автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определение перемещений и напряжений в толстом цилиндре от неравномерного нагрева методом начальных функций

; , , , О , '

I '•. - -

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ имени ПАТРИСА ЛУМУМШ

На правах рукописи

ПЕШШЕВ Николай Павлович

УДК 624.042. Ь

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ТСШСТШ ДИНШДРЕ ОТ НЕРАВНОМЕРНОГО НАГРЕВА МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

05.23.17 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1990

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительной институте им. В.В.Куйбышева.

Научный руководитель Официальные оппоненты:

Ведущая организация

- доктор технических наук, профессор Цирков И.С.

- доктор технических наук, профессор Власов В.В.

кандидат технических наук, доцент Иванов В.Н.

- ЦНШСК ии. В.А.Кучеренко.

Защита состоится " /У " 1990 года в ^

часов на заседании специализированного совета К 053.22.20 по присуждению ученой степени кандидата технических наук в ордена Дружбы Народов Университете Дружбы Народов имени Пагриса Луыумбы п.о адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 348.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке уни-ветситета ( г, Москва, ул. Миклухо-Маклая, б ).

Автореферат разослан " 03 " 1990 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук,

доцент С.Н.Кривошапко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Конструкции типа толстых

оболочек в последнее время находят широкое применение во шюгих областях науки и техники, поэтому дальнейшее развитие современных методов расчета таких конструкций является актуальной проблемой строительной механики и представляет большой научный и практический интерес. Особенное значение для техники имеют задачи о расчете тодстих цилиндров от температурных воздействий, которые приводятся к обычным статическим задачам теории упругости с учетом дополнительных объемних и поверхностных сил.

Выполненные в диссертации исследования опираются на аналитический метод начальных функций, позволяющий определять перемещения и напряжения в любом радиальном слое толстого цилиндра, если известны соотношения для нахождения этих перемещений и напряжений в некоторой начальной его поверхности.

Этот метод но может бить отнесен к синим эффективным при решении указанных температурных задач; существует, например, фундаментальный метод теории потенциалов, позволяющий изучать сложные трехмерные задачи теории упругости, однако он, из-за математической слоллшсти, пока не налел широкого применения в инженерных расчетах; молно указать на численные подходи к определению напряженно-деформированного состояния цилиндра, в частности, на иегод конечных элементов; но численные методы, широко используемые в настоящее время, не должна бить единственно приоритетными, необходимо параллельно развивать аналитические методы расчета, хотя бы дл I того, чтобы иметь возможность контролировать полученные результаты.

Используемый в диссертации метод начальных функций являясь аналитическим, отличается простотой постановки сложной трехмерной задачи о расчете толстого цилиндра, является доходчивым для инженерной практики и, с этой точки зрения, имеет свои преиму-; щества.

Новизна исследований и р е з у л 1 -т а т о в, В диссертации рассмотрена новые задачи, связанные с определением перемещений и напряжений в толстом цилиндре от воздействия температуры, меняющейся неравномерно вдоль его круговой поверхности; в исследования.введ* ,:и три закона изменения

температуры: Со&в, Со$&9, Сс$3в» - таяке три типа гранич-

2

ных условий на торцах цилиндра: а) торцы цилиндра свободна; б) один торец защемлен, а второй свободен; в) два торца защемлены.

Достоверность результатов. Полученные результаты опираются на основные соотношения метода начальных функций, сформулированные В.3.Власовым. Все искомые перемещения и напряжения в виде рядов Маклорена по координате, нормальной к начальной поверхности цилиндра; в рядах удерживается только три первые члена, которых достаточно для построения рек-куренгной зависимости, позволяющей вовлекать в рассмотрение дифференциальные операторы разложения более высокого порядка.

Практическое значение. Выполненные исследования, и составленная на их основе программа расчета цилиндра на ЭВМ могут быть использованы при расчете линейно-упругих толстых цилиндров с другими геометрическими размерами и другими механическими характеристиками.

