автореферат диссертации по строительству, 05.23.16, диссертация на тему:Основы нелинейной вычислительной гидравлики

г Г- "

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИИ ИНСТИТУТ КОМПЛЕКСНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ

На правах рукописи УДК 532.543:621.305:518.5

ГЛАДЫШ ЕВ Михаил Тихонович

ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГИДРАВЛИКИ

05.23.16 — гидравлика и инженерная гидрология

Диссертация

на соискание ученой степени доктора технических наук в форме научного доклада

Минск 1993

Работа выполнена' в ордена Трудового Красного Знамени институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева, Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени Ленинского комсомола и Белорусском институте инженеров железнодорожного транспорта.

Официальные оппоненты: — Мишуев Адольф Владимирович,

профессор, доктор технических наук;

— Воеводин Анатолий Федорович,

профессор, доктор физико-математических наук;

— Васильченко Глеб Викторович,

доктор технических наук.

Ведущая организация — Институт водных проблем РАН.

Защита диссертации состоится 10 декабря 1993 г. в 11 часов на заседании 'Специализированного совета Д 120.88.01 по специальности 05.23.16 «(Гидравлика и инженерная гидрология» при Центрально-м 'научно-исследовательском институте комплексного использования водных ресурсов по адресу: 220086 г. Минск, ул. Славинского, 1, и<орп. 2.

Доклад разослан « . . ».......199 г.

Заверенные печатью учреждения отзывы в двух экземплярах ирсопм направлять в адрес института.

Ученый секретарь специализированного совета,

д. т. 11. В. П. Рогунович

Введение

В научном доклада обобщенно представлены:

- исследования по созданию нелинейных одно - и двумерный математических моделей движения открытый и напорных потоков жидкости;

- точнее решения краевых задач, имешик важное значение для выяснения особенностей сложный течений, проверки приближенных численных методов решения и программного обеспечения;

- численные методы решения нелинейный краевых задач гидравлики;

- приложения методов и средств к обоснованию проектный решений по водным объектам.

Исследования проводились автором в 1060-1992г.г; d институте гидродинамики им.М. Л. Лаврентьева, Новосибирском университете и Белорусском институте инженеров железнодорожного транспорта по отраслевым, союзным программам СЛН, ГКНТ» Мин-водхоз, Минэнерго), а также по прямым до гонором с различными ■ организациями: НИС Гмдропроекта, 'Гбилгидропроект, ВНИИГиМ и др.

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЙ. С прошло го века раздели гидродинамики, связанные с описанием волновых процессов, в основном развивались как нелинейные.

Что касается гидравлическим процессов, то не были сфор-мулировани многие нелинейные краевые задачи, что не позволяло решить многие практически!: вопроси.

В наших работах сформулированы нелинейные краевые задачи. которые позволили создавать математические модели: прерывной волны, одиночной волны, гидравлического прыжка в руслах произвольной формы течения, волны большой амплитуды, возникновение градиентной катастрофы внутренних волн i нагое-лойнык потоков и др.

Для решения перечисленных задач необходимо развитие нелинейной гидравлики, что позволит решать многие практические вопросы. На берегах рек, водохранилищ, озер, морей и океанов расположено большинство городов и других населенных пунктов, через реки построены железнодорожные и автомобильные мосты, на поймах рек размещены сельскоиоэяйстшшшсз уголья, эти открытый потоки используются для отдыха и спорта, выбора створов

О

гидроузлов и т.п. Для обоснования-проектных режений водных объектов нужны расчеты волн, особенно катастрофических, типа волны прорыва, цунами и др. Важна роль теории неустановивие -roca движения в открытых руслах в решении задач охраны окружа-пцей среды (например, создание резконестационарных режимов течения дла гидравлической промывки(смыва дошшх наносов) загрязненных речных русел).

В последние годы во всем мире увеличивается число возведенных плотин. Одновременно иоэростает вероятность их прорыва. По некоторым оценкам, примерно на 82 плотин имели место аварии и инциденты, ведукие к человеческим жертвам и больвому материальному ущербу.

Практическая деятельность и зксперементалыше исследования дают огромное количество примеров неустановившихся процессов. связанных с распространенном паводков, прерывных и уединенных волн в однородных » стратифицированных открытых потоках. Необходимость отвечать на вопросы, возникающие при этом, приводят к создании нелинейных моделей различных уровней слохности.

Большинство известных математических моделей гидравлики открытых потоков приводят к ременив начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Такие исследования возможны в результате применения вычислительных методов на основе использования совронменных ЭВМ. Для проверки правильности работы программ нужны тесты, которые трьбуот аналитического режения задач в простейаих случаях.

Поэтому рассматриваемая тема является актуальной, она отвечает запросам народного хозяйства, дает возможность прогнозировать зона риска гидротехнических сооружений, обосновывать эффективные решения при проектировании и эксплуатации водных оъектов.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЙ: совершенствование математических моделей открытых и напорных потоков жидкостей, создание прог ранмных средств математического моделирования и расширение возможностей научных обоснований решений при проектировании и эксплуатации водных объектов. Для достижения целей потребо-налось предложить уравнения движения, формулировать краевые задачи, получать частные точные режеиия краевых задач, разработать численные методы как с выделением разрывов при использовании подвижных сеток, так и для гладких реженнй, создать программное обеспечение, выполнить расчеты водных объектов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА. На зациту выносят-

ся следующие результаты:

- нелинейные одно- и двумерные уравнения движения «идкости,

- математические формулировки краевая задач,

- точняе реяения некоторых задач,

- численные методы оасчота процессов движения,

- результаты моделирования процессов движения в ответственных объектах.

Достоверность полученных результатов подтверждена данными теоретических и экспериментальных исследований, апробацией результатов работа на различных уровнях.

Результаты исследований, представленные в научном докладе, получены автором лично и под его руководством, использованы для ревения конкретных задач в составе проектов и принятия ре-яений по регламентации инженерно-хозяйственной деятельности на водотоках.

Практическое значение работы относится к области гидротехнического и гидромелиоративиого строительства,водного хозяйства, прибрежной зоны и др.Разработка моделей наустановивяегося движения води представляет значительный интерес с точки зрения выбора створов гидроузлов, разнесения водозаборных устройств, причальных сооружений и т.п. Практическую значимость имеит предложенные численные иетоды, программы для расчетов на персональных ЭВМ неустановивяихся потоков.

Результаты исследований послужили основой методик и программ гидравлического расчета течений типа паводков и воли прорыва в естественных руслах. Практические результаты исследований использованы при проектировании водных объектов, а именно:

1. Моделирование разрувения плотины Вилвйского водохранилищ Вилейско-Минской водохозяйственной системы.

2. Прогноз неустановивжегося движения в магистральном канале Самур-Пнжероиской водохозяйственной системы (В1ШИ-ГиИ, г. Москва).

3. Движение волны прорыва при частичном раэрцвснии плотины Красноярской ГЭС (Гидропроект, г.Москва).

4. Исследование воздействия волны прорнва на нижерасполо-женнув плотину на р°ках Храии и Риоии (Тбилгидропро-ект).

Созданная технология математического моделирования неустановившихся потоков, а также программы для расчетов характеристик течений использована многими ор-апизацияни и обеспечили успевное реаение сложных задач неустановивяихся течений,

сокращение сроков и повышение качества проектирования мкш их водных объектов.

АПРОБАЦИЯ РЙБОТН. Основные результата работы доложены на: 11-м, 17-и и 20-и конгрессах Мевдународной ассоциации по гидравлическим исследования* (Ленинград, 1963; Баден-Баден , ФРГ, 1977;Москва, 1983), Всесоюзной семинаре "Применение ЭВМ в гидравлике" (Новосибирск, 1963), Всесоюзном совещании "Неуста-новивтеся потоки «идкости и газа в руслах и трубопроводах'" (Новосибирск. 1906), научно-технической конференции молодых ученых и специалистов г. Новосибирска (Новосибирск, 1366), четвертом Всесовзнои симпозиуме по дифракции и распространение волн (Харьков,1367), третьем Всесовзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва,1368), Всесоюзном совещании но результатам прерывных воли (Кара-Куль Оиской об,1971). третьей Всесоюзной конференции но гидравлике дорощных водопропускных соорущений (Гомель. 1373), Всесоюзной научной конференции "Проблемы гидравлической устойчивости" (Тбилиси, 1975), «сстой научной конференции Западно-Сибирского региона МВиССО РСФСР по математике и мехаиике (Томск,1977), Всесовзном симпозиуме "Численные методы в гидравлике" (Телави, 19В0), Всесовзной конференции по размыву около морских гидротехнических спорувений (Москва,1981), 1-м и 2-м Всесоюзных научных совещаниях "Методы моделирования изменений природных условий при перераспределении водных ресурсов" (Новосибирск,1982,1987), 1-й Всесовзной виоле-семинаре "Многомерные задачи механики спловной среды" (Красноярск,1962), Всесоязных совещаниях по проблемам цунами (Новосибирск,1982;3ве-нигород, 1983;Горький.1364,1990; Обнинск, 1905, 1988; Ецвенское, 1986),Всесоюзной конференции "Прогрессивные методы в проектировании и строительстве морских берегозащитных соорувений" (Сочи,1984), 1-й, 2-й и 3-й Всесоюзных конференциях "Динамика и термика рек. водохранилищ и эстуариев" (Москва, 1971,1984,1989), 3-й научной конференции по проблемам водных ресурсов Дальневосточного экономического района и Забайкалья (Владивосток, 1988), 4-й Республиканской конференции по прикладной гидромеханике "Проблемы гидромеханики в освоений океана. Поверхностные и внутренние волны в океане и прибреаной зоне вельфа" (Киев,1987), 4-й Всесовзной научной конференции "Закономерности проявления эрозионных и русловых процессов в различных природных условиях" (Москва, 1987), Всесоюзном семинаре "Вычислительные методы в волновой гидродинамике" (Абакан, 1988), Всесоюзном совещании "Проблемы гидрометеорологического обеспечения народного хозяйства Сибири" (Красноярск, 1989),

Исгспвзной нлцчни--технической конференции "Методы и средства организации подоучша на гидромелиоративных объектах" (Фрунзе, 1309), секции русловых процессов ГК11Т СЛенинград, 1989), Всесопзний научной конференции "Зрозивнеденис : теория зке-тримппт, практика" (Москва,!9!)1), республиканском семинаре по гидравлике открытых русел (Кип»,tí)0l), семинарах институтов горпця Костон (ВЦ ПН Г.ГХР.Щ КП1.1ШИ Механики МГУ. МАДИ. НЙС Гидрвпроекта). г, Минска (ИИ ПН СССР, П!1И, ЦНИИКИВР), Новосибирска (ПП, ИГ СП fifi СССР, ЙТПМ СО ЛИ С ССР), Казани (ВЦ КГ!)). Ленинграда (ЛИИ), Риги (ШШИподполииср) и др.

Н9СЛИК011ИИ. По гекп диссертации опубликовано евкее ЙО работ, п ток числе 4 работ» п мсядуннродних изданиях.

Эти работн распадаится ил чвтнра раздела. Первый раздел - что работы, свяпаннме с уравнениями движения и формулировками краовых задач, второй раздел посвящен рехешш тестовых задач (точнме и «риблигеиинв речения), третий раздел связан с численными ксгядлии рнясиия гидравлических задач и четвертый раздел пнг.пяцси нрилоягнип методов и средств нелинейной гидравлики и обпенпранит нрошегнчх реиенкй.

