автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численные методы решения прямых и обратных задач геофильтрации

МОСКОВСКИ» ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.В.ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

РАДЖАБОВ МУМИНЖОК ДАДОЖАНОВИЧ

УДК 519.6:532.546

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ II ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОФИЛЬТРАЦИИ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени канОиОапа физико-лателашических наук

Москва

- 1992 -

Рвоота выполнена нр кафедре вычислительны* методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского

государственного университета имени М.8.Ломоносова.

Научные руководители:

акаделик А.А.Самарский

кандидат физино-лателатических наук

П,Н.ВаОищевич

Официальные оппоненты:

доктор фиэико- лателатических наук В.Ф.Тишкин,

гандидая фиэико- лателатических наук А.С.Крылов

Ведущая организация: Институт продлел безопасного развития

атолной энергетики РАН

. 49 т^г Ж*2

йьщита состоится _____ '______ 1992 г. 11

на заседании специализированного совета К.053.05.87 при Московской государственном университете по адресу: 119899, Москва. Ленинские горы. МГУ, факультет вычислительной иатеиатики и кибернетикк.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. ¡у

лвтореферат разослав ' , ¡-¿¿-¿и^__ 1992 г

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико- математический наук ^Говоров В.И.

'"■«7 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

¡' Диссертация посвящен» разработке числе ши. методов решении

I

Ьрймых и обратит задач притока жидкости к одиночной несовершенной ''йкважине в иногопластовых средах.

Актуальность проблемы. Проблемы геофильтрации имнит важное экологическое и народно- хозяйственное значение. Математические модели течений жидкости в грунтах сложны и разнообразны. Среди общего комплекса задач гидрогеологии можно выделить проблему исследования притока к одиночной скважине в слоистой среде.

Изучение фильтрационных течений к несовершенной по вскрытию, по гидравлике внутрискважинних течений скважине не удается проводить в рамках хорошо известных и широко используемых иоделей плановой фильтрации. Требуется более точный учет вффектои несовершенстве в райках более сложных, неодноиерных по толща пласта иоделей.

Построение моделей несовершенных скважин, разработке аффективных выч;к ительных алгоритмов решения задач фильтрации ь таких новых постановках является актуальной проблемой прикладного математического моделирования в гидрогеологии.

В гидрогеологии чрезвычайно важное значение иичйт обратные задачи по востановлению коэффициентов фильтрации в >.ногоплаотовоЛ системе по данным опытных откачек. Для их решения развиваг.тгя специальные вычислительные алгоритии. Решение таких обратных эод-.ч фактически в подавляющей числе случвев базируется на решении определзлного ряда прямы! аадач. Это определяет не." Ок.димос ть

разработки методов решения прямых задач, которые били бы ориентированы на кх использование при решении обратных задач.

Цель работы состоит в математическом описании притока к несовершенной по гидравлике скважины, в разработке быстрых вычислительных алгоритмов решения прямых задач притока к несовершенной скважине и на их основе - методов решения обратных задач по восстановлению коэффициента фильтрации в многопластовой системе.

Основные результаты работы:

1. Разработан численно-аналитический метод решения прямых стационарных и нестационарных задач притока жидкости к одиночной скважине в слоистой среде. Он основан на дискретизации задачи по вертикальной переменной и разложении в ряд по собственным функциям соответствующего разностного оператора. Задача па собственные значения решается численно, решение задачи - по радиальной переменной находится аналитически. Для нестационарных зздач по времени применяется численное преобразование Лапласа. Предложенный метод наиболее полно учитывает специфику задач гидрогеологии в слоистых средах.

2. Поставлена и численно исследована сопряженная задача стационарного течения жидкости в пористой среде с учетом гидравлики скважины. Сопря8:енная задача характеризуется нелинейным краевым условием для функции тока на границе скважины. Для приближенного решения используется численно- аналитический метод с итеративным уточнение« нелинейного граничного условия.

3. Для определения коэффициента • фильтрации слоистой среды предложен алгоритм статистического перебора, позволяющий

использовать интерактивный (диалоговый) режиы работы о ЭВМ.

Научная новизна. Основные результаты, сформулированные в той общности, как оии представляются, являются новыми.

Практическая ценность. Предложенные в работо иетоди численно-аналитического решения стационарны* и нестационарных задач геофильтрации и статистический метод определения

коеффициентв фильтрации слоистой среды и соответствуюдее программное обеспечение непосредственно пригодны для практических геофильтрвционных расчетов.

