автореферат диссертации по транспорту, 05.22.01, диссертация на тему:Прогнозирование пассажиропотока метрополитена на основе математических моделей

I М \ i ■„

На правах рукописи

.С

Леванова Дарья Сергеевна

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПАССАЖИРОПОТОКА МЕТРОПОЛИТЕНА НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Специальность 05.22.01 - «Транспортные и транспортно-технологические системы страны, ее регионов и городов, организация производства на

транспорте»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения».

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Герасименко Петр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Осьминин Александр Трофимович

кандидат технических наук,

доцент Шестеров Евгений Александрович

Ведущая организация: ОАО Научно-исследовательский и проектно-изыскательский институт "ЛЕНМЕТРОГИПРОТРАНС"

Защита диссертации состоится « 29 » ноября 2005 года в _на

заседании диссертационного совета Д218.008.03 в Петербургском государственном университете путей сообщения по адресу : 190031, г. Санкт-Петербург, Московский пр., д.9, ауд. 7-520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан «_» октября 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук, доцент У Блажко Л.С.

^г 1192771

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

Метрополитен занимает лидирующее положение среди транспортных средств, обеспечивающих перевозку пассажиров в таком крупном мегаполисе как Санкт-Петербург.

Анализ работы метрополитена показывает, что в Санкт-Петербурге провозная способность наиболее загруженных линий, особенно в часы «пик», не соответствует потребностям в перевозках населения.

Большая загрузка метрополитена не только ухудшает условия перевозки пассажиров, но и сокращает сроки службы подвижного состава и отрицательно сказывается на надежности его работы. Это в будущем может вызвать отказы подвижного состава, а значит, и сбои в работе. Организация пассажироперевозок на метрополитене зависит от размеров и закономерностей пассажиропотоков. Именно пассажиропотоки предопределяют развитие сети метрополитена, мощность технического оснащения, количество транспортных средств, размеры депо и заводов по ремонту транспортных средств, время ремонта с наименьшими экономическими потерями и т.п.

В соответствии с пассажиропотоками распределяются транспортные средства по линиям, регулируется выпуск транспортных средств по часам суток, устанавливается режим работы станций и эскалаторов и т.п. Поэтому изучение пассажиропотоков метрополитена является одной из важнейших проблем, поскольку на основании данных о пассажиропотоках решаются задачи проектирования, эксплуатации и планирования работы метрополитена. Исследование пассажиропотока метрополитена для решения важнейших задач основывается на построении его математической модели.

1.2. Цель работы и задачи исследования

Целью настоящей диссертационной работы является разработка математической модели входного пассажиропотока, на базе которой необходимо решить практические классификационные и экономические

задачи метрополитена.

Основными задачами исследования являются:

анализ статистических характеристик входного пассажиропотока метрополитена;

решение практических задач метрополитена, связанных с расчетом потерь оплаты проезда, прогнозом сезонных изменений входного пассажиропотока, определением дохода метрополитена и улучшением его работы;

выработка рекомендаций по построению математической модели входного пассажиропотока для решения поставленных метрополитеном задач;

разработка статистически обоснованной модели.

1.3. Методы исследования

В диссертационной работе для решения поставленных задач были использованы как классические, так и современные методы статистической обработки данных наблюдений. В их число входят: классический метод наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов, критерии X (К. Пирсона), Колмогорова и другие методы проверки гипотез, алгоритм-тест Голдфелда-Квандта для определения гетероскедастичности случайной составляющей регрессионной модели, критерий Дарбина-Уотсона для обнаружения автокорреляции случайных составляющих, псевдообращение матриц.

1.4. Научная новизна

Научную новизну работы составляют:

1. Впервые разработанная стохастическая математическая модель входного пассажиропотока метрополитена. Исследована ее точность, надежность. Модель позволяет осуществлять прогнозирование входного пассажиропотока с заданной надежностью прогноза.

2. На основе предложенной методики создан комплекс программ по оцениванию параметров аппроксимирующих зависимостей пассажиропота^йч^решению задач метрополитена.

* ¡¡Л*"

; 2

1.5. Практическая ценность работы

1. Решены конкретные практические задачи по улучшению работы метрополитена и сокращению затрат на проведение внештатных и регламентных работ с использованием математической модели:

прогнозирование потерь оплаты проезда на метрополитене в нештатных ситуациях с помощью построения функции потерь;

прогнирование сезонных изменений входного пассажиропотока метрополитена на основе математической модели;

проведение типизации станций с целью выделения средней станции среди класса станций утреннего и вечернего пиков максимума на примере третьей линии метрополитена;

статистическое исследование пассажиропотока для использования усредненной модели по рабочим дням недели;

прогнозирование дохода метрополитена от продажи льготных проездных билетов после принятия закона о монетизации льгот на основе расчета коэффициентов.

2. Создана методика построения математической модели входного пассажиропотока метрополитена.

1.6. Реализация и внедрение результатов работы

Разработанная модель используется на метрополитене Санкт-

Петербурга. Внедрение дало положительный результат, что подтверждено соответствующими документами.

1.7. Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и получили одобрение: на неделе науки 2003 в ПГУПС; на научном семинаре кафедры «Высшая математика»; на 57-й Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов «Актуальные проблемы современного строительства» СПбГАСУ, С-Петербург, 2004; на 58-й Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов

«Актуальные проблемы современного строительства» СПбГАСУ, С-Петербург, 2005.

1.8. Работы по теме диссертации

Автор имеет десять работ по теме диссертации.

1.9. Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Работа содержит 137 страниц основного текста, 44 рисунка, 46 таблиц, перечень используемых источников из 64 наименований и приложения.

2. Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, определяется класс рассматриваемых задач. Ставятся цели и задачи исследования.

Диссертационная работа посвящена вопросу решения важных задач метрополитена на основе разработанной модели входного пассажиропотока.

В первой главе перечислены основные факторы, влияющие на движение пассажиропотоков, и задачи, решаемые метрополитеном. Рассматривается современное состояние и задачи математического моделирования пассажиропотоков метрополитена. Здесь также проведен анализ состояния работ по теме диссертации. В данной области необходимо отметить интересные результаты, полученные Соколовым В.Б., Гвоздяковым B.C., Малиновым В.М., Михайловым А.Ю., Лагеревым Р.Ю., Гиниятуллиным Р.Г. Однако, в данных исследованиях используются детерминированные модели. Они имеют очень сложное и громоздкое представление и не позволяют оценить их точность и надежность. Прогнозирование пассажиропотока производится по средним значениям входного пассажиропотока предыдущих лет, что значительно увеличивает погрешность, так как не учитывается тот факт, что пассажиропоток представляет собой случайный процесс.

