автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Неклассические криволинейных конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики

оа

я П ' М 11 с р ф

'' ' 1 " ' ' МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА •

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЕШЕЗНОДОРОННОГО ТРАНСПОРТА

На правах рукописи

КОСИЦЫН СЕРГЕИ БОРИСОВИЧ

• УДК 624.04:539.3

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ КРИВ01ИНЕ,йШ КОНЕЧНОаТЕМЕНТНЫЕ МОДЕЛИ В ЛИНЕЛНЫХ И НЕПИНЕЯШ ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автор диссертации на степени доктора

е ф е р а т соискание ученоЯ технических наук

Москва - 1993

Работ?. выполнена в ¡Лосковсксил ордена Ленина и ордена Трудового Краснел'о Знамени институте инженеров железнодорожного транспорта.

О^ул.пгльные ошонентн: доктор технических наук,

профессор II.II.ЛЕОНТЬЕВ • доктор технических наук, профессор В.Л.СШРНОВ доктор технических наук, профессор II.1I.ШАПОШНИКОВ

Ведущее организация: ЦНШСК им.В.Л.Кучеренко

Госстроя РФ.

¿вшита диссертации состоится " // " 1993 г.

в 10 — часов на заседании специализированного совета Д114.05.02 при Московское институте инженеров железнодоролсного транспорта по адресу: 101475, ГСП, Москва Л-55, ул.Образцова, 15, ауд. 7610.

С диссертацией полно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " 0 " ^АЛЛкЛг 1993 г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу совета института.

Ученый секретарь специализированного совета )

доктор технических наук, профессор/'/¡>¿1 У В.П.Мальцев

— 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ!!

Актуальность проблемы. В современных условиях проектирование высоконадежных и экономичных строительных конструкций и транспортных сооружении мояет быть осуществлено только с применением элективных методов анализа их напряяейно-дефорглгрованного состояли.

Метода расчета деляны учитывать пространственный характер деформирования сооружений, реальные свойства материалов и другие, чаще всего нелинейные, эффекты, приблиг-аюсие расчетные модели к действительности.

Появление быстродействующих электронно-вычислительных малин существенно расширило возможности традиционных алгоритмов вычислительной математики и породою новые численные методы и процедуры. . Одним из универсальных элективных численных методов является метод конечных элементов. Сн используется для решения как линейных, так и нелинейных задач строительной механики, механик: декорируемого твердого тела и магемапгческо:! физики. 3 силу присущей ему ачгоритмпчности и наглядности Физического смысла дискретизации континуальных объектов метод конечных элементов реализуется в расчетах конструкци:'. практически лкбо!1 степени слсяности в различных отраслях техник::: яплицном, прог.тдлскном и транспортном строительстве, машиностроении, судостроении, авиастроении и др. Однако при расчетах пространственных систем, образованных из пластин и ободочек, как тонка, так и средней толщины, возаикает ряд проблем, связанных с аппроксимацией перемещений к геометрии рассматриваемых объектов и огракичиваидос области применена тех пли иных сущест-вугщих конечноэлементных моделей. С наибольсе" остротой эти проб-' лега проявляются в попытках исследования налря.1екно-дефор:.ировшшо-го состояния пластин и оболочек с крпволинеГлыми границами. сдесь преяде всего встает вопрос выбора конечноэлегентно:! модели, которая с однс:1 стороны бкла бы наиболее универсальной, а с другой -

обеспечивала достаточную точность расчетов при рациональных затратах машинного времени. Анализ опубликованных работ этого направления показал, что в настоящее время существует множество частных видов оболочечннх конечных элементов о различным! недостатками, ■ суяающими их возможности, а общая теория универсальных криволинейных конечнозлеиентных моделей еще не сформирована.

В связи с изложенным развитие новых подходов к построению криволинейных конечных элементов, учитывающие как пространственный. так и нелинейный характер декорппрования расчетных моделей, а также практическую реализацию этих подходов в расчетах пластин и обо*

лочек следует рассматривать как актуальную проблему строительной механики, решение которой необходимо для создания строительных и транспортных конструкций, отвечавших современным требованиям экономики страны.

Целью диссертации является:

- разработка универсального метода выбора базисных функций и построения полей перемещений криволинейных конечных элементов, оо-нованного на неклассйчеоких (неподиномиальных) аппроксимациях, при точном описании заданных границ и удовлетворении условий сходимости;

- построение линейных и нелинейных разрешающих уравнений трехмерного криволинейного конечного элемента сложной формы;

- разработка простого и эффективного способа модификации трехмерного элемента о целью устранения явления чрезмерного ужесточения расчетной модели оболочки при уменьшении ее толщины;

- создание программного обеспечения библиотеки неклассических криволинейных конечных элементов, легкъ адаптирующееся в существующих конечноэлементных комплексах;

- решение на основе разработанного математического обеспече-пг.я вайю!! народно-хозяйственной проблемы - статического расчета

рада пространственных конструкций промышленник п транспортных сооружений.

Научная новизна. Решена проблема выбора специфических функциональных базисов для аппроксимации перемепений двумерных и трехмерных криволинейных конечных элементов. Получаемые при этом базисные функции - в общем случае трансцендентные и определяются формой границы рассматриваемой области. Соответствующие конеч!ше элементы точно описывают эту границу и удовлетворяют условиям сходимости.

Обобщен и расширен на основе трансцендентных базисных функций класс изопарагетрпческих конечных элементов. Обобщенные изопарама-трическпе элементы строятся путем решения задач параметризация областей неклассических форм относительно наиболее близкие к нал классических криволинейных систем координат - систем отсчета.

В тензорной форме выведены инвариантные к видам систем криволинейных координат уравнения равновесия двумерных и трехмерных конечных элементов в линейной, геометриче^н к физически нелинейных постановках, получены фор;.улн коэффициентов соответствующих матриц жесткостей.

Построены новые двумерные и трехмерные криволинейные конечно-элементные модели, предназначенные для решения плоской линейной и нелинейной задачи теории упругости, расчета геометрически нелинейных мембран, анализа напрягеюю-деформированных состояний толстых а тонких пластин и оболочек сложных форм в линейной, геометрически ц физически нелинейных постановках с учетои деформаций поперечного сдвяга и обжатия по нормал к поверхности, при этом пластические свойства материалов описаны теорией пластического течения. Предложен способ модификации трехмерных конечных элементов, существенно ослабляющий явление чрезмерного ужесточения однослойных трехмерных моделей, связглное с уменьшением их толщин.

„"ля исследования устойчивости равковесгл пластин п оболочек в :!ел:'.-ЧО'"':с:'! постгновкв газв-;т метод неособенных продолжений по па-

рш*етру нагрузки, получены коэффициенты матриц касательных геометрических яесткостей соответствующих конечных элементов.

Решены новые линеГлше и нелинейные задачи исследовательского и прикладного характера о деформациях систем, образованных кз пластин и оболочек слокнон геометрии. Получены новке качественные и количественные характеристики надряяенно-деформкрованных состояний конструвдг* промышленных и транспортных сооружений.

Достоверность выводов и рекомендация диссертационной работы обоснована больший количеством тестовых примеров расчета пластин и оболочек, сопоставлением результатов тестирования с известными точным; и приближенными решениями, а таете теп, что построенные обобщенные конечноэлементнне подели допускают переход к классическим частным случаш. Кроме того, получены апостериорные численные оценки погрешностей и скорости сходимости приближенных решений, что обеспечивает контролируем» точность расчетов на ЭВМ.

Практическое значение п внедрение. Разработана библиотека программ для ЭВМ, реализующая атгоритш построения криволинейных ко-нечноэлементных моделей и шагово - итерационные процедуры решения систем нелинейных уравнений, легко адаптирующаяся в существувдих конечноэлементных комплексах. С использованием этой библиотеки произведены пространственные расчеты реконструируемого мостового проле^-тного строения на лелезнодорожно" линии Киров - Пермь, проходческого дита Мосметростроя (анализ аварийной ситуация), эскалаторного зала проектируемого дополнительного выхода на станции "Маяковская" Московского метрополитена. В нелинейной пространственной постановке проанализированы налряхешю-деуоршровашше состояния типовой оек-ции колонной станции "Пушкинская" Московского метрополитена и трой-

о *

ншшшго соедгшешш цилиндрических оболочек магистральных трубопроводов (с учетом пластическгос деформаций материала). Результаты исследовании внедрены в следущпх организациях: Мосметрострой, !.'ет-рсгпп^отрг^с (.£'.." :с?сква): П :кокструкц;:ош{ьк материалов "Прометей "

(г.Санкт-Петербург), научно-псследовател&ая и проектно-строитель-ная фирна УШЖОН (г.Кемерово), служба пути Северо-Кавказской железной дороги.

Теоретические и прикладные результаты диссертации внедрены в учебный процесс Российского Университета Лруябы Народов при подготовке аспирантов - иностранцев на инженерно:.: факультете.

