автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Методы определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородных стержней по их динамическим характеристикам

На правах рукописи

Анохин Павел Николаевич

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖЕСТКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ НЕПРЕРЫВНО-НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПО ИХ ДИНАМИЧЕСКИМ

ХАРАКТЕРИСТИКАМ

05 23 17 — Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Орел — 2007

003162275

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Орловский государственный технический университет"

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Гордон Владимир Александрович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Серпик Игорь Нафтольевич доктор технических наук, профессор Юрьев Александр Гаврилович

Ведущая организация

ГОУ ВПО "Тульский Государственный

Университет'

Защита состоится 16 ноября 2007 г в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212 182 05 при ГОУ ВПО "Орловский государственный технический университет" по адресу 302020, г Орел, Наугорское шоссе, 29, главный корпус, ауд 212

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО "Орловский государственный технический университет"

Автореферат разослан 15 октября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета ктн, доцент

НикулинА И

Общая характеристика работы

Актуальность темы Качество строительных конструкций их надежность в эксплуатации и долговечность определяют уровень развития строительного производства В настоящее время в нашей стране существует система выборочного контроля качества элементов строительных конструкций, которая реализуется, как правило на основе разрушающих испытаний ограниченного количества изделий определенного типа Вместе с тем требования к надежности и долговечности строительных конструкций все более возрастают, поэтому назрела необходимость осуществить переход от выборочного к сплошному контролю всех выпускаемых ответственных конструкций на предприятиях строй-индустрии

Существующие методы неразрушающего контроля ориентированы как правило на выбраковку изделий с определенным уровнем нарушения структуры без определения характера и распределения этих нарушений Вместе с тем очевидно, что не все структурные изменения носят отрицательный характер, и их правильная оценка и учет при проектировании позволяют использовать заготовку даже при наличии негативных отклонений в структуре материала для изготовления менее ответственных деталей Определенная ограниченность существующих методов неразрушающего контроля изделий служит основанием необходимости дальнейшего развития математического аппарата, используемого в качестве теоретической базы для диагностики материалов В связи с этим разработка новых методов определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам является весьма актуальной

Цель исследования - разработка методов определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородных удлиненных объектов моделируемых стержнями по их динамическим характеристикам а также алгоритмов и программных средств для автоматизации проводимых для этого вычислений

Для достижения поставленной цели были определены и решены следующие задачи

1 Дать постановку обратной задачи определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам

2 Дать определение слабой неоднородности и разработать прямой и косвенный методы решения поставленной задачи определения жесткостных параметров стержней в случае слабой неоднородности

3 Разработать метод решения задачи определения жесткостных параметров стержней в случае произвольной непрерывной неоднородности путем сведения ее к оптимизационной задаче подбора квазирешения модифицированным генетическим алгоритмом

4 Разработать алгоритмы созданных методов решения и реализовать их в среде специализированного математического программного обеспечения Maple и в среде разработки Delphi для сокращения времени вычислений

5 Предложить рекомендации и условия использования разработанных методов и программного обеспечения

Методы исследования В ходе диссертационного исследования использовались

- математическое моделирование задач статики и динамики неоднородных стержней с использованием фундаментальных методов строительной механики и механики деформируемого твердого тела

- аналитический метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами,

- метод подбора квазирешений,

- метод решения оптимизационных задач при помощи генетических алгоритмов

Научная новизна работы состоит в следующем

- разработаны методы определения жесткостных параметров слабо-неоднородных стержней по их динамическим характеристикам (прямой и косвенный),

- разработан метод определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородных стержней по их динамическим характеристикам сведением задачи к оптимизационной задаче подбора квазирешения модифицированным генетическим алгоритмом,

- разработаны алгоритмы решения задач определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам

Достоверность полученных результатов. Основные положения диссертации базируются на использовании общепринятых гипотез и допущений строительной механики, механики деформируемого твердого тела и методов решения обратных задач Полученные результаты расчетов для ряда неоднородных строительных конструкций согласуются с решениями, полученными с использованием известных точных методов решения соответствующих задач

На защиту выносятся

- прямой и косвенный методы определения жесткостных параметров слабо-неоднородных стержней по их динамическим характеристикам,

- метод определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородных стержней по их динамическим характеристикам сведением задачи к оптимизационной задаче подбора квазирешения модифицированным генетическим алгоритмом,

- программное обеспечение, автоматизирующее решение задач определения жесткостных параметров стержней по их динамическим характеристикам

Научная значимость полученных результатов Методы определения жесткостных параметров неоднородных стержней, разработанные в диссертационной работе, могут быть использованы для разработки более общих методов диагностики материалов, решающих задачи определения большего количества физических параметров различных неоднородных тел а также являются теоретическим обоснованием применения вибрационного метода для решения задач неразрушающего контроля качества строительных конструкций, моделируемых неоднородными стержнями

Практическая ценность полученных результатов Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение могут быть использованы в различных научных и проектных организациях строительного профиля работающих в области контроля качества строительных конструкций

Реализация результатов исследования Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение используются в учебном процессе Орловского государственного технического университета при обучении студентов по специальностям "Промышленное и гражданское строительство" и "Городское строительство и хозяйство"

Апробация работы и публикации Основные положения диссертационной работы обсуждались и докладывались на III международном научном симпозиуме «Ударно-вибрационные системы машины и технологии» (Орел, 2006), международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2006), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007), научных чтениях "Вопросы механики нелинейных сплошных сред и конструктивной безопасности" (Орел, 2007), международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы динамики и прочности материалов и конструкций модели, методы, решения" (Самара, 2007), VIII международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (Тула, 2007)

Работа в полном объеме доложена и одобрена на расширенном заседании кафедры «Строительные конструкции и материалы» Орловского государственного технического университета

По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе одна статья в журнале, определенном перечнем ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, сформированным Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения четырех разделов, заключения, списка литературы и семи приложений Диссертация содержит 133 страницы основного текста, в том числе 8 таблиц, 17 рисунков, 125 наименований литературы и приложения на 44 страницах

Краткое содержание работы Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируется цель диссертационной работы, указываются применяемые методы исследований, научная новизна, практическая ценность работы, приводится краткий обзор структуры диссертации и основные научные положения, выносимые на защиту

В первом разделе выполняется обзор существующих методов решения задач определения параметров неоднородных строительных конструкций Отмечается, что решения динамических обратных задач исследовались в работах А С Алексеева, А С Благовещенского, Е А Волковой, В И Добринского, В Г Романова, В Г Яхно и др Однако данные постановки обратных задач не вполне соответствуют диагностике материала применительно к проблематике неразрушающего контроля качества изделий

Обратные задачи, как правило, не являются корректными Это относится и к обратной задаче определения жесткостных параметров неоднородных конструкций В развитие общих методов теории решения обратных и некорректно поставленных задач большой вклад внесли А Н Тихонов М М Лаврентьев В Г Романов В К Иванов В Я Арсении А А Тимонов, С П Шишатский и др

Решение обратных задач невозможно без решения прямых задач Постановка прямых задач, которые учитывают зависимость механических и геометрических характеристик от координаты не встречает затруднений Основные трудности и специфика при этом вызваны потребностью интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений различных порядков с переменными коэффициентами Получение точных решений для таких уравнений возможно лишь в ограниченном числе случаев Исследованиями в указанной области занимались С Г Лехницкий, С Г Михлин, В А Ломакин, Б Г Коренев, А Д Коваленко, Г Б Колчин В В Карамышкин Н Г Бондарь Д М Ростовцев, Г С Варданян, В И Андреев, А Д Лизарев, А Г Трапезой, М Конвей И Никольсон, Т Ларднер, Л А Толоконников, В А Гордон и др Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами встречаются в динамике сооружений Один из ее разделов динамика стержневых систем, получил значительное развитие благодаря фундаментальным трудам Н И Безухова, В В Болотина, В А Киселева, А Н Крылова А Р Ржаницы-на, Я Г Пановко и др

Указываются основные недостатки существующих подходов к решению обратной задачи определения физических параметров неоднородных объектов

1 Решение задач контроля качества строительных конструкций возможно только при использовании различных физических методов, которые взаимно дополняя друг друга, дают полное представление о качестве конструкций, их эксплуатационной надежности и долговечности Вибрационный метод применяется в строительстве только в лабо-

раторных условиях, а для диагностики состояния и контроля качества натурных строительных конструкций этот метод практически не применяется

2 Применение методов классической теории некорректных обратных задач к задаче определения параметров неоднородных тел затруднительно, т к для решения обратной задачи необходимо знать решение прямой задачи, но для неоднородных тел точное решение прямой задачи не известно, а известные приближенные решения не позволяют применять классические методы теории обратных задач

Во втором разделе приводится постановка обратной задачи определения жесткост-ных параметров слабо-неоднородных стержней и предлагаются два различных метода (прямой и косвенный) для решения поставленной задачи

Современная измерительная техника позволяет регистрировать виброперемещение определенных точек исследуемых конструкций в процессе свободных или вынужденных колебаний и, с помощью компьютерной обработки, позволяет преобразовать эти данные в функциональные зависимости соответствующих характеристик от времени Под динамическими характеристиками неоднородных стержней далее понимается функциональная зависимость виброперемещения определенных сечений стержня от времени Эта информация регистрируется во время экспериментов, а соответствующие функции, полученные после компьютерной обработки, являются исходными данными для определения жесткостных параметров неоднородного стержня

В работе рассматриваются свободные колебания стержня с защемленными концами, однако предлагаемые методы могут применяться и при других условиях закрепления Уравнение, описывающее распространение продольных упругих волн в неоднородном стержне (после приведения к безразмерному виду), имеет вид

где £, - расстояние от торца стержня (Е, = 0 ) до данного сечения, 0 < Е, < 1, т - время,

Е(^) - жесткость материала стержня,

р(Е,) - погонная плотность материала стержня,

V/ = - продольное перемещение поперечного сечения стержня

Уравнение (1) должно удовлетворять граничным условиям

\У(0,т) = \У(1,Т) = 0, (2)

и начальным условиям

w(5,0) = (p(!;),

от

= 4/(5) (3)

М)

В работе дается решение обратной задачи определение неизвестных переменных жесткостных параметров , когда известны функции , а также

некоторые сведения о функции w(£,t) (динамические характеристики, полученные в результате экспериментов) В данном разделе рассматривается задача определения лишь одного параметра Е(^) в случае слабой неоднородности материала стержня Предполагается, что р(^) = р = const - известная величина

Достаточным условием единственности решения поставленной задачи является ис-

пользование результатов замеров в двух экспериментах с различными начальным условиями, что доказывается в диссертации

Продольные перемещения \¥,(1;,т) (1=1,2 - номер эксперимента) описываются следующими дифференциальными уравнениями

с граничными условиями

\у,(0,т) = (1,т) = \у2 (0,т) = \У2 (1 т) = О (5)

и начальными условиями

дх

= (1 = 12) (6)

о)

В ходе экспериментов измеряется перемещение и его градиент в произвольной точке стержня ^ = а

дъ'.

