автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод граничных элементов в задачах статики и нестационарной термоупругости оболочек и трехмерных тел сложной геометрии

ОСНОЕВЫЕ ОБОЗНАЧЕНИИ.5.

ВВЕДЕНИЕ . .Ю

ГЛАВА! МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДДЧАХ СТАТИКИ

ОБОДОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

§ 1.1. Обзор литературы

§ 12. Основные шгюжшия и соотношения при гкхлроеши граничных ингаральных уравнений различных вqжнIштеqmoбcштаcжIжжй гесмярии.

§ 13. Построение граничных интегральных уравнений для изотропной обсшчки сдажной гшуктрии в рамках шдаодаИНВеЕ^а.

§ 1.4. Построение граничных интегральных уравнений тории тага. СП Тимошенко. О зкЕИвштшосш дифффэдшшой и ишщшшвш постановок заднистшичешж) деформирования обсшчж.

ГЛАВА2, ВАРИАНТ ГРАНИЧНЫХ ИШЕГТАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ

РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ШРМОУПРУГОСШ.

§ 21. Обзор литераауры.

§ 22. Построение формы граничных интегральных уравнений для решения прослраштенной задии тшжЕрждахяи, жяшьзующгй лишь интегралы на поверхности ишюдушого тела.

§ 23. Построение фермы граничных ишаралшых уравнений решения пралранетвееной кваэзшгичшхй гагавшнжй задачи терщупругосш, тзвсшкящй сюредавпь параметры НДС объемных тш с 1Шпро лишь псвфхносшых интегралов.

§ 2.4. Формулы ряуляршго представления граничных интегральных

ЗраЕеэнийвзотиьктшЕЖгквфшосш жсщауемсго тепа.

ГЛАВАЗ. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ОПРВДЕ1ЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВДС В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ И НЕСТАЦИОНАРНОЙ таРМОУПРУГОСШ ПРОСТРАНСТВЕННЫ ХИОБОЛОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

§ 3.1. Прямей метод граничных элементов для определения параметров ВДС шеяромей оболочки сложной геометрии. Матричная форма. ПТУ, метода интегрирования.

§ 32. Метод ф0шчнькзшуш1шдго1шр^кжния паршетргататкшгошпя объемных тел сложной геометрии. Матричная форма ГИУ, нычйсжнш интегралов типа сверток.

§ 33. Метод граничных элементов дая определения параметров ВДС квависшшжхжй задачи тфшупрутли.

ГЛАВА 4 РЕШЕНИЕ ПРТИСЛДДНЫХ ЗАДАЧ ПЮЧНОСШОШ РАСЧЕТА

ЭЛЕМЕНТОВ ШНСЛРУКЦИЙ МГЭ.

§ 4.1. Цжмеры репкния тестовых защя определения параметров ахтояния тжтш и обагочек аюжной геометрии МГЭ.

§42Примгрь1 решения задан определения параметров шп{ш^шо-дефсру1ЕржаЕщого состояния и параметров сгацрошршш теплового псош трехмерного тепа сшжеой геометрии МГЭ.23 $

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДА

В настоящее время решение задач статики и термоупругости пластин и оболочек сложной геометрии методом граничных элементов (МГЭ) наталкивается на следующие трудности:

- невозможность построения фундаментального решения явного компактного аналитического вида для оболочек сложной геометрии срединной поверхности;

- существенная осложненность использования фундаментального решения оболочек частного вида ( пологая оболочка положительной двоякой кривизны, цилиндрическая круговая оболочка ) при численной реализации МГЭ из - за представления этого решения в виде рядов и специальных функций;

- высокий порядок сингулярности ядер интегральных уравнений, затрудняющий численное интегрирование граничных интегральных уравнений (ГИУ ) на контуре и в угловых точках оболочки ( метод компенсирующих нагрузок ( МКН ) для Кирхгофовских пластин).

В настоящее время наиболее разработан МГЭ для определения параметров напряженно - деформированного состояния (НДС ) кирхгофовских пластин со сложным очертанием контура срединной поверхности (МКН). Это, очевидно, объясняется наличием явного компактного аналитического вида фундаментальных решений разрешающих уравнений изгиба и обобщенного плоского напряженного состояния пластины.

