автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики пространственных стрежневых конструкций на основе метода суперэлементов

Г{ 4 «У

их5ударсгвешш коыитег рохср по дом науки

. ■, ' и шопе*. шкалы

новосибирский ордена трудового красного знамени государственный университет юз.ленинского комсомола

На правах рукописи

кривцов юрий г' сильевйч

УДК Б1а.б:Ы9,,34:624.072.2

IV

еитшатическое моделирование динамики пространственных стержневых конструкции на осное-! метода суперэлшектов

05.13.*" - Применение вн хлителькой тэхнши, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1991

/ ' • /у

./ г' ; •

Работа выполнена к Вычислительном центре СО АН СССР

'"•'ковадателы кандидат фазико-математичвскш: наук ГсВ.ДзмИл^в

Официальны® оппонантиг доктор физико-математических ыаун

^дтаая организация; Вычислительный центр Красноярского филиала сибирского отдаления АН СССР

чйооз на засаданда Специализированного совета К 053.59.05 по ирисуау,лкиа ученой степени кандидата наук в Човоснбирском государственном университет© но адресу! 6^0090, г.аовоси0ирск-90, улица Пирогова, 2 . •

С диссертацией мс кно ознакомиться в библиотеке НГ2Р

В.А.Васчлэнко

кандидат физжо-^атематическш. наук А.Л.Урв£..цвв

Защита состоится

Ученый секретарь

Спв^иалкзнрозашого совета

кандидат физико-математических аауж

/

тпши

».1 .ОТёНД

!..1111

Отдел

Ева,

ю

I. ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЩОННОЯ РАБОТЫ

уальпость рариты. В связи о растущими требованиями к

эффективности конструкции все более важными станог тся дина-. МИЧ0ИШ9 расчеты, проводимые на стадии проекти^вания или разработки конструкций.

При анализа динамического поведения стержневых к лструк-' ций возникает большая(по размерности) система дифференциальных урав!~,ний. Анализ колебаний таких конструкций может бить выполнен на основе расчетных молелей о дискретными параметрами. Одпвки, когда исследуются оч^нь большие системы» число степеней свободы, трес^емое для точного представления . инструкции мсжет достигать нескольких тысяч, Ч'. превосходит возможно с та вычислительной машины.

В расчетах, связанных с рыложы-ом по формам собственных колебаний, основная трудоемкость приходится на процесс вычисления необходимого количества собственных форм и частот колебании.. Проблема вычисления нескольких первых собственных фота и частот для систем болпого порядка очень важна для многих областей строительной механики и, в частюота, .ля задач сейсмостойкости конструкт Я.

Соврем01.:ше подхода к решению задачи нахождения низших форм и частот включают итерационные процедуры, методы конденсации и синтез форм колебаний.

Цель работы. Целью работы является создание экономичного по объему используемой оперативной памяти ЭВМ численного метода нахождения низших собственных частот и форм колебаний стержневой конструкции.

Научная новизна работы. Создан новый метод нахождения низших частот и фор» собственных колебаний стержневой конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанный в диссертации мелэд после/-ватольного суперэлемента для определения низших форм и частот свободных колебаний стерхньвых конструкций снижает требования к оперативной памяти ЭВМ по сравнении о известными методами синтеза форм колебаний, т.е. копа форш колебаний конструкции определяются по формам ко-

лебаний ее частей» Построенный метод используется при решении практических задач.

Аир:]г~ тя работа. Основные результата диссертации доложены и обсувдвш на семинарах отдела вычислительных методов и математического моделирования НГУ, лаборатории численюго решения ОС асновонних дайорви^иалъиых. уравнений ВЦ СО АН СССР, на VIII Всесоюзной конференции "Чаленные метода решения вадач теории упругости и пл этичности" (г.Ужгород,1983).

Публикации. По результатам р:боты оцубль.ивано 4 статьи.

Структура и об: ем. Диссертационная работа состоит из введения, двух глазD заключения, списка литературы, содержащего 63 наименования, двух приложений, (всего 107 стр.).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность избранно* темы, сформулирована цель работы и кратко изложено ее содержание.

