автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Поведение тонкостенных стержней при ударных нагрузках

На правах рукописи

Аунг Зо Лат

ПОВЕДЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

05.23.17,- Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

31 ОКГ 2013

005536854

Москва - 2013

005536854

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» МГУПС (МИИТ)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Мещеряков Владимир Борисович

Официальные оппоненты: Коренева Елена Борисовна

доктор технических наук, профессор кафедры «Информатика и прикладная математика» Федеральное государствен- ное бюджетное образовательное учреж- дение высшего профессионального образ- ова-ния Московский государственный строительный университет

Григорьев Никита Алексеевич

кандидат технических наук, Открытое акционерное общество (ОАО) «Союздор-проект», инженера II категории

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательск-

ий институт строительных конструкций имени В.А. Кучеренко (ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко)

Защита состоится « 20 » ноября 2013 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д218.005.05 на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» по адресу: 127994, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, ауд. 7618, (7-ой корпус МИИТа, Минаевский переулок, д. 2, ауд. 7618).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПС (МИИТ). Автореферат разослан «{% » октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Работа посвящена недостаточно изученной проблеме поведения тонкостенных стержней на действие ударных нагрузок. Ударяющее тело считается массивным, работа тонкостенных стержней открытого профиля описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. За счет учета деформаций сдвига при изгибе и кручении уравнения принадлежат к гиперболическому типу. При этом учитываются волноводные свойства стержней, имеется возможность рассматривать влияние отраженных волн на силовые и кинематические параметры.

Тонкостенные стержни открытого профиля находят широкое применение во многих областях промышленности и строительства. Особое место среди нагрузок, которые испытывают конструкции, сооружения и аппараты, занимает ударная нагрузка. В научных публикациях отсутствует концепция расчета на удар, которую можно было бы использовать в практических расчетах.

Цели и задачи работы.

Цель - построение усовершенствованных методов расчёта тонкостенных стержней на продольные и поперечные удары массивного тела.

Для достижения этой цели необходимо построит концепцию, включающую следующие задачи:

1. Определить параметров контактной силы при ударе построит нелинейное интегральное уравнение с учётом местных упругих деформации.

2. Выбрать метод для численного расчёта нелинейного интегрального уравнения.

3. Определить перемещения ударяемых тел использовать дифференциальные уравнения, принадлежащие к гиперболическому типу.

4. Построить приближённые выражения корни биквадратных частотных уравнений при изгибе и кручении тонкостенных стержней.

5. Использовать нелинейные уравнения с учётом точного значения кривизны оси стержня в случаях потери устойчивости при центральном продольном ударе или потери устойчивости плотской формы изгиба после критических перемещений.

6. Выяснить влияния деформаций сдвига при изгибе и кручений на силовые и кинематические параметры напряжённо-деформированного состояния.

Научная новизна диссертационной работы:

1. Параметры контактной силы при ударе определяются на основе теории Герца местных упругих деформации при любом соотношении масс соударяющихся тел.

2. Нелинейное интегральное уравнение решается численно по методу Эйлера.

3. Уравнения изгиба и кручения тонкостенных стержней с учётом деформация сдвига решаются аналитически с использованием интегрального преобразования Лапласа.

4. Для достаточно точного определения корни биквадратных частотных уравнений получены простые выражения путём разложения степени ряды.

5. Установлено существенные влияния деформаций сдвига на уменьшение силовых и увеличение кинематических параметров стержней при ударе.

Достоверность результатов.

При выполнении исследования использовались известные уравнения и проверенные способы их решения. Полученные теоретические результаты сопоставлены с опубликованными в 1961 году в статье М.Е. Каган и М.Д. Геня данными экспериментов. Расчетом подтверждены продолжительности периодов процесса (сжатие, потеря устойчивости, смена числа полуволн, затухающие колебания), отмеченные в экспериментах.

Практическая ценность работы.

1. На основе предложенной концепции рассмотрены практические задачи расчета тонкостенных стержней открытого профиля на действие ударной нагрузки: при продольном центральном ударе определено напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Рассмотрено влияние двухосного эксцентриситета.

2. При поперечном центральном ударе определяется напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Учет деформаций сдвига при изгибе и кручении дает существен-

ные поправки к максимальным значениям: уменьшение силовых и увеличение кинематических параметров на 15-20%.

3. Рассмотрена потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия при центральном продольном ударе. При условии работы материала стержня в упругой стадии получены перемещения выпучивания и возврат в прямолинейную форму при уменьшении ударной силы. Полученные теоретические результаты хорошо согласуются с данными экспериментов, опубликованных в 1961 году в статье М.Е. Каган и М.Д. Геня [52].

4. Рассмотрена потеря устойчивости плоской формы динамического изгиба стержня при центральном поперечном ударе. При условии работы материала стержня в упругой стадии получены линейные и угловые перемещения выпучивания и возврат в плоскую форму изгиба при снижении ударной силы.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в четырёх статьях в научно-технических журналах, в том числе одна статья журнале, включенном в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Она содержит 117 страниц машинописного текста, 15 таблиц, 45 рисунков. Список использованных источников составляет 177 названий.

Основное содержание диссертации.

В первой главе дается обзор развития теории тонкостенных стержней. Отмечены работы L. Prandtl (1899 г.), A. Michell (1899 г.), С.П. Тимошенко (1905 г.), С. Weber (1926 г.), Н. Wagner (1934 г.) и R. Kappus (1937 г.). Общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней открытого профиля была создана В.З. Власовым (1940 г.). В работе А.Л. Гольденвейзера (1949 г.) предложено уточнение исходных положений теории, в работах В.Б. Мещерякова (1963 - 1968 гг.) в развитие работы А.Л. Гольденвейзера построена теория тонкостенных стержней открытого профиля с учетом деформаций сдвига.

