автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Оптимизация изменений масс при ограничениях на величину частоты собственных колебаний

Томский государственный архитектурно-строительный университет

Фурсова Наталия Александровна

ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕНЕНИЙ МАСС ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ВЕЛИЧИНУ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск - 2005

Работа выполнена на кафедре строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор,

академик РААСН Ляхович Леонид Семёнович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Гребенюк Григорий Иванович кандидат технических наук, доцент Подшивалов Иван Иванович

Ведущая организация Проектно-научно-технический центр

"Вогтехпроект"

Защита состоится 23 декабря 2005г. В 14— на заседании диссертационного совета Д 212.265.01 при Томском государственном архитектурно-строительном университете, г. Томск, пл. Соляная, 2, ауд.317/5.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 22 ноября 2005г.

Ученый секретарь -

диссертационного совета Скрипникова Н.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В процессе эксплуатации сооружения возникает необходимость догружения или разгрузки сооружения, что приводит к изменению частотных характеристик. Как правило, необходимо проводить оба процесса таким образом, чтобы собственные частоты находились в заданных пределах. При этом в случае догружения сумма дополнительных масс должна быть максимальной, а в случае разгружения минимальной.

В настоящее время надежных критериев обеспечивающих решение данной задачи не выявлено. Таким образом, оптимизация процесса нагружения или разгрузки при условии изменения частотных характеристик в заданных пределах не теряет своей актуальности.

Очевидно, что одним из путей решения данной проблемы является использование теории оптимального проектирования конструкций (ОПК). Свое развитие теория оптимального проектирования получила в середине прошлого века.

Большой вклад в становление и развитие теории ОПК внесли отечественные ученные Н.В.Баничук, А.И.Виноградов, Л.Н.Воробьев, Ю.Б.Гольдштейн, Г.И.Гребенюк, В.А.Киселев, В.А.Комаров, И.Б.Лазарев, Л.С.Ляхович, В.П.Малков, Д.А.Мацюлявичус, Ю.В.Немировский, Е.Л.Николаи, И.М.Рабинович, Ю.А.Радциг, А.Р.Ржаницин, А.П.Сейранян, Н.Н.Складнев, А.Ф.Смирнов, В.А.Троицкий, А.П.Филин, А.П.Филиппов, К.М.Хуберян, Н.Г.Ченцов, А.П.Чижас,

A.А.Чирас и другие. Среди зарубежных ученых наибольший вклад внесли Я.Арора, З.Васютынский, Б.Карихало, Д.Келлер, М.Леви, З.Мруз, А.Мичелл, Ф.Ниордсон, Н.Олльхофф,

B.Прагер, Д.Рожваны и другие.

В рамках теории ОПК создан ряд методов по ее реализации. Значительный вклад в создание методов теории ОПК внесли Б.В.Гринев, Ю.М.Почтман, Н.Д.Сергеев, Малеткин О.Ю., Малиновский А.П., Д.Тейлор, М.Тернер, Э.Хог, Р.Шилд, а также многие другие ученые. В трудах перечисленных ученых получе-

но решение целого ряда задач.

Целью работы является выявление особых свойств форм собственных колебаний при нагружении или разгрузке при условии изменения собственной частоты в заданных пределах, а также использование выявленных свойств для оптимизации изменения масс.

Научная новизна работы: выявлены особые свойства формы собственных колебаний при решении задачи о максимальном догружении и минимальном разгружении и ограничениях на величину частоты собственных колебаний.

Практическое значение работы заключается в следующем:

-выявленные свойства служат основой для разработки методов определения мест и величин дополнительных или снимаемых масс с учетом ограничений по частоте собственных колебаний.

- предложенные методы положены в основу алгоритмов, которые позволяют решать поставленные задачи и при этом гарантируют оптимальность полученного решения.

Апробация работы. Материалы диссертации были доложены и обсуждены на научно-технических конференциях Томского государственного архитектурно-строительного университета (2000-2005 гг.) Работа докладывалась на научных семинарах кафедры строительной механики ТГАСУ под руководством академика РААСН, профессора Л.С. Ляховича (2000 - 2004 гг.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы.

На защиту выносятся:

- выявленные особые свойства форм первых собственных колебаний.

- алгоритм реализации особых свойств форм собственных колебаний при максимальном нагружении или минимальном разгружении при ограничении на величину частоты собственных колебаний.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Содер-

Ясит 113 страниц, список использованной литературы включает 120 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования.

В первой главе приведен обзор и анализ работ, посвященных методам оптимального изменения нагрузок, их месту и роли в динамике сооружений.

На основе проведенного анализа сформулированы цели и задачи диссертационной работы.

Также приведен выбор и обоснование расчетной схемы, используемой в дальнейшем расчете.

Во второй главе приведена постановка задачи для случаев догружения и разгружения. - ..

Постановка задачи при оптимизации величин и мест расположения дополнительных нагрузок.

Пусть заданы места возможного расположения дополнительных масс (l,2,...,i,...nl). Требуется из возможных выбрать места расположения дополнительных масс и подобрать их величины М1 d[i] (i -1,2,.. .ni) таким образом, чтобы

М18=]Г Mld[i]-»max (1).

i-1

При этом возможности увеличения масс ограничены условием, что величина первой собственной частоты со i не должны оказаться меньше заданной величины сооь

о)1>со01 (2).

Кроме ограничения (2) очевидно требование неотрицательности дополнительных масс:

Mld[i] >0(i =1,2,...ni) (3).

Также вводятся ограничения на величину каждой из них. Эти ограничения записьюаются в виде:

Mld[i]<dMl[i](i=l,2,...nl) (4).

Таким образом, при нагружении сооружения допустимым является такой набор дополнительных масс, при котором выполняются ограничения (2),(3),(4).

Оптимальным при нагружении будет такой набор дополнительных масс, при котором выполняются условия (2),(3),(4), а сумма (1) достигает максимального значения.

Постановка задачи при оптимизации величин и мест расположения снимаемых нагрузок.

Пусть заданы места возможного расположения снимаемых масс (1,2,...,1,...п2). Требуется из возможных выбрать места расположения снимаемых масс и подобрать их величины М2а|1] (1 =1,2,.. .п2)таким образом, чтобы

М28=]Г М2<(Н-яшп. (5).

<=1

При этом возможности снятия масс ограничены условием, что величина первой собственной частоты не должны оказаться больше заданной величины о>02-

0?1< 0)02 (6).

Кроме ограничения (6), здесь, как и при нагружении, вводится требование неотрицательности снимаемых масс:

Шар] >0 0=1,2,...п2) (7).

А также ограничения на величину каждой из них. Эти ограничения записываются в виде:

М2аИ<с!М2[1] 0 =1,2,...п2) (8).

Таким образом, при разгрузке сооружения допустимым является такой набор снимаемых масс, при котором выполняются ограничения (6),(7),(8).

Оптимальным при разгрузке будет такой набор снимаемых масс, при котором выполняются условия (6),(7),(8), а сумма (5) достигает минимального значения.

Во второй главе выявлены особые свойства форм собственных колебаний при оптимальном изменении нагрузки.

Рассмотрим задачу о поиске оптимального набора дополнительных масс при нагружении системы для случая, когда ограничение (2) активное, а (3) и (4) остаются пассивными.

Поскольку рассматриваются только сосредоточенные массы, то задача сводится к конечномерной с размерностью п1, а при разгрузке п2.

Процесс собственных колебаний при выполнении (2) в виде равенства может быть описан уравнением доставляющем минимум функции:

F]=U.T.I jr Mld[i]*(«h)2*(yl[i])2 (9).