Апробация работы. Материалы диссертации долонены и получил:: одобрение на У11 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), на П Межгосударственной научно-технической конференции "Проблемы прочности материалов :: сооружен:'-! ка транспорте" (Алма-Ата, 1522), на неучно-пргктпческой конференции "Транспорт России. Проблемы я пути их решения"(Суздаль, 1992), ка тематической конференции "Проблега численного моделирования и автоматизации проектирования итаеперкьгс конструкций* (Ленинград, 19С6), на 1У Всесоюзном совещании - семинаре заведующих кафедра!л сопротивления материалов, строительной механик:: и теории упругости ВУЗов СССР (Москва, 1989), на П Всесоюзном совесанпи - семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 12СС). на научно?.: семинаре "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций"(Ленинград,1888), на X Пколе-сепшаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Одесса, 1592), на Всесоюзном семинаре по проблемам устойчивости конструкций при ЦШЕ1СК пм.Кучеренко Госстроя СССР под руководством проф. Р.Р.Матевосяна (Москва, 1986), на ХП, ХП научно-технических конферециях молодых ученых ЦНППСл ии.Кучерен-ко (Москва, 19?I, 19С2), на ШУ, ХХУ, ХХУ1 научно-технических ко-нферекщшх инженерного факультета УД31 нм.П..1умумбы (Москва, 1968, 19ГР, 1990), на И, Ш конференциях научно-учебного центра "Применение (Г::з:п<о-х::.'л:ческгос методов исследования в науке и технике" при У;Л пм.П.^умумбн (Москва, ГХ9, 1990), на научном сеют.аре кафед-

pii "Строительная механика" ММТ (Москва, 1988, I9S0, 1991, 1993) под руководством срой. А.В.Александрова.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 24 печатных работах.

т

Структура к объем диссертации. Диссертация состой из введения, девяти глав, заключения, списка литературы (240 наименований), пяти приложений, изложена на 424 страницах» включая 125 рисунков, 37 таблиц, 34 страницы приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕГСЛИЖ Д1ССЕРТАЦШ, Во введении дана краткая аннотация диссертационной работы.

В первой главе обоснована актуальность теш диссертации, при-

К

веден обзор исследований, относящихся криволинейным конечноэдемент-ным моделям, базпрупцш'ся на классической теории тонких оболочек с пшотезш.п1 Кирхгофа - Лява, теориях типа Тимошекно о учетом поперечных сдзкгов, сбадх соотношениях объемной теории упругости. Здесь же сформулирована цель диссертационно;! работы.

Отмечен большой вклад в создание новых приближенных аналитических л численных методов решения задач строительной механики отечественных и зарубежных ученых Н.П.Абовского, А.В.Александрова, В.В.Болотина, Д.В-Вайнберга, П.М.Варвака, А.Т.Василенко, Ю.В.Верюх-ского, В.3.Власова, Я.М.Григоренко, В.И.Гулязва, А.Б.Болотова, В;Б. Вылева, Г.В.Исахаиова, Н.С.Коршишяа,-Б.Я.Лащеникова, Н.Н.Яеонтье-ва, Б.М.Лисицына, В.П.Мальцева, Р.Р.Матевосяна, В.Б.Мзщбрякова, И.Е. Милейковожого, Г.Б.Д^равокого, В.И.Мяченкова, И.Ф.Образцова, В.Н. Паймушпаа, А.А.Петропавловского, Г.А.Пшеннчнова, В.Д.Райзера, P.A. Резникова, В.II.Сидорова, Н.Н.Складнева, А.у.Смирнова, В.А.Смирнова, Н.Н.Столярова, С.П.Тимошенко, А.П.мшша, И.Альтенбаха! К.Еате, Р.

г> *

Вплсёна, Дв.Коннора, Д.Иорри, Л.Сегерлилда, Г.Стренга, Ф.Сьярде, Д.чнкса, Т.'.де '.риза и дб.

Гувдгмекгялышз исследования метода конечных элементов принад-

ле.тат В.И.Вакулпну, З.Й.Бурмачу, В.Е.Верпгенхо, Л.¡¿.Голованову, •

A.С.Городецко:у, А.Н.Гуляру, В.С.Карппловског.у, 3.11.1С:слоокогу,

B.В.Кирпчевског.у, В.Г.Корнееву, А.^.Хгсленннкову, П.С.!,ухе, В.Л. Ожерельеву, Е.Г.Перусеву, В.Е.Петрову, В.Г.Ппскукову, В.А.Цостко-ву, В.К.Присяжкюку, А.О.Рг.ссказову, Р.Б.Рпглрдсу, .'¡.А.Роэину, Я.Г. Саву.че, Л.С.Сахарову, В.П.Слпвгеру, П.П.Смирнову, В.О.Снпгпреву, Ц.Я.Хархурш.у, Н.Н.Папопинкову, П.П.^Хкупову, Б.Айронсу, Дк.Лргпрн-су, К.Ереббпа, у.де Бебехе, ?.Галлахеру, О.сенкевпчу, Р.Клгфу, Л !.!елошу, Одену, Т. Плачу, Дд.Стрккглпгу, Н.Тонгу и др.

Разработкой нелинейных теорий де5ор:"рсв2нпя конструкций и решением нелинейных задач меха-пасы занимались М.А.Ал'йутсв, В.Г.Баяе-нов, Н.К.Безухов, П.А.Бпргер, К.о.Гатпмов, А.А.Гвоздев, Г.А.Гениев, ЭЛМ^иголюк, ы.К.Ерхов Д.,';Л:злев, А.А.Гльвшг, А.К.Ппаикскпй, Г.Я.Кантор, С.Л.Капустин, В.А.Крысько, П.Л.Лукеа, П.НЛ'гликкн, Х.М. Г.уштари, В.В.Повоеплов, П.Г.Овчинников, З.Б.Петров, Б.Е.Победря, В.Д.Иоталов, АЛ.МТроценко, и.Н.Рабсгков, А.Р.Р.тлшаци, А.В.Сачен-ков, А.'Л.Стрельбпцкая, И.Г.Тсрегулов, А.Г.Угодчпков, Н.СЛ'урков, А.А.Чпрас, И.Н.Чулков, Дя.Гудьер, ¿'„Друккер, В.Койтер, А.Падал, Л.Нравдтль, Э.Гейсс, Р.йплл, чл/.од'л и др.

Проведешшй анализ публикаций показал, что одно из основных требований, обеспечивавших сходимость метода конечных элементов,-равенство нули деформаций при яестких смещениях элемента - для криволинейных областей удовлетворяется точно в общем случае лппь при неполаног.я:альних (трансцендентных) аппроксимациях перемещений.

В конечных элементах тонких оболочек, построенных на основе классической теории, попытка выполнить два других критерия сходимости - возмояность описания постоянного дефорг-ированкого состояния элемента и условия непрерывности перемещений и первых производных от нормальных перемещений на медэлементных границах - приводит к взаг.::снс1УЮЧглгЕ;'.м ограничениям на степени аппроксимации тангенцпа-льних и норгтльнкх перегеае:«:!!. Такие модели не вполне корректны.

Кроме того, в элементах тонких оболочек мокет появляться мембранное заклинивание (ухудшение свойств по мере уменьшения толщины), связанное с некорректно:; аппроксимацией перемещений и существенной разнице" (на порядок и более) пзгпбнол и мембранной яесткостей.

Конечные элементы, построенные на основе теории типа Тимошенко с учетом деформаций поперечного сдвига, не требуют обеспечивать непрерывность производных от перемещений, но подвержены при уменьшении тсхщпны кроме мембранного еще и сдвиговому заклиниванию.

Трехмерные конечные элементы по сравнению с аналоги.:!!, основанными на частных видах уравнений оболочек, используют более простые соотковенпя объемной теории упругости, содержащие только первые производные от перемещений, и пото;.!у должны удовлетворять слабым требованиям мекэлементной непрерывности. В этом их преимущество. Как и в оболочечннх элементах условия жесткого смещения трехмерной модели при точном описании ее заданных границ в общем случае могут быть выполнены только при неполиномиальннх шшроксима-циях перемещений. Эти условия в рамках полиномиальных представлений реализуются точно для кзопараметркческих елементов, кркводиней-ныэ границы которых лишь приближенно аппроксимируют заданные поверхности, что неизбежно вносит погрешность в расчеты. Применение трехмерных элементов для тонких оболочек приводит к чрезмерному ужесточению расчетных моделей, что требует разработки специальных приемов глс модификации.

Анализ соетояная теории аппроксимации перемещений криводшей-ных конечных элементов послужи основой постановки цели настоящей диссертации, сформулированной во вводной части автореферата.

Вторая глава посвящена разработке-общей методики образования некддоенчееккх поле!} перемещений дая криволинейных двумерных и трехмерных конечных элементов, основанной на непсошномивлъных базисных функциях в крпвашнейных системах координат. Вид йунгарюнальшя б а-

знсов определен формой гран::ц рассматриваемого объекта. Построешше поля пермеиений точно описывают яесткие смешения конечных элементов, дают возможность представить однородное поле деформаций и обеспечивают непрерывность перемещений на межэлеменгких границах. Соответствующие конечноэлементнне модели'удовлетворяют критерия:-: схсдимос-тп метода конечных элементов при точном задании границ раечнтьтзае-мого тела.