= д1

= у(т) «;(а т) = Ь(т), (7)

(а т)

где а - расстояние от торца стержня до сечения продольное перемещение которого изучается ( 0 < а < 1) Это расстояние может быть произвольным, однако желательно измерять виброперемещение стержня вдали от границ, например, в середине стержня

Пусть существует некоторый однородный стержень - эталон с жесткостными параметрами (Е",р), постоянными по длине стержня Для стержня параметры которого (Е(£,),р) переменны по длине стержня, определим величину неоднородности относительно эталона по формуле

тах |е(£)-Е°| Нии = ^011 'Е;;-- 100% (8)

Стержень, величина неоднородности которого Нтач < 30% будем считать слабонеоднородным Выбор значения 30% обосновывается в работе

Представим жесткость слабо-неоднородного стержня в виде суммы жесткости эталона и некоторой функции ЕЕ(^), величина которой не превосходит 30% от жесткости эталона по определению слабой неоднородности

Е(У = Е° + Е*й) (9)

Далее полагаем Е", как и р , известными

Представим продольное перемещение произвольного сечения £ стержня в первом (= \у,(£,,1:) ) и втором (ш2 = \у2(£,т) ) экспериментах в виде

= |ч<(г;,т)|«1 (1 = 1,2) (10)

Подстановкой выражений (9) и (10) в уравнения (4), задача разбивается на две подзадачи

Е'^-р'^-0 (И)

5т2

с начальными условиями

<к

2т

= ч>.00

(12)

М)

д2^

д12 к дх2 д^' 35 с однородными начальными условиями

ды

дх

= 0

(13)

(14)

(со)

Аналитическое решение задачи возможно в случае, когда начальные условия подбираются таким образом чтобы в соответствующем эталонном стержне такие же начальные условия вызывали гармонические колебания

Для выполнения этого условия, перемещение у/|'(2;,т) должно иметь вид

\у°(2;,т) = 31п(ак;;)(Взтат + Ссозат), а = —, к= пеИ, (15)

к V Е

а начальные условия должны иметь вид

Ф, = Сзт(ак^), у, (£) = аВзт(ак^) При выполнении всех указанных условий, решение задачи имеет вид Е°

ЕЕОО=-

аксозак^

Б +

7_I_М,й2

(ВБтат + Ссозат) ¿(^ дг дх

(16) , (П)

где w®(5,т) = -W(5,0)cosaт-—

Б1пат+ \У(£,т),

1 (

V/ (£, т) = — эт ах (£, г) соб агс!г - соб ат |у (£, 2)5111 azdz "Л о о

. /т+ка-к^

%у(т-ка + к^) + (т + ка-к£,) + — { у*(2)с1

т+ка-Ц

■(т)=Ч^+а2%Е(т)> (т)=м - ^&т)'

0=Щак

к»

Поставленную задачу в случае слабой неоднородности можно решить также методом подбора квазирешения Метод подбора квазирешения состоит в решении прямой задачи для некоторого подкласса стержней с заданными функциями неоднородности и определении такого стержня, расчетные динамических характеристики которого минимально отличаются от данных эксперимента

Выразим перемещения (1 = 1,2) через неизвестную функцию ЕЕ(^)

2-у/рЕ°"

Е8И +

к J а^

к ] д^

е т_2

5--— Л

йг,

0 = 1.2)

(18)

Для решения поставленной обратной задачи определения ЕЕ необходимо решить систему интегральных уравнений (18) относительно неизвестной функции Ее (£,) и

известных данных эксперимента (7) Эта задача является некорректно поставленной Однако ее можно свести к корректно поставленной задаче подбора квазирешения Определим множество подбираемых функций Е6 (£) (0 < £ < 1), введя ряд

ЕеОО=2>Д'

(19)

Ряд (19) определяет пространство поиска, т е все возможные решения обратной задачи и при достаточно большом п позволяет с большой точностью аппроксимировать любую непрерывную ограниченную функцию

Еет|„<|^1;)|<Е^, $6 [0,1] (20)

Данные о перемещении произвольного поперечного сечения стержня в процессе колебаний в двух экспериментах с различными начальными условиями являются достаточными для существования единственной искомой функции ЕЕ = Е° — Е(£) что доказывается в работе Существование же квазирешения не требует доказательства, т к квазирешение существует всегда по определению

Единственность решения прямой задачи и единственность решения обратной задачи являются достаточными условиями того что квазирешение интегральных уравнений (18) будет единственным и непрерывно зависеть от экспериментальных данных Таким образом, некорректно поставленная обратная задача решения системы интегральных уравнений преобразована в корректно поставленную задачу подбора квазирешения

Для ее решения, необходимо найти функцию, которая минимизирует функционал

Ф0(Е')= |(<(а т)-хГ(т))г + («'2(а т)-ХЦт))2

(1т

(21)

где заданы уравнениями (18),

х;(т) = 5С,(т)-™?(а т), Хг (т) = Хг (т) ~ (а>т)>

Учитывая представление для Ев(£) в виде ряда (19), для решения задачи минимизации функционала (21) необходимо определить такой набор коэффициентов {Ь0)Ь,, ,Ьп_,]•, который минимизирует функцию п переменных, полученную подстановкой (19) в (21) Для этого найдем экстремумы функции, продифференцировав ее по каж-

дой из переменных Ь0,Ь,, ,ЬП_, и, приравняв нулю производные, получим систему п уравнений с п неизвестными

Решая линейную систему уравнений (22) и подставляя значения Ь, в (19), получим искомую функцию Е8 (4) Система (22) имеет единственное решение, кроме случая равенства нулю определителя матрицы 0

В третьем разделе описывается решение задачи в случае произвольной непрерывной неоднородности основанное на аналитическом решении прямой задачи и решении оптимизационной задачи при помощи генетических алгоритмов Рассмотрена задача определения лишь одного параметра стержня Е(Е,) при известном втором параметре р(^)

Для решения обратной задачи определения неизвестного коэффициента Е(^) уравнений (4) с известными граничными (5) и начальными условиями (6), по известным данным эксперимента (7) при произвольной неоднородности представляется целесообразным использовать метод подбора квазирешения Поскольку при методе подбора квазирешения необходимо решать прямую задачу, далее описывается приближенный метод аналитического решения прямой задачи, и затем обосновывается применение метода подбора квазирешения и рассматриваются возможные конкретные методы подбора

Решение прямой задачи состоит в определении динамических характеристик стержня с известными переменными жесткостными параметрами Математически, для случая продольных колебаний неоднородного стержня, задача состоит в определении неизвестной функции из дифференциального уравнения (1) при известных функциях

Е(£),р(£), известных граничных (2) и начальных (3) условиях

Найдем приближенное решение уравнения (1), воспользовавшись методом Вентце-ля-Крамерса-Бриллюэна

(22)

а

где ©, = (а, т)1<'> (а, т) +1[2> (а, т) 1<2> (а, х)) с!т,

¿рь 0

= 2° (А„31ПШТ + В„ соэсот),

(23)

п = |

где у(д = С|Ь(^ре,п('в)+С2Ь(^)5е-

о) „ 1П(4о)

Еф 2Е(0 эе,2 4Е(^)Ч

Это решение является первым приближением Возможно получить более точное решение, что подробно рассматривается в третьем разделе

Для составления частотных уравнений, рассмотрим граничные условия В случае стержня с защемленными концами, граничные условия имеют вид

у(0) = 0, у(1) = 0, (24)

а частотное уравнение имеет вид

зта(1,0) + 0(шч) = 0, (25)

который показывает, что для больших значений со синусоидальный член дает первое приближение к собственным функциям Можно получить асимптотическое представление с остаточным членом О (со-2), а не О (ю-1), как выше В работе подробно рассмотрено получение такого асимптотического представления

Рассмотрим далее применение метода подбора квазирешения к решению поставленной задачи Определим множество подбираемых решений Е(£) (0 < ¡; < 1) следующим образом Рассмотрим п точек

=—Ц-> (26)

п -1 4 '

В каждой точке !; = !;, определим значение Е, = Е(Д,), причем

Етш^Е,<Етах, (1 = й) (27)

Значения Етт и Епт определяют минимальное и максимальное априорно известные теоретические значения искомой функции Е(£) Введем ряд

Е($) = 2>£ (28)

1=0

Подставляя п значений и Е1 в (28), получим линейную систему из п уравнений с п неизвестными Ь,, откуда однозначно определяем значения Ь,, I = 0 п -1 Ряд (28)

определяет пространство поиска, те все возможные решения обратной задачи, и при достаточно большом п позволяет с большой точностью аппроксимировать любую непрерывную функцию, для которой выполняется

Ешт<\{(фЕш^ £ е [0,1] (29)

Единственность решения прямой и обратной задач являются достаточными условиями того, что квазирешение уравнения (1) будет единственным и непрерывно зависеть от экспериментальных данных Таким образом некорректно поставленная обратная задача определения коэффициентов преобразована в корректно поставленную задачу подбора квазирешения

Для ее решения необходимо найти функцию Е, которая минимизирует функционал

Ф1(Е) = /ГС^^! Х1 + (лл,,2 (а'т) — Хг (т))21с1т, (30)

о

где ту,, \у2 - решения уравнений (4) с известными функциями (¡^т)^ (£,?), при

известных граничных (5) и начальных условиях (6) и заданном Е(^) методом, описанным выше,

X, (тО^ (т) данные эксперимента (7)

Как известно, уравнения (4) в общем случае не имеют точного аналитического решения Существующие приближенные решения таких уравнений (в том числе и предлагаемый в данной работе метод) основаны на методе разделения переменных, кроме того в ходе решения необходимо находить собственные частоты, которые определяются только численно Таким образом в решении присутствуют величины, которые не имеют выражения через Е(£), что исключает минимизацию функционала (30) традиционными методами

Будем искать вектор Е = {Е,, ,ЕП}, минимизирующий функционал (30) При известных числовых значениях всех компонентов вектора Е решения \¥,(а,т), \у2(а,т)

находим приближенным методом, описанным ранее Таким образом, при известном векторе Е возможно найти значение функционала (30), то есть задача минимизации функционала состоит в поиске вектора Е, минимизирующего некоторую функцию, сопоставляющую каждому такому вектору число

Очевидно, что найти точное решение, минимизирующее функционал (30) в такой ситуации затруднительно и применяются различные случайные, эвристические или комбинированные методы поиска, заключающиеся в определенном подборе искомого вектора Е В работе рассмотрены некоторые общепринятые алгоритмы поиска минимума функции многих переменных, о которой не известно ничего, кроме возможности находить ее значение в любой точке случайный поиск или поиск вслепую, направленный случайный поиск, адаптивный случайный поиск, градиентный спуск (или подъем по холму), случайный градиентный спуск, генетический алгоритм

Генетический алгоритм (ГА) базируется на теоретических достижениях синтетической теории эволюции ГА работают с популяцией - множеством особей, каждая из которых представляет из себя возможное решение задачи и оценивается мерой приспособленности, т е оценкой пригодности соответствующего ей решения задачи Наиболее приспособленные особи (т е особи с наибольшей или наименьшей оценкой пригодности) воспроизводят потомство с помощью перекрестного скрещивания с другими особями популяции, что приводит к появлению новых особей, сочетающих в себе некоторые характеристики наследуемые ими от родителей Наименее приспособленные особи с меньшей вероятностью воспроизводят потомков, всвязи с чем свойства, которыми они обладали, постепенно исчезают из популяции в процессе эволюции

Основными понятиями и компонентами ГА являются

- Фенотип - одно из возможных решений задачи Фенотип представляет из себя набор параметров, определяющих одно из решений задачи

- Генотип - внутреннее представление решения задачи В классическом ГА все решения внутренне представляются двоичной строкой, состоящей только из 0 и 1

- Приспособленность - количественная оценка фенотипа, позволяющая оценивать возможные решения задачи - насколько близки эти решения к оптимальному Обычно

ГА сводится к минимизации или максимизации функции приспособленности

- Операторы ГА (селекция, скрещивание, мутация) - операции, в результате которых из популяции особей получается следующая популяция

