автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование упругих плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций

ШлМ § &

На правах рукописи

СУХОТЕРИН Михаил Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ СУДОВЫХ И ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург- 2010

Работа выполнена в федеральном государственном образовательном учрежден

нии высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций»

Научный консультант - доктор технических наук, профессор Голоскоков Дмитрий Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пшеницын Владимир Ильич, доктор технических наук, профессор Галилеев Сергей Михайлович,

доктор технических наук, доцент Кондратьева Лидия Никитовна.

Ведущее предприятие: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет.

на заседании диссертационного совета Д223.009.03 при Санкт-Петербургском государственном университете водных коммуникаций по адресу: 198035, Санкт - Петербург, ул. Двинская, 5/7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПГУВК.

Защита состоится

2010 г. в /^

часов

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного кандидат технических наук, доцент

Е.Г.Барщевский

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

2010

ТГОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА' РАБОТЫ

1. Актуальность проблемы. Проблема оценки параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) прямоугольных пластин при изгибе поперечной нагрузкой возникает в различных областях техники, в том числе в судостроении и гидротехническом строительстве. Особую значимость она приобретает при создании уникальных по своей сложности и размерам сооружений. Стремление избежать возможных техногенных катастроф предъявляет повышенные требования к математическому моделированию поведения отдельных элементов и конструкции в целом, к созданию новых численных и численно-аналитических методов расчетов их на прочность и долговечность, к созданию комплексов программ для их реализации. Многие приближенные теории и методы решения краевых задач требуют уточнения, анализа достоверности полученных результатов. Создание новых численно-аналитических методов позволяет выявить особенности поведения элементов конструкций в опасных точках, где возможны концентрации напряжений. Особый интерес для исследования представляют пластины, у которых либо все грани защемлены, либо защемлены три, две или одна, а остальные свободны, для которых не получены точные решения в замкнутом виде. В виде пластин, жестко защемленных по одному краю (консольных пластин), выполняются отдельные элементы в конструкциях судов, гидротурбин, самолетов, а также режущий инструмент ряда технологических операций в машиностроении. Консольная пластина (плита) переменной толщины принимается в качестве начальной математической модели для монолитных крыльев самолетов и судов на подводных крыльях и на воздушной подушке, для лопаток гидротурбин и лопастей судовых винтов, зубьев зубчатых передач, стен шлюзовых камер и т.п. Силовой набор корпуса судна, плоских затворов ГЭС и других гидросооружений разделяет обшивку на прямоугольные (чаще квадратные) элементы, которые можно считать пластинами, защемленными по всем четырем граням под действием гидростатической нагрузки. Большой интерес представляют пластины (панели), подкрепленные ребрами жесткости (ребристые ортотропные пластины). Это, прежде всего, судовые переборки с частым расположением ребер по обе стороны обшивки, способные выдержать давление воды как с одной, так и с другой стороны, днищевые перекрытия судов типа двойного дна и т.д. Расчетной математической моделью судовой обшивки из синтетических материалов можно также считать ортотроп-ную пластину. Расчетной моделью плоских стенок различных резервуаров, подпорных стен, палубных и строительных перекрытий с одной свободной кромкой является прямоугольная пластина, три края которой защемлены, а четвертый свободен. Плиты с двумя защемленными и двумя свободными краями используются для перекрытий мостового типа.

Современный этап развития судостроения характеризуется появлением судов новых конструктивных типов, использованием при их строительстве новых конструкционных материалов, новых более прогрессивных технологических процессов изготовления отдельных элементов, стремлением к снижению материалоемкости. По этой причине существовавшие ранее приближенные ме-

тоды оценки прочности' корпуса судна,и его-элементов-оказываются час го нс-

ДОС7Л1ПЧНО ТОЧНЫМИ СТИЮШПСЯ ПСОбхОДТТМ-ЛМ НеПОЛ-ЛЛи.Ш- Д.1Я аП.!ЛП-а

НДС судовых и гидротехнических конструкций новых современных методов . математического моделирования, ориентированных на широкое применение ■компьютерных вычислений.

Математические модели поведения пластин конечных размеров с защем-ленно-свободными краями при изгибе приводят к весьма сложным краевым задачам математической физики, не имеющим точного решения в замкнутой форме. Особенно сложна задача изгиба консольной пластины, так как гранич-чные условия на свободных кромках содержат частные производные второго и с третьего порядков. Этим объясняется сравнительно малое количество публикаций по расчету консольных пластин. Причем, часть из них либо вовсе не содержит численных результатов, либо трудно судить об их близости к точному решению задачи. Весьма сложной проблемой является расчет анизотропных . пластин и, в частности, подкрепленных ребрами жесткости. Классическая теория тонких пластин (модель Кирхгоффа) не учитывает влияния деформации поперечного сдвига на изгиб, что может заметно сказываться на НДС вблизи контура пластины (особенно в окрестности точек, где происходит резкая смена ."граничных условий) и точек приложения сосредоточенных сил. Уточненная теория пластин (модель Рейсснера), применяемая для пластин (плит) конечной толщины еще более усложняет указанные задачи, так как приводит к двум (вместо одного) дифференциальным уравнения изгиба и еще более сложным граничным условиям. Серьезных работ по уточненной теории указанных видов пластин, доведенных до численных результатов,- не много.

Отметим, что многие исследователи отдают предпочтение методу конеч-. ных элементов (МКЭ), считая его универсальным и надежным методом математического компьютерного моделирования. Однако он эффективен для нахождения приближенных решений краевых задач. Желая получить более точное ..решение исследователи дробят сетку конечных элементов, что приводит к «запиранию» вычислительного процесса, когда матрица системы линейных уравнений становится плохо обусловленной, и малейшие погрешности вычисления коэффициентов матрицы (компьютерное округление) приводят к обратному результату - ухудшению точности решения краевой задачи. Обусловленность системы ухудшается при отклонении формы элементов от правильных многоугольников, а также при применении МКЭ к дифференциальным уравнениям более высоких порядков. Поэтому по-прежнему актуальны аналитические методы исследования (в сочетании с численными), когда полученное решение можно проверить подстановкой во все условия задачи. Именно такие методы используются в данной работе.

Заметим также, что использование МКЭ предполагает его проверку на «эталонных» задачах, т.е. тех, для которых получено точное аналитическое решение или, как в данном случае, сколь угодно близкое к точному.

2.Цель работы и задачи исследования. Целью настоящей работы является развитие методов математического моделирования поведения плоских эле- ментов конструкций и повышение точности их расчетов.

^'Задаш'йсслёдШшия:

1) построение численно-аналитического итерационного метода суперпозиции исправляющих функций, который позволяет получить решение для прямоугольных пластин Кирхгоффа и Рейсснера с защемлено-свободными краями (гладких и ребристых) с любой точностью;

2) доказательство сходимости итерационных решений к точным решениям;

3) получение достоверных численных результатов об изгибе указанных пластин по обеим теориям;

4) представление численных результатов в табличной и графической форме в качестве справочного материала при проведении проектными организациями типовых инженерных расчетов плоских элементов металлоконструкций;

5) сравнение результатов, полученных по классической и уточненной теориям, и анализ области применимости этих теорий;

6) теоретическое и численное исследование на этой основе возможностей предложенной модификации вариационного метода Канторовича и метода однородных решений применительно к расчету НДС консольных пластин постоянной и переменной толщины;

7) использование метода суперпозиции исправляющих функций для моделирования изгиба защемленных гладких и ребристых анизотропных пластин.

3. Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются упругие плоские элементы судовых и гидротехнических конструкций и, в частности, прямоугольные пластины (плиты) с защемлено-свободными краями под действием поперечной нагрузки. Предмет исследования - методы математического моделирования поведения указанных элементов, обеспечивающие необходимую точность расчетов.

4. Математический аппарат исследования. В данной работе использовались: аппарат дифференциального и интегрального исчисления функции одной и нескольких переменных; теория числовых рядов и рядов Фурье; теория бесконечных систем алгебраических уравнений; методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; теория пределов.

5. Научная новизна. В настоящей работе предложен итерационный метод суперпозиции исправляющих функций, позволяющий получить с помощью достаточно простого алгоритма решение с любой точностью для широкого круга задач теории пластин. Он может быть использован как метод математического моделирования и для решения других задач математической физики. Этим методом исследовались прямоугольные консольные пластины под действием равномерной нагрузки в рамках классической теории (Кирхгоффа) и уточненной теории (Рейсснера) Подобные задачи решены также для защемленной по всему контуру пластины (изотропной и ортотропной). Дано обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки. Предложенным методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба пластин Кирхгоффа с тремя защемленными и одной свободной кромками, а также с двумя защемленными и двумя свободными кромками. Доказана сходимость итерационного процесса к точному решению для всех указанных задач. Предложено видоиз-

•I С- -

менение вариационного метода Канторовича, основанное-на точном выполнении граничных условий на ,захцемленнойжи,и<противоположной ей свободной кромках консольной пластины Кирхгоффа. Получены численные результаты расчетов напряженно-деформированного состояния указанных пластин.

6. Основные новые результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

1) итерационный метод математического моделирования для решения широкого класса задач изгиба прямоугольных пластин с защемлено-свободными краями, - метод суперпозиции исправляющих функций,- позволяющий получить решение с любой точностью для произвольной поперечной нагрузки;

2) приложения указанного метода для исследования изотропных и ортотропных пластин как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации поперечного сдвига;

3) алгоритм численной реализации метода;

4) доказательство сходимости итерационного процесса к точному решению для каждой из указанных задач;

5) численные результаты расчетов НДС пластин под действием равномерной и гидростатической нагрузки, представленные в виде таблиц и графиков;

6) обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки на примере консольной пластины Кирхгоффа;

7) модификация вариационного метода Канторовича для расчета консольной пластины Кирхгоффа с постоянной и линейно изменяющейся толщиной;

9) исследование практической применимости метода однородных решений для более высоких приближений при изгибе консольной пластины постоянной толщины;

10) аналитическое и численное доказательство того, что в точках перехода от защемленного края к свободному изгибающие моменты бесконечны в рамках моделей Кирхгоффа и Рейсснера (концентрация напряжений).

7. Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы нашли практическое применение во ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, в СПКТБ «Ленгидросталь», в Центре технологии судостроения и судоремонта (ЦТСС) для расчетов НДС элементов гидротехнических и судовых конструкций; в СПГУВК они используются при подготовке специалистов по направлению «Прикладная математика и информатика».

8. Апробация работы. Основные положения работы представлялись на научных семинарах кафедры математики и кафедры прикладной математики СПГУВК; на Всероссийской НМК СПГУВК 1994 г.; на XI С.Петербургской международной конференции «Региональная информатика» СПОИСУ 2008 г.; на международной научно-практической конференции «Водные пути России: Стр-во, эксплуатация, управление», СПГУВК, 2009 г.

9. Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в научно-технических изданиях. Всего опубликовано 26 работ, из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для докторантов; одна монография;

одно изобретение; 3 статьи в материалах всероссийских=и международных конференций; 4 статьи в ведущих изданиях СССР; 9 работ в других изданиях.

10. Структура и объем работы. Диссертация представлена в форме рукописи, состоящей из введения, 8 глав и заключения. Объем рукописи- 300 стр., в том числе 79 рисунков, 66 таблиц и список использованных источников из 145 наименований.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе изложено современное состояние проблемы создания математических моделей поведения плоских элементов различных конструкций под действием поперечной нагрузки, а также анализ известных численных методов решения соответствующих задач математической физики и полученных результатов.

Консольные пластины конечных размеров, несмотря на давнее и интенсивное развитие классической теории тонких изотропных пластин, остаются пока наименее изученными вследствие сложности краевой задачи изгиба. Первые работы в этом направлении были опубликованы лишь в 1935 г. К.Мак-Грегором и в 1937 г. Д.Холл ом.

Важные исследования, касающиеся разработки и применения различных математических моделей к решению данной проблемы, выполнены В.М.Фроловым, Н.Л.Рабинским, Ю.М.Далем, Г.М.Валовым, Е.П.Пугач, В.К.Прокоповым, Ю.А.Груздевым, О.А.Журавской, П.М.Варваком, В.Нэшем, В.Кадамбе, А.Коуллом, А.Лейсса, Ф.Ниденфуром, Г.Плассом и другими. Задача решалась вариационными методами, методом однородных решений, приведением к бесконечным системам алгебраических уравнений относительно коэффициентов тригонометрических рядов, методом конечных разностей и конечных элементов, методом коллокаций и т.д.

К сложным краевым задачам относится также задача изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины. Первые результаты но расчету НДС под действием равномерной нагрузки были получены Б.М.Кояловичем в его докторской диссертации в 1902 г. Различными приближенными методами эту задачу в рамках классической теории решали также И.Г.Бубнов, С.П.Тимошенко, Б.Г.Галеркин, Л.С.Лейбензон, Л.В.Канторович и В.И.Крылов, Г.Генки, И.Войтошак, Я.С.Уфлянд, Д.П.Голоскоков и др.

Не существует также точного решения в замкнутой форме для пластин с тремя защемленными и одной свободной кромками, с двумя защемленными и двумя свободными кромками; весьма сложны задачи изгиба пластин переменной толщины и ребристых пластин.

Каких либо значимых работ, касающихся расчетов пластин с защемлено-свободными краями по уточненной теории Рейсснера, учитывающей деформации поперечного сдвига, не имеется.

Отметим, что во многих работах, посвященных указанным проблемам, мало исследованы вопросы точности приближенных решений, т.е. достоверности полученных численных результатов.

Во второй, главе предложен итерационный-метод- суперпозиции ,-исправг • ляющих функций для решения широкого круга краевых задач. Сущность метода состоит в том, искомое решение представляется в виде суммы основного компонента и бесконечной системы исправляющих функций. Основной компонент выбирается в виде конечного многочлена, является частным решением фундаментального дифференциального уравнения задачи и удовлетворяет части граничных условий. Для пластин с защемлено-свободными краями он обязательно не должен давать прогибов защемленных кромок. Невязки выполнения остальных граничных условий от основного приближения поочередно компенсируются системой исправляющих функций, которые также удовлетворяют лишь части граничных условий. Система исправляющих функций должна автоматически удовлетворять однородным дифференциальным уравнениям задачи, являться ортогональной системой, не давать прогибов защемленных граней. Для задач изгиба пластин исправляющие функции представляют собой гиперболо-тригонометрические ряды по двум координатам. С ростом числа итераций все невязки уменьшаются, и решение приближается к точному решению.

В качестве первого приложения указанного метода рассматривалась задача об изгибе прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа (рис.1) -у 12<х<у/2, 0 < < 1 (край у=0 защемлен, остальные - свободные) постоянной толщины к под действием поперечной нагрузки. Здесь у = а!Ъ, а и Ъ - размеры пластины в плане; координаты срединной плоскости х, у отнесены к размеру Ь (по оси у). Эта задача не имеет точного решения в замкнутой форме.

Сначала рассматривается равномерная нагрузка интенсивности до (рис.1). Изогнутая срединная поверхность такой пластины определяется дифференциальным уравнением изгиба и граничными условиями:

(1) (2)

дн>

ду

= 0,

--Г- +V-

3"и> ду-

Э2и>

~дх2

э2-

у»

-Г + У-г

дх2 ду2

-о,

у=О

З3

и> . д ж

—г + (2-И—г—

ду3 дх2ду

д3и> З3м>

—— + (2 — у)-г-

дх дхду

= 0,

(3)

= 0, (4)

д2™ дхду

= 0

(5)

Здесь прогиб у; отнесен к величине даЬ4Ю\ О = ЕИ3/[\ 2 (1-у2)]- цилиндрическая жесткость; Е - модуль Юнга, у - коэффициент Пуассона; изгибающие моменты Мх , Му и крутящий момент Н^, отнесены к величине Ь~; перерезывающие силы Ух , Уу~ к ц0Ъ\ V2 - двумерный оператор Лапласа.

В качестве начального, приближешет для? искомокифункции прогибов выбирается «балочная» функция»: '

%(7) = -(/-4у3+б/)/24, (6)

которая представляет собой известное частное решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2,3,5).

4-».

