автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и применение метода конечных суперэлементов для решения задач математической физики в неоднородных областях

На правах рукописи

САВЕНКОВ Евгений Борисович

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В НЕОДНОРОДНЫХ

ОБЛАСТЯХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша Российской Академии Наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

М.П. Галанин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

A.B. Колдоба, доктор технических наук, профессор Г.Н. Кувыркин Ведущая организация: Московский Государственный Университет

им. М.В. Ломоносова

Защита состоится « на заседании Диссертационного совета

№ Д002.024.02 при Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан < 7 > ОУТ&ЬрЯ 200^.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук ~У г^ Г.В. Устюгова

У

2005-4

12703

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1 Актуальность темы

Существует широкий класс задач, решение которых содержит резкие неоднородности, проявляющиеся на мелких по отношению к размеру области пространственных масштабах. Численное решение таких задач сеточными методами требует специальных сеток для разрешения особенностей. Для этого необходимо использовать либо адаптивные к решению сетки, сгущающиеся в окрестности особенностей, либо достаточно мелкие сетки с шагом к и огромным количеством точек. Первый вариант требует применения специальных алгоритмов, второй - соответствующей памяти ЭВМ. В то же время проявления особенностей зачастую являются локальными, сосредоточенными в мелкомасштабных подобластях. Подтверждением тому является характерный вид функций Грина и типичных решений многих задач математической физики, а также физические эффекты такие, как принцип Сен-Венана в теории упругости и другие. Наличие областей сосредоточения неоднородностей позволяет ввести сетку с характерным размером Н>Ь, узлы и ребра которой проходят по участкам относительной гладкости решения. При этом сетка размером И заведомо не позволит разрешить особенности при использовании обычных численных методов, но зато число ее узлов достаточно мало.

Для решения подобных задач на сетках размером Н в работах Л.Г. Страховской и Р.П. Федоренко1 был предложен метод конечных суперэлементов (МКСЭ). Метод появился более 25 лет назад и использовался при решении ряда сложных задач диффузии, теории упругости, кинетики ядерных реакторов и других.

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базисных функций, имеющих конечный носитель. При этом мера таких носителей предполагается малой (сетка к) и стремящейся к нулю. Базисные функции в МКЭ берутся в виде функций сравнительно простой структуры, как правило, полиномиальной. МКСЭ также основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базисных функций, имеющих конечный носитель. Однако в случае МКСЭ мера таких носителей (сетка Я) не предполагается стремящейся к нулю и столь велика, что она заведомо не позволяет (при использовании МКЭ) передать особенности решения. Другое отличие касается построения базисных функций. В МКСЭ базисные функции строятся для данной рассматриваемой задачи специальным образом так, чтобы в них самих содержалась значительная информация о решении задачи. Именно специальный, под задачу, выбор базисных функций и позволяет с помощью очень грубого разбиения исходной области получить хорошее численное решение.

Несмотря на свой возраст, теоретически метод исследован сравнительно слабо. Обоснование одного варианта метода было предложено в работах В.В. Репяха2

В настоящей работе предложен теоретический алгоритм, позволяющий строить и исследовать аппроксимации МКСЭ для достаточно широкого класса задач. Помимо МКСЭ рассмотрены комбинированные аппроксимации метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов.

Укажем причины, по которым для исследования метода конечных суперэлементов не может непосредственно применяться техника исследования обычного метода

1 Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство МФТИ, 1994. 528 с.

'Репях В.В. Применение одного варианта метода конечных суперэлементов к решению задач теории упругости // ЖВМиМФ 1986. Т.26. №11. с, 1643-1 метода

приближенных суперэлементов // ЖВМиМФ. 1989. Т.30. )

конечных элементов.

Алгоритмически эти методы сходны. Во всех случаях приближенное решение ищется как линейная оболочка некоторой системы базисных функций. Конечномерная задача (система линейных алгебраических уравнений для узловых значений конечных элементов/суперэлементов) во всех случаях формально получается из условия ортогональности невязки приближенного решения некоторому конечномерному подпространству. Отличие состоит в том, что в случае МКЭ базисные функции задаются (исходя из некоторых условий), а в случае МКСЭ (или комбинированного подхода) все (или некоторые) базисные функции рассчитываются как точные решения рассматриваемой задачи.

Несмотря на внешнее сходство, эти методы качественно различны с точки зрения их теории. Остановимся на этом подробнее.

Предположим, что ищется решение и следующей задачи:

ueW: a(u,v) = f( v) S/v G W,

где W - некоторое гильбертово пространство, в - билинейная непрерывная положительно определенная форма в пространтве WxW, f - линейная непрерывная форма на W. Такой вид имеют слабые постановки большого количества задач математической физики.

Пусть приближенное решение задачи ищется как элемент конечномерного пространства Wk С W. Пространство Wh является линейной оболочкой той или иной системы базисных функций.

Приближенное решение uj, определяется как решение следующей конечномерной задачи:

мЛ € Wh : o(uA, vh) = f(vh) 4vh e Wh.

В методе конечных элементов пространство Wh выбирается так, чтобы его элементы аппроксимировали произвольный элемент пространства W. Другими словами, требуется наличие оценки для ошибки наилучшего приближения вида

Vtu 6 W : inf ||u> - tCfcH ^ e(w, h),

где e(w, h) - оценка ошибки интерполяции элемента vi функцией w/, е Wh, e(w, ft) -v О при стремлении параметра дискретизации ft к нулю. Последовательность пространств {W¡i} при этом называется предельно плотной в W.

В соответствии с леммой Cea3 ошибка приближенного решения оценивается сверху величиной ошибки наилучшего приближения решения элементом пространства

щ,

11« - иЛ|| < С inf j¡u - w/ill ^ Се(и, h),

где иь - приближенное решение задачи. Таким образом, оценка ошибки приближенного решения сводится к оценке ошибки интерполяции произвольной функции из W элементами пространства Wh- Отсюда вытекает одно го основных требований к базисным функциям - они должны обладать аппроксимирующими свойствами.

Это требование не будет выполняться, если пытаться использовать для исследования МКСЭ рассмотренную процедуру непосредствено. В самом деле, в МКСЭ базисные функции не задаются, а рассчитываются как точные решения задачи. Поэтому

sСьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.:Мир, 1980. 512 е., с. 109

в общем случае они не будут обладать какими-либо аппроксимирующими свойствами и для них величина е(т, Л) уже не будет стремиться к нулю для произвольного

Описанное выше препятствие теоретического характера можно обойти. А именно, обратим внимание на то, что при построении аппроксимаций МКСЭ по существу задаются не сами базисные функции (они, как указано выше, рассчитываются специальным образом), а следы этих функций на границах суперэлементов, т.е. некоторые граничные базисные функции. Эти базисные функции уже обладают аппроксимирующими свойствами в пространстве функций, заданных на границе. Бели записать задачу относительно них, исключив из рассмотрения «внутренности» суперэлементов, то к ней уже можно применить описанный выше подход с использованием леммы Сеа и другого теоретического аппарата теории вариационных уравнений и проекционных методов. При этом ошибка приближенного решения будет определяться ошибкой интерполяции произвольной функции, заданной на границе суперэлементов, элементами соответствующего конечномерного пространства функций, также заданных на границе.

Реализации этого подхода для ряда задач и посвящена настоящая работа.

Отметим, что термин «суперэлемент» известен в теории метода конечных элементов и не в связи с методом конечных суперэлементов Р.П. Федоренко. Обычно он употребляется для обозначения группы конечных элементов, рассматриваемых совместно. Поясним это на примере.

Рассмотрим некоторую расчетную область, в которой решается задача. Пусть в этой области задана некоторая триангуляция, на которой определены финитные базисные функции. Задача определения узловых значений конечных элементов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида

А» = /, (1)

где А - матрица жесткости задачи, и - вектор узловых значений конечных элементов, / - вектор правой части.