Классический генетический алгоритм использует двоичное представление данных при кодировании возможных решений задачи в генотипе Однако двоичное представление генотипа влечет за собой определенные трудности при поиске в непрерывных пространствах большой размерности Поскольку при решении задачи оптимизации функционала (30) каждое возможное решение кодируется п вещественными числами {Е,}, 1 = 1,п , то представляется целесообразным воспользоваться представлением генов

напрямую вещественными числами

С учетом всего сказанного составлен алгоритм определения жесткостных параметров неоднородных стержней Этот алгоритм представляет из себя модифицированный генетический алгоритм

Для определения жесткости стержня Е(£,) необходимо провести два эксперимента,

в ходе которых в стержне с одним известным параметром р(£) возбуждаются колебания с заданными начальными условиями ср, , (£,) Начальные условия должны отличаться в обоих экспериментах Результатом эксперимента являются динамические характеристики стержня х,(т) Все эти функции для каждого из двух (1 = 1,2 ) экспериментов

являются входными данными для алгоритма

Алгоритм состоит из создания начальной популяции и последующих циклических итераций, в ходе которых определяется оценка приспособленности каждой особи, выбираются пары особей-родителей в соответствии с оператором селекции, создаются новые особи путем применения оператора скрещивания к выбранным особям, вносится свежий генетический материал применением оператора мутации с заданной вероятностью Алгоритм завершается, когда выполнено условие сходимости

В процессе создания начальной популяции генерируется р п-мерных векторов Для этого каждой компоненте вектора присваивается равномерно-распределенная случайная величина в интервале [Етш,Етач]

Для определения оценки пригодности вектора Е = (Е,,Е2 ,ЕП), его компоненты

подставляются в линейную систему, из нее определяются 11,^1 = 0,11-1^, по которым

получается функция Е(^) (28) Для полученной функции Е(^) решается прямая задача,

т е находятся теоретические динамические характеристики стержня для каждого из двух экспериментов методом, описанным в данном разделе и, подстановкой этих решений в (30), находится значение функционала Ф1, что и является оценкой пригодности вектора Е Чем меньше значение функционала, тем лучше решение (минимальное значение 0 достигается на точном решении)

Условие завершения алгоритма может зависеть либо от погрешности входных данных (в этом случае все решения, оценка которых меньше заданной погрешности равноценны), либо, если погрешность точно неизвестна, после определенного количества шагов эволюции или после вырождения популяции (разница оценок лучшей и худшей особей популяции меньше заданного значения)

Результатом работы алгоритма является функция Е(£), полученная по вектору Е,

который получил наилучшую (минимальную) оценку за все время работы алгоритма

В четвертом разделе путем численных экспериментов исследуются особенности работы генетического алгоритма, зависимость точности и времени работы предложенных алгоритмов от различных факторов и сравниваются результаты и области применимости предложенных методов решения обратной задачи

Рассмотрим 3 различные задачи - в задаче "А" стержень имеет слабую неоднородность, в задачах "В" и "С" - произвольную неоднородность

Задача "А" соответствует ситуации, когда при изготовлении однородного стержня постоянного сечения в результате непредсказуемых факторов параметры материала стержня незначительно отклонились от параметров эталона и необходимо определить распределение этих отклонений по длине стержня В этой задаче параметры эталона Е = 4 р = 9, А = 0,1 Плотность материала и площадь сечения изготовленного стержня известны и равны соответствующим параметрам эталона Про искомую функцию распределения модуля Юнга Е(^) известно, что для нее выполняется условие слабой неоднородности Начальные условия возбуждают гармонические колебания в стержне-эталоне (т е выполняются все условия применения метода решения для слабой неоднородности)

Задача "В" соответствует ситуации, когда в процессе производства параметры материала стержня значительно отклонились от эталона, или когда параметры эталона неизвестны, или когда эталон также представляет из себя неоднородный стержень Распределение плотности материала и площади сечения вдоль оси исследуемого стержня известны Распределение модуля Юнга Е(£) вдоль оси стержня является искомой функцией

при решении обратной задачи "В"

Задача "С" соответствует ситуации, когда внутри стержня с известными распределениями модуля Юнга и плотности по длине стержня присутствуют некоторые полости, при этом их расположение и размер неизвестен (рисунок 1) Искомой функцией в этой задаче является распределение площади сечения вдоль оси стержня Зная это распределение можно определить положение и размер полостей

Рисунок 1 — Стержень с известными параметрами материала и внутренней полостью

Решая каждую из трех прямых задач точными методами (все параметры задач подобраны так, чтобы прямую задачу можно было решить известными точными методами решения), получим динамические характеристики стержней - исходные данные для решения обратных задач

Используя полученные динамические характеристики стержней при неизвестных распределениях жесткости (площади сечения), решим полученные обратные задачи Поскольку при решении обратных задач зачастую приходится иметь дело с погрешностями измерения, а также с возможным влиянием неучтенных факторов, что вносит некоторый случайный шум в измеряемые данные, решим каждую обратную задачу дважды - с точно известными данными, и с данными, известными с погрешностью

Таблица 1 — Результаты решения задач предложенными в работе методами

Задача Решение (точные данные) Решение (данные с погрешностью)

А(пря- В Е

мой 4 02 Л

метод 4 < .......

реше- 3.33 1 /

ния) 3% 3 9Л 3.92 39 3 2.5 у

заз 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 ¿^ 0 02 0* ОБ ОВ 1 ¿*

относительная погрешность 0.2% решение некорректно

А (кос- Е Е

венный 4.

метод

реше-

ния) 3.96 396 394 Ч.

392 392

39 39

0 0.2 04 ОБ О.'е 1 ^ 02 04 06 08 1 £

относительная погрешность 0.1% относительная погрешность 0.2%

В 25 Е 25 Е

1 0.5 1 5 1 05

0.2 04 06 08 ! ^ 0 0 2 04 06 0 8 1 ¿^

относительная погрешность 5,4% относительная погрешность 8,7%

С А А

ч

осе- осе V.

006 006 А л

ОСИ \ Г 004

002 0.02 V

0 2 0.4 ОБ ОВ 1 ^ 0.2 04 О'Б 0.8 1 ^

относительная погрешность 9,5% относительная погрешность 14%

Примечание - Решение обра!ной задачи

----Исходная функция, используемая при расчете прямой задачи

Будем моделировать погрешность измерений добавлением случайных величин к полученным в результате решения прямой задачи данным:

Г (т) = гапс!(Г (х)(1 - (т)(1 + е)), (31)

где Дт)- функция, к которой добавляется случайная ошибка;

е - желаемая погрешность результата;

гапс!(а,Ь) - равномерно распределенная случайная величина в промежутке от а до Ь.

Результирующая функция Г*(т) будет представлять из себя новые входные данные для решения обратной задачи, эквивалентные данным эксперимента известным с относительной погрешностью е . Зададим желаемый уровень погрешности г = 1% .

Результаты решения всех трех задач приведены в таблице 1. Как видно из таблицы, косвенный метод решения предпочтительнее прямого метода решения в случае слабой неоднородности. Генетический же алгоритм имеет значительно большую относительную ошибку решения, чем методы для слабой неоднородности.

Во втором разделе были даны алгоритмы, позволяющие найти параметры неоднородного стержня в случае его слабой неоднородности. Величина неоднородности (8) меньше 30% была определена как слабая неоднородность. Для ее обоснования, определим зависимость ошибки решения от величины неоднородности Нтах. Составляя задачи для нескольких возрастающих значений Нтач и решив их всеми тремя предложенными алгоритмами, получим данные, представленные на рисунке 2. Ошибкой решения в полученных данных считается относительная погрешность определения функции Е(^).

50,00% -45,00% -

1 40,00% -5 35,00% -| 30,00% -а 25,00% -

2 20,00% -Ю

з 15,00% -^ 10,00% 5,00% 0,00% -

"Косвенный" алгоритм для слабой неоднородности - "Прямой" алгоритм для слабой неоднородности —Генетический алгоритм

Рисунок 2 — Зависимость ошибки решения от величины неоднородности Нти

Как видно из рисунка, при Нтах>30% генетический алгоритм дает меньшую ошибку, чем алгоритмы для случая слабой неоднородности. В то же время при Нтах <30% алгоритмы для слабой неоднородности намного точнее генетического алго-

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 50% 75% Нтах

ритма Таким образом целесообразно считать, что слабая неоднородность соответствует

нтач^зо%

Оценим точность алгоритма в зависимости от погрешности входных данных Решим задачи "В" и "С" при различных ошибках измерения, задаваемых разным уровнем относительной погрешности е в формуле (31)

Решая задачи "В" и "С" с модифицированными входными данными при различных уровнях относительной погрешности £ , получим ошибку результата, представленную на рисунке 3 Полученные данные позволяют оценить ошибку решения в зависимости от априорно известной погрешности измерения динамических характеристик стержня и определить возможность использования полученного решения

100,0% 90,0% | 80,0% § 70,0% | 60,0% а 50,0% | 40,0% | 30,0% О 20,0% 10,0% 0,0%

Рисунок 3 — Зависимость ошибки решения от погрешности входных данных е

Получить решения задачи можно и другими алгоритмами поиска, отличными от генетического Для сравнения различных алгоритмов поиска реализованы несколько наиболее часто используемых алгоритмов случайного, направленного и комбинированного поиска и решены одинаковые задачи всеми алгоритмами Для более точных результатов решены задачи "А" "В", "С" с различными уровнями погрешности входных данных по 10 запусков с одинаковыми данными (для усреднения результата) каждым из алгоритмов Результаты представлены в таблице 2

Таблица 2 — Время работы различных алгоритмов в одинаковых условиях

Алгоритм Среднее время работы, мин

Случайный поиск 356

Направленный случайный поиск 314

Адаптивный случайный поиск 308

Градиентный спуск 125

Случайный градиентный спуск 68

Генетический алгоритм 10

Как видно из таблицы, генетический алгоритм является наиболее быстрым из всех рассмотренных популярных алгоритмов При этом он не дает преимуществ в точности решения (все алгоритмы дают сравнимое по точности решение)

Погрешность входных данных

Анализируя области применимости предложенных методов, можно составить рекомендации по их применению

"Прямой" метод решения обладает рядом недостатков, самым главным из которых является то, что он не позволяет избежать некорректности обратной задачи и, как следствие, неприменим в большинстве реальных ситуаций Тем не менее этот метод может быть полезен в дальнейших теоретических исследованиях или в качестве базового метода для более сложных задач Например, применяя метод регуляризации к этому решению возможно получить в дальнейшем корректное решение

Если сравнивать метод подбора квазирешения в случае слабой неоднородности и более общий модифицированный генетический алгоритм в условиях слабой неоднородности, то первый алгоритм дает более точные результаты Поэтому в случае слабой неоднородности применять генетический алгоритм нецелесообразно

В случае же произвольной неоднородности, или когда невозможно применить прочие методы (например, если эталон является неоднородным стержнем), генетический алгоритм позволяет найти приемлемое решение

Предложенные методы в случае слабой неоднородности могут быть использованы в качестве теоретической базы методов сплошного контроля качества выпускаемой продукции для определения распределения отклонения изготовленных строительных конструкций и их элементов от эталонов

Предложенный алгоритм в случае произвольной непрерывной неоднородности может быть использован в качестве теоретической базы методов определения скрытых дефектов строительных конструкций — их наличие, количество, расположение, размер и категорию, определяющую возможность эксплуатации

Результаты работы могут быть рекомендованы для практического использования на промышленных предприятиях, в научных и проектных учреждениях, занимающихся вопросами контроля качества строительных конструкций Созданные в ходе выполнения диссертационного исследования методы определения жесткостных параметров неоднородных стержней и реализующее их программное обеспечение рекомендуется использовать при подготовке специалистов по направлениям, связанным с контролем качества и диагностикой строительных конструкций и их элементов