Поэтому необходимо построить стохастическую математическую модель пассажиропотока, имеющую аналитическое задание, позволяющую оценить ее точность, надежность, позволяющую прогнозировать значения

4

входного пассажиропотока с заданной надежностью прогноза. Кроме того, следует решить ряд прикладных задач метрополитена Санкт-Петербурга на основе построенной модели.

В конце главы рассмотрены основные этапы математического моделирования, постановка задачи математического моделирования входного пассажиропотока, приводятся основные положения работы.

Во второй главе рассматривались дифференциальный и интегральный пассажиропотоки. Под пассажиропотоком понималось количество людей, вошедших в метрополитен за определенный интервал времени (дифференциальный пассажиропоток) и суммарное количество вошедших пассажиров от начала работы метрополитена до фиксированного времени (интегральный пассажиропоток).

Построение методики получения математической модели предполагает проведение анализа исходных данных. В связи с этим, был проведен анализ входного пассажиропотока на примере данных АСКОП-М об абсолютных значениях пассажиропотока по всем средам 2001 года на примере станции «Ломоносовская» за каждый час рабочего времени метрополитена. Найдены основные числовые характеристики, проведена проверка гипотез о законах распределения. Установлено по критерию Пирсона, что случайная величина, принимающая значения входного пассажиропотока, распределена по нормальному закону с уровнем значимости от = 0.05, не согласуется с данными измерений. Поскольку все значения генеральной совокупности У положительны, была проверена гипотеза об усеченном нормальном законе распределения, которая также была отвергнута.

Под аналитической моделью в диссертационной работе понималась зависимость дифференциального или интегрального пассажиропотоков от времени работы метрополитена в течение суток. Входной пассажиропоток представляет собой динамический ряд, каждый уровень которого является случайной величиной. Для построения модели входного пассажиропотока необходимо выбрать спецификацию тренда. Поэтому далее было проведено

исследование спецификации функции аппроксимации на основе автокорреляции.

По построенным коррелограммам определено, что при малых лагах коэффициенты автокорреляции близки к 1 для интегрального пассажиропотока, поэтому кривую интегрального пассажиропотока лучше описать функцией линейной регрессии. Для дифференциального пассажиропотока было получено, что целесообразно рассматривать кусочно- \

линейную функцию регрессии.

Третья глава диссертационной работы посвящена выбору наилучшей функции аппроксимации входного пассажиропотока по наименьшей погрешности приближения и достаточной простоте аналитического задания модели.

Ввиду того, что генеральное распределение случайной величины У не известно, не представляется возможным построить модельную функцию регрессии для входного пассажиропотока. По той же причине нет возможности выбрать среднюю квадратическую функцию регрессии. Поэтому в исследованиях рассматривались функции средней квадратической эмпирической регрессии.

Уравнение кривой эмпирической регрессии случайной величины У на

случайную величину X имеет вид: у х = /(*)• Наблюдения у1 связаны со значениями функции регрессии /(*) следующим соотношением:

У,=УХ + м,, где Ух=/(х1), а и1,1=1,п - выборочные значения

случайной составляющей (остатки). Поскольку изменение только одной временной переменной X, не может вобрать в себя все причины изменения пассажиропотока У, то случайная составляющая и1 отражает совокупное влияние на К всех других факторов.

Для интегрального пассажиропотока были рассмотрены линейная, степенная, показательная, кусочно-линейная функции регрессии и вопросы

б

интерполяции. Их аналитическое задание: ух = 2391.3 + 2628.4х - для

линейной, = 1011.8-х1*ш - для степенной и у"х = 3828.3 • (1.176)' для показательной функции (Рис.1).

Рис. 1. Моделирование интегрального пассажиропотока. Нормы погрешностей для функций сведены в табл. 1.

Таблица 1

линейной степенной показательной

Квадратичная |ду || 3136.1 9585.6 16639

Равномерная Цду,| 6755.3 25747 49710

Полученное аналитическое задание кусочно-линейной модели выглядит следующим образом:

y, =

-4698.2 + 334.77л, хе [8;79.048), 3849 +226.65л, хе [79.048;165.73), 14427 + 162.82л:, хе [165.73;197.92), 37783 +44.807л:, хе [197.92;240).

Нормы погрешностей приближения интегрального пассажиропотока кусочно-линейной функцией регрессии сведены в табл. 2.

Таблица 2

Абсолютные Относительные

Квадратичная 431.55 0.10323

Равномерная |Ду,|| 2026.8 0.46759

График построенной кусочно-линейной модели приведен на рис. 2.

х и' Кусочно-линейная модель

— иншегр пассажиропоток кус -лин Функция

0 79 048 165 73 197 92 240

Рис.2. Кусочно-линейная модель интегрального пассажиропотока.

Для дифференциального пассажиропотока были рассмотрены кусочно-линейная функция регрессии и интерполирование многочленами различной степени и сплайнами.

Кусочно-линейная функция приближения дифференциального пассажиропотока будет иметь вид:

43.416 + 4.7469Л, jce [1,17.08), -174.07 + 17.483*, *е [17.08;37.022), -681.24 + 31.182*, *е [37.022;39.679), у'~" =• 1020-И.693л, *е[39.679;65.353), 346.49-1.3872*, *е [65.353;108.02), 38.844 + 1.4608*, *€ [Ю8.02;146.92), 675.49 - 2.8726*, *е [146.92;240].

Графики кусочно-линейной функции и дифференциального пассажиропотока представлены на рис. 3.

Кдсочно-линейная модель

0 8 18 3«0

Рис. 3. Кусочно-линейная модель дифференц. пассажиропотока.

Нормы погрешностей приближения дифференциального пассажиропотока кусочно-линейной функцией регрессии сведены в табл. 3.

Таблица 3

Абсолютные Относительные

Квадратичная |Ду, 9.0765 0.039656

Равномерная 59.609 0.45595

На рис. 4а и 46 приведены графики построенных также моделей на основе кубического сплайна, приближающих интегральный и дифференциальный пассажиропотоки, заданные за каждый час, и значения интегрального и дифференциального пассажиропотоков, заданные за каждые 15 минут.

