автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Повышение эффективности расчетов сооружений с использованием метода суперэлементов

РГ6 од

- 5 И ЮН 1995 На правах рукоткся

СЕКЛОЧА ВЕСЕЛИИ ВЛАДИМИРОВИЧ

ПОШШПЕ ЭМВПШОСШ РАСЧЕТОВ СООШЕШ С ЕСПОЛЬЗОВЙШШ ЙЕТ0ДА СУПЕРЗЛЕШШ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика Специальность (5.13.12 - Сйстеш авточатизированого

проектирования

4 ВД?

диссертация на соискаша ученой степени кандидата тзтпчвскпх наук

Иосква - 1595'

Работа вщюлнша в: Московской государстешси , хшпзерсатете путей сообщена®

Иаучще руководители: Академик международной акадиезз

ш^ормаотзациа,. доктор тахначэита наук Л профэссор Шапошников' НА

Доктор технических нар; Еезаздадинов 1Ы>..

Официальные оптеюжДоктор технических наук» профессор Золотев,

Каншат технических наук* доцент Смирнов. Шй.

Ееддаа организация .'Московский Научно^свлодовательский • и проектный шетиадг типового* ® экспериментального проектирования:

. Звщэгш. состоится Об шиш 1995. года в КЗ! чи, Ш ми».. на заседание диссортаЦионого совета К 053.II.j0S.. в Московском- государственен строительном университете то адресу,:: Москва,Шлюзовая набережная дом 8 аудитория й 409.

С диссертацией молно ознакомится в библиотеке Московского тосударственого строительного университета..

Автореферат разослан _ ч 1995г..

Ученый секретарь

диссертационого

совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальность теш. При автоматизации расчета различных сооружений наиболее широко используется МКЭ. Этот метод в настоящее время практически не имеет конкурентов при расчетах сложных пространственных пластинчато - стержневых конструкций. Однако использование этого метода обычно приводит к большому числу неизвестных в разрешающей системе уравнений. Унификация и использование сборных конструкций приводит к тому, что большинство сооружений состоит из повторяющихся стандартных элементов. В этих условиях удобным является МСЗ, представляющий собой дальнейшее развитие МКЭ. Несмотря на простоту основных идей МСЭ, программная реализация его гораздо сложнее, чем разработка 'МКЭ программ. Это подтверждается и тем, что число-суперэлементных программных комплексов значительно меньше, чем конечноэлементных. Кроме того, при получении Ш СЭ теряется разреженность матрицы, что в определенных условиях существенно замедляет процесс решения задачи, а иногда и является препятствием ее решения на конкретной ЭВМ из-за нехватки ресурсов.

Цель работы. Совершенствование алгоритмов метода суперэлементов для повышения их эффективности и возможностей метода.

Научная новизна заключается в разработке эффективной методики многоуровнего исключения неизвестных МСЭ, повышения скорости расчетов с помощью МСЭ за счет отбрасывания малых элементов МЖ.

/ Практическая значимость работы состоит в том, что разработан программный комплекс, позволяющий выполнять расчет сложных пространстве :шх конструкций с использованием алгоритмов усечения МЖ.

На защиту выносятся:

- методика повышения эффективности МСЭ за счет усечения матрицы коэффициентов системы уравнений;

- алгоритм многоуровневого исключения неизвестных с усечением МЖ СЭ; ,

- программный комплекс, реализующий МСЭ с усечением матрицы коэффициентов.

Обоснованность и достовершсть научных положений н прикладных результатов работы обеспечивается корректшш использованием математического аппарата, а также сопоставлением получевшх результатов расчета с помощью традиционного Ш.

Аппробатиа работы. Работа обсуждалась на научном семинара кафедрц САй? Московского государственного университета путей сообщения.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введэвзя» четырех глаз, заключения, списка литературы и приложения.

СОДЕРЖА ИВЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш, ее шрши? во-ввзиа и практическая значимость, формулируются ip» и задачи исс-хедовшшв.

В первой главе приведен обзор и анализ шдаадэ© к расчету сооружений с использованием МОЗ.

