автореферат диссертации по строительству, 05.23.16, диссертация на тему:Двухмерные в плане бурные стационарные потоки за водопропускными сооружениями в условиях свободного растекания

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОХАНЕНКО Виктор Николаевич

ДВУХМЕРНЫЕ В ПЛАНЕ БУРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПОТОКИ ЗА ВОДОПРОПУСКНЫМИ СООРУЖЕНИЯМИ В УСЛОВИЯХ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ

Специальность 05.23.16 - «Гидравлика и инженерная гидрология»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

)

' Москва - 1997 г.

Работа выполнена в Донской государственной академии сервиса

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Федотов Г.А.,

действительный член академии строительства Украины

доктор технических наук, профессор Шерснков И.А.,

доктор технических наук, профессор Штеренлнхт Д.В.

Ведущая организация: АО «ИНСТИТУТ ГИДРОПРОЕКТ» г. Москва

Защита диссертации состоится «/р'» _ 1997 г.

в « Х5>>7ча^На заседании специализированного диссертационного совета Д053.11.04 при МГСУ по адресу: г. Москва, Спартаковская ул., дом 2/1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке МГСУ.

Просим принять участие в защите и направить Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, в специализированный совет по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, д.26, МГСУ.

Автореферат разослан « » —¿</£($1_1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук,

профессор Боровков B.C.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие рыночных отношений в России предопределяет улучшение качества выпускаемой продукции и ее надежности во всех сферах общественного производства.

Это относится и к методам расчета двухмерных в плане высокоскоростных потоков. В работе рассмотрены вопросы развития теории двухмерных в плане бурных стационарных потоков и дается обоснование необходимости поиска новых путей развития этой теории. Развитие теории исходит из самой простой модели потенциального движения двухмерного стационарного потока воды по горизонтальному руслу. Схематично место развития теории двухмерных плановых потоков дано на рисунке 1.

Схема к истокам построения теории

Рис. 1

Развитие теории включает в себя: анализ основной системы двухмерных в плане бурных стационарных потоков и дифференциального уравнения в частных производных для потенциала скоростей жидких частиц потока в физической плоскости течения потока. Из этого анализа следует, что аналитические решения этой системы и даже уравнения для потенциала скорости получить практически невозможно (их не было до настоящего времени). Это происходит потому, что исходная система уравнений движения потока суть система в частных производных существенно нелинейных уравнений. Поэтому втопым шагом в развитии этой теории является получение в плоскости годографа скорости системы двух линейных уравнений в частных производных, описывающей движение двухмерных в плане бурных стационарных потенциальных потоков воды по гладкому горизонтальному руслу без учета сил сопротивления потоку

со стороны отводящего русла. Жидкость предполагается идеальной. Эт на первый взгляд грубая идеализация реальных течений плановых поте ков позволяет в начале построить схему решения прикладных задач п течению двухмерных потоков, а далее и отойти от ограничений: потенщ альности, пренебрежения силами сопротивления потоку со стороны русл и уклоном дна русла. Так поступали и авторы метода характеристш применяя его к решению практических задач по течению двухмерных плане бурных стационарных потоков. Однако, уход в сторону от метод; характеристик позволил более эффективно решать те же прикладные за дачи по гидравлике открытых потоков, что и методом характеристик Однако, гибкость «аналитического метода» дает большую точность в ре шении задач и позволяет не использовать громоздкий графоаналитиче ский метод характеристик. Третьим шагом в развитии теории являете! получение целых групп аналитических решений в плоскости годограф: скорости двухмерного в плане потока.

И, наконец, четвертый шаг - это рациональный выбор исходно? конструкции для линий тока и эквипотенциален в плоскости годографе скорости для конкретной задачи и переход в плоскость течения потока я определение всех постоянных в решении задачи с учетом граничных условий и условий на бесконечности.

В работе решаются предложенным методом следующие задачи:

- задача о радиальном растекании потенциального потока;

- частный случай задачи о сопряжении равномерного потока с радиальным потйком в канале с прямолинейными стенками;

- задача о свободном растекании двухмерного в плане стационарного открытого потока в условиях внезапного расширения русла (рис. 2).

Свободное растекание бурного планового потока (рис. 2) характеризуется интенсивным увеличением скоростей потока, падением глубин и наличием расширяющихся границ потока, отделяющих поток от сухого отводящего русла.

Реальные сооружения дорожного водоотвода, сбросные, предохранительные и катастрофические'водовыпуски, водоперепускные сооружения систем лиманного орошения, дорожные водоотводы, малые мосты в большинстве случаев работают в безнапорном режиме вытекания потока из трубы в отводящее русло, без подтопления или с малым подтоплением отводящего русла. Относительное расширение потока находится обычно в пределах от 3 до 20, кинетичность потока на выходе из трубы находится в пределах от 1 до 20. Отношение глубины потока на его выходе из трубы к ширине трубы находится в пределах от 0,3 до 3. Такие потоки обладают достаточно развитой турбулентностью и характеризуются двумя основными участками:

- свободного растекания;

- косых гидравлических прыжков, возникающих после удара граничных струек потока о боковые стенки укрепленного отводящего русла.

План растекания потока

Рис. 2

Приложение же развитой в работе теории применимо к любым задачам гидравлики высокоскоростных потоков, в которых можно пренебречь вертикальными составляющими скоростей и ускорений жидкости по отношению к плановым их составляющим. Улучшение адекватности расчетных и реальных параметров потока, протекающего через сооружение, позволяет повысить уровень эксплуатационной надежности отдельных гидросооружений мелиоративных систем, сооружений водоотвода, включая и малые мосты, а также крупных гидроэлектростанций, считая течение потока за ними двухмерным плановым. Обоснование необходимости развития теории и расчета двухмерных в плане стационарных высокоско-

ростных потоков дается на примере статистики обследований сооружений дорожного водоотвода.

Данные натурных обследований показывают, что причиной массового аварийного состояния водопропускных сооружений являются недопустимые размывы отводящих русел, разрушение креплений выходных участков, разрушение элементов гасителей энергии потока.

Рациональное решение задачи выбора элементов сооружения может дать значительную экономию средств, повысить надежность гидротехнического сооружения. Эта же проблема актуальна и для дорожно-транспортного строительства. Внедрение удачной конструкции в этом случае (в условиях массового строительства) приведет к значительной суммарной экономии. Таким образом, назначение размеров и рациональный выбор и проектирование водопропускных сооружений являются технико-экономической задачей, от правильности решения которой зависит как стоимость, так и жизнеспособность всего сооружения в целом.

