автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Динамика пластин (модель Тимошенко) постоянной и переменной толщины

На правах рукописи

Моргачев Кирилл Сергеевич

ДИНАМИКА ПЛАСТИН (МОДЕЛЬ ТИМОШЕНКО) ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

05 23 17 - Строительная механика

/ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□03162415

Самара - 2007

003162415

Работа выполнена в ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Фридман Лев Израилевич

Официальные оппоненты

- доктор физико-математических наук, профессор Радченко Владимир Павлович

- кандидат технических наук,

гл инженер ООО «Центр инженерно-технических решений» Марченко Владимир Анатольевич

Ведущая организация - ОАО «Гипровостокнефть».

Защита состоится «14» ноября 2007 года в 13-00 часов на заседании диссертационного совета Д212213.01 при ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет» (443001, г. Самара, ул Молодогвардейская, 194, ауд. 0407)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан «12» октября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

д т н, профессор

Коренькова С Ф

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Использование элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами постоянной и переменной толщины (плавающие крыши резервуаров, перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн др), в условиях интенсивных воздействий (сейсмических, аэродинамических и технологических нагрузок), неразрывно связано с совершенствованием методик их динамического расчета Предъявляемые практикой требования надежности и экономичности при создании рациональных инженерных решений приводят к необходимости проведения таких расчетов на основе более точных расчетных моделей

Повышение достоверности динамических расчетов в части увеличения области допустимых толщин и определения спектра высших частот и форм колебаний элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами, возможно при переходе в теории колебаний пластин к более совершенным кинематическим моделям (модель Тимошенко вместо классической модели, основанной на гипотезах Кирхгофа) или при отказе от кинематических гипотез и переходе к расчетам на основе теории упругости Это подтверждается известным сравнением с экспериментальными данными результатов, полученных для цилиндрических тел описанными выше способами теория упругости, модель Тимошенко, классическая модель1 Показано, что модель Тимошенко дает хорошее совпадение вычисленных низших частот с результатами теории упругости и с экспериментом для пластин со значением приведенной толщины е = И/Я< 1 5 (Л - абсолютная толщина пластины, К - внешний радиус), в то время как классическая модель применима только при определении низших частот при £<02

Применение аналитических методов решения (метод разложения в ряды по собственным формам) динамических задач теории упругости и теории пластин (с учетом уточненной кинематической гипотезы Тимошенко) позволяет не только формулировать известные зависимости в более корректной форме, что необходимо для постановки задачи в наиболее общем виде, но также алгоритмизировать и автоматизировать проводимые исследования для частных случаев (конкретных типов пластин на действие определенных типов нагрузок), что позволяет строить новые доступные для инженера расчетные программы

При анализе полученных по таким программам результатов для элементов сооружений в форме тел вращения, моделируемых круглыми и кольцевыми пластинами постоянной и переменной толщины, появляется возможность выделить из общего спектра колебаний, который получается при решении аналогичной задачи методом конечных элементов с реализацией в современных вычислительных комплексах (АЫЗУЭ), собственных частот, зависящих от числа узловых диаметров

1 Домбровский, С И Об области применения различных теорий колебаний цилиндрических тел /СИ Домбровский, Д С Еленевский, Н Д Кузнецов, Л И Фридман, Ю Н Шапошников //Изв АН СССР Мех тверд тела -1991 -№3 -С 177-182

Таким образом, применение аналитических методов также дает возможность нахождения новых закономерностей при анализе получаемых результатов, что повышает теоретический уровень инженерных расчетов

Цель работы: разработка эффективных алгоритмов и программ динамического расчета пластин различных очертаний в плане постоянной и переменной толщины для различных типов закрепления на границах и внешних нагрузок, основанных на использовании уточненной постановки теории колебаний пластин (модель Тимошенко)

Достижение поставленной цели предусматривает выполнение следующих задач исследования.

- получение основных зависимостей для пластины (модель Тимошенко) постоянной толщины в разрешающем виде в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости,

- в частных случаях (прямоугольная и кольцевая пластины постоянной толщины) оценка области достоверного использования модели Тимошенко в теории колебаний пластин и инженерной практике, путем сравнения полученных результатов с точными решениями аналогичных задач методами теории упругости,

- для элементов сооружений в форме тел вращения переменной толщины определение области достоверного использования в инженерных расчетах сопоставлением собственных частот с известными результатами экспериментов и построение решения задачи о вынужденных колебаниях,

- использование современных систем компьютерной математики (МаШешайса) во избежание появления ошибок, как при построении, так и при реализации разрабатываемых алгоритмов,

- анализ результатов, полученных на модельных примерах

Научная новизна работы заключается в следующем

- специальным подбором потенциальных функций в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости в новом разрешающем виде получены уравнения равновесия (движений) пластины постоянной толщины (модель Тимошенко), которые позволяют строить решение задач о собственных и вынужденных колебаниях пластин различных очертаний в плане для широкого класса граничных условий (различных типов нагрузок и условий закрепления на границах),

- в новом (замкнутом) виде построен и реализован алгоритм решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) кусочно-переменной толщины, справедливый для широкого класса граничных условий,

- в новом виде построен и реализован алгоритм численного решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) переменной толщины, заданной как непрерывная функция радиуса пластины, справедливый для широкого класса граничных условий,

- приводится не встречающееся в литературе сравнение решений задачи о собственных значениях (частотах) для свободной квадратной пластины Тимошенко, с аналогичным, полученным методами теории упруго-

сти для свободного прямоугольного параллелепипеда

Практическая значимость работы:- ' - '

- полученные в работе результаты позволяют расширить область достоверного использования теории колебаний пластин в практических расчетах,

- разработанные алгоритмы (методики расчетов), реализованные с применением современных компьютерных систем (МаШетайса) в программные модули, могут использоваться проектными и научно-исследовательскими организациями при анализе напряженно-деформированного состояния элементов сооружений, моделируемых пластинами постоянной и переменной толщины (крыши и днища цилиндрических резервуаров, кольцевые и прямоугольные в плане перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн др ), при различном характере динамических воздействий (сосредоточенные и распределенные силы и моменты с различными законами изменения во времени) и условиях закрепления на границах (свободный край, шарнирное опирание, жесткая заделка),

- все вычисления проводятся в безразмерных величинах, что позволяет легко адаптировать разработанные программы к различным материалам (рассматриваемым в упругом и изотропном приближении) и-абсолютным размерам конструкций,

- полученные замкнутые решения могут быть использованы при оценке погрешностей численных методов (в том числе, метода конечных элементов),

- некоторые из результатов, полученных в диссертационном исследовании, были использованы ООО «ГЛОБАЛТЭНКСИНЖИНИРИНГ» (РФ, г Самара) при проектировании двудечных плавающих крыш стальных вертикальных цилиндрических резервуаров объемом 30000 м3 (площадка строительства Сангалы, Азербайджан) и 50000 м3 (площадка строительства Сангачалы, Азербайджан) в условиях сейсмических воздействий (см справку о внедрении результатов диссертационной работы в приложении к диссертации)

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью вывода основных соотношений и математического аппарата методов решений рассматриваемых начально-краевых задач динамики упругих тел, соответствием качественных результатов расчета физической картине исследуемых процессов, совпадением количественных результатов, полученных для частных случаев в приближенной (модель Тимошенко) и точной (теория упругости) постановках между собой, а также с известными, приведенными в литературе данными расчетов и результатами экспериментов

Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались на федеральных и областных научно-технических конференциях

- 63-ей и 64-ой Всероссийских научно-технических конференциях (Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре Образование. Наука Практика» (Самара, 2006 и 2007 г г),

- XXIX - XXXI Самарских областных студенческих научных конференциях «Общественные, естественные и технические науки» (Самара, 2003-2005 г г),

