автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численное решение задач термоупругости пластин и оболочек прямыми методами минимизации энергии

р

На правах рукописи

ПРИЛИПОВ НИКОЛАЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ МИНИМИЗАЦИИ ЭНЕРГИИ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете.

Научный руководитель: - кандидат технических наук, профессор

Анохин Николай Николаевич

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич

- кандидат технических наук, профессор Иванов Вячеслав Николаевич

Ведущая организация: Московский архитектурный институт

(МАрхИ)

Защита состоится 19 декабря 2006 года в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, ауд. 608.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан « « ТУ_» 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

^Г.Э.Шаблинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Элементы зданий и инженерных сооружений, представляющие собой тонкостенные пространственные конструкции типа пластин и оболочек, в процессе эксплуатации нередко подвергаются температурным воздействиям, что приводит к возникновению значительных напряжений и может вызвать потерю устойчивости первоначальной формы равновесия. Для большого количества практически важных задач, и в первую очередь задач расчета пространственных строительных конструкций, скорость изменения температуры мала, а эффект связанности незначителен и им можно пренебречь. В этом случае при решении задачи термоупругости вначале определяется поле температур, а затем решается задача об определении напряженно-деформированного состояния при заданных значениях температуры; Расчет изотропных и анизотропных пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, требует разработки достаточно простых и эффективных численных алгоритмов анализа прочности тонкостенных пространственных конструкций, в том числе с учетом геометрической нелинейности. Определенные перспективы в этом направлении открывают методы безусловной минимизации целевой функции, представляющей собой дискретный аналог полной потенциальной энергии системы.

Цель работы

Разработать численные методики для анализа тонкостенных конструкций типа пластин и пологих оболочек при термосиловом воздействии на основе прямых методов минимизации энергии и реализовать ее в виде прикладной программы на ЭВМ. Выполнить расчеты оболочечных конструкций, в том числе выполненных из композиционных анизотропных материалов, при стационарном и нестационарном температурном воздействии.

Научная новизна работы

1. Вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и температурного воздействия.

2. Методика решения термоупругой задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

3. Результаты расчета ортотропных тонкостенных пространственных конструкций с низкой сдвиговой жесткостью при тепловом и термосиловом воздействиях.

Достоверность результатов

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется построением корректных математических моделей, возможностью перехода от предложенной теории пластин и оболочек к известным частным теориям, выбором хорошо апробированных методов решения краевых задач, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов для ЭВМ. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов.

Практическая ценность работы

Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения для расчета ортотропных пластин и оболочек при термосиловом воздействии, который реализован в виде пакета прикладных программ в среде Fortran PowerStation и позволяет визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

Внедрение работы

Разработанные методика, алгоритм и программное обеспечение использовались для решения задач теплопроводности и термоупругости пла-

стин, пологих сферических и цилиндрических оболочек в МГСУ.

Апробация работы -

Основные результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры строительной механики МГСУ (2006 г.)

Публикации" -

По теме работы имеется 3 публикации.

На защиту йыноеятся

1. Геометрические соотношения и вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и температурного воздействия.

2. Методика решения термоупругой задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием численных процедур квазиньютоновского метода Дэвидона-Флетчера-Пауэлла и метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривса.

3. Результаты расчета изотропных и ортотропных пластин и пологих оболочек с низкой сдвиговой жесткостью при тепловом и термосиловом воздействиях.

Объем работы ; - !

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Общий объем диссертации составляет 135 страниц, в текст включены 56 рисунков и 5 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, изложена основные положения, которые выносятся на защиту. '

В первой главе приведен обзор работ по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций, находящихся в температурном поле. Дается анализ методов расчета стационарных и нестационарных температурных полей, методов решения термоупругих задач теории пластин и оболочек. Определенное место в работе отведено вопросам построения исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек, а также методам и алгоритмам решения линейных и нелинейных задач расчета тонкостенных конструкций при силовом и температурном воздействии.

Анализ работ по построению различных моделей тонкостенных пространственных конструкций и их реализации показывает, что для тонких и средней толщины оболочек с низкой сдвиговой жесткостью наиболее оптимальной с точки зрения численной реализации и точности получаемых решений является техническая теория с учетом деформаций поперечного сдвига.

Отмечается, что в настоящее время для решения рассматриваемого класса задач наиболее эффективными являются метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностный метод (ВРМ). Вопросы построения и реализации данных численных методов рассмотрены в работах Н.П. Абовского, A.B. Александрова, A.M. Бело-стоцкого, Д.В. Вайиберга, Р.Ф. Габбасова, А.Б. Золотова, В.Н. Иванова, С.Б. Косицына, H.H. Леонтьева, В.А. Постнова, В.И. Прокопьева, Л.А. Ро-зина, A.C. Сахарова, В.Н. Сидорова, H.H. Шапошникова, К.-Ю. Бате, Е. Вилсона, Р. Галлагера, О. Зенкевича, Р. Клафа и других авторов.

Если исходная задача сформулирована как задача нахождения минимума функционала, то имеется возможность построения эффективных численных алгоритмов на основе прямых методов безусловной минимизации, таких как градиентные методы и квазиньютоновские (переменной метрики) методы. При этих подходах для решения задачи требуется по-

. „. 7

строение лишь градиентов искомой функции. Вопросы построения численных алгоритмов безусловной минимизации как квадратичных, так и неквадратичных функций отражены в работах Д.Химмельблау, Э.Полака, Дж.Дэнниса, Р.Шнабеля, М.Мину, М.Аоки, В.Г.Карманова, Н.Н.Моисеева, Ю.П.Иванилова, Е.М.Столяровой, М.П.Камата, Р.Дж.Хайдука. Градиентные и квазиньютоновские методы имеют ряд достоинств, к числу которых относится в первую очередь отсутствие необходимости формирования и обращения матрицы вторых производных (матрицы Гессе) минимизируемой функции, что обычно представляет собой наиболее громоздкую операцию. Однако в задачах строительной механики эти: алгоритмы пока не получили широкого распространения, что связано, ,в частности, с большой размерностью решаемых задач. а^ ?