Правильность выбора элементов конструкции сооружения зависит от методов расчета параметров потока, протекающего через сооружение.

Следовательно, одной из компонент повышения эксплуатационной надежности сооружения является улучшение методов расчета параметров потока. В работе рассматриваются бурные двухмерные потоки, в том числе и свободно растекающиеся плановые бурные стационарные потоки при их истечении из труб в широкое отводящее русло. Расчет параметров потока, как обычно принято в известной литературе, ведется в предположении горизонтального неразмываемого русла, имеющего боковые стенки. Эти параметры являются исходными данными для проектировщиков гидросооружений.

Элементы крепления отводящего русла в окрестности водопропускной трубы необходимы для направленного отвода потока воды от сооружения. Для защиты отводящего русла от чрезмерного размыва потока за обрывом крепления выполняют предохранительные элементы в виде предохранительного зуба или откоса, и дно русла выстилают предохранительной каменной отмосткой. В некоторых сооружениях для гашения избыточной кинетической энергии потока при его растекании в широкое неразмываемое русло устанавливают гасители энергии потока. А так как параметры потока при его растекании в укрепленное отводящее русло можно заранее рассчитать (до установки гасителей энергии) по исходным параметра^; потока на его выходе из водопропускной трубы, то появляется возможность управления потоком и выбора таких конструктивных мероприятий, которые были бы оптимальными в стоимостном выражении и отвечали бы требованиям допустимой эксплуатационной надежности.

Итак, конструирование дорожных водоотводов и гидротехнических сооружений оросительно-обводнительной сети представляет комплекс-

ную задачу, исходными данными для решения которой являются: знание параметров потока при выбранных элементах крепления; знание данных о свойствах грунта отводящего русла.

Сами же методы расчета параметров плановых потоков весьма несовершенны, дают зачастую противоречивые результаты и требуют критического переосмысливания и существенной корректировки.

Несовершенство методов расчета плановых потоков подчеркивалось многими исследователями-экспериментаторами. Анализ отдельных формул различных авторов по определению таких параметров как расстояние до створа полного растекания потока, уравнение крайней линии тока, угол растекания потока дают противоречивые результаты. Комплексные же численные и графоаналитические методы расчета плановых свободно растекающихся бурных потоков либо громоздки и не доведены до инженерного использования, либо дают очень грубые результаты, достигающие существенных различий при сравнивании с опытными и натурными данными. Поэтому проблема улучшения достоверности расчетных характеристик плановых потоков является весьма актуальной и перспективной.

Работа по созданию теории расчета плановых свободно растекающихся потоков за водопропускными трубами в широкое отводящее русло была начата с критического переосмысливания имеющегося теоретического и экспериментального материала, а выводы, последовавшие из этого анализа, определили цель и задачи исследований.

Цель работы. Объяснить несовершенство и противоречивость имеющихся методов расчета плановых, свободно растекающихся потоков за водопропускными трубами. Разработать теорию аналитического решения задач по течению двухмерных в плане бурных стационарных потоков.

На базе этой теории, решить, во-первых, задачу о радиальном рас-тскаиии потенциального потока, так как ее аналитическое решение другими методами, отличными от предлагаемого, уже известно. Таким образом можно апробировать метод. Далее показать в качестве примера возможность использования метода для решения задачи о сопряжении равномерного потока с равномерно расширяющимся радиальным потоком, руслом с расширяющимися прямолинейными стенками (рассматривается один частный случай решения задачи).

Разработать новый теоретический и практический метод расчета плановых бурных, свободно растекающихся потоков воды, включающий в себя весь накопленный опыт и в то же время базирующийся на новых, более актуальных принципах построения расчетной модели потока в целом.

Целью работы является также получение, по мере возможности, аналитических зависимостей полезных проектировщикам гидросооружений систем мелиорации и дорожного водоотвода. Основная идея работы заключается в поиске оптимального вида системы уравнений движения планового потока воды и использовании ее аналитических решений для конструирования алгоритма поиска геометрических и кинематических параметров потока в задачах прикладной гидравлики открытых потоков.

Идея критического подхода к методам расчета плановых потоков заключается в приведении краевой задачи свободного растекания потока к безразмерному виду и определению безразмерных комплексов, влияющих на характер растекания плановых потоков, в рамках ограничений вывода основной системы дифференциальных уравнений движения потока воды.

Задачи исследования:

- поставить-и привести краевую задачу свободного растекания потока к безразмерному виду и выявить основные безразмерные комплексы, влияющие на ее решение;

- найти наиболее удобную для дальнейших исследований форму (вид) основной системы плановых уравнений движения бурного стационарного потока воды;

- разработать метод поиска аналитических решений полученной системы;

- пользуясь этими решениями, решить вначале задачу определения параметров радиального растекания потенциального потока и сравнить результаты расчета с известными результатами.

Убедившись в совпадении таких результатов, решить задачу по определению параметров свободно растекающегося бурного стационарного потока и задачу по определению параметров сопряжения равномерного потока с равномерно расширяющимся радиальным потоком (показать принципиальную возможность решения последней задачи методом, предлагаемым в работе).

Для задачи свободного растекания потока, пользуясь аналитическими решениями системы, необходимо:

- сконструировать метод для определения параметров потока: как точечных, так и интегральных (конечных);

- получить аналитический вид основных зависимостей для параметров процессп^растекания потока;

- разработать метод поиска постоянных в решении задачи растекания потока в целом;

- решить задачу расчета плановых потоков в условиях их свободного растекания в целом;

- сравнить результаты расчета с экспериментом;

- пользуясь новейшими достижениями регрессионного анализа и зная безразмерные комплексы влияющие на растекание потока, получить расчетные формулы для основных параметров потока: расстояния до створа полного растекания; угла растекания потока; уравнения крайней линии тока, и значения предельного расширения потока, исходя из экспериментального материала по растеканию плановых потоков;-упростить и автоматизировать расчет определения направления линий схода косых гидравлических прыжков, а также сопряженных глубин и скоростей потока за створом полного растекания потока.

Методы исследования. Методы исследования в работе опираются на фундаментальные объективные закономерности для описания движения плановых потоков.

Для приведения краевой задачи свободного растекания планового потока к безразмерному виду использовалась теория подобия механических систем. Для получения наиболее удачного вида системы дифференциальных уравнений движения плановых потоков использовалась аналогия методов формального моделирования движения совершенных газовых струй и плановых потоков.