- 21-ой - 24-ой межвузовских студенческих научно-технических конференциях «Студенческая наука Исследования в области архитектуры, строи-

тельства и охраны окружающей среды» (Самара, 2002-2005 г г )

В целом по материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 3 в центральной печати

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы, содержащего 96 наименований и приложения Объем диссертации составил 112 страниц основного печатного текста, в том числе 19 рисунков и 8 таблиц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении объясняется актуальность выбранной темы диссертации, сформулированы цель работы и сопутствующие ее выполнению задачи исследования, указаны научная новизна и практическая значимость работы, обоснована достоверность полученных в работе результатов

В первой главе приведено описание общих принципов построения уточненных теорий (гиперболических аппроксимаций трехмерной теории) в динамике стержней, пластин и оболочек, пришедшим на смену классическим теориям (параболическим аппроксимациям трехмерной теории) Замечено, что появление уточненных кинематических теорий вызвано существенными физическими и математическими несовершенствами классических теорий, обнаруженными при решении ряда технических задач

Для призматических стержней первую гиперболическую аппроксимацию трехмерной теории получил выдающийся инженер-механик С П Тимошенко, введением в уравнения колебаний, в дополнение к поправке, введенной ранее Дж Рэлеем и учитывающей инерцию вращения поперечных сечений стержня, поправки, учитывающей деформацию сдвига этих сечений Совместный учет двух поправок (на инерцию вращения и деформацию сдвига) в уравнениях колебаний стержня, позволил уточнить его собственную частоту на 2% Впоследствии модель Тимошенко была распространена на пластины и оболочки

Приложение уточненной кинематической теории Тимошенко в динамике пластин стало возможным благодаря фундаментальным исследованиям (помимо самого автора уточнения) таких известных инженеров и ученых как В Т Гринченко, Р Д Миндлин, В Н Москаленко, Э Рейсснер, Я С Уфлянд, Л И Фридман и др

Как упомянуто выше, в существующей литературе имеются работы, в которых сравниваются результаты вычислений собственных частот колебаний цилиндрических тел на основе классической модели Кирхгофа-Лява, уточненной модели Тимошенко и теории упругости с частотами, полученными экспериментально, позволяющие определить область достоверного применения в инженерной практике для кольцевой пластины постоянной толщины, которая ограничена значением е < 1 5

Однако, в рассмотренной литературе нет подобных сопоставлений для прямоугольной пластины

Не получили распространения в литературе и решения задач о вынужденных колебаниях для кольцевых пластин переменной толщины в уточненной кинематической постановке Между тем, учет для пластин изменения толщины

по радиусу, позволяет получить решение для случая более общего по сравнению с пластиной постоянной толщины, что очень важно с практической точки зрения Таким типом пластин могут быть смоделированы плиты перекрытий и покрытий, вибрационные платформы при стендовых испытаниях оборудования и мн др

Решению этих задач и посвящена настоящая работа

Во второй главе приведен вывод уравнений равновесия (движений) для пластины Тимошенко в безразмерных произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости а1 и аг, отнесенных к абсолютному характерному линейному размеру пластины в плане Я, из вариационного принципа Гамильтона - Остроградского (принципа наименьшего действия), согласно которому при движениях пластины под действием нагрузки на отрезке времени [0,/] истинные траектории ее движений должны отличаться от других возможных траекторий тем, что для них должно быть справедливо уравнение

д\(Т-П+А)сй = О,

(1)

где 5 - вариация, Т, Я, А - соответственно полные кинетическая и потенциальная энергии деформации пластины и работа внешней силы д(а„аг,О, определяемые выражениями

1 «1 а2 <4

1 «Г «Г

Я = -ЕЯ31 Г —---

4 I 12(1-V)

(дЫ)2 I е\(д31? 1

12ГЗГ с*

Н1Нгйах(1аг,

(2)

1

Я, Я,

12(1 +у)

ке 1

1 Я, да,

¿(Зд^яд)

Я, да,

Н,Н2

Я, д Я, да.

Н2$Л-Я,^ +—(ЯД) да, да} 2 1 да, да,у 1 г>

(3)

Я2 д Я да,

• Н.НЛаЛа,

"1 "2

(4)

где и, Л, - безразмерные поперечное перемещение и компоненты осред-ненного поворота, Я,, Нг - параметры Ляме, I - безразмерное время, отнесенное к Я/с, с = лЩ[р - скорость звука в материале пластины, Е, р, v - модуль упругости, плотность и коэффициент Пуассона материала пластины, к - коэффициент сдвига, а", а'2, а" - границы пластины

Подставляя (2)-(4) в (1), получим вариационное уравнение, для которого, например, с помощью вычислительных возможностей компьютерной системы МаЙгетаЬса, можно найти систему трех дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера) относительно и, 32

У2и-

1

6 к

V5«. да2

1 3

2(1 + у) д2и 2(1 + у)

д?

Еке

(3 __1___

(1 + у)£2 ' Я, За, 1-у2 Я, За,

ВД

V3«. 2

1

1 5

2(1 + V) Я2 За2

1

Я,Я2

ЗД

' де'

(5)

6А

1 1

^ 1 ди) (1 + г)егУ 2 Н2да/ 1 -V2 Н2да2

1

, — (ЯД) + — (ЯД) НДЛдаГ 2 ° да, 1 2'

1 1 д

2(1 + у)Н1 да,

1

, — (ЯД) + —(ЯД) Н,НЛда2 ' 1 За, 2 2 ,

ад

' Э/2

где V2 - оператор Лапласа

Получение аналогичных уравнений из условий статического равновесия элемента пластины с приложением принципа Даламбера, с учетом зависимостей между усилиями и перемещениями, подтверждает правильность записи уравнений (5)

Введение потенциалов Р(а,,а2,0 и ц/(а1,а1,г), связанных с и, 32 зависимостями

з2^ 0 . 1 аг 1 ду/ ,\др^\ду/

и = V т - оР--—, 9. = -о-----—, А = -о--+--—,

а?2 1 Я, За, Я2 да2 Я2 За2 Я1 За,

где Ъ = 6£(1- и)/г2, позволяет привести систему (1) к виду

У2У2Р- 1 +

Щ-у))

+--- + - , ,

д1 к(1-у) д!" е1 дг2

2 , 12 32Р _ 2(1 +к)

V2!//-

ь^ 1=о

(6)

(7)

Формулы (6) записаны по аналогии с прямоугольными координатами, в которых они могут быть получены применением операторного метода

Уравнения (7) являются разрешающими уравнениями колебаний пластины Тимошенко в координатах а, и г, и, в случае задачи о собственных значениях,

когда Т7 = + )е'г'', ц/-ц/]е'"''' {Л] - безразмерная собственная частота,

отнесенная к с!2лК) и д = 0, переходят в уравнения Гельмгольца

У2^ - = 0; + а2^, = 0; VV, - = о, инвариантные по отношению к системам координат.

Коэффициенты аь, а21, Р1 определяются зависимостями

1+—-—к+А|-

. *(l-v)J ' V 4

1--

К1-у).

а,. =л

1+_1_л;+ II

. к{\-у)) 1 у 4

1 —

¿(1-к)

12

-(¿-я,2)

Способ вычисления собственных частот Я; и форм , Э1}, Зг] зависит от вида конкретной системы координат

Получены условия ортогональности собственных форм колебаний пластины Тимошенко в координатах а1 и а2, справедливые для приведенных в табл 1 типов закреплений пластины при ]Фп

-1

п

«л+^ад.+ад.)