Дан краткий обзор работ по расчету стержней на удар. Отмечены работы Th. Young (1807 г.), Е. Hodkinson (1849 г.), Н. Сох (1851 г.). Учет появляющихся колебаний при продольном ударе по стержню выполнил L.M. Navier (1864 г.). При поперечном ударе этот вопрос исследовал Barre. Saint-Venaant.

В 1912 г С.Г1. Тимошенко применил теорию Н. Hertz (1882 г.) к задаче поперечного удара по шарнирно опертой балке.

Во второй главе предложена концепция расчета стержней на ударное действие. Исследование работы стержня на ударное действие состоит из ряда математических операций, и для каждой из них желательно выбрать наиболее рациональный подход.

Основной задачей в расчетах на удар является определение параметров контактной силы. В соответствии с теорией Н. Hertz можно записать такое уравнение:

P(t) - К0 u3'2 = K0(u, -u2)3/2. (1)

Здесь К0- параметр контактной жесткости, зависящий от свойств соударяющихся тел. Если в это уравнение подставить выражения и, и и2, зависящие от силы F(t), то оно будет служить математической моделью рассматриваемого процесса соударения.

Массивное ударяющее тело моделируется материальной точкой. Его перемещение можно записать на основе второго закона Ньютона:

u,(t) = ^ + V0t--jp(T)(t-T)dT. (2)

2. m о

Здесь V0 =^2gh- начальная скорость соударения, h — высота, с которой падает ударяющее тело. Отметим, что первое слагаемое правой части выражения (2) опускается виду его относительной малости.

Динамическое поведение упругого стержня при центральном продольном воздействии может быть описано дифференциальным уравнением в частных производных (классическое волновое уравнение):

EA^-pA5:=8(z)P(t). (3)

dz at

В уравнении (3) введены обозначения: Е — модуль упругости материала, р - плотность, А - площадь поперечного сечения, &(z) - дельта-функция Дирака, z - координата точек оси стержня.

При центральном поперечном ударе по бисимметричному тонкостенному стержню его поведение будем описывать системой дифференциальных уравнений в частных производных с учетом деформаций сдвига при изгибе:

И, ^ " РI, Э> + ОАГ„ у, = О, САГ , % - рА Ц. - рА ^ = 0, (4) дг2 31- " н 31 д?

^ =Ух+Фх- (5)

5г

Здесь обозначено:^, - прогиб оси стержня при изгибе, <р„ - угол по-V

ворота сечения, / х - угол сдвига, —^ - угол наклона касательной к оси

дг

стержня, в - модуль сдвига, 1Х — момент инерции поперечного сечения, -коэффициент формы сечения при изгибе.

При эксцентричном поперечном ударе по бисимметричному тонкостенному стержню необходимо дополнительно рассматривать систему дифференциальных уравнений в частных производных с учетом деформаций сдвига при кручении:

и ^_а фи-р1 —+СЛЛ- =0, СИЛ ^-рАг2^ -РаА =0, (6)

• дт? " " "а2 ^ дг2 д\г

£ = (7)

Здесь обозначено:^ - угол закручивания стержня вокруг центра тяжести, фш - мера депланации сечения при закручивании, Уа — дополнитель-

т

ная мера депланации от сдвига, —1полная мера депланации сечения, 1„ —

02.

секториальный момент инерции поперечного сечения, момент инерции поперечного сечения при чистом кручении, ^о,- коэффициент формы сечения при кручении, г = +1,.)/А - полярный радиус инерции сечения.

Системы уравнений (4-7) построены в работе В.Б. Мещерякова. Они принадлежат к гиперболическому типу и описывают поведение тонкостенного стержня как волновода. При динамическом изгибе и кручении стержня наблюдаются волны поворота и сдвига поперечных сечений.

В аналитических выражениях силовых и кинематических параметров во всех рассмотренных моделях стержней учитывается внутреннее неупругое сопротивление в материале стержня по теории Е.С. Сорокина.

Дифференциальные уравнения в частных производных (3-7) целесообразно решать с помощью интегрального преобразования Лапласа, переходя к уравнениям в обыкновенных производных для изображений. При продольном ударе:

где с0 = л/Ё/р — скорость распространения продольной волны, 5 — параметр преобразования Лапласа.

При центральном поперечном ударе

< ^Г - з2 Фх + 7Ух = 0. С2Х ^ - 52 ух - 52 фх = 0, (9)

<1|у

-Г1 = Ух+Фх-(Ю)

ах

где сх = - скорость распространения волн сдвига при изгибе.

При эксцентричном поперечном ударе <12фм ( а , _ 1 сРу,

dz2

2 J + К фи = ~ КУа = К<?о , (11)

V У Гш *<а

d|

dz

_£о. J.2 _ ^ _LL

где - с , гм - Аг2 , а _ д

Н-»

= У «+Ф«, (12)

ош

cm = ^Gfaa/p - скорость распространения волны сдвига при кручении.

Решения уравнений (8, 9 и 11) находятся с помощью экспоненты exp(A,z). Параметр ^ является корнем алгебраического характеристического уравнения. В случае продольного удара уравнение (7) при подстановке выражения u;(z) = exp(Xz) дает элементарное характеристическое уравне-

>2г2_с2 -П ние: л а — .

При центральном поперечном ударе характеристическое уравнение является биквадратным:

X2

цк2

= 0.

Корни уравнения (13) можно записать таким образом:

(13)

(14)

со следующим обозначением малой величины е при больших значениях в:

4с2

е..

В области оригиналов большим значениям Э соответствуют малые значения времени I, что характерно для процесса удара.