Для поиска групп аналитических решений системы дифференциальных уравнений движения планового потока в частных производных использовался метод замен и разделения переменных. В работе использовался принцип оптимальности, трансформируемый к бурным свободно растекающимся потокам, а также современные методы корреляционно-регрессионного анализа.

Информационной базой работы являлись: знания в области плановых потоков; данные экспериментальных и натурных исследований.

Научные положения, защищаемые в диссертации:

- принципиально новый подход к выводу основной системы уравнений движения бурных плановых потоков;

- использование принципа формализации процесса растекания потока и перебора вариантов в поиске аналитических групп решений основной системы движения потока воды;

- использование основных принципов конструирования природных явлений применительно к расчету течения бурных плановых потоков и, в частности, расчету свободного растекания бурных плановых потоков;

- использование современных прикладных программ и вычислительной техники для выявления регрессионных зависимостей в процессе свободного растекания бурного потока;

- использование принципа оптимального сочетания выделения главного и доступной простоты в решении задачи свободного растекания бурного потока.

Результаты сравнения геометрии растекания математической модели потока и экспериментальных данных

•д ) о

А •О О *

, * Л

• с г

ф *

о'Щ е

А К

ЛА О 1 • 0,8 0,6 0,4 0,2

Д * / О X

•о* А д о.

С •О

00 Л од * *

1 :

0,8 0,6 0,4 0,2 0

Во всех графиках:

О— результаты эксперимента; результаты по методике И. А. Шеренкова;

# - результаты модели № 1; Д - результаты уточненной модели № 2.

х = х/Ь; у = у/Ь\ [Ь] = см\ [/г0] = сл<

'I" Опыт № 5 Рг0=2,5; Ь=16 см; Ьо=9,27 см

Опь1Т № 7 Рг0=4,28; Ь=16 см; Ь0= 10,82 см.

Рис.3

2

4

Достоверность н обоснованность научных положений определяется, во-первых, использованием в работе известных классических закономерностей являющихся базой (фундаментом), на котором строится метод расчета бурных потоков, во-вторых, правильностью выполнения элементарных операций при решении задачи в целом.

Достоверность результатов расчета подтверждается использованием представительного объема выборки экспериментальных и натуральных данных и достаточной для практики относительной погрешностью моделей.

Достоверность результатов регрессионного анализа подтверждается: сходимостью результатов математического моделирования; высоким уровнем адекватности теоретических экспериментальных результатов.

Адекватность модели, полученной аналитическим методом, экспериментальным результатам подтверждается сравнением результатов (относительная погрешность основных интегральных характеристик потока (рис. 3), таких как: расстояние до створа полного растекания и координаты крайней линии тока не превосходит 5%; точечные характеристики такие как глубина потока и скорость согласуются в пределах 3%).

Научная новизна работы заключается в:

- в определении основных безразмерных комплексов, влияющих на характер растекания планового потока в целом (в рамках ограничений и допущений вывода уравнений движения потока);

- получении линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных движения планового потока воды в плоскости годографа скорости относительно потенциальной функции и функции тока;

- получении спектра решений этой системы методом разделения переменных;

- конструировании решений ряда задач и в том числе задачи свободного растекания потока (аналитические зависимости, алгоритмы, программы);

- получении нового вида плановых уравнений движения потока воды в интегральной форме и зависимостей для расчета сопряженных глубин и скоростей в гидравлическом прыжке и направлении линий схода косого гидравлического прыжка за створом полного растекания потока;

- получении конкретных формул по определению основных интегральных, параметров планового свободно растекающегося потока воды современными методами анализа, исходя из выборки 70 опытов экспериментальных данных.

Личный вклад автора заключается в:

- разработке теории определения основных безразмерных факторов определяющих (в рамках допущений и упрощений вывода уравнений

. движения потока воды), характер свободного растекания планового потока воды в целом;

- выводе методами комплексного потенциала, линейной относительно частных производных системы двух уравнений математической физики относительно функции тока и потенциальной функции;

- сведении полученной системы к дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных и определении его групп аналитических решений методом разделения переменных;

- конструировании решения ряда задач и в том числе задачи расчета параметров свободно растекающегося бурного потока;

- разработке таблиц для определения аналитических зависимостей основных геометрических характеристик зоны растекания потока методами регрессионного анализа;

- выводе оригинального вида системы уравнений движения потока воды в интегральной форме и получении на ее основе формул для расчета всех необходимых параметров косого гидравлического прыжка.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

- выявлены основные критерии (факторы) влияющие на характер свободного растекания бурного стационарного планового потока воды без учета сил сопротивления потоку со стороны отводящего русла, позволяющие исследователям правильно сконструировать структуру формул для основных параметров потока;

- разработанные на базе этого регрессионные таблицы, представленные в диссертации, являются основой для исследований с использованием регрессионного анализа;

- выделенная система плановых уравнений растекания бурного потока в плоскости годографа скорости является базой (основой) для разработки различных численных и аналитических методов решения задачи по определению параметров потока в целом;

- результаты решения задачи расчета параметров планового свободно

растекающегося потока могут использоваться инженерами-

конструкторами, разработчиками дорожных и гидромелиоративных сооружений;

- инженеры-разработчики конструкций гидросооружений могут пользоваться формулами для определения:

предельного расширения потока; расстояния до створалолного растекания потока; угла растекания потока, а также уравнения крайней линии тока, полученными обработкой таблиц экспериментальных данных современным пакетом прикладных программ по регрессионному анализу, относительная погрешность счета по которым существенно

меньше, чем по формулам ранее известным в литературе по гидравлике плановых потоков. Реализация результатов исследования.

Результаты исследования были проверены на опытной установке в НИМИ и внедрены:

при проектировании гидротехнических сооружений оросительно-обводнительной систем Кабардино-Балкарской АССР;

при проектировании водоотвода в районе города Аксай проектной организацией «АО Ростовгипроавтотранс». Апробация работы.

