автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет пластин с прямоугольным жестким включением при двумерной апроксимации разрывными функциями

Государственный комитет РФ по высшему образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 624.073.042:539.219.1:517.982.4

Джрад Айман Исмаил

РАСЧЕТ ПЛАСТИН С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ ПРИ ДВУМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РАЗРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Сйикт-Петербург 1993

Работа выполнена на кафедре строительной механики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель - Доктор технических наук, профессор Масленников А. М.

Официальные оппоненты - Доктор технических наук,

профессор Карлов В. В.

- Доктор технических наук, профессор Соколов Е. В.

Ведущая организация - /VII СПб Промстройироект

Защита стостоится "¿0" 1994 г. в тУчас. _ мин.

на заседании диссертационного совета К.063.31.01 в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 19В005, Савкт-1)етербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4, Ленинский зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, / ^ •

кандидат технических наук, ' .5»«-«

Доцент В. И. Морозов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие различных отраслей современной техники, в том числе промышленное и гражданское строительство, сязано с повышением требований к точности расчета тонкостенных конструкций с разрывными параметрами, учитывающими физико-механические свойства.

Эти тонкостенные конструкции, состоящие из пластин и оболочек с технологическими конструктивными особенностями имеют включения, накладки и местные'утолщения. Такие конструкции относятся к системам с нарушением регулярн_>сти.

Анализ исследования нерегулярности в тонкостенных конструкциях приводит к рассмотрению локальных нагрузок, вызывающих существенные концентрации напряжений и создающих опаснее • зоны образования трещин или пластических деформаций.

Для оценки прочностных свойств данных конструкций Необходимо установить достоверную картину ндпряженно-деформирован-ного состояния (НДС), которая бы учитывала особенности возле негладких участков границ включения и нелинейные свойства материала.

Одновременно с этим возникает необходимо'сть уточненного расчета, оценивающиего влияния .разрывного характера изменения толщины и жесткости на динамические параметры, в том числе, и на частоту свободных колебаний.

При решении этих задач традиционные аналитические методы, а также численные методы,'оказываются малоэффективными. Это связано с тем обстоятельством, что уравнения теории упругости в местах особенностей имеют сингулярные решения. Поэтому здесь следует избегать рёиений'в виде рядов и искать способы их выражения в замкнутой форме.

В связи с этим.возникает необходимость в разработке уточненных эффективных методов решения указанного типа задач. Поэтому тема диссертации, посвященная развитию методов расчета пластин с прямоугольным жестким включением при двумерной аппроксимации разрывными функциями, является актуальной.

Целью диссертации является:

- построение рациональной системы аппроксимирующих разрывных функций, соответствующих различным видам локальных нагрузок для расчета нерегулярных пластин;

- разработка методики расчета пластин с прямоугольным жестким включением, в случае имитации включения эквивалентной стержневой рамкой и, как частный случай, с абсолютно жестким включением, при дискретном креплении включения к пластинке, на статические и динамические нагрузки, а также

в условиях нелинейно-упругого деформирования материала.

Научная новизна. В диссертации, на основе построения аппроксимирующих функций; представляющих собой функции Грина, и применения двумерной аппроксимации разрывными функциями, удалось достичь значительного увеличения сходимости решения для пластин с прямоугольным жестким включением в случае имитации включения эквивалентной стержневой рамкой, при дискретном креплении включения к пластинке и с абсолютно-жестким включением, на статические и динамические нагрузки, а также в условиях нелинейно-упругого деформирования.

Достоверность результатов обусловлена тем, что в основе всех преобразований применяются общепринятые проверенные й обоснованные гипотезы и методы строительной механики. Используется вариационный метод Власова-Канторовича, метод последовательных нагружений, что гарантирует и обеспечивает достоверность полученных результатов.