Для пологих оболочек нулевой, положительной гауссовой кривизны применение МГЭ в задачах статики и термоупругости имеет следующие особенности:

-МГЭ, в основном, используется при определении параметров НДС пологих цилиндрических и сферических оболочек со сложной геометрией контура;

-при вычислении МГЭ параметров НДС пологих оболочек положительной и отрицательной кривизны применяется итерационный метод, в основу которого кладется процедура выделения из разрешающих уравнений пологих оболочек оператора с известным фундаментальным решением( оператор бесконечной пластины, цилиндрической оболочки, сферической оболочки).

Для решении квазистатических задач термоупругости МГЭ в настоящее время в отечественных и зарубежных работах используется прием, основанный на формальном доопределении:

- трехкомпонентного искомого вектора перемещений четвертой искомой компонентой - температурой;

- оператора Ламе оператором уравнения нестационарной теплопроводности.

При этом матрица фундаментальных решений трехмерной теории упругости - матрица Кельвина расширяется до новой матрицы фундаментальных решений размерности (4x4). С помощью новой матрицы фундаментальных решений и формулы Грина расширенного оператора строится ГИУ и на его основе МГЭ, решается задача по определению параметров НДС трехмерного тела при нестационарном термосиловом нагружении.

Следует отметить, что в этом ГИУ присутствуют:

- объемные интегралы от произведения фундаментального решения задачи теплопроводности и температуры тела в начальный момент времени, а также от объемного.источника тепла;

- поверхностный интеграл от временной свертки функции влияния сосредоточенного источника тепла и функции температуры. При решении указанных форм ГИУ методом граничных элементов возникает необходимость дискретизации объема, что практически сводит на нет основное преимущество метода - понижение размерности решаемой задачи на единицу.

В имеющихся в литературе работах предполагается, что объемные источники тепла отсутствуют, а начальная температура тела - нулевая.

Принимая во внимание выше изложенное, можно заключить, что в настоящее время в области применения МГЭ для решения задач статики и нестационарной термоупругости оболочек и трехмерных тел сложной геометрии остаются актуальными:

- проблема разработки единого метода построения интегрального представления решения разрешающих уравнений различных теорий оболочек сложной геометрии, который не имеет ограничений на пологость, знак кривизны оболочки, а также использует функцию влияния, имеющую конечное аналитическое представление;

-построение на основе этих интегральных представлений ГИУ, позволяющих с помощью МГЭ решать задачи статики оболочек со сложной геометрией контура и срединной поверхности;

- построение нового варианта ГИУ нестационарной задачи теплопроводности и квазистатической несвязанной задачи термоупругости, в которых при некоторых допущениях о распределении объемных сил и источников тепла и о начальном распределении температуры указанные выше объемные интегралы в ГИУ для задачи нестационарной теплопроводности сводятся к поверхностным; в ГИУ для задачи термоупругости в поверхностных интегралах отсутствуют свертки по времени, что значительно сокращает объем вычислений при численной реализации.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы:

-разработать единый метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений различных теорий оболочек сложной геометрии типа Тимошенко, на основе этого представления построить ГИУ и разрешающие уравнения МГЭ;

- построить новый вариант ГИУ нестационарной задачи теплопроводности и квазистатической несвязанной задачи термоупругости, в котором при некоторых допущениях о распределении объемных сил и источников тепла и о начальном распределении температуры имеются лишь поверхностные интегралы, а также отсутствуют свертки по времени в ГИУ задачи термоупругости.

Научная новизна исследования и полученных результатов заключается в следующем. В данной работе предложен новый метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко. Основными положениями этого метода являются:

-запись уравнений равновесия для фундаментального решения трехмерной теории упругости - вектора Кельвина в криволинейной системе координат, нормально связанной со срединной поверхностью оболочки;

- использование приближенной формы уравнений равновесия для вектора Кельвина в рамках упрощающих предположений тонкой или пологой оболочки;

- выделение из уравнений равновесия для вектора Кельвина дифференциального оператора, соответствующего рассматриваемой теории оболочек;

- построение интегрального представления вектора перемещений элементов оболочки с помощью формулы Грина для дифференциального оператора уравнений равновесия рассматриваемой теории.

