автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение МИКФ к решению задач технической теории пластинок, связанных с треугольной областью

На правах рукописи

Гефель Владислав Владимирович

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МИКФ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК, СВЯЗАННЫХ С ТРЕУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТЬЮ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Орёл - 2006

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Коробко Андрей Викторович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Юрьев Александр Гаврилович

кандидат технических наук, доцент Турков Андрей Викторович

Ведущая организация:

Московский институт коммунального хозяйства и строительства, г.Москва

Защита состоится «15» декабря 2006 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.182.05 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г. Орёл, Наугорское шоссе, 29, аудитория 212.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Орловского государственного технического университета.

Автореферат разослан «» ноября 2006 года.

Учёный секретарь диссертационного советя

к.т.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При проектировании современных зданий и сооружений выполняются всесторонние расчёты прочности, жёсткости и устойчивости конструкций, находящихся под воздействием статических и динамических нагрузок. Расчётные схемы многих несущих элементов зданий и сооружений, машин и механизмов зачастую представляются в виде пластинок сложной формы с различными граничными условиями. Для их расчётов применяются в основном численные методы с использованием целевых программных комплексов. Однако, в строительной механике по-прежнему придается большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние отдельных геометрических и физических параметров конструкций на их прочность, жесткость и устойчивость, что способствует более правильному представлению их силовых схем и пониманию специфики работы.

В последние годы д.т.н., профессором A.B. Коробко был предложен новый эффективный инженерный метод решения двумерных задач строительной механики - метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных физических характеристик в двумерных задачах технической теории пластинок и интегральной характеристики их формы (коэффициента формы Kf). Этот метод позволяет, используя разнообразные геометрические преобразования с помощью известных «опорных» решений, получать с достаточно высокой точностью значения интегральных характеристик пластинок и мембран при анализе задач свободных колебаний, поперечного изгиба и устойчивости пластинок.

Теоретические основы этого метода в основном разработаны, однако требуется проведение дальнейших исследований по его развитию и совершенствованию, поскольку остается еще множество нерешенных вопросов при его применении к расчету пластин определенного класса форм, пластин со сложными граничными условиями. Кроме того, несмотря на свою очевидную простоту практической реализации МИКФ, имеется необходимость разработки программного комплекса для проведения конструкторских расчетов с его помощью.

Цель диссертационной работы состоит в развитии и совершенствовании полуаналитических методов в частности метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) применительно к расчету пластин треугольного очертания с однородными и комбинированными граничными условиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучить закономерности изменения коэффициента формы треугольников при различных геометрических преобразованиях, в частности при аффинных преобразованиях;

— исследовать физико-механическое подобие в задачах поперечного изгиба и свободных колебаний треугольных пластинок с использованием коэффициента формы;

— используя метод конечных элементов, получить новые решения для пластинок в виде равнобедренных треугольников с однородными и комбинированными граничными условиями и построить граничные аппроксимирующие функции в координатных осях «интегральная характеристика пластинок - геометрическая характеристика» (F - Г);

— разработать различные способы определения интегральных характеристик треугольных пластинок с использованием граничных аппроксимирующих кривых и известных решений;

— разработать алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач, связанных с расчётом треугольных пластинок.

Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического подобия плоских фигур при проведении комбинированных аффинных преобразований. При исследовании физической стороны проблемы применялись метод конечных элементов, методы физико-механического подобия, геометрические методы строительной механики (изопериметрический и МИКФ).

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

— доказательство ограниченности всего множества интегральных характеристик F для треугольных пластин, представленных в координатных осях F - а (где а — угол при основании треугольника);

— построенные аппроксимирующие функции F(a), ограничивающие область

распределения интегральных характеристик треугольных пластинок с различными граничными условиями, включая комбинированные, которые могут использоваться для получения «опорных» решений при исследовании задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок;

-обоснование выбора оптимальных геометрических преобразований и рациональных геометрических параметров интерполяции при практической реализации МИКФ при расчете треугольных пластинок;

- методика использования МИКФ для определения интегральных характеристик треугольных пластинок;

- алгоритм программного комплекса для определения интегральных характеристик треугольных пластинок с помощью МИКФ в рассматриваемых задачах технической теории пластинок.

Практическая ценность работы заключается:

- в графической интерпретации результатов исследования геометрической и физической сторон задач при расчете треугольных пластинок, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;

- в разработке практических приемов МИКФ при решении задач, связанных с треугольными пластинами;

- в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач, связанных с расчетом треугольных пластинок с помощью МИКФ.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики и теории упругости, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими исследователями, приводимыми в научной и учебной литературе, решением большого количества тестовых задач, а также экспериментальными исследованиями.

На защиту выносятся:

- доказательство ограниченности всего множества интегральных характеристик F для треугольных пластин, представленных в координатных осях F - а;

- аппроксимирующие функции F(a), ограничивающие область распределения интегральных характеристик треугольных пластинок с различными гранич-

ными условиями;

- способы определения интегральных характеристик треугольных пластинок с использованием двух известных решений;

- результаты графической интерпретации при исследовании геометрической и физической сторон рассматриваемых задач при расчете треугольных пластинок;

- экспериментально-теоретический способ построения граничных кривых при наличии ограниченного числа известных решений;

- алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач по определению интегральных характеристик треугольных пластинок с помощью МИКФ.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Всероссийской научно-практической конференции «Архитектура и строительство XXI века» (Орел, 2002); 1У-м Всероссийском семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2002); П-х Международных академических чтениях РААСН «Новые энергосберегающие архитектурно-конструктивные решения жилых и гражданских зданий» (Орел, 2003), Международной научно-практической конференции «Прогрессивные архитектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий» (Орел, 2006), 1У-х международных академических чтениях РААСН «Проблемы обеспечения безопасности строительного фонда России» (Курск, 2006).

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 183 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы, включающего 133 наименования и двух приложений. В работе приведены 31 рисунок и 14 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся ее общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обсуждается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.

В первой главе содержится ретроспективный обзор численных и аналитических методов строительной механики, используемых для расчёта пластинок, указываются перспективы развития и применения геометрических методов расчёта, в частности МИКФ, сформулированы основные цели и задачи работы.

Теоретические основы технической теории упругих пластинок были разработаны еще в XIX в, а ее широкое использование в инженерном деле началось в начале XX в. В настоящее время считается общепризнанным, что теория расчета пластинок в постановке технической теории изгиба достигла высокой степени завершенности. Основополагающие фундаментальные труды по теории упругих пластинок и методам их расчета принадлежат российским и советским ученым: И.Г. Бубнову, Б.Г. Галеркину, С.П. Тимошенко, П.Ф. Папковичу, Н.И. Мусхели-швили, Ю.Н. Работнову. В СССР развитием теории и методов решения задач теории пластинок занимались такие известные ученые как В.З. Власов, JI.C. Лейбен-зон, A.A. Ильюшин, А.Р. Ржаницын, Б.Н. Жемочкин, М.И. Горбунов-Посадов, П.М. Варвак, В.В. Болотин, С.Г. Лехницкий и многие другие.

Среди зарубежных ученых, внесших большой вклад в развитие теории расчета пластинок, следует отметить В. Ритца, В. Прагера, Ф.Г. Ходжа, Р. Куранта, Л. Харди, Д. Гильберта, В. Ольшака, К.В. Йогансена и др.

Методы расчета пластинок можно укрупнено подразделить на прямые и приближенные, а последние на аналитические и численные.

Обобщая обзор методов расчёта пластинок, приведённых в первой главе, можно сделать следующие выводы.