■Практическая ценность работы состоит в четкой алгоритмизации решения задач механики нерегулярных пластинчатых систем, что позволяет реализовать их легко на ЭВМ. Предлагаемые методики приводят к более достоверной информация о НДС указанных конструкций и значительно уменьшают, по сравнению с традиционными численными методами, затраты на подготовку исходных данных, сокращают требуемый объем оперативной памяти ЭВМ и затраты машинного времени.

Основные научные результаты, полученные автором:

- построена рациональная система аппроксимирующих функций при двумерной аппроксимации разрывными функциями;

- разработана методика расчета пластин с прямоугольным жестким включением, в случае имитации включения эквивалентной стержневой рамкой и, как частный случай, с абсолютно-жестким включением;

- разработана также методика расчета при дискретном креплении включения к пластинке (при чем рассмотрено и использование пластины из нелинейно-упругого материала);

- проработана методика определения частот свободных колебаний при имитации включения стержневой рамкой.

Внедрение результатов. Результаты исследований, полученных в диссертации планируются к внедрению в Ливанской республике.

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались на 49-оП и 50-ой научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета в 1992-1993 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи. '

Объем работы. Диссертация состоит из Ведения, четырех глав, Заключения, Списка литературы и Приложения. Она содер- . жит 142 страниц машинописного текста, 9 рисунков,- 8 таблиц, 170 наименований использованной литературы, 9 страниц Приложения.

Автор выражает глубокую благодарность за консультации профессору Михайлову Б. К.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, приведено ее краткое содержание.

В первой главе дается обзор работ по методам расчета пластин с включениями, накладками и местными утолщениями.

Предложенные до настоящего времени различными авторами методы исследования НДС пластин с различными включениями можно разделить на две основные группы: методы приводящие решение задачи к расчёту пластин с различными законами изменения толщины, и методы, представляющие собой пластину ступенчато-переменной толщины.

1 Идея методов, приводящих решение задачи к исследованию пластины ступенчато-переменной толщины была предложена Жилиным П. А. и затем развита Карповым В. В.

Большей общностью обладает подход, имитирующий прямоугольное включение с помощью эквивалентной стержневой рамки и имитация с помощью дискретного крепления включения к пластинке.

Развитие исследований, связанных с разработкой методов расчета данных конструкций приводит к рассмотрению локальных нагрузок, вызывающих существенные концентрации напряжений.

Примененные для решения этих задач различными авторами традиционные аналитические методы, а также численные методы, приводили к приближенной сглаженной картине распределения усилий. Поэтому решение этих задач не совсем целесообразно в рядах и следует и-скать иные способы их решения, по возможности в замкнутой форме.

Использованные Михайловым Б. К. решения в виде разложения по импульсным функциям, позволили построить эффективный аналитический метод расчета применительно к нерегулярным системам. .

Предложенное в этой работе введение разрывных функций в разрешающие дифференциальные уравнения, дают наибольший эффект в случае аппроксимации разрывными функциями в виде их произведения по двум переменным, тогда как варьирование только по одной переменной приводит к сглаживанию картин НДС по сечению в перпендикулярном направлении. В этом и состоит преимущество метода двумерной аппроксимации.

Практически не полностью исследованы расчеты, позволяющие оценить влияние разрывного характера изменения толщины и жесткости на динамические параметры, в том числе и на частоту

свободных колебаний.

Не достаточно полно решены также задачи учитЬвающие распределение компонентов НДС вблизи особенности в условиях нелинейно-упругого деформирования.

Приведенный анализ литературы подтвердил актуальноЬть целей настоящего исследования.

Во второй главе приводится вывод основных соотношений и уравнений, учитывающих наличие включения, накладки и местное утолщения в пластинках.

В начале пластинка с прямоугольным жестким включением • " рассматривается как йластина ступенчато-переменной толщины (рис. I) и, следовательно, жесткости. Хесткость такой пластинки 2) задается с помощью следующей зависимости:

(л

Рис. I

где ]>*«Д -Д ■". ' • ,

- соответственно, цилиндрическая жесткость в ! ' "тонкой" и "уталщеннай" части пластинки;

Н(х,~х11)> - функции, составленные из 4 Функций Хевисайд^.