2 1=1

Здесь U-потенциальная энергия системы, Т- кинетическая энергия системы без дополнительных

ti

масс,]TMld[i]*(wi)2*(yl[1])2-кинетическая энергия дополнитель-н

ных масс при собственных колебаниях сооружения, coi=cjoi-первая частота собственных колебаний, yl[i]- ординаты формы собственных колебаний в точках приложения дополнительных масс.

Очевидно, что рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача об условном экстремуме функции F01=M1S-\*F1.

Здесь Х- множитель Лагранжа. Решением задачи об условном экстремуме функции Fol будет форма собственных колебаний при соi~cooi и набор масс Mld[i] (i=l,2,...,nl), придающих

nl

функции цели Mls=^ Ml<j[i] максимальное значение, м

В развернутой форме функция Fol запишется в виде:

F0l=jr Mld[i]-\*(U-T-J Mld[i]*(iJi)2*(yl[i])2) (Ю). i-l i=1 Среди условий экстремума функции (10) будут уравнения: а Fol/3 Mld[i]=0 (i=l,2,...,nl) (11)

В развернутой форме уравнения (11) принимают вид:

=0 (i=l,2,...,nl), что приводит к условиям

X*(wi)2*(yl[i])2=l или

(yl[i])f=const (i=l,2,...,nl) (12).

Условия (12) определяют особые свойства формы собственных колебаний при выполнении ограничения (2) на соответствующую собственную частоту в виде равенства, а ограничений (3) и (4) в виде неравенств.

Таким образом, при оптимальном наборе дополнительных масс, когда условие (2) выполняется в виде равенства, а условия (3) и (4), как неравенства, квадраты ординат формы собственных колебаний под дополнительными массами равны между собой.

Свойства представляют равенство абсолютных величин, но проблема знаков остается. Если количество варьируемых масс не большое, то возможен простой перебор/ Если же количество большое, то можно использовать методы направленного перебора. При полном переборе количество вариантов составляет 2""1, где п- количество узлов с дополнительными массами. Обычно удобнее использовать знаки соответствующие начальной форме колебаний. Как правило, это быстро приводит искомому результату.

Аналогичные результаты получаются и для задачи о поиске оптимального набора снимаемых масс при разгрузке системы для случая, когда ограничение (6) активное, а (7) и (8) остаются пассивными:

(У2й)Чюп81 0=1,2,...,п1) (13).

В третьей главе выведены уравнения оптимальных величин дополнительных и снимаемых масс на основе метода перемещений. Приводится метод последовательных приближений в оптимизации величин и мест расположения дополнительных и снимаемых грузов на основе реализации особых свойств форм собственных колебаний.

В работе рассматривается континуальная и дискретная модели стержня.

Для реализации особых свойств форм собственных колебаний используется метод перемещений. Основная система образуется из заданной путем постановки связей по возможным направлениям движения дополнительных или снимаемых масс. Переход от заданной системы к основной системе связан с необходимостью решения промежуточной задачи, вычисления коэффициентов метода перемещений выбранной системы. Эта задача решается традиционными методами.

Случай догружения. На рисунке 1-а показана заданная система метода перемещений. Дополнительные массы могут быть расположены в узлах (1,2,...,1,...п1). Основная система метода перемещений показана на рисунке 1-в.

в) МЫШ МЫГ21 МИ[3] М1«3[4] МЫ[п1- МЫ[п1] Му МУ[3]^МУ[4^ Му[п1-1]Ц^у[п1]

X

V х

<

Рис. 1

Уравнения метода перемещений записываются в виде (14). <^[Ги-(^01)2*(Му[1]+М1()[1])]*у1[1]+Г12*у1[2]+...+Г1п1*у1[п1]=0 Г21*у1[1]+[г22-(^о02*(Му[2]+М1с1[2])]*у1[2]+...+Г2п1*у1[п1] =0

............................................................ (14)

Гп11*у1[1]+Гп12*у1[2]+...+[гп1п1-(С001)2*(Му[п1]+М1(,[п1])]*у1[п1]=0 Где, г[1,к:3 - реакция в ьой связи от единичного перемещения к- той связи, у1[к]- перемещение к-ой массы, Мур]- ¡-ая масса системы, а является искомой дополнительной массой.

Найдем искомые величины дополнительных масс с учетом ограничения на величину частоты собственных колебаний.

При отыскании оптимального набора дополнительных масс используем особые свойства форм собственных колебаний. Абсолютные значения амплитуд под дополнительными массами, не достигшими предельного значения равны между собой (12). Используя данные свойства, подставляем у 1 [1] в (15) и находим

искомые дополнительные массы. Так как они определены до постоянного множителя, то и значение может быть любым. Удобнее принимать единицу. В главе 2 даются рекомендации по выбору сочетания знаков уф].

^ЫЦ~{(П1*(^01)2*Му[1])*у1[1]4Т12*у1[2]+...+Г1п*у1 [п]}/{(Ы01)2*у1[1]} М111[2]={г21*у1[1]+(г22*(сОо1)2,,!Му[2])*у1[2]+...

< . +г2п1*у1[п1]}/{(а>01)2*у1[2]}

................................................................................. (15)

М1а[п1]={гП1|*у1[1]+...+(гП1„1-((д)о1)2*Му[п1])*у1[п1]}/{(а)о1)2*у1[п1]}

Случай разгружения. Расчет реализуется аналогично случаю догружения, за исключением системы выражений (16) для нахождения величин снимаемых масс на основе метода перемещений.

<М2(1[1]={(г11(а)о2)2+Му[1])*у2[1]+г12*у2[2]+...

I +г1п2*у2[п2]}/{(и02)2*у2[1]}

|.............................................................................. (16)

чМ2(1[п2]=-{гп21*у2[1]+.. .+(г1£1£-(ш02)2*Му[п2])*у2[п2]}/{(ы02)2,*у2[п2]}

Случай догружения. Расчет разбивается на этапы. На каждом этапе выполняется несколько итераций. На первой итерации первого этапа используем условие (у1[Г|)2=соп81 (¡=1,2,.. .,п1) соответственно по отношению ко всем узлам, где могут размещаться дополнительные массы. Принимаем величины у1 [¡] соответственно равными: 1 или -1, затем подставляем в уравнения движения (15) метода перемещений. Знак выбирается, как правило, соответствующий форме колебаний, что приводит к более быстрому получению результата. Из этих уравнений находим величины дополнительных масс. Найденные массы могут нарушать ограничения. Часть из них может быть отрицательна, а часть больше допустимых значений. При переходе к следующей итерации положительные массы, величины которых больше предельных полагаются равными им и переводятся в заданные. Соответствующие узлы в дальнейших итерациях и этапах в качестве точек размещения дополнительных масс не рассматрива-10

ются. Отрицательные массы полагаются нулевыми. Этап продолжается пока все массы итерации не окажутся положительными. Если найденные дополнительные приводят к выполнению условия «i> GJoi в виде равенства, то оптимальное решение получено. Если же оказывается, что gji ) Шоь то переходим к следующему этапу. Аналогично предыдущему этапу все предельные дополнительные массы переводятся в заданные, а отрицательные полагаются нулевыми и соответствующие узлы на следующих итерациях этапа не рассматриваются. В качестве точек размещения дополнительных масс рассматриваются оставшиеся узлы. Расчет продолжается пока условие Ui> (¿oí выполнится в виде равенства.

Подобным образом реализуется случай разгружения.

Так же как и в случае догружения может рассматриваться как континуальная, так и дискретная модели. Затем расчет осуществляется на основе уравнений движения (15) метода перемещений.

Далее расчет разбивается на этапы аналогичные случаю догружения, процесс продолжается до тех пор, пока условие coi < W02 не выполнится в виде равенства.