Для получения приближенных значений корней используем дважды разложение выражения (14) в степенной ряд по малому параметру £ с удержанием двух слагаемых при каждом разложении. Если ограничиться в оригиналах трехкратными интегралами, то получаем:

V

с0

1=±(с-

з 2^(^-1)

с0 гфцДц^ - 1) / Ч + -1)

(15)

(16)

В случае эксцентричного поперечного удара характеристическое уравнение при кручении имеет вид:

-тч^К

ЧМ-га Гш

Здесь введены обозначения:

с0 2 i

а

~~ГТ + Л о Ц г

Г'ю И

I2

= 0

Аг Г.

Хга = з/сш

с,„ = " скорость распространения волны сдвига при кручении.

Безразмерная величина О. для стандартных двутавров находится в диапазоне 0,0023 - 0,0122. Поэтому можно пренебречь слагаемым, в котором она стоит в числителе. Опуская подробности, для корней характеристического уравнения получаем приближенные выражения:

„Л х

- = +

в 2г,У(ц2-1)

(17)

с„ 25г>„(ц.2„-1)]Ч4 2^^,-1)7

с,

с,

+

с;.

(18)

Нелинейное интегральное уравнение (1) с внесенными в него аналитическими выражениями и,(Р,0 и и:(Р,1) можно решать численно, например, пользуясь методом Эйлера. Этот метод обычно применяется при численном решении систем линейных дифференциальных уравнений. Шаг по времени, следует согласовывать с ожидаемой длительностью удара.

При центральном продольном ударе возможна потеря устойчивости прямолинейной формы стержня. В линейной постановке параметры изогнутой оси остаются неопределенными. Рассматривается нелинейное уравнение изгиба с использованием точного выражения кривизны изогнутой оси стержня. Уравнение решается методом Галеркина с предварительным разложением в степенной ряд нелинейного множителя в уравнении. В результате могут быть получены все параметры напряженно-деформированного состояния стержня (перемещение, скорость, ускорение, изгибающий момент). При условии работы материала стержня в упругой стадии возможен возврат к прямолинейной форме стержня.

При центральном поперечном ударе по стержню с двумя плоскостями симметрии возможна потеря устойчивости плоской формы изгиба. Задача решается по аналогии со случаем центрального продольного удара. В результате могут быть получены все параметры стержня (линейные и угловые перемещения, скорости, ускорения, изгибающий момент, бимомент, изгибно-крутящий момент). При условии работы материала стержня в упругой стадии возможен возврат к плоской форме изгиба стержня.

По окончании ударного взаимодействия ударяющее тело может получить отрицательную скорость, т.е. "отскочить". В этом случае можно рассмотреть повторные соударения. Если ударяющее тело остается в контакте с ударяемым, то его массу следует учесть при вычислении частоты и периода свободных колебаний ударяемого тела, которые возникают после удара. Учет массы ударника может быть выполнен с использованием понятия "приведенной массы" ударяемого тела.

Начальными условиями для свободных колебаний после удара служат перемещение и скорость точки контакта ударяемого тела, зафиксированные в

момент окончания удара (ВД"0). При колебаниях учитывается внутреннее неупругое сопротивление в материале стержня.

В третьей главе рассмотрен продольный удар по стержню.

Расчеты проведены в соответствии с изложенной концепцией. Начнем со случая центрального удара (рисунок 1). Опуская подробности, приводим полученное решение:

9

А>

р(1>

4(0,1) =

1

рАс0

* со I

{Р(т)<Зт+2£(-1)п|Р(т)с1т

(19)

Рисунок 1. Расчетная схема

В реальных системах динамические процессы затухают во времени. Причинами служат диссипативные силы (внешнее и внутреннее сопротивление). Будем учитывать внутреннее неупругое сопротивление в материале колонны в соответствии с теорией Е.С. Сорокина. В этом случае в выражении (19) квадратную скобку необходимо снабдить экспоненциальным множителем:

}р(т)ск + 2Х(-1)"}р(т)ск

■ (20)

_0 п=1

где у — коэффициент внутреннего трения в материале.

Второе слагаемое в квадратной скобке (20) имеет ясный физический смысл - это учет отраженных от опорного сечения упругих волн сжатия-растяжения. Количество этих отражений, которые могут повлиять на искомый результат, зависит от величины Ь и диапазона времени, в течение которого ведется наблюдение за процессом.

Если выражения (2) и (20) внести в уравнение (1), то мы получим нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы:

К

1 'г

=\1— Гр(тХ1-т)Л-— екр

пг„ рАц, 2Ь

}р(т)±+2Е(-1)"}Р(т)&

(21)

Аналитическое решение уравнения (21) получить невозможно ввиду его нелинейности. Будем искать решение методом Эйлера. Он применяется при численном решении систем дифференциальных уравнений. Здесь мы использу-

ем метод Эйлера для численного решения нелинейного интегрального уравнения.

Рассмотрим в качестве примера удар по двутавру №18 длиной 2 м. Исходные данные приведены в таблице 1. На рисунках 2 и 3 показаны результаты расчетов.

Таблица I. Исходные данные

Наименование и размерность Числовое значение

Масса ударяющего тела т, кг 100

Начальная скорость удара, У0, м/с 2

Площадь поперечного сечения А, м2 0,00234

Высота колонны Ь, м 2

т г -V Контактная жесткость, К0,Нм /г 3-Ю09

Коэффициент внутреннего трения, у 0,025

Вычисления проводились по методу Эйлера с шагом по времени М = 10 мкс . В таблице 2 приведены максимальные значения параметров.

Таблица 2. Максимальные значения параметров и временные характе-

Наименование и размерность Числовые значения Моменты времени, мкс

Контактная сила Р, кН 196,6 1640

Длительность удара, мкс 3500 0-3500

Количество отраженных волн 4 772, 1545, 2317,3090

Реакция в опорном сечении, кН 393,2 2030

Перемещение у, мм 1,81 2460

Скорость V, м/с 8,02 3760

Нормальное напряжение, МПа 168,1 2030

Период колебаний после удара, мкс 772 После 3500 мкс

Как видно по приведенным результатам, процесс удара продолжался 3500 мкс, за это время успели прийти четыре отраженные волны.

