автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств

Томский государственный архитектурно-строительный университет

На правах рукописи

Ижендеева София Ринатовна

МЕТОД СИНТЕЗА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НАИМЕНЬШЕГО ВЕСА НА ОСНОВЕ РЕАЛИЗАЦИИ ИХ ОСОБЫХ СВОЙСТВ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск - 2003

Работа выполнена на кафедре строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

академик РААСН Ляхович Леонид Семенович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Гребенюк Григорий Иванович кандидат технических наук, доцент Иванов Петр Степанович

Ведущая организация: Проектно-научно-технический центр

"Вогтехпроект"

Защита состоится 26 декабря 2003 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.265.01 при Томском государственном архитектурно-строительном университете, г. Томск, пл. Соляная, 2, ауд. 317/5.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан _ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Скрипникова Н.К.

2ооз-А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория оптимального проектирования конструкций является одним из основных направлений строительной механики и тем ключевым направлением науки, на основе достижений которой могут быть созданы эффективные конструкции и сооружения. Теория оптимизации конструкций начала активно развиваться в 60-е годы, в последние десятилетия сформировались новые направления, получены значительные результаты как теоретического, так и прикладного характера. Число публикаций, посвященных оптимальному проектированию конструкций (ОПК), постоянно увеличивается. Большой вклад в развитие теории и разработку методов решения задач ОПК внесли отечественные ученые Н.В.Баничук, А.И.Виноградов, Л.Н.Воробьев, Ю.Б.Гольдштейн, Г.И.Гребенюк, Б.В.Гринев, В.А.Киселев, В.А.Комаров, И.Б.Лазарев, Л.С.Ляхович, В.П.Малков, Д.А.Мацюлявичюс, Ю.В.Немировский, ЕЛ.Николаи, Ю.М.Цочтман,

И.М.Рабинович, Ю.А.Радциг, А.Р.Ржаницын, А.П.Сейранян, Н.Д.Сергеев, Н.Н.Складнев, А.Ф.Смирнов, В.А.Троицкий, А.П.Филин, А.П.Филиппов, А.А.Чирас и другие. Среди зарубежных ученых наибольший вклад внесли Я.Арора, З.Васютинский, Д.Келлер, М.Леви, З.Мруз, Ф.Ниордсон, Н.Ольхофф, В.Прагер, Д.Рожваны, Д.Тейлор, М.Тернер, Э.Хог, Р.Шилд и другие.

Первоначально решение задач ОПК проводилось с использованием методов классического вариационного исчисления. Однако они позволяли решать лишь частные задачи ОПК. Быстрое развитие вычислительной техники привело к интенсивному развитию методов математического программирования, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи расчета и оптимизации конструкций.

Главная альтернатива методам математического программирования применительно к оптимизации конструкций появилась в последние десятилетия в виде методологии

критериев оптимальности. Существенным моментом при разработке методов, основанных на критериях оптимальности, является использование преимуществ, связанных с особыми свойствами оптимальных конструкций. В настоящее время свойства систем минимального веса и соответствующие им критерии оптимальности выявлены только для небольшого числа частных случаев.

Данная работа посвящена синтезу стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств при варьировании параметрами сечений с учетом разнородных ограничений.

Целью работы является: обоснование, создание и численная реализация метода синтеза систем наименьшего веса на основе их особых свойств применительно к изгибаемым упругим стержням прямоугольного сечения, находящимся под действием заданной пространственной нагрузки и собственного веса, с учетом системы ограничений, включающей ограничения по прочности, устойчивости, конструктивные ограничения и ограничения на величину первой частоты собственных колебаний.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- уточняются критерии оптимальности при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний;

- доказана адекватность сформулированных критериев задачам проектирования стержней наименьшего веса;

- критерии сформулированы как для континуальной модели стержня, так и для дискретной;

- исследуются свойства сформулированных критериев;

- обоснован метод синтеза оптимальных систем на основе сформулированных свойств.

Практическое значение работы состоит в разработке алгоритма для решения поставленной" задачи оптимального проектирования. Полученные оптимальные проекты могут быть использованы на практике в качестве идеальной модели.