Результаты работы были доложены и одобрены на областной научно-практической конференции молодых ученых в Новочеркасском инженерно-мелиоративном институте (май 1987 г.), научно-технической конференции «Повышение эффективности использования водных ресурсов Северного Кавказа» в Новочеркасском инженерно-мелиоративном институте (март 1988 г.), Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение эффективности использования водных ресурсов в сельском хозяйстве» посвященной 100 летию со дня рождения Б.А. Шумакова в Новочеркасском инженерно-мелиоративном институте (сентябрь 1989 г.), на республиканском научном семинаре по гидравлике открытых русел и сооружений в Киевском автомобильно-дорожном институте (октябрь 1991 г.), на заседании кафедры гидравлики НИМИ (февраль 1992 г.), заседании кафедры гидравлики МАДИ (январь 1992 г.), на Всероссийской научно-технической конференции «Экономические аспекты эксплуатации гидромелиоративных систем и использования орошаемых земель» в Новочеркасском инженерно-мелиоративном институте (сентябрь 1995 г.), на расширенном заседании кафедры «СЭАС» в Донской государственной академии сервиса (ДГАС) (сентябрь 1996 г.) и научных конференциях профессорско-преподавательского 'состава и студентов ДГАС в 1993, 1994, 1995, 1996 годах, а также на заседаниях кафедры «Гидравлики» Саратовского государственного технического университета (май 1996 г.) и кафедры «Инженерной экологии» Харьковского государственного технического университета строительства и архитектуры (июль 1996 г.). Публикации.

По теме диссертации опубликовано 25 работ, в том числе, одна монография, выполнено 5 научно-исследовательских работ. Общий объем публикаций составляет 50 печатных листов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, общих выводов и полной формулировки результатов работы и их практической значимости, литературы из 153 наименовани1, изложенных на /^страницах машинописного текста, включая рисунков, ^ таблиц и приложения объемом в 50 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы, излагается научная новизна и практическая ценность работы, приводятся сведения о внедрении результатов работы.

В первой главе выполнен обзор работ, посвященных работе нижнего бьефа/трубчатого водопропускного сооружения при малом подтоплении и расчету гидравлических и геометрических параметров свободно растекающегося бурного потока. Из анализа работ были сделаны следующие выводы:

- приведенные в справочной литературе зависимости для расчета зоны свободного растекания за прямоугольными водопропускными трубами дают значительные расхождения результатов, как между собой, так и с экспериментом;

- необходимы дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования, позволяющие получить непротиворечивую методику расчета плановых потоков.

В соответствии с выполненным анализом были сформулированы цель и задачи исследований.

Во второй главе была сформулирована, с определенными допущениями, краевая задача свободного растекания потока, которая далее была приведена к безразмерному виду для выявления основных факторов (безразмерных комплексов), влияющих на характер растекания бурного потока. Этот комплекс следующий:

Fro - кинетичность потока на его выходе из трубы в отводящее русло.

Было также выявлено, что никакими преобразованиями нельзя привести систему двухмерных уравнений к безразмерному виду, не содержащему критерий Фруда.

В третьей главе было выяснено, что в первом приближении нет смысла учитывать в уравнениях движения заведомо второстепенные факторы (силы сопротивления потоку на этапе свободного растекания при его течении по гладкому бетону и т.д.), а лучше максимальным образом упростить систему уравнений движения и попытаться найти аналитическое.решение полученной системы, т.е. пойти по пути упрощений, предложенных Б.Т. Емцевым и Л.И. Высоцким.

Учет же в уравнениях движения потока на этапе его свободного растекания по гладкому бетону второстепенных факторов сильно усложняет вид уравнения движения жидкости и не оставляет для решения задачи по расчету растекания потока воды методов, отличных от численных.

За основную систему уравнений движения планового потока воды для дальнейших исследований была выбрана следующая система дифференциальных уравнений в частных производных:

К

К

х

дх

3V.

У

■V,

+ V.

дх

d(Vxh)

дх

д¥х dh_ У ду gdx~U'

У ду gdy '

(1)

d(Vyh)

ду

= 0,

где Ух, Уу - проекции вектора скорости V на оси координат Ох, Оу; Ь - глубина потока; g - ускорение силы тяжести.

Система уравнений движения (1) - это существенно нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных в виде, не позволяющем определить ее аналитическое решение. Поэтому, присоединяя к допущениям выводы системы (1) дополнительно условие отсутствия вихря, определим более простой вид уравнений движения потока.

дУх у

Из условия ---= 0 и третьего уравнения системы (1) можно сделать вывод о наличии потенциала скорости «ср» и функции тока «у» таких, что выполняется следующая система уравнений:

V -iSL-х~ дх'

v -Ё£. У~ду'

ду/ h у ду/

ду' К У дх'

(2)

V

2

2g+h=Ho>

OTT V

где \1 = Ух +Уу2 и H0=-^ + h0,

Ко, /?о - параметры потока на его выходе из трубы в отводящее русло. Последнее равенство в этой системе указывает на специфический вид интеграла Бернулли, справедливого во всей области течения потока. Вводя для удобства обозначения: Ух = £/; У у = У ; получим

дх' ду' И0и ду'к0 дх>

2 (3) У 2=и2+У2-,н0=^+к

Из системы (3) следуют равенства:

к

иск + Ус/у = с1<р; -У(1х + ийу = -^<1у.

Умножив второе из этих уравнений на 1 и сложив с первым, получим следующие уравнение:

(£/- IV Щх + гу) = аср + .

Производя замену:

и-хУ = \ечв; х + 1у = г,

где V - величина вектора скорости;

9 - угол вектора скорости с осью - «Ох», найдем следующую обобщающую связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного потенциала по координате, равенство:

.к. . У*

+ . (4)

V

Далее'совершим переход в плоскость годографа скорости (У,0). С этой целью примем в равенстве (3) переменные X, У (а следовательно и Z), а также ср и у за функции новых переменных V и 0, тогда равенство (3) перейдет в следующее:

V д\ к д\ \ д9 п ¿Ги

V V

Вводя скоростной коэффициент Я = у-= , , из равенства (5) постах 425Но

лучим следующую базовую систему уравнений в естественных координатах в плоскости годографа скорости (скоростного коэффициента):

д<р ко 1-3 А2 дцг дЯ Я0Я(1_Я2}2^' д<р = % я дуг дв

Система уравнений (6) - это система двух линейных уравнений (относительно частных производных) математической физики. При этом для бурных потоков:

~<Л <1.

у/3

Систему уравнений (6) можно использовать для разработки новых методов решения задач по течению бурных плановых стационарных потенциальных потоков и выявления различных свойств таких потоков.