Сплайн-интерполяция

А

о данные за час

- сплайн 3-ей степени

данные за 15 минут

\ ^

V

V

11 13 15 17 X

Рис. 4а. Сплайн-интерполяция дифференц. пассажиропотока.

СпяаОк-интерполяция

5

4 5 4

3 5 3

2 5 2 ■ 1 5 1

О 5

О,

I

У

У

у

/ :

о данные за час

-- сплайн З-ей степени

данные за 15 минут

11 13 15 17 19 21 X

Рис. 46. Сплайн-интерполяция интегрального пассажиропотока.

Абсолютные и относительные нормы погрешностей приближения интегрального пассажиропотока кубическим сплайном сведены в табл. 4.

Таблица 4

Абсолютные Относительные

Квадратичная ||Ду,||, 41.283 0.01512

Равномерная ЦДу, Ц^ 202.18 0.11924

Абсолютные и относительные нормы погрешностей приближения дифференциального пассажиропотока кубическим сплайном сведены в табл. 5.

Таблица 5

Абсолютные Относительные

Квадратичная ¡Д у, ^ 57.83 0.055839

Равномерная ЦДу,^ 229.22 0.37189

Таким образом, наименьшую норму погрешности приближения входного пассажиропотока (дифференциального и интегрального) имеет математическая модель на основе кубических сплайнов. Такая модель имеет сложное и громоздкое аналитическое задание. Поэтому модели на основе кубических сплайнов целесообразно предпочесть более простую для вычисления, построения и аналитического задания кусочно-линейную регрессионную модель. Как показали исследования, нормы погрешностей этих двух моделей имеют несущественное отличие.

Глава 4 посвящена анализу качества построенных моделей. Здесь были проверены основные условия применимости регрессионных моделей для случайной составляющей: равенство нулю математического ожидания, гомоскедастичность, некоррелированность, распределение по нормальному закону.

Проверка гипотезы о числовых значениях математических ожиданий остатков показала, что первое условие Гаусса-Маркова выполнено.

и

Проверка на гетероскедастичность проводилась с помощью алгоритма-теста Голдфелда-Квандта, наиболее подходящего для исходных данных. Было получено, что гетероскедастичность наблюдается на пятом и седьмом участках, соответствующих дневным и завершающим часам работы метрополитена.

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной составляющей показала, что при построении модели для рабочих дней, если исключить единичные выбросы, составляющие не более 2% от общей выборки, случайная составляющая может считаться распределенной по нормальному закону.

Результаты теста Дарбина-Уотсона показали, что на большинстве временных участков присутствует положительная автокорреляция. Это значит, что случайные величины не являются независимыми между собой. Следовательно, условия применимости такой регрессионной модели не выполняются.

В этом случае рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК) заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) для построения регрессионной модели входного пассажиропотока метрополитена.

При построении ОМНК-модели необходимо учитывать, что может возникнуть большая погрешность приближения входного пассажиропотока ОМНК. Это связано с тем, что матрица, обратная ковариационной может быть близка к сингулярной. Поэтому результаты построения линии регрессии по ОМНК могут быть некорректными. В этой ситуации рекомендуется вместо обратной матрицы искать псевдообратную. Например, при построении модели входного пассажиропотока при помощи ОМНК на станции «Ломоносовская» такая ситуация возникла на шестом и седьмом участках. Применение псевдообращения матриц ковариации решило эту проблему.

Аналитическое задание кусочно-линейных моделей, построенных

МНК и ОМНК, выг лядит следующим образом:

12

22.827 + 5.0565 - л:, д; е [8; 20],

-134.7 + 14.693 • х, *е[20;32],

-374.49+ 21.373-л, *е[32;40],

966.99 — 11.045• дг, хе [40;60],

338.75-1.4482 *е[б0;100],

141.38 + 0.6532-*, дге [100,155],

641.38-2.6941 ле [155;240].

17.011 +6.898 *е[8;20], -162.95 + 17.116 *, хе [20;32], -480.94 + 26.124 *е[32;40], у1~ш* 1040.3—12.111 -лг, [40;60], 389.59-1.8855хе[б0;100], 66.799 + 1.2526-дг, *6 [100;155], 651.63-2.7596 х, лее[155;240].

Далее был проведен анализ эффективности построенных моделей: проверка гипотез о значимости параметров построенных регрессионных моделей и уравнений регрессии в целом. При помощи критерия Стьюдента установлено, что для МНК параметры а и Ь значимы на каждом интервале, за исключением параметра а на первом участке. Аналогично для ОМНК параметры а и Ь значимы на каждом интервале, за исключением параметра а на первом и втором участках.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом давалась с помощью Р- критерия Фишера. Получено, что уравнения регрессии при ОМНК и МНК значимы при 5% уровне значимости на всем временном интервале.

Для построенных регрессионных моделей определены доверительные интервалы для параметров Д, и а0 «истинной» регрессии с надежностью 1-ог = 0.95.

Точность построенных доверительных интервалов для МНК и ОМНК приведена в табл. 6.

____Таблица 6

МНК ОМНК

Номер интервала для а0 для Д, для а0 для Д,

1 62,79 0,35 96,23 0,5395

2 109,71 0,34 229,32 0,715

3 306,26 1,295 306,26 1,295

4 120,77 0,0905 148,29 0,115

5 35,45 0,0055 51,74 0,00875

6 29,44 0,00195 36,54 0,0024

7 27,5 0,0006 27,5 0,0006

Из таблицы видно, что значения точности для ОМНК ненамного отличаются от значений для МНК на тех участках, где установлена значимость моделей.

Также построены доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при моделировании интегрального пассажиропотока линейной, степенной, показательной и кусочно-линейной функций регрессии. На рис. 5 приведен график линейной функции регрессии и ее доверительные интервалы.

х ц)1 Входной пассажиропоток

• Данные пассажиропотоке —— Линейная регрессия - - Доверительный интервал 1 -'

; 1 у у* "

; , кУ-'' < ^ ' : Л . " .У'*' " ■

О-•-1-1-■-1-'-1-'-1-1-

5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 1

Время работы метрополитена

Рис. 5. Доверительные интервалы для линейной модели.

