автореферат диссертации по строительству, 05.23.16, диссертация на тему:Расчет потенциального движения двухмерных стационарных, спокойных потоков

На правах рукописи

Дуванская Елена Викторовна

РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ДВУХМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ, СПОКОЙНЫХ ПОТОКОВ

Специальности : 05.23.16- «Гидравлика и инженерная гидрология»

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новочеркасск - 2003

Работа выполнена на кафедре информатики ГОУ ВПО «ЮжноРоссийский государственный университет экономики и сервиса»

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Коханенко Виктор Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Иваненко Юрий Георгиевич; доктор физико-математических наук, профессор Фетисов Валерий Георгиевич

Ведущая организация — ГОУ ВПО «Ростовский

государственный строительный университет», г.Ростов-на-Дону

Защита диссертации состоится «25» сентября 2003 г. в часов на заседании диссертационного совета Д220.049.02 в ФГОУ ВПО «Новочеркасская государственная мелиоративная академия» по адресу: 346428, г.Новочеркасск, Ростовской области, ул..Пушкинская, 111, НГМА(ауд.236).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГМА.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью предприятия, просим направлять ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан «25» августа 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совету доктор технических наук, профессор

ондаренко В.Л.

2о о?~(\

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В условиях сопряжения потоков воды в прямоугольных руслах расширяющимися или сужающимися участками, часто встречающихся в практике гидротехнических и дорожных сооружений, возникает задача плавного сопряжения параметров потока без значительных волнообразований и неравномерностей. Для этого необходимо оптимизировать задачу сопряжения русел. С наименьшими затратами такую оптимизацию можно произвести разработав математическую модель течения потока в таких руслах и определить оптимальные размеры элементов русла и параметров потока математическим моделированием, либо перебором различных вариантов, либо выбором варианта, доставляющего минимум функции волнообразования на поверхности потока. Точность, существующих методов расчета, зачастую не удовлетворяет потребностям практики и ее можно в настоящее время существенно улучшить. Сейчас появились все предпосылки для этого: мощные ПЭВМ; в полной мере разработанный аппарат решения краевых задач с уравнениями математической физики; возникла потребность практики в развитии теории двухмерных потоков и поиске, прежде всего, аналитических решений гидравлических задач.

Дель диссертационной работы - расчет гидравлических параметров с учетом сил трения и уклона дна русла двухмерных стационарных, спокойных потоков для решения задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений. Задачи исследований;

1. Анализ изученности вопроса по решению гидравлических задач движения двухмерных стационарных, спокойных потоков.

2. Решение системы дифференциальных уравнений движения двухмерных стационарных, спокойных потоков в плоскости годографа скорости для расчета гидравлических параметров.

3. Разработка алгоритмов и компьютерных программ для решения задач по определению гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна русла.

4. Решение задач по течению плановых спокойных потоков в расширяющемся или сужающемся русле, выполненном в виде прямолинейных боковых стенок, с учетом сил трения потоку;

5. Проверка адекватности математической модели реальному течению потоков сравнением результатов расчета гидравлических параметров с натурными и экспериментальными данными.

Методика исследований основывается на теоретических исследованиях уравнений математической физики по течению спокойных двухмерных в плане потоков воды в открытых руслах с расширяющимися или сужающимися стенками с учетом сил сопротивления потоку со стороны русла. Правильность проделанных математических выкладок доказывается проверкой результатов моделирования в натурных условиях с применением современных измерительных средств и современной вычислительной техники.

На защиту выносятся:

- Решение системы уравнений математической физики, описывающей движение двухмерных стационарных, спокойных потоков воды в плоскости годографа скорости;

- усовершенствованный метод перехода из плоскости годографа вектора скорости в физическую плоскость течения потока;

- метод расчета гидравлических параметров и компьютерные программы для решения задачи по расширению спокойных потоков с учетом сил трения;

- алгоритм расчета гидравлических параметров и компьютерные программы для решения задачи по сужению спокойных потоков с учетом сил трения.

Научную новизну работы составляют:

- Решение системы уравнений математической физики, описывающей движение двухмерных стационарных, спокойных потоков воды в плоскости годографа скорости, для расчета гидравлических параметров потенциального движения;

- методика расчета гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна;

- алгоритм расчета гидравлических параметров и компьютерные программы для решения задач по сужению и расширению спокойных потоков с учетом сил трения со стороны русла.

Практическая ценность работы заключается в получении метода расчета гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна русла.

Реализация работы: Результаты теоретических исследований были внедрены в практику проектирования открытого водосбросного сооружения на объекте реконструкции пруда на балке «Ягодная» Ольховского района Волгоградской области, что подтверждено актом внедрения.

Апробация работы: Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической. Конференции в ЮРГТУ (Новочеркасск 21-24нояб. 2000г.), ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, научных работников и аспирантов ЮРГУЭС (Шахты, 2000-2003 г), научно-технической конференции преподавателей, аспирантов и студентов, посвященной 100-летию М.М. Скиба в НГМА 26 апреля 2002 г., на всероссийской научно-технической, конференции в ЮРГТУ (Новочеркасск, 9-12 окт. 2001 г).

Публикации: Основные результаты исследований изложены в 13 опубликованных научных работах включая монографию.

Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы и приложений. Общий объем составляет 150 страниц машинописного текста, включая 14 рисунков, 5 таблиц, список литературы из 109 наименований, в.т.ч. 11 иностранных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются основные задачи исследования, излагается научная новизна полученных результатов и их практическая ценность.

В первой главе проводится анализ современного состояния изучаемой проблемы, рассматриваются основные виды уравнений движения жидкости. Решением гидравлических задач по течению двухмерных плановых потоков занимались Н.Т. Мелещенко, А.Н. Милитеев, Б.Т. Емцев, И.А. Шеренков, Иппен, Дауссон, Л.И. Высоцкий, B.C. Лапшенков, Сен-Венан, В.Н. Коханенко, Ю.М. Косиченко. и другие исследователи.

