автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Применение метода граничных интегральных уравнений в решении трехмерных задач теории упругости

МПС РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МОСКОВСКИЕ ОРДЕНА ЛЕША И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНКЕНЕРОЗ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

рГ 5 ОД На правах руг.огг'с/.

о к ДПР МПЗ

и ТРУБАЕВ НИКОЛАЯ АЛЕКСЕЕВИЧ

УДК 624.04:539.3:681.3

ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА. ГРАНИЧНЫХ ИЮТРШП&ЬЕС УРАБНЕНУЛ В РЕШЕНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат Яиссертацга на со>:схан7.е ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1993

Работа клгалнека в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени институте кикенеран хелезна-дэрогного транспорта.

Каучжй руководитель - доктор технических неук,

профессор ШАПОШНИКОВ H.H. Научшй консультант кандидат технических наук,

С.Н.С. ЮШЕНКОВ В.П.

Официальные оппонента -

доктор технических наук, проф. Цейтлин А.Я.

кандидат технических наук Петров Т.И.

Ведущая организация. -Щ®5 ПРОЕКТСТАЛЬКОНСТРУКЦИЯ им. Мельникова

ЗЕдкта состоится 1393 г

в //'на заседании специализированного совета Д.114.С5.02 при Московском институте инженеров железнодорожного транспорта по адресу: 101475, ГСП, Москва, А-55, ул. Образцова, д. 15, ауд.

О диссертацией мояио ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "уУ" 1993 г.

Отзыв на автореферат заверенный печать», просим направлять по адресу института.

Учений-секретарь нэц^Елизировавного cos МАЛЬЦЕВ В.П.

ОБЩДЯ XAFAKTEFIiCTliKA РЛЗОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОЗЛЗ.И. Разг-/г.*э математических методов реяения краевых задач теории упругости опервкаэт создание программных комплексов, применимых в zwy.sv.ep'.üix расчетах. Метод граничных интаградьных уравнения, как вариант метода потенциала рехэная задач .математической физики, в последние десятилетия превращается в г-Сфэктпзксэ средство рэпения инкенерттых задач. Несмотря яа болыпс? количество публикаций, число реализаций этого метода ограничено. Существует несколько вариантов ?.С7У. причем, их развитие к создание программных средств осуществляется параллельно. Чнсленнке трудности присуще МГ/У осложняет его аира.чоэ грпмененпэ, поэтому актуального является создание, численных процедур для накопления опыта их преодаденпя.

1ЩЫ) РАБОТУ ЯВЛЯЮТСЯ:

- создание численной процедуры решения зЗьекной задачи теории упругости в рамхах ггртаэго КГ/У,

- создание комплекса программ, ориентированного на применение в инг-экерных расчетах,

- разработка процедур автоматизации, псподъзуэдпс исключительные ггрепмуцастза метода ГИУ.

liAi Ч1-1АЯ КОЗИЗНД. Использованы раязе ке применяв~;еся квадратурное формулц вычисления сингулярных интегрклоз. разрасотана к реалнзсванна в наборе программ процедура

автоматизации ввода из*ормацки о геометрии тела в графическом рэжикэ с использование;.: графического редактора АВТОКАД.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Создан, ярогрвммннй комплекс решения ккжэнврнгпс задач для -расчета массивных упругих тел при заданных граничных усилиях. Подучены результаты решенид практической задачи о распределении напряжений в конечной части хвостовика автосцепки Батона.

ДОСТОВЕРНОСТЬ. Достоверность полученных результатов обеспечивается применением ггатвкатичвски обоснованных числэнных алгоритмов, единственность репвния которых доказана; больаам количеством репейных, тестовых задач.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуздалисъ на слвдущих ■конЕарэнциях, семинарах л совещаниях:

- X Всесоюзный научный семинар "Методы потещиала и конечных элементов в автоматизированных, исследованиях инженерных конструкций", г. Ленинград» 22.02.1989 г., .

- межвузовский семинар Числашше методы строительной механики" под рук. профессоров Л.А..Разина, Р.А.Хечумова, Н.Н.Шапошнккова, г. Москва, tQ.02.1993 г.,

- на кафедрах "САПР" и "Строительная механика" Московского института инженеров железнодорожного транспорта (>ШТа).