у

Система уравнений (6) заменой: г = Я трансформируется к более удобному для дальнейших исследований виду:

Зд, _ к0 1-Зг дц/, дт Н0 г(1_т)2 д9' д(р _ Ь0 V ду

(7)

Далее в третьей главе показано, что решение системы (7) эквивалентно решению следующего уравнения математической физики:

д (2т ду/ 1-Зг <?У = 0 дт дт 2т(1-г)2 дв1

Решения уравнения (8) определялись в следующих видах:

(8)

ц/= у/х(т)+у/2(9)

(10)

и были найдены следующие группы частных решений этого уравнения (вида 9):

где Тп, Ъл* - функции только лишь аргумента - «х».

При этом поиск функций сводился к решению гипергеометрических уравнений.

Было также определено решение уравнения в виде (10).

Вначале были найдены решения при «п» целых, а далее поиск решений уравнения (8) был расширен для произвольного коэффициента при «9» т.е. в виде:

где \у - произвольный параметр.

Однако, в работе использовался следующий ряд решений системы (7), имеющий достаточно простой вид:

ч, -7 с\п(1пАа-/у );

п

В,

/г Л9соб^Г/^(2-ЗГ)

.к

2 ^ 2(1-г)

+с

+с2в-

г с!В(т)

'3 йт

где Аь А2, Вь В2, Сь С2, Сз - произвольные постоянные;

*

Уже этих решений достаточно чтобы сконструировать решение той или иной задачи.

В четвертой главе решены несколько гидравлических задач по течению двухмерных бурных потенциальных потоков. Во первых была решена задача по определению параметров радиального растекания потенциального потока. В предположении, что известны параметры потока У0, Ь0 на радиусе «г0» такие, что его кинетичность больше единицы

определялись распределение глубин и скоростей потока в области его течения.

Полагая дно русла плоским, была выбрана применительно к решению данной задачи следующая конструкция для линий тока и эквипотенциален:

Переходом в физическую плоскость течения потока получим формулу распределения глубин и скоростей потока вдоль линии тока:

<//= схв-

(12)

Г

2^го -уО-Гр)

г-(1-г)2

(13)

Этот результат совпадает с аналитическим решением этой задачи методом, изложенным в работе Б.Т. Емцева.

Следовательно, можно предположить, что подобным способом можно решать и более сложные задачи по растеканию плановых бурных потоков.

Далее в 4-й главе показывается возможность применения метода к решению задачи сопряжения равномерного потока с равномерно расши-ряющимся(радиальным потоком при расширении русла прямолнейными стенками.

В качестве основной конструкции для функции тока и потенциальной функции использовалась конструкция, заданная формулами (12).

Основное же внимание в 4-й главе было уделено аналитическому решению задачи свободного растекания потока. При этом предполагалось бесконечно широкое отводящее русло (рис. 4). Параметры потока рассчитывались по известным значениям глубины потока «Ь0» и скорости «V,,» на его входе в расширение.

Схема свободного растекания потока в бесконечно широкое русло. Вид сверху

У

А-А

х

Рис.4

Практика натурных и лабораторных исследований по свободному растеканию бурных потоков, а также результаты расчета, подсказали, что в качестве основной конструкции для функции тока и потенциальной функции можно выбрать следующую конструкцию:

у/

<р= А

/2 К 1

(14)

1 Нп

-соъв.

г)

Пользуясь формулой (4) и производя интегрирование, совершался переход в физическую плоскость растекания потока.

В результате были получены следующие формулы: формула распределения параметра «т», следовательно и глубин «И» и скоростей «V» вдоль продольной координаты потока «х»:

X =

ь^ъ

2(2 + Рг0У^- Б'Ш6*00

1 + 7" , 1-Г

г0(1-г0)

(15)

где г= г0 = !--&-; Н0=к0

¥г

V2 ■ Рг

' ° V

1

Ь - ширина русла (трубы) равномерного потока перед его входом в расширение (см. рис. 2).

По формуле (15), задаваясь глубиной потока «Ь]» на оси симметрии

потока, определяется параметр г, = 1—тт- > а далее и расстояние «хр).

1 Н0

В формуле (15) «9Ш» - это угол, к которому стремится угол направления крайней линии тока при стремлении «х» к бесконечности или при стремлении потока к равномерно расширяемуся радиальному.

Угол «9«,» определяется формулами: С, =аг

1

1-г,

о

О

(16)

Скорость потока на оси симметрии в точке с абсциссой «X]» определяется из интеграла Бернулли:

(17)

Получены также две формулы для определения координат потока вдоль крайней линии тока:

-* 1

1 1

^(1-Г,.) т0И(1-т0)

(18)

где У- = ЬУI, т; - значение параметра «т» в произвольной точке на оси симметрии потока с глубиной «Ьр>.

А"/

1 * 1 + г. 1

^2 + Рг0)/2вт9со г*(1-г*) 1к х'

-вт2 а

00

-+1п-

1 -т.

*П

1-г: 1

1

1-Т. I

9

+зт/6|00-1п—±

1 + г

о

1— г

-ь1п-^-кт^й

оо

*

Г.

I

+

ъо

г* г0(1-г0)

I

-Б^б'оо-ьЬ^О

■ то

(19)

* -* *

где X} = 0X1 , а Т- - значение параметра «т» в точке крайней линии тока,

в которой она пересекается с эквипотенциалью, проходящей через точку на оси симметрии потока с глубиной «Ь;», параметром «т;».

* „*

Параметры г. , 0- в рассматриваемой точке на крайней линии тока определяются решением системы:

sinéf = ^-(7-*)^;

'(У

у2

COS0-

{фУц 1-г*)

(20)

М'

где

К^ = sin0оо; М% = тУ2(1-т{).

Решение системы (20) сводится к решению кубического уравнения: г3-2Г2+Т(1 + ^)-^ = 0. (21)

у+ 2

Последнее же заменой г = —^— сводится к неполному кубическому уравнению:

у3+у{9кц-3) + 2 + Ш/л-21^ = 0 Корни уравнения (22) определяются по формулам:

(22)

т I Р ,ос , 2я\ у2 = 2]/-j-cos(J+-J-);

~ I р ,а 2я\

(23)

з

11/л

где cosa = ■

2 -9t"~[ Р

2JI-f

J(T-3^)3 ' 3

:l-3/t//.

При этом из трех корней для « г. » выбирается корень, удовлетво-*

ряющий неравенству: т0 < т- < 1.