Разработке методов расчета спокойных потоков особое внимание уделяли академик Б.Ф. Перевозников, Д.В. Штеренлихт, и особенно A.B. Гарзанов, который впервые попытался применить метод Кирхгофа-Чаплыгина к расчету плановых спокойных потоков. Однако этот метод не был полностью математически исследован в ширь и в глубь и остался забытым несколько десятилетий. Основан этот метод на идеях знаменитого русского механика С.А. Чаплыгина, применявшего метод перехода в плоскость годографа скорости для исследований сжимаемого газа.

В первой главе показывается связь между математическим моделированием и развитием ЭВМ.

Вторая глава посвящена разработке математической основы аналитического решения класса задач по течению плановых спокойных стационарных потоков воды. В этой главе выведена основная система плановых уравнений спокойного потока воды в плоскости годографа скорости.

В качестве исходной системы использовалась известная система плановых уравнений потока воды в виде:

гг дУх .. Зг Л

К—+К—+8— = 0;

дк ф дх (к ду ду

¿М , ^М-о,

ск с^

Вводя ограничение — условие потенциальности потока, условие отсутствия вихря можно записать в виде:

дх

Для спокойных потоков критерий Фруда:

(2)

— <1. Ф

Анализируя уравнение неразрывности потока:

ас

(3)

(4)

в совокупности с условием отсутствия вихря (2), можно сделать вывод о существовании потенциальной функции «ср» и функции тока <ЛР», таких, что выполняется система дифференциальных уравнений:

V

К х~

А у - ду

л0 ' &

(5)

Для преобразования системы (1) воспользуемся известным приемом С.А. Чаплыгина для перехода в плоскость годографа скорости жидкой частицы потока, т.е. перехода от переменных в физической плоскости течения потока 1,7 к переменным в плоскости годографа скорости V,в. С.А. Чаплыгин использовал этот переход для получения системы движения газовых струй

Совершив переход в плоскость годографа скорости, т.е. в плоскость (V,в), аналогично методу для бурных плановых потоков, который формально ничем не отличается, кроме ограничений на число Фруда

^ = — < 1, получим следующую систему уравнений математической

Дифференцируя первое уравнение системы (6) по переменной «#», а второе - по переменной «т» и, приравнивая частные производные, получим следующее уравнение математической физики:

физики в плоскости годографа скорости:

скр _ \ 1-Зг дц/

&с 2Н0' т(1-т)2' ев'

&Р = 2Ио т дв Я0 1 - г дг

(6)

д_ дт

Г 2т дц/\ | 1-3т

(7)

Уравнение (7) методом Фурье сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:

(8)

Далее уравнение (8) путем ряда подстановок сводится к гипергеометрическому уравнению:

т(1 - + [2к - (2к - 1)г] • ^ + к(2к -1) • Ук = 0.

с1тг

<1т

(9)

Решением (9) является гипергеометрический ряд. Были получены следующие группы решений:

А . . ■-—¡=8111 в1, ыт

1

Я0 V?(1 - г)

<Рг

\Гт

совЯ;

Я0 л/г(1-т)

Я0 2(1-г)

(10)

у/л ^ Ал[т(1-~) С05 в; £

Н0 2(1-г)

2йь

<Р 5=

+ С2в.

Полученные решения могут с успехом использоваться гидравликами для решения различных прикладных задач открытых спокойных плановых

Третья глава посвящена разработке метода решения гидравлических задач по течению стационарных плановых, спокойных потоков.

Для доказательства работоспособности предложенного метода расчета гидравлических параметров в этой главе решена задача о радиальном растекании спокойного потока.

В третьей главе решена задача сопряжения спокойных течений в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла без учета сил трения и с учетом сил трения, также рассмотрен вариант учета малых уклонов дна в задаче сопряжения спокойных течений.

Учет сил трения: пусть в точке с координатами хв,уя получены параметры потока без учета сил сопротивления потоку: "У^,^". Необходимо определить параметры УЦ, А* с учетом сил сопротивления потоку.

течений.

О,

*

> х

Рисунок! - Схема к определению параметров потока

Введем обозначения:

Г; = У¥+АГ9;

Определим радиус 1 эквипотенциали:

Я = 3 + хг (12)

Из треугольника 0]00 на рисунке 1 следует тригонометрическая зависимость:

03)

Следовательно:

Тогда определяется и радиус Я,:

<15>

Задаваясь далее линией тока, которая определена углом ви определим координаты точки Р, т.е. точки пересечения ьй эквипотенциали и ]-й линии тока:

(16)

При численных расчетах удобнее разделить угол 0Р на пять равных частей для получения соответствующих линий тока.

Параметры в точке Р{х1/,у1]) определяются формулами:

¡К'К;

<17)

Таким образом, получен метод учета сил трения потоку со стороны русла, который основан на усовершенствовании аналитического метода, разработанного автором настоящей работы. Настоящий метод может быть

распространен на любые задачи гидравлики открытых двухмерных потоков. Численный расчет параметров потока и сравнение их с натурными исследованиями показывает удовлетворительную для практических расчетов точность. Отклонение параметров потока не превосходит 5%. Качественный и количественный характер растекания потока полностью согласуется с уже известными положениями по течению спокойных открытых двухмерных потоков. Учет же сил трения потоку обязателен, так как рассогласование параметров без учета сил трения сопротивления потоку и с учетом сил

сопротивления может достигать 10-15%.

В настоящем разделе работы показан метод учета уклона дна в

расширяющемся русле. Схема такого потока приведена на рисунке 2 и рисунке 3.

Для потока с плоским дном, отметку которого обозначим — т), интеграл энергии имеет вид:

V2

Н = t] + h-cos/i + — 2 g

(18)

Вдоль продольной оси симметрии потока:

dH_dn dh V

dn dh V dV _ Я

(19)

Уравнение (17) приводится к виду:

]_db_ bdx

(20)

где / = sin ц ;

Запишем также уравнение изменения энергии потока в виде:

dH . dh V dV Л —— = -sm и + eos и— +--= —

dH dx

(19)

и уравнения неразрывности потока:

Г г \

Л = 0,0303

к_ и!'

