автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие метода интерполяции по отношению конформных радиусов для решения задач поперечного изгиба пластинок

На правах рукописи

У-

ОО&ио*.—

Черняев Андрей Александрович

развитие метода интерполяции по отношению конформных радиусов для решения задач поперечного изгиба пластинок

05.23.17 - Строительная механика

18 АПР 2013

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Орел-2013

005052358

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс».

Научный руководитель:

Коробко Виктор Иванович

доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Трещев Александр Анатольевич доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», зав. кафедрой «Строительство, строительные материалы и конструкции»

Ведущая организация:

Ступишин Леонид Юлианович

кандидат те хн и ч ее к и х н ау к, до це н т ФГБОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет», зав. кафедрой «Городское, дорожное строительство и строительная механика»

ФГБОУ ВПО «Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова»

Защита состоится «26» апреля в 11-00 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.182.05 при ФГБОУ ВПО «Госуниверситет -У КПК» по адресу : 302030, г. Орел, ул. Московская, д. 77, ауд. 426.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНИК» по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, д. 29.

Отзывы на автореферат направлять в диссертационный совет по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, д. 29.

Автореферат разослан « 25 » марта 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

А.И. Никулин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пластинки широко распространены в строительстве, мостостроении/ специальном машиностроении (судо- и авиастроении), гидротехническом строительстве как элементы несущих и ограждающих конструкций, которые удовлетворяют требованиям жесткости, прочности и устойчивости при относительно невысокой материалоемкости. Одной из важнейших задач при расчете пластинок является оценка:их жесткости. Точные методы определения прогибов пластинок известны лишь для некоторых форм пластинок при достаточно простых видах граничных условий и нагрузки. Однако на практике часто встречаются пластинки сложной формы и со сложными граничными условиями. Такие задачи решаются с привлечением различных приближенных методов, чаще всего численных, реализуемых в современных программных комплексах. Однако эти методы обладают известным недостатком, заключающемся в значительной трудоемкости осуществления качественной оценки полученного результата среди всего множества форм пластинок с идентичными граничными условиями. .

Этого недостатка лишены геометрические методы строительной механики, основанные на физико-геометрической аналогии интегральных физических характеристик (ИФХ) пластинок и интегральных геометрических характеристик их формы, выступающих в качестве обобщенного геометрического аргумента для всего множества форм пластинок с выпуклым опорным контуром. В качестве такого аргумента используется интегральная геометрическая характеристика формы плоской'облает«'коэффициент формы, на основе которого профессором A.B. Коробко разработан эффективный инженерный метод решения двумерных задач теории упругости (и, в частности, задач технической теории пластинок), получившим название метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ). Этот метод в последнее десятилетие активно развивается и находит применение при решении задач поперечного изгиба, динамики и устойчивости пластинок, включая пластинки ортотропные и пластинки на упругом основании.

В математической физике известна другая интегральная геометрическая характеристика формы односвязной области с выпуклым контуром - отношение конформных радиусов, которое впервые использовано в качестве обобщенного геометрического аргумента в работах В.И. Коробко и А.Н. Хусточкина для решения задач устойчивости пластинок. В этих исследованиях было установлено, что использование этого аргумента значительно-эффективнее, чем коэффициента формы. Исходя из известной математической аналогии дифференциальных уравнений эллиптического типа, описывающих задачи устойчивости и поперечного изгиба упругих пластинок, следует ожидать, что аналогичный эффект можно получить и в задаче поперечного изгиба пластинок.1 Поэтому тема исследования представляется весьма актуальной.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются упругие изотропные жесткие пластинки средней толщины различных форм (правильные я-угольные, треугольные, ромбические, прямоугольные, параллелограммные, трапециевидные, эллиптические) с комбинированными граничными условиями; Предметом исследования является геометрический метод решения задачи по оценке максимального прогиба пластинок с комбинированными граничными условиями с использованием отношения внутреннего и внешнего конформных радиусов.

Целью исследования является развитие; метода интерполяции по отношению внутреннего и внешнего конформных радиусов для оценки жесткости пластинок в задачах поперечного изгиба.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

- выявить взаимосвязь максимального прогиба пластинок при поперечном изгибе с отношением их конформных радиусов;

- исследовать возможность использования методики и математической модели МИКФ для определения максимального прогиба пластинок При поперечном изгибе с использованием вместо коэффициента формы отношения конформных радиусов;

- изучить изопериметрические свойства и закономерности изменения отношения конформных радиусов для отдельных видов одно-связных областей с выпуклым контуром при их геометрических преобразованиях;

- исследовать изопериметрические "свойства и закономерности изменения максимального прогиба пластинок в зависимости от изменения отношения конформных радиусов и построить аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» для граничных кривых, по которым определяются «опорные» решения;

- выявить наиболее рациональные геометрические преобразования пластинок сложных форм для получения «опорных» пластинок и наиболее рациональные способы интерполяции «опорных» решений по отношению конформных радиусов;

- разработать методику выборафационалЬных вариантов заполнения несущей панели с двумя параллельными опорными направляющими пластинками различных форм; обладающих одинаковой (заданной) жесткостью;

- разработать алгоритм и программу для определения максимального прогиба пластинок сложного вида с однородными и комбинированными граничными условиями с использованием метода интерполяции по отношению конформных радиусов, а также алгоритм и программу для геометрического моделирования форм заполняющих пластинок равной жесткости в несущей панели с двумя параллельными опорными направляющими.

Поставленные задачи решаются , при следующих ограничениях: поперечная нагрузка является равномерно распределенной по всей

площади пластинок; рассматриваются комбинации граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления по сторонам пластинок (граничные условия свободного края не исследуются).

Методы исследовании. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического и аффинного подобия плоских фигур. При исследовании физической стороны проблемы применялись метод конечных элементов и геометрические методы строительной механики (изопериметрический метод и МИКФ).