Анализируя в целом различные численные методы расчета тонкостенных конструкций, следует отметить, что для данного класса задач наиболее эффективными являются методы типа МКЭ и ВРМ. Высокая степень универсальности и ориентированность на численную реализацию позволяют успешно использовать эти подходы для решения.задач как научного, так и прикладного направления.

Во второй главе дан алгоритм решения нестационарной температурной задачи, основанный на методе конечных элементов. Для оценки работоспособности алгоритма решена тестовая задача. Решен ряд нестационарных задач теплопроводности, построены температурные поля при различных граничных условиях для заданных моментов времени.

При определении напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, рассматривается несвязанная нестационарная температурная задача. В этом^ случае не учитывается влияние напряжений и деформаций на распределение температуры, а при определении температурного поля не учитывается тепло, выделяющееся при деформировании тела от нагрузок. Температурная задача реша-

ется методом конечных элементов, на каждом шаге по времени с помощью прямого метода минимизации энергии решается термоупругая задача при заданном распределении температур.

Для двумерной температурной задачи функционал имеет вид:

Ох) +

гдв\

ду)

+ си—>ахау,

вч

(1)

где 0 - температура; X - коэффициент теплопроводности; с — удельная теплоемкость материала; О, - область, занимаемая пластиной или оболочкой.

-." Выбирается треугольный конечный элемент с тремя узлами /, / и к. Узлы конечного элемента нумеруются против часовой стрелки, начиная с некоторого произвольно выбранного /-го узла. Координаты /-го,/-го и к-го узлов по оси х обозначены через х„ Хр х^ по оси у - через >»,•, ур у^ Интерполирующая функция, определяющая температуру произвольной точки конечного элемента, принимаются в виде:

в(х,у) = ай+а,х + сс1у (2)

Коэффициенты ао,сс\,аг определяются с помощью граничных условий: 9=9при х=х, и у=у,- ; 0=0у, при х=х] и у=у, ; 9=9 к, при и ууи- Определив коэффициенты ао, «ь а^ и подставив их в (2) получим: /

0Г х,у) = —[(а, + Ь,х + +(а/ + Ъ}х + с^)9; + (ак + Ькх + ску)рк ]

где

Ц = *]Ук ~хкУ]> Ъ1 = У] ~ У к > с/ = Ч ~х] »

(3)

(4)

2 А

1 х, у,

1 УJ 1 ХК Уи

Остальные коэффициенты в (3) получаются по формулам (4) циклической перестановкой индексов (индекс / заменяется на индекс индекс ] -на индекс к, индекс к - на индекс /).

В матричном виде:

О^Ьк ^ .У Л

= N1 ,

где

^=+ь<х+' ^ = ++суУ); = ¿К++ску)

Производные интерполирую щей функции определяются по форму-

лам:

59 _ дх дх "дМ, дх дN|. дх г- ±ь 2А

II И к? ¡5 'дИ, _ду ду дмк~ ду _ г — " 1 -С,. 2А ' ; 2АС' 1 —с> 2А

Вводится вектор температурных градиентов: дв

\ Гь, ъ. ¿Л

1 =

g

дх дв

_1_ 2 А

с, с , с.

Для того чтобы получить матрицы жесткости и энтальпии строится функционал для отдельного элемента, учитывая, что

дг дt

Тогда

Й'" " "

и J Э/ 2 дг

где К = $В ' ВВ<±сс?у - матрица жесткости;

ВгБВг = у г т И В г БВ Лф \г +

С = ¡с IV1 Л^бсф - матрица энтальпии.

п

Коэффициенты матрицы жесткости могут быть получены аналитиче-

ски:

К = \ВГ Б ВсШу =

4А

Ь + с:

Ь1Ь1 + с1с] ь2+с

Ь,Ък + сск ЬЪк + сск

(5)

Сгшметричо Ък + ск

Коэффициенты матрицы энтальпии определяются по формулам:

С = /сЛ^ЛУхф

Ас 12

2 1 1 1 2 1 1 1 2

Численные исследования показали, что матрица энтальпии, записанная выше, приводит к плохо обусловленной матрице системы линейных алгебраических уравнений МКЭ. Поэтому в расчетах использовалась матрица С вида:

"1 0 0"

' (6)

Ас 3

0 1 О О 0 1

Матрицы (5) и (6) используются для построения глобальных матриц жесткости и энтальпии. Производя суммирование по конечным элементам и записывая условие экстремума скалярной функции векторного аргумента, получим систему уравнений вида:

&

Уравнение (7) решается с помощью метода Эйлера: Сгш=Сгк-МКгк или с учетом (6):

(7)

Ас

. В,качестве одного из примеров рассмотрена нестационарная задача теплопроводности при локальном температурном воздействии. В течение всего времени на контуре оболочки поддерживается температура в 10°, в точке с координатами (0,5; 1) поддерживается температура в 100°. Принимались следующие значения параметров: коэффициент теплопроводности Х=45,4 вт/(м град), удельная теплоемкость ср=0,46Л03 дж/(кг град), коэффициент температуропроводности а=Х/(срр)=12,56-10"6 м2/сек, шаг по Бремени Дг=10 с. Температурное поле при /=2,5' 104 с показано на рис.1.

Третья глава посвящена термоупругим задачам теории пластин и оболочек и методике их решения. Построены исходные геометрические соотношения нелинейной теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, построен дискретный аналог функционала Лагранжа и представлены численные алгоритмы решения термоупругой< задачи/, основанные на квазиньютоновском методе Дэвидона-Флетчера-Пауэлла и методе сопряженных градиентов Флетчера-Ривса.

Задача расчета пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, формулируется как задача отыскания минимума функционала Лагранжа, представляющего собой полную потенциальную энергию системы.

Рис. 1. Температурное поле при ¿=2,5"104, с

Компоненты полной деформации еу- записываются в виде суммы упругих е,/ и температурных а Г деформаций:

е\\ ~еп , ег1 — е22 +осТ, е12 — е12, е13 — еп, е23 — в23, где а - коэффициент теплового линейного расширения материала; - функция, определяющая закон изменения температуры по объему оболочки.