Достоверность кусочно-линейной модели проверялась путем сравнения входного пассажиропотока за различные годы. Модель строилась на основании данных за 2001 год. Данные входного пассажиропотока за 2004 год практически полностью попадают в доверительный интервал, построенный для модели, разработанной в диссертационной работе. Иллюстрация приведена на рис. 6.

Проверка достоверности построенной модели

Рис. 6. Проверка достоверности кусочно-линейной модели.

В главе 5 диссертационного исследования решены практические задачи по улучшению работы метрополитена.

Решена задача выбора времени ремонта из условия достижения минимальных потерь оплаты проезда. Известно, что пассажиры метрополитена оплачивают проезд с помощью трех видов проездных документов: 1-го типа - платные проездные документы; 2-го типа -льготные проездные документы; 3-го типа - жетоны. Располагая функциональными зависимостями скорости пассажиропотоков по типам проездных документов от времени суток и задавая время перерыва в работе метрополитена, легко вычислить количество не обслуженных метрополитеном пассажиров.

Для этих целей имеет смысл ввести функцию двух переменных, которая представляет собой интеграл от скорости пассажиропотока с переменными нижним и верхним пределами:

Функция потерь оплаты проезда

х 10

Диаграмма расчета потерь 1800,-.-,-,-

ш 1600 а

1 1400 а

§ 1200 с

| 1000 X

о

£ 800 5

о 600 $

§ 400 Т 200

15 мин 30 мин 45 мин 1 час

Продолжительность нештатной ситуации

Рис. 76. Диаграмма расчета потерь. В формуле (1) 5р(г) - аналитическое выражение для скорости

пассажиропотока с р-ым проездным документом, представляющее собой функциональную зависимость числа пассажиров вошедших в метрополитен

за единицу времени от времени суток I; - отрезок времени

выполнения профилактических или ремонтных работ;

Таким образом, интеграл при заданных значениях пределов интегрирования (определенный интеграл) равен количеству пассажиров, вошедших в метрополитен за период времени Формула (1) дает

возможность оценить общее число пассажиров, которые не будут обеспечены услугами метрополитена в период выполнения профилактических работ, и определить непосредственные убытки метрополитена.

На рис. 7а и 76 приведена функция потерь оплаты проезда и диаграмма, по которой легко определить количество пассажиров, не обслуженных метрополитеном в зависимости от времени начала работ и продолжительности нештатной ситуации. По ним также легко определить потери оплаты проезда или выбрать время проведения работ с минимальными потерями оплаты проезда.

В той же главе проведено выделение типов станций на основе данных АСКОП по дифференциальному пассажиропотоку станций 3-ей линии метрополитена Санкт-Петербурга.

Станции можно разделить на 2 типа: Максимум наблюдается в течение 4-го часа работы метрополитена (утренний пик максимума)

Максимум наблюдается в течение 13,14 часов работы метрополитена (вечерний пик максимума)

Хотя в целом все станции 3-ей линии метрополитена относятся к категории "двугорбых", т.е. имеют два максимума, за исключением станций метро "Невский проспект" и "Площадь Александра Невского". Данные значения оправданы географическим расположением станций метрополитена. Графически результаты представлены на рис. 8а и 86.

В работе также была проведена проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий и дисперсий остатков приближения входного пассажиропотока станции «Ломоносовская» линейной парной регрессией.

Значения нормироанново входного пассажиропотока для утреннего типа станций

5 45 7 00 9 00 11 00 13 00 15 00 17 00 19 00 21 00 23 00 1 00

Рис. 8а. Утренний тип станций.

Значения нормироанноео входного пассажиропотока для вечернего типа станциО

5 45 7 00 9 00 11 00 13 00 15 00 17 00 19 00 21 00 23 00 1 00

Рис.8б. Вечерний тип станций.

Гипотеза принимается. Поэтому достаточно математическую модель только по всем средам года.

построить

Для решения ряда задач метрополитена необходимо полное представление о входном пассажиропотоке. Для этого нужно исследовать, как изменяется входной пассажиропоток в зависимости от времени года и от времени суток. Такую возможность дает математическая модель сезонных изменений. Ее можно построить с использованием линейной модели множественной регрессии.

Сезонные изменения пассажиропотока

А« 5

Месяц

Время работы метрополитена

Рис. 9. Модель сезонного изменения входного пассажиропотока.

Для наиболее точного представления входного пассажиропотока была построена кусочно-плоскостная модель. Для этого промежутки значений каждого фактора были разбиты на 4 части, на каждой из которых строится линейная модель множественной регрессии.

В результате моделирования была получена поверхность. Она приведена на рис. 9.

Кроме того, была решена задача прогнозирования дохода метрополитена от монетизации льгот на проезд в 2005 году. В данной работе предлагается математическая модель расчета дохода метрополитена от продажи льготных проездных билетов и приводится исследование характера изменения дохода в зависимости от времени года для ряда станций. Она основывается на стохастической модели скорости входного пассажиропотока метрополитена. В качестве исходных данных приняты

19

данные по 4-ой категории (льготные пассажиры) Автоматизированной системы контроля оплаты проезда на метрополитене (АСКОП-М) за предыдущие годы. На их основе получена функциональная зависимость множественной регрессии скорости пассажиропотока от времени суток и времени года. Она позволяет сформировать помесячный интегральный пассажиропоток в зависимости от времени года и вычислить количество льготных пассажиров, воспользовавшихся услугами метрополитена. Это в свою очередь дает возможность спрогнозировать доход, полученный от продажи льготных проездных билетов.

Сезонные изменения шссаллропотока льготников по рабочим дням

Месяц . „

Время работы метрополитена

Рис. 10. Модель прогноза сезонных изменений пассажиропотока.

Модель позволяет определить значения входного пассажиропотока в любой день года и любой час суток в течение времени работы метрополитена.

Опытные значения, полученные из АСКОП-М, интерполированы сплайн-поверхностью. Построенная поверхность интегрального пассажиропотока для станции «Ломоносовская» приведена на рис. 10.

В работе анализируются функции изменения дохода метрополитена в зависимости от времени года для различных станций. На рис. 11 представлены результаты расчета за каждый месяц относительных значений

(среднего и предельных) пассажиропотока для станции «Ломоносовская», а также разности максимального и минимального относительных значений пассажиропотока. Под относительным значением понимается отношение абсолютных значений интегрального пассажиропотока к среднему значению интегрального пассажиропотока за февраль месяц.

