автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы исследования классических и неклассических форм потери устойчивости стержней и оболочечно-стержневых конструкций

На правах рукописи

ХОЛМОГОРОВ СЕРГЕИ АНДРЕЕВИЧ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ И НЕКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ И ОБОЛОЧЕЧНО-СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005557564

15 >,НЗ 2015

Казань-2014

005557564

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технический университет им.А.Н.Туполева-КАИ».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Паймушин Виталий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор кафедры механики Казанского государственного

архитектурно-строительного университета Каюмов Рашит Абдулхакович

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры анализа данных и исследования операций Казанского (Приволжского) федерального университета

Бандеров Виктор Викторович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреяздение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится 29 января 2015 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 при Казанском (Приволжском) федеральном университете, расположенном по адресу : 420008, г.Казань, ул.Кремлёвская, 18, корпус 2, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.НИ.Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, г.Казань, ул.Кремлёвская, д.35.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 420008, г.Казань, ул.Кремлёвская, д.35, диссертационный совет Д 212.081.21. Автореферат разослан 25 декабря 2014 года.

Учёный секретарь диссертационного ^

совета, д.ф.-м.н., профессор J О.А.Задворнов

Актуальность проблемы. Стержни и оболочечно-стержневые элементы являются неотъемлемой частью конструкций разнообразного назначения и различных сооружений. Анализ устойчивости их равновесия является составной частью в общем цикле прочностного анализа. В этой области к настоящему времени опубликовано огромное количество работ как отечественными, так и зарубежными исследователями. Уравнения, описывающие процесс деформирования стержней, пластин и оболочек так или иначе основаны на редукции исходных трёхмерных уравнений теории упругости к одномерным уравнениям для стержней и двумерным уравнениям для пластин и оболочек. Анализ таких уравнений геометрически нелинейной теории упругости относительно недавно был проведён В.Н.Паймушиным и В.И.Шалашилиным. Ими было показано, что при малых деформациях и произвольных перемещениях они являются «некорректными», так как их использование приводит к появлению ложных точек бифуркаций при решении конкретных задач устойчивости. В связи с этим В.Н.Паймушиным были построены непротиворечивые геометрические нелинейные уравнения тонких оболочек, криволинейных и прямолинейных стержней, составных оболочеч-но-стержневых конструкций, основанные на редукции уравнений непротиворечивого варианта геометрически нелинейной теории упругости к одномерным и двумерным уравнениям на базе использования известной кинематической модели С.П.Тимошенко. На основе таких уравнений был выявлен ряд новых форм потери устойчивости (ФПУ) прямых и криволинейных стержней и круговых цилиндрических оболочек, находящихся в однородном докритическом напряжённо-деформированном состоянии (НДС) при различных видах их нагружения. Тем самым было показано, что исследование устойчивости равновесия стержней, пластин, оболочек и составленных из них конструкций в общем случае требует применения таких уравнений теории устойчивости, которые имели бы соответствующие степени точности и содержательности.

В реальных конструкциях их элементы в виде стержней, пластин и оболочек, как правило, находятся в условиях неоднородного по их объёмам докритического НДС, что приводит к задачам их устойчивости, описываемым уравнениями с переменными коэффициентами. Ввиду значительной сложности, а иногда и невозможности решения аналитическими методами задач устойчивости элементов конструкций с переменными параметрами НДС, внешней нагрузки, а также геометрическими и жесткостными параметрами, применение численных методов является единственным способом построения их решений.

Целью настоящей работы является построение линеаризованных уравнений теории упругой устойчивости стержней и оболочечно-стержневых конструкций с учётом параметров их докритического деформи-

рования исходя из уточнённых геометрически нелинейных уравнений теории стержней, оболочек и оболочечно-стержневых конструкций, предложенных В.Н.Паймушиным, создание на их основе эффективных численных методов, реализованных в виде прикладного программного обеспечения, для анализа устойчивости прямых и плоских криволинейных стержней, подкреплённых на контуре стержнями пластин, а также составных осесимметрич-ных оболочечно-стержневых конструкций. Применение разработанных методов для выявления всех возможных классических и неклассических ФПУ элементов конструкций рассматриваемых классов при тех или иных видах их внешнего нагружения.

На защиту выносятся:

1) линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости стержней и оболочечно-стержневых конструкций с учётом параметров их докрити-ческого деформирования (деформационных параметрических слагаемых), построенные исходя из уточнённых геометрически нелинейных уравнений теории стержней, оболочек и оболочечно-стержневых конструкций, предложенных В.Н.Паймушиным;

2) численный метод и алгоритмы решения задач устойчивости стержней, пластин, подкреплённых на контуре стержнями, и оболочечно-стержневых конструкций, сформулированных на основе выведенных уравнений, основанные на методе конечных сумм (механических квадратур) с использованием интегрирующих матриц (ИМ) высокой точности, предложенных Р.З.Даутовым;

3) результаты экспериментального исследования сходимости разработанных методов и алгоритмов решения сформулированных задач устойчивости оболочечно-стержневых конструкций, их достоверности путём сравнения в частных случаях с точными аналитическими решениями, а также точности интегрирующих матриц, положенных в основу метода механических квадратур;

4) комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента;

5) выявленные и детально исследованные неклассические (ранее не описанные в научной литературе) ФПУ стержней, пластин и оболочечно-стержневых конструкций указанных выше классов с учётом и без учёта деформационных параметрических слагаемых в используемых уравнениях теории упругой устойчивости.