Основная идея данного метода реализована в виде программного продукта, составленного на языке Pascal. Просчитан ряд примеров и получены результаты, которые приведены ниже.

В четвертой главе показаны некоторые возможности метода на ряде примеров, а также его использование для оценки решения полученного другими методами.

Пример 1

Случай догружения. Требуется разместить дополнительные массы в узлах 7, 10, 16 и 19 с максимально возможной их суммой при условии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 5 %. Таким образом, для данного примера «oi=0.95*co 1=0.95*26.3298 =25.0133. Заданная масса в седьмом узле составляет Му[7]=700 единиц, в десятом Му[10]=600 единиц, в шестнадцатом Му[16]=800 единиц и в девятнадцатом Му[19]=900 единиц. Принято, что величина дополнительной массы в каждом из узлов не должна превышать 0.95 от первона-

чально приложенной массы. Таким образом, величины дополнительных масс ограничены с!М1[7]= 0.95*700=665, с!М1[10]= 0.95*600=570, <1М1[16]= 0.95*800=760 и аМ1[19]= 0.95*900=855. Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой 0)01= 25.0133 образуем из заданной системы (рис. 2) основную систему метода перемещений.

Далее подставив в (15), в соответствии с условиями (12) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний-у1[7]=М, у1[10]=-1, у1[16]=-1 и у1[19]=-1, находим искомые массы.

Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 1.

Сумма дополнительных масс Мз1=914.4958, уменьшенная собственная частота о>01=25.0133, что соответствует выполнению ограничения (2) в виде равенства. Как видно из таблицы 1 ограничения (3) и (4) пассивные. Ординаты собственной формы при найденных дополнительных массах (узлы 7 и 19) равны по абсолютной величине, что соответствует условиям (12).

Случай разгружения. Пусть снимаемые массы расположены в узлах 7,10, 16 и 19 с минимально возможной их суммой, при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 5 %. Таким образом, для данного примера <0о2=1.05*0)1=1.05*26.3298=27.6463. Заданная масса в седьмом узле составляет Му[7]=700 единиц, в десятом Му[10]=600 единиц, в шестнадцатом Му[16]=800 единиц и в девятнадцатом Му[19]=900 единиц.

Ь

7

7

Рис.2

№ Му И У Догружение Разгружение

ам1 ми Уо1 <Ш2 М2„ У02

1 100 -0.0176 0 0 -0.0178 0 0 -0.0178

2 100 -0.0526 0 0 -0.0531 0 0 -0.0530

3 100 -0.0868 0 0 -0.0876 0 0 -0.0875

4 100 -0.1196 0 0 -0.1207 0 0 -0.1205

5 100 -0.1506 0 0 -0.1519 0 0 -0.1517

6 100 -0.1796 0 0 -0.1807 0 0 -0.1805

7 700 -0.2052 665 642.7 -0.2066 630 0 -0.2064

8 100 -0.2279 0 0 -0.2291 0 0 -0.2290

9 100 -0.2469 0 0 -0.2479 0 0 -0.2479

10 600 -0.2621 570 0 -0.2628 540 42.4 -0.2629

11 100 -0.2732 0 0 -0.2735 0 0 -0.2737

12 100 -0.2800 0 0 -0.2800 0 0 -0.0178

13 100 -0.2825 0 0 -0.2822 0 0 -0.2824

14 100 -0.2807 0 0 -0.2801 0 0 -0.2802

15 100 -0.2744 0 0 -0.2736 0 0 -0.2737

16 800 -0.2638 760 0 -0.2629 720 440.7 -0.2629

17 100 -0.2490 0 0 -0.2480 0 0 -0.2480

18 100 -0.2301 0 0 -0.2292 0 0 -0.2291

19 900 -0.2076 855 271.7 -0.2066 810 0 -0.2066

20 100 -0.1816 0 0 -0.1807 0 0 -0.1807

21 100 -0.1527 0 0 -0.1519 0 0 -0.1520

22 100 -0.1213 0 0 -0.1207 0 0 -0.1207

23 100 -0.0880 0 0 -0.0876 0 0 -0.0876

24 100 -0.0534 0 0 -0.0531 0 0 -0.0531

25 100 -0.0179 0 0 -0.0178 0 0 -0.0178

Принято, что величина снимаемой массы в каждом из узлов не должна превышать половины первоначально приложенной массы. Таким образом, величины снимаемых масс ограничены <1М2[7]=0.9*700=630, с!М2[10]=0.9*600=540, с!М2[16]= 0.9*800=720, аМ2[19]= 0.9*900=810.

Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой соог^ 27.6463 образуем из заданной системы (рис. 2) основную систему метода перемещений. Используем ту же основную систему, что и в случае догружения.

Далее подставив в (16) и условиями (13) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний- у2[7]=-1, у2[10]=-1 , у2[16]=-1, у2[19]=-1, находим искомые массы. Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 1.

Сумма снимаемых масс Мэ2=483.0422. Увеличенная собственная частота б)0г-27.6463, что соответствует выполнению ограничения (6) в виде равенства. Как видно из таблицы 2 ограничения (7) и (8) пассивные. Ординаты собственной формы при найденных снимаемых массах (узлы 7 и 16) равны по абсолютной величине.

Пример 2

Случай догружения. Требуется разместить дополнительные массы во всех узлах с максимально возможной их суммой при усдовии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 10 %. Таким образом, для данного примера £1)01=0.9*^1=0.9*6.2851 =5.6566. Заданные массы в узлах первого пролета составляют 200 единиц, а второго 600. Принято, что величина дополнительной массы в каждом из узлов не должна превышать 0.75 первоначально приложенной массы. Таким образом, величины дополнительных масс ограничены от <1М1[1] до с!М1[10]=0.75*200=150, а от ёМ1[12] до ёМ1[20]= 0.75*600=450.

Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой Ыо1=5.6566 образуем из заданной системы (рис. 3) основную систему метода перемещений.

Рис.3.

Далее подставив в цэ;, в соответствии с условиями (12) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний - от у1[1] до у1[10]=-1, а от у1[12] до у1[20]= 1, находим искомые массы.

Сумма дополнительных масс на первом этапе Мэ 1=1200, на втором Мб 1=2400, на третьем Мв1=3000, на четвертом Мз1=3150 и на пятом этапе Мз1=3306.71. Уменьшенная собственная частота на первом этапе и>01=6.2168, на втором ыо1=5.9593, на третьем а>01=5.7870, на четвертом О)о1=5.7178, и на пятом соо1=5.6566, что соответствует выполнению ограничения (2) на последнем этапе в виде равенства. Как видно из таблицы 2 ограничения (3) и (4) на первых пяти этапах активные, а на последнем шестом этапе пассивные. Ординаты собственной формы при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине: у1[4] = у1[17], что соответствует условиям (12).

Случай разгружения. Массы могут сниматься во всех узлах, кроме опорных. Требуется определить величины снимаемых масс с минимально возможной их суммой при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 10 %. Таким образом, для данного примера С0о2=1-1*6) 1=1.1*6.2851=6.9136. Заданные массы в узлах первого пролета составляют 200 единиц, а второго 600. Принято, что величина снимаемой массы в каждом из узлов не должна превышать 0.75 первоначально приложенной массы. Таким образом, величины снимаемых масс ограничены от <1М2[1] до аМ2[10]=0.75*200=150, а от с!М2[12] до с1М2[20]=0.75*600=450.