Я^йЦйЦ = О

(9)

Таблица 1

Тип закрепления Условия на границе

а\, а" а"

Свободный край М1 =0, а =0, М12 = 0, М2 =0, =0, М12 =0,

Шарнирное опирание м1=0,и = 0, >92 = 0, М2 =0, и = 0, ^=0,

Жесткая заделка и = 0, Я, =0, 52 =0, м = 0, ^=0, 52=0

В табл 1 Мх, Мг- изгибающие моменты, М12 - скручивающий момент, Qг - перерезывающие силы, действующие на границах пластины

Условия (9) вместе с уравнениями (7) позволяют в координатах а1 и аг строить решение задачи о вынужденных колебаниях пластины Тимошенко под действием произвольно изменяющейся во времени нагрузки д(а],а2,1) в рядах по собственным формам

и = |> (о и,,б> = I>Д0 , = 2>,(0 ^, (10)

7=1 У-1 .1=1

где

1-у2 1

(р,{г) = ——-)/1{т)ът\{1-т)<1т, (11)

-С/£ 0

«Г «Г

| \ц(ах,а1)г)и}НхН1йа]йа2 № = >- (12)

<"' «г ^

В выражении (11) г - параметр интегрирования

В третьей главе в безразмерных полярных координатах г и в представлено решение задачи о вынужденных колебаниях под действием нагрузки ц(г,в,{) для кольцевой пластины Тимошенко постоянной толщины Условие периодичности кольцевой пластины по угловой координате в предопределяет вид решений уравнений (8)

К = [С^1т(гач) + С21тКт(га]])]со$(тв),

К = \С^т(гаг;) + СА1Ут(гаг1)\соъ(тв), (13)

Г, =1СМг£) + С^Кт(г/3^т(тв) в функциях Бесселя первого и второго рода Зт, Ут и модифицированных функциях Бесселя первого и второго рода 1т, Кт относительно произвольных постоянных С1]т, С2{т, , С6.т, т = 0,1,2 .. - число узловых диаметров, у =1,2,3 -

порядковый номер формы колебаний с фиксированным числом узловых диаметров

Для кольцевой пластины условия на границах из табл 1 примут вид, приведенный в табл 2

_Таблица 2

Тип закрепления Условия на внутреннем г = и внешнем г = гтр краях кольцевой пластины

Свободный край

Шарнирное опирание

Жесткая заделка «,=0, Эгт=0, 9^ = 0

По одному из приведенных в табл 2 условий на каждом из краев пластины, порождают систему шести линейных однородных алгебраических уравнений относительно шести произвольных постоянных

, + а„С, ,„+. + а.,С, „ = О,

¡т 1 "12>-'2 л» 1 ' г ует '

«2.С,+ аг2С^т + + а26С6 = 0,

(14)

Условие разрешимости системы (14) - равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при произвольных постоянных - дает частотное уравнение

а,, а„

= 0,

(15)

которое является трансцендентным Решается оно методом бисекции, при применении которого успех решения зависит от выбора шага при малом шаге мала вероятность пропуска корней, но увеличивается время счета При увеличении шага возможны пропуски корней

Компьютерная система МаЛепШюа позволяет строить график функции <р(Х1т), нули

которой являются корнями частотного уравнения (15), до вычисления частот и в методе бисекции обоснованно назначить шаг, который не должен превышать минимального расстояния между нулями функции <р(Л1т) На рис 1 представлен график этой функции при т = 3

На рис 2 приведено сопоставление собственных частот т свободной кольцевой пластины Тимошенко (штриховые линии) с внутренним радиусом гт = 0 3, с аналогичными решениями задачи о собственных колебаниях свободного полого цилиндра методами теории упругости (сплошные линии) в зависимости от е для т = 2, 3, 4, 6, 8, 10 Обращает на себя внимание близкое расположение полученных точной (теория упругости) и приближенной (модель Тимошенко) теориями результатов Это подтверждает справедливость положенных в их основу предпосылок и известную область достоверного применения модели Тимошенко в инженерной практике для кольцевых пластин В расчете принято у = 0 3, ¿ = 086

График на рис 2 является иллюстрацией уточнения известного алгоритма решения задачи для полого цилиндра методами теории упругости применением компьютерной системы МаЙ1етаиса, позволившей усовершенствовать процесс вычислений (например, использовать при вычислениях корней частотного уравнения описанной выше реализации метода бисекции)

Основная трудность реализации алгоритма метода теории упругости заключается в том, что порядок частотного уравнения (15) достигает 6и, где и -число удерживаемых в рядах слагаемых

9(л,3)

АЛШ»

№ -1 <Ио«

Ж 1

1

Да

Рис 1

Рис 2

По собственным частотам могут быть вычислены собственные формы колебаний На рис 3 приведены безразмерные изгибающие моменты Мг точек линии в = О при жесткой заделке внутреннего контура и свободном внешнем В расчете принималось гт = 0 3, г =1, £ = 0 8, тя = 3, у = 03, & = 0 86

- И

?

■¿0 у • * .Л

К ,

К- Лг , ---—Д, , 1«,

0,3 0.4 0.5 06 0,7 0,9 "0,9 г

Рис 3

В полярных координатах зависимость (12) позволяет строить решение задачи о вынужденных колебаниях разложением в ряды по собственным формам для широкого класса нагрузок (сосредоточенные и распределенные по линии силы и моменты), в том числе при действии на отрезке времени само-

уравновешенной импульсной нагрузки, распределенной по свободному внешнему краю пластины

Р(1) = Рг, 81п(71^-)соз(/я0), (16)

где Р0 - амплитудное значение импульсной нагрузки, (0 - продолжительность воздействия

При действии нагрузки (16) ряды (10) переходят в одинарные с суммированием только по ] Результаты вычислений и при изменении числа удерживаемых в таких рядах слагаемых показывают быструю сходимость уже при переходе от ] =5 к у=10 (см табл 3)

__Таблица 3

] 5 10 15 20 25 30

и 4 46709 4 48196 4 48630 4 48693 4 48647 4 48635

На рис 4 а) и б) приведены результаты вычислений безразмерных перемещений и, отнесенных к (1 -у2)Р0/Е, точек срединной плоскости жестко заделанной на внутреннем и свободной на внешнем крае пластины на линии 0 = 0 при действии на внешнем крае нагрузки (16) В расчетах принято = 0 3, гшр =1, 5 = 08, у = 5, т = 3, у = 03, ¿ = 0 86, Р0=1, ?0=48

а) и

л

/ 1 \ 1 А \ 1 I Л \

/ \ 1 1 1 1 1 \ / 1 \

V-1 —-т 1 "Т Г" г~ 1 V \

\ \ 1 / \/ \ \ 1 1

б) и 03

-0 1

Л

\

1 У ^ А/ АГ л/ №

V и V (У V V 'У \)\1

10 12 14 16 18 20

Рис 4

10 12 14 16 18 20

Анализ графиков, приведенных на рисунках, показывает, что при действии импульсной нагрузки (16) на внешнем крае (рис.4а) кольцевой пластины безразмерные перемещения и точек срединной плоскости на внешнем контуре (пунктирные линии) значительно превосходят перемещения точек срединной плоскости на внутреннем крае пластины (сплошные линии) Тогда как при действии нагрузки (16) на внутреннем радиусе пластины (рис 46) перемещения точек срединной плоскости на внешнем (пунктирные линии) и внутреннем (сплошные линии) контурах имеют близкие значения

В четвертой главе приводится не встречающееся в литературе сравнение решений задачи о собственных значениях (частотах) для свободной квадратной пластины Тимошенко, с аналогичным, полученным методами теории упругости для свободного прямоугольного параллелепипеда.

Результаты вычислений первой безразмерной собственной частоты \ свободной квадратной пластины (модель Тимошенко) для разных толщин е представлены на рис 5 штриховой линией Сплошными линиями на рис 5 показаны частоты прямоугольного параллелепипеда, вычисленные методами тео-

рии упругости (среди которых имеются частоты от г не зависящие -заны горизонтальной линией)

они пока-

17

16

15

и

и

11

10

} у

/

03 0 4 0.5 0 6 47 0Л 0.»