!. ЯРШЕНИЯ ДВЙШ'ИЯ И <№Н!!аИРЛПКИ КРШШ ЗПЛЙЧ

Глубокое исследование. различных процессов, нротекаемнх и открытых руслах, бесспорно, ягчяется одной из наиболее актуальных задач современной теоретической гидравлики. Как и другие раздели механики, теория открнтых потоков строится на основе определенных математических моделей изучаемых объектов. Кол!, скоро такие модели созданы, их "физика" новет быть прогнозирована адекватными этим моделям средствами (качественные и аналитические ыстпди, численный эксперимент). Одним из наиболее паяных результатов такого анализа долит быть упорядочение «ношестпа «одолей в определении«! иерархия: изучение детализированных моделей позволяет выявить процессы, преобладающие в тех или иных условиях, что п своя очередь, дает возможность построить упроченные модели, хорояо описывавшие эти выявленные процессы и огрубляющие процессы несущественные. Детализированными в теории открытых потоков слукат системы, уравнений Эйлера и Напье-Стокса.

Различны« вопросам точной постановки о длмшши тякелой . жидкости со свободной поверхностью посвяиенн работк Ю.З.Йлешкова, Ю.А. Березииа. В.П. Гчпииа, В.II. Коньиина, С.Нл-какуры, В.И.Иаликопа, В.В.Прначева, tí.Ftmakoshi,И.01каш>, и др. Задача п неустановившемся дшиеник идеальной (и тем fio-.

лее вязкой) жидкости со свободной поверхностью достаточна слоена, и для того, чтобы ее понять, полезно иметь в своей распоряжении некоторый набор тестовых задач.

Как для уравнений Эйлера, так и для уравнений Навье -Стокса известны лишь немногие припери точных ревеиий, оин сыващих течение тяжелой несжимаемой аидкости со свободной границей по твердой поверхности.

Несмотря на наличие численных методов ранения этих уравнений в двцмерном (вертикальная плоскость xl,x3> случае, сложность их применения для прикладных кассовых задач гидравлики обусловила более простой путь - использование уравнений нелинейной теории челкой воды, получаемых осреднением скорости по толцине слоя.

всредненис уравнений Навье-Стокса и Эйлера приводит к некоторой потере информации о деталях механизма течения, но для реиения задач практики это наиболее приемлемый путь. Достигаемое при згой упрощение (отсутствие вертикальной пространственной переменной, условий на свободной поверхности и на дне) делает возможным мобильное численное моделирование. Так получавтея уравнения однослойной и многослойной аидкости (в последнем случае исходят из уравнений для неоднородной жидкости).

Другим путем, помимо осреднения, получения уравнений мелкой воды разных приближений является асимптотический подход. Так, в первом приближении из уравнения Эйлера получаются уравнения Сен-Венана (или уравнения идеальной мелкой воды), а во втором приближении - уравнения Буссинеска (или уравнения дисперсионной мелкий воды). Из уравнений Навье-Стокса получаются уравнения вязкой однослойной мелкой воды. Модели теории мелкой воды, получаемые одним из этих путей, не содержат некоторых важных членов, таких как гидравлическое сопротивление, которые добавляется в них эмпирическим лцгем, как это принято в гидравлике.

Простейаей моделью, позволявшей получать информации о нецстановиввихся открытых потоках, слуаит одномерная модель Сен-Венана.Эта модель является одной из наиболее проверенных. В настоящее время разрабатывавтея модели двумерных (плановых) течений. Подели с двумя пространстве-н:ыми переменными описывают неустаионивхиеся потоки реалистичнее и потенциально превосходят одномерные модели. Однако они довольно сложны и е*е недостаточно проверены.

Следующей по сложности являете» модель вязкой мел кой воды, когда к яравншмяи Сен-Венам добавляется вторые

производные по пространственным переменным. Недостатком такой модели, как и всех рассматриваемых в работе моделей мелкой води, является тот факт, что при прилипании частиц вязкой ашдкости к вертикальнцм берегам отсутствует прилипание частиц шидкости ко дну (где имеет место проскальзывание).Тем не менее структуры, связанные с разрывными оказываются более близкие наблюдаемым (в модели Сен-Вена-на имеем скачок глубины и скорости).

Вторим приближенийм теории мелкой воды является модель Буссинеска, когда к уравнениям Сен-Венана добавляются члены с третьими производными. Зта приблииение описывает уединенные вомни. Й при одновременном учете вязкости и дисперсии описывается прыжок-волна,т.е. прерывная волна с ондуляциями. После уравнений Сен-Венана уравнения Буссинеска наиболее изучены, хотя до последнего времени не Пило явной записи для уединенной волны. Наконец, известны модели дв-ухслойной нид кости, описывающие кусочно-постоянную стратификации. В этом случае уравнения обоих слоев зацеплены через члены градиента толщин этих слоев и через члены Греция на границе раздела.

В особув группу выделяются течения над деформируемым дном. Имеется много работ по математическим моделям,в которых к уравнениям Сен-Венана добавляется уравнение деформации дна. Однако отсутствуют работы, в которых моделировали бы ноток наносов под водой.

Обобщение показывает, что отсутствуют работы по разрывным решениям одномерных задач, продолжает оставаться, необходимость углубленного исследования двумерных закономерностей течения.

В последние годы не проводилось исследований по моделированию стратифицированных течений многослойной мелкой водой как без учета вязкости и дисперсии, так и с учетом последних, Отсутствуют работы по решении гидравлических задач и точной постановке.

В изложенном смысле существенное значение приобретают данные о волне прорыва, о влиянии вязкости, дисперсии, инигослийнистн, Несмотря на значительное количество отечественных н зарубежных работ по вопросам неугганививиегося дншшшя воды в каналах и реках (число наименований превышает несколько тысяч), до сих пор не были вшшнено подоПннх исследований.

- 10 -

По наши» оценкам, около 90К опубликованных ре-бог посвящено одномерным задачам. Слоаность и большое разнообразие неустановившихся течений в открытых руслах является основной причиной отсутствия до настоящего времени единого и исчерпывающего их решения. Тем не менее, на основе аналитических и численных данных о . структуре течений в открытых руслах возможны унифицированные решения классов задач неустановившихся течений.

Представленная работа развивает это направление. Под математической моделью открыгогп потока здесь понимаются дифференциальные уравнения и дополнительные условия. К этому циклу относятся работы t 1, 2, 5, ?, 16, 22 -'331. Хронологически первой из них является статья "Численные методы расчета распространения прерывных волн в открытых руслах" Ш .

В ней выведены в обобщенном смысле, а именно в форые законов сохранения, уравнения Сен-Венана, известные с 1871г. До этого неправильно использовались условия на прерывной волне и не было возмошюсти считать разрывные решения. Пилученная О.Ф. Васильевым и автором форма имеет видС 1, 2, 5 1

♦ 3SL = о.

9t Эх »

ЭХ ' u> ' * к ь

где<4(*Д)- плоцадь поперечного сечения потока,0(*Д)-- расход потока,Р(|),х)- сила гидростатического давление »идкостн е поперечном сечении потока, деленная на плотность шидкости,К(М)- модуль расхода,^ - боковая реакция поверхности русла, 8 - цгоп наклона дна к горизонту ,<J(*,l)- путевой приток, приходящийся на единицу длины русла, ^ - ускорение свободного падения,

X - координата поперечного сечения, отчитывается по оси русла, t - время. Мкивт место ссттксшения

0 » о

(2)

- п -

где!з(х,^)~ ширина поперечного сечения русла на расстоянии от дна ( отсчитывается пи нормали к оси х )

И - глубина потока,отсчитываемая по вертикали.

Отметим что работа Васильева О.Ф, и автора относительно уравнений! 1- 2) послужила отправной для всех последующих исследователей волн прорыва

Из уравнений (!) записанных 8 интегральной форме, получается условие на прерывной волне:

где Л - скорость разрыва

В случае течений жидкости при наличии задней левой границы по сухому дня автором предложены условия [ 12, 1?, 16]

Одним из обоснований условий (4) являются точные решения уравнений (1) (см.нияе ¡.не допускающие оголения дна.Другое соображение нояно привести такое: у члена трения знаменатель при Ь г 0 обращается в нуль, поэтому, чтобы уклон свободной поверхности был отличен от бесконечности, необходимо V = 0. Аналогичная ситуация имеет место при движении снежных лавин (Бахвалов Н.С., Эглит М.З.).

Учитывая, что граница по сухому дну- является одной из важных в гидравлике открытых потоков и будет часто встречаться ниае(в точной постановке ее аналогом - контактной границей- является свободная поверхность), отметим следующее. Такие задачи относятся к классу задач по свободной границей, Под "задачей со свободной границей" понимаются нестационарные задачи гидравлики иткрытых потоков, в которых линия или ее часть , ограничивающая площадь, занятую жидкостью, заранее не фиксирована, а состоит из жидких частиц. Пли определения свободной границ» имеется два нелинейных упловиЖкинематическое или геомет-

- i2 -

рическое и динамическое), связывающее форму линии и скорости жидких частиц на ней. Кинематическое условие означает, что граница области во все моменты времени состоит из одних и тех не частиц, а динамическое равносильно задании нулевой глубины вдоль жидкой границы области. Наряду с одномерной схемой мы рассматривали и двумерную модель, учитывающую изменение скорости и глубины по ширине потока-от вертикали к вертикали. Запиаем уравнение двумерного движения видкости в открытом клапане для произвольного наклона поверхности дна(доляныН22)

^.♦hdhrS'*

á?.-- Jjj. 9tad(hlco¿ У)»19 -jin*- Fv- 7 i —»

Здесьу -средняя по толщине слоя скорость, -приток жидкости на единицу площади,f -угол между горизонтальной плоскостью и касательной плоскостью к долине в рассматриваемой точке,X -вектор,лежащий в касательной плоскости и задающий направление наибольшего спуска,Fv -расчитанная на единицу массы сила трения,*,У -некоторые координаты на поверхности долины, а операции<!1У H^iad берутся па поверхности долины,

Обычно в гидравлике используется следующее выражение для силы трения о дно

(6)

Здесь Ц -коэффициент гидравлического трения, ГП -постоянный коэффициент Рассмотрен вопрос о полной системе дивергентных Форм для двумерных уравненийС 28) .

Исследованы вопросы о характеристиках уравненийС 3) С2В1 , о распространении слабых разры-вовС283 , о прерывных волках и контактных разривахС281, о существовании режвния условий на прерывной волне

О)

Условие на контактном разрыве имеет вид

Показано, что при учете трения условие на границе по сухому дну имеет вид

Исследовано двумерное взаимодействие слабих возмущений с прерывной волной и контактным разривомС20].

Исследован вопрос о корректной постановке смеианннх краевых задач для цравненийС5),С28Э.

Результат« исследований показывают, что при срерхкрятическом втекании задаются три граничных условия, при сверхкритическом вытекании не иуш-но задавать граничнчх условий, при докритическон втекании задаются два условия, одно из которых -касательная компонента скорости, и наконец, при докритическон вытекании задается одно условие: нормальная компонента скорости или глубина, в последнем случав мояно задавать так называемые мягкие условия, выражающиеся в ток, что производные некоторого порядка для всех переменных по нормальной к границе координате, равны нулю.

Сформулирована общая постановка задачи о двумерных неустановившихся течениях.

Граница области состоит из частей различного типа, число которых может меняться со временем. Большой круг задач охватывается заданием следующих типов границ; неподвижная твердая в вертикальная стенка, неподвияная жидкая граница, неподви«шая линия сияметрии течения, подвижная граница по сухому дну, подвижная границаспрерывная волна)по мокрому . дну, Описаны условия для каядого типа границ. Дадим постановку задачи «о сухому днуС 171-.

Пусть граница^области5Ьявляется границей по сухому дну. Это означает, по - первых, что нормальная составляющая скорости жидкости в точках совпадает со скоростью перемецения линии в направлении норна-

- 14 -

лиСкинематическое условие), во - вторых, в точках линии всегда Ь = О

(Динамическое условие) . Пусть уравнение границы но сухому дну есть Р(х,уД) =

Тогда кинематическое и динамическое условия могут быть записаны в виде:

Ь«0 при Г :0 ^

Требуется задать еще начальные условия

У(х,у,0)«^4х,у> (ю)

Итак, требуется решать уравнения*5) с условиями 9 -!0) . Отметим, что в одной только рзботеС24]рассмот-рено И моделей волны прорыва. Много внимания уделяется задачам внутреннего и внешнего течений. Исследованы постановки соответствующих задач о течениях в каналах и воздействие течений и волн на обтекаемые тела и сооружения (211. Если вместо жидкости понимать грязевув массу, например, продукты, эрозии, то дополнительно учитывается сухое (куло-новское)трение грязи о дно (27].

