автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определение динамических характеристик пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы

'о

На правах рукописи

СЕНИН Максим Андреевич

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛАСТИНОК С КОМБИНИРОВАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

0034В4378

Орёл-2009

003464378

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Орловский государственный аграрный университет»

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Коробко Андрей Викторович

доктор технических наук, профессор Юрьев Александр Гаврилович

кандидат технических наук, доцент Кожарииова Лилия Владимировна

Московский государственный строительный университет (МИСИ)

Защита состоится 27 марта 2009 года в 13-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.182.05 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г. Орёл, Наугорское шоссе, 29, главный корпус, аудитория 212.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Орловского государственного технического университета.

Автореферат разослан » февраля 2009 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

Никулин А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проектирование современных зданий и сооружений связано с проведением всесторонних расчётов для оценки прочности, жёсткости и устойчивости конструкций, находящихся под действием как статических, так и динамических нагрузок. Расчётные схемы несущих элементов строительных конструкций во многих случаях представляются в виде пластинок различной формы и с различными граничными условиями. Расчёт пластинок сложного вида и с комбинированными граничными условиями производится в основном численными методами с использованием специализированных программных комплексов.

Однако в настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке и развитию простых аналитических приближенных методов, которые позволяют путем сравнительно несложных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций. С помощью таких методов удаётся установить аналитическую связь параметров прочности, жесткости и устойчивости от отдельных геометрических характеристик конструкций и физико-механических свойств материала. Это способствует более правильному представлению о силовых схемах в исследуемых конструкциях.

Одним из таких эффективных инженерных методов решения двумерных задач строительной механики является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), теоретические и методологические основы которого были разработаны д.т.н., профессором A.B. Коробко. В этом методе используется приём геометрического моделирования формы плоских областей и исследования поведения интегральных физических характеристик при различных геометрических преобразованиях в зависимости от изменения интегральной геометрической характеристики формы области (коэффициента формы Kf), которая является геометрическим аналогом интегральных физических характеристик. Благодаря установленной аналогии сложные физические задачи теории упругости, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвёртого порядков, сводятся к решению простой геометрической задачи.

МИКФ достаточно хорошо разработан для решения задач с однородными граничными условиями, а в отношении задач с комбинированными граничными условиями даны лишь рекомендации по его развитию.

В задачах динамики сооружений одной из важнейших является проблема определения собственных частот колебаний конструкций. Для упругих пластинок сложных форм и комбинированными граничными условиями эти задачи являются весьма трудоёмкими и обычно решаются численными методами (в большинстве случаем с помощью МКЭ). Поэтому целью диссертационной работы является обобщение и развитие метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач свободных коле-

бамий упругих косоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- используя метод конечных элементов, определить значения частотных параметров для пластинок в виде равнобедренных треугольников, правильных фигур, прямоугольников и ромбов со всевозможными комбинациями граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления и построить аппроксимирующие функции для характерных кривых, ограничивающих множество значений этого коэффициента, в координатных осях «основная частота колебаний пластинок - геометрическая характеристика» (со-Г);

- провести тестирование МИКФ на примерах решения задач для пластинок в виде параллелограммов и трапеций;

- предложить рациональные виды геометрических преобразований параллелограммов и трапеций для нахождения «опорных» решений, расположенных на граничных кривых;

- разработать методику определения высших частот колебаний с помощью МИКФ;

- разработать методику, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач, связанных с определением основной частоты колебаний пластинок в виде произвольных треугольников, четырёхугольников (в том числе параллелограммов, трапеций) и правильных фигур.

Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического и аффинного подобия плоских фигур. При исследовании физической стороны проблемы применялись методы физико-механического подобия, метод конечных элементов, геометрические методы строительной механики (МИКФ и изоперимет-рический).

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- доказательство ограниченности всего множества значений частотного параметра, представленного в координатных осях со - Кг для пластинок в виде треугольников и четырёхугольников с комбинированными граничными условиями;

- аппроксимирующие функции со - Кг, ограничивающие область возможного распределения частотного параметра для пластинок в виде произвольных треугольников и четырёхугольников со всеми возможными комбинациями шарнирного опирания и жесткого защемления их сторон, которые могут использоваться для получения «опорных» решений при исследовании задач свободных колебаний пластинок;

- методика определения высших частот колебаний с помощью МИКФ;

- методика, алгоритм и программный комплекс для определения основ-

ного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с помощью МИКФ.

Практическая ценность работы заключается:

- в графической интерпретации результатов исследования геометрической и физической сторон задач по определению основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;

- в разработке практических приемов применения МИКФ для определения основных и высших частот собственных колебаний таких пластинок;

- в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач по определению основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими методами, приводимыми в научной и справочной литературе и решением большого числа тестовых задач.

На защиту выносятся:

- доказательство двухсторонней ограниченности всего множества значений основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, представленного в координатных осях со — Кс;

- аппроксимирующие функции оо(Кг), ограничивающие область распределения всего множества значений основной частоты колебаний треугольных и четырёхугольных пластинок с различными комбинированными граничными условиями;

- методика определения высших частот колебаний косоугольных пластинок с однородными граничными условиями;

- методика, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач по определению основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международной научно-практической конференции «Повышение качества среды жизнедеятельности города и сельских поселений архитектурно-строительными средствами» (Орел, 2005); Международной научно-практической конференции «Прогрессивные архитектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий» (Орел, 2006); Международной научно-практической конфе-

ренции «Основные тенденции развития архитектурно-строительного комплекса XXI века» (Орел, 2007); Международной научно-практической конференции «Основные проблемы архитектуры и строительства в XXI веке» (Орел, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 207 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы, включающего 125 наименования и четырех приложений. В работе приведены 89 рисунков и 33 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся её общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обсуждается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.

В первой главе приводится краткий аналитический обзор существующих аналитических (точных и приближённых) и численных методов решения задач динамики пластинок. Отмечается, что задачи, связанные с треугольными и четырехугольными областями, могут быть решены только приближенными чаще всего численными методами. Наиболее распространённым является метод конечных элементов.

Наибольший вклад в развитие методов решения задач динамики пластинок внесли известные зарубежные, советские и российские учёные: Ритц, В. Прагер, Ф.Г. Ходж, Р. Курант, В. Ольшак, И.Г. Бубнов, Б.Г. Галеркин, С.П. Тимошенко, П.Ф. Папкович, В.З. Власов, Л.С. Лейбензон, A.A. Ильюшин, А.Р. Ржаницын, Б.Н. Жемочкин, М.И. Горбунов-Посадов, П.М. Варвак, В.В. Болотин, С.Г. Лехницкий, Н.И. Мусхелишвили, Ю.Н. Работнов и многие другие.

Одним из эффективных приближённых аналитических методов решения задач теории пластинок, интенсивно развивающимся в последние десятилетия, является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), который предложил и разработал профессор A.B. Коробко. Геометрической основой этого метода являются изопериметрические свойства интегральной геометрической характеристики плоской области (коэффициента формы Kf) и закономерности её изменения при различных геометрических преобразованиях.