С математическое точки зрения крптер:::: сходимости метод кснеч-ннх элементов определяют треб.ован'.е полноты системы функции,аппроксимирующих перемещения точен конечного элемента, и условия :::с непрерывности и ограниченности ksi; внутри элемента, так и на мегэле-ментных грешпцах. Б иигенерпо." трактовке эти критерии сводятся к следуэдегу:

- (Туивдш перемещен:-'. па долгл!: допускать деформаций конечного элемента при его смеце;:::ях кале .тосткого тела;

- функции перемещений обязаны обеспечить постоянную деформацию конечного элемента, если узловые смещения ссо:ветствуют услов:аэ постоянства деформации;

- на грантах могду элемента-и функции перемещений не доланы иметь разрывов, а деформации обязаны быть конечными.

рассмотрим основные положения общей методики построения полей перемещен:::! на примере объемного конечного элемента в форме кр:шо-лпцейного параллелепипеда, ребра которого совпадзвт с координатными линиями заданной криволинейной систем: координат общего вида <1? (Ji = I, M, 3), произвольно ориентированной относительно глобальной ортогональной декартовой координатной систем Zt (L = I, 2, 3). ¿■ололннтелько введена местная ортогональная декартова в исходном состоянии система координат Х^ (J = I, 2, 3), "- вмороженная" в конечны.': элемент. Связь декартовых коордилат произвольной точки jM. элемента в двух системах ЛУ :: Zî в начглько": конфигурации определи-

ется §ор!-ула:.?л

где ¿¿^ - направляющие косинусы системы коор«-данат ЛУ относительно Ег' в исходно;.; состоянии оавпсимостл, связыврлдае коорлщшаты и сС" также считаются известии ш:

В (I), (2) далее в целях сохранении объела математических выраЕеш;:": и придания им общего характера использовано соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, а такта аппарат тензорного исчисления.

Представим полное поле перемещении конечного элемента, удовлетворяющее критериям сходи!гости, в виде

Я/? Ш+Ш. (3)

Первое слагаемой соответствует постоянной деформации коночного элемента к записывается так

Здесь все коэдещиенты 07о, СС1] (пт^цвенедаать)-независими и произвольны.

Подставив (4) в выражения для составляющих ^¿^ тензора деформаций Грина £ , отнесенных к системе координат. 2/ ,

г. * , зш . ъик эи«\ эг* дц)-

_ \ ( эии. . Ы1к±. Жк*.\ (б)

убедимся, что все девять величин ¿7/ постоянны:

Это соответствует постоянному тензорное полю деформаций £ в вре-

, *

делгх конечного элемента.

Лги жестком смещении элемента точкаМсмещается в новое положение .Л/, ее координаты ЗУ ос.тавтся неизменными, а координаты 2Г<*приобретет новые значения 2« :

г ' Zi*Zio+tijX'\ ; (7)

где tij - направляющие косинусы системы координат ^'относительной^

после жесткого смещения.

Кошоненты вектора перемещения ift при яестком смещении находим

так:

иг = Zc - Zis аса * a ¿j xi <o

В отлпчке от (4) здесь коэффициенты OLio, (Xijуг.е не являются произвольными, а определены выражениями

ctio"Zco~Zioi aij~itj-ttj.

Очевидно, чтоб?t*0(их три) есть составляющие .жесткого поступательного смещения, е. OLijвызваны -жестким поворотом. Из девяти коэффициентов a<j( j Ф 0) при жестко:.: повороте только три могут быть произвольными, а остальные сесть связаны с первым:: тремя посредством известных соотношений между направляющи:::! косгл:уса:ж:

где 0кошоненты единичного тезсра Крокексра.

Подстановка (С) в (5) с учетом (D) :: (1С) приводит к вкраяеншш

Ь}~ 0: £¿¿ = {((¿¿1 -¿¿l)tji +(ijp-tjp)ttp *-

+ ¿кр) tip (¿K^-tK^) ¿J$) °

=i (Щ fo - &/+£jp bp-fy+

то есть к нулевому тензогпогу пола дейтомецпй € в пределах конеч-

2

ного элемента.

Описанные вше соображения и математические выкладки доказывают, что поле перемещен:!:": (¿1 вида (4) удовлетворяет первым двум критериям сходимости.

Преддслогам, что известные (Г) функции, связывающие де-кгртсвн X*грнволшсейнке координаты <L raz-io представить в взде с,„..,. r-..v-3I!nrrv:;-» одгкгт;".ух Гуншг": Х^ сС*):

(II)

А л3)»£ х'*а<)х'ка3)<12>

е п. '

тогда перметенпя и ¿вешней так

Соотношения (13) выратаот первое слагаемое кг (3) посредством известных функции криволинейных координат с1/". Эш функции

зависят от вида принятой системы криволинейных координат, которая в сбою очередь определяется конфигурацией рассматриваемого объекта (координатные линии

совпадают с контурными линиями расчитываемой области).

Второе слагаемое ¿¿¿из (3) соответствует переменной соотавляа-щей тензорного поля деформаций С и доляно быть подобрано так, чтобы полное поле перемещений #<(3) удовлетворяло условиям непрерывности на мейэлементных границах. Один из возможных путей решения этой проблемы, принятый в настоящей работе, - следующий. ПеремещениеШпредставим в виде

1И = им1) шгес1) гис^).« (бЬ + *1 £ епос^шШо+11 е/Гз&т)* ^

Кж/ V Кт-/ С

^зГ К* 4 </ ~

Нетрудно убедиться, что составляющие #/(13) полностью входят в состав (14), при этом

Члени из (14), не вошедшие в состав (13), составляют второе слагаемо е и.1.

Исследуя структуру выражений (14), заметим, что вдоль каждой пары "параллельных" координатных линий, ограничивавших конечный элемент, поло перемещений Ш зависит от одинакового числа (И. + I) неопределенных коэффициентов и' описано одной» и той же системой базисных 1.ункцпД

чго обеспечивает непрерывность перемещений по ггпнг.це контакта конечных элементов.

Такш образом, поле перемещений в форме .(14) удовлетворяет всей критериям сходимости, перечисленным вше. При этом криволинейные контуры заданной области аппроксимируется конечными элемента--:: абсолютно точно.

Использовать выражения (14) в практических псилонениях весьма затруднительно, кроме того, физический смысл коэффициентов с у не имеет четкой формулировки, поэто:.у предпочтительней явное представление перемещений в виде

xu¿= игссг} oí3). (IG)

Здесь i¿¿f%- перемещения узловых точек конечного элемента; ¿>>?i( Л*, d},dJ) - явные базисные функции трех координат. В силу справедливости соотношений (12), (14) эти базисные функции представимн в виде произведения одномерных

LptT.U\<L\¿*)*LpU4)Li(d*)Lz Ш). а?)

Каздач из одно:.'ерных функций it [tJS*'¡ построена на функциональном базисе ), входящем в (14), и определяется по фхзимуле

UUV-detlDia^/det 0; ' , .

Здесь ф - {/{oL/i.)f - числовая матрзда:

им) h(¿?S

Ы<!Л)

[f ¡al) hay) 'М }¡u4¡

$í< ¿f*) - функциональная матр:ща, полученная из матрицы 0 путем замены ее ¿ -ой числовой строки

[шя та)

на фунщпональную

{hU-H)hU'4)...feUJ4)]; CI)

сС/« - координаты узловых точек конечного ¿лемента; f¿ (¿S* ) - функ-ц::и базиса, на котором строятся одномерные функции Li ( <£*). Гун ::с пользовании фер: улк (1С) кео^сод^мо прглять /у (ot/<) = I, а сстглы-г" •'лзно (J/*) до.г::е:: обязательно г-клвчать все функции

0 =

(12)

- 16 -

входящие в' (12) гли (14). Строить одномерные <?уккц:;и Lt (et*1) по формуле (1с) моеко явно и численно. Б качестве приборов приведем явные выражения одномерных бгзксннх Сункц:;.'!, построенных на различных функциональных базисах:

- тригонометрическом ( /* {& ) »COXG-, hiß)

I (в)- $in(0*.-9«)-Sin.(Gm-Q)* St п. (Ок-О) , Sin(GnrO*)-SLn(Gm-G№lr>, (fa'Og.) ' (4„t(>ni*f,2,3i ty-K-"tri

- гиперболическом (hid, ) *ch¿; ha)=¿Acl)

I /¿) SkUn-lt)-$kUa-<L)*Sk(<Lt ~cC) .

pi (<Ln-cCi)-£k(cLr-cLp)*¿/b(d¿-dfi> ' (23)

ЛРЛ,1г-/,2,3;

- логараТмп ческон f h (t) « t j h(%) *£nt)

i M %n lílít/U) - T.i tn (t/tn) - g faOn/U) .