Свда Мы отнесем и работы по неустановив-«емуся движению над деформируемым дном 131,331, когда к уравнениям Сен-Венана добавляется уравнение деформации дна. Особув сложность вызывают постановки задач с подвижными границами, которыми являются прерывные волны и границы по сухому дну.

Перейдем к усложненным моделям теории мелкой воды. Это новые модели: вязкой мелкой воды, приближение БуссинескаСили второе приближение мел-вой воды, или дисперсионная мелкая вода)и многослойной мелкой воды в трех приближениях: идеальной, вязкой и и дисперсионной. Начнем рассмотрение с одномерных и двумерных уравнений вязкой мелкой воды 1221. Модель Сен-Венана, рассмотренная выже, не учитывает трение о вертикальную стенку. Чтобы это учесть, а также и другие эффекты, можно ввести в уравнениях Сеи-Венана С 5 ) дополнительно вязкость в левой части уравнения движения с помочьв члена-^«Я где ]Ц - коэффициент турбулентной плановой вязкости.

считаемый сначала положительной постоянной, хота в обцем случае зависящий от скорости и ее градиента, & - оператор Лапласа.

В другой форме этот член рассматривался в раба тах Е.8,Болотавского, Ф.Було, Н.Е.Вольцингера и. Р.В. Р.Й.Пясиовского.Н.Ф.Гетмана, Г.Г.Еленина, Г.ft. Еремеева, Н.С.Фукс-Рабиновича,С.Л.Breibia и P.Partridge, fl.Daubert и 3.Р.Benque, C.L.Guyitun и I.P.King, DJ. Needhaa и ЗЛ1.Merkin. G.T.Yeh, fl.C.Ziencievich и 3.С.Heinrich.

Для того, чтобы било совпадение предельных значений величина в структуре разрыва при J4 ф О с величинами на разрыве при = 0, рассматриваемым в теории уравнений Сен-Бенана, ии взяли в члене вязкости коэффициент-^-. При этом решения системы вязкой мелкой воды не ыогут иметь разрывов, даяе при задании разрывных начальных и граничных у'сло-вий.

Уравнения вязкой мелкой воды в одномерном случае имеет вид:

ЗдесьП - 0 для плоских двивеннй ип = 1 для цилиндрических движений. В последнем случае!> 0.

Уравнения(11) имеют две кратные характеристики I-сопзЪ, характеристику^^.Системы, имевшие вещественный кратные характеристики, но не записывавшие, как в нашем случае в характеристической форме, не являются гиперболическими.

Более вашым для постановки дополнительных условий является не тип уравненнй, а корректность постановки задач. Исследования линеаризованных уравнен,.й показывает, что в качестве начальных условий требуются заданиеЬ ии, при Ц>0 задастся две ве-личииысЬ или|£)на левой неподвияиой границе г = ■а и одна величина на правой неподвияной границе! г в.

При решении задачи о разрувеиии плотины(случай мокрого дна Целесообразно ввести в аравнения(П) член трения о дно с. тем, чтойц.существовало установившееся постоянное течение, Перехода к двумерному

- 16 -

сличаю, отметим, что наибольший интерес для приложений представляют три сорта границ: границы мидкого и твердого тела, видная граница и граница с сухим дном.

Исследованы постановки задач для задач внутреннего и внешенего течений типа:

а) обтекание тел конечной длины бурным потоком «идкости,

б) течение в прямоугольном канале переменной ширины В (х) и др.

й особый класс задач отнесем задачи с подвил ной границей по сухому дну, заранее неизвестной. Одним из первых среди отечественных авторов мы перешли к более полной и точной теории, а именно от модели Сен-Венана к модели Буссинеска, учитывающей, пусть приближенно, вертикальное ускорение частиц, т.е. негидростатичность распределения давлений по глубине (16, 22, 23, 25, 293 . Благодаря учету последнего обстоятельства в динамическом уравнении появляются дополнительные слагаемые в виде производных третьего порядка или соответствующего увеличения порядка системы уравнений другого вида. В работе исследуются известные в литературе четыре исходных системы Буссинеска в форме Добера, Карпма-на, Уизеыа и Перегрина, Основная трудность исследований уравнений Буссинеска заключается в высоком порядке уравнений и их неразделяемое™ относительно искомых функций. Изучение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.высокого порядка с тремя независимыми переменными типа уравнений Буссинеска мало продвинуто и представляет значительные математические трудности. Нами исследована корректность постановки задач для уравнений Буссинеска! 221. Исследования линеаризованных задач способствуют выяснении основных особенностей постановки краевчх условий для нелинейных уравнений. Результаты исследования корректности дают ответы на вопросы : 1- сколько надо задавать начальных данных и каких;

2- корректна такая начальная задача или нет.

Например, для уравнений Добера

3 ' Э X 3 ЭХ " Ь >Ы

^^Ы -Г

э* у э х * ' ТГ » Зк ' ь ' v ;

где^/,Г- соответственно вертикальная скорость и ускорение на свободной поверхности,^ - уклон трения, I - уклон дна, достаточно двух фянгций из трех V . Ь .V/ в качестве начальных данных, при V > 0 задаются три величины,(Ь^и одна изУ.Г } на левой неподвижной г ранице х = а и одна величина Г или V на правой неподвижной границе х = в.

Рассмотрение вопроса о полной системе дивергентных форм для уравнений 12) приводит к выводу о наличии четырех классов дивергентных форм. Осе исследования для уравнений 12) обобщаются и на другие одномерные уравнения Буссинеска, т-.е, уравнения второго приближения не являются гиперболическими в отличие от уравнений первого приближения Сен -Венана и не могут иметь разрывных решений. Исследованы постановки задач для двумерных уравнений.

К особому классу относятся задачи, в которых имеется граница по сухому дну.

Тогда имеем переменную во времени область, двияение границ которой определяется в процессе ре-иения.

Переходик к рассмотрению одномерных и двумерных уравнений многослойной мелкой воды.

В первых трех вышеприведенных моделях рассматривались однослойные модели мелкой воды. Вертикальная структура потока мояет учитываться моделями многослойной мелкой воды. Этот раздел посвящен течениям многослойной мелкой воды, моделируищей стратифицированную по плотности адкость [22,, 26, 27, 31, 33) . Лредлояенные автором уравнения двумерной многослойной вязкой мелкой воды имеют вид

_ — _ о Ч

зТ" _

. ¡ = 2,ЛЧ

Ь; '

Пп ' УяПл }пЬп

Здесь 31,^1, И, И! = (и1, уП - плотность, коэффициент вязкости, толщина и средняя по толщине скорость в 1 - м слое, нумерация слоев идет сверху вниз, з1 < э2 .... <3п, Н к - коэффициент гидравлического трения на границе раздела между 1 - м и (1 + 1 ) - м слоем и дне соответственно,-угол между горизонтальной плоскость» и касательной плоскостью к поверхности дна в рассматриваемой . точке, I - вектор, лежащий в касательной плоскости и задающий направление наибольвего спуска.

Система многослойной идеальной мелкой води, следующая из СИ) при - 0, 1 = 1, п , в некоторых случаях гиперболическая, в других - негиперболическая. Конкретные исследования проведены для двухслойной мелкой воды. Приведем здесь одномерные уравнения многослойной дисперсионной мелкой воды в форме Перегрина

ЭЬ; 3 гЬ'ШЬп 34! эгш\0£> А. . Н; у и ^ - э Н, 9{3х л н3 ♦ I 34Эх)\ °>

ьр, И

' Ш ПРМ ,|»| •

Для одномерной системы двухслойной идеальной мелкой воды (13) исследованы условия гиперболичности и вопрос о полной системе дивергентных форм таких уравнений.

Условия на разрыве, полученные стандартным путем из законов сохранения, имеют высокие степени и не удовлетворяют физическим законам сохранения. Поэтому нами предложены приближенные условия на разрыве.

Предложена постановка задачи с подвижными границами слоев иидкости, в частности по разные стороны от границы одной и двух жидкостей решаются различные уравнения для однослойной и двухслойной жидкостей.

- 19 -

Ира землетрясении или извержении вулкана в горах возникает иного других сопутствующих явлений: оползни, обвали, снежные лавини, наводнения и т.д. Аналогичные явления наблвдавтся и под водой.

Мы предложили использовать модели двухслойной мелкой води с воответствующей модификацией к расчету движения транспорта наносов о-плашш слоем под водой и к расчету движения подводной лавины, состоящей из насосов, грунта или снега, обрушенных о водоем 122, 24, 26, 27, 30, 31, 331.

Описаны все необходимые начальные и гра-ннчныо условия о одно - и двумерных задачах.

Выие били рассмотрены «одели теории мелкий воды. Переходим к рассмотрению задач в точной постановке, когда нет осреднения потока по вертикали I23-26,29, 30,32 1. Описаны постановки задачи для уравнений Эйлера однородной и неоднородной яидкипти и для уравнений Навье-Стокса однородной жидкости.

Наиболее общий подход к решении задач о наземных потоках заключается в решении уравнений Навье-Сгокеа с учетом нелинейных условий на неизвестной заранее свободной поверхности и условий прилипания на дне в поле силы тяжести.

2, РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

Существует два пути решения уравнений точной постановки и нелинейных уравнений теории мелкой воды -аналитический » численнаЯ. При использовании первого из них, кап правило, девается сильные ограничения на условия протекания нрпцесса(призматическое однородное русло с постоянны» уклона» дна и т.п.). Различает точный и приближенные аналитические методы, Первые приводят к частным точным решениям начальшькрае&их задач для исходных дифференциальных уравнений в частых производных, вторые бывают разнообразные, один класс из них составляет асимптотические методы.

В развитие аналитических методов механики сплпиппй среди пнгсли больной вклад учрнне Г,И,

- 20 -

Баренблатт, .С.С. Григорян, Н.Е. Кочин, А.Г. Куликовский, Г.Нурант, Л.Д. Ландау, Л.В.Овсянников,

B.В.Пухначев, Б.Л. Ромдественский, Л.И. Седов, Й Ф. Сидоров, К.И.Станюкович, К. Фридрихе,

C.Й.Христианович.Н.Н. Яненко и др.

Большой вклад в аналитические и численные методы гидравлики открытых потоков внесли Е.й.ййсааксон, В.Й. Большаков, 0.Ф, Васильев, Й.Ф,Воеводин, Т.Г.Войнич-Сяноженцкий, М.С. Грушевский, А.Добер, Г.Г.Еленин, Б.Т.Еыцев, Н.Оартве лишвили, Л.С.Кучмент, Й.А.Кюше, В.Н.Лятхер, О.Н. Нилитеев, Й.В.Мишуев, Ди,Ли.Стокер, Ф.Стрелков, М.Б.Эббот и другие.

К*к известно, для обоснования математических формулировок задач, численных методов и программного обеспечения требуются точные аналитические решения.

В .нашей работе найдено решение ряда тестовых задач.