В заключении отмечается, что в диссертации представлено решение актуальной задачи определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам В ходе выполнения работы были получены следующие результаты

1 Дана постановка обратной задачи определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам

2 Дано определение слабой неоднородности жесткостных параметров стержня, разработаны два метода решения поставленной обратной задачи в случае слабой неоднородности Прямой метод позволяет математически выразить искомую функцию распределения через известные функции, однако не позволяет преодолеть некорректность постановки обратной задачи Косвенный метод состоит в подборе квазирешения, которое минимизирует разницу расчетных и экспериментальных функциональных зависимостей виброперемещения серединного сечения стержня от времени Косвенный метод преобразует некорректно поставленную обратную задачу в корректно поставленную задачу подбора квазирешения

3 Разработан метод, позволяющий решить обратную задачу определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородного стержня сведением ее к оптимизационной задаче поиска квазирешения Использование модифицированного генетического алгоритма позволяет добиться значительно более быстрого схождения решения по сравнению

с другими рассмотренными алгоритмами

4 Разработаны алгоритмы и программное обеспечение в средах Maple и Delphi для решения обратной задачи полученными в ходе исследования методами Использование программного обеспечения позволяет существенно сократить время расчетов и избежать ошибок, возможных при ручном расчете, при решении поставленной обратной задачи предложенными методами

5 Предложены рекомендации и условия использования методов решения обратных задач определения жесткостных параметров неоднородных стержней

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1 Анохин, П H Постановка и решение обратной задачи для продольных упругих колебаний неоднородного стержня [Текст] /ПН Анохин, В А Гордон // Известия ОрелГТУ — Серия «Естественные науки» — Орел, 2005 — № 7-8 — С 44-49

2 Анохин, П H Постановка и решение задачи идентификации коэффициентов уравнения продольных упругих колебаний неоднородного стержня [Текст] // Актуальные проблемы динамики и прочности материалов и конструкций модели, методы, решения Материалы международной научно-технической конференции — Орел ОрелГТУ 2007 — С 86-88

3 Гордон, В А Постановка и решение обратной задачи для продольных колебаний слабо-неоднородного стержня [Текст] / В А Гордон, П H Анохин // Ударно-вибрационные системы, машины и технологии Материалы III международного симпозиума — Орел ОрелГТУ, 2006 — С 422-426

4 Гордон, В А Постановка и решение задачи идентификации коэффициентов уравнения продольных упругих колебаний неоднородного стержня [Текст] / В А Гордон, П H Анохин // Известия ОрелГТУ Серия «Строительство Транспорт» — Орел 2007 — №2 апрель-июнь —С 29-41

5 Gordon, V A Determination of mechanical properties of a non-uniform beam using the measurement of the excited longitudinal elastic vibration [Электронный ресурс] /VA Gordon, PN Anokhm // Proceedings of the 14th International Congress on Sound and Vibration — Cairns, Australia —2007 —P 1-8 —1 электрон опт диск (CD-ROM) 12 см — загл с этикетки диска — Яз англ

6 Анохин П H Определение механических характеристик неоднородных в пространстве балок по их упругим колебаниям [Текст] // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии Материалы VIII международной научно-технической конференции — Тула ТулГУ — 2007 — С 4

Подписано в печать 04 10 2007 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Объем 1,0 уел п л Тираж 100 экз Заказ № /г5^,-6

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе Орловского государственного технического университета Адрес 302020, г Орел, Наугорское шоссе, 29

ВВЕДЕНИЕ.

1 СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1 Учет неоднородности строительных конструкций.

1.2 Неразрушающий контроль качества в строительстве.

1.3 Определение прямой и обратной задачи.

1.4 Проблема корректной постановки обратных задач.

1.5 Существующие подходы к решению некорректных задач.

1.5.1 Метод подбора.

1.5.2 Квазирешения.

1.5.3 Замена уравнения.

1.5.4 Метод регуляризации решения.

1.6 Выводы.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СЛАБОНЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПО ИХ ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Приближенное аналитическое решение.

2.3 Решение методом подбора квазирешения.

2.4 Выводы.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНО-НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПО ИХ ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Аналитический метод решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

3.3 Применение метода подбора квазирешения для решения обратной задачи определения жесткостных параметров стержня.

3.4 Методы минимизации функционала при решении обратной задачи методом подбора квазирешения.

3.5 Применение генетических алгоритмов для ускорения поиска решения обратной задачи.

3.5.1 Представление решений задачи в генотипе.

3.5.2 Оператор селекции.

3.5.3 Оператор скрещивания.

3.5.4 Оператор мутации.

3.6 Алгоритм определения параметров произвольных непрерывно-неоднородных стержней.

3.7 Выводы.

4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ.

4.1 Моделирование колебаний стержня с известными жесткостными параметрами.

4.2 Определение жесткостных параметров стержня по составленной модели колебаний с использованием всех предложенных методов решения.

4.2.1 Решение задачи "А".

4.2.2 Решение задачи "В".

4.2.3 Решение задачи "С".

4.3 Определение параметров генетического алгоритма.

4.4 Анализ эффективности предложенного алгоритма.

4.4.1 Анализ точности решения от величины неоднородности.

4.4.2 Анализ точности решения от погрешности входных данных.

4.4.3 Анализ времени работы алгоритма.

4.5 Рекомендации по применению предложенных методов определения жесткостных параметров стержней.;.

4.6 Выводы.

Требования к качеству материалов, применяемых для изготовления особо ответственных конструкций и изделий ужесточаются в связи с повышенными требованиями в отношении их надежности. С другой стороны, необходимо их рациональное и экономное использование. Эти требования обуславливают важность определения физических характеристик материала, выделения зон с дефектами структуры (наличием микротрещин, пор, включений и т.д.). Структура материала трансформируется в процессе получения заготовки (например, направленная кристаллизация при производстве отливок и при последующей технологической обработке, при использовании проката, волочения, механической и термической обработки, облучения, и т.д.). При этом даже незначительные отклонения режимов технологии могут привести к появлению трудно учитываемых изменений в структуре. Как правило, сложно заранее прогнозировать структурные изменения, вызываемые внешними воздействиями, в частности, некоторыми физическими полями (сильные магнитные поля, большие колебания температур), радиоактивным облучением, воздействием химически активных сред, накоплением усталостных напряжений и микроповреждений в процессе эксплуатации изделий. Таким образом, диагностика структуры (и обусловленных ею физических свойств) материала может служить для выбора и отладки технологий, определения степени износа, а также влияния условий эксплуатации на сроки службы изделия.

Существующие методы неразрушающего контроля ориентированы, как правило, на выбраковку изделий с определенным уровнем нарушения структуры без определения характера и распределения этих нарушений. Вместе с тем очевидно, что не все структурные изменения носят отрицательный характер, и их правильная оценка и учет при проектировании позволяют использовать заготовку даже при наличии негативных отклонений в структуре материала для изготовления менее ответственных деталей. Определенная ограниченность существующих методов неразрушающего контроля изделий служит основанием необходимости дальнейшего развития математического аппарата, используемого в качестве теоретической базы для диагностики материалов. В связи с этим разработка новых методов определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам является весьма актуальной.

Цель исследования — разработка методов определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородных удлиненных объектов, моделируемых стержнями, по их динамическим характеристикам, а также алгоритмов и программных средств для автоматизации проводимых для этого вычислений.

Для достижения поставленной цели были определены и решены следующие задачи:

1. Дать постановку обратной задачи определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам.

2. Дать определение слабой неоднородности и разработать прямой и косвенный методы решения поставленной задачи определения жесткостных параметров стержней в случае слабой неоднородности.

3. Разработать метод решения задачи определения жесткостных параметров стержней в случае произвольной непрерывной неоднородности путем сведения ее к оптимизационной задаче подбора квазирешения модифицированным генетическим алгоритмом.

4. Разработать алгоритмы созданных методов решения и реализовать их в среде специализированного математического программного обеспечения Maple и в среде разработки Delphi для сокращения времени вычислений.

5. Предложить рекомендации и условия использования разработанных методов и программного обеспечения.

Методы исследования. В ходе диссертационного исследования использовались:

- математическое моделирование задач статики и динамики неоднородных стержней с использованием фундаментальных методов строительной механики и механики деформируемого твердого тела;

- аналитический метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами;

- метод подбора квазирешений;

- метод решения оптимизационных задач при помощи генетических алгоритмов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработаны методы определения жесткостных параметров слабонеоднородных стержней по их динамическим характеристикам (прямой и косвенный);

- разработан метод определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородных стержней по их динамическим характеристикам сведением задачи к оптимизационной задаче подбора квазирешения модифицированным генетическим алгоритмом;

- разработаны алгоритмы решения задач определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам.

Достоверность полученных результатов. Основные положения диссертации базируются на использовании общепринятых гипотез и допущений строительной механики, механики деформируемого твердого тела и методов решения обратных задач. Полученные результаты расчетов для ряда неоднородных строительных конструкций согласуются с решениями, полученными с использованием известных точных методов решения соответствующих задач.

На защиту выносятся:

- прямой и косвенный методы определения жесткостных параметров слабо-неодно-родных стержней по их динамическим характеристикам;

- метод определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородных стержней по их динамическим характеристикам сведением задачи к оптимизационной задаче подбора квазирешения модифицированным генетическим алгоритмом;

- программное обеспечение, автоматизирующее решение задач определения жесткостных параметров стержней по их динамическим характеристикам.

Научная значимость полученных результатов. Методы определения жесткостных параметров неоднородных стержней, разработанные в диссертационной работе, могут быть использованы для разработки более общих методов диагностики материалов, решающих задачи определения большего количества физических параметров различных неоднородных тел, а также являются теоретическим обоснованием применения вибрационного метода для решения задач неразрушающего контроля качества строительных конструкций, моделируемых неоднородными стержнями.

Практическая ценность полученных результатов. Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение могут быть использованы в различных научных и проектных организациях строительного профиля, работающих в области контроля качества строительных конструкций.

Реализация результатов исследования. Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение используются в учебном процессе Орловского государственного технического университета при обучении студентов по специальностям "Промышленное и гражданское строительство" и "Городское строительство и хозяйство".

Апробация работы и публикации. Основные положения диссертационной работы обсуждались и докладывались на III международном научном симпозиуме «Ударно-вибрационные системы, машины и технологии» (Орел, 2006); международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2006); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007); научных чтениях "Вопросы механики нелинейных сплошных сред и конструктивной безопасности" (Орел, 2007); международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы динамики и прочности материалов и конструкций: модели, методы, решения" (Самара, 2007); VIII международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (Тула, 2007).

Работа в полном объеме доложена и одобрена на расширенном заседании кафедры «Строительные конструкции и материалы» Орловского государственного технического университета.

По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе одна статья в журнале, определенном перечнем ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, сформированным Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и семи приложений. Диссертация содержит 133 страницы основного текста, в том числе 8 таблиц, 17 рисунков, 125 наименований литературы и приложения на 44 страницах.

4.6 Выводы

1. Составлены три различные обратные задачи определения параметров неоднородных стержней. Первая задача состоит в определении отклонения распределения жесткости стержня при известных параметрах эталона и выполненном условии слабой неоднородности. Вторая задача состоит в определение распределения переменного по координате модуля жесткости стержня. Третья задача состоит в определении распределения площади сечения стержня вдоль его оси для выявления скрытых полостей.

2. Для каждой из трех задач подобраны такие параметры стержня и начальные условия, которые позволяют решить прямую задачу (определить функциональную зависимость виброперемещения середины стержня от времени) точно с использованием специальных функций. Для каждой задачи определены исходные данные (функциональные зависимости виброперемещения середины стержня в 2 различных экспериментах) из точного решения прямой задачи.