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

- изопериметрические свойства и закономерности изменения отношения конформных радиусов для отдельных классов и всего множества форм односвязных областей с выпуклым контуром;

- функциональная связь максимального прогиба пластинок при поперечном изгибе с отношением конформных радиусов;

- графические и аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» ограничивающие значения максимального прогиба для всего множества пластинок выпуклых форм;

- единые аналитические зависимости «максимальный прогиб -отношение конформных радиусов» для шарнирно опертых и жестко защемленных многоугольных пластинок, все стороны которых касаются вписанной окружности (в их числе правильные /7-угольные, треугольные, ромбические и прямоугольные пластинки);

- методика реализации метода интерполяции по отношению конформных радиусов при оценке максимального прогиба пластинок сложных форм и со сложными граничными условиями;

- методика выбора рациональных вариантов заполнения несущей панели с двумя опорными параллельными направляющими пластинками, обладающими одинаковой (заданной) жесткостью.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

- графической интерпретации получаемого значения максимального прогиба, позволяющей четко определить его место среди всего множества форм пластинок и наглядно оценивать качественную и количественную стороны его изменения при изменении геометрических параметров, формы пластинки и граничных условий;

- разработке алгоритмов и программ для решения конструкторских и исследовательских задач по расчету пластинок по условию жесткости с помощью метода интерполяции по отношению конформных радиусов.

Достоверность результатов подтверждается использованием фундаментальных методов строительной механики пластинок, их сопоставлением с результатами расчета, полученными другими методами (в том числе и точными) другими исследователями.

На защиту выносятся:

- изопериметрические свойства и закономерности изменения отношения конформных радиусов для отдельных классов и всего мно-

жества форм односвязных областей с выпуклым контуром;

- методика решения задач жесткости методом интерполяции по отношению конформных радиусов;

- аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов», ограничивающие все множество значений максимального прогиба пластинок с выпуклым контуром и комбинированными граничными условиями* а также характерных подмножеств форм (треугольные, четырехугольные, параллелограммные, трапециевидные);

- методика выбора рациональных;вариантов заполнения пластинками равной жесткости несущей панели с двумя опорными параллельными направляющими. ;

-алгоритмы.и программы для решения конструкторских и исследовательских задач по расчету пластинок по условию жесткости с помощью ЭВМ.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского; состава ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» (Орел, 2010...2012); а также на 2-ой Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2011); Международных ^академических чтениях РААСН «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» (Курск, 2011); 13-ой Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2012); IV Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Челябинск, 2012).:

Реализация результатов работы. Результаты работы использованы при проведении исследований по НИР, выполняемых в рамках:

- аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009 - 201 1 гг.) по проекту №2.1 Ш10201 «Разработка теоретических основ и развитие вибрационных методов диагностики состояния и контроля качества строительных, конструкций балочного типа и пластинок»;

- государственного задания Министерства-образования и науки РФ на оказание услуг (выполнения работ) по теме «Разработка и развитие инженерных методов решения задач технической теории пластинок на основе принципов симметрии и геометрического моделирования их формы» (2012 - 2014 гг.), регистрационный номер 7.587.2011.

Результаты исследований внедрены в учебный процесс ФГЬОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» и ФГБОУ ВПО «Брянская государственная инженерно-технологическая академия» при чтении курсов дисциплин: «Строительная механика», «Основы теории упругости и пластичности», «САПР строительных ^конструкций», «Математическое моделирование при проектировании строительных конструкций»;

в проектную практику ОАО «Гражданпроект» (г. Орел); в Центр повышения квалификации строителей ФГБОУ ВПО «Брянская государственная инженерно-технологическая академия».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ, в том числе 6 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России для публикации результатов гю диссертациям. Получены свидетельства о государственной регистрации 2-х программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 211 страницах, включая 184 страницы основного текста, и состоит из введения, 4 глав, основных результатов и выводов, списка литературы, включающего 164 наименования и 3 приложений (27 стр.). В диссертации 70 рисунков и 14 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается ее общая характеристика, приводятся цель и задачи исследования, указываются достоверность и научная новизна результатов, их теоретическая значимость и практическая ценность, сведения об апробации и реализация результатов работы.

В первой главе приводится краткий аналитический обзор прямых, вариационных, численных и геометрических методов решения задач теории изгиба пластинок.

Многие основополагающие труды по теории изгиба пластинок и методам их расчета принадлежат российским и советским ученым, среди которых наиболее известными являются И.Г. Бубнов, В.З. Власов, Б.Г. Галеркин, А.Н. Динник, A.A. Ильюшин, Л!В. Канторович, Б.Г. Коренев, Н.М. Крылов, В.В. Мусхелишвили, П.Ф. Папкович, Ю.Н. Работнов,

A.Р. Ржаницын, С.П. Тимошенко и др. Среди зарубежных следует выделить работы Р. Галлагера, Ж. Деклу, О. Зенкевича, В. Ольшака, В. Праге-ра, Дж. Редди, В. Ритца, М. Сада, Е. Треффца, Д.Т. Чана и др. В настоящее время в области развития методов расчета пластинок работают многие российские ученые: Н.П. Абовский, Г.В. Васильков, Р.Ф. Габбасов,

B.А. Игнатьев, В.И. Коробко, A.M. Масленников, В.В. Петров, H.H. Шапошников и др. В последнее десятилетие получили существенное развитие геометрические методы расчета пластинок в работах В.В. Гефеля, Ю.В. Киржаева, A.B. Коробко, Н.С. Малинкина, A.C. Муромского^ М.А. Сенина, М.А. Фетисовой и др.

Проведенный в обзоре анализ научных работ показал, что для решения задач изгиба пластинок в настоящее время в основном используют численные методы. Отмечаются недостатки численных методов, которых лишены геометрические методы. Указывается и на другие преимущества геометрических методов и их возможную область применения.