гп.еп.(гР/ъ)-ъ£к('1р/гп)-'срг/1(1п./ъ)' (24)

-степенном ( = * ; ¿зР^)* -t/%)

i (Za/Z-1/'Zn)-{r.n/'r.¿ -ti/tn) Z¡Zt).

Upí 4 (Zn/Zp-Zp/ZrJ-C'Cn/Zt~ tt/Zn)-(Zt/Zp- tfi/Ü)' (25)

(P,t*?l4,Z¿\ P—

- степенно!.; с положительны:.® показателями степени

I г*г.п(ъя-Ы- гчп(Чп-'О+Ч.и Сс-й-ю , {2е) ц ч.п.(гп-'и)-ъР>сасгп-г^+гр'щг^гр) '

Заметим, что выражение (26) представляет собой отличну» от общепринято" форгулу полиномов Лагрвнжа второго порядка.

Анализ Оормул (22) - (25) показал,чго трансцендентные санкции также как и полиномы Лагракгд имеют значения, равные единице в одном узле г. нулю в остальных, но между узла'« их поведеш!е отличается от

г

полиномов.

получении? выразония трансцендентных базисных <тункщ~ пеполь-зевяпн при построен:::: ког.ечгпз: элементов в полярно.': (22) и (26) ели

• - 17 -

(24), (25), в гиперболоэллпптической (22) п (23), сферической, цилиндрической н других системах координат.

В диссертации. показано, что аппроксимации перемещении в виде степенных полиномов для криволинейных, элементов в общем случае являются усечении/и разлокенккми в степенные ряды точных траксцезден-тнкх выраденпй.

Число узлов конечноэлементннх моделей, построенных по предложенной методике аппрокспмадиц перемещений, не может быть вь'брано произвольно, оно определено .количеством незавпепмкх функций базиса, входящих в (12). В диссертации подучены общие вкрагенпя необходимого и достаточного числа узлов криволинейных элементов.

Если гранты исследуемого объекта не совпадают с ксордпнатны-М1 линиями известных систем криволинейных координат, либо заданы только координаты отдельных граничных точек, или не справедливы выражения (12), то в соответствии с идеологией параметризация поверхностей, разработанной в общем виде В.Н.Пайгушиным а в частных слу- . чаях К.Е.Милейковским, 1«.В.Булгаковой, задается система криволинейных координат (система отсчета), координатные линии которой наиболее близки к контурным линиям объекта исследования. В этой системе координат строится конечкоэлементкая модель с трансцендентными полями перемещений, которая затем дополнительно искривляется посредством изопараметрического преобразования, приближенно аппроксимируя заданную область.Такой подход к параметризации конечных элементов слоглой геометрии, предложенный в настоящей работе, обобщает и расширяет класс изопараметрпческих конечных элементов.

В третье:! главе на основе принципа Лагракяа в тензорной форме, инвариантной к т:шам принятых систем криволинейных координат, получены разрешайте уравнения для искривленного трехмерного конечного элемента. Формула коэффициентов матрицы -.есткоствй конечного элемента ¡: компонентов вектора эквивалентных узловых сил имеют следую-

пшй вид:

(28)

&

по у/ но суммировать).

Здесь кошоненты тензора £ ,связывавцзго напряжения с дефор-

кещ:т.я1;С% = компоненты экстенсива преобразований координат;

Пк- символы Крпс?з|.еля дчя глобально:! системы координат; О -

оп-

ределитель матрицы, составленной из ковариантных составляющих

метрического тензора $ местной системы координат; контравариа-* й

нтнке ко?люненты тензора *У .

При выводе уравнений векторы перемещений И и заданной внешней

-4»

нагрузки Ц, отнесены к глобаяьвой криволинейной системе координат¡¡"

общего вида (индексы - буквы латинского алфавита), а тензоры напря-д й

жений о и деформаций С - к локальной криволинейной координатной ск~ 2

стеме(индексация осуществлена .буквами греческого .алфавита).

■Здесь г.е рассмотрены частные случая полученных уравнений в зависимости от видов систем координат.

Четвертая глава посвящена выводу уравнений равновесия криволинейного трехмерного конечного'элемента в рамках геометрически и физически нелинейных задач. Дана формулировка зтих уравнений в приращениях перемещений. Получены формулы коэффициентов матрицы касательных .т.есткостей, векторов приращения узловой нагрузки и невязки равновесия.

воспользовавшись известит.! выражением принципа Лагранка для объемного тела

66^ ¿ъ - т16101(1 о (2с)

■«> ми л> ...

v. ...ор-ула для когионентов тензора деформации Грина

е^сси ш ^шурш 9*), ^

.записав варпгдпоннсе уравнение, получили систем нелинейных уравнений тавиовеспя криволинейного тсехмесного конечного элемента

которая с'Тор:.ул::рсвана в пр::рапен::/о: перемеце;:;::':

-О. <зг>

Здесь - компоненту матр:дь' кгсательнкх г.есткостей конеч-

ного элемента:

" С^. Г& ч )(<?г ^ /«/Ад/? ~

ГЛ1т)) /¿¿¿'¿¿ЧЛ3''

составлявшие вектора пркраценпя узловой нагрузки:

(3-1)

; поу/не су:?.г.:ровать) ; Нтр$х- элементы вектора невязки равновесия промежуточного состоя-нгл

¿.^¿^г)*

(35)

(А^И^уЗ ; поу4/ не су:.--::ропать);

компоненты вектора, содерггцего нелинейные относительно пр:>р:'гоп::" перемещений члены:

- 20 -

А/%ъ-Ша 6^(6т£ -С1№ (36)

В соотночениях (30) - (36) величины, отмеченные звездочкой, соответствуй? некоторому промеяуточаог-у деформкрованногу состоянию Д^и считаются известным!; УрИп- коввриантная производная по

от

перемещения ¿¿д; - контравариантные компоненты метрического '. тензора глобальной системы координат; Е*^^ - составляющие тензора Е\{ касательных физических параметров,

Здесь Ее рассмотрены частные случаи выведенных соотношений в различных сиотшох криволинейных координат.

В пятой главе излояен алгоритм учета пластических деформаций по-теории пластического течения в предложенных конечнослешнтных моделях, записаны выраненпя компонентов тензора касательных физических параметров, соответствующих поверхности текучести общего вида, рассмотрен итерационный способ определения напряденного состояния, остающегося на поверхности текучести прфснечных приращениях нагрузки.

Считая справедливыми зажон Гука для приращений упругих составляющих деформаций и ассоциированный закон течения даш приращений

пластических деформаций, принимая поверхность текучести в Еиде

+ <37)

и учитывая, что при переходе материала из одного пластического состояния в другое в процессе погружения тензор напряжений в кавдой точке вменяется, "скользя" по "поверхности текучести (37), то есть

1 г ■ (38)

+ (дф/дф)с!ф +(дф/дЮ(1К~0>

А

получили выражения компонентов тензора £* касательных физических параметров материала при упруго-пластических деформациях:

Е ~ (Ег*Ч(дф/д<5Ч) (эф/д в-"')*

я £»**)/« дф/д д 6'') -<ьф/аф)(дф/дв^)-(дф/дю(вкмх)\

В (37) - (39) обозначено: ко:-поненты тензора пластически ".е-

формацин; К - параметр упрочнения материала; - коэффициент, опре-долгомй начпчпе пластических де-формацил; компоненты тензо-

ра упругих постоянных материала.

Форга записи соотношения теории- пластического течения, принятая в диссертации, для более простых видов поверхностей текучести использовалась ранее П.Ямадой, Н.Ешнмурой, 0.Зенкевичем, Г.В.Псдто-ррио?! 5! сказалась весьма удобно.'' лтя практического пр::менен;:я.

сдесь же предложен итерационны:! глгоритм с релаксацией,' данщий возможность с заранее заданной точность*) вывести напряженнее состояние на поверхность текучести при систематическом его отклонении от этой поверхности в процессе последовательного нагру.т.ек::я. Алгоритм позволил добиться односторонне:'; сходимости внутренних итераций и как следствие исключить явление ложной разгрузки.

Гестач глава посвящена особенности: применения трехмерных конечных элементов в задачах статики пластин к оболочек. Здесь рассмотрены: способ модификации однослойною трехмерного элемента с целью устранения явления чрезмерного ужесточения модели, связанного с уменьшением ее толщины, вариант параметризации оболочки как трехмерного тела. Лля исследования устойчивости равновесия пластин и оболочек в нелинейной постановке развит метод неособенных продолжений по параметру нагрузки.