Коэффициент формы определяется контурным интегралом:

кь= 4* О,

I

где ds - линейным элемент контура, а И - перпендикуляр, опущенный из точки «а», взятой внутри области, на касательную к произвольной точке контура (рис. 1). Для областей с полигональным контуром выражение (1) представляется в виде суммы:

П | п п

¡=1 1 ¡=1 ¡=1 где п - число сторон многоугольника, а остальные принятые обозначения указаны на рисунке 2. В любой выпуклой области имеется только одна точка, для которой коэффициент формы имеет наименьшее значение Кг = ттК|-а. Именно такие значения Кг и используются в работе.

г(ф)

90'

dß

Рисунок 1

Рисунок 2

Kf

35 30

25 20 15 10 5

0,1 0,2 0.3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 r/p Рисунок 3

В работах A.B. Коробко доказаны две закономерности, которые являются геометрической и физической основой МИКФ.

1. Если представить распределение всего множества значений Kf в координатных осях Kf - R/p (где R - наибольший радиус вписанной в фигуру окружности, р - наименьший радиус описанной вокруг неё окружности), то:

- все множество К) ограничено с двух сторон: нижнюю границу образуют эллипсы, а верхнюю - многоугольники, описанные вокруг окружности, все стороны которых касаются этой окружности (включая и правильные многоугольники);

- для четырехугольных и треугольных областей нижнюю граничу образуют прямоугольники.

Эта закономерность графически представлена на рисунке 3.

2. Интегральные физические характеристики пластинок (максимальный прогиб, основная частота колебаний, критическая сила при потере устойчивости) функционально связаны с коэффициентом формы. Если представить эти физические характеристики в безразмерном виде, то они зависят от единственного аргумента - коэффициента формы, то есть К/является геометрическим аначогом этих физических характеристик и его изопергшетрические свойства будут распространяться на них.

Сущность МИКФ заключается в выборе некоторого геометрического преобразования, объединяющего заданную пластинку и две другие, решения для которых известны (опорные фигуры). При этом искомая интегральная физическая характеристика F определяется из выражения

где А площадь пластинки, а индекс 1 относится к первому опорному решению; параметр п находится из соответствующих физических и геометрических характеристик двух опорных пластинок. Вид функции (3) соответствует естественному изопериметрическому виду, к которому приводятся известные точные решения задач технической теории пластинок.

На основе проведённого анализа проблемы развития приближенных методов решения задач динамики пластинок сформулированы цель и основные задачи диссертационной работы.

Во второй главе приводится доказательство функциональной связи основной частоты колебаний пластинок с комбинированными граничными условиями (шарнирное опирание и жесткое защемление) с коэффициентом их формы. Для пластинок с однородными граничными условиями такое доказательство известно. Оно легко распространяется и на пластинки с комбинированными граничными условиями, если в них нет участков со свободными краями. Это объясняется свойством контурного интеграла (1), который берется по замкнутому контуру.

С использованием изопериметрических свойств и закономерностей изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразования плоских фигур доказаны изопериметрические теоремы относительно ос-

(3)

новной частоты колебаний пластинок с комбинированными граничными условиями. Эти теоремы аналогичны уже известным для пластинок с однородными граничными условиями:

- все множество значений со для четырехугольных пластинок с комбинированными граничными условиями и выпуклым контуром, представленное в координатных осях со - К/, ограничено с одной стороны значениями со для пластинок в виде равнобедренных треугольников с соответствующими граничными условиями, а с другой — значениями со для прямоугольных пластинок;

- все множество значений со для параллелограммных пластинок с комбинированными граничными условиями ограничено с одной стороны значениями со для ромбических с соответствующими граничными условиями, а с другой стороны - значениями со для прямоугольных пластинок.

Обобщенный график этой закономерности изображен на рисунке 4, который дополнен известными сведениями об эллиптической пластинке и пластинках в виде правильных фигур. На этом рисунке точка 2 соответствует круглой пластинке, точка 3 - пластинке в виде равностороннего треугольника, точка 4 - квадратной пластинке, кривая I - пластинкам в виде правильных фигур, кривая II - пластинкам в виде равнобедренных треугольников, III -прямоугольным пластинкам, кривая IV - эллиптическим пластинкам, кривая V - ромбическим пластинкам.

Рисунок 4

Для преобразования параллелограммных пластинок в прямоугольные и ромбические, а также трапециевидных пластинок в прямоугольные и треугольные рассмотрены различные виды геометрических преобразований, включая и аффинные. Ряд таких преобразований приводится на рисунках 5 и 6. Проведенный анализ этих преобразований позволил выявить из них наиболее рациональные и рекомендовать их при использовании программного комплекса.

Рисунок 5

Рисунок 6

В этой же главе изложена методика решения задач по определению основной частоты колебаний пластинок с помощью МИКФ и примеры решения таких задач.

Таким образом, для решения рассматриваемых задач теории пластинок в виде равнобедренных треугольников, ромбов и прямоугольников со всеми возможными комбинациями граничных условий по сторонам таких пластинок необходимо получить решения для основных частот колебаний всего множества косоугольных фигур с выпуклым контуром, являющихся граничными.

В третьей главе строятся кривые, ограничивающие распределение всего множества основных частот колебаний для четырехугольных и треугольных пластинок при всех возможных комбинациях граничных условий по сторонам пластинок в виде шарнирного опирання и жесткого защемления.

Как уже отмечалось выше, для трапециевидных пластинок граничные кривые образуют основные частоты колебаний прямоугольных и треугольных (в виде равнобедренных треугольников) пластинок, для параллелограммных - частоты колебаний прямоугольных и ромбических пластинок. Для построения этих кривых с помощью МКЭ и программного комплекса «Лира» были решены многочисленные задачи (не менее 15 решений для каждого вида пластинок и каждого вида граничных условий) при четырёх комбинациях граничных условий треугольных пластинок (рис. 7), семи - прямоугольных пластинок (рис. 8) и пяти - ромбических пластинок (рис. 9).

Эти кривые строились в двух вариантах: с высокой степенью точности для использования в дальнейшем при разработке программного комплекса МИКФ и с меньшей точностью (более простые формулы по структуре) для использования при ручном счете.

Для равнобедренных треугольных пластинок, при комбинированном опирании по контуру (рисунок 7) построены следующие аппроксимирующие функции:

Рисунок 7

- для пластинок при граничных условиях по схеме а) -

со =

а + Ь-Кг +с-(1п(Кг))2 +

с1-Кг е-1п(Кг)

1п(Кг) Кг

где а = -1810,19, Ь = - 466,54, с = - 950,11, ё = 3168,99, е = -9645,29; — для пластинок при граничных условиях по схеме б) -

(I) =

а + Ь-Кг +-

1п(К,) (Кг)" (Кг)2

где а = - 4084,4, Ь = 1,947, с = 32000,6, с! = - 28536,4, е = - 77523,3; -для пластинок при граничных условиях по схеме в)-

(В =

/ и п п, е-1п(Кг)Л а + Ь-Кг + с-(1п(Кг))~ +-'-+ '

1п(Кг) К. ,

где а =4708,4, Ь= 1230,4, с = 2506,57, с1 = -8326,02, е= 25550,9; - для пластинок при граничных условиях по схеме г) -

-А-

т /

со =

а + Ь • Кг + с • (1п(Кг))2 +

с!-Кг е-1п(Кг)

-а'

т /

1п(Кг) Кг ^ где а =-3727,37, Ь = -962,50, с = - 1961,27, ё= 6533,1, е = -19915,4.