0 4 1 У

д0 =сопИ

У

Рис. 1. Прямоугольная консольная пластина (равномерная нагрузка)

На гранях х = ±у/ 2 эта функция нарушает граничные условия лишь в изгибающих моментах, порождая главную невязку, которую мы разложим в ряд Фурье по синусам:

"О

М<°> (±Г/2,у) = у(у -1)2 /2 = X Ь1к°ЫпЯку , (7)

где Лк=кя/2; Ь[0) =у(1-2/Д;)/Я,.

Первая исправляющая функция выбирается в виде тригонометрического ряда:

(х,у)= ^ (АкскЯкх + ВкхяЬЛкх)зтЯку, (8)

* =1,3,.

где Ак, Вк- неопределенные коэффициенты. Эта функция является бигармо-нической, удовлетворяет первому условию (2), второму условию (3) и условию (5). Коэффициенты Ак , Вк находятся при удовлетворении условиям (4), компенсируя при этом невязку (7).

Функция (8), в свою очередь, нарушает условия на гранях ^=0 и у=1 по углу поворота заделанного сечения и изгибающему моменту свободного края (ниже обозначено к=(к +1) / 2):

Зу(х,0) = (ЛкЛкс/гЛкх + ЗкЛкхх/гЛкх), (9)

*=1,3,...

Му(х, 1) = - £ (-^Лк{(\-у)АкЛ1[МкХ'Вк^сЬЯкх~0-у)Якх$ЬЛкх]} .(10)

|Ы,3,...

Вторая исправляющая функция для этих невязок выбирается в виде:

со

и>2 (х,7)=-еу+Х(-1Г [с.*Ъц, (У -1 )+В,сЬи (у-1)+

4=1 . (11)

+ Е, (У ~ {У ~ Х)+К {У - (У -1) ]«»//,* -Здесь ¡и,. ~2л$1у\ а б, Са., Д, ^ - неопределенные коэффициенты, которые находятся при удовлетворении граничным условиям (2,3). При этом невязки (9), (10) предварительно разлагаются в ряды Фурье по косинусам

&у (х,0) = С + ¿(-1) а,со*ц,х, Л4у (х,1) = ¿(-1) г,соа^х , (12)

где б, а„, - коэффициенты разложения.

Функция м>2 является бигармонической, удовлетворяет второму условию (4) и условию (5), но дает невязку по изгибающему моменту на гранях х = ±у/2, как и «балочная» функция:

М<" {±у/2,у) = -Xм, {[2уЕ, - (1 - *)м,С,}*ЬмЛУ " 1) + ^ -

4=1

- (1 -У)р,йг]скм,(у -1) - (1 - *)м,(у - - О + К^Лу -1)]}- (13)

Для построения следующей пары исправляющих функций необходимо М'х,} (у) представить в виде, аналогичном (7):

М^(±у/2,у) = £ Ъ™зт\у, (И)

/¡=1,3....

где Ьк } - коэффициенты разложения.

Таким образом, после первой пары исправляющих функций, также как и после «балочной» функции, граничные условия задачи выполняются с «точностью» до изгибающего момента Мх (у) на гранях х-±у/ 2. Далее описанный выше процесс наложения исправляющих функций повторяется. Окончательно решение задачи запишется так:

п(х,у) = \9е(У) + £[<)(х,.у) + ™(2п)(х,у)], (15)

л-1

где п - номер итерации (номер пары указанных функций).

Сходимость итерационных решений (15) к точному решению задачи будет обеспечена, если невязки (7), (14) и т.д. будут убывать по абсолютной величине и стремиться к нулю при п —> оо. Поэтому условие сходимости процесса можно записать в следующем виде:

Ню^(п)=0, (£=1,3,...; «=0,1,...). (16)

В силу линейности задачи коэффициенты ь£п) линейно зависят от совокупности коэффициентов (здесь индекс к заменен на / ) предыдущей итерации, т.е. имеет место бесконечная однородная система линейных алгебраических уравнений вида:

Г = I с,ЬГ

/=1,3,...

(А = 1,3,...),

поэтому, если эта система окажется регулярной, т.е.

(17)

(18)

то она имеет тривиальное решение, к которому приводит метод последовательных приближений, от каких бы начальных значений, ограниченных в совокупности, мы бы ни отправлялись. Следовательно, будет выполняться условие (16). Приведем окончательный вид системы (17):

Г=- чЁттг-Цтг^а-^^л +

.,=1 {Лк + ¡15 ) (3 + у)(1-уМи/ * ^ к>

-(1 -З3,(19)

З + у Л'Й^

где обозначено:

4 =

Ь. =

(1-У)2^2+4

(3 + У)(1 - + (1 - V)2 ц) + 4' 25 (3 + У)(1 - + (1 - у)2 А2 + 4

(3 + у)(1 - + (I - у)>; + 4

2 ,,2 . л ' *

зк(Лку/2)

^=-8—А1 £ (-1/БГ ^ -------------- ---------^

,<п-|)

Г

1=1,3,...

(20)

Аналитические исследования системы (19) показали, что она является вполне регулярной для широкого диапазона значений коэффициента Пуассона. Значения критерия регулярности (18) приведены в табл. 1.

Таблица 1.

V 0 0,1 0,2 0,3 0,35

КУ) 0,47791 0,55525 0,66652 0,82271 0,92317

Это означает, что итерационные решения сходятся к точному решению задачи по геометрической прогрессии.

Анализ показывает, что ряды ^"'(х.у) и w'-"){x,y) для прогибов сходятся

со

всюду в рассматриваемой области пластины не хуже, чем ряд ^lnmin?, а

т-\

ряд, представляющий изгибающие моменты Му в заделанном сечении

К,]^ = |(-1)>,{[(1 ~у)/л,С, +2Es}shjUs-[(l-v)M,D,+2F,]chM, +

+(1 - v)//s (fischßs - Fsshjus)} cosjusx, (21)

сходится равномерно (но не абсолютно) во всех точках защемленного края, за исключением его концов (где он расходится). Общий член последнего ряда имеет порядок Ins/s, и ряд (21) пригоден для вычислений на ЭВМ, исключая особые точки на краях отрезка, где изгибающие моменты бесконечны (причем знак бесконечности минус). Таким образом, на концах корневого сечения имеют место бесконечные напряжения (концентрация напряжений) вызванные резкой сменой граничных условий задачи.

Численные результаты получены для пластин с отношением сторон 7 = 0,25; 0,5; 1; 2 при равномерной нагрузке; коэффициент Пуассона принят v = 0,3. Прогибы вычислялись на кромке у = I, а изгибающие моменты Mv- в корневом сечении у = 0.

При проведении численных расчетов консольных пластин в рядах удерживалось до 80 членов. Счет прекращался после 15 итераций. Процесс оказался быстро сходящимся: коэффициенты убывали по абсолютной величине примерно как члены геометрической прогрессии (0,5)".

Следует заметить, что, хотя ряд (21) сходится медленно (а на концах интервала расходится), применение ЭВМ позволяет получить достоверное значение изгибающих моментов в заделанном сечении и оценить их.

Значение безразмерного прогиба w точек срединной поверхности пластины на грани у= 1 приведены в табл.2, а значение безразмерного изгибающего момента Му в заделанном сечении - в табл.3. Соответственно на рис.2 и 3 представлены графики [w]^., и 0 для Указанных значений параметра

у (кривые 1 - 4). Пунктирной прямой на графиках отмечено балочное решение (линия 0). Рис.2 показывает, что для коротких пластин с отношением сторон /<0,5 форма поперечного сечсния грани у= 1 почти не искажается, как и у балок. А различия в изгибающих моментах на защемленной кромке (рис.3) говорят о том, что в близи заделки имеет место перераспределение напряжений, которое носит местный характер. При / —» 0 прогиб грани у-1 стремится к величине 0,125/(1 - v2) (ввиду различия жесткостей пластины и балки), которая в нашем случае равна -0,13736.

На рис.2 для сравнения нанесена экспериментальная кривая прогибов Дж. Деллея для квадратной пластины (кривая 6), что говорит о хорошем совпадении полученных результатов с экспериментом, который дает примерно на 2% большие значения прогибов.. Здесь же приводится кривая 5 прогибов квадрат-

ной пластины, полученная в расчетах А.Лейсса и Ф.Ниденфура, которая располагается несколько выше, чем полученная в настоящей работе.

На рис.3 также для сравнения нанесена кривая 5 изгибающих моментов, полученная этими же авторами.

К результатам вычисления изгибающих моментов в заделанном сечении пластины, полученным в настоящей работе (рис. 3), наиболее близки результаты А.Лейсса и Ф.Ниденфура, Ф.Бауэра и Э.Райса, Ю.М.Даля и В.М.Фролова.

Заметим, что ни в одной работе не установлена концентрация напряжений на концах заделки; предположение об этом высказали лишь Ф.Бауэр и Э.Райс.

В конце второй главы дано обобщение итерационного метода суперпозиции исправляющих функций на случай, когда нагрузка задана в виде некоторого полинома по координате у, а также на случай произвольной поперечной нагрузки, представимой двойным рядом Фурье.

Таблица 2.

Значение прогибов грани у = 1

X Г

0,25 0,5 ^ 1 2

0 -0,13330 -0,13093 -0,12907 -0,12775

0,1у -0,13330 -0,13092 -0,12899 -0,12766

0,2у -0,13330 -0,13087 -0,12875 -0,12736

0,3у -0,13329 -0,13080 -0,12835 -0,12675

0,4у -0,13329 -0,13071 -0,12783 -0,12674

0,5у -0,13328 -0,13061 -0,12724 -0,12437

Таблица 3.

Значение изгибающих моментов Му в корневом сечении

X У

0,25 0,5 1 2

0 0,57536 0,55419 0,53020 0,51290

0,1 у 0,57235 0,55280 0,53020 0,51319

0,2 у 0,56153 0,54730 0,52959 0,51410

0,3 у 0,53504 0,53162 0,52512 0,51529

0,4 у 0,46112 0,49760 0,49938 0,51030

0,5 у -00 -ОО —00 -00

0,0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5

Рис.2. Прогибы грани у= 1 консольной пластины Кирхгоффа под действием равномерной нагрузки

дг

Рис.3. Изгибающие моменты в заделанном сечении консольной пластины Кирхгоффа (равномерная нагрузка)

В третьей главе методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба прямоугольной консольной пластины (рис.1) постоянной толщины к под действием равномерной поперечной нагрузки интенсивности до с учетом деформации поперечного сдвига (модель Рейсснера).

Эта задача описывается двумя фундаментальными уравнениями:

У2У2и> = -1 , у/-аУУ = 0 (22)

и граничными условиями:

■и» = 0 , срх = 0 , сру = 0 на грани 7 = 0; (23)

¿4=0, 0,нху=0 награни у=\-, (24)

Л£ = 0 , ()х = 0 , 0 на гранях х = ±у!2. (25)

Здесь функция напряжений у/ (х,у) отнесена к величине цЬ2\ а = Ь2 /10; углы поворота элементов <рх , <ру , моменты Мх, Му, Нху и перерезывающие силы (2Х, 0,у определяются формулами:

<Рх = + а, - а, (ру=~[м>+ + а, - ^

дхv ' > 1 ду7 дуу 1 ' 1 дх

d2w d2w д2 "l д2ш ~Y + V—Y + а2 —w + а1 — + «з > ох ду дх J дхду

/d2w d2w д2 „2 ) 3>

—^ + v—г- + а, —rV w - a, —— ду1 дхг 2 дуг ) 2 дхду

Qx =--Vw +—, <2=--Vw--—,

cbc ду ду дх

Му=-

Н^ - (1 - v)^- + а2 V2W - а

д ц/ д V

(26)

ЭгЗу ЗгЗу

где а, =2a;/(l-v), а2=2а, аг3=га/( 1-й). (27)

Данная задача является еще более сложной, чем соответствующая задача для пластины Кирхгоффа, так как вместо одного фундаментального дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка относительно функции прогибов рассматриваются два фундаментальных уравнения, где второе является уравнением второго порядка относительно функции напряжений. Введение новой функции обосновано необходимостью удовлетворения трем (вместо двух) граничным условиям на каждой кромке. Более сложными являются и выражения для углов поворота, изгибающих моментов и перерезывающих сил.

Прогиб пластины w и функцию напряжений у/ разыскиваем в следующем виде:

w(x,y) = wu (у) + £[w(II {х,у) + w2n (ж,у)], (28)

П

у{х,у) = ^[уЛх>У) + УгЛх>У)] («=U2,3,...), (29)

л

где начальный (основной) компонент w0 выберем в виде полинома четвертой степени по переменной у :

w0 (у) = -[/ -4/ + 6(1 - 2{аг + а3))у2 + 24^/24. (30)

Эта функция удовлетворяет первому фундаментальному уравнению (22), а также всем граничным условиям задачи, кроме одного - первого условия (25),

т.е. на гранях х = ±у/2 порождает невязку в виде изгибающего момента, которую мы разложим в ряд Фурье по синусам:

(У-Ч_

---—а

2

= X Ько"п\У ■ (31)

ыд...

где Ьм=у(1-2«-2/А42)/А4.

Для устранения этой основной невязки и последующих за ней вновь образуемых невязок в граничных условиях (которые должны по замыслу уменьшаться в итерационном процессе «исправления») будем использовать исправляющие функции прогибов и напряжений следующего вида:

V + ВкпхзИЛ1х)ятЛку ^ ■у/гДхт^.у

Щ„ = -р„У + (У-1) + (У-1) +

+Еа {у - {У -1) {У -(у -1 (33)

=Ё^гг (у - 0+¿-Л (У ~ ■ (34)

Здесь Аы,Вы,/>„,Ст, ,,Рчп,— неопределенные коэффициенты; Ак=кя/2, = 2^5 ¡у, Рк= ^Лк +1/а , ^s='J~juf+l7a .

Функции напряжений (32), (34) удовлетворяют второму фундаментальному уравнению (22). Функция щп "автоматически" удовлетворяет первым двум граничным условиям (23) и последним двум условиям (24); функция Щп — последним двум условиям (25).

Основную невязку (31) будем компенсировать первой парой (п = 1) исправляющих функций ■н>1,,!//,,, которые будем называть функциями 1-го вида. Потребуем, чтобы выполнялись граничные условия (25). Это дает систему трех уравнений для определения неизвестных коэффициентов Ак1,Вк,,Ок]. В свою очередь, указанная пара функций порождает невязки на гранях у=сот1 по углу поворота заделки и по изгибающему моменту на противоположной грани:

£

¿=1,3,-

Ак1ЛкскЛкх + ВИ(АкхэкЛкх + 2а[Л;сЫкх) _скркх

,(35)

сЦЛку/2) 41 вк(рку!2)

му ь=- У (-1)41(1-04,К сМкХ —7^"тГ(1 -у)лкх8клкх+

+{~2у + 2 а2Л1)Мкх] + Опа2Рк • (Зб)

которые после разложения в ряд Фурье по соа/лах и перестановки знаков суммирования:

CO J со

<Ру +ЕИ) My и^ЕИ) *л<хям,х , (37)

(где P, - свободный член разложения, asU tsi ~ коэффициенты разложения), используются для определения коэффициентов CsU DsU Es], FsU RsULsl следующей пары исправляющих функций второго вида W2\ (33) И у/ 21 (34) при удовлетворении граничным условиям (23), (24).

После этой пары исправляющих функций, также как и после начального компонента и>о, вновь получаем невязку по изгибающему моменту на смежных кромках:

со Г 1 /"Г

ма I 2>,br-lto - +2(-У + an])Esl]shns(у-1) + +[(1 - v)n,D,y + 2(-v + an))F„~\chn, {y-1) + (1 ■- v)M,{у-1) * x[EsichMs (у -1 )+FilShjus (у -1)]) + (у-1) + (y - 1)]J, (38)

которая также разлагается в ряд Фурье по синусам:

х~ 2 к=1,3,...

Невязка (39) (как и ранее (31)) вновь используется для отыскания коэффициентов А/а, В/а, G/a рядов wi2 и yj ,2.

И далее описанный выше процесс повторяется.