Апробация. Результаты, полученные в работе, докладывались н обсуждались на научно-исследовательском семипаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ под руководством А.А.Самарского (1989), на республиканской научно-практической конференции молодых ученьи и специалистов (г. Душанбе, 1989; г. Ленинабад, 1990). на республиканской конференции

"Дифференциальные уравнения и их приложения" , ( г. Куляб, 1991), на конференции молодых ученых факультета ВЫиК МГУ (1987,1988).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глап и списка литературы из 145 наименований. Работа изложена на 167 стр. машинописного текста, включающего 38 рисунков и 34 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теми диссертацзонноД работы, формулируются цели исследования, -дается обзор расот, примыкающих к теме работы, и кратко излагается ссдераяиле диссертации.

Глава 1 посвящена разработке численно-вьалктического метода

для решения задач гидрогеология одиночной окважины. Математические модели притоке к скважине рассмотрены в § 1.

Приток к несовершенным скважинам имеет сложный и еще недостаточно изученный характер. При отсутствии существенных деформаций прискваженной зоны, искажающих ее фильтрационное сопротивление, и пренебрегая гидравлическими потерями внутри скважины, на стенке рабочей части скважины (фильтра) задается условие постоянного напоре. При ет ом приток к скважине оказывается неравномерным по высоте. Моделируются стационарные и нестационарные течения к скважине, несовершенной по вскрытию, напорной и безнапорной фильтрации. Коэффициент фильтрации и другие гидрогеологические характеристики среды зависят только от одной вертикальной переменной 2.

Стационарная задача притока к несовершенной со вскрытию скважине с использованием функции тока численно исследуется в § 2. Структура фильтрационного потока определяется характером деформаций гидродинамической сетки (сетки движения), которая состоит из системы линий равного напора, связывающих точки с одинаковым напором, а также линий тока, показывающих направление потока. Для характеристики фильтрационного потока вводится фуякция тока, которая имеет постоянное значение вдоль каждой линии тока. Ее изменение между двумя точками представляет собой расход потока между линиями тока, проходящими через оти.точки.

Обозначим через г0 радиус скважины, к(г) - ■ коэффициент фильтрации, а 1 мощность плести. Область фильтрации есть

Я - {(г,г)\ г0 < г < оо, О < г < 1}.

Функция тока при .уравнения

стационарной течении определяется из

дг

1

аф

г к(г) дг

вф

к(г) дг

- О. (Г,2) I 0 ,

(1)

и граничных условий

Ф<Т,о; - О(О). ф(г,1) - 0(1).

(2)

где О(х) - расход фильтрационного потока.

У наружной стенки скважины ставится условие

4>(г0,г) - О(г).

(3)

а при г » » выполняется условие

<!>(<».г) » о'(г) . 0(0)

I к( б )<1з О

1 -

О

| к( а )<1з О

0(1)-

I к(г)(1г О

(4)

Для решения краевой задачи разработан численно- аналитически?, иетод. Эта задача характеризуется теи, что коаффициент фильтрации неоднороден только по одной переиенноЯ. расчетная область неограничена. радиус схввгияы иал. Само ревсние необходиио только в некоторых отдельных точках расчетноз области. Такая

д

ситуация характерна при обработке данных опытно- фильтрационных работ, когда наблюдения ведутся только в отдельных опытных скважинах. Предлагаемый вычислительный алгоритм учитывает отмеченную специфику поставленной задачи (1)-(«).

Решение задачи (г)-(4) представим в виде

Ц(г,г) - и(г, г) + О (х).

(5)

Далее по переменной г введем равномерную сетку

¡¡й - - 1Ь, 1 - 0,1,...,Ы, № - 1),

и перейдем к дифференциально-разностной задаче

<3г

1 <1г1 г сГг

Г1>-

О, г € «л

(6)

где множество внутренных узлов сетки При 1 *> О я 1 N имеем

го "

Уи - О.

(Т)

Решение задачи (6),(7) представим в виде

1

&

N-1

У£(г) - У ,

1 - 1.2,

(8)

где - собственные функции задачи

Аы -

(9)

В (9) А - трехдиагональная матрица, В - диагональная.

Обобщенная задача на собственнне значения (9) решалась ОГ. -алгоритм со сдвигом. По переменной г получено аналитическое решение.