Используя гипотезу Франца Неймана для термоупругих задач теории пластин и оболочек, запишем исходные геометрические соотношения, связывающие полные деформации и перемещения:

да и> \(ЭнЛ2 ду м 1(диЛ Эу ди дм дм

еИ=—+— + — — ; е22=—+—+- — ; е12=-—I-— +--;

дх Л, 2\дх) ду Я22{ду) дх ду дх ду ^

¿50, 39, ¿50, ¿30, ды _ дю _

дх ду дх ду дх ду

где и и V - тангенциальные составляющие перемещения; IV - нормальная составляющая; 0] и 9г - углы поворота поперечных сечений оболочки; К\, К2 - радиусы кривизн в направлении координатных осей. Соотношения (9) построены с учетом деформаций поперечного сдвига, что позволяет, в отличие от модели Кирхгофа-Лява, рассчитывать оболочечные конструкции средней толщины, а также выполненные из материала с низкой сдвиговой жесткостью.

Компоненты напряженного состояния связываются с компонентами упругой деформации соотношениями обобщенного закона Гука.

Подставив геометрические и физические соотношения в исходный трехмерный функционал Лагранжа, выполнив интегрирование по толщине Н и отбросив температурные слагаемые, зависящие только от температуры, получим двумерный функционал теории оболочек в виде:

П = \ Я(г<„с)ю- (10)

где v={u v 0] 02 Tv)r - вектор, компонентами которого являются функции перемещений; е = ( е\\ е2г *22 ^п £23 )Т~ вектор, компонентами ко-

торого являются составляющие тензора деформаций (9); N = ( N\\ N22 N\2 М\ \ М22 М\2 013 023 )Т - вектор, компонентами которого являются усилия, определяемые по известным соотношениям теории оболочек; N, = ( NuT N22" О М\\ М22 О О О )т — вектор, компонентами которого являются температурные усилия; <? = (<?2 w-г Ч* )Т' вектор внешней нагрузки, компоненты которого имеют направления, соответствующие компонентам вектора перемещений.

Температурные усилия и моменты для изотропного материала определяются по формулам:

Frt Л/2 Fry hi 1

J T(x,y,z)dz\ A/.7, = M'n ~ ¡T(x,y:z)zdz.

1-^-/1/2 1-V-/./2

Предположим, что на область Q, занимаемую конструкцией, наложена сетка

х, = х0 + ih}; уj = у0 + jh2; i = 0,1,..., mx; j = 0,1.....m2; h = тах(/г,, h2).

Рассмотрим ячейку области Q с вершинами в точках (х„ yj), (х,+ь _>}), (х„ yJ+1), (x,+I) yj+1) и обозначим значения сеточных функций в этих точках и0, и\ и2, и3 . Функционал энергии (10) может быть представлен в виде

суммы интегралов по ячейкам сетки П=£П/7. Для единственности реше-

i.i

ния дискретной задачи необходимо потребовать, чтобы аппроксимацион-ная схема сохраняла свойство строгой выпуклости исходного функционала. Кроме того, в целях построения наиболее экономичных схем, желательно, чтобы число подсчетов подынтегральной функции было минимальным.

Для вычисления интеграла Пу по ячейке используется его дискретный аналог J\y Наиболее простая аппроксимационная схема имеет следующий вид:

г ,, 1и0)+1Р+и2)+*/з) -*/о)-йг) IIз)+*/2)

-4-'-%-'-2*-}

где , Ъ.1 - линейные размеры ячейки в направлении координатных осей;/ - подынтегральная функция; ит - значения искомых функций перемещений в узлах.

В результате дискретизации исходная вариационная задача сводится к задаче минимизации функции J{u)~^JJ¡j, где и=(и\ и2 ... «м)Т - вектор

узловых перемещений.

Для решения задачи минимизации как квадратичной, так и неквадратичной функции Г(и) могут быть использованы методы прямой минимизации энергии, в которых не формируются и не решаются системы алгебраических уравнений вытекающих из условия экстремума функционала. К таким методам относится метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла и метод Флет-чера-Ривса.

Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла относится к группе квазиньютоновских методов. В нем матрица, обратная для матрицы Гессе, аппроксимируется с помощью градиентов целевой функции. Для квадратичной целевой функции с п неизвестными решение находится за п шагов. Такой подход имеет определенное преимущество, поскольку формирование коэффициентов градиента требует меньше вычислительных затрат по сравнению с формированием коэффициентов матрицы вторых производных. Схема этого метода имеет вид:

„(*+|> = „<*) _хш ф^уДи^) , (11)

где матрица "п(«(^) представляет собой аппроксимацию матрицы [У2У(м(А:))]" Для квадратичной целевой функции У(и) матрица г\ преобразуется таким образом, что после п шагов она становится равной матрице [V2/!"1 . На

первом шаге полагается т)(0) = Е. В этом случае исходное направление минимизации совпадает с направлением наискорейшего спуска.

Алгоритм метода Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, в соответствии с формулой (4), состоит из следующих этапов:

1. В точке и(0) вычисляется направление

2. На /с-ом шаге с помощью одномерного поиска по А/ * находится штЛ/'-^'^и1") УДы^))

и определяется величина .

3. Вычисляется Аи(к) = - Хпт](и{к))Ы{и(к)).

4. Определяется и(А+,) = иа) +Аи(к).

5. Проверяются условия: .

где £] , б2 - заданные малые числа.

В случае выполнения записанных выше условий решение заканчивается.

6. Вычисляется

вектор УУ(н,Ж)).

7. Определяются вектор и матрицы:

Ч1М)=Ч{к)+А1к)+В«\

Осуществляется переход на шаг 2.

Алгоритм вычисления компонент вектора градиента ./(и) строится на основе приближенной разностной формулы:

М^ = _1г/(И + 5е )-Ди-5<?.)1 ; /=1,2,...,«;

251 ' 11

Аи«)

<б, ; и(к) <Е2

где п - размерность задачи; 5 = 10"3) | и || - некоторое малое отклоне-

ние; II и II - сферическая норма вектора перемещений; еь - единичный вектор. ! -Р'-' -Г.:";. .