3. Первая задача решена всеми предложенными в данной работе методами с применением разработанного программного обеспечения, а полученные результаты проанализированы и выявлены достоинства и недостатки каждого предложенного метода решения. Вторая и третья задачи решены программой, реализующей предложенный модифицированный генетический алгоритм для определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам.

4. Определены время работы и точность предложенных алгоритмов в зависимости от различных параметров и погрешности данных эксперимента. Проанализированы и предложены наиболее оптимальные значения параметров алгоритма при решении задач. Показана зависимость точности решения от величины неоднородности для методов, применимых для слабо-неоднородных стержней, и обоснован выбор 30% в качестве верхнего предела величины слабой неоднородности.

5. Составлены рекомендации и условия использования методов решения обратных задач определения параметров неоднородных стержней.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлено решение актуальной задачи определения жесткостных параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам. В ходе выполнения работы были получены следующие результаты.

• Дана постановка обратной задачи определения параметров неоднородных стержней по их динамическим характеристикам. Современная измерительная техника позволяет получить функциональные зависимости виброперемещения определенных точек стержня от времени. Задача состоит в определении распределения жесткостных параметров исследуемого непрерывно-неоднородного стержня по полученным в результате эксперимента функциональным зависимостям виброперемещения середины стержня от времени.

• Дано определение слабой неоднородности жесткостных параметров стержня, построено и обосновано решение задачи двумя различными методами в случае слабой неоднородности. Если известно, что жесткостные параметры стержня удовлетворяют условию слабой неоднородности, то решение задачи определения их распределения по длине стержня упрощается. Прямой метод решения позволяет математически выразить искомую функцию распределения через известные функции, однако не позволяет преодолеть некорректность постановки обратной задачи. Косвенный метод состоит в подборе квазирешения, которое минимизирует разницу расчетных и экспериментальных функциональных зависимостей виброперемещения середины стержня от времени. Косвенный метод преобразует некорректно поставленную обратную задачу в корректно поставленную задачу подбора квазирешения.

• В случае произвольной непрерывной неоднородности обратная задача сведена к оптимизационной задаче поиска квазирешения. Поскольку классические методы поиска не применимы к полученной оптимизационной задаче, рассмотрены различные возможные алгоритмы ее решения, основанные на случайном поиске с различными эвристиками. Разработан алгоритм, основанный на генетическом алгоритме, позволяющий решить обратную задачу определения жесткостных параметров непрерывно-неоднородного стержня. Использование генетического алгоритма позволяет добиться значительно более быстрого схождения решения по сравнению с другими рассмотренными алгоритмами.

• Разработано программное обеспечение в средах Maple и Delphi для решения обратной задачи полученными в ходе исследования методами. Использование программного обеспечения позволяет существенно сократить время расчетов и избежать ошибок, возможных при ручном расчете, при решении поставленной обратной задачи предложенными методами.

• Составлены рекомендации и условия использования методов решения обратных задач определения параметров неоднородных стержней. Результаты работы могут быть рекомендованы для практического использования на промышленных предприятиях, в научных и проектных учреждениях, занимающихся вопросами контроля качества строительных конструкций. Созданный в ходе выполнения диссертационного исследования метод определения жесткостных параметров неоднородных стержней и реализующее его программное обеспечение рекомендуется использовать при подготовке специалистов по направлениям, связанным с контролем качества и диагностикой строительных конструкций и их элементов.

1. ГОСТ 18353-79. Контроль неразрушающий. Классификация видов и методов Текст. — Введ. 01.07.1980. — М.: Госстандарт России: Изд-во стандартов, 2005. —232 с.

2. Абовский, Н.П. Некоторые аспекты развития численных методов расчета конструкций Текст. / Н.П. Абовский, Л.В. Енджиевский // Известия ВУЗов. Строительство и архитектура. — 1981. —№6. — С. 30-47.

3. Алексеев, А.С. Обратные динамические задачи сейсмики Текст. // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. — М.: Наука, 1966.— С. 9-84.

4. Анохин, П.Н. Краткий обзор эволюционных алгоритмов Текст. // Неделя науки-2000: Материалы 33-й студенческой научно-технической конференции. — Орел: ОрелГТУ, 2001. — С. 15-16.

5. Анохин, П.Н. Постановка и решение обратной задачи для продольных упругих колебаний неоднородного стержня Текст. / П.Н. Анохин, В.А. Гордон // Известия ОрелГТУ. Серия «Естественные науки». — Орел. — 2005. — № 7-8. — С. 44-49.

6. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции Текст. — М.: Наука, 1974. — 431 с.

7. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов Текст. / К. Бате, Е. Вилсон. — М.: Стройиздат, 1982. — 448 с.

8. Бернштейн, С.А. Избранные труды по строительной механике Текст. — М.: Госстройиздат, 1961. — 452 с.

9. Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний Текст.: Учебник для вузов.— М.: Высш. школа, 1980. — 408 е., ил.

10. Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики Текст. / В.А. Би-цадзе. — М.: Наука, 1982. — 336 с.

11. Благовещенский, А.С. Об одной обратной задаче теории распространения сейсмических волн Текст. // Проблемы математической физики. — Вып. 1. — Л.: ЛГУ, 1966. — С. 68-81.

12. Болотин, В.В. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек Текст. / В.В. Болотин // Тр. Всесоюзн. конф. по теории колебаний пластин и оболочек. — Казань: КФ АНСССР, 1961. — С. 79-85.

13. Болотин, В.В. Методы теории вероятности и надежности в расчетах сооружений Текст. / В.В. Болотин. —М.: Сторйиздат, 1982. — 325 с.

14. Болотин, В.В. Современные проблемы строительной механики Текст. / В.В. Болотин, И.И. Гольденбдат, А.Ф. Смирнов. — М.: Стройиздат, 1964. —С. 48-53.

15. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст. / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

16. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности Текст. / К. Васидзу. — М.: Мир, 1987. — 542 с.

17. Васильев, Н. Метрические пространства Текст. // Квант. — 1990. — №1. — С. 17-21.

18. Ватульян, А.О. Математические модели и обратные задачи Текст. // Соросовский Образовательный Журнал. — 1998. — №11. — С. 143-148.

19. Вибрации в технике Текст. / И.И. Артоболевский [и др.]; под ред.

20. В.Н. Челомей. — М.: Машиностроение, 1978. — Т.1. — 352 е., ил.

21. Волкова, Е.А. Об одной обратной задаче для системы уравнений теории упругости Текст. // Вопросу корректности обратных задач математической физики. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. — С. 62-68.

22. Волкова, Е.А. Об одной одномерной обратной задаче для системы уравнения теории упругости анизотропных сред Текст. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, препринт №330. — 1979. — 40 с.

23. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем Текст. / А.С. Вольмир — М.: Наука, 1967. — 984 с.

24. Гласко, В.Б. Обратные задачи математической физики Текст. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 112 с.

25. Гордон, В.А. Метод решения задач механики неоднородных тел: монография Текст. / В.А. Гордон, B.C. Шоркин, М.И. Борзенков. — Орел: Орел-ГТУ, 2005.— 161 с.

26. Дарков, А.В. Строительная механика Текст. / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. — М.: Высшая школа, 1986. — 607 с.

27. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач Текст. — М.: Изд-во МГУ, 1994.—207 с.

28. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия Текст. / Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. — М.: Стройиздат, 1981. — 215 с.

29. Дмитрович, А.И. Интеллектуальные информационные системы Текст. — Минск, 1997. — 367 с.

30. Добринский, В.И. О существовании и единственности решения обратной задачи Лэмба Текст. / В.И. Добринский, А.В. Авдеев // Математические проблемы геофизики: модели и численные методы. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. —С. 4-22.

31. Еремеев, А.В. Разработка и анализ генетических и гибридных алгоритмов для решения задач дискретной оптимизации Текст.: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.16 / Еремеев Антон Валентинович. — Омск, 2000. — 175 с.

32. Жиглявский, А.А. Математическая теория глобального случайного поиска Текст. — М.: Изд-во ЛГУ, 1985. — 293 с.

33. Жиглявский, А.А. Методы поиска глобального экстремума Текст. / А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинская. — М.: Наука, 1991. — 248 с.

34. Завриев, К.С. Динамика сооружений Текст. / К.С. Завриев. — М.: Трансжилдориздат, 1946. — 288 с.

35. Иванов, В.К. О некорректно поставленных задачах Текст. // Дифференциальные уравнения. — 1968. — №2. — С. 61.

36. Иванов, В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода Текст. // ЖВМиМФ. — 1966. — Т. 6. — С. 1089-1094.

37. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа Текст. / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. — М.: Физматгиз, 1962. — 708 с.

38. Канторович, Л.В. Функциональный анализ Текст. / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — М: Наука, 1977. — 744с.

39. Карамышкин, В.В. Некоторые вопросы динамики упругих систем Текст. : дис. . докт. техн. наук: 01.02.06 / Карамышкин Виктор Васильевич. — М., 1972. —370 с.

40. Киселев, В.А. Строительная механика Текст. / В.А. Киселев. — М.: Стройиздат, 1964. — 332 с.

41. Клаф, Р. Динамика сооружений Текст. : Пер. с англ. / Р. Клаф, Дж. Пензиен.— М.: Стройиздат, 1979. — 320 с.

42. Ковырягин, М.А. Динамическое поведение жестко защемленного вертикально стоящего призматического стержня Текст. / М.А. Ковырягин // Известия ТулГУ. Строительные материалы, конструкции и сооружения. — Тула, 2004. —Вып. 6. —С. 47-52.

43. Коллатц, JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений Текст. / JI. Коллатц. — М.: Иностр. Литература, 1953. — 460 с.

44. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа Текст. / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М.: Наука, 1977. — 316 с.

45. Колчин, Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов Текст. — Кишинев: Картя Молдавеняскэ, 1971. — 172 с.

46. Конвей, М. Частоты колебаний балок, имеющих форму усеченного конуса или усеченного клина Текст. / М. Конвей, Д. Дабил // Прикладная механика. — 1965. — №4. — С. 205-207.

47. Коренев, Б.Г. Об изгибных колебаниях стержней переменного сечения Текст. / Б.Г. Коренев // Исследования по динамике сооружений. — М.: Гос-стройиздат, 1957. — С. 76-81.

48. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров Текст. / Г. Корн, Т. Корн — М.: Наука, 1984. — 832 с.

49. Коробко, В.И. Контроль качества строительных конструкций: Виброакустические технологии Текст. / В.И. Коробко, А.В. Коробко. — М.: Изд-во АСВ, 2003. — 288 с.: ил., ISBN 5-930931-613-1.

50. Короп, В.Ф. Метод полуслучайного поиска Текст. // Проблемы случайного поиска, вып. 5. — Рига, Зинатне, 1976. — С. 135-149.

51. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математическойфизики Текст. / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М.: Высшая школа, 1970. —712 с.

52. Лаврентьев, М.М. Линейные операторы и некорректные задачи Текст. / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. — М.: Наука, 1991. — 331 с.

53. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа Текст. / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. — М.: Наука, 1980 — 286 с.

54. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики Текст. — Новосибирск: СО АН СССР, 1962. — 91 с.

55. Ларднер, Т. Решения в обобщенных гипергеометрических функциях задач о поперечных колебаниях одного класса стержней переменного сечения Текст./Т. Ларднер//Прикладная механика.— 1968.—№1. — С. 101-107.

56. Лейбензон, Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости Текст. / Л.С. Лейбензон. — М.: Гостехиздат, 1948. — 287 с.

