автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определение рациональных структур гармонических стержней и пластин методами адаптивной эволюции

На правах рукописи

Иванов Михаил Юрьевич

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР ГАРМОНИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН МЕТОДАМИ АДАПТИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003473436

Орёл-2009

003473436

Работа выполнена на кафедре строительной механики Ростовского государственного строительного университета

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор, засл. деятель науки РФ Васильков Генрих Васильевич

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор Серпик Игорь Нафтольевич

- кандидат технических наук, доцент Малинкин Николай Сергеевич

Ведущая организация:

Южно-Российский государственный технический университет (ЮрГТУ)

Защита состоится 26 июня 2009 года в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.182.05 при Орловском государственном техническом университете по адресу:

302030, г. Орел, ул. Московская, д. 77, аудитория 225.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Орловского государственного технического университета.

Автореферат разослан 25 мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц. . 1 Никулин А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. При проектировании строительных конструкций перед инженером ставится задача соблюдения таких требований, как прочность, жесткость, устойчивость, экономичность, технологичность, продолжительность сроков проектирования и строительства и др. Все эти требования имеют весьма противоречивый характер, поэтому оптимизация проекта является главной целью каждого инженера, который стремится создать отдельный элемент, конструкцию или сооружение, удовлетворяющие определенным критериям. Проблемы оптимального проектирования давно привлекают большое внимание, им посвящено значительное число работ, опубликованных в последние десятилетия.

Проблемы оптимального проектирования имеют как практическое, так и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач.

Функционирование системы, взаимодействующей с внешней средой, предполагает, что все ее элементы выполняют определенные, согласованные друг с другом функции. Функциональное назначение элементов системы предопределяет и их различие, т.е. система при анализе расчленяется на части не только по материальному признаку, но и по функциональному. Именно поэтому крайне важна приоритетность требований к элементам и структуре системы.

Требования прочности, жесткости и устойчивости при проектировании сооружений являются приоритетными, но как организовать наилучшим образом структуру системы, т.е. как изменять геометрию и физические параметры, получая при этом наивысшую сопротивляемость. Каков критерий отбора проектов рациональных несущих конструкций? Может ли внешне нелепая конструкция быть рациональной? Гармония, симметрия, ритм, пропорциональность, соразмерность, слаженность - такие термины употребляются для характеристики систем, которые наилучшим образом сопротивляются внешним воздействиям. Необходимые условия возникновения таких систем развиваются в процессе самоорганизации.

На основании вышеизложенного можно утверждать, что разработка общих принципов и методов определения рациональных, гармоничных систем, обладающих наивысшей сопротивляемостью внешним воздействиям, является актуальной задачей.

Цель исследования состоит в совершенствовании методов проектирования рациональных структур стержней и изгибаемых тонких пластин на основе теории адаптивной эволюции механических систем.

Задачи работы:

- разработка варианта адаптационного метода определения энергетически равнопрочных систем, позволяющего решать конструктивно нелинейные задачи;

разработка алгоритма изменения нормируемой плотности энергии деформаций э„ в процессе адаптационного расчета; исследование сходимости итерационного процесса адаптивной эволюции;

разработка алгоритма адаптационного шагового метода определения рациональной структуры стержней и изгибаемых тонких пластин при варьировании локальных геометрических параметров структуры системы;

разработка алгоритма определения гармонических структур стержней и тонких пластин при варьировании глобальных и локальных геометрических параметров структуры; исследование влияния изменений начальной формы на финальные структуры изгибаемых тонких пластин; разработка алгоритмов и программ, реализующих теоретический материал диссертации.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработана методика определения рациональных структур стержней и изгибаемых тонких пластин при варьировании геометрических параметров структуры системы.

2. Разработан вариант адаптационного метода при варьировании глобальных и локальных геометрических параметров для решения задач по определению гармонических изоэнергетических систем, геометрические и физические (отношения двух смежных частот собственный колебаний) параметры итоговых структур которых содержат числа спектра золотой пропорции.

3. Разработан алгоритм изменения нормируемой плотности энергии деформаций э„ в процессе адаптационного расчета, позволяющий ограничивать максимальные значения компонент НДС в итоговых структурах эволюционирующих систем.

4. При определении изоэнергетических структур методами ТАЭМС обнаружены основные эффекты, присущие процессу эволюции структуры самоорганизующейся системы.

5. Для реализации теоретических положений диссертационной работы создан программный конечно-элементный комплекс «Orion», разработанный на основе концепций объектно-ориентированного программирования в среде Borland Delphi 7.

Практическая ценность состоит в том, что разработанные в данной диссертационной работе методики решения адаптационных задач позволяют получать рациональные, гармонические структуры несущих конструкций (стержней и плит) при решении прикладных задач. Теоретический материал использован при создании программного комплекса «Orion», который применяется в учебном процессе, при выполнении дипломных и научно-исследовательских работ студентами РГСУ и может быть использован для расчета и проектирования строительных конструкций.

На защиту выносится новый подход к решению задач оптимального проектирования стержней и изгибаемых тонких пластин при варьировании геометрических параметров структуры системы. Также на защиту выносятся разработанные адаптационные алгоритмы и программа.

Достоверность научных положений и полученных численных результатов подтверждается применением фундаментальных принципов и методов строительной механики и математики, решением контрольных примеров.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на ежегодных международных научно-практических конференциях Ростовского государственного строительного университета (2004 -2008 гг.); на V Всероссийском семинаре "Проблемы оптимального проектирования сооружений" в Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете (2005 г.); на XV и XVI Российско-Словацко-Польских семинарах «Теоретические основы строительства» (2006 г, 2007 г.); на международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» в Московском государственном университете путей сообщения (2006 г.); на симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» в Нижегородской государственной архитектурно-строительной академии (2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 печатных работах [1-13], в том числе в 2 статьях в журнале, входящем в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Диссертационная работа выполнялась по программе научно-исследовательской работы Южно-Российского отделения Российской Академии Архитектуры и Строительных Наук: договора №3/06, №4/07 «Структурная гармония элементов несущих систем строительных конструкций», договор №4/08 «Теория эволюции жизненного цикла несущих конструкций строительных конструкций».

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и четырех приложений. Диссертация изложена на 220 страницах, включая 178 рисунков и 51 таблицу. Нумерация формул, таблиц и рисунков ведется отдельно по каждой главе и приложению. Нумерация литературных источников сквозная по всей работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается общая характеристика диссертации. Приведен краткий обзор и анализ работ по рассматриваемой тематике, включающий историю развития методов оптимизации. Рассмотрены структура оптимизационных задач и математические методы их решения. Формулируются основные цели и задачи исследования, описывается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.

В первой главе рассмотрены основные понятия синергетики - междисциплинарного направления научных исследований, задачей которого является изучение природных явлений и процессов на основе принципов самоорганизации систем. Моделирование различных объектов с использованием модели самоорганизующихся, саморазвивающихся систем показало, что синергетические понятия применимы к любым развивающимся системам. На основании этого было предложено рассматривать отдельные строительные конструкции либо сооружение в целом как самоорганизующиеся системы. Наделение строительных конструкций свойствами «живого организма» позволило сформулировать основные гипотезы теории адаптивной эволюции механических систем (ТАЭМС), разработанной д.т.н., проф. Г.В. Васильковым.

Для построения основного уравнения теории адаптивной эволюции механических систем принимаются следующие гипотезы:

1. В процессе эволюции самоорганизующейся системы возникают структурообразующие фундаментальные величины - интервальные константы системы.

2. Механическая система является открытой: в каждой точке среды существует сток и источник вещества — «строительного материала». Система имеет внутри себя информационную сеть каналов и наделяется свойством метаболизма, характерным для живых организмов.

3. Эволюция системы развивается во времени. В рассматриваемой модели роль четвертой временеподобной координаты принимает на себя плотность потенциальной энергии, которая является функцией координат трехмерного континуума.

4. Структура рассматриваемой системы характеризуется постоянными геометрическими параметрами (например, генеральными размерами) и изменчивыми, которые определяются в процессе адаптивной эволюции.

5. Для индивидуального объема системы разность потенциальной энергии текущего состояния сШ = эс1У и идеального изоэнергетического сШ' = энс1У' стремится к нулю:

О,

где э, (IV - текущие плотность энергии и индивидуальный объем; э„, с1У' - те же итоговые величины изоэнергетического состояния системы. Строгое равенство,

эы(1У' = эс!У, (1)

отражает закон сохранения энергии для самоорганизующейся открытой механической системы: при флуктуациях плотности энергии изменения индивидуального объема в открытой системе происходят так, что потенциальная энергия равна нормируемой. Если величина объема системы в состоянии изоэнергетичности неизвестна, то (1) позволяет ее определять:

= (2)

Для учета эффектов запаздывания или опережения реакции элементов на актуальные требования системы вводится параметр у.

с/К' = тгс1У, г = э~'э. (3)

Изменениям скорости обменного процесса от нуля до величины, при которой отсутствует опережение реакции элементов, соответствует у е [0,1].

6. На длительных этапах эволюционного времени структура системы остается неизменной, т.е. система в эти периоды находится в стационарном мире с равномерно текущим временем. Мевду стационарными этапами жизнедеятельности системы происходят скачкообразные изменения структуры.

7. Если система совершает свободные колебания, то для индивидуального объема определяются средние плотности потенциальной и кинетической энергий по пространству элемента и по представительному отрезку физического времени:

Яэ^у,{эк) = ^- Дэ¿МУ,

'г1 э (УГХТ,) * Г1 3 (СгХГ,)

где Уг - объем г-го элемента системы, Тэ - отрезок равномерно текущего времени, на котором определяются плотности э„ и эк. Качество потенциальной и кинетической энергий весьма различно, поэтому вводится новая константа самоорганизующейся системы д которая изменяет вклады данных видов энергий в полную. Плотность модифицированной средней энергии вычисляется в виде:

Закон сохранения формулируется следующим образом: изменение индивидуального объема системы происходит так, что модифицированная средняя энергия равна нормируемой:

Приводятся уравнения морфодинамики в общем виде, а также для частных видов напряженного состояния. При формулировке уравнений эволюционного движения обнаружено, что при линеаризации в пределах части общего объема они превращаются в уравнения равновесия классической теории упругости. Данное обстоятельство позволяет применять хорошо изученные прямые методы вариационного исчисления, использующие сплайн-апроксимацию искомых функций, т.е. метод конечных элементов.

Принимается следующий способ линеаризации нелинейной начально-краевой задачи морфодинамики. Начальная область, занимаемая деформируемым телом, при заданных граничных и начальных условиях разбивается на малые фрагменты - конечные элементы. На каждом эволюционном этапе решается статическая или динамическая задача МКЭ. На границах этапов в соответствии с законами сохранения самоорганизации вычисляются новые геометрические характеристики элементов системы. При изменении внешних геометрических параметров системы (отношений глобальных размеров, координат опорных связей) необходимо решать задачи управления.

Перемещения, скорости, ускорения при решении динамической задачи МКЭ определяются с помощью рекуррентных соотношений схем прямого интегрирования уравнений движения (Никеля, Ньюмарка, Вильсона и т.п.). В расчетах применялась следующая схема:

(э) = //(эл) + (1-//){э,),//б[0, 1].

(4)

г

«м^+р-'+р",

ч

А/

Для задач механики структурообразующей константой является нормируемая плотность энергии э„, а частными параметрами гомеостазиса выступают нормируемые величины компонент НДС. Для множества нормируемых величин вводится обозначение ан = {[сгр], [о"с], [т], ..., [ю],...} и строится математическая модель естественного отбора интервальной постоянной э„. При некотором фиксированном значении э„ система эволюционирует, накапливается информация о компонентах НДС, и если максимальные по абсолютной величине компоненты НДС превышают нормируемые, то такая система отбраковывается, а величина э„ должна изменить свое значение. Дискретное отображение становления интервальной

константы э„ имеет вид: э"+1 =аи(ая)''э", э"+| = Ыэ"+1 {а",ан).

Алгоритм определения итоговых структур при использовании ТАЭМС представляется в виде дискретного отображения (5). В дальнейшем последовательность операций (5) называется «процессом эволюции», либо «процессом адаптации» механических систем.

(

рт,л _

4Мт'"

м2

( 4М"'" ^ I 4 , ,

-К"1'" | \ат' +-__мт'"а'"' +Рт' +Рт'" •

А?2 ) А(

■С" = 0,5(чГ)ГКЛГ/Кг; эГ = оХчГУКчГ'К ; (5)

(эа) = М(э:) + (1-М)(э:), Мф,\]; кг1=г:к,т=(эт)(э:г,Уф, 1); эГ' =(а-а-н1Уэ:;уф, 1); эГ* = МэГ'(а",а,");

а

Показано, что методы ТАЭМС позволяют определять энергетически равнопрочные системы, которые можно называть оптимальными или рациональными, что делает возможным качественный скачок по отношению к вариантному проектированию.