Рассмотрим продольный удар массивного тела по колонне при наличии эксцентриситета су в плоскости наибольшей жесткости Т.ОУ и эксцентриситета ех в плоскости /ОХ (рисунок4).В точке удара благодаря депланации возникает секториальный эксцентриситет: еа = еу- ех.

Поведение колонны (стержня с двумя плоскостями симметрии) описывается дифференциальными уравнениями в частных производных (3,4- 7). Контактная сила при ударе определяется из нелинейного интегрального уравнения:

-^(тМск-и^О,1)-1{0,1). (22)

т 0

Перемещение и2(0Д) торцевого сечения без учета эксцентриситета было приведено ранее (см. (20)). Для определения дополнительного перемещения и(0,1) (за счет эксцентриситетов) была решена систему уравнений (4 -7).

В качестве примера рассмотрим колонну в виде двутавра №60. Исходные данные приведены в таблице 3.

h о!-

IJ L. .

Рисунок 4. Поперечное сечение

-сиъ

щ

К

= Vt—

Таблица 3. Исходные данные

Наименование и размерность Числовые значения

Масса ударяющего тела т, кг 24

Начальная скорость удара, У0, м/с 2,5

Высота колонны Ь, м 6

Моменты инерции: 1х, м4м4 1и, м6, I,, м4 1,725Е-05 7,681Е-04 1,300Е-06 1,235Е-05

Эксцентриситеты: ех, ех, м 0,001 0,001

ео> м2 0,00001

Расчеты проведены в соответствии с изложенной выше концепцией. Шаг счета по времени был принят равным 10 мкс. На рисунках 5-6 показаны графики изменения во времени силовых и кинематических параметров процесса удара по колонне. Пунктирные линии построены без учета деформаций сдвига по теории В.З. Власова.

Рисунок 5.Контактная сила при ударе, момент Му в среднем сечении

В таблицах 4 и 5 приведены максимальные значения параметров, характеризующих процессы удара и колебаний после удара.

Рисунок 6.Нормальные напряжения в точках 1 и 2 сечения : -0,35 I

Таблица 4. Максимальные значения параметров при ударе и продоль-

Наименование и размерность Числовое значение

Контактная сила Р, кН 133,75

Длительность удара, мкс 1570

Перемещение торца и2,мм 0,33

Скорость й2, м/с 1,02

Ускорение и2,а 949,6

Таблица 5. Максимальные значения параметров при изгибных и крутильных колебаниях _

Наименование и размерность Числовое значение

С учетом сдвигов Без учета сдвигов

Перемещение сечения ^у,мм 5,06 5,05

Скорость^, м/с 0,63 0,63

Изгибающий момент М,, кНм 7,38 6,64

Изгибающий момент Му, кНм 20,66 20,49

Бимомент В0,Нм2 17,19 17,06

Нормальные напряжения в точке 1, МПа: 53,6 50,8

Нормальные напряжения в точке 2, МПа: 67,6 66,1

Отметим, что деформации сдвига заметно влияют на частоты свободных колебаний. Удар с эксцентриситетами величины 1 мм за счет изгиба и кручения колонны довел напряжения до 67,6 МПа. На практике такие размеры эксцентриситета могут оказаться непредвиденными и привести к нежелательным последствиям. При отсутствии эксцентриситетов максимальное значение напряжения составит 31, 8 МПа.

В четвертой главе рассмотрены примиеры поперечного удара.

Была решена задача о центральном поперечном ударе массивноготела по шарнирно закрепленному двутавру. Результаты изложены в диссертации. Рассмотрим результаты решения задачи об ударе с эксцентриситетом (рисунок 7). В таблице 6 приведены максимальные значения Рисунок 7. Поперечное сечение

параметров, на рисунках 8—10 показаны графики силовых и кинематических параметров. Пунктирные линии на графиках построены без учета деформаций сдвига - по теории В.З.Власова.

кН кНм

в среднем сечении стержня

Таблица 6. Максимальные значення параметров при ударе

Числовое значение

Наименование параметров С учетом Без учета

сдвигов сдвигов

Контактная сила Р, кН 51,50 59,77

Изгибающий момент Мх,кНм 48,77 62,76

Бимомент Вга,кНм2 0,977 1,258

Изгибно-крутящий момент Мю,кНм 0,515 0,598

Перемещение у, мм 17,3 16,0

среднего сечения стержня Учтенные в расчетах деформации сдвига при изгибе и кручении повлияли таким образом: силовые параметры уменьшились на 16 — 29 %, кинематические увеличились на 2 - 8 %.

\:

-1

о

г

-0.8

мс

0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25

Рисунок!0. Бимомент и момент чистого кручения в среднем сечении двутавра

Получаемые на основании расчета данные позволяют оценивать прочность и жесткость тонкостенных стержней при действии ударных нагрузок.

В пятой главе рассмотренапотеря устойчивости стержней при ударе.

Устойчивость при центральном продольном ударе рассмотрим на примере двутавра №18 длиной 5 м. Критическая сила Р1г при шарнирном закреплении стержня на опорах оказалась равной 68,479 кН. Если при ударе будет достигнута эта величина сжимающей силы, то произойдет потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня. При этом в линейной постановке горизонтальное перемещение точек оси стержня остается неопределенным.

Нелинейное дифференциальное уравнение равновесия с точным значением кривизны стержня имеет вид:

Приближенное решение нелинейного уравнения (28)методом Галеркина:

Выражение (24) используется в расчете, когда становятся известными значения сжимающей силы, превышающие Ркг. Если материал стержня работает в упругой стадии, то прямолинейная форма равновесия восстанавливается при снижении значений сжимающей силы. После окончания удара начинаются затухающие продольные колебания стержня. Параметры процесса зависят от массы ударяющего тела и начальной скорости удара. В таблице 7

+ Ру = о.