а)

г)

б)

в)

д)

Рисунок 8

Для прямоугольных пластинок, при комбинированном опирании по туру (рисунок 8) построены следующие аппроксимирующие функции: - для пластинок при граничных условиях по схеме а) -

( и „ Й е-1п(Кг)%) Го /.

ю= а + Ь-К. +с-1п(К.) +-+-—/А,

I 1п(Кг) (Кг)2 J V т /

где а=18155,361, Ь=27,998, с=-2852,304, с1^32295,145, е=95776,472. -для пластинок при граничных условиях по схеме б) -

со = (а + Ь- Кг + с-(Кг)2 +с!-(Кг)25 +е-(КгУ)^~^А,

где а= -14,522, Ь= 6,647, с= -0,397, <1= 0,092, е= -0,006.

- для пластинок при граничных условиях по схеме в) -

© =

а + Ь-1п(Кг) +

1п(К,.) 3 ++И •(1п(К|. ))4 +

+ сЬ(1п(К,.))2 +

(1п(К,)):

•(1п(Кг))3 +

-/А,(Ю) т/

(1п(К,.))5 (1п(К,.))4

где а=525,925, Ь=-3394,087, с=3044,645, с1=1987,273, е=1362,03, ^-457,094, §=-1851,371, 11=38,791, ¡=-4226,775.

- для пластинок при граничных условиях по схеме г) -

со =

а + -

^ к 00

ш/

1п(Кг) (1п(Кг))! (1п(Кг))5 (1п(Кг))4 (1п(Кг))5

где а=3009,636, Ь^-24420,953, с=70921,928, с1=-68466,627, е=-35639,256, 1=73263,452.

Аналогичные аппроксимирующие функции построены и для ромбических пластинок при пяти вариантах граничных условий (рис.9).

а) б) в)

Рисунок 9

Графически рассматриваемые границы для трапециевидных и паралле-лограммных пластинок при двух вариантах граничных условий представлены на рисунках 10 и 11.

и

// / /Л1 т

—У 1 1—

ггтрт!1 гггп'' —1— —1— I 1 1 -

Рисунок 10

Рисунок

В этой же главе для тестирования МИКФ с помощью МКЭ были рассчитаны параллелограммные пластинки с отношением сторон а/Ь = 2 и острым углом а = 60° при граничных условиях, аналогичных прямоугольным пластинкам, а также трапециевидные пластинки с острым углом а = 45° и отношением оснований а:/а2 = 2. По эти данным были построены аппроксимирующие кривые со(Кг), которые могут также использоваться в качестве опорных фигур для расчета других параллелограммных и трапециевидных пластинок.

Рисунок 12

Для пластинок в форме правильных фигур, шарнирно опертых по контуру (рис. 12) построены следующие аппроксимирующие функции: - для пластинок, шарнирно опертых по контуру -

со =

а + с-Кг +е-(Кг)2 1 + Ь-Кг + с1 (Кг)2

(12)

где а=3,023, Ь=-0,001, с=4,659, ё=-0,025, е=-0,812.

- для пластинок, жестко защемленных по контуру -

со =

а + Ь • Кг + с • (К,.5 • 1п(К,.) +

сЬКг

(13)

1п(Кг) (К,.)

где а=1566б44,7, Ь=90367,245, с=208860,18, ё=-924917,92, е=2583266,4. - для пластинок с комбинированным опиранием по контуру:

{ и „ /и V ^ е ) [П> ./,

а + Ь-Кг + с-(Кг) +

со =

1п(Кг) (К,)'

т/

/А,

(14)

где а= 3113440,4, Ь= -91943,097, с= 2221,723, с!=-6792478,9, е= 16889844.

Все построенные аппроксимирующие кривые имеют точность не выше погрешности решений, получаемых с помощью МКЭ. Поэтому и результаты, полученные с помощью МИКФ, нельзя считать более точными.

В заключение этой главы рассмотрены вопросы получения высших частот колебаний пластинок с помощью МИКФ. Суть предлагаемой методики

такая же, как и рассмотренная выше при определении первой частоты колебаний. Для трёх форм пластинок из множества, образующего граничные кривые, с помощью МКЭ определяются три-четыре первые частоты колебаний. Выбор форм пластинок осуществляется так, чтобы можно было с помощью МИКФ построить граничные кривые, отдельно для каждой частоты колебаний, для основного множества форм пластинок, являющихся наиболее распространенными в строительстве или машиностроении. И, уже используя эти граничные кривые, по обычной методике МИКФ рассчитываются пластинки требуемых форм.

а) б)

В работе эта методика иллюстрируется на примере расчета ромбических пластиноки (рис. 13). Используя найденные с помощью МКЭ значения первых четырех частот колебаний для ромбических пластинок с шарнирно опертым контуром с углом и а = 30° (Кп = 16) а = 60° (КЕ= 9,238) с помощью МКЭ получены следующие результаты:

соп =32,5 j d/m /а ; со12 = 52,095 >/d/m /а ; ю,3 = 73,342 vD/m /а ; ш|4 = 97,69 Vd/iti/a; со2, =21,65 -Jd/гп /а ; со22 = 45,174 д/о/т /а ; со23 = 61,789 vd/m /а ; со24 = 72,09 vd/m /а .

По этим данным с помощью МИКФ получены зависимости для каждой формы колебаний (рис. 13), используя которые были найдены четыре частоты

колебаний для пластинки с углом а = 45°: (ю,)45 = 24,88 л]d/m /а ; (ю2>45 = 46,48 vd/^/a ; (а»,)« = 69,68 yfoj m /а ; (0)4)45 = 75,04 yfo/m /а .

Эти решения отличаются от результатов, найденных с помощью МКЭ, соответственно на (0, 0,12, 1,15, 0,15)%.

В четвертой главе разрабатывается алгоритм решения задач с помощью МИКФ, приводится описание программного комплекса «Определение основной частоты колебаний четырехугольных и треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы». Представлены принципы работы программы, её возможности, излагается методика работы с программным комплексом, а так же приводится блок-схема. На конкретных примерах рассматривается функционирование алгоритма программ.

Визуально программа оформлена в виде рабочего окна со строкой главного меню, табло и набором необходимых компонентов (рис. 14).

Программный комплекс «Определение основной частоты колебаний четырехугольных и треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы» представляет собой отдельную программу, выполненную в виде исполняемого файла. Программа предназначена для расчета основной частоты колебаний треугольных, прямоугольных, ромбических, параллелограммных, трапецеидальных пластинок, а также пластинок в форме правильных фигур с различными граничными условиями методом интерполяции по коэффициенту формы.

ША1Ч ИР1-ЮЕ ОПТАНИЕ

о I а нопебл»«« Ггс_> ЖЕСТ КОЕ ЗАЩЕЧПЕНКЕ

3 ШАР* ИП'Ю + I ЖЕСТКО

1 ЖЕСТКО * 3 ШАР1ИЧО

3 ШАРИ-ТИО + 1 ЖЕСТКО

Цсжллиачлисхакоягйлм« 1,'с ис»и*ия'4м1101акиле(ы»*1 '"гТ!А"

3 ЖЕСТКО - 1 ШАРЬИРНО 1 ШАРИ/РНО 3 ЖЕСТКО

Осиоии* '-мскил лигечьяма 1,'с

3 ЖЕСТКО ' 1 ШАРЬИРНО

Осмоши»частога мпяебл»» рц-.г 2 ЖЕСТКО * 2 ШАИИЧЮ

1,-'с Осмооклячостоглиолсблмэ 1,'с

: .................................