Условие сходимости итерационных решений к точному решению задачи можно записать так:

limb. =0, (¿=1,3,...; «=0,1,...). (40)

Я-»®

В силу линейности задачи коэффициенты Ъ,т линейно зависят от совокупности коэффициентов Ъ^ предыдущей итерации, т.е. имеет место однородная бесконечная система линейных алгебраических уравнений вида:

СО

ъкп= (Л = 1,3,...). (41)

/=1,3,...

Здесь (чтобы не путать индексы) индекс к у коэффициентов предыдущей итерации заменен на i; cki - коэффициенты системы.

Если все коэффициенты ¿>in_, предыдущей итерации положить равными единице и найти сумму

1=24, (42)

/=1,3,...

которая окажется по абсолютной величине меньше единицы (хотя бы начиная с некоторого номера к), - то условие сходимости итерационных решений будет выполнено.

Анализ этой суммы показал, что при достаточно больших значениях к справедливо приближенное равенство:

r^'(l-vf/[(3-v)(l + v)]. (43)

Для широкого диапазона значений коэффициента Пуассона это выражение отрицательно и по абсолютной величине меньше единицы, в частности при к = 0,3 \г|=0,1396.

Это значит, что данный итерационный процесс сходится к точному решению задачи.

Помимо аналитической оценки суммы (42) проводилось ее вычисление с помощью ЭВМ по формулам разложения (39) при удержании в рядах 150 членов. Рассматривались пластины с различным отношением сторон у =0,25 ; 0,5 ; 1; 2 ; 3 ; 4 при относительной толщине h =0,02 ; 0,05 ; 0,1; 0,2 и коэффициенте Пуассона v =0,3. На печать выводились первые 50 значений гк (¿ = 1,3,...,99). Во всех случаях все указанные коэффициенты были отрицательными и по абсолютной величине меньше единицы, причем наибольшее (по модулю) значение было равно 0,621 и достигалось при у=4 и h =0,02, т.е. для очень тонкой и длинной в направлении, перпендикулярном заделке, пластины. Это подтверждает аналитическую оценку сходимости процесса.

В табл. 4 приведены наибольшие (по модулю) значения критерия гк сходимости метода для указанных значений параметров y,h,v.

Таблица 4

Критерии сходимости процесса (наибольшие значения)

h \ 0,25 0,5 1 2 3 4

0,02 0,290 (13) 0,412 (7) 0,518 (5) 0,604 (3) 0,620 (3) 0,621 (3)

0,05 0,127 (93) 0,257 (7) 0,395 (3) 0,515 (3) 0,530 (3) 0,529 (3)

0,1 0.135 (73) 0,144 (61) 0,272 (3) 0,388 (3) 0,438 (1) 0,455 (1)

0,2 0,141 (57) 0,147 (49) 0,152 (37) 0,259 (1) 0,343 (1) 0,361 (1)

Здесь в скобках указаны значения к, при которых они достигались.

Установим теперь связь между теориями пластин Кирхгоффа и Рейссне-ра. Можно убедится, что при а—>0, т.е. когда относительная толщина пластины Рейсснера к-Н!Ъ —>0, предельные выражения функций прогибов будут такими же, как и для пластины Кирхгоффа, так как все слагаемые, содержащие а исчезнут. Функции напряжений также обратятся в ноль. Это означает, что при достаточно малых к результаты расчетов прогибов и изгибающих моментов пластин Рейсснера и Кирхгоффа будут практически совпадать, что и подтвердится в дальнейшем непосредственными вычислениями.

Анализ показывает, что ряды первой пары исправляющих функций схо-

со

дятся всюду в области пластины не хуже, чем числовой ряд ]Г1/я?3; ряды по-

т=1

следующих пар сходятся не хуже ряда т/т2, ; коэффициенты Ьш имеют

т=1

порядок 0(1/к); для последующих итераций - Ьы = 0(\пк/к)\ общие члены рядов для функций напряжений имеютпорядок О (1п да / от) при п> 2.

Выражение для изгибающего момента в заделке можно записать в виде:

со

МУ и= (44)

где по оценке тх =0(1пл/.?), и ряд (44) равномерно сходится (хотя и очень медленно) во всех точках сечения, кроме его концов. Исследования показали, что на концах заделанного сечения Му = +оо (а не -оо, как у пластины Кирх-гоффа), что соответствует реальности. В этом принципиальное различие классической и уточненной теорий.

В качестве примеров получены численные результаты на ЭВМ для пластин с различным отношением сторон у=1/4, 1/2, 1, 2, 4 и различными относительными толщинами к =0,02; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,3; 0,4 при коэффициенте Пуассона у=0,3 . В рядах удерживалось 150 членов; дальнейшее увеличение их количества изменяло лишь седьмую значащую цифру в расчетах коэффициентов функций прогибов. Процесс сходился по геометрической прогрессии со знаменателем <1/2. Счет прекращался после 10 итераций, так как невязки были практически равны нулю. Вычислялись коэффициенты рядов (32-34), а также изгибающие моменты Му в заделке и прогибы противоположной грани.

На рис.4 приведены линии прогибов грани у = 1, а на рис.5 - эпюры изгибающих моментов Му в заделке квадратной пластины {у = 1). Кривая 1 соответствует классической теории тонких пластин Кирхгоффа (гл.2). Номера кривых 2-6 соответствуют относительным толщинам к = 0,02; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 пластин Рейсснера.

Расчеты показывают, что при малых относительных толщинах к < 1/20 результаты для пластин Кирхгоффа и Рейсснера практически совпадают. Различия принципиального характера проявляются лишь в изгибающих моментах Му, вблизи края заделки. Если для пластин Кирхгоффа Му —» - со при х—>± у/2, то для пластин Рейсснера с ростом относительной толщины вблизи крал заделки образуется минимум, который смещается к середине заделки и возрастает, после чего Му~^> + со.

Таким образом, деформации поперечного сдвига, учитываемые в теории Рейсснера, резко меняют изгибающие моменты (а, следовательно, и напряжения) вблизи края заделанного сечения с - со на + со. В середине заделки Му с ростом к сначала несколько возрастают, а затем убывают.

1. 2

3

---- ------- 4

5

й _,___

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 *

Рис. 4 Лииии прогибов границ =1 квадратной консольной пластины Рейсснера

Относительные прогибы увеличиваются с ростом относительной толщины (абсолютные прогибы, разумеется, уменьшаются, т.к.

м> = )¥Е113 12(1 - и2)], где - относительный прогиб, Ж - абсолютный прогиб срединной поверхности пластины).

Указанные выше особенности уточненной теории проявляются и для пластин с другим отношением сторон (у = 1/4, 1/2, 2, 4).

В четвертой главе моделируется прямоугольная пластина Кирхгоффа, жестко защемленной по всем граням, под действием равномерного давления и гидростатической нагрузки.

Эта задача также не имеет точного решения в замкнутой форме. В настоящей работе она решена итерационным методом суперпозиции двух исправляющих бигармонических функций.

Для равномерной нагрузки краевая задача ставится так:

V2 У2У9(х,у)=-1 (45)

ю=0 , см/дх =0 при х=±у/2 (46)

ю =0 , дю/ду =0 при у=±1 /2 (47)

Основной компонент решения выбирается в виде многочлена

у*0{х,у) = - (х2-у2/4)(у2-1/4У8, (48)

который представляет собой частное решение (45) и удовлетворяет первым условиям (46, 47). Вторые условия отсутствия углов поворота заделанных сечений не удовлетворяются, т.е. имеют место невязки, которые мы разложим в ряды Фурье по косинусам:

^о(г/2,у) = [дм'а/дх]хЛ=-у(у2-У4)/8 = - £ (-1 )акасозЛку, (49)

2 «.»1,3__

Эуа(х,1/2) =[д*й1ду\ .=- (х2-Г2/4)/8 = - X (-1)'Ъ,йс<н11,х, (50)

2 .1=1,3,...

где Як = кя, ц^як/у, к* =(к +1)/2, /=(з + 1)/2, ак0=у/Яък, у/л].

(Заметим, что при х=-у/2 , у=-1/2 эти невязки отличаются знаками).

Систему исправляющих функций прогибов, участвующих в итерационном процессе, представим рядами:

О) .

*>\Л*>У) = £ Н)* (АпсИЯкх + вк»х^л1сх)со!1ЛкУ> (5])

к=1.3,...

щЛХ>У) = £ (~1У (СН^У + У^^У ) . (52)

£-"1,3,...

которые являются бигармоническими функциями, причём ряд (51) удовлетворяет первому условию (47), а ряд (52) - первому условию (46).

Компенсируя невязку (49), т.е. удовлетворяя условиям (46), получим выражения коэффициентов ряда (51) для первой итерации:

= = (53)

г/ксИЯк 2

где 77 к = + Л'к 1ск 2Л'к, Л'к = Лку!2. (54)

Для первой итерации невязки выполнения граничных условий на кромках у = ±1/2 по углу поворота от компонентов и -и>и складываются (после разложения <9у1 в ряд Фурье по косинусам и перестановки знаков суммирования): 3"у1 = 3у0 + 3где

00 СО ^

9>л{х,\!2)= £ Лк[АисИЛкх + Вих8НЛкх)=- £ (-1) ¿^соу/^х,

к--1,3,... 5 = 1,3,.,.

£ 77Т7%\ТсЫ* • (55) Компенсируя эти невязки исправляющей функцией

"И* 2ь получим выражения для коэффициентов ряда (52):

= С^-БЛлм:, (56)

где £, = /Л//* + ^ /сА2 //>^/2. (57)

Аналогично невязки от шгь в свою очередь, разлагаются в ряд Фурье по косинусам:

= Е /"Дс,,сй,и, 7 ч-Я^й/* ,;>>) = - £ (-1) (58)

У 1=1,3,... * = 1,3,...

» ц2 £>,.,

где а к] = -8 Лк ^ 771-'

Эти невязки компенсируется следующей исправляющей функцией ж п. И

далее описанный выше процесс повторяется. Формулы (53), (56) при и=2,3,... аналогичны с той лишь разницей, что в формулах (56) вместо суммы Ьц)+Ьл будут фигурировать 6Й, и т.д.

Так как невязки должны убывать в ходе итерационного процесса, и в силу линейности задачи, условие сходимости метода можно записать так:

Цта^ = 0. (60)

Согласно формулам, аналогичным (53), (55), (56), (59) при п > 2 имеем: 64 Л, » и3 ^ Л2

I 2 I " д «,(._„ (*=и,...) (61)

г <=1,з,.(Д2+А2) ,„=1,3,.(Л2+Л2) ?1

Здесь, чтобы не путать индексы, коэффициенты предыдущей итерации обозначены через ат (во внутренней сумме индекс к заменен на т).

Формула (61) показывает, что коэффициенты ак „ линейно зависят от совокупности коэффициентов ат(п-ц предыдущей итерации, т.е. имеет место бесконечная система линейных алгебраических уравнений без свободных членов. Если она окажется регулярной, то будет выполнено условие сходимости метода (60).

Коэффициенты а кп при «=1,2,... имеют порядок о(ЬЛк/л1"), поэтому можно записать: акп = акп! Л\, где а кп - некоторая бесконечно малая

величина при к —> со. С учётом этого для регулярности системы (61) должно выполняться условие гк < 1 , где

64Л\ ^ ц\ ^ 1

^ 112, ,,2X2. 2., ттт~, гй— • (62)

Во внутреннюю сумму входит выражение т]т (54). Ввиду симметрии пластины и граничных условий всегда можно считать отношение сторон пластины у>1. Тогда г]т>\, и опуская в (62) г]т, получим неравенство:

64 Л1 ^ ¡1 Л 1 <— £ ТТГ^ГГ X 7 ^-7ТГ • (63)

к

Внутренний ряд суммируется, тогда с учетом (57)

г у 1 < 8л[ ^ 1

Последний ряд также имеет точное значение суммы, тогда:

< ЛЛ'к -Л1/ск2Л'к (к = 1,3,...), (65)

г

Выражение в правой части неравенства для у > 1 положительно, но меньше единицы при любых значениях к, т.е. гк < 1. Следовательно, система (61) регулярна, а это значит, что а * „ —> О при п —> оо, т.е. выполняется условие сходимости (60) итерационных решений к точному решению задачи.

Предлагаемый алгоритм легко программируется для расчетов на компьютере. Точность вычислений контролируется на каждом шаге и может быть повышена увеличением количества членов в рядах и числа итераций.

В качестве примера получены численные результаты для квадратной пластины ( у — 1 ) и для прямоугольной с отношением сторон у = 2 с помощью компьютера. Коэффициент Пуассона принимался равным 0,3. В рядах удерживалось до 175 членов в зависимости от сходимости конкретного ряда. На печать выводились результаты на каждом шаге. Счет прекращался после 13 итераций. Процесс оказался быстро сходящимся: коэффициенты ак „ и Ът убывали по абсолютной величине примерно как члены геометрической профессии (0,4)". Значения прогибов и моментов на 10 и 13 шаге совпадали с точностью до 4-5 значащих цифр.

В табл.5 приведены значения прогибов пластины, а в табл.6 - значения изгибающих моментов Мх для квадратной пластины.

Эти результаты хорошо согласуются с результатами, приведенными в работах С .П.Тимошенко, Л.В.Канторовича и В.И.Крылова, В.М.Даревского и И.Л.Шаринова, С.А. Лурье. Например, максимальный прогиб в центре пластины по данным С.П.Тимошенко составляет 0,00126, по данным В.М.Даревского, И.Л.Шаринова, С.А.Лурье 0,00127, у автора - 0,0012653. Изгибающие моменты в центре пластины по данным С.П.Тимошенко, Л.В.Канторовича и

В.И.Крылова равны 0,0231 и 0,023 соответственно, у автора - 0,022905; изгибающие моменты в середине защемленной грани по данным С.П.Тимошенко, JI.В .Канторовича и В.И.Крылова, В.М.Даревского и И.Л.Шаринова равны 0,0513, 0,05125, 0,0518 соответственно, у автора -0,051335.

Для квадратной пластины значения изгибающих моментов Му совпадают с соответствующими значениями Мх, если поменять местами х и у.

Отметим, что ряды для изгибающих моментов сходятся на любом шаге не °° к"

хуже, чем ряд £ (-1) In к/к2.

к=1,3,...

Приведем первые десять коэффициентов В ксумм = Вкх + Вкг +... + Вт

(= D 5сулш ) для функции прогибов квадратной пластины:

0,7136.10"2; -0,2383.10'5; -0,4309.10"7; -0,6632.10"9; -0,1186.10"10; -0,2389.10~12; -0,5261.Ю-14; -0,1236.Ю-13; -0,3040.1047; -0,7760.10"19. Эти значения получены при 13 итерациях и удержании в рядах 175 слагаемых.

Таблица 5

X Г\ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 -126,53 -117,82 -93,009 -56,731 -19,182 0

0,1 -117,82 -109,75 -86,719 -52,980 -17,957 0

0,2 - 93,009 - 86,719 -68,719 -42,184 -14,396 0

0,3 - 56,731 - 52,980 -42,184 -26,087 - 8,981 0

0,4 - 19,182 - 17,957 -14,396 - 8,981 -3,088 0

0,5 0 0 0 0 0 0

Значения прогибов квадратной пластины Кирхгоффа (х10 5 qb" ID)

Таблица 6 п-4

X 0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5

0 -229,05 -212,68 -157,20 -43,068 163,81 513,35

0,1 -212,42 -197,56 -146,87 -41,510 151,61 482,23

0,2 -162,85 -152,26 -115,16 -34,962 117,92 390,43

0,3 - 81,787 - 77,475 - 60,545 -18,195 72,551 246,04

0,4 26,708 23,970 17,885 15,963 33,549 79,827

0,5 154,00 144,67 117,13 73,807 23,936 0

Рассмотрим теперь ту же пластину, но нагруженную гидростатическим давлением интенсивностью

(1/2+ *//). (66) Первое слагаемое представляет собой равномерную нагрузку д0/2, которая рассматривалась выше. Поэтому мы будем рассматривать лишь линейную антисимметричную часть нагрузки д0х/у.

Изогнутая поверхность пластины определяется дифференциальным уравнением изгиба

У2У 2м>{х,у)=-х/у (67)

и теми же граничными условиям (46), (47).