Решение тестовых примеров показывает возможности теории и область ее практического применения.

Во второй главе рассмотрены методы определения рациональных структур изгибаемых стержней при динамических воздействиях.

Решены серии задач по определению глобальных геометрических параметров балок постоянного объема из условий минимума потенциаль-

ной энергии и(аст) = т£и(аст) и максимизации частоты основного тона

а

а>1 (аш ) = эир ю, (ат). Варьирование указанных параметров позволяет по-

а

лучать системы, обладающие максимальной жесткостью (при а=аст), максимальной частотой основного тона (при а=аа). Решение задач производилось при различных вариантах нагружения и задания начальных условий, которые в дальнейшем использованы при решении более сложных задач.

Рассмотрена эволюция структуры при варьировании локальных геометрических параметров на примере полого стержня, у которого внутренний диаметр постоянный, заранее назначенный, а внешний определяется в процессе адаптивной эволюции при стремлении системы конечных элементов к изоэнергетичности (рис. 1). Исходная информация: /=12 м, ¿=0,2 м, £=11,0 ГПа, 5,8 МПа, стержень разбивается на 50 КЭ. На систему действует кратковременный импульс интенсивностью /?=0,5 кН/м, затем система совершает свободные колебания на временном отрезке А 7=107;, где Г/ - период основного тона системы с начальной формой. При варьировании параметра це(0, 1] в выражении для плотности модифицированной полной энергии получаются разные итоговые структуры (рис. 2).

ц=0,95 ц=0,9 (1=0,7

тт¥

Рисунок 1

Рисунок 2

Для каждой полученной структуры определяется спектр частот собственных колебаний, кроме того, вычисляются спектры частот для цилиндрических стержней с кольцевым сечением, объем которых равен объему итоговой структуры. Анализ результатов показал, что при ц-Я жесткость итоговой структуры возрастает, начало спектра частот сдвигается в область больших значений; на числовой оси спектра имеется неподвижная точка — справа от этой точки старшие частоты уменьшаются; отрезок, лежащий на числовой оси между ©„,-„ и сотса сжимается, интервалы между

смежными частотами уменьшаются. При малых ц-»0 гибкость системы увеличивается, для некоторого значения це(0, 1] все частоты спектра испытывают смещение влево на числовой оси, уменьшаются («красное» смещение), а интервалы между смежными частотами увеличиваются. Механический эффект регулирования спектра частот в процессе самоорганизации можно квалифицировать как параметрический эффект Доплера, возникающий в нестационарных средах даже для неподвижного излучателя и приемника. В рассматриваемом случае форма стержня в процессе адаптивной эволюции изменяется, а в целом весь стержень неподвижен.

Верная математическая модель эволюционного процесса развития системы в итоговых структурах должна содержать фундаментальные математические константы — числа обобщенной золотой пропорции. При вычислениях по (5) при различных значениях а и // можно получать итоговые структуры, близкие к изоэнергетичным. Обнаружено, что при некоторых значениях аа р, когда удовлетворяется условие минимума объема V = итоговая структура обладает следующими свойствами:

геометрические параметры а и отношения смежных частот собственных колебаний системы содержат числа спектра золотой пропорции.

Для балки, изображенной на рис. 3, определялось рациональное положение опор. Сечение стержня прямоугольное, коробчатое, толщина стенок постоянна. В процессе самоорганизации определяется высота сечения, параметрами управления являются безразмерные коэффициенты а и ¿и. Механические характеристики материала: £=8,5 ГПа; 7?=3,4 МПа. Анализ результатов решения показал, что рациональная форма продольного сечения балки имеет вид, изображенный на рис. 3. На рисунке показаны первая форма колебаний (тонкая линия на расчетной схеме); разрез в плоскости колебаний итоговой структуры балки (вертикальный масштаб для наглядности искажен). В диапазоне изменения агб[0,15; 0,25] и /¿е[0,75; 0,9] функция У(а, /л) имеет четыре минимума (четыре «музыкальных» впадины). В точках минимумов геометрические отношения а и физические отношения двух смежных частот собственных колебаний содержат числа спектра золотой пропорции. Локальные минимумы объема расположены в точках, для которых отношение длины консоли к пролету равно 1-<рк, к= 1, 2,..., т.е.

а/(\~2а) = \~(рк =>а = (\-<рк)/{Ъ-2<рк) .

Рисунок 3

В таблице 1 приведены десять первых частот и интервалов для итоговой структуры со следующими параметрами: 1 -^>2=0,382; а=0,2167; //=0,81. Представлены энергетический (рис. 4а, б) и объемный (рис. 4в, г) рельефы в пространстве глобальных координат а, /л для изо-энергетических балок. Первые четыре минимума ярко выражены, последующие минимумы часторасположенные неглубокие впадины на склоне рельефа У=У(а, /л).

Таблица 1

№ (О ап+1/еап Близкие гармония. интервалы % откл. Близкие интервалы музыкальных строев

1 62,03 1,3204 1/^5=1,32471 -0,33 пифагор. чистая кварта, 1,(3)

2 81,91 1,6185 1/^=1,61803 0,03 13-й тон натур, звукоряда, 1,625

3 132,57 2,4868 2/^=2,4641 0,92 пифагор. умен, кварта (через октаву), 1,24859

4 329,68 1,2373 2^1,23607 0,10 пифагор. умен, кварта, 1,24859

5 407,92 1,2122 1/(г^=1,21315 -0,08 пифагор. увел, секунда, 1,20135

6 494,46 1,7330 2(3,^1,73236 0,04 7-й тон натур, звукоряда, 1,75

7 856,88 1,3379 1/05=1,32471 0,99 пифагор. чистая кварта, 1,(3)

8 1146,41 1,0798 1/^35=1,07968 0,01 большая лимма, 1,08

9 1237,9 1,2798 1/^6=1,2852 -0,43 пифагор. большая терция, 1,26563

10 1584,21 1,3930 1/^4=1,38028 0,92 11-й тон натур, звукоряда, 1,375

Рисунок 4

Обобщая результаты анализа, хочется отметить, что тончайший механический эффект самоорганизации - упорядоченное распределение интервалов смежных частот и отношений геометрических размеров системы по числам спектра золотой пропорции представляет собой новый научный результат и достигнут он довольно простыми средствами - метод Ритца-Куранта (МКЭ), схемы прямого интегрирования уравнений движения,

метод покоординатного спуска, дискретное отображение ТАЭМС. Центральное место в этом исследовании занимают законы сохранения самоорганизации, саморазвития.

В третьей главе представлены результаты решения задач по определению рациональных структур изгибаемых пластин при статических и динамических воздействиях.

Определялось рациональное соотношение сторон прямоугольной плиты перекрытия, шарнирно опертой по контуру. Для возможности сравнения вариантов предполагается, что площадь плиты постоянна А ==/:а2=сош1:. При фиксированном значении к задача определения энергетически равнопрочной плиты решалась по алгоритму (5). Исходные данные для расчета: А=36 м2, статическая распределенная нагрузка ¿¡»=5,5 кН/м2, характеристики материала: £=15,3 ГПа, /?=4,6 МПа, //=0,2. Обнаружено, что соотношение сторон плиты в точках локальных минимумов совпадает с числами спектра золотой пропорции или их вторичными интервалами. Локальные минимумы объема обнаружены при к=Х1щ, 1/<Рз, где <р - соответствующее число спектра золотой пропорции. Наиболее жесткой является плита с соотношением сторон к= XI щ « 1,3802.... На рис. 5 представлены рельефы итоговых структур плит при различных значениях параметра к.

к= 1

¿=1/^1,3802

к=2

В

■

■

Рисунок 5

При исследовании нелинейных процессов в рамках ТАЭМС отмечается способность малозначительных флуктуации начальной формы порождать различные финальные структуры систем. Для квадратной шарнирно-опертой пластины, нагруженной равномерно распределенной статической нагрузкой, исследовано влияние начальной формы на итоговую структуру. Исходные данные: размер Рисунок 6 - 6x6 м, £=15,3 ГПа; й=4,6 МПа, //=0,2, интенсив-

ность статической нагрузки р=5,5 кПа. Разбиение пластины - 55x55 КЭ. На рис. 6 показана начальная структура пластины. В светлых областях

к°=0,2 м, в затемненных зонах толщина увеличена на А/г. На рис. 7. показаны итоговые структуры пластины при разных /?=(АМг°)Т00%. Без изменений р= 11% /9-50% /54 50%

В представленной задаче определялись финальные структуры при различных величинах утолщений, заданных с определенным шагом. Представляет большой интерес, можно ли определить точку бифуркации, когда при одинаковых по форме начальных структурах микроскопические изменения высоты утолщений приводят к разным итоговым. Для квадратной шарнирно-опертой плиты определялась величина утолщения, которая приводит к изменению финальной структуры плиты. Исходные данные: размер плиты - 6x6 м, £=15,3 ГПа; Я=4,6 МПа, //=0,2, статическая нагрузка/?=5,5 кПа. Сетка конечных элементов - 55x55=3025 КЭ.

М;=4,0793 • 10"' м АЛ2=4,0792-10"4 м

Рисунок 8

На рис. 8 исходная структура представляет собой пластину (й=0,2 м) с перекрестными утолщениями. В первом варианте А/г/=4,0793-10"4 м, во втором А/г2=4,0792-Ю"4 м. Относительная разность общих объемов ЛУ/¥2 (АУ=У2-У]) составила 0,6-10"9. Таким образом, на числовой оси А/г>0 выделяется точка бифуркации эволюционного коридора А/г'=4,07925-10"4 м, пересечение которой приводит к коренному изменению финальной структуры (диморфизм).

В данной главе представлены результаты определения гармонических структур плит при динамических воздействиях. Рассматривались три вида опорных закреплений: жесткое защемление и шарнирное опирание по контуру, точечные угловые опоры. Каждая задача решалась при различных соотношениях сторон плиты, для каждого из которых производилось варьирование коэффициента приоритета ц для определения структу-

ры с наименьшим объемом. Площадь плиты сохранялась постоянной Л=36 м2. Решение задач производилось по алгоритму (5). Плита нагружена постоянной равномерно-распределенной нагрузкой интенсивности р=10 кН/м2 и импульсной составляющей р =1 кН/м2. В конце этапа становления для итоговой структуры определены 10 первых частот и форм колебаний. Частотные интервалы определялись для групп форм, которые объединены по следующим признакам: формы с двумя осями симметрии, проходящими через центр прямоугольника параллельно сторонам, названы симметричными; формы с одной осью симметрии, расположенной параллельно оси у, названы вертикальными, параллельно оси х - горизонтальными; кососимметричные формы относительно осей х и у названы кососимметричными. Для сравнения показаны близкие гармонические интервалы и интервалы музыкальных строев. Для каждой задачи приведена таблица результатов решения при варьировании коэффициента р, выполнено сравнение характеристик оптимальной плиты (строка таблицы выделена) и гладкой плиты того же объема (осредненная плита).

В качестве примера решения данного класса задач рассмотрим определение рациональной структуры квадратной плиты, шарнирно опертой в угловых точках. Исходные данные: £=15,3 ГПа, Л=4,6МПа, 1^=0,2, р—10 кН/м2, р =1 кН/м2, у= 0,2. Сетка КЭ 21x21. Частично результаты расчета представлены в таблицах 2, 3 и на рисунке 9.

Таблица 2

р кол-во итер. V, м 3 Е, Дж Дж/м3 м>, мм мм МПа

1 242 7,4499 573,81 78,509 6,9842 1,9217 4,569

0,9 159 7,6152 495,25 66,068 7,1594 2,6443 4,6202

- - 3097,2 - 29,556 5,823 8,0898

0,7 193 7,4025 389,84 53,527 7,2323 2,067 4,6902

0,6 213 7,7436 326,75 42,879 6,6925 2,4237 4,4611

р=\ //=0,9 //=0,7 /¿=0,6

Рисунок 9

Отмечается, что из шести приведенных частотных интервалов четыре близки к числам спектра золотой пропорции (Я9:5, Яб?4, Я7_3, Л/0>7), , при этом три из них (А9 5, \6Л, Х7 3) близки к величине 1 ' ,61803.