Среди геометрических методов наибольшее развитие получил метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) - эффективный инженерный метод решения задач технической теории пластинок и двумерных задач теории упругости. Однако при использовании этого метода

погрешность получаемых решений для многоугольных пластинок с острыми углами достигает 5% и более. Поэтому одной из актуальных современных проблем в области развития инженерных методов расчета пластинок является повышение точности получаемых оценок интегральных физических характеристик. С учетом этой проблемы высказана гипотеза о возможности использования в методе интерполяции по коэффициенту формы вместо коэффициента фор(мы отношения внутреннего и внешнего конформных радиусов. На основе этой гипотезы сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе приводятся основные понятия о конформном отображении односвязных областей на внутренность круга, о внутреннем г и внешнем 7 конформных радиусах и формулы для их вычисления, строятся графические и аналитические зависимости этого отношения от геометрических параметров, однозначно определяющих форму областей определенного вида:

- для круга радиуса а -

г = а- г=я; (1)

- для правильных п-угольников -

Г{\-\/п) , Г{\ + \/п)_,

1

2-П-

2 п

(2)

где п - число сторон Г - Гамма-функция;

- для равнобедренных треугольников

здесь и далее периметр; Г(х) - здесь и далее

где

г = 4тг/2(а)/(у}-р,

I '/2

■wi ctga-h' г = ——-

яг

(3)

\i-.t

у = я-2яа - угол между равными сторо-

^)l(l-x)1

нами; р =/7/2-sin2 а - радиус описанного круга; ла - равный угол при основании; h - высота. На рисунках I и 2 приведены графические зависимости изменения отношения г/7 для двух видов областей.

Рисунок I - График г/г = f(n) для правильных п-угольников

45" 60" 75" УО"

Рисунок 2-График г/7 = /(ос) для равнобедренных треугольником

С целью дальнейшего использования указанных кривых построены аппроксимирующие функции в виде полиномов. Для простых фигур эти полиномы удовлетворяют точным решениям с погрешностью, не превышающей 0,1%, для областей сложных форм с погрешностью до 1,7%.' Например, для правильных п-угольникоа (рисунок 1) построена аппроксимирующая функция

г/7 = а + Ьп~х + сп'2 + с!п~ъ + еп'4 , (4)

где а = 1,0000; Ь = 0,01347; с = -0,3381; с/ = -1,9500; е = -9,7087; п - число сторон.

В этой же главе приводятся общие сведения о коэффициенте формы К/ плоской области, основные известные формулы для его определения, графики изменения некоторых областей при их геометрических преобразованиях, основные свойства и изопериметрические теоремы.

Коэфф ициент формы плоской области с произвольным выпуклым контуром (рисунок Зуа) определяется интегралом:

I.

(5)

где с/.у - линейный элемент крнгура; И - перпендикуляр, опущенный из точки а на касательную, проведенную к переменной точке контура.

Правильные

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16

Рисунок 3 -К определению А^,

Рисунок 4 - Кривые «отношение конформных радиусов - коэффициент формы» ( г/г - К ^ )

Для областей с полигональным контуром (рисунок 3, б) из выражения (5)получим:

" і " а

к/»= Хі"=+с7^')= + я' .=1 ,=і

(6)

1 Іростой областью' называется фигура, однозначно определяемая одним

геомегрическим параметром, сложной - фигура, определяемая двумя и более

независимыми геометрическими параметрами.

где п - количество сторон многоугольника, а остальные обозначения указаны на рисунке. ..

В любой выпуклой области существует единственная точка а, для которой коэффициент формы минимален К/-; min Kjiiy именно такие значения коэффициента формы и используются в методе Интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ).

На рисунке 4 исследуется графически функциональная связь отношения конформных радиусов г/7 с коэффициентом формы Кг, где 'ТОЧКИ 3, 4, 6, 8 соответствуют правильным 3-х, 4-х, 6-ти, 8-угольникам, точка О - кругу. На основе этих зависимостей получены аналитические выражения для определения отношения конформных радиусов некоторых областей сложных форм, для которых в математической и соответствующей справочной литературе не приводятся каких-либо сведений.

В третьей главе кратко излагаются известные теоретические основы и сущность МИКФ, приводится его математическая модель. Метод основан на использовании физико-геометрической аналогии интегральных физических характеристик (ИФХ) в задачах технической теории пластинок (в их числе максимальный прогиб).с интегральной характеристикой их формы - коэффициентом формы. Сущность метода заключается в выборе некоторого геометрического преобразования, объединяющего заданную пластинку и две другие («опорные» пластинки), значения ИФХ для которых известны либо их можно получить другими методами («опорные» решения). В координатных осях «ИФХ - коэффициент формы» эти решения образуют некоторую кривую, для описания которой предложены две достаточно простые интерполирующие функции: линейная и степенная. Функции объединяют все множество значений ИФХ для пластинок, соответствующих выбранному геометрическому преобразованию. Единственным аргументом этих функций, определяющим значение ИФХ в общем виде, является коэффициент формы. Подставляя в них значение коэффициента формы для заданной; пластинки, определяют искомое значение ИФХ. Выбор геометрического преобразования существенно влияет на точность получаемых решений, поэтому одной из основных задач при использовании МИКФ является поиск наиболее рациональных геометрических преобразований.

Далее в этой же главе исследуется возможность использования методики МИКФ с заменой коэффициента формы на отношение конформных радиусов. Устанавливается аналитическая связь максимального прогиба wu при поперечном изгибе пластинок с отношением конформных радиусов г/г в виде зависимости

, г цЛ2

(7)

г D

где А„. - функциональная константа, зависящая от вида граничных условий, которая обращается в числовую константу при выбранном геометрическом преобразовании заданной пластинки к «опорным» пластинкам; с/ - интенсивность равномерно распределенной по всей площади нагрузки; А - площадь пластинки; D - цилиндрическая жесткость. Из этого вы-

ражения следует, что при заданных параметрах q, A, D и граничных условиях пластинки отношение г/7 выступает в качестве единственного аргумента, однозначно определяющего максимальный прогиб пластинки. Другими словами, отношение конформных радиусов, как и коэффициент формы, является геометрическим аналогом максимального прогиба в задаче поперечного изгиба пластинок. Это означает, что можно, не решая дифференциального уравнения, описывающего задачу поперечного изгиба пластинок

DA2 А2 и'(д-, у)- q = 0, ' (9)

а рассматривая лишь геометрическую задачу, связанную с анализом поведения отношения г/7 при геометрических преобразованиях исследуемых пластинок можно оценивать и качественную, и количественную стороны решаемой задачи.