Полученные аналитические выражения особых свойств стержневых систем минимального веса могут быть использованы для оценки близости решений, полученных другими способами, к оптимальным.

Апробация работы. Доклады по материалам диссертации были сделаны на научно-техническом семинаре кафедры строительной механики ТГАСУ (Томск, 2003 г.), на Всероссийской конференции "Научно-технические проблемы в строительстве" (НГАСУ, Новосибирск, 2003 г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований имеется 5 публикаций, в том числе 3 статьи.

На защиту выносятся:

- формулировка критериев оптимальности при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний;

- метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств ; •••-<•,-•■'

алгоритм реализации метода синтеза оптимальных стержневых систем при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключён'ия и списка литературы. Объем диссертации 122 страницы. Список использованной литературы содержит 155 наименований.

/ ** »

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования.

В первой главе приведен краткий обзор и анализ работ, посвященных методам оптимизации, формулируется постановка задачи.

В первой главе приведен обзор и краткий анализ методов оптимизации, основанных на аппарате математического программирования. Показано также, что в последние десятилетия все чаще стали появляться работы, посвященные методам, основанным на использовании особых свойств систем наименьшего веса.

Существенным моментом при разработке методов, основанных на критериях оптимальности, было использование преимуществ, связанных с особым характером задач оптимизации конструкций. Известно (Е.Л. Николаи, А.Ф. Смирнов, А.И. Виноградов, Н. Ольхофф и др.), что системы наименьшего веса обладают особыми свойствами. Эти свойства зависят от класса сооружений, типа варьируемых параметров и набора ограничений. В настоящее время свойства систем минимального веса и соответствующие им критерии оптимальности выявлены только для небольшого числа частных случаев.

Выявленные свойства могут использоваться как критерии систем наименьшего веса и служить основой для построения методов их синтеза. При этом задача о поиске минимума заменяется задачей о синтезе систем с заранее заданными свойствами. Кроме того, такая постановка не только позволяет создавать эффективный вычислительный алгоритм, но и с высокой степенью достоверности оценивать уровень приближения полученного решения к оптимальному.

Теоретические основы рассматриваемого подхода были заложены Прагером, Тейлором и Шу. В ряде их работ рассмотрены простые задачи применительно к сплошным телам, приводящие к условиям оптимальности в виде дифференциальных уравнений. Задача оптимизации формулируется в вариационной форме в виде уравнений Эйлера. Решением задачи оптимизации, представленной дифференциальными уравнениями, определяется оптимальная форма конструкций. Характерным примером является нахождение формы сечения стержня минимального объема,

несущего заданную сжимающую нагрузку. Этот подход оказался весьма эффективным теоретически, но мало эффективным на практике. Дело в том, что его нельзя применить к конструкциям общей формы.

Большинство конструкций, встречающихся на практике, рассчитываются методами конечных элементов, и поэтому становится целесообразным нахождение подхода, основанного на разработке и адаптации критериев оптимальности для дискретных математических моделей. Это также означает, что задача оптимизации снова сведется к нахождению решений уравнений, выражающих условия оптимальности, которые, однако, являются уже алгебраическими, а не дифференциальными.

Методикой, основанной на использовании критериев оптимальности, предусмотрено, ,.что сначала необходимо вывести условия, которым должен удовлетворять оптимальный проект. Эти критерии должны основываться на математической формулировке задачи с использованием или без использования аппроксимаций. Затем разрабатывается алгоритм, основанный на этих критериях. Цель алгоритма - проектирование объекта по системе критериев для получения оптимального решения.

Для проекта, удовлетворяющего критерию, далее гарантируется, что для него достигается локальный минимум. В этом смысле методы, основанные на критериях оптимальности, попадают в категорию непрямых методов, оптимизации. Математическая форма критериев оптимальности эквивалентна условиям Куна-Таккера теории нелинейного программирования.

В данной работе ставится задача обобщить имеющиеся результаты и предложить алгоритм синтеза сооружений наименьшего веса при разнотипных варьируемых параметрах и разнородных ограничениях. Задача рассматривается на примере стержней прямоугольного сечения. Для этого случая обосновывается метод и алгоритм. Такой выбор сделан с целью обоснования метода на сравнительно простом примере.