ОБЪЕМ . РАБОТЫ. Диссертация состоит из предисловия, четырех глав, списка литературй. Работа содержит ИЧ страницы «££;поглс.чсгг> текста, 35' рясуи:оз и 1 таблицы,

ОСНОВНОЕ СОДЕгаанИЕ отражено в работах [1,2].

СОДЕРШШЕ РАБОТЫ

В предисловии диссертационной работы оОос-новывается актуальность рассматриваемой проблекы, приведен сбзор работ, ПОСВЯ59НШХ исследуемым вопросам.

Методы сведения краевых задач катематипескоЗ физика к интегральным уравнениям принято делить на прямые и непрямые. К прямым относятся те из методов, в которых разыскиваемыми плотностями является физические параметры (перемещения и усилия). В основе этих методов лежит тоадество Сошлиаиа. К названной категории принадлежит метод граничных интегральных уравнений.

В развитие этих методов и разработку эффективных числа тих алгоритмов болыгой вклад внесли Купрадзэ В. Л, Еерпжский D.B., Ройтфарб И.З., Угодчнноз А.Г.,

ХуторянскиЯ H.H., Нихола&а О.П., Екняик А.'Л., 1фуз Т.А., Ркццо О., Бребйия К. и другие.

К достоинствам эт;тх мэтодсз относится то, что после репеккя системы граничных интегральных уравнения становятся известными кожснэнта вектороз леремещений и усилий на границе, что составляет наиболее существенный фрагмент ойцеЯ картины напряженно дефсрмиразакного состояния обьакта расчета.

К числу непрямых отн'~"ятся те из методоз» в которых значения разаскива^мах гра^ггакх плотностей яздяттся лигь промежуточными величинами, нэ носящими физического смысла.

используемыми при вычислении компонент вектора перемещений и тензора напряжений в области и на границе.

Развития я приюненив этих методов к ранению задач теории упругости посвящены работы Александров А.й., Еорлот В.Л., Венцеля Э.С., Лазарева М.К., Копейкиаа П.Д., Партока В.3„, Парлина П.И., Альтиеро Н. Дж., Батторфильд р. и другие.

основное достоинство методов потенциала - снижение на единицу размерности изучаемых функциональных соотношений по сравнению с размерность» краевой задачи. Другие: вычисление компонент тензора напряжений только с помощью численного интегрирования без операции численного ди^фэренцирозания, что повидает точность по сравнения с МКЗ и ИКР; естественная применимость к решению внешних кразвых задач, , доставляющах известные трудности пр« применении традиционных схем МНР я МКЗ. К трудностям рзглизЕцпи относится слэшый математический аппарат, исподьзущий теорию синтуляргшх уравнений.

Для методов, основанных на теории потенциала, в литературе утвердилось, несколько пазвакий. В данной работе используется терши "мэтод граничит интеграяыих уравнений" (МГИУ).

Первая глава посвящена постановке задачи, выводу основных соотношений прямого метода граничных интегральных уравнений.

С цельп сокращения,записи используемых формул шесте с обычной формой записи используются следуэдке обозначения и соглашения:

(1=1.....га) - ограничивайте расчетную область В+

поверхности,

- вектор перемепениЗ, о^ - тензор напряжений, •Ц - вектор граничных усилий,

«и =

1. при 1=3

О , при 1=3 - символ Кронекера (или единичный

тензор).

Расчетная область предполагается отнесенной к сбиеЗ декартовой системе координат ОХ^ (1=1,2,3). По повторязсщмся индексам подразумевается суммирование. Механические свойства материала характеризуются константами: V - коэффициент Пуассона, Е - модуль Шга,

Х.ц - постоянные Ламе.

<Лц

и^ , = ~ обозначение производной, «1

- оператор усилий от Функции перемещения.

'Б качестве разреиащего используется уравнение Ссмяльятш (1), являющееся следствием формулы Бетти (теоремы взщг.шости работ), где в качестве одного из упругих состояний принято фундаментальное реаенке .Кельвина для представления Функции перемещений, а для представления функции граничных усилий используется оператор напряжений от фундаментального регения.

- £-

где

С

2 « о^ . р е \3 • Г € 3 '

Гк1'(Р.Ч) - --- " Г « " °к1 + г.к " г»л ]

От

» —5 < | (й « + и * г,к « г,3) « — +

+ И « (п^(q) « г,к - * г,3) | ,

р. 3 * (Л. + Ц) Х + Зр.