Как и в методе интерполяции по коэффициенту формы, при использовании в качестве аргумента отношения конформных радиусов все множество значений максимального прогиба пластинок, представленное в координатных осях «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов», оказалось ограниченным с двух сторон: верхнюю границу образуют значения максимального прогиба для многоугольных пластинок, все стороны которых, касаются вписанной окружности, а нижнюю -значения А,,, для эллиптических пластинок при г/7 е [0,705; l) и для прямоугольных при r/7 е (0; 0,705]; для произвольных четырехугольных пластинок нижнюю границу образуют значения к„. прямоугольных пластинок. Для шарнирно опертых пластинок с криволинейными участками контура указанная закономерность сохраняется для каждого отдельно взятого значения коэффициента Пуассона.

С учетом этой закономерности для расчета произвольных четырехугольных пластинок необходимо построить указанные граничные кривые, соответствующие пластинкам в виде равнобедренных треугольников, ромбов и прямоугольников.

Для пластинок с полностью защемленным контуром или полностью шарнирно опертым контуром такие кривые построены с учетом известных точных решений, приводимых в научной и справочной литературе, а также решений, полученных с помощью МКЭ (с числом КЭ не менее 1000) в программном комплексе «SCAD». На рисунке 6, а изображены кривые «максимальный прогиб жестко защемленных пластинок - отношение конформных радиусов», где точкам 3, 4, 6 соответствуют правильные 3-х, 4-х и 6-угольные пластинки; точке 3' - пластинка в виде равнобедренного прямоугольного треугольника; точке О - круглая пластика. Как видно из приведенных графиков, значения максимального прогиба для правильных /7-угольных и круглой пластинок, пластинок в виде произвольного треугольника и ромба сливаются в одну кривую (рисунок 7). Это объясняется тем, что площади А указанных фигур выражаются через внутренний г и внешний 7 конформные радиусы единой зависимостью:

А = пгг . (10)

Это изопериметрическое свойство указанных форм пластинок можно рассматривать как новую фундаментальную закономерность в задаче поперечного изгиба пластинок.

а) максимальный прогиб - отношение конформных радиусов б) максимальный прогиб - коэффициент формы

Рисунок 6- Сравнительный анализ граничных кривых для жестко защемленных шшстинок

Сопоставление граничных кривых, приведенных на рисунке 6, показывает, что область значений максимальных прогибов, заключенных между граничными кривыми, при использовании отношения конформных радиусов почти в 2 раза уже, чем при использовании коэффициента формы. Это позволило снизить погрешности получаемых значений максимального прогиба в 2...2,5 раза при использовании аргумента г/г .

При построении граничных кривых ки. = /(г/г) использованы полиномы или их отношения. Например, для кривой, изображенной на рисунке 7, и, построена зависимость

которая дает погрешность не выше 3,6%.

а) б)

0,0209 + 6,349(/-/г) I2 - 6,1 М(г/г У

1 - 0,551б(/'7'"7) Г ■ 0,4192{г/г)' 1

А - Равнобедренные треугольные о - Правильные п-утльные (и круглая) А - Прнмоушльные треугольные Ромбические - Произвольные чреутльные

а) шарнирное опирание; б) жес ткое защемление

Рисунок 7 - Единые кривые «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» для правильных п-угольных треугольных и ромбических пластинок

Используя методику МИКФ, получены зависимости для определения коэффициента к„:.

- при линейной интерполяции -

К^Пг-УППх

- при степенной интерполяции

¡■¡7

= к..

_ = 1п [к„г/кщ)

' ШгМЛУ

(13)

»

где к„,I и А,,2 - значения коэффициента к„. для первой и второй «опорных пластинок, которые определяются по аппроксимирующим функциям

к =/(г/г); г/г - отношение конформных радиусов для заданной пластинки; {г/г\ и (г/г), -тоже, для «опорных» пластинок.

Графически линейная и степенная интерполяции опорных решений показаны на рисунке 8. На нем точками I и 2 обозначены «опорные» решения, кривая I принадлежит действительным значениям А,„ кривая 11 -приближенным значениям, получаемым по формулам (12) и (13).

а)

б)

(г/г)I г/г (г/г)2

а) линейная; б) степенная

(г/г) , г/г (Г/Г) 2

Рисунок 8 - Линейная и степенная интерполяции «опорных» решений по отношению конформных радиусов

Для решения конкретных задач исследуются рациональные геометрические преобразования пластинок сложных форм (параллелограммных, трапециевидных) и рациональные способы интерполяции опорных решений. Например, для параллелограммных пластинок наиболее рациональным преобразованием оказался аффинный сдвиг прямоугольника параллельно основанию (рисунок 9), а наиболее рациональной - линейная интерполяция по (12).

Рисунок У - Геометрическое преобразование аффинного сдвига параллелограмм ной пластинки

По аналогии с МИКФ формулируются изопериметрические свойства и закономерности изменения максимального прогиба для отдельных классов форм пластинок в зависимости от отношения конформных радиусов. На основе этих свойств разрабатывается методика рационального выбора форм пластинок равной (заданной) жёсткости - элементов заполнения несущей панели с двумя опорными направляющими (лонжеронами) (рисунок 10).