' Публикации. Ход построения основных теоретических соотношений диссертации опубликован в двух депонированных статьях.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, трех глав, формулировки основных результатов и списка литературы. Она содержит 90 страниц машинописного текста, 9 рисунков, 5 таблиц и 81 график.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертацщ излагается сущность метода начальных функций и приводится краткий обзор литературных источников, посвященных изучению напряженно-деформированного состояния толстых цилиндрических оболочек на основе этого метода.

Первая глава посвящена построению основных соотношений метода начальных функций применительно к рачету толстого цилиндра от температурного воздействия. Составлена система шести уравнений смешанного типа, которая устанавливает зависимость иевду тремя функциями перемещений, гремя компонентами напряжений, действующими на радиальных площадках, и температурой, отражающей неравномерный нагрев цилиндра. Приближенное решение указан ной строгой системы уравнений теории упругости строится на основе метода начальных функций, предложенного В.3.Власовым, для

чего все шесть искомых функций представляются в виде рядов Макло-рена по радиальной координате, относительно некоторой начальной

шерхности. В результате каждая из шести искомых функций определяется через свою начальную функцию и ее производные по радиальной координате, при этом как сама начальная функция, так и ее производные являются функциями двумерными, зависящими только от окружной и продольной координаты; радиальная координата входит, как степенная функция, в качестве множителя при соответствующей частной производной начальных функций. Составление выражений для частных производных от шести искомых функций усложняется по мере возрастания их порядка; в диссертации выписаны выражения только для первых и вторых производных.

На рис. I показано расположение осей цилиндрических координат и обозначения напряжений на площадках элемента цилиндра.

В таблице I представлена система дифференциальных уравнений, которые связывают шесть искомых функций с шестью начальными функциями посредством 36 дифференциальных операторов; в седьмом столбце расположены члены отражающие фиктивную нагрузку, соответствующую температурному воздействию. Дифференциальные операторы записываются относительно двух независимых переменных ( 6 , & )•

■Р . -- V:,

Рис. I

*

Таблица I

им То

и. и и и, Цг

V Ьав 1—2Г

гог и 1а Ьзз Ьз5 1-4« Ьз?

¿г и цг 1-43 и Ь45 1-46 1-4?

Т Ь52 Ь53 1—66

£гх и. Ь«г и и. Ьбб Ьб?

Наприиер, дифференциальный оператор имеет вид :

Здесь (г - модуль упругости при сдвиге; ^ - коэффициент Пуассона.

Дифференциальные операторы не создают симметрии относительно побочной диагонали матрицы (идущей с нижнего левого угла к верхнему правому углу); т.е. матрица оказывается нессиметричной относительно указанной диагонали, что усложняет решение задач.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопроси связанные с определением начальных функций и с приведением двумерной задачи к одномерной. За начальную поверхность принимается внутренняя боковая поверхность цилиндра ( Рис. I ). Если считать, что внутренняя и внешняя боковые поверхности свободны от закреплений, то граничные условия задачи на начальной поверхности запишутся в виде:

А' - — Е II . £ _ О» . _ Т" где ог - ©з 1-2^ ' 1,гв~1г9» '-г-®- игх>

Кроме того, на внешней боковой поверхности цилиндра заданы аналогичные граничные условия

£,(гг,9,хЬ сЕТ(г,,в,*), ?и(й,в,*)хО; Тг1(г2.м0=0;(2)

Удовлетворяя этим граничным условиям получим следующую систему уравнений при Ч =82

I и + I V * I гг - -1 Т - I СЕТ^.в.х) СЕТ (г,,6,Х).