2.1. Точные.решения

В представленной, работе под точными решениями дефференциальных уравнений в частных производных понимаются ревения, сводящиеся к решению краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В прикладных задачах, выдвигаемых практикой, не всегда существует строгое математически обоснованная постановка задачи и соответствующие теоремы существования и единственности, расчеты, как правило, ведутся на пределе возио»ностей ЭВМ, поэтому в практике вычислений большую роль играет решение тестовых задач. В связи с этим все вычислители усиленно ивдт частные реиения исследуемых уравнений. Для этого' наиболее подходит метод Ли-Овсянникова группового анализа, который для системы уравнений в частных произнодных мпзнтпявт находить больной класс частных решений, с исчияь • зованчем которых можно построить решение нското рых начально-краевых задач. Эти реиения и шляются тестами для разрабатываемых программ на ЭВМ. Просчитав ряд тестовых задач и сравнив их результаты с точным реиеннем, мы убчшдаемся, что

- 21 -

программа верно работает на тестах и ей можно доверять при расчете негестовнх задач. Групповой анализ служит для описания свойств дифференциальных уравнении при помощи допускаемых групп преобразований. Он дает практические методы понижения порядка или полного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и построения отдельных классов точных решений линейных и нелинейных уравнений математической Физики. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами ее исполнителя, ведет к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их реиения.

При использовании групповых свойств, скажем, одномерных неустановившихся задач приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают инвариантное решение и которые часто аналитически не решаются. В работе они решаются численно. Получаются гибридные (анзлитико-численнне) методы расчета. Отметим, что групповой анализ находит применение и в теории разностных схем (инвариантные кснечноразностные схемы и т.д.), И главное: Инвариантные решения - это не замечательные частные случаи, а это асимптотика процессов. Например, за классом бегущих волн стоит гигантский класс солитонов. Первая из работ данного цикла [4] выполнена в 1364 г. и опубликована в 1960 г. В ней для исследования существования отдельных классов частных решений одномерной системы Сен-Венана для призматического канала с переменным уклоном дна и коэффициентом гидравлического трения применен теоретико-групповой метод, развитый Л.В.Овсянниковым. В результате групповой классификации показано, что используемая обычно запись «равнений для так назычаемнх параболических русел (С.А. Христианович), имевшая целью их упрощение для возмояности решения краевых задач гидравлики о простом аналитическом виде, сводится к следующему: уравнения берутся в таком виде, который допускает по возможности наиболее широкую группу. Кроме того, открыта форма русла и г А}ГЛ, для которой основная группа яб-

- 22 -

ляется более широкой по сравнению с другими формами русла. В конце работы приведен вид всех инвариантных решений для параболических русел. Позве проводилось систематическое исследование групповых свойств и инвариантных решений для всех рассматриваемых в работе моделей точной постановки [23. 25-261 и моделей теории мелкой воды: Сен-Венана [?-9, 11. 14, 16, 171, вязкой мелкой воды [22], Буссинеска Мб, 22, 231, двухслойной мелкой воды [22]. Начнем краткое изложение с уравнений Эйлера. Они допускают бесконечномерную группу.

Найден способ построения инвариантных решений задач со свободной поверхностью. Найдены все немногочисленные примеры точных решений, которые записываются в явном виде:

а) стационарное стенание слоя постоянной толщины на наклонной плоскости с учетом -эмпирически введенного трения;

б) стационарное вращение иидкости в цилиндрическом сосуде;

в) нестационарное течение в видком слое, ограниченном горизонтальной плоскость» снизу и пара-лельной ей свободной границей сверху (осесиммет-ричный н плоский случай);

г) стационарное вращение жидкости на горизонтальной плоскости вне конуса с вертикальной осью и вершиной в начале координат.

Аналогичные групповые свойства имеют место и для уравнений Эйлера неоднородной жидкости и уравнений Навье-Стокса, однако инвариантные решения этих уравнений даже в простейших случаях явно не выписываются за малым исключением типа стационарного стенания по наклонной плоскости слоя вязкой яидкости постоянной толщины.

В обцеи случае для нахоидения инвариантного ревения требуется ревать задачу для уравнений с двумя независимыми переменными в переменной области. Обратимся к теории мелкой водк. В работе дана наглядная геометрическая интерпретация обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при исследовании стационарных ревений вида и г Цсх+аи систем уравнений гидравлики открытых по. токов (так называемые бегучие волны). В ней раз-

- 23 -

вигшется теория "стационарных" ревений (т.е. структура поли) для изучения структур!) разрывов в гидравлике открытых потоков.

Например, уравнения Сен-Венана на наклонной плоскости в'безразмерной форме

а* эх "ах и .

дi Эх '

имеющие при х-^«*»решение Б = ! , V = Уо , имеют следующую структуру разрыва

, , Х<0

"'1-1 ,А'0 (16)

X--v»J

Jh

где f(x) - обратная функция к

" jLlLtLliil^llL

Функция - воз врастающая от i. пгц X-'^Aahfr)

при А»0 Величина h(o) = 1/2 (Ц~&(\/,->а)* - -i) получается из условий на прерывной волне. Описанное решение существует для 0<т<3 в случае V» > 2/п1 и при ГП*3, когд- о4-1 . Например, при а-2

и Ч, >4

В случае слабого разрыва в качестве переднего Фронта (Х-0) имеем структуру (1S), где функция f (Д) - убывающая or h» при»,—«»до 1 при Л - 0, величина 1)мявляется корнем h > 1 уравнения

,. , . (пи!)/! ,

4h

В этом случае а = -Оо - 1 и решение существует при 0<Уо< 2/гп для любого т >0 Оба приведенных решения являются асимптотически-,ми решениями задачи о разрушении плотины (случай мокрого дна). Нам известна все о переднем фронте и за ним, кроме его координаты. Величина Ко играет роль числа Фруда. При значениях а-3, 110>1 и а>3. и о > 2/т получается ускоряющийся (к увеличивающийся

- 24 -

по амплитуде) передний фронт . Это соответствует случаю больших уклонов дна и малому трению.

Полученные решения легко обобщаются на призматические русла прямоугольного и треугольного поперечного сечения. Численные расчеты соответственно поставленных задач показывают быстрый выход на полученные асимптотики.

Отметим об инвариантном реиении уравнений вязкой мелкой воды, зависящем от х+аЬ, следующее. Это ревение описывает структуру разрыва и находится в замкнутом виде. Если дополнительно учесть уклон дна и гидравлическое трение, то как показало выполненное нами численное решение соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, мовно подобрать так начальные данные, что решение будет периодическим. Заметим, что уравнения Сан-Венана непрерывных периодических решений не допускают, а только • разрывные (катящиеся волна).

Обратимся к уравнениям Добера (12). Получаемая путем перехода к К система ^обыкновенных ^ дифференциальных уравнений при $-10 и ¡{«МуДгУЮП ) решалась численно при начальных данных (1(0)'М^М») ■("(»)=

Решение для а- 0, - 1/2 и 2 имеет периодический вид. Описание этого волнообразного течения не дается в специальной литературе. Расчеты установившегося течения Са-0) показывают, что период волн достигает примерно шесть превыиений глубин над средним значением. Относительная длина полуволн около 0,6 м. Уединенные и периодические волны играют важную роль в нелинейных явлениях в мелкой воде. Для исследования эффектов конечной амплитуды на поведение волн в мелкой воде получим точные решения нелинейных урвнений в простой ситуации, когда волны распространяются в одном направлении. Возмем уравнение Карпмана в безразмерной форме:

Тогда, переходя кХ уравнения (1?) могут быть

Введем относительную скорость

- 2'd -

приведши! к системе обыкновенных дифференциальных уравнений j.

¿h к J [}> ¿x W " ¿tfl

Отсюда ясно, что

jiV--Ü-- con-it

Рассмотрим отдельно уедкнениые и периодические вол-нн, описнвасмнс уравнением (18).

а) Нединешше волны. Потребуем, чтобы реяе-ние удовлетворяли условиям h-*l. и -» 0 при х--л> или h-1, и - 0 нриА-»«'. Кроме того, считаем. ЧТО . при А-От ¿h/A Г d h/d\* *0.

Тогда в (lit) имеем

а-а

Прикодии к реженив

h

\

-- -г íauiоЙ7- ШEdSS

И)

Это точное реяепне типа уединенной воины уравнений (17). Упростим ого, сделан некоторые приближения. Правая часть (13) состоит из двух членов, второй из них (логарифмическая функция) расходится при ||—1 и даот основной вклад при И-1 и соответственно при больших А,

Перпям (обратная тригонометрическая функция) можно нринебречь п области больших N , При этом Ь как функция првдглапяячтея п виде

а* А

Ото выражение является кривой'солктшшого типа, которая имеет максимум Ь-а' щж\= 0 и ейммотркчао

цбыиаог К .¡пнище нриЬ-^ог Учш нсчницч! чяека и (1'Л не изменяет ни салитониого характера иршшй, ни лолошчиш максимума, а нринодл! к деформации криииА и области пика. Пик иецшиншой шиши нерс-мещасгсы но кидкисти со скорость а. б) Периодические полни. Иоиуцая аполитично, с той ливь разницей, что кмвето уиыний на И'.чт.и -личности иснпльлуятс.ч у с л о ты иериодичишли. и опуская иикладки, приводим оканчлилыше релуш, тати. Для иилинишшх иериодичиснич шли г Лунина дается выражение«

1'

±Л/Г Г 1—^1========^ А«» Ы, \

} 2 и '

ГАЕ Ьц5^ ;Н+А-|г км**, И-Аа 114.(1,

и^Т-И-кгУ К )

Нелинейное дисперсионное соотношение есть

и» УгТ^*

Г—¿4

Ш

и функция * определятся «равнением (20).

Если по (21) нарисовать график^ (^а!) .та из него следует, чтоО'^М . Следовательно, раснростра иение нелинейных 'периодических волн всегда докри тические и чем больше А* , тем меньше максимум а,^".

Одновременный учет вязкости и дисперсии * приводит к уравнениям, которые описывают нры 1ок-волну, т.е. нрермшщп волну небольшой амплитуды с ондулацкями за фронтом волны.

Развит обобщенный подход к определении не риодических и уединенных волн. . И.наконец, волновая структура «нигослойных (даме двцхслойши) но-го»;>ш сложна для Аналитического исследования. На

2? -

mm закончим utiaop (жгущих «или.

Вернемся i; одномерным уравнениям Сен-Ile пана. Ii классе инвариантных реисний, когда реме-ние зависит , роиепа задача о распаде

начального Í3,tj) и граничного 1151 произвольного разрыва. Задача сцедится к ревонию алгебраических уравнений, чти удобно делать приближении грнфичес ким методом. Получены условна конфигурации при заданных начальных данных.

При исследовании условий на разрыие к задачи о распаде разрыва открыт к^лсг. русел (с горизонтальной и почти i оризинталышй поймой) ííil, и которых Функция Р - Р(и), и U f /и ненынукла и условия на разрыве и задача о распаде имевт но единс гнешше реиение. Как пика.»,»ли инициально выполненные двумерный расчеты 1191, задача и разрыве и районе поймы существенно двумерная и не .шшгинаока одномерными уравнениями Сен lituana.

Дани решении задачи о распад« разрыва с дополнительным условием в створи разрыьа I M. I, т.е. когда при х - 0 задано соотномыте Ü = ü )

где? w - плакадь нипеувчиьги сечения при х -- i; 0 ; т.е. едена и справа иг сгнора разрыва,

Q = Vu3

'J i о моделировании опрашивании шкирстня I прорана i i> нектаром пирегорашмицом сооружении (например плотине). Уимно отметить другие рсвшши задач, нилучешшк с нимицып груишшого анализа, которые [шказывашт, что игсутстини тршшя ведет к ого-лопни ни llí1, lili. Репина задача и .заполнении сухой круги-впй 3i,hü 118), о склийкн инвариантных решений па прсрышшй волне l\'/i. о двинчши нмржня с постоянной скоройьи и горизонтальном непризматнчтюм прямоугольник канале Ii«:) учета тренич и нр.

Первый класс шчпчх решений двумерных уравнении Сен Вь-иана i D) предегавлииг ¡rntciiiia и дитпшигл ш раничышоги обьема жидкости, когда пшрга ть mmifttia по хдь а глубина-кводратич-ная функции по х , у. Задача сводится к ре женив задачи Кижи для системы обишншшшых дифференциальных уравнений нерпою порядка для неизвестных функций tu Ulli 10].