. Ут>1П|110с>т.1им1 я: левый * С прь«»й

2 ШАР1ИРНО + 2 ЖЕСТКО

: тоги

Об-ьвмт» масса ««лсрмэла пжктм»! ; Мидут упрупкчимлк^имлн : Козф^иГНТ Пулсши Ш>>пилми1к рлсчег

рчи

Рисунок 14- Рабочее окно программного комплекса «Определение основной частоты колебаний четырехугольных и треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы»

Программный комплекс написан на языке Object Pascal в среде объектно-ориентированного программирования Delphi7, что обеспечивает его работу в операционных системах Windows 9x\2000\NT\XP.

В приложении А приводится листинг программного комплекса «Определение основной частоты колебаний четырехугольных и треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы».

В приложении Б приводятся расчеты параллелограммных пластинок с помощью МКЭ для тестирования метода интерполяции по коэффициенту формы.

В приложении В приводятся расчеты трапециевидных пластинок с помощью МКЭ для тестирования метода интерполяции по коэффициенту формы.

В приложении Г приводятся акты о внедрении результатов диссертационной работы.

Основные выводы

Обобщая результаты проведенных исследований, можно сформулировать следующие выводы.

Метод интерполяции по коэффициенту формы получил существенное развитие для решения задач по определению частот свободных колебаний пластинок в форме треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур.

1. Теоретически численными расчётами подтверждена функциональная связь со - Kf для пластинок в форме треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур при различных комбинациях граничных условий шарнирного опирания и жёсткого защемления. Анализ полученных зависимостей co(Kf) показал, что основная частота колебаний обладает изоперимет-рическими свойствами, а все множество значений основной частоты для четырёх угольных и треугольных пластинок ограничено с двух сторон, как и для пластинок с однородными граничными условиями.

2. Методом конечных элементов с использованием программного комплекса «Лира» определены основные частоты колебаний пластинок с различными комбинациями граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления:

- пластинок в виде равнобедренных треугольников с четырьмя комбинациями граничных условий;

- прямоугольных пластинок с семью комбинациями граничных условий;

-ромбических пластинок с пятью комбинациями граничных условий.

Для каждого вида пластинок и граничных условий решено не менее 15

задач при различных плановых размерах пластинок.

3. На основе полученных решений построены аппроксимирующие

функции, которые представляют собой граничные кривые, ограничивающие возможное множество основных частот колебаний пластинок в виде произвольного треугольника и четырехугольника со всевозможными комбинациями граничных условий по их сторонам.

4. Методика решения указанных задач с помощью МИКФ протестирована па многочисленных примерах и показала хорошую сходимость результатов (погрешность не превышает 3%).

5. Разработана методика определения высших частот колебаний пластинок с использованием приема построения граничных кривых с помощью МИКФ по трём известным решениям. Тестовые примеры показали удовлетворительные результаты, однако с ростом порядка частоты колебаний погрешность существенно возрастает.

6. Разработаны методика, алгоритм и программный комплекс для решения исследовательских и конструкторских задач, связанных с определением основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с однородными и комбинированными граничными условиями.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих научных работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций:

1. Коробко, A.B. Взаимосвязь задач поперечного изгиба и свободных колебаний ромбических шарнирно опертых пластинок [Текст] / A.B. Коробко, М.А. Сенин II Известия ОрелГТУ. Серия «Строительство. Транспорт». -Орел: изд-во ОрелГТУ, 2008. - № 3. - С. 6-7.

2. Коробко, A.B. Определение высших частот и форм колебаний пластинок с помощью МИКФ [Текст] / A.B. Коробко, М.А. Сенин II Строительная механика и расчет сооружений: Научно-технический журнал - М.: Издательство МБА, 2008. - № 6. - С. 31-32.

Публикации в других изданиях:

3. Коробко, A.B. Геометрические и физические основы метода интерполяции по коэффициенту формы и их применение к задачам строительной механики и теории упругости [Текст] / A.B. Коробко, М.А. Сенин, М.А. Фетисова // Повышение качества среды жизнедеятельности города и сельских поселений архитектурно-строительными средствами: Сборник научных трудов международной научно-практической конференции - Орел: изд-во ОрелГАУ, 2005.-С. 165-176.

4. Гефель, В.В. Определение максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы [Текст] / В.В Гефель, М.А. Сенин, А.Д. Лаврик, М.А. Фетисова // Прогрессивные архитектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий: Сборник научных трудов ме-

ждународной научно-практической конференции - Орел: изд-во ОрелГАУ, 2006.-С. 145-156.

5. Коробко, A.B. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициенту формы [Текст] / A.B. Коробко, М.А. Сенин, М.А. Фетисова // Основные тенденции развития архитектурно-строитель-ного комплекса XXI века: Сборник научных трудов международной научно-практической конференции - Орел: изд-во ОрелГАУ, 2007. - С. 259-266.

6. Коробко, A.B. Определение высших частот и форм колебаний четырехугольных пластинок с помощью МИКФ [Текст] /A.B. Коробко, М.А. Сенин // Основные проблемы архитектуры и строительства в XXI веке: Материалы IV научно-практической конференции - Орел: изд-во ОрелГАУ, 2008. -С. 251-256.

Подписано к печати 20.02.2009 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Объем 1,0 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1452

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе Орловского государственного технического университета

302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

ВВЕДЕНИЕ.

1 КРАТКИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ.

1.1 Основные методы определения частот собственных колебаний пластинок.

1.1.1 Дифференциальное уравнение свободных колебаний пластинок.

1.1.2 Потенциальная энергия при свободных колебаниях пластинок.

1.1.3 Точные методы решения задач.

1.1.4 Вариационные методы решения задач.

1.1.5 Численные методы.

1.1.6 Геометрические методы.

1.2 Краткий исторический обзор работ по динамике пластинок.

1.2.1 Приближенные методы.

1.2.2 Геометрические методы.

1.3 Теоретические основы геометрических методов определения собственных частот колебаний пластинок.

1.3.1 Интегральная характеристика формы плоской области. Коэффициент формы.

1.3.2 Геометрические преобразования плоских областей.

1.3.3 Изопериметрический метод (ИЗПМ).

1.3.4 Метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ).

1.4 Основные недостатки геометрических методов и перспективы их развития.

1.5 Обоснование выбора темы исследования.

2 МЕТОД ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ.

2.1 Функциональная связь между основной частотой колебаний пластинок и коэффициентом их формы.

2.2 Приведение некоторых известных решений к изопериметрическому виду.

2.3 Основные изопериметрические теоремы в задачах динамики пластинок.

2.4 Методика определения частот колебаний пластинок с однородными граничными условиями с помощью МИКФ.

2.4.1 Выбор геометрических преобразований.

2.4.2 Выбор опорных решений.

2.4.3 Построение аппроксимирующих граничных кривых со - Kf.

2.4.4 Выбор аппроксимирующих функций для решений, объединяющих ограниченное множество форм пластинок.

2.4.5 Методика решения конкретных задач.

2.4.6 Примеры расчета пластинок с однородными граничными условиями.