Выделим в этой области некоторую группу соседних конечных элементов, занимающих подобласть 5 расчетной области. Пусть и,,щ- векторы узловых значений конечных элементов, соответствующие внутренним и граничным узлам области 5 соответственно, щ - вектор узловых значений, соответствующий оставшимся узлам расчетной области.

Тогда задача (1) может быть записана в следующем блочном виде:

Аы, Аь, Аьо V Г/Л

Ал А„ 0 «« = и

/4» 0 Ацо ."о. /о

Эта система уравнений совпадает с системой (1) с точностью до перестановки строк. Нулевые блоки в матрице этой системы появляются вследствии финитности базисных функций. Считая, что матрица А„ невырожденная, выразим из второй строки этой системы уравнений вектор и,. Получим

и, = А'1/, - А'1 А,ь«ь-

Подставляя это выражение обратно в систему (2), получим:

Аы, - Аь,А~}Ал Аьо Аоь Аю

¡ь - АьА-1/,

«0. /о

Таким образом, можно понизить порядок системы уравнений для определения узловых значений конечных элементов, заранее исключив из нее неизвестные, соответствующие части узлов. Такой подход, когда группа конечных элементов рассматривается как одно целое, называется методом суперэлементов4, а указанная группа конечных элементов называется суперэлементом и может рассматриваться как самостоятельный объект при построении аппроксимаций задачи.

В рассмотренном выше примере был всего один суперэлемент S. В общем случае их может быть несколько, и они могут покрывать всю расчетную область. В этом случае система (3) будет связывать только неизвестные, соответствующие узлам на границах суперэлементов.

Рассмотренный выше подход также иногда называют методом разделения (декомпозиции) области для конечномерных задач Известны его модификации, когда системы базисных функций для узлов на границах суперэлементов выбираются специальным образом, отличным от способа выбора базисных функций для внутренних узлов суперэлементов5.

Для полноты отметим, что в последнее время активно развиваются и другие методы численного решения задач на основе представления решения в виде разложения по системе базисных функций, в свою очередь являющихся решениями специальных вспомогательных задач для исходного оператора (RFB - методы на элементах с нулевой невязкой)6. Очевидно их родство с МКСЭ.

Также к родственным подходам можно отнести методы декомпозиции области. Эти методы можно расматривать как итерационные методы решения некоторых уравнения для следов решения на границах некоторых подобластей7.

Отметим также метод наименьших квадратов на границе и метод Треффтца8. В этих методах решение ищется в виде линейной комбинации функций, каждая из которых является точным решением исходной задачи. Неизвестные коэффициенты в этой линейной комбинации определяются так, чтобы граничные условия на границе расчетной области выполнялись в некотором наилучшем смысле. В отличие от МКСЭ здесь не происходит разбиения области на меньшие подобласти, решение и базисные функции определены сразу во всей расчетной области. Функции, входящие в указанную линейную комбинацию, обычно задаются явно в виде некоторых алгебраических или тригонометрических многочленов.

1.2 Цели работы

Диссертация посвящена дальнейшей разработке и развитию метода конечных суперэлементов Р.П. Федоренко и его применению для решения задач математической физики в физически и геометрически неоднородных областях.

* Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с.

ЪВ.И. Агошков, Методы разделения области: некоторые результаты теории и приложения // М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1990, 40 с.

"Brezzi F., Franca L.P., Russo A. Puther consideration on residual-free bubbles for advective-diffusion equation // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. №166. p. 25-33., Franca L.P., Ruuo A. Approximation of the Stokes problem by Residual-Free Macro Bubbles // East-West J. Appl. Math. 1996. №4. p. 265-278., Brezzi F, Hughe» T.J R, Marini L D, Rusto A A priory error analysis of residualfree bubbles for advective-diffusion problems // SIAM J. Numer. Anal. 1999. V.36. №6. p. 1933-1948., Жуков В. T, Новикова Н.Д., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова О-В. Метод конечных элементов в задачах конвекции-диффузии. // Препринт ИПМ РАН. М., 2001. №8.

7 Марчук Г.И. Введение в вычислительную математику. М.:Наука, 1989. 608 с.

'Ректорис К Вариационные методы в математической физике и технике, М.:Мир, 1985, 590 с.

В работе разработан теоретический подход для построения и исследования метода конечных суперэлементов, а также исследована эффективность метода при решении ряда задач.

В работе МКСЭ применен для численного решения таких задач, как задача о скважине для уравнения Лапласа в двумерной области, задача о скоростном скин-слое в пространственно двумерном случае и задача теории упругости композиционных материалов в пространственно трехмерном случае. Для этих задач построены и исследованы аппроксимации метода конечных суперэлементов, проведено их численное исследование.

1.3 Научная новизна

Основой работы является идея замены исходной краевой задачи эквивалентной ей задачей для определения следов неизвестного решения на границах суперэлементов с помощью граничных операторов Пуанкаре - Стеклова.

Расчетная область при этом разбивается на некоторое количество непересекающихся подобластей-суперэлементов. Далее на основе граничных операторов Пуанкаре-Стеклова и формулы Грина, соответствующих оператору задачи, строится обобщенная постановка (вариационное уравнение) для определения следов решения исходной задачи на границах суперэлементов. Использование операторов Пуанкаре-Стеклова позволяет исключить из рассмотрения «внутренности» суперэлементов. Для построения аппроксимаций указаппого вариационного уравнения для следов могут применяться стандартные подходы и методы теории абстрактных вариационных уравнений и проекционных методов9. Это позволяет формально и единообразно рассматривать различные варианты МКСЭ, соответствующие тем или иным проекционно-сеточным методам, получить оценки ошибок и т.д. Таким образом МКСЭ «вкладывается» в известную и хорошо разработанную теорию.

При сведении исходной задачи к задаче для следов используются операторы Пуанкаре-Стеклова. Они были предложены в работах Лебедева и Агошкова10 как средство теоретического исследования методов декомпозиции области. При этом методы декомпозиции области рассматриваются как итерационные методы решения соответствующих уравнений для следов. Это позволяет использовать при их исследовании теорию итерационных методов решения абстрактных операторных уравнений. В соответствии с описанным выше подходом метод конечных суперэлементов может рассматриваться как проекционный метод решения этих уравнений, что позволяет использовать при их исследовании известную теорию проекционных методов.

Наряду с МКСЭ в работе рассмотрен комбинированный подход, в котором для аппроксимации задачи используется как МКСЭ, так и МКЭ. В этом случае в некоторых конечных элементах используются обычные аппроксимирующие базисные функции

8Обэн, Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977 384 е., Съяр-ле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.:Мир, 1980. 512 с., Марнук Г И, Агош-ков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 е., Красносельский М.А., Ваймикко Г.Ы., ЗабреОко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В Я Приближенное решение операторных уравнение. М.: Наука, 1969. 456 с.

'"Агошков В.И., Лебедев В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах // Вычислительные процессы и системы. Т.2. М.: Наука, 1985, Агошков В.И Методы разделения области в задачах математической физики // Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики. М.: ОВМ АН СССР, 1989, Лебедев В И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М: ОВМ АН СССР,

1983., Марнук Г И Введение в вычислительную математику. М.:Наука, 1989. 608 с.

(как в обычном методе конечных элементов), а в некоторых - супералементные базисные функции. В этом случае в расчетной области также выделяется некоторое количество подобластей-суперэлементов, но они уже не покрывают всю расчетную область. В подобластях, занятых суперэлементами, осуществляется переход к рассмотрению следов решения на границах суперэлементов. В части области, не занятой суперэлементами, используются обычные аппроксимации метода конечных элементов.

При построении оценок приближенного решения в этом случае используется как обычный конечно-элементный подход (в тех подобластях, где используются обычные базисные функции) так и суперэлементный подход (в тех подобластях, где используются суперэлементные базисные функция). Переход от исходной задачи к задаче определения следов осуществляется локально, лишь там, где это необходимо.