Эффективная процедура минимизации квадратичной функции разработана в рамках метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривса, в котором используются лишь векторы градиентов, что существенно экономит объем машинной памяти. Предложено вычислять вектор, определяющий направление спуска на данном шаге, как линейную комбинацию антиградиента в текущей точке и предыдущего направления спуска. При этом выбор сопряженных направлений осуществляется совместно с одномерной минимизацией функции У(и) по X.

Алгоритм метода Флетчера-Ривса применительно к задачам расчета пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, включает в себя следующие этапы: 4 ,

1. Выбирается начальная точка и(0). Как правило, принимается и(0)=0.

2. В и(0) вычисляется 5(0) = -У7(и(0)-). -

3. На ¿-ом шаге с помощью одномерного поиска по в направлении находится минимум функции + ..Для одномерного поиска используется алгоритм Дэвиса, Свенна и Кэмпи. В результате определяется шаг Х^ и точка и^ = и^ + .

4. Вычисляются и

5. Проверка требований сходимости. Вычислительный процесс заканчивается тогда, когда = В противном случае процесс минимизации продолжается.

6. Определяется вектор

1 ] (*)) и выполняется переход на шаг 3.

В четвертой главе решен ряд задач термоупругости тонкостенных пространственных конструкций типа пластин и пологих сферических и цилиндрических оболочек.

В качестве тестовых задач рассмотрены: квадратная пластина, подверженная равномерному нагреву при двух видах граничных условий, результаты сравнивались с аналитическим решением; замкнутая цилиндрическая оболочка при температурном воздействии, постоянном в окружном направлении и изменяющемся по линейному закону вдоль образующейся, результаты сравнивались с аналитическим решением; квадратная свободно опертая по контуру пластинка, находящаяся под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки, результаты сравнивались с аналитическим решением и численным решением, полученным с помощью вычислительного комплекса Лира. Сходимость численного решения по предлагаемым алгоритмам при различной густоте разностной сетки оценивалась на примере расчета пологой сферической оболочки на прямоугольном плане, находящейся под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки. Результаты расчетов показывают работоспособность и достаточную эффективность предлагаемых численных алгоритмов решения задач термоупругости пластин и пологих оболочек.

Выполнен расчет гибкой квадратной свободно опертой по контуру пластинки, находящейся в условиях силового воздействия. Расчет выполнялся с учетом геометрической нелинейности, то есть с сохранением квадратичных слагаемых в геометрических соотношениях (9). Нагрузка прикладывалась пошагово и на каждом шаге решалась нелинеаризованная задача методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, то есть на каждом шаге нахо-

дилось стационарное значение функции, содержащей наряду с квадратичными слагаемыми также третьи и четвертые степени узловых перемещений.

Решена задача исследования напряженно-деформированного состояния пологих сферических оболочек на прямоугольном плане (рис.2) с различными параметрами кривизны при совместном действии поперечной равномерно распределенной нагрузки д.—1,289-105 Па и постоянному по объему приращению температуры Т-20 град. Рассмотрены два типа граничных условий: 1) опирание по контуру на абсолютно жесткие в плоскости и абсолютно гибкие из плоскости диафрагмы; 2) жесткое закрепление по контуру. Как показано в работе температурное воздействие вызывает нормальные перемещения, направленные от центра кривизны и имеющие положительный знак. Поперечная распределенная нагрузка приводит к возникновению перемещений, направленных к центру кривизны и имеющих отрицательное значение. Для оболочки с к=МЯ-0,4 м-1 при жестком закреплении суммарное нормальное перемещение точек срединной поверхности направлено от центра кривизны и имеет большее значение по сравнению с условиями опирания на диафрагмы.

Рис. 2. Пологая сферическая оболочка на прямоугольном плане

Рассмотрена задача о деформации пологой сферической оболочки на прямоугольном плане, находящейся в условиях совместного силового, и локального температурного воздействия. В расчетах принято: Е=2,1-10й

Па; у=0,3; а= 1 м; Ъ=2 м; А=10"2 м; а=0,15-10"4 град"1; ку=кг=0,2 м"1, д2=105 Па. Граничные условия соответствуют опиранию по контуру на абсолютно жесткие в плоскости и абсолютно гибкие из плоскости диафрагмы.

На рис.3 приведены прогибы для четверти оболочки на этапе термосилового нагружения, показанного на рис.1, для /=2,5-104 с.

Рис. 3. Прогибы пологой оболочки на этапе термосилового нагружения для

Г=2,5-104 с

Представляет интерес анализ напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов с низкой сдвиговой жесткостью. К числу таких материалов относятся, например, органопластики. Для однонаправленных органоэпоксикомпозитов, относящихся к органопластикам, физические характеристики материала имеют следующие значения: модули упругости £¡=78 ГПа, £2=4,1 ГПа; модули сдвига = С/^ = <72з = 2,1 ГПа; коэффициенты Пуассона У12=0,0168, У21=0,32; коэффициенты теплового линейного расширения о<,1=-3,5-10"6 град"1, а2=35-10"6 град"1.

В работе выполнен расчет жестко закрепленной по контуру пластинки из органопластика, находящейся под действием поперечной равномерно

20 л распределенной нагрузки и постоянного по объему приращения температуры.

Рассмотрена пологая цилиндрическая панель из органопластика при двух типах граничных условий: 1) жесткое закрепление по криволинейным кромкам, прямолинейные кромки свободны от закрепления; 2) жесткое закрепление по всему контуру. На рис.4 и 5 приведены результаты расчетов цилиндрической панели при жестком закреплении по контуру.

Рис. 4. Перемещение пологой цилиндрической панели при действии поперечной нагрузки интенсивностью #¿=500 Па и температуры Т= 20 град.

Рис. 5. Изгибающие моменты Мц пологой цилиндрической панели при действии поперечной нагрузки интенсивностью ^г=500 Па и температуры

Т= 20 град.

Вычислительная программа, реализующая представленные в работе численные алгоритмы решения задач теплопроводности и термоупругости, включает в себя 15 модулей. Все подпрограммы написаны на алгоритмическом языке Фортран и реализованы в среде Fortran PowerStation. Результаты расчетов на каждом шаге записываются в файлы данных, которые затем используется для визуализации окончательных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Построены геометрические и физические соотношения и вариант энергетического функционала Лагранжа теории упругих пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности при температурном и силовом воздействии.: •

2. Разработан численный алгоритм решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.