!!рп расчетах тонкие пластины и оболочки-логично аппрокстгиро-г"".'!• од:--м ело?:- трехмергл--; кеиечнкх элементов с линейным рг.спреде-

леплен переиеаенк» по толгсне, однело твкЕв модели обладают чрезмерно;' кесткостьзо: величины прогибов оказываются примерно на 15р нкке, чем в случае применения классической теории тонких оболочек. На нее взгляд причина этого явления - различия в зедиси используемых (Тпзпческпх соотнокегай: в трехмерных элементах - это закон Гука для объе:.иого напряженного состояния, а в теории тонких оболочек -зек он Гука для плоского напряженного 'состояния. Заметим, что компоненты тензора физических параметров объемного напряденного состояния при пони-тении мерности задачи совпадают с аналогичными коэффициентами, соответствующими плоско;.^ дейормкроваинощ состоянию. Та-' ким образом, трехмерный конечнш элемент, вырогдаясь, стремится к оболочечному, в котором реализовано квазиплоское деформированное, а не квазиплоское напряженное состояние. Это естественно приводит к чрезмерному ужесточению трехмерно!! модели. В настоящей работе этот недостаток исправлен при помощи простого и эффективного приема: тен-

А

зор физических параметров 8 реального материала заменяется соответствующим тензор«,i некоторого гипотетического материала, сохраняю-, щего основные характеристики реального с небольшим исключением,сос-тоящим в том, что компоненты тензора ^ гипотетического материала, связывающие напряжения и деформации тангенциальных направлений с аналогичными факторами нормального (по толщине) направления^ принимаются равным нулю, то есть

$J4»33 = Взз^ =0; W0)

1,2,3;^^одновременно не равны 3). Гдесь ~ компоненты тензора 8 физических соотношений, выражаю-

щих деформации через напряжения. Составляющие модифицированного тензора В из (27) разыскиваются при помощи компонентой модойицкрован-

гЧ *

кого" тензора о обычным порядком, физический сгасл гипотезы (40) состоит в то;.'., что реальное объемное напряженное состояние заменяется суперпозицией двух более простых - независимых друг от друга

•- 23 -

плоского напряженного состояния в тангенциальных направлениях и одноосного в нормальном, тактически такое разделение неявно присутствует и в теории .тонких оболочек с гипотезами 1Спрхгооа - Лява, согласно которой <5^= 0, а из условия неизменности длины нормального прямолинейного элемента оболочки следует, что <£^ = предположения, сделанные одновременно, противоречат зако::у Рука для объешого напряженного состояния, но вполне увязаны гипотезой (40).

Введение допущения (40) позволило отказаться в конечных элементах от гипотезы (533 = 0, сохранить аппарат объемной теории упругости, формулы и алгоритмы, реализующие трехмерные модели, но при этом получать достаточно точные ресения для тонкие пластин и оболочек.

3 этой не главе в общем виде дано решение задачи параметризации оболочки крк трехмерного тела: при известной двумерной системе координат, совпадающей с поверхностью приведения оболочки, третье

направление искомой трехмерной координатной системы находится как

ль л

норма к это:: поверхности, Саписапы соргулы метрические характерис-

тг.к параметризованного объекта, а тягле определен вид функционального базиса, на котором строится соответствующая трехмерная модель. Приведены тестовые примеры решения задач параметризации для циланд-рической и сферической оболочек, а также параметризованы эвольвент-ный геликоид и зцптрохопдадькая оболочка.

Для решения нелинейных задач устойчивости равновесия пластин и оболочек развит метод неособенных продолжений по параметру нагрузки, предложенный Г.А.Мануйловым и распространенный на стержневые системы К.А.Гуковым. Метод позволяет выбирать величину сага нагру-уоиия, псглючагаую возмо.т.чссгь "перескока" через критически;: параметр, и оценизать "запас устойчивости" системы при заданном воздей-с~л-н\ :'сл;:чг.!!р максимального разрешимого шага продолжения Лрп'

С!Р ' : (43)

ЛРл.~С1ЛтСп1} (41)

где I - корректирующий шояитель, подбираемый на первом этапе процесса; Amiti- минимальное по модулю собственное число обобщенной проблемы собственных значений

(Л (йп, Р*)+АЛс СU.Рп)) (42>

Здесь обозначено:^- решение нелинейно": задачи при уровне натру-г.енпя fh ; Я - матрица касательных яесткостей (33) - матрица касательных геометрических местностей:

¿щи-

Lppv Jdkrfi ~CjifbcLfdh)* '((С) vpUDff fffi) * (Ci 10 )f* (0*-/)

-C"f ¡7'L Hcj, +g*4,(£k> » 9H \f?ddt dci'doe.

Производные от перемещений по параметру нагрузки ~~ находятся после определения производных от узловых неизвестных dtln^/iP на каждом шаге нагруяенкя из системы уравнений

л /</Д jp / г р^ч "и,

где ко.мпонентн норг.гированного вектора узловой нагрузки.

Сдесь же рассмотрены частные случаи формул (43) в различных видах систем координат.

В седьмой главе описана библиотека разработанных в диссертации конечных элементов: двумерных для плоской задачи теории упру-гост:: и геометрически нелинейных мембран, трехмерных, в том числе для расчета пластин и оболочек слоглых форм в линейной к нелинейной пл'тгнотгг.у, ггссмотрен. гггот!о-г,тсры.г.оннкй алгоритм исследования

нелинейных процессов деформирования конструкций и некоторые приемы обеспечения и'усиления сходимости итерационных процессов, дани численные апостериорные оценки погрешности конечноэлементных моделей.

Гиблиотека включает набор програп,:, реализующих разработанные

в диссертации методики и алгоритмы, легко адаптируется в сукествую-

х

щта конечноэлементных комплекса и пополняется новыми элементами. Газовым для нее является научно-исследовательский кошлекс "К-С7", созданный на кафедре "Строительная механика" МНИТ. В состав библиотеки входят:

- плоские девягиузловке элементы: прямоугольник, усеченны:', сектор в полярной системе координат, элемент в гилерболо-эллиптиче-ских координатах;

- двумерные девятиузловые конечные элементы геометрически нелинейных мембран: цглыщрической и с плоским опорным контуром;

- трехмерные восемнадцатиузловне элементы как с учетом .геометрической и физической нелинейиостей, так и без учета: параллелепипед, часть кругового цилиндра, честь полого пара, элемент кругло:': плиты, элемент круглой пластины с внецентренно расположенным круговым отверстием, элемент плиты в форме "улитки Паскаля" и др.

Все конечные элементы библиотеки допускают дополнительное искривление согласно кзопараметрическому преобразован™.

Для решения нелинейных задач в работе использована саговая процедура с дополнительной коррекцией результата модифицированным методом Иыотона-Канторовича. Предложены новые экстралоляцконные формулы начальных приближений, процедура форглгрования матрицы касательных г.есткостей на основе этих приближений, реализован алгоритм, использующий метод Л.А.Люстеркика для уточнения корней налплейккх уравнении в процессе- итераций. Рассмотренные специальные прием:; обеспечивают сходимость ЕагоЕо-итерацпо;шкх процедур к сскргг'г.т число итераций в 3-5 раза и более, без их применения мнсгге слстл;::; :-:е-

- 2.6 -

линейные задачи не могли бы быть решены.

В диссертации при помощи одной из модификаций принципа Рунге даны численные апостериорные оценки точности и скорости сходимости разработанных конечноэлементных моделей. Установлено, что погрешность решении составила от до о№Г) (А.- шаг сетки узлов) в зависимости от конфигурации рассматриваемых облаете!;.

Восьмая глава содержит решения тестовых линейных и нелинейных задач статики, полученные с цель» обоснования достоверности и оценки эффективности разработанных методов и алгоритмов, кроме того здесь приведены неизвестные ранее результаты расчетов различных пластин и оболочек слоеных форм,.

Один из тестовых примеров - решение задачи Ламе (плоское напряженное состояние) при внутреннем давлении для двух типов колец с отношением внешнего радиуса ко внутреннему, равном 3 и II. Использованы девятпузловке плоские криволинейные элементы в полярной системе координат, полученные в работе, с различными аппроксимациями перемещений вдоль радикса (24) - (2G) н пзоиараметрические. Установлено, что при малом внутреннем радиусе кольца конечные элементы, построенные на лох'арифмическоы (24) и степенном, вклпчандем 1/2,(25) базисах,обеспечивают более быструю сходимость приближенных результатов к точному решении к дают 'погрешность менее 1,1 ужо при сетке элементов 4x4 в четверти области. Эго говорит об эффективности трансцендентных аппроксимаций перемещений в задачах с высокими градиентами решений.