Заметим, что при пользовании формулами (15), (18), (19) значения параметра « т- » рекомендуется выбирать, начиная со значения соответствующего / И- = 0,5к0 и более, так как глубина потока по оси симметрии

резко падает, примерно вдвое, практически сразу же за входом потока в расширение. В работе были получены формулы для определения координат точек пересечения произвольной линии тока с произвольной эквипотенциальна, а также формулы для определения параметров «Ь» и «V» в

этих точках. Так как параметры « т- » и «9- » известны, то легко определяются:

к* = Я0(1- г*) и

= или (24)

* *

При найденном значении «Т■ », «6>. » угол определяется формулой:

в* = агсвт^ (25)

/

В работе приведены и результаты расчета более усложненной конструкции для линии тока и потенциальной функции в виде:

А\ К Г

ц/ = —¿751110+ ^т^Ц-^тв + С^, г/2

*Л-

-СО30 —

к А^созв-г/1(2-Ът)

г)

Нп

2(1-г)

- (26)

С\ко

2 Нп

1п

1 -х 1-г

2

г

Результаты счета приведены на рисунке 3. Однако, как видно из графиков, уже первое приближение по формулам (15), (18), (19) дает хорошее согласование теоретической модели с экспериментом и имеет простой аналитический доступный алгоритм расчета любых параметров потока.

Конечно, второе приближение дает еще более адекватные результаты, однако оно предполагает простой численный метод, но уже не полностью аналитический.

В пятой главе изложены результаты экспериментальных исследований растекания бурного потока, методы обработки экспериментальных данных и модели основных геометрических зависимостей по растеканию потока, полученные методами регрессионного анализа. Экспериментальная установка представляла собой гидротехнический лоток, оснащенный необходимым конструктивным и мерительным материалом. Опыты проводились в безнапорном режиме. Модельные расходы выбирались из условия автомодельности экспериментальных потоков натурным. Относительное расширение нижнего бъефа сооружения изменялось в опытах от 3-х до 27. Кинетичность потока на его выходе из трубы изменялась в пределах от 1 до 20, отношение глубины потока на выходе из трубы - в пределах от 0,3 до 3.

Для регрессионного анализа использовались данные 70 опытов по растеканию потока. Опытные даные по геометрии растекания потока имели следующий вид: опыт№ 70. Труба 16см х 16см.

Режим безнапорный |3=3; 0=19,2 л/с, Ьвь[х=86,72 мм.

Координаты контура растекания:

х(см) 4 24 44 64 84

у(см) 10 24 16 6 0

Для определения геометрических параметров растекания потока использовались три регрессора:

где РгВЬ1Х - критерий Фруда на выходе потока из трубы; Ь - ширина трубы;

Р - относительное расширение потока. В работе определялись модели:

где Ьр - безразмерное расстояние до створа полного растекания потока; Рпр - предельное расширение потока.

Для работы с пакетом прикладных программ по регрессионному анализу были составлены таблицы, которые могут использоваться исследователями по растеканию плановых потоков в качестве исходной информации к моделированию.

В результате математического моделирования были получены модели с относительной погрешностью от 13 до 20 процентов, значительно повышающие достоверность прогнозируемых параметров потока в сравнении с параметрами, полученными по ранее известным формулам.

Для моделирования использовалась прикладная программа^ГТПС) ПАРИС, ориентированная на решение задач регрессионного анализа.

Специальный пакет «ПАРИС» работал в диалоговом режиме в операционной среде ЭВМ СМ 1420. Для получения моделей использовались следующие методы регрессионного поиска:

- множественная регрессия;

- метод всех возможных регрессий;

- пошаговая регрессия;

- метод Брандона;

- комбинаторный алгоритм МГУА;

- модифицированный метод Брандона.

Основными критериями качества полученных моделей являлись:

- относительное среднеквадратическое отклонение после пересчета;

- относительная ошибка на экзаменационной последовательности;

- относительное значение критерия Фишера.

В результате проведенной работы из анализа представительной выборки были получены следующие модели:

1) модель, по которой определялось предельное значение относительного расширения потока:

Рпр=-20,94+1б,55Рго, Рг0>1,6. (28)

2) по формуле (28) была получена линейная модель. 3.) была получена также мультипликативная модель:

рпр=к-Р,(Рг0), (29)

где к=9,18; Р,(Рг0)= -0,10631596+0,17218108Рго3.

Относительная погрешность счета по этим моделям не превышает 20%. Однако и это позволяет спрогнозировать, ударит ли крайняя линия тока в боковую стенку русла или же только коснется ее. Аналитическими методами, к сожалению, пока не удалось получить формулу для предельного расширения потока. Таким образом, формулы полученные методами регрессионного анализа, дополняют теоретическую модель в работе.

Было выявлено, что для определения предельного растекания пото-Ьп

ка регрессор ~ ¿Г ~ несУЩественен- Этот факт согласуется с теориеи

во второй главе работы.

Были получены также две модели для определения безразмерного расстояния до створа полного растекания потока:

| = -0,96+0,37^о-1,1^-+0,61Д (30)

где Р > 3.

Полиномиальная модель:

1,76-1,84^г0+ 0,61/7+0,139^2 +1,37^г0^-

(И \2 (31)

-2,64^1 -0,00125

где р > 3.

Относительная погрешность по этим моделям не превышает 13%. Пакет «ПАРИС» проверял также адекватность моделей экспериментальным данным, выдерживание проверки моделей на содержательность, выполнение гипотезы о нормальности остатков, подтверждение гипотезы о независимости результатов наблюдения случайной величины.

И хотя теоретически в рамках допущений вывода основной системы уравнений движения потока в плоскости годографа скорости на рас-

текание потока должен влиять только критерий Фруда на входе потока в расширение, на самом же деле на растекание реальных потоков в незначительной степени, в окрестности выхода потока из трубы, влияет и критерий формы потока ^Г".

Модели по формулам (30), (31) могут использоваться проектировщиками для выбора основного варианта проекта сооружения, при грубых прикидочных расчетах.

Далее в 5-й главе показано, как из моделей (30), (31) можно получить и угол растекания потока и уравнение крайней линии тока.

В шестой главе приведено решение задачи определения параметров косого гидравлического прыжка, исходя из плановых уравнений движения потока в интегральной форме:

4 (Пёу + ФсЬс) = р'скЛу, (32)

где X, У, Ъ - система ортогональных координат;

ОХ - продольная .ось симметрии потока;

ОУ - поперечная ось;

ОЪ - дополняет первые две оси до правой тройки и направлена вверх (в сторону свободной поверхности потока);

Г - произвольная замкнутая кривая в плоскости ОХУ, определяющая совместно со свободной поверхностью и вертикальными боковыми гранями, проходящими через эту кривую, некоторый объем - т;

8 - поверхность в плоскости ОХУ, ограниченная кривой - Г.