Перва.. глава посвящена постановке ^адачи и описанию метода синтеза форм колебаний.

В § 1 рассмотрены постановка задачи, существование решения и его свойства на стерглювоЯ системе определено ыно- ■ «ество допустимых вектор-функций ü0 лоторые в локальной системе координат, cbí. анноЯ с m -ым стержне!«, имеют вид:

ü_ - (u_.v_.wm>ul.vl.0m)T, . ш ш m m <& п ш

где uffl.vm,wm. - перемещения оси стержня соответственно отно-. ситэльно осей X,'. fZ; 6Ш - кручение плоскости сочения теркня относительно оси Z; um,vm - производные функций um, v - поворот плоскости сечения стержня соответственно относительно осей Y д. функции um.vsi.wm,0m а ЛСК зависят от опой пространственной пер юнной Z, в общем случае - еще от времени.

При свободных колебаниях, системы, кавдый отдельный стержень ловаршает гармонические колебания, т .

üjz.t) = ц (z)3ih(ut).

Обозначим

V{fl/om,vn € г>т.еш t.wJ'^ldj" (1)

где dj - уалы, в которых конструкция жестко закреплена-

Задачу на свободные колебания ствргаевой системы можно записать в виде

AV » АвЭ. (2)

где к - дифференциальный оператор, В - оператор» соответст вуииий иивр'цв: си с. темы. При per ним задачи методом конечных элементов общий вид операторов А» В не нужен, достаточно знать их локальный вид:

< »>„"»<*> нЛе?) * U) - О,

О)

где р - плотность, у - площадь поперечного сечения, в - ад дуль Юнга, о - модуль сдвига, хх,1у - моменты инерции площади поперечного сечения относительно осей х,т, -1 - экваториальный момент поперечного сечения, 10- погонный момент

___о

инерции относительно оси г стержня, ьГ Л.

На пршзм про5!зведг>нии я1 «Е, определим две билинейные фо-

1—ы. соответствующие потенциальной и кинетической внергии стержневой конструкции:

м Ц,

ор! л

Ц

В[Р1-0>> » У I £(р?)т(и1 >ти2^т + У1>тУ21И * «1<ш«2>ш> + «Я о

♦ ^о^.п&.т^ (5>

В формулах (4)-(5) суммирование ведется по и стершим, 1 - длина стержня.

Определение. Слабым решением задачи (2), называется

число К и вектор-функция О из Н1, такая что и ^ О и выполняется равенство-

АШД) - ЛВШ.У] (6)

ДЛЯ ЛЮб01 О V в Н1 .

Показано, что билинейные формы удовлетворяет условиям теоремы из функционального анализа1, утверждающей» что существует счетное множество неотрицательных собственных значений

О < < ^ < ^э со»

и соответствующая ортонормированная система собственных функций

полна, как в Н2. так и а но,где н2,н0- подпростран тва в Н1.инициированные соответствующими формами. Причем собственные значения являются минимумом окгиения Релея в соответствующих пространствах.

Там же1, обос .ована применимость метода Ралея-Ритца к нахождению приближенных решений задачи на собственные частоты и фор"! колебание стержневой конструкции, гтвованного на ми-

1. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - Ц.:Мир, 19?"». - ¡¿890.

ншиэации отношения Рала я в конечномерных пространствах. В этом случав приближенными собственными значениями задачи (2) являются собственные числа обобщенной алгебраической задача на собственные значения

Айй » ХВй0 (7)

где А^.М^- матрицы жесткости и масс конструкции. Компонента

3 - го собственного вектора задачи (7) являются коэффициента»® при базисных функциях в линейной комбинации, аппроксимирующей ^ - ую собственную функцию.

Если (ф^-, ~ базис в конечномерном подпространстве

пространства н1 то элементы матриц А^ * (а^) и В^ «=

(в^) определяются соотношениями

а1;) = А^!»^!. = В!^,^], 1 « « й (8)

Как следствие свойств билинейных форм (4),(5), матрицы А^.В^

- вэществешше, симметричные, положительно определенные. Задача (7) имеет А положительных собственных чисел.