Переход к сечениям другого типа может быть выполнен аналогично, но с привлечением дополнительных ограничений (устойчивости плоской формы изгиба, местной устойчивости и ДР-)-

Постановка задачи. Рассмотрим стержень прямоугольного сечения, загруженный продольной сосредоточенной силой Р, продольной распределенной нагрузкой р(х), распределенной поперечной нагрузкой, представленной составляющими в главных плоскостях инерции поперечного сечения - Ц1(х), дг(х). Стержень несет массу, распределенную по закону т(х).

Требуется отыскать такие законы изменения размеров сечений Ь]-=Ь/(х) и Ь2=Ь2(х), которые удовлетворяли бы ограничениям (2) - (6) и придавали бы функции цели (1) минимальное значение. Функция цели:

/

У=\ь1(х)Ъ2( х)с1х. (1)

о

Ограничения:

по прочности су о (х) < сг о (2)

по общей устойчивости Рку < Р}Щ, (3)

Рку < Р2{1] (4)

на величину первой собственной частоты

соо кт < о}][1], (5)

й)0ка< со2[1\, (6)

Здесь:

V - объем материала стержня;

<х0(х) - наибольшее приведенное по выбранной теории прочности напряжение в сечении;

а о - предельное расчетное напряжение для данного материала; ку - коэффициент запаса по устойчивости продольного изгиба; Р1Щ, Р2Щ - наименьшие критические продольные силы соответственно в главных плоскостях инерции сечений стержня;

со о - заданное предельное значение частоты собственных колебаний;

ка - коэффициент запаса по частоте;

со ][/], согЩ - первые частоты собственных колебаний соответственно в главных плоскостях инерции сечений стержня.

Ставится цель - выявление свойств стержневых систем наименьшего веса при варьировании параметрами сечения и наличии разнородных ограничений, формулирование соответствующего им критерия и построение на его основе метода синтеза оптимальных конструкций как метода проектирования сооружений с заранее заданными свойствами. Реализация поставленной цели позволит также использовать полученные критерии и для оценки традиционных решений.

Таким образом, задача о поиске минимума заменяется задачей о синтезе систем с заранее заданными свойствами. Кроме того, такая постановка не только позволяет создавать эффективный вычислительный алгоритм, но и с высокой степенью достоверности оценивать уровень приближения полученного решения к оптимальному.

Во второй главе формулируются особые свойства стержней наименьшего веса при учете разнородных

ограничений (по прочности, устойчивости и на величину первой частоты собственных колебаний).

Ограничению по прочности (2) соответствует неравенство

. .. ст,+аг +ег^сгл (7)

(где сг,,сг2- . напряжения от изгибающих моментов, действующих в главных плоскостях инерции сечений стержня; сгр- напряжение от продольной нагрузки) и функционал, на

основе которого определяется напряженно-деформированное состояние стержня:

Эя = {[(^(хХу")2 - 0,5р(х)(у')2 - д,(*)у+

о

/

+ |[0,5£/2(л;)(и'м)2 -0,5р(х)(м>')2 —д2{х)\»]фс +

о

/

+ |[0,5£4(х)(и')2 - р(х)и']ск (8)

о

Здесь А(х)- площадь поперечного сечения стержня; J}(x),J2 (х)- главные центральные моменты инерции поперечных сечений стержня; v,w- прогибы в главных плоскостях инерции; и- перемещения сечений под действием продольной нагрузки; Е - модуль упругости данного материала.

Для вывода свойств искомой охптимальной системы рассмотрим функционал, объединяющий функцию цели и ограничение по прочности:

Уоч=У-лчэч, (9)

где Яч - множитель Лагранжа.