>Сг Х-1 |

1 1

Г 3 \

7

/

I - лонжерон; 2 - пластинка; 3 - стрингер Рисунок Ю - Несущая панель с двумя опорными направляющими

Численные исследования показали, что наиболее выгодным является заполнение пластинками в виде прямоугольного треугольника.

В четвертой главе строятся аппроксимирующие функции kw = /(r/r) по решениям, полученным с помощью МКЭ, для всевозможных комбинаций граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления по сторонам пластинок в виде прямоугольника, ромба, равнобедренных треугольников и правильных многоугольников. Построенные функции по виду аналогичны функции (11). Они позволяют выбрать опорные решения для любых четырехугольных пластинок с комбинированными граничными условиями. При отработке методики интерполяции опорных решений по отношению конформных радиусов для параллелограмм ных и трапециевидных пластинок выявлены наиболее рациональные геометрические преобразования и способы интерполяции.

Так, для трапециевидных пластинок самым рациональным оказался способ интерполяции с постоянной величиной отношения г/7 = const, при котором опорные пластинки (прямоугольные и трапециевидные, стороны которых касаются вписанной окружности) подбираются с тем же значением отношения г/7, что и трапециевидные. А параметром, по которому осуществляется интерполяция, выступает коэффициент формы треугольников, образованных диагоналями и основанием пластинок (рисунок 11).

Рисунок 1 1 - Определение формы и геометрических параметров «опорных» пластинок для заданного отношения конформных радиусов ( г/г = const)

Для иллюстрации работоспособности предложенной методики интерполяции по отношению конформных радиусов приводятся примеры решения многочисленных тестовых задач, связанных с параллелограмм-ной и трапециевидной формами пластинок. Для реализации разработанных способов решения задач с использованием приёма интерполяции опорных решений по отношению конформных радиусов на ЭВМ в диссертации разработаны соответствующие алгоритмы и программы (рисунки 12... 15). Приводятся основные сведения о работе программ, их возможностях и область применения. Программы написаны на языке Object Pascal в среде объектно-ориентированного программирования Delphi 7.

В приложении 1 приводится сравнительный анализ результатов расчета пластинок, в приложении 2 - граничные аппроксимирующие кривые «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» для пластинок с комбинированными граничными условиями, в приложении 3 - сведения о внедрении результатов работы.

Рисунок 12 - Обший алгоритм программы «RRMaximalDeflectionPlateGraphic»

( НАЧАЛО З

Выбор вида закрепления пластинок

Задание значения прогиба пластинок (н плошали)

Определение форм пластинок, соответсвуюшнх прогиб)'

Т

Ввод геометрических данных для пластинок сложных форм (лараллелограммных и трапециевидных)

X

Вывод расчетных данных геометрических параметров форм пластинок в составе пластинчатой конструкции, имеющих заданным лроглб

Задание толшины пластинок, интенсивности равномерно распреленнон нагрузки, коэффниентв Пуассона, модуля упругости материала .

Вывод абсолютного значення прогиба пластинок

конец"}—

Рисунок 13 - Обший алгоритм программы «RRGeomModelPlalsDesignRig¡dCond»

Рисунок 14 -

Экранное федставление работы программы «ЯЯМахштаЮе ПесйопРЫеСга рЬ ¡с»

Рисунок 1 5 -

Экранное представление работы программы «ИКСеотМо-сИР1а1йОе51к-пЯ1й1с!Сопс1))

' / . х I . .

; ¡¡»-ё ь

Щщ

/

в ; _¡в

■'-у\и'Ы,.'^} ь н ■ 1-." , И

Л-

; Ьж« ] 1РН ¡<аитгд№

{• ВпеогОЛ 1/1

; 11 I АНН < Ш и^ЧЛ. грм И

| ^ "I I

Зг ОПРЕШЛИТЬПРОГНВВАЕСОПО! НОН ЗНАЧЕНИИ

Ка»»м<оя (Ькг»ч.» !и Ммцгъ |П>л>в1ц_Г. МП» ¡-лх*

-I

_Л®

: /

1 ■ Л " /;'

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ и выводы

Обобщая результаты исследования, можно сделать вывод о том, что в диссертации получил существенное развитие метод интерполяции по отношению конформных радиусов применительно к решению задач поперечного изгиба пластинок. При этом получены следующие основные научные и практические результаты.

1 Установлено, что отношение внутреннего и внешнего конформных радиусов для односвязных областей с выпуклым контуром является геометрическим аналогом максимального прогиба пластинок, форма которых подобна форме этих областей.

2 Исследованы изопериметрические свойства и закономерности изменения отношения конформных радиусов для отдельных классов и всего множества форм односвязных областей с выпуклым контуром, позволяющие исследовать задачи технической теории пластинок в постановке МИКФ.

3 Исследованы изопериметрические свойства и закономерности изменения максимального прогиба пластинок с однородными и комбинированными граничными условиями для отдельных классов форм и всего множества форм пластинок с выпуклым контуром и построены графические и аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» для граничных кривых, по которым определяются «опорные» решения для их интерполяции по отношению конформных радиусов.

4 Выявлены наиболее рациональные геометрические преобразования пластинок сложных форм для получения «опорных» пластинок и наиболее рациональные способы интерполяции «опорных» решений по отношению конформных радиусов. При этом установлено, что при использовании методики МИКФ с интерполяцией «опорных» решений по отношению конформных радиусов получаются результаты, погрешность которых относительно решений, найденных с помощью МКЭ, в 2 раза меньше, чем с интерполяцией по коэффициенту формы, и не превышает ±2...4 %.

5 Численными исследованиями установлено, что значения максимального прогиба многоугольных пластинок, стороны которых касаются вписанной окружности, включая правильные п-угольные, треугольные и ромбические пластинки с шарнирно опертым или жестко защемленным контуром, представленные как функции отношения конформных радиусов, описываются единой кривой. Это изопериметрическое свойство устанавливает новую фундаментальную закономерность в задаче поперечного изгиба пластинок.