§ 2 посвящен аппроксимации решения задачи на собственные значения с помощью метода конечных элементов.

Конечномерное подпространство Мй пробных вектор-функций

ик построим следующим образом. Пусть в узлах 1 и 3 соединенных стержнем заданы следующие параметры г

1) смещения вдоль соответствующих осей

2) углы поворота вокруг соответствуюцих осей

(Ч)1,ФА,91)Т, (ф^ср^)11. (10)

Пусть 1 - /умна стержня. Полагаем для точек оси стержня

С = г/1, о < с < 1. Изгибы вдоль X и У описываются кубичесими поолиномами :

их(С) = Сх + РХС ♦ 7ХС2 + °ХСЭ

Иу(С) - Су + + 7уС + вуС3

Сжатие ж кручение приближаются линейными функциями г

V*.) ' % + V • С " + V (12)

Коэффициенты в шратюниях (11),(12) определяются то заданным значениям смещений и углов поворота в узлсх 1,3, т.е.

вектора ц.

(13)

В 5 э описан метод синтеза форм колебаний, при котором решения полученные для отдельных частей конструкции объединяются, в результате чего получак/г формы и частоты всей конструкции.

Глава 2 ¿осшдена последовательному методу суперэлеман-тов.

В 5 1 дается изложение лоелвдова- 'льного метода супарэле-мантов, ко*г4.лй является модаЗикацией метода синтеза форм колебаний. Допустим что вся конструкция состоит из компонент, занумерованных по порядку от 1 ^ок, причем таким образом« что части с г">седаими номерами имев по крайней мере один, общи? только для них, узел. Разобьем координаты подсистемы сх> на граничные сх®> и внутренние {X1}. Тогда уравнение свободных колебаний для нее примет вид

II „1В ш

„В1 „вв

к11 Й81

о,

(14)

где размерность матриц т11,]?11 равна п. Для сокращения числа степеней свобода подсистемы рассмотрим суперэлбмэнт, обобщенные координата которого {<з> связаны с координатами подсистемы ш одадущим. соотношением :

<Х>

где

и J

г-1

уМ уО

Уч.

Ь « п,

(15)

(16)

- низшие нормальные формы колебаний с закрепленными границами которые получены как решения уравнения собственных колебания

Л1 йИХХ 00 (17)

Уравнение колебаний супералемента в координатах {<;> имеет

вид

Мч -У Kq - 0„ (18)

где матрицы УиК получены прэобраэова ш матриц ший :

» угау и

,1в

В Ы'

.,В1 -вв

м и

у т + / и у

тВ¥» + V0 тПУМ шВВ + УС шМ * яв1У° ♦ Vе Ас

(19)

К = УАЙУ

4 о"]

о

ч

о й8® +

(20)

где - собственные частоты колебаний подсистемы с фиксиро-заннчми границами.

О < < ^ .. Шц.

Рассмотрим последовательное включение в рассчет отдельной подсиотеш, в качеотва которой может быть подкоиотрукция мл» суперэлемент. Определив по предложенной вше схеме матрицы Ы^.К^ для 3 - ого суперэлемента, рассмотрим обьект, в состав

которого входят две структуры : ^ - ый суперэлемент и (¿+1) - ая подсистема. Обобщенные координаты этого обьекта состоят

ьз внутренних и граничных сХ®+1>, (сф коорди-

нат обеих структур. Аналогично изложенному выше рассмотрим преобразование от координат к новым координатам > г

где

„и ус

включает координаты <х^+1 >,{<1*|} и

общие из

),(цр<, но не граничные для (¿+1) - ого суперэлемента. Координаты, не включенные в составляют у^. Матрицы

,у®+1 определяются аз уравнений (16), (17). К образованному таким образом (¿+1) - ому суперэлементу добавляется (¿+2) - ая подсистема и процесс продолжается. На последнем шаге определяются низшие частоты и соответствующие им формы свободных колебаний всей конструкции.