гЬ

о ; '

ёК

У0, /;0,А, В, I, ц., К, - известные величины. У

Рисунок 2 - Вид сверху

13 (21)

(22)

Рисунок 3 - Вид по сечению по оси потока

Необходимо определить параметры К2, И2, во втором русле (после расширения).

Организуем итерационный процесс:

1. Определяем параметры У2, Р2 без учета сил сопротивления потоку и уклона дна;

2. Определяем поправки с учетом сил трения потока - ДК2, Дй2;.

3. Определяем: у =

4. Определяем Н = Н0-ух;

5. Проверяем условие:

АЯ, . (К-К) ^(К-К) -- = -зт/Л-соз//—-^+-211-2-(23)

Ь ъ % ь

У +У

тг г О т ' 2

где К = —--.

• * 2

Итерационный процесс повторяем до тех пор, пока уравнение (23) ни превратится в тождество, для этого вместо Р^.Л, в пункте (1) берем параметры: У2 +АУ2, Л2 + ЛА2.

При практических расчетах функция Ф(К2!й2) меняет знак на

противоположный.

АЯ2 . (Л, -ИЛ Уср (К-Ю ,,

-— + вш // ~ сое -——-°~ = Ф(У2Л). (24)

Ь Ь § Ь

6. Далее определяем поправки &У2, М2 между параметрами, полученными в результате итерационного процесса, и параметрами без учета сил трения и уклона дна во втором русле.

7. Задаваясь произвольным <«/» определяем параметры:

(25)

ЛЛ^ЛЛ,*-.

8. Окончательно параметры потока на оси симметрии с учетом сил трения и уклона дна определяем по формулам:

15 (26)

й, =/», +АУ, '

где V,, А, - соответствуют абсциссе х = х, без учета сил сопротивления потоку и уклона дна.

Далее расчет повторяем по аналогии с методом, изложенным выше. Этот метод численного учета сил трения потоку и уклона дна дополняет аналитические формулы и допускает обобщения для целого класса задач по течению открытых двухмерных спокойных потоков воды.

Четвертая глава: посвящена проверке адекватности результатов счета по математической модели с экспериментальными и натурными результатами исследований.

Натурные исследования проводились на участке отводящего канала при реконструкции пруда на балке «Ягодная» Ольховского района Волгоградской области.

Дно и русло канала были выполнены из гладкого бетона. Размеры сопряжения были следующие: Ь=4м; В=6м; Ь=1 Ом;

Дно каналов «1» и «2», а также сопрягающего русла было плоским горизонтальным.

Замерялись скорости и глубины потока в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6. В каждой точке было проведено 80 измерений скорости осредненной по вертикали. Замер скоростной структуры потока производился по общепринятой методике с использованием аттестованных измерительных приборов. Для измерения скоростей применялась тарированная гидрометрическая вертушка ГР-99, предоставленная Поволжским научно-исследовательским институтом эколого-мелиоративных технологий. Глубины замерялись специальной гидрометрической штангой, предоставленной тем же институтом, с точностью до 1 см. В момент измерения глубины, шест устанавливали вертикально. Точность измерений глубины и скорости составляла до 2%.

Глубина воды в канале «1» в точке «1» была равна 42 см=0,42 м; скорость потока в этой же точке равна 0,8 м/сек.

Y

i х> 1 1 2 со 1

1 о 1 h ]з ]4 « ..... L ..... 5 J -► 6 1 г

Рисунок 4 - Схема сопряжения каналов различной ширины

Обработка экспериментальных данных проводилась по ГОСТ 8-20776, ГОСТ 8-011-72 по следующим формулам:

S(Ä)= ¡¿(х,-А)2(27) Ум

где х, - результаты измерения;

А - средне-арифметическое исправленных результатов измерения;

п - число измерений;

S(A) - оценка средне-квадратичного отклонения результатов измерения.

е = S(Ä) ■ t, (28)

t=2/0 - коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности р=0,95; е - доверительные границы случайной погрешности результатов

измерения.

е = (с/Л)-100%, (29)

где s - относительные доверительные границы случайной погрешности результатов измерения, выраженные в процентах.

Все вычисления выполнялись на компьютере с использованием математического пакета MAPLE V. Надо отметить, что в настоящее время в связи с наличием большого числа очень мощных математических пакетов,

практически отпала необходимость в составлении индивидуальных программ для решения уравнений, в частности кубических. Данные математические пакеты содержат множество вычислительных методов и стандартных функций, способных решать практически любую вычислительную задачу, будь то: обычное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных или оптимизационный метод. Если же учесть, что современные пакеты содержат встроенные методы программирования, а также в настоящее время существует множество электронных книг дополняющих эти паркеты, то видно, что вычислительные возможности данных пакетов очень большие. Использование стандартных математических пакетов намного ускоряет проведение исследований, так как не тратится время на отладку индивидуальных программ. Кроме того, при этом используются наиболее мощные и эффективные математические алгоритмы, которые неоднократно апробированы.

Таблица 1 - Глубины и скорости осредненные по вертикали

№ точки 1 2 3 4 5 6

V, м/с 0,80 0,78 0,74 0,70 0,66 0,48

Ь, см 42 43 44 45 46 46

ДУ, % 2,5 2,3 5,2 3,8 4,7 3,9

ДЬ,% 4,1 3,6 3,9 5,3 2,4 6,2

Для сравнения полученных результатов с результатами математической модели, проводился расчет по программам как с учетом сил трения потоку, так и без него.

В качестве исходных данных в расчетах принимали: В=6м; Ь=4м; Ь=10м; У0=0,8м/сек; Ьо=42см; $5=9,8м/сек; Для учета сил трения дополнительные данные -10=0,052.