При несимметричном включении относительно срединной поверхности,пластинки, выражение .(I) примет следующий вид;

- Но + (В* + Нхх1 ■ Н^и • , (2)

Здесь .£> = соответственно, _В ^)\

.>'".4-А.

В дальнейшем, с целью упрощения решения, ограничимся рассмотрением пластинки только с симметричным включением,

Подставим выражение (I) в соотношения упругости, а затем составим дифференциальное уравнение равновесия пластинки в следующем виде:

Р, V4 (к у; -4 ¿>ГГ<% ? % - '.

' Змду •■ Ну У с) ' Нщ (Л',' ^) • ' +

"Для решения этого уравнения представим функцию прогибов таким образом:

После применения метода Бубнова-Галеркина к уравнению (3), определяются прогибы, а затем усилия с помощью соотношений упругости. ■ .

Однако, при таком приходе использование разрывных функций носит формальный характер. Получить хорошие результаты

южно только для перемещений, усилия *е вблизи особенности тределяются с большими погрешностями.

Поэтому вводится эквивалентная стержневая рамка, имити-¡ующая прямоугольное жесткое включение для решения уравнения 3). В этом случае- выражение {3) примет вид:

У(Чу)'У^Ыу-Нуу*

Имя

где - дельта-функция Дирака;

~ приведенная жесткость стержней,' имитирующих прямоугольное включение.

■ Для решения уравнения (4) строится система аппроксиМиру-ощих разрывных функций, соответствующих виду локальных нагрузок при двумерной аппроксимации. Построение осуществляется на примере расчета пластины на действие локалбной нагрузки, сосредоточенной в центре, где на первом этапе аппроксимации бе-= рется решение уравнения изгиба .балки постоянной толщины, ко-, торое содержит члены представляющие собой функции Грина, учи~ тывающие локальные нагрузки. В peзyльтaíe получается решение в виде: ...

Построенная таким образом разрывная функция ^¿у» будет наилучшей аппроксимацией на втором этапе, так как график этой функции плавный, а ее вторая производная имеет Излом, а • третья имеет скачок, что-соответствует характеру распределения усилий в местах особенности.

Аналогичнр отроятся остальные разрывные функции.' В результате для решения уравнения (4) функцию прогибов и нагру ки можно представить в виде:

'.р&ЧуЬа);^))

■ ' (у).

где (¡()-¿у} - искомые функции обобщенного прогиба; & С*)} (¡/) ~ Построенные разрывные функции;

Ы) ' Л' {у/ ~ известние Функции поперечного распреде-^ ^ , ления прогиба. Таким образом, решение уравнения (4) строится в виде суммы решений от заданной нагрузки и от контактных усилий и имеет вид:

? 6'Ь^сХ «/>/&'

/¿у •

(7)

си

г», сху,] На. ■. £(*)■ ы*)- ЬШ»-

* ь " А ~~

. - решение уравнения V ^хС^с^хв •

неизвестные коэффициенты. ^ Далее представляется решение уравнения (3) при дискретном креплении включения к пластине. Для построения этого ре-пения, разобьем область включения на {1хК) элементов. В пределах каждого элемента переменные сингулярные коэффициенты считаются постоянными, равными значению в средней точке интервала. В результате этих преобразований уравнение (3) примет следующий вид: *,

л л?« ^ *

+&41(п-,ут)- • ^(уп,^ Вгм. <5^ • Уххп + Язе. +

I .

т Его решение строится в виде комбинации регулярных и разрывных функций: '

и)^-* В+* Щаш}

где-Й^Х^Цт,•• ~ имеют вид:

Ье■ й^; ^^=^ Яз^• •

(О)'

Здесь/£¿1) - разрывные функции, которые являются,

/ ' соответственно, решениями уравнений:

/> (П)

В случае, пластинки с абсолютно-жестким включением и в силу симметрии, из уравнения (7) получим:

йС^-КФ)-*,^)-^-*«"?' М-

где

' • а

Ь'^г^и-Ш^у- <13)

После подстановки выражения (13) в уравнение .(12) и деления ' числителя и знаменателя на £У при устремлении к бесконечности, получается, что

(Ьг М <*>))*

' 1,0* и)- Щ1 .