Для стержня прямоугольного сечения с размерами поперечных сечений 6, = Ъх (х) и Ь2 = Ь2 (х) известно, что

./,<*)= А(х) = ЬА- 0°)

Условия экстремума для V :

адд =ь2-ячЕ

"Ч

у 8 24 2 ,

Си* и иг и \

24 8 2

= 0, (11)

= 0. (12)

После ряда преобразований выражений (11), (12) получим равенства

Ъ2 М2

и соотношение

К1+К1+К1=а,о» (14)

представляющее брус равного сопротивления, которые устанавливают свойства стержней наименьшего веса при действии пространственной статической нагрузки и ограничениях по прочности. Заметим, что выполнение только (14) не приводит к оптимальному решению. Действительно, условие (13) формирует оптимальное соотношение между размерами сечения и поэтому (14) приведет к оптимальному решению только при выполнении (13).

Для вывода особых свойств стержней наименьшего веса при действии продольной силы и ограничениях по общей устойчивости рассмотрим функционалы, на основе которых описывается форма потери устойчивости соответственно в двух главных плоскостях инерции

I

Эр1 = Додаооо^)2 -=0, (15)

о

Эр2 = |[о,5£/2(х)ф2 -0,5р(х)(м>'р)2}1х=0. (16)

Для вывода свойств искомой оптимальной системы

рассмотрим функционал, объединяющий функцию цели и ограничения по общей устойчивости:

УоР=У-^Эр]-Лр2Эр2, (17)

где Л.р1 и Хр2 - множители Лагранжа.

Условия экстремума функционала (17) запишутся в виде:

Я(УоР)м-bt-K^iy'lf -Лр2Е^) = О,

или

сг2 <т2 сг2 а2

E-Ki—-Кг — = °> £-Ki—-K2 — = 0, (18)

р ¡2 р 2 6 р I 6 2

где ст/р, а2р - нормальные напряжения от изгибающих моментов, возникающих при изгибе стержня по форме потери устойчивости. Из разности уравнений (18) вытекают свойства стержней наименьшего веса при потере устойчивости в двух плоскостях инерции:

КК=ЯР2°1> (19)

I о. I = const I

}■ (20)

I °7Р | = const] Свойства (19), (20) выражают требования постоянства напряжений <т1р и а2р по длине стержня и соотношение между

ними. При потере устойчивости в одной плоскости постоянство напряжений было отмечено еще ЕЛ.Николаи.

Для вывода особых свойств стержней наименьшего веса при действии пространственной статической нагрузки и ограниченйях на величину первой частоты собственных колебаний (5), (6) рассмотрим функционалы, на основе которых определяются формы собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции:

Эш1 = {[0,5£/,(х)Ю2 -0,5р(х)^)2]ск-

о

I

- |о,5<«2[т(х) + рА(х)Уас1х=0,

о

Эт2 ~ |[0,5£/2(х)«)2 -0,5р(х)(м,'ш)2]с1х-

о

I

- |0,5<у2 [т(х) + рА{х)] \vldx =0.

(21)

Запишем функционал, объединяющий функцию цели (1) и ограничения на величину первой частоты собственных колебаний:

Уош ~ У ^0)2-^0,2

(23)

Условия экстремума функционала (23) соответственно запишутся

¿>ХУ0ш)м=ь2-Я1

-Я.

а 2

/ ,,//ч2 1

2.2

1

24х 2

т„)ьг=Ъх-ХаХ

,ЪЪг

2-.,2 й>

(24)

"а 2

2 2 о)

= 0.

(25)

После преобразований выражения (24), (25) примут вид:

Е-Л

а 1

Е-Л

■(О I

< _ 2 Е 2 2 < 6 Е 2

6 Е 2 2 -Кг 2 Е 2

= 0,

= 0.

Здесь <Уы,о1т - нормальные напряжения от моментов, возникающих при собственных колебаниях в главных плоскостях инерции. Из полученных уравнений следует:

.2 2

—2 2 СГ,„, = СГ1л1

V < > ч'с

2Й1

—1,5 Ерю уи - сош*, : а1а - \,5Еро)2м>1 = сот(.

(26) (27)

Выражения (26), (27) устанавливают свойства стержней наименьшего веса при собственных колебаниях в двух главных плоскостях инерции.

Сформулированные выше свойства стержней наименьшего веса могут использоваться в различных сочетаниях в зависимости от постановки задачи. Так, например, свойства (13) и (14), соответствующие условиям прочности, могут использоваться совместно с условиями (19) и (20) (устойчивость), и условиями (26), (27) (собственные колебания). При этом соблюдаться будут только те свойства, которые соответствуют активным ограничениям.