Таблица .2 - Скорости и глубины, рассчитанные без учета сил трения

№ точки 1 2 3 4 5 6

Ур., м/с 0,88 0,85 0,84 0,78 0,72 0,53

Ьр, см 44,2 45,3 47,3 45,9 46,5 47,9

Таблица.З - Скорости и глубины, рассчитанные с учетом сил трения потоку

№ точки 1 2 3 4 5 6

V, м/с 0,82 0,79 0,78 0,73 0,69 0,49

Ьр, см 43,7 44,8 45,7 47,5 47,9 49,0

АУ,% 7,0 8,9 7,2 7,5 4,56 8,3

АЬ, % 0,9 1 3,2 3,5 8,7 2,5

Результаты счета показывают:

1) учет сил трения потоку со стороны русла для спокойных потоков обязателен;

2) относительная погрешность модели с учетом сил трения и без учета по параметрам потока не превосходит 15%;

3) относительная погрешность параметров потока математической модели и натуры с учетом сил сопротивления потоку не превосходит 5%;

Подтверждается общий характер растекания спокойного потока в расширениях: скорости уменьшаются, а глубины возрастают. ,

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Получена система дифференциальных уравнений математической физики, описывающая движение жидкости планового потока в плоскости годографа скорости. В отличие от системы, описывающей течение жидкости спокойного планового потока в физической плоскости, полученная система линейна относительно старших производных, что позволило решить эту систему аналитически.

2. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений дало возможность получить группы решений, которые могут быть использованы для решения гидравлических задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений.

3. Разработан и обобщен метод решения гидравлических задач двухмерных стационарных, спокойных потоков, который .позволяет учитывать влияние сил трения потоку и уклона дна русла, что дает возможность повысить точность гидравлических расчетов на 10-15%.

4. Разработана математическая модель для выполнения инженерных расчетов гидравлических задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений.

5. По результатам экспериментальных исследований изучены качественные и количественные характеристики гидравлических параметров спокойного потока при расширении и сужении, которые подтверждают основные выводы аналитических зависимостей.

6. Сравнение результатов натурных исследований с результатами расчета гидравлических параметров по разработанной математической модели показало достаточную сходимость в пределах 5%.

7. Метод, предложенный в работе, позволяет обобщить и расширить теорию расчета двухмерных открытых плановых, спокойных потоков.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Дуванская Е.В. Вывод уравнений движения спокойного стационарного планового потока воды в плоскости годографа скорости/Е.В .ДуванскаяВ.Н.Коханенко//Новые технологии управления движением технических объектов: Материалы. 3-й

Междунар. науч-техн. конф., Новочеркасск, 21-24 нояб. 2000г.-Новочеркасск,2000.-Т.З.-С.75-79(доля автора 60%).

2. Дуванская Е.В. Поиск аналитических решений системы плановых уравнений движения спокойного потока воды/ Е.В.Дуванская., В.Н.Коханенко//Новые технологии управления движением технических объектов: Материалы. 3-й Междунар. науч-техн. конф., Т.З, Новочеркасск, 21-24 нояб. 2000г.-Новочеркасск,2000.-Т.З.-С.80-85 (доля автора 65%).

3. Дуванская Е.В. Поиск аналитических решений системы плановых

«

уравнении движения спокойного потока воды методом разделения переменных/ Е.В.Дуванская., В.Н.Коханенко//Новые технологии управления движением технических объектов: Материалы. 3-й Междунар. науч-техн. конф., Новочеркасск, 21-24нояб. 2000г.-Новочеркасск,2000.-Т.З.-С.85-88 (доля автора 60%).

4. Дуванская Е.В. Современные методы расчета дорожных водопропускных сооружений./Е.В.Дуванская// Экология, технология и оборудование:Сб. науч. трудов/Издательский центр ДГТУ - Ростов-на-Дону, 2001.-С.94-98.

5. Дуванская Е.В. Современные проблемы строительства водопропускных сооружений на автомобильных дорогах/Е.В.Дуванская, В.Н.Коханенко//Концепция современного развития автомобилестроения и эксплуатации транспортных средств: Материалы Всерос. науч.-техн. конф.,Новочеркасск, 9-12 окт. 2001г.-Новочеркасск, 2001.-С.247-249 (доля автора 70%).

6. Дуванская Е.В. Специфические методы поиска аналитических решений а системы плановых уравнений движения спокойного потока воды/Е.В.Дуванская, В.Н.Коханенко//Экология, технология и оборудование:Сб. науч. трудов/Издательский центр ДГТУ - Ростов-на-

Дону, 2001.-С.143-147 (доля автора 75%).

7. Дуванская Е.В. Существо аналитического метода решения практических задач открытых плановых потоков с использованием вспомогательной плоскости годографа скорости потока /Е.В.Дуванская//Мелиорация антропогенных ландшафтов: Сб. науч. трудов/Новочеркасская гос. мелиоративная академия-Новочеркасск: НГМА, 2002.-Т16.-С.52-56.

8. Дуванская Е.В. Решение задачи радиального растекания спокойного потока/Е.В.Дуванская, В.Н.Коханенко, Ю.М.Косиченко// Мелиорация антропогенных ландшафтов: Сб. науч. трудов/Новочеркаасская гос. мелиоративная академия-Новочеркасск: НГМА,2002.-Т16.-С.43-52 (доля автора 60%).

9. Дуванская Е.В. Развитие аналитических методов решения гидравлических задач по течению двухмерных в плане спокойных стационарных потоков идеальной жидкости/Е.В .Дуванская, В.Н.Коханенко// Мелиорация антропогенных ландшафтов: Сб. науч. трудов,/Новочеркаасская гос. мелиоративная академия-Новочеркасск: НГМА,2002.-Т16.-С.22-25 (доля автора.80%).

10.Дуванская Е.В. Аналитическое решение задачи сопряжения открытых спокойных потоков воды при их расширении/Е.В.Дуванская//Экология, экономика, технологии и оборудование: Сб. науч. трудов./Издательский центр ДГТУ - Ростов-на-Дону 2002,-С.67-74.

11.Дуванская Е.В. Аналитический метод решения ряда практических задач по течению двухмерных в плане стационарных спокойных потенциальных потоков идеальной жидкости/Е.В.Дуванская, В.Н.Коханенко// Экология, экономика, технологии и оборудование: Сб. науч. трудов./Издательский центр ДГТУ.- Ростов-на-Дону, 2003 .-С. 75-84(доля автора 70%).