Второй класс тчних решений стийв/шп многочисленные инварианты« рожиния 171. Намешм, чш наиболее простые ин вариантные реяенич, которые уцалось найти и шыкнутий фирме.

описываются одномерными уравнениями с цилиндрическими волнами 18.14, ГЛ.

Поставлена и частично решена задача о двумерном распаде начального разрыва [131. Построены примеры сопряжении инвариантных решеиий через неподвижную, но с изметшцихися со временем параметрами, прерывнуи волну [11,161. Разнит способ построения инвариантных решений уравнсчмй Сси-Венана,заранее согласованных с условиями на границе un сухому дну. Заметим, что при движении по водотоку в двумерной (иланоьой) постанов -ке. как правило, встречается границы но сухому дну.

Задача с границей по сухому дну описывается выражениями CS).(O).CLO).

Выписываются явно решения типа а) стационарного течения в наклонном канале парабичического сечения, (i) движения кольцевого бугра с врацениеы (весь бугор удаляется от центра).

Momo склеить несколько решений последнего типа через контактные разрывы, когда Ur и li непрерывны при г - гк, и получить более обцое инвариантное решение (Хабиров С.В.).

В общем случае инвариантная задача с границей но сухому дну приводит к задаче с неизвестной границей, которая решается численно.

Перейдем к рассмотрению усложненных моделей мелкой йоды.

Начнем с одномерных и двумерных точений вязкой мелкой воды. Диалогично тому, что уравнения Навье-Стокса имеют мало точных решений для неустановившихся движений, уравнения вязкой мелкой воды также не решаются аналитически в неустановившемся случае. Явно выписывается решение для течения между двумя концентрическими круглыми вертикальными цилиндрами радиусов R1 н R2, поставленных на горизонтальную плоскость и врацавцихся с постоянными угловыми скоростями N1 и ti?.. Частными. случаями являются движение жидкости на горизонтальной плоскости вне цилиндра, врашаащегося с заданной угловой скоростью и течение внутри вручавшегося цилиндра.

Строится течение в углу (к9<9о, стенки которого движутся к центру и от центра с заданными скоростями.

Проведен систематический анализ инвариантных решений, игшсывающих течения с границей по сухоыу дну. Вязкая мелкая вода не ускоряется на наклонном дно. Другими сливами, роль вязкости аналогична роли гидравлического трепня о дно.

Анализ показывает, что почти для левого инвариантного ренета можно поставить задачу с границей но сухому дну. Но их решении наталкивавтия на непреодолимые аналитические трудности. Несколько таких режений получено численно.

- 29 -

Рассмотрим одномерные и двумерные уравнения 1!уссинес-ка. Были вычислены операторы наиболее широкой группы преобра зований, допускаемой всеми четырьмя рассматриваемыми система ми. Системы уравнений Буссинеска н форме Каримана, Уиэема и Перегрина допускавт группы с одинаковым числим операторов (семь в двумерном случае), поэтому с групповой точки зрения они одинаково интересны. Наименьшув группу из трех онирлторни допускает одномерная система уравнений Буссинеска и фирме Ло-бера, что объяняется ее сложностью но сравнению с одномерными системами Каргшана, Низема и Перегрина.

В обшем случае инвариантное рсмение находится числен -но. Рассмотрим одномерные уравнения двухслойной идеальной мелкой воды. В плоском случае они допускавт группу из В оно раторив, в цилиндрическом - из 4.

Найдены простые волны, решение задачи и разрушении плотины в случае двухслойного водохранилищ к сухого дна ниже плотины, решение задачи о движении поржня в первоначальна но кояцувся двухслойную жидкость, когда образуется два разрыва.

Показано, что в рассматриваемом приближении отсутс твуят чисто внутренние волны.

Режсна задача о растекании двухслойного бугра (ограниченного объема жидкости). Двумерные уравнения двухслойной иде альной мелкой воды допускавт гриппу из 11 операторов.

Результаты выполненных теоретических исследований не только давт новые данные, дополняют и уточняют соответствующие сведения о течениях в открытых руслах, но обеспечивают развитие и более точное решение численными методами.

2.2. Приближенные решения.

В работе имеется много частных приближенных методов исследования тех или иных специальных задач. Асимптотические методы получают в последнее время все более жирокие и разнообразные применения. Теория мелкой воды связана с асимнто тическими методами в явном или завуалированном виде, так как малый параметр (отношении глубины к длине волны) входит в он ределение самого объекта исследования. Сравнения всех моделей мелкой воды являются асимптотическими. Нами используются два подхода. Один - аимптотическое решение как приближенное ряжение некоторых задач - уже отмечался в п. 2.1 (см.(15) и да лее) при получении задачи о разрушении плотины (случай мокрого дна).. Второй подход связан с получением упрощенных (зволоционннк) уравнений. Эти позволяет делать редуцированный метод возмущений, предложений и 1 ЭВОг. Т.ТагНиИ и С.С. Не!.

- М -

Помимо грушюги анализ но всей работе систематически используется редукция.

Опиием редуцированный метод возмущений. примененный автором в теории открытых и напорных потоков, на примере одно мерных квазилинейных систем

с дополнительным условием U"*Uo при Х-оо где И -вектор неиэвестных.К.в^щ-квадрапши матрицы, И -

вектор, Ii = 2, 3.....Uo - заданный постоянный вектор.

Все рассмотренные в наиих работах одномерные уравнения, для которых применяется зтот метод, описываются згой общей формой С22): б»з третьего члена - идеальная однослойная и многослойная мелкая вода, п - 2 - низкая однослойная и многослойная мелкая вода, п - 3 дисперсионная одно - и многослойная мелкая вода.

Заметим, что ь уравнения (22) и дополнит ильное уело вие (23) не входят явно х или t. Это соответствует однородным плоским случаям и равномерному потоку на достаточном удалении от рассматриваемого возмущения (нуда не доило возмущение). Ни подходят под вид (22) уравнения в произвольном русле, когда форма русла, уклон дна и уклон трения зависят от х (см.ниве).

Для изучения эволюции слабых нелинейных волн вводятся новые независимые переменные

^(X-CtyT.^t И

где £ -палий параметре фиктивный )Д,С-констацты, определяемые в процессе ре дукции(cu.нтшо).Тогда уравнения будут включать в себя малый параметр.Кддем искать ремение полученной кисло замены (24) системы в оиде разложений U'Uo + lUi+^Ur .. (25)

Собирая тлены с однакопыми стененуми'и приравнивая эти вира вения 0, из первого приближения находятся' и снизь ме!ду кон полентами вектора 111. Выразим из последних нее компоненты вектора 111, кроме одной, скааем til, через hl. Теперь возьмем уравнения второго нриблишния и исключим лишние зависимые не реиенние( компоненты 1)2). Приходим к эшншциошшия уравнении для hl, которое имеет над

где ui, íi2, в1„ в2..... ■ тшнепшты. Коли продотшнп, про

цодуру, то дли пислсищоцих нриГшимемий получаится линейные

уравнения, зависании от предыдущих ириблишенлА.

Гакик обра^оы. фронты слабых нелинейных волн распространяются по законам линейной гидравлики, а форма (систр) цолны трансформируется согласно эволюционным уравнениям (2В), включающим и ссбя нелинейность, а такие дисснинации, дисперсии или что другое. Дальнейшее развитие теории сохрани от справедливым полученный основной результат о линейных законах распространения и нелинейной эволюции I идравлической полны.

Редуцированный метод возмущений обобщается и на неоднородный случай, т.е. когда и уравнения (22) и лопилнитиль-ное условие (23) входят х и I. В этом случаи^ нолипейно но х или Ь. Дается обощение этого метода на двумерный случай.

При прахоцении достаточного интервала временя с момента летального возмущения потока поведение потока описы вается асимптотическим упрощенным урашшнисм. I) данной работе разработана асиынттическая теирия получения и использования упрощений 123.25,23.31,33].Наряду с прилошпниом редуциро ванного метода возмущений к новому кругу явлений, описываемому гидравлическими и гидродинамическими уравнениями открытого и напорного патока, большой внимание уделено анализу получающихся упрощенных уравнений.

Перейдем к рассмотрении одномерных уравнений Сен Не нана. Получен ряд эволюционных уравнений. Отметим некоторые случаи.

В случае простейших уравнений (15) с нулевой нраной частью (горизонтальное дно без учета трения) при условии при

имеем результат:^ - любое, с = Для С - |1 получаем У1-Ь1 и

Последнее уравнение, линейное с переменными кЛ|фициентами интегрируется и решение имеет вид

Ь.-АгЬ: ;

Как видно из этих формул, в асимптотических раэливвниах добавляются малые поправки к основному решению, если И1 мало(|Ь,ьч).

Ввиду гиперболичности исходной системы (15) и нелинейности уравнения (27) их решения остаются непрерывными на

- 32 -

временах, меньших И, где 11 - минимальное время образования разрыва в (15) и (27), следовательно это «е время определяет пределы применимости всего асимптотического ряда.Задача Коми для уравнения (27) мо«ет иметь не единственное ремение (например, для^о)1!^). Можно выписать явные формулы для задачи образования разрыва в рев,гнии уравнения (27).

Из вняе указанного следует, что простейжие (модельное) уравнение (27) описывает распространявцийся в одну сторону волновой пакет малой амплитуды. Его реиение дает первое приближение.

Теперь рассмотрим течения в наклонном призматическом русле с учетом трения. Исходные уравнения в безразмерных переменных имевт вид

где ^{^«МЦ/иИ^ правая часть учитывавшая, в частности, уклоны дна и трения.

Пусть имеем равномерное течение У = а, Ь = 1, т.е.

Рассмотрим такув задачу. Пусть в иолубесконечном канале х*0 в начальный момент 1=0 имеется равномерное течение У-а, Ь=1. При х=0 в течение конечного времени производится возмущение потока. Возму^шис при Сбудет описываться следившим уравнением ^

А I (28)'

«ели ели }М^О.Л'Ч 1'0+Щ,

»Ям*.

В случае наклонного дна^Ь) -I -¿гцщ икеем упроченное уравнение первого вида, в случае горизонтального о«о

получаем уравнении второго вида, '

Если А г -2, -3, - в первом случае и Д = - 1. - 2.... но втором, то правая часть упроченного уравнения = 0. В случае уравнений (15) имеем

И

!1яо из ураннений первого приближения следуют важные свойства процесса распространения нелинейных волн. Например, сравнение уравнений (28) для наклонного и (29) для горизонтального дна показывает, что сила трения сильнее действует на затухание волн в случае горизонтального дна, случае

наклонного. Из уравнения (30) следует, что пр'и равномерный "сверхбурный" поток неустойчив по времени, т.п. слабое возиу-цоние увеличивается с течение« времени (видно из уравнений характеристик) .

На горизонтальном дне с учетом трения амплитуда начального импульса со временем уменьшается. Таким образом, учет трения препятствует образованию разрыва и уменьиает су-чествувций разрыв в процесс*) распространения.

До зтоги мн рассматривали однородные (постоянные) потоки на бесконечности. Редуцированный метод возмущений можно применять и и русле с переменным уклоном дна или переменным "начальным" фоном на бесконечности. Например,

пусть fia наклонно» склоне имеем начальное состояние h=X,V«0 (х>0). Сделаем замену переменных

|" 1"Y*" ^и "РОДставим Рсиение в виде

^TMÍj + h/HV..,4^^*... получаем .

Часто получающееся уравнение 'оказывается хорожо известным, как уравнение (27). Упроченные зиолвционные урапнепия режаптся численным методом конечных разностей, что яв. яотся более простой задачей, чем решение исходной системы уравнений.

Редуцированный метод возмуцений является своеобразным методом малого параметра или методой носледонатель-ных приближений и используется в двух направлениях:

а, для получения модельного нелинейного уравнения из исходной сложной системы диференциалышх уравнений в частных производнмх( первое приближение )

б . для получения последовательности уравнений для после- • пущих приближений!первое приближение нелинейное, последупцие - линейные неоднородные с переменными коэффициентами}.