1пи. ♦ Ь„и0 ♦ и„ггв = - ь„То - I» сЕус,г^'х);

* ЬЛ ♦ = - ь47т0- ; ( з)

Система уравнений ( 3 ) приводится к трем уравнениям, каждое из которого относится только к одному искомому перемещению

1и,(е,х) =^(6,1); Щ(е,х) = рг(в,х)} шв(в,х)=Рл(в,х)} ( 4)

Дифференциальный оператор 1« записывается посредством выражения

^= ~ Та* + + Аи^з^в* + А« + ^ ^

+ + + Ац + А«э5Гэё« +

^4 ^4- -1

+ Д44и* + эё* + ^-¿64} » < 5 >

где «С = ^ - безразмерная координата вдоль оси цилиндра,

8 = - относительная толщина,

коэффициенты при дифференциальных операторах зависят только от относительной толщины цилиндра 11 5 " и коэффициента Пуассона "

формулы для их определения приведены в диссертации.

функции F< , Ft , F, , расположенные в правых частях уравнений ( ^ ) известны; они связаны дифференциальными зависимостями с заданными функциями температуры на внутренней и внешней боковых поверхностях цилиндра, при этом функции F,(Q ,Х), FS(8,X) включают в свои выражения четные производные по окружной координате В, а функция Fa(0 , I) определяется через нечетные производные от этой координаты. Что касается дифференциального оператора L , то он, как следует из ( 5 ), зависит только от четных производных по координате 8 , оС . Эти свойства указанных функций и оператора " L " дают возможность привести дифференциальные уравнения ( 4 ) к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно продольной координаты " ". Для этой цели искомые начальные функции представляются в виде следующих тригонометрических рядов:

11,(8,-0 г^Ы) Cos тб;

п*о

V, VlJcc) Sbm6)

m*o 00

tfof0,°O=£] Uem(«0 Cosm8; ( б )

m*o

Что касается температуры, то предполагается следующий закон ее изменения вдоль начальной поверхности

Тч^е,*) = 6,(0) Т (г,*); (?)

где 8) - безразмерная функция, меняющаяся вдоль окружного направления начальной поверхности в виде ряда по косинусам

= fz Cos m.8 ( 8 )

М«0

С учетом ( 8 ) функция температуры ( 7 ) будет

оо

Тгг.а,*) = Т<г,«0 £ CosmQ; ( 9)

Подстановка Ш -го члена рядов ( б ) и ( 9 ) в уравнения ( 4 ) приводит к обыкновенным дифференциальным уравнении относительно функций , И^тС«1) ,

Шо-СоО = 11Лт(«0«{,(<)> (ю)

Здесь через Ь обозначен дифференциальный оператор восьмого порядка относительно продольной координаты " Л ".

^(•О» (°0 I - известные функции, зависящие от тем-

пературы на начальной поверхности цилиндра.

Перемещения и напрякенип, относящиеся к любой поверхности цилиндра также представляются в виде тригонометрических рядов

гцгдх) 1^(2,30 Со8т.0;

тгт(г,х)5и тВ;

ий.в^^г^гг,«; с0$тб;

СИ)

Посредством введения ПТ -го члена рядов ( II ) в матрицу таблицы I определяются формулы для функций 11т, 7^,, ,1»Гщ , С>,я »

Ъгх,т\ они связывают, начальные функции У-вт, , 1дГлж, определяемые из уравнении ( 10 ), с текущей координатой по толщине цилиндра " Е "; они вкачал хыс^е лес произвольные постойные, количество которых олределястса пори,игом оператора " Ь Кроме рассмотренного типа граничных усливлй на боковых поверхностях цилиндра в диссертации приведены постановка задачи еще дли двух типов: а) внутренняя поверхность по прежнему остается свободной, а на внешне!) поверхности обращаются в нуль радиальное перемецение и касагедьиш усилия; б) граничные условия на внутренней поверхности те ¿е, но на внешней поверхности обраща-

ются в нуль все три перемещения.

Произвольные постоянные, которые появляются в результате решения, отвечающего системе ( 10 ), определяются из граничных условий на торцах цилиндра. Если ограничиться тремя первыми членами рядов Маклорена, в которые разлагаются искомые функции, то на каждом торце цилиндра можно удовлетворить граничным условиям в двух или самое большее в трех точках. Чтобы увеличить число точек ("точек коллока-ции") на торцах цилиндра, включаемых в граничные условия задачи, надо увеличить число членов в рядах Маклорена, однако это связано с большими математическими трудностями.