(14)

На рис. 2 приведены результаты расчета для пластинки с включением, симметрично расположенным относительно контура. На рисунке показаны графики соответствующие пластинке о прямоугольным включением (———/Р0 = 25, в случае стержневой рамки (— • — •—дискретное крепление (-*—*-") и приР^Р^*"* (- )•. Использований двумерной аппроксимации разрывными

1 ¿" ш-Ю ,м йа

¿а

Чб

го

■ У

Мх ■ I?

00

ъА

■у"

Ю*'лг з з

К* ао и 22

к*

— -— -

N

Ч;

> ^ •

■с

ы

. N

Рис. 2. Компоненты НДС в пластинке по сечению"^г

функциями позволило выявить все особенности в распределении компонентов НДС и получить решения с одинаковой, сходимостью во всех точках поверхности пластинки. Несмотря на то, что расчет по стержневой рамке дает более упрощенный алгоритм решения, жесткость пластинки при дискретном креплении больше. Кроме того, вариант дискретного крепления описывает более полно реальный характер распределения усилий в пределах контакта.

- -

В третьей главе приводятся - методики определения частот свободных колебаний для пластин с жестким включением.- Для . этой, цели использован вариант, имитирующий включение эквива ленгной стержневой рамкой, который не требует исследования характера поведения системы внутри включения, а связан лишь с определением динамических характеристик всей упругой сист< мы.

Для, получения уравнения движения, необходимо к пластинке, кроме внешних сил, приложить даламберовы силы инерции. Тогда уравнение,(7) примет вид:

% * • % пр ■ ■ Мм*

Сначала рассматривается решение методом двойноых тригонометрический рядов. Функция прогибов представляется в виде:

(¿{х, у, I) - 2 -л. • Ш.• <16)

V

Практический интерес представляет самая низкая частота, поэтому в разложении (16) удерживчется только один первый член ряда. После применения метода Бублова-Галеркина к уравнению (15), получается линейное уравнение малых гармонических колебаний: " '

- + = • (17)

В дальнейшем рассматриваются только свободные колебание. Из уравнения (17) получаетря выражение для определения частоты свободных колебаний:

, ^^-Л^АУ-*« / ; (18)

оИ-аё

■ * Т

где а;-у J З-ЛлеС^Ля-^у-Жс/у,

о о

' 11 ^ '' Ухх.) • /

Далее представляется решение методом одинарных тригонометрических рядов. Для этой цели функция (16) задается в. виде:

В результате применения метода Бубнова-Галеркина к уравнению (15), получается, что

- -г/г,» • Зле -2 Ёк (л^Ы-

С* к. ■

I <а/(хг)- ¿»у * М ■ Нхх)].'

^ (19)

2го решение имеет вид:

у) сЛг^'+ сЛ^л +

' (20) (десь учет граничных условий, приводит к однородной системе" 1лгебраических уравнений. Эта система имеет решения, если ее (етерминант равен нулю, откуда и находится частота свободных :олебаний.

Ниже представляется метод перехода ог статической эада-[и к задаче динамики. Для этой цели функция прогибов прёд- ' :тавляется в виде:

и)(щ, ^ ^ (ху) . (21)

Где Ц/ ^¿^¿и

'~ Роаение ПРИ инерционной нагрузке

В результате выражение для определения частоты свободных колебаний примет'виД: —

м Д ■ а„-а,г .