Относительный пассажиропоток льготннков по рабочим дням

Месяц

Рис. 11. Диаграмма прогноза пассажиропотока льготников.

По полученным средним значениям (рис. 11), зная входной пассажиропоток льготников в феврале и стоимость льготного проездного билета, можно спрогнозировать доход метрополитена от льготников за любой другой месяц года. «Коридор» из минимальных и максимальных средних значений на рис. 11 играет роль доверительного интервала для указанных средних.

В главе 6 диссертационной работы описан комплекс программ по оцениванию параметров аппроксимирующих зависимостей пассажиропотоков метрополитена. Метрополитен в пиковые часы рабочего времени суток обеспечивает перевозку до 260 тысяч пассажиров в час. Система автоматического контроля оплаты проезда фиксирует число

вошедших пассажиров за каждые 5 минут. Таким образом, входной суточный пассажиропоток представляет собой десятки тысяч чисел.

Аппроксимирующие зависимости входного пассажиропотока представляют собой десятки сложно заданных функций для каждой станции метрополитена. Для статистической обработки полученных зависимостей <

создан комплекс программ для 111111 Ма1ЬаЬ.

Программы реализуют статистическую обработку параметров регрессионного анализа пассажиропотоков, проводят анализ остатков аппроксимации, реализуют критерий Дарбина-Уотсона, критерий Фишера и Стьюдента для аппроксимирующих зависимостей станций метрополитена.

Разработанный комплекс программ позволяет в кратчайшее время провести статистический анализ по аппроксимирующей зависимости любой станции метрополитена.

3. Основные выводы и результаты работы: В диссертационной работе решены важные задачи метрополитена, связанные с улучшением его работы, уменьшением расходов на его эксплуатацию:

прогнозирование потерь оплаты проезда на метрополитене в нештатных ситуациях с помощью построения функции потерь;

прогнозирование сезонных изменений входного пассажиропотока |

метрополитена на основе математической модели;

проведение типизации станций с целью выделения средней

1

станции среди класса станций утреннего и вечернего пиков максимума

на примере третьей линии метрополитена;

статистическое исследование пассажиропотока для использования

усредненной модели по рабочим дням недели;

прогнозирование дохода метрополитена от продажи льготных

проездных билетов после принятия закона о монетизации льгот на

основе расчета коэффициентов.

Для решения вышеперечисленных задач разработаны

математические модели входного пассажиропотока метрополитена. Для

22

этого были проведены исследования входного пассажиропотока как случайной величины. Исходными данными служили матрицы значений входного пассажиропотока АСКОП-М. Получены основные характеристики выборки.

С помощью точечных и интервальных оценок были оценены точность и надежность параметров моделей. В работе выявлено, что полученные зависимости являются значимыми на всем временном интервале. Исследования показали возможность построения кусочно-линейной модели на основе обобщенного метода наименьших квадратов с применением псевдообращения матриц ковариации.

В диссертационной работе создан комплекс программ по оцениванию параметров аппроксимирующих зависимостей пассажиропотоков метрополитена. Он позволяет в кратчайшее время провести статистический анализ по аппроксимирующей зависимости любой станции метрополитена.

4. Работы по теме диссертации

1. Герасименко П.В., Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Корреляционный анализ связи различных типов входных пассажиропотоков метрополитена, Математика в ВУЗе. Труды международной научно-методической конференции, Великие Луки, июнь 2002 г.

2. Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Аппроксимация опытных данных пассажиропотока метрополитена линейным, кубическим сплайном и осредняющим многочленом, Материалы международной научно-методической конференции «Математика в ВУЗе», Петрозаводск, июнь 2003 г., с. 203.

3. Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Моделирование входного пассажиропотока кубическим сплайном, Материалы научно-методической конференции «Шаг в будущее» (Неделя науки 2004), СПб, 2004 г., с. 189.

4. Герасименко П.В., Кударов P.C., Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Многомерные матрицы статистических данных пассажиропотоков

23

метрополитена. Материалы П1 международной научно - практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)», СПб, МБИ, 2004, с. 272.

5. Герасименко П.В., Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Построение функции потерь оплаты проезда на метрополитене в нештатных < ситуациях, Труды Международной научно-методической конференции «Математика в ВУЗе», СПб, 2004, с. 131 -137.

6. Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Комплекс программ по оцениванию параметров аппроксимирующих зависимостей пассажиропотоков метрополитена, Труды Международной научно-методической конференции «Математика в ВУЗе», СПб, 2004, с. 198-199.

7. Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Математическое моделирование пассажиропотока станции «Пионерская» метрополитена г. Санкт-Петербурга. - Известия ПГУПС. СПб.: ПГУПС, 2004. - с. 94-99.

8. Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Автоматизированный комплекс программ моделирования входного пассажиропотока метрополитена. Труды 58-й международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов «Актуальные проблемы современного строительства» СПбГАСУ, С-Петербург, 2005

(в печати). ,

9. Герасименко П.В., Кударов P.C., Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Прогнозирование дохода метрополитена от монетизации льгот на

проезд в 2005 году. Материалы IV международной научно - 1

практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)», СПб, МБИ, 2005, (в печати).

10. Хрущева Д.С. (Леванова Д.С.). Построение множественной регрессионной модели сезонных изменений входного пассажиропотока метрополитена. - Известия ПГУПС. СПб.: ПГУПС, 2005. - с.34-36.

Подписано к печати 25.10.05. Печ. л. - 1,5

Печать - офсетная. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 Тираж 100 экз. Заказ 1159.

РТП ПГУПС. 190031, с-Петербург, Московский д. 9

<

í i

t

»

s

»

í

>1

ti

к

i

t

1221 0 7 8

РНБ Русский фонд

2006-4 18565

Введение.

Глава 1. Современное состояние и задачи прогнозирования и математического моделирования пассажиропотоков метрополитена.

1.1. Анализ факторов, определяющих движение пассажиропотоков и задачи, решаемые метрополитеном.

1.2. Роль и значение прогнозирования и математического моделирования пассажиропотока в решении задач метрополитена с учетом тенденций его развития.