Отметим, что сведение задачи к задаче для следов для МКСЭ или комбинированного подхода необходимо лишь для построения расчетной схемы и теоретического исследования метода. Это позволяет использовать при обосновании этих методов готовую и хорошо разработанную теорию. С точки зрения алгоритма построения конечномерной задачи эти методы сходны с обычным методом конечных элементов.

Подчеркнем отличия метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов. При построении аппроксимаций МКСЭ задача записывается относительно следов решения на границах суперэлементов. При этом суперэлементная сетка не является «разностной» в обычном смысле этого слова. Это разбиение области на меньшие подобласти, оно происходит на этапе построения уравнения для следов, до построения конечномерных аппроксимаций. На границах суперэлементов задается некоторая разностная сетка, на которой задаются те или иные граничные базисные функции. Эти базисные функции должны обладать аппроксимирующими свойствами в подходящем пространстве следов. Шаг А граничной сетки является параметром дискретизации, приближенное решение задачи сходится к точному, когда Л —> 0. Диаметр суперэлементов не зависит от шага к разностной сетки и не меняется при

1.4 Практическая ценность

Разработанный в работе подход позволяет единообразно и формально строить и исследовать аппроксимации метода конечных суперэлементов для большого класса задач математической физики. В работе рассмотрена модельная задача о скважине для уравнения Лапласа. Также рассмотрены задачи, имеющие важное прикладное значение. Одной из таких задач является задача о скоростном скин-слое, возникающая при математическом моделировании электродинамических ускорителей типа «рельсотрон». Помимо этого, рассмотрена задача теории упругости композиционных материалов. Предложенный в работе подход может быть формально распространен на большой класс эллиптических задач с оператором дивергентного вида. Существенным здесь является наличие для конкретной задачи формулы Грина (некоторого соотношения, связывающего интегрирование по объему с интегрированием по границе) и оператора Пуанкаре-Стеклова, описывающего реакцию решения задачи «в целом» на внешнее воздействие на границе расчетной области. Отметим, что существование формулы Грина для симметричных положительно определенных операторов в гильбертовом пространстве является следствием общей теории («абстрактней» формула Грина11). Теория же операторов Пуанкаре-Стеклова хорошо разработана в связи с

11 Обэн, Ж.-П Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 384 с.

обоснованием методов декомпозиции области.

Разработанный подход также применим и для построения расчетных схем МКСЭ для нестационарных параболических задач. В этом случае задача сначала может аппроксимироваться только по времени (метод прямых или метод Роте12), и возникающие ва каждом временном слое эллиптические задачи решаются с помощью метода конечных суперэлементов.

Метод конечных суперэлементов входит в класс методов, в которых решение исходной задачи сводится к решению серии более простых задач, например, задач в областях более простой формы. Методы данного класса, например, методы разделения области, активно исследуются в настоящее время в связи с появлением эффективных алгоритмов решения краевых задач в областях простой формы и возможностью эффективной реализации алгоритмов этих методов на многопроцессорных и параллельных ЭВМ. В работе рассматриваются некоторые результаты по реализации МКСЭ на вычислительных машинах с параллельной архитектурой.

1.5 Аппробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН и на следующих конференциях: «Студенческая научная веснаг2001», 2001, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва; Второй международный конгресс студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука-третье тысячелетие»/YSTM'02, 15-19 апреля, 2002, Москва, Россия; 7th International Conference «Mathematical Modelling and Analysis», May 31-June 2, 2002, Ka&riku, Estonia; First International Conference «Computational Methods in Applied Mathematics СМАМ-1», July 20-24, 2003, Minsk, Belarus; International Conference «Mathematical Modelling and Analysis ММА-2004», May 26-29,2004, Jurmala, Latvia; Международная конференция по вычислительной математике МКВМ-2004, 21-25 июня, 2004, Новосибирск, Академгородок, Россия.

1.6 Публикации

Результаты выполненной работы представлены в 12 печатных работах (см. раздел «Публикации автора по теме диссертации»).

1.7 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на ш страницах и содержит рисунков, а также билиографию из 62. ссылок.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении рассмотрены основные идеи метода конечных суперэлементов и близких ему подходов. Обсуждены проблемы, возникающие при теоретическом обосновании МКСЭ. Описаны основные идеи и подходы, используемые в работе. Рассмотрены задачи, для численного решения которых в работе используется МКСЭ.

"Мартинсон Л.К, Малое Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики./Под ред. В.С.Зарубина, А.П Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им НЭ Баумана, 1996. 367 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. ХП).

О \—- ' 1 \

1 "ч ' у' О! ,> ---------V

/ / \

^ 1 О /

О ! 1 1 1 1 /

Рис. 1. Область и супералементы

Глава 1

В первой главе рассмотрен метод конечных суперэлементов для решения задачи о скважине. Математически она формулируется как краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в многосвязной области, которая получается из некоторой связной области удалением некоторого количества кругов малого диаметра («скважин»). Сложность задачи заключается в том, что диаметр скважин существенно (на несколько порядков) меньше диаметра расчетной области. Отметим, что такая задача служит широко распространенным тестом при разработке нестандартных методов численного решения. Эта задача была одной из первых, для которой в работах Р.П. Федоренко и Л.Г. Страховской был предложен метод конечных суперэлементов.

Приведем постановку задачи Требуется определить заданную в области П функцию и е И^П, — Д), которая является решением следующей задачи:

-Аи = /, х 6(1, «|эп = 9, / е Ь2(П), д е И^П, -Д) = {и : и е Ж21(П), -Ди 6 Ь2(П)} •

Здесь область П С К2 - открытая многосвязная многоугольная область, полученная из открытой односвязной многоугольной области По С К2 удалением некоторого количества непересекающихся замкнутых кругов {5,} («скважин») (Рис. 1), и£, с

По, П = П0 \ и 5,.

Обозначим через Г0 = дПо, Г; = дЗг соответственно внешнюю и внутренние границы области П, тогда П = П и Г, Г = 9П = иГ, и Г0. Краевое условие I рода

I

задает след искомого решения на всей несвязной границе области П.

Для этой задачи сначала рассмотрена обычная слабая постановка, используемая для построения аппроксимаций метода конечных элементов. Далее, на основе формулы Грина и операторов Пуанкаре-Стеклова построена слабая постановка для следов решения исходной задачи на границах суперэлементов. Исследованы свойства этой постановки, в частности, доказаны непрерывность, симметричность и по-

ложительная определенность соответствующей билинейной формы. Показано, что аппроксимация этой задачи с использованием кусочно-линейных базисных функций и кусочно-постоянных пробных функций приводит к варианту МКСЭ, предложенному в оригинальных работах Р.П. Федоренко и его коллег. Помимо этого рассмотрен вариант метода, соответствующий аппроксимациям Бубнова-Галеркина, когда пространства базисных и пробных функций совпадают. Для этого же варианта МКСЭ построены абстрактные оценки ошибок как для приближенного решения задачи для следов, так и для решения задачи во всей области. Приведены результаты численных расчетов. Экспериментально определена зависимость ошибки метода от размера суперэлементов. Эти расчетные данные сравнены с полученными теоретическими оценками.

Наряду с аппроксимациями МКСЭ рассмотрены также комбинированные аппроксимации метода конечных суперэлементов и метода конечных элементов. Для этого варианта метода построена соответствующая слабая постановка, получены абстрактные оценки ошибок и их частный случай, соответствующий случаю кусочно-линейных базисных функций. В дальнейшем этот метод применен для решения задачи о скоростном скин-слое.

В заключении приведены некоторые результаты по распараллеливанию метода конечных суперэлементов.