Рис 5

Незначительные расхождения результатов вычислений двумя методами, показанных на рис 5, объясняются ухудшением сходимости вычислений методами теории упругости в области тонких пластин

Сопоставление частот, вычисленных для пластины Тимошенко (порядок частотного уравнения 4я) и на основе теории упругости (порядок частотного уравнения 6и2), определяет область достоверного применения модели Тимошенко в теории колебаний прямоугольных пластин значением е = 0 9 (за характерный линейный размер Л в этом случае принимается длина наибольшей стороны)

В пятой главе рассматриваются два подхода (и соответственно, две расчетные модели) к построению решения задачи о вынужденных колебаниях для конструкции в форме тела вращения переменной толщины (например, вибрационные платформы при стендовых испытаниях оборудования), которая может быть смоделирована в расчете кольцевой пластиной Тимошенко переменной толщины

Первый из них (модель I) основан на аппроксимации тела вращения набором л кольцевых пластин Тимошенко постоянной толщины (на рис 6 показаны сплошными линиями) и решении задачи о вынужден- р-ных колебаниях для полученной кольцевой пластины Тимошенко кусочно-переменной толщины разложением в ряды по собственным формам

На рис 6 ер, гр1, г - безразмерные толщина, <—

внутренний и внешний радиусы р -й пластины

¿1

р.1

с(г)

Рис 6

Условия на стыках р -й пластины приведены в табл 4

Таблица 4

г = грл п(р-1) _ а(р) г )т г ]т > 0(.Р-1) _ О(Р) 170 ¡т ^в ;т '

М{Р~Х) = м^ 1 л гв }т ^гв^ъ (у.р-1) _ /у.р) ¿¿г ]т

г —г р П(р) _ 0(^+1) г )т г ^ 5 а(р) — а(р+1) °в ¡т '

м(г> =мсг>, гв )т гв ]т ¡т ]т

По одному из условий на внутреннем г = гю и внешнем г = гтр контурах пластины по модели I (см табл 2), а также условия на стыках пластин постоянной толщины (см табл 4) порождают систему из 6л- линейных однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных

Вычисления по модели I проводились для 5 = 4, гй = гю = 0 3, г, =0.475, г2 = 0 65, г3 = 0 825, г4=гтр= 1, £,=08, £2 = 07, <?3=06, г?„=0.5, к = 03, к = 0 86 Результаты вычисления первых пяти безразмерных частот Л, 3 Л53 (7 = 1 5, т = 3 ) при различных закреплениях на границах представлены в табл 5

Таблица 5

Г— Г ей Свободный край Шарнирное опирание Жесткая заделка

г = г нар Свободный край Свободный край Свободный край

Аз 1 55812 1 63418 1 65426

Аз 3 57156 3 84365 3 84866

А. 4 03554 4 79505 4 96646

Аз 5 02213 5 41120 5 50900

Аз 5.76527 6 40134 6 49968

Для пластины по модели I проводилось сравнение полученных собственных частот с известными определенными экспериментально для турбинного диска авиационного газотурбинного двигателя2 (см табл 6)

На рис 7 показаны конструктивная (сплошные линии) и расчетная (штриховые линии) схемы такого диска Диск аппроксимируется десятью концентричными цилиндрами с приведенными размерами г0 = 2371, ^=0 4387, г2=0 5019, гъ =0 5731, г4 =0 6759, г5 =0 7352, г6=0 8024, г7=0 8, г8 =0 8775, г9=0 9012, = гтр=\ 0, £,=0 3953, е2=0 3043, гг3=0 1858, 8=0 1186, е=0 0949, е6=0 0790, в1 =0 1502, г8=0 1028, гг9=0 0870, гг10=0 1107

2 Кузнецов, Н Д Расчетные методы определения собственных частот элементов конструкций в форме тел вращения и близких к ним / Н Д Кузнецов, Л И Фридман, М Е Колотников // Проблемы машиностроения и надежности машин М Наука - 1993 - №3 - С 98-106

Внутренний и внешний контуры приняты свободными от закреплений Как и выше, в расчете положено V = 0 3, ¿ = 0 86 (стальной диск)

Таблица 6

т .1 Эксперимент Модель Тимошенко

2 1 0 4293 0 3842

3 1 0 5719 0 5717

4 1 0 7266 0 7823

5 1 0 9517 1 0605

6 1 1 2083 1 4174

7 1 1 5030 1 8222

8 1 1 8070 2 1338

3 2 1 9250 2 0290

При расчете методом модели Тимошенко в силу гипотез теории пластин рассчитывается диск, аппроксимирующие цилиндры которого расположены так, что срединные плоскости их образуют плоскость симметрии диска Конструкцией диска обусловлено некоторое нарушение симметрии относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения Несмотря на некоторое отличие реального диска от симметричного диска, из табл 6 видно, что частоты, подсчитанные по модели Тимошенко, несмотря на несимметричность диска, мало отличаются от экспериментальных значений, за исключением частоты 112 Т е отступление от симметрии сказывается в данном случае только на низшей частоте ¿12

Различия между расчетными и экспериментальными частотами при т < 4 лежат в пределах 3-76% (для Х12 до 10%), а при т> 5 отличия возрастают до 11-24% (погрешность определялась относительно экспериментальных частот) Эти отличия объясняются наличием наклонных относительно оси диска' пазов под замки лопаток, из-за чего диск не является телом вращения

Близкие значения частот, полученных по модели Тимошенко для т <4, свидетельствуют о достоверности программы вычисления частот, построенной с применением компьютерной системы Ма&ета^са, и вместе с тем определяют диапазон применения уточненной модели

Второй подход (модель II) основан на численном решении системы трех дифференциальных уравнений равновесия (движений) пластины Тимошенко толщины е{г) , непрерывно изменяющейся по радиусу пластины (на рис 6 показана пунктиром), полученных с использованием вариационного принципа Гамильтона-Остроградского

Зависимости (2)-(4) для кольцевой пластины непрерывно переменной толщины е(г) примут вид

2(1-v2) ;т а dt 12 dt dt

4 I J„ 12(l-i/)v дг гдв r 1 + v ' dr' V ' гдв 12(1 + v) дг гдв г гдв r dr

(18)

A = R3 J J q(r,6,i)urdrdG (19)

<•« 0

Подставляя (17)-(19) в (1), получим вариационное уравнение, для которого, например, с помощью вычислительных возможностей системы компьютерной математики Mathematica можно найти систему трех дифференциальных уравнения равновесия (движений) пластины непрерывно переменной толщины е (г) относительно поперечного перемещения u(r,6,t) и компонент осредненного поворота 3r{r,e,t), 3e{r,e,t) в полярных координатах г и в 1 дЗв Зг дЗг д2и 1ди 1 д2и г дв г дг + дг2 + г дг + г2 дв2 + | 1 де(г) ди & 2 д2и _ 2(1+v)q + e(r) дг дг r) k{\-v)dt2~ Eks(r)'

6k{l-v).Q ди. 3 1 de{f). 0 дЗе Зг

-1-'-($--) =---~{v3 +V—- + г--)--r +

s (r) dr r s(r) дг дв дг г

У~3д3в 1 -Vd23, ld3r l + v d% д23г дгЗг + 2г2 дв + 2г2 dd2 + г dr+ 2г drde + dr2 dt2 ' m-v) 1ди 3(l-v) 1 dejr) Зе | ld3r | дЗ 1 -у s2(r) У в где 2 e(r) дг г г дв дг 2г2 в 3-vd3r { 1 д23в | 1 -Уд3в 1 + у дгЗг 1 -удгЗв д23$ 2г2 дв г2 дв2 2r дг + 2г дгдв+ 2 дг2 dt2 Толщина е(г) пластины по модели II принималась в виде линейного интерполирующего полинома, полученного для набора пластин по модели I (см

(20)

выше пример с разбиением тела вращения на 4 пластины) Численное решение системы дифференциальных уравнений (20) проводилось с использованием средств компьютерной системы Ма&етайса