(23)

(24)

приведены результаты расчета, На рисунках 11-12 приведены графики изменения во времени параметров при ударе.

Таблица 7. Максимальные значения параметров

Наименование и размерность Числовые значения

Масса ударника, кг 4, 621

Начальная скорость удара, м/с 2,0

Шаг счета по времени, мкс 1

Длительность удара, мкс 868

Контактная сила, кН 34,243

Реакция на опоре, кН 68,486

Начало потери устойчивости, мкс 1362

Напряжение сжатия, МПа 201,71

Окончание потери устойчивости, мкс 1369

Длительность потери устойчивости, мкс 7

Отклонение среднего сечения, мм 46,22

Период колебаний после удара, мс 1,930

Вертикальное перемещение торца, мм 0,164

Скорость, м/с 0,522

-0.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

50

40

30

20

10

0 1360

I

\

1 1 ;

\1 '

1364

1368

1372

Рисунок!2. Вертикальное перемещение центра тяжести верхнего

сечения

при ударе. Горизонтальное перемещение среднего сечения при потере устойчивости Устойчивость плоской формы изгиба стержня при центральном поперечном ударе рассмотрим на примере двутавра №50 длиной 8 м при начальной скорости удара массивным телом 3,7 м/с.

По аналогии с рассмотренным продольным ударом были найдены выражения для линейного и углового перемещения в среднем сечении при потере устойчивости плоской формы изгиба:

4л/2Ь

чРкг

^ -1Л-

4л/2Ь Г~Ы

Н„ г

-1

(25)

1+1.

где

-2 = х =-

71 Е1„

N. =

_712Е1ю + 01,(2Ь)2

А ' 1 (2Ь)2 "в г2(2Ь)2

Выражения (25) используются в расчете, когда значения контактной силы начинают превышать Р^ . Если материал стержня работает в упругой стадии, то плоская форма изгиба восстанавливается при снижении значений контактной силы. В таблице 8 приведены результаты расчетов, относящиеся к процессу удара и к колебаниям после удара. В таблице 9 показаны результаты вычислений, относящиеся к очень краткому процессу потери устойчивости плоской формы изгиба.

Числовые значения

Наименование и размерность С учетом сдвигов Без учета сдвигов

Критическое значение силы, кН 104,38209 106, 04816

Масса ударяющего тела ш, кг 26,581 14,8733

При ударе: контактная сила, кН 104,38334 106, 04946

Превышение критического значения 0,0012% 0,0017%

Длительность удара, мкс 624,0 661,2

Шаг счета по времени, мкс 0,4

Изгибающий момент Мх,кНм 92,62 100,16

Напряжение + <ту + ст„, МПа 183,5 158,5

После удара: период колебаний, мс 41,93 40,55

Шаг счета по времени, мкс 50

перемещение, мм 77,19 60,29

скорость, м/с 12,99 10,31

ускорение, a/g 202 166

Таблица 9. Параметры при потере устойчивости

Числовые значения

Наименование и размерность С учетом сдвигов Без учета сдвигов

Момент начала, мкс 381,6 394,0

Момент окончания, мкс 383,6 396,4

Длительность выпучивания, мкс 2,0 2,4

Шаг вычислений во времени, мкс 0,4

Перемещение центра тяжести, мм 35,2 35,7

Угол закручивания, рад 0,077 0,036

Изгибающий момент Му, кНм 453,5 459,7

Напряжение от изгиба суч , МПа 97,0 98,3

Бимомент Вш , кНм" 1,377 0,638

Напряжение от кручения С7Ш, МПа 53,1 24,6

Сумма напряжений МПа 183,5 158,5

На рисунках 13 — 14 показаны графики изменения во времени параметров в процессе потери устойчивости плоской формы изгиба. Пунктирные линии получены без учета деформация сдвига.

380 384 388 392 396 400

380 384 388 392 396 400

Рисунок13. Перемегцение центра тяжести среднего сечения и изгибающий момент в среднем сечении при потере устойчивости

0.08

0.04

0.02

рад

кНм2

1.60

380 384 388 392 396 400

380 384 388 392 396 400

Рисунок 14. Угол закручивания среднего сечения и бимомент в среднем сечении при потере устойчивости

Решение задачи с учетом деформаций сдвига при изгибе и кручении приводит к существенному уточнению контактной силы при ударе. Если не учитывать деформации сдвига, то при тех же условиях удара в стержне прогнозируются напряжения, далеко выходящие за пределы упругости. При этом исходная плоская форма равновесия даже теоретически не восстанавливается.

ЗАКЮЧЕННИЕ

1) В диссертации предложена и рекомендуется к использованию на практике концепция расчета стержней на удар сосредоточенной массой, включающая в себя такие элементы:

1.1. Местные упругие деформации в малой окрестности точки удара учитываются на основе теории Г. Герца [121].

1.2. Поведение тонкостенных стержней при ударе сосредоточенной массой, рассматривается на основе дифференциальных уравнений гиперболического типа.

13. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных используется интегральное преобразование Лапласа.

1.4. Корни характеристических уравнений находятся приближенно на основе двукратного разложения в степенные ряды по малому параметру.

1.5. Для численного решения нелинейного интегрально уравнения с целью определения контактной силы при ударе применяется известный метод Эйлера.

1.6. Для определения параметров стержня в процессе потери устойчивости используются уравнения с точным значением кривизны оси стержня.

2) На основе предложенной концепции рассмотрены практические задачи расчета тонкостенных стержней открытого профиля на действие ударной нагрузки:

2.1. При продольном центральном ударе определяется напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Рассмотрено влияние двухосного эксцентриситета.

2.2. При поперечном ударе определяется напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Учет деформаций сдвига при изгибе и кручении дает существенные поправки к максимальным значениям силовых и кинематических параметров.