Во второй главе рассмотрен метод конечных суперэлементов для решения задачи о скоростном скин-слое. Эта задача возникает при математическом моделировании электродинамических ускорителей макротел типа «рельсотрон». Решение задачи имеет особенность типа пограничного слоя. Аккуратный расчет особенности представляет особый интерес, так как с ее наличием связана проблема «кризиса» контакта между рельсом и якорем. Эта проблема, в свою очередь, является одной из основных при конструировании и технической реализации подобных устройств. Более подробная информация о физической и математической постановке задачи приведена в работе13.

Задача рассматривается в пространственно-двумерном приближении Требуется определить функцию Н — Н(х, у, {), удовлетворяющую в двумерной области П уравнению

и заданным начальным и граничным условиям.

Задача решается в двумерной области О = П^иОд, где Пд - область, занимаемая рельсом, Од - область, занимаемая якорем (Рис. 2).

13Галанин М П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах-Математическое моделирование, М -Наука Физматлит, 1995, 320 с

Глава 2

При этом

х е Па, х е Оя

Вектор скорости якоря направлен вдоль оси Ох,

*>(*) = М«),0)

где иа{{) в рассматриваемой двумерной постановке может считаться заданной функцией времени. Конкретный вид функции «„(<) определяется полной постановкой задачи, включающей в себя уравнения движения якоря.

На части Гг границы расчетной области заданы граничные условия 1 рода, на-оставшейся части границы Г1 заданы граничные условия 2 рода.

Вид расчетной области приведен на Рис. 2.

г, Г2

Г2 1 1 Г2 ПА Г1 Г2 1 «

п1-1-1--3--1—->

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

х

Рис. 2. Расчетная область.

В главе приведена слабая постановка задачи. Далее построена ее аппроксимация по времени. Для решения стационарных задач, возникающих на каждом временном слое в дальнейшем использован МКСЭ. Далее, в соответствии с общим подходом, используемом в работе, построена слабая постановка задачи для следов и ее аппроксимации методом конечных суперэлементов.

Как показала практика, при непосредственном использовании МКСЭ приближенное решение имеет нефизические осцилляции, связанные с наличием в задаче преобладающего конвективного переноса Эта проблема типична для задач такого типа. Для устранения осцилляций в работе использованна нелинейная искусственная диффузия. Подобный алгоритм ранее применялся при монотонизации обычной КЭ схемы для данной задачи14.

В заключении рассмотрены результаты численных расчетов. Приведены результаты расчетов как с помощью метода конечных суперэлементов, так и с помощью комбинированных аппроксимаций МКЭ/МКСЭ. Проведено сравнение рачетных данных, полученных с использованием обычного метода конечных элементов, методом конечных суперэяементов и комбинированного подхода. Описаны особенности программной реализации метода.

Глава 3

В третьей главе МКСЭ применен для численного решения трехмерной статической задачи теории упругости. Рассмотрена простейшая модель физически и геометрически линейной неоднородной изотропной сплошной среды.

В качестве приложения рассмотрены некоторые задачи, возникающих в механике композиционных матералов. Рассмотрена задача определения эффективных упругих параметров композита (в том числе и с нерегулярной структурой), а также анализ напряженно-деформированного состояния композита на микроуровне.

иГалатт М Я, Попов Ю.П Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах Математическое моделирование, М.:Наука. Физматлит, 1995, 320 с

Отметим, что расчеты напряженно-деформированного состояния композитного тела с помощью МКСЭ проводились и раньше. Их результаты описаны в работе1®. Однако эти расчеты носили методический характер, проводился лишь качественный анализ полученных результатов. В данной работе приведены результаты качественного и количественного сравнения полученных результатов с известными экспериментальными данными и теоретическими результатами механики композиционных материалов.

Рассмотрим постановку задачи. Требуется определить поле перемещений и = {и,}, i — 1,3 сплошной среды в ограниченной трехмерной области Q, на границе дО, которой заданы некоторые граничные условия.

Будем считать, что в области О задана ортогональная декартова система координат Oxix2x3. В дальнейшем будем использовать правило суммирования по повторяющимся индексам.

Система соотношений, описывающих напряженно-деформированное состояние упругого тела, состоит из уравнения равновесия

div <7 + / = 0, (4)

материальных соотношений, выражающих обобщенный закон Гука

= 2/ie,., + Хекк6,„ (5)

и кинематических соотношений

Здесь о

тензор,упругих напряжений, с — тензор деформаций, Су — их компоненты в выбранной системе координат, / - объемная плотность внешних сил, А = Х(х), ¡1 = ц(х) - коэффициенты Ламе, в общем случае являющиеся заданными функциями точки пространства, S,3 - компоненты единичного тензора.

Будем считать, что граница dil области П состоит из двух частей, Ш = Г, U Г„. На части Г9 границы заданы кинематические граничные условия

и|г3 = «,|г, = и9,., на части Г„ границы заданы динамические граничные условия

7^1г„ = fg, ai)V]\rn - fg,„

где

7„а = <tv = <T4Vj,

v — {г^} - внешняя нормаль к границе области.

Как и раньше, сначала приведена обычная слабая постановка задачи. Потом построена слабая постановка задачи для следов и ее аппроксимации методом конечных суперэлементов. Рассмотрены особенности реализации метода.

В качестве приложения рассмотрена задача расчета напряженно-деформированного состояния композиционного материала. Рассмотрены только сферо-волокнистые композиты, когда включение имеют сферическую или близкую к сферической форму. Это ограничение связано с условиями аффективного

Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Расчет напряжений в композитном теле методом конечных супералеменгов // Препринт ИПМ АН СССР. М., 1994 №97

применения метода. В работе рассмотрены включения в виде сфер и кубов. Дан обзор распространенных моделей для описания приведенных свойств таких композиционных материалов. В большинстве своем эти модели носят полуэмпирический характер. Приведены примеры расчета напряженно-деформированного состояния композитов. Описана методика определения приведенных упругих свойств по результатам таких расчетов. Приведены результаты сравнения рассчитанных упругих параметров с некоторыми экспериментальными данными реальных материалов и аналитическими оценками, полученными в рамках теоретических моделей, показывающие их хорошее совпадение.

Заключение

В заключении приведены основные результаты диссертации, перечисленные ниже:

1.Предложен теоретический алгоритм для исследования метода конечных суперэлементов и построения расчетных схем метода. Алгоритм позволяет единообразно рассматривать метод конечных суперэлементов с точки зрения известной теории проекционных методов. Теоретически обосновано совместное использование метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов.

2.Разработанный алгоритм применен для построения и исследования метода конечных суперэлементов для решения ряда задач, таких как задача о скважине для * двумерного уравнения Лапласа, задача о скоростном скин-слое в пространственно двумерном случае, задача теории упругости композиционных материалов в пространственно трехмерном случае Для этих задач построены и исследованы аппроксимации метода конечных суперэлементов, проведено их численное исследование.

3 Создан и применен комплекс программ для решения задач в неоднородных областях на основе метода конечных суперэлементов.

3 ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Савенков Е Б. Метод ковечных суперэлементов как специальная аппроксимация типа Галеркина-Петрова // Тезисы конференции «Студенческая научная весна-2001», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, с. 87.

2. Галанин М.П., Савенков Е.Б. О связи метода конечных супералементов Федо- « ренко и проекционно-сеточных методов // Препринт ИПМ РАН, 2001, № 67.

3. Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов Федоренко //

Тезисы второго международного конгресса студентов, молодых ученых и специ- v

алистов «Молодежь и наука-третье тысячелетие»/YSTM'02, Москва, Россия, 15-19 апреля, 2002, с. 2.

4. Galanin М., Savenkov Е. Fedorenko finite superelement method as special Galerkin approximation // Mathematical Modelling and Analysis, 2002, V.7, №1, pp. 41-50.

5. Галанин М.П., Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов Федоренко // ЖВМиМФ, 2003, т.43, №5, с. 713-729.