3. Разработана методика решения задачи термоупругости на основе вариационно-разностной процедуры с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

4. Получены формулы для вычисления элементов вектора градиента при решении термоупругой задачи вариационно-разностным методом.

5. Разработано программное обеспечение для расчета изотропных и ортотропных пластин и оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановке при термосиловом воздействии. Программное обеспечение реализовано в среде Fortran PowerStation с использованием средств, позволяющих визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

6. Решен ряд тестовых задач теории теплопроводности и термоупругости пластин и оболочек, подтверждающих эффективность и работоспособность предлагаемых численных алгоритмов.

7. Выполнены расчеты свободно опертой по контуру пластинки с учетом геометрической нелинейности на силовую нагрузку и линейно деформируемой пластинки при термосиловом нагружении.

8. Выполнены расчеты пологой сферической оболочки на прямоугольном плане при различных граничных условиях (опирание на диафрагмы и жесткое закрепление по контуру) на различные виды темосило-вого воздействия, включая локальное температурное воздействие.

9. Исследовано напряженно-деформированное состояние пластинки и оболочки, выполненных из композиционного анизотропного материала с низкой сдвиговой жесткостью (органопластика). Рассмотрена задача расчета жестко закрепленной по контуру пластинки, а также пологой цилиндрической оболочки с различными граничными условиями при совместном действии поперечной нагрузки и температуры.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Анохин H.H., Трушин С.И., Прилипов Н.В. Решение задач термоупругости оболочек методом прямой минимизации энергии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №1,2005, с.103-107.

2. Анохин H.H., Прилипов Н.В. Расчет пологих оболочек при стационарном температурном воздействии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №1,2005, с. 99-102.

3. Прилипов Н.В. Расчет ортотропных пластин с низкой сдвиговой жесткостью на термосиловое воздействие // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №2, 2005, с. 62-65.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7: 07: 10429 Тираж 100 экз. Тел. 185-79-54 г. Москва, ул. Енисейская д. 36

Введение.

Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций, находящихся в температурном поле.

1.1. Анализ методов расчета стационарных и нестационарных температурных полей.

1.2. Построение исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек.

1.3. Методы решения термоупругих задач теории пластин и оболочек.

Глава 2. Решение нестационарной задачи теплопроводности методом конечных элемен- 34 тов.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение матриц жесткости и энтальпии.

2.3. Расчет нестационарных температурных полей.

Глава 3. Задачи термоупругости пластин и оболочек и методика их решения.

3.1. Исходные геометрические и физические соотношения нелинейной теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и температурного воздействия.

3.2. Построение дискретного аналога функционала Лагранжа.

3.3. Формирование вектора градиента.

3.4. Численный алгоритм квазиньютоновского мето- 71 Да.

3.5. Численный алгоритм метода сопряженных градиен

Глава 4. Решение задач термоупругости.

4.1. Решение тестовых задач.

4.2. Расчет пластинки на силовое и термосиловое воздействие.

4.3. Расчет пологой сферической оболочки при термосиловом воз-дейст

4.4. Расчет ортотропной пластинки и цилиндрической оболочки с низкой сдвиговой жесткостью на термосиловое воздейст- 108 вие.

4.5. Структура вычислительной программы для решения задач термоупругости пластин и пологих оболо- 121 чек.

Тонкостенные пространственные системы в виде оболочек и пластин как естественные конструктивные формы применяются в различных областях техники — в машино- и приборостроении, в судостроении, авиа-и ракетостроении и других областях. Значительное распространение пространственные тонкостенные конструкции получили в строительстве в качестве рациональных решений покрытий и перекрытий промышленных, гражданских, жилых и сельскохозяйственных зданий и в качестве конструктивных форм инженерных сооружений. Типы пространственных конструкций покрытий весьма разнообразны — от сравнительно небольших по размерам систем в виде оболочек панелей размером на пролет здания порядка 18-г24 м до большепролетных конструкций с размерами до 200 м и более. Оболочечные конструкции подразделяются на жесткие и гибкие. К первой группе относятся: короткие панели-оболочки, своды, складки, цилиндрические своды-оболочки, пологие оболочки двоякой кривизны, купола, составные системы из совокупности нескольких оболочек различных конфигураций, сетчатые оболочки и структуры. Жесткие оболочки, опирающиеся на опорный контур, в основном работают на сжатие, сдвиг, а также на растяжение. Ко второй группе относятся большепролетные, весьма пологие из-за экономии строительной высоты оболочки, а также висячие оболочки, вантовые и мембранные системы, подвешиваемые к опорному контуру. Последние, в основном, работают на растяжение и сдвиг. К гибким оболочкам относятся также пневматические конструкции.

В последние годы интенсивно разрабатываются новые типы облегченных пространственных конструкций покрытий из многослойных панелей и композиционных материалов, вес которых в 5-6 раз меньше железобетонных, что существенно снижает расход материала на поддерживающие их конструкции каркаса стен и фундаментов. Типы оболочек инженерных сооружений также весьма разнообразны. Они применяются в виде оболочек вращения при сооружении телевизионных башен, силосов, трубопроводов, резервуаров, градирен, корпусов доменных печей, газгольдеров, корпусов и защитных оболочек атомных реакторов, а также в виде односвязных и многосвязных складчатых систем применительно к конструкциям башенных копров, угольных и горнорудных шахт, элеваторов, приливных электростанций, доков, коробчатых строений мостов и ряда других конструкций.

Таким образом, вопросы надежного проектирования и расчета тонкостенных пространственных систем представляют важную инженерную задачу.

Теория и методы расчета тонкостенных пространственных систем, применяемых в строительстве, имея много общего с теорией и расчетом подобных систем в других областях техники, обладают рядом особенностей. Это объясняется тем, что применяемые в строительстве пространственные системы отличаются большими габаритами и весьма разнообразны по конструктивным решениям и виду применяемых материалов. Теория расчета оболочек и пластин представляет один из важных разделов строительной механики. Наибольшее развитие получили математическая и прикладные (технические) линейные теории оболочек, поскольку для них физические зависимости между напряжениями и деформациями, выражаемые линейными алгебраическими зависимостями закона Гука, наиболее просты и такой расчет идет в запас прочности, а при учете нелинейных факторов является необходимым этапом итерационного способа решения нелинейных уравнений.