Перейдем к рассмотрению его » двумерных задачах для уравнений Сен-Венаиа» Продемонстрируем метод на примере точений на горизонтальней плоскости с учетом гидравлического трения о дно. Исходные уравнения в безразмерной форме имеют вид

au „au ..au p,ulZSl эТ гх" irr h

3V „3V 4y3U 9h „V/Ü5? - ч

3h „ÜL + v/3h .fäU. n

При x— оо инеем условие

h-Ч, U-0, V-0.

Сделаем замену независимых переменных

где £ - малый параметр.

После замены ицем ревеиие в виде

Для членив первого порядка £ имеем и» членов порядна £

Заметим, что этому уравнению при В = 0 посвящена книга II.С.Уахвалова, Ü.M. Вилейкинп, К.И. Заболотской "Нелинейная теория звуковых пучков" М: Наука, - 1982, 176 с. Такое уравнении называется уравнением Заболотской -Хохлова. Продчлмая процедуру, получим

где<2 - известная функция. Таким образом , им све -~ ,ли решения системы (31) к последовательному реиепив уравнений (32) и (ЗУ).

Этот метод обоцается па случай дна с постоянным и переменным наклоном. Редуцированный метод возмучеиий можно применять и для цстанопиниегося свехкригического двумерного течения,

я"" *

например, когда п (31) 731."-О) Ь'-^Ч »

и в правой части первого уравнения дополнительно ость слагаемое !

П этом случае имеем

г— эь< ¿х' , з1и .. ь ЭГ ТП^дГ-

Зто уравнение аналогично уравнению (28).

В работе предложен метод для решения уравнения обобщающего (32).

Не имея возможности так подробно излагать для всех моделей кратко отметим следующее.

Для уравнений вязкой мелкой воды получается уравнение Заболотской Хохлова - Кузнецова и его обобщения, а уравнения Буссинсска редуцирувтея к уравнению Кадомцева - Петвиаивили и его модификациям.

В случае одномерных уравнений двухслойной идеальной мелкой воды (13) также иронпдено применение редуцированного метода возмущений (который здесь впервые в работе применяется и в , случае наличия в уравнениях малого параметра, которым здесь ав ляется\или^ = 1-^где Л - плотность жидкости, индекс" Г'отно-сится к верхнему слою, а'"2" - к нижнему). При произвольиомХ (вводится, как обычно, фиктивный малый параметр) эволюционное уравнение (уравнение простых волн) того же вида, что и в однослойном случае, только с более сложными коэффициентами.В двух последних случаях (малое X .например,отвечает потоку воздух-вода) в эволюционном уравнении появляется дополнительное слагаемое с первой производной но пространственной переменной. Следовательно, учет верхнего слоя задерживает образование разрывов. Для одномерных уравнений двухслойной вязкой мелкой воды (13) получается уравнения Свргерса со сложными коэффициентами.Для одномерных уравнений двухслойной дисперсионной мелкой воды (14) получится для толщины нижнего слоя уравнение Кортевега -де-Фриза,которое при некоторых условиях имеет отрицательный знак перед членом с третьей производной.Это означает, что внутренняя уединенная волна может иметь впадину, чего не может быть в однослойном потоке.

И, наконец, использован редуцированный метод возмуще- ' ний к краевой задаче для уравнений Эйлера однородной жидкости. Здйсъ процедура чуть посложнее, чем для уравнений мелкой воды. . Получаем п пространственном случае для глубины уравнение Кадомцева - Петвиаввили, следующее в результате редукции из урав-' нений Буссинеска. . .

Помимо редуцированного метода возмущений » работах

использовались другие асимптотические подходы. Выяе и разделе 2.1. уже отмечался такой подход и решении задачи о разрушении плотины (случай мокрого дна). Резугьтаты показывают, что п равнинных реках из-за сил трения прерывная волна за конечное иремя уменьшается по амплитуде до нуля. Впервые наыи обнаружено, что на горних реках могут существовать ревииы длительного существования прерывной волны. В призматических однородных руслах, как показывает асимптотическое решение, имеем режимы ири некоторых условиях с постоянной и увеличивавшейся скоростью переднего фронта. Расчет волны прорыва в реко Храми (Грузия) при каскаде ГЭС показал, что после разрушения плотины ГЭС -11 с напором всего 10 м прерывная волна не оыполаживается в течение 21 мин. физического времени и продвинулась ниже ГЗС-11 на 20 км. В случае плоского склона, когда решение зависит от двух параметров Ч/о и в (Ч>- скорость равномерного потока перед прерывной волной, в - показатель степени глубины в члене трения), указаны области параметров, и которых имеет иесто каждая ситуация, и получены Формулы для решения.

Рассмотрим задачу о разрушении плотины (случай сухого дна). Исходными уравнениями будут уравнения (1). Начальные условия в момент разруиенкя задавтея в виде ЧСьо)-. У (х)

См)

о* х< I,

гдеТ(х) и^(х) - заданные функции. Считаем, что ниже плотины и выяе водохранилища поток жидкости отсутствует. На переднем Фронте имеем условия

прц. К.ь 1^(4)Л, (?5)

в

а на заднем фронте при х = 0 имеем условия (4).

Рассмотрим асимптотическое решение при задачи (1),

(34), (35),(4). Для этого будем предполагать, что русло призма-тичное с постоянным уклоном и однородными характеристиками по длине, хотя все изложенное (как и в случае мокрого дна) обобщается и для русел, параметры которых меняются вдоль пути волны прорыва плавно.

Сделаем упрощение системы уравнений.

Именно можно предположить , чго основная

качм жидкости движется на каждом участке со скоростью. сиот вечствущей скорости равномерного движения ндоль зтого участка. Математически зто означает, что предлагается заменить уран неоне двизенин (30) уравнением

с тыимцыо которого скорость выражается через Н

Пелнчина Я в зтой формуле неизвестна, она ыирайатииается н процессе движения и подложит определении. Для определения Н нужно использовать уравнение сохранения магги (30), н котором У дола но бмп> заменено на 1)(Н)

Эй) Ж ч п

где ®(и) Л1(и)1и'(и)иУ

Для уравнения (ЗП) имеем дополнительные услони.ч и) (0,1) = 0, -Ь

где 1о - время прихода и х - 0 иизмущення (н х = I'. Рассмотрим обжее решение уравнения (38) И 1?[х - Ф(нИ I,-10) 1 Из (33) следует, что ^ (0) = 0. Иудеи считать, что Н*0. Тогда Ф (и) ^ Х^Ы,). Для некоторого класса русел отсюда находим II Ф (х/1 (,,)) Из (37)

о ^ [Ф"Ь/(1 и 1 Будем считать, что что решение верно для осей »одни проринл. То1да используя сохранение об1«ма жидкости, находим

1 V*'1'

Из лого равенства находим х| I.) координат переднем о фронта и

И (1х/(Н, скорость породите фршна. ,

Для случая склона (И!) с кпчффииионюм трения^вместо у» имеем рините ¡~ а'

у'т»2 ¡-ь > * " ^ тТг" V. Г.) _

17 п , », ГI I <п<(1*'1 * Г/Г'Л'т»!)т2""

Численное реаенно задачи о разрушении плотины ПУ), (34), (3',П,(4) пока.шнает, что г увеличением ирпйени численное р«жв-

- 48 -

нне приближается к асимптотическому Í16J.

Дани приближенные аналитические решения задач о расширяй лейся и сужапцемся цилиндрическом порине, когда жидкость находится внутри гюрвшя [141. Показано, что при расширении поршня с постоянной скоростью в потоке возникает прерывная воина, дни мущая к центру.

Предложено асимптотическое ремение при t*oo задачи и дин жении волны прорыва но сухой наклонной поверхности с ¡/четен трения в двумерной постановке. Эта задача является обоцением одномерной задачи,изложенной выше.

3. Численные методы ранения гидравлических задач

Численные методы являится наиболее общими. Они продолжат бурно развиваться. Существенный вклад в развитие численных ие тодов механики сплошной среды внесли ученые К.Й.Ьабешш, 11.С. Бахвалов, O.U. Белоцерковекий, С.К.Годунов, В.М.Давыдов, В.Ф.Дьяченко, В.М.Ковеня, II.Д.Лаке, Г.И. Уарчук, Л.Фон.Нейман, P.fl. Рихтиайер. П.Риуч. й.Й.Русаниь, ft.ft.Самарский, Ф.Х.Карлоу, О.И.Кокин, И.Н.Яненко и др.

В настоящее время существует бовьвое количество числен них методов различной модификации .11 условиях, когда для боль «ииства начально-краевых задач для нелинейных уравнений и част ных производных отсутствуит теоремы существования и единственности, не существует и полной теории численных методой: нет строгого исследования устойчивости, строгих оценок погрешности и доказательств еходииосш ревеник. В специальной литературе обращается внимание на необходимость островного применения разностных схем при определении краевых условий. Задачи о разрывных течениях могут считаться двумя методами: но методу сквозного счета, когда разрывы не выделятся, а размааывавгея на несколько сеточных узлов, и методы с выделением разрывов, когда наиболее существенные разрывы выделяются, для чего используются подвитые сетки. Последний метод наиболее трудоемок.

Естественно, основное место в исследовании автора занимает численные методы ревения и результаты расчетов 11-2, 'j.'J 10, 12, И, 18 -19, 21-22. 25-331. Здесь представлены методы, как для гладких, так и разрывних, одномерный и двумерны* неустановившихся течений. Нногие задачи (волна прорыва, точная поста новка) имеют дело с течениями в переменной со временен области, движение границ которой заранее неизвестно и подлечит определения. Но предложении С.И. Годунова в работе развивается геометрический подход, т.е. расчетную сетку подстраивают иод область течения. 0 проблемах можно судить на примере идеальной мелкой води. Исходной для расчетов являтся система уравнений Се» Ве

- зя -

пана, записанная н форме законов сохранения. Расчет ведется в подвитой системе координат. В качестве основных сеток взяты нодвианые эйлеровы сетки. На*дая часть области монет рассчитываться по своей разностной схеме, причем в ходе счета допускается переход с одной разностной схемы на другую. Реализовались следувцие разностные схемы интегрирования уравнений Сен-Венана: неявная схема Годунова, схема Годунова "распад разрыва", схема Лакса, схема Лакса-Вендцоффа, схема Мак-Кормака. модифицированный метод Годунова и др. Эти схемы относятся к классу схем предиктор-корректор. Расчет по данным схемам производится в два этапа. Сначала вычисляются гидравлические данные на промежуточном слос. На втором этапе определяются расчетные параментры на верхнем слое по разностным законам сохранения. В методе Годунова величины на промеауточном слое рассчитывавтся по формулам распада разрыва.

Несмотря на стремительный прогресс в вычислительной технике, интеграция численных методов и аналитических подходов (теоретических приемов) является вавнейним фактором прогресса в реяении практических задач, сложность которых растет не менее быстро, чем характеристики ЭВМ.

Самой работоспособной из существующих разностных схем является схема С.И. Годунова "распад разрыва". Своей исключительной работоспособностью она обязана задаче о распаде произ-, вольного разрыва, которая обеспечивает "сквозной счет" разрывов любой интенсивности.

Для повыаения точности и сокращения времени реяения целесообразно идти на услоанение алгоритмов, предусматривая в них выделение разрывов, интенсивность которых превыиает заданнуи величину. Включение в алгоритм информации о располоаений и форме разрывов такяе есть элемент интеграции численных методов и аналитического подхода.

Иетод выделения разрывов позволяет использовать грубые сотки, что дает возмовность считать неслоаные задачи на персональных компьптерах. Приведенные в работе примеры демонстрируют успешную интеграции численных методов и аналитического подхода. Приводятся результаты исследований применительно к гидротехнике, мелиорации, транспорту наносов, цунами, прибреаной зоне и др.