При этом для записи векторов П, Ф, Ч7 в работе предложены параметры V и а (модуль вектора скорости и угол определяющий направление вектора скорости).

П =

УИсоба

К ,7 г 2 №

/ И СОБ СИ +

зтасоэа )

Ф =

Г/гБта

зтасоэа 9 О Ь2

V/■hcosAa + g-2-^

1 о

¥= gh—M- + ±¿,V2cosa

ox 2

3Zs 1 о о у I

"к - коэффициент гидравлического трения;

g - ускорение силы тяжести;

Z„ - отметка поверхности дна нижнего бьефа.

В работе получены аналитические зависимости для определения сопряженных глубин, скоростей и угла, характеризующего направление линий схода косого гидравлического прыжка, исходя из алгоритмической формы, получаемой трансформацией уравнения (32) к четырехточечному шаблону.

Сравнение результатов счета с натурными данными показывает хорошую сходимость. Относительная погрешность рассогласования параметров не превосходит трех процентов.

Далее в работе дается метод учета сил сопротивления потоку и показано, как, имея аналитическое решение задачи, можно определить его параметры с учетом сопротивления потоку со стороны отводящего русла. Результаты счета показывают, что на этапе свободного растекания потока по гладкому бетону на ограниченных расстояниях от выходного канала (трубы) силами сопротивления потоку со стороны русла можно пренебречь, не теряя при этом необходимой адекватности результатов модели результатам реальных потоков.

В шестой главе приведено достаточное обоснование первоначальных ограничений на модель потока, теоретическая и практическая значимость всей теории решения гидравлических задач предложенным «аналитическим» методом.

1. В диссертации определен основной безразмерный параметр - Fr0, характеризующий свободное растекание бурного планового стационарного потенциального потока при его истечении из прямоугольной трубы в безнапорном режиме в широкое горизонтальное неразмываемое русло без учета сил сопротивления потоку.

Далее в работе показано как кр'йгерий Фруда - Fr0 на входе потока в расширение входит в различные формулы, определяющие параметры.

2. В работе выведена система плановых уравнений движения бурного стационарного потока воды в естественных координатах в плоскости годографа скорости. Поиск системы уравнений движения любого

объекта в наиболее удобном виде - это основное звено при решении любой задачи по механике сплошной среды.

Полуденная система - это система двух дифференциальных уравнений в частных производных - линейная, относительно частных производных. Именно линейность системы позволила найти целые группы ее аналитических решений.

3. Для полученной системы были найдены группы аналитических решений в виде суммы или произведения двух функций. Причем, были найдены группы элементарных решений, если одна из функций - тригонометрическая или экспоненциальная функция угла, определяющего направление вектора скорости частиц потока.

4. Было сконструировано решение полученной системы, исходя из элементарных решений, как из элементарных «кирпичиков» наиболее соответствующих физике процесса и экспериментальным данным по растеканию планового потока.

5. Была выведена формула распределения скоростей потока вдоль его оси симметрии.

6. Использование формул перехода из плоскости годографа в физическую плоскость течения потока позволила решить задачу по растеканию потока в целом, разработав ряд программных модулей, используя стандартные программные средства и модифицируя их к условиям конкретной задачи.

7. Результаты расчета таких характеристик потока, как формы крайней линии тока и закона распределения глубин и скоростей вдоль оси симметрии потока, показывают хорошую сходимость и, следовательно, действенность предлагаемого метода по расчету свободно растекающегося потока в целом.

8. Исследования по определению моделей основных геометрических характеристик планового свободно растекающегося потока подтверждают правильность теоретического вывода в пункте «1» и дают набор формул, необходимых разработчикам гидросооружений дорожного водоотвода и мелиоративного строительства.

9. Было установлено, что поиск моделей методами регрессионного анализа в общем виде У = /(Х^,Х7,Х^) приводит к положительным результатам. Поиск же моделей в видах:

не дает достаточной для практики точности, хотя, на первый взгляд, по имеющейся традиции в области теории плановых потоков эти формулы потребовали первоочередной проверки.

10. Полученные формулы для определения всех необходимых параметров потока за линией косого гидравлического прыжка и угла, определяющего направление линии косого гидравлического прыжка, весьма удобны для автоматизации процесса расчета: освобождают проектировщиков от пользования громоздкими номограммами и дают достаточную для практики достоверность определяемых параметров.

11. Взаимное дополнение результатов теоретических методов и результатов, полученных методами регрессионного анализа экспериментальных данных показывают непротиворечивость работы по исследованию свободно растекающихся бурных плановых потоков в целом.

12. Использование полученных результатов позволит существенно повысить надежность рассматриваемой конструкции гидросооружений и обеспечить экономический эффект от увеличения долговечности сооружения и снижения необоснованно завышенных затрат при проектировке.

13. Основной вывод работы состоит в том, что предложенная теория решения гидравлических задач по течению двухмерных в плане бурных стационарных потоков, основанная на использовании решений системы уравнений в плоскости годографа скорости, действенна и позволяет получать довольно высокую степень адекватности реальному процессу. Эта теория способна к наращиванию и развитию.

Таким образом, она может быть поставлена в один ряд с методом характеристик, превосходя его по точности решения задач и по простоте. Эта теория является определенным направлением в развитии теории плановых бурных потоков и существенным вкладом в нее.

В диссертации дано только ядро, которое может дать определенную пользу при дальнейшей деталировке т.е. приложению этой теории к решению многочисленных, необходимых для практики, задач по гидравлике открытых двухмерных в плане бурных стационарных потоков.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Коханепио В.Н. Вывод основной системы уравнений движения двух-' мерного потока в плоскости годографа скорости и поиск ее частных решений (монография). М., 1996 - Деп. в ВИНИТИ № 3584-В96 от 10.12.96-98 с.

|Г'

2. Коханенко В.Н. Двухмерные в плане течения за круглыми водопропу скными трубами (дисс. На соискание ученой степени к.т.н.). Москвг МАДИ, 1992 г. 240 с.

3. Коханенко В.Н. Двухмерные в плане течения за круглыми водопропу скными +рубами (автореферат на соискание ученой степени к.т.н.). Мо сква. МАДИ, 1992 г. 24с.