Развитию чаеленшх методов расчета сооружений с шшьзова-иием МКЭ к КСЭ, а также их совершенствованию посвяаэ®» работа Александрова A.B., Амуеина Б.З., Аргириса Дк., Вате К., Вураьша З.И», Вилсона Е.» Гашгагера Р., Городецкого A.G., Еражашва Ж.С., Звшсевича 0., Каримбаева Т.Д., Лавтуха-Лященко Ä.0., Лащешксжа Б.Я., Масленникова А.М., Мяченкова B.W., Немчинова Ю.И., 0>дева Дж., Ожерельева В.А., Шстнова В.А., Пркеменицкого Розша

Л.А., Сахарова A.C., Синицуиа A.B., Смирнова А.Ф.» Хечумова P.A.., Иаброва H.H., Шапошникова Ü.M. Отмечается, что прй использований МСЭ общий порядок система урашемий снижается, при этом снижается! tt порядок матрица и для ишяорыж задач метод может оказаться слишком трудоемким.

Во второй половине глава рассматриваются метода хранения матриц я решения систем уравнений, использующие разреженную структуру. Такие метода разрабатывались в работах Акыои Р.., Бур-

мана 3.И., Городецкого A.C., Джорджа А., Зенкевича 0., Златева 3., Лю Дж., Морозова Е.М., Мяченкова В.И., Писсанецкого С., Сахарова A.C., Тьюарсона Р., Шапошникова H.H., Зстарбю 0.

В конце главы формулируются цель и задачи дальнейших исследований.

Вторая глава посвящена разработке методов повышения эффективности суперэлементного расчета.

Известно, что при суперэлементном расчете, с одной стороны, уменьшается число неизвестных, а с другой стороны, увеличивается заполнение матрицы коэффициентов. В связи с этим, трудно предсказать для каждой конкретной, конструкции какой из двух методов (f'-КЭ или МСЭ) будет более эффективным. В диссертации показано, что если хранить матрицу с использованием технологии разреженных матриц, то в некоторых случаях СЗ имеет большее число хранимых элементов, чем система КЗ этой кэ конструкции до исключения неизвестных. Более того, чтобы перейти от КЗ системы к СЗ на промежуточном этапе необхода еще больший объем памяти ЭВМ из-за неоптимальной нумерации неизвестных.^ Далее в работе предпринята попытка выработать рациональную последовательность перехода от системы КЗ к СЗ. Дело в там, что неизвестные в СЗ можно исключить за ода раз, а можно выполнить многоуровневое исключение, которое на пределе может перейти в последовательное исключение по одному неизвестному..

• Попробуем выполнить оптимизацию процесса исключения неизвестных в МСЭ (с точки зрения экономии памяти).

Рассмотрим матрицу блочного порядка 2:

"11 "12 V ^

( 1 )

Треугольная матрица, полученная в результате разложения (1) по методу Холецкого шлеег вид:

h О

L *

Основная формула МСЭ для' исключения неизвестных, соответствующих блоку Н(1 , будет следующей:

*гг • нгг " ни" *Цг (3)

Формулу (3) можно записать в воде:

\г = Лг " ^ * " < 4 >

где И = V Н)2 ( 5 )

В соответствии с такой модификацией метода, процесс исключения мозшо записать в виде следующей последовательности шагов:

1. Выполнить неполное разложение матрицы И в соответствии с методом Холецкого для получения матрицы Ь1.

2. Решить треугольную систему уравнений:

1, « И .. Н12 • ( 6 )

3. Модифицировать матрицу 1^.,:

й22 * В22 " И ( 7 )

Такая процедура не дает выйгрыша в числе операций по сравнению с поэлементным исключением неизвестных, соответствующих блоку й,, . При решении системы (б) возникает заполнение матрицы, как и при разложении по Холзцкому, т.е. матрица Я обычно более заполнена, чем . Однако с точки ; зрения программной реализации может бить получено некоторое преимущество, поскольку нет необходимости в подпрограмме обращения матрица.

Особенность этой схемы заключается в способе вычисления второго слагаемого в формуле (3). Она вычисляется следующим образом:

А : н2,. н,г= ( О ■ ( ь,"' к1г) = те 3 те с е >

Дальнейшая модификация метода мокет быть осуществлена в направлении изменения способа вычисления выражения (8):

А = ( V ( V Я1г )) = ¡1,,( V « ) = На,« Й ( 9 )

В этом случае (3) примет вид:

; 5,2 = ^ - . <10

Такой способ, вычисления А носит название асимметричной блочного разложения. Экономичность этого метода зависит от на сколько выгоднее решить систему: •

ьТх й. х я ( 11

а затем вычислить:

по сравнении с вычислением И « И.