Третья глава посвящена выбору и обоснованию дискретной модели расчета стержневых систем, а также изложению основной идеи метода последовательных приближений реализации особых свойств стержневых систем наименьшего веса при их синтезе. Приводится алгоритм реализации метода при действии различных вариантов нагрузок и разнородных ограничениях.

Для формирования ограничений по прочности, устойчивости и на частоту собственных колебаний используется шарнирно-стержневая модель. Исходный стержень разбивается на ряд однотипных стержней одинаковой

14

длины бесконечно большой жесткости, соединенных между собой шарнирами с упругой связью и массой, сосредоточенной в шарнирах.

Для использования сформулированных в главе 2 свойств (13, 14, 19, 20, 25, 26) необходимо знать при ограничениях ПО прочности внутренние усилия, а при ограничениях на величину критической нагрузки или первой собственной частоты соответственно формы потери устойчивости или собственных колебаний.

Однако как формы потери устойчивости и собственных колебаний, так и внутренние усилия (в статически неопределимых системах или при расчете по деформированной схеме) зависят от законов изменения параметров сечений. В свою очередь законы изменения параметров сечений оптимальной системы и являются объектом поиска.

Идею метода и основные его этапь1 изложим, используя укрупненную блок-схему, представленную на рис. 1.

Блок ввода данных предусматривает получение информации о геометрических параметрах системы, граничных условиях, механических характеристиках материала, типах ограничений, количестве участков дискретной модели.

Также задаются коэффициенты запаса по устойчивости и первой собственной частоте, вводятся начальные значения размеров сечений, относительная величина, кратность и число делений шага поиска (соответственно h, Со и Соо), допустимая относительная погрешность вычислений (ооо).

На основе исходной информации подсчитываются жесткости узлов дискретной модели, формируются матрицы коэффициентов жесткости (R), продольных сил и (в динамических задачах) масс (Л/). Производится подсчет и запоминание величины функции цели (V3=V, F2=V). Здесь также принимается значение ключа (0к=0).

Остальные блоки реализуют сочетание метода последовательных приближений при формировании

аналитических выражений ограничений с одним из вариантов метода спуска.

Можно выделить основные этапы метода.

1. Формирование формул для аналитической записи ограничений и выход на границу.

2. Выбор относительного шага и числа его делений, а также на основе особых свойств, сформулированных в главе 2, выбор направления метода спуска.

3. Реализация метода спуска при сформированных аналитических выражениях ограничений.

Рассмотрим каждый из этапов подробнее.

На первом этапе для формирования формул аналитической записи ограничений производятся расчеты системы. В расчеты закладываются принятые размеры сечений. При ограничениях по прочности в узлах определяются прогибы и изгибающие моменты. При ограничениях по устойчивости или на величину первой собственной частоты — соответственно критические нагрузки, собственные частоты, формы потери устойчивости и собственных колебаний в главных плоскостях инерции. Запоминается величина функции цели (К7=Реформируются аналитические выражения ограничений. Эти выражения дают точные значения координат тех граничных точек в пространстве искомых параметров, при которых они были получены. При других значениях параметров границы определяются аналитически, но приближенно.

По полученным зависимостям, сохраняя соотношения между искомыми параметрами, определяются коэффициенты, умножением параметров на каждый из которых реализуется выход на соответствующую границу. Число коэффициентов равно количеству ограничений. Из найденных коэффициентов выбирается наибольший.

Умножением параметров на принятый коэффициент определяются их новые граничные значения, подсчитываются жесткости и функция цели V, формируются матрицы Я и М. Такая процедура реализует выход на границу допустимой

области в пространстве искомых параметров по лучу, проходящему из начала координат, через точку, координаты которой - выбранные параметры.

В том случае, если относительная разность \У1-У\!У> ооо, то принимается У'1 = V и вновь реализуется выход на границу по лучу. Если \Vl-V\lV < ооо, то проверяется соотношение \У2-У\/У. Если \V2-V\jV > ооо, то принимается У2 = У и вновь реализуется выход на границу по лучу. Если \У2-У\/У.< ооо, то процесс выхода на границу заканчивается.