1 В большинстве работ по расчёту пластинок наблюдается преобладание численных методов над точными и вариационными. В то же время широко используются комбинированные решения, сочетающие совместное использование метода конечных элементов (МКЭ) и его разновидностей с применением вариационных формулировок методов Релея-Ритца, Бубнова-Галёркина, Канторовича-Власова и т.д. Данные методы остаются достаточно сложными для восприятия и, в конечном счёте, требуют своей реализации программными средствами на ЭВМ. Общей проблемой МКЭ и МКР является высокая размерность результирующей системы алгебраических уравнений (несколько десятков тысяч в реальных задачах). Поэтому реализация МКР и МКЭ в составе САПР требует разработки спе-

циальных способов хранения матриц коэффициентов системы уравнений и методов решения последней;

2 Большая часть работ относится к проблеме поиска спектра основных частот колебаний пластинок. Задачи поперечного изгиба и устойчивости пластинок рассматриваются значительно реже. Это свидетельствует, с одной стороны, о повышенном интересе к работе конструкций под воздействием динамических нагрузок, а с другой стороны - о большей сложности решения задач устойчивости и поперечного изгиба;

3 Анализ работ, посвященных развитию геометрических методов расчёта пластинок, в частности изопериметрического метода и МИКФ, показал, что эти методы дают возможность на основе геометрических аналогий получать решения сложных физических задач путём их сведения к элементарным геометрическим задачам. Поэтому дальнейшее развитие геометрических методов является весьма актуальной проблемой.

Во второй главе приводятся общие сведения о геометрической характеристике формы плоской области — коэффициенте формы, которая определяется с помощью контурного интеграла

(Ц_______

к.- £

(1)

где ёэ - линейный элемент контура; Ь — длина перпендикуляра, опущенного из полюса, взятого внутри области, на касательную к переменной точке контура (рис. 1). В работе аналитически и графически исследуются экстремальные свой-

Рисунок 1

ства коэффициента формы для треугольников, доказывается ряд важных изопери-

метрических теорем:

- из всех треугольников наименьшее значение коэффициента формы имеет равносторонний треугольник;

- из всех треугольников с заданными основанием и углом при основании наименьшее значение коэффициента формы имеет равнобедренный треугольник;

- из всех прямоугольных треугольников наименьшее значение коэффициента формы имеет равносторонний прямоугольный треугольник;

- из всех остроугольных треугольников с заданными основанием и углом при основании наименьшее значение коэффициента формы имеет равносторонний треугольник, а наибольшее — прямоугольный треугольник.

В этой же главе излагается геометрическая и физическая сущность МИКФ и обсуждаются проблемы его дальнейшего развития. Анализируя известные точные решения задачи о поперечном изгибе жестко защемленной эллиптической пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, и задачи о собственной частоте колебаний прямоугольных пластинок с шарнирно опертым контуром, удалось в явном виде выделить коэффициент формы; то есть в этих задачах значения интегральных физических характеристик пластинок (максимальный прогиб и основная частота колебаний) строго функционально связаны с коэффициентом формы. На этой основе сделано предположение о том, что и для других рассматриваемых задач, связанных с областями, отличными от прямоугольника и эллипса (в частности, для треугольников), должна выполняться функциональная связь меду интегральными физическими характеристиками и коэффициентом формы.

Для подтверждения этого предположения на основе известных из научной и справочной литературы решений были построены графики зависимостей Р - Кг (где Б -обобщенная интегральная физическая характеристика пластинок), вид которых в обобщенном виде представлен на рисунке 2. Из этого рисунка видно, что значения Б для множества пластинок с выпуклым контуром действительно функционально связаны с коэффициентом формы. Кроме того, в работе приведено строгое аналитическое доказательства о наличии функциональной связи Б - Кг в рассматриваемых задачах теории пластинок.

Рисунок 2

На основе изопериметрических свойств и закономерностей коэффициента формы, в частности, закономерности о двусторонней ограниченности всего множества значений Кг, установленной ранее А.В. Коробко, получено доказательство аналогичной закономерности и для интегральных физических характеристик пластинок: область распределения всего множества интегральных характеристик пластинок, представленная в координатных осях Р — К/, ограничена характерными кривыми: одну из границ (верхнюю или нижнюю) образуют эллиптические пластинки, а другую (нижнюю или верхнюю) — пластинки в виде многоугольников, описанные вокруг окружности; для пластинок в виде четырехугольников и треугольников верхнюю (или нижнюю) границу образуют прямоугольные пластинки. Точка 2 на рисунке соответствует значению Б для круглой пластинки, точки 3 и 4 — для пластинок в виде равностороннего треугольника и квадрата, кривая I описывает решения для пластинок в виде правильных фигур, кривая II - в виде равнобедренных треугольников, кривая III - в виде прямоугольников, IV - в виде эллипсов.

На рисунке 2 кривая 0-3 (для пластинок в виде равнобедренных треугольников при различных граничных условиях) до сих пор не построена, что значительно сдерживает широкое применение МИКФ в современной расчетной практике. Построение этой кривой является одной из важных задач настоящей работы.

Для описания изменения интегральных физических характеристик ограниченного подмножества областей предложена и подробно исследована степенная функция

Б = К(3(К,/А)П, (2)

(где Кип — неизвестные параметры; <3 - обобщенная физико-геометрическая константа; А - площадь пластинки), вид которой подсказан графиками, построенными на рисунке 2, и приближенными формулами, полученными при проведении теоретического доказательства указанной выше закономерности.

Для определения параметров Кип необходимо знание двух решений из рассматриваемого подмножества форм пластинок, объединенных одним непрерывным или дискретным геометрическим преобразованием, которые называются «опорными».

При практическом использовании МИКФ необходимо для заданной пла-

стинки выбрать геометрическое преобразование, при котором образуется определенное множество форм, в котором известны два решения. Эти известные решения, как правило, могут быть получены из граничных аппроксимирующих кривых (рис. 2), которые предварительно должны быть построены для каждой проблемы теории пластинок отдельно.

Для построения кривой II (рис. 2) для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок в виде равнобедренных треугольников с однородными и комбинированными граничными условиями нами был использован метод конечных элементов.

В третьей главе исследуются вопросы выбора наиболее рациональных аффинных преобразований при расчете треугольных пластинок с помощью МИКФ, излагается методика применения этого метода, строятся аппроксимирующие граничные функции для треугольных пластин с шарнирно опертым и жёстко защемлённым контуром, а также для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

' а) б)

Для построения граничных аппроксимирующих функций использовался программный комплекс «Лира». При этом для каждого из возможных вариантов граничных условий (рис. 3) получали 15...20 решений для пластинок в виде равнобедренных треугольников с изменяющимся углом при основании от 160° до 15°. Эти кривые строились в двух вариантах: с высокой степенью точности для использования в дальнейшем при разработке программного комплекса МИКФ и с меньшей точностью (более простые формулы) для использования для ручного счета.

Поперечный изгиб пластинок

Шарнирное опирание по контуру

- для пластинок в виде равнобедренных треугольников

= (а + Ьа + са2 + с1а3 + еа4 + Га5 + g<x6 + Ьа7 + 'кх* + jа9 + кос10)• яА2 Э, (3) где а = 0,058945428, Ь = -0,016451095, с = 0,001964052, с1 = -0,13186873-10"3, е = 0,55555936-Ю'5, Т = -0,15401394-Ю"6, ё = 2,8557831-Ю"9, Ь = -3,5096012-10-п, 1 = 2,7444397-Ю-13,} = -1,2365857-Ю"15, к = 2,4440553-Ю"18;

- для пластинок в виде прямоугольных треугольников

АУ0 = (а + Ьа2 + са4 + йа6 + еа8 + Га10 )• яА2 Б, (4)

где а = 6,5067317-Ю"3, Ь = -6,2595738-Ю"6, с = 3,9128487-Ю"9, ё = -1,1697993-Ю"'2, е = 1,62981 ■• 10-1:5, Г= -8,6923127- Ю"21.