Таблица 3

Тип формы № о Ли=щ / a¡ Близкие гармонические интервалы % откл. Близкие интервалы музыкальных строев

симм. 1 105,24 Xs¡f=2,29038 2/^7=2,29371 0,15 уменьшенная терция, 1,13778 (через октаву)

5 241,04 Á9,f=l ,62334 1/(32=1,61803 0,33 13-й тон натур, звукоряда, 1,625

9 391,29

гориз. 4 203,69 Лб,<= 1,61608 1/^=1,61803 0,12 13-й тон натур, звукоряда, 1,625

6 329,18

3 203,35 Лг з=1,61982 1/^2=1,61803 0,11 13-й тон натур, звукоряда, 1,625

вертик. 7 329,39 ^/0,7=1,29855 1/(3^=1,2852 1,04 пифагорейская большая терция, 1,26563

10 427,73

косо-сим. 2 195,82 Л8,3=1,92365 2^«1,9244 0,04 пифагорейская большая септима, 1,89844

8 376,69

При решении задач обнаружено значительное уменьшение основных характеристик в адаптированной плите по сравнению с гладкой плитой того же объема. Также результаты расчета показали увеличение частоты основного тона итоговой структуры в сравнении с осредненной плитой, весь спектр частот сдвигается в область более высоких значений. Рассмотренные примеры определения гармонических структур изгибаемых пластин методами ТАЭМС наглядно показали, что геометрические и физические параметры итоговых структур плит содержат числа золотой пропорции и их несложные вторичные образования, которые близки к интервалам теории музыкальной гармонии.

В четвертой главе рассмотрены требования, предъявляемые к современным программно-вычислительным комплексам, особенности объ-ектно-ориетированного программирования, а также специфика программирования в среде Delphi. Описана концепция программного комплекса «Orion», созданного в среде Borland Delphi 7. Основной задачей представленного программного продукта является реализация теоретических положений ТАЭМС. Созданный программный комплекс обладает развитыми пре- и постпроцессорами, набором сервисных функций для удобства ввода-вывода исходной информации и результатов расчета в графической и текстовой формах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены методы оптимального проектирования стержней и изгибаемых тонких пластин на основе теории адаптивной эволюции механических систем. Выполненный экспериментально-теоретический комплекс исследований позволяет сделать следующие выводы:

1. На основе вариационных принципов механики конструктивно нелинейных систем разработаны варианты адаптационного шагового метода определения рациональной структуры стержней и изгибаемых тонких пластин, позволяющие решать конструктивно нелинейные задачи. При варьировании локальных геометрических параметров системы обнаружен параметрический эффект Доплера, сдвиг, растяжение и сжатие спектра частот собственный колебаний.

2. Разработан вариант адаптационного метода при варьировании локальных и глобальных геометрических параметров системы для решения задач по определению изоэнергетических структур, в которых геометрические (отношение сторон плиты, пролетов стержневых систем, расстояний между характерными точками структуры системы) и физические (отношения двух смежных частот собственный колебаний) параметры итоговых структур содержат числа спектра золотой пропорции и их несложные вторичные образования, которые близки к интервалам теории музыкальной гармонии.

3. Разработан алгоритм изменения нормируемой плотности энергии деформаций э„ в процессе адаптационного расчета, позволяющий получать итоговые структуры самоорганизующихся систем с ограничением максимальных значений компонент напряженно-деформированного состояния.

4. Проведены исследования сходимости итерационного процесса определения изоэнергетических структур балок и изгибаемых тонких плит. Второе начало закона сохранения ТАЭМС в виде (1) содержит большую сумму неопределенности - широкий диапазон изменения параметра /и «медленное» эволюционное изменение интервальной константы э„. Выбор значения коэффициента скорости эволюции у определяется условиями конкретной задачи: типом решаемой задачи, геометрией системы, граничными условиями, видом нагружения.

5. Обнаружено, что основные эффекты, присущие процессу эволюции структуры самоорганизующейся системы, в полной мере проявляются в рассматриваемых задачах: полиморфизм, нелинейность, появление точек бифуркации, неустойчивость, возникновение странных аттракторов, незатухающая пульсация параметров системы, однонаправленность «стрелы времени».

6. Исследовано влияние изменения начальной формы на финальные структуры изгибаемых тонких плит. Выявлено, что разные начальные состояния структуры системы могут порождать различные итоговые структуры по критерию изоэнергетичности. Обнаружены точки бифуркации эволюционного коридора, пересечение которых приводит к коренному изменению финальной структуры (диморфизм).

7. При определении рациональных структур стержней и пластин методами ТАЭМС обнаружено уменьшение напряжений, увеличение жесткости, частоты основного тона, критической силы в итоговых структурах, полученных в результате эволюционных расчетов, в сравнении с системами того же объема материала, но другой формы.

8. Разработан программный конечно-элементный комплекс «Orion», реализующий разработанные теоретические положения и алгоритмы. Программный продукт разработан на основе концепций объектно-ориентированного программирования в среде Borland Delphi 7.

Полученные в диссертации результаты - методики, алгоритмы и программа, их реализующая, - могут применяться в системах автоматизированного проектирования, конструирования и технологической подготовки строительного производства.

Рассматриваемая теория адаптивной эволюции механических систем, законы самоорганизации, саморазвития в конечном итоге позволяют найти в океане наблюдаемых природных фактов объективные гармонию, симметрию, ритм, обнаружено, что числа золотой пропорции проявляются в финальных структурах эволюционно зрелых систем при стремлении их к гомеостатическому равновесию с минимальным объемом «строительного материала».

Основное содержание диссертационной работы изложено в работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций:

1. Васильков, Г.В. Полиморфизм оптимальных структур самоорганизующихся систем [Текст] / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов // Строительная механика и расчет сооружений, №3,2007. С. 35-51.

2. Васильков, Г.В. Становление структуры несущих систем в процессе проектирования [Текст] / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов // Строительная механика и расчет сооружений, №2,2008. С. 27-35.

Публикации в других изданиях:

3. Иванов, М.Ю. Оптимальное проектирование балок при динамических воздействиях [Текст] / М.Ю. Иванов //Известия РГСУ. - 2004. - №8. -С. 251-252.

4. Васильков, Г.В. Теория адаптивной эволюции механических систем в задачах динамики сооружений [Текст] / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов И Материалы юбилейной международной научно-практической конференции «Строительство 2004». Ростов н/Д: РГСУ, 2004. С. 135-137.

5. Васильков, Г.В. Определение рациональной формы высотных сооружений башенного типа адаптационными методами [Текст] / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады У-го Всероссийского семинара. Новосибирск (НГАСУ) - 2005. -С. 68-76.

6. Васильков, Г.В. Строительная механика - наука об определении рациональной структуры сооружений [Текст] / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов II Труды общего собрания РААСН. Москва - Воронеж. - 2005 - С. 116-121.

7. Иванов, М.Ю. Определение рациональных форм дымовых труб методами теории адаптивной эволюции систем [Текст] / М.Ю. Иванов // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2005». Ростов н/Д: РГСУ, 2005. С. 76-79.

8. Васильков, Г.В. Теория адаптивной эволюции механических систем (Структурная гармония систем) [Текст] / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов II Вычислительная механика деформируемого твердого тела // Труды международной научно-технической конференции. В 2-х томах. — М.: МИИТ,

2006.-С. 80-87.

9. Иванов, М.Ю. Гармония геометрических и физических параметров несущих балочных систем [Текст] / М.Ю. Иванов II Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2006». Ростов н/Д: РГСУ, 2006. С. 140-142.

10. Буйко, З.В. Рациональные структуры плитно-стержневых систем [Текст] / З.В. Буйко, М.Ю. Иванов, А. Хазизай // XV Русско-Польско-Словацкий семинар «Теоретические основы строительства». Сборник докладов. Москва, 2006. С. 51-57.

11. Иванов, М.Ю, Полиморфизм оптимальных структур изгибаемых пластин [Текст] / М.Ю. Иванов / Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2007». Ростов н/Д: РСГУ,

2007. С. 100-103.

12. Васильков, Г.В. Релятивистская механика становления несущих систем в процессе эволюции [Текст] / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов II XVI Словацко-Российско-Польский семинар «Теоретические основы строительства». Сборник докладов. Москва, 2007. С. 45-52.

13. Иванов, М.Ю. Гармония геометрических и физических параметров прямоугольных тонких плит [Текст] / М.Ю. Иванов // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2008». Ростов н/Д: РГСУ, 2008. С. 123-126.

Подписано к печати 18.05.2009 г. Формат 60x84 1/16.

Бумага писчая. Ризограф.

Уч. - изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 189.

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета 344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ АДАПТИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ.

1.1. Синергетическая парадигма.

1.2. Теория адаптивной эволюции механических систем.

1.3. Уравнения морфодинамики. Дискретные отображения математической модели эволюции механических систем.

1.4. Золотая пропорция. Музыкальные интервалы.

1.5. Примеры определения рациональных структур.

1.6. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР ИЗГИБАЕМЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ.

2.1. Максимизация частоты основного тона балочных систем постоянного объема.

2.2. Оптимизация толщины полого консольного стержня.

2.3. Определение рациональной формы высотных сооружений башенного типа адаптационными методами.

2.4. Гармонические структуры балок.

2.5. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ СТРУКТУР ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИН.

3.1. Определение рационального соотношения сторон плит перекрытия при статических воздействиях.

3.2. Становление структуры в процессе эволюции.

3.3. Полиморфизм оптимальных структур изгибаемых пластин.

3.4. Гармонические структуры тонких пластин при динамических воздействиях.

3.5. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. КОНЦЕПЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА «ORION». ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И АЛГОРИТМЫ.

4.1. Специфика разработки современных программных комплексов. Объектно-ориентированное программирование.

4.2. Объектная модель программного комплекса «Orion».

4.3. Реализация программного комплекса «Orion».

4.4. Контрольные примеры, тестирование программного комплекса «Orion».

Актуальность темы диссертации. При проектировании строительных конструкций перед инженером ставится задача соблюдения таких требований, как прочность, жесткость, устойчивость, долговечность, экономичность, технологичность, продолжительность сроков проектирования и строительства, использование определенных ресурсов и материалов. Все эти требования имеют весьма противоречивый характер, поэтому оптимизация проекта является главной целью каждого инженера, который стремится создать отдельный элемент, конструкцию или сооружение, удовлетворяющие определенным критериям. Проблемы оптимального проектирования давно привлекают большое внимание, им посвящено значительное число работ, опубликованных в последние десятилетия.

Проблемы оптимального проектирования имеют как практическое, так и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач. Отыскание оптимальных форм и структуры упругих тел наталкивается на серьезные математические трудности. Так, в ряде случаев оптимальное проектирование сводится к решению вариационных задач с неизвестными границами и игровых задач оптимизации, для которых отсутствуют регулярные методы исследования. Известные трудности связаны также с тем, что задачи оптимизации упругих тел относятся к числу нелинейных задач механики. Нелинейность этих задач обуславливается нелинейностью условий оптимальности.

При решении задач оптимизации строительных конструкций решаются вопросы анализа исходных предпосылок проектирования, постановки задачи оптимального проектирования, разработки математической модели конструкции, путей совершенствования последней, выбора математических методов оптимизации, разработки алгоритмов, возможности автоматизированного решения задач оптимизации на уровне отдельной программы, пакета программ или автоматизированной системы, моделирования конструкций.

История развития оптимального проектирования насчитывает уже почти четыре столетия. В 1638 г. Галилео Галилей [40] ввел понятие равно-прочности и определил форму равнопрочной балки. Им был рассмотрен случай изгиба консольной балки (прямоугольного поперечного сечения постоянной ширины и переменной высоты) под действием сосредоточенной силы, приложенной к свободному концу (рис. 1). Было показано, что условие рав-нопрочности выполняется, если высота балки h меняется по параболическо

Рму закону. Как оказалось впоследствии, задача о форме балки минимального веса при условии, что у нормальные напряжения ах не пре

Рисунок 1 восходят заданной величины [о], сводится к задаче, решенной Г. Галилеем. Таким образом, равнопрочная консольная балка в то же время является балкой минимального веса. Были найдены и другие примеры, когда условие равнопрочности обеспечивает минимальный вес конструкций. Однако при дальнейших исследованиях изгиба балок и усложнениях постановок задач выяснилось, что понятия равнопрочности и оптимальности тождественны далеко не всегда. Различные вопросы отыскания оптимальных и равнопрочных форм балок и стержневых систем (при учете собственного веса, кручения и других факторов) рассматривались в работах [1, 7, 49, 76-78, 91, 113]. Несмотря на значительное число работ, посвященных данной тематике, в большей части современных исследований по оптимальному проектированию используется модель балки. Это связано с тем, что уравнения изгиба балок являются простыми и удобными для рассмотрения новых постановок задач, сравнения различных алгоритмов и методик. p a) ip б)

Существенное развитие теория оптимального проектирования получила в связи с исследованиями задачи отыскания форм сжатого стержня (колонны), обладающего минимальным весом и выдерживающего без потери устойчивости заданную нагрузку (рис. 2). Эта задача была поставлена Ж. Лагранжем [59], однако полученное им решение оказалось ошибочным. Оптимальх

Рисунок 2 Рисунок 3 ная форма упругого сжатого стержня была найдена Т. Клаузеном [103] (рис. За). При приближении к незакрепленному концу толщина оптимального стержня стремится к нулю, а напряжения сжатия неограниченно увеличиваются. Для устранения этой особенности E.J1. Николаи [65] ввел дополнительное ограничение на величины допустимых напряжений. Полученное в этом случае распределение толщин представлено на рис. 36. В последующих работах [4, 8, 95, 107] было проведено подробное исследование данной задачи для различных типов стержней и условий закрепления. При этом рассматривалась как указанная задача минимизации веса балки при фиксированной величине силы потери устойчивости, так и двойственная к ней задача максимизации критической силы при условии, что объем балки задан.