Осуществлено тестирование трехмерных конечных"элементов на примерах изгиба толстых и тонких плит, квадратных, ромбических, кругового очертания, жестко заделанных или шарнпрно опертых по контуру, как линейно деформирующихся, rait ii в геометрически п физически нелинейных постановках, а также на задачах о деформациях толстых и тонких сферических и щлпндппчгекпх обмочи; при внутреннем д^.шгс-

нии. Сравнение с известными точными и достоверным приближенными результатами,' полученными методом начальных (Тушщий, в двойных тригонометрических радах, методом конечных разностей, и оценки погрешностей показали, что в решенных задачах как однослойные, так и многослойные аппроксимации рассматриваемых систем конечными элементами обеспечивают инженерную точность расчетов (погрешность менее 5,^) уже при сетках элементов 4 х 4 в четверти конструкции. Применение трехмерных однослойных элементов, модифицированных согласно допущению (40), дело еозноиность да тонких пластин и оболочек получать результаты с погрешностью менее даг.е при отношении толщины к пролету (или радиусу кривизны) 1/300. Репения тестовых геометрически нелинейных задач таксе это подтвердили. Расчет квадратной шпркирно опертой пластины размерами 4x4x0,4м; = ¡¿хЮ^кН/м2; ) - 0,3;б*г= 2,4х104кН/м2 на равномерно распределенную нагрузку с учетом пластических деформаций по теории пластического течения по-казач качественное соответствие полученной картины зон пластических деформаций нэвестным результатам А.П.Стрельбицкой, а величина предельной нагрузки 13010 кН/м2 хорошо согласуется с оценкой =

о '

13710кНЛ^\ полученной А.Р.Ржаницынш, исходя из теории жестко пластического тела.

В-этой яе главе приведены решения новых задач исследовательского характера: в линейной и геометрически нелинейной постановках на равномерно распределенную вертикальную нагрузку расчитаны жестко заделанные и иарнирно опертые по контуру пластины кругового очертания с нецентрально располояенннми отверстиям, в форме "улитки Пас-катя", винтовые ободочки (эвольвентные геликоиды). Графики зависимостей перемещений и напряжений от нагрузки в характерны?" течках этих сиотем приведены соответственно на рг. г.. 1,2,3.

Выполнен расчет эппгрохоидальной оболочки на вертикальную нагрузку ^ - 1,5 . ¿пэры перемещений и напряжений в нгру.^-:ых и

Яч-О^м

¿ а е е ю г к s s и

Mi

Рис.1.

OL'SmJ'CJH t'C.Oin J^l £*Z-fàS£" i

Uh-'V« Uk-CM Л.-о

•зг

го to во so m s (Mû a) "ис.З.

внутренних волокнах в характерных сечениях изображены на рис.4.

Рассмотренные системы моделировались соответствующий! однослойными криволинейными трехмерными модифицированными конечнш.-и элементами с густото:'! сетки узлов от 9x17x2 до 21x21x2.

Методом неособенных продолжений в геометрически нелпне!!ной постановке решены задачи устойчивости равновесия коротких цилиндрических панелей - оболочек, иарнирно опертых по прямолинейным кромкам на уровне внутренних волокон. Действующая нагрузка равномерно распределена по наружным поверхностям. Одна оболочка - пологая (М = 6С,6м), а другая - подъемистая (/2 = 20 м). Установлено, что пологая оболочка теряет устойчивость по симметричной форме (диаграмма с предельной точкой), а подъемистая - по кососимметричпой (диаграмма с точкой ветвления). На рис. 5 сплошными линиями показаны кривые равновесных состояний, а штриховыми - графики изменения критических 'нагрузок, полученных путем решения линеаризованных задач устойчивости равновесия на каждом шаге нагруяения. 2оны, заклпчен-иые между сплошными и штриховыми линиями, характеризуют области невырожденности матриц касательных жесткостей и "запасы устойчивости" при разных нагрузках.

Еще одна группа решенных задач - расчеты трехслойных систем: пластин, квадратно!!, шарнирио опертой по нижнему, контуру 11 Уда пленной , шарнйрно опертой внизу по коротким сторонам, а также заткнутой сферической оболочки, !<!одуль упругости среднего слоя принимался в 1000 раз меньшим, чем для крайних слоев. Установлено, что в при-спорных зонах пластин появляются краевые эффекта нормальных напряжений.- в крайних тонки слоях, являщиеся следствиям: сильного местного обжатия среднего слоя. Характерные результаты расче-чв псхаэа-ны на рис.6 сплошными линиями. £яя оце!цш достоверности полученных эффектов решена задача изгиба трехслойной балки на основе специально полученной системы четырех обыкновенных да^еренцгатъннх урав-

t-0}QÍM'> Б*240**$; 3 0=0,3; Я-66,7м и Я*2.0м.

Рис.5.

* * ftido'i,)

tfOflÍM

ti'o,a hi X

£<~Е3 * Z-tQsKH/Mzj h'faJrO?,

E2~ kh/H2".

& чГЛ © •v. wl N —s g kí»

-—• —

ti-t¿ = Q,Q<M> i г* 0,2*1

E, ~E3 « ¿ч'0*кн/мл s

£t* Z-/ÔS«H/Mzi fcjtfPj-0,3.

v 6» 'S) «У C> crf'yf

Рис.6.

нений. При выводе уравнении использована гипотеза плоских сечений дяя всех слоев балки, учтены обжатие и деформации сдвига средаего слоя. Результата решения этой задачи (штриховые линии на рис.6) хорошо согласуются с данными 1.38.

Девятая глава посвящена пространственным расчете:.: в линейной, геометрически, физически и конструктивно нелинейных постановках . конструкций реальных строительных объектов и транспортных сооружений, образованию; сочленением пластин, оболочек, стержней.

Гасчитано реконструируемое типовое пролетное строение железнодорожного моста на 1134 км линии Киров-Пермь, предстааляшее собой железобетонную конструкцию корытного типа, заполненную внутри балластом, Ко которому уложены шпалы^ и рельсы. Проектом реконструкции предусмотрено наращивание его боковых стенок вверх. Размеры (пролет -3,75 м, ширина поперечного сечения - 4,0 и, высота - 1,6 м, толщины корыта и стенок до 0,42 и), соизмеримые друг с другом, относят рассматриваемы:! объект к числу трехмерных тел, поэтому расчет его выполнен по объемной модели (с учетом распределения нагрузки балластом) при помощи трехмерных элементов. Построены линии влияния и эпюры напряжений, Анализ результатов расчета показал существенно объемный характер напряженного состояния (напряжения <5^ ,<5д соизмеримы) и несправедливость гипотезы Герлулли для всего поперечного сечения в целом (рис.7).

Осуществлен статический расчет на действие собственного веса и веса оборудования несущей конструкции проходческого щита, представлявшей собой короткую цилиндрическую оболочку, усиленную двумя диафрагмат жесткости, кольцевым ребром и крестообразно расположен-нымн связями. Необходимость расчета, возникла, в связи с экспертизой аварийного падения щита в монтажный котлован. Оболочка цпта, диафрагмы :: ребро жесткости аппроксимированы трехмерны:-;: годп"гл;::ровш!-!!!':'•; гоночн!^" элемента:-::. - результате паст':'.", установлено, чхо

наибольшие деформации оболочки возникли в головной части щита в окрестности места контакта с землей (рпс.8). сдссь оболочка подвержена силы:о;:у изгибу п растякенг.ю в окружном напрапчекип, а такяе

изгибу и сетлпю вдоль образующих. Результаты переделы в Моометро-

л

строй дпя последующего использования динамически расчетах. Следует обметить, что хг.рактср деформированного состояния оболочки щита, найдешшй при численном аначизо конструкции, в целом соответствует истинно;; картине деформпцп-'-, наблюдаемо'', на месте аварии.

Уиполнен пространственный расчет затянутой коробчатой с куполом и подкрепляют:« :п колоннами конструкции подзеглого эскалаторного зала проектируемого дополнительного выхода станции "¡".аяковская" Московского метрополитена. При этрм степы, крюта, купол, днище аппроксимированы соответствующими модифицированными трехмерными элементами, п колонны - пространственны:.:;' стрсянямк. Окружающий грунт моделировался пружинами. Кроме того, произведены по:"рогмен-тные расчеты отдельных частей сооружений. Расчетная схема в прост-ранствениом расчете содеркрла 70II неизвестных узловых перемещений, а в пофрагментном, например, кршки с куполом - I4E05. Картина распределения напряжений 6ж в наружных волокнах крышей и купола показана на р::с.9. Следует отмстить появление больших растягивающих напряжений в монолитном железобетоне в зоне примыкания плоской крышки к куполу.

13 конструктивно нелинейной пространственной постановке расчи-тпна типовая секция (повторяющийся участок от колонны до середины прохода) колонной станции глубокого зплояенпя "11уил;::нскач" Московского метрополитена. Нагрузкой являлся вес столба грунта (G0 м), расположенного над станцией, и боковое давление. Оболочки тоннелей, колонны и окруяавдиИ грунт моделировались соответствующими трехмерными модифицированными элементами. В результате итерационного процесса определена зона отлипглпя грунта, в которой элементы осно-

Q= í93 О кн s e-^-iû^;

vl-43

A

r

Wr

et сг

M

IX

C,Q5

w

MXÀL

1

A2

P

0,4.

Al

iîf!

AiB&L

m

Рис.О.

Z * 0,4 7м

«m 1

г • • * 1 ? л

S) y-y

Рис.9.