Хронологически первой из этого цикла была уае упоминав-ааяся в разделе I работа Ш.

В ней был дан критический обзор сучествуищих на момент 1964г. численных методов по наховдениа разрывных режений гиперболических уравнений применительно к речной гидравлике. В разделе 3

этой работы описана дивергентная неявная разностная схема с пересчитай, предложенная С.К. Годуновым. Разработанный численный истод позволяет рожать задачи о движении прерывной полны, как с выделением движущегося гидравличешого прыжка при подвижной сетко, так и без выделения разрыва при неподвижной сотке (сквозной счет). Приведены три примера расчетов, два из которых посвящены сравнении с экспериментом. Они выполнены методом сквозного счета. Но к самому конгрессу ЙОГИ был выполнен расчет задачи о разрушении плотины ( случай мокрого дна) методом выделения разрывов. Он вожел в добавление к докладу Ш и опубликован в (21 и и томе 6 "Материалов конгресса" в 13()7г.

В соответствующем разделе работы 12] дано краткое изложение работы Ш. Полей подробное изложение метода сквозного счета дано в 151. Наиболее развернутое изложение общего метода с выдением любых разрывов и произвольного их числа дано в19].

Трудностям, возникающим при расчете волн.прорыва в естественных руслах, и их преодолению в практических расчетах, в частности раздольному счету опорожнения водохранилища и распространении прерывной волны в нижнем бьефе, другими словами опыту, накопленному к 1370 г.. посвящена работа 1101.

Численное решение методом характеристик задачи о распа-' . де двумерного разрыва, поставленной в работе [131, приведено в [17].

В [19] па стр. 243-240 изложен впервые метод выделения разрывов в двумерных точениях.

В работе [?.П приведен метод расщепления для уравнений двумерных неустановивиися течений.

Обзор всего описанного цикла работ был дан в моей докладе на Всесоюзном симпозиуме "Численные методы в гидравлике" (Телави, Груз.ССР, lDUOr.). Текст этого доклада опубликован в [221.

В работах [25. 261 приведено совместное описание численных ревений задач со свободной границей в точной постановке (уравнения Эйлера для однородной и неоднородной жидкости, урав - нения Навье-Стокса).

Применение одномерной мидели двухслойной мелкой воды с соответствующей модификицией (учтено сухое трение) к расчету движения подводной лавины, состоящей из наносов, изложено в [2В].

Обзор решаемых задач и используемых методов ремения двумерных уравнений Сен-Венана дан в L20J. Там введено понятие жесткости системы уравнений в частных производных,

В [30] описана схема Лакса-Вендроффа для одномерных.

уравнений, unepnue приводится метод подвижных адаптирующихся сеток в точной постановке (для урвпений Эйлера и ЦаньеСтокса). Приведены результаты расчета уравнений Навье-Стокса при движении части наклонного дна.

ß 1311 описан метод с выделением разрыиов для одномерных уравнений течений над деформируемым дном, когда к уравнениям Сен-Венана добавляется уравнение деформации дна. Отмечается о целесообразности использования явных схем таких как схема Лакса, Лакса-Ввндроффа. Мак-Кораака, С.К. Году1шва"распа-да разрыва " л др. Для повывения точности использовались различные обобщения и модификации, такие как изменение числа точек (добавление при расширении области и наоборот), выделение зоны постоянной иирины, примыкающей к переднему фронту, и др.

В 132) описана методика ведения численного расчета волны прорыва на 31Ш для естественных русел.

В 1331 отмечается применение метода с выделением особенности для течений над деформируемым дном и транспорта наносов под водой (двухслойная модель). Отмечается о сопоставлении числошшх и наблюдаемых данных.

Выстрое развитие вычислительной техники, численных истодов, и математическое моделирование гидравлических режимов дает предпосылки для ускоренного развития современной гидравлики. В настоящее время развитие теории математического моделирования опорежаот сбор данных и экспериментальные исследования. Следовательно, необходимо больно внимания уделять сбору фактических данных, совераенствоваиив формул, описывающих гидравлические явления, а также физическому объяснению результатов, полученных при помощи современных математических методов, что особенно ваяно для гидравлики.

Математические моделирование наиболее сложных задач взаимодействия потоков с пространственными деформируемыми границами в настоящее время затруднено. Реализация разработок автора позволяет повыиать уровень решения сложных задач неустановивме-гося движения в открытых потоках, задач взаимодействия водных потоков с природными границами, объектами и сооружениями, оценивать русловые деформации, перемещения тяжелых наносов.

4. Применение методов и средств нелинейной гидравлики. Применить методы возможно было путем создания программного обеспечения. Участие автора в его создании заключалось в разработке укрупненных алгоритмов и оценке результатов моделирования. В разработке программ принимали участив следующие научные сотрудники А.Ф. Воеводин. В.Г. Судобичер, IM. Игнатова.Создан-

ныв математические мидели процессов и комплекс программ многократно апробирован. В качестве примеров приведем результаты численного моделирования распространения прерывной волны Ш, моделирования неустановиивегося движения воды в магистральном канале Саыур-Апнерпнсгой водохозяйственной системы, движения волны прорыва при частичном разрушении плотины Красноярской ГЭС [101 и исследовании воздействия полны прорыва на ни ае располовеннуи плотину на реке Храми(каскад ГЭС).

Отметим также.что в работе 13] приведено сравнение численных результатов задачи о разруаении плотины в горизонтальном канале тр"уголышго сечении с аналитическими, полученными автором настоящего доклада и Ifil.

В работе!121 приведено словесное подтиерадение числен ными расчетами, проведенными автором, выводов, сделанных на основе качественного анализа уравнений для призматических однородных каналов, касавцихся поведения переднего фронта для случаев мокрого и сухого дна.

D работе 114] приведены результаты численных расчетов разрывных цилиндрических точений и сравнение их с результа -тами соответствующих плоских течений. Численному нахождение инвариантных решений одномерных и двумерных уравнений Сен-Вонана й Пуссннеска посвящена работа tlBl. Это примеры гибридного(анали-тико-числеиного)метода ревепия.

Б работе [17] даны численные ревения задачи о движении ограниченного объема жидкости. Подробному изложению последних н результатам численных расчетов посвящена работа НО), в которой такве приведено сравнение численного и аналитического Сем.раздел 2.2.) решений задачи о разруаении плотины (случай сухого дна).

В работе 119J приведены результаты решения задачи о разрушении плотины в прямоугольном канале с прямоугольной горизонтальной поймой, когда уровень и нижнем бьефе равен уровню поймы. Прерывная волна сильно оперевает волну на сухой пойме. Течение существенно двииерние. Это дало основании сделать вывод Сем. .раздел 2.1), что одномерные уравнения Сеи-Венана не годятся для расчета течений в руслах с горизонтальной (или почти горизонтальной) поймой, когда разрыв попадает о область поймы.

В работе 1213 приведены результаты решения двух задач:

а) точении в прямоугольном в плане канала с огиерстияии на левой и правой границах;

б)'симметричное обтекание вертикального клшм, расположенного п ирямоугопьном канале- и гростираищгч о от дна до свободной поверхности. Это публикация первых ь литературе расчетов но «(¡те-

римнения водохранилища) происходит талии образом, что положение црония за плотиной не оказывает влияния на расход через отверстие. Пока истечение носит такой характер, течение перед плотиной не зависит от того, что происходит за плотиной, и расчет мояет производиться в два этапа. Сначала можно рассчитать движение воды перед плотиной (в нодохранилице), задавшись связью мемду расходом через отверстие и напором перед ним. Найдя в результате закон изменения расхода через отверстие а плотине со временем, машю затем рассчитать волновое движение пике плотины, приняв в качестве леной границы створ плотины и задав здесь в качестве граничного условия найденную кривуп

Q = Q(U),

где £ - киордината плотины.

Предварительный расчет течения выве плотины и излива через итверстис показал, что на начальной стадии излива (продолжительность!) около 1 часа) в створе плотины устанавливается практически постоянный расход величинойQ((,i):^ 10 ИУС ■ Интересно отметить, что после некоторого уменьшения расхода к t= 2 часа имеет место локальное увеличение расхода, но недостигающего начального значения. Это обьясняется тем, что к этому времени пришло отражение от раежирения узкого ужелья, в котором расположена плотина. В нижнем бьефе в начальный мимент времени течение является установиввемся при расходе Ц- i ООО м/с и глубине потока h 4 м (точность задания этих величин, как показывает специально проведенные расчеты, особой роли не играют). Гидравлические характеристики русла па рассматриваемом участке реки длиной около км (до г.Красноярска) были заданы в вести поперечных сечениях в виде кривых и соответствующих отметок дна русла Zo(x).( Отметим, что коэффициент «ероховатости п в формуле для коэффициента 1ези при малых глубинах - наполнения русла имел порядок 0,02-0,04, а в верхней части поперечных сечений новыжался до 0,067). Для промежуточных сечений определение указанных гидравлических характеристик осуществлялось путем их интерполяции.

При применении метода выделения разрыва в качеств начального состояния течения в окрестности тачки принималось приближенно аналитически распределение глубин и расходов для мо мента времени to близкого к t=0(практически такое вычисление выполнялось при пренебрежении трением , уклоном дна и непризма-тичностьв русла для I = 15 сек). Невоторые погрешности которые могут иметь место при таком задании начальных данных, быстро стирается по мере увеличения t. lar но времени задавался переменив* ot 0,23 сея иа начальной стации домения велим до 00 сек

для более поздних ыоыентов времени, ваг но длине при эгиы изменялся от 20 до 1500м (расчет начинался с числа интервалов К-20). Для того чтобы шаг но длине не мревэижел некоторой предельной величины можно прибегнуть к операции размножения точек на отдельных временных слоях. Чаще всего при превыжчии предельного шага и каком -либо слие число расчетных точек в нем увеличивалось на одну. При этом голоеение всех точек на раскат-ривасмои слип изменялось ( делались равномерным). Значение искомых функций в новых точках отыскивалось с помощьв линейной интерполяции искомых величин между прежними точками. Расчеты показывают, что высота прерывной волны, иысицач в начальный ыо-мент 50н. быстро уменьшается (главным образом благидаря действию трения). Например, в иомеит t- 10 мин высота равна Ю.м, координата 15 ки. при 1=20 мин высота около (i и, киордипига 24 км.

Волна пробегает расстояние в 32,1) км за 30 мин. Ки времени 35 мип амплитуда прерывной волны становится равной ну ли.Носяе этого расчет нридолвалг.ц по программе сквозниго сче.та, так как из-за больших градиентов ремения счет по программе для гладких речений (типа паводков) сразу невозможен. Только при прохождении ese около часа физического времени визыоаен переход на паводковую программу.

Результаты расчета позволяют определить зону затопления, время стояния больной глубины, момент прихода волны проры ва и ее параметры в заданной точке. В результате была выяснена судьба железнодорожного моста в районе г.Красноярска (он затопляется потоком и поэтому возможно аа смещение), и другие инте ресувщие проектировщиков данные.

В Волгоградском филиале Гидропроекта один из расчетов ■ был подвергнут экспериментальной проверке на ЮО-метроной моде ли. При этом время прихода волны, время стояния высокой воды, зоны затопления, полученный в расчетах, навли удовлетворитель ное подтверждение.

Заметим, что если течение содержало несколько разрывов (например, при образовании прорана), то алгоритм и программа допускали выделение этих существенных разрывов.

В згой же работе (101 приведены результаты прохождения прерывной волны по нижерасположенному водохранилищу. Результаты ра-четов были исиольэоиаиы в Гидропроекте,

4.3. Объект: р.Храии (Грузия), расчет волны прорыва при каскаде ГЭС. Рассматривается участок р.Храни длиной 112 км. На расстоянии 10 к*, от левого конца находится Г'ЭС-1 (считается х -О) с напором 20,8 и» ниже на 12 км. расположена ГЭС-I1 с

шторам 10 м (длина водохранилища 300 м). Уклон дна i =0,01-0.04.