6 Разработана методика выбора вариантов заполнения несущей панели с двумя линейными опорными направляющими (лонжеронами) различными элементами в виде пластинок разнообразных форм, обладающих одинаковой (заданной) жесткостью.

7 Разработаны алгоритм и программа для ЭВМ для решения исследовательских и конструкторских задач по определению максимального прогиба пластинок с использованием отношения конформных радиусов. Программа позволяет графически четко определить место найденного решения среди всего множества пластинок и наглядно оценить качественную и количественную стороны изменения прогиба при изменении геометрических параметров и форм пластинок.

8 Разработаны алгоритм и программа для ЭВМ по геометрическому моделированию элементов заполнения несущей панели с двумя параллельными опорными направляющими, которые могут быть использованы при вариантном проектировании и решении задач оптимизации пластинчатых конструкций по условию равной жесткости.

9 Некоторые результаты исследования внедрены в учебный процесс ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» и ФГБОУ ВПО «Брянская государственная инженерно-технологическая академия», в ОАО «Граждан-проект» (г. Орел). Разработанные программы для ЭВМ прошли апробацию и рекомендованы к использованию в Центре повышения Квалификации строителей в ФГБОУ ВПО «Брянская государственная инженерно-технологическая академия».

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России

1 Коробко, В.И. Решение задач поперечного изгиба пластинок с использованием конформных радиусов / В.И. Коробко, A.A. Черняев // Строительная механика и расчет сооружений. - 201 1. - №6. - С. 16-22 (0,44 / 0,22 п.л. автора).

2 Черняев. A.A. Определение максимального прогиба треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями с использованием отношения конформных радиусов / A.A. Черняев // Строительная механика и расчет сооружений. - 2011. - №6. - С. 23-29 (0,44 пл.).

3 Коробко, В.И. Определение максимального прогиба прямоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями с использованием отношения конформных радиусов / В.И. Коробко, A.A. Черняев // Строительство и реконструкция. - 201 1. -№6. - С. 24-29 (0,38 /0,19 п.л. автора).

4 Коробко, A.B. Определение максимального прогиба ромбических пластинок с комбинированными граничными условиями с использованием отношения конформных радиусов / A.B. Коробко, A.A. Черняев И Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 201 1. - №4. - С. 21-25 (U,3 1 /0,16 п.л. автора).

5 Черняев. A.A. К вопросу о расчете пластинок средней толщины из условия жесткости / A.A. Черняев II Региональная архитектура и строительство. - 2012. -№1.- С. 83-89(0,44 пл.).

6 Черняев, A.A. Геометрическое моделирование пластинчатых конструкций из условия жесткости / A.A. Черняев II International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. - 2012. - Volume 8, Issue 4. - Pp. 66-77 (0,75 пл.).

Публикации в других изданиях

7 Коробко, A.B. Использование отношения конформных радиусов в задачах технической теории пластинок в качестве геометрического аргумента / A.B. Коробко, A.A. Черняев // Проблемы оптимального проектирования сооружений: доклады 2-й Всероссийской конференции. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин). -2011,- С. 191-1% (0,38 /0,19 пл. автора).

8 Коробко, В.И. Определение максимального прогиба пластинок с использованием отношения конформных радиусов в качестве геометрического аргумента / В.И. Коробко, A.A. Черняев И Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения: материалы международных академических чтений РА-АСН.- Курок: КурскГУ. - 2011. — С. 96-103 (0,50/0,25 пл. автора).

9 Коробко, В.И. Отношение конформных радиусов пластинок - новый геометрический критерий оценки интегральных физических характеристик упругих пластинок / В.И. Коробко, A.A. Черняев И Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений: тезисы докладов IV Международного симпозиума. - Челябинск: ЮУрГУ. -2012. -С. 153-155 (0,19/0,09 н.л.автора).

10 Коробко, В.И. Отношение конформных радиусов - новый аргумент геометрических методов решения двумерных задач теории упру теги / В.И. Коробко, A.A. Черняев // Вестник отделения строительных наук РААСН. - 2012. - Вып. 16.-Т. 1.-С. 149-161 (0,81 /0,41 пл. автора).

Программы для ЭВМ

1 1 Свидетельство № 2012619163 о государственной регистрации программы для ЭВМ. «RRMaximalDelleclionPlate»- Определение максимального прогиба пластинок с использованием отношения конформных радиусов («RRMaximal-DeflectionPlate») / A.B. Коробко, М.Ю. Прокуров, A.A. Черняев; заявитель и правообладатель ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНГ1К»; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.10.2012.

12 Свидетельство № 2013611075 о государственной регистрации программы для ЭВМ. RRüeomModelPlatsI)esignRigidCond / A.A. Черняев; заявитель и правообладатель ФГБОУ ВГ10 «Госуниверситет - УНГ1К»; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 09.01.2013.

Подписано к печати 21.03.2013 г. Формат 60x84 1/10. Объем ! ,U усл. iui. Тираж 100 jk-j. Закач № ISN

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс»

На правах рукописи

УДК 624.04:624.073.1

Черняев Андрей Александрович

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО ОТНОШЕНИЮ КОНФОРМНЫХ РАДИУСОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА ПЛАСТИНОК

СО

ю ю

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор В.И. Коробко

Орел-2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................................................................5

1 КРАТКИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИНОК......................................................................................................14

1.1 Прямые методы..............................................................................................................................15

1.2 Вариационные методы............................................................................................................17

1.3 Численные методы........................................................................................................................24

1.4 Геометрические методы..........................................................................................................32

1.5 Основные выводы по главе 1 ..............................................................................................40

2 ПОНЯТИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ. КОНФОРМНЫЕ РАДИУСЫ И ИХ ОТНОШЕНИЕ. КОЭФФИЦЕНТ ФОРМЫ..............................43

2.1 Определение конформного отображения................................................................-

2.2 Основная задача конформного отображения. Теорема Римана..........45

2.3 Определение конформных радиусов..........................................................................46