Классическая математическая теория тонких упругих оболочек, заложенная на сегодня в основу почти всех методов расчета тонкостенных систем и основанная на гипотезах Кирхгофа— Лява, развивалась в направлении построения основных дифференциальных уравнений и их качественного анализа. Как и для расчета стержневых систем, при расчете оболочечных систем приходится иметь дело с рассмотрением краевых задач для дифференциальных уравнений, но с частными производными, решение которых может выполняться в соответствии с тремя методами строительной механики: методом перемещений, методом сил и смешанным методом, при этом используются аналитические, полуаналитические и численные методы расчета. Использование аналитических и полуаналитических методов расчета оболочечных конструкций в тех случаях, когда удается их разработать, всегда остается более привлекательным и уместным, поскольку они позволяют более наглядно проводить как качественный, так и количественный анализ решения задачи и, кроме того, при их использовании, в сопоставлении с численными методами расчета на ЭВМ, существенно экономится машинное время. При расчете сложных по конфигурации тонкостенных пространственных систем, оболочечных конструкций находящихся под воздействием нестационарных температурных полей, при построении кривых равновесных состояний оболочечных конструкций с учетом геометрической и (или) физической нелинейности их поведения, приходится прибегать к численным методам расчета. Характерная особенность численных методов состоит в том, что они позволяют с большей или меньшей точностью представить решение в числовом виде в конечном числе дискретно расположенных точек (в узлах условной расчетной сетки).

Современная строительная механика характеризуется широким проникновением ЭВМ в область проектирования и расчета строительных конструкций, в том числе тонкостенных пространственных систем. Это проникновение одновременно сопровождается совершенствованием и развитием технических теорий и численных методов расчета тонкостенных конструкций с использованием ЭВМ, таких как разностные и вариационно-разностные, включая различные модификации метода конечных элементов.

Важным вопросом в теории тонкостенных конструкций является вопрос сведения исходных трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек. При построении исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек целесообразно учесть деформации поперечного сдвига по толщине плит и оболочек, что позволяет построить некий вариант уточненной технической теории, который, существенно упрощает алгоритмизацию численных методов расчета. В этом случае применение вариационно-разностного метода (ВРМ) дает возможность построить эффективный численный алгоритм, который, обладая всеми присущими классическому варианту ВРМ достоинствами при расчете тонкостенных конструкций (упрощение формулировки краевых и контактных задач, понижение порядка аппроксимирующих функций, симметрия матрицы разрешающих алгебраических уравнений и т. д.), вместе с тем не имеет весьма существенных недостатков, присущих ВРМ, основанному на классической теории тонкостенных конструкций в рамках модели Кирхгофа-Лява. При дискретизации потенциальной энергии изгиба, входящей в функционал Лагранжа, в силу того, что она содержит производные выше первого порядка, появляются законтурные точки, а это требует введения дополнительных условий для их исключения. Кроме того, при разном порядке производных в функционале необходима различная дискретизация. Оба эти обстоятельства заметно усложняют вычислительный алгоритм. Реализация разработанной уточненной технической теории позволяет построить достаточно простой и эффективный алгоритм расчета линейно и нелинейно деформируемых тонкостенных пространственных систем без использования законтурных точек при линейной в направлении координатных осей аппроксимации искомых функций перемещений.

Построенная таким образом уточненная техническая теория тонкостенных конструкций, в которой учитываются деформации поперечного сдвига и геометрическая нелинейность позволяет существенно расширить класс решаемых задач. Как показывают проведенные исследования, учет деформаций сдвига по толщине играет большую роль при расчете относительно толстых оболочек (h/R ~ 1/20 — 1/3), в динамических задачах при быстроменяющихся во времени нагрузках, в задачах взаимодействия тонкостенных элементов между собой и с жесткими штампами, при расчете трехслойных тонкостенных пространственных конструкций с легким заполнителем и конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов с низкой сдвиговой жесткостью.

Задача минимизации исходного функционала Лагранжа при использовании классического вариационно-разностного метода сводится к решению уравнений Эйлера, представляющих собой систему линейных алгебраических уравнений. Для решения подобной задачи требуется предварительно построить матрицу системы (матрицу Гессе), коэффициенты которой находятся как вторые производные дискретного аналога исходного функционала. Для этой цели используются приближенные разностные формулы, реализация которых требует существенных вычислительных затрат. После формирования матрицы система уравнений решается одним из известных численных методов (методы Гаусса, Холецкого, итерационные методы). В качестве альтернативного подхода к решению вариационной задачи может быть применен один из так называемых квазиньютоновских прямых методов минимизации функции многих переменных. В методе Дэвидона-Флетчера-Пауэлла матрица, обратная матрице Гессе аппроксимируется с помощью градиентов целевой функции. Для квадратичной целевой функции с п неизвестными решение находится за п шагов. Такой подход имеет определенное преимущество, поскольку формирование коэффициентов градиента требует меньше вычислительных затрат по сравнению с формированием коэффициентов матрицы вторых производных. Эффективный численный алгоритм может быть построен на основе метода сопряженных градиентов, в котором используются лишь векторы градиентов, что существенно экономит объем машинной памяти.

В связи с появлением технологических процессов, происходящих при высоких температурах, созданием конструкций ядерных реакторов, высокими скоростями полетов объектов аэрокосмической техники, строительством пространственных покрытий, работающих в условиях высоких градиентов температур, большое значение приобретает расчет строительных, машиностроительных, авиационных конструкций на температурные воздействия. Нагревание конструкции приводит к тепловому расширению ее элементов. В том случае, когда тело может свободно расширяться, напряжения в нем отсутствуют. Если же температурное воздействие неравномерно или имеются лишние связи, то в теле возникают температурные напряжения.