С помощью этого метода в работе получены интегральные представления решений разрешающих уравнений теорий оболочек в рамках подхода И. Н. Векуа и С.П.Тимошенко. Проведен анализ эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок задачи определения параметров НДС оболочки, а также предложен способ получения ГИУ и построения разрешающих уравнений МГЭ. Предлагаемый метод получения интегрального представления решения уравнений равновесия теорий оболочек обладает достаточной универсальностью, не требует построения фундаментального решения уравнений равновесия этих теорий, а также обеспечивает построение интегральных уравнений 2 - го рода для определения неизвестных параметров на контуре и срединной поверхности оболочки сложной геометрии.

Предложены новые формы ГИУ для решения задач нестационарной теплопроводности и квазистатической несвязанной задачи термоупругости, позволяющие в любой точке однородного изотропного тела определять как параметры теплового поля, так и параметры напряженно-деформированного состояния только через поверхностные интегралы. Проведен процесс регуляризации поверхностного интеграла в ГИУ задачи термоупругости, связанного с температурным воздействием на поле напряжений упругого тела, в угловых и регулярных точках его поверхности.

На основе новых форм ГИУ задач статики и нестационарной термоупругости оболочек и трехмерных тел сложной геометрии МГЭ решены тестовые (имеющие аналитические решения) и другие задачи, имеющие практическое значение.

Достоверность научных результатов, полученных в работе, обеспечивается строгостью постановок задач и применяемых математических методов, контролем сходимости приближенных решений к аналитическим, сравнением, где это возможно, с результатами исследований других авторов.

Практическая ценность исследований обусловлена тем, что предложенные в настоящей работе новые формы ГИУ и на их основе разрешающие уравнения МГЭ для решения задач термоупругости элементов конструкций сложной геометрии могут быть использованы в качестве альтернативных МКЭ, разностному методу и др. Наличие альтернативных методов в практике численного решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела позволит проводить сравнительный анализ результатов, полученных различными методами.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Предложен метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко, основанный на:

- записи уравнений равновесия для фундаментального решения оператора Ламе - вектора Кельвина в криволинейной системе координат, нормально связанной со срединной поверхностью оболочки сложной геометрии;

- выделении из точных уравнений равновесия для вектора Кельвина в нормальной системе координат оболочки дифференциального оператора, соответствующего дифференциальному оператору исходной теории оболочек;

- построении интегрального представления решения уравнений равновесия рассматриваемой теории оболочек с помощью формулы Грина дифференциального оператора этих уравнений, где в качестве векторов перемещений используются вектор перемещений элементов оболочки и вектор Кельвина.

Предлагаемый метод получения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко обладает достаточной универсальностью, не требует построения фундаментального решения уравнений равновесия этих теорий, а также обеспечивает построение интегральных уравнений 2-го рода для определения неизвестных параметров на контуре и срединной поверхности оболочки сложной геометрии.

2. С помощью предложенного метода в работе впервые построены интегральные представления решений разрешающих уравнений теорий оболочек в рамках подхода И. Н. Векуа и С.П.Тимошенко. В качестве сингулярных ядер в этих представлениях выступают векторы перемещений и напряжений Кельвина и их моменты разложения по полиномам Лежандра от

- 261 нормальной координаты оболочки. Перечисленные векторы имеют явный компактный аналитический вид.

3. В работе проведен анализ эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок задачи определения параметров НДС тонких или пологих изотропных оболочек сложной геометрии. Показано, что в рамках предположений о геометрии оболочки множества векторов перемещений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия оболочки и их интегральным представлениям, эквивалентны для подхода И. Н. Векуа, а также для теорий оболочек С. П. Тимошенко с учетом пренебрежения погрешностью, малой для этой теории.

4. Предложен способ получения ГИУ рассматриваемых в работе теорий типа Тимошенко, основанный на разложении интегральных представлений искомых векторов перемещений по полиномам Лежандра от нормальной координаты оболочки и предельных соотношений для сингулярных интегралов на её боковой поверхности. С помощью полученных ГИУ построены разрешающие уравнения МГЭ.