57. Лехницкий, С.Г. Радиальное распределение напряжений в клине и полуплоскости с переменным модулем упругости Текст. / С.Г. Лехницкий. // Прикладная математика и механика. —1962. — Вып. 1 — С. 146-151.

58. Лизарев, А.Д. Аналитические решения одного класса уравнений с переменными полиномиальными коэффициентами Текст. / А.Д. Лизарев, В.И Кленов // Дифференциальные уравнения, 1978. — Т.14. — Вып. 12. — С. 21582163.

59. Лизарев, А.Д. О решениях задач теории колебаний и устойчивости неоднородных упругих и вязкоупругих тел Текст. / А.Д. Лизарев // Докл. АН БССР. — 1982. — №6. — С. 519-522.

60. Ломазов, В.А Задача диагностики неоднородных термоупругих сред Текст. — Орел: ОрелГТУ, 2003. — 127 с.

61. Ломакин, В.А. Статистические задачи механики твердых неоднородных тел Текст. / В.А. Ломакин. — М.: Наука, 1970. — 139 с.

62. Ломакин, В.А. Теория упругости неоднородных тел Текст. / В.А. Ломакин.— М.: Изд-во МГУ, 1976. — 386 с.

63. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа Текст. / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. — М.: Высшая школа, 1982. — 271 с.

64. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики Текст. : 3-е изд. — М.: Наука, 1989. — 608 с.

65. Механика неоднородных деформируемых тел Текст. : Материалы междунар. конф. — Севастополь: Изд-во ОрелГТУ, 2004. — 89 с.

66. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике Текст. / С.Г. Михлин . — М.: Гостехиздат, 1957. — 476 с.

67. Михлин, С.Г. Фундаментальные решения динамических уравнений теории упругости для неоднородной среды Текст. / С.Г. Михлин // Прикладная математика и механика. — 1947. — Вып. 4. — С. 423-432.

68. Мэтьюз, Д. Математические методы физики Текст. / Д. Мэтьюз, Р. Уокер. — М.: Атомиздат, 1972. — 398 с.

69. Никифорова, Н. Е. О выборе оптимальных значений параметров оптимизатора Текст. — Пробл. случайного поиска (Рига), 1974. — Вып. 3. — С. 265-272.

70. Николаев, Е. Г. О скорейшем спуске со случайным выбросом направлений Текст. — Автоматика и вычисл. техника, 1970. — № 5. — С. 28-35.

71. Никольский, С.М. Курс математического анализа Текст. — М.: Наука, 1983.—Т.П. —448 с.

72. Новацкий, В. Динамика сооружений Текст. / В. Новацкий. — М.: Стройиздат, 1963. — 376 с.

73. Новые методы расчета строительных конструкций Текст. / Под ред. А.Р. Ржаницына. — М.: Стройиздат, 1971. — 239 с.

74. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции Текст. / Ф. Олвер. — М.: Наука, 1978. — 375 с.

75. Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем Текст. / Я.Г. Пановко, И.И. Губанов. — М.: Наука, 1979. — 384 с.

76. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах Текст. / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. — М.: Высшая школа, 2002. — 544 с.

77. Перчик, Е. Методология синтеза знаний: преодоление фактора некорректности задач математического моделирования Текст. — Харьков, 2004. —206 с.

78. Петровский, И.Г. О работах академика Жака Адамара по уравнениям с частными производными Текст. / Петровский И.Г., Соболев С.Л. // Успехи математических наук. — 1936. — № 2. — С.82-91.

79. Половинкин, А. И. Алгоритм поиска глобального экстремума при проектировании инженерных конструкции Текст. — Автоматика и вычисл. техника, 1970. — №2. — с. 31-37.

80. Пратусевич, Я.А. Вариационные методы в строительной механике Текст. / Я.А. Пратусевич. — М.: Гостехиздат, 1948. — 400 с.

81. Прохорова, А.В. Влияние воздействия агрессивной среды на напряженно-деформированное состояние элементов конструкций Текст. : дис. . канд. техн. наук: 01.02.04 / Прохорова Алла Валерьевна. — Тула., 2003. — 210 с.

82. Растригин, Л.А. Адаптация сложных систем Текст. — М.: Наука, 1981. —396 с.

83. Растригин, Л. А. Случайный поиск с линейной тактикой Текст. — Рига, Зинатне, 1971. — 192 с.

84. Растригин, Л. А. Смешанные алгоритмы случайного поиска Текст. // Пробл. случайного поиска. — Рига, 1973. — вып. 2. — С. 7-17.

85. Растригин, Л. А. Об особенностях учета ограничений в процессах случайного поиска Текст. // Пробл. случайного поиска. — Рига, 1978. — вып. 7. —С. 13-21.

86. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике Текст. — М.: Мир, 1985. — 590 с.

87. Ржаницын, А.Р. Составные стержни и пластинки Текст. — М.:

88. Стройиздат, 1986. — 316 с., ил.

89. Ржаницын, А.Р. Теория расчетов строительных конструкций на надежность Текст. / А.Р. Ржаницын. — М.: Сторйиздат, 1978. — 239 с.

90. Ржаницын, А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем Текст. / А.Р. Ржаницын. — М.: Гостезиздат, 1955. — 476 с.

91. Романов, В.Г. Обратные задачи математической физики Текст. — М.: Наука, 1984. —261 с.

92. Самарский, А.А. Численные методы Текст. / А.А. Самарский, А.В. Гулин. — М.: Наука, 1989. — 432 с.

93. Сенхиашвили, Э.А. Интегральная оценка качества и надежности предварительно напряженных конструкций Текст. / Э.А. Сенхвиашвили — М.: Наука, 1988. —217 с.

94. Сенхиашвили, Э.А. Колебания упругих систем Текст. / Э.А. Сенхиашвили.— Тбилиси: Сабчота Сакартвело, 1966. — 547 с.

95. Синицын, А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений Текст. — М.: Стройиздат, 1978. — 231 с.

96. Смирнов, А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений Текст. / А.Ф. Смирнов. — М.: Трансжелдориздат, 1947. — 308 с.

97. Сушков, Ю.А. Об одном способе организации случайного поиска Текст. // Автоматика и вычислительная техника, 1974. — № 6. — С. 41-48.

98. Тарасенко, Г. С. Исследование адаптивного алгоритма случайного поиска Текст. // Пробл. случайного поиска. — Рига, 1976. — вып. 5. — С. 119124.

99. Теория упругости неоднородных тел. Библиогр. указатель отечественной и иностр. литературы Текст. : Составители Г.Б. Колчин и Э.А. Фавер-ман. — Кишинев: Штиинца, 1972. — 246 с.

100. Тихонов, А.Н. Математические задачи компьютерной томографии Текст. / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, А.А. Тимонов. — М.: Наука, 1987. — 160 с.

101. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. — М.: Наука, 1986. — 287 с.

102. Толоконников, Л.А. Механика деформируемого твердого тела Текст. / Л.А. Толоконников. — М.: Высшая школа, 1979. — 318 с.

103. Трапезой, А.Г. К решению задач о поперечных колебаниях балки переменной ширины Текст. / А.Г. Трапезой // Проблемы прочности. — 1981. — №2. —С. 117-120.

104. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения Текст. / Ф. Трикоми. — М.: Мир, 1967. —168 с.

105. Федулов, А.А. Введение в теорию статистически ненадежных решений Текст. — М.: Статистика, 1979. — 279 с.

106. Фрёман, Н. ВКБ-приближение Текст. / Н, Фрёман, П.У. Фрёман. — М.: Мир, 1967. —217 с.

107. Хаусдорф, Ф. Теория множеств Текст. — М.: КомКнига, 2006. —304 с.

108. Ш.Хединг, Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ) Текст. / Дж. Хединг. — М.: Мир, 1965. — 120 с.

109. Хечумов, Р.А. Сопротивление материалов и основы строительной механики Текст. / Р.А. Хечумов, А.Г. Юрьев, А.А. Толбатов. — М.: Изд-во АСВ, 1994.—267 с.

110. Яхно, В.Г. Обратные задачи для гиперболических уравнений: правая часть мгновенный источник, размещенный на границе Текст. // Некорректные задачи математической физики и анализа. — Новосибирск: Наука, 1984. — С. 210-215.

111. Яхно, В.Г. Устойчивость решения одномерных обратных щалач упругости Текст. // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 286. — № 6. — С. 13691372.

112. Яхно, В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений Текст. — Новосибирск: Наука, 1990. — 301 с.

113. Deb, К. Real-coded genetic algorithms with simulated binary crossover: Studies on multi-modal and multi-objective problems Текст. / К. Deb, A. Kumar // Complex Systems, 1995. — Vol. 9. — No. 6. — P. 431-454.

114. Goldberg, D. E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning Текст. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. — 135 p.

115. Herrera, F. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and tools for the behaviour analysis Текст. / F. Herrera, M. Lozano, J.L. Verdegay // Artificial Intelligence Review. — Vol. 12. — No. 4. —1998. — P. 265-319.

116. Herrera, F. Hybrid Crossover Operators for Real-Coded Genetic Algorithms: An Experimental Study Текст. / F. Herrera, M. Lozano, A.M. Sanchez // Soft Comput., 2005. — Vol. 9. — No. 4 — P. 280-298.

117. Holland J. Adaptation in Natural and Artificial Systems Текст. — Ann Arbor, MI: Univ. Michigan Press, 1975. — 211 p.

118. Michalewicz, Z. Genetic Algorithms, Numerical Optimization and Constraints Текст. // Proceedings of the 6th International Conference on Genetic Algorithms. — Pittsburgh, July 15-19,1995. —P. 151-158.

119. Tarantola, A. Inverse problem theory and methods for model parameter estimation Текст. / Albert Tarantola. — Paris: Univ. de Paris 6, 2005. — 342 p.

120. Wright, A. Genetic algorithms for real parameter optimization Текст. // Foundations of Genetic Algorithms, 1991. — V. 1. — P. 205-218.