Научная новизна работы заключается в следующем. 1. На примере численного решения задачи устойчивости прямолинейного стержня, находящегося в условиях сжатия с кручением, проведён анализ точности метода конечных сумм при использовании трёх видов ИМ, основанных: на скользящей интерполяции искомой функции полиномом

четвёртой степени (ИМ М.Б.Вахитова), сплайн-аппроксимации (ИМ В.А.Фирсова) и интерполяции Лагранжа на неравномерной сетке узлов полинома Лежандра (ИМ Р.З.Даутова). Показано, что к устойчивым численным решениям задач рассматриваемого класса приводит использование ИМ, предложенных Р.З.Даутовым.

2. Разработан численный метод исследования устойчивости равновесия плоских криволинейных стержней с учётом и без учёта докритических деформационных параметрических слагаемых в разрешающих уравнениях при действии произвольной системы внешних усилий с произвольной пространственной ориентацией. Выявлены как классические (изгиб-но-сдвиговые, реализующиеся в плоскости кольца), так и неклассические ФПУ (изгибно-крутильные ФПУ с пространственной осевой линией в возмущённом состоянии) кольца при различных видах внешнего нагружения. Показано, что учёт деформационных параметрических слагаемых в уравнениях нейтрального равновесия кольца мало влияет на величину критической нагрузки и реализующуюся ФПУ.

3. Дана уточнённая постановка задачи об устойчивости прямоугольной пластины, находящейся в условиях одностороннего сжатия и подкреплённой на одной из контурных линий стержнем, соединяемой с пластиной с эксцентриситетом. В предположении о шарнирном опирании двух неподкреплённых кромок пластины исходная двумерная задача редуцирован ч одномерной, для решения которой разработан численный метод на основе метода конечных сумм. Показано, что при наличии эксцентриситета всегда реализуется неклассическая изгибно-крутильная ФПУ подкрепляющего стержня, а при варьировании его геометрическими и физико-механическими параметрами наблюдается трансформация реализующихся ФПУ конструкции.

4. Дана уточнённая постановка задачи об устойчивости оболочечно-стержневой конструкции, состоящей из двух оболочек вращения, соединяемых посредством кругового шпангоута и находящихся в условиях осесимметричного докритического НДС с переменными параметрами вдоль образующих. Путём использования тригонометрических функций по окружной координате исходная двумерная задача устойчивости конструкции сведена к одномерной для каждого номера гармоники, решения которых (включая и одномерную задачу о докритическом НДС конструкции) находятся численным методом конечных сумм. С помощью разработанного метода при различных видах нагружения проведено исследование всех возможных ФПУ конструкции в виде двух цилиндрических оболочек разных диаметров соединяемых посредством кругового шпангоута, а также конструкции «цилиндрическая оболочка - шпангоут - сферическая оболочка». Показано, что пространственная изгибно-

крутильная ФПУ шпангоута является одной из главных при всех характерных видах нагружения оболочечно-стержневых конструкций рассмотренных классов, а учёт деформационных параметрических слагаемых в уравнениях устойчивости приводит к многократному снижению определяемой величины критической нагрузки.

Достоверность основных научных результатов следует из применения апробированных гипотез при соблюдении математической строгости преобразований на теоретическом этапе; тщательного анализа физической достоверности результатов численных решений, полученных с помощью разработанных методик; хорошим совпадением найденных численных решений ряда модельных задач с их известными аналитическими решениями.

Практическая ценность диссертации состоит в возможности применения разработанных методов при прочностном анализе проектируемых конструкций того или иного назначения, а также более точной оценки их несущей способности при их эксплуатации.

Публикации и апробация работы. Основное содержание исследований по теме диссертации опубликовано в 19 работах. По её результатам сделаны доклады на Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (Казань, 2008 г.), на XIV, XV, XVI, XVП и XVIII международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы конструкций и сплошных сред» (Москва, 2008-2011гг.), на Второй международной конференции «Проблемы механики твёрдого деформируемого тела» (Казань, 2009 г.), на VII Школе-семинаре молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова (Казань, 2010 г.), на XVП Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2011 г.).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, включающего 163 наименования. Содержит 208 страниц печатного текста, в том числе 29 таблиц, 39 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и важность рассматриваемых в диссертации вопросов, дан анализ современного состояния проблемы, излагается краткое содержание работы по главам.

Современные машиностроительные изделия и сооружения того или иного назначения как правило представляют собой пластины и оболочки, подкреплённые продольными и поперечными элементами в виде стержней. Жёсткость таких конструкций в тангенциальных направлениях намного больше их изгибной жёсткости. Поэтому тонкостенный элемент может накапливать в себе большую потенциальную энергию без значительных деформаций, которая может перейти в изгибную деформацию, что сопровождается

значительным изменением формы тонкостенного элемента и выходом его из строя. В связи с этим задачам устойчивости тонкостенных конструкций в общем цикле задач их прочностного анализа отводится значительное место.