(22)

_ ■ "¿г V

(23)

В случае пластинки с абсолютно-жестким включением, функция прогибов представляется в виде (21), где. . • '

/V * Ц> (}<)> ^ >£ ^' (24>

Подстановка выражения (21) в уравнение (15) и применение метода Бубнова-Галеркина приводит к уравнению,, разделив числитель и знаменатель которого на ЕУ , и полагая, что ЕУ стремится к бесконечнрсти, получим выражение для определения частоты свободных колебаний:

- if -

г 'v

где , Otf I'Sff - находится по формулам, аналогичным (23).

Для пластинки из анизотропного материала с включением, уравнение движения имеет вид:

D* и);" t 2Вку ъ)иуу + By Jjjf* L (х, у)- (26)

Если задавать W (Jв виде (21), получим выражение для определения частоты:

а„ - Cj„

br-jfra.

(27)

^ "--а,

где **/' , ' ЧЦ Фх ■ ;Ъц.ЩЖщ)*^ ,

<7^ , <7^ - находятся по формулам (23), По изложенной методике определялись частоты свободных колебаний в зависимости от отношений высоты включения к толщине пластинки для пластинки с симметрично расположенным включением при различных толщинах пластинки. Использование двумерной аппроксимации разрывными функциями путем решения соответствующей статической задачи при некоторой нагрузке близкой к инерционной, существенно увеличивало точность достигнутого решения. Показайо,1 что для достаточно тонких плас-' тинок отношение высоты включения к пластинке.менее,сказывается на' частоту, чем при большей толщине: Кроме того увеличение <1ас,тоты с увеличением высоты включения зависит от размеров включения (рис^ .3).

В четвертой главе исследуется. НДС пластин из нелинейно-упругого материала с включением. ■

Для получения уравнения равновесия * необходимо, в отличие от линейно-упругих пластин, использовать еще соотношения, связывающие между собой деформации и напряжения.

Рассматриваются пластинки, .выполненные из несжимаемого нелинейно-упругого материала при следующих зависимостях:

At), '¿¿-ffo)

(28)

- х8 -

20

10

¿ / 1

/ / V

/

10

¿O.

50

Л

%

Рис. 3. Частота свободных колебаний в зависимости от отношения висоты включения к толщине пластинки при различных толщинах пластинки (I - при «V^ = 500,: 2 - при"//^ =100,: 3 - при а/^ = 1000) '

гцв'(ос , &>¿ - соответственно,- интенсивности напряжений и деформаций ; ' • . Внутренние силы имеют потенциал, который представляет' собой работу внутренних сил, приходящихся на единицу'площади срединной поверхности:

f=¡/2<f>d%- ; 1Где ' (29) и могут быть определены из выражений:

м

м,

у

Таким образом, внутренние силы являются сложными нелинейными функциями. Вид этих нелинейных функций зависит от того, в какой форме учитывается нелинейность материала. Исходя из этих соображений, представим физические соотношения в виде:

ня. и;, Му--£МуI

где

л/;, щ И Муу' - соответствует упругому деформированию _ __ при несжимаемости материала;

^Мц; ёМхи - представляют собой нелинейные добавки.

Подставим соотношения (31) в уравнение (4) и после ряда упрощающих преобразований получим нелинейное уравнение равно-, весия: . ■ , ,

ь0 + о2)

где

Фи,у) - нелинейная функция, которая определяется со. . отношением:

УЬ*)--^*^^] > .33,

а уравнение (8) примет вид: . .

■ Д, у V,- Фм/н . (34)

Интегрирование'этих уравнений связано с большими трудностями из-за наличия нелинейных функций 6 их правых частях. Поэтому целесообразно выполнить предварительную линеаризацию этих соотношений. Для этой цели будем использовать метод последовательных нагружений. В результате на каждом этапе н^-гружения выражения, представляющие собой приращения усилий 8>/Йх , <>Му и §Мку , будут определяться так:

.....•

где РМх.1 - функции условных жесткостей пластинки

каждого этапа нагружения. Эти функции определяются выражениями:

(36)

Для дальнейших преобразований необходимо выразить через физические параметры и компоненты искривления, жесткость 2) .