В период бурного развития строительства железных дорог возник вопрос проектирования оптимальных ферм наименьшего веса. В одной из работ B.JI. Кирпичева (1902 г.) была показана связь между деформациями и объемом статически неопределимой фермы [52]. Почти одновременно на связь вопросов экономии материала и потенциальной энергии обратил внимание Митчелл (1904 г.), тем самым положив начало применению энергетического метода при решении вопросов о минимальном весе конструкций [110]. Дальнейшее развитие энергетического направления связано с именами И.М. Рабиновича [75-77], А.И. Кефели [51] и др.

В отмеченных выше работах исследовались статические задачи изгиба и устойчивости, и поэтому влияние изменения формы на распределение инерционных характеристик не учитывалось. Динамические задачи оптимального проектирования впервые были рассмотрены в работах М.Г. Крейна [58] и Ф. Ниордсона [112]. В [58] решались задачи отыскания распределенной погонной массы р по струне, оптимизирующих частоты ее собственных колебаний при дополнительном ограничении pi < р < р2 (pi, Р2 — заданные константы) и условии, что объем материала струны задан. Поскольку в модели струны изгибная жесткость считается малой, то указанные задачи состоят в отыскании наилучших распределений инерционных характеристик. В [112] определялось распределение толщин балки, доставляющее максимум основной частоте поперечных колебаний. В этой задаче изменение частот при варьировании формы балки обусловлено не только изменением инерционных свойств, как в случае струны, но и вариацией жесткостных характеристик. Впоследствии динамические задачи оптимального проектирования стержней и пластин рассматривались в работах ряда авторов [14-16, 41, 85, 89, 90, 113, 116].

В представленных выше задачах оптимизации балок и колонн в качестве искомой управляющей функции рассматривалось распределение толщин при фиксированном положении осевых линий (недеформированное состояние). Большой интерес также представляли задачи нахождения самой формы осевой линии из условия экстремума некоторых прочностных или жесткостных характеристик, например, определение оптимальной формы криволинейного упругого стержня [6]. В связи с исследованием ветвей растений как упругих систем, ставились задачи нахождения оптимальной конфигурации ветвящихся стержневых систем, обладающих минимальным весом при заданных ограничениях по прочности [97].

Значительное число работ посвящено рассмотрению задач оптимизации упругих пластин при изгибе, причем в качестве искомых функций рассматривалось распределение толщин. Исследования проводились как для вопросов минимизации максимального прогиба упругой пластины, так и для определения форм максимально прочных пластин при различных условиях опирания [5, 9-13, 50].

В настоящее время основная часть исследований по оптимальному проектированию упругих тел выполняется с использованием ЭВМ. В связи с этим разрабатываются вычислительные алгоритмы, предназначенные для решения определенных классов задач оптимального проектирования. Основы для создания вычислительных алгоритмов содержатся в теории оптимального управления [18, 57, 99], нелинейном программировании, вариационном исчислении, численных методах оптимизации [62, 64, 98].

Структура и методы решения оптимизационных задач. Оптимизация конструкции требует ее параметризации, дающей возможность рассматривать альтернативные конструкции, изменяя значения параметров. Оптимизируемые параметры называются переменными оптимизации, а показатель качества, вычисляемый по этим переменным, называется целевой функцией. Переменные оптимизации и целевая функция выбираются конструктором в соответствии с тем, для чего предназначается его творение.

Оптимизацию конструкции можно описать на математическом языке. Обозначив переменные оптимизации символом X (n-мерный вектор, компонентами которого являются переменные оптимизации), а целевую функцию символом F(X), мы можем записать задачу просто: минимизировать (максимизировать) F(K). Однако реальный процесс оптимизации от этого не упростится. Очень редко показатель качества задачи может быть выражен одной-единственной целевой функцией. Чаще всего приходится выбирать между разными показателями или строить объединенный показатель с какими-либо весовыми коэффициентами. Этот процесс называется построением сложной целевой функции.

В большинстве случаев переменные оптимизации имеют ограниченную область определения. Поэтому вектор X должен удовлетворять определенным требованиям. Проект, удовлетворяющий всем требованиям, называется приемлемым. Ограничение, задающее верхнюю или нижнюю границы области определения переменной оптимизации, называется ограничением области. Ограничение, выведенное из явного рассмотрения функционального требования или показателя качества, называется функциональным, или поведенческим, ограничением.

С учетом ограничений простая задача оптимизации может быть записана следующим образом: найти

X* е R", такой что F(X*) = min F(X) (1) при условии, что

X/ < X* < Х„; (2)

G,{X*) >0, i— 1, 2,., т; (3)

Х*) = 0,7 = 1,2, (4) где т — количество ограничений-неравенств, a q — количество ограничений равенств. Символ R" обозначает пространство конструкций, получаемое варьированием всех переменных оптимизации. Ограничения области, наложенные на переменные оптимизации, записаны в уравнении (2), где X/ и Х„ -нижний и верхний пределы переменных оптимизации соответственно. Функциональные ограничения могут быть записаны как в виде равенств, так и в виде неравенств ((3) и (4)). Задача оптимизации, выраженная через минимизацию целевой функции, легко преобразуется к задаче максимизации инвертированием или отрицанием исходной целевой функции.

Большинство задач оптимизации ставятся вместе с ограничениями, которые могут быть трех типов. Ограничения первого типа задают область определения переменных оптимизации. Эти ограничения легко выполнить, потребовав, чтобы в процессе поиска переменные не выходили за установленные рамки. Ограничения второго типа — равенства — сокращают размерность пространства решений. Лучшим методом обработки этих ограничений является исключение переменных алгебраическим путем. Однако метод исключения переменных применим только до тех пор, пока уравнения ограничений допускают решение относительно независимых переменных. При наличии нескольких ограничений процесс исключения может стать достаточно громоздким. В некоторых случаях явное решение уравнений может оказаться невозможным. Альтернативой является использование штрафных функций.

К третьему типу относятся ограничения-неравенства. Стандартный подход к задачам оптимизации с такими ограничениями состоит в том, чтобы изменить целевую функцию для учета влияния этих ограничений. Целевая функция модифицируется добавлением штрафной функции, увеличивающей ее на большую величину при нарушении ограничений. Идея всех методов штрафных функций проста: при нарушении ограничения к целевой функции добавляется бесконечно большое число, в противном случае (ограничение не нарушено) целевая функция остается прежней. Следовательно, штрафную функцию Р(Х) можно определить так: где Rnf — подмножество R", соответствующее только допустимым конструкциям, т.е. таким, которые удовлетворяют всем ограничениям. Теперь можно решать без ограничений задачу минимизации дополненной г^елевой функции, или функции спуска D(X):

Однако оптимизация без ограничений в данном случае невозможна из-за разрывов в D(X) на границе Rnf, а также бесконечности значений вне Rnf. Для решения этой проблемы используются две штрафные функции: внутренняя и внешняя.

АХ)Н

О, Хед;; + оо, XeR",

5)

D(X) = F(X) + P(X).

6)

Внешние штрафные функции используются для решения уравнения (1). Метод подразумевает использование задач на минимизацию без ограничений, оптимальные решения которых стремятся к решению уравнения (1) извне области допустимых конструкций. В последовательности задач на оптимизацию без ограничений на каждое значение X g Rnf накладывается штраф, в результате чего оптимальное значение стремится к области допустимого.

Метод внутренних штрафных функций предполагает решение задач с ограничениями-неравенствами через последовательность задач оптимизации без ограничений, решения которых строго удовлетворяют ограничениям, т.е. находятся внутри области допустимых значений. Это гарантируется барьерной функцией, которая устанавливает бесконечно большой штраф за пересечение границы области допустимых значений изнутри. Поскольку алгоритм требует, чтобы внутренняя часть области допустимых значений была не пуста, он не может использоваться для обработки ограничений-равенств.

Если задача требует учета ограничений равенств, пользуются методом смешанных штрафных функций, согласно которому в дополненную целевую функцию добавляются внешние штрафные функции для ограничений-равенств и внутренние штрафные функции для ограничений-неравенств.

Для поиска максимума или минимума целевой функции могут использоваться различные методы. Эти методы могут быть сгруппированы в три больших класса (рис. 4). Методы первого класса основываются на вычислениях, методы второго класса осуществляют направленный случайный поиск, а методы третьего класса являются перечислительными [109].

Вычислительные алгоритмы делятся на две группы. Методы первой группы получают оптимальное решение задачи в явном виде, тогда как методы второй группы подходят к нему косвенно, через решение системы нелинейных уравнений, которые образуются при приравнивании нулю градиента целевой функции. Прямые методы ищут решение, выбирая значения из пространства поиска и оценивая градиент в каждой новой точке. Эта процедура определяет направление поиска. Прямые методы делятся на две категории (рис. 4). Методы первой категории используют саму целевую функцию и ее первые производные . Здесь F — целевая функция, а вектор переменных дх, оптимизации X составлен из компонент х,. К методам этой категории относятся, например, метод наискорейшего спуска и метод сопряженных градиентов. Методы из второй категории используют матрицу Гессе, составленd2F ную из частных вторых производных-, помимо первых производных и dxfixj значений самой функции. Ко второй категории относится, в частности, метод Ньютона.

Рисунок 4. Классификация методов поиска Описанные выше методы в большинстве своем сходятся к локальному минимуму целевой функции. Если целевая функция не является выпуклой, нет никаких гарантий, что найденный локальный минимум окажется глобальным. Методы перечисления (перебора) способны решить такую задачу, поскольку они сканируют всю область определения целевой функции и проверяют каждую точку. Такие методы просты в реализации, но могут потребовать больших вычислений, а в некоторых задачах пространство оптимизации оказывается слишком большим, чтобы его можно было проверить целиком. Методы направленного случайного поиска и вероятностные методы проявляют себя лучше методов перечисления в эффективности проверки пространства оптимизации. При этом они просматривают все пространство, а потому с их помощью можно пытаться найти глобальный оптимум. Наиболее популярными вероятностными алгоритмами являются алгоритм модельной «закалки» и генетический алгоритм.

В 1953 г. Метрополис с коллегами предложили алгоритм эффективного моделирования эволюции системы к тепловому равновесию. Почти через 30 лет в трудах Керкпатрика, Гелатты и Веччи [108], Церни [102] была показана существующая глубокая аналогия между медленным охлаждением твердого тела и минимизацией функции стоимости комбинаторной задачи на оптимизацию. Заменив потенциальную энергию системы стоимостью и реализовав алгоритм Метрополиса при постепенно понижающейся температуре, Кер-кпатрик с коллегами смогли получить алгоритм комбинаторной оптимизации, который они называли методом модельной закалки. С тех пор исследования этого алгоритма и его приложений образовали отдельную область знания. Если переменные оптимизации могут принимать только некоторые дискретные значения, задача оптимизации будет заключаться в том, чтобы найти лучшую комбинацию этих значений. Такие задачи называются задачами комбинаторной оптимизации. Для многих таких задач решение может рассматриваться как размещение набора дискретных объектов в соответствии с заданными ограничениями. Поэтому решение называется также конфигурацией. Набор всех решений называется пространством решений. Основная цель — разработка эффективных алгоритмов определения конфигурации, минимизирующей значение стоимости или целевой функции.

На интуитивном уровне алгоритм модельной закалки можно воспринимать как усовершенствованную версию алгоритма итеративного улучшения. Модельная закалка добавляет элемент случайности в алгоритм итеративного улучшения и разрешает изменения, ухудшающие текущее состояние системы, но дающие возможность попасть в какой-нибудь другой минимум, более глубокий. Метод модельной закалки очень привлекателен, поскольку дает решения высокого качества и в общем случае прост в реализации. Однако модельная закалка является скорее общим методом оптимизации, нежели конкретным, полностью определенным алгоритмом.

