ этого выражения позволил показать, что для треугольных, ромбических и правильных /г-угольных пластинок изменение критического усилия в основном зависит от изменения безразмерной характеристики ¿/в . Используя свойства характеристики <з/<§~ получен интересный вывод, согласно которому треугольные, ромбические и правильные /г—угольные пластинки с равным значением <з/а имеют одинаковое значение критического усилия. Этот вывод подтвержден и графическим анализом устойчивости жестко защемленных пластинок, что позволило получить выражение, описывающее изменение критического усилия для всего множества треугольных, ромбических и правильных ¿г—угольных пластинок как жестко защемленных, так и шарнирно опертых по контуру.

Кроме того, учитывая большую сложность определения внутреннего и внешнего конформных радиусов для пластинок сложной формы, предложен графический способ получения приближенных значений критического усилия пластинок. Приведены примеры его использования для некоторых видов пластинок.

В шестой главе предлагаются некоторые геометрические способы расчета пластинок на устойчивость. К геометрическим методам расчета относится известная в математической физике лемма "о включении", используемая при расчете призматического бруса на кручение. Аналогичный подход возможен и при решении задач устойчивости.

Для жестко защемленных и полигональных шарнирно опертых пластинок сформулирована теорема о.соотношении критических усилий для вписанной и описанной пластинок, которая применительно к жестко защемленным пластинкам формулируется следующим образом: если две упругие жестко защемленные пластинки одинакового материала таковы, что одна из них целиком умещается в другую, то критическое усилие меньшей пластинки всегда больше (не меньше^) критического усилия большей пластинки.

Эта теорема дает возможность производить оценку критичес-

кого усилия пластинок вписывая и описывая вокруг нее пластинки с известными решениями. При этом описанная пластинка будет служить нижней, а вписанная - верхней оценками критического усилия. С помощью этого способа подробно рассматриваются возможности получения удовлетворительных оценок критического усилия применительно к пластинкам в виде равнобедренной и прямоугольной трапеции. Сравнение полученных оценок с некоторыми известными результатами показывает хорошую точность предложенного способа получения оценок критического усилия.

Далее устанавливается взаимосвязь между задачами продольного и поперечного изгибов пластинок. Получено выражение, устанавливающее ограниченность с двух сторон произведения максимального статического прогиба от равномерно распределенной нагрузки на квадрат критического усилия равномерного и всестороннего сжатия полигональных шарнирно опертых пластинок. Показано, что используя полученную закономерность можно осуществить автоматический перенос многочисленных решений задачи поперечного изгиба на устойчивость пластинок.

ВЫВОДЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. Основные интегро-дифференциальные зависимости теории устойчивости пластинок представлены в изопериметрическом виде, т.е. труднодоступная физическая характеристика - критическое усилие пластинок , выражено через легко доступную геометрическую характеристику области - коэффициент формы.

2. Изменение критического усилия равномерного сжатия пластинок может быть описано некоторой функцией параметра Кф, при этом по изменению величины коэффициента формы Кф можно судить и об изменении величины критического усилия.

3. Границы изменения критического усилия равномерно и всесторонне сжатых пластинок представлены графически. С помощью полученных графиков изменение критического усилия некоторых видов пластинок описано приближенными зависимостями.

4. С помощью операции симметризации Штейнера разработана прикладная теория построения удовлетворительных двусторонних оценок критического усилия пластинок как шарнирно опертых, так

и жестко защемленных по контуру.

5. С помощью изопериметрических свойств конформных радиусов пластинок разработана прикладная теория построения приближенных зависимостей и оценок критического усилия пластинок.

6. На основе закономерностей изопериметрического метода предложены некоторые геометрические способы получения оценок критического усилия пластинок : способ, основанный на использовании леммы "о включении", способ вписанной и описанной пластинок.

7. Установлена взаимосвязь между задачами продольного и поперечного изгибов пластинок, показаны некоторые возможности ее использования для получения оценок критического усилия.

Основные положения диссертации представлены в следующих научных работах:

1. Хусточкин А. Н. Оценка критического усилия шарнирно опертых полигональных пластинок по известным результатам задач поперечного изгиба // Материалы XIX конференции по итогам научно-исследовательской работы профессорско-преподавательского состава за 1989 год. 1990, Ставрополь. Ч. 2. С. 94.

2. Коробко В. И., Хусточкин А. Н. Устойчивость пластинок (краткий исторический обзор). Ставроп. политехи, ин-т. Ставрополь, 1990. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 14.06.90, № 3422-в90.

3. Коробко В. И., Хусточкин А. Н. Устойчивость треугольных и четырехугольных пластин в случае их равномерного и всестороннего сжатия по контуру. Ставроп. политехи, ин-т. Ставрополь, 1991. 35 с. Деп. в ВИНИТИ 04.02.91, № 539-в91.

4. Коробко 3. И., Хусточкин А. Н. Оценка собственной частоты колебаний упругих пластинок // Материалы научно-техн. кон-феоенции "Надежность и Э|Ьфективнс :ть нетрадиционных систем сейс-мозащиты зданий и сооружений". Севастополь, 1991. С. 72-74.

5. Хусточкин А. Н. Об устойчивости треугольных пластинок // Строительная механика, строительные материалы и конструкции, технология строительного производства. Ставрополь : Ставроп. политехи. ин-т. 1991. С. ЗЯ-42.

6. Хусточкин А. Н. Устойчивость некоторых видов упругих пластинок // Строительная механика, строительные материалы и конструкции, технология строительного производства. Ставрополь : Ставроп. политехи, ин-т. 1991. С. 51-56.

Подписано в печать 26.12.91 г. МН •Формат бумаги 60 х 84 1/16 Уч.-изд.л. 0,96 Заказ № 1 Тираж 100 экз. Бесплатно

отпечатано в отделе оперативной печати Ставропольского краевого управления статистики г. Ставрополь, ул. Пушкина, 4