3 РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК С КОМБИНИРОВАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ.

3.1 Треугольные пластинки.

3.1.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для треугольных пластинок при аффинных преобразованиях.

3.1.2 Изопериметрические теоремы.

3.1.3 Выбор аффинных преобразований.

3.1.4 Решения для треугольных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко и В.В. Гефеля.

3.1.5 Решения для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко и В.В. Гефеля.

3.1.6 Решения для треугольных пластинок с однородными граничными условиями.

3.1.7 Решения для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

3.2 Параллелограммные пластинки.

3.2.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для параллелограммных пластинок при аффинных преобразованиях.

3.2.2 Изопериметрические теоремы.

3.2.3 Решения для прямоугольных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко, Н.С. Малинкина и А.С. Муромского.

3.2.4 Решения для прямоугольных пластинок с однородными граничными условиями.

3.2.5 Решения для прямоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

3.2.6 Решения для ромбических пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко, Н.С. Малинкина и Н.С. Муромского.

3.2.7 Ромбические пластинки с однородными граничными условиями.

3.2.8 Ромбические пластинки с комбинированными граничными условиями.

3.2.9 Решения для параллелограммных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко, Н.С. Малинкина и А.С. Муромского.

3.3 Трапециевидные пластинки.

3.3.1 Коэффициент формы для трапеций.

3.3.2 Изопериметрические теоремы.

3.3.3 Методика и алгоритм использования МИКФ.

3.3.4 Примеры расчета трапециевидных пластинок.

3.3.5 Решения для трапециевидных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко.

3.4 Пластинки в форме правильных фигур.

3.4.1 Расчет пластинок в форме правильных фигур.

3.4.2 Расчет шарнирно опертых пластинок в форме правильных фигур.

3.4.3 Расчет жестко защемленных пластинок в форме правильных фигур.

3.4.4 Расчет пластинок в форме правильных фигур комбинированными граничными условиями.

3.5 Определение высших частот колебаний пластинок с помощью МИКФ.

3.5.1 Основные понятия.

3.5.2 Ромбические пластинки.

3.5.3 Параллелограммные пластинки.

3.5.4 Трапециевидные пластинки.

4 Разработка алгоритма и программного комплекса «Определение основной частоты колебаний четырехугольных и треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы».

4.1 Основные положения.

4.2 Разработка алгоритма.

4.3 Разработка программного комплекса.

4.3.1 Треугольные пластинки.

4.3.2 Прямоугольные пластинки.

Актуальность темы. Проектирование современных зданий и сооружений связано с проведением всесторонних расчётов для оценки прочности, жёстког сти и устойчивости конструкций, находящихся под действием как статических, так и динамических нагрузок. Расчётные схемы несущих элементов строительных конструкций во многих случаях представляются в виде пластинок различной формы с различными граничными условиями. Расчёт пластинок сложного вида с комбинированными граничными условиями производится в основном численными методами с использованием специализированных программных комплексов.

Однако в настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке и развитию простых аналитических приближенных методов, которые позволяют путем сравнительно несложных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций. С помощью таких методов удаётся установить аналитическую связь параметров прочности, жесткости и устойчивости от отдельных геометрических характеристик конструкций и физико-механических свойств материала. Это способствует более правильному представлению о силовых схемах в исследуемых конструкциях.

Одним из таких эффективных инженерных методов решения двумерных задач строительной механики является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), теоретические и методологические основы которого были разработаны д.т.н., профессором А.В. Коробко. В этом методе используется приём геометрического моделирования формы плоских областей и исследования поведения интегральных физических характеристик при различных геометрических преобразованиях в зависимости от изменения интегральной геометрической характеристики формы области (коэффициента формы Kf), которая является геометрическим аналогом интегральных физических характеристик. Благодаря установленной аналогии сложные физические задачи теории упругости, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвёртого порядков, сводятся к решению простой геометрической задачи.

МИКФ достаточно хорошо разработан для решения задач с однородными граничными условиями, а в отношении задач с комбинированными граничными условиями даны лишь рекомендации по его развитию.

Цель диссертационной работы состоит в развитии и совершенствовании метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) применительно к решению задач свободных колебаний упругих косоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- используя метод конечных элементов, определить значения частотных параметров для пластинок в виде равнобедренных треугольников, правильных фигур, прямоугольников и ромбов со всевозможными комбинациями граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления и построить аппроксимирующие функции для характерных кривых, ограничивающих множество значений этого параметра, в координатных осях «основная частота колебаний пластинок - геометрическая характеристика» (со - Г);

- провести тестирование МИКФ на примерах решения задач для пластинок в виде параллелограммов и трапеций;

- предложить рациональные виды геометрических преобразований параллелограммов и трапеций для нахождения «опорных» решений, расположенных на граничных кривых;

- разработать методику определения высших частот колебаний с помощью МИКФ;

- разработать методику, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач, связанных с определением основной частоты колебаний пластинок в виде произвольных треугольников, четырёхугольников (в том числе параллелограммов, трапеций) и правильных фигур.

Методыисследования. В процессе исследования; геометрической^ стороны ^проблемы использовались методы геометрического подобия--плоских-фигур при проведении комбинированных аффинных преобразований.

При исследовании физической стороны проблемы применялись методы физико-механического подобия, метод конечных элементов, геометрические методы строительной механики (МИКФ и изолериметрический).

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- доказательство ограниченности всего множества значений частотного параметра, представленного в координатных осях со — Kf для пластинок в виде, треугольников и четырёхугольников с комбинированными граничными условиями;

- аппроксймирующие функции со — Kf, ограничивающие область: возможного распределения? частотного параметра; для пластинок в виде; произвольных треугольников и четырёхугольников со всеми возможными комбинациями, шарнирного опирания: и жесткого защемления, их сторон," которые могут использоваться для получения «опорных» решений при исследовании задач свободных колебаний пластинок;

- методика определения'высших частот колебаний с помощью МИКФ;

- методика, алгоритм и программный комплекс для определения основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с помощью.МИКФ.

Практическая ценность работы заключается:

- в графической интерпретации результатов исследования: геометрической и физической сторон задач по определению, основного:тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;

- в разработке практических приемов применения МИКФ для определения основных и высших частот собственных колебаний таких пластинок;

- в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач по определению основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики и теории упругости, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими исследователями, приводимыми в научной и учебной литературе и решением большого количества тестовых задач.

На защиту выносятся:

- доказательство двухсторонней ограниченности всего множества значений основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, представленного в координатных осях со - Kf;

- аппроксимирующие функции co(Kf), ограничивающие область распределения всего множества значений основной частоты колебаний треугольных и четырёхугольных пластинок с различными комбинированными граничными условиями;

- методика определения высших частот колебаний косоугольных пластинок с однородными граничными условиями;

- методика, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач по определению основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международной научно-практической конференции «Повышение качества среды жизнедеятельности города и сельских поселений архитектурно - строительными средствами» (Орел, 2005), Международной научно-практической конференции «Прогрессивные архитектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий»

Орел, 2006), Международной научно-практической конференции «Основные тенденции развития архитектурно-строительного комплекса XXI века» (Орел, 2007), Международной научно-практической конференции «Основные проблемы архитектуры и строительства в XXI веке» (Орел, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов списка литературы, включающего 125 наименования, и четырех приложений. Работа изложена на 207 страницах, включая 89 рисунков и 33 таблицы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты проведенных исследований, можно сформулировать следующие выводы.