№ Му М ёМ1 М1апо этапам У1 у„1

1 2 3 4 5

0 200 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0.0000

1 200 150 150 150 150 150 150 -0.0464 -0.0470

2 200 150 0 150 150 150 150 -0.1353 -0.1369

3 200 150 0 0 150 150 150 -0.2126 -0.2145

4 200 150 0 0 0 0' 20.8 -0.2718 -0.2733

5 200 150 0 0 0 0 0 0.3076 -0.3087

6 200 150 0 0 0 0 0 -0.3167 -0.3178

7 200 150 0 0 0 0 0 -0.2981 -0.2996

8 200 150 0 0 0 150 150 -0.2526 -0.2546

9 200 150 0 150 150 150 150 -0.1834 -0.1852

10 200 150 150 150 150 150 150 -0.0952 -0.0963

11 200 0 0 0 0 0 0 0.0057 0.0056

12 600 450 450 450 450 450 450 0.1128 0.1129

13 600 450 0 450 450 450 450 0.2092 0.2081

14 600 450 0 0 0 0 0 0.2806 0.2773

15 600 450 0 0 0 0 0 0.3169 0.3126

16 600 450 0 0 0 0 0 0.3141 0.3106

17 600 450 0 0 0 0 135.9 0.2743 0.2733

18 600 450 0 0 450 450 450 0.2065 0.2080

19 600 450 0 450 450 450 450 0.1252 0.1274

20 600 450 450 450 450 450 450 0.0492 0.0505

21 600 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000

22 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000

Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой «о2= 6.9136 образуем из заданной системы основную систему метода перемещений, как и в случае догружения (рис. 3). Решение в целом реализуется аналогично предыдущему. Результаты приведены в таблице 3.

Сумма снимаемых масс на первом этапе Мз2=600, на втором Мб2=684.53. Увеличенная собственная частота на первом 16

этапе о)о2~6.8255, на втором ооо2=6.9136, что соответствует выполнению ограничения (6) виде равенства. Как видно из таблицы 3 ограничения (7) и (8) на первом этапе активные, а на втором этапе пассивные. Ординаты собственной формы при найденных на втором этапе дополнительных массах равны по абсолютной величине.

Таблица 3

№ МуМ амг Мё2 У1 У01 •

1 2

0 200 0 0 0 0.0000 0.0000

1 200 150 0 0 -0.0464 0.0475

2 200 150 0 0 -0.1353 0.1383

3 200 150 0 0 -0.2126 0.2168

4 200 150 0 0 -0.2718 0.2763

5 200 150 0 20.50 -0.3076 0.3116

6 200 150 150 150 -0.3167 0.3201

7 200 150 0 0 -0.2981 0.3013

8 200 150 0 0 -0.2526 0.2555

9 200 150 0 0 -0.1834 0.1855

10 200 150 0 0 -0.0952 0.0962

11 200 0 0 0 0.0057 -0.0058

12 600 450 0 0 0.1128 -0.1134

13 600 450 0 0 0.2092 -0.2091

14 600 450 0 0 0.2806 -0.2783

15 600 450 0 64.03 0.3169 -0.3116

16 600 450 450 450 0.3141 -0.3067

17 600 450 0 0 0.2743 -0.2683

18 600 450 0 0 0.2065 -0.2027

19 600 450 0 0 0.1252 -0.1234

20 600 450 0 0 0.0492 -0.0487

21 600 0 0 0 0.0000 0.0000

22 0 0 0 0 0.0000 0.0000

Пример 3

Дана шарнирно опертая пластина с размерами сторон 6 м и толщиной 0.1 м и опорой в 17 узле (рис. 4).

Случай догружения. Требуется разместить дополнительные массы в узлах: 1,5,21и25с максимально возможной их суммой при условии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 5 %. Таким образом, для данного примера О)о1-0.9*«1=2.3196. Заданные массы в узлах составляют 500 единиц. Величины дополнительных масс ограничены с1М1[1]= 2*500=1000, а <1М1[5]= 2*500=1000, <1М1[21]= 2*500=1000 и ¿М1[25]- 2*500=1000.

У

1 \ ! 1 ь

2

ь / > с

Рис.4

Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой 6)01-2.3196 образуем из заданной системы (рис. 4) основную систему метода перемещений.

Далее подставив в (15), в соответствии с условиями (12) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний-у1[1]=1 и у1[5]=1, у1[21]=-1 иу1[21]=1 находим искомые массы.

Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 4.

Сумма дополнительных масс Мз1=2578.2005. Уменьшенная собственная частота о)01=2.3196, что соответствует выполнению ограничения (2) в виде равенства. Как видно из таблицы 1 ограничения (3) и (4) пассивные. Ординаты собственной формы при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине, что соответствует условиям (12).

Случай разгружения. Дана шарнирно опертая пластина с размерами сторон 6 м и толщиной 0.1 м и опорой в 17 узле (рис.

4).

Пусть снимаемые массы расположены в узлах 1 , 5, 21 и 25 с минимально возможной их суммой при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 5 %.

Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 4.

Таким образом, для данного примера о>02—1-05*со 1= 2.5637. Заданные массы в узлах составляют 500 единиц. Величины снимаемых масс ограничены <1М2[1]=0.75*500=375, а ёМ2[5]= 0.75*500=375, с!М2[21]= 0.75*500=375 и с1М2[25]= 0.75*500=375.

Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой со02=2.563 7образуем из заданной системы (рис. 4) основную систему метода перемещений. Используем ту же основную систему, что и в случае догружения.

Далее подставив в (16), в соответствии с условиями (13) и знаками ординат начальной формы собственных колебаний-у1[1]=1 и у1[5]=1, у1[21]=-1 и у1[21]=1, находим искомые массы.

Сумма снимаемых масс Мз2=642.0712. Увеличенная собственная частота шо2~2.5637, что соответствует выполнению ограничения (6) в виде равенства. Как видно из таблицы 4 ограничения (7) и (8) пассивные. Ординаты собственной формы при

найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине, что соответствует условиям (13).

Таблица 4

№ Му Р] У Догружение Разгружение

<1М1 М1„ Уо1 <Ы2 М2„ У02

1 700 0.1018 1000 789.1 -0.1253 375 133.5 -0.1013

2 200 0.1817 0 0 -0.1937 0 0 -0.1829

3 200 0.2364 0 0 -0.2329 0 0 -0.2361

4 200 0.2375 0 0 -0.2259 0 0 -0.2304

5 700 0.1599 1000 0 -0.1494 375 375 -0.1463

6 200 0.1235 0 0 -0.1385 0 0 -0.1249

7 200 0.2449 0 0 -0.2533 0 0 -0.2483

8 200 0.3459 0 0 -0.3393 0 0 -0.3484

9 200 0.3611 0 0 -0.3464 0 0 -0.3579

10 200 0.2375 0 0 -0.2259 0 0 -0.2304

11 200 0.0616 0 0 -0.0662 0 0 -0.0629

12 200 0.1560 0 0 -0.1582 0 0 -0.1592

13 200 0,2912 0 0 -0.2868 0 0 0.2957

14 200 0.3459 0 0 -0.3393 0 0 -0.3484

.15 200 0.2364 0 0 -0.2329 0 0 -0.2361

16 200 -0.0201 0 0 0.0226 0 0 0.0206

17 200 0.0000 0 0 -0.0000 0 0 -0.0000

18 200 0.1560 0 0 -0.1582 0 0 -0.1592

19 200 0.2449 0 0 -0.2533 0 0 -0.2483

20 200 0.1817 0 0 -0.1937 0 0 -0.1829

21 700 -0.0331 1000 1000 0.0408 375 0 0.0341

22 200 -0.0201 0 0 0.0226 0 0 0.0206

23 200 0.0616 0 0 -0.0662 0 0 -0.0629

24 200 0.1235 0 0 -0.1385 0 0 -0.1249

25 700 0.1018 1000 789.1 -0.1253 375 133.5 -0.1013

Пример 4

Пусть дана шарнирно опертая пластина с размерами сторон 6 м и толщиной 0.1 м. (рис. 5). Величины первоначальных масс в узлах 7, 9, 17 и 19 приведены в таблице 6. Первая частота при заданных массах со 1=1.2146. Исходные данные и результаты