Задачи устойчивости тонкостенных элементов конструкций неразрывно связаны с нелинейной теорией их деформирования. Проблемам построения геометрически нелинейной теории оболочек и их применением к задачам устойчивости посвящён большой цикл исследований К.Маргерра, Л.Г. Доннела, С.П.Тимошенко, Н.А.Алфутова, В.В.Болотина, А.С.Вольмира, К.З.Галимова, Э.И.Григолюка, Х.М.Муштари, В.В.Новожилова и многих других авторов.

Во введении дан также краткий обзор работ В.Н.Паймушина и В.И.Шалашилина, посвящённых анализу уравнений геометрически нелинейной теории упругости при малых деформациях и произвольных перемещениях, изложенных в известных монографиях В.В.Новожилова. Проанализированы также работы В.Н.Паймушина, посвященные выявлению и исследованию неклассических ФПУ прямых стержней, кругового кольца и цилиндрических оболочек при разных вариантах их нагружения.

В первой главе рассматривается линеаризованная задача об устойчивости стержня, имеющего длину а, площадь поперечного сечения , жест-костные параметры £„,£7,2,(7,3, моменты инерции Jy,J2v^ находящегося под

действием осевого сжатия силой Р и крутящего момента Мак. Одна из его неклассических ФПУ, как показано В.Н.Паймушиным, в рамках уточнённой модели С.П.Тимошенко описывается системой четырёх дифференциальных уравнений, составленных относительно функций V,\У (прогибов в направлениях осей Оу и Ог), *|/,х (углов поворотов нормальных сечений вокруг осей Оу и Ог ). Эта самосопряжённая система линейных однородных дифференциальных уравнений путём введения безразмерных параметров

•>у

Зп* Л

Л Г_1

Опа2Р

6\1а г

а также параметра нагрузки т, связанного с величинами Р и зависимостями Р = gu , М°к = гт1Р (гт- заданное число, / - плечо пары сил Р , создающей крутящий момент), приводится к виду

¿С

1 г 7 ¿С

= 0, ±

ж(1-кт)-+ ш

* ¿с

= 0,

йч гки ^7 + 7—ту)

х-я

К

—= 0, 1 + е (¡с,

(1)

Численное решение составленных уравнений (1) основано на методе механических квадратур в варианте ИМ. В соответствии с ним исходные уравнения (1) путём последовательного интегрирования и удовлетворения тем или иным граничным условиям, которые здесь не приводятся, преобразуются к системе интегральных уравнений, содержащих интегральные операторы типа Вольтерра. Путём их замены конечно-суммарными операторами с использованием тех или иных квадратурных формул относительно дискретных узловых значений искомых неизвестных исходная задача сводится к стандартной задаче на собственные значения системы алгебраических уравнений вида

(А + тВ)Х = 0, А, В е. Щ4п + 4,4п + 4). (2)

Численная процедура формирования матриц, поиска собственных значений и соответствующих собственных векторов задачи реализована в среде пакета МАТЬАВ.

Как показали проведенные численные эксперименты, в случае использования ИМ М.Б.Вахитова при всех значениях определяющего параметра е численные решения задачи существуют только при чистом сжатии стержня, когда ки = 0. При этом система уравнений (1) распадается на две не связанные между собой системы, численные решения которых методом механических квадратур являются абсолютно устойчивыми и быстро сходящимися при увеличении размерности п. При е = 1, когда ки 0 , численные решения задачи оказались расходящимися, а. при и увеличении ки полученные решения оказались завышенными по сравнению с решениями, являющимися точными.

Одним из способов нахождения устойчивых и сходящихся решений задач рассматриваемого класса является получение симметричной матрицы разрешающей системы алгебраических уравнений. В работе показано, что в рамках метода интегрирующих матриц реализация соответствующего алгоритма возможна при применении интерполяции Лагранжа на подходящей сетке узлов. Методика построения таких интегрирующих матриц предложена в работе Р.З. Даутова и В.Н. Паймушина.

Во второй главе проведена линеаризация геометрически нелинейных уравнений теории плоских криволинейных стержней, построенных В.Н.Паймушиным и основанных на аппроксимации вектора перемещений произвольной точки поперечного сечения стержня представлением

где 1 = г' = ¿г / с!х,п,Ъ- единичные векторы базиса осевой линии; г(х) - уравнение осевой линии; и, V, IV - перемещения точек осевой линии; ф -углы поворота поперечного сечения вокруг ортов п,Ь и /; у2 и у3 - функции, введённые в рассмотрение для учёта поперечных деформаций стержня.