Жесткое защемление по контуру

- для пластинок в виде равнобедренных треугольников

\У0 = Г а + Ьа + — + ёа2 + ~ + íа3 + -Щ + Ьа4 + \ + ja5 + ~ 1 • ^ , (5) а а а а а. ) I)

где а = 54.681287-Ю"3, Ъ = -0,29670153- Ю"3, с = -2137,2447-10"3,

ё = -0,01631699-10"3, е = 37308,395-Ю"3, 0,00041678184-Ю"3,

g = -228057,64-Ю'3, Ь = - 3,9736856-Ю"9,1 = —1185171,8 10"3, j = 1,3621897-10'11,

к = 15158545-Ю"3;

- для пластинок в виде прямоугольных треугольников

\У„ = (а + Ьа2 + са4 + с1а6 + еа8 + Аос10)• яА2 О,, (6)

где а = 2,7067005-10"3, Ь = -0,0031230049-10"3, с = 1,8959291-Ю"9, ё = -5,507034-10"13, е = 7,5262193-10"17, Г = -3,9434472-10"21.

Комбинированное опирание по контуру по схеме в) (рис. 3)

- для пластинок в виде равнобедренных треугольников

= (а + Ьа + сос2 + <1а3 + еа4 +Га5 +§а6 +Ьа7 + 1а8 + ^а9 + каш)^А2 Б, (7) где а = -16,3578, Ь = 4,3689374, с = -0,50379895, (1 = 0,033339155, е = -0,0013951263, Г= 3,8665844-Ю-5, ё = -7,1990175-Ю"7, Ь = 8,9057805-Ю"9, I = -7,0191018-Ю-11,} = 3,1890455-Ю-13, к = -6,3558487-Ю"16;

- для пластинок в виде прямоугольных треугольников

= (а + Ьа2 +са4 +с!а6 + еа8 + Га'°)-цА2 Б, (8)

где а = -4,716386, Ь = 0,0088515514, с = -4,8915184-Ю"6, а = 1,3177554-Ю"9, е = -1,7636379-Ю"13, 9,2833405-Ю"18.

Комбинированное опирание по контуру по схеме г) (рис. 3)

- для пластинок в виде равнобедренных треугольников

= (а + Ьос + — + ёа2 + ~ + + А + Ьа4 + - • + jа5 |• , (9) V а а а а ] V

где а = -3206,5353, Ь = 82,348434, с = 79871,889, с1 = -1,3546787, е = -1225173,7,

Г = 0,013825296, ё = 10490799, Ь = -7,9698217-10"5,1 = -38191088, j = 1,9789969-10"7;

- для пластинок в виде прямоугольных треугольников

\¥0 = (а + Ьа2 + са4 +с1а6 + еа8 + Га,0)^А2, Б, (10)

где а = -4,716386, Ь = 0,0088515514, с = -4,8915184-10"6, ё = 1,3177554-10"9, е = -1,7636379-Ю"13, Г= 9,2833405-Ю"18.

Аналогичные аппроксимирующие функции построены и для основной частоты колебаний треугольных пластинок.

Графическое представление построенных аппроксимирующих функций на примере пластинок с полностью шарнирно опертым (схемы а) и б) и жестко защемленным контуром (схемы в) и г) приведено на рисунке 4. Сопоставление этих функций с соответствующими кривыми для коэффициента формы треугольников подтверждает установленную закономерность о том, что коэффициент формы действительно является геометрическим аналогом интегральных физических характеристик пластинок. Для пластинок с однородными граничными условиями эти графики имеют высокую степень подобия и поэтому только с помощью линейного масштабирования их по коэффициенту формы можно определять физические ха-

рактеристики треугольных пластинок с хорошей точностью.

а) б)

в) г)

Рисунок 4.

а, б - шарнирное опирание по контуру; в, г - жесткое защемление по контуру

При анализе полученных с помощью МКЭ решений треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями были выявлены неизвестные ранее физические эффекты, заключающиеся в смещении вершины графиков Б - а:

- для схемы опирания в) (см. рис. 3) смещение происходит вправо, и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании —65° (угол при вершине ~50°);

- для схемы опирания г) (см. рис. 3), смещение происходит влево, и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании ~55° (угол при вершине ~70°);

- при переходе последовательно от шарнирного опирания по контуру к же-

сткому защемлению значения максимального прогиба уменьшаются.

Аналогичные физические эффекты проявляются и для основной частоты колебаний пластинок с комбинированными граничными условиями.

а) б)

Рисунок 5

Причиной возникновения выявленного эффекта является влияние жестко защемленного края. На рисунке 5 жирными линиями внутри треугольника показаны положения нейтральных линий - линий, вдоль которых изгибающие моменты Мп равны нулю:

- при однородных граничных условиях влияние границ одинаковое, поэтому экстремумы \Уо и со достигаются для пластинок в виде равностороннего треугольника;

- при появлении жестко защемленных сторон в треугольной пластиннике нейтральными линиями (рис. 5) ограничивается уже не равносторонний треугольник, а более сложная фигура, у которой стороны, параллельные защемленному краю треугольной пластинки в средней части, отклоняются, поворачивая в углы пластинки;

- неочевидное, на первый взгляд, увеличение максимального прогиба и уменьшение основной частоты колебаний для пластинки, опертой по схеме б) (см. рис. 5), по сравнению со схемой а) можно объяснить тем, что для пластинок с очень острыми углами при вершине при сближении нейтральной линии и угла пластинки у схемы а) влияние жесткости угла оказывается большим, чем влияние жестко защемленного края у схемы б).

Кроме указанных эффектов была выявлена еще одна важная закономерность, позволяющая максимально упростить решение задач с помощью МИКФ,

связанных с треугольными областями с однородными граничными условиями: для пластинок в виде равнобедренных остроугольных и тупоугольных треугольников при одинаковом значении коэффициента формы значения физических характеристик равны. Это значит, что для использования методики МИКФ достаточно иметь всего лишь одно опорное решение. О возможном существовании такой закономерности высказывалось предположение в работах А.В. Коробко, однако строгого подтверждения этому получено не было. Эта закономерность использована нами при разработке программного комплекса «МИКФ-треугольники».

Следует особо отметить обнаруженный нами факт неустойчивости решений рассматриваемых задач при использовании МКЭ для треугольных пластинок с весьма острыми углами. Казалось бы, что при монотонном изменении угла при вершине пластинок в виде равнобедренного треугольника должны монотонно изменяться и физические характеристики. Однако этого не происходит для пластинок с весьма острыми углами. Так, при расчете тупоугольных пластинок с углом при основании 85° произошел скачок результата, отличающийся от ожидаемого решения при монотонном поведении графика на 7...8%. При этом, изменив угол на полградуса, результаты расчета снова ложатся на плавную монотонную кривую. Такой же эффект был обнаружен нами и при исследовании пластинок в виде остроугольных треугольников с углом при вершине 20°.

Высказываний и опасений на эту тему в научной литературе достаточно много, что делает МКЭ в этих случаях неэффективным. Нам удалось подтвердить эти опасения. Но самое главное заключается в том, что с помощью МИКФ эти отклонения можно нивелировать и строить плавные аппроксимирующие граничные функции.

Изучая характер изменения максимального прогиба треугольных пластинок с различными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, и основной частоты их колебаний в ненагруженном состоянии была установлена весьма интересная неизвестная ранее закономерность: величина максимального прогиба треугольных пластинок с различными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, линейно зависит от квадрата периода их колебаний в ненагруженном состоянии (рис. 6). Эта

закономерность может иметь весьма эффективные приложения в теории моделирования строительных конструкций.