Частное решение уравнения (67), удовлетворяющее условиям отсутствия прогибов на контуре пластины, будет иметь вид:

(х,у)=-х[х2 - у2 /4)(/ -1/4)/24у. (68)

Оно порождает невязки по углам поворотов заделанных кромок:

! ( .л

2 ' "2 Решение задачи записывается в виде:

,=±1 24г к ^

4

(69)

ы(х,у) = ы0 (х,у)+]Г (-»>,„ (х,у)+У1>2п (лг,>>)) (70)

п=1

где начальное приближение имеет вид (68), а система исправляющих функций представляется гиперболо-тригонометрическими рядами:

» (_1)*'

¿=1,3,... сПАк

™2„ , (72)

тдеЯк=кл:, //,=2йж/у.

Далее приводится численно-аналитический анализ данной модели. В пятой главе методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по всем граням пластины для модели Рейсснера.

Эта задача в случае равномерной нагрузки описывается двумя фундаментальными уравнениями (22) и граничными условиями на каждой кромке:

п> = 0, <рх~ 0 , <Ру = 0 , (73)

где (рх, (ру - углы поворота элементов, определяемые формулами (26). Начальное приближение выбирается в виде многочлена (48)

п0(х,у) = - (х2-Г2/4)(/-1/4У8, (74)

который является частным решением первого уравнения (22) и не дает прогибов на контуре пластины.

Исправляющие функции прогибов и напряжений выберем в следующем виде (и - номер итерации):

wu(x>y)= Z , 0« {АпскЛкх + Btnxsh\x)co^ky, (75)

« (-l)s>

w 2, (Х'У) = Z —rMC"cAi"'>' + Dsnyshvsy)cos/usx , (76)

¿'=1,3,...

00 00 = E (-1)* Ek„shpkxsinXky, y/2„ = £ (-1 YFs„sh^ysinjusx. (77)

¿ i.:;.. Í=I,3,...

Здесь Сsn, D sn,Ekn, Fsn - неопределенные коэффициенты;

, к +1 * s +1 „ , sn /1 2 í 1 2

* =—= — ,Хк = кп, А=<~ + Лк2 , - + р .(78)

2 2 у \ а V а

Функции (75), (76) являются бигармоническими; функции (77) удовлетворяют второму уравнению (22).

Начальный компонент м>0 (74) порождает невязки по угловым деформациям защемленных сечений (при х--у!2 и >>=-1/2 они имеют противоположные знаки):

РЛо11=,/2 = -г(^2-1/4 + 2а1)/8; <г»у01^г/2=-а,у/2; (79) Р:Л=1/2 = -».*/2; ^у0|у=1/2 = -(х2-^2/4 + 2а1)/8. (80) Займемся сначала второй невязкой (79), которую разложим в ряд Фурье по синусам:

оо ,

<Руо\х=уп = -а1У/2 = Е (""О'1 Ък^тХку, где Ьк0 = 2а1/Хк . (81)

Эта невязка устраняется первой парой исправляющих функций ц и )//,, при удовлетворении граничным условиям па кромках х = ±у/ 2. Коэффициенты рядов будут:

Вк\ = ; Ак, = -^1гЛ'к-Ви-, = ---^-р- ; (82)

М 2 Дс/г/?4 афкскрк

(83)

где r]k = íAЯ* + —ф—р + 2а,Я42 thÁ¡ -—thj3¡ ch Xk "

К

Рк У

Функции уу 11 и I//п порождают невязку (ру\\\у=мг , которую необходимо сложить со второй невязкой (80) и разложить в ряд Фурье по косинусам. Первую невязку (80) разложим в ряд Фурье по синусам. Тогда на грани у= 1/2 будем иметь:

СО со

/v=l/2

í=l,3... s=l,3,.

где

2а, la, 4 ^ Ьк0

Us0 = —Т . = g,0 + gsl , gso =—}--' g sI = Ms L o2 02 +

У/l УМ4 УМ 4 Г i.-. А Л:

о

У 4 = 1,3,...

Здесь после преобразований

. г .

Л2+л2

1 1

1 ез о

а 'с

--а, £ •

7 4 = 1,3,...

(86)

Невязки (86) будем компенсировать второй парой исправляющих функций м>п , у/21, коэффициенты которых примут вид:

(87)

где + £=|, (88)

Функции и>2] и в свою очередь, на кромках х = ±у/2 порож-

дают невязку по углу поворота ср х21, к которой мы добавим теперь первую невязку (79) и разложим их в ряд Фурье:

СО

[фхо + Рх2\)х-пг= ~ £ Н)* акхсо$Лку,

к-1,3,...

(89)

где

5к\ =акИ+ак1> аы =

_ У

Л

1

14 ^Лк 7 1

т-а,

Яч =

, "41

со со

1=1,3,... Л4 + 1-1,3,...

=1,з,... Л2 + Й 1

(90)

Здесь также после преобразований получим:

= ^Стт-тт "Гй2 - 2а'А* 1+8л* £ > (91)

\Ак а ЧРк УРк ) 1=1,3,...

Невязки (89) компенсируются исправляющей парой и у/ п второй

итерации при удовлетворении граничным условиям на кромках х = ±у /2, Тогда их коэффициенты будут:

В

А - У*и1' П К к2-~ ) А к2~ ~~ъТПЛк ' й»2> 42 П ги Й"

«41

% ' - " 2"'"* "" (92) Затем привлекаются ряды и у/21, и далее процесс повторяется. Поэтому, начиная со второй итерации (и > 2) л,«™,,,,,

ДЛЯ р-"-"^" «сгтт^г..

шная со второй итерации {п > 2) можно записать сводку основных формул г расчета коэффициентов рядов:

— 7 2 Г) — • Р__

> ~ ТТ/^ 51 * ^ Ал ' /" ' БП~ Р 1 '

к= 1,3,...

ю

акп=8Лк £ ;

1 = 1,3,...

Д . р _2Л1Вкп+1

" кя+\~ „ ' £'4п+1_ л I я*

П к

В силу линейности задачи условие сходимости итерационного процесса можно записать так:

1ш£ь,= 0 (¿=1,3,...; и = 1,3,...) (94)

П—>сО

Из формул (93) установим связь между коэффициентами В* двух соседних итераций. Подставляя gm в Ит, £>„, в акп, аы в Вкп+], получим:

= £ тЧ, £ г,т^В„й (*=1,3,...). (95)

УЛк 1=1,3,... т=1,з,...

Здесь, чтобы не путать индексы, во внутренней сумме индекс £ заменен на т. Соотношения (95) представляют собой бесконечную систему линейных алгебраических уравнений без свободных членов. Докажем ее регулярность, из чего будет следовать выполнение условия (94).

Отметим, что Г1к, (3-1/)/(1 -V) при к, я со, причем всегда 0. Анализ показывает, что на любом шаге справедливы оценки: =0(1/£2), В5п =о(1//). Поэтому, обозначив в (95) В[=ЛЦВк получим

эквивалентную бесконечную систему (индекс п опущен ): ЛАЗ3 /<3 00

(¿=1,3,...). (96)

УЧк 1=1,з,... ъ5 /«=1,з,... Для регулярности системы (96) должно выполняться гк< 1, где

= £ 1*,„1 • (*=1,3,...). (97)

ТЛк 1=1,3,... га=1,3,...

Найдем внутреннюю сумму, где согласно (85):

\

+

' 1 1 ^

К+М К+М,

V т

Заметим, что выражение в круглых скобках при а, всегда положительно (01 >Л2). Используя известные формулы, получим точное значение суммы

°° 1

£ Ю = (98)

от=1,3,... О/0.,

где отличается от £ (88) лишь знаком перед вторым слагаемым. Так как Сз<Сз' то справедлива оценка

о 0 3 оо

£ М- (99)

7'к .<=1,3,...

/

Здесь согласно (90): г1 к! = а,

ко [л2к+£)

Аналогично, используя известные суммы рядов, получим:

ХЫ = r%/(43)> (100)

s=l,3,..

где if k отличается от г/к (83) знаком перед вторым слагаемым. Подставляя (100) в (99), получим, имея в виду, что ff к < т]к:

1-(к = 1,3,...) . (101)

Таким образом, система (96), а следовательно, и (95), регулярна, а это значит, что В кп ->■ 0 при я га, т. е. итерационный процесс сходится к точному решению задачи.

Ввиду линейной связи коэффициентов Вкп, Dsn предыдущей и последующей итераций выражение для функции прогибов можно записать так:

-^thXlchXkxy0sXky+ £ (-ly'V^^yshw-^thAchwyostvc,

где фигурируют суммарные значения коэффициентов.

В качестве примера получены численные результаты для квадратной пластины при относительных толщинах h = 0,05; 0,1; 0.2; 0.3 и коэффициенте Пуассона v = 0,3 с помощью компьютера. В рядах удерживалось до 150 членов. Процесс сходился по геометрической прогрессии со знаменателем < 1/3. Счет прекращался после десяти итераций; при этом вычислялись коэффициенты В к сумм , D s су/им. с помощью которых были получены прогибы, изгибающие моменты Мх и перерезывающие силы Qx в различных точках пластин. Вблизи контура расчетные точки сгущались, чтобы уточнить влияние концов.

В табл.7 приведены первые пять коэффициентов Вк cyMMi (=DS сумм.), а также их значения при к=299, для различных относительных толщин пластины.

Таблица показывает, что наибольшими являются первые коэффициенты; вторые меньше по абсолютной величине примерно на два порядка, далее коэффициенты убывают, сохраняя отрицательный знак.

На рис.6 представлены линии относительных прогибов квадратных пластин Кирхгоффа и Рейсснера под действием равномерной нагрузки в сечении у=0. Кривая 1 соответствует пластине Кирхгоффа, последующие номера даны пластинам Рейсснера с относительной толщиной h— 0,1; 0,2; 0,3. На рис. 7, 8 приведены эпюры изгибающих моментов М х для этих пластин в заделанном сечении x-±yl 2. Нумерация кривых такая же, как для рис.6.

Расчеты и графики показывают, что при малых относительных толщинах h < 1/20 результаты для пластин Кирхгоффа и Рейсснера практически совпадают. С ростом относительной толщины растут и относительные прогибы. Абсолютные прогибы, разумеется, уменьшаются, так как они получаются умножением относительных прогибов на выражение qb4 / D.

Таблица 7

Значения коэффициентов В к сумм. функции прогибов защемленной

й\ 1 3 5 7 9 299

0,05 1,774.10"2 -1,063.Ю-4 -3,966.10"5 -1,173.10"5 -3,971.10"4 -1,013.10"®

0.1 1,726.10"2 -5,582.10'5 -1,923.10'5 -4,715.10"6 -1,564.10"6 -4,941.10"9

0.2 1,543.10"2 -5,191.10"5 -3,400.10"5 -2,000.10'5 -1,356.3 О"5 -2,229.10"8

0.3 1,248.10"2 -2,531.10"4 -1,231. Ю-4 -6,974.10"5 -4,492.10"5 -5,282.10"8

Рис.6. Линии относительных прогибов квадратных пластин Кирхгоффа и Рейсснера под действием равномерной нагрузки в сечении у=0

_У_

1м. 2--3---4 -^Л

Рис.7. Эпюры изгибающих моментов Мх в сечении х = ±у! 2 квадратных пластин Кирхгоффа и Рейсснера под действием равномерной нагрузки

0,020 п

^ У ^

Рис.8. Эпюры изгибающих моментов Мх в сечении х = ±у/2 квадратных пластин Кирхгоффа и Рейсснера под действием равномерной нагрузки (увеличенный фрагмент вблизи угла пластины)

Если для пластины Кирхгоффа прогиб в центре равен 0,001265, то для пластин Рейсснера при к = 0,05 ; 0,1; 0,2; 0,3 он составляет соответственно 0,001327; 0,001505; 0,002172; 0,003246.

Таким образом, пластину Кирхгоффа можно рассматривать как предельное поведение пластины Рейсснера при /г=0.

Изгибающие моменты в середине защемленных сторон с ростом к уменьшаются, но растут ближе к углам пластины, образуя затем минимум. В угловых точках изгибающие моменты отличны от нуля:

Мх (±у/2;±1/2) = а, 12 = й2 /[10(1 -1/)] и растут пропорционально квадрату относительной толщины. В этом состоит принципиальное отличие от пластины Кирхгоффа.

В центре пластины изгибающие моменты с ростом к несколько возрастают по абсолютной величине; перерезывающие силы меняются незначительно.

В шестой главе рассматриваются равномерно нагруженные пластины Кирхгоффа с тремя и двумя защемленными гранями (остальные свободные). Задачи решаются методом суперпозиции исправляющих функций.

Окончательное решение для первой задачи записывается в виде:

оо

Мх,у) = -(х2 - у2 /4)(/ - 2у)/8 + £ + ВкЪх5ИХкх)зтХку+

¿=1,3,...

+ I (-1)'[СЛ (у-~ 0 + ДА (У-1) + (102)

(у - 1)сМ (>--!) + ^ (у -(У ~ 1)]соз//,х.

Здесь AkE,...FsL - суммарные значения коэффициентов по окончании итерационного процесса; Хк = к ж / 2, jus =s к! у.

Решение задачи изгиба пластины, две противоположные стороны которой защемлены, а две другие свободны, представлено выражением:

w(x,y) = -(x2 -y2/4f/24~Gz(x2-y2/4)/y + + Z t-1)'1 (AszchM*y + BszyshMsy) cos Hsx +

+^{-1)к{СКс1гХкх + Окгхз}гЛкх)со5Лку . (103)

ы

Здесь А^ - суммарные значения коэффициентов по окончании итерационного процесса, Лк=2лк, = я\у/у.

Численно и аналитически доказывается сходимость итерационных решений к точному решению задачи. Показано, что точки перехода от защемленной грани к свободной являются особыми точками, где изгибающие моменты бесконечны, т.е. бесконечны и напряжения. Приведены результаты расчетов прогибов и моментов для пластин с различным отношением сторон. Дается анализ полученных результатов.

В седьмой главе прямоугольные консольные пластины Кирхгоффа постоянной и переменной толщины исследуются с помощью вариационного метода Канторовича, а также методом однородных решений (толщина постоянная). Поперечная нагрузка считается равномерной.

Предложена модификация метода Канторовича, которая заключается в том, что граничные условия на обеих продольных кромках у=сот1 выполняются точно, что для искомых функций /к (х), входящих в выражение прогиба

ыг

дает два дифференциальных уравнения

к=2

£ [<(*)+*(*- 1Ш*)]=о .

к-2

Тогда условие минимума потенциальной энергии пластины

(104)

(105)

I уИ

SU= J J (AAw+l)Jwc6cafy+4(l-v)

dx2

-+v

O-r/2

d2w\d5w

d2w дхду

Sw

x-y/2 1

dy2 J dx

d3w ч d3w

—r+ 2-1/)-r-

dx v 'дхду2

Sw

dy = 0

(Ю6)

jc=>-/2

после подстановки выражения прогиба (102) и интегрирования по у приводит к системе уравнений Эйлера

AW =

m+1

(m = 2 ,3,...,«) и системе граничных условий при х = ±у/ 2:

-//(//2)+иАМЛ(г/2) =0, (« = 2,3,...,«)

L 7И + Л—1

f¡" (y/2)+¡(2-v)J^--2(l-v) ]kfl{yl2)} =0. (108) I /тг +А;—1 i у

Но так как функции fk (х) связаны двумя соотношениями (105), то из системы (107) необходимо исключить два уравнения. Нетрудно заметить, что при больших значениях т дифференциальные уравнения системы (107) будут мало отличаться друг от друга, и можно исключить из рассмотрения два последних. Тогда, присоединяя к оставшимся уравнениям (107) граничные условия (105) на кромке у = 1 получим для п - 1 неизвестных функций fk (х) замкнутую систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Частное решение этой системы имеет вид

что соответствует цилиндрическому изгибу пластины.