-;- г И = - , н = -,

2 » П « (X. + 2 « ц)' 2 * П « (Л. + 2 » Ц) Ь + р.

? ? ? 1/? где г» ((х1 -у, г+ (х2-у2)с"+ (Хд-У3) г -расстояние

мааду точками р(х) к я(у).

Применяя оператор напряжений к обеим частям равенства (I), может Сыть голучэнС уравнение <2) для вычисления

напряжений внутри тела, так как перестановка операций

интегрирования и дифференцирования возможна при условна гладкости подантагральноЯ функции.

2 « о1к(р) - | ' 0Э -

где

(2)

" { Я " (0ис

" - С13 *

■ о? . ел

« г>}(; « ц » (в - 3 « л ♦

+ « Г,< « VI « (Й - 3 « И) + С^ « Г,, « (2 * ц

* ц « М —

6«х»!м)-10»ц''я* г,^ • г>1с » г, 1

[*

1 «• г,3 * П,А(У) . ц « (М - 3 • «) -г

+ г,к » г,^ « гц(у) « ц . (Л - 3 » Я) + гм » г,к » п^у) «

- ю-

+ ! * * 2 « (д. - ц) « и +

+ 01;; « п>:(у) * 2 « И " ц + екз « п^у) « 2 * С« » р. | |

С помогла умноаеняя на направляющие косинусы и суммирования (2), осуществляя продольный переход к грзвлце, можно получить уравнение (3).

т^(р)и(р) - | Г113(р,я) * т^и^) азч -2

- | о13(р,ч) - 1и(ч) - и(р)7 езд ,

з

гдэ

3

Г113(р,Ч) =. Гг^.р) - 2 Ецс^Р.Ч) - пк(р) , 3

«и(Р.Ч) » 2 " пк(р) -

к»1

Уравнение (3) при заданных граничных перемещениях является оОоОвд&нкм интегральным уравнением орэдгольма второго рода.

-а-

Используя принятую форму записи уравнений такого тяга, коияо записать уравнение сопзяое к (1) в виде:

1.СР) - т - | Г1 (р.Ч) « Г(Ч) ¿«^ = ф(р) , Б

7--1.

В качестве вариантов разреааЕцях интегральных уравнений прямого метода Г/У приведены варианта использования уравнзний (1) и (3) на частях границы, соответствуете« разным граничным условиям, с целья дальнейшего расширения применимости алгоритма к реиении смешанной задачи теории упругости. При этом использование уравнения (1) на часта границы, гдэ заданы усилия, я уравнения (3) на части границы, где заданы перемещения, позволяет получить систему уравнений, трахтуемуп как обобщенное интегральное уравнение Средголъма второго рода с разрывны;.! ядром (этот подход для обьемного случая предложен К.М.Хуторянсккм).

Уравнение (1), являхцееся уравнением относительно работ, имеет при заданных граничных усилиях собственные функции вида (4), првдстазляизиз смащэяиэ тела как жесткого целого. Так как при уразясвепэнной системе сил (что требуется по постановке задачи) одной а той 5-я работе соот-ватстует бесконечное множество полей переизданий с точность*: до смоления тела кис жесткого целого. То есть уравнения Сргдгольма второго рода, полученное из уравнения (2), бу^ет лежать на спектре.

-п-

= а, +

= ^ + г « х1 - (1 « Хд , (4)

и03 = а3 ^ й " х2 " 1 " •

где а^, вз> г> ^ " произвольные постоянные, характеризуйте жесткое смешение.

Хотя в соответствии с альтернативами Средгопьма уравнвниа, лекацев на спектре, имеет единственное решение при условии, что правая часть ортогональна собственным, функциям союзного интегрального уравнения <это равносильно равенству нулю главного вектора и моментов приложенных к телу сил), присутствие погрешностей численной процедуры может осложнить процесс ресения при использовании метода последовательных приближений, использование зке метода исключения по Гауссу для решения системы уравнений, определитель матрица которой при сгущении сетки граничных элементов стремится к нули, становится невозможным. Поэтому актуально использование ' модификации разрешавшего интегрального уравнения для устранения влияния собственных решений, обсуждаемой во второй главе.

Во второй главе рассматривается проблема устранения влияния собственных решений на устойчивость численной процедуры. О помощью положений теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода получена модификация 'Ядра , которая при реыении задачи при заданных

граничных усилиях приводит к однозначно разрешимому интегральному у равна шок

3 результате построения для снятия интегрального уравнения со спектра ядро заменяется на .