Метод интерполяции по коэффициенту формы получил существенное развитие для решения задач по определению частот свободных колебаний пластинок в форме треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур.

1. Теоретически численными расчётами подтверждена функциональная связь ю - Kf для пластинок в форме треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур при различных комбинациях граничных условий шарнирного опирания и жёсткого защемления. Анализ полученных зависимостей co(Kf) показал, что основная частота колебаний обладает изопериметрическими свойствами и а все множество значений частоты для четырёхугольных и треугольных пластинок ограничено с двух сторон, как и для пластинок с однородными граничными условиями.

2. Методом конечных элементов с использованием программного комплекса «Лира» определены основные частоты колебаний пластинок с различными комбинациями граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления:

- пластинок в виде равнобедренных треугольников с четырьмя комбинациями граничных условий;

- прямоугольных пластинок с семью комбинациями граничных условий;

- ромбических пластинок с пятью комбинациями граничных условий;

Для каждого вида пластинок и граничных условий решено не менее 15 задач при различных плановых размерах пластинок.

3. На основе полученных решений построены аппроксимирующие функции, которые представляют собой граничные кривые, ограничивающее возможное множество основных частот колебаний пластинок виде произвольного треугольника и четырехугольника со всевозможными комбинациями граничных условий по их сторонам.

4. Методика указанных задач с помощью МИКФ протестирована на многочисленных примерах и показала хорошую сходимость результатов.

5. Разработана методика определения высших частот колебаний пластинок с использованием приема построения граничных кривых с помощью МИКФ по трём известным решениям. Тестовые примеры показали удовлетворительные результаты, однако с ростом порядка частоты колебаний погрешность существенно возрастает.

6. Разработаны методика, алгоритм и программный комплекс для решения исследовательских и конструкторских задач, связанных с определением основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с однородными и комбинированными граничными условиями.

1. Абдукаримов, Р.А. Влияние на низшие частоты собственных колебаний косоугольных многосвязных пластин внешних условий. Современные проблемы алгоритмизации: Сб. тез. докл Текст. / Р.А. Абдукаримов, И.Н. Преображенский. Ташкент: АН УзССР, 1991. - С. 128.

2. Авдонин, А.С. Расчёт на прочность летательных аппаратов Текст. / А.С. Авдонин, В.И. Фигуровский. -М.: Машиностроение, 1985- 439с.

3. Александров, А.В. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ: В двух частях Текст. / А.В. Александров, Б .Я. Лащенников, Н.Н. Шапошников. М.: Стройиздат, 1976.

4. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов Текст. / А.В. Александров, В.Д. Потапов. М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

5. Ахмедиев, С.К. Прочность, устойчивость и колебания треугольных пластин. Дис. конд. техн. наук Текст. / С.К. Ахмедиев. Караганда, 1982.

6. Безухов, Н.И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач Текст. / Н.И. Безухов, О.В. Лужин. М.: Высшая школа, 1974. - 200 с.

7. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести Текст. / Н.И. Безухов. М.: Высшая школа, 1968. - 532 с.

8. Болотин, В.В. Строительная механика: Современное состояние и перспективы развития Текст. /В.В. Болотин, И.И. Гольденблат, А.Ф Смирнов. -М.: Стройиздат, 1972. 191 с.

9. Боровский, П.В. Исследование прочности косоугольных пластин: Автореферат диссертации канд. тех. наук Текст. / П.В. Боровский. -Киев, 1956.-20 с.

10. Бояркина, С.В. Интегральная характеристика формы геометрических фигур в задачах строительной механики Текст. /С.В. Бояркина, И.Б. Дробин, А.В Коробко. Изв. вузов. Строительство. 1994. - №4. - С. 100-104.

11. Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин Текст. /С.В. Бояршинов. -М.: Машиностроение, 1973. -456 с.

12. Бурчаков, Ю.И. Строительная механика Текст. / Ю.И. Бурчаков, В.Е. Гнедин, В.М. Денисов. М.: Изд-во «Высшая школа», 1983. - 456 с.

13. Вайнберг, Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин Текст. / Д.В. Вайнберг. Киев: Буд1вельник, 1973. - 448 с.

14. Варданян, Г.С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела Текст. / Г.С. Варданян. М.: Изд-во МИСИ, 1980. - 103 с.

15. Вибрации в технике: Справочник Текст., — М.: Машиностроение, 1978. -Т.1.-352 с.

16. Гонткевич, B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек: Справочное пособие Текст. / B.C. Гонткевич. Киев: Наукова думка, 1964.-282 с.

17. Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек Текст. / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов. М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

18. Гухман, A.JI. Введение в теорию подобия Текст. / A.JI. Гухман. М.: Высшая школа, 1963. - 254 с.

19. Дарков, А.В. Строительная механика: учебник для строит, спец. вузов.-8-е изд., перераб и доп. Текст. / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. М.: Высш. шк., 1986. - 607 с.

20. Зуев, Е.А. Язык программирования Turbo Pascal 6.0. Текст. / Е.А. Зуев. -М, Унитех, 1992. 298 с.

21. Кириллов, B.C. Теория расчёта косоугольных плит, опёртых по контуру: Труды Московского автомоб. инст. Вып. 21 Текст. / B.C.

22. Кириллов.-М, 1957.-С. 111-127.

23. Киселев, В.А. Строительная механика: Общий курс Текст. / В.А. Киселев. -М.: Строциздат, 1964. 616 с.

24. Киселев, В.А. Строительная механика: Специальный курс Текст. / В.А. Киселев. М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.

25. Клейн, Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики Текст. / Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев, М.Г. Ванюшенков и др. М,. 1980.

26. Клячко, С.Д. Об аффинности решения задач теории упругости: Тр. НИИЖТа. Строительная механика Текст. / С.Д. Клячко. -Новосибирск. Вып. 62. - 1967. - С. 63-76.

27. Колесник, И.А. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике: Моделирование и оптимизация сложных механических систем Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко. Киев: Институт кибернетики АН Украины. - 1993. - С. 32-37.

28. Колесник, И. А. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии: Сопротивление материалов и теория сооружений Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко. -Киев. 1993. -№ 61. - С. 40-46.

29. Колесник, И.А. Определение физико-механических характеристик параллелограммных пластинок, мембран, сечений: Сопротивление материалов и теория сооружений Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко. -Киев. 1991.-№60.-С. 38-45.

30. Колманок, А.С. Расчёт пластинок: Справочное пособие Текст. / А.С. Колманок. Госстройиздат, 1959. -292 с.

31. Коренев, Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложениях к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран: МПП Текст. / Б.Г. Коренев. 1940. - Вып. 5-6. - Т.4. - С. 61-72.

32. Коробко, А.В. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению некоторых задач строительной механики: Сб. научных трудов ученых Орловской области Текст. / А.В. Коробко. -Орел, 1996.-Вып. 2.-С. 114-122.

33. Коробко, А.В. Свободные колебания пластинок с комбинированными граничными условиями: Сб. докладов и материалов II научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии" Текст. / А.В. Коробко. Курск, 1995. - С. 30-33.

34. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в задачах теории упругости Текст. / А.В. Коробко. М.: Изд-во АСВ стран СНГ, 1999.-320 с.

35. Коробко, А.В. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твёрдого тела Текст. / А.В. Коробко. -Ставрополь: Издательство Ставропольского университета, 1995 165 с.

36. Коробко, А.В. Расчет параллелограммных пластинок с использованием аффинных преобразований и приема интерполяции по их площади Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Строительство. 2001. - № 11. - С. 92-97.

37. Коробко, А.В. Расчёт трапециевидных пластин (мембран, сечений) методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. - № 2. - С. 103— 107.

38. Коробко, А.В. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Авиационная техника. 1995. -№ 3. - С. 81-84.

39. Коробко А.В. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Строительство. 1995. -N 47 - С. 114-119.

40. Коробко, А.В. Оценка погрешности решений задач строительной механики, полученных методом интерполяции по коэффициентуформы: Сб. научных трудов ученых Орловской области Текст. / А.В. Коробко, В.В. Бояркин. Орел, 1996. - Вып. 2. - С. 65-69.

41. Коробко, А.В. Расчёт прямоугольных пластинок с произвольными граничными условиями Текст. / А.В. Коробко, С.Н. Мисун. Известия вузов. Строительство. -2001. -№ 12.-С. 112-115.

42. Коробко, А.В. Взаимосвязь интегральных характеристик в двумерных задачах механики деформируемого твёрдого тела Текст. / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин. Орёл: ОГСХА, 1998. - 22 с. Деп. В ВИНИТИ 19.03.98, № 795-В98.

43. Коробко, А.В. Расчёт параллелограммных пластинок изопериметрическим методом Текст. / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин. Изв. вузов. Авиационная техника. — 1992. №1. — С. 105—114.

44. Коробко, В.И. Геометрические преобразования при решении задач строительной механики пластинок Текст. / В.И. Коробко. Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1983.- №1.— С. 36-39.

45. Коробко, В.И. Закономерности золотой пропорции в строительной механике Текст. /В.И. Коробко. Ставрополь: Ставроп. политехи, инт, 1991.- 112 с.

46. Коробко, В.И. Изопериметрические неравенства в строительной механике пластинок Текст. / В.И. Коробко. — М.: Стройиздат, 1992. -208 с.

47. Коробко, В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: в 3 т. Теоретические основы изопериметрического метода Текст. / В.И. Коробко. М.: Изд-во АСВ стран СНГ, 1997. - Т. 1. - 390 с.

48. Коробко, В.И. Об одном способе решения плоской задачи теории упругости: Исследования облегченных строительных конструкций Текст. / В.И. Коробко. -Хабаровск: ХПИ.- 1977.- С. 15-20.

49. Коробко, В.И. Основные изопериметрические неравенства в технической теории упругих пластинок: Строит, механ. и расчёт сооружений Текст. / В.И. Коробко. — 1986. №6. — С. 47-51.

50. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению задач технической теории пластинок Текст. / В.И. Коробко. -Хабаровск: ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР. 1978. - 66 с.

51. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению некоторых задач строительной механики пластинок: Строит, механ. и расчёт сооружений Текст. / В.И. Коробко. 1979. - №4. - С. 21-23.

52. Коробко, В.И. Развитие и применение изопериметрического метода к решению задач строительной механики пластинок. — Дис. доктора техн. Наук Текст. / В.И. Коробко. Хабаровск, 1982. - 242 с.

53. Коробко, В.И. Состояние и перспективы развития изопериметрического метода в строительной механике Текст. / В.И. Коробко. Изв. вузов. Строительство. 1993. - №11-12. - С. 125-135.

54. Коробко, В.И. Свободные колебания ромбических пластинок на упругом основании: Вычисл. мех. и моделир. работы конструкций и сооружений. Рост-на-Д гос. акад. стр-ва Текст. / В.И. Коробко, В.В. Ковалёв. Ростов-на-Дону, 1992. - С. 53-56.

55. Коротеев, Г.И. Оптимальное проектирование пластин Текст. / Г.И. Коротеев. И зв. в узов. Строительство и архитектура-1979 — №7- С. 34-38.

56. Лукин, С.Н. Турбо-Паскаль 7.0. Самоучитель для школьников, студентов и начинающих Текст. / С.Н. Лукин. М., 1999.

57. Малинкин, Н.С. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к расчёту параллелограммных пластинок: Дисс. канд. техн. Наук Текст. / Н.С. Малинкин Орёл, 2003. - 194 с.

58. Мануйлов, Г.А. Оценки решений для четырехугольных пластин на основе некоторых геометрических преобразований: Численные решения задач строительной механики транспортных сооружений Текст. / Г.А. Мануйлов. М., 1986. - С. 63-70.

59. Мануйлов, Г.А. Геометрические оценки основной частоты шарнирно опёртых полигональных пластин и пологих сферических оболочек: Инженерные проблемы прикладной механики Текст. / Г.А. Мануйлов. -М.: 1987.-С. 87-94.

60. Мануйлов, Г.А. О построении геометрических оценок решений для защемлённых изотропных пластин: Научно-технические проблемы судостроения и судоремонта Текст. / Г.А. Мануйлов. — М., 1988. С. 45-50.

61. Мануйлов, Г.А. Оценки критической нагрузки и основной частоты колебаний некоторых пластин полигонального очертания: Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций Текст. / Г.А. Мануйлов. Л.: ЛИСИ. - 1983. - С. 59-67.

62. Масленников, A.M. Расчет строительных конструкций численными методами Текст. / A.M. Масленников. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 225 е.- М.: Изд-во АН СССР, 1966. - 707 с.

63. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир, 1981.-216 с.

64. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике Текст./

65. С.Г. Михлин. М.: Гостехиздат, 1970. - 512 с.

66. Монахенко, Д.В. Предельная теорема аффинности и ее применение при моделировании задач строительной механики: Исследования по строительной механике Текст. / Д.В. Монахенко. JL: Изд—во ЛИИЖТа, 1968.-С. 173-179.

67. Муромский, А.С. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач колебаний упругих пластинок: Дисс. канд. техн. Наук Текст. / А.С. Муромский Орёл, 2001. - 200 с.

68. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости Текст. / Н.И. Мусхелишвили /- М.: Изд-во ATI СССР, 1966.-707 с.

69. Огибалов, П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок Текст. / П.М. Огибалов. М.: Изд-во МГУ, 1958. - 389 с.

70. Огибалов, П.М. Оболочки и пластинки Текст. / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

71. Пастушихин, В.Н. Устойчивость упругих тонких пластинок с параллелограммным контуром Текст. / В.Н. Пастушихин. Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1966. №4.

72. Перминов, О.Е. Программирование на языке Паскаль Текст. / О.Е. Перминов. М, Радио и связь, 1988 год. - 220 с.

73. Пискунов, В.Г. Определение частот собственных колебаний треугольных и трапецеидальных пластинок Текст. / В.Г. Пискунов. Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1965. — № 9. С. 58-62.

74. Пискунов, В.Г. К задаче о колебаниях и устойчивости параллелограммных пластинок и мембран: Прикладная механика Текст. / В.Г. Пискунов. -Киев, 1965. Т.1. - Вып. 3. - С. 67-71.