12. Дуванская Е.В. Решение задачи сопряжения спокойных течений воды в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла и учетом сил трения/Е.В.Дуванская, Ю.М.Косиченко,

В.Н,Коханенко/ Экология, экономика, технологии и оборудование: Сб. науч. трудовУИздательский центр ДГТУ.- Ростов-на-Дону, 2002.-С.163-172 (доля автора 60%).

13.Методы решения гидравлических задач по течению плановых спокойных стационарных потоков воды:Моширафия/Южно-Рос.гос.ун-т экономики и сервиса; В.Н.Коханенко, Ю.М.Косиченко, Е.В.Дуванская.Б.Ю.Калмыков; Под ред.В.Н.Коханенко.-Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2003,68с (доля автора 50%).

Подписано в печать 22.07.2003. Тираж 100 экз. Заказ № 215

Типография НГМА г.Новочеркасск, ул.Пушкинская 111,346428

P 134 3 1

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА.

1.1. Основные виды уравнений движения жидкости и упрощения.

1.2. Связь между развитием ЭВМ и математических моделей различных процессов происходящих в природе, технике, обществе.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ ПО ТЕЧЕНИЮ ПЛАНОВЫХ СПОКОЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ ВОДЫ.

2.1 Вывод основной системы плановых уравнений спокойного потока воды в естественных координатах в плоскости годографа скорости.

2.2 Сведение поиска решения системы уравнений плановых спокойных потоков воды к решению уравнения второго порядка в частных производных.

2.3 Поиск решений системы плановых уравнений движения спокойного потока воды методом разделения переменных.

2.4. Специфические методы решения системы плановых уравнений движения спокойного потока воды.4$

2.5 Выводы по главе. m З.ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕЧЕНИЮ ПЛАНОВЫХ СПОКОЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ ВОДЫ.

3.1. Решение задачи о радиальном растекании воды (спокойный поток)

3.2. Формулировка общего метода аналитического решения гидравлических задач по течению двухмерных в плане спокойных стационарных потенциальных потоков воды.

3.3. Пример решения задачи сопряжения спокойных течений воды в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2 Определение параметров потока во втором русле.

3.3.3. Выбор конструкции решения задачи для выражения в линии тока (вариант -1).

3.3.4. Получение системы уравнений для функции тока и потенциальной функции.

3.3.5. Определение параметров растекания потока вдоль его оси симметрии

3.3.6. Интегрирование системы уравнений движения потока вдоль граничной линии тока и фиксированной эквипотенциали.

3.3.7. Определение параметров потока на оси симметрии потока и вдоль граничной линии тока.

3.3.8 Определение параметров потока внутри области течения.

3.4. Решение задачи сопряжения спокойных течений воды в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла с учётом сил трения потоку.

3.4.1. Определение закона распределения параметров потока вдоль его оси симметрии с учётом сил трения.

3.4.2 Корректировка параметров потока в расширяющемся русле с учетом сил сопротивления потоку в произвольной точке потока.

3.4.3. Вариант учета малых уклонов дна в задаче сопряжения спокойных течений воды в каналах прямоугольного сечения различной ширины с расширением русла.

4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ. ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ. ВЫВОДЫ.

4.1. Решение задачи определения параметров потока на участках сужения русла.

4.1.1. Расчет параметров потока во втором русле без учета сил сопротивления потоку.

4.1.2. Выбор конструкции решения для выражения в линии тока.

4.1.3. Определение параметров растекания потока вдоль оси симметрии русла

4.1.4. Определение параметров потока вдоль его продольной оси симметрии с учетом сил сопротивления.

4.1.5. Решение задачи в целом.

4.1.6. Алгоритм расчета параметров потока без учета сил сопротивления потоку.

4.1.7. Алгоритм расчета параметров потока с учетом сил сопротивления потоку.

4.2. Доказательство адекватности результатов счета по математической модели экспериментальным и натурным результатам исследований.

4.2.1. Натурные исследования течения спокойного потока с расширением русла прямолинейными стенками.

4.2.2. Сравнение результатов счета модели с учетом сил трения потоку с экспериментальными данными известных исследователей.

4.3. Полная формулировка результатов работы и их практическая значимость.

В условиях сопряжения потоков воды в прямоугольных руслах расширяющимися или сужающимися участками, часто встречающихся в практике гидротехнических и дорожных сооружений, возникает задача плавного сопряжения параметров потока без значительных волнообразований и неравномерностей. Для этого необходимо оптимизировать задачу сопряжения русел. С наименьшими затратами такую оптимизацию можно произвести разработав математическую модель течения потока в таких руслах и определить оптимальные размеры элементов русла и параметров потока математическим моделированием, либо перебором различных вариантов, либо выбором варианта, доставляющего минимум функции волнообразования на поверхности потока. Качество же существующих методов расчета зачастую не удовлетворяет потребностям практики и его можно в настоящее время существенно улучшить, так как появились все предпосылки для этого: мощные ПЭВМ; появился в полной мере разработанный аппарат решения краевых задач с уравнениями математической физики; возникла потребность практики в развитии теории двухмерных потоков и поиске, прежде всего, аналитических решений гидравлических задач.

Актуальность проблемы. Наиболее сложными являются задачи гидравлики пространственных потоков. В практике гидромелиоративного строительства встречаются потоки, течением вдоль одного измерения в которых можно пренебречь по сравнению с двумя основными. В 1933 году Н.Н.Бернадский предложил двухмерную плановую модель потока в спокойном состоянии, т.е. при числах Фруда (критерии кинетичности потока Fr<l). Приемлемость такого подхода была подтверждена многократно. Однако существующие методы решения различных гидравлических задач по течению таких потоков весьма не совершенны и могут быть существенно улучшены разработкой чисто аналитических методов, либо смешанных, т.е. дополненных численными методами. Таким образом, решается основная задача МВХ России

Усовершенствование конструкций и методов расчета открытых потоков в гидросооружениях оросительных систем и дорожных водоотводов». Как известно, характер течения спокойныхFr<l и бурных Fr> 1 потоков резко отличаются. В настоящий работе уделяется внимание именно спокойным потокам течения реальной жидкости с учетом сил сопротивления потоку и уклона дна русла на примере решения задач с расширением или сужением русла прямолинейными стенками.