Г2ЗХ = ^ + Д "

где ^(р) - ортонормированная система из шести собственных функций уравнзнля (1), построенная на основе (4), соответствущих жесткому смещению в виде параллельного переноса и поворота относительно каждой из осей; - такие, что:

| ф^) « Ю---^ ■ ,

3 о

(1.3 - 1.....б) , \0= -1 .

. Операция снятия со спектра вклотает в модифицированное интегральное уравнение требование отсутствия в искомой функции слагаемых, соответствующих смещению тола как жесткого целого.

Указанная модификация ядра позволяет использовать процедуру исклшешя по' Гауссу при решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), замэняидкх исходное интегральное в точках коллокацки, так как определитель матрицы СЛАУ в этом случав отличен от нуля.

В третьей главе рассматривается алгоритм числэнной реализации решения интегрального уравнения. АлгеОраизация интегрального уравнения производится аппроксимацией поверхности границы расчетной области системой фрагментов а виде плоских многоугользмков - граничными элементами. 3 пределах граничного элемента функции плотности (граничные

перемецэния и усилия) постоянны. Уравнения (1) и (2) заменяются соответствующими дискретными аналогами, вюшчахтдага суммирование произведений интегралов от ядер по граничному элементу на значения функций плотности.

При вычислении коэфициентов матрицы алгебраического аналога .интегрального уравнения определяющим является способ вычисления интегралов от ядер по граничном элементам. Присутствие в используемых уравнениях скнгулярных интегралов првдьавлят повиаенные требования к численной процедуре. Существует несколько подходов, позволяющих осуществлять ату операцию. В данной реализации вычисление сингулярных интегралов основано на том, что при постоянной функции плотности на плоском сингулярном элементе вклад в интегральную сумму ' от близлежащей к полису области разэн нулю. Так как шполяются условия существования сингулярного интеграла (за счет косой скааюрии ядра).

Наряд' с ранее применявшимися используются квадратурные формулы вычисления сингулярных интегралов, предложенные В.П.Клепиковым, помчано полнее численное совпадение, что является косвенной проверкой правильности. В обоих вариантах применялась формула Стокса в местной системе координат, позволявшая перейти от ингегрираважя по площади элемента, где п случае сингулярного элемента содержится разрыв подинтегрзлыюй функции, к интегрировании по контуру:

Ташм образец все элементарные ¿штеграга вычисляются Ънлктгсесхи, поэтому уравнения теории упругости (уразнешя Лаке) внутрн области удовлетворятся точео. Приближенном является описание граничного нагруяеиия и геомзтрки поверхности» аппроксимируемой системой плоских жогоугольндаов. Для учета влияния концентраторов необходимо осуществлять • сгущенке сетки граничных элементов,

В четвертой глазе обсуздается программная ремизацяя прямого метода ГНУ решения обьеккоа задачи теории упругости щи заданных граничных усилиях. Преграждая реализация включает подули, необходимые для ввода исходной информации о геометрии расчетной области и нагрузки на ной, формирования матрицы СШ и правой часта, решения СЛАУ, зачисления напряжений в заданной совокупности точек.

Ввод вручную исходной информации расчета обьемшх задач - длительный трудоемкий процесс, вюаиаюций возкоетэсть многоиратшх ошибок, обнаружение и кспрааяенко которых когзт превысить врем работа ЭВМ. Ислольз'ованяо персонального компьютера предоставляет пользователю широкие сервисные возможности. что создает качественно новый уровень работа.

С целью автоматизации ввода информации о геометрии рассчитываемой области, разработан препроцессор, с помогай которого можно осуществлять нанесение сейш гранитад элементов на совехнссть тела, скокпапованного из

аналитических фигур: полупространство, шар, конус (цилиндр) и тор.

Для нанесения сетки граничных элементов используется графический редактор АЕГОКДЦ, в меню которого внесены дополнительные функции, написанные на встроенном языке программирования автолися. Использование графического редактора позволяет объединить процессы ввода и проварки, что сокращает время, затрачиваемое на отладку правильности заполнения массивов геометрии.