Представлению (3) соответствует система линеаризованных уравнений нейтрального равновесия следующего вида

о, /;=е;'-5;=о, // = £'=о, /:=м-;-к=о, (4)

/; = м-; -н; = о, /; = М-; - к = о, = = 0, /8* = 5^-Г;=О,

в которых введены в рассмотрение обобщённые усилия и моменты

в1=а - ед - еу++& V;

(5)

= Ш„ + Гг°ф + 7>° +... + + ИЗ^у0 ;

выражающиеся через указанные выше функции путём использования физических соотношений вида

бх = р\Яи ("^ + и,0 и'+ к2и°и + XV,0 XV') + +ёп {Уг + Х°Х + ф°ф) + Шп (Уз + VV + ф°ф) ];

(6)

^ = Оа1г(у2 '-кХ+У°2У2 '-ку°2% + у2у2 *-ку2%° + +х°х'+Лх0г2+хх'°+Лху°+ф0ф'+фф'0).

Здесь индексом «0» обозначаются функции (докритических усилий, моментов и перемещений), которые находятся на первом этапе при решении линейной задачи о докритическом деформировании стержня. После их подстановки в (5) и (6), исходя из уравнений (4), приходим к задаче устойчивости, которая при использовании метода конечных сумм и соответствующих интегрирующих матриц сводится к квадратичной задаче на собственные значения системы однородных алгебраических уравнений вида

(А + рВ + ргС){Х} = {0}, (7)

Решение уравнений (4) находится итерационным способом. Для этого (7) представляется в виде

(Л + Л,)[В + р(,_1)С]){Х} = {0}, (8)

где к - номер итерации. В первом приближении (к = 1), матричная система (7) примет вид

С-4 +/,<„*){*}-{0} (9)

и е€ найденное собственное значение р(1] подставляется в (8). Итерации выполняются до того момента, пока погрешность д=| (/?(|) - р(11))/| не станет меньше заданного значения. Если принять гипотезу о недеформируемости стержня в локритичсском состоянии, то линеаризованные уравнения преобразуются к стандартной задаче на собственные значения (2).

Путём введения безразмерных параметров

А Ь ц . Я1

Е'=7> г»=2е' » Р =Р—Г

К 2И ' р £„/,

анализировались ФПУ и соответствующие им критические нагрузки для арки и кольца, находящихся под действием внешнего равномерного давления и равномерного обжатня (рнс.1). Установлено, что минимальной критической нагрузке соответствует изгибно-крутильная ФПУ, при реализации которой кольцо выходит из своей плоскости (превращается в «восьмерку»). Данная ФПУ реализуется даже при ек = I, т.е. квадратном поперечном ссчснин стержня. Изгибно-сдвиговая ФПУ, при которой кольцо остается в своей плоскости, реализуется только при сд = 2, т.е. прямоугольном поперечном сечении.

Рис.1

Проведанные вычислительные эксперименты показали, что учет деформационных параметрических слагаемых в линеаризованных уравнениях

равновесия мало влияет на величину критической нагрузки. К аналогичным выводам приводят расчеты на устойчивость кольца, выполненного из композиционных материалов с различными жесткостными характеристиками.

В третьей главе рассмотрен характерный класс тонкостенных конструкций (рис.2), предстанляюший собой пластину, соединённую на одной из кромок с прямолинейным стержнем. Для постановки задач устойчивости таких конструкций используются уравнения частного вида, которые можно получить исходя из общих нелинейных уравнений, построенных В.Н.Паймушиным и описывающих контактное сопряжение двух тонких оболочек (к = 1.2) посредством дискретно расположенного стержня. Эти уравнения основаны на представлении векторов перемещений оболочек 1/"' и стержня и в виде

и"> =и',к+ >т(к> +/"(у<11>е» + = к = 1.2, (10)

¿/ = (г/ + Гф + )«г, + гх + - дг,ч> + Гф, )т. (11)

где е"',тл' и е .т- единичные векторы выбранных систем координат,

и'/'.^^У/'.у^'- соответственно, компоненты векторов перемещений, углов поворотов нормалей и функции обжатия оболочек в направлении векторов т^; и,У.И'' - перемещения точек осевой линии стержня; Х.У-Ф ~ углы

Предполагается, чго пластина со сторонами а, I, толщиной I шар-нирно оперта на контурах у, = 0,уК = Ь и шарнирно соединена со стержнем

на контурной линии х, = а . Если пластина и подкрепляющий стержень до потери устойчивости находятся в условиях сжатия усилиями 7?} = ~Рц О\ = в направлении >>,, система дифференциальных уравнений нейтрального равновесия, соответствующая представлениям (10), (11). после ряда упрощений будет иметь вид:

для пластины

i (w-x +v„v,,)„ +Вп (и,у +v,x ),_,, = О, Вп (",у +v.x),r +В22 (v,y +v2¡u,x),y = О,

[b¡} (w,x +y,)- p¡,w,x],x + [я23 (w,y +y2)-p12w,y],, = 0, (12)

Ai (Yi<* +v2.r2^),r +Аг (У.., ~bl3 (w., +y.) = O,

A2 (Yi+У2 .x ).. +°22 (y2 ,, +v,2Y,.I) ,, ~В1Ъ ( w,„ +y2) = 0; для стержня

A ={<?nF-P)u„ +G¿FW,y-0n = 0, L2 = E¡FV>y -Фп = 0, ¿3 = " P) ^ + - ф.з = O,

¿4 = E¡JxX,yy-G¡3F(w^y +х)-Н(1,Фа = O, (13)

h = ¿K^= O, 4 = ~{Н0)Фи ~В(1)ФП) = 0.