Для моделей I и II приведено сравнение результатов решений задач о вынужденных колебаниях в виде графиков изменения по радиусу безразмерных поперечных перемещений и точек внешнего контура срединной плоскости пластин (рис 8а), а также изгибающих моментов Мг в заделке по времени (рис 86) Рассматриваются жестко защемленные на внутреннем крае и свободные на внешнем пластины Нагружение пластин по моделям I (сплошная линия) и II (пунктирная линия) осуществлялось самоуравновешенной импульсной нагрузкой (16), распределенной на внешней границе пластин _ а) и б)

•

ч

03 04 05 06 07 08 09 1

Рис 8

Близкий характер изменения величин, приведенных на рис 8 а) и б) (с расхождением не более 0 1%) подтверждает достоверность обоих расчетных моделей, и соответственно, предпосылок, положенных в их основу

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

В результате количественного и качественного анализа результатов установлено, что

- область достоверного применения модели Тимошенко в инженерной практике для прямоугольных пластин ограничивается значением приведенной толщины (т е отнесенной к абсолютному значению характерного линейного размера в плане) 0 9, для кольцевых - 1 4,

- полученные разными методами (численным, средствами компьютерной системы МаШетаИса, и в замкнутом виде, в рядах по собственным формам, решения задачи для кольцевой пластины переменной толщины) и теориями (приближенное решение на основе теории типа Тимошенко и точное методами теории упругости для свободных тел в прямоугольных и цилиндрических координатах) результаты имеют хорошее совпадение, что подтверждает справедливость положенных в их основу предпосылок,

- построение решений с применением вычислительных возможностей компьютерной системы МаШетаиса исключает пропуск корней при решении частотного (трансцендентного) уравнения и позволяет обоснованно назначить оптимальный шаг в методе бисекции, что, в частности, позволило усовершенствовать реализацию известных алгоритмов решения задачи теории упругости о собственных колебаниях свободного прямоугольного параллелепипеда и сво-

бодного полого цилиндра;

- с позиций сложности реализации на ПЭВМ алгоритм решения задачи теории упругости на собственные значения гораздЪ более трудоемкий, чем аналогичный метод вычислений частот и форм собственных колебаний, основанный на использовании модели Тимошенко для пластин, что объясняется существенно более низким порядком частотного уравнения в последнем случае,

- результаты проводимых вычислений имеют быструю сходимость, те оказались справедливыми для малого количества удерживаемых в рядах слагаемых (до 5) Получаемый при этом порядок частотного уравнения позволяет для реализации предложенных методик динамического расчета использовать ПЭВМ с ограниченными ресурсами памяти и быстродействия,

- предпосылки о возможности применения модели Тимошенко к динамическим расчетам тел вращения (пластин) постоянной толщины, оказываются справедливыми и для пластин переменной толщины.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В РАБОТАХ

- в изданиях рецензируемых научных журналов, рекомендованных перечнем Высшей Аттестационной Комиссии:

1 Фридман, Л И Построение и реализация решений задач нестационарных колебаний пластин (модель Тимошенко) / ЛИ Фридман, КС Моргачев // Вестник Самар. гос ун-та. Естественнонаучная серия.-2006 -№2(42) -С 92-102

- в изданиях других рецензируемых научных журналов:

2 Фридман, Л И Решение стационарной динамической задачи для кольцевой пластины в рамках модели Тимошенко /ЛИ Фридман, К С. Моргачев // Вестник Самар гос техн ун-та Сер Физ -мат. науки - 2005 - Вып. 34 - С 68-71

3. Моргачев, К.С. Нестационарная динамика кольцевой пластины Тимошенко переменной толщины / К.С. Моргачев // Вестник Самар. гос техн ун-та Сер Физ-мат науки -2007 -№2(15). -С 205-207.

- в других изданиях:

4. Моргачев, К.С Динамика круглых пластин (модель Тимошенко) /КС Моргачев // Общественные, естественные и технические науки: тезисы докладов XXIX Самарской областной студенческой научной конференции. - Самара, 2003 -С 138

5 Моргачев, К С Динамика пластины в форме сектора как элемента цик-лосимметричной конструкции (модель Тимошенко) /КС Моргачев // Студенческая наука Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды- тезисы докладов 21-22-й студенческих научно-технических конференций/Самар гос арх-строит.акад -Самара,2003 - С 15-16

6. Моргачев, К.С Динамика круглых пластин (модель Тимошенко) /КС Моргачев // Студенческая наука Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды тезисы докладов 21-22-й студенческих научно-технических конференций / Самар гос арх-строит акад - Самара, 2003. - С. 20-21

7 Моргачев, К.С. Нестационарная динамика пластин (модель Тимошенко) /КС Моргачев // Общественные, естественные и технические науки1 тезисы

S

докладов XXX Самарской областной студенческой научной конференции -Самара, 2004 - С 136-137

8 Моргачев, К С Нестационарная динамика пластин (модель Тимошенко) /КС Моргачев // Студенческая наука Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды тезисы докладов 23-й студенческой научно-технической конференции / Самар гос арх -строит ун-т - Самара, 2004 - С 15-16

9 Моргачев, К С Динамический расчет кольцевой пластины переменной толщины (модель Тимошенко) /КС Моргачев // Общественные, естественные и технические науки тезисы докладов XXXI Самарской областной студенческой научной конференции - Самара, 2005 - С 154

10 Моргачев, К С Динамика кольцевой пластины переменной толщины в рамках модели Тимошенко /КС Моргачев // Студенческая наука Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды тезисы докладов 24-й студенческой научно-технической конференции / Самар гос арх -строит ун-т - Самара, 2005 - С 32

11 Фридман, JIИ Сравнение частотного спектра прямоугольной пластины (модель Тимошенко) с результатами теории упругости /ЛИ Фридман, К С Моргачев // Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре Образование Наука Практика материалы 63-й Всероссийской научно-технической конференции / Самар гос арх -строит ун-т - Самара, 2006 - С 64

12 Моргачев, К С Нестационарная динамика кольцевой пластины Тимошенко переменной толщины /КС Моргачев // Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре Образование Наука Практика материалы 64-й Всероссийской научно-технической конференции / Самар гос арх -строит, ун-т -Самара, 2007 - С 101-102

Отпечатано на лазерном принтере Тираж 100 экз

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Модель Тимошенко и ее приложение к динамическим расчетам пластин.

1.1. Общие принципы построения уточненных теорий в динамике стержней, пластин и оболочек.

1.2. Уточнение классической теории поперечных колебаний призматических стержней.

Актуальность работы. Использование элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами постоянной и переменной толщины (плавающие крыши резервуаров, перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн.др.), в условиях интенсивных воздействий (сейсмических, аэродинамических и технологических нагрузок), неразрывно связано с совершенствованием методик их динамического расчета. Предъявляемые практикой требования надежности и экономичности при создании рациональных инженерных решений приводят к необходимости проведения таких расчетов на основе более точных расчетных моделей.

Повышение достоверности динамических расчетов в части увеличения области допустимых толщин и определения спектра высших частот и форм колебаний элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами, возможно при переходе в теории колебаний пластин к более совершенным кинематическим моделям (модель Тимошенко вместо классической модели, основанной на гипотезах Кирхгофа) или при отказе от кинематических гипотез и переходе к расчетам на основе теории упругости. Это подтверждается известным сравнением [20] с экспериментальными данными результатов, полученных для цилиндрических тел описанными выше способами: теория упругости, модель Тимошенко, классическая модель. В [20] показано, что модель Тимошенко дает хорошее совпадение вычисленных низших частот с результатами теории упругости и с экспериментом для пластин со значением приведенной толщины e = h!R< 1.5 (h - абсолютная толщина пластины, R - внешний радиус), в то время как классическая модель применима только при определении низших частот при £ < 0.2.