В выражения функций fk (х), полученные в результате интегрирования укороченной системы (107) (т = 2 ,3,...,и- 2) и (108), входят 2(п-2) произвольных постоянных С,-, которые подлежат определению из граничных условий (108). Но так как число этих условий 2(и-1), то, как и в системе (107), из рассмотрения исключаются два последних уравнения верхней подсистемы

В качестве примеров были получены решения задачи для двух соседних приближений, когда в выражении (104) удерживались сначала три, а затем четыре, члена при отношении сторон пластины у = 1/2; 1 и 2. Вычисления показали, что для пластин с отношением сторон у > 1/2 последовательность приближенных решений сходится к точному решению задачи (в данном случае критерием точности служат численные результаты, полученные в гл.2 методом суперпозиции исправляющих функций).

На рис.9 представлены графики прогибов свободной кромки у = 1, а на рис.10 эпюры изгибающих моментов в корневом сечении пластины при удержании четырех слагаемых в аппроксимирующем выражении (и = 5). Кривые 13 соответствуют значениям параметра / = 0,5; 1 и 2 соответственно. Для сравнения на этих рисунках приведены кривые 4, полученные методом суперпозиции исправляющих функций. Это показывает, что уже при удержании четырех слагаемых в аппроксимирующем выражении функции прогибов результаты получаются вполне удовлетворительными.

/20=-1/4, /30= 1/6, /„ = -1/24, /50 = /60 = .../„„= о ,

(108).

0,0 -0,122 --0,124-0,126 --0,128

-0,130 --0,132 -

[..... 1 2--3 -4 [

Рис.9. Линии прогибов грани у= 1 консольной пластины Кирхгоффа (л=5) 0,54-1

0,52 -

0,50 му 0,48 0,46 0,44

0,42 -1-.-1-.-г—-.-,-.-,-.--л

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

х

[..... 1 -2--3 -4]

Рис.10. Распределение изгибающих моментов в корневом сечении консольной пластины Кирхгоффа («=5)

Сопоставление с результатами В.М.Фролова и Н.Л.Рабинского, полученными другими вариационными методами, показывает, что численные результаты данной работы более точны.

Для сравнения та же задача решалась вторым способом, когда разрешающие уравнения для искомых функций /к (х) были получены из условия минимума потенциальной энергии пластины при обычных требованиях к функции прогибов (104), которая заранее должна удовлетворять лишь геометрическим условиям защемленного края. В рассматриваемом примере для трех слагаемых выражения (104) были получены результаты, весьма близкие к тем, которые имели место для четырех слагаемых в первом способе. Однако, несмотря

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

-I-,_I

на разницу в количестве членов аппроксимирующего выражения, оба способа примерно эквивалентны по объему вычислений.

Далее методом Канторовича решалась задача изгиба прямоугольной консольной пластины с линейным изменением толщины по координате у (рис.11):

к=Ив(1-гу), (109)

где йо - значение толщины в заделанном сечении пластины, г - постоянный коэффициент: 0<т-<1.

ко

/ / / V /

* * * т т I

Рис. 11. Прямоугольная консольная пластина с линейно изменяющейся толщиной под действием равномерной нагрузки

Прогиб пластины разыскивается в следующем виде:

, (х)г/+Л (х)+Л ОФ+Л {х)г/\х\т]+...+

. (ПО)

где т]=\-гу\ прогиб отнесен к величине О0 = /[12^1—V2-

жесткость корневого сечения. Цилиндрическая жесткость пластины в принятых обозначениях запишется так: О=О0 £>* (у), где £>*(у)=?;3.

Функции /_, (х) и (х) выражаются через остальные неизвестные функции при удовлетворении геометрическим условиям задачи.

Выражение вариации функционала потенциальной энергии пластины с учетом симметрии и заданного закона изменения цилиндрической жесткости в безразмерном виде запишется так:

д2м>

£>*У2У2и>+2

ду ду 02мЛ д8ч>

до' дУ2™ д20* ( д2м>

¥

ду

2 дх2

+1

8^(Ьсйу-¥

О

2..Л

, с л

дъ™

И; дм?

—т + у—т дх1 ду

д/ ддм>

дО {д V?

дх

В

дх'ду )

з 'С2-^

+ ду 1 Зу2 +

д\*> дх

д3™ л дхдуг

+2(1-к)

дО дгч>

ду дхду

, д2м>

х=гП

8м>\ с}у+ 4(1-к)1)-5ч>

] и,2 I. ■

Разрешающие уравнения получены из условия минимума потенциальной энергии пластины бО=0 после громоздких преобразований. Частное решение соответствующей системы уравнений Эйлера дает «балочную» функцию

Щ

_1_

4 г4

Л _ гу

±-^+2(2-г2) + 4(1-г)1пт7-(5-2г-г2)?7 + 2?71п?7

С помощью ЭВМ были найдены первые три неизвестные функции /г (х), /3 (х), /4 (х) рассчитаны прогибы и изгибающие моменты для пластин с отношением сторон х = 0,5; 1 и 2 при коэффициенте г= 0,9 и у =0,3.

В табл.8 для каждого значения у в левом столбце указаны прогибы, а в правом - изгибающие моменты.

Таблица 8

Значения прогибов грани у = 1 и изгибающих моментов Му

\ У 0,5 1 2

0 -0,34446 0,52659 -0,33964 0,52552 -0,33169 0,50894

ОДу -0,34442 0,52483 -0,33924 0,52404 -0,33211 0,50986

0,2у -0,34430 0,51934 -0,33806 0,51888 -0,33302 0,51183

0,3 у -0,34399 0,50951 -0,33630 0,50774 -0,33320 0,51140

0,4у -0,34306 0,49415 -0,33419 0,48582 -0,33225 0,49812

0,5у -0,34054 0,47138 -0,32928 0,44338 -0,28839 0,42219

Задача изгиба равномерно нагруженной прямоугольной пластины постоянной толщины решалась также методом однородных решений. Прогиб пластины выбирался в виде суммы функций

Нх'У) = м,б{у) + ™ор(х>У)> О")

где м6(у) - балочная функция, а однородные решения ™ор(х,у), согласно П.Ф.Папковичу, представлены функциональным рядом:

*'оР 0> у) = Е А сЬРк хрк(у).

(112)

Здесь Ак — неопределенные коэффициенты; Д - собственные числа, определяемые из трансцендентного уравнения задачи:

соз2рк =2-—/з; -

1-у „2 5 + 2у + у"

'3 + у (3 + у)(1 -1/)' а собственные функции имеют вид:

Рк(у) = - (1 - У)рк&т!3к\(зтрку - /3кусоз0ку) -

-[(1 + у)зт0к + (1 - у)рксо$рк ]ркусохРку. (114)

Однородные решения (112) удовлетворяют бигармоническому уравнению и граничным условиям на продольных кромках у=сот1

Уравнение (113) имеет два вещественных корня, отличающихся только знаками, и бесчисленное множество комплексных корней, группирующихся по квартетам. В работе найдены вещественный и первые девять комплексных корней этого уравнения с помощью ЭВМ для коэффициента Пуассона v =0,3 с ошибкой в восьмом знаке, не превышающей двух единиц.

Коэффициенты Ак должны определяться из граничных условий на смежных кромках х = ±у /2, где имеют место невязки

Мх = Е(у) - £ ак [/3^к (у) + у^Ь)]

к-о

00

Ух=-^акЦ/Зкг/2)[р1Рк(у) + (2-уЖРкХу)1

*=о

К = 2(1 - акгк{рк712)ркР'(\), (115)

к=о

Здесь ак=АксИ(рку! 2), Е(у) = у(у-1)2/2 - невязка от и'6(у), Лду-сосре-доточенные силы в угловых точках.

Если потребовать обращения в ноль выражений (115), то с помощью одной последовательности коэффициентов Ак (или а^) это сделать невозможно. Поэтому обратимся к приближенным способам, основанным на минимизации некоторого функционала. В данной работе рассматриваются два варианта приближенного решения задачи: коэффициенты однородных решений отыскиваются 1) методом наименьших квадратов и 2) из условия минимума работы краевых невязок.

В первом варианте минимизируется квадратичная погрешность выполнения граничных условий (4), (5):

ф=)\{г(у) - 2>* № {у)+оо]1+

о

*=0

'±ак^[р!Рк (у) + (2 - у)РХ Ы]Ти + {±акЛ^РкН (1)Т.

1 ) ) V к---0 ^ У

Условие минимума этого функционала приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для определения комплексных коэффициентов ак. Для численного решения этой системы из нее предварительно вручную выделялись действительная и мнимая части, что представляет собой весьма трудоемкую операцию. Далее с помощью ЭВМ решались укороченные системы, соответствующие количеству п собственных чисел рк, которое принималось последовательно равным 3, 4, ..., 8. Соответственно вычислялись изгибающие моменты Му в заделанном сечении квадратной пластины, которые оказались

заниженными по сравнению с результатами, полученными методом суперпозиции исправляющих функций.

Во втором варианте решения задачи минимизируется работа невязок (115) на соответствующих перемещениях поперечных кромок:

Из условия минимума этого функционала получена бесконечная комплексная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ак. Она также разделялась на действительную и мнимую части, и далее с помощью ЭВМ решались укороченные системы при п = 2, 3, ..., 8. Для каждого приближения вычислялись прогибы грани у = 1 и изгибающие моменты Му на защемленной кромке консольных пластин с отношением сторон 1/2; 1 и 2.

0,54 -|

0,53 - I

0,52 -

0,51 -............................................

0,50 - -

М7

0,49 -

0,48 -

0,47 -

0,46 -

0,45 - -0,0

Рис. 12. Эпюры изгибающих моментов му в корневом сечении квадратной консольной пластины Кирхгоффа (минимизация работы невязок п = 2, 3,4, 6, 8) На рис.12 приведены эпюры изгибающих элементов в заделанном сечении квадратной пластины. Кривая 1 соответствует решению, полученному методом суперпозиции исправляющих функций. Номера кривых со второй по предпоследнюю соответствует числу п = 2,3,... удерживаемых однородных решений; пунктирная прямая линия соответствует цилиндрическому изгибу.

Полученные результаты показывают, что однородные решения представляют собой сходящийся ряд, однако и данный способ определения коэффициентов ак дает заниженные значения прогибов и моментов по сравнению с методом суперпозиции исправляющих функций, причем соответствующие кривые

IJ YV U VV I J w

D*irr + 2D»1^ + D>irr = -1- 016)

наиболее близки при удержании в выражении (116) трех слагаемых. Далее наблюдается снижение точности вычислений, которое, на наш взгляд, обусловлено накоплением погрешностей округления при решении на ЭВМ разрешающей системы алгебраических уравнений. Возможно, вычисления при удержании большого числа значащих цифр позволят решить эту проблему.

Следует отметить, что второй способ определения коэффициентов однородных решений более точен, чем первый.

В восьмой главе для моделей ортотропных пластин, защемленных по всему контуру используется метод суперпозиции исправляющих функций. Дифференциальное уравнение изгиба по С.Г.Лехницкому имеет вид:

d4w 34w

Здесь w - прогиб пластины отнесен к величине g064 ID\ D - жесткость изотропной пластины; Dx=Di/D, DV=D2/D, Dxy~D3/D - относительные

жесткости по главным направлениям; £>, = £,1й3/[12(1- vtv2)], D2 =Егкъ/[12(1-^Vj)], Dk=Gh3/\2 - главные жесткости; £>3 = + 2Д; El,E2, G, v,, v2- главные упругие постоянные; h - толщина пластины. Граничные условия заделанных граней имеют вид (46), (47). Частное решение уравнения (116)

w0 {х,у) = - (х2 V /4 )(/ -1/4 y(8Dv) (117)

порождает невязки в граничных условиях по углам поворота заделанных сечений, которые поочередно компенсируются исправляющими функциями

ш к

W1»= Z (-1) +VM^os^-y.

4=1,3,...

= Z (-1) (КААУ + QM2y)cOSM.X ■ (118)

где n =2,3, ... номер итерации; к = (к +1)/2, s = (s +1)/2, Лк = кк, jus =snly. Коэффициенты рядов находятся из граничных условий. Функции (118) удовлетворяют уравнению (116) при _

&,2=Kyl(Dv±№-D*Dr)'D*' = ■ (П9)

Далее рассматривается ортотропная ребристая пластина, ребра жесткости которой идут в двух направлениях параллельно осям координат при частой их постановке. Ребра считаются одинаковыми, симметричными относительно срединной плоскости и равноотстоящими друг от друга (рис. 13,14). Жесткости при этом вычисляются по формулам (С.Г.Лехницкий): Z), = D2=D + EpIp / d, D3 = D , где d - расстояние между ребрами. Тогда относительные жесткости примут вид Dx = Dy = 1 + Д Diy = 1, где D = EpIp !{dD), и корни (119) становятся комплексными:

Au = Ол ± m H> Au = ± i<Pi К • (Р\ =

2 + D

12(1 + D) ]j 2(1 + D)

Ряды (118) после подстановки в них комплексных корней (120) и последующих преобразований запишутся действительными выражениями.

d

У

(120)

у

Рис. 13. Ребристая пластина, защемленная по контуру

Окончательно с учетом линейности задачи функция прогибов указанной ребристой пластины будет иметь вид:

м,(х,у) = -(х2 - у2 /4)(у2 -1/4)/8 +

со ^

+ Е + (121)

д-=1,3,...

где п - номер итерации; А'к = £ А*кп, ... б*у = £ б*„ - суммарные значения

я-1,2,... л=1,2,...

коэффициентов по всем итерациям.

Для примера ребра жесткости будем считать прямоугольными (рис.14). Примем коэффициент Пуассона материала пластины у=0,3; ширину ребра Ьр = А; высоту ребра Ир = ЗА; отношение ширины ребра к расстоянию между ребрами Ър / й = 0,1. Тогда момент инерции ребра и его относительная жесткость будут:

1 t—th ^

j:—_П_П

---—u-у-

Рис.14. Форма ребер пластины

" 12 12 dD 12 • \QhEh У ' '

По программе, составленной и реализованной в системе Maple-10, вычислялись прогибы и изгибающие моменты Мх для квадратной пластины (рис. 15,16), а также изгибающие моменты Мх для прямоугольной пластины с отношением сторон у = 2. При расчетах в рядах удерживалось 199 членов; количество итераций 14. Процесс быстро сходился, невязки после 14 итераций были практически равны нулю.

Наибольший прогиб в середине ребристой квадратной пластины составил -0,000441, а в середине прямоугольной пластины -0,000791. Для сравнения приведем соответствующие значения для изотропной пластины (табл.5): -0,001265 и -0,002533. Таким образом, ребра жесткости в данном примере примерно втрое уменьшили наибольшие прогибы по сравнению с «гладкой» пластиной той же толщины.

Рис. 15. Прогибы ребристой квадратной пластины под действием равномерной нагрузки (отнесены к величине д064 /£>)

-□.02:

0.02

о

Рис. 16. Эшора изгибающих моментов Мх (отнесенных к величине д0Ь2) ребристой квадратной пластины под действием равномерной нагрузки

В качестве примера рассмотрен также случай, когда ребра жесткости расположены с одной стороны обшивки.

Итерационным методом суперпозиции исправляющих функций можно также решать задачи изгиба ребристых пластин при других условиях опирания по краям. Это консольные пластины, пластины с тремя защемленными и одним свободным краями и др. при различных видах поперечных нагрузок, а также железобетонные плиты, расчет которых можно привести к расчету некоторой эквивалентной изотропной пластины.

Работа посвящена построению математических моделей поведения широкого класса прямоугольных в плане изотропных и ортотропных пластин (плит) с защемлено-свободными краями под действием распределенной поперечной нагрузки как элементов судовых и гидротехнических конструкций. Задачи решались как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации перечного сдвига на изгиб.