Приближенное решение ф^Сг.) имеет вид

Н-1 £

ч(г

/V )

1 * Л + а1-

(10)

где

N-1

Я. - У >■ J - 1.2,....N-1,

а К1(х) - модифицированная функция Ханкеля первого порядка; -диагональные элементы матрицы В. _ ••

Приведены примера расчетов при различных значениях параметров

задачи (гидрогеологических и вычислительных), которые

* • • .

демонстрируют возможности разработанного метода.

Разработанный метод применяется в 5 3 для решения такой -же стационарной задачи, когда в качестве неизвестной выступает напор. В § 4 рассматриваются задачи фильтрации в многопластовых

Я

системах. Проведено сравнение полученных результатов с данными по упрощенный охемам расчете, по схеме с перетоком Мятиева-Гирннского (осреднение по толще пласта). Данные таких расчетов позволяют отметить диапазон параметров, когда можно использовать различные упрощенные модели.

Определенные особенности есть при приближенном решении нестационарных задач притока к несовершенным скважинам. Для приближенного решения нестационарной задачи притока ости к

несовершенной скважине в слоистой среде применяется; ^йсЛеггв'о-аналитический метод с использованием процедур численного ОсУрвщеКия преобразования Лапласе по переменной С 1} 5),

В приближении малых отклонения В } 6 провоД#4с'# /Чет движения свободной границы. При откачке Из в

безнапорных пластах следует учитывать вертикальние аооТавляющиа скорости фильтрации, поскольку в результате понижения уровня происходит уменьшение мощности водоносного пласте, особенно вблизи скважины. При етом скорость снижения уровня при заданном расходе определяется в основном проводимоотью и водоотдачей пород при их осушении. Общее условие на свободной поверхности выражается б виде

(11)

ая к аБ дэ 2

дг И дг в г

где ц - водоотдача или недостаток насыщения.

Это условие является нелинейный. Учитывая, однако, малость киидг>ата производной по г по .равнению с первой производной по г его можно записать приближенно в линейном виде:

ÖS к ÖS ÖC \l dz

z - О.

Проблеме моделирования несовершенной по гидравлике скважины рассматриваем.;»! в } 7. Сформулирована соответствующая математически модель, учитывающая гидравлические потери в скважине. Задача для фильтрационного потока характеризуется специальным нелинейным граничным условием на границе скважины, которое имеет вид

1 W » 8 О » 2

-7~ - Р Т ((f) * т ф г " го-

k(z) dr вя ' "

п* *

гдер .у - некоторые параметры задачи. Представлены примеры расчетов, показывающие влияние несовершенства скважины на распределение потока жидкости.

Глава 11 диссертации посвящена методам решения стационарных и нестационарных обратных задач. Рассматривается многопластовая система с неизвестными коэффициентами фильтрации. Дополнительная информация задается в виде измерения напоров в отдельных точках. Вычислительные алгоритмы ■ решения обратных задач базируются на многократном репениии прямой . задачи. В качестве базового алгоритма решения обратных параметрических задач выбран метод статистического перебора. Такой подход наиболее пригоден для быстрого внздрения в вычислительную практику. ^ ''

В § 1 рассмотрена обратная задача д.г : стациопарноК задачи фильтрации к несовершенной скважине, а в § 2 рассматривается нестационарная задача.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах!

1. вабмщевмч п.н., Раджабов н.д. Численно-аналитический леаоО решения задач лателатической физики 6 слоистых средах // Докл.

АН Твдж. ССР. 1990, Т 33, Л 5, С. 295-298.

2. Ва б шцевич п.н., Ралжабов м.д. Чоделирование притока к несовершенной скважине в сопряженной постановке // Математическое моделирование. 1989. 7. 1, Л 7. С. 44-50.

3. Вабмщовцч п.н., Ралхабов н.д. Численное лоделирование притока к несовершенной скважине при упругол режиле фильтрации / Препринт ИММ РАН . 1992.

4. Вабмщевмч п.н., Радшабов н.д. Вычислительный алгоритм решения прнлой задачи эдекпроразвеОки постояннил покоч / Актуальные вонроои прикладной математики, и.: Изд-во Моск. ун-те, 1989. С. 54-61.

5. Вабмщевмч П.Н., Денисенко'X.Ю., Радхабов М.Л. Численное решение КОЗ Оля слоистых среО / Обратные задачи и идентификация процеооов теплообмена. 6 Всео. неуч, семинар. Москва, оент., 1987. : Кратк. сообщ. К.. 1988. С. 89-90.