4. Коханенко В.Н. Двухмерные в плане бурные стационарные потоки з; водопропускными сооружениями в условиях свободного растекания (дисс. на соискание ученой степени д.т.н.). Шахты; ДГАС, 1996 г. с.

5. Коханенко В.Н. Двухмерные в плане бурные стационарные потоки зг водопропускными сооружениями в условиях свободного растекания, (автореферат на соискание ученой степени д.т.н.). Москва. МГСУ, 1997г.- с.

6. Коханенко В.Н. Вывод системы двухмерных уравнений бурного потока в плоскости годографа скорости (статья). М., 1996 г. - Деп. в ВИНИТИ № 3587-В97 от 10.12.96 г. - Юс.

7. Коханенко В.Н. Выбор частных решений основной системы движения потока в конструкции решения краевой задачи свободного растекания бурного двухмерного стационарного потенциального потока воды (статья). М., 1996-Деп. в ВИНИТИ №3588-В96 от 10.12.96 г. - 12 с.

8. Коханенко В.Н. Конструирование решения задачи свободного растекания бурного двухмерного стационарного потенциального потока воды (статья). М., 1996 г. - Деп. в ВИНИТИ № 3586-В96 от 10.12.96 г. - 9 с.

9. Коханенко В.Н. Решение системы двухмерных уравнений растекания бурного стационарного потока воды (статья). М., 1996 г. - Деп. в ВИНИТИ № 3585-В96 от 10.12.96 г.-11с.

10. Коханенко В.Н. Расчет планового свободно растекающегося потока за трубчатыми водосбросами круглого сечения (брошюра). // Информационный листок № 594-88. ДНТИ, Ростов-на-Дону, 1988. 2 с.

11. Коханенко В.Н., Цивин М.Н. Прогноз эрозии грунта на участке свободного растекания потока за водопропускными сооружениями (брошюра). // Информационный листок № 538-88. ЦНТИ, Ростов-на-Дону, 1988.4 с.

12. Коханенко В.Н. Численный метод расчета линий косых гидравлических прыжков в задаче свободного растекания бурного потока. // Известия СКНЦВШ. Технические науки, Новочеркасск, 1989, № 4. 8 е., с. 36-44.

13. Коханенко В.Н., Кольченко O.JI. Влияние неравномерности потока в выходном сечении трубы на характер свободного растекания потока в нижнем бьефе. // Гидравлика и гидротехника. Киев, 1989. - Вып. 51. -с. 42-48.

14. Коханенко В.Н., Калмыков Б.Ю. Использование современных достижений регрессионного анализа в задачах механики плановых потоков. // Применение математических методов в вопросах совершенствования техники и технологии легкой промышленности. Сб. научн. трудов. ШТИБО. Выпуск 17. Шахты 1995 г. с. 85-90.

15. Коханенко В.Н., Калмыков Б.Ю. Формальное разделение переменных в уравнении плановых потоков. // Применение математических методов в вопросах совершенствования техники и технологии легкой промышленности. Сб. научных трудов. ШТИБО. Выпуск 17. Шахты 1995 г., с. 90-96.

16. Коханенко В.Н., Калмыков Б.Ю., Хоменко Ю.А. О возможности получения универсального графика свободного растекания планового бурного стационарного потока. // Применение математических методов в вопросах совершенствования техники и технологии легкой промышленности. Сб. научных трудов. ШТИБО. Выпуск 17. Шахты 1995 г., с. 99-101.

17. Коханенко В.Н., Калмыков Б.Ю. Вывод уравнения крайней линии тока при свободном растекании потока, исходя из экспериментальных данных. // Применение математических методов в вопросах совершенствования техники и технологии легкой промышленности. Сб. научных трудов. ШТИБО. Выпуск 17. Шахты 1995 г., с. 101-105.

18. Коханенко В.Н., Мицик М.Ф., Калмыков Б.Ю. метод размерностей применительно к определению структуры геометрических характеристик свободно растекающихся плановых бурных потоков. // Применение математических методов в вопросах совершенствования техники и технологии легкой промышленности. Сб. научных трудов. ШТИБО. Выпуск 17. Шахты 1995 г., с. 105-109.

19. Коханенко В.Н., Хоменко Ю.А., Калмыков Б.Ю. Вывод основной системы плановых потоков з естественных координатах. // Применение математических методов в вопросах совершенствования техники и технологии легкой промышленности. Сб. научных трудов. ШТИБО. Выпуск 17. Шахты 1995 г., с. 109-114.

20. Коханенко В.Н., Мицик М.Ф., Калмыков Б.Ю. Поиск специфических частных решений системы уравнений растекания планового потока воды. // Автосервис, машины и агрегаты, механика. Сборник научных трудов ДГАС. Выпуск 20. Часть 1. Шахты 1996 г., с. 55-59.

21. Коханенко В.Н., Калмыков Б.Ю. Применение принципа оптимальности к расчету свободного растекания бурных плановых потоков. // Автосервис, машины и агрегаты, механика. Сборник научных трудов ДГАС. Выпуск 20. Часть 1. Шахты 1996 г., с. 65-69.

22. Коханенко В.Н., Калмыков Б.Ю. Поиск структуры формулы распределения скоростей жидкости вдоль продольной оси симметрии свободно

растекающегося планового потока. // Автосервис, машины и агрегаты, механика. Сборник научных трудов ДГАС. Выпуск 20. Часть 1. Шахты 1996 г., с. 59-65.

23. Коханенко В.Н., Калмыков Б.Ю. Развитие численных методов.расчета бурных плановых потоков. // Автосервис, машины и агрегаты, механика. Сборник научных трудов ДГАС. Выпуск 20. Часть 1. Шахты 1996 г., с. 50-55.

24. Коханенко В.Н., Ширяев В.В., Калмыков Б.Ю. Решение некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. // Автосервис, машины и агрегаты, механика. Сборник научных трудов ДГАС. Выпуск 20. Часть 2. Шахты 1996 г., с. 35-39.

25. Коханенко В.Н., Ширяев В.В. Расширение метода переменного параметра применительно к решению специальных уравнений. // Автосервис, машины и агрегаты, механика. Сборник научных трудов ДГАС. Выпуск 20. Часть 2. Ша'хты 1996 г., с. 39-42.

(

Подписано в печать 28-04-97. Формат 60x84 1/16 Печать офсетная И-283 Объем 2 п.л. Т.100 Заказ 713 Бесплатно

Донская государственная академия серви Типография ДГАС. 346500, Шахты, Шевченко, 1