Случай догружения. Узлы 7, 9, 17 и 19, рассматриваются в качестве возможных для размещения дополнительных масс с максимально возможной их суммой, при условии уменьшения первой собственной частоты не более чем на 15 %. Таким образом, для данного примера соо1=0.85*со1=1.0324. Заданные массы без учета собственного веса в узлах составляют Му[7]=500 единиц, Му[9]=900 единиц, Му[17]=600 единиц и Му[19]=700 единиц. Величины дополнительных масс ограничены (1М1[7]=1*500=500, с!М1[9]=1*900=900, <1М1 [17]=1*600=600 и с1М1 [19]=1 *700=700. Для получения уравнений движения дополнительных масс при собственных колебаниях с уменьшенной частотой 0)1=1.0324 образуем из заданной системы (рис. 5) основную систему метода перемещений.

№ Мур] с1М1 М1апо этапам Yí У„1

1 2

1 200 0 0 0 0.0805 -0.0802

2 200 0 0 0 0.1416 -0.1409

3 200 0 0 0 0.1666 -0.1646

4 200 0 0 0 0.1481 -0.1458

5 200 0 0 0 0.0861 -0.0844

6 200 0 0 0 0.1399 -0.1400

7 700 500 500 500 0.2473 -0.2476

8 200 0 0 0 0.2892 -0.2871

9 1100 900 0 510.06 0.2594 -0.2569

10 200 0 0 0 0.1492 -0.1471

11 200 0 0 0 0.1614 -0.1620

12 200 0 0 0 0.2832 -0.2841

13 200 0 0 0 0.3313 -0.3307

14 200 0 0 0 0.2930 -0.2918

15 200 0 0 0 0.1699 -0.1687

16 200 0 0 0 0.1405 -0.1419

17 800 600 600 600 0.2478 -0.2510

18 200 0 0 0 0.2871 -0.2888

19 900 700 0 635.97 0.2548 -0.2569

20 200 0 0 0 0.1466 -0.1469

21 200 0 0 0 0.0809 -0.0818

22 200 0 0 0 0.1416 -0.1432

23 200 0 0 0 0.1647 -0.1661

24 200 0 0 0 0.1449 -0.1461

25 200 0 0 0 0.0839 -0.0843

Сумма дополнительных масс на первом этапе Мз1=1100, уменьшенная собственная частота о)01=1.0504,на втором этапе Мз1=2246.0324, уменьшенная собственная частота 0)01=1.0324, что соответствует выполнению ограничения (2) на последнем

этапе в виде равенства. Как видно из таблицы 5 ограничения (3) и (4) на первом этапе активные, а на последнем втором этапе пассивные. Ординаты собственной формы колебаний при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине (у1[9])2=(у1[19])2=(-0.2569)2, что соответствует условиям (12).

Рассмотрим случай разгружения на примере этой же пластины (рис. 5). Величины первоначальных масс в узлах 7, 9, 17 и 19 приведены в таблице 6. Первая частота при заданных массах 0)1= 1.2146. Узлы 7, 9, 17 и 19, рассматриваются в качестве возможных для размещения снимаемых масс с минимально возможной их суммой, при условии увеличения первой собственной частоты не более чем на 7 %. Таким образом, для данного примера о)о2=1 -07*со[1]=1.2997. Заданные массы без учета собственного веса в узлах составляют Му[7]=500 единиц, Му[9]=900 единиц, Му[17]=600 единиц и Му[19]=700 единиц. Величины снимаемых масс ограничены с1М2[7]=0.45*500=225, ёМ2 [9]=0.45*900=405, с!М2[17]=0.45*600=270 и

с!М2[ 19]=0.45*700=315. Для получения уравнений движения снимаемых масс при собственных колебаниях с увеличенной частотой соо2=1-2997 образуем из заданной системы основную систему метода перемещений как в случае догружения.

Решение в целом реализуется аналогично предыдущему. Исходные данные и результаты расчета приведены в таблице 6.

Сумма снимаемых масс на первом этапе Мэ2=727.40, увеличенная собственная частота ш02=1.2993,на втором этапе Мз2=729.8696, увеличенная собственная частота о>02= 1.2997, что соответствует выполнению ограничения (6) на последнем этапе в виде равенства.

Как видно из таблицы 6 ограничения (7) и (8) на первом этапе активные, а на последнем втором этапе пассивные. Ординаты собственной формы колебаний при найденных дополнительных массах равны по абсолютной величине (у2[7])2=(у2[ 17])2=(у2[ 19])2 =(-0.2519)2, что соответствует условиям (13).

№ МуМ аш М<12 по этапам У2 У02

1 2

1 200 0 0 0 0.0805 -0.0829

2 200 0 0 0 0.1416 -0.1441

3 200 0 0 0 0.1666 -0.1659

4 200 0 0 0 0.1481 -0.1442

5 200 0 0 0 0.0861 -0.0830

6 200 0 0 0 0.1399 -0.1441

7 700 225 7.47 8.78 0.2473 -0.2519

8 200 0 0 0 0.2892 -0.2883

9 1100 405 405 405 0.2594 -0.2883

10 200 0 0 0 0.1492 -0.1442

11 200 0 0 0 0.1614 -0.1658

12 200 0 0 0 0.2832 -0.2882

13 200 0 0 0 0.3313 -0.3317

14 200 0 0 0 0.2930 -0.2883

15 200 0 0 0 0.1699 -0.1659

16 200 0 0 0 0.1405 -0.1441

17 800 270 107.47 107.32 0.2478 -0.2519

18 200 0 0 0 0.2871 -0.2882

19 900 315 207.47 208.77 0.2548 -0.2519

20 200 0 0 0 0.1466 -0.1441

21 200 0 0 0 0.0809 -0.0829

22 200 0 0 0 0.1416 -0.1441

23 200 0 0 0 0.1647 -0.1658

24 200 0 0 0 0.1449 -0.1441

25 200 0 0 0 0.0839 -0.0829

В заключении приводятся основные выводы по результатам проведенной работы:

1 Выведены аналитические уравнения, выражающие особые свойства форм первых собственных колебаний для случаев оптимального догружения и разгрузки.

2 Обоснованы алгоритмы и программы, позволяющие проводить реализацию полученных свойств при учете ограничений на величину частоты собственных колебаний для случаев догружения и разгрузки.

3 Предложенный метод может быть использован для оценки решений, полученных другими методами.

4 На численных примерах исследована сходимость и эффективность предложенных алгоритмов.

5 На примерах показана возможность применения полученного метода, в частности для пластинок с промежуточными опорами и без них.

Основные положения диссертации опубликованы в статьях:

1 Ляхович Л.С., Круль (Фурсова) H.A. Оптимизация изменений нагрузки при ограничениях на величину частоты собственных колебаний/Л.С.Ляхович, Н.А.Круль (Фурсова)//Вестник Томского Государственного Архитектурно-строительного Университета.-2001,- №1(4).- С.70-81.

2 Ляхович Л.С., Фурсова (Круль) H.A. Оптимизация изменений нагрузки при заданном значении частоты собственных колебаний для случаев реализации в виде равенств ограничений на некоторые величины дополнительных или снимаемых масс/ Л.С.Ляхович, Н.А.Фурсова (Круль) //Вестник Томского Государственного Архитектурно-строительного Университета.-2005.-№1.- С.84-95.