Развитие компьютерной техники с одной стороны и потребности гидротехнического строительства с другой, позволяют на современном этапе развития теории плановых потоков создать метод упрощенного аналитического решения целого класса задач по течению двухмерных в плане спокойных потоков, результаты которого могут использоваться, как непосредственно в проектных организациях, так и косвенно для разработки системных методов по решению прикладных задач с учетом значительного числа второстепенных факторов. Ранее таких обобщенных цельных методов расчета в научной литературе не встречалось. Таким образом математическое моделирование воплощается, реализуется на моделях плановых спокойных потоков воды. В работе приведены практические задачи, решаемые предлагаемым аналитическим методом, и спектр этих задач будет постоянно увеличиваться с течением времени.

Цель и задачи исследований: Целью настоящей работы является расчет гидравлических параметров с учетом сил трения и уклона дна русла двухмерных стационарных, спокойных потоков для решения задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений.

Для реализации данной цели были поставлены следующие задачи:

1. . Анализ изученности вопроса по решению гидравлических задач движения двухмерных стационарных, спокойных потоков.

2. Решение системы дифференциальных уравнений движения двухмерных стационарных, спокойных потоков в плоскости годографа скорости для расчета гидравлических параметров.

3. Разработка алгоритмов и компьютерных программ для решения задач по определению гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна русла.

4. Решение задач по течению плановых спокойных потоков в расширяющемся или сужающемся русле, выполненном в виде прямолинейных боковых стенок, с учетом сил трения потоку;

5. Проверка адекватности математической модели реальному течению потоков сравнением результатов расчета гидравлических параметров с натурными и экспериментальными данными.

Методика исследований основывается на теоретических исследованиях уравнений математической физики по течению спокойных двухмерных в плане потоков воды в открытых руслах с расширяющимися или сужающимися стенками с учетом сил сопротивления потоку со стороны русла. Правильность проделанных математических выкладок доказывается проверкой результатов моделирования в натурных условиях с применением современных измерительных средств и современной вычислительной техники.

Научную новизну работы составляют:

- Решение системы уравнений математической физики, описывающей движение двухмерных стационарных, спокойных потоков воды в плоскости годографа скорости, для расчета гидравлических параметров потенциального движения;

- методика расчета гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна;

- алгоритм расчета гидравлических параметров и компьютерные программы для решения задач по сужению и расширению спокойных потоков с учетом сил трения со стороны русла.

Практическая ценность . работы заключается в получении метода расчета гидравлических параметров двухмерных стационарных, спокойных потоков с учетом сил трения и уклона дна русла.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической. Конференции в ЮРГТУ (Новочеркасск 21-24нояб. 2000г.), ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, научных работников и аспирантов ЮРГУЭС (Шахты, 2000-2003 г), научно-технической конференции преподавателей, аспирантов и студентов, посвященной 100-летию М.М. Скиба в НГМА 26 апреля 2002 г., на всероссийской научно-технической, конференции в ЮРГТУ (Новочеркасск, 9-12 окт. 2001 г).

Реализация работы: Результаты теоретических исследований были внедрены в практику проектирования открытого водосбросного сооружения на объекте реконструкции пруда на балке «Ягодная» Ольховского района Волгоградской области, что подтверждено актом внедрения.

Ряд систем, формул, алгоритмов могут использоваться инженерами проектировщиками оросительно-обводнительных систем водного хозяйства России для расчета спокойных потоков, а в сужающихся участках русла и для потоков, переходящих из спокойного состояния в бурное.

Публикации: Основные результаты исследований изложены в 13 опубликованных научных работах включая монографию.

Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы и приложений. Общий объем составляет 150 страниц машинописного текста, включая 14 рисунков, 5 таблиц, список литературы из 109 наименований, в.т.ч. 11 иностранных авторов.

4.4. Общие выводы Получена система дифференциальных уравнений математической физики, описывающая движение жидкости планового потока в плоскости годографа скорости. В отличие от системы, описывающей течение жидкости спокойного планового потока в физической плоскости, полученная система линейна относительно старших производных, что позволило решить эту систему аналитически. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений дало возможность получить группы решений, которые могут быть использованы для решения гидравлических задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений. Разработан и обобщен метод решения гидравлических задач двухмерных стационарных, спокойных потоков, который .позволяет учитывать влияние сил трения потоку и уклона дна русла, что дает возможность повысить точность гидравлических расчетов на 10-15%. Разработана математическая модель для выполнения инженерных расчетов гидравлических задач при проектировании сетевых мелиоративных и дорожных сооружений.

По результатам экспериментальных исследований изучены качественные и количественные характеристики гидравлических параметров спокойного потока при расширении и сужении, которые подтверждают основные выводы аналитических зависимостей. Сравнение результатов натурных исследований с результатами расчета гидравлических параметров по разработанной математической модели показало достаточную сходимость в пределах 5%.

Метод, предложенный в работе, позволяет обобщить и расширить теорию расчета двухмерных открытых плановых, спокойных потоков.

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - 5-е изд. -/Л.Г.Лойцянский.-М.: Наука, 1978. - 736 с.

2. Дмитровский В.И. Гидромеханика /В.И.Дмитровский. М: Морской транспорт, 1962. 298с.

3. Штеренлихт Д.В. Гидравлика:В 4-х т./Д.В.Штеренлихт М.:Энергоиздат, 1991.-Т.4.-366с.

4. Высоцкий Л.И. Управление бурными потоками на водосбросах / Л.И.Высоцкий. М: Энергия, 1977,280с

5. Справочник по гидравлике / Под редакцией В.А.Болыпакова.-2е изд., перераб. и доп.-Киев: Вища школа,1984.-343с.6. . Штеренлихт Д.В. Гидравлика:В 4-х т./Д.В.Штеренлихт М. :Энергоиздат, 1991.-Т.2.-366с.