Для замыкания системы уравнений дополнительно к (12) и (13) вводятся статические и кинематические условия сопряжения на кромке х, = а и граничные условия для пластины на кромке xí = 0. Для приведения сформулированной задачи к одномерной для искомых функций задачи приняты представления вида:

и(х, у) = и„ (х) sin (rmy / L), v(x, у) = v„ (х) cos (rmy / L),..., которые точно удовлетворяют исходным двумерным уравнениям и сформулированным граничным условиям на кромках у = 0, у = L. Для построения её численного решения используется метод конечных сумм в варианте ИМ Р.З.Даутова, согласно которому исходная задача сводится к решению задачи на собственные значения вида (2).

При действии сжимающей нагрузки на пластину без подкрепляющего стержня и на изолированный от пластины стержень возможна их потеря устойчивости только по плоской изгибно-сдвиговой (стержня) и изгибной (пластины) формам ФПУ. Крепление пластины к одной из боковых поверхностей стержня с эксцентриситетом заставляет стержень терять устойчивость по изгибно-крутильной форме. Как показывают вычисления, при Я(]) ф 0 (крепление пластины к стержню с эксцентриситетом) в конструкции

реализуются ФПУ, когда стержень теряет устойчивость по неклассической изгибно-крутильной форме. Анализ результатов расчетов показывает, что

для рассматриваемой конструкции возможна реализация ФПУ, характеризующихся:

- плоской изгибно-крутильной ФПУ стержня, когда его деформированная ось представляет собой плоскую (или почти плоскую) кривую, лежащую в одной из главных плоскостей инерции стержня, совпадающей с одной из его координатных плоскостей с величиной угла закручивания ф, имеющей тот же порядок, что и другие функции перемещений и углов поворота стержня;

- пространственной изгибно-крутильной ФПУ стержня, когда его деформированная ось представляет собой пространственную кривую с порядком величины угла закручивания, соизмеримым с функциями перемещений точек осевой линии стержня или его углов поворота. *

В четвёртой главе исходя из основных соотношений, описывающих в рамках представлений (10) и (11) контактную постановку нелинейных задач механики оболочек, соединённых по торцевых сечениям плоским криволинейным стержнем (Паймушин В.Н. ПММ. - 2014. Т.78. №1. С.125-144), построены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия тонкостенных конструкций исследуемого класса. В них наряду с докритическими усилиями сохранены также все деформационные параметрические слагаемые. Полученная система соотношений, содержащая в общем случае 36 двумерных к одномерных неизвестных, состоит из:

- дифф еренциальных уравнений нейтрального равновесия сопрягаемых оболочек;

- дифференциальных уравнений нейтрального равновесия шпангоута;

- статических граничных условий для оболочек, являющихся статическими условиями их сопряжения со шпангоутом;

- кинематических условий сопряжения оболочек со шпангоутом;

- статических или кинематических граничных условий в других торцевых сечениях оболочек.

На основе выведенных уравнений сформулированы задачи устойчивости конструкций, представляющих собой две оболочки вращения с произвольными формами меридианов, соединяемых по торцевым сечениям посредством кругового шпангоута. Одна из таких конструкций представляет собой две цилиндрические оболочки различного диаметра, соединённых через кольцевой шпангоут (рис.3, а).

У таких конструкций одной из криволинейных координат является угловая координата 9 (0 < 9 < 2л). Поэтому в предположении об осесиммет-ричности действующей на конструкцию внешней нагрузки все неизвестные задачи, описывающей её возмущённое равновесие, ищутся в виде

и = и, (х,к) )«/ня0 + й, (х{к) )со5;я0, (14)

гт

Ы" £(')

г Г

¿В)

о,

Рис.3

где и - вектор, элементами которого являются искомые неизвестные функции. В центре тяжести поперечного сечения кольца, имеющего площадь поперечного сечения .Р, введены в рассмотрение декартовые координатные оси х,г, являющиеся главными центральными осями. В точках О,, 02, имеющих координаты ВН^ (рис.3, б), считаем соединения оболочек с

кольцом или абсолютно жесткими (рис. 3, б), или шарнирными (рис. 3, в).

Для редукции сформулированной задачи к интегро-алгебраическим уравнениям введены в рассмотрение вектор-функции

„(*> -/"С») <?(*> с№) //<*> д/<*> //(*>\ -№)+__<! — V^->^I >пД ' " ¡1 >л/3 /' —

Я,

Я*

Я

— м

л

-О.

* =(0

=(-*,', -л?, -<1),

ф<*> = (ф{;),ф«,ф«, /со

£/ = ([/, Г, V, х,Ф,Ф„Ф2),

«<*>=«г=, ^=.