В общем случае задача определения температурного поля и поля напряжений является связанной. В связанной задаче учитываются влияние напряжений на распределение температур и тепло, которое выделяется при деформации тела в результате приложения внешних силовых нагрузок.

Для большого количества практически важных задач, и в первую очередь задач расчета пространственных строительных конструкций, скорость изменения температуры мала, а эффект связанности незначителен и им можно пренебречь. В этом случае при решении задачи термоупругости вначале определяется поле температур, а затем решается задача об определении напряженно-деформированного состояния при заданных значениях температуры.

Представляет практический интерес квазистатическая задача термоупругости, когда не учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в уравнении теплопроводности. В этом случае система уравнений связанной задачи распадается на уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения термоупругости при заданном температурном поле. При численной реализации такой модели возможно пошаговое решении задачи, когда на каждом шаге по времени для текущих значений температуры определяется напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкции. Процедура решения квазистатической задачи термоупругости может быть реализована в рамках единой вычислительной программы с визуализацией результатов расчета в виде изополей или поверхностей.

Целью диссертационной работы является:

1. Построение базовой математической модели тонких и средней толщины нелинейно-деформируемых пластин и оболочек с учетом температурного воздействия.

2. Создание численных алгоритмов решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.

3. Разработка методик решения задачи термоупругости на основе квазиньютоновского метода минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа и метода сопряженных градиентов.

4. Разработка программного обеспечения и расчет пластин и оболочек при различных видах термосилового воздействия.

Научную новизну работы составляют:

1. Вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и температурного воздействия.

2. Методика решения термоупругой задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

3. Результаты расчета тонкостенных пространственных конструкций при тепловом и термосиловом воздействиях в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения для расчета ортотропных пластин и оболочек при термосиловом воздействии, который реализован в среде Fortran PowerStation и позволяет визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется построением корректных математических моделей, возможностью перехода от предложенной теории пластин и оболочек к известным частным теориям, выбором хорошо апробированных методов решения краевых задач, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов для ЭВМ. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов.

По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Построен вариант энергетического функционала Лагранжа теории упругих пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности при температурном и силовом воздействии.

2. Разработан численный алгоритм решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.

3. Разработана методика решения задачи термоупругости на основе вариационно-разностной процедуры с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

4. Получены формулы для вычисления элементов вектора градиента при решении термоупругой задачи вариационно-разностным методом.

5. Разработан численный алгоритм решения квазистатической задачи термоупругости ортотропных пластин и оболочек, позволяющий оценивать напряженно-деформированное состояние конструкции при изменении температурных полей во времени.

6. Разработано программное обеспечение для расчета изотропных и ортотропных пластин и оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановке при термосиловом воздействии. Программное обеспечение реализовано в среде Fortran PowerStation с использованием средств, позволяющих визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

7. Решен ряд тестовых задач теории теплопроводности и термоупругости пластин и оболочек, подтверждающих эффективность и работоспособность предлагаемых численных алгоритмов.

8. Выполнены расчеты свободно опертой по контуру пластинки с учетом геометрической нелинейности на силовую нагрузку и линейно деформируемой пластинки при термосиловом нагружении.

9. Выполнены расчеты пологой сферической оболочки на прямоугольном плане при различных граничных условиях (опирание на диафрагмы и жесткое закрепление по контуру) на различные виды темосилового воздействия, включая локальное температурное воздействие.

10. Исследовано напряженно-деформированное состояние пластинки и оболочки, выполненных из композиционного анизотропного материала с низкой сдвиговой жесткостью (органопластика). Рассмотрена задача расчета жестко закрепленной по контуру пластинки, а также пологой цилиндрической оболочки с различными граничными условиями при совместном действии поперечной нагрузки и температуры.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Айнола Л.Я. Асимптотическая теория динамики упругих пластинок при больших перемещениях // Изв. АН Эст.СССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 1965, т. 14, №3, с.337-344.

3. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст.ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 1965, т. 14, №3, с.337-344.

4. Айнола Л.Я. О геометрически нелинейной теории динамики упругих пластинок // Прикладная механика, 1965, т.1, №8.

5. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, ч. 1-2. М.: Стройиздат, 1976.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. -446 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Физматгиз, 1967. -266 с.

8. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1987, №5, с.37-42.

9. Ю.Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. -344с.

10. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969.-288 с.

11. Безухов Н.И. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур. М.: Машиностроение, 1965. - 567 с.

12. М.Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

13. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964.-518с.

14. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987.-524 с.

15. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248 с.

16. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966, с.209-214.

17. Ванюшенков М.Г., Коренев Б.Г. Основы расчета конструкций на тепловые воздействия. М.: Изд-во МГСУ, 2003. - 118с.

18. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1963. - 28 с.

19. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978.-183с.

20. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. -784 с.

21. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 492 с.

22. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: ГИТТЛ, 1956. -420 с.

23. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок.-М.: Наука, 1966, с.896-903.

24. Ворович И.И., Малкина О.С. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966, с. 251-254.

25. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных приближений. // Строительная механика и расчет сооружений, 1980, №3, с. 27-30

26. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. -Казань: Изд-во КГУ, 1975. -325 с.

27. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. М.: ИЛ, 1959. -350с.

28. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. -400 с.31 .Гольденбладт И.И., Николаенко Н.А. Расчет термоупругих напряжений в ядерных реакторах. М.: Госатомиздат, 1962.

29. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостех-издат, 1953.-544 с.

30. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. Киев: Издательство «Факт», 2005. - 340 с.

31. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360 с.

32. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. -440с.

33. Исаханов Г.В., Кепплер X., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Исследование алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вельник, 1975, вып.ХХУН, с.3-10.

34. Исаченко В.П., Осипов В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. -М.: Энергоатомиздат, 1980. -416с.

35. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.

36. Камат М.П., Хайдук Р.Дж. Обзор последних достижений в области использования квазиньютоновских методов для анализа и синтеза конструкций // Ракетная техника и космонавтика, 1982, т.20, №6, с. 64-73.

37. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986. -288с.

38. Карпиловский B.C., Криксунов Э.З., Микитаренко М.А. и др. SCAD OFFICE. Интегрированная система анализа конструкций. М.: Издательство АСВ, 2003. - 240 с.

39. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. - 354 с.

40. Коваленко Л.Д. Термоупругость. Киев: Вища школа, 1975. -216 с.

41. Конюхов А.В., Коноплев Ю.Г. Задачи раздувания гипертермоупру-гих оболочек // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XX Международной конференции. СПб: Изд-во СПбГУ, т.Ш, 2003, с.29-34.

42. Копейкин Ю.Д. Применение бигармонических потенциалов в краевых задачах статики упругого тела. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М., 1978.

43. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости.-М.:Наука, 1980.

44. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

45. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МИИТ, М., 1993.-48 с.

46. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. -336 с.

47. Кроник Я.А., Демин И.И. Расчеты температурных полей и напряженно деформированного состояния грунтовых сооружений методом конечных элементов. Учебное пособие. М.: МИСИ, 1982. -102 с.

48. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216с.

49. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз, 1963. - 472 с.

50. Лебедев Н.Н.Температурные напряжения в теории упругости. М.: ОНТИ, 1937.

51. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. -600с.

52. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости. Киев: Изд-во АН УССР, 1951

53. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями.-М.: Физматгиз, 1958. -168с.

54. Милейковский И.Е. Система исходных уравнений пологих оболочек при учете сдвига по толщине и решение их по методу конечных элементов // Пространственные конструкции зданий и сооружений, 1977, вып.З, с.5-10.

55. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. М.: Стройиздат, 1989. - 200 с.

56. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Наука, 1990.-488с.

57. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1981. -216 с.

58. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

59. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. - 352 с.

60. Моисеенко А.К., Цурпал И.А. Плоская задача термоупругости для физически нелинейных сред //Динамика и прочность машин.-Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1968, вып.9.

61. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

62. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины //ДАН СССР, 1959, т. 128, №6.

63. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981. -216 с.

64. Нерубайло Б.В., Смирнов B.C. Напряжения в круговой цилиндрической оболочке при локальном распределении температуры //Труды Уфимского политехнического института. Уфа: Изд-во Уфимского политехнического института, вып.32, 1971.

65. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. J1.-M.: Гостехтеориздат, 1948.-212с.73.0гибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1968. -520с.

66. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. -М.: Физматгиз, 1963. -252с.

67. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможности их анализа. Киев: Сталь, 2002. - 445 с.

68. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.-376 с.

69. Постнов В.А. (ред.) Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов. Труды XX Международной конференции, т. 1-3. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003.

70. Проскурина В.М. Равновесие гибких нелинейно-упругих оболочек при совместном воздействии нагрузки и температуры //Некоторые задачи и методы расчета стержневых систем, стержней, пластин и оболочек. -М.: Изд-во МИСИ, вып. 112, 1973.

71. Ржаницын А.Р. Новые уравнения теории оболочек // Международная конференция по облегченным пространственным конструкциямпокрытий для строительства в обычных и сейсмических районах. Доклады. М.: Стройиздат, 1977, с. 126-139.

72. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов. Рига: Зинатне, 1974. - 270 с.

73. Самарский А.А. Введение в численные методы. -М.: Наука, 1982. -272с.

74. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392с.

75. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем. М.: Издательство АСВ, 2002. - 320 с.

76. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Издательство АСВ, 2005. - 736 с.

77. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций/ Кар-мишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. М.: Машиностроение, 1975. -376 с.

78. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977. -350с.

79. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987. - 160 с.8 8. Термопрочность деталей машин /Под ред. И.А.Биргера и Б.Ф.Шорра. -М.: Машиностроение, 1975. -455с.

80. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

81. Хечумов Р.А., Кепплер X, Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Издательство АСВ, 1994.-353 с.

82. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-536 с.

83. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техника, 1976.

84. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. -М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

85. Шаповалов J1.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1968, №1, с.56-62.

86. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж.журнал, 1964, t.IV, вып.З, с.504-509.

87. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.: ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

88. Шмит, Богнер, Фокс. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием конечных элементов пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №5, с. 17-29.

89. Bushnell D. Stress, buckling and vibration of hybrid bodies of revolution // Computers & Structures, 1977, vol.7, No.4, pp.517-573.

90. Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics // Int. J. Sol. and Struct., 1969, 5, pp. 1259-1274.

91. Friedrichs K.O., Dressier R.F. A boundary layer theory for elastic plates. Comm. Pure Appl. Math., 1964, vol.14, No.l.

92. Gallager R.H., Gellatly R.A., Pedlog J., Mallet R.H. A discrete element procedure for thin shell instability analysis // AIAA Journal, 1967, №1.

93. Kamat M.P., Hayduki R.J. Energy minimization versus pseudo force technique for nonlinear structural analysis // Computers & Structures, 1980, vol.11, №5, pp.403-409.

94. Naghdi P.M. On the Theory of Thin Elastic Shells // Quart. Appl. Math., vol.14, No.4,1957, pp.369-380.

95. Reissner E. On the derivation of the theory of thin elastic shells. -Journal of Mathematics and Physics, Vol.42, No.4, 1963.

96. Reissner E. On the equation for finite symmetrical deflections of thin shells of revolution // Progr. Appl. Mech., New-York, 1963, pp. 171178.

97. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // Journal of Mathematics and Physics. Vol. XXIII, No.4, 1944, pp. 184-191.

98. Reissner E. Stress Strain Relations in the Theory of Thin Elastic Shells // Journal of Mathematics and Physics. Vol. XXXI, No.2, 1952, pp. 109-119.

99. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Quart, appl. Math., 1967, 25, pp.8395.

100. Tsao C.H. Strain-displacement relations in large displacement theory of shells // AIAA Journal, 1964, vol.2, №11, pp.236-238.

101. Turner MJ. Designe of minimum mass structures with specified natural frequencies // AIAA Journal, 1967, №3.

102. Turner M.J., Dill E.H., Martin H.C. and Melosh RJ. Large Deflections of Structural Subjected to Heating and External Loads // Journal of the Aerospace Sciences, vol.27, No.2, 1960, pp. 97-106.

103. Zienkiewicz O.C., Tailor L.R. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann, 2005, 752 pp.