6. Штеренлихт Д.В. Гидравлика:В 4-х т./Д.В.Штеренлихт М.:Энергоиздат, 1991.-T.3.-366C.

7. Штеренлихт Д.В. ГидравликагВ 4-х т./Д.В.Штеренлихт М.:Энергоиздат, 1991.-Т.4.-366С.

8. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки / Б.Т.Емцев. М.: Энергия, 1967.-212 с.

9. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. М.: Наука, 1986. - 106с.

10. Галушко В.Г. Вероятностно-статистические методы на автотранспорте. / В.Г.Галушко. Киев: Наукова думка, 1976. - 232с.

11. Генетические алгоритмы: Монография / Таганрогский радиотехнический ун-т; В.М. Курейчик. Таганрог: Изд-во. ТРТУ, 1998,242с.

12. Курейчик В.М. Математическое обеспечение КТП с применением САПР. / В.М.Курейчик. М.: Радио и связь, 1990, 351с.

13. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы в технике. Методы кибернетики и информационные технологии. — Саратов: Изд-во СГУ, 1997 ,245с.

14. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. / Б.Т.Емцев. М.: Машиностроение, 1987,439с.

15. Энциклопедический словарь.Информатика./Под редакцией Д.А.Поспелова. М.: Наука, 1994, 352с

16. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных / И.Г.Петровский. М.: Физматгиз, 1961. 156 с.

17. Шеренков И.А. О плановой задаче растекания струи бурного потока несжимаемой жидкости / И.А.Шеренков М: Известия АНСССР. ОТН, 1958, 72-78с.

18. Лятхер В.Н. Исследование плана течений в нижнем бъефе гидротехнических сооружений численными методами / В.Н. Лятхер,

19. A.Н. Милитеев, Н.П. Тогунова // Гидротехническое строительство. -1978, №26, С.26-31.

20. Милитеев А.Н. Метод расчета сопряжения бьефов в пространственных условиях / А.Н. Милитеев, Н.П. Тогунова // Гидравлика сооружений оросительных систем: Труды НИМИ; вып.5. Новочеркасск, 1976, T.XVIII.-C.180-194.

21. Коханенко В.Н. Выбор частных решений основной системы движения потока в конструкции решения краевой задачи свободного растекания бурного двухмерного, стационарного потенциального потока воды /

22. B.Н. Коханенко. Шахты, 1996.-12с.- Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3588-В96.

23. Коханенко В.Н. Конструирование решения задачи свободного растекания бурного двухмерного стационарного потенциального потока воды /

24. В.Н. Коханенко. Шахты, 1996.-9с.- Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3586-В96.

25. Коханенко В.Н. Решение системы двухмерных уравнений растекания бурного стационарного потока воды / В.Н. Коханенко. Шахты, 1996.-11с.- Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3585-896.

26. Дуванская Е.В. Современные методы расчета дорожных водопропускных сооружений./Е.В.Дуванская// Экология, технология и оборудование:Сб. науч. трудов/Издательский центр ДГТУ Ростов-на-Дону, 2001.-С.94-98.

27. Коханенко В.Н. Влияние неравномерности потока в выходном сечении трубы на характер свободного растекания потока в нижнем бьефе. Гидравлика и гидротехника / В.Н. Коханенко, O.JT. Кольченко // Киев, -1989,-Вып. 51.- с. 42-48.

28. Коханенко В.Н. Расчет планового свободно растекающегося потока за трубчатыми водосбросами круглого сечения. ЦНТИ / В.Н. Коханенко // Информационный листок № 594-88. Ростов-на-Дону, 1988. - 2 с.

29. Коханенко В.Н. Применение принципа оптимальности, к расчету свободного растекания бурных плановых потоков. Автосервис, машины и агрегаты, механика. / В.Н. Коханенко, Б.Ю. Калмыков // Сб.научн.трудов. Шахты: ДГАС, 1996, - Вып. 17. 4.1. - с. 65-69.

30. Лавренев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М.А. Лавренев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1977. - 408 с.

31. Коханенко В.Н. Вывод основной системы уравнений двухмерного потока в плоскости годографа скорости и поиск ее частных решений М., 1996 Деп. в ВИНИТИ № 3584-В96 от 10.12.96 - 98 с.

32. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера / В.П. Сигорский.-Киев: Техника, 1975.-766с.

33. Хартман Ф.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф.М. Хартман.-М.: Мир. 1970.-242с.

34. Коханенко В.Н. Вывод основной системы уравнений движения двухмерного потока в плоскости годографа скорости и поиск ее частных решений / В.Н. Коханенко. М., 1996. - 98 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3584-В96.

35. Чаплыгин С.А. Избранные труды. Механика жидкости и газа. Математика. Общая механика/С.А.Чаплыгин. -М.: Наука, 1976. 496с.

36. Коханенко В.Н. Вывод системы двухмерных уравнений бурного потока в плоскости годографа скорости / В.Н. Коханенко. М., 1996. -10 с.-Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3587-В97.

37. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической 'физики / Н.С.Кошляков, Э.Б.Глинер, М.М.Смирнов. -М.: Физматгиз, 1962. -82с.

38. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. / М.М.Смирнов. М.: Наука, 1964. - 202с.

39. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1986. - 106с.

40. НиколенкоВ.Н. Уравнения математической физики. / В.Н.Николенко. -М.:. Изд-ство МГУ, 1981. - 64с.

41. АрсенинВ.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я.Арсенин. М.: Наука, 1984. 384с.

42. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Г.Корн и Т.Корн. М.: Наука, 1970. - 720с.

43. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / В.С.Владимиров. М.: Наука, 1971. 94с.

44. Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1968.- 102с.

45. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. М.: Госте-хиздат, 1966.-224с.

46. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Камке Э Перевод с нем. Изд. 4-е, исправл. и доп. М.: Наука, 1971. -576с.

47. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В.Степанов. -М.: Гостехиз-дат, 1953. 321с.

48. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. М.:Высшая школа, 1963.- 156с.