При их использовании в случае жесткого соединения оболочек с кольцом соотношения сформулированной краевой задачи представлены в матричном

виде ( х^ - меридиональные координаты оболочек)

+ = 0 (уравнения равновесия оболочек),

+ /+ =0 (уравнения равновесия шпангоута), ^ "%'>=<*->„ =0 (граничные условия для

оболочек), (15)

I - = , и\ - = Лг№) и (статические и кинематические условия сопряжения оболочек со шпангоутом).

После стандартных преобразований сформулированная задача (15) приведена к интегральному виду, которая при использовании представления (14) и метода конечных сумм сводится к системе алгебраических уравнений вида (2), если в уравнениях устойчивости не учитываются докритические деформационные параметрические слагаемые, или к виду (7), если они учитываются.

Алг "итм численного решения задачи реализован в среде МАТЬАВ в виде соответствующего программного обеспечения, позволяющего определить докритическое напряженно-деформированное состояние (НДС) и параметр критической нагрузки т при произвольном виде осесимметричного нагружения элементов рассматриваемой конструкции, разных видах закрепления или нагружения торцевых сечений х® = 0 и х^ = 1г оболочек, соединяемых со стержнем в сечениях х^ = /, и л:'2' = 0 жестко или шарнирно. На основе разработанного метода проведено исследование всех возможных ФПУ конструкции, показанной на рис.3 и имеющей

д, = я+(я+*)/2, д2 = /г-(я+г)/2,я, = (я+<)/2,

Я2=-(Я + /)/2, Вт=-В/2, Вт=В/2. Если торцевое сечение д:® = первой оболочки у рассматриваемой конструкции закреплено, а к торцевому сечению х'2' =/2 второй оболочки приложено погонное растягивающее усилие Р, то в силу условия Л, > соединяющий оболочки шпангоут будет подвергаться действию погонного крутящего момента. При этом в окрестности шпангоута в первой оболочке,

кроме усилия , будет формироваться окружное усилие сжатия , а во второй оболочке, кроме 7;°(2), - окружное усилие растяжения Г22(2) (рис.4). В шпангоуте главным оказывается формирующийся в поперечном сечении погонный внутренний изгибающий момент относительно оси г , являющийся причиной потери устойчивости изолированного шпангоута по изгибно-сдвиговой форме с параметром волнообразования С = 2.

Для оболочек, жестко соединенных со шпангоутом, на первых двух фрагментах рис. 5 приведены графики зависимостей критических усилий Р* (сплошные кривые), Р' (штриховые), углов поворотов <р (штрихпунктир-ные) поперечного сечения шпангоута вокруг осевой линии и прогибов IV (пунктирные) от параметра Н. Критическая нагрузка Р' соответствует удержанию в уравнениях устойчивости всех параметрических слагаемых, содержащих параметры докритического НДС Р'соответству-

ет постановке задачи, когда в разрешающих уравнениях, составляемых для оболочек, полагается Т^ = = О .

Имеют место такие значения параметра Я , при которых критические усилия Р* и Р' достигают как максимальных, так и минимальных значений. Практически при всех параметрах Я ФПУ является пространственной, смешанной изгибно-крутильной. К потере устойчивости конструкции главным образом в рассматриваемом случае приводит формирование в оболочке большего радиуса окружных усилий Г22, а в шпангоуте - погонного изгибающего момента М° и усилия обжатия Т°.

С целью иллюстрации на нижнем фрагменте рис.5 приведены графики изменения функций Р', Р', ср и IV в зависимости от параметра Я для конструкции с параметром Ь = \м, имеющей шарнирное соединение оболочек со шпангоутом.

Проведены также исследования устойчивости рассматриваемой конструкции с учётом деформационных параметрических слагаемых в уравнениях. Показано, что их учёт может привести к многократному снижению определяемой величины критической нагрузки.

На основе разработанного метода проведено также исследование всех возможных ФПУ для оболочечно-стержневой конструкции «цилиндрическая оболочка - шпангоут — сферическая оболочка» (рис.6). Рассмотрен случай нагружения конструкции внутренним давлением, при котором главный вектор внешних сил, действующих на сферическую оболочку, вызывает нагружение шпангоута погонным крутящим моментом.

Рис.4

При этом в оболочках возникает докритическое НДС такого же вида, что и в конструкции «цилиндрическая оболочка - шпангоут - цилиндрическая оболочка» (см.рис.4).

— P'.V

о

»vio2 г

о

о

(ГхЮ2

о

Р'.Р'

10

¿=1м/ 1

N ^ / / / 1 1 /

л —_ / >•----

/1 /

/ ,2 м /

- • - . / 1 I / /

/Ч . ^ / /

■ • V 1 M ^ \

* • ч У / / . ' 1

к ч^ ^ . Ч / » л.,'. л ^

фхЮ

5

(fixlO

6.5

5.5 <рх10

.10 15 20 25 Я. мм

Рис.5

Рис.6

Результаты численных экспериментов показали, что круговой шпангоут в составе рассматриваемой конструкции (см.рис.6) в большинстве расчётных случаев теряет устойчивость по изгибно-крутильной ФПУ, а учёт деформационных параметрических слагаемых в исходных уравнениях нейтрального равновесия также может привести к многократному снижению величины критической нагрузки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исходя из уточнённых геометрически нелинейных уравнений теории стержней, оболочек и оболочечно-стержневых конструкций, предложенных В.Н.Паймушиным, построены линеаризованные уравнения для исследования всех возможных «классических» и «неклассических» ФПУ упругих стержней и оболочечно-стержневых конструкций с учётом параметров их докритического деформирования.