6. Galanin М., Savenkov Е. Theoretical Analysis and Applications of the Fedorenko Finite Superelement Method // Abstracts of 7th International Conference «Mathematical Modelling and Analysis», May 31-June 2, 2002, Kaariku, Estonia, p. 17.

7 Galanin M, Savenkov E. Finite Superelements Method for Velocity Skin-Layer Problem // Abstracts of First International Conference «Computational Methods in Applied Mathematics CMAM-Ь, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, p 22

8. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004 г., № 3

9. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Совместное использование метода конечных элементов и метода конечных суперзлементов // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004 г., № 13.

10. Галанин М.П., Савенков Е.Б., Темпе Ю.М. Метод конечных суперэлементов для задач теории упругости // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004 г, №38.

11. Galanin М., Savenkov Е. Finite Superlements Method for Elasticity Problems // Abstracts of International Conference «Mathematical Modelling and Analysis ММА-2004», May 26-29,2004, Jurmala, Latvia, p. 17.

12. Галанин M., Савенков E. Метод конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004, 21-25 июня, 2004 г., Новосибирск, Академгородок, Россия, с. 455-460.

Отпечатано в ООО «Компания Спутнюс+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 28.09.04 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 0,94 Печать авторефератов (095) 730-47-74, 778-45-60 (сотовый)

i

V

#

А

I í

i

i

1

í

i.

i I

í

!

»18607

РНБ Русский фонд

2005-4 12703

Введение

1 МКСЭ для задачи о скважине

1.1 Основные обозначения

1.2 Постановка задачи.

1.3 Метод конечных суперэлементов.

1.3.1 Слабые постановки задачи.

1.3.2 Построение вариационного уравнения для следов.

1.3.3 Построение конечномерной задачи

1.3.4 Оценки ошибок для метода Бубнова-Галеркина.

1.4 Комбинированные аппроксимации метода конечных суперэлементов и конечных элементов.

1.4.1 Слабые постановки задачи.

1.4.2 Построение вариационного уравнения для следов.

1.4.3 Построение конечномерной задачи

1.4.4 Оценки ошибок

1.5 Описание параллельного алгоритма

1.5.1 Особенности реализации.

1.5.2 Результаты тестирования алгоритма.

2 МКСЭ для задачи о скоростном скин-слое

2.1 Постановка задачи.

2.2 Слабая постановка задачи

2.3 МКСЭ.

2.3.1 Описание метода.

2.3.2 Сборка

2.3.3 Вычисление матриц жесткости СЭ.

2.3.4 Монотонизация.

2.3.5 Линейная монотонизация.

2.3.6 Нелинейная монотонизация

2.3.7 Особенности реализации алгоритма.

2.4 Результаты расчетов.

2.4.1 Граничные и начальные условия.

2.4.2 Результаты расчетов

3 МКСЭ для задач теории упругости

3.1 Постановка задачи.

3.2 Слабая постановка задачи

3.2.1 Формула Грина

3.2.2 Слабая постановка.

3.3 Специальная слабая постановка.

3.3.1 Операторы Грина и Пуанкаре-Стек лова

3.3.2 Специальная слабая постановка.

3.4 Построение конечномерной задачи

3.4.1 Построение конечномерной задачи

3.4.2 Построение базисных функций.

3.5 Результаты численного моделирования.

3.5.1 Определение упругих параметров для композита с регулярной структурой.

3.5.2 Определение упругих параметров для композита с нерегулярной структурой.

Существует широкий класс задач, решение которых содержит резкие неоднородности, проявляющиеся на мелких по отношению к размеру расчетной области пространственных масштабах. Численное решение таких задач сеточными методами требует специальных сеток для разрешения особенностей. Для этого необходимо использовать либо адаптивные к решению сетки, сгущающиеся в окрестности особенностей, либо достаточно мелкие сетки с шагом к и огромным количеством точек. Первый вариант требует применения специальных алгоритмов, второй - соответствующей памяти ЭВМ. В то же время проявления особенностей зачастую являются локальными, сосредоточенными в мелкомасштабных подобластях. Подтверждением тому является характерный вид функций Грина ([1]) и типичных решений многих задач математической физики ([2]), а также такие физические эффекты, как принцип Сен-Венана в теории упругости ([3]) и другие. Наличие областей сосредоточения неоднородностей позволяет ввести сетку с характерным размером Н к, узлы и ребра которой проходят по участкам относительной гладкости решения. При этом сетка размером Н заведомо не позволит разрешить особенности решения при использовании обычных численных методов, но зато число ее узлов достаточно мало.

Для решения подобных задач на сетках размером Н в работах Л.Г. Страховской и Р.П. Федоренко ([4]-[7]) был предложен метод конечных суперэлементов (МКСЭ).

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базисных функций, имеющих конечный носитель. При этом мера таких носителей предполагается малой (сетка К) и стремящейся к нулю. Базисные функции в МКЭ берутся в виде функций сравнительно простой структуры, как правило, полиномиальной. МКСЭ также основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базисных функций, имеющих конечный носитель. Однако в случае МКСЭ мера таких носителей (сетка Н) не предполагается стремящейся к нулю и столь велика, что она заведомо не позволяет (при использовании МКЭ) передать особенности решения. Другое отличие касается построения базисных функций. В МКСЭ базисные функции строятся для данной рассматриваемой задачи специальным образом так, чтобы в них самих содержалась значительная информация о решении задачи. Именно специальный, под задачу, выбор базисных функций и позволяет с помощью очень грубого разбиения исходной области получить хорошее численное решение.

Метод конечных суперэлементов появился более 25 лет назад и использовался при решении ряда сложных задач диффузии, теории упругости, кинетики ядерных реакторов и других. Несмотря на свой возраст, теоретически метод исследован сравнительно слабо. Обоснование одного варианта метода было предложено в работах В.В. Репяха ([8, 9]).

Целью данной работы является дальнейшая разработка и развитие метода конечных суперэлементов Р.П. Федоренко и его применение для решения задач математической физики в физически и геометрически неоднородных областях.

В работе разработан теоретический подхода для построения и исследования метода конечных суперэлементов, а также исследована эффективность метода при решении различных задач.

В работе МКСЭ примененен для численного решения таких задач, как задача о скважине для уравнения Лапласа в двумерной области, задача о скоростном скин-слое в пространственно двумерном случае и задача теории упругости композиционных материалов в пространственно трехмерном случае. Для этих задач построены и исследованы аппроксимации метода конечных суперэлементов, проведено их численное исследование.

В настоящей работе предложен теоретический алгоритм, позволяющий строить и исследовать аппроксимации МКСЭ для достаточно широкого класса задач. Помимо МКСЭ рассмотрены комбинированные аппроксимации метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов.

Рассмотрим причины, по которым для исследования МКСЭ не может непосредственно применяться техника исследования обычного метода конечных элементов, а также особенности подходов, используемых при исследования и использовании обычного метода конечных элементов, метода конечных суперэлементов и комбинированных аппроксимаций.

Алгоритмически эти методы сходны. Во всех случаях приближенное решение ищется как линейная оболочка некоторой системы базисных функций. Конечномерная задача (система линейных алгебраических уравнений для узловых значений конечных элементов/суперэлементов) во всех случаях формально получается из условия ортогональности невязки приближенного решения некоторому конечномерному подпространству. Отличие состоит в том, что в случае МКЭ базисные функции задаются (исходя из некоторых условий), а в случае МКСЭ (или комбинированного подхода) все (или некоторые) базисные функции рассчитываются как точные решения рассматриваемой задачи.

Несмотря на внешнее сходство, эти методы качественно различны с точки зрения их теории. Остановимся на этом подробнее.