Полученный таким образом координаты с точностью до заданной погрешности принадлежат выражению граничной поверхности. Использование в дальнейшем приближенного аналитического выражения границы не влияет на точность окончательного результата. Поскольку формирование ограничений на каждом приближении происходит в точке оптимума, а выражение границы в точке формирования достаточно точное, то при окончании процесса решение будет в пределах заданной погрешности.

На втором этапе производится выбор относительного шага и числа его1 делений, а также, на основе свойств, сформулированных в главе 2, выбирается направление метода спуска.

После выхода на границу и формирования необходимых матриц проверяется ключ Ок. На этом месте процесса Ок-О.В соответствии с блок-схемой осуществляется переход к проверке номера приближения.

На первом приближении вводится значение начального относительного шага А в доле от разности между принятыми значениями искомых параметров и их величинами, подсчитанными в соответствии с зависимостями (13, 14, 19, 20, 26, 27). Вводится также кратность деления шага и количество делений в процессе спуска. Во всех приближениях, кроме первого оценивается вклад приближения в изменение функции цели (\УЗ-У\!У<ооо).

ввод данных

3Z

|V4=V; запоминание ^яет

да

формирование матриц жесткости, Р, R, М

т

вычисление V; 0к=0; УЗ=У

расчеты по ограничениям: по прочности - прогибы, моменты; по устойчивости - Ркр, vp[i], wp[i]; на величину первой собственной частоты - со,[/], ю2[/], vm[i], wji] \i/

-KvhvI

принятие шага

нетц

N

УЗ -V

|граница |жесткость|

Ж

1 матрицы R, М|

Iделение шага! |У4=У; запоминаниеп-

выравнивание £

•"вывод результатов^

конец|

Рис. 1

Если \V3~V\IV > ооо, то переобозначается V3 = V, запоминаются параметры {b°i[i\ - bj[i] и b°2[i] = b2[i]), и функция цели (V4 - V). Для выбора направления спуска на основании зависимостей (13, 14, 19, 20, 26, 27) определяются параметры 6/(7] и б^И (процедура «выравнивание»)!. В 'составе этой процедуры по прогибам при изгибе, формам потери устойчивости и собственных колебаний на основании расчетов, выполненных в блоке «Расчеты по ограничениям», определяются изгибающие моменты для ограничений по прочности, устойчивости и собственных колебаний. Моменты для ограничений по прочности принимаются для текущего приближения без изменений, а для ограничений по устойчивости и собственных колебаний с точностью до постоянного множителя.

По моментам в каждом сечении определяются для ограничения по прочности напряжения (Г/[г], о2[i], crp[i], <то(7], а по устойчивости и собственной частоте условные напряжения ' сг/Д/j и 02Р[г], о7(ц|7] и 02а\}\• Затем для задач устойчивости и собственных колебаний по каждому ограничению выбирается' сечение с наибольшим условным напряжением по ограничениям напряжения. После этого величины остальных условных напряжений делятся на наибольшее в данном ограничении. Таким образом, наибольшее условное напряжение оказывается равным единице. Далее условные напряжения для ограничений по устойчивости умножаются на Р*ку и делятся на Р]Щ для одной плоскости и на Р2\1\ для другой. Соответственно для ограничений на величину собственной частоты условные напряжения умножаются на а>о*кш и делятся на &>Д/] для одной плоскости и на (02Щ для другой. Полученные напряжения назовем приведенными. Для ограничений по прочности за приведенное напряжение примем <Jo[i\l<To- Приведенные напряжения позволяют оценивать варьируемые параметры по отношению к рассматриваемому ограничению: Так если все приведенные напряжения данного ограничения меньше единицы, то ограничение пассивно. Если хотя бы одно из

приведенных напряжений больше единицы, то ограничение не соблюдается. Если же, по крайней мере, одно равно единице, а остальные не больше, то ограничение активно. При выполнении условий оптимальности по одному из ограничений значения соответствующих приведенных напряжений близки к единице.