Получены следующие результаты:

1) предложен метод суперпозиции исправляющих функций для решения широкого круга задач математической физики, позволяющий получить решение с тобой точностью;

2) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи для широкого диапазона коэффициентов Пуассона;

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

3) показана пригодность для вычисления на ЭВМ рядов, представляющих изгибающие моменты в заделанном сечении пластины. Приведены результаты вычислений изгибающих моментов в этом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными приближенными решениями и экспериментальными данными. Вблизи концов заделки изгибающие моменты убывают до -оо (в рамках данной теории), т.е. имеет место концентрация напряжений;

4) дано обобщение метода суперпозиции на случай распределенной поперечной нагрузки, заданной в виде некоторого полинома по координате у, а также на случай произвольной поперечной на!рузки, представимой двойным рядом Фурье;

5) решена задача изгиба консольной пластины Рейсснера под действием равномерной поперечной нагрузки итерационным методом суперпозиции исправляющих функций. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

6) установлено резкое перераспределение напряжений вблизи концов заделанного сечения, где изгибающие моменты, убывая, достигают минимума, а затем (в рамках данной теории) растут до бесконечности, которая имеет знак плюс, в отличие от классической теории;

7) приведены результаты вычислений изгибающих моментов в корневом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей 0,1 результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. С ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера;

8) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по всем граням прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

9) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными решениями;

10) тем же методом решена задача изгиба защемленной по всем граням прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием гидростатической нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи. Приведены результаты вычислений прогибов и моментов для пластин с различным отношением сторон;

11) решена задача изгиба защемленной по всему контуру прямоугольной пластины Рейсснера постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических

рядов, используемых для построения итерационного процесса. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи;

12) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей 0,1 результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. С ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера, особенно для изгибающих моментов вблизи защемленных граней;

13) методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба прямоугольных пластин Кирхгоффа с гремя и двумя защемленными краями (остальные свободные). Доказана сходимость итерационных решений, приводятся результаты вычислений, выявлена концентрация напряжений в точках перехода от защемленного края к свободному;

14) предложена модификация метода Канторовича для задачи изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Суть ее состоит в том, что точно удовлетворяются граничные условия на обеих кромках у-const. Для сравнения задача решалась и для обычного подхода, когда точно удовлетворялись лишь геометрические условия заделки. Дано численное сравнение указанных подходов между собой, с методом суперпозиции исправляющих функций, а также с другими известными вариационными методами;

15) вариационным методом Канторовича получено решение задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа с линейно изменяющейся толщиной в направлении, перпендикулярном защемленному краю. Приведены численные результаты расчетов прогибов и изгибающих моментов при удержании трех слагаемых в выражении функции прогибов;

16) равномерно нагруженная консольная пластина Кирхгоффа исследовалась также методом однородных решений. Коэффициенты однородных решений определялись двумя способами: способом наименьших квадратов и способом минимизации работы краевых невязок. Прогибы и моменты вычислялись для первых семи корней трансцендентного уравнения задачи. Показана неустойчивость метода из-за погрешностей вычислительного процесса, что требует увеличения количества значащих цифр во всех вычислениях;

17) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по контуру ортотропной пластины. В частном случае рассмотрена ребристая пластина с ребрами жесткости в двух направлениях при частом их расположением. Приведены результаты расчетов прогибов, изгибающих моментов и напряжений;

18) составлены подробные таблицы значений прогибов, изгибающих моментов, перерезывающих сил, которые могут служить справочным материалом для проектных организаций при проведении основных и поверочных расчетов НДС плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций. При применении других приближенных методов (например, МКЭ) для решения более сложных задач эти результаты могут использоваться в качестве эталонных.

IV. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

Статьи в журналах, входящих в перечень ВАК для докторантов:

1) Prokopov V.K., Sukhoterin M.V. Variational method for determining the flexure of a bracket- J. International Applied Mechanics, New York, 1978, Vol.14, No. 5, pp. 537-540;

2) Сухотерии M.B. Решение задачи изгиба прямоугольной консольной пластины переменной толщины методом Канторовича- Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 251, с. 71 - 76;

3) Сухотерин М.В. К расчету плоских элементов гидрозатворов на гидростатическую нагрузку — Известия ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, 2008, т.252, c.l 11 - 120;

4) Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига- Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С.П.Королева, 2008, № 1(14), с. 174-180.

5) Сухотерин М.В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС —Гидротехническое строительство, 2009, № 7, с. 47-49.

6) Сухотерин М.В. Прямоугольная консольная пластина под действием поперечной нагрузки,- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Информатика, телекоммуникации, управление», 2009, № 4 (82), с. 101-106.

7) Сухотерин М.В. Расчет на изгиб прямоугольных защемленных панелей с одним свободным краем.- Гидротехническое строительство, 2009, № 10, с.51-56.

8) Сухотерин М.В. Изгиб защемленной ребристой панели- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физ.-мат. науки», 2009, № 4 (88), с, 19-24.

Монографии:

1) Сухотерин М.В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин. С. Петербург, 2009, Изд-во Политехнического ун-та, 265 с. Изобретения:

]) Краснов И.А., Богдашкин В.В., Тарасов В.В., Сухотерин М.В. «Устройство регистрации прохода судов через сгвор шлюза», Авторское свидетельство № 1723257, приоритет изобретения 5 февраля 1990 г., зарегистрировано в Гос. реестре изобретений СССР 1 декабря 1991 г.

Публикации в материалах всероссийских и международных научных конференций:

1) Сухотерин М.В. Задача изгиба прямоугольной консольной пластинки Рейс-снера. Материалы Всерос. науч.- метод, конф. Санкт - Петербург, ун - та водных коммуникаций. Тез. докл. СПб, 1994, с. 43-45.

2) Сухотерин М.В. Математическое моделирование изгиба обшивки судна под действием гидростатической нагрузки,- Региональная информатика - 2008 (РИ - 2008). XI С. Петерб. международн. конференция., С. Петербург, 22 - 24 октября 2008 г., Материалы конференции \ СПОИСУ- СПб. 2008.- 355 с.

3) Сухотерин М.В. К расчету обшивки судовых и гидротехнических конструкций из анизотропного материала. Матер. Междунар. научно-практ. конф.

«Водные пути России: Стр-во, эксплуатация, управление», С.Петербург, 1-2 окт. 2009, с.297-300.

Публикации в ведущих изданиях СССР:

1) Прокопов В.К., Сухотерин М.В. Вариационный метод решения задачи об изгибе консольной пластины — Прикл. механика, АН УССР, 1978, т. 14, № 5, с. 122

- 127;

2) Сухотерин М.В. Итерационный метод решения задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины. - Прикл. механика, АН УССР, 1982, т. 18, № 5, с. 121-125;

3) Сухотерин М.В. Об одном методе исследования защемленной по контуру прямоугольной пластины - Докл. АН Армянской ССР, 1987, LXXXV, 4, с. 147

- 151;

4) Сухотерин М.В. К исследованию изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера- Прикл. механика, АН УССР, 1990, т. 26, № 7, с. 120- 124;

Публикации в других изданиях:

1) Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Задача изгиба прямоугольной консольной пластины - Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научи. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып.Ш.- с. 172 - 179.

2) Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Численные результаты решения задачи изгиба прямоугольной консольной пластины - Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научн. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып. III.- с.179 -182.

3) Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной пластины, два противоположных края которой защемлены, а два других свободны - Журнал университета водных коммуникаций, 2009, вып. IV, с. 193-198.

4) Сухотерин М.В. Изгиб консольной пластины.-ВИНИТИ, № 889-77, Деп., 7 с.

5) Сухотерин М.В. Применение вариационного метода к задаче изгиба консольной пластины переменной толщины-ВИНИТИ, № 4012-77, Деп., 13 с.

6) Сухотерин М.В. Однородные решения в задаче изгиба консольной пластины,-ВИНИТИ Деп. 3.06.1983, № 3005 - 83, 12 с.

7) Сухотерин М.В. Случай произвольной поперечной нагрузки в задаче изгиба консольной пластины - ВИНИТИ Деп. 25.02.1985, № 1421 - 85, 6 с.

8) Голоскоков П.Г., Сухотерин М.В. Приложение теории поля.-Л., ЛИВТ, 1987, 50 с.

9) Коптев A.B., Сухотерин М.В. Элементы математической физики.-СПб, СПГУВК, 2001,20 с.

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 02.02.10 Сдано в производство 02.02.10 Формат 60x84 1/16 Усл.-печ. л. 2,61. Уч.-изд. л. 2,25. _ _Тираж 60 экз.___Заказ № 4____

Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7

Отпечатано в типографии ФГОУ ВПО СПГУВК 198035, Санкт-Петербург, Межевой канал, 2

у f 1

1 4 7

2009125594

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОВРЕМЕННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1.0 моделях Кирхгоффа и Рейсснера.

1.2.Анализ известных численных методов моделирования прямоугольных пластин с защемлено-свободными краями.

2. МЕТОД СУПЕРПОЗИЦИИ ИСПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КОНСОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФФА.

2.1 .Постановка задачи для произвольной поперечной нагрузки.

2.2.Определение прогиба равномерно нагруженной пластины.

2.3.Анализ решения задачи.

2.3.1 .Исследование сходимости полученных рядов.

2.3.2.Исследование сходимости итерационного решения.

2.3.3.0 концентрации напряжений на концах заделанного сечения.

2.4.Примеры компьютерных расчетов НДС консольных пластин.

2.5. Случай произвольной поперечной нагрузки.

2.5.1.Полиномиальная нагрузка.

2.5.2.Произвольная симметричная нагрузка.

2.5.3.Произвольная нагрузка (несимметричный изгиб).

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННОЙ КОНСОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ РЕЙССНЕРА МЕТОДОМ СУПЕРПОЗИЦИИ.70'

3.1 .Постановка задачи.

3.2.Построение решения.

3.3.Сводка основных формул и алгоритм численной реализации итерационного процесса решения задачи.

ЗАИсследование сходимости рядов для прогибов и функций напряжений.

3.5.Исследование сходимости итерационного решения.

3.6.Исследование сходимости рядов для изгибающих моментов в заделанном сечении пластины.

3.7.Численные результаты.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФФА МЕТОДОМ СУПЕРПОЗИЦИИ.

4.1.Постановка задачи для равномерной нагрузки и построение решения.

4.2. Анализ решения задачи. Доказательство сходимости итерационного процесса.

4.3. Численные результаты.

4.4. Постановка задачи и построение решения для гидростатической нагрузки.

4.5. Анализ решения задачи для гидростатической нагрузки.

4.6. Численные результаты.

5.МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ РЕЙССНЕРА.

5.1.Постановка задачи и построение решения.

5.2.Анализ решения задачи. Доказательство сходимости итерационного процесса.

5.3.Численные результаты.

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН КИРХГОФФА ПРИ ДРУГИХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ ПО КРАЯМ.

6.1. Прямоугольная пластина, три края которой защемлены, а четвертый свободен.

6.1.1 Постановка задачи, построение решения и его анализ.

6.1.2. Результаты численных расчетов.

6.2. Прямоугольная пластина, два противоположных края которой защемлены, а два других свободны.

6.2.1. Постановка задачи, построение решения и его анализ.

6.2.2. Результаты численных расчетов.

7. МОДИФИКАЦИЯ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА КАНТОРОВИЧА И МЕТОДА ОДНОРОДНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ КОНСОЛЬНЫХ ПЛАСТИН.

7.1.Формулировка вариационной задачи.

7.2. Метод Канторовича в задаче изгиба пластины постоянной толщины.

7.2.1.Первый способ решения.

7.2.2.Второй способ решения.

7.3. Метод Канторовича решения задачи изгиба консольной пластины переменной толщины.

7.4.0 соотношении обобщенной ортогональности.

7.5.0днородные решения и трансцендентное уравнение задачи для консольной пластины.

7.6,Определение коэффициентов в однородных решениях методом наименьших квадратов.

7.7.Определение коэффициентов в однородных решениях минимизацией работы краевых невязок.

8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

ПРИ ИЗГИБЕ.

8.1. Основное решение для ортотропной пластины.

8.2. Ребристая пластина.

8.2.1. Расчетные формулы. Вычислительный алгоритм.

8.2.2. Примеры расчета ребристых пластин.

1. Актуальность проблемы. Проблема оценки параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) прямоугольных пластин при изгибе поперечной нагрузкой возникает в различных областях техники, в том числе в судостроении и гидротехническом строительстве. Особую значимость она приобретает при создании уникальных по своей сложности и размерам сооружений. Стремление избежать возможных техногенных катастроф предъявляет повышенные требования к математическому моделированию поведения отдельных элементов и конструкции в целом, к созданию новых численных и численно-аналитических методов расчетов их на прочность и долговечность, к созданию комплексов программ для их реализации. Многие приближенные теории и методы решения краевых задач требуют уточнения, анализа достоверности полученных результатов. Создание новых численно-аналитических методов позволяет выявить особенности поведения элементов конструкций в опасных точках, где возможны концентрации напряжений. Особый интерес для исследования представляют пластины, у которых либо все грани защемлены, либо защемлены три, две или одна, а остальные свободны, для которых не получены точные решения в замкнутом виде. В виде пластин, жестко защемленных по одному краю (консольных пластин), выполняются отдельные элементы в конструкциях судов, гидротурбин, самолетов, а также режущий инструмент ряда технологических операций в машиностроении. Консольная пластина (плита) переменной толщины принимается в качестве начальной математической модели для монолитных крыльев самолетов и судов на подводных крыльях и на воздушной подушке, для лопаток гидротурбин и лопастей судовых винтов, зубьев зубчатых передач, стен шлюзовых камер и т.п. Силовой набор корпуса судна, плоских затворов ГЭС и других гидросооружений разделяет обшивку на прямоугольные (чаще квадратные) элементы, которые можно считать пластинами, защемленными по всем четырем граням под действием гидростатической нагрузки. Большой интерес представляют пластины (панели), подкрепленные ребрами жесткости (ребристые ортотропные пластины). Это, прежде всего, судовые переборки с частым расположением ребер по обе стороны обшивки, способные выдержать давление воды как с одной, так и с другой стороны, днищевые перекрытия судов типа двойного дна и т.д. Расчетной математической моделью судовой обшивки из синтетических материалов можно также считать ортотроп-ную пластину. Расчетной моделью плоских стенок различных резервуаров, подпорных стен, палубных и строительных перекрытий с одной свободной кромкой является прямоугольная пластина, три края которой защемлены, а четвертый свободен. Плиты с двумя защемленными и двумя свободными краями используются для перекрытий мостового типа.

Современный этап развития судостроения характеризуется появлением судов новых конструктивных типов, использованием при их строительстве новых конструкционных материалов, новых более прогрессивных технологических процессов изготовления отдельных элементов, стремлением к снижению материалоемкости. По этой причине существовавшие ранее приближенные методы оценки прочности корпуса судна и его элементов оказываются часто недостаточно точными. Становится необходимым использование для анализа НДС судовых и гидротехнических конструкций новых современных методов математического моделирования, ориентированных на широкое применение компьютерных вычислений.

Математические модели поведения пластин конечных размеров с за-щемлено-свободными краями при изгибе приводят к весьма сложным краевым задачам математической физики, не имеющим точного решения в замкнутой форме. Особенно сложна задача изгиба консольной пластины, так как граничные условия на свободных кромках содержат частные производные второго и третьего порядков. Этим объясняется сравнительно малое количество публикаций по расчету консольных пластин. Причем, часть из них либо вовсе не содержит численных результатов, либо трудно судить об их близости к точному решению задачи. Весьма сложной проблемой является расчет анизотропных пластин и, в частности, подкрепленных ребрами жесткости. Классическая теория тонких пластин (модель Кирхгоффа) не учитывает влияния деформации поперечного сдвига на изгиб, что может заметно сказываться на НДС вблизи контура пластины (особенно в окрестности точек, где происходит резкая смена граничных условий) и точек приложения сосредоточенных сил. Уточненная теория пластин (модель Рейсснера), применяемая для пластин (плит) конечной толщины еще более усложняет указанные задачи, так как приводит к двум (вместо одного) дифференциальным уравнения изгиба и еще более сложным граничным условиям. Серьезных работ по уточненной теории указанных видов пластин, доведенных до численных результатов,- не много.

Отметим, что многие исследователи отдают предпочтение методу конечных элементов (МКЭ), считая его универсальным и надежным методом математического компьютерного моделирования. Однако он эффективен для нахождения приближенных решений краевых задач. Желая получить более точное решение исследователи дробят сетку конечных элементов, что приводит к «запиранию» вычислительного процесса, когда матрица системы линейных уравнений становится плохо обусловленной, и малейшие погрешности вычисления коэффициентов матрицы (компьютерное округление) приводят к обратному результату - ухудшению точности решения краевой задачи. Обусловленность системы ухудшается при отклонении формы элементов от правильных многоугольников, а таюке при применении МКЭ к дифференциальным уравнениям более высоких порядков. Поэтому по-прежнему актуальны аналитические методы исследования (в сочетании с численными), когда полученное решение можно проверить подстановкой во все условия задачи. Именно такие методы используются в данной работе.