2. Сформулирована задача о неклассических ФПУ прямолинейного стержня при действии на него сжимающей силы совместно с крутящим моментом и разработан алгоритм её численного решения методом конечных сумм. Показано, что из трёх используемых вариантов ИМ, лежащих в основе метода конечных сумм (ИМ М.Б.Вахитова, ИМ В.А.Фирсова, ИМ Р.З.Даутова), к устойчивым численным решениям задач рассматриваемого класса приводит использование интегрирующих матриц Р.З.Даутова.

3. Исходя из выведенных линеаризованных уравнений общего вида и метода конечных сумм в варианте ИМ Р.З.Даутова разработан численный метод исследования плоского криволинейного стержня (кольца и арки) с учётом деформационных параметрических слагаемых при действии произвольной системы внешних сил. На его основе выявлена неклассическая пространственная изгибно-крутильная ФПУ кольца или арки при действии на них внешнего давления или обжатия в радиальном направлении. Показано, что учёт деформационных параметрических слагаемых в исходных уравнениях слабо влияет на величину параметра критической нагрузки.

4. Исходя из нелинейных уравнений, соответствующих контактной постановки задач механики оболочек, соединённых по торцевых сечениям плоским криволинейным стержнем, выведены линеаризованные уравнения упругой устойчивости пластины, подкреплённой на одном из торцов прямолинейным стержнем. Для такой пластины, находящейся в условиях одноосного сжатия силами, приложенными к двум противоположным шарнирно опёртым кромкам, на основе метода конечных сумм в варианте ИМ Р.З.Даутова разработан численный метод решения соответствующей задачи устойчивости. На основе него выявлены и исследованы

все возможные ФПУ (в том числе неклассическая изгибно-крутильная ФПУ) стержня, реализующиеся в составе рассматриваемой конструкции.

5. На основе линеаризованных уравнений устойчивости оболочечно-стержневой конструкции общего вида разработан численный метод решения задач устойчивости конструкций, представляющих собой две оболочки вращения с произвольными формами меридианов, соединяемых по торцевым сечениям посредством кругового шпангоута и находящихся в условиях осесимметричного нагружения. На его основе выявлены и всесторонне исследованы все возможные «классические» и «неклассические» ФПУ оболочечно-стержневых конструкций в виде:

- двух цилиндрических оболочек с различными радиусами срединных поверхностей, соединённых посредством кольцевого шпангоута и подвергающихся растяжению в осевом направлении;

- цилиндрической и сферической оболочек с различными радиусами срединных поверхностей, соединённых посредством кольцевого шпангоута и подвергающихся внутреннему давлению. При указанных видах нагружения, даже при включении в «работу» примыкающих оболочек, в кольцевом шпангоуте реализуется пространственная изгибно-крутильная ФПУ (глава 2). Показано, что учёт деформационных параметрических слагаемых в исходных уравнениях нейтрального равновесия приводит к многократному снижению величины критической нагрузки.

6. На основе разработанных уточнённых математических моделей и их численной реализации с использованием ИМ Р.З.Даутова создан комплекс проблемно-ориентированных программ и проведена серия вычислительных экспериментов по исследованию изучаемых физических явлений.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ в рецензируемых журналах из перечня ВАК и высокорейтинговых изданиях, индексируемых в базах данных «Сеть науки» (Web of Science) или «Скопус» (Scopus):

1. Иванов, В.А. Точные аналитические и численные решения задач устойчивости прямого композитного стержня при осевом сжатии с кручением / В.А. Иванов, С.А. Луканкин, В.Н. Паймушин, Н.В. Полякова, В.А. Фирсов, С.А. Холмогоров // Механика композитных материалов. -2009. - Т. 45. - № 2. - С. 167-200.

2. Луканкин, С.А. О неклассических формах потери устойчивости соединенных шпангоутом цилиндрических оболочек при некоторых видах нагружения / С.А. Луканкин, В.Н. Паймушин, С.А. Холмогоров // Прикладная математика и механика. - 2014. Т. 78. — Вып.4. — С.557-575.

3. Булашов, Д.А. Классификация математических моделей многослойных оболочек по геометрическим параметрам / Д.А. Булашов, С.А. Лукан-кин, С.А. Холмогоров // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. - 2008. — №1.

- С.44-48.

4. Закиров, И.И. Осреднённые упругие и прочностные характеристики сотового заполнителя теоретико-экспериментальный метод их определения / И.И. Закиров, И.М. Закиров, С.А. Луканкин, В.Н. Паймушин, С.А. Холмогоров // Механика композитных материалов. - 2012. - Т.48.

- Вып.5. - С.745-764.

В прочих изданиях:

5. Луканкин, С.А. Численное исследование неклассических форм потери устойчивости прямых и криволинейных стержней йри различных видах их нагружения и закрепления торцевых сечений / С.А. Луканкин, Н.В. Полякова, С.А. Холмогоров // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек. - Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та. 2008. - С.88-89.