По приведенным напряжениям для ограничений по устойчивости и собственной частоте в каждом сечении в каждой главной плоскости инерции отбираются наибольшие, и по ним подсчитывается условный момент. Используя внутренние усилия из блока «Расчеты по ограничениям» и полученные условные моменты производится подбор сечений. При этом рассматриваются различные сочетания условий. Используются либо условия (13) и (14), либо (19) и (20), либо (26) и (27). Подобранные таким образом сечения приближенно реализуют соответствующие свойства оптимальной системы. Дальнейшее . уточнение решения производится при приближении к минимуму функции цели (1) и последовательным уточнением выражений для ограничений вблизи области минимума.

Для этого переходим к третьему этапу. Метод при сформированных аналитических выражениях ограничений и выбранном направлении поиска реализуется следующим действиями:

• Принимаем Ок = 2, что направит в дальнейшем процесс непосредственно на реализацию спуска;

■ • Принимаем У2 = V и переходим к блокам «Расчеты по ограничениям», «граница» и так далее как выполнялось на первом этапе. Это действие выводит на границу допустимой области параметры, соотношения между которыми установлены в блоке «Выравнивание», а также уточняет выражение граничных поверхностей при новых параметрах;

• В соответствии с блок-схемой переходим к определению направления поиска и величины шага (блок «шаг 1»). Предварительно принимаем Ок = 0, что позволит после исчерпания возможностей выбранного направления и величины 20

шага поиска перейти к новому направлению и делению шага. Составляющие координаты направления поиска /ь'[/] и /?2[г] выбираются как разности между запомненными и найденными в результате действий «выравнивания» и «граница» параметрами.

МЩ=Ъ°1 й-й/И и (28)

• В блоке «шаг 2» координаты направления поиска, определенные в блоке «шаг 1» (28), умножаются на выбранный, на втором этапе относительный шаг Ь, а затем подсчитываются новые значения параметров

6/И=6°/И-Л/И*Л и 62[/]=6°2[/]-/г2[г]*/г (29)

• После каждого шага проверяется условие уменьшения функции цели (У4> У). Если она уменьшилась, то найденные параметры и функция цели запоминаются, и вновь выполняется «шаг 2». Так продолжается до тех пор, пока функция цели не начнет увеличиваться (У4<У);

• Переходим к блокам «Расчеты по ограничениям», «граница» и так далее как выполнялось на первом этапе. Это действие выводит на границу допустимой области параметры, соотношения между которыми установлены в блоке при поиске оптимального решения, а также уточняет выражение граничных поверхностей в окрестности области поиска минимума;

• Проверяем ключ Ок. Поскольку на этой стадии Ок = О, переходим к проверке номера приближения и его вклада в понижение функции цели. Если вклад мал (\УЗ-У\/У < ооо), то после возврата на шаг назад, проверяем число делений шага. Если оно меньше принятого количества, шаг делится. Если же (\УЗ-У\/У > ооо), то принимается (УЗ = У), а дальше как при сохраненном, так и при поделенном шаге запоминаем функцию цели и действующие параметры, а затем выполняем процедуру «выравнивание» (смотри этап 2).

• Переходим к началу этапа 3.

Процесс продолжается до тех пор, пока не окажутся выполненными два признака. Первый (| У3-У\/У < ооо), а второй - заданное число делений шага исчерпано. В этом случае

21

принимаем Ок = 3. В соответствии с блок-схемой выходим на уточненную границу, выводим результаты и заканчиваем процесс.

В четвертой главе исследуются вопросы сходимости и точности метода синтеза при различных сочетаниях ограничений (ограничения по прочности, устойчивости, на величину первой час-Готы собственных колебаний).

Эффективность предложенного в данной работе метода и сходимость • итерационных вычислительных процедур исследовалась на примерах проектирования конструкций с различными условиями опирания, находящихся под действием различных сочетаний нагрузок, при учете разнородных ограничений.'

' ' По результатам исследованйй можно сделать вывод о том, что для получений удовлетворительной точности оптимального решения . при различных условиях опирания, различных нагружениях и'' учете разнородных ограничений достаточно разбиения стержня на 11-15 участков.

В 'тйтой главе показаны некоторые возможности метода синтеза' стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств. Кроме того, показаны возможности исцользования разработанного метода синтеза для оценки решений, полученных другими методами.