Первые два этапа расчета совпадают с первыми двумя этапами расчета объекта 4.2.

Дополнительные данные : Гидрограф излива начинается с величины 12000м'/с и круто падает к Q= 310мэ/с. Время опорожнения водохранилища ГЗС-1-ЗО час. Из аналитического решения задачи о распаде произвольного разрыва находится начальное состояние для программы с выделением прерывной волны:

Л^чООм, У|«200м

После 3 мин. физического времени прерывная волна вц-полаживаетсм, волна проходит 3 км. в нижнем бьефе. Левая граница Q«QCt)( й:20н, г«ОМг2с .

Третий этап выполнен в двух вариантах:

а) Полученные на предыдущей этап: li=h(x) и Q=Qiх> при t-180с использованы в качестве начальных данных для расчета волны в нижнем бьефе по программе сквозного счета. Расчет производится от ГЭС-I до ГЗС-11 (х=12км). Слева задавалось Ü = Q (t) в створе ГЭС-1, справа Z(t) =1090,8м - отметка наполнения водохранилища 11. Расчет велся до момента изменения расхода в створе ГЗС-11, г =0,25-2с. Результат: Тсг=й51с.

б) При тех же начальных данных и по той же программе был проведен расчет с другим правым граничным условием, а именно Q(t)=35ÖM/c .Расчет велся до момента, пока водохранилище не наполнится до отметки гребням5 см.Результат счета: Тсг=8бЗс.

Сравнивая результаты двух вариантов,получаем,что водохранилище 11 наполняется за 12 с,

Четвертый этап. Опять переходим на программу с выделением прерывной волны. Для распада разрыва в створе ГЗС-11 имеем начальные данные

<).(}--350я'/с; Ц= 31 Ои/'с ,* }.h 11,55м; $ х< 12кв; Ь=4,38н;х>12кв. Результаты ее решения задавались следующим образом: Q и h при х =11800* линейно меняются до Q = 1200mVc и Ii=?m- при х--12100и. Слева задается Q-Qc t > в створе ГЭС-1. справа - двшущая прерывная волна, На этот раз прерывная волна не выполаживалась в течении 21 мин. физического времени и продвинулась ниже ГЗС-11 на 20 км ,

Пятый этап, Кривая свободной поверхности и распределение расхода на t»2140с были заложены в качестве начальных данных в программу сквозного счета. Просчитано 30 мин. физического времени,X -2с.

Кестой (заклвчктелышй) этап, После этого был еде-

лап переход на паводковув программу, по которой считалось до 35 часов физического времени бремя добегания волны до конца рассматриваемого участка р. Храми около 4 час. Время затопления при х-9,Я км. - 29,8час. при х=102км.-31 час.

В этих исследованиях особенно успешный оказалось разделение расчета на фрагменты и методика расчетов по различным программам на разных стади ях течения.

Отметим, что созданные методы и программное обеспечение использованы многими организациями Си!' СО ЙН СШ\ ИИС Гидронроекта, Тбилгидропроект, ШШИГиМ.Ш'МИ, МГЦ, ПИЯ иекчишш МГУ. Ц1ШШР, ПИ. ВНИИГ, Ш]И, Як[.гип|||1йпд;-:оч н ир).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Па мнению автора, совокупность теоретических положений, разработанных численных иетодов и программного обеспечения можно квалифицировать как практическое создание начал нелинейной гид-равликн-перспективного направления современной ыеханики.

Представляется,что разработанные методы к средства позволяет создавать математические модели сложных гидравлических явлений: выделение разрывов в одно-и двумерных задачах,одно-и дзунернно задачи разрушения плотины,кусочно- постоянные разноплогностные течения - которые до исследований авторов методов не были доступны математическому моделировании.

Средства моделирования использованы при обосновании технических реэений по вашсейаии водный объектам - Красноярская ГЭС, каскад ГЭС на р.Храаи и Ривни , магистральный канал Саыур-Апверонской водохозяйственной системы.

Основными представляются следующие результаты:

1.Предлоаени системы уравнений движения различного порядка и тина,

- одномерные в дивергентной форме соместно с О.Ф.Васильевым,

- вязкой однородной (однослойной) жидкости,

- идеальной, вязкой, дисперсионной многослойной жидкости,

- двумерные плановые идеальной и вязкой однородной, идеальной, вязкой и днспесионной многослойной жидкости.

2.Сформулированы с использованием свойств характеристик крае вые задачи для перечисленных и других известных уравнений в области с неподвижными и подвижными границами.

3.Получены методами групового анализа точные реаенкя в однород ной и многослойной жидкости следуюаих задач:

- распада разрыва в призматическом горизонтальном русле без трония;

- растекания ограниченного обюца видноетн по сухому руслу,

- движения колеблвжейся сггнля в нризкатическом русле и д;к которые испояьзнится в качестве эталонных при проверке чис ленных методов и программ , расчета сложных течений.

4.Созданы численные методы и разработано с участей автора программное обепечение гледувчих одно н двумерных (плановых) краевых задач:

- о движений прерывной полны в руслах произвольной формы;

- о движении волнн по щхоиц руглц произвольною поперечного се-

чсиия,

- а движении волны большой амплитуды вязкой и дисперсионной жидкости,

- о движении поверхиостых и внутренних волн большой амплитуды в многослойной жидкости,

- о движонии двумерных в вертикальной плоскости волн ццнами.

5.Выполнены с участием автора расчеты прерывных и непрерывных волн для обоснования инженерных-решений по следующим ответственным объектам - Красноярской ГЗС,

- каскад ГЭС на р.Храми и Риони,

- магистральный канал Самур-йпверонской водо -хозяйственной системы.

Кроме того, нрограиное обеспечение использовано многими организациями страны.

8.Полученные результаты позволяют решить перспективные задачи о катастрофических склоновых процессах лавинного характера (снежные лавины,оползни,г,ели,камнепады) и др.

По теме диссертации публиковано более 80 работ,из ник основные:

t.Numerical Methods for the calculation of shock «ave propagation in open charmais //XI Congress IflHR , Lenlngrad-1965.-v.3.N44.-p.1-13. (соавторы¡Васильев О.Ф.,Прит-виц H.fi..Судобичер В.Г.) 2 Применение современных численных методов и цифровых ЭВМ для ревения задач гидравлики открытых русел //Гидротехн.ст-во. -19B5.-N8.~c.44-48. (соавторн:Васильев О.Ф..Нритвиц II.ft., Вугрин С.Ы.и др. ).

3.0 распространении разрывов в открытых руслах //йзв. вузов Энергетика,- 1965.-Н11-е.70-77.

4.Груповая классификация дифференциальных уравнений, описывающих одномерное неустановившееся движение жидкости //Дифференциальные уравнения - 1905.-N5.-с.095-700.

5. 0 расчете прерывных волн в открытых руслах //Изв.АН СССР. Механика жидкости и газа.-1966.NC.-с,184-189 (соавторы:Васильев О.Ф.).-

8. К задаче о распаде начального разрыва в открытых руслах //Изв.вузов Энергетика.-1900.-N4-c.01-88.

7. Некоторые семейства точных решений уравнений двумерной теории мелкой воды //Прикладная механика и техническая физика. -1989. -Н8. -с. 02-71

8. К теории одномерных неустановивжихся течений в открытых рус-лах//Изв.С0 АН СССР,серия техн.наук.-1970.-Н8,вып.2.-е.133-144.

9. Численный расчет неустановившегося движения води в открыток русле. Разрывные течения //Приложение 3 к книге Г.Б.Пяалккииа и др."Ременис одномерных задач газовой динамики в подшшшх сет-

как." к. : Наука.-1970.-п. 104-111 ( соавтора ¡Васильев О.Ф..Судоби-чер П.Г.)

10. Численное решение задач о течениях с прерывными волнами в открытых руслах //Численные метода механики сплошной среды, -1370.-т.1.-N5.-с.3-19 (соавтори:Васильев З.Ф.,Судобичер В.Г.)

11. К теории установившихся двумерных (плановых) потоков в открытых руслах //Изв.СО ДН СССР, серия техн.наук.-1971.-Н13,вып. 3.-с.37-41.

12. О волне излива из водохранилища //Гидравлика и гидротехника.

1973.-N17.-с.78-87.

13. К задаче о распаде двумерного разрыва в мелкой воде //Гидравлика и гидротехника.-1975.N20.-с.21-25.

14. Разрывные цилиндрические течения в открытых руслах //Гидравлика и гидротехника .1975.-N21.-с.17-23.

15. О разрывных течениях в открытых руслах //Динамика сплошной среды. -1975.-Н22.-с.З?-64(соавторы:Атавин А.п..1угрин С.М.).

iß. Математическое моделирование волновых процессов в прибреш-ной зоне моря //Сб.научн.трудов ВНИИ транспортного стр-ва.-1976 -Вып.99.-с.38-51.

17. Задачи с границей по сухому дну для уравнений мелкой воды //Численные методы механики сплоаной среды.-1970.-Т.7,-NÖ. -с.24-30.

18. 0 двишении «идкости по сухому дну //Гидравлика и гидротехника,-1977. -N25.-с.13-20.

19. Hntheaatlcal Hödel1Ing of tHO-diíenglonal plane flos In open channels //XUII Congress IflHR, Baden-Baden.-1977. v. ?.. -p. 239 -24В(соавторы:Эеренков И.A.)

20. Взаимодействие слабых возмущений с прерывными волнами

//Сб.науч.трудов ВНИИ транспортного стр-ва.-1979.-Вып.109.

-с.104-115.

21. Численные методы расчета неустановившегося.двумерного течения потока при стеснении его транспортными сокрушениями //Сб. науч.трудов ВНИИ транспортного стр-ва.-1979.-Вып.103.-с.84-92,

22. Численное моделирование неустановившихся точений в открытых руслах //Водные ресурсы.-1981,-с.119-125.

23. Многомерные неустановившиеся течения «идкости в открытых и. напорных каналах //Тр.1-й Всесопзн.шк.-сем. по многомерным задачам механики сплошной средн. Краснояск,-1983.-с,92-102,

24.Wathenatlcal «odelllng of break wave propagation In ths hydro-project biefs //XX Congress IflllR,Moscow.-1983.-v.l.-part 1.-p.181-182.

25. Методы теоретического исследования неустановившегося двике-иия воды в открытых руслах //Динамика и териика рек и водохранилищ.«. -1984.-с, 20-33

20. Nuaerlcal Bodelltng of coastal «awes dynaiics //XX COHCRESS IflHR.Moscow. -1984.-v.?-p.162-186.

27.Математическое моделирование транспорта наносов в руслах с болъиими уклонами дна //Гидрофизические процессы в реках и водохранилищах У. ,-13В5.-с.В0-66. 2В. Математическое моделирование длинных волн в прибрешой зоне //Теоретические и экспериментальное исследования длинноволновых процессов. Владивосток.-1985.-с.65-72.

29. Водны цунами как нелинейные волны в мелкой воде //Исследования цунами. -1987.-Н2.-с.95-105.

30. Возбуадение волны цунами подвижками дна //Исследования цунами.-1988. -НЗ.-с.33-40.

31. Математические модели эрозии почвы и транпорта наносов // Динамика течений и литодинамические процессы в реках, водохранилищах н окраинных морях.К..-1991.-с.20-31.

32, Математическое моделирование крупных сибирских и дальневосточных рек //Материалы науч.конф.по проблемам водных ресурсов Дальневосточного экономического paftojia и Забайкалья. Саикт-Пе-тербург.1991.-с.50-80.

33. Математические модели транспорта наносов//Материалы науч. конф. по проблемам водных ресурсов Дальневосточного экономического paflona и Забайкалья Санкт-Петербург.-1991.-с.ftD~B9.