а) б)

1/С»; '

0.00175 0.00125 0.00075 0.00025

С _ _ „

0 0.0005 0.001 0.0015

Рисунок 6

В четвертой главе проводится тестирование полученных зависимостей, даются рекомендации для выбора аффинных преобразований при различных условиях опирания треугольных пластинок, изложены результаты экспериментальных исследований.

Для иллюстрации возможностей МИКФ и точности решений, получаемых с его помощью, было решено большое количество тестовых примеров и новых задач для различного вида треугольных пластинок. При решении этих примеров широко использовались аффинные преобразования сдвига и растяжения как отдельно, так и совместно.

Любой треугольник может быть получен с помощью аффинных преобразований равнобедренных треугольников бесконечно большим числом способов, поэтому можно получить бесконечно большое число опорных решений, дающих оценку искомому интегральному параметру для пластинки заданной формы с различной точностью. Поэтому в работе были рассмотрены вопросы рационального выбора таких преобразований и даны соответствующие рекомендации. Одна из них заключается в следующем: при аффинных преобразованиях не следует допускать появление внутри рассматриваемого подмножества треугольников такого, у

которого бы коэффициент формы обладал экстремальными свойствами.

Как показали решения тестовых примеров, точность результатов, получаемых с помощью МИКФ, является достаточно высокой, максимальная погрешность не превышает 3%.

Для более убедительного подтверждения теоретических результатов были проведены экспериментальные исследования, на примере построения граничных аппроксимирующих функций «основная частота колебаний — коэффициент формы» для шарнирно опертых пластинок в виде равнобедренного треугольника.

Были изготовлены 6 моделей-пластинок одинаковой площади А = 0,1 м2 из листового дюралюминия толщиной Н = 2 мм. Для проведения динамических испытаний использовался набор оборудования, приборов и средств измерений, представленных на рисунке 7.

1 — испытуемая модель, 2, 3 — шарнирно неподвижные опоры, 4 - массивные основания для закрепления опорных частей установки, 5- модулирующий элемент, 6 - первичный преобразователь виброперемещений в электрический сигнал, 7 — устройство тока накачки излучателя, 8 - источник обратного напряжения фотоприемника, 9 - согласующий усилитель, 10 — устройство синхронизации импульсного тока накачки и обратного напряжения фотоприемника, 11 - электродинамический возбудитель колебаний, 12 - генератор синусоидальных сигналов, 13 — усилитель мощности, 14 - частотомер, 15 - цифровой вольтамперметр, 16 — электронный осциллограф

Рисунок 7- Функциональная схема испытания моделей-пластинок

Испытания проводились путем многократного замера резонансной частоты колебаний при различных скоростях вывода моделей на резонанс, при изменении положения вибровозбудителя в окрестности средней части моделей, а также с использованием обычного механического удара для возбуждения колебаний на собственной частоте. По полученным экспериментальным данным были построены граничные аппроксимирующие функции в зависимости от правого угла при основании. Эти функция и качественно, и количественно оказалась соответствующими теоретически построенным.

В пятой главе разрабатывается алгоритм решения задач с помощью МИКФ, приводится описание программного комплекса «МИКФ-треугольники», представлены принципы работы программ, их возможности, излагается методика работы с программным комплексом, приводятся блок-схемы и на конкретном примере рассматривается функционирование алгоритма программ.

7с Расчет треугольны» пластин 1Д

ШАРНИРНОЕ ОПИРАНИЕ ПО КОНТУРУ:

Kf- 11.41 2432

А- 2701,861554 ; см2 О,- 46.535841°

; Максимальный прогиб:

106.430172 . ч см '

I' .4 '<:.,.. . ч" ? Основная частота колебаний:

219.728124 ; Гц

ЖЕСТКОЕ ЗАЩЕМЛЕНИЕ ПО КОНТУРУ.

. Максимальный прогиб: I г 29.191481 : см

Основная частота колебаний: 420.444316 : Гц

КОМБИНИРОВАННОЕ: (2 ШАРНИРНЫХ + ЖЕСТКОЕ)

Максимальный прогиб:

60.314451 см

Основная частота колебаний: 291.512443 ; Гц

исходная треугольная г заданная треугольная пластина

[ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ— -----------------

! Углы при основании: левый{41 правый|55

1 Основание пластины |Ю0

Толщина пластины ¡1

Равномерно распред-ная нагрузка [То

КОМБИНИРОВАННОЕ; (2 ЖЕСТКИХ* ШАРНИРНОЕ) :

Максимальный прогиб: ; ; 48.146429. ... см \ Основная частота колебаний: 327.754919 ' Л . ' Гц .: ,•

Объемная масса материала пластины |0.008 Модуль упругости материала Коэффициент Пуассона

¡20000

0.3

Расчет j Экспорт в Excel Выход

Рисунок 8

Программный комплекс «МИКФ-треугольники» представляет собой отдельную программу, выполненную в виде исполняемого файла. Программа предназначена для расчета треугольных пластинок методом интерполяции по коэффициенту формы.

Визуально программа оформлена в виде рабочего окна со строкой главного меню, табло и набором необходимых компонентов (рис. 8). Программный комплекс написан на языке Object Pascal в среде объектно-ориентированного программирования Delphi6, что обеспечивает его работу в операционных системах Windows 9x\2000\NT\XP.

В приложении А приводится листинг программного комплекса «МИКФ-треугольники».

В приложении Б приводятся акты о внедрении результатов диссертационной работы.

Основные выводы

Обобщая результаты проведенных в диссертации исследований, можно сформулировать следующие выводы.

Метод интерполяции по коэффициенту формы существенно развит для решения задач технической теории пластинок, связанных с треугольной областью, при этом:

1 исследованы и обобщены закономерности изменения коэффициента формы треугольников при различных геометрических преобразованиях, в частности при аффинных преобразованиях, и доказаны изопериметрические теоремы;

2 теоретически, с помощью численного эксперимента и экспериментальных исследований на моделях доказаны функциональные связи F — Kf для пластинок общего вида и F — а для треугольных пластинок (где а — правый угол при основании треугольника).

3 с помощью метода конечных элементов получены новые решения для разнообразных пластинок в виде равнобедренного треугольника с однородными и комбинированными граничными условиями и построены граничные аппроксимирующие функции F — а с использованием полученных и известных решений;

4 разработана методика и различные способы решения задач для определения интегральных характеристик треугольных пластинок с использованием гра-

ничных аппроксимирующих кривых;

5 разработаны алгоритм и программный комплекс для решения исследовательских и конструкторских задач, связанных с расчётом треугольных пластинок.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих научных работах:

1. Гефель В.В. Экспериментально-теоретический способ определения интегральных характеристик в задачах теории упругости, связанных с треугольной областью. / Гефель В.В., Калашникова Н.Г. // Сб. научн. трудов Всероссийской научно-практической конференции «Архитектура и строительство XXI века». / Орел, 2002. - С. 83-89.(0,4/0,2)

2 Гефель В.В. Определение максимальных значений внутренних усилий в парал-лелограммных пластинках (доклад) / Трусов И.Н., Гефель В.В. // Докл. 4-го Все-росс. семинара «Проблемы оптимального проектирования сооружений». / Новосибирск, НГАСА, 2002. - С. 188-195(0,4/0,з)

3 Гефель В.В. Решения двумерных задач теории упругости, связанных с треугольной областью, с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы / A.B. Коробко, Калашникова Н.Г., Гефель В.В.// Материалы П-х Международных академических чтений РААСН «Новые энергосберегающие архитектурно— конструктивные решения жилых и гражданских зданий» / Орел, 2003. - С. 202-208^,4/0,2)

4. Гефель В.В. Определение основной частоты колебаний и максимального прогиба пластинок с помощью МИКФ / Коробко A.B., Гефель В.В.// Вестник ЦРО РААСН. - Вып. -5. - 2006 / Воронеж-Орел. - С. 81-88.^,4/0,2)

5 Патент РФ № 223475. Способ определения интегральных характеристик для конструкций в виде упругих пластинок и призматических стержней, форма и поперечное сечение которых имеют вид произвольного треугольника и параллелограмма. / Коробко A.B., Калашникова Н.Г., Гефель В.В. Опубл. в БИ №32, 2004.