3 Фурсова (Круль) H.A. Оптимизация изменений нагрузки при ограничениях по величине частоты собственных колебаний на примере балок и пластин/ Н.А.Фурсова (Круль) //Томский государственный архитектурно-строительный университет- Томск, 2005.-11С.: ил 2.-Библ. 6 назв.- Рус.- Деп. в ВИНИТИ, 19.08.2005, №1168-В2005.

Изд. Лицензия №021253 от 31.10.97. подписано в пеяахъ22.Л№ Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Тираж 100 экз. Заказ №

Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2 Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ. 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15

Р 'г

РНБ Русский фонд

2006-4 27702

Введение

ГЛАВА 1. Краткое описание и анализ методов оптимизации масс при ограничениях на величину частоты собственных колебаний

1.1. Методы оптимального изменения масс их место и роль в динамике сооружений

1.2. Постановка целей и задач диссертации

1.3. Рассматриваемые системы

ГЛАВА 2. Особые свойства форм собственных колебаний при оптимальном изменении масс

2.1. Постановка задачи при оптимизации величин и мест расположения дополнительных масс

2.2. Постановка задачи при оптимизации величин и мест расположения снимаемых масс

2.3. Особые свойства форм собственных колебаний при оптимальном изменении масс

ГЛАВА 3. Методы оптимального выбора величин и мест расположения дополнительных и снимаемых масс на основе реализации особых свойств форм собственных колебаний

3.1. Уравнения оптимальных величин дополнительных и снимаемых масс на основе метода перемещений

3.2. Метод последовательных приближений в оптимизации величин и мест расположения дополнительных и снимаемых масс на основе реализации особых свойств форм собственных колебаний

ГЛАВА 4. Некоторые возможности метода 55 4.1. Примеры использования метода для оптимального выбора величин и мест расположения дополнительных и снимаемых масс

4.2. Использование особых свойств форм собственных колебаний оптимального решения для оценки результатов, полученных другими методами Заключение Список литературы

В процессе эксплуатации сооружения возникает необходимость догружения или разгрузки сооружения, при этом происходит изменение частотных характеристик. Поэтому важно проводить оба этих процесса таким образом, чтобы собственные частоты находились в заданных пределах, при этом, в случае догружения сумма дополнительных масс должна быть максимальной, а в случае разгружения соответственно минимальной. В настоящее время надежных критериев обеспечивающих решение данной задачи не выявлено. Таким образом, оптимизация процесса нагружения или разгрузки при условии изменения частотных характеристик не теряет своей актуальности.

Очевидно, что одним из путей решения данной проблемы является оптимальное проектирование конструкций (ОПК). Свое развитие теория оптимального проектирования получила в середине прошлого века.

Большой вклад в становление и развитие теории ОПК внесли отечественные ученные Н.В.Баничук, А.И.Виноградов, Л.Н.Воробьев, Ю.Б.Гольдштейн, Б.В.Гринев, В.А.Киселев, В.А.Комаров, И.Б.Лазарев, В.П.Малков, Д.А.Мацюлявичус, Ю.В.Немировский, Е.Л.Николаи, Ю.М.Почтман, И.М.Рабинович, Ю.А.Радциг, А.Р.Ржаницин, А.П.Сейранян, Н.Д.Сергеев, Н.Н.Складнев, А.Ф.Смирнов, В.А.Троицкий, А.П.Филин, А.П.Филиппов, К.М.Хуберян, Н.Г.Ченцов, А.П.Чижас, А.А.Чирас и другие. Среди зарубежных ученых наибольший вклад внесли Я.Арора, З.Васютынский, Б.Карихало, Д.Келлер, М.Леви, З.Мруз, А.Мичелл, Ф.Ниордсон, Н.Олльхофф, В.Прагер, Д.Рожваны, Д.Тейлор, М.Тернер, Э.Хог, Р.Шилд и другие.

В трудах выше перечисленных ученых заложены основы теории ОПК, а также получено решение целого ряда задач, предложено много новых методов и алгоритмов решения задач оптимизации.

В настоящее время остается не до конца изученной проблема оптимального догружения или разгрузки. Выявленные особые свойства форм собственных колебаний при ограничениях на величину частоты собственных колебаний положены в основу алгоритма, который позволяет решать поставленную задачу, при этом гарантирует оптимальность полученного решения. Кроме того, полученное решение служит для разработки методов определения мест и величин дополнительных или снимаемых масс с учетом ограничений по частоте собственных колебаний.

В диссертации рассматриваются особые свойства форм собственных колебаний при ограничениях на величину частоты собственных колебаний и разработанный на их основе алгоритм решения поставленной задачи.

Диссертация выполнена на кафедре строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

Основные результаты исследований, выполненных в диссертации заключаются в следующем:

1 Выведены аналитические уравнения, выражающие особые свойства форм собственных колебаний для случаев догружения и разгрузки.

2 Обоснованы алгоритмы и программы, позволяющие проводить реализацию полученных свойств при учете ограничений на величину частоты собственных колебаний для случаев догружения и разгрузки.

3 Предложенный метод может быть использован для оценки решений, полученных другими методами.

4 На численных примерах исследована сходимость и эффективность предложенных алгоритмов.

5 На примерах показана возможность применения полученного метода, в частности для пластинок с промежуточными опорами и без них.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Акуленко Л.Д. Конструктивное управление движением колебательных систем с дискретными и распределенными параметрами. -Прикладная математика и механика, М.,1989г, т.53, вып. 4.

2. Акуленко Л.Д. Параметрическое управление колебаниями и вращениями физического маятника (качели). Прикладная математика и механика, М.,1993, т.57, вып.2.

3. Александров A.B. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек. Тр./МИИТ, 1971, вып.364, с.3-9.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. — 344с.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука. 1968.-560с.

6. Баландин Д.В. Об оптимальном гашении колебаний упругих объектов. Прикладная математика и механика, М., 1995, т.59,вып.З.

7. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.-256с.

8. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Советское радио, 1975. - 216с.

9. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний.— М.: Высшая школа, 1972. — 416с.

10. Болотин В.В., Чирков В.П. Всесоюзная конференция по проблемам оптимизации и надежности в строительной механике. Строительная механика и расчет сооружений, 1984, №2, с.62-63.

11. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. М.: Стройиздат, 1972. - 191с.

12. Бондарев П.А. Колебания пластинки с сосредоточенными массами, лежащей на упругом нелинейном основании.- Укр. Мат. Жур.-, 1974, 26,№1,с.61-66.

13. Братусь A.C., Сейранян А.П. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации собственных значений. Прикладная математика и механика, 1984, вып.48, № 4, с.657-667.

14. Вакуленко Л.Д., Мазалов В.Н. Оптимальное проектирование конструкции. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1948-1974 гг. / Под ред. Ю.В.Немировского. - Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1975, 4.1, П. - 472с.

15. Виноградов А.И. Проблема оптимального проектирования в строительной механике. Харьков, Вища школа, 1973. - 168с.

16. Виноградов А.И. Задача оптимального проектирования и ее особенности для стержневых систем. Строительная механика и расчет сооружений, 1974, №4, с.55-60.

17. Виноградов А.И., Дорошенко О.П., Храповицкий И.С. Некоторые направления в теории оптимальных стержневых систем. — Тр. ХИИЖТ. Харьков, 1967, вып. 102, с.5-52.

18. Геммерлинг A.B. О методах оптимизации конструкций. -Строительная механика и расчет сооружений, 1971, №2, с.20-22.

19. Геммерлинг A.B. Оптимальное проектирование конструкций. -Строительная механика и расчет сооружений, 1974, №4, с. 10-13.