озшш в s И*

а)

Г внутреннее деление

т=ор1н; ио.омт

3,0

V 2,0

1,0

ЯШ3кн/мг)

щ

А)

-гГ

е)

г," ,-Л/ТГГ

1 1 -ь 1 1 -1- г 1-

1 ~ г -1.1, -1- "Г* н --1.

зовы пластичности

Puc.II.

вания внключглпсь из совместно!) работа с обделкой. Оторы нормальных напряпешь; окружного направления в сечениях по колонне и по проходу показали на рисДО.Следует отметить существенную перегрузку ттэбингов, прнмыкакцпх к колонне, по сравнении с аналогичными элементами в проходе. Эта особенность не может бить выявлена расчетом по общепринято;; плоской расчетной схеме с "размазанной" колонной .

В геометрически нелинейной постановке с учетом пластических деформаций по теории пластического течения проанализировано напряженно-деформированное состояние тройникового соединения цилиндр::-' чеекпх оболочек магистральных трубопроводов. Использовано условие текучести Хубера-Гдзеса. Оболочки аппроксимирована трехмерными модифицированными однослойны:® элементами. Графики зависимостей перемещений от нагрузки и развитие зон пластичности во внутренних волокнах показаны на рис.II. Первые пластические деформации появились в зоне пересечения оболочек, а затем пластика захватила более существенную область. Найденная величина предельной нагрузки па соединение = 2Б46 к11/м^ (гашняя оценка) попала "в вилку" известных экспериментальных результатов ^пр = 2640 кП/г.^ н ^э = 3070 кН/м2, а также согласуется с решение« этой ке задачи 2Е00 кН/и^ методом конечных разностей без учета геометрической нелинейности по теории жестко пластического тела, полученным 1.:.П.Ерховым и И.А.ио'лаховкм. Следует отметить, что учет геометрической нелинейности в подобны* задачах вполне оправдан, так как местные перемещения в зоне интенсивного образования пластически деформаций в состояниях, предшествующих предельно^, составляли 6-8 толпцш оболочек.

Р приложениях содержатся краткие сведения по тензоркогу исчислении, решение задачи параметризации эиитрохопдольпой оболочки, вывед днффере;а:::альных уравнений изгиба трехслойной бал::::, птпве-

денные характеристики, необходимые для расчета колонной станции метрополитена; и документы о внедрении результатов диссертации.

ЗМШШЕЩ&

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертации, сформулированы в виде следующих выводов.

1. Поставлена и решена проблема выбора специфических функциональных базисов доя аппроксимации перемещений двумерных и трехмерных криволинейных конечных элементов. Разработана методика генерации функций базисов при точно:.: описании конечные; элементам заданных криволинейных границ рассматриваемых областей конструкций. Генерируемые базисные функции зависят от форш границ области и являются в общем случае трансцендентными. Соответствующие конечные элементы удовлетворяют всем условиям сходимости.

2. Обобщен и расширен на основе трансцендентных базисных (ун-кций класс изопараметрических конечных элементов. Известные пзопа-раметрлчеоше элементы Лагранжева семейства, построенные при помощи степенных полиномов, являются простейшими его составлястдпми. Обобщенные изопараметричсскио конечные элементы строятся путем решения задач параметризации областей неклассических форм относительно наиболее близких к ним классических криволинейных систем координат (систем отсчета).

3. Получены следующие новые результаты, связанные с реализацией предложенных подходов к конечноэлементным расчетам конструктив сложной геометрии.

3.1. В тензорной форме выведены инвариантные к видам систем . криволинейных координат уравнения равновесия двумерных и трехмерных конечных элементов в рашах линейной теории упругости. Отличительной их особенностью является применение двух различных систем криволинейных координат, к одной из которых отнесены векторы перемещений и внешне:! нагрузки, а к другой - тензоры напряжен:::'. :: дс-Тчэ—

рмацпй. Проанализирована структура уравнений в отдельных частных случаях принятых систем координат. Эти соотноиения обобщают многие классические конечноэлементныо представления.

3.2. Получены геометрически и физически нелинейные уравнения равновесия и форели коэффициентов матриц касательных жесткостей двумерных и трехмерных конечных элементов, обобщающие известные соотношения в декартовой и некоторых ортогональных криволинейных системах координат. Дана форт.улировка разреиеющлх уравнений в приращениях перемещений.

3.3. Построены новые двумерные и трехмерные криволинейные ко-нечноэлементнне модели, предназначенные для решения плоской линейной и нелинейной задачи теории упругости, расчета геометрически нелинейных мембран, анализа напряяенно-деформировашшх состояний толстых п тонких, однородных и неоднородных пластин и оболочек сложных форм в линейной, геометрически и физически нелинейных постановках с учетом деформаций поперечного сдвига и обяатия по нормали к поверхности. Пластические свойства материалов описаны теорией пластического течения. Предложен способ модификации трехмерных конечных элементов, позволяющий существенно ослабить явление чрезмерного ужесточения однослойных трехмерных моделей, связанное с уменьшением их толщин.

3.4. Разработан и реализован эффективный шагово-итерацпонный алгоритм решения систем нелинейных уравнений, основанный на применении модифицированного метода Ньютона-Канторовича, включающий экстраполяцию начальных приближений, построите касательных матриц яесткостей конечных элементов по экстраполированным перемещениям п усиление сходимости итераций методом Двстершка. Для решения нелинейных задач устойчивости равновесия пластин и оболочек развит метод неособенных продолжений по параметру нагрузки, позволяеснй получать величину максимального разрешимого шага нагрузки, двусторон-

¡¡того оценку критического параметра к степень "запаса устойчивости" при заданном 'значешш нагрузки.

3.5. Составлены программы для ЗВ11, реализующие алгоритмы построения неклассических криволинейных конечноэлементннх моделей и шагово-итерациокные процедуры решения систем нелинейных уравнений. Созданная библиотека прогршлл легко адаптируется в существующих конечноэлементннх комплексах.

4. На классически линейных, геометрически и физически нелинейных задачах, имеющих точные или достоверные приближенные решения, показана высокая точность и быстрая односторонняя сходимость приближенных результатов, полученных при помощи разработанных в диссертации конечных элементов. Дани приближенные апостериорные численные оценки погрешности и скорости сходимости конечноэлементннх решений, основанные на модификации известного принципа Рунге. Установлено, что конечные элементы с неполаномиельншл: аппроксимациями перемещений в задачей с быстро изменяющимися решениями приводят к более точным- приближенным результата!.; (особенно на грубых сетках узлов), чем классические изопараметрпческие модели.

5. Решены следующие новые задачи исследовательского характера и имеющие важное народно-хозяйственное значение.

5.1. Линейные и нелинейные задачи исследовательского типа: рпечигшш геометрически нелинейные мембраны, винтовке оболочки (эвольвенткие геликоиды), элптроховдальная оболочка, ц;ишцфпчес-кне оболочки со сферическим» днищами, круглые пластины с нецентрально р&сполошзнныш отверстиями, пластины в форме "улитки Паскаля", трехслойные пластины и сферические оболочки. Выявлены характерные черты напряженно-деформированных состояний этих систем: концентра-Ш^я напряжений в зонах стыков отдельных частей составных оболочек, краевые эффекты в оболочках и тонких слоях трехслойных пластин, различные особенности, обуслотснпис пеллне'шостягл:. 2> нелинейно:! пос-

тановке методом неособенных продолжении исследовала устойчивость равновесия цилиндрических панелей с нестандартными условиями закрепления.

5.2. Пршсладнне задачи расчета конструкций промышленных и транспортных сооружений:

- расчптаиы как пространственные системы пролетное строение железно-дорожного моста, оболочка проходческого щита Косметростроя, подкрепленная диафрагмами п кбльцевцм ребром жесткости, коробчатая

с 1суполом конструкция эскалаторного зала дополнительного выхода станции "Маяковская" Московского метрополитена, при этом установлено, что напряженно-деформированное состояние пролетного строения носит объемный' характер и не может быть достоверно проанализировано при помощи балочных моделей, распределения напряжений в оболочке щита и в конструкции эскалаторного зала имеют особенности, обусловленные пространственным деформированием таких систем;

- изучено в пространственной постановке напряженно-деформированное состояние обделки типовой секции колонной станции "Пушкинская" Московского метрополитена , взаимодействующей с грунтовым основанием о односторонними связями (конструктивно нелинейная задачу, здесь выявлена существенная концентрация напряжений в обделке вблизи колонны;

- произведен расчет тройникового соединения цилиндрических оболочек, в результате которого изучен нелинейный процесс деформирования стыка с учетом появления конечных перемещений и развития зон пластических деформаций, дана нпяняя оценка предельной нагрузки.

6. Материалы, выводы и предложения диссертации, програ;7.:ые модули библиотеки конечных .элементов п результаты расчетов конструкций внедрены в следующих организациях: ^етрогкпротранс (г."оск-ва), ;:.осметрострой, служба пути Северо-Кавказской железной дорога,

ЩППКМ "Прометей" (г.Санкт-Петербург), научно-исследовательская и проектно-строительная фирма УИИКОП (г.Кемерово).