Эта задача облегчается, если воспользоваться реккурентными зависимостями, позволяющими вычислить элементы матрицы, отвечающие рядам Маклорена при 11 л 11 членах, через элементы матрицы, отвечающие рядам при "1- I" членах. Для решения задачи введем:

V - вектор начальных функции;

V = вектор частных производных по координате ( £ );

У0= V ( 0, в , X ); 0,в , ЭС ) - значения векторов на

начальной поверхности 2=0.

Можно записать производную вектор-функции I/ по координате (2] в виде: - _ - -

§1 = V - АУ + А„Р ; ( 12:

Где А - матрица бхб, компоненты которой являются дифференциальными операторами по координате б , X , до второго порядка, с коэффициентами зависящими от £ ; - матрица 6x3;

Р = { ^ , Р$ ) Рх)- ~ вектор объемных сил.

Разложим вектор-функцию в ряд Маклорена:

« ( и:

Последовательно дифференцируя формулу ( 12 ) по координате ( £ ), построим алгоритм вычисления производных вектора V при 2 = 0 и учитывая, что матрица А зависит от 2 . Рассмотрим однородную задачу ( Р = 0 ):

V' ^ А V ; V,'» А,У0; А= А,» А (о,в,ос);

Vм = < А V= А' V + А V1 =(Д; + А<А)У = М )

Следовательно при 2=0:

\/."= А;У, + АЛ = <А^адч = АЛ;

Аа = ( А'п.4 * Ап_, А) • ( и )

Выражения п -ой производной по координате 2 можно получить используя формулу (Л- I )-ой производной произведения двух функций

(«)".< а, V, г - й сС""' V.'""; ( » )

г, I я*в

л « а!

где = пГ(а-т)1 '

Учитывая формулу ( )» получим

с:, - ИХ)

Ап=а"с«, А/"-"-"' А„ ; ( " >

■Формула ( 16 ) дает реккурентную зависимость для вычисления дифференциальной матрицы П-оН производной вектора V по координате 2 на начальной поверхности. Разложение вектор-функции в ряд Мак-лорена с учетом формулы ( 16 ) можно записать в виде:

V =(Е Аа|Г)Ч> ; (IV)

а»о

Однакои в общем случае коэффициенты дифференциальных операторов э-трицы Л являются функциями координат ( 2 , 8 ,X ) и вычисление произведения матриц А^п",п"1)А(П согласно формулы ( 16 ) остается трудоемкой задачей. Но учитывая, что в цилиндрической системе координат, элементы матриц представляют собой линейные линейные дифференциальные операторы с коэффициентами зависящими от 2 , найден алгоритм вычисления рвккурентных зависимостей, которые связывают исходную матрицу первых производных начальных функций по координате 2 , с матрицами производных более высокого порядка. На основании этого составлена программа на ЭВМ, позволяющая получить ряд Макло-рена с любым числом членов ряда.

Третья глава посвящена численному расчету толстого цилиндра от 5емпературного воздействия. Расчет выполнен для граничных условий, когда внутренняя (начальная) поверхность является свободной, а на внешней, во всех ее точках, перемещения равны нулю. На торцах цилиндра рассматриваются три типа граничных условий: торцы свободны от закреплений; левый торец защемлен, правый - свободен; оба торца защемлены.

Для этой цели в рядах Маклорена удерживались девять членов. Линейный дифференциальный оператор, который обуславливает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения начальных функций, является оператором двадцать шестого порядка и вовлекает в решение 26 произвольных постоянных. Это количество дает возможность удовлетворить трем граничным условиям ъ точках 1,2,3,4 как на левом, так и на правом горцах цилиндра и одному граничному условию в точках " 5 " ( Рис. 2 ). Вычисление корней характеристического уравнения производится с использованием ЭВМ на основе соотношения ( 16 ), при этом должны быть заданы необходимые геометрические размеры цилиндра, значения упругих постоянных материала и закон, по которому распределяются заданные значения температуры.