Заметим также, что использование МКЭ предполагает его проверку на «эталонных» задачах, т.е. тех, для которых получено точное аналитическое решение или, как в данном случае, сколь угодно близкое к точному.

2. Цель работы и задачи исследования. Целью настоящей работы является развитие методов математического моделирования поведения плоских элементов конструкций и повышение точности их расчетов.

Задачи исследования:

1) построение численно-аналитического итерационного метода суперпозиции исправляющих функций, который позволяет получить решение для прямоугольных пластин Кирхгоффа и Рейсснера с защемлено-свободными краями (гладких и ребристых) с любой точностью;

2) доказательство сходимости итерационных решений к точным решениям;

3) получение достоверных численных результатов об изгибе указанных пластин по обеим теориям;

4) представление численных результатов в табличной и графической форме в качестве справочного материала при проведении проектными организациями типовых инженерных расчетов плоских элементов металлоконструкций;

5) сравнение результатов, полученных по классической и уточненной теориям, и анализ области применимости этих теорий;

6) теоретическое и численное исследование на этой основе возможностей предложенной модификации вариационного метода Канторовича и метода однородных решений применительно к расчету НДС консольных пластин постоянной и переменной толщины;

7) использование метода суперпозиции исправляющих функций для моделирования изгиба защемленных гладких и ребристых анизотропных пластин.

3. Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются упругие плоские элементы судовых и гидротехнических конструкций и, в частности, прямоугольные пластины (плиты) с защемлено-свободными краями под действием поперечной нагрузки. Предмет исследования - методы математического моделирования поведения указанных элементов, обеспечивающие необходимую точность расчетов.

4. Математический аппарат исследования. В данной работе использовались: аппарат дифференциального и интегрального исчисления функции одной и нескольких переменных; теория числовых рядов и рядов Фурье; теория бесконечных систем алгебраических уравнений; методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; теория пределов.

5. Научная новизна. В настоящей работе предложен итерационный метод суперпозиции исправляющих функций, позволяющий получить с помощью достаточно простого алгоритма решение с любой точностью для широкого круга задач теории пластин. Он может быть использован как метод математического моделирования и для решения других задач математической физики. Этим методом исследовались прямоугольные консольные пластины под действием равномерной нагрузки в рамках классической теории (Кирхгоффа) и уточненной теории (Рейсснера) Подобные задачи решены также для защемленной по всему контуру пластины (изотропной и ортотроп-ной). Дано обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки. Предложенным методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба пластин Кирхгоффа с тремя защемленными и одной свободной кромками, а также с двумя защемленными и двумя свободными кромками. Доказана сходимость итерационного процесса к точному решению для всех указанных задач. Предложено видоизменение вариационного метода Канторовича, основанное на точном выполнении граничных условий на защемленной и противоположной ей свободной кромках консольной пластины Кирхгоффа. Получены численные результаты расчетов напряженно-деформированного состояния указанных пластин.

6. Основные новые результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

1) итерационный метод математического моделирования для решения широкого класса задач изгиба прямоугольных пластин с защемлено-свободными краями, - метод суперпозиции исправляющих функций,- позволяющий получить решение с любой точностью для произвольной поперечной нагрузки;

2) приложения указанного метода для исследования изотропных и ортотроп-ных пластин как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации поперечного сдвига;

3) алгоритм численной реализации метода;

4) доказательство сходимости итерационного процесса к точному решению для каждой из указанных задач;

5) численные результаты расчетов НДС пластин под действием равномерной и гидростатической нагрузки, представленные в виде таблиц и графиков;

6) обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки на примере консольной пластины Кирхгоффа;

7) модификация вариационного метода Канторовича для расчета консольной пластины Кирхгоффа с постоянной и линейно изменяющейся толщиной;

9) исследование практической применимости метода однородных решений для более высоких приближений при изгибе консольной пластины постоянной толщины;

10) аналитическое и численное доказательство того, что в точках перехода от защемленного края к свободному изгибающие моменты бесконечны в рамках моделей Кирхгоффа и Рейсснера (концентрация напряжений).

7. Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы нашли практическое применение во ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, в СПКТБ «Ленгидросталь», в Центре технологии судостроения и судоремонта (ЦТСС) для расчетов НДС элементов гидротехнических и судовых конструкций; в СПГУВК они используются при подготовке специалистов по направлению «Прикладная математика и информатика».

8. Апробация работы. Основные положения работы представлялись на научных семинарах кафедры математики и кафедры прикладной математики СПГУВК; на Всероссийской НМК СПГУВК 1994 г.; на XI С.Петербургской международной конференции «Региональная информатика»

СПОИСУ 2008 г.; на международной научно-практической конференции «Водные пути России: Стр-во, эксплуатация, управление», СПГУВК, 2009 г.

9. Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в научно-технических изданиях. Всего опубликовано 26 работ, из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для докторантов; одна монография; одно изобретение; 3 статьи в материалах всероссийских и международных конференций; 4 статьи в ведущих изданиях СССР; 9 работ в других изданиях. Полный перечень работ приведен в конце списка литературы. Наиболее значимые работы:

1) Prokopov V.K., Sukhoterin M.V. Variational method for determining the flexure of a bracket - J. International Applied Mechanics, New York, 1978, Vol.14, No. 5, pp. 537-540;

2) Сухотерин M.B. Решение задачи изгиба прямоугольной консольной пластины переменной толщины методом Канторовича - Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 251, с. 71 -76;

3) Сухотерин М.В. К расчету плоских элементов гидрозатворов на гидростатическую нагрузку — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 252, c.l 11 -120;

4) Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига - Вестник Самарского гос. аэрокосмического ун-та им. акад. С.П.Королева, 2008, № 1(14), с. 174-180.

5) Сухотерин М.В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС.- Гидротехническое строительство, 2009, № 7, с. 47-49.

6) Сухотерин М.В. Прямоугольная консольная пластина под действием поперечной нагрузки.— Научно-технические ведомости СПбГПУ, Информатика, телекоммуникации, управление, 2009, № 4 (82), с. 101-106.

7) Сухотерин М.В. Расчет на изгиб прямоугольных защемленных панелей с одним свободным краем- Гидротехническое строительство, 2009, № 10, с.51-56.

8) Сухотерин М.В. Изгиб защемленной ребристой панели- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физ.-мат. науки», 2009, № 4 (88), с. 19-24.

9) Сухотерин М.В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин. (Монография). С. Петербург, 2009, Изд-во Политехнического ун-та, 265 с.

10. Структура и объем работы. Диссертация представлена в форме рукописи, состоящей из введения, 8 глав и заключения. Объем рукописи- 300 стр., в том числе 79 рисунков, 66 таблиц и список использованных источников из 145 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена построению математических моделей поведения широкого класса прямоугольных в плане изотропных и ортотропных пластин (плит) с защемлено-свободными краями под действием распределенной поперечной нагрузки как элементов судовых и гидротехнических конструкций. Задачи решались как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации перечного сдвига на изгиб.

Получены следующие результаты:

1) предложен метод суперпозиции исправляющих функций для решения широкого круга задач математической физики, позволяющий получить решение с любой точностью;

2) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи для широкого диапазона коэффициентов Пуассона;

3) показана пригодность для вычисления на ЭВМ рядов, представляющих изгибающие моменты в заделанном сечении пластины. Приведены результаты вычислений изгибающих моментов в этом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными приближенными решениями и экспериментальными данными. Вблизи концов заделки изгибающие моменты убывают до -оо (в рамках данной теории), т.е. имеет место концентрация напряжений;

4) дано обобщение метода суперпозиции на случай распределенной поперечной нагрузки, заданной в виде некоторого полинома по координате у, а также на случай произвольной поперечной нагрузки, представимой двойным рядом Фурье;

5) решена задача изгиба консольной пластины Рейсснера под действием равномерной поперечной нагрузки итерационным методом суперпозиции исправляющих функций. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

6) установлено резкое перераспределение напряжений вблизи концов заделанного сечения, где изгибающие моменты, убывая, достигают минимума, а затем (в рамках данной теории) растут до бесконечности, которая имеет знак плюс, в отличие от классической теории;

7) приведены результаты вычислений изгибающих моментов в корневом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей 0,1 результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. С ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера;

8) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по всем граням прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

9) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для защемленных пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными решениями;

10) тем же методом решена задача изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием гидростатической нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи. Приведены результаты вычислений прогибов и моментов для пластин с различным отношением сторон;

11) решена задача изгиба защемленной по всему контуру прямоугольной пластины Рейсснера постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения итерационного процесса. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи;

12) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей ОД результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. С ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера, особенно для изгибающих моментов вблизи защемленных граней;

13) методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба прямоугольных пластин Кирхгоффа с тремя и двумя защемленными краями (остальные свободные). Доказана сходимость итерационных решений, приводятся результаты вычислений, выявлена концентрация напряжений в точках перехода от защемленного края к свободному;

14) предложена модификация метода Канторовича для задачи изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Суть ее состоит в том, что точно удовлетворяются граничные условия на обеих кромках у=соти Для сравнения задача решалась и для обычного подхода, когда точно удовлетворялись лишь геометрические условия заделки. Дано численное сравнение указанных подходов между собой, с методом суперпозиции исправляющих функций, а также с другими известными вариационными методами;

15) вариационным методом Канторовича получено решение задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа с линейно изменяющейся толщиной в направлении, перпендикулярном защемленному краю. Приведены численные результаты расчетов прогибов и изгибающих моментов при удержании трех слагаемых в выражении функции прогибов;

16) равномерно нагруженная консольная пластина Кирхгоффа исследовалась также методом однородных решений. Коэффициенты однородных решений определялись двумя способами: способом наименьших квадратов и способом минимизации работы краевых невязок. Прогибы и моменты вычислялись для первых семи корней трансцендентного уравнения задачи. Показана неустойчивость метода из-за погрешностей вычислительного процесса, что требует увеличения количества значащих цифр во всех вычислениях;

17) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по контуру ортотропной пластины. В частном случае рассмотрена ребристая пластина с ребрами жесткости в двух направлениях при частом их расположением. Приведены результаты расчетов прогибов, изгибающих моментов и напряжений;

18) составлены подробные таблицы значений прогибов, изгибающих моментов, перерезывающих сил, которые могут служить справочным материалом для проектных организаций при проведении основных и поверочных расчетов НДС плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций. При применении других приближенных методов (например, МКЭ) для решения более сложных задач эти результаты могут использоваться в качестве эталонных решений.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ:

4,7]) ~ прогиб срединной поверхности пластины;

Ц — координаты точек срединной поверхности пластины; Е — модуль упругости (модуль Юнга); Екг

О = -^ - цилиндрическая жесткость пластины; у - коэффициент Пуассона;

Л - толщина пластины; а, Ъ — размеры пластины в плане; или <7 - интенсивность равномерной поперечной нагрузки; х = —, у = — — безразмерные координаты точек срединной поверхности Ь Ъ пластины; у) = —/в ~ ^езРазмеРнь™ (относительный) прогиб срединной поверхности пластины; а у = — — отношение сторон пластины; у ^ о1 V2 = н--2 •> = —г 4--Т ~~ ДвУмеРные операторы Лапласа;

72 д?]2' ах2 ду3

У2У2 = ~ + 2—^-г- + -^г, У2У2 = + 2—г—т + бигармоничед^дт]2 дт]4 дх4 Эх2ду2 ду4 р ские операторы;

М4, Мп, Мх, Му - изгибающие моменты вдоль соответствующих осей; полные перерезывающие силы в направлениях, перпендикулярных соответствующим осям; БМВ - бесконечно малая величина.

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 1963.

2. Reissner Е., J. Math, and Phys., 1944, v. 23.

3. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates.- J. appl. Mech., 12, 1945, A69-A77.

4. Васильев B.B. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин- Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1997, № 3, с. 150-155.

5. Гольденвейзер A.JI. Замечание о статье В.В.Васильева «Об асимптотическом методе обоснования теории пластин».- Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1997, №4, с. 150-158.

6. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин,- Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1992, № 3, с. 4864.

7. Гольденвейзер A.JI., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теории пластин и оболочек типа Тимошенко— Рейсснера,-Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1990, № 6, с. 124-138.

8. MacGregor C.W. Deflection of a long helical gear tooth. J. Mech. Engineering, 1935, v. 57, N4.

9. Holl D.L. Cantilever plate with concentrated edge load. J. Appl. Mech., 1937, v. 4, N 1

10. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. Изд-во МГУ, 1958.

11. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч. 2. М., Судпромгиз, 1941.

12. Jaramillo T.I. Deflections and moments due to a concentrated load on a cantilever plate of infinite length. J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1950, v. 72, N 1

13. Свердлов А.И. Об одном приеме построения "функции влияния" нагрузки для консольных пластин. В сб. Вопросы прочности и устойчивости элементов тонкостенных конструкций, - Труды Моск. авиац. ин-та, вып. 153, Оборонгиз, 1963.

14. Weber С. Einseiting eingespanner Plattenstreifen mit Einzellast. -Z.angew.Math. und Mech., 1960, 40, N 12

15. О. Аранович В.М., Кудрявцева Г.А. О прямоугольной консольной пластине переменной толщины, нагруженной сосредоточенной силой на свободном крае. Труды Горьк. политехи, ин-та, 1970, т. 26, № 5.

16. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Киев, Изд-во АН УССР, 1952.

17. Варвак П.М., Губерман И.О., Мирошниченко М.М., Предтеченский Н.Д. Таблицы для расчета прямоугольных плит. Киев, Изд-во АН УССР, 1959.

18. Nash W.A. Several approximate analysis of the bending of a rectangular cantilever plate by uniform normal pressure. J. Appl. Mech., 1952, v. 19, N 1.

19. Marcus H. Die Theorie elastischer Gewebe und ihre Anwendung auf die Be-rechung bigsamer Platten. "Second Edition, Julius Springer", Berlin, Germany, 1932.

20. Barton M.V. Finite difference equations for the analysis of thin rectangular plates with combinations of fixed and free edges. Defense Res. Lab. Rept, N 175, Univ. of Texas, Aug. 1948.

21. Livesley R.K., Birchall P.C. Analysis of a loaded cantilever plate subjected to a uniform loading. J. Aero.Sci. 1962, 29, N 2.

22. Cadambe V., Kaul R.K., Tewari S.G. Flexure of thin elastic plates under specified edge tractions. Indian J. Phys., 1955, 29, N 9

23. Coull A., Rao K.S. Analysis of cantilever plates by the linesolution technique. Appl.Sci.Res., v. 18, N 4, 1967

24. Вахитов М.Б., Сафариев M.C. К применению метода прямых для расчета пластин. Труды Казанск. авиац. ин-та, 1972, вып. 143.

25. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Халиулин В.И. Расчет консольных пластин методов прямых. В сб. Вопросы расчета прочности авиац. кон-ций, труды Казанск. авиац. ин-та, 1974, вып. 166.

26. Пугач Е.П. Изгиб плиты-консоли. Труды Ленингр.ин-та инж. жел.-дор. тр-та, 1959, вып. 164.

27. Валов Г.М. Изгиб тонкой прямоугольной консольной пластины произвольно распределенной поперечной нагрузкой. Труды конфер. по теории пласт, и обол. (1960), Казань, 1961.

28. Углицкий Н.Ф. Изгиб консольных плит краевой нагрузкой. В сб. Обработка металлов давлением в машиностроении, 1968, вып.З.

29. Sumió N. On the bending of a rectangular cantilever plate. Proc. Japan Nat. Congr. Appl. Mech. (1958), Tokyo, 1959.

30. Narasimha M.P. Note of the bending of thin elastic, rectangular cantilever plates.-J. Aeronaut.Soc.India, 1964, 16, N 1.

31. Склепус Н.Г. До розрахунку консольних пластин. Доповцц АН УРСР, 1970, А,№ 10.