2.3. Рассмотрена потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия при центральном продольном ударе. При условии работы материала стержня в упругой стадии получены перемещения выпучивания и возврат в прямолинейную форму при уменьшении ударной силы. Полученные теоретические результаты хорошо согласуются с данными экспериментов, опубликованных в 1961 году в статье М.Е. Каган и М.Д. Геня [52].

2.4. Рассмотрена потеря устойчивости плоской формы динамического изгиба стержня при центральном поперечном ударе. При условии работы материала стержня в упругой стадии получены линейные и угловые перемещения выпучивания и возврат в плоскую форму изгиба при снижении ударной силы.

Основные результаты работы опубликованы в статьях:

1. Аунг Зо Лат. Расчёт тонкостенного стержня на удар массивного тела. [Текст] / Аунг Зо Лат // Строительство и реконструкция. - 2013. - №3(47). -С.10-16.

2. Аунг Зо Лат. Упругий удар по тонкостенному стержню. [Текст] / Аунг Зо Лат // Мир транспорта. - 2012. - С. 26-33.

3. Мещеряков, В.Б., Аунг Зо Лат. Устойчивость стержней при продольном и поперечном ударе. [Текст] / В.Б. Мещеряков, Аунг Зо Лат // Известия Транссиба. - 2012. - №1(9). - С. 98-106.

4. Мещеряков, В.Б., Аунг Зо Лат. Поведение тонкостенных стержней при ударных нагрузках. [Текст] / В.Б. Мещеряков, Аунг Зо Лат // Известия Транссиба. - 2012. - №3(11). - С. 113-123.

Аунг Зо Лат

ПОВЕДЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

Подписано к печати /&./С. 13 . Форма60x84/16

Объем 1,5 п.л. Заказ № % 9О Тираж 80 экз

127994, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, УПЦ ГИМИИТ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения»

МГУПС (МНИТ)

На правах рукописи

и4201363776

АУНГ ЗО ЛАТ

ПОВЕДЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

Специальность 05.23.17.- Строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Мещеряков Владимир Борисович

Москва - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.........................................................................4

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЦЕЛИ РАБОТЫ 7

1.1. Обзор развития теории тонкостенных стержней................7

1.2. Краткий обзор работ по расчету стержней на удар.............15

1.3. Основные цели работы и постановка задач.......................16

ГЛАВА 2. КОНЦЕПЦИЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ НА УДАРНОЕ

ДЕЙСТВИЕ...........................................................................................17

2.1. Применение теории Г. Герца к определению параметров

контактной силы при ударе........................................................17

2.2. Моделирование соударяющихся тел..................................18

2.3. Использование интегрального преобразования Лапласа.........20

2.4. Определение корней характеристических уравнений...............20

2.5. Способ решения нелинейного интегрального уравнения.........23

2.6. Параметры процесса потери устойчивости при ударе...........23_

2.7. Программное обеспечение реализации расчетов на удар........24

ГЛАВА 3. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР ПО ТОНКОСТЕННОМУ

СТЕРЖНЮ............................................................................................25

3.1. Центральный продольный удар массивного тела..................25

3.2. Продольный удар по стержню, снабженному наковальней.....34

3.3. Эксцентричный продольный удар массивного тела...............38

ГЛАВА 4. ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО ТОНКОСТЕННОМУ

СТЕРЖНЮ............................................................................................49

4.1. Центральный поперечный удар массивного тела по

двутавру...................................................................49

4.2. Поперечный удар по двутавру с учетом эксцентриситета......64

4.3. Влияние деформаций сдвига на специфику тонкостенных стержней открытого профиля при ударе..................................69

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ

УДАРЕ.....................................................................................................75

5.1. Историческая справка....................................................75

5.2. Устойчивость при центральном продольном ударе...............77

5.3. Устойчивость плоской формы изгиба при поперечном ударе..............................................................................................87

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................101

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...............................................................102

ВВЕДЕНИЕ

Тонкостенные стержни открытого профиля находят широкое применение во многих областях промышленности и строительства. Особое место среди нагрузок, которые испытывают конструкции, сооружения и аппараты, занимает ударная нагрузка. В научных публикациях отсутствует концепция расчета на удар, которую можно было бы использовать в практических расчетах. Ввиду этого тема нашего исследования актуальна.

Теория расчета тонкостенных стержней, начало создания которой относится к 1899 году, построена многими известными учеными (L. Prandtl, A. Michell, С.П. Тимошенко, R. Kappus. H.Wagner, C.Weber, В.З. Власов и др.). За более, чем столетний, период эта теория непрерывно развивалась. В работах В.Б. Мещерякова (1963-1977 гг.) построена теория тонкостенных стержней с учетом деформаций сдвига. Уравнения в этой теории принадлежат к гиперболическому типу, дают возможность рассматривать процесс распространения упругих волн.

Проблемой соударения твердых тел интересовались многие ученые. Элементарное решение задачи предложил в 1807 году Th. Young [177]. Второе приближение, в котором появилось понятие приведенной массы балки при поперечном ударе, получено в трудах Е. Hodkinson [145] и Н. Сох [133],

Учет местных упругих деформаций в малой области контакта соударяющихся тел возможен благодаря теории Y. Hertz [144]. Первая работа в этом направлении принадлежит С.П. Тимошенко [1 16]. Однако его решение не обладало достаточной точностью. Зависимость перемещения оси балки в точке удара от контактной силы представлена бесконечным рядом по формам собственных колебаний. Модель балки принята на основе гипотезы Эйлера-Бернулли. Нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы при ударе решалось пошаговым методом. Шаг вычислений по времени был выбран как малая доля первого периода колебаний.

Для повышения точности решения требуется использование дифференциальных уравнений гиперболического типа и согласование шага вычислений с ожидаемой длительностью удара.