2.3.1 Правильные фигуры..................................................................................................................48

2.3.2 Треугольники....................................................................................................................................49

2.3.3 Ромбы......................................................................................................................................................56

2.3.4 Прямоугольники............................................................................................................................57

2.3.5 Эллипсы................................................................................................................................................60

2.4 Коэффициент формы области..........................................................................................62

2.4.1 Основные свойства коэффициента формы............................................................68

2.4.2 Теоремы о коэффициенте формы для выпуклых фигур............................-

2.5 Определение отношения конформных радиусов

для сложных областей..............................................................................................................72

2.5.1 Параллелограммы........................................................................................................................74

2.5.2 Трапеции................................................................................................................................................78

2.6 Изопериметрические свойства и закономерности отношения конформных радиусов..............................................................................................................88

2.7 Основные выводы по главе 2..............................................................................................89

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА ПЛАСТИНОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДИКИ МИКФ И ОТНОШЕНИЯ КОНФОРМНЫХ РАДИУСОВ..................................................... 91

3.1 Метод интерполяции по коэффициенту формы в решении задач поперечного изгиба пластинок............................................ -

3.1.1 Функциональная связь максимального прогиба пластинок

с коэффициентом формы................................................... -

3.1.2 Графическое представление функциональной связи максимального прогиба пластинок с коэффициентом формы...... 93

3.1.3 Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы

(МИКФ)........................................................................ 95

3.2 Физико-математическая аналогия в задаче поперечного изгиба пластинок с отношением конформных радиусов..................... 98

3.3 Решение задач поперечного изгиба пластинок с использованием методики МИКФ и отношения конформных радиусов............... 102

3.3.1 Общие замечания............................................................ -

3.3.2 Пластинки, шарнирно опёртые по контуру............................. 105

3.3.3 Пластинки, жестко защемлённые по контуру.......................... 110

3.3.4 Изопериметрические свойства и закономерности в задаче поперечного изгиба пластинок............................................ 116

3.3.5 Сравнительный анализ границ изменения максимального прогиба при использовании коэффициента формы

и отношения конформных радиусов...................................... 119

3.3.6 Параллелограммные пластинки........................................... 120

3.3.7 Трапециевидные пластинки................................................ 125

3.4 Геометрическое моделирование пластинчатых конструкций

из условия жесткости........................................................ 132

3.5 Основные выводы по главе 3............................................... 141

4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА ПЛАСТИНОК С КОМБИНИРОВАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ.

РАЗРАБОТКА АГЛОРИТМОВ И ПРОГРАММ ДЛЯ ЭВМ................................ш

4.1 Пластинки с комбинированными граничными условиями....................-

4.2 Пластинки в виде произвольного треугольника..............................................147

4.3 Параллелограммные пластинки......................................................................................153

4.4 Трапециевидные пластинки................................................................................................154

4.5 Разработка алгоритмов и программ для ЭВМ....................................................155

4.5.1 Программы по определению максимального прогиба пластинок... -

4.5.2 Программа по геометрическому моделированию пластинчатых конструкций из условия жесткости..............................................................................162

4.6 Основные выводы по главе 4..............................................................................................165

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ..............................................................................166

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................................................168

Приложение 1. Сравнительный анализ результатов расчета пластинок... 185 Приложение 2. Граничные аппроксимирующие кривые «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов»

для пластинок с комбинированными граничными условиями..................................197

Приложение 3. Сведения о внедрении результатов работы....................................207

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Пластинки широко распространены в строительстве, мостостроении, специальном машиностроении (судо- и авиастроении), гидротехническом строительстве как элементы несущих и ограждающих конструкций, которые удовлетворяют требованиям жесткости, прочности и устойчивости при относительно невысокой материалоемкости. Одной из важнейших задач при расчете пластинок является оценка их жесткости. Точные методы определения прогибов пластинок известны лишь для некоторых форм пластинок при достаточно простых видах граничных условий и видах нагрузки. Как правило, это прямоугольные и круглые пластинки при однородных граничных условиях. Однако на практике часто встречаются пластинки сложной формы и сложными граничными условиями. Такие задачи решаются с привлечением различных приближенных методов, чаще всего численных, реализуемых в современных программных комплексах: SCAD, ANS YS и др. Однако эти методы обладают известным существенным недостатком, заключающемся в выполнении однократного расчета и отсутствия возможности качественной и количественной оценки полученного результата среди всего множества форм пластинок с выпуклым контуром и идентичными граничными условиями.

Этого недостатка лишены геометрические методы строительной механики, основанные на физико-геометрической аналогии интегральных физико-механических характеристик (ФМХ) пластинок и интегральных геометрических характеристик их формы, выступающих в качестве обобщенного геометрического аргумента для всего множества форм пластинок с выпуклым опорным контуром. В качестве такого аргумента известна интегральная геометрическая характеристика формы плоской области, впервые использованная при решении задач математической физики всемирно известными математиками Г. Полиа и Г. Сёге, впоследствии названная коэффициентом фор-

мы. С использованием этой характеристики профессором A.B. Коробко был разработан эффективный инженерный метод решения двумерных задач теории упругости (и, в частности, технической теории пластинок), получившим название метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ). Этот метод получил в последнее десятилетие широкое развитие и находит применение при решении задач поперечного изгиба, динамики и устойчивости пластинок с комбинированными граничными условиями, включая пластинки ор-тотропные и пластинки на упругом основании. Основным преимуществом этого метода является наглядность представления получаемых результатов, позволяющая четко определить место найденного решения среди всего множества форм пластинок с выпуклым опорным контуром и различными комбинациями граничных условий. Этот метод позволяет достаточно просто решать задачи, связанные с оптимизацией формы опорного контура пластинок.