6. Иванов, В.А. О численных и точных аналитических решениях задач устойчивости прямого стержня при осевом сжатии с кручением / В.А. Иванов, Ю.Г. Коноплев, С.А. Луканкин, В.Н. Паймушин, A.A. Саченков, В.А. Фирсов, С.А. Холмогоров // Материалы XIV Меж. дународного симпозиума «Динамические и технологические проблемы

механики конструкций и сплошных сред» им.А.Г.Горшкова. - М., 2008, т. 1.-С. 100-103.

7. Луканкин, С.А. Численные решения неклассических задач о потери устойчивости плоских криволинейных стержней при различных видах их нагружения и закрепления торцевых сечений / С.А. Луканкин, Н.В. Полякова, С.А. Холмогоров // Материалы XV международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им.А.Г.Горшкова. - М, 2009. -Т.1. - С.108-109.

8. Карпиков, Ю.А. Численные исследования классических и неклассических форм потери устойчивости прямоугольной пластины, имеющей на одной из кромок подкрепление в виде прямолинейного стержня / Ю.А. Карпиков, С.А. Луканкин, С.А. Холмогоров // Проблемы нелинейной механики твёрдого деформируемого тела: Труды Второй международной конференции. - Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. - С. 254-256.

9. Луканкин, С.А. Численные исследование неклассической изгибно-крутильной формы потери устойчивости в композитных плоских криволинейных стержнях / С.А. Луканкин, С.А. Холмогоров // Проблемы нелинейной механики твёрдого деформируемого тела: Труды Второй международной конференции. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. - С. 256-258.

10. Карпиков, Ю.А. Численное решение задач об устойчивости пластины и шарнирно соединённого с ней прямолинейного стержня / Ю.А. Карпи-

ков, С.А. Луканкин, Н.В. Полякова, С.А. Холмогоров // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им.А.Г.Горшкова. -Чебоксары: ГУЛ «ИПК "Чувашия"», 2010. Т.2. - С. 264.

11. Газизуллин, Р.К. Численное исследование форм потери устойчивости конструкции пластина-стержень алгоритмами высокого порядка точности / Р.К. Газизуллин, Ю.А. Карпиков, С.А. Холмогоров // Материалы VII Школы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН

B.Е.Алемасова. - Казань: Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, 2010. - С.350.

12. Газизуллин, Р.К. Численное исследование неклассических форм потери устойчивости композитных плоских криволинейных стержней с учётом докритических деформаций и углов поворота / Р.К. Газизуллин, Ю.А. Карпиков, С.А. Холмогоров // Материалы VII Школы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова. - Казань: Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, 2010. -

C.369-370.

13. Газизуллин, Р.К. Высокоточный алгоритм численного исследования неклассических форм потери устойчивости плоских криволинейных стержней / Р.К. Газизуллин, Ю.А. Карпиков, С.А. Холмогоров // Материалы VII Школы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова. - Казань: Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, 2010. - С.371-372.

14. Луканкин, С.А. Метод интегрирующих матриц в задачах устойчивости плоских криволинейных стержней / С.А. Луканкин, Ю.А. Карпиков, Н.В. Полякова, С.А. Холмогоров // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. - М: ООО «ТР-принт», 2011. Т. 1. - С. 132-133.

15. Луканкин, С.А. Численное исследование устойчивости тонких оболочек вращения, сопряжённых через кольцевой шпангоут / С.А. Луканкин, В.Н. Паймушин, С.А. Холмогоров // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. -М.: ООО «ТР-принт», 2011. Т.1. - С. 157-159.

16. Карпиков, Ю.А.. Численное исследование устойчивости композитной конструкции, состоящей из тонких оболочек вращения, сопряжённых через кольцевой шпангоут / Ю.А. Карпиков, С.А. Холмогоров // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011),

25-31 мая 2011 г., Алушта. - М: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. -С. 432-433.

17. Луканкин, С.А. Неклассические формы потери устойчивости при растяжении двух соосных цилиндрических оболочек, соединяемых через шпангоут / С.А. Луканкин, В.Н. Паймушин, С.А. Холмогоров // Материалы XVm Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. - М: ООО «ТР-принт», 2012. - Т.2. - С. 64-67.

18. Паймушин, В.Н. Исследование неклассических форм потери устойчивости двух соосных цилиндрических оболочек, соединённых через шпангоут, с учётом деформационных параметрических слагаемых / В.Н. Паймушин, С.А. Луканкин, С.А. Холмогоров // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им.А.Г.Горшкова. — М: ООО «ТР-принт», 2013. - Т.2. - С.119-123.

19. Бадриев И.Б., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Определение критических нагрузок и форм потери устойчивости составных оболочечно-стержневых конструкций при произвольных видах нагружения // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ: РОСПАТЕНТ, 2014, № 2014619079 от 08.09.2014.

Усл. печ. л. 1,4. Тираж 110. Заказ Г99 Копи-центр КНИТУ-КАИ. 420111, Казань, К.Маркса, 10