В том случае, если матрица являются полностью заполненными, выражения (8) и (9) являются тождественными, и трудоемкость обоих модификаций метода одинакова. При условии, что матрицы являются разреженными, асимметричная.схема является предпочтительней. Это объясняется тем, что нет необходимости вычислять и держать в памяти матрицу Я. Можно решать систему' (11) и вычислять выражение (12) по столбцам. Всякий раз, когда нужно вычислить произведение 17т* ъ или I * г ш можем вычислить Н^*.( х & ) пли Ь~1 ( И(2 * г ), то есть решть треугольную систему и умножить ее на разреженную матрицу.

• с учетом вышеизложенного, процедуру исключения неизвестных МСЗ можно изложить в виде следующей последовательности операций.

. 1.'Разложить матрицу йп на Ь^ Ь* в соответствий с методом Холецкого.

2. Для каздого столбца г = Йф1 матртш й12;

схемы того..

- б -

2.1. Решить треугольную систему:

» = г

2.2. Решить треугольную систему:

т «

я = «

2.3. Для матрицы й^ вычислить:

Такая схема исключения, когда № в явном виде не хранится, называется неявной схемой исключения.

Таким образом, если исключать сразу все неизвестные, кроме оставляемых, то вопрос об общем алгоритме решен. Остается выяснить, можно ли уменьшить трудоемкость работы за счет разделения матрицы И на дополнительные блоки и выполнить многоуровневое исключение неизвестных. ■ . ■

При использовании неявной асимметричной схемы .исключения, как мы водим, заполнение возникав? только в диагональных блоках. Следовательно необходимо стремиться к тому, чтобы матрица была разбита на возможно большее число блоков. Тогда размеры диагональных блоков будут минимальны,. а разложение матрицы при разложении будет мало. При атом разбивка на блоки должна быть выполнена таким образом, что бы не возникало блочного заполнения, то есть не возникали новые ненулевые внедиагональные блоки. В работе А.Джорджа и Дк. Лю приводится теорема, в которой утверждается, что для того чтобы матрица при гауссовом исключении по блокам не испытывала блочного заполнения, граф ее блочной структур) был монотонно упорядоченным деревом.

Таким образом, для исключения с минимальным заполнением необходим выполнить следующую процедуру.

Выделить узлы элемента конструкции, которые остаются в СЭ после исключения в один блок, и принять его за корень. Затем вы-

полнить такую перенумерацию оставшихся неизвестных и разбивку матрицы на блоки, чтобы граф блочной структуры шел вид монотонно упорядоченного дерева при возможно наименьших размерах диагональных блоков. Процесс построения такого дерева называется древовидным разбиением графа.

После этого последовательно, начиная с блока с минимальным номером, для каждого блока применяют процедуру исключения с использованием неявной асимметричной схемы, рассмотренной ранее. В результате таких исключений на последнем этапе остается ода блок, представляющий собой МЖ СЭ оставляемых узлов.

Неявную асимметричную схему исключения в случае п блоков, можно записать в виде следующей последовательности операций:

1. Для к = 1, 2, 3, ... , п-1 выполнить:

1.1. Разложить блок П^ на треугольные множители в соответствии с методом Холецкого;

1.2. Для каждого столбца г блок решить систему:

V1 7 = г'

вычислить вектор т

я = Й * V кга •

и вычесть его из соответствующего столбца Нт.

При таком алгоритме расчета вся требуемая память - это память, необходимая для хранения ввкторов г и V?, поскольку вектора г и и можно совместить в памяти. Длина этих векторов равна размеру максимального блока, полученного при древовидном разбиении.

Поскольку во вне диагональных блоках, при использовашш данного метода, заполнение не происходит, то с точки зрения вне диагональных блоков порядок нумерации внутри блока не играет никакой роли. Учитывая этот факт, дополнительно в каждом блоке производится внутриблочное переупорядочивание с целью минимизации профиля каждого диагонального блока. Это позволяет достигнуть дополни-

тельной экономии памяти: требуемой для процедуры исключения.

При использовании такой методики процесс исключения , заключается в следующем. Сначала выбираются те узлы ( степени свобода ), которые остаются в СЭ после исключения, Затем программа, шея ату информацию, анализирует структуру матриц, выбирает оптимальное количество блоков исключения и выполняет соответствующую перенумерации оставшихся степеней свобода. Те части матрицы, которые соответствуют оставляемым неизвестным, помещаются в последйий блок.

После этого выполняется поблочное исключение по Гауссу до последнего блока. В результате этой операции остается Ш СЭ.