Связь между интенсивностями напряжений и деформаций принимается в виде кубической зависимости: '

£5^ = Е <?/; (37')

где £ у*** - постоянные, определяемые из эксперимента.

Тогда кесткостб^) примет вид: ■ ; . •

Согласно изложенному, представим функцию прогибов и нагрузки в виде: . .

= Л + •

■ (39)

Таким образом, для решения задачи в первом нагружении имеем линейное уравнение:

Во = ^лии • (40)

Для решения задачи во втором нагружении, будем иметь:

Л У4и)л -- Ф^ин* См, у)} (41)

Вычитая из уравнения (41) уравнение (40), получим:

Л/ ^ • («)

После нахождения у ), во втором нагружении опреде-

лим из уравнения (41) ^ .

Решение задачи в последующих нагружениях осуществляется по схеме второго нагружения.

Аналогично строится решение уравнения (34). '

Приведем пример расчета пластинки с включением /]За « » 25, симметрично расположенным относительно контура (рис. 4) (обозначения как на рис. 2). Благодаря использованию двумерной аппроксимации разрывными функциями увеличилась сходимость эеиения в условиях нелинейно-упругого деформирования. Иа графиков видно, что прогибы и моменты вычисленные по нелинейной геррии вблизи особенности превышают значения вычисленные по (инейной теории. ' •

Основные выводы:

' I» Полученные уравнения, учитывающие наличие включения, акладки и местные утолщения в пластинках, удалось решить бо-ее просто, путем использования обобщенных функций. Эффектив-ой оказалась имитация включения эквивалентной стержневой амКой. , .

2. На основе построения аппроксимирующих разрывных функ-ий, представляющих собой функции Грина, при дЬумерной аппро-симации, удалось достичь значительного увеличения сходимости зщения как в континуальных зонах, так и вблизи особенностей.

3. Дано обобщение разработанной методики на расчет плас-<Н с абсолютно-жестким включением. Построенный алгоритм решил в случае дискретного характера связей между включением пластинкой, описывает реальный характер распределения уси-[й в пределах контакта и может быть использован для подбора . 1ТИмального шага связей.

1.0

0.8 0.6 04 й£

/ /

/

!/

15

ВО

45

ЪГ-Ю* мм

„Мх-М*,м йв

4.6 3.0

45

• У

3.0 2.0 10

4 00

«

зависимость "нагрузка - прогиб" в центре

для упругого (----) при стеришейой рамке

и нелинейно-упругого расчета.

"/б ^ ^

ц

4 ^ V. Ч 4 «А.

Рис. 4. Компоненты НДС в пластинке по сечению^/ =<7/2 •

4. Использование двумерной аппроксимации разрывными функциями путем перехода от решения статической задачи (при некоторой нагрузке, близкой по характеру распределеняя к инерцион-: ной) к решению задали динамики весьма эффективно, так как позволяет оценить влияние разрывного характера изменения толщины на динамические параметры, в том числе и на частоту свободных колебаний. •

5. На основе разработанного алгоритма получены уравнения »вновесия пластин из нелинейно-упругого материала с включени-ч. Использование двумерной аппроксимации разрывными функциями величило сходимость ревения в условиях нелинейнр-упругого де-ормирования. Показано, что учет зтого фактора смягчает влияние зобенности на концентрации поля напряжений.

6. Предложенный аналитический аппарат может быть применен рекомендован для широкого использования. Его алгоритм ,цоста-зчно прост, не требует для своей реализации громоздких программ легко реализуется на персональном компьютере.

Основное содержание диссертации отражено в следующих

Масленницов М., Мика^лов В.- К., Джрад А. И. Изгиб пластины с жесткими включениями/СПбИСИ, 1993, II е., деп.в ВИНИТИ 21.06,93, № 1724-В93.

Джрад А. И. Пластины под действием локальных нагрузок при двумерной аппроксимации разрывными функциями/СПбИСИ, 1993, 10 е., дец в ВИНИТИ 21.06.93, Р 1725-В93.

>ботах