6 Гефель В.В. Определение максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы. / Гефель В.В., Фетисова М.А., Лаврик А.Д., Сенин М.А. // Сб. научн. трудов Международной научно-практической конференции «Прогрессивные архи-

тектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий. / Орел, 2006. - С.145-157.(.0,4/0,2^

7 Гефель В.В. Взаимосвязь задач поперечного изгиба и свободных колебаний треугольных пластинок / Коробко A.B., Гефель В.В. // Изв.ОрелГТУ Серия «Строительство №1-2 (9-10)/ Орел, 2006. - С.24-27.(Ь,3/0,2)

8 Гефель В.В. Метод интерполяции по коэффициенту формы. Состояние и перспективы развития / Гефель В.В, Бояркин В.В., Коробко A.B. // Материалы 4-х Международных академических чтений «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» / Курск, 2006. - С.71-85.^,4/0,2)

Подписано к печати 09.11.2006 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Объем 1,0 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1509

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе Орловского государственного технического университета 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

ВВЕДЕНИЕ.

I КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

УПРУГИХ ПЛАСТИНОК.

1.1 Точные и приближенные методы решения задач технической теории пластинок.

1.2 Геометрические методы.

Актуальность темы. Проектирование современных зданий и сооружений, связано с всесторонними расчётами прочности, жёсткости и устойчивости конструкций, находящихся под действием статических и динамических нагрузок. Расчётные схемы элементов таких конструкций во многих случаях представляются в виде пластинок сложной формы с различными граничными условиями. Для их расчётов применяются в основном численные методы и создаются целевые программные комплексы.

Однако в строительной механике по-прежнему придается большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность, жесткость и устойчивость конструкций, что способствует более правильному пониманию её силовой схемы. Такие методы не требуют разработки сложных расчётных программ, избавляют конструктора прибегать к применению ПЭВМ на начальном этапе проектирования, помогают ему правильно истолковывать и контролировать результаты поверочных расчётов. Кроме того, упрощённые аналитические методы применяются в системах автоматизированного проектирования на стадиях оптимизации силовых конструкций, когда прочностной расчёт многократно повторяется с целью подбора ее оптимальных параметров.

К типичным элементам конструкций зданий и сооружений, машин и механизмов, расчёт которых сводится к решению двумерных задач теории упругости, относятся пластинки (плоские несущие элементы зданий и сооружений, работающие в условиях продольного и поперечного изгибов) и мембраны (большепролётные висячие покрытия зданий и сооружений) [1, 7,107,108].

Пластинки треугольного очертания применяются в строительных и машиностроительных конструкциях в качестве несущих элементов мостовых конструкций, в виде элементов обшивки крыла и фюзеляжа самолёта, корпуса корабля.

Точных методов расчёта таких пластинок не существует. Они рассчитываются приближёнными методами, как правило, численными, при использовании которых часто теряется физическая сущность задачи. В современной справочной литературе [9, 10, 14, 26, 89, 90, 96, 106, 107, 110 . 113] содержится весьма ограниченный набор известных решений задач для треугольных пластин. Все они получены разными приближенными методами и имеют разную степень точности и достоверности.

В последние годы д.т.н., профессором А.В. Коробко был предложен новый эффективный инженерный метод решения двумерных задач строительной механики - метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [35], основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных характеристик в рассматриваемых задачах технической теории пластинок и интегральной характеристики их формы (коэффициента формы Kf). Этот метод позволяет, используя разнообразные геометрические преобразования, с помощью известных «опорных» решений получать с достаточно высокой точностью значения интегральных характеристик пластинок и мембран при анализе задач свободных колебаний, поперечного изгиба и устойчивости пластинок.

Однако МИКФ требует дальнейшего развития и совершенствования, поскольку остается еще множество нерешенных проблем при его применении к расчету пластин определенного класса форм, пластин со сложными граничными условиями. Кроме того, несмотря на свою очевидную простоту практической реализации МИКФ, имеется необходимость разработки исследовательского программного комплекса для проведения конструкторских расчетов.

Цель диссертационной работы состоит в развитии и совершенствовании метода интерполяции по коэффициенту формы применительно к расчету пластин треугольного очертания.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1 изучить закономерности изменения коэффициента формы треугольников при различных геометрических преобразованиях, в частности при аффинных преобразованиях;

2 исследовать физико-механическое подобие в задачах технической теории пластинок с использованием геометрического аналога интегральных характеристик пластинок - коэффициента формы;

3 используя метод конечных элементов, получить новые решения для пластинок в виде равнобедренных треугольников, с их помощью и с использованием известных решений задач расчёта треугольных пластинок построить граничные аппроксимирующие функции;

4 разработать различные способы определения интегральных характеристик треугольных пластинок с использованием граничных аппроксимирующих кривых;

5 разработать алгоритм и программный комплекс для решения исследовательских и конструкторских задач, связанных с расчётом треугольных пластинок.

Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического подобия плоских фигур при проведении комбинированных аффинных преобразований. При исследовании физической стороны проблемы применялись метод конечных элементов, методы физико-механического подобия, геометрические методы строительной механики (изопериметрический и МИКФ).

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- доказательство ограниченности всего множества интегральных характеристик F для треугольных пластин, представленных в координатных осях F - а, двумя границами;

- построенные аппроксимирующие функции F(a), ограничивающие с двух сторон область распределения интегральных характеристик треугольных пластинок с различными граничными условиями, включая комбинированные, которые могут использоваться для получения опорных решений при исследовании задач свободных колебаний, поперечного и продольного изгиба пластинок;

- обоснование выбора оптимальных геометрических преобразований и рациональных геометрических параметров интерполяции при практической реализации МИКФ для расчета треугольных пластинок;

- методика использования МИКФ для определения интегральных характеристик треугольных пластинок;

- алгоритмы программного комплекса для определения интегральных характеристик треугольных пластинок с помощью МИКФ в рассматриваемых задачах технической теории пластинок.

Практическая ценность работы заключается:

- в графической интерпретации результатов исследования геометрической и физической сторон задач при расчете треугольных пластинок, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;

- в разработке практических приемов МИКФ при решении задач, связанных с треугольными пластинами;

- в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач, связанных с расчетом с помощью МИКФ треугольных пластинок.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики и теории упругости, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученных другими исследователями, приводимыми в научной и учебной литературе, решением большого количества тестовых задач, а также экспериментальными исследованиями.

На защиту выносятся:

- доказательство ограниченности всего множества интегральных характеристик F для треугольных пластин, представленных в координатных осях F - а, двумя границами;

- аппроксимирующие функции F(a), ограничивающие с двух сторон область распределения интегральных характеристик треугольных пластинок с различными граничными условиями;

- способы определения интегральных характеристик треугольных пластинок с использованием двух известных решений;

- результаты графической интерпретации при исследовании геометрической и физической сторон задач при расчете треугольных пластинок, а такие физические эффекты изменения интегральных характеристик треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями;

- экспериментально-теоретический метод построения граничных кривых при наличии ограниченного числа известных решений;

- алгоритмы и программный комплекс для решения задач технической теории пластинок по определению интегральных характеристик треугольных пластинок с помощью МИКФ.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-практической конференции «Архитектура и строительство XXI века» (Орел, 2002); IV-м Всероссийском семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2002); П-х Международных академических чтениях РААСН «Новые энергосберегающие архитектурно-конструктивные решения жилых и гражданских зданий» (Орел, 2003), международной научно-практической конференции «Прогрессивные архитектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий» (Орел, 2006), IV-x международных академических чтениях «Проблемы обеспечения безопасности строительного фонда России» (Курск, 2006).