Алгоритм модельной закалки эффективен во многих задачах оптимизации, к числу которых относятся: разработка компоновочных планов; маршрутизация и оптимизация маршрутов; проектирование размещения; двумерное уплотнение (компоновка); разработка цифровых фильтров; распознавание образов; обработка изображений.

Генетическими алгоритмами называется группа адаптивных методов, которые могут использоваться для решения задач поиска и оптимизации. Они происходят от тех же основ, что и естественная эволюция и генетика. Популяции живых существ развиваются в течение многих поколений в соответствии с принципами естественного отбора и «выживания наиболее приспособленных». Имитируя этот процесс, генетические алгоритмы способны решать реальные задачи, при условии правильной их кодировки [101].

Основные принципы генетических алгоритмов были заложены Хол-ландом [106], им посвящено достаточно много трудов. Эти алгоритмы имитируют то, чем обусловливается эволюция в живых популяциях. В природе выживают те, кто лучше приспособлен к конкуренции за ограниченные ресурсы, поэтому адаптация к изменяющейся конкурентной среде принципиально важна для выживания индивидуумов любого вида. Уникальные особенности индивидуума определяют его жизнеспособность, но сами они, в свою очередь, определяются генами индивидуума. Каждой особенности сопоставляется элемент наследственной информации — ген. Наборы генов, определяющих особенности организма, объединяются в хромосомы. Процесс воспроизводства создает разнообразие в генофонде, а начинается оно с рекомбинации хромосом родительских особей в момент объединения их половых клеток. Из исходных комбинаций генов создаются новые, в результате чего получается новый генотип. Происходит обмен генами между хромосомами, что дает хромосомы с новыми свойствами. Этот процесс называется кроссовером. Таким образом, осуществляется поиск наиболее правильной комбинации генов, по которой был бы построен более совершенный организм. Отбор и кроссовер обеспечивают постоянную эволюцию генотипа и приводят к рождению организма, лучше приспособленного к выживанию.

В начале 70-х Холланд предложил обозначать термином «генетические алгоритмы» программы, имитирующие природный эволюционный процесс. Генетические алгоритмы работают с популяцией потенциальных решений задачи оптимизации (или поиска). Решения представляются в закодированном виде, подобно тому, как в генетическом материале кодируется информация об особенностях индивидуума. В генетических алгоритмах Холланда решения кодировались в виде последовательностей битов двоичного алфавита. Как и в природе, механизмы отбора обеспечивали выживание наиболее совершенных решений. Каждому решению сопоставляется определенное значение «приспособленности», отражающее качество данного решения по сравнению с другими решениями той же популяции. Чем больше значение приспособленности, тем больше шансы на выживание и воспроизводство, и тем больший вклад вносит данный индивидуум в последующее поколение. Рекомбинация генетического материала в генетических алгоритмах имитируется механизмом кроссовера, осуществляющим обмен участками строк. Дополнительная операция, называемая мутацией, вызывает спорадические случайные изменения битов строк. Мутация тоже существует в природе, где она обеспечивает восстановление утраченного генетического материала [104].

При правильной реализации генетического алгоритма популяция развивается от поколения к поколению таким образом, что приспособленность лучшего и среднего индивидуума в каждой популяции стремится к глобальному оптимуму. Конвергенцией называется развитие в направлении возрастания однородности. Считается, что по конкретному гену достигнута конвергенция, если он имеет одно и то же значение у 95% индивидуумов популяции [104].

Сила генетических алгоритмов в их устойчивости и в способности решать задачи самых разных типов, в том числе и трудноразрешимые другими методами. Хотя генетические алгоритмы не обязательно находят глобально-оптимальное решение, они обычно «достаточно быстро» находят «достаточно хорошие» решения. Разумеется, специализированные методы, ориентированные на конкретные задачи, по сравнению с генетическими алгоритмами почти наверняка дадут лучшую скорость и точность конечного результата. Превосходство генетических алгоритмов проявляется в таких областях, где специализированных методов не существует. Однако даже имеющиеся методы можно в некоторых случаях усовершенствовать, «скрестив» их с генетическими алгоритмами [104].

Структурной оптимизацией называется автоматический синтез механических компонентов на основании их структурных свойств. Структурная оптимизация подразумевает оптимизацию целевой функции (обычно жесткости, возможностей производства, веса или стоимости) при выполнении структурных и иных ограничений на конструкцию (расположение точек опоры, ограничения на размер и вес, максимально допустимые напряжения и т.д.). Методы структурной оптимизации можно классифицировать по типам переменных оптимизации, описывающих геометрию конструкции. Целевая функция и конструктивные ограничения записываются в виде этих переменных. В зависимости от того, какими свойствами компонента управляют конструктивные параметры в конкретной задаче оптимизации, она называется оптимизацией размеров, формы или топологии.

Оптимизация размеров — простейший из трех методов структурной оптимизации, состоящий в изменении размеров конструкции при сохранении ее формы и топологии. Оптимизация состоит в определении значений конструктивных параметров, дающих оптимальное структурное поведение конструкции. В первых реализациях данного метода использовались простейшие методы параметризации геометрии детали и оптимизировались только простые конструкции, такие как фермы, рамы и пластины [105, 111].

Структурная оптимизация ферм и рам подразумевает определение оптимального поперечного сечения соответствующих элементов. Переменными оптимизации являются площади поперечного сечения элементов. Фермы и рамы можно оптимизировать, изменяя их конфигурацию. Оптимальная конфигурация фермы может быть получена решением задачи оптимизации для координат узловых точек. Еще один вариант проектирования состоит в выборе материалов с определенными свойствами. Выбор оптимального материала для каждого элемента из набора доступных материалов — типичная комбинаторская задачи оптимизации. Обычно рассматривается комбинация всех трех типов размерных переменных.

В плоских структурах в качестве переменной оптимизации выбирается толщина пластины. Меняться может только толщина, которая считается постоянной в пределах одного элемента, но может варьировать при переходе от одного к другому.

Оптимизация формы подразумевает сохранение неизменной топологии при изменении формы. Переменные оптимизации в этом случае задают форму конструкции. Побочным эффектом оптимизации формы обычно является оптимизация размеров. Вообще говоря, оптимизация размеров может считаться всего лишь частным случаем оптимизации формы.

Переменные оптимизации могут быть параметрами, определяющими какие-либо особенности формы или ее важнейшие размеры. Например, переменной оптимизации может быть радиус круглого отверстия в детали. При оптимизации формы переменными могут являться и параметры границ объемного тела. В частности, в качестве переменных можно взять координаты узлов, расположенных на границе тела. В этом случае основное требование к модели состоит в том, что она не должна ухудшаться в процессе оптимизации.

Глобальная оптимизация обязательно включает и оптимизацию топологии, т.е. такие изменения, которые включают создание новых границ и удаление существующих. Переменные топологической оптимизации определяют конкретную топологию детали. Оптимизация заключается в определении значений переменных, соответствующих такой топологии детали, которая делает поведение данной детали оптимальным по отношению к структуре. Первые попытки сконструировать топологически оптимальные детали относились к проектированию фермоподобных (скелетообразных) структур. Обзор литературы, посвященной оптимизации скелетообразных структур, дается в [117]. Наиболее широко используется подход базовой структуры, согласно которому пространство конструкции покрывается решеткой узлов. В этих узлах прикладываются нагрузки и задаются ограничения. Базовая структура получается путем соединения каждого узла со всеми остальными. В фермоподобных структурах соединения называются элементами. Простой алгоритм поиска позволяет оптимизировать базовую структуру для получения минимального веса при условии, что нагрузка не превысит предела пластичности. В процессе оптимизации липшие элементы базовой структуры удаляются автоматически, когда площадь их поперечного сечения оказывается равной нулю. Получившаяся в результате структура имеет оптимальную топологию, при таком подходе оптимальная структура не обязательно будет единственной, хотя оптимальное значение веса структуры, конечно, единственно. Если необходимо учитывать ограничения на напряжения или смещения, приходится использовать методы нелинейного программирования.

Оптимизация топологии может выполняться с помощью генетического алгоритма. Первые заслуги в этой области принадлежат Сангреду и Иенсену [114], которые рассмотрели применение генетического алгоритма к оптимизации топологии множества континуальных структур. Они минимизировали вес структур с учетом требований на смещения и напряжения. Оптимальная топология (рис. 5а) [60] была получена при помощи генетического алгоритма. На рис. 56, в, г [60] показаны оптимальные формы поперечного сечения балки для различных материалов. Оптимальную структуру велосипеда с соответствующим характером нагрузки [109] показывает рис. 6 [60]. Результат удивителен тем, что оптимальная структура очень похожа на раму настоящего велосипеда.

Ш* Щ бе в

Рисунок 5. Простая балка из одного сегмента (а) и оптимальное поперечное сечение для пластика (б), алюминия (в) и стали (г)

Рисунок 6. Рама велосипеда При рассмотрении процесса развития методов оптимизации прослеживается их направленность на использование вычислительной техники. В значительной степени это стало возможно благодаря развитию и широкому распространению метода конечных элементов (МКЭ).

Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разностными, подчеркивая тем самым его математическую природу. Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как в 1963 г. было доказано, что этот метод можно рассматривать как один из вариантов известного в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия. Связь МКЭ с процедурой минимизации позволила широко использовать его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа и Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала.

Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т.к. позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Большинство современных расчетов на прочность проводят, используя метод конечных элементов.

Существует обширная литература, посвященная исследованию МКЭ, включающая монографии [2, 17, 20, 42, 43, 66, 70, 79-82, 84] и большое количество статей.

В предлагаемой диссертации при определении рациональных параметров структуры механической системы применяется конечно-элементный подход. Для расчетов используются хорошо известные конечные элементы плоского стержня с 4-мя и 6-ю степенями свободы и тонкой плиты с 12-ю степенями свободы, применение которых не вызывает сомнений в полученных результатах.

На протяжении всего изложения применяются такие общефилософские понятия, как система, элемент, структура, которые идут непосредственно от категорий «целое и часть», «вещь и отношение» и используются во всей совокупности наук, характеризуя и материальные объекты, и создаваемые нами образы, модели, схемы этих объектов. Несмотря на широкое использование в строительных науках этих понятий, приведем общепризнанные определения этих терминов.

Система (греч. systema - целое, составленное из частей) — множество закономерно связанных друг с другом элементов, представляющее собой определенное целостное образование. Для наших целей в узком смысле определения — конструкция, сооружение, составленные из твердых деформируемых тел.

Элемент (от лат. elementum — стихия, первоначальное вещество) — составная часть чего-либо. По тексту — часть конструкции, сооружения, стержня, пластины, оболочки, массива и т.д.

Структура (лат. structura) — взаиморасположение и связь составных частей чего-либо, строение, устройство. При конкретизации этого термина для строительной механики под структурой будем понимать геометрию формы сооружения, физические характеристики материала, способ соединения — характер связей элементов в конструкции или сооружении.

Понимание формы как внешнего вида, очертаний фигуры в пространстве, по Гегелю, называют внешней формой. Более глубокое определение внутренней формы неразрывно связано с понятием содержания и применяется при анализе процесса развития сложных систем, обладающих внутренней организацией и взаимодействующих с другими системами [27]. Именно такое глубинное определение формы системы будет использовано в дальнейшем.

Функционирование системы, взаимодействующей с внешней средой, предполагает, что все ее элементы выполняют определенные, согласованные друг с другом функции. Так, элементы здания, наряду с главной своей функцией обеспечения прочности, жесткости и устойчивости при разнообразных внешних воздействиях, имеют и свои отдельные предназначения. Наружные стены должны обеспечивать необходимую теплозащиту, освещенность внутренних помещений, покрытие сооружения защищает от проникновения влаги, внутренние стены и перегородки обеспечивают звукоизоляцию и т.д. Функциональное назначение элементов системы предопределяет и их различие, т.е. система при анализе расчленяется на части не только по материальному признаку, но и по функциональному. Именно поэтому крайне важна приоритетность требований к элементам и структуре системы. Например, плиты покрытия имеют необходимый водонепроницаемый слой, но обладают недостаточной несущей способностью. В результате — авария, разрушение, катастрофа. Наоборот, при правильно запроектированных плитах по прочности, но пропускающих влагу, необходимо нанести новый гидроизолирующий слой. Сопоставляя последствия, приходим к выводу, что главнейшим требованием в иерархии будет обеспечение прочности.