Предположим, что ищется решение и следующей задачи: и еШ ■. а(и, V) = /(ь)' \/у € Щ где ]¥ - некоторое гильбертово пространство, а - билинейная непрерывная положительно определенная форма в пространтве Ш х \У, f - линейная непрерывная форма на ]¥. Такой вид имеют слабые постановки большого количества задач математической физики.

Пусть приближенное решение ищется как элемент конечномерного пространства И-д С Ш. Пространство УУь является линейной оболочкой той или иной системы базисных функций.

Приближенное решение и^ определяется как решение следующей конечномерной задачи: ик € : а(ик, ук) = /(и*) УиЛ е

В методе конечных элементов пространство \¥)Х выбирается так, чтобы его элементы аппроксимировали произвольный элемент пространства IV. Другими словами, требуется наличие оценки для ошибки наилучшего приближения вида ад б W : inf ||ад — адЛ|| ^ e(w, h), где e(w,h) - оценка ошибки интерполяции элемента w функцией Wh £ Wh, s(w,h) —> О при стремлении параметра дискретизации h к нулю. Последовательность пространств {Wh} при этом называется предельно плотной в W ([10]).

В соответствии с леммой Cea ([11]) ошибка приближенного решения оценивается сверху величиной ошибки наилучшего приближения решения элементом пространства

Wh, и — Uk\\ ^ С inf \\и — Wh\\ ^ Ce(u, h), где Uh ~ приближенное решение задачи. Таким образом, оценка ошибки приближенного решения сводится к оценке ошибки интерполяции произвольной функции из W элементами пространства Wh- Отсюда вытекает одно из основных требований к базисным функциям - они должны обладать аппроксимирующими свойствами.

Это требование не будет выполняться, если пытаться использовать для исследования МКСЭ рассмотренную процедуру непосредствено. В самом деле, в МКСЭ базисные функции не задаются, а рассчитываются как точные решения задачи. Поэтому в общем случае они не будут обладать какими-либо аппроксимирующими свойствами и для них величина e(w, К) уже не будет стремиться к нулю для произвольного w € W.

Описанное выше препятствие теоретического характера можно обойти. А именно, обратим внимание на то, что при построении аппроксимаций МКСЭ по существу задаются не сами базисные функции (они, как указано выше, рассчитываются специальным образом), а следы этих функций на границах суперэлементов, т.е. некоторые граничные базисные функции. Так, в указанных выше работах Р.П. Федоренко для квадратных суперэлементов использовалась кусочно-линейная интерполяция (по четырем узлам на границе суперэлемента) и кусочно-квадратичная интерполяция (по восьми узлам на границе - углам квадрата и средним точкам его ребер). Эти базисные функции уже обладают аппроксимирующими свойствами в пространстве функций, заданных на границе. Если записать задачу относительно них, исключив из рассмотрения «внутренности» суперэлементов, то к ней уже можно применить описанный выше подход с использованием леммы Cea и другого теоретического аппарата теории вариационных уравнений и проекционных методов. При этом ошибка приближенного решения будет определяться ошибкой интерполяции произвольной функции, заданной на границе суперэлементов, элементами соответствующего конечномерного пространства функций, также заданных на границе.

Реализации этого подхода для ряда задач и посвящена настоящая работа.

Основой работы является идея замены исходной краевой задачи эквивалентной ей задачей для определения следов неизвестного решения на границах суперэлементов с помощью граничных операторов Пуанкаре - Стеклова.

В методе конечных суперэлементов расчетная область разбивается на некоторое количество непересекающихся подобластей-суперэлементов. Далее на основе граничных операторов Пуанкаре-Стеклова и формулы Грина, соответствующих оператору задачи, строится обобщенная постановка (вариационное уравнение) для определения следов решения исходной задачи на границах суперэлементов. Использование операторов Пуанкаре-Стеклова позволяет исключить из рассмотрения «внутренности» суперэлементов. Для построения аппроксимаций указанного вариационного уравнения для следов могут применяться стандартные подходы и методы теории абстрактных вариационных уравнений и проекционных методов ([10]-[14]). Это позволяет формально и единообразно рассматривать различные варианты МКСЭ, соответствующие тем или иным проекционно-сеточным методам, получить оценки ошибок и т.д. Таким образом МКСЭ «вкладывается» в известную и хорошо разработанную теорию.

При сведении исходной задачи к задаче для следов используются операторы Пуанкаре-Стеклова. Они были предложены в работах Лебедева и Агошкова ([15]-[18]) как средство теоретического исследования методов декомпозиции области. При этом методы декомпозиции области рассматриваются как итерационные методы решения соответствующих уравнений для следов. Это позволяет использовать при их исследовании теорию итерационных методов решения абстрактных операторных уравнений. В соответствии с описанным выше подходом метод конечных суперэлементов может рассматриваться как проекционный метод решения этих уравнений, что позволяет использовать при их исследовании известную теорию проекционных методов.

Наряду с МКСЭ в работе рассмотрен комбинированный подход, в котором для аппроксимации задачи используется как МКСЭ, так и МКЭ. В некоторых конечных элементах используются обычные аппроксимирующие базисные функции (как в обычном методе конечных элементов), а в некоторых - суперэлементные базисные функции. В этом случае в расчетной области также выделяется некоторое количество подобластей-суперэлементов, но они уже не покрывают всю расчетную область. В подобластях, занятых суперэлементами, осуществляется переход к рассмотрению следов решения на границах суперэлементов. В части области, не занятой суперэлементами, используются обычные аппроксимации метода конечных элементов.

Такой подход оказывается эффективным в случае, когда решение задачи имеет небольшое количество локальных особенностей и расчет решения вдали от них может проводиться обычными методами и на крупной сетке, шаг которой соизмерим с размером суперэлемента. Внутри суперэлементов, как и ранее, расчет проводится на мелкой сетке, позволяющей хорошо разрешить особенности задачи.

В отличие от обычного метода конечных суперэлементов, в этом случае уже не требуется рассчитывать базисные функции суперэлементов в той части области, где решение гладкое.

Таким образом, комбинированный подход сочетает достоинства метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов. С одной стороны, он позволяет хорошо разрешить особенность задачи, с другой - менее требователен к вычислительным ресурсам, чем метод метод конечных суперэлементов.

При построении оценок приближенного решения для этого варианта метода используется как обычный конечно-элементный подход (в тех подобластях, где используются обычные базисные функции), так и суперэлементный подход (в тех подобластях, где используются суперэлементные базисные функции). Переход от исходной задачи к задаче определения следов осуществляется локально, лишь там, где это необходимо.

Отметим, что сведение задачи к задаче для следов для МКСЭ или комбинированного подхода необходимо лишь для построения расчетной схемы и теоретического исследования метода. Это позволяет использовать при обосновании этих методов готовую и хорошо разработанную теорию. С точки зрения алгоритма построения конечномерной задачи эти методы сходны с обычным методом конечных элементов.

Рассмотрим особенности подходов, применяемых при исследовании и использовании обычного метода конечных элементов, метода конечных суперэлементов и комбинированных аппроксимаций.

Метод конечных элементов

1. При построении аппроксимаций МКЭ задача записывается как вариационное уравнение относительно искомой функции. Его решение - слабое (обобщенное) решение исходной задачи.

2. Разбиение области на конечные элементы производится на этапе построения аппроксимаций МКЭ для данной задачи, после этапа постановки дифференциальной задачи.

3. Параметр дискретизации в данном случае - шаг к пространственной конечно-элементной сетки, заданной в расчетной области. Приближенное решение сходится к точному в соответствующей норме при к —У 0.

4. Базисные функции, построенные на этой сетке, должны обладать соответствующими аппроксимирующими свойствами (свойством полноты) при к —> 0.

5. Диаметр конечных элементов стремится к нулю, когда шаг к сетки стремится к нулю.

Метод конечных суперэлементов

1. При построении аппроксимаций МКСЭ задача записывается как вариационное уравнение относительно следов искомой функции на границах суперэлементов. Его решение - следы решения исходной задачи на границах суперэлементов.