1.3. Анализ состояния работ по прогнозированию и математическому моделированию пассажиропотоков метрополитена.

1.4. Постановка задачи прогнозирования и математического моделирования входного пассажиропотока метрополитена города Санкт-Петербург.

Глава 2. Исследование числовых характеристик и законов распределения входного пассажиропотока.

2.1. Дифференциальный и интегральный входные пассажиропотоки.

2.2. Оценивание числовых характеристик входного пассажиропотока станций метрополитена.

2.3. Проверка гипотез о законах распределения почасовых пассажиропотоков в течение суток.

2.4. Исследование спецификации функции аппроксимации на основе автокорреляции.

2.4.1. Исследование для интегрального пассажиропотока.

2.4.2. Исследование для дифференциального пассажиропотока.

Глава 3. Выбор функции аппроксимации для моделирования входного пассажиропотока.

3.1. Сравнение различных моделей для интегрального пассажиропотока

3.1.1. Классические парные линейная, степенная и показательная регрессионные модели.

3.1.2. Моделирование с помощью кусочно-линейной функции.

3.1.3. Моделирование с помощью кубического сплайна.

3.2. Сравнение различных моделей для дифференциального пассажиропотока.■.

3.2.1. Моделирование с помощью кусочно-линейной функции.

3.2.2. Моделирование с помощью кубического сплайна.

3.3. Анализ средней ошибки аппроксимации для построенных моделей.

Глава 4. Анализ качества построенных моделей прогноза.

4.1. Проверка выполнения условий Гаусса-Маркова для остатков.

4.1.1. Проверка гипотез о числовом значении математических ожиданий остатков.

4.1.2. Проверка гомоскедастичности остатков.

4.1.3. Исследование автокорреляции остатков.

4.1.4. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения остатков

4.1.4.1. Исследование остатков со средним.

4.1.4.2. Исследование остатков с кусочно-линейной функцией регрессии.

4.2. Построение кусочно-линейной модели по обобщенному методу наименьших квадратов.

4.3. Проверка гипотез о значимости параметров построенных регрессионных моделей и уравнений регрессии в целом.*.

43г1.Исследование для-дифференциального пассажиропотока.

4.3.2. Исследование для интегрального пассажиропотока.

4.4. Построение доверительных интервалов для параметров построенных регрессионных моделей.

4.4.1. Исследование для дифференциального пассажиропотока.

4.4.2. Исследование для интегрального пассажиропотока.

4.5. Проверка достоверности выбранной модели прогноза.

Глава 5. Решение практических задач метрополитена.

5.1. Прогнозирование потерь оплаты проезда на метрополитене в нештатных ситуациях с помощью построения функции потерь.

5.2. Выделение средней станции среди класса станций метрополитена Санкт-Петербурга.

5.2.1. Выделение типов станций на основе данных АСКОП-М по дифференциальному пассажиропотоку станций 3-ей линии метрополитена Санкт-Петербурга.

5.2.2. Средние значения и дисперсия пассажиропотока станций 3-ей линии метрополитена Санкт-Петербурга.

5.3. Статистическое исследование пассажиропотока для построения модели по рабочим дням недели.

5.4. Прогноз сезонных изменений входного пассажиропотока метрополитена на основе математической модели.

5.5. Прогнозирование дохода метрополитена от монетизации льгот на проезд в 2005 году.

Глава 6. Комплекс программ по оцениванию параметров аппроксимирующих зависимостей пассажиропотоков метрополитена

6.1. Подпрограмма т — Обработка исходных данных.

6.2. Подпрограмма Р1ШИе\vNext. т - применение МНК и ОМНК.

6.3. Подпрограмма П^Нем?Мех12. т — построение доверительных интервалов. б. 4. Подпрограмма ПшКеюЫехХЗ. т — построение множественной функции регрессии.

6.5. Подпрограмма FirstNewNext4. т — пострение диаграмм функции потерь оплаты проезда.

6.6. Подпрограмма FirstNewNext5. т — построение функции потерь оплаты проезда.'.

Метрополитен занимает лидирующее положение среди транспортных средств, обеспечивающих перевозку пассажиров в таком крупном мегаполисе как Санкт-Петербург.

Анализ работы метрополитена показывает, что в Санкт-Петербурге провозная способность наиболее загруженных линий, особенно в часы «пик», не соответствует потребностям в перевозках населения.

Большая загрузка метрополитена не только ухудшает условия перевозки пассажиров, но и сокращает сроки службы подвижного состава и отрицательно сказывается на надежности его работы. Это в будущем может вызвать отказы подвижного состава, а значит, и сбои в работе. Организация пассажироперевозок на метрополитене зависит от размеров и закономерностей пассажиропотоков. Именно пассажиропотоки предопределяют развитие сети метрополитена, мощность технического оснащения, количество транспортных средств, размеры депо и заводов по ремонту транспортных средств, время ремонта с наименьшими экономическими потерями и т.п.

В соответствии с пассажиропотоками распределяются транспортные средства по линиям, регулируется выпуск транспортных средств по часам суток, устанавливается режим работы станций и эскалаторов и т.п. Поэтому изучение пассажиропотоков метрополитена является одной из важнейших проблем, поскольку на основании данных о пассажиропотоках решаются задачи проектирования, эксплуатации и планирования работы метрополитена. Исследование пассажиропотока метрополитена для решения важнейших задач основывается на построении его математической модели.

В настоящее время для обеспечения работы метрополитена используются детерминированные модели. Они имеют очень сложное и громоздкое представление и не позволяют оценить их точность и надежность. Прогнозирование пассажиропотока производится по средним значениям входного пассажиропотока предыдущих лет, что значительно увеличивает погрешность, так как не учитывается тот факт, что пассажиропоток представляет собой случайный процесс.

Поэтому необходимо построить стохастическую математическую модель пассажиропотока, имеющую аналитическое задание, позволяющую оценить ее точность, надежность, позволяющую прогнозировать значения входного пассажиропотока с заданной надежностью прогноза. Кроме того, следует решить ряд прикладных задач метрополитена Санкт-Петербурга на основе построенной модели.

Целью настоящей диссертационной работы является решение практических классификационных и экономических задач метрополитена. Для чего необходима разработка математической модели входного пассажиропотока.