121. Текст программы Maple алгоритма определения жесткости слабонеоднородного стержня по данным перемещения серединного сечения стержня в процессе колебаний "прямым" методом

122. Решение обратной задачи в следующей постановке:

123. Уравнение гармонических свободных колебаний стержня-эталона

124. Поправка колебаний в случае слабо-неоднородного стержня по Еueps = u uO, Eeps = Е - ЕО, rho=rho0

125. ЕО*(d2ueps/dx2)-rhoO*(d2ueps/dt2)=-(Eeps*g')'*sin(alpha*t)с однородными граничнымиueps(0,t)=0, ueps(1,t)=0и однородными начальными условиямиueps(x,0)=0, dueps/dt(x,0)=0

126. А также дополнительным измерениям в точке х=аueps(a,t)=phiEps(t)=phiA(t) g(a)*sin(alpha*t),dueps/dX(a,t)=psiEps(t)=psiA(t) g'(a)*sin(alpha*t)1. Необходимо найти: Eeps(x)1. E0 Жесткость эталонаrhoO погонная плотность эталона

127. Eeps0 значение искомой функции при х=0alpha частота колебаний для начальных условий

128. Находим базовые колебания, д(х)д := (x)->l/alpha*PsiB*sin(alpha*k*x);uO := (х,t)->д(х)*sin(alpha*t); #

129. Пересчитываем дополнительные измерения для 2-й под-задачиphiEps:=(zz)->eval(phiA,t=zz) g(a)*sin(alpha*zz);psiEps:=(zz)->eval(psiA,t=zz) eval(diff(g(zz),zz),zz=a)*sin(alpha*zz); #

130. Переходим к новой неизвестной V(x,t), применяя оператор DA2+alphan.A2*D где D дифференцирование по t

131. Применив оператор к уравнению получим

132. ЕО*(d2V/dx2)-rhoO*(d2V/dt2)=0,где V=d2W/dt2+alphan.A2*Wс однородными граничными условиями1. V(0,t)=0, V(l,t)=0и известным дополнительным измерениям в точке х=а

133. V(a,t)=phiEps"(t)+alphan.A2*phiEps(t)=phi2(t)dV/dX(a,t)=psiEps"(t)+alphan.A2*psiEps(t)=psi2(t)1. Необходимо найти: V(x,t)phi2: = (t)->diff(phiEps(t),t$2)+alphaA2*phiEps (t); psi2: = (t)->diff(psiEps(t),t$2)+alphaA2*psiEps (t);

134. W:=(х,t)->sin(alpha*t)*F2(x)+cos(alpha*t)*F1(x)+WAdd(x,t); WAdd:=(x,t)->(int(cos(alpha*t)*V(x,t),t)*sin(alpha*t)-int(sin(alpha*t)*V(x,t),t)*cos(alpha*t))/alpha; F1 :=(x)->-eval(WAdd(x,t),t=0);

135. F2:=(x)->-eval(diff(WAdd(x,t),t),t=0)/alpha; #

136. Зная W(x,t), находим искомую функцию F(x)

137. F: = (x)->simplify(eval((E0*diff(W(x,t) ,x$2)rho0*diff(W(x,t),t$2))/sin(alpha*t), t=1.6)); #

138. Возвращаемся к решению оригинальной задачи:1. F(x)=-(Eeps*g')'где надо найти Eeps

139. Eeps:=(х)->-(int(F(х),х)+CEeps)/diff(g(х),х); CEeps := solve (eval(Eeps(х),х=0)=Eeps0);

140. El:=x->eval(int(F(x), x)+CEeps, x=A2*xA2+Al*x); b:=fsolve(int(F(x),x)+CEeps=0, x, 0.45.0.55);

141. E:=x->E0 + (-subs(solve({A2*0.5Л2+А1*0.5=b, A2+A1=1}( {A1,A2}), El (x))) / diff(g(x),x);1. E:=(x)->EO+Eeps(х); Е(х);end proc;1. Исходные параметры

142. E:=solA(E0, rhoO, EepsO, alpha, PsiB, PsiC, phiA(t), psiA(t));

143. Текст программы Maple алгоритма определения жесткости слабонеоднородного стержня по данным перемещения серединного сечения стержня в процессе колебаний методом подбора квазирешения

144. МЕТОД ПОДБОРА КВАЗИРЕШЕНИЯ

145. Решение обратной задачи в следующей постановке:

146. Уравнение свободных колебаний эталона

147. Поправка колебаний в случае слабо-неоднородного стержня по Еueps = u uO, Eeps = Е - EO, rho=rho0

148. EO*(d2ueps/dx2)-rhoO*(d2ueps/dt2)=-(Eeps*g')'*sin(alpha*t)с однородными граничнымиueps(0,t)=0, ueps(1,t)=0и однородными начальными условиямиueps(х,0)=0, dueps/dt(х,0)=0

149. Находим базовые колебания, g(x)g;=x->l/alpha*psiO*sin(alpha*k*x);uO:=(x,t)->g(x)*sin(alpha*t); #

150. Пересчитываем дополнительные измерения для 2-й задачиphiAEps:=zz->eval(phiA(t),t=zz) eval(uO(x,zz),x=a); phiCEps:=zz->eval(phiB(t),t=zz) - eval(uO(x,zz),x=a);#c); #psiAEps:=zz->psiA(t) - eval(diff(uO(x,t),x),x=a);

151. FF:=(x,t)->Eeps(x)*diff(u0(x,t),x);

152. Eeps:=x->sum('b1.*xAi', 'i'=0.NE);

153. J:=lambda*int(Eeps(t)л2, t=0.1); #ручной численный подсчет интеграла tstepi := 0;for xO from STEP by STEP to 1 do stepi := stepi + 1; for i from 0 to NE do

154. Vi,stepi. := int(eval (G(i,t,tau), t=x0), tau=0.x0); VX[i,stepi] := int(eval(Gx(i, t,tau), t=x0), tau=0.x0); end do;

155. JD:=n->diff(J, bn.) + 2*sum(*b1.*IJ[i,n]', 'i'=0.NE) + 2*IJ[NE+l,n] -IPhi[n];

156. E:=solQ(E0, rhoO, EepsO, 0, PsiCl, phiA(t), phiC(t), NE);

157. Текст программы Delphi решения прямой задачи определения динамических характеристик стержня с известными жесткостным параметрами при заданныхначальных условиях

158. Решение прямой задачи для продольных колебаний. Дано:х=0.1 (длина стержня = 1)

159. Е(х) функция распределения модуля Юнгаrho(x) функция распределения плотностиphi(x), psi(x) начальные условиях=а точка в которой надо найти колебания1. Найти: u(a,t)

160. Уравнение продольных колебаний:d(Е(х)*du/dx)-rho(х)*d2u/d2t=0граничные условия:u(0,t)=u(l,t)=0начальные условия:и(х,0)=phi(х)du/dt(х,0)=psi(х)1. Примечания:

161. TIntegralFunc = function(x : Real) : Real; TECoeff = Array0.EAN. of Real;var

162. EA : TECoeff; // коэффициенты при E(x)

163. TDynamics = record omega, у : Real; end;const

164. TEGRALINTERVALS = 100; N0VALUE = -13532523;varalpha : Real; wrong : boolean;xH : Real; // используется для H(x,z) в качестве x dyn : Array0.INTEGRALINTERVALS. of TDynamics;function E(x : Real) : Real; begin

165. Result := EA0. + EA[l]*x + EA[2]*x*x + EA[3]*x*x*x + EA[4]*x*x*x*x; end;diff(E(x), x)function dE(x : Real) : Real;begin

166. Result := EAl.+2*EA[2]*x+3*EA[3]*x*x+4*EA[4]*x*x*x; end;diff(E(x), x$2)function ddE(x : Real) : Real;begin

167. Result := 2*EA2.+3*2*EA[3]*x+4*3*EA[4]*x*x; end;function rho(x : Real) : Real; begin

168. Result := 2*x*x-l.5*x+2; end;h коэффициент решаемого уравнения y''+h(x)*y=0 // h=alphaA2*rho/E-l/2*E''/E+l/4*(E'/E)Л2 function h(x : Real) : Real; var EX, DEX : Real; begin1. EX := E(x); dEX := dE(x);

169. Result := alpha*alpha*rho(x)/EX-l/2*ddE(x)/EX+l/4*dEX*dEX/EX/EX; end;function dh(x : Real) : Real; begin

170. Result := (h(x+0.005) h(x)) / 0.005;end;function ddh(x : Real) : Real; begin

171. Result := (dh(x+0.005) dh(x)) / 0.005; end;function phi(x : Real) : Real; begin

172. Result := x*(x-1)*sin(Pi*x); end;function psi(x : Real) : Real; begin

173. Result := dyn1.omega; end;function f1(x : Real) : Real; begin

174. Result := exp(-l/4*ln(h(x)))*sin(omega(x)); end;function f2(x : Real) : Real; begin

175. Result := y(x); Result := Result * Result; end;function insideypsi(x : Real) : Real; begin

176. Result := y(x)*psi(x); end;function insideyphi(x : Real) : Real; begin

177. Result := y(x)*phi(x); end;function HH(x,z : Real) : Real; var omegax,omegaz : Real; beginomegax := omega(x); omegaz := omega(z); // if abs(fz) < le-3 then // Result := 0 else

178. Result := sin(omegax)/sin(omegaz)-cos(omegax)/cos(omegaz);end;function g(x : Real) : Real;var vH,vDH : Real;beginvDH := dh(x); vH := h(x) ; if vH < 0 then beginwrong := true; result := 1; end else

179. Result := (sin(omegax)-cos(omegax)*tan(omegaz))*g(x)*exp(-l/4*ln(h(x))); end;function insidetanl(x : Real) : Real;var hx : Real;beginhx := h(x);if h(x) <0 thenbeginwrong := true; result := 1; end else

180. Result := tan(omega(x))*g(x)*exp(~l/4*ln(h(x)));end;function insidetan2(x : Real) : Real; begin

181. Result := g(x)*exp(-l/4*ln(h(x))); end;

182. Конечный ответ имеет вид sum(ResA1.*sin(alphai.*t)+ResB[i]*cos(alpha[i]*t), i=l.RESULTN) end;function resultDirect(t : Real) : Real;var i : Integer;begin1. Result := 0;for i := 1 to RESULTN do

183. ELOWLIMIT = 0.01; EHIGHLIMIT = 4;

184. ERANGE = EHIGHLIMIT ELOWLIMIT; Type

185. TGenotype = Array0.EAN. of Real; varbest : Real; bestK : TECoeff; chart : TChart; memo : TMemo;

186. BestGenome, Genome : TGenotype;function power(x,p : Real) : Real; beginif abs(p-l) < le-6 then

187. Result := x else if (abs(p-2) < le-6) then Result := x * x else Result := exp{p*ln(x));end;function phiA(t : Real) : Real;var i,j : Integer;begini := trunc((t le-3)*100); j := i + 1; if i < 0 then i := 0; if j > 100 then begin

188. Result := phiatab1.; Exit; end;

189. Result := phiatab1. + (phiatabj. phiatab[i]) * (t*100 - i); end;function phiB(t : Real) : Real;var i,j : Integer;begini := trunc((t le-3)*100); j := i + 1; if i < 0 then i := 0; if j > 100 thenbegin

190. Result := phibtabfi.; Expend;

191. Result := phibtabfi. + (phibtabj] phibtab1.) * (t*100 - i); end;function phiC(t : Real) : Real;var i,j : Integer;begini := trunc((t le-3)*100);j := i + 1;if i < 0 then i := 0;if j > 100 thenbegin

192. Result := phiCtabfi.; Exit; end;

193. Result := phiCtab1. + (phiCtabj. phiCtabfi]) * (t*100 - i); end;function phiD(t : Real) : Real;var i,j : Integer;begini := trunc((t le-3)* 100); j := i + 1; if i < 0 then i := 0; if j > 100 then begin

194. Result := phiDtabfi.; Exit; end;

195. Result := phiDtab1. + (phiDtabj. phiDtabfi]) * (t*100 - i); end;function EOrig(x : Real) : Real; begin1. Result := l/(x+0.5); end;function rhoOrig(x : Real) : Real; begin1. Result := x+0.5; end;function insidefitnessl(t : Real) : Real; begin

196. Result := (resultDirect(t) -phiA(t));

197. Result := Result * Result; end;function insidefitness2(t : Real) : Real; begin

198. Result := (resultDirect (t) phiB(t));

199. Result := Result * Result; end;function insidefitness3(t : Real) : Real; begin

200. Result := (resultDirect(t) -phiC(t));

201. Result := Result * Result; end;function insidefitness4(t : Real) : Real; begin

202. Result := (resultDirect(t) -phiD(t)); Result := Result * Result; end;check the E function to be in the (O.ELIMIT) range function checkE : Boolean; var EX,x : Real; begin x := 0;

203. Series0.Clear; Series1.Clear; Series[2].Clear; Series[3].Clear; x:=0;1. While x<=l do begin

204. Series0.AddXY(x, E(x)); Series1.AddXY(x, EOrig(x)); Series[2].AddXY(x, abs(E(x)-EOrig(x))); // Series[2].AddXY(x, rho(x));