Применение аналитических методов решения (метод разложения в ряды по собственным формам) динамических задач теории упругости и теории пластин (с учетом уточненной кинематической гипотезы Тимошенко) позволяет не только формулировать известные зависимости в более корректной форме, что необходимо для постановки задачи в наиболее общем виде, но также алгоритмизировать и автоматизировать проводимые исследования для частных случаев (конкретных типов пластин на действие определенных типов нагрузок), что позволяет строить новые доступные для инженера расчетные программы.

При анализе полученных по таким программам результатов для элементов сооружений в форме тел вращения, моделируемых круглыми и кольцевыми пластинами постоянной и переменной толщины, появляется возможность выделить из общего спектра колебаний, который получается при решении аналогичной задачи методом конечных элементов с реализацией в современных вычислительных комплексах (ANSYS), собственных частот, зависящих от числа узловых диаметров.

Таким образом, применение аналитических методов также дает возможность нахождения новых закономерностей при анализе получаемых результатов, что повышает теоретический уровень инженерных расчетов.

Цель работы: разработка эффективных алгоритмов и программ динамического расчета пластин различных очертаний в плане постоянной и переменной толщины для различных типов закрепления на границах и внешних нагрузок, основанных на использовании уточненной постановки теории колебаний пластин (модель Тимошенко).

Достижение поставленной цели предусматривает выполнение следующих задач исследования:

- получение основных зависимостей для пластины (модель Тимошенко) постоянной толщины в разрешающем виде в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости;

- в частных случаях (прямоугольная и кольцевая пластины постоянной толщины) оценка области достоверного использования модели Тимошенко в теории колебаний пластин и инженерной практике, путем сравнения полученных результатов с точными решениями аналогичных задач методами теории упругости;

- для элементов сооружений в форме тел вращения переменной толщины определение области достоверного использования в инженерных расчетах сопоставлением собственных частот с известными результатами экспериментов и построение решения задачи о вынужденных колебаниях;

- использование современных систем компьютерной математики (Mathematica) во избежание появления ошибок, как при построении, так и при реализации разрабатываемых алгоритмов;

- анализ результатов, полученных на модельных примерах.

Научная новизиа работы заключается в следующем:

- специальным подбором потенциальных функций в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости в новом разрешающем виде получены уравнения равновесия (движений) пластины постоянной толщины (модель Тимошенко), которые позволяют строить решение задач о собственных и вынужденных колебаниях пластин различных очертаний в плане для широкого класса граничных условий (различных типов нагрузок и условий закрепления на границах);

- в новом (замкнутом) виде построен и реализован алгоритм решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) кусочно-переменной толщины, справедливый для широкого класса граничных условий;

- в новом виде построен и реализован алгоритм численного решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) переменной толщины, заданной как непрерывная функция радиуса пластины, справедливый для широкого класса граничных условий;

- приводится не встречающееся в литературе сравнение решений задачи о собственных значениях (частотах) для свободной квадратной пластины Тимошенко, с аналогичным, полученным методами теории упругости для свободного прямоугольного параллелепипеда.

Практическая значимость работы:

- полученные в работе результаты позволяют расширить область достоверного использования теории колебаний пластин в практических расчетах;

- разработанные алгоритмы (методики расчетов), реализованные с применением современных компьютерных систем (Mathematica) в программные модули, могут использоваться проектными и научно-исследовательскими организациями при анализе напряженно-деформированного состояния элементов сооружений, моделируемых пластинами постоянной и переменной толщины (крыши и днища цилиндрических резервуаров, кольцевые и прямоугольные в плане перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн.др.), при различном характере динамических воздействий (сосредоточенные и распределенные силы и моменты с различными законами изменения во времени) и условиях закрепления на границах (свободный край, шарнирное опирание, жесткая заделка);

- все вычисления проводятся в безразмерных величинах, что позволяет легко адаптировать разработанные программы к различным материалам (рассматриваемым в упругом и изотропном приближении) и абсолютным размерам конструкций;

- полученные замкнутые решения могут быть использованы при оценке погрешностей численных методов (в том числе, метода конечных элементов);

- некоторые из результатов, полученных в диссертационном исследовании, были использованы ООО «ГЛОБАЛТЭНКСИНЖИНИРИНГ»

РФ, г.Самара) при проектировании двудечных плавающих крыш стальных вертикальных цилиндрических резервуаров объемом 30000 м (площадка строительства Сангалы, Азербайджан) и 50000 м (площадка строительства

Сангачалы, Азербайджан) в условиях сейсмических воздействий (см. справку о внедрении результатов диссертационной работы в приложении к диссертации).

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью вывода основных соотношений и математического аппарата методов решений рассматриваемых начально-краевых задач динамики упругих тел, соответствием качественных результатов расчета физической картине исследуемых процессов, совпадением количественных результатов, полученных для частных случаев в приближенной (модель Тимошенко) и точной (теория упругости) постановках между собой, а также с известными, приведенными в литературе данными расчетов и результатами экспериментов.

Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались на федеральных и областных научно-технических конференциях:

- 63-ей и 64-ой Всероссийских научно-технических конференциях «Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика» (Самара, 2006 и 2007 г.г.);

- XXIX - XXXI Самарских областных студенческих научных конференциях «Общественные, естественные и технические науки» (Самара, 20032005 г.г.);

- 21-ой - 24-ой межвузовских студенческих научно-технических конференциях «Студенческая наука. Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды» (Самара, 2002-2005 г.г.).

В целом по материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 3 в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы, содержащего 96 наименований и приложения. Объем диссертации составил 112 страниц основного печатного текста, в том числе 19 рисунков и 8 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате количественного и качественного анализа результатов установлено, что:

- область достоверного применения модели Тимошенко в инженерной практике для прямоугольных пластин ограничивается значением приведенной толщины (т.е. отнесенной к абсолютному значению характерного линейного размера в плане) 0.9, для кольцевых - 1.4;

- полученные разными методами (численным, средствами компьютерной системы Mathematica, и в замкнутом виде, в рядах по собственным формам, решения задачи для кольцевой пластины переменной толщины) и теориями (приближенное решение на основе теории типа Тимошенко и точное методами теории упругости для свободных тел в прямоугольных и цилиндрических координатах) результаты имеют хорошее совпадение, что подтверждает справедливость положенных в их основу предпосылок;

- построение решений с применением вычислительных возможностей компьютерной системы Mathematica исключает пропуск корней при решении частотного (трансцендентного) уравнения и позволяет обоснованно назначить оптимальный шаг в методе бисекции, что, в частности, позволило усовершенствовать реализацию известных алгоритмов решения задачи теории упругости о собственных колебаниях свободного прямоугольного параллелепипеда и свободного полого цилиндра;

- с позиций сложности реализации на ПЭВМ алгоритм решения задачи теории упругости на собственные значения гораздо более трудоемкий, чем аналогичный метод вычислений частот и форм собственных колебаний, основанный на использовании модели Тимошенко для пластин, что объясняется существенно более низким порядком частотного уравнения в последнем случае;

- результаты проводимых вычислений имеют быструю сходимость, т.е. оказались справедливыми для малого количества удерживаемых в рядах слагаемых (до 5). Получаемый при этом порядок частотного уравнения позволяет для реализации предложенных методик динамического расчета использовать ПЭВМ с ограниченными ресурсами памяти и быстродействия;

- предпосылки о возможности применения модели Тимошенко к динамическим расчетам тел вращения (пластин) постоянной толщины, оказываются справедливыми и для пластин переменной толщины.

1. Алоян, P.M. Динамические задачи механики конструкций и сплошных сред / P.M. Алоян. Учеб. пособие. - М.: АСВ, 1999. - 255 с.

2. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.М.Беляев. М.: ГИТТЛ, 1954. - 856 с.