20. Герасимов E.H. Системный анализ и задача оптимального проектирования конструкций. Строительная механика и расчет сооружений, 1983, №4, с.7-12.

21. Герасимов E.H. Многокритериальный подход к оптимизации конструкций. Строительная механика и расчет сооружений, 1976, №2, с.20-24.

22. Гершгорин С.А. Колебания пластинок, загруженных сосредоточенными массами. //ПММ. 1933. - T.I, вып.1.- с.25-37.

23. Гершгорин С.А. О влиянии наложения дополнительных масс на колебания материальной системы //ПММ. 1933. - T.I, вып.1.-с. 13-24.

24. Гитерман Д.М., Нудельман Я.Я. Влияние упругой связи на расширение зоны, свободной от собственных частот// Динамика и прочность машин. Харьков, Изд-во Харьковского ун-та, 1978.-Вып.28. - с.64-69.

25. Гринев В.Б. Оптимальное проектирование конструкций, имеющих заданные собственные частоты. — Прикладная механика, 1971, вып. 7, №10, с. 19-25.

26. Гринев В.Б. Об одной задаче оптимизации стержней. В. сб./Всес. конф. по оптим. упр. в мех. системах, 1974 г, Тезисы докл. М., 1974, с.27.

27. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация стержней по спектру собственных значений. Киев: Наукова думка, 1979. - 212 с.

28. Гринев В.Б., Филиппов А.П. О границах основной частоты стержня, несущего сосредоточенную массу. Прикладная механика, 1973, вып. 9, №2, с. 85-90.

29. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Некоторые задачи оптимизации стержней при продольных колебаниях. Динамика и прочность машин. Респ. межвед. темат. научн. - техн. сб., 1974, вып. 20, с.47-53.

30. Громицкий B.C., Калинин Н.И. Численное сравнение эффективности критериев оптимальности в задачах строительной механики. Механика твердого тела, 1978, №4, с. 149-155.

31. Гулд С.Х. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970.- 328с.

32. Заргами М.М. Оптимальная частота колебаний конструкций. — Ракетная техника и космонавтика, 1968, №4, с.232-234.

33. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: Иностранная литература, 1963. 176с.

34. Иванова В.Н. Об одном варианте частотно-весовой оптимизации стержней. Харьков: Харьк. политех, ин-т, 1982. - 22с. - Рук. деп. в ВИНИТИ 1.03.82 №875-82.

35. Ивович В.А., Коренев Б.Г., Дашевский М.А. и др. Методы борьбы с вибрациями (обзор). -М.: ЦИНИС, 1978. 56с.

36. Иеги Э.М. Общая задача синтеза оптимальной конструкции. Тр./Таллин, политехи, ин-та, 1976, №257, с.87-98.

37. Калинина Н.Г. Обратная задача динамики для стержневых систем, несущих сосредоточенные массы. Труды Ташкентского института железнодорожного транспорта, 1972 , вып. 85, с. 64-74.

38. Калинина Н.Г. Обратная задача динамики для стержневых систем, несущих распределенные массы. Труды Ташкентского института железнодорожного транспорта, 1972, вып. 85, с.53-63.

39. Калинина Н.Г. Приближенный метод решения обратной задачи динамики упругих систем. Труды Ташкентского института железнодорожного транспорта, 1973, вып. с.99, 97-103.

40. Калинин И.Н., Никитин С.С. об одном подходе к оптимальному проектированию конструкций.- Прикладная механика, 1984, вып.20, №3, с.75-81.

41. Килимов В.И., Семенов А.К. О влиянии массы груза на собственные частоты колебаний тонкостенного стержня/ ЛИСИ.- Л., 1985, II е., Деп. в ВИНИТИ 5.10.85, №7090-в.

42. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. — М.: Наука, 1968. -503с.

43. Коренев Б.Г., Рабинович И.М. Справочник по динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1975. - 511с.

44. Лазарев И.Б. Проектирование оптимальных конструкций методом отображений. В сб.: Механика деформируемого тела и расчет сооружений. Тр./ НИИЖТ. - Новосибирск, 1975, вып. 167, с.48-55.

45. Лазарев И.Б. Математические методы оптимального проектирования конструкций. В сб.: Механика деформируемого тела и расчет сооружений. Новосибирск: НИИЖТ, 1974. - 191с.

46. Лихтарников Я.М. вариантное проектирование и оптимизация стальных конструкций. — М.: Стройиздат, 1979. 320с.

47. Ляхович Л.С., Плахотин А.Н. Критерий оптимальности связей в задачах устойчивости и собственных колебаний упругих систем. -Изв. Вузов. Строительство и архитектура, М.,1986, №7, с.26-30.

48. Ляхович Л.С., Тё А., Яффе Г.В. Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. Томск: Изд-во Томск. Унта, 1983, (с.136-148.)

49. Ляхович Л.С., Фишер В.Ф. О рациональной расстановке связей ■ и распределении материала в задаче о собственных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы. В кн.: Исследования по строительной механике. - Томск, 1978, с.31-34.

50. Ляхович Л.С. Разделение критических сил и собственных частот упругих систем Томск: Изд-во ТГАСУ. - 2004- 140с.

51. Малеткин О.Ю. Оптимизация положения узловых точек форм колебаний. Труды НГАСУ, Н.,2000г., тЗ,№ 1(8),стр.21.

52. Малиновский А.П. К вопросу регулирования основной частоты поперечных колебаний конструкции. Исследования по строительной механике и строительным конструкциям - Томск: Изд-во Том-го унив-та.-1987, с.128-131.

53. Малиновский А.П. Численный метод расчета стержней на прочность, устойчивость и колебания. Исследования по расчету сооружений - Томск: Изд-во Том-го унив-та.-1978-с.85-96.

54. Малинин А.А. Колебания оболочек вращения с присоединенными массами и внутренними упругими связями. Прикл. механ., 1975, 11, №2, с.29-33.

55. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. -М.: Наука, 1981.-288с.

56. Николаи Е.П. Труды по механике. М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1955. — 584с.

57. Ниордсон Ф., Педерсен П. Обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций. Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. №2 (138), 1973, с.136-157.

58. Ниточкин Ф.Р., Гитерман Д.М. Влияние дополнительных масс на расширение резонансно-безопасной зоны// Реферат, информ. о за-конч. Научно исслед. работах в ВУЗах УССР. Строительная механика и расчет сооружений. - 1978. - Вып. 10.- с.29-30.

59. Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. М.- Л.: ГИТТЛ, 1949. — 175с.

60. Нудельман Я.JI. Об одном способе решения уравнения частот и критических сил, составленных методом сил// Сб. научн. трудов/ Одесского гидротехнического ин-та.-1954.- Вып.1У.-С. 155-161.

61. Ольхофф Н. Оптимизация колеблющихся балок по отношению к высшим собственным частотам. Оптимальное проектирование конструкций. Сборник статей, М., 1981г., с.74.

62. Ольхофф Н. Максимизация высших собственных частот балок при геометрических ограничениях. Оптимальное проектирование конструкций. Сборник статей, М.,1981г., c.l 11.

63. Половинкин А.И., Грудачев В.Г., Меркурьев В.В. и др. Алгоритмы оптимизации проектных решений. — М.: Энергия, 1976. — 264с.

64. Почтман Ю.М. Оптимальное проектирование методами математического программирования некоторых стержневых и континуальных систем с учетом потери устойчивости. — В сб.: Гидроаэромеханика и теория упругости, 1975, вып. 19, сЛ 07-114.

65. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977. - 112с.

66. Прагер В., Тейлор Д. Проблемы оптимального проектирования конструкций. — Тр./ Американского общества инженеров механиков, русский перевод, 1968, №3, с. 102-106.