205. Series3.AddXY(x, rhoOrig(x));x := x + 0.01; end; end;with Memo.Lines do begin Clear;for i := 0 to EAN do

206. Add(Format('Коэф-т%d.:=%.6f;', [i, EA1.])); for i := 0 to EAN do

207. Add(Format('Геном%d.:=%,2f;', [i, Genome1.])) ; Add(Format('Текущая лучшая оценка=%.6f', [best])); end;

208. Memo.Lines.SaveToFile('log.txt') ; Application.ProcessMessages; end;procedure convertGenomeToK; beginif EAN = 4 then begin1. EA0. := Genome[0];

209. ЕА1. := -25/3*Genome0. Genome[4] + 16/3*Genome[3] - 12*Genome[2] + 16*Genome[1];

210. EA2. := 70/3*Genome[0] + 22/3*Genome[4] 112/3*Genome[3] + 76*Genome[2] -208/3*Genome1.;

211. EA3. := -80/3*Genome[0] 16*Genome[4] + 224/3*Genome[3] - 128*Genome[2] + 96*Genome1.;

212. EA4. := 32/3*Genome[0] + 32/3*Genome[4] 128/3*Genome[3] + 64*Genome[2] -128/3*Genorne [ 1 ] ;end; end;function calculateFitness : Real; beginfindDirectSolution(1/2);

213. Result := integral(insidefitnessl, 0, 1); findDirectSolution(1/3);

214. Result := Result + integral(insidefitness2, 0, 1); findDirectSolution(1/4);

215. Result := Result + integral(insidefitness3, 0, 1); findDirectSolution(1/6);

216. Result := Result + integral(insidefitness4, 0, 1); if Result > 1000 then Result := 1000; if Result < best then beginbest Result; bestK := EA; bestGenome ;= genome; updateResult; end; end;function genRnd(i : Integer) : Real; begin

217. Result := Random * (high low) + low; end;procedure GradientDescent(curFit : Real); const1. STEP = 0.1; vari,nd : Integer;dir : arrayl.100. of record fit : Real; id : integer; up : Boolean; end; totfit,rl : Real;begin

218. Выбираем из всех возможных направлений движения случайно-наилучшее repeat nd := 0;for i := 0 to EAN do begin

219. Genome1. := Genomei. + STEP; if Genome[i] <= EHIGHLIMIT then beginconvertGenomeToK; if checkE then beginrl := calculateFitness; if rl < curFit then begin inc(nd) ;dirndj.fit := rl; dir[nd.id := i; dir[nd].up := true; end; end; end;

220. Genome1. := Genomei. 2 * STEP; if Genome[i] >= ELOWLIMIT then beginconvertGenomeToK; if checkE then beginrl := calculateFitness; if rl < curFit then begin inc(nd);dirnd.fit rl; dir[nd].id := i; dir[nd].up := false; end; end; end;

221. Genome1. := genRnd(i); convertGenomeToK;if not checkE then continue;

222. Memo.Lines.Add('Определено EI'); Application.ProcessMessages;

223. GradientDescent(calculateFitness) ;for i := 0 to EAN do

224. Genome1. := genRndNearBest(i); convertGenomeToK;if not checkE then continue;

225. Memo.Lines.Add('Определено E в окрестности предыдущего наилучшего!'); Application.ProcessMessages;

226. GradientDescent(calculateFitness) ;

227. Genome:=bestGenome; convertGenomeToK; updateResult; end; end;procedure doFullSearch; const

228. Genomefi. := cur.mFromfi]; Memo.Lines.Insert(0, Format('Queue(%d): %.2f %.2f %.2f %.2f %.2f %.4f', nqq,Genome[0],Genomefi],Genome[2] ,Genome[3] ,Genome[4], cur.mStep])); While True dobegin

229. Genome1. := Genomei. + cur.mStep; if Genome[i] <= cur.mTo[i] then break; Genome[i] := cur,mFrom[i]; inc(i); end;if i > EAN then break; end; end; end; end; end;procedure doGenSearch; const

230. ENTITYCNT = 100; MUTATIONPCT = 0.2; //0.05 ODTSIDERPCT = 0.1;//05; //0.01

231. Result := 0.1/fit else Result := -In(fit);end;procedure GenerateNewEntity(var e : TEntity); var i : Integer; begin Repeatfor i := 0 to EAN do

232. GenerateNewEntity(entcurpop,i.); popid := 0;main loop While True do begininc(popid);if popid mod COMPLETEREGEN = 0 then beginfor i := 1 to entcntcurpop. do

233. Add(Format('Номер поколения: %d', popid.));

234. Add(Format('Средняя оценка: %.8f Лучшая оценка: %.8f', sumfit / entcnt[curpop., bestfit])); Add( " );

235. Add('Текущее лучшее решение:'); for i := 0 to EAN do

236. Add(Format('Genome%d.:=%.2f;*, [i, BestGenome1.])); Add(Format('Оценка лучшего решения=%.6f', [best])); Application.ProcessMessages; end;1. Создать новое поколениеentcnt1-curpop. := 0;

237. While entcnt1-curpop. < ENTITYCNT dobeginif Random < OUTSIDERPCT then beginintroduce completely random entity inc(entcnt1-curpop.);

238. GenerateNewEntity(ent1-curpop, entcnt[1-curpop.]);1. Continue; end;

239. While Random < MUTATIONPCT dobeginset random point to random number i := Random(EAN + 1); mGenome1. := genRnd(i);end;скопировать созданную особь в геном и проверить корректность for i := 0 to EAN do

240. Genome1. := genRnd(i); convertGenomeToK; Until checkE; fit := calculateFitness;

241. Memo.Lines.Insert(0, Format('%d %.8f', id, fit.)); inc(id); end; end;procedure inverseSearch(ch : TChart; m : TMemo); begin1. Chart := ch; Memo := m;

242. Chart.Series0.Clear; Chart.Series1.Clear; Memo.Lines.Clear; Application.ProcessMessages;best := 1000;doGradientSearch(false); // doFullSearch;doGenSearch; // генетический алгоритм // doRandomSearch;end;end.

243. Исходные данные для примера расчетов параметров неоднородных стержнейпрямой задачи1. A" "B" "C"1. Е® 160 4 540+ £ 2f-1,5^ + 2

244. Pft) 9 2£2 -l,5£ + 2 448^6 770£9 + 220i;4 -360£8 -91+300^ -164§64^7 -77?° + 44^5 -Щ9 -Щ-78 + 75£4 -82£2 * xAft)

245. Aft) 0Д 0,1 -0,05^-0,0115^ + 0,114 + 0,005(-85^7 + 175£5 + £4 -4943-35§+52) + -117£7 45£5 - 69£4 + ЗЗ^3 + 97£2-18^-190 0 0ф.00 0 0,01£ft-l)x X sin 0,003 . c ,-sin щ VS^A®

246. Vitt) 0,03 sin nt, 0,02 sin 2ti^ 0,12 . e —rr—r==Sin ЯС VS^/A®fafex) 0 0,7^-1)2 0

247. Ф2© 0 0,03 sin 0,002 . „ t . sinzTic0,04 sin 271^ 0,02 sin 0,07 . „ E , ,-sinznc

248. График искомой функции Е(£) 1 2.3 2.22.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6- н0 0.2 0.4 ' ' 0,'б' 0.'8 ' ' Ч ^

249. Общее решение уравнения колебаний xsin 1 °° >т)= ;КАпsin <V + Bn cosaj). * П=1 -4,5^ + 12)).

250. Спектр собственных частот 3,278; 6,556; 9,835; 13,113; 16,391;.

251. Данные эксперимента (3.7) 0.003 0002 0.001 0 -0.001 •0002 Д Д 0.004 / \ / \ 0 002 лЛ лА,

252. Г' \'Г ' \' ' / \ / \ ■°002 ' V V -0.004 х.М \ г 1 i \ * \ г х2 W1. График искомой функции0.1008 0.06 0.04 0.0202 ' ' ' 0.4' ' ' 0.6' 0.8 1

253. Решение уравнения колебаний с учетом начальных условийWfeT) = 5A(t)(C' 711111 + C0S7tmT)'1. Данные эксперимента (3.7)1. XiWx2W

254. Оценка эффективности генетического алгоритма в зависимости от различныхпараметров

255. Оператор кроссовера Среднее количество поколений Среднее время работы алгоритма, мин

256. С1. Плоский кроссовер 15 5

257. С2. Простейший кроссовер 21 7

258. СЗ. Равномерный арифметический кроссовер w=0,1 15 5

259. СЗ. Равномерный арифметический кроссовер w=0,25 13 4,3

260. СЗ. Равномерный арифметический кроссовер w=0,5 12 4

261. С4. Геометрический кроссовер 18 6

262. С5. Смешанный кроссовер а = ОД 14 4,7

263. С5. Смешанный кроссовер а = 0,25 15 5

264. С5. Смешанный кроссовер а = 0,5 14 4,7

265. Сб. Линейный кроссовер 15 5

266. С7. Дискретный кроссовер 16 5,3

267. С8. Расширенный линейный кроссовер 16 5,3кроссовера при решении задачи "С"

268. Оператор кроссовера Среднее количество поколений Среднее время работы алгоритма, мин

269. С1. Плоский кроссовер 16 21

270. С2. Простейший кроссовер 20 27

271. СЗ. Равномерный арифметический кроссовер w=0,1 18 24

272. СЗ. Равномерный арифметический кроссовер w=0,25 17 23

273. СЗ. Равномерный арифметический кроссовер w=0,5 15 20

274. С4. Геометрический кроссовер 15 20

275. С5. Смешанный кроссовер а = 0,1 17 23

276. С5. Смешанный кроссовер а = 0,25 17 23

277. С5. Смешанный кроссовер а = 0,5 16 21

278. Сб. Линейный кроссовер 14 19

279. С7. Дискретный кроссовер 21 28

280. С8. Расширенный линейный кроссовер 15 20

281. Оператор мутации Среднее количество поколений Среднее время работы алгоритма, мин

282. Ml. Равномерная мутация 12 4

283. М2. Неравномерная мутация Миха-левича етах = 15, b = 0,1 11 3,7

284. М2. 8тах =15, Ь = 0,2 12 4

285. М2. smax = 15, b = 0,3 13 4,3

286. М2. smax =15, b = 0,4 11 3,7

287. М2. етах =15, b = 0,5 12 4

288. М2. smax =15, b = 0,6 12 4

289. М2. smax =15,b = 0,7 13 4,3

290. М2. втах =15, Ь = 0,8 10 3,3

291. М2. етах =15,Ь = 0,9 11 3,7

292. Оператор мутации Среднее количество поколений Среднее время работы алгоритма, мин

293. Ml. Равномерная мутация 15 20

294. М2. Неравномерная мутация Миха-левича етах = 15, b = 0,1 17 23

295. М2. стах =15,Ь = 0,2 14 19

296. М2. smax = 15, b = 0,3 18 24

297. М2. втах =15, Ь = 0,4 13 17

298. М2. етах =15, Ь = 0,5 16 21

299. М2. £тах =15, Ь = 0,6 15 20

300. М2. £тах =15, Ь = 0,7 15 20

301. М2. етах =15, Ь = 0,8 16 211. М2. smax=15,b = 0,9 14 191. СПРАВКАо внедрении в учебный процесс результатов диссертационной работы аспиранта Орловского государственного техническогоуниверситета П.Н. Анохина1. И Т С S4

302. Шрый проректор Орловского государ1. Z /оАл

303. СТВ&йНого технического университета1. СПРАВКАо внедрении в учебный процесс результатов диссертационной работы аспиранта Орловского государственного технического университета П.Н. Анохина

304. Заведующий кафедрой городского строительства и хозяйства, к.т.н., доцент1. А.И. Никулин