3. Бирбраер, А.Н. Расчет конструкций на сейсмостойкость / А.Н. Бирбраер.- СПб.: Наука, 1998. 255 с.

4. Биргер, И.А. Прочность, устойчивость, колебания / И.А. Биргер, Я.Г. Пановко. Справочник. - М.: Машиностроение, 1968. - Т.З. - 567 с.

5. Бицено, К.Б. Техническая динамика / К.Б. Бицено, Р. Граммель. М., Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1952. - Т.2. - 630 с.

6. Галимов, Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек / К.Ш. Галимов.- Саратов: Изд-во ун-та, 1990. 136 с.

7. Галиныи, А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям / А.К. Галиньш // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1970. -Вып. 6-7. - С. 23-64.

8. Гернушов, Е.М. Расчет круглых и кольцевых пластин на действие произвольной динамической нагрузки / Е.М. Гернушов // Изв. АН СССР.- Сер.: ОНТ. Механика и машиностроение. 1964. - № 6. - С. 89-95.

9. Головчан, В.Т. Динамика упругих тел / В.Т. Головчан, В.Д. Кубенко,

10. Н.А. Шульга, А.Н. Гузь, В.Т. Гринченко. Киев: Наукова думка, 1986. -Т.5.-286 с.

11. Гольденвейзер, A.J1. Теория упругих тонких оболочек / A.J1. Гольденвейзер. М.: ГИТТЛ, 1953. - 564 с.

12. Гольденвейзер, A.JI. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера / A.JI. Гольденвейзер, Ю.Д. Каплунов, Е.В. Нольде // Изв. АН СССР. Сер.: Мех. тверд, тела. -1990,-№6. -С. 124-138.

13. Гонткевич, B.C. Собственные колебания пластин и оболочек / B.C. Гонткевич. Справочное пособие. - Киев: Наук, думка, 1964. - 471 с.

14. Горошко, И.О. Гранично-элементный анализ гармонических колебаний пластин Тимошенко / И.О. Горошко, Г.М. Зражевский // Техн. диагност, и неразруш. контроль. 1990. - №1. - С. 18-22.

15. Григолюк, Э.И. О коэффициенте сдвига в теории оболочек типа Тимошенко / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов // Докл. РАН. 2001. - №1. -С. 47-49.

16. Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов // Итоги науки и техники. Сер.: Мех. тверд, деформ. тел. М.: ВИНИТИ, 1973. - Т.5. - 272 с.

17. Гринченко, В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих телконечных размеров / В.Т. Гринченко. Киев: Наук, думка, 1978. - 264 с.

18. Грудев, И.Д. Толстые упругие стержни, пластинки и оболочки / И.Д. Грудев. М.: Академпринт, 2001. - 176 с.

19. Гузь, А.Н. Дифракция упругих волн / А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, М.А. Черевко Киев: Наук, думка, 1978. - 304 с.

20. Домбровский, С.И. Об области применения различных теорий колебаний цилиндрических тел / С.И. Домбровский, Д.С. Еленевский, Н.Д. Кузнецов, Л.И. Фридман, Ю.Н. Шапошников // Изв. АН СССР. -Сер.: Мех. тверд, тела. 1991. - №3. - С. 177-182.

21. Дубинкин, М.В. Колебания плит с учётом инерции вращения и сдвига / М.В. Дубинкин // Изв. АН СССР. Сер.: ОТН мех. и машиностроения. -1958.-№12.-С. 131-135.

22. Дьяконов, В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений / В.П. Дьяконов. -М.: Нолидж, 2000. 608 с.

23. Ильин, В.П. Численные методы решения задач строительной механики /

24. В.П. Ильин, В.В. Карпов, A.M. Масленников. Минск: Выш. шк., 1990. -349 с.

25. Калманок, А.С. Расчет пластинок / А.С. Калманок. Справочное пособие. - М.: Гос. изд-во лит-ры по стр-ву, арх-ре и стр-м мат-лам. -1959.-212 с.

26. Килина, Т.Н. О влиянии геометрических и механических параметров на динамические характеристики упругих тел / Т.Н. Килина // Моделир. в мех. Новосибирск. - 1990. - №2. - С. 77-81.

27. Ключникова, В.Г. Корректирование приближенного решения задачи о собственных колебаниях плиты в неклассической постановке / В.Г. Ключникова // Прикл. механика. 1966. - №12. - С. 27-32.

28. Корнилов, А.А. Колебания кольцевой пластины переменной толщины произвольного профиля с учетом инерции вращения и деформации сдвига / А.А. Корнилов // Вестн. Киевск. политехи, ин-та. Сер.: машиностр. - 1968. - №5. - С. 8-14.

29. Коренев, Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях / Б.Г. Коренев. М.: Физматгиз, 1960. -458 с.

30. Коренев, Б.Г. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций / Б.Г. Коренев, А.Ф. Смирнов. Справочникпроектировщика. М.: Стройиздат, 1986. - 461 с.

31. Кузнецов, Н.Д. Особенности низкочастотного спектра собственных колебаний цилиндрических тел / Н.Д. Кузнецов, Л.И. Фридман, Ю.Н. Шапошников //Докл. АН СССР. 1990. - Т.312. - №1. - С. 55-58.

32. Кузнецов, Н.Д. Расчетные методы определения собственных частот элементов конструкций в форме тел вращения и близких к ним / Н.Д. Кузнецов, Л.И. Фридман, М.Е. Колотников // Проблемы машиностроения и надежности машин. М.: Наука, 1993. - №3. - С. 98-106.

33. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант М.: Мир, 1964.-831 с.

34. Мацуо, Сигэру. Распределение механических напряжений вблизи отверстия / Сигэру Мацуо // Суймон тэккан. 1988. - № 156. - С. 74-85.

35. Миронов, В.В. Задача об осесимметричных собственных колебаниях круглой жестко заделанной пластины / В.В. Миронов, Н.В. Кузнецова // Вестн. Сыктывкар, ун-та. СерЛ. -2006. - №6. - С. 193-198.

36. Моргачев, К.С. Динамика круглых пластин (модель Тимошенко) / К.С. Моргачев // Общественные, естественные и технические науки: тезисы докладов XXIX Самарской областной студенческой научной конференции. Самара, 2003. - С. 138.

37. Моргачев, К.С. Нестационарная динамика пластин (модель Тимошенко) / К.С. Моргачев // Общественные, естественные и технические науки: тезисы докладов XXX Самарской областной студенческой научной конференции. -Самара, 2004. С. 136-137.

38. Моргачев, К.С. Нестационарная динамика кольцевой пластины Тимошенко переменной толщины / К.С. Моргачев // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. - №2(15). - С. 205-207.

39. Морс, Ф. Методы теоретической физики / Ф. Морс, Г. Фешбах. М.: Изд-во иностр. лит, 1960. - Т.2. - 886 с.

40. Москаленко, В.Н. К применению уточненных теорий изгиба пластинок взадаче о собственных колебаниях / В.Н. Москаленко // Инженерный ж. -1961.-№3. С. 93-101.

41. Москаленко, В.Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин / В.Н. Москаленко // Сб. Теория пластин и оболочек. Киев: АН УССР, 1962. - С. 264-266.

42. Москаленко, В.Н. Собственные колебания толстых плит / В.Н. Москаленко // Изв. АН АрмССР. Сер.: Механика. - 1968. - №5-6. -С. 57-64.

43. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. JL: Судпромгиз, 1962 - 431 с.

44. Попов, В.А. Асимптотическое решение задачи о колебаниях тонкого прямоугольника / В.А. Попов // Изв. АН СССР. Сер.: Мех. тверд, тела. - 1989. -№1. - С.115-121.

45. Седов, Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред / Л.И. Седов // Успехи матем. наук. 1965. - №5. -С. 121-180.

46. Седов, Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы / Л.И. Седов // Прикл. матем. и мех. 1966. - №5. - С. 771-785.