49. Дуванская Е.В. Решение задачи радиального растекания спокойного потока/Е.В.Дуванская, В.Н.Коханенко, Ю.М.Косиченко// Мелиорация антропогенных ландшафтов: Сб. науч. трудов/Новочеркаасская гос. мелиоративная академия-Новочеркасск: НГМА,2002.-Т16.-С.43-52

50. Евдокимова В.В. Экономическая информатика. Учебник для вузов / В.В. Евдокимова. СПб.: Питер. 1997. - 592с.

51. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. Краткий курс / В.Э Фигурнов. М.: ИНФРА - М, 1999. - 480 с.

52. Богумирский Б. Энциклопедия Windows 98 / Б.Богумирский. СПб.: Питер Ком, 1999. - 896 с.

53. Йорг Шиб. Windows: Пер. с нем. / Йорг Шиб. М.: БИНОМ., 1995 -336 с. ил.

54. Дьяконов В.П. 98 вопросов noWindows 98 / В.П. Дьяконов. М.: СОЛОН-Р, 1999-336 с.

55. Мэтьюз М., Windows 95: книга ответов: Перев. с англ. / М.Мэтьюз, К. Мэтьюз. СПб: Питер - 448 с.

56. Симонович С. Windows 98: учебный курс / С.Симонович. СПб.: Питер Ком, 1999.-512 с.

57. Велиум К., Секреты программирования в Windows 98.: Пер. с англ./ К.Велиум. М: Диалектика, 1999. - 855с.

58. Симонович С.В. Практическая информатика: Учебное пособие для средней школы. Универсальный курс / С.В. Симонович, Г.А. Евсеев. — М.: Информ-Пресс, 1999.-480с.

59. Берлине Э.М. Microsoft Windows 95. Microsoft Plus! Русская версия. / Э.М. Берлине, Б.Э. Глазырин, И.Б.Глазирина. -Cn6.:NLABF, 1996. -350с.

60. Пейре Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости / Роже Пейре, Томас Д. Тейлор. -Л.: Гидрометеоиздат,1986.-352с.

61. Эббот М.Б. Гидравлика открытого потока /М.Б.Эббот. М.: Энергоатомиздат, 1983 .-272с.

62. Кюнж Численные методы в задачах речной гидравлики.: Пер.с англ / Ж.А. Кюнж Ф.М. Холи, А. Вепвей. М.: Энергоатомиздат. 1985.-255с.

63. Гришанин К.В. Динамика русловых потоков / К.Б. Гришанин.-М.: Гидрометеоиздат, 1979.-289с.

64. Дадлей К. Microsoft Wmdow» 98: краткий курс / К. Дадлей, Д. Кокс.-СПб.: Питер, 1999. 248с.

65. Дьяконов В.П. 98 вопросов по Windows 98 / В.П. Дьяконов М.: СОЛОН-Р, 1999-336 с.

66. Богомолов А.И. Гидравлика 2-е изд. - / А.ИМ.Богомолов, К.А Михайлов. - М.:Стройиздат, 1973. - 648с.

67. Справочник по гидравлическим расчетам / Под редакцией П.Г.Киселева.-4-е изд. — М.: Энергия, 1972. — 312с.

68. Гидравлический расчеты водосбросных гидротехнических сооружений.Справочное пособие / Под редакцией А.Б.Векслера. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 624с.

69. Могилёв А.В. и др. Информатика: Учеб.пособие для студ. пед. вузов /

70. A.В.Могилёв, Н.И.Пак, Е.К.Хённер; Под ред. Е.К.Хённера. М., 1999.816 с.

71. Дуванская Е.В. Аналитический метод решения ряда практических задач по течению двухмерных в плане стационарных спокойных потенциальных потоков идеальной жидкости/Е.В.Дуванская,

72. B.Н.Коханенко// Экология, экономика, технологии и оборудование: Сб. науч. трудов./Издательский центр ДГТУ.- Ростов-на-Дону, 2003.-С. 75.

73. Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт.-. М.: Наука, 1983.-172с.

74. Стинсон К. Эффективная работа • Windows 98 / К.Стинсон. СПб.: Питер, 1999.-410с.

75. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В .Чижонков. -М: Высшая школа, 2000.-152с.

76. Вержбицкий В.М.Численные методы(математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) / В.М.Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000. - 200с.

77. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров / А.А.Амосов, Ю.А.Дубинский, Н.В.Копченова. -М.: Высшая школа, 1994.- 160с.

78. Арушанян О.Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране / О.Б.Арушанян, С.В.Залеткин. -М: Изд-во МГУ, 1990.-86С.

79. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., Численные процессы решения дифференциальных уравнений / И.Бабушка, Э.Витасек, М.Прагер.-М.: Мир, 1969.-162с

80. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С.Бахвалов.-М.: Наука, 1973.-140с.

81. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.-М.: Наука, 1987.-168с.

82. Березин И.С. Методы вычислений: В 2-х т./ И.С.Березин, Н.П.Жидков. -М.: Физматгиз, 1962.-Т1. 210с.

83. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2-х т. М.: Физматгиз, 1962.- Т.2. - 168с.

84. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование / Ю.П.Боглаев.-М.: Высшая школа, 1990.-168с.

85. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики / В.Ф.Дьяченко. М.:-Наука, Ю72.-64с.

86. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ / В.В.Иванов. -Киев: Наукова думка, 1986.-84с.

87. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н.Калиткин.-М.: Наука, 1978.-186с.

88. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К.Моулер, С-М.Нэш. Мир, 1998.-2Юс.

89. Краскевич В.Е. Численные методы в инженерных исследованиях / В.Е.Краскевич, К.Х.Зеленский, В.И.Гречко. Киев: Вища школа, 1986.-84с.

90. Михлин С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г.Михлин, В.М.Смолицкий. М.: Наука, 1965.-124с.

91. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения / И.Н.Молчанов. Киев: Наукова думка, 1988.-88C.

92. Никольский С.М. Квадратурные формулы / С.М.Никольский. М.: Наука, 1988. - 64с.

93. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д.Норри, Ж.де Фриз. М.:Мир, 1981.-210с.