67. Рабинович И.М. Курс строительной механики. — М.: Гос. изд-во лит. по строит, и архит., 1954, т.2, 544с.

68. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Оптимизация конструкций при динамических нагрузках. — В кн.: проблемы оптимизации в механике твердого деформируемого тела. Вильнюс, 1974, с.34-36.

69. Рейтман М.И. Постановка задачи оптимального проектирования строительных конструкций. Строительная механика и расчет сооружений, 1978, №4, с.6-14.

70. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. - 266с.

71. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. -М.: Стройиздат, 1980.-316с.

72. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балки с ограничениями на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости. Известия АН СССР, МТТ, 1976, №1, с. 147-152.

73. Сейранян А.П. Задача оптимизации конструкций при наличии нескольких ограничений. Известия АН СССР, МТТ, 1976, №5, с.190.

74. Сергеев Н.Д. К вопросу о контроле и настройке алгоритмов оптимального проектирования конструкций. Расчетно-теоретические исследования и применение ЭВМ в строительстве. Сб. тр./ JT. пром-стройпроект, 1975, с.32-51.

75. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат., 1958.-570с.

76. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: Учебник для ВУЗов.- М.: Стройиздат., 1984.-416с.

77. Соболева О.Н. Колебания круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами жесткости с учетом сосредоточенных масс. Тр. Моск. института железнодорожного транспорта, 1975, вып. 476, с.112-117.

78. Степанов A.B. Гашение свободных колебаний в подвижных упругих системах. Прикладная математика и механика, М.,1995, т. 5 9,вып. 5.

79. Степанов A.B. О вынужденных колебаниях линейных упругих систем с затуханием. Прикладная математика и механика, М.,1991, т.55, вып.2.

80. Стоян Ю.Г., Макаровский E.J1. Задача динамической оптимизации размещения распределенных грузов на однородных тонких пластинах. Доклады АН УССР, 1981, №11, с.65-68.

81. Стретт Дж. (Лорд Рэлей) Теория звука.- М.: Гостехиздат, 1944.-Т.1.-499с.

82. Тарасов В.Л. Расчет оптимальных балок из условий, накладываемых на собственные частоты. — Матер. I научн. конф. Молодых ученых мех. мат. фак-та ГТУ им. Н.И.Лобачевского, Горький. Деп. №3927-76.

83. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем.- Л.: Машиностроение. 1976.-248с.

84. Уразбахтин Ф.А., Герасимов E.H. Проектирование многопролетных балок при свободных колебаниях в условиях нескольких критериев эффективности. Ижевск, 1981, - с. 116-122. — Рукопись деп. в ВИНИТИ 1981, №4982-81.

85. Уразбахтин Ф.А., Герасимов E.H. Оптимальное проектирование неразрезных балок при динамических ограничениях. Ижевск: Ижевский мех. ин-т, 1980, - 14с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 13.06.1980, №2359-80.

86. Филин А.П., Гуревич А.И. Применение вариационного исчисления к отысканию рациональной формы конструкции. -Тр./ЛИИЖТ, 1962, вып. 190, с.161-187.

87. Фишер В.Ф. Оптимальное распределение материала и рациональная расстановка связей в задачах устойчивости и колебаний стержневых систем: Дисс. канд. тех. Наук.- Томск, 1983.-135с.

88. Хедли Д. Нелинейное и динамическое программирование. — М.: Мир, 1967.-536с.

89. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1967. -536с.

90. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное программирование. -М.: Мир, 1983.-480с.

91. Хомченко А.Н., Христенко A.C. К задаче определения частот и форм колебаний оболочек, несущих сосредоточенные массы. Труды Николаевского кораблестроительного института, 1972, вып. с.56, 32-36.

92. Христенко A.C. Колебания ортотропных пологих оболочек с сосредоточенными массами. Сб./ IX Всес. конф. по теории оболочек и пластин, 1973. Аннотации докладов JL, 1973, с.73.

93. Цигриашвили Э.Н. Некоторые задачи оптимизации строительных конструкций. Тр./ВЦ АН ГССР, 1983, вып.23, №2, с.61-73.

94. Цывильский B.JI. Определение частот свободных колебаний весомой балки с сосредоточенными массами. Сборник трудов всесоюзного заочного политехнического института, 1972, вып. с.73, 106-109.

95. Чжу С., Прагер В. Последние достижения в оптимальном проектировании конструкций. Сб. переводов/ Б.И., 1969, №6, Механика, с. 129-142.

96. Чирас A.A. Общая постановка задач оптимизации в строительной механике. В сб.: Исследования по теории сооружений. - М., 1975, вып.21,с.18-25.

97. Шалабанов А.К. Формы свободных колебаний упругих прямоугольных пластин, несущих сосредоточенные массы. Сб. аспирантских работ Казанского университета./Теория пластин и оболочек, 1973, вып. 3, 66-70.

98. Шилд Р. Методы оптимального проектирования конструкций: Сб. переводов иностранных статей. -М.: Б.И., 1962, №2, с. 148-159.

99. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Курс высшей математики и математической физики -М., 1965.

100. Эпельцвейг Г.Я. Вопросы синтеза сложных конструктивных схем. Строительная механика и расчет сооружений, 1980, №1, с. 21-25.

101. Arora I.S., Haug E.I., Rajan S.D. Efficient treatment of constraints in large- scale structural optimization. Eng.Optim., 1981, vol.5, №2, p.105-120.

102. Akesson В., Olhoff N. Minimum stiffness of optimally located supports for maximum value of beam eigenfrequences// J.Sound and Vibration.-1988.-№3.-V.120-p.457-463.

103. Bendse Martin P., Olhoff N. A method of design against vibration resonance of beam and shafts// Optimal control applications and methods. 1985.-V.6-№3.-p. 191-200.

104. Choi K.K., Haug E.I. Shape design sensitivity analysis of elastic structures. -1. Struct. Mech., 1983, vol.11, №2, p. 231-269.

105. Darabont A.V. Vibratiile transversal ale barelor cu mase aditionale concentrate. An. Univ. Bucuresti. Mat.-mec., 1972, 20, №2, c.63-90 (рум; рез. рус., англ.)

106. Fraeijs de Veubeke B. On frequency shifting by elementary modification of inertia and stiffness. Contrib. Theory Aircraft Struct., Delft, 1972, c. 413-421 (англ.).

107. Grandhi Ramana V. Structural and control optimization of space structures. Оптимизация структурных параметров и характеристик управления пространственных конструкций. Comput. and Struct. -1989.-31, №2.-C.l39-150.-Англ. (РЖ16В-89, 6Д112)

108. Jacquot R.J., Gibson J.D. The effects of diskrete masses and elastics supports on continuous beam natural frequencies. J. Sound and Vibr., 1972, c.23, c.237-244 (англ.)

109. Narita Yoshihito. Optimal vibration support of continuous systems. 3rd report. Maximization of difference between adjacent frequencies// Jap. Soc. Mech.Eng.C.-1989.-V.5-№513 .-p. 1168-1171.

110. Quozzo Giulliano. Sul problema della trave vibrante di minimo peso. О задаче колебаний балки минимального веса. -Aerotechn. Mis-sili е spaz., 1974, 53, №3, 192-201 (итал.; рез. англ.)

111. Picuga Alija. Minimum-cost synthesis of multipurpose beams// 16Int.Congr.: Theor. and Appl. Mech.- Lyngby, 1984.-p. 1-373.

112. Snowdon J.C. Natural frequencies of beam and plates. Mach. Des., 1972, 44, №7, c. 126-129 (англ.)