Далее в диссертации приводятся портреты матриц при исключении неизвестных предлагаемым и традиционным методами. Из приведенных исследований вида, что "на эффективность''схвш'искдочеш влияют места . расположения оставляемых узлов. ' Неудобная с' точке зрения гауссова исключения их расстановка может привести к неудачной нумерации неизвестных и значительно увеличить заполнение матрицы. В этих условиях предлагаемый метод при'фиксированных оставляемых узлах пытается разделить остальные узлы на блоки и перенумеровать их тшсим образом, чтобы минимизировать' заполнение матрицы, .'а, следовательно, и трудоемкость исключения неизвестных.

Таким образом, в целом предложенный метод обеспечивает компактное хранение матрицы й эффективный процесс исключения неизвестных. Для простых систем, в том случае если оставляемые узд находятся рядом, этот метод имеет запроса к памяти сопоставимые < профильным методом. Если оставляемые узла находятся в разных частях конструкции, шш если конструкция является топологичесю сложной, то предлагаемый метод имеет существенные преимущества п< сравнению с профильным методом.

Вторая часть главы посвящена дальнейшему повышению эффективности МСЭ. Это достигается путем искусственного разреживания Ш удалением из нее элементов, значения которых пренебрежимо малы га сравнению с другими глеыентами. Эффективность такой процедур! проявляется особенно при работе с большими СЭ. Рассмотрим типич ный пример - расчет высотного здания.- Если все этажи являются ти

повыми, наиболее рациональной последовательностью расчета является составление СЭ этажа с оставленными по верхнему и нижнему контуру узлами, и дальнейшее увеличение СЭ за счет наращивания этажей с .использованием метода последовательной пристыковки СЭ или последовательного удвоения СЭ. В этом случае даже интуитивно ясно, что влияние коэффициентов Ш узлов, расположенных в различных концах этажа будет ничтожно малым. С математической точки зрения это означает, что -диагональные коэффициента Ш для этих узлов будут на несколько порядков больше, чем коэффициент их взаимного влияния.. ::'

При этом возникает несколько вопросов. Во-первых, какие коэффициенты можно удалять и какие желательно удалять? Во-вторых, сколько коэффициентов можно удалить, чтобы решение имело приемлемую точность?

' . Удаление коэффициентов-начинается с минимального по абсолютной величине. Такое удаление продолжается до. тех пор, пока не будет удалено нужное. количество элементов.При этом, каздый раз удаляется кинжальный по абсолютной величине коэффициент из оставшихся. Удалению не подлежат коэффициенты* лежаядае на диагонали, поскольку при 'этом.теряется положительная определенность матриц. Крои? того, на выбор элемента Ш,г, который необходимо удалить, влияет принятый способ хранения матрицы. Например, если, матрица хранится в виде ленты или профиля, а удаляемый элемент находится внутри нее, то такое удаление не приведет к повышению эффективности расчета, поскольку всэ элементы внутри ленты считаются ненулевыми.' ■ / - •

Следовательно, чтобы предлагаемый метод использовался с наибольшей эффективностью, необходимо использовать метода хранения матрицы, максимально использующими ее разреженность. Можно также удалять элементы внутри ленты, но каким-либо образом дополнительно помечать, что элементы отсутствует ( например, в графе матрицы ), тогда при формировании СЭ следующего.уровня перенумерация неизвестных будет производится с учетом того, что данный элемент является нулевым. -

Для того, чтобы определить допустимое количество удаляемых

элементов матрицы, необходимо знать как повлияет.удаление коэффициента на результаты решения системы равнений. .

Систему алгебраических уравнений с усеченной.матрицей коэффициентов мокно записать следующим образом:

где п - размерность вектора х.

Такая норма не имеет ясного' геометрического смысла, как, например евклидова норма, но она является менее трудоемкой при выполнении вычислений. '

Если далее ввести два числа:

Н = шах { | R * х | /1 х ) (15)

m = min ( | R * х | / | х | ) , ( 16 )

то число обусловленности матрицы можно записать:

( R + Е } « X. = Ь

( 13 )

где .Н - матрица жесткости СЭ;

Е - матрица возмущения, вносимого усечением Ш; х(- приближенное решение, полуаенное с усеченной.МЖ. Определим норму вектора, следующим образом:

cond < R ) = М / ш

(17 )

Относительная ошибка, в этом случав, имеет вид I * - I

( 18 )

-t

где р « ß = | Е | / | R |

-t

Норма матрицы может быть также вычислена по формуле:

сопй(Н)а|И|<«|а| (19 )

Таким образом, если задаться допустимой относительной погрешностью решения, то можно определить на сколько можно усекать матрицу коэффициентов:

- т 1 * - I, |

5 Б I ~ сопй { В ) ( 20 )

Основной;сложностью такого контроля за процессом усечения матрица является высокая трудоемкость вычисления числа обусловленности матрицы, поскольку для этого необходимо находить обратную матрицу. .