Для численного расчета, выполненного в диссертации, принято что внутренний радиус в* = I ы., внешний радиус 2Х = 1.3 м., длина цилиндра I = 1м., Температурное воздействие характеризуется распределением температуры по окружной координате в по закону трех косину соидальных гармоник: Со$6, Со*20, Соб38 . Амплитуда этих гармоник соответствует изменению температуры на 1°С.

В результате расчета получены графики изменения вдоль оси цилиндра трех перемещений К , V , ЪГ и шести напряжений бг, , (эх , ^гх'^м * "Р^бР3» 3Десь приводятся графики изменения перемещений для случая свободных торцов цилиндра от температуры, меняющейся по окружной координате 9 по трем, указанным выше косинусоидам ( рисунки 3 - 5 ).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Составлена система уравнений смешанного типа для цилиндрического тела, подвергающегося неравномерному нагреву.

2. Проведено разложение искомых функций (трех перемещений и трех напряжений) в ряды Маклорена относительно к нормальной поверхности цилиндра координате с удержанием трех первых членов ряда; получены формулы 36 линейных дифференциальных операторов, входящих в эти ряды, и для шести операторов, связывающих искомые функции с заданной температурой, отражающей неравномерный нагрев цилиндра.

3. Построена матрица, связывающая искомые функции с начальными функциями и заданной температурой; элементами этой матрицы являются 42 линейных дифференциальных оператора, указанных, в пунктб 2.

Для случая, когда внутренняя (начальная) и внешняя поверхности цилиндра свободны от закреплений, составлены три дифференциальных уравнения в частных производных относительно трех искомых прче-щений, отнесенных к начальной поверхности и являющихся функциями двух.координат: радиальной и продольной.

5. Посредством разложения начальных функций, к которым отнесены искомые перемещения на начальной поверхности, а также заданного закона изменения температуры в тригонометрические ряди по кольцевой координате, выполнено приведение двумерной задачи к одномерной, относительно продольной координаты.

6. Найден алгоритм вычисления реккурентных зависимостей, которые связывают исходную матрицу первых производных начальных функций по

( 2 ), с матрицами производных более высокого порядка. На основании этого составлена программа на ЭВМ, позволяющая получить ряд Маклорена с любим числом членов ряда, что позволяет увеличить степень характеристического уравнения до произвольного числа. Это дает возможность удовлетворить граничным условиям при любом количестве точек коллокации на торцах цилиндра. Число удержанных членов ряда Маю. репа ограничивается только мощностью ЭВМ.

Рис. .5 ( Т шСобЭ 6 )

7. Проведена численная реализация задачи с удержанием девяти членов ряда Маклорена, что позволило получить характеристическое уравнение со степенью равной 26. Это позволяет удовлетворить треы граничным условиян в точках Г, 2, 3, 4 и по одному граничному условию в точке 5 на торцах цилиндра.

8. Определены величины перемещений и напряжений вдоль оси цилиндра для трех типов граничных условий на горцах цилиндра, при распределении температуры по окружной координате по закону косинусои-дальных гармоник. Величины перемещений и напряжений приведены в виде амплитудных графиков.

По теме диссертации опубликованы две работы:

1. Пешняев Н.П., Цурков И.С., "Применение метода начальных функций к исследованию температурных напряжений в толстом цилиндре". Библиогр. указатель деп. рук. ВНИИС Госстроя СССР, № 2, М., 1989.

2. Пешняев Н.П., Цурков И.С., "Приведение двухмерной задачи о температурных напряжениях в толстом цилиндре к одномерной". Библиогр. указатель деп. рук. ВНИИС Госстроя СССР, № 2, М., 1989.

к