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 183 страницах, включающих 120 страниц основного текста, и состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы, включающего 133 наименования и двух приложений. В работе приведены 14 таблиц и 31 рисунок.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

Обобщая результаты проведенных в диссертации исследований, можно сформулировать следующие выводы.

Метод интерполяции по коэффициенту формы получил существенное развитие для решения задач технической теории пластинок, связанных с треугольной областью, при этом:

- исследованы и обобщены закономерности изменения коэффициента формы треугольников при различных геометрических преобразованиях, в частности при аффинных преобразованиях, и доказаны изопериметрические теоремы;

- теоретически, а также с помощью численного эксперимента и экспериментальных исследований на моделях доказаны функциональные связи F - Kf для пластинок общего вида и F - а для треугольных пластинок (где а - правый угол при основании треугольника).

- с помощью метода конечных элементов получены новые решения для разнообразных пластинок в виде равнобедренного треугольника с однородными и комбинированными граничными условиями и построены граничные аппроксимирующие функции F - а с использованием полученных и известных решений;

- выявлены новые физические эффекты и закономерности:

- экстремальные значения максимального прогиба равномерно нагруженных пластинок и основная частота их колебаний в ненагруженном состоянии не соответствуют пластинке в виде равностороннего треугольника (экстремумы для пластинок с жестко защемленными основаниями оказались смещенными в сторону меньших углов при вершине, а для пластинок с двумя жестко защемленными боковыми сторонами - в сторону больших углов);

- величина максимального прогиба треугольных пластинок с различными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, линейно зависит от квадрата периода их колебаний в ненагруженном состоянии;

- для пластинок с однородными граничными условиями независимо от формы треугольника одному и тому же коэффициенту формы соответствует единственное решение (это существенно упрощает применение МИКФ);

- разработана методика и различные способы решения задач для определения интегральных характеристик треугольных пластинок с использованием граничных аппроксимирующих кривых;

- показано, что для использования МИКФ при расчете треугольных пластинок с однородными граничными условиями можно использовать преобразование, при котором Kf = const;

- разработаны алгоритм и программный комплекс для решения исследовательских и конструкторских задач, связанных с расчётом треугольных пластинок.

1. Авдонин А. С. Расчёт на прочность летательных аппаратов Текст. / А.С. Авдонин, В.И. Фигуровский. М: Машиностроение. 1985.-439 с.

2. Айнола Л.Я. О возможностях формулировки вариационной задачи в нелинейной теории упругих оболочек. Вариационные задачи в нелинейной теории упругих оболочек Текст. / Л.Я. Айнола ПММ, 1957, т.21, вып.З. С. 20 -25.

3. Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности Текст. / А.В. Александров, В.Д. Потапов. М.: Высшая школа. 1990.-400 с.

4. Алумяэ И.А. Теория упругих оболочек и пластинок Текст. / И.А. Алумяэ -М.: Механика в СССР за 50 лет, Наука, 1972. т. 3. С. 234,236,261.

5. Болотин В.В. Вопросы общей теории упругой устойчивости Текст. / В.В. Болотин-ПММ, 1965, вып.5.-С. 12-19.

6. Болотин В.В. Строительная механика: Современное состояние и перспективы развития Текст. / В.В. Болотин, И.И. Гольденблат, А.Ф. Смирнов М.: Стройиздат, 1972.- 191 с.

7. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин Текст. / С.В. Бояр-шинов М.: Машиностроение, 1973. - 456 с.

8. Бурого Ф.М. Геометрические неравенства Текст. /Ф.М. Бурого, В.А. Зал-галлер JL: Наука, 1980. - 288 с.

9. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин Текст. / Д.В. Вайнберг Киев: Будцвельник, 1973. - 448 с.

10. Вибрации в технике: Справочник Текст. М.: Машиностроение, 1978. - Т.1. -352 с.

11. Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки Текст. / А. С. Вольмир М.: Гостехиздат, 1956.-419 с.

12. Гассан Ю.С. Граничные уравнения в задачах динамики тонких упругих пластин со смешанными краевыми условиями Текст. / Ю.С. Гассан Мат. физ.,анал., геом. 2002. 9, № 3, С. 436-445.

13. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек: Справочное пособие Текст. / B.C. Гонткевич Киев: Наукова думка, 1964. - 282 с.

14. Колесник И.А. К вопросу о геометрической жесткости кручения сектори-альных призматических брусьев Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко // Математическое и электронное моделирование в машиностроении. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. - 1989. - С. 77 - 84.

15. Колесник И.А. Кручение упругих призматических брусьев с сечением в виде параллелограмма Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко // Проблемы машиностроения. 1991. - N 36. - С. 34 - 39.

16. Колесник И.А. Определение физико-механических характеристик параллелограммных пластинок, мембран, сечений Текст. / И.А. Колесник, А.В.

17. Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: - 1991.- № 60. С. 89-96.

18. Колесник И.А. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. -Киев: 1993. - № 61. - С. 58 - 72.

19. Колесник И.А. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев: Институт кибернетики АН Украины. - 1993. - С. 23 - 32.

20. Колманок А.С. Расчет пластинок: Справочное пособие Текст. / А.С. Колма-нок М.: Госстройиздат, 1959. - 207 с.

21. Коробко А.В. Исследование напряженно-деформированного состояния косоугольных пластинок, мембран и сечений геометрическими методами: Автореферат диссертации канд.техн.наук. Текст. / А.В. Коробко // Ростов-на-Дону, 1993.-20 с.

22. Коробко А.В. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко // Изв. вузов. Авиационная техника. 1995.-№3.-С. 81-84.

23. Коробко А.В. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твердого тела Текст. / А.В. Коробко Ставрополь: Изд-во Ставропольского университета, 1995. - 165 с.

24. Коробко А.В. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников Текст. / А.В. Коробко // Изв. вузов. Строительство. 1995. - № 4 - С. 114 - 119.

25. Коробко А.В. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению некоторых задач строительной механики Текст. / А.В. Коробко // Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996. - Вып. 2. - С. 114-122.

26. Коробко А.В. Расчет трапециевидных пластинок (мембран, сечений) методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко // Изв.вузов. Авиационная техника, 1997. -№ 2. С. 103 - 107.

27. Коробко А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости Текст. / А.В. Коробко М.: Изд-во АСВ, 1999. -304 с.

28. Коробко А.В. Построение полей внутренних усилий в задачах поперечного изгиба пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко Изв. вузов. Строительство. - 2000. -N 5 - С. 17-21.

29. Коробко А.В. Оценка погрешности решений задач строительной механики, полученных методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко, В.В. Бояркин // Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996. Вып. 2. - С. 65 - 69.

30. Коробко А.В. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим методом Текст. / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. вузов. Авиационная техника. 1992. - № 1. - С. 105 - 114.

31. Коробко А.В. Взаимосвязь интегральных характеристик в двумерных задачах механики деформируемого твердого тела Текст. / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин //-Орел: ОГСХА, 1998. 22 с. Деп. В ВИНИТИ 19.03.98, № 795-В98.

32. Коробко В.И. Изопериметрический метод оценки несущей способности пластинок Текст. / В.И. Коробко // Красноярск. Пространственные конструкции.-1975.-С. 18-21.

33. Коробко В.И. Изопериметрический метод оптимального проектирования пластинок, работающих за пределом упругости Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1977. - № 1. - С. 18 - 21.