5. Получены новые формы ГИУ для решения задач нестационарной теплопроводности и квазйстатйЧеской несвязанной задачи термоупругости, позволяющие в любой точке однородного изотропного тела определять как параметры теплового поля, так и параметры напряженно-деформированного состояния только Через поверхностные интегралы при наличии начального ненулевого распределения температуры и объемных источников тепла. Такая форма получена с помощью: введения функции изменений температуры и теплового потока на поверхности тела по отношению к начальному стационарному состоянию в предположении, что поле температуры начального состояния удовлетворяет стационарному уравнению теплопроводности; представления фундаментального решения уравнения нестационарной теплопроводности в виде дивергенции некоторого вектора.

- 262

В ГИУ для решения квазистатической несвязанной задачи термоупругости отсутствуют поверхностные интегралы от временных сверток, что достигается с помощью использования нестационарного уравнения теплопроводности и фундаментального решения уравнения Лапласа. ^6. Выполнено- разделение-сингулярного поверхностного интеграла в ГИУ ■задашь термаупрушсти,.^йшащо110. е температурным,, воздействием, поле напряжений упругого тела, на регулярные и существующие в смысле главного значения по Коши интегралы как в угловых так и регулярных точках его поверхности. Такое разделение удалось осуществить с помощью привлечения предположения о свойствах кусочно - гладкой поверхности типа Ляпунова исследуемого упругого тела и дополнительных предположений о удовлетворении функции температуры и её производных на замыкании области, занятой этим телом, условию Гёльдера. На основании указанных предположений показано, что исследуемый поверхностный интеграл в ГИУ задачи термоупругости при переходе через поверхность упругого тела не терпит разрыв.

7; С целью подтверждения возможности применения полученных новых форм ГИУ для решения задач статики и нестационарной термоупругости изотропных оболочек и объемных тел сложной геометрии в работе МГЭ : решены тестовые (имеющие аналитическое решение или решенные другими V методами) и прикладные. 'задачи по определению парметров . НДС этих объектов; Из результатов следует, что полученные новые формы ГИУ и построенные на их основе разрешающие уравнения МГЭ позволяют решать задачи статики и нестационарной термоупругости изотропных оброчек и объемных тел сложной геометрии с удовлетворительной точностью.

1. АртюхинЮ.П.,КраминМ. В. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно-деформируемого : состояния : пологих сферических оболочек^ Казан. гос. ун-т. Казань, 1994. - ,19 с. Деп., в ВИНИТИ, N2476-394/ . ,.г,г •• . ;.„,,„. . г

2. Нерубайло Б. В.,-Сибиряков В. А. Распределение напряж. в цилиндрич.: оболочке ; при : локальном воздействии. Тр. Уфимского авиац. • ин-та, 1971, вып,32, С.-59 - 68. --■ —-• --—

3. Образцов И. Ф., Нерубайло Б. В., Ольшанский В. П. Об одном- 275 представлении функции Грина для пологих панелей, опертых на контур прямоугольного плана.// Мат. методы и физ.-мат. поля, 1991, №33, С. 78 83.

4. Образцов И. Ф., Нерубайло Б. В., Ольшанский В. П. Фундаменталь ные решения уравнений теории оболочек и их приложения.// Прикл. цробл. прочн ш конструкцижНижегор:,;¡eqg<. -ун-т-; Н. > Новгород, 1-995, С:.>3-6Ш-. о i97'Я. v ъ •• - .

5. Образцов И. Ф., Савельев Л, М., Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М. : Высш. шк., 1985. 392 с.

6. Партон B.3., Перлин П.И. Интегральные уравнения теорииупругости. М. : Наука,-1977, -312 с.

7. ШЙШШ^р^ШЩШШ.^^«:' в^аШЧншх^ задачахтеории'унрур©"с i

8. Elizabeth 2, Southampton, NfY., July, 1984, "Berlin e.a., 1984; 3/65 3/77' ^194 . Green G. An assay on the application of mathematical anlysis to the .theory of electricity; and magnetism;// Nottingham, 1828.