2. Разбиение области на суперэлементы производится на этапе построения указанного вариационного уравнения. Суперэлементная сетка не является «разностной» в обычном смысле этого слова. Это просто разбиение области на меньшие подобласти. Размеры суперэлементов не меняются при стремлении параметра дискретизации к нулю.

3. Для аппроксимации задачи используется граничная разностная сетка, заданная на границах подобластей-суперэлементов. Шаг к этой сетки является параметром дискретизации. Приближенное решение задачи сходится к точному, когда к —у 0.

4. Базисные функции, заданные на граничной сетке, должны обладать аппроксимирующими свойствами в подходящем пространстве следов. «Суперэлементные» базисные функции рассчитываются как точные решения исходной задачи с граничными базисными функциями в качестве граничных условий. Они могут не обладать какими-либо аппроксимирующими свойствами в пространстве функций, определенных во всей расчетной области.

5. Размер суперэлементов не зависит от шага к разностной сетки и не меняется при Л-Ю.

Комбинированные аппроксимации

1. При построении аппроксимаций задача записывается как вариационное уравнение относительно двух функций. Первая из них - след решения задачи на границе суперэлементов, вторая - решение в части области, не занятой суперэлементами.

2. Разбиение области на суперэлементы производится на этапе построения указанного вариационного уравнения. Суперэлементная сетка не является «разностной» в обычном смысле этого слова. Это просто разбиение области на меньшие подобласти. Размеры суперэлементов не меняются при стремлении параметра дискретизации к нулю. В отличие от МКСЭ суперэлементы занимают не всю расчетную область, а лишь ее часть.

3. Для аппроксимации задачи используется пространственная конечно-элементная сетка, заданная в части расчетной области, не занятой суперэлементами. Для аппроксимации решения на границе суперэлемента используется ограничение указанной сетки на границу суперэлемента. Шаг к пространственной сетки является параметром дискретизации. Приближенное решение задачи сходится к точному, когда Л. —> 0. При этом к нулю стремится как шаг пространственной сетки, так и шаг граничной сетки на границе суперэлемента.

4. Базисные функции, заданные на пространственной конечно-элементной сетке, должны обладать аппроксимирующими свойствами. Базисные функции на граничной сетке получаются как ограничение базисных функций внутри области на границу суперэлемента. «Суперэлементные» базисные функции рассчитываются как точные решения исходной задачи с граничными базисными функциями в качестве граничных условий. Они могут не обладать какими-либо аппроксимирующими свойствами.

5. Размер суперэлементов не зависит от шага /г разностной сетки и не меняется при Л-»О.

Разницу в подходах также иллюстрируют Рис. 1-2. На Рис. 1 показано разбиение квадратной области на четыре конечных элемента (слева), четыре конечных суперэлемента (в центре) и на один суперэлемент и 3 конечных элемента (справа). При этом мкэ мксэ мкэ/мксэ

Рис. 1. Расчетная сетка, к = Н.

МКЭ мксэ мкэ/мксэ

Рис. 2. Расчетная сетка, /г = Н/2. размеры конечных элементов и конечных суперэлементов одинаковы и равны К = Н. Сетки совпадают.

На Рис. 2 показано разбиение той же области на конечные элементы и конечные суперэлементы, когда шаг разностной сетки в два раза меньше, чем на предыдущем рисунке, к = Н/2. Шаг сетки опять одинаков, но геометрия сеток стала различной. На левой, конечноэлементной, сетке аппроксимируются функции, заданные во всей двумерной области. На центральной, суперэлементной, аппроксимируются функции, заданные на границах суперэлементов. Граничная сетка стала в два раза более мелкой, размер суперэлементов не изменился и по-прежнему равен Н. На правой сетке (для комбинированного подхода) произошло измельчение сетки в части области, не занятой суперэлементом. Суперэлемент расположен в левом нижнем углу области. Его размер не изменился, изменилась лишь сетка на его границе, которая стала в два раза мельче.

Рассмотренный выше теоретический алгоритм позволяет единообразно и формально строить и исследовать аппроксимации метода конечных суперэлементов для широкого класса задач математической физики. Помимо модельной задачи о скважине для уравнения Лапласа, в работе рассмотрены задачи, имеющие важное прикладное значение, такие как задача о скоростном скин-слое, возникающая при математическом моделировании электродинамических ускорителей типа «рельсотрон», а также задача теории упругости композиционных материалов. Предложенный в работе подход может быть формально распространен на большой класс эллиптических задач с оператором дивергентного вида. Существенным здесь является существование для конкретной задачи формулы Грина (некоторого соотношения, связывающего интегрирование по объему с интегрированием по границе) и оператора Пуанкаре-Стеклова, описывающего реакцию решения задачи «в целом» на внешнее воздействие на границе расчетной области. Отметим, что существование формулы Грина для симметричных положительно определенных операторов в гильбертовом пространстве является следствием общей теории («абстрактная» формула Грина, [12]). Теория же операторов Пуанкаре-Стеклова хорошо разработана в связи с обоснованием методов декомпозиции области.

Разработанный подход также применим и для построения расчетных схем МКСЭ для нестационарных параболических задач. В этом случае задача сначала может аппроксимироваться только по времени (метод прямых (метод Роте), [19]), и возникающие на каждом временном слое эллиптические задачи решаются с помощью метода конечных суперэлементов.

Метод конечных суперэлементов входит в класс методов, в которых решение исходной задачи сводится к решению серии более простых задач, например, задач в областях более простой формы. Методы данного класса, например, методы разделения области, активно исследуются в настоящее время в связи с появлением эффективных алгоритмов решения краевых задач в областях простой формы и возможностью эффективной реализации алгоритмов этих методов на многопроцессорных и параллельных ЭВМ. В работе рассматриваются некоторые результаты по реализации МКСЭ на вычислительных машинах с параллельной архитектурой.

В заключении остановимся на некоторых подходах, родственных методу конечных суперэлементов Р.П. Федоренко.

Отметим, что термин «суперэлемент» известен в теории метода конечных элементов и не в связи с методом конечных суперэлементов Р.П. Федоренко. Обычно он употребляется для обозначения группы конечных элементов, рассматриваемых совместно. Поясним это на примере.

Рассмотрим некоторую расчетную область, в которой решается задача. Пусть в этой области задана некоторая триангуляция, на которой определены финитные базисные функции. Задача определения узловых значений конечных элементов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида

Аи = /,

1) где А - матрица жесткости задачи, и - вектор узловых значений конечных элементов, / - вектор правой части.

Выделим в этой области некоторую группу соседних конечных элементов, занимающих подобласть Б расчетной области. Пусть и8, щ - векторы узловых значений конечных элементов, соответствующие внутренним и граничным узлам области 5 соответственно, щ - вектор узловых значений, соответствующий оставшимся узлам расчетной области.

Тогда задача (1) может быть записана в следующем блочном виде:

Аьь Аь3 Аьо А3ь Адд О

А0ь О А00 иь /ь

• Пд = л

Щ /о

2)

Эта система уравнений совпадает с системой (1) с точностью до перестановки строк. Нулевые блоки в матрице этой системы появляются вследствии финитности базисных функций. Считая, что матрица Ааа невырожденная, выразим из второй строки этой системы уравнений вектор ив. Получим иа = /в — А8д А3ьщ.

Подставляя это выражение обратно в систему (2), получим:

1 /

3)

Таким образом, можно понизить порядок системы уравнений для определения узловых значений конечных элементов, заранее исключив из нее неизвестные, соответствующие части узлов. Такой подход, когда группа конечных элементов рассматривается как

Аьь — АъдАддАць Аьо Щ /б АЬдАдд/д

А0ь А00 щ /о одно целое, называется методом суперэлементов, а указанная группа конечных элементов называется суперэлементом и может рассматриваться как самостоятельный объект при построении аппроксимаций задачи ([20]).