Основными задачами исследования являются:

- анализ статистических характеристик входного пассажиропотока метрополитена;

- решение практических задач метрополитена, связанных с расчетом потерь оплаты проезда, прогнозом сезонных изменений входного пассажиропотока, определением дохода метрополитена и улучшением его работы;

- выработка рекомендаций по построению математической модели входного пассажиропотока для решения поставленных метрополитеном задач;

- разработка статистически обоснованной модели.

Объектом исследования является процесс обслуживания пассажиров в метрополитене.

Предметом исследования является изменение входного пассажиропотока метрополитена (дифференциального и интегрального) с учетом его категории, а также времени года и времени суток.

В диссертационной работе для решения поставленных задач были использованы как классические, так и современные методы статистической обработки данных наблюдений. В их число входят: классический метод наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов, критерии

X (К. Пирсона), Колмогорова и другие методы проверки гипотез, алгоритм-тест Голдфелда-Квандта для определения гетероскедастичности случайной составляющей регрессионной модели, критерий Дарбина-Уотсона для обнаружения автокорреляции случайных составляющих, псевдообращение матриц.

Научную новизну работы составляют:

1. Впервые разработанная математическая модель входного пассажиропотока метрополитена. Написанные программы и методики

-г позволяют определить ее точность, надежность, осуществлять прогнозирование входного пассажиропотока с заданной надежностью прогноза.

2. На основе предложенной методики создан комплекс программ по оцениванию параметров аппроксимирующих зависимостей пассажиропотоков и решению задач метрополитена.

Практическая значимость исследования.

1. Решены конкретные практические задачи по улучшению работы метрополитена и сокращению затрат на проведение внештатных и регламентных работ с использованием математической модели:

- прогнозирование потерь оплаты проезда на метрополитене в нештатных ситуациях с помощью построения функции потерь;

- прогноз сезонных изменений входного пассажиропотока метрополитена на основе математической модели;

- проведение типизации станций с целью выделения средней станции среди класса станций утреннего и вечернего пиков максимума на примере третьей линии метрополитена;

- статистическое исследование пассажиропотока для использования усредненной модели по рабочим дням недели;

- прогнозирование дохода метрополитена от продажи льготных проездных билетов после принятия закона о монетизации льгот на основе расчета коэффициентов.

2. Создана методика построения математической модели входного пассажиропотока метрополитена.

3. На основе методики создан комплекс программ, обеспечивающий возможность ее использования широким кругом организаций.

Разработанная модель используется на метрополитене Санкт-Петербурга. Внедрение принесло положительный результат, что подтверждено соответствующими документами.

Основные положения диссертационной работы докладывались и получили одобрение: на неделе науки 2003 в ПГУПС; на научном семинаре кафедры «Высшая математика»; на 57-й Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов «Актуальные проблемы современного строительства» СПбГАСУ, С-Петербург, 2004; на 58-й Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов «Актуальные проблемы современного строительства» СПбГАСУ, С-Петербург, 2005.

Заключение

В диссертационной работе разработаны математические модели входного пассажиропотока метрополитена. Для этого были проведены исследования входного пассажиропотока как случайной величины. Исходными данными служили матрицы значений входного пассажиропотока АСКОП-М. Получены основные характеристики выборки.

В диссертации построены степенная, показательная, линейная и кусочно-линейная регрессионные модели для интегрального и дифференциального пассажиропотоков, а также построена математическая модель на основе кубических сплайнов.

С помощью точечных и интервальных оценок были оценены точность и надежность параметров моделей. В работе выявлено, что полученные зависимости являются значимыми на всем временном интервале. Исследования главы 4 показали возможность построения кусочно-линейной модели на основе обобщенного метода наименьших квадратов с применением псевдообращения матриц ковариации.

На базе исследований, проведенных в пятой главе, показана возможность решения ряда основных эксплуатационных и экономических задач, сформулированных в главе 1.

В диссертационной работе создан комплекс программ по оцениванию параметров аппроксимирующих зависимостей пассажиропотоков метрополитена. Он позволяет в кратчайшее время провести статистический анализ по аппроксимирующей зависимости любой станции метрополитена.

1. Айвазян С А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных. М.: Финансы и статистика, 1983. - 471 с.

2. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей (Применение методов корреляционного и регрессионного анализов к обработке результатов эксперимента). М.: Изд-во «Металлургия», 1968. - 228 с.

3. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

4. Ануфриев И.Е. Самоучитель MatLab 5.3/б.х. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.-736 е.: ил.

5. Аристер Н.И., Загузов Н.И. Процедура подготовки и защиты диссертаций М.: АОЗТ «Икар», 1995. - 200 с.

6. Астархан В.И., Малинов В.М. Алгоритмы расчета и прогноза пассажиропотоков. Труды ВНИИЖТа, 1978, вып. 598. - с. 121-127.

7. Барсуков В.Н. Совершенствование организации пассажироперевозок на городском транспорте путем перераспределения пиковых нагрузок // Тез. Докл. II Всесоюзной конф. «Управление большим городом». М.: АЛО АСУ «Москва», 1983. с. 56-58.

8. Барсуков В.Н., Дубов Ю.А. Автоматизация процесса принятия решений для перераспределения нагрузки на ГПТ в часы пик // Города и системы расселения. М.: 1985. - с. 132-143.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.; Наука, 1973.

10. Ю.Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М.:1. Наука, 1983.-335 с.

11. П.Березинец И.В. Эконометрика. Учебное пособие. СПб.: МБИ, 2003156 с.

12. Бонсалл П.У., Чемпероун А.Ф., Мейсон А.К., Уилсон А.Г.

13. Моделирование пассажиропотоков в транспортной системе: Оценка вариантов развития транспортной системы и анализ чувствительности модели / пер. с англ. М.: «Транспорт», 1982.

14. Брановицкая C.B. Алгоритмы определения перспективных перевозок городского пассажирского транспорта. Сб. «Математические методы исследования и оптимизации систем», вып. 3. Киев: 1970.

15. Брановицкая C.B. Особенности расчета пассажиропотоков в городах методом возможностей. Сб. «Математические методы исследования и оптимизации систем», вып. 5. Киев: 1970.

16. Брановицкая C.B., Бакаев A.A. Применение математических методов и ЭВМ для расчетов перспективных пассажиропотоков городов. Сб. трудов семинара «Применение математических методов в экономическом исследовании и планировании », вып. 2, Киев: 1968.