Уменьшение числа координат идет за счет уменьшения внутренних координат суперэлемента. В последовательном методе суперэлементов к^ (3+1) - ом шаге граничные координаты только между 3 - ым суперэлементом и (¿+1) - ой подсистемой становятся внутренними координатами (¿+1) - ого суперэлемента. Таким образом, множество граничных координат конструкция уменьшается на каждом шаге алгоритма. В зтом заключается основное отллчие предлагаемого метода от метода синтеза форм колебаний Харти У.

Проводится аналогия между фронтальным методом для решения линейной системы уравнений с симметричной матрицей А

Ах = В,

и методом последовательного суперэлемента.

В § 2 доказывается теорема, из которой слодуот, что (1) (1+1) \п > '

где 1 - пат алгоритма, Х^- собственные значения, вычисленные на этом шаго

(1) (±) (1) Ш

$ Х^ < ... < Х^ < г* ...

В § 3 дается априорная оценка нормы матрицы эквивалентного возмущения, соответствущей последовательному методу суперэлементов.

В § 4 последовательный метод суперэлементов сравнивается

с методом синтеза форм колебаний, предложенным Харти У„2, н методом синтеза йод компонентов, который предложили Нагамут-

си А. и Оокума М

В 5 5 представлены результаты численных экспериментов, проверенных для реальных пространственных конструкций с использованием комплекса программ "МЕГСЕ". Комплекс »фогррмм "МЕТСЕ" реализует метод последовательного суперэлемента. Для расчета низших форм и частот пространственная стержневая конструкция моделируется следу шум набором соединенных в узлах конечных элементов:

- точечная масса;

- стержень.

Для расчета задаются следующие данные:

- номер и координаты узла;

- ориентация, номера узлов начала и конца, погонная плотность и жесткости стержня;

- координаты и величина точечной массы;

- ссь и коэффициент жесткости шарнира;

2. Харти У., Динамический анализ конструкций, основанный на исследовании форм колебаний, отдельных элементов.// Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.З» Л 4, с.130-138.

3. NaGamatau A., Ookuma Ы., Analysis oi vibration by component mode Byntbeala method// Bulletin ol the ISME, 1981, AUf'3t, VOl.24, » 194, p.1448-1453.

- перечень номеров коночных элементов,, составляющих подконс-

чрукчкэтг

-• аоолыдрвательнооть обьединоиия подконструкций г

Комплекс "КЕТСЕ" состоит из двух загрузочных модулейгРичгоп н ХЕГСВ.

В модуле УШИ) реализованы следуете фунгтш: ввод и контроль входной информации; 1

- перенумерация узлов внутри, каадой подконструкции для уменьшения ширины ленты I. 1триц масс и хесткоотей;

- формирование матриц масс и хесткостеЯ подконструкций;

- создание информационных массивов.

В модуле КЕГСЕ реализован собс'хзгнш метод последовав ть-ного суперэлемента,, Подробнее алгоритмы модулей описаны в Приложении 1.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложении 1 содержится описание комплекса программ "МЕТОК- 0 реализуодого последовательный метод стоералемэнтов. Приложение г - докуме-т о внедрении комплекса програш

«матсЕ«.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан метод последовательного суперэлемента для нахождении низших собственных частот и форм колебаний трехмерных стержневых конструкций.

2, Создан кошлвкс прикладных программ •*МЕТСЕИ0 реализующий метод последовательного супарэлемента.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: 1. Демидов Г.В., Кривцов Ю.В., Расчет частит и форм собственных колебаний стержневых конструкций методом суперэлементов. - В сб.: Метод конечных элементов в некоторых задачах численного анализа, Новосибирск, 1984, с.31-35.

2. Кривцов Ю.В., Левыкин А.И., Алгоритмы последова- тельного метода суперэлементов в задаче расчета колебаний стержневых конструкций.- В сб.: Материалы VIII Всесоюзной конфе-