Процесс ввода с использованием графического редактора АЗТОКАД включает: • создание каркаса контуров расчетной области во вспомогательном слое, нанесение сети граничных элементов в виде плоских трех или четырэхуголькнх трехмерных граней с помощью созданных средствами автолиспа функций, выгрукение информации в ЕХР-фзйл, обработку эт^/о 2Х?-файла с целью добавления в соответствующих слоях массивов присвоенных элементам номеров и направлений нормали (для проварю'.). Подученный в результате ЮТ-файл может бить в своп очередь отредактирован и процесс повторен снова. Далее программно производится расзифрозка ВХУ-файла и создай» файлов геомэ тр;п:.

Сорбирование матриц:! СЛАУ осуществляется на основе алгебраизации интегрального уравнения (1). При этом при заданных грвжг&кх усилиях изучается система лнейжх алгебраических уравнений, имегцая .не с:г.д'.этрпчлув полностью заполненную матриц с ;;;:аген.г1лн!!;м

прэоблзданием элементов. В результате осуществления операции снятая со' спе.стрь решение этой системы единственно. Столбцом неизвестных являются компоненты вектора грзничных перемещений размерностью 3x11, где N -число граничных элементов.

Регсэшм СЛЛУ . в данной реализации может производиться либо исклмчепием по Гауссу, л!!бо методом простой итерации. Итерационный процесс сходится ив во всех случаях, поэтому сложность задачи ограничивается размерами оперативной памяти.

После получения столбца неизвестных перемещений, осуществляется вычисление значений напряжений в заданных точках.

Тек как формула' енчислэвдя напряжений (2) содержит интеграл, вкличаюций функцию граничных перемещений, выступавиуи в качества неизвестной, то оценку точности расчетной схемы можно осуществлять гтутем сравнения заданных граничных усилий и полученных в результате расчета.

Для- тестирования разработанных программ было проведено большое количество тестовых расчетов, часть из которых иллпетрируют рис. 1,2,3.

На рис. ' приведены графики величин компоненты напряжений внутри куба при единичном всестороннем с?:ат:г.: в навис.коста от расстояния до точки пзресечепия глз^:г.:г. диагоналей. Расчет производился при тр^х вариантах сет;-:<: грЕни'ШЫх элементов с?:цим чне.гем 2-1, С' и .

-

Результаты расчета демонстрирует факт о том, что с уменьшением величины элемента точные значения можно получить ближе к границе (на расстоянии характерного размера ГЭ).

Ркс. 2 демонстрирует сравнение результатов расчета о загрухении цилиндрической выемки радиусам г = 1 и высотой 11, «= 8 единичным давлением Ра (торцы на загружены) с аналитическим решением задачи Ламе о толстостенной труба, когда Сольпий радиус устремлен в бесконечность ( о^ и о^ - радиальная и угловая компоненты напряжений). -Формирование и решение осуществлялось с учетом осевой симметрии. Анализ графиков подтверждает качественное и количественное совпадение указанных величин внутри тела и на границе,

Ка рис. 3 лриведе: > сравнение одной из компонент напряжений, составляли, напряженное состояние задачи о растяжении цилиндра с глубокой гиперболической выточкой, с аналитическим решением НейОера. Расчет производился с учетом осевой симметрии, общее тлело граничных элементов 864.

Проведенные теста позволили (осуществить репение практической задачи о распределении напривний в конечной части хвостовика автосцепки вагона, расчетная схема которой показана на рис. 4. Число граничных элементов 676. Параметры задачи и результаты расчета приведены в тексте диссертации.

внутри куба при единичном всестороннем сжатии

! А-

1 —

О" ~ граничное значение

- решение задачи

Лохе I*. МЛ.1

1 2 3

■<//:. О Сравнение результатов решения задачи о цилиндрической янрайотко- (г = I, Й = 8) с решением задачи Лаге

N4 I

- решение Нойбера, О - численное решение.

1-1-1-Г

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис. Ъ Компонента напряжений ¿гг внутри цилиндра с глубокой гиперболической выточкой при единичном равнонорном сжатии

I

N4

-Z2-

Рис. H

Конечная часть"хпостовика автосцепки вагона Расчетная схема

-яг-

СПИСОК ШШЬЗУЕШХ источников

1. Клепиков В.П., Трубаев H.A. Применение регулярных, уравнений в • рэпении задач теории упругости. /Строительная механика к расчет сооружений, - 1939, К 5

2. Клопиков В.П., Трубаав H.A. Регэние трехмерных упругих зада? методом граничных интегральных уравнений.

- Двп. В ВИНИТИ 15.01.93, Н 5849 - ВД93 .