Для того, чтобы формулу (20) можно было использовать в реальных расчетах, будем использовать приближенное выражение для определения числа обусловленности матрицы:

стай ( Н ) » -шах ' ( | г,.| « | в | /■ 1 у | ) ( 21 ) 3 3

где у и г - векторы, определяемые в результате решения двух систем уравнений!

ЯТ х у = е ( 22 )

Н * г = у , ( 23 )

где е - вектор с компонентами 1, побираешх специальным образом.

Более подробно процесс вычисления числа обусловленности матрицы по формуле (21) и соответствующая вычислительная программа рассмотрены в диссертации.

Для выбора наиболее оптимального коэффициента усечения разработана методика анализа чувствительности к усечению матрицы.

Введем коэффициент усечения как отношение норм двух матриц:

b = I R* I / { R I ( 24 )

•где R - исходная ( неусеченная ) MS;

R* - усеченная

В этом случае МЖ и вектор перемещений будут зависеть от коэффициента усечения. Это можно записать следущим образом:

А = я.( Ь ); . и и ( Ь ) У.;';;.:• ( 25 \

Функция коэффициента усечения является дискретной величиной, имеющей значения лишь в отдельных-точках, поэтому да выполнения анализа чувствительности заменим ее некоторой дифференцируемой кривой соединяющей эти точки. '

Основное уравнение равновесия МСЭ можно записать.следующим образом: ■ */','.■.

'й ( Ь ) « и ( Ь ) . = р ; ( 26 )

Поскольку входящие в него функции зависят от одной' переменной Ь, то частные производные равны полным. В этих условиях производная вектора перемещений тлеет вид:

du au u ( b + i )

-= --( 27 )

db db <5

где. x - малое возмущение b.

Учитывая уравнение (26), выражение (27) можно записать в следующем виде:. •

-1 -1 •.;■'■■ du р х ( R(bu) - R(b) )

---s---( 28 )

db ° %

Из общей теории ЫКЭ известно выражение для вычисления напряжений в КЭ по значению вектора узловых перемещений:

о = D * В » u ( 29 )

Поскольку напряжения вычисляем для каждого КЭ отдельно, и при этом матрицы D и В не усекаются, то эти матрицы не зависят от коэффициента усечения. Тогда производные вектора напряжений можно записать:

do du -= D * В * -

db db ( 30 )

В третьей главе приводятся основные алгоритмы, реализующие предложенные методики, описание программ и порядок составле!шя исходных данных для расчета.

В четвертой главе выполнены численные исследования Б приложении приведено конструктивное решение здания "Большой офис" многофункционального комплекса Бизнес-центра."Болтай офис" представляет собой многоэтажное здание с размерами в плане 190 х 25,5 мм и переменной еысоти. Максимальная высота здания 239 м. На рис.1 приведен продолышЛ разрез здания. В работе выполнен расчет этого здания на статическое воздействие горизонтальной ветровой нагрузки, действующей со стороны фасада. Закон изменения нагрузки принимался в виде трещин. К расчету здания был применен метод супер элементов, при этом конструкция разбивалась на подконструкции: ядра жесткости (рис.2), лестница и плиты перекрытий. На рис. 3 приведен деформированный вид расчетной схемы конструкции в собранном состояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, выполнено совершенствование алгоритмов метода суперэлементов для повышения их эффективности и возможностей метода.

1. Разработана методика повышения эффективности МСЭ за счет оптимизации процедуры исключения неизвестных.

2. Разработана методика повышения эффективности МСЭ за счет искусственного сохранения разреженной структуры редуцированной МЗК путем усечения МЖ.

3. Разработана методика оценки погрешности вызванной усечением №.

4. Определена схема хранения Ж при которой усечение дает наибольший эффект.

5. Разработаны алгоритмы расчета с усечением МЖ 03.

6. Разработано программное обеспечение, реализующее расчет с усечением матрицы СЭ.

7. Выполнены численные "расчеты с целью тестирования предложенных методов.

Рис. I.

Подписано в печать 10.05.95 Формат 60x84^/16 Печать офсетная И-102 Объем I уч.-изд.х. Т.80 Заказ /6? Московский государственный строительный университет. Типография МГСУ. 129337, Москва, Ярославское