Цели и задачи работы.

Работа посвящается цели - построение усовершенствованных методов расчёта тонкостенных стержней на продольные и поперечные удары массивного тела.

Для достижения этой цели необходимо построит концепцию, включающую такие задачи:

1) Для определения параметров контактной силы при ударе построит нелинейное интегральное уравнение с учётом местных упругих деформации.

2) Выбрать метод для численного расчёта нелинейного интегрального уравнения.

3) Для определения перемещения ударяемых тел использовать дифференциальные уравнения, принадлежащие к гиперболическому типу.

4) Построй приближённые выражения корни биквадратных частотных уравнений при изгибе и кручении тонкостенных стержней.

5) В случаях потери устойчивости при центральном продольном ударе или потери устойчивости плотской формы изгиба послекритический перемещений использовать нелинейные уравнения с учётом точного значения кривизны оси стержня.

6) Необходимо выяснить влияния деформаций сдвига при изгибе и кручений на силовые и кинематические параметры напряжённо-деформированного состояния.

Научная новизна работы.

1) Параметры контактны силы при ударе определяются на основе тео-

- г3

рии Герца местных упругих деформации при любом соотношении масс соударяющихся тел.

2) Нелинейное интегральное уравнение решается численно по методу Эйлера.

3) Уравнения изгиба и кручения тонкостенных стержней с учётом деформация сдвига решаются аналитически с использованием интегрального преобразования Лапласа.

4) Для достаточно точного определения корни биквадратных частотных уравнений получены просты выражения путём разложения степенны ряды.

5) Установлено существенной влияния деформаций сдвига на уменьшение силовых и увеличение кинематических параметров стержней при ударе.

Достоверность результатов.

При выполнении исследования использовались известные уравнения и проверенные способы их решения. Полученные теоретические результаты сопоставлены с опубликованными в 1961 году в статье М.Е. Каган и М.Д. Геня данными экспериментов. Расчетом подтверждены продолжительности периодов процесса (сжатие, потеря устойчивости, смена числа полуволн, затухающие колебания), отмеченные в экспериментах.

Практическая ценность работы.

1. На основе предложенной концепции рассмотрены практические задачи расчета тонкостенных стержней открытого профиля на действие ударной нагрузки: при продольном центральном ударе определено напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Рассмотрено влияние двухосного эксцентриситета.

2. При поперечном центральном ударе определяется напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Учет деформаций сдвига при изгибе и кручении дает существенные поправки к максимальным значениям: уменьшение силовых и увеличение кинематических параметров на 15-20%.

3. Рассмотрена потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия при центральном продольном ударе. При условии работы материала стерж-

ня в упругой стадии получены перемещения выпучивания и возврат в прямолинейную форму при уменьшении ударной силы. Полученные теоретические результаты хорошо согласуются с данными экспериментов, опубликованных в 1961 году в статье М.Е. Каган и М.Д. Геня [52].

4. Рассмотрена потеря устойчивости плоской формы динамического изгиба стержня при центральном поперечном ударе. При условии работы материала стержня в упругой стадии получены линейные и угловые перемещения выпучивания и возврат в плоскую форму изгиба при снижении ударной силы.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЦЕЛИ РАБОТЫ 1.1. Обзор развития теории тонкостенных стержней

В 1899 г. в работах L. Prandtl [163] и A. Michell [158] была рассмотрена задача устойчивости плоской формы изгиба полосы. Это частный случай тонкостенного стержня, не имеющего секториальной жесткости. С этих работ началось построение теории. Существенный вклад в теорию тонкостенного стержня сделал С.П. Тимошенко, рассмотрев явление стесненного кручения двутавровой балки [115]. Им было получено уравнение кручения, применимость которого к профилю произвольного очертания подтвердили последующие авторы, и указали общий способ вычисления соответствующей (секториальной) жесткости.

Результаты, полученные С.П. Тимошенко, были немедленно востребованы в различных областях машиностроения (особенно в самолетостроении), нуждавшихся в уточнении существующих методов расчета тонкостенных элементов конструкций. В работах С. Weber [176], H. Wagner [174] и R. Kappus [148, 149] делаются попытки построения общей теории тонкостенного стержня открытого профиля. Уравнение кручения распространяется на несимметричные сечения, устанавливается совпадение центра изгиба с центром кручения. В работе H. Wagner и W. Pretscher [173] опубликованы формулы для определения критических сил при крутильной форме потери устойчивости стержня при центральном сжатии. Однако, как показал позднее В.З. Власов [23]. эти формулы

оказались верны лишь для стержней с двумя плоскостями симметрии. П.М. Знаменский [50] предложил формулы критической силы при закручивании, но они имели ту же область применения, что у H. Wagner.

Общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней открытого профиля была создана В.З. Власовым [20 - 23]. Введение двух кинематических гипотез - об отсутствии деформаций контура поперечного сечения и об игнорировании деформаций сдвига в срединной поверхности -позволило существенно упростить уравнения теории оболочек и получить все необходимые соотношения, удобные для практических приложений. Были установлены ошибки предшествующих авторов, а также непригодность формулы Эйлера в общем случае потери устойчивости стержней при сжатии.

Экспериментальные исследования работы тонкостенных стержней выполнены А.Р. Ржанициным [102. 104].

После выхода в свет монографии В.З. Власова [23] теория расчета тонкостенных стержней стала бурно развиваться и популяризоваться. Существенное влияние на овладение инженерами теорией и на введение основ теории в учебники оказали помимо работ В.З. Власова и сотрудников руководимой им лаборатории также обзорные работы следующих авторов: Г.Ю. Джанелидзе и Я.Г. Пановко [44], Я.Г. Пановко [91], Я.Г. Пановко и Е.А. Бейлина [93].