Требования прочности, жесткости и устойчивости при проектировании сооружений являются приоритетными, но как организовать наилучшим образом структуру системы, т.е. как изменять геометрию и физические параметры, получая при этом наивысшую сопротивляемость. Каков критерий отбора проектов рациональных несущих конструкций? Может ли внешне нелепая конструкция быть рациональной? Гармония, симметрия, ритм, пропорциональность, соразмерность, слаженность — такие термины употребляются для характеристики систем, которые наилучшим образом сопротивляются внешним воздействиям. Необходимые условия возникновения таких систем развиваются в процессе самоорганизации.

На основании вышеизложенного можно утверждать, что разработка общих принципов и методов определения рациональных, гармоничных систем, обладающих наивысшей сопротивляемостью внешним воздействиям, является актуальной задачей.

Тройственное общефилософское понятие «система — элемент — структура» удивительным образом ложится на хорошо подготовленный и широко используемый аппарат решения задач математической физики методом конечных элементов (МКЭ). Известные вычислительные комплексы МКЭ при определенной доработке могут быть использованы при решении рассматриваемого класса оптимизационных задач.

Для определения рациональных геометрических параметров структуры механических систем в диссертации использована теория адаптивной эволюции механических систем (ТАЭМС), разработанная проф. Васильковым Г.В. [22-30].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и четырех приложений. Диссертация изложена на 220 страницах, включая 178 рисунков и 51 таблицу. Нумерация формул, таблиц и рисунков ведется отдельно по каждой главе и приложению. Нумерация литературных источников сквозная по всей работе.

3.5. Выводы по главе 3

В настоящей главе диссертационной работы рассмотрены методы определения рациональных структур изгибаемых пластин при статических и динамических воздействиях. При решении тестовых серий задач получены следующие результаты:

1. Варьирование локальных и глобальных геометрических параметров плит при статических воздействиях позволило определить системы, в которых внешние (отношение сторон плиты) и внутренние (расстояния между характерными точками структуры плиты) параметры содержат числа спектра золотой пропорции и их несложные вторичные образования;

2. Показаны основные эффекты, возникающие в процессе эволюции структуры самоорганизующейся системы: полиморфизм, нелинейность, появление точек бифуркации, неустойчивость, возникновение странных аттракторов, незатухающая пульсация параметров системы, однонаправленность «стрелы времени»;

3. Обнаружено, что разные начальные состояния структуры системы могут порождать различные итоговые структуры по критерию изоэнерге-тичности. В одной из задач получена точка бифуркации эволюционного коридора, пересечение которой приводит к коренному изменению финальной структуры (диморфизм);

4. Варьирование локальных и глобальных геометрических параметров изгибаемых пластин при динамических воздействиях позволило определить системы, в которых геометрические (отношение сторон плиты) и физические (отношение двух смежных частот собственных колебаний) параметры итоговых структур содержат числа спектра золотой пропорции и их несложные вторичные образования, которые близки к интервалам теории музыкальной гармонии;

5. При варьировании локальных геометрических параметров плит обнаружен параметрический эффект Доплера, сдвиг, растяжение и сжатие спектра частот собственных колебаний.

ГЛАВА 4. КОНЦЕПЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА «ORION». ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И АЛГОРИТМЫ

4.1. Специфика разработки современных программных комплексов. Объектно-ориентированное программирование

При современном состоянии науки развитие различных ее отраслей, в том числе и строительной механики, тесно связано с развитием электронно-вычислительной техники. Увеличение и усовершенствование вычислительных ресурсов ЭВМ, развитие алгоритмических языков и численных методов, совершенствование программного обеспечения для решения задач строительной механики позволяет не только полнее решать уже поставленные задачи, но и переходить на новый уровень развития науки. Вопросы, рассматриваемые в теории оптимального проектирования, приводят к сложным математическим задачам, которые можно отнести к числу нелинейных задач механики. Нелинейный характер этих задач обуславливается нелинейностью условий оптимальности. В настоящее время активно ведутся работы по созданию вычислительных алгоритмов и совершенствованию программного обеспечения для решения определенных классов задач оптимального проектирования, существенно использующих их специфику.

На сегодняшний день существует много мощных программно-вычислительных комплексов (ПВК), позволяющих решать широкий круг задач строительной механики. К числу таких программ относятся: Lira, Struc-tureCAD, Stark, MicroFe, ANSYS, NASTRAN и др. Эти ПВК разрабатываются в течение многих лет, постоянно расширяется круг решаемых ими задач, совершенствуется интерфейс ввода-вывода информации. В итоге получены универсальные комплексы-гиганты, требующие огромных вычислительных ресурсов ЭВМ, занимающие сотни мегабайт дискового пространства, но «неповоротливые» для решения конкретных узкоспециализированных задач. Не уменьшая ценности таких ПВК для решения задач расчета и проектирования строительных конструкций, следует отметить, что использование их для развития и исследования новых методов расчета крайне затруднительно. Для этих целей разрабатываются собственные программы, которые можно разделить на несколько групп:

- программы, разработанные в общематематических пакетах (MathCad, MathLab, Maple и др.) с использование встроенных языков программирования. Обычно такие программы не имеют собственного интерфейса, они используют средства вывода информации, предоставляемые математическими пакетами;

- консольные программы, разработанные с помощью различных языков программирования (Паскаль, Бейсик, Си, Фортран и др.). Ввод и вывод информации часто происходит посредством текстовых файлов, в дальнейшем результаты расчета могут быть визуализированы при помощи упомянутых ранее общематематических пакетов;

- программные комплексы, разработанные с использованием различных языков программирования высокого уровня, имеющие как вычислительное ядро, так и развитые пре- и постпроцессоры, обеспечивающие возможность в удобной форме вводить исходные данные и получать результаты расчета в нужном виде.

Предлагаемое деление очень условно, существуют и другие формы программных средств, к тому же, прежде чем достичь уровня программного комплекса, многие программы проходят оговоренные в предыдущих пунктах стадии [93]. Рассмотренное деление основывается на степени проработки и реализации не только вычислительного ядра, но и пользовательского интерфейса, которые имеет немаловажное значение, т.к. способствует правильному вводу большого объема исходной информации, а также его проверке на наличие грубых ошибок. Создание удобного способа взаимодействия пользователя и программы — интерфейса, требует значительных затрат времени и усилий разработчика, зачастую превышая объем трудозатрат на вычислительное ядро. Практика показала, что подходы к созданию конечно-элементных комплексов, в которых ЭВМ использовалась бы только как инструмент для счета, а подготовка данных и анализ результатов расчета полностью перекладывались на пользователя, не привели к разработке эффективного программного обеспечения. Огромный объем исходной информации, результатов расчета требует от разработчиков создания удобного интерфейса, позволяющего обеспечить ввод данных, проверить их корректность и выполнить основные функции анализа результатов.

Иногда работу по составлению программного обеспечения относят к «рутинной», чисто технической, не принимая при этом во внимание процесс исследовательской работы, связанный с построением концепции комплекса, его архитектуры, объектной модели, корректных связей между различными компонентами программного комплекса.

Используя простые типы данных (числа, строки, записи) можно создать программу, состоящую в лучшем случае из нескольких тысяч строк исходного текста. Это своеобразный предел возможностей человека. По мере роста объема исходных текстов становится невозможно правильно обрабатывать переменные, не затрагивая при этом нормально функционирующие части программы.

В 80-х годах стали появляться первые коммерческие системы разработки приложений, в которых была реализована новая парадигма программирования, так называемый объектный подход, основанный на понятии объекта, типа данных, в котором сочетаются как свойства, сгруппированные данные, так и методы их обработки. Первым языком программирования, в котором были предложены принципы объектной ориентированности, был Симула [74]. В момент его появления (1967 г.), этот язык программирования предложил поистине революционные идеи: объекты, классы, виртуальные методы и др., однако это все не было воспринято современниками как нечто грандиозное. Тем не менее, большинство концепций были развиты в языке Smalltalk, который стал первым широко распространенным объектно-ориентированным языком программирования.

Объектно-ориентированный подход к разработке программ интегрирует в себе как методы структуризации управления, так и структуризацию данных [74]. При этом понятие объекта не содержит в себе каких-либо принципиальных различий в этих разновидностях структуризации. Объектом может быть и константа, и переменная, и процедура, и процесс. Объекты в программах «рождаются» и «умирают», меняют свое состояние, запускают и останавливают процесс, «убивают» и «возрождают» другие объекты, т.е. воспроизводят все оттенки явлений реального мира. Под объектом может подразумеваться некоторое абстрактное понятие: «неравенство», «функция»; понятие, имитирующее реальную систему или процесс: «несущий каркас», «завод», «компьютер». В этом случае объект — это сущность процесса или явления, которую способны выделить наш опыт, знания и интуиция. Каждый объект является экземпляром некоторого класса объектов. Класс — категория объектов, обладающих одинаковыми свойствами, методами поведения. Спецификация класса производится путем определения его внутренних свойств, методов, которые играют роль классообразующих признаков.

Основной концепцией ООП является неразрывная связь данных и кода программы. Данные управляют потоком кода, а код манипулирует образами и значениями данных. В основе лежит идея моделирования посредством иерархически связанных объектов, или классов. Отдельно взятый объект рассматривается как совокупность множества данных и действий над ними. Установление четкой взаимосвязи между данными и операциями над ними в пределах одного объекта ведет к большей целостности программы и значительно повышает ее надежность. При этом в рамках одной языковой конструкции объединяется все, что необходимо для полного описания объекта. Так, например, программа, имея набор конечных элементов (стержневой, плоский элемент теории упругости, элемент тонкой плиты или плиты средней толщины, которые в свою очередь могут быть треугольные, прямоугольные и др.) обращается к ним независимо от их типа. Элементы, в свою очередь, вызывают свои методы отображения на экране, формирования матриц жесткости, вычисления компонент напряженно-деформированного состояния. Программа не обладает информацией о том, какой объем и состав данных включает в себя тот или иной объект, для программы абсолютно идентичны самые разнообразные типы данных. Это отражает концепцию инкапсуляции - совмещения данных и методов, воздействующих на данные.

Следующим важнейшим механизмом ООП является наследование. Это свойство ООП можно сравнить с таксономией — теорией классификации и систематизации сложноорганизованных систем, имеющих иерархическое строение или, иными словами, древовидную структуру. Такая структура содержит объединяющую единую категорию в вершине и увеличивающееся число категорий, лежащих ниже. Каждый конкретный класс содержит множество свойств и методов, определяющих его уникальность. Классификация начинается с вершины генеалогического дерева и проходит по дочерним областям. Каждый последующий уровень является более специфичным, более сложным, но менее общим, чем предыдущий. Однако, если какое-либо свойство уже определено, то расположенные ниже этого определения классы содержат это свойство. Наследование — это механизм, позволяющий определять новые объекты, используя свойства прежних, дополняя или изменяя их. Объ-ект-«потомок» наследует все поля и методы «предка», к которым он может добавить свои собственные поля и методы или «перекрыть» их своими методами. При наследовании можно создавать новый тип данных, который автоматически включает в себя все возможности родительского типа данных и предшествующих тому родителей, а замещать или добавлять те функции, которые являются уникальными для нового типа данных. Тем самым наследование упрощает расширение функциональности объекта простым определением потомка и добавлением необходимых особенностей.

Еще одним важным механизмом ООП является полиморфизм — многообразность, возможность одним и тем же объектам иметь различные образы, разные конкретные реализации. Полиморфизм напрямую связан с механизмом позднего связывания. На уровне внутреннего кода это означает, что адрес точки входа в метод определяется не на стадии компилирования и связи программного кода, а на стадии выполнения программы, и адреса элементов программного кода зависят от вводимых пользователем данных.

Виртуальные методы предоставляют мощный инструмент для обобщения, каким является полиморфизм. Так, для объекта «конечный элемент» общими являются возможности, например, формирования локальной матрицы жесткости, вычисления усилий и напряжений, прорисовки на экране. Другими словами, конечный элемент может вычислить напряжения, сформировать свою матрицу жесткости, нарисовать себя на экране, при этом механизмы, реализующие эти действия, являются сугубо специфическими для каждого конечного элемента.

Рассмотренные возможности ООП делают перспективным его использование при разработке программных комплексов, ориентированных на расчет МКЭ и обладающих развитым графическим интерфейсом. Кроме того, большинство современных языков программирования направлены на использование ООП и разработку программ для операционной системы Windows.

4.2. Объектная модель программного комплекса «Orion»

Программный комплекс «Orion» разработан и продолжает развиваться на основе концепции ООП в сочетании с модульным программированием. Комплекс включает в себя два модуля:

- модуль расчета балок;

- модуль расчета изгибаемых тонких плит.