32. Рвачев B.JL, Курпа JI.B., Склепус Н.Г., Учишвили JT.A. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. Киев, "Наукова думка", 1973.

33. Файерберг И.И. Об изгибе консольной пластины. Труды Моск. физи-ко-техн. ин-та, 1961, вып. 7.

34. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., "Наука", 1966.

35. О.Груздев Ю.А., Прокопов В.К. Применение однородных решений к задаче изгиба консольной плиты. Труды Ленингр. политехи, ин-та, 1966, № 266.

36. Прокопов В.К. Задача о стесненном изгибе прямоугольной полосы.-Инженерный сборник АН СССР, 1952, т XI.

37. Журавская О.А., Дьяченко Д.Я. К расчету консольных пластин.- Труды Магнитогорск, горно-металлург. ин-та, 1971, вып. 77.

38. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы. Доклады АН СССР, 1940, t.XXVII, №4.

39. Агарев В.А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев, из-во АН УССР, 1963.

40. Leissa A.W., Niederfuhr F.W. A study of the cantilevered plate subjected to a uniform loading. J. Aero. Sci., 1962, 29, N 2.

41. Петров Ю.П., Лившиц А.Л., Лившиц В.Л. Расчет на изгиб консольной пластины методом граничной коллокации. В сб. Самолетостроение и техника возд. флота, 1967, вып. 12.

42. Анохина С.И. Расчет консольной пластины методом коллокации. Труды Ленингр. ин-та инж. жел.-дор. тр-та, 1968, вып. 287ю

43. Zienkiewicz О.С., Cheung Y.K. The finite element method for analysis of elastic isotropic and ortotropic slabs. Proc. Inst.Civ.Eng., 1964, v. 28, Aug.

44. Bauer F., Reiss E.L. Stresses in cantilever plates. Comput. and Srtuct., 1972, v. 2, pp.675-691.

45. Кушуль М.Я. Об изгибе консольных пластин, очерченных кусочно-гладкими кривыми. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, № 10.

46. Szmelter J., Sulikowski Т., Lipinski J. Bending of the rectangular plate clamped at one edge. Arch. Mech.stosowanej, 1961, 13, N 1.

47. Даль Ю.М. Об изгибе упругой консольной пластины переменной толщины. В сб. Расчет пространств, кон-ций. М., Стройиздат, 1974, вып. XVI.

48. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.-М., ГИТТЛ, 1949.

49. Фролов В.М. Применение метода корректирующей функции в расчетах деформаций консольных пластин. Труды ЦАГИ, 1957, вып. 705.

50. Рабинский Н.JI. Расчет консольных пластин. В сб. Прочность и устойчивость эл-тов тонкостенных кон-ций. М., "Машиностроение", 1967, Труды Моск. авиац. ин-та, вып. 169.

51. Schürch Н. Zur Statik von dünnen Flugzeugtragflächen. "Leeman A.G., Zürich, 1950.

52. Reissner E., Stein M. Torsion and transverse bending of canilever plates. -NACA, TN, 1951, N2359.

53. Вахитов М.Б. К расчету прочности скошенного крыла монолитной конструкции. Изв. МВО, Авиац. техника, Казань, 1958, № 1.

54. Уманский A.A. Строительная механика самолета. М., Оборонгиз, 1961.

55. Ciencke Е. Zur Festigkeitsberechnung von Tragflügeln kleiner Streckuni mit Hilfe der Plattentheorie. Z. für Flugwissenschaften, 1961, H. 3.

56. Феофанов А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций. -Труды Моск. авиац. ин-та, Оборонгиз, 1964, вып. 160.

57. Меркурьев В.И., Горлов К.В. Изгиб консольных пластин с жесткими поперечными сечениями. Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1162

58. Stein М., Anderson E.J., Hedgepeth J.M. Deflection and stress analysis of thin solid wings arbitrary plan form with particular reference to delta wings. -NACA, 1953, Rep. 1131.

59. Пласс Г., Гейне Дж., Ньюсом К. Применение вариационного принципа Рейснера к изгибу и колебаниям консольной пластины. Прикл. механика, труды амер. общества инж.-механиков, русс, перевод, серия Е, 1962, т. 29, № 1.

60. Reissner Е. On a variational theorem in elasticity. J. Math, and Phys., 1950,v. 29.

61. Coull AJ. A direct-stress analysis of orthotropic cantilever plates. J. Appl. Mech., ser. E, 1965, 32, N 1.

62. Coull A.J. The direct stress analysis of swept cantilever plates of low aspect ratio. Aircraft Engng, 1965, 37, N 6.

63. Dalley J.W. Experimental values of deflections stresses, and influence coefficients for a thin square plate fixed along one edge. Defense Res. Lab. Rept. N 189, Univ. of Texas, 1948, Nov.

64. Черненко A.C. Численное решение задачи изгиба консольной пластинки методом конечных элементов,- Оптимиз. вычисл. и числ. анализ, Киев, 1980, с. 70-75.

65. Lin Xiao-song, Ynan Wen-bo. Solution of bending of cantilever rectangular plates under uniform surface-load bu the method of two-direction trigonometric series, Инъюн шусюэ хэ лисюэ, Appl. Math, and Mech., 1985, 6, № 8, 735-744.

66. Chen Xiang-sheng. The unsymmetrical bending of cantilever rectangular plates,-Appl. Math, and Mech., 1987, 8, № 11, 1091-1098.

67. Максименко B.H., По дружин Е.Г. Задача изгиба анизотропных консольных пластин,- Динам, и прочн. элементов авиац. конструкций, Новосибирск, 1987, с. 102-107.

68. Yang Xiao, Ning Jian-guo, Cheng Chang-jun. Bending of cantilever plates with the effect of transverse shear deformation,- Appl. Math, and Mech. (Engl, ed.), 1992, 13, № 1, 61-75.

69. Qingzhang Qu, Liang Xingfu. The bending of a rectangular cantilever plate,-Туму гунчэн сюэбао. China Civ. Eng. J., 1991, 24, № 2, 60-67.

70. Lin Xiaosong. A discussion on the direction of curvature of cantilever rectangular plates,- Xiangtan kuangye xueyuan xuebao. J. Xiangtan Mining Inst., 1994, №4, 51-54.

71. Gregory R. Douglas, Gu Charles C., Wan Frederic Y.M. Quart. The cantilever strip of varying thickness and the centre of shear,- J. Mech. and Appl. Math., 2002, 55, № 1, 29^18.

72. Рехвиашвили Г. Точное решение задачи изгиба тонкой прямоугольной консольной плиты в обычных дифференциальных уравнениях,- Мец-ниереба да технол., 2003, № 1-3, с. 55-58.

73. Белубекян М.В., Саноян Ю.Г. Расчет изгиба пластины-консоли,- Изв. АН Армении. Мех., 2004, 57, № 3, с. 11-17.

74. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. СПб, 1914, т. 2.

75. Henecky Н. Der Spannungszustand in rechteckigen Platten. München, 1913.

76. Woltaszak I.A., J. Appl. Mech., 1937, v. 4.

77. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. Госстройиздат, 1933.

78. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л., ГИТТЛ, 1947.

79. Гринберг Г.А., Уфлянд Я.С. Об изгибе прямоугольной пластины с закрепленным контуром под действием произвольной нагрузки — ПММ, 1949, т. 13, №4, С.413 —434.

80. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в теории упругости- М., Изд-во АН СССР, 1963, 347 с.

81. Репман Ю.В. Общий метод расчета тонких плит сб. Пластинки и оболочки, 1939, с. 149-179.

82. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстройиздат, 1958.

83. Даревский В.М., Шаринов И.Л. Новое решение задачи об изгибе защемленной по краям прямоугольной пластинки,- В сб. Успехи механики деформируемых сред, М., Наука, 1975, с. 183- 194.

84. Лурье С.А. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру.-МТТ, ТI, 1982, с. 159 168.

85. Lamble J.H., Choudhary J.P. Support reaction stresses and deflections for plates subjected to uniform transverse loading Quart. Trans. Instn. Naval. Archit. 1953, v.95, № 4, p.329-349.

86. Плихунов В.В. К расчету на прочность пластинчатых элементов конструкции,- Прочность, устойчивость и колебания тонкостей, конструкций летательн. аппаратов, М., 1981, с. 6-9.

87. Лурье С.А. Об изгибе пластин, частично защемленных по краю,- Прочность, устойчивость и колебания тонкостей, конструкций летательн. аппаратов, М., 1981, с. 20-24.

88. Hagedoni P. Eine Bemerkung zu schubelastischen Platten mit Klemmschei-denlagerung-Z. angew. Math, und Mech., 1983, 63, № 7, 326-329.

89. Otsu Satoshi, Uchiyama Takeshi, Dobashi Yoshizo. Analysis based on Reiss-ner theory for rectangular plates with all edges built-in-Bull. Fac. Eng. Hokkaido Univ., 1984, 123, 77-89.

90. Assiff Thomas C., Yen David H.Y. On the solutions of clamped Reissner -Mindlin plates under transverse loads,- Quart. Appl. Math., 1987, 45, № 4, 679-690.

91. Sub Weiming, Yang Guangsong. Rational finite element method for elastic bending of Reissner plates,- Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 1999, 20, № 2, 193-199.

92. Белубекян М.В., Саноян Ю.Г. Расчет изгиба жестко закрепленной пластины при равномерной нагрузке по уточненной теории,— Труды 4 Всероссийской научной конференции, ч. 1, Самара, СамГТУ, 2007, с. 42-45.

93. Sistla Rajaram. Error analysis of finite element results on plates with nonuniform gridsAIAA Journal, 1993, 31, № 6, 1075-1076.

94. Bahlmann D., Korneev V.G. A fast solver for the clamped plate problem in a rectangle based on a boundary potentials method,— Ж. выч. мат. и мат. физ., 1996, 36, № 7, с. 174-190 (англ.).

95. Сеницкий Ю.Э. Изгиб тонкой прямоугольной пластины при различных условиях закрепления на контуре,- Изв. вузов. Стр-во, 1998, № 6, с. 18—23.

96. Лычев С.А., Салеев C.B. Замкнутое решение задачи об изгибе жестко закрепленной прямоугольной пластины,- Вестн. Самар.гос. ун-та, 2006, № 2, с. 62-73.9

97. Голоскоков Д.П., Голоскоков П.Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит.- СПб.: СПГУВК, 2008, 254 с.

98. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.-ОГИЗ, ГИТТЛ, М.-Л., 1947, 355 с.

99. Голоскоков Д.П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры- СПб.: СПГУВК, 2006, 270 с.

100. Васильев В.З. Применение метода наложения неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра. В сб. Механика стержневых систем и сплошных сред. Труды Ленингр. инж.-строит. ин-та, 1973, № 73.

101. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции М., Наука, 1977.

102. Абрамян Б.Л. Об одной осесимметричной задаче для сплошного весомого цилиндра конечной длины — МТТ, 1983, № 1, с.55-62.

103. Goriupp.-Ingr.-Arch., 1948, р. 153.

104. Vander Eb W.J.- Ingenieur, 1950, v.26, p. 31.

105. Смотров A.A. Решение плит, нагруженных сплошной нагрузкой по закону трапеции. М.-Л., ОНТИ, 1936.

106. Канторович Л.В. Об одном прямом методе решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР, 1933, № 5.

107. Елпатьевский А.Н. К расчету консольных пластинок вариационным методом В.З. Власова. Инженерный сборник, 1960, т. XXVIII.

108. Кац A.M. Теория упругости. М., ГИТТЛ, 1956.

109. Семанов H.A., Варламов H.H., Баланин B.B. Судоходные каналы, шлюзы и судоподъемники, М., «Транспорт», 1970, 352 с.

110. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, М., ГИТТЛ, 1954, 856 с.

111. Рябухо A.M. Проектирование консольных железобетонных и обыкновенных массивных подпорных стен, Изд-во мин. коммун, хоз-ва, 1953, 235 с.

112. Schiff P.A. Sur l'équilibre d'une cylinder élastique. Journ. de math, pures et appliquées. Ser. 3, 1883, 9.

113. Прокопов B.K. О соотношении обобщенной ортогональности Папковича для прямоугольной пластинки. ПММ, 1964, 28, № 2.

114. Китовер К.А. Об использовании специальных систем бигармонических функций для решения некоторых задач теории упругости. ПММ, 1952, т. 16, вып. 6.

115. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полу полосе. ПММ, 1973, т. 37, вып. 4.

116. Устинов Ю.А. О полноте системы однородных решений теории плит. -ПММ, 1976, т. 40, вып. 3.

117. Постнов В.А., Ростовцев Д.М., Суслов В.П., Кочанов Ю.П. Строительная механика корабля и теория упругости, т.2, Л., «Судостроение», 1987.

118. Прокопов В.К., Сухотерин М.В. Вариационный метод решения задачи об изгибе консольной пластины Прикл. механика, АН УССР, 1978, т. 14, № 5, с. 122-127.

119. Prokopov V.K. and Sukhoterin M.V. Variational method for determining the flexure of a bracket J. International Applied Mechanics, New York, 1978, vol.14, No. 5, pp. 537-540.

120. Сухотерин M.B. Итерационный метод решения задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины. Прикл. механика, АН УССР, 1982, Т.18, № 5, с. 121-125.

121. Сухотерин М.В. Об одном методе исследования защемленной по контуру прямоугольной пластины Докл. АН Армянской ССР, 1987, ЬХХХУ, 4, с. 147-151.

122. Сухотерин М.В. К исследованию изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера Прикл. механика, АН УССР, 1990, т. 26, № 7, с. 120 - 124.

123. Сухотерин М.В. Решение задачи изгиба прямоугольной консольной пластины переменной толщины методом Канторовича- Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 251, с. 71 76.

124. Сухотерин М.В. К расчету плоских элементов гидрозатворов на гидростатическую нагрузку — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 252, с.111 120.

125. Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П.Королева, 2008, № 1(14), с. 174—180.

126. Сухотерин М.В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС — Гидротехническое стр-во, 2009, № 7, с. 47-49.

127. Сухотерин М.В. Прямоугольная консольная пластина под действием поперечной нагрузки,— Научно-технические ведомости СПбГГГУ, Информатика, телекоммуникации, управление, 2009, № 4 (82), с. 101-106.

128. Сухотерин М.В. Расчет на изгиб прямоугольных защемленных панелей с одним свободным краем Гидротехническое стр-во, 2009, № 10, с.51-56.

129. Сухотерин М.В. Изгиб защемленной ребристой панели- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физ.-мат. науки», 2009, № 4 (88), с. 19-24.

130. Сухотерин М.В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин. С. Петербург, 2009, Изд-во Политехнического ун-та, 265 с.

131. Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Задача изгиба прямоугольной консольной пластины Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научн. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып.Ш.- с. 172 - 179.

132. Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Численные результаты решения задачи изгиба прямоугольной консольной пластины Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научн. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып. III.- с. 179 - 182.

133. Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной пластины, два противоположных края которой защемлены, а два других свободны Журнал университета водных коммуникаций, 2009, вып. IV, с. 193-198.

134. Сухотерин М.В. Изгиб консольной пластины-ВИНИТИ, № 889-77, Деп., 7 с.

135. Сухотерин М.В. Применение вариационного метода к задаче изгиба консольной пластины переменной толщины-ВИНИТИ, № 4012-77, Деп., 13 с.

136. Сухотерин М.В. Однородные решения в задаче изгиба консольной пластины.- ВИНИТИ Деп. 3.06.1983, № 3005 83, 12 с.

137. Сухотерин М.В. Случай произвольной поперечной нагрузки в задаче изгиба консольной пластины.-ВИНИТИ Деп. 25.02.1985, № 1421 85, 6 с.

138. Сухотерин М.В. Задача изгиба прямоугольной консольной пластинки Рейсснера. Материалы Всерос. науч.- метод, конф. С. Петербург, ун та водных коммуникаций. Тез. докл. СПб, 1994, с. 43-45.

139. Голоскоков П.Г., Сухотерин М.В. Приложение теории поля.-Л., ЛИВТ, 1987, 50 с.

140. Коптев A.B., Сухотерин М.В. Элементы математической физики.-СПб, СПГУВК, 2001, 20 с.