Полученные в диссертации научные и практические результаты можно классифицировать как обобщение и развитие в новом научном направлении таких гакных разделов теории метода конвчных элементов, как аппроксимация перемещении и построение криволинейных конечно-элементных моделей для пространственных расчетов строительных и транспортных конструкций слотаюй геометрии в линейной и нелинейной постановках' о целью решения важной народно-хозяйственно!! проблемы - создания новых конструктивных форм, обладавших низкой материалоемкостью и высокой степенью надежности и долговечности.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Коснцын С.Г. Об одном варианте построения матрицы яесткос-ти конечного элемента непологой оболочки/Теоретические и экспериментальные исследования строительных конструкций: Сб.научн.тр. ЩШСК им.Кучеренко. - М., 1?С0. - С. 9-16.

2. Коснцын С.Б. Вариант построения патрицы Еесткостей конечного элемента непологой оболочки для решения нелинейных задач строительной механики/Статика и динамика сложных строительных конструкций: Мекву з. т е маг. с б. тр. - Л.: ЛИСИ, 1980. - С. 51-61.

3. Кооицын С.Б. Метод построения базисных функций для искривленных конечных элементов с учетом жесткого смещения // Исследования по строительным конструкциям и их элементам: Сб.научн. тр. ЩШСК имЛ^черенко. - П., ГС1'2. - С.17-27.

4. Коснцын С.Б. К вопросу построения конечноэлементных моделей, точно описывающих заданные искривленные границы и удовлетворяющих условия:" сходимости // Исследования и расчет строительных конструкций: Сб.научн. тр.ЩШСК им.Кучеренко. - П., ИГЗ.-С.32-11.

б. Косгдын О.Б. Исследование нскоюрнх конечиоэлементнь-х мо-

делей областей с криволинейными граничат в рамках плоской задачи теории упругости // Численные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений: .Межвуз. сб.научн.тр. - Вып. 7С2. -П. :ШЕ1Т, 19"6. - С.34-41.

6. Косицш С.Б. Новые трехмерные конечноэлементные модели для расчета толстых и ионких непологих ободочек и пластин/ Актуальные проблемы механики оболочек. Тез.докл. ill Всесоюзного совещания -семинара. - Казань, 1908. - С. 109.

7. Косицын С.Б. Построение и исследование трехмерных конечно-элементных моделей пластин /f Расчеты на прочность и жесткость: Медвуз. сб.научн.тр. - М. :Ыозстанкин, IS88. - С.7Е-87.

8. Мануйлов Г.А., Буков К.А., Косицын С.Б. Метод "неособенных продолжений" в задачах.устойчивости нелинейно деформируемых упругих систем/^ Строительная механика и расчет сооружений. - 19;:'9. -К> 5. - С.68-72.

9. Косицын С.Б. Об использовании трехмерных конечноэлементных моделей в расчетах толстых однородных и неоднородных пластин и непологих- оболочек / Прочность и надежность сооружений: Сб.научн.тр. ВДИИСК им.Кучеренко. - M., 1989. - С.25-34.

10. Косицш С.Б. Методики расчета на изгиб трехслойных панелей, содержащих слабый средний слой ff Методы расчета строительных конструкций на прочность и устойчивость: Сб.научн.тр.ЦШГЛСК им. Кучеренко. -?,!., 1909. - С. 76-67.

11. Косицын С.Б. Применение трехмерной конечноэлеыентной т-дели в задаче о деформировании пластины, нагруженной в своей плоскости с несовершенствами // Численные методы расчета и оптимизации строительных конструкций: Сб.научн.тр.ЦКШСК им.Кучеренкс. - IL, 1909. - C.CG-9I.

12. Косищи С.Б. Построение геометрически нелинейных искривленных конечноэлементных моделей для расчета мег-бранных кснсгрук-

циЛ // Гасчетн на прочность и жесткость: Межвуз.сб.научн.тр. - П.: Госстанкин, ГХО. -С.52-51.

13. Косицнн С.Б. К расчету тонкостенных оболочечных систем методом конечных элементов/' Численные методы решения задач строительной механики тра!;спортных сооружений: иежвуз.сб.научн.тр. -]5нл. К7. - Ы.: ШИТ, 1220. - С.25-32.

14. Косицнн С.Б.,Чурков О.Л. О двух вариантах построения кривых равновесных состояли!! пластин с несовершенствам! методом конечных элементов^ Чис^ленные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений: Иежвуз.сб.научн.тр. - Внп. £27. -ГЛ.: Г.ГШТ. 1ССО. - С.75-С1.

15. Косщыц С.Б. О построении геометрически нелинейных трехмерных криволинейных конечиоэлементных моделей и особенностях их применения в расчетах тонких пластин и оболочек // Статика тонкостенных элементов конструшщй летательных аппаратов: 1,:енвуз.сб. научн.тр. -Казань: Ш, 1СС0. - 0.10-17.

16. Коспцкн С.Б. Об одной методике построения криволинейных конечкоэлементных моделей для расчета тонких и нетонких пластин и оболочек с учетом геометрической нелинейности их деформирования/ Аннотация доклада на Всесоюзном семинаре по проблемам устойчивости в ЦШШС им. Кучеренко /1 Строителыгая механика и расчет сооружений.-19С1. - Д 3.-2 пол.обл.

17. Мануйлов Г.А.,Туков П.Л., Ксспцын С.Б. Исследование устойчивости гибких упругих систем методом неособенных продолжений^ Прикладная механика. - 1ССЛ. - т.27. - .'5 7.-С.74-С2.

1В. .Г.емешко Е.Л., Косгцын С.Г., Сломзин Л.10. Пространственный расчет конструкции кояонно'; станции метрополитена глубокого зпло-гоная I/ Подземное и шахтное строительство. - II'Л. - 3 П. - О.Г?-

1'.. С.Г. Погод гочечию: элементен в к??е::еге:::".х для

расчета оболочек произвольной формы^ Торсовые поверхности и оболочки. Справочник под ред.С.П.Крнпошапко. - !,i.: "зд-во Ун-та дружбы народов. - 1991. - С Л vr-m-..

20. Посадки С.Г. Развитие трехмерно:'; конечноэлементной модели сатсгаю" среды и ее применения для решения нелинейных задач статики пластин и оболочек / численные методы решения а сдач строительной механики транспортных сооружений: 1,!еквуз.сб.н?учн.тр. - 1;ып. CÜ7. - Ы. :;.ЖТ, 1951. - С. 12-27.

21. Косицен С.Б. Пространственный расчет тройниковых соединений магистральных трубопроводов с учетом пластических свойств их материалов^ Подземное и шахтное строительство. - 1222. - 2. -С.28-30.'

22. Демешко Е.А.,.Косицын С.Б., Слемзин А.Е. Расчет колонной станции метрополитена как пространственной конструкции / Транспортное строительство. - 1522. - £ I. - С.32-35.

23. Александров A.B., Косицын С.Б. Криволинейные трехмерные конечноэлементные модели в расчетах конструкций транспортных сооружений^ Транспорт России. Проблемы и пути их решения. Материалы научно-практической конф. - Суздаль, 1292. - С.2.

24. Косицш С.Б. О построении криволинейных трехмерных конеч-ноэлементных моделей и их применении в расчетах конструкций транспортных сооружений / Проблемы прочности материалов и соорукеш:й на транспорте. Тез.докл. П Мекгосуд.научно-техн.конф. - Алма-Ата: АлПЛТ 1292. - С.40.

# . м к

Автор глубоко признателен научному консультанту- действительному члену Академии архитектуры и строительных наук РФ, чле:-у-корреспонденту Академии транспорта Pi, доктору технически: наук, профессору А. В.Александрову- и всему коллективу кафедры "Строительная мехРшша" П1ЛТ за пометь, внимание и поддержку, сказг:-::-:1'е в период работы над диссертацией.

Автор благодарен члену - корреспонденту Академии транспорта РФ, доктору технических наук, профессору Е.А.Демеыко и кандидатам технических неук, доцентам Г.Л.ПануР-лову, А.Е.Слемзину за ряд ценных советов в постановке и решении проблем диссертации, а такие кандидату технических наук, доценту Д.Б.Долотказину и ассистенту К.АЛ'укову, оказавшим больную практическую помощь в составлении и отладке отдельных программ для ЭВ'.Т и проведении расчетов,

КОСИЦЫН СЕРГЕ.'! БОРИСОВИЧ

ШШССИЧЕСКИЕ ШШОЙШШГЛЬЕ КОЖЧИОЗЛЕШтШЕ МОДЕЛИ Б ЛШПЗГЗЖ И ШШШЕГЛШ ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНО;! 11ЕШШХП

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Сдано в набор 93 Подписано к печати ¿6 сУ

Формат бумаги 60x90 1/16. Объем 3,0 заказ £ТЗ Тир. 100 экз.

Типография ь.осква, ул.Образцова, Го