17. Брановицкая C.B., Бакаев A.A. Прогнозирование перевозок пассажиров и транспорта в городах, Сб. трудов семинара «Применение математических методов в экономическом исследовании и планировании », вып. 2, Киев: 1967.

18. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978 -312 с. ,

19. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, 1983. 216 с.

20. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1980 - 208 с.

21. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Наука, 576 с. С илл.

22. Вероятностные разделы математики. Учебник для бакалавров технических направлений.//Под. ред. Максимова Ю.Д. СПб.: «Иван Федоров», 2001 - 592 е., ил.

23. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И.

24. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, 1984. - 240 с.

25. Гвоздяков B.C. Закономерности движения пересекающихся людских. Сборник ЦИНИС Госстроя СССР, HTJI. «Строительство и архитектура», раздел «Б», вып. 7, 1977.

26. Гвоздяков B.C. Применение фотометода для определения параметров людей, слагающих пассажиропотоки. Сборник докладов зональной научно-практической конференции. Томск, 1975.

27. Гвоздяков B.C., Холщевников В.В. Автоматизация проектирования коммуникационных помещений метрополитена. Сборник трудов № 168, Функциональные и технические проблемы архитектуры. МИСИ им. В.В. Куйбышева. М.: 1977.

28. Гультяев А.К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Widows: Практическое пособие. СПб.: Корона принт, 1999. - 288 с.

29. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Полное руководство пользователя. М.: COJIOH-Пресс. -2003. - 576 с.

30. Ермаков С.М, Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976-168 с.

31. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971-327 с.

32. Ерофеев Е.В. Математическая модель линии метрополитена. Тр. Ин-тов инж. Ж.-д. трансп., МИИТ, 1978, вып. 612, с. 82

33. Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического регулирования. Учебное пособие для втузов. Под.ред. Б.К. Чемоданова. -М.: Высшая школа, 1971 808 е., ил.

34. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. -672 е.: ил.

35. Козлов В.П., Межох A.K. Математическая модель пассажиропотока метрополитена. Тр. Ин-тов инж. Ж.-д. трансп., МИИТ, 1980, вып. 661, с. 95-100

36. Колемаев В.А. Эконометрика: Учебник. -М.: ИНФРА-М, 2004. 160 с. - (Серия «Высшее образование»).

37. Крамер Г. Математические методы статистики. /Пер. с англ. Монина A.C. и Петрова A.A. под ред. Колмогорова H.A. 2-е изд. — М.: Изд. «Мир», 1975.-648 с.

38. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Проф. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 311 с.

39. Кривохижин А. К., Кутумов A.B. Моделирование оптимальных пассажиропотоков на станциях метрополитена. Вопр. Респ. АСУ-1985-Вып. 39 : Отрасл. Территор. Планир. И упр. с. 55-64.

40. Курбатова A.B. Характеристики и формы организации транспортных потоков. М., 2000.

41. Кухаренко JI.A. Основы регрессионного и факторного анализа. Учебное пособие. СПб.: ПГУПС, 2004 - 46 с.

42. Лазарев Ю.Ф. MatLAB 5.x. К.: Издательская группа BHV, 2000. - 384 с.

43. Ломако Г.И. Экспериментальная баллистика космических аппаратов. -СПб, 1997-454 с.

44. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. -М.: Гос. Изд. Физ.-мат. Лит-ры, 1958.-336 с.

45. Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ. М.: Радио и связь. 1988-232 с.

46. Малинов В.М. Математическая модель для расчета и анализа показателей пассажирских перевозок метрополитена. Вестник ВНИИЖТа, 1979, № 2. - с. 53-55.

47. Малинов В.М. Методика прогноза размеров пассажирских перевозокметрополитена. Вестник ВНИИЖТа, 1980, № 6. - с. 60-62.

48. Малинов В.М. Прогнозирование величин среднесуточных перевозок метрополитена. Труды МИИТа 1975, вып. 492. - с. 94-97.

49. Малинов В.М., Астархан В.И. Оценка точности определения пассажиропотоков в АСУ-Метро. Труды ВНИИЖТа, 1979, вып. 622. -с. 113-117.

50. Математические методы решения задач транспорта. — Межвузовский сб. научн. тр. М.: изд. МИИТа, 1988. - Вып. 802.-136 с.

51. Песаран М., Слейтер Л. Динамическия регрессия: Теория и алгоритмы /Пер. с англ.; Предисл. Э.Б. Ершова. -М.: Финансы и статистика, 1984.- 310 е., илл.

52. Понарин А.С. Сплайновые математические модели в трассировании железных дорог. Екатеринбург: Диамант, 1996. - 232 с.

53. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие /Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордеенко Н.М. и др.; Под ред. Елисеевой И.И. М.: Финансы и статистика, 2004. - 192 е.: ил.

54. Райзберг Б.А. Диссертация и ученая степень. Пособие для соискателей.- 3-е изд., доп. М.:ИНФРА-М, 2003. - 411 с.

55. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Краткий курс математической статистики для технических приложений. М.: Физматгиз, 1959. - 436 с.

56. Соколов В.Б., Методы анализа характеристик обслуживания пассажиропотоков на метрополитене. Дис. канд. техн. наук. СПб., 2002. -192 с.

57. Сплайн-функции в экономико-статистических исследованиях. Сборник статей. Новосибирск: Наука, 1987. - 208 с.

58. Статистическая обработка результатов экспериментов на микро-ЭВМ и программируемых калькуляторах / Костылев A.A., Миляев П.В., Дорский Ю.Д. и др.: JL: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1991. -304 е.: ил.

59. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика- М.: Финансы и статистика, 1982. 319 е., ил.

60. Шапорев С.Д. Прикладная статистика: Учебное пособие / Балт. Гос. Техн. Ун-т. СПб., 2003. 254 с.

61. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. -М.: Мир, 1978.-301 с.62.1Пмыголь С.С., Смолицкий Х.Л. и др. Вычислительная математика. Учебное пособие. СПб.: ВИККА, 1997. - 354 с.

62. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. / Пер. с англ. Коваленко Е.Г. М.: Изд-во «Мир», 1969. - 396 с.

63. Гиниятуллин Р.Г. Исследование функционирования метрополитена методом имитационного моделирования. -http ://www.gpss.ru/immod'03/050.html