Кроме статических и динамических расчетов с определением напряженно-деформированного состояния рассчитываемой системы, имеется возможность выполнения эволюционного расчета с адаптацией системы по геометрическим параметрам структуры.

Разработка программы осуществлялась в среде программирования Borland Delphi 7. Среда Delphi - это интегрированная оболочка разработчика, содержащая набор специализированных программ, использующихся на разных этапах создания готового приложения. Среда разработки приложений Borland Delphi обладает рядом особенностей, способствующих ее выбору для разработки программного обеспечения:

- объектно-ориентированный подход;

- визуальные средства быстрой разработки приложений (RAD — Rapid Application Development), основанные на компонентной архитектуре;

- использование компиляции, а не интерпретации (скоростные характеристики компилирующих приложений в десятки раз лучше, чем у систем, использующих интерпретатор).

Вершиной иерархической структуры программы «Orion» (рис. 4.1) является объект класса проект (TProject), содержащий полную информацию о текущем расчете. Объект класса TProject содержит списки (TList) узлов (Nodes), элементов (Elements), опор (Ties), нагрузок (Forces), глобальные матрицы жесткости, податливости, масс, динамическую матрицу системы. Матрицы являются объектами класса TRealMatrix — двумерного динамического массива, представленного ленточной структурой, характерной особенностью которого является отсутствие «нулевого треугольника», который обычно не используется при решении (рис. 4.2). Использование динамических массивов позволяет задавать многомерные массивы с различными размерами по каждому измерению, к тому же, для одного измерения диапазоны также могут меняться. При создании глобальных матриц жесткости, масс происходит резервирование объема оперативной памяти, зависящего от размеров матрицы. Для экономии памяти машины формируется и хранится только симметричная часть ленты 1 (рис. 4.2).

Класс проект

TProject

Nodes

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены методы оптимального проектирования стержней и изгибаемых тонких пластин на основе теории адаптивной эволюции механических систем. Выполненный экспериментально-теоретический комплекс исследований позволяет сделать следующие выводы:

1. На основе вариационных принципов механики конструктивно нелинейных систем разработаны варианты адаптационного шагового метода определения рациональной структуры стержней и изгибаемых тонких пластин, позволяющие решать конструктивно нелинейные задачи. При варьировании локальных геометрических параметров системы обнаружен параметрический эффект Доплера, сдвиг, растяжение и сжатие спектра частот собственный колебаний.

2. Разработан .вариант адаптационного метода при варьировании локальных и глобальных геометрических параметров системы для решения задач по определению изоэнергетических структур, в которых геометрические (отношение сторон плиты, пролетов стержневых систем, расстояний между характерными точками структуры системы) и физические (отношения двух смежных частот собственный колебаний) параметры итоговых структур содержат числа спектра золотой пропорции и их несложные вторичные образования, которые близки к интервалам теории музыкальной гармонии.

3. Разработан алгоритм изменения нормируемой плотности энергии деформаций эн в процессе адаптационного расчета, позволяющий получать итоговые структуры самоорганизующихся систем с ограничением максимальных значений компонент напряженно-деформированного состояния.

4. Проведены исследования сходимости итерационного процесса определения изоэнергетических структур балок и изгибаемых тонких плит. Второе начало закона сохранения ТАЭМС в виде (1.1) содержит большую сумму неопределенности — широкий диапазон изменения параметра у и «медленное» эволюционное изменение интервальной константы э„. Выбор значения коэффициента скорости эволюции у определяется условиями конкретной задачи: типом решаемой задачи, геометрией системы, граничными условиями, видом нагружения.

5. Обнаружено, что основные эффекты, присущие процессу эволюции структуры самоорганизующейся системы, в полной мере проявляются в рассматриваемых задачах: полиморфизм, нелинейность, появление точек бифуркации, неустойчивость, возникновение странных аттракторов, незатухающая пульсация параметров системы, однонаправленность «стрелы времени».

6. Исследовано влияние изменения начальной формы на финальные структуры изгибаемых тонких плит. Выявлено, что разные начальные состояния структуры системы могут порождать различные итоговые структуры по критерию изоэнергетичности. Обнаружены точки бифуркации эволюционного коридора, пересечение которых приводит к коренному изменению финальной структуры (диморфизм).

7. При определении рациональных структур стержней и пластин методами ТАЭМС обнаружено уменьшение напряжений, увеличение жесткости, частоты основного тона, критической силы в итоговых структурах, полученных в результате эволюционных расчетов, в сравнении с системами того же объема материала, но другой формы.

8. Разработан программный конечно-элементный комплекс «Orion», реализующий разработанные теоретические положения и алгоритмы. Программный продукт разработан на основе концепций объектно-ориентированного программирования в среде Borland Delphi 7 и работает под управлением операционной системы Windows.

Предложенные методики, алгоритмы и программный комплекс используются в учебном процессе, при выполнении научно-исследовательских, дипломных работ студентами РГСУ и могут применяться для расчета и проектирования строительных конструкций.

Рассматриваемая теория адаптивной эволюции механических систем, законы самоорганизации, саморазвития в конечном итоге позволяют найти в океане наблюдаемых природных фактов объективные гармонию, симметрию, ритм, обнаружено, что числа золотой пропорции проявляются в финальных структурах эволюционно зрелых систем при стремлении их к гомеостатиче-скому равновесию с минимальным объемом «строительного материала».

138

1. Абгарян, К.А. К теории балок минимального веса Текст. / К.А. Абгарян. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машгиз. - 1962. -вып. 8.-С. 136-151.

2. Александров, А.В. Основы теории упругости Текст. / А.В. Александров, В.Д. Потапов — М.: Высш. шк., 1990. — 400 с.

3. Байков, В.Н. Железобетонные конструкции. Общий курс Текст. / В.Н. Байков, Э.Е. Сигалов М.; Стройиздат, 1991. — 767 с.

4. Баничук, Н.В. Некоторые задачи оптимального проектирования балок для классов сил Текст. / Н.В. Баничук — Изв. АН СССР. МТТ, 1973, №5, С. 102-110.

5. Баничук, Н.В. Об оптимальных формах упругих пластин в задачах изгиба Текст. / Н.В. Баничук Изв. АН СССР. МТТ. - 1975. - № 5. — С.180-188.

6. Баничук, Н.В. Определение оптимальных форм упругих криволинейных стержней Текст. / Н.В. Баничук — Изв. АН СССР. МТТ. — 1975. —№ 6. — С.124-133.

7. Баничук, Н.В. Оптимальное проектирование в одномерных задачах изгиба для фиксированных и подвижных нагрузок Текст. / Н.В. Баничук Изв. АН СССР. МТТ. - 1974. - № 5. - С. 113-123.

8. Баничук, Н.В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой Текст. / Н.В. Баничук Изв. АН СССР. МТТ, 1975, №5, С.180-188.

9. Баничук, Н.В. Оптимизация форм упругих тел Текст. / Н.В. Баничук М.: Наука. - 1980. - 256 с.

10. Баничук, Н.В. Численное решение двумерных задач оптимизации упругих пластин Текст. / Н.В. Баничук, В.М. Картвелишвили,

11. A.А. Миронов Изв. АН СССР. МТТ. - 1977. - № 1. - С. 68-78.

12. Баничук, Н.В. Задачи оптимизации с локальными критериями качества в теории изгиба пластин Текст. / Н.В. Баничук, В.М. Картвелишвили, А.А. Миронов Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 1. -С. 124-131.

13. Баничук, Н.В. Об одном численном методе решения двумерных задач оптимизации в теории упругости Текст. / Н.В. Баничук,

14. B.М. Картвелишвили, А.А. Миронов — Материалы V Всесоюз. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. ч.2. - Новосибирск. - ВЦ СО АН СССР. - 1978. - С. 3-14.

15. Баничук, Н.В. Оптимизация частот колебаний упругой пластинки в идеальной жидкости Текст. / Н.В. Баничук, А.А. Миронов — ПММ,1975, т. 39, вып. 5, С. 889-899.

16. Баничук, Н.В. Оптимальное проектирование пластин в динамических задачах гидроупругости Текст. / Н.В. Баничук, А.А. Миронов — Труды X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975, С. 35-44.

17. Баничук, Н.В. Задачи оптимизации пластин, колеблющихся в идеальной жидкости Текст. / Н.В. Баничук, А.А. Миронов — ПММ,1976, т. 40, вып. 3, С. 520-527.

18. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов Текст. / К. Бате, Е. Вилсон —М.: Стройиздат. — 1961 — 537 с.

19. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления Текст. / А. Брайсон, Хо-Ю-Ши М.: Мир, 1972. - 544 с.

20. Буйко, З.В. Рациональные структуры плитно-стержневых систем Текст. / З.В. Буйко, М.Ю.Иванов, А. Хазизай // XV Русско-Польско-Словацкий семинар «Теоретические основы строительства». Сборник докладов. Москва, 2006. С. 51-57.

21. Варвак, П.М. Метод конечных элементов Текст. / П.М. Варвак, И.М. Бузун, А.С. Городецский — К.: Вища школа 1981. — 176 с.

22. Васильков, Г.В. Вычислительная механика и моделирование работы конструкций: Учебное пособие — ч.З Прямые методы решения нестационарных задач строительной механики Текст. / Г.В. Васильков—Ростов-на-Дону.: Рост. гос. академия строит. 1994. — 156 с.

23. Васильков, Г.В. Законы сохранения самоорганизующихся, саморазвивающихся систем Текст. / Г.В. Васильков // Научная мысль Кавказа. Сев.-Кав. научный центр ВШ, приложение, 2004 — №14. — С. 137-147.

24. Васильков, Г.В. Новые вариационные принципы механики конструктивно нелинейных систем Текст. / Г.В. Васильков // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. — Естественные науки. — 2001 — №1. —С. 25-29.

25. Васильков Г.В. О вариационных принципах и методах определения энергетически равнопрочных систем Текст. / Г.В. Васильков // Известия ВУЗов. — Северо-Кавказский регион. — Естественные науки. — 2002. №2.-С. 23-29.

26. Васильков, Г.В. Структурная гармония несущих систем строительных сооружений Текст. / Г.В. Васильков // Вестник РААСН. — вып. 10, 2006. С. 85-94.

27. Васильков, Г.В. Теорема об изменении потенциальной энергии механической системы при добавлении новых связей Текст. / Г.В. Васильков II Изв. вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. - №4. - С. 26-29.

28. Васильков, Г.В. Эволюционные задачи строительной механики. Си-нергетическая парадигма: Учебное пособие Текст. / Г.В. Васильков Ростов н/Д: ИнфоСервис, 2003. - 180 с.

29. Васильков, Г.В. Эволюционная теория жизненного цикла механических систем: Теория сооружений Текст. / Г.В. Васильков — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — 320 с. (Синергетика: от прошлого к будущему.)

30. Васильков, Г.В. Новые числа золотой пропорции и геометрическая соразмерность плит перекрытия Текст. / Г.В. Васильков, Ю.А. Забара // Строительная механика и расчет сооружений. — №1, 2005-С. 25-31.

31. Васильков, Г.В. Строительная механика — наука об определении рациональной структуры сооружений Текст. / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов // Труды общего собрания РААСН. Москва — Воронеж.-2005-С. 116-121.

32. Васильков, Г.В. Полиморфизм оптимальных структур самоорганизующихся систем Текст. / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов // Строительная механика и расчет сооружений — 2007. — №3. — С. 35-51.

33. Васильков, Г.В. Релятивистская механика становления несущих систем в процессе эволюции Текст. / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов // XVI Словацко-Российско-Польский семинар «Теоретические основы строительства». Сборник докладов. Москва, 2007. С. 45-52.

34. Васильков, Г.В. Становление структуры несущих систем в процессе проектирования Текст. / Г.В. Васильков, М.Ю. Иванов // Строительная механика и расчет сооружений — 2008. — №2. — С. 27-35

35. Васильков, Г.В. Метод точечного сохранения инвариантов в решениях нестационарных задач механики Текст. / Г.В. Васильков, Н.Г. Имедашвили // Изв. вузов. Строительство. — Новосибирск, №4, -1997г.-С. 60-68.

36. Васильков, Г.В., Лопатин СЛ. Вычислительная механика: Учебное пособие. — Часть 4. Устойчивость деформируемых систем Текст. / Г.В. Васильков, С Л. Лопатин -РГСУ. 1998. 112 с.

37. Визгин, В.П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике Текст. / В.П. Визгин — М., 1972.-240 с.

38. Галилей, Г. Избранные труды в 2-х томах Текст. / Г. Галилей — М.: Наука, 1964.-1211 с.