Устойчивость стержня при действии следящей силы была рассмотрена в работах Г.А. Тумашик [120] и P.A. Djondjorov. V.M. Vassilev [134]. В критической статье Д.В. Деревянкина и В.И. Сливкера [42] отмечено, что в этих двух работах используются неравнозначные модели стержня. В работе [120] учет деформаций сдвига выполнен на основе модели С.П. Тимошенко. В работе [И4] использована физически некорректная модель стержня с учетом деформаций сдвига, предложенная в монографии В. Колоушека [54].

П.Ф. Папковичем [95] введенны понятия пограничной кривой и поверхности. При их построении используются парциальные критические значения различных нагрузок.

Первую задачу о совместном действии сжатия и чистого изгиба балки-полосы в указанном плане решил С.П. Тимошенко [117], получив для пограничной кривой уравнение параболы. В статье Р.Н. Гузеева и В.И. Сливкера [41] приведено обобщение задачи С.П. Тимошенко [117]. В диссертации Г.Г. Влайкова [19] рассмотрена устойчивость плоской формы изгиба при двухпараметрической нагрузке.

Различными авторами получены приближенные уравнения пограничных кривых в некоторых частных случаях. В работе М.М. Гохберг [37] были получены пограничные кривые для сочетания двух поперечных нагрузок. В статье Е.А. Бейлина и В.В. Егорова [10] рассмотрены колебания и устойчивость криволинейного стержня, нагруженного трехпараметрической нагрузкой.

В работе А.З Зарифьяна [47] были построены пограничные кривые для некоторых случаев сочетания нагрузок. В работе В.Ф. Луковникова [63] была сделана попытка вывода общего уравнения пограничной кривой при сочетании сжатия стержня с произвольной поперечной нагрузкой. В статье В.Б. Мещерякова [66] построена пограничная поверхность при действии трехпараметриче-ской нагрузки.

Анализу исходных гипотез теории В.З. Власова посвящено значительное число работ, среди которых диссертация Ю.Н. Работнова [101], статьи К.Д. Туркина [121] и Е.Д. Кондрашева [56].

Теория упругости дает возможность наиболее точного обследования справедливости приближенных теорий. Основываясь на этом, А.К. Мрощин-ский [86] впервые подтвердил достаточную точность четырехчленной формулы для напряжений. Метод перемещений, предложенный A.B. Александровым для плитно-балочных и складчатых систем, позволил ему исследовать работу тонкостенных стержней при действии продольных сил [1]. Результаты исследования показали, что теория тонкостенных стержней учитывает главную часть напряженного состояния стержня. Отклонения от закона секториальных площа-

дей при действии продольных сил наблюдаются лишь вблизи места приложения этих сил.

Эти же вопросы рассматриваются в статье Е.П. Любовского [64], где имеется качественное экспериментальное подтверждение теоретических выводов в работе [1]. Следует отметить также работы Б.М. Броуде и Е.В. Борисова [16] , Н.М. Закса [46].

В работах Л.Н. Воробьева [28], П.Д. Мищенко [85] с помощью последовательных приближений учитываются деформации сдвига в срединной поверхности стержня. Было установлено, что влияние деформаций сдвига наиболее заметно сказывается на величине перемещения оси стержня и углов закручивания, а при вычислении напряжений деформациями сдвига можно пренебречь.

Принципиально иной подход к построению теории тонкостенных стержней был предложен в статье А.Л. Гольденвейзера [34]. В ней проведен качественный анализ интегралов полной системы уравнений, описывающих работу тонкой цилиндрической оболочки [35]. Показана возможность построения теории расчета коротких стержней (для которых можно пренебречь сен-венановским кручением) с учетом деформаций сдвига. Тонкостенные стержни средней длины (для которых нельзя пренебречь сен-венановским кручением), как отмечает А.Л. Гольденвейзер, «... до конца исследовать не удалось». Влияние сдвигов на напряжения в поперечных сечениях стержня оказалось на порядок меньше, чем влияние на перемещения в тех же сечениях. (К таким же результатам пришли в своих работах Л.Н. Воробьев [27] и П.Д. Мищенко [85] с помощью метода последовательных приближений.)

В результате анализа А.Л. Гольденвейзером обнаружено, что гипотеза недеформируемости контура поперечного сечения не нужна для построения теории, однако принятие ее не приводит к ошибкам, так как на основное напряженное состояние, учитываемое в теории стержней, влияют только такие деформации оболочки, при которых контур сохраняется неизменным.

Результаты, полученные А.Л. Гольденвейзером, позволяли уточнить пределы применимости теории В.З Власова.

Начиная с 1964 года В.Б. Мещеряков в ряде статей [68-75] предложил развитие теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом деформаций сдвига. В основу исследования положена работа А.Л. Гольденвейзера [34] . В статье [69] содержание анализа, проведенного в работе [34], излагается языком гипотез. Эти гипотезы не совпадают с гипотезами В.З. Власова [23]. Первая гипотеза утверждает, что система уравнений неразрывности может быть упрощена и сведена к одному уравнению. Решение этого уравнения приводит к известной четырехчленной формуле для относительной продольной деформации. Во второй гипотезе считается возможным пренебречь взаимным надавливанием волокон (это, кс1аги говоря, совпадает с одной из основных гипотез сопротивления материалов при рассмотрении изгиба бруса).

В статье [70] подведен итог исследований по построению общих уравнений теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Дальнейшие публикации В Б. Мещерякова [72-77] посвящены вопросам колебаний, статической и динамической устойчивости тонкостенных стержней с учетом сдвигов, а также внутреннего трения в материале. Динамические уравнения принадлежат к гиперболическому типу, поэтому они отражают волно-водные свойства тонкостенных стержней при изгибе и кручении. В обзорной статье Э.И. Григолюка и И.Т. Селезова [39] положительно оценены работы В.Б. Мещерякова [67 - 75].

Большое количество исследований посвящено расчету тонкостенных ст