47. Сеницкий, Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечныхинтегральных преобразований / Ю.Э. Сеницкий. Саратов: Издательство СТУ, 1985. - 175 с.

48. Скучик, Е. Простые и сложные колебательные системы / Е. Скучик. -М.: Мир, 1971.- 557 с.

49. Ставров, Г.Н. К вопросу учета поперечного сдвига при динамических расчетах плит / Г.Н. Ставров, В.А. Катаев, В.А. Прохоров // Строит, мех. и расчет сооруж. 1992. - №2 - С. 55-60.

50. Тимошенко, С.П. Курс теории упругости / С.П. Тимошенко. Киев: Наукова думка, 1972. - 507с.

51. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

52. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

53. Уфлянд, Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин / Я.С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. 1948. - Т. 12. - Вып. 3. - С. 287-300.

54. Фирсов, В.А. Применение аппарата дифференцирующих матриц для исследования поперечного изгиба и свободных колебаний пластин / В.А. Фирсов, И.С. Селин, X. Бен Навер // Изв. вузов. Сер.: Авиац. техн. -2002. - №1. - С. 17-19.

55. Фридман, Л.И. Нестационарная динамическая задача теории упругости для конечного цилиндра / Л.И. Фридман // Вестник Самарского государственного университета. Самара: Самарский университет, 2003. - Естественнонаучная серия. - №2 (28). - С. 113-121.

56. Фридман, Л.И. Динамическая задача теории упругости для цилиндра конечных размеров / Л.И. Фридман // Прикл. механика. 1981. - Т. 17. -№3.-С. 37-42.

57. Фридман, Л.И. Динамический расчет круглых пластин переменной толщины при отказе от гипотезы Кирхгофа / Л.И. Фридман // Вопросы проектирования и доводки авиационных газотурбинных двигателей. -Межвузовский сборник. Куйбышев: КуАИ, 1977. - С. 122-130.

58. Фридман, Л.И. Динамическая задача теории упругости для тел канонической формы / Л.И. Фридман // Докл. АН СССР. 1986. - Т.289. -№4. - С. 825-828.

59. Фридман, Л.И. Динамическая задача теории упругости для тел канонической формы / Л.И. Фридман // Прикл. механика. 1987. - Т.23.12.-С. 102-108.

60. Фридман, Л.И. Представление решения динамических задач для упругих тел разложением в ряд по собственным формам / Л.И. Фридман // Проблемы прочности. 1973. - №11. - С. 91-96.

61. Фридман, Л.И. Сравнение частот прямоугольных пластин, вычисленных по уточненной и классической гипотезам / Л.И. Фридман, О.А. Карасева // Известия вузов. Строительство. М. - 2000. - №1- С. 21-26.

62. Фридман, Л.И. Решение стационарной динамической задачи для кольцевой пластины в рамках модели Тимошенко / Л.И. Фридман, К.С. Моргачев // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2005. -Вып. 34.-С. 68-71.

63. Фридман, Л.И. Построение и реализация решений задач нестационарных колебаний пластин (модель Тимошенко) / Л.И. Фридман, К.С. Моргачев // Вестник Самар. гос. ун-та. Естественнонаучная серия. - 2006. - №2(42). -С. 92-102.

64. Callahan, W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates / W.R. Callahan // Quart. Appl. Math. 1956. - №4. - P. 371-380.

65. Cowper, G.R. The shear coefficient in Timoshenko's beam theory / G.R. Cowper // Trans. ASME. 1966. - №2. - P. 335-340.

66. Deresiewicz, H. Axially symmetric flexural vibrations of a circular disk / H. Deresiewicz, R.D. Mindlin // J. Appl. Mech. 1955. - №1. - P. 86-88.

67. Deresiewicz, H. Symmetric flexural vibrations of a clamped circular disk / H. Deresiewicz// J. Appl. Mech. 1956. - №2. - P. 319.

68. Elishakoff, I. Refined theories may be needed for vibration analysis of structures with overhang /1. Elishakoff, A.-G. Judah, S. Das Partha // Int. J. Solids and Struct. 1999. - №24. - P. 3581-3589.

69. Ferreira, A.J.M. Free vibration analysis of Timoshenko beams and Mindlin plates by radial basis functions / A.J.M. Ferreira // Int. J. Comput. Meth. -2005.-№1.-P. 15-31.

70. Hasegawa, M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations ofisotropic, elastic rectangular plates / M. Hasegawa // Proc. 16th Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. - 1967. - P. 291-293.

71. Horst, I. Refined effects in beam theories and their influence of natural frequencies of beams /1. Horst // Lect. Notes Eng. 1987. - №28. - P. 202-212.

72. Huang, T.C. Application of variational methods to the vibrations of plates including rotary inertia and shear / T.C. Huang // Developm. Mech. New York.-1961.-Vol.1.-P. 61-72.

73. Laura, P.A.A. Comments on "static and dynamic deflections of plates of arbitrary geometry by a new finite difference approach" / P.A.A. Laura // J. Sound and Vibr. 1987. - №2. - P. 379-383.

74. Lee, J.M. Vibration analysis of rectangular isotropic thick plates using Mindlin plate characteristic functions / J.M. Lee, K.C. Kim // J. Sound and Vibr.- 1995.-№5.-P. 865-877.

75. Martincek, G. Vplyv smyku a rotacnej zotrvacnosti pri kmitani dosak / G. Martincek // Strojnicky casop. 1964. - №4. - P. 337-357.

76. Miklowitz, J. Flexural stress waves in an infinite elastic plate due to a suddenly applied concentrated transverse load / J. Miklowitz // Trans. ASME. -I960,-№4.-P. 681-689.

77. Mindlin, R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates / R.D. Mindlin // J. Appl. Mech. -1951. №1. - P. 31-38.

78. Mindlin, R.D. Flexural vibrations of rectangular plates / R.D. Mindlin, A. Schacknow, H. Deresiewicz // J. Appl. Mech. 1956. - №3. - P. 430-436.

79. Reismann, H. Forced motion of elastic plates / H. Reismann // Trans. ASME.- 1968.-№3.-P. 510-515.

80. Reissner, E. On axi-symmetrical vibrations of circular plates of uniform thickness, including the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia / E. Reissner // J. Acoust. Soc. Amer. 1954. - №2. - P. 252-253.

81. Rubin, M.B. On the quest for the best Timoshenko shear coefficient / M.B. Rubin // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 2003. - №1. - P. 154-157.

82. Saha, K.N. Free vibration analysis of rectangular Mindlin plates with elastic restraints uniformly distributed along the edges / K.N. Saha, R.C. Kar, P.K. Datta // J. Sound and Vibr. 1996. - №4. - P. 885-904.

83. Seung-Ho, J. Effects of thickness variation for the dynamic characteristics of annular plates including the shear deformation and rotary inertia / J. Seung-Ho //JSME Int. J.C. 2001. - №1. - P. 30-36.

84. Suzuki, S.-I. Axisymmetric dynamic behaviour of thick plate subjected to impulsive loads / S.-I. Suzuki //J. Sound and Vibr. 1986. - №2. - P. 339-345.

85. Timoshenko, S.P. On the correction for shear of differential equation for transverse vibrations of prismatic bar / S.P. Timoshenko // Phil. Mag. 1921.- Ser.6. №245. - P. 744-746.

86. Timoshenko, S.P. The collected papers / S.P. Timoshenko // McGraw-Hill Book Co. New York - Toronto - London. -1953. - P. 288-290.

87. Wolfram, S. The mathematica book. 5-th ed / S. Wolfram. Wolfram media. -2003. - 1301 pp.

88. Wrejcewicz, J.A. Vibration analysis of the plates and shells of moderate thickness / J.A. Wrejcewicz, V.A. Krysko // J. Techn. Phys. 1999. - №3. -P. 277-305.