39. Гринев, В.Б. Оптимальное проектирование конструкций, имеющих заданные собственные частоты Текст. / В.Б. Гринев, А.П. Филиппов — Прикладная механика, 1971, т. 7, вып. 10, С. 19—25.

40. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст. / О. Зенкевич М.: Мир. - 1975. 541 с.

41. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимации Текст. / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир. - 1986. - 318 с.

42. Иванов, М.Ю. Оптимальное проектирование балок при динамических воздействиях Текст. / М.Ю. Иванов // Известия РГСУ. — 2004. №8. - С. 251-252.

43. Иванов, М.Ю. Определение рациональных форм дымовых труб методами теории адаптивной эволюции систем Текст. / М.Ю. Иванов // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2005». Ростов н/Д: РГСУ, 2005. С. 76-79.

44. Иванов, М.Ю. Гармония геометрических и физических параметров несущих балочных систем Текст. / М.Ю. Иванов // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2006». Ростов н/Д: РГСУ, 2006. С. 140-142.

45. Иванов, М.Ю. Полиморфизм оптимальных структур изгибаемых пластин Текст. / М.Ю. Иванов // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2007». Ростов н/Д: РГСУ, 2007. С. 100-103.

46. Иванов, М.Ю. Гармония геометрических и физических параметров прямоугольных тонких плит Текст. / М.Ю. Иванов // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2008». Ростов н/Д: РГСУ, 2008. С. 123-126.

47. Иеги, Э.М. Оптимальная конструкция и ее проектирование Текст. / Э.М. Иеги — Труды Таллиннского политехи, ин-та. — 1967. — № 257. -С. 63-85.

48. Картвелишвили, В.М. Численное решение двух контактных задач для упругих пластин Текст. / В.М. Картвелишвили. — Изв. АН СССР. МТТ. 1974. - № 6. - С. 68-72.

49. Кефели, А.И. О теоретических весах сооружений Текст. / А.И. Ке-фели. Сборник Ленингр. ин-та инж. путей сообщ. — вып. 96. — 1927.

50. Кирпичев, В.Л. Лишние неизвестные в строительной механике. Расчет статически неопределимых систем Текст. / В.Л. Кирпичев — Гос. изд. техн.-теоретич. лит. — 1934. 140 с.

51. Князева, Е.Н. Одиссея научного разума Текст. / Е.Н. Князева. — М., 1995.-228 с.

52. Князева, Е.Н. Темпоральные ландшафты коэволюции. Статья в кн. «Человек. Наука. Цивилизация. К семидесятилетию академика B.C. Степина» Текст. / Е.Н. Князева, С.П. Курдумов. М.: Канон+, 2004.-816 с.

53. Концепция самоорганизации в исторической ретроспективе Текст. -М., 1994.-236 с.

54. Коробко, В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем Текст. / В.И. Коробко. — М.: Изд. Ассоциации строит, вузов. — 1998. -372 с.

55. Красовский, Н.Н. Теория управления движением Текст. / Н.Н. Красовский -М.: Наука, 1968. 476 с.

56. Крейн, М.Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для характеристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости Текст. /М.Г. Крейн-ПММ, 1951, т. 15, вып. 3. С. 323-348.

57. Крылов, А.Н. Жозеф Луи Лагранж 1736-1936. Сборник статей к 200-летию со дня рождения Текст. / А.Н. Крылов — М. — Л., 1937. 142 с.

58. Ли, К. Основы САПР Текст. / К. Ли СПб: Питер, 2004 - 560 с.

59. Металлические конструкции. Справочник проектировщика. В 3 т. / Под общ. ред. заслуж. строителя РФ, лауреата госуд. премии СССР В.В. Кузнецова (ЦНИИпроектстальконструкция им. Н.П. Мельникова) М.: изд-во АСВ, 1998. - 576 с.

60. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике Текст. / С.Г. Михлин -М.: Наука, 1970. 512 с.

61. Моисеев, Н.Н. Алгоритмы развития Текст. / Н.Н. Моисеев — М., 1987.-304 с.

62. Моисеев, Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем Текст./ Н.Н. Моисеев М.: Наука, 1971.-424 с.

63. Николаи, Е.Л. Труды по механике Текст. / Е.Л. Николаи М., Гос-техиздат, 1955. — 584 с.

64. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир,-1981.-304 с.

65. Онтология и эпистемология синергетики. Текст. Институт философии РАН-М., 1997. 159 с.

66. Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки Текст. / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова — М.; изд-во «Наука», 1967. 420 с.

67. Планк, М. Введение в механику деформируемых тел Текст. / М. Планк. М.; Л., 1929. 207 с.

68. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций Текст. / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим — Л.: Судостроение. -1974.-342 с.

69. Пригожин, И.Р. От существующего к возникающему. Время и сложность в физических науках Текст. / И.Р. Пригожин — М. Комкнига, 2006.-291 с.

70. Пригожин, И.Р. Порядок из хаоса Текст. / И.Р. Пригожин, И. Стенгерс М., 1986. - 432 с.

71. Пригожин, И.Р. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени Текст. /И.Р. Пригожин, И. Стенгерс-Едиториал УРСС, 2003.- 240с.

72. Кораблин, М.А. Программирование, ориентированное на объекты / М.А. Кораблин. Самар. госуд. аэрокосм, ун-т; Самара, 1994. — 97 с.

73. Рабинович, И.М. К теории вантовых ферм. Исследование общих свойств ферм, состоящих исключительно из растянутых элементов и изыскание новых типов таких ферм Текст. / И.М. Рабинович. — "Техника и экономика путей сообщения". — т.1. — № 1-4. — 1924.

74. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. Законы распределения усилий; метод заданных напряжений; начальныеусилия в статически неопределимых фермах Текст. / И.М. Рабинович —М.: Трансжелдориздат. — 1933. — 136 с.

75. Рабинович, И.М. Стержневые системы минимального веса Текст. / И.М. Рабинович — В кн.: Труды II Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике: Обзорные доклады. М.: Наука, 1966, вып. 3, С. 265-275.

76. Радциг, Ю.А. Статически неопределимые фермы наименьшего веса Текст. / Ю.А. Радциг —Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1969. 287 с.

77. Розин, JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам Текст. / Л.А. Розин —М.-Л.: Стройиздат. — 1977. 129 с.

78. Розин, Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ Текст. / Л.А. Розин Л.: Энергия. - 1971. - 214 с.

79. Розин, Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов Текст. / Л.А. Розин — Л.: Изд. Ленинград, ун-та. — 1976. — 237 с.

80. Розин, Л.А. Теоремы и методы статики деформируемых систем Текст. / Л.А. Розин Л.: Изд. ЛГУ. - 1986. - 276 с.

81. Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления Текст. — М.: РАН, Институт философии, 1994. — 349 с.

82. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов Текст. / Л. Сегерлинд М.: Мир, 1976. - 392 с.

83. Сейранян, А.П. Оптимальное проектирование балки с ограничениями на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости Текст. /А.П. Сейранян-Изв. АН СССР. МТТ, 1976, №1, С.147-152.

84. Сороко, Э.М. Структурная гармония систем Текст. / Э.М. Сороко — Минск, 1984.-264 с.

85. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле Текст. / С.П. Тимошенко М.: Изд. «Наука». 1967.-444 с.

86. Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки Текст. / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер — М.: Изд. «Наука». 1966. — 636 с.

87. Троицкий, В.А. Оптимизация упругих стержней при свободных колебаниях Текст. / В.А. Троицкий. Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 3, С. 145-152.

88. Троицкий, В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем Текст. / В.А. Троицкий — JL: Машиностроение, 1976. 248 с.

89. Филин, A.JI. Классическое вариационное исчисление и задача оптимизации упругих стержневых систем Текст. / A.JI. Филин, М.А. Соломещ, Ю.Б. Гольдштейн — В кн.: Исследование по теории сооружений. —М.: Стройиздат. — 1972. — вып. 19. — С.156-163.

90. Хакен, Г. Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии Текст. / Г. Хакен — Институт компьютерных исследований. — 2003. -320 с.

91. Хетагуров, Я.А. Проектирование информационно-вычислительных комплексов Текст. / Я.А. Хетагуров, Ю.Г. Древе — М.: Высшая школа.-1987.-280 с.

92. Холопов, Ю.Н. Гармония. Практический курс. Части 1 Текст. / Ю.Н. Холопов — М.: Изд. дом «Композитор» — 2003. — 472 с.

93. Ченцов, Я.Г. Стойки наименьшего веса Текст. / Я.Г. Ченцов — Труды ЦАГИ, 1936, вып. 265, С. 1-48.

94. Черникова, И.В. «Философия и история науки»: Учебное пособие Текст. / И.В. Черникова Томск: Изд-во HTJI, 2001 - 352с.

95. Черноусько, Ф.Л. Некоторые оптимальные конфигурации ветвящихся стержней Текст. / Ф.Л. Черноусько Изв. АН СССР. МТТ. -1979.-№3.

96. Черноусько, Ф.Л. Вариационные задачи механики и управления: Численные методы Текст. / Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук — М.: Наука, 1973,238 с.

97. Черноусько, Ф.Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления Текст. / Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановский

98. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977, т.14

99. Эбелинг, В. Физика процессов эволюции Текст. / В. Эбелинг, А. Энгельс, Р. Файстель- М.: Эдиториал УРСС, 2001. 238 с.

100. Beasley, D. «An Overview of Genetic Algorithm: Part I, Fundamentals» Text. / D. Beasley, D.R. Bull, R.R. Martin University Computing, Vol. 19, No. 2, P. 58-69, InterUniversity, Committee of Computing, 1993.

101. Cerni, V., «Thermodynamic Approach to the Travelling Salesman Problem: An Efficient Simulation Algorithm» Text. / V. Cemi — J. of Optimization Theory and Applications, Vol. 45, No. 1, 1985.

102. Clausen, T. Ober die Formarchitektonischer Saulen Text. / T. Clausen — Bull, phys.-math. Acad. St.-Peterbourg, 1851, т. 9, P. 279-294.

103. Goldberg, D.E. Genetic Algorithm in Search. Optimization and Machine Learning Text. I D.E. Goldberg — Addison-Wesley, Reading, MA, 1989, 350 p.

104. Haftka, R.T. and Grandhi R.V. «Structural Shape Optimization — Survey» Text. / R.T. Haftka, R.V. Grandhi — Computers Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 57, 1986, P. 91-106.

105. Holland, J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems Text. I J.H. Holland MIT Press, 1992, 228 p.

106. Keller, J.B. The shape of the strongest column Text. / J.B. Keller — Arch. Rational Mech. and Anal., 1960, vol. 5, N 4, P. 275-285.

107. Kirkpatrick, S. «Optimization by Simulated Annealing» Text. / S. Kirkpatrick, C.D. Gelatt, M.P. Vecchi Science, Vol. 220, No. 4598, 1986, P. 129-160.

108. Kumar, V. «Shape and Topology Synthesis of structures using a Sequential Optimization Algorithm» Text. / V. Kumar — Ph.D. thesis, Mechanical Engineering Dept., Massachusets Institute of Technology, Cambridge, MA, 1993.

109. Mitchell, A.G.M. The limits of economy of material in Frame-Structures Text. / A.G.M. Mitchell Philos. magaz. and Journ. of Sci. London. -vol. 8. - ser. 6. - 1904.

110. Morris, A J. Foundations of Structural Optimization: A Unified Approach Text. / A.J. Morris John Wiley & Sons, New York, 1997. - 623 p.

111. Niordson, F.I. On the optimal design of a vibrating beam Text. / F.I.Niordson- Quart. Appl. Math., 1965, vol. 23, N 1, P. 47-53.

112. Prager, W. Problems of optimal structural design Text. /W.Prager, J.E. Taylor J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1968. - vol. 35. - N 1. -P. 102-106.

113. Sandgren, E. Automotive Structural Design Employing a Genetic Algorithm Text. / E. Sandgren, E. Jensen — SAE Technical Paper #920772, Proceeding of the 1992 SAE International Congress and Exposition, Detroit, Michigan, 1992.

114. Taylor, J.E. Minimum mass bar for axial vibration at specified natural frequency Text. / J.E. Taylor AIAA Journal, 1967, vol. 5, N 10, P. 1911-1913.

115. Taylor, J.E. Optimum design of a vibrating bar with specified minimum cross section Text. / J.E. Taylor AIAA Journal, 1968, vol. 6, P. 13791381.

116. Topping, B.H., «Shape Optimization of Skeletal Structures: A Review» Text./B.H. Topping, J. Struct. Engr., Vol.019, No.8, 1983, P.1933-1951.