В математической физике известна другая интегральная физическая характеристика формы односвязной области с выпуклым контуром - отношение конформных радиусов. Это отношение было впервые использовано в качестве обобщенного геометрического аргумента в работах В.И. Коробко и А.Н. Хусточкина для решения задач устойчивости пластинок. Было установлено, что использование этого отношения значительно эффективнее по сравнению с коэффициентом формы. Решение сложной физической задачи сводится к решению элементарной геометрической задачи, связанной с анализом поведения отношения конформных радиусов при различных геометрических преобразованиях заданной пластинки и эти решения представляются в наглядной форме с четким и ясным физическим смыслом получаемого результата. Оказалось, что для пластинок с однородными граничными условиями (либо шарнирное опирание по контуру, либо жесткое защемление) для множества пластинок в виде произвольных многоугольников, все стороны которых касаются вписанной окружности (включая все треугольники, правильные многоугольники и ромбы), критическая сила, соответствующая по-

тере устойчивости пластинок, описывается одной аналитической зависимостью.

Исходя из известной математической аналогии дифференциальных уравнений эллиптического типа, описывающих задачи устойчивости, поперечного изгиба пластинок и свободных колебаний упругих пластинок, следует ожидать, что аналогичный эффект можно получить и в задачах поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок. Поэтому тема исследования является весьма актуальной.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются упругие изотропные жесткие пластинки средней толщины различных форм (правильные п-угольные, треугольные, ромбические, прямоугольные, па-раллелограммные, трапециевидные, эллиптические) с комбинированными граничными условиями. Предметом исследования является геометрический метод решения задачи по оценке максимального прогиба пластинок с комбинированными граничными условиями с использованием отношения внутреннего и внешнего конформных радиусов.

Целью исследования является развитие метода интерполяции по отношению внутреннего и внешнего конформных радиусов для оценки жесткости пластинок в задачах поперечного изгиба.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

- выявить взаимосвязь максимального прогиба пластинок при поперечном изгибе с отношением их конформных радиусов;

- исследовать возможность использования методики и математической модели МИКФ для определения максимального прогиба пластинок при поперечном изгибе с использованием вместо коэффициента формы отношения конформных радиусов;

- изучить изопериметрические свойства и закономерности изменения отношения конформных радиусов для отдельных видов односвязных об-

ластей с выпуклым контуром при их геометрических преобразованиях;

- исследовать изопериметрические свойства и закономерности изменения максимального прогиба пластинок в зависимости от изменения отношения конформных радиусов и построить аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» для граничных кривых, по которым определяются «опорные» решения;

- выявить наиболее рациональные геометрические преобразования пластинок сложных форм для получения «опорных» пластинок и наиболее рациональные способы интерполяции «опорных» решений по отношению конформных радиусов;

- разработать методику выбора рациональных вариантов заполнения несущей панели с двумя параллельными опорными направляющими пластинками различных форм, обладающих одинаковой (заданной) жесткостью;

- разработать алгоритм и программу для определения максимального прогиба пластинок сложного вида с однородными и комбинированными граничными условиями с использованием метода интерполяции по отношению конформных радиусов, а также алгоритм и программу для геометрического моделирования форм заполняющих пластинок равной жесткости в несущей панели с двумя параллельными опорными направляющими.

Поставленные задачи решаются при следующих ограничениях: поперечная нагрузка является равномерно распределенной по всей площади пластинок; рассматриваются комбинации граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления по сторонам пластинок (граничные условия свободного края не исследуются).

Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического и аффинного подобия плоских фигур. При исследовании физической стороны проблемы применялись метод конечных элементов и геометрические методы строи-

тельной механики (изопериметрический метод и МИКФ).

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

- изопериметрические свойства и закономерности изменения отношения конформных радиусов для отдельных классов и всего множества форм односвязных областей с выпуклым контуром;

- функциональная связь максимального прогиба пластинок при поперечном изгибе с отношением конформных радиусов;

- графические и аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» ограничивающие значения максимального прогиба для всего множества пластинок выпуклых форм;

- единые аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов» для шарнирно опертых и жестко защемленных многоугольных пластинок, все стороны которых касаются вписанной окружности (в их числе правильные п-угольные, треугольные, ромбические и прямоугольные пластинки);

- методика реализации метода интерполяции по отношению конформных радиусов при оценке максимального прогиба пластинок сложных форм и сложными граничными условиями;

- методика выбора рациональных вариантов заполнения несущей панели с двумя опорными параллельными направляющими пластинками, обладающие одинаковой (заданной) жесткостью.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

- графической интерпретации получаемого значения максимального прогиба, позволяющей четко определить его место среди всего множества форм пластинок и наглядно оценивать качественную и количественную стороны его изменения при изменении геометрических параметров, формы пластинки и граничных условий;

- разработке алгоритмов и программ для решения конструкторских и исследовательских задач по расчету пластинок по условию жесткости с

помощью метода интерполяции по отношению конформных радиусов.

Достоверность результатов подтверждается использованием фундаментальных методов строительной механики пластинок, их сопоставлением с результатами расчета, полученными другими методами (в том числе и точными) и другими исследователями.

На защиту выносятся:

- изопериметрические свойства и закономерности изменения отношения конформных радиусов для отдельных классов и всего множества форм односвязных областей с выпуклым контуром;

- методика решения задач жесткости методом интерполяции по отношению конформных радиусов;

- аналитические зависимости «максимальный прогиб - отношение конформных радиусов», ограничивающие все множество значений максимального прогиба пластинок с выпуклым контуром и комбинированными граничными условиями, а также характерных подмножеств форм (треугольные, четырехугольные, параллелограммные, трапециевидные);

- методика выбора рациональных вариантов заполнения пластинками равной жесткости несущей панели с двумя опорными параллельными направляющими.

- алгоритмы и программы для решения конструкторских и исследовательских задач по расчету пластинок по условию жесткости с помощью ЭВМ.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» (Орел, 2010...2012), 2-ой Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2011); Международных академических чтениях РААСН «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» (Курск, 2011); 13-