75. Пискунов, В.Г. Частоты собственных колебаний ромбических пластинок при смешанных граничных условиях Текст. / В.Г. Пискунов. Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1969. - № 4. - С. 44-46.

76. Полна, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике Текст. / Г. Полиа, Г. Cere. -М.: Госматиздат, 1962. 336 с.

77. Поляков, Д.Б. Программирование в среде Турбо Паскаль (версия 5.5) Текст. / Д.Б. Поляков, И.Ю. Круглов. М.: Издательство МАИ, 1992 год. 576 с.

78. Пригоровский, Р.И. Методы и средства определения полей деформации и напряжений Текст. / Р.И. Пригоровский. М.: Машиностроение, 1983.-248 с.

79. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трёх томах Текст. -М.: Машиностроение, 1968. Т.1. - 831 е.; Т.2.-463 е.; Т.З.

80. Рабинович, И.М. Курс строительной механики Текст. / И.М. Рабинович. M.-JL: Стройиздат, 1950. 388 с.

81. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник Текст. -М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

82. Ржаницын, А.Р. Строительная механика: Учеб. пособие для вузов Текст. / А.Р. Ржаницын М.: Высш. школа, 1982. - 400 с.

83. Самарский, А.А. Разностные уравнения для эллиптических уравнений Текст. / А.А. Самарский, В.В. Андреев. М.: Наука, 1976. - 352 с.

84. Саргсян, А.Е. Строительная механика: Основы теории с примерами расчетов Текст. / А.Е. Саргсян, А.Т. Демченко, Н.В. Дворянчиков, Г.А. Джинчвелашвили. — М.: Изд-во «Высшая школа», 2000. 416 с.

85. Саченков, А.В. Определение частот свободных колебаний пологих сферических оболочек и плоских пластин на основании мембранной аналогии: Прикладная механика Текст. / А.В. Саченков. — 1965, — Т.1. -Вып. 1.-С. 104- 108.

86. Снитко, Н.К. Строительная механика Текст. / Н.К. Снитко. М.: Изд-во «Высшая школа», 1972. - 488 с.

87. Справочник по теории упругости Текст. — Киев.: Буд1вельник, 1974. -419 с.

88. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественныхзданий и сооружений. Расчётно-теоретический Текст. М.: Стройиздат, 1973. -Т 1— 416 с.

89. Суслов, В.П. Строительная механика корабля и основы теории упругости Текст. / В.П. Суслов, Ю.П. Кочанов, В.Н. Спихтаренко. -JL: Судостроение, 1972. -720 с.

90. Текстейра, С. Delphi5. Руководство разработчика, -Т. 1. Основные методы и технологии программирования: Пер. с англ.: Уч. Пос. Текст./ С. Текстейра, К. Пачеко. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2000 — 832 с.

91. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле Текст. / С.П. Тимошенко. М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

92. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки деле Текст. /С.П. Тимошенко, С. Войновский—Кригер . М.: Наука, 1966. — 636 с.

93. Фаронов, В.В. Основы Турбо-Паскаля (6.0) Текст. / В.В. Фаронов. -М, МВТУ-ФЕСТО ДИДАКТИК, 1992. 304 с.

94. Феофанов, А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций Текст. / А.Ф. Феофанов. -М.: Машиностроение, 1964. 136 с.

95. Филиппов, А.П. Колебания механических систем Текст./А.П. Филиппов. Киев: Наукова думка, 1965. - 716 с.

96. Шаповалов, J1.A. Моделирование в задачах механики элементов конструкций Текст. / J1.A. Шаповалов. — М.: Машиностроение, 1990. -288 с.

97. Яглом, И.М. Выпуклые фигуры Текст. / И.М. Яглом, В.Г. Болтянский. M.-JL: Гостехиздат, 1951.-344 с.

98. Claassen, R.W. Vibrations of skew contilever plates Text. / R.W. Claassen. AIAA Journal, 1963. №5. - P. 12-22.

99. Hadid, H.A. Free vibration of beams and oblique panels by spline-integral method Text. / H.A. Hadid, M.H.M. Bashir. J. Sound and Vibr, 1996. -№1. P. 3-1

100. Hosokawa, K. Free vibrations of clamped symmetrically laminated skewplates Text. / К. Hosokawa, Y. Terad, T. Sakata. J. Sound and Vibr, 1996. -№4, P. 525-533.

101. Huang, C.S. Accurate vibration analysis of simply supported rhombic plates by considering stress singularities Text. /C.S. Huang, O.G. McGee,

102. A.W. Liessa, J.W Kim. Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust, 1995. №3. - P. 245-251.

103. Kuttler, J.R. Comment on "Flexural vibration of skew plates using boundary characteristic polynomials in two variables" , Text. / J.R Kuttler, B. Singh, S. Chakraverty . J. Sound and Vibr, 1996. №3. - P. 461-462.

104. Liang, S., Chen, W. Kantorovich solution for the free vibration of a parallelogram thin plate Text. / S.Liang, W. Chen . J. Huarhong (Cent. China) Uviv. Sci. and Technol, 1990. №5. - P. 42-49.

105. Liew, K.M. Vibration characteristics of simply supported thick skew plates in three-dimensional setting Text. / K.M. Liew, K.C. Hung, M.K Lim. Trans. ASME. J. Appl. Mech, 1995. №4. - P. 880-886.

106. Liew, K.M. Vibration analysis of arbitrary quadrilateral unsymmetrically laminated thick plates Text. / K.M. Liew, W. Karunasena, S. Kitipornchai, C.C. Chen. AIAA Journal, 1997.-№7.-P. 1251-1253.

107. McGee, O.G. Natural vibrations of shear deformable cantilevered skew thick plates Text. / O.G. McGee, T.S. Butalia. J. Sound and Vibr, 1994. №3.

108. Quatu, M.S. Vibrations of laminated composite completely free triangular and trapezoidal plates Text. / M.S. Quatu. Int. J. Mech. Sci, 1994. № 9. -P. 797.

109. Sakata, T. Approximation formulae for natural frequencies of simply supported skew plates Text. / T. Sakata. Institute Japan Mechanics Science, 1981. -№ 11. -p. 677-685.

110. Singh, B. Flexural vibration of skew plates using boundary characteristic orthogonal polynomials in two variables Text. / B. Singh, S. Chakraverty. Journal of Sound and Vibration, 1994. №2. - P. 157-178.

111. Wang, X. Buckling and vibration analysis of skew plates by the differentialquadrature method Text. / X.Wang, A.G. Striz, C.W Bert. AIAA Journal, 1994.-№4. -P. 886-889.

112. Xiang, Y. Vibration of stiffened skew Mindlin plates Text. / Y. Xiang, S. Kitipornchai, K.M. Liew. Actamech, 1995.-№ 1—4.-P. 11-28.

113. Xiang, Y. Flexural vibration of skew Mindlin plates with oblique integral line supports Text. /Y. Xiang, S. Kitipornchai, K.M. Liew, C.M. Wang. J. Sound and Vibr, 1994. -№ 4. P. 535-551.

114. Xiang, Y. Flexural vibration of skew Mindlin plates with oblique internal line supports supports Text. / Y. Xiang, S. Kitipornchai, K.M. Liew, C.M. Wang. Res. Rept. Univ. Queensl. Dep. Civ. Eng, 1992.- № 139. pt. I -IV.