34. Коробко В.И. Об одном способе решения плоской задачи теории упругости Текст. / В.И. Коробко Хабаровск: Исследования облегченных строительных конструкций. ХПИ. - 1977. - С. 15 - 20.

35. Коробко В.И. Изопериметрические неравенства в теории упругих пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1978. - № 5.-С. 35-41.

36. Коробко В.И Применение изопериметрического метода к решению задач технической теории пластинок Текст. / В.И. Коробко Хабаровск: ХабК-НИИ ДВНЦ АН СССР. - 1978. - 66 с.

37. Коробко В.И. Некоторые геометрические методы решения задач технической теории пластинок Текст. / В.И. Коробко Хабаровск: ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР. - 1978. - 66 с.

38. Коробко В.И. Применение изопериметрического метода к расчету устойчивости упругих пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1979. - № 2. - С. 58 - 62.

39. Коробко В.И. Оценка частот свободных колебаний пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1979. - № 10. - С. 21 -23.

40. Коробко В.И. Применение изопериметрического метода к решению некоторых задач строительной механики пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит. механ. и расчет сооружений. 1979. - № 4. - С. 21 - 23.

41. Коробко В.И. Геометрические методы расчета пластинок, находящихся в предельном состоянии Текст. / В.И. Коробко Хабаровск: Хабаровское книжное изд-во, 1979. - 104 с.

42. Коробко В.И. Об одном способе симметризации пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1980. - N 2. - С. 36 - 39.

43. Коробко В.И. Геометрические преобразования при решении задач строительной механики пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1983. - N 1. - С. 36 - 39.

44. Коробко В.И Графическое представление границ изменения максимальногопрогиба пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1983. - N 2. - С. 62 - 64.

45. Коробко В.И. Графическое представление границ изменения геометрической жесткости сечений в виде выпуклых фигур Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. - № 3. - С. 2 - 7.

46. Коробко В.И. Основные изопериметрические неравенства в технической теории упругих пластинок Текст. / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1986.-N6.-С. 47-51.

47. Коробко В.И. Графоаналитический способ определения основной частоты колебаний и критической нагрузки мембран произвольного вида Текст. / В.И. Коробко Таллинн. Тонкостенные пространственные конструкции покрытий зданий. - 1986. - С. 71 - 72.

48. Коробко В.И. О "сравнимости" физико-механических характеристик в задачах теории пластинок Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1987. - N 9. - С. 32 - 36.

49. Коробко В.И. Графическое решение задач предельного равновесия пластинок, нагруженных сосредоточенной силой Текст. / В.И. Коробко Ставрополь. Ставроп. политехи, ин-т. - 1987. - Деп. во ВНИСЕ, N 7607 25.01.87.

50. Коробко В.И. Способ определения перемещения плоских элементов конструкций под нагрузкой Текст. / В.И. Коробко, Н.Д. Идрисов //А.С. РФ № 1647345. Опубл. БИ, 1991, № 14

51. Коробко В.И. Изопериметрические неравенства в строительной механике пластинок Текст. / В.И. Коробко. М.: Стройиздат, 1992. - 208 с.

52. Коробко В.И. Состояние и перспективы развития изопериметрического метода в строительной механике Текст. / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство, 1993. -№ 11 12. - С. 125 - 135.

53. Коробко В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода. Т. 1. Текст. / В.И. Коробко - М.: Изд-во АСВ, 1997. - 396 с.

54. Коробко В.И. Лекции по курсу «Основы научных исследований» Текст. /

55. B.И. Коробко М.: Изд-во АСВ, 2000. - 218 с.

56. Коробко В.И. Изопериметрическая проблема в задачах расчета пластинок на упругом основании Текст. / В.И. Коробко, В.В. Ковалев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1991. - N 5. - С. 31 - 34.

57. Коробко В.И. Качественная оценка предельных нагрузок и прогибов пластинок, лежащих на упругом основании, с помощью изопериметрического метода Текст. / В.И. Коробко, В.В. Ковалев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1992.-N 2. - С. 38 - 40.

58. Коробко В.И. Использование линий уровня при исследовании предельного состояния пластинок Текст. / В.И. Коробко, Г.И. Коротеев Хабаровск: Исследования металлических конструкций с профилированными элементами сечений. - ХПИ. - 1975. - С. 70 - 77.

59. Коробко В.И. Исследование графоаналитическим способом некоторых задач изгиба жестко защемленных пластинок Текст. / В.И. Коробко, С.Г. Малых // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1986. - N 1. - С. 126- 130.

60. Коробко В И. Взаимосвязь задач продольного и поперечного изгибов полигональных пластинок Текст. / В.И. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. Сев.-Кавк. научного центра высшей школы. Технические науки. — 1991. — N 3. —1. C. 36-39.

61. Коробко В.И. К исследованию устойчивости равномерного сжатия пластанок Текст. / В.И. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. Сев.-Кавк. научного центра высшей школы. Технические науки. 1991. -N 4. - С. 47 - 51.

62. Коротеев Г.И. Верхняя оценка предельной нагрузки пластин переменной толщины Текст. / Г.И. Коротеев // Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1978.-N5.-С. 44-49.

63. Коротеев Г.И. Оптимальное проектирование пластин Текст. / Г.И. Коротеев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1979. - N 7. - С. 34 - 38.

64. Коротеев Г.И. Теорема о симметризации пластин переменной толщины / Г.И. Коротеев, И.А. Чаплинский // Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1977.-N8.-С. 47-48.

65. Крыжановский Д.А. Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур Текст. / Д.А. Крыжановский М.: Госфизматиз-дат, 1959.- 116 с.

66. Курант Р. Методы математической физики Текст. / Р. Курант, Д. Гильберт -М.:, Гостехиздат, 1951. Т.1 -525 с.

67. Лужин О.В. Проблемы устойчивости в строительной механике Текст. / О.В. Лужин // Строительная механика и расчет сооружений. 1964. - № 2. - С. 52 -58.

68. Мануйлов Г.А. Оценки критической нагрузки и основной частоты некоторых пластин полигонального очертания Текст. / Г.А. Мануйлов // Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций. JL: ЛИСИ. -1983.-С. 59-67.

69. Мануйлов Г.А. Геометрические оценки прогиба шарнирно опертых пластин от действия контурных моментов Текст. / Г.А. Мануйлов // Прочность и жесткость машиностроительных конструкций. М., 1984. - С. 87 - 94.

70. Мануйлов Г.А. Оценки решений для четырехугольных пластин на основе некоторых геометрических преобразований Текст. / Г.А. Мануйлов // Численные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений.-М., 1986.С. 63-70.

71. Мануйлов Г.А. Геометрические оценки критической силы равномерного сжатия трехслойных шарнирно опертых пластин полигонального очертания Текст. / Г.А. Мануйлов // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение. -1987.-Выл. 28.-С. 30-36.

72. Мануйлов Г.А. Геометрические оценки основной частоты шарнирно опертых полигональных пластин и пологих сферических оболочек Текст. / Г.А. Мануйлов // Инженерные проблемы прикладной механики. М., 1987. - С. 87 -94.

73. Мануйлов Г.А. Оценки прогибов некоторых пластин, имеющих форму описанных многоугольников Текст. / Г.А. Мануйлов // Прочность, устойчивость и колебания строительных конструкций. JI.: ЛИСИ, 1988. - С. 138 — 145.

74. Мануйлов Г.А. О построении геометрических оценок решений для защемленных изотропных пластин Текст. / Г.А. Мануйлов // Научно-технические проблемы судостроения и судоремонта. М., 1988. - С. 45 - 50.

75. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами Текст. / A.M. Масленников Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 225 с.

76. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл Р. Уэйт- М.: Мир, 1981. 216 с.

77. Михлин С Г. Численная реализация вариационных методов Текст. / С Г. Михлин М.: Наука, 1966. - 432 с.

78. Михлин С Г. Вариационные методы в математической физике Текст. / С Г. Михлин М.: Наука, 1970.-512 с.

79. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок Текст. / П.М. Огибалов М.: МГУ, 1958. - 389 с.

80. Огибалов П.М. Оболочки и пластинки Текст. / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

81. ПолиаГ. Изопериметрические неравенства в математической физике Текст. / Г. Полна, Г. Cere. М.: Госматиздат, 1962. - 336 с.

82. Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациях, и напряжениях Текст. / В. Прагер Сб. переводов «Механика», 1969, № 5.

83. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике Текст. / Я.А. Пратусевич М.: Гостехиздат, 1948. - 400 с.

84. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трёх томах Текст. -М.Машиностроение, 1968. Т. 1. - 831 с; Т.2. - 463 с; Т.З - 567 с.

85. Радемахер Г. Числа и фигуры Текст. / Г. Радемахер, О. Теплиц. М.: Гос-матиздат, 1966. - 336 с.

86. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. Текст. М.: Машиностроение, 1989. - 520 с.

87. Рвачев В. Л. Структуры решения задач теории пластин со смешанными граничными условиями Текст. / B.JI. Рвачев, Л.В. Курпа //«Докл. АН УССР», 1983, А, №9, с. 34-37.

88. Рейсснер Э. О некоторых вариационных теоремах нелинейной теории упругости Текст. / Э. Рейсснер // Проблемы механики сплошной среды (к 70 -летию акад.Н.И.Мусхелишвили). М.: Изд-во АН СССР, 1961.

89. Саченкое А.В. К расчету на устойчивость плоских пластин Текст. / А.В. Са-ченков // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. - N2. - С. 44 - 49.

90. Седое Л. И. Механика сплошной среды Текст. / Л. И. Седов М Наука, 1973.-Т.1.-492 с.-Т.2.-569 с.

91. Сен-Венан. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм Текст./-Сен-Венан М.: Госматиздат, 1961. - 589 с.

92. Серенсен С.В. Несущая способность и расчеты на прочность деталей машин Текст./ С.В. Серенсен, В.П. Когаев, P.M. Шнейдерович. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.

93. Слезингер И И. О вариационных теоремах нелинейной теории упругости Текст. / ИИ. Слезингер Бюллетень Ясского политехнического института, 1959, т. V(IX).

94. Слюсарее Г. В. Развитие и применение неразрушающих вибрационных методов и средств контроля качества предварительно напряженных железобетонных конструкций Текст. / Г.В. Слюсарев Орел: Автореф. дис. докт. техн. наук., 2003.

95. Справочник по теории упругости Текст. Киев.: Буд1вельник, 1974. - 419 с.

96. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчётно-теоретический Текст. -М.: Стройиздат, 1973.Т 1.-416 с.

97. Суслов В.П. Строительная механика корабля и основы теории упругости Текст. / В.П. Суслов, Ю.П. Кочанов, В.Н. Спихтаренко // JL: Судостроение, 1972.-720 с.

98. Фаронов В.В. Delfi 6. Учебный курс Текст. / В.В. Фаронов М.: Издатель Молгачева С.В., 2001. - 672 с.

99. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем Текст. / С.П. Тимошенко -М.: Гостехиздат, 1946. 532 с.

100. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле Текст. / С.П. Тимошенко -М.: Физматгиз, 1959. 439 с.

101. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек Текст. / С.П. Тимошенко-М.:Наука, 1971.-808 с.

102. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки Текст. / С.П. Тимошенко, С. Вой-новский-Кригер. М.: Наука, 1963. - 635 с.

103. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости Текст. / Э. Тонти -Сб. переводов «Механика», 1969, № 5.

104. Фейш Тот Л. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве Текст. /JI. Фейш Тот-М.: Госматиздат, 1958.-220 с.

105. Шуман В. Об одном изопериметрическом неравенстве в теории пластинок Текст. / В. Шуман // Механика. 1959. - № 4. - С. 73 - 78.

106. Яглом ИМ. Выпуклые фигуры Текст. / И.М. Яглом, В.Г. Болтянский. М.: Гостехиздат, 1951. - 344 с.

107. Barrett К.Е. An exact theory of elastic plates Text. / K.E. Barrett, S. Ellis //Int. J. Solids and Struct 1988. - 24, N 9. - p. 859 - 880.

108. Chong K.P. Buckling of irregular plates by spline strips Text. / K.P.Chong, J.L. Chen // AIAA Journal, 1986, 24, №3, p. 534 536

109. Herner R. Ein Randintegralgeichungsverfahren fur harmonische Schwingungen von trapezformigen Menbranen und Platten Text. / R. Herner, H. Irschik // Z. an-gew. Math, und Mech., 1986, 66, №4, p. 40 -41.

110. Jirousek J. The hybrid Trefftz finite element model and its application to plate bending Text. / J. Jirousek, L. Guex //Int. J. Numer. Meth. Eng.", 1986, № 4, p 651-693

111. Liew KM. Three-dimensional elasticity solutions to vibration of cantilevered skewed trapezoids Text. / K.M. Liew, K.C. Hung, M.K. Lim // AIAA Journal, 1994, 32, №10, p. 2080-2089.

112. Long Shu-yao. Hunan daxue xuebao. Zuran kexueban Text. / Long Shu-yao, Chen Shen-shen. J. Hunan Univ. Nalur. Sci. 2002.29, Ns 1, p 39 42.

113. McGee O.G. Vibrations of cantilevered skewed trapezoidal and triangular plates with corner stress singularities Text. / O.G. McGee, A.W. Leissa, C.S. Huang //Int. J. Mech. Sci., 1992,34, №1, p. 63 84

114. RadloffH.D. Buckling of composite plates with trapezoidal planform Text. / H.D. Radloff, M.W. Hyer, M.P. Nemeth //36-th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Struct., Struc. Dyn. and Mater. Conf. And AIAA/ASME Adapt. Struct. Forum,

115. New Orleans, La, Apr. 10-13,1995: Collect. Techn. Rap. Pt3., Washington, 1995, p. 1989- 1998.

116. ReddyJ. N. Bending solutions of Levinson beams and plates in terms of the classical theories Text. / J.N. Reddy, C.M. Wang, G.T. Lim //Ng К. H. Int. Solids and Struct. 2001. 38, Na 26 27, с 4701 - 4720.

117. Soldatos Kostas P. On certain refined theories for plate bending Text. / P. Solda-tos Kostas // Arans. ASME. Appl. Mech. 1988. - 55, № 4. - p 994 - 995.

118. Tarapada D. Vibration and buckling of an anisotropic trapezoidal plate on nonlinear elastic foundation at large amplitude Text. / D. Tarapada // "Proc. Indian Nat. Sci. Academy", 1986, A52, №3, p. 592 597.

119. Jiang Bonan. The least-squares finite element method in elasticity Pt II. Bending of thin plates. Int. J. Numcr. Meth. Eng. 2002. 54, № 10, p. 1459 1475

120. Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity Text. / K. Washizu -Oxford: Pergamon Press, 1968,250 p.

121. Xie Xie-song W.L. Kantorovich solution for the problem of bending of a ladder plate Text. / W.L. Xie Xie-song Appl. Math, and Mech., 1984, 5, №3, p. 399 -409.

122. Zotemantel R. Numerical solution of plate bending problems using the boundary element method Text. / R. Zotemantel /Boundary Elements. 7. Proc. 7th Int. Conf., Lake Como, Sept., 1985. Vol. l.Berline, 1985, p. 388-401.