В приведенном выше примере был всего один суперэлемент В общем случае их может быть несколько, и они могут покрывать всю расчетную область. В этом случае система (3) будет связывать только неизвестные, соответствующие узлам на границах суперэлементов.

Рассмотренный выше подход также иногда называют методом разделения (декомпозиции) области для конечномерных задач. Известны его модификации, когда системы базисных функций для узлов на границах суперэлементов выбираются специальным образом, отличным от способа выбора базисных функций для внутренних узлов суперэлементов ([21]).

Для полноты отметим, что в последнее время активно развиваются и другие методы численного решения задач на основе представления решения в виде разложения по системе базисных функций, в свою очередь являющихся решениями специальных вспомогательных задач для исходного оператора (ИРВ - методы на элементах с нулевой невязкой, [22]-[25]). Очевидно их родство с МКСЭ.

Также к родственным подходам можно отнести методы декомпозиции области. Эти методы можно расматривать как итерационные методы решения некоторых уравнения для следов решения на границах некоторых подобластей ([26]).

Отметим также метод наименьших квадратов на границе и метод Треффтца ([27]). В этих методах решение ищется в виде линейной комбинации функций, каждая из которых является точным решением исходной задачи. Неизвестные коэффициенты в этой линейной комбинации определяются так, чтобы граничные условия на границе расчетной области выполнялись в некотором наилучшем смысле. В отличие от МКСЭ здесь не происходит разбиения области на меньшие подобласти, решение и базисные функции определены сразу во всей расчетной области. Функции, входящие в указанную линейную комбинацию, обычно задаются явно в виде некоторых алгебраических или тригонометрических многочленов.

Остановимся на структуре и содержании работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

В заключении приведем основные результаты диссертации:

1. Предложен теоретический алгоритм для исследования метода конечных суперэлементов и построения расчетных схем метода. Алгоритм позволяет единообразно рассматривать метод конечных суперэлементов с точки зрения известной теории проекционных методов. Теоретически обосновано совместное использование метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов.

2. Разработанный алгоритм применен для построения и исследования метода конечных суперэлементов для решения ряда задач, таких как задача о скважине для двумерного уравнения Лапласа, задача о скоростном скин-слое в пространственно двумерном случае, задача теории упругости композиционных материалов в пространственно трехмерном случае. Для этих задач построены и исследованы аппроксимации метода конечных суперэлементов, проведено их численное исследование.

3. Создан и применен комплекс программ для решения задач в неоднородных областях на основе метода конечных суперэлементов. Часть алгоритмов реализована для вычислительных машин с параллельной архитектурой с использованием интерфейса параллельного программирования MPI (Message Passing Interface).

1. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. 224 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

3. Сен Венана принцип. Физическая энциклопедия. Т. 4, М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. 704 е.; с. 486.

4. Страховская Л.Г., Федоренко Р. П. Об одном варианте метода конечных элементов // ЖВМиМФ. 1979. Т. 19, № 4. с. 950-960.

5. Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Расчет диффузии в многосвязной области методом конечных суперэлементов: Препринт ИПМ АН СССР № 171. М., 1987. 26 с.

6. Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Расчет напряжений в композитном теле методом конечных суперэлементов: Препринт ИПМ АН СССР № 97. М., 1994. 26 с.

7. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство МФТИ, 1994. 528 с.

8. Репях В. В. Применение одного варианта метода конечных суперэлементов к решению задач теории упругости // ЖВМиМФ. 1986. Т. 26, № 11. с. 1643-1653.

9. Репях В.В. Анализ ошибок метода приближенных суперэлементов // ЖВМиМФ. 1989. Т. 30, № 7. с. 963-983

10. Марнук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.

11. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.

12. Обэн, Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 384 с.

13. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стецен-ко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

14. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.:Наука, 1980. 496 с.

15. Агошков В.И., Лебедев В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах // Вычислительные процессы и системы. Т. 2. М.: Наука, 1985.

16. Агошков В.И. Методы разделения области в задачах математической физики // Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики. М.: ОВМ АН СССР, 1989.

17. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М.: ОВМ АН СССР, 1983.

18. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физмат-лит, 2000. 296 с.

19. Мартинсон Л.К., Малое Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики./Под ред. В.С.Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 1996. 367 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).

20. Зарубин В. С., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с.

21. В.И. Агошков, Методы разделения области: некоторые результаты теории и приложения // М.: ОВМ АН СССР, 1990. 40 с.

22. Brezzi F., Franca L.P., Russo A. Futher consideration on residual-free bubbles for advective-diffusion equation // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. № 166. p. 25-33.

23. Franca L.P., Russo A. Approximation of the Stokes problem by Residual-Free Macro Bubbles // East-West J. Appl. Math. 1996. № 4. p. 265-278.

24. Brezzi F., Hughes T.J.R, Marini L.D., Russo A. A priory error analysis of residual-free bubbles for advective-diffusion problems // SIAM J. Numer. Anal. 1999. V. 36, № 6. p. 1933-1948.

25. Жуков B.T, Новикова H.Д., Страховская JI.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова О.Б. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии: Препринт ИПМ РАН № 8. М., 2001. 36 с. .

26. Марчук Г.И. Введение в вычислительную математику. М.: Наука, 1989. 608 с.

27. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

28. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. М.: Наука.Физматлит, 1995. 320 с.

29. Галанин М.П., Савенков Е.Б. О связи метода конечных суперэлементов Федоренко и проекционно-сеточных методов: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 67. М., 2001. 35 с.

30. Galanin М., Savenkov Е., Fedorenko finite superelement method as special Galerkin approximation // Mathematical Modelling and Analysis. 2002. V. 7, № 1. pp. 41-50.

31. Галанин М.П., Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов Федоренко // ЖВМиМФ. 2003. Т. 43, № 5. с. 713-729.

32. Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов как специальная аппроксимация типа Галеркина-Петрова // Тезисы конференции «Студенческая научная весна-2001». МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва. 2001. с. 87.

33. Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов Федоренко // Тезисы второго международного конгресса студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука-третье тысячелетие»/У8ТМ'02. Москва, Россия, 15-19 апреля, 2002. с. 2.

34. Galanin М., Savenkov Е. Theoretical Analysis and Applications of the Fedorenko Finite Superelement Method // Abstracts of 7th International Conference «Mathematical Modelling and Analysis». May 31-June 2, 2002, Kaariku, Estonia, p. 17.

35. Galanin M., Savenkov E. Finite Superelements Method for Velocity Skin-Layer Problem // Abstracts of First International Conference «Computational Methods in Applied Mathematics СМАМ-1». July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, p. 22.

36. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 3. М., 2004. 32 с.

37. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Совместное использование метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 13. М., 2004. 34 с.

38. Галанин М.П., Савенков Е.Б., Темис Ю.М. Метод конечных суперэлементов для задач теории упругости: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 38. М., 2004. 38 с.

39. Galanin М., Savenkov Е. Finite Superlements Method for Elasticity Problems // Abstracts of International Conference «Mathematical Modelling and Analysis MMA-2004». May 26-29, 2004, Jurmala, Latvia, p. 17.

40. Галанин M., Савенков E. Метод конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. 21-25 июня, 2004 г., Новосибирск, Академгородок, Россия, с. 455-460.

41. Андреев В.Б. Сеточные аппроксимации негладких решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 7. с. 1172-1184.

42. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

43. Фаддеев Д. КВулих Б. 3., Уралъцева Н. Н. и др. Избранные главы анализа и высшей алгебры. JL: Издательство Ленинградского ун-та, 1981. 200 с.

44. Яковлев Г.Н. О следах функция из Wp на кусочно-гладких поверхностях. /J Ма-тем. сборник. 1967. Т. 74(116), № 4. с. 526-54345 46 [474849 5051 5253