, Приняты следующие исходные данные: / = 12 м, модуль упругости Е - 2*1$ МПа, расчетное сопротивление материала ¡щшбу.оо = 200 МПа, - г

качестве иллюстрации возможностей метода приведем реше^Ь.одной из задач. Рассматривается трехпролетная балка с шарнирными опорами по концам, а также с опорами в 12-м и 23-м узлах ' '(балка разбивалась на 34 участка). Стержень находится ,' Действием ,' распределенной нагрузки

интенсивности q¡ ]=' 100 кН/м в вертикальной плоскости, ^ -300 кН/м в горизонтальной плоскости.

Объем стержня постоянного по длине квадратного сечения составил У0 = 0,931761 м3 (р1 - = 27,87 см). Объем

оптимального ступенчатого стержня V = 0,394184 м3. Экономия материала составила 57,69%. Размеры поперечных сечений и уровни напряжений приведены в таблице 1. Активными в данном примере являются ограничения по прочности (2). График (ст] + сг2 + стр)/ сто ~ 1 иллюстрирует выполнение свойства (14), а графики |о/|~0,5и |о>|~0,5 - свойства (13).

Покажем теперь возможность использования разработанного метода синтеза для оценки решений, полученных другими методами. Рассмотрим оптимизацию шарнирноопертой по концам двухпролетной балки с промежуточной опорой в 11-м узле (балка разбивалась на 21 участок). Стержень находится под действием распределенной нагрузки интенсивности = 100 кН/м в вертикальной плоскости, <72 = 200 кН/м в горизонтальной плоскости.

При оптимизации методом градиентного спуска получили балку объемом V = 0,757857 м\ при этом экономия материала составила 46,12% по сравнению с балкой постоянного сечения (У0 = 1,406670 м3). Свойства (13), (14) для полученного проекта не выполняются. Следовательно, оптимум не достигнут. Близость к оптимальному решению видна из столбца (о^о^/оо таблицы 2. При оптимизации предложенным в данной работе методом синтеза экономия составила 50,96% (V = 0,689804 м3), свойства (13), (14) при этом выполнены. Результаты сведены в таблицу 2.

Отметим, что полученные оптимальные решения зачастую являются технологически не реализуемыми, но они могут служить предельным решением для оценки реальных проектов. Проектировщик, сравнивая реальное решение с предельным, получает возможность оценить выигрыш за счет технологичности по сравнению с предельным решением.

п . > АЛ см Ь2, см (аг^а2)/ст0

1 12,84' 38,51 0,5 0,5 1,0

2 '9,75 29,24 0,5 0,5 1,0

3 0,56 0,56 0,020 0,007 0,027

. 4 ,8,7,1 26,14 0,5 0,5 1,0

5 10,19 30,57 0,5 0,5 1,0

6 10,60 31,79 0,5 0,5 1,0

7 10,60 31,78 0,5 0,5 1,0

8 10,19 30,57 0,5 0,5 1,0

9 8,71 26,14 0,5 0,5 1,0

10 0,56 0,56 0,020 0,007 0,027 ■

и 9,75 29,24 ■ 0,5 0,5 1,0

12 12,84 38,51 0,5 0,5 1,0

13 9,75 29,24 0,5 0,5 1,0

14 0,56 0,56 0,022 0,012 0,032

15 8,71 26,14 0,5 0,5 1,0

16 10,19 30,57 0,5 0,5 1,0

17 10,60 31,79 0,5 0,5 1,0

18 10,60 31,78 0,5 0,5 1,0

19 10,19 30,57 0,5 0,5 1,0

20 8,71 26,14 0,5 0,5 1,0

21 0,56 0,56 0,022 0,012 0,032

22 9,75 29,24 0,5 0,5 1,0

23 12,84 38,51 0,5 0,5 1,0

24 9,75 29,24 0,5 0,5 1,0

25 0,56 0,56 0,020 0,007 0,026

26 8,71 26,14 0,5 0,5 1,0

27 10,19 30,57 0,5 0,5 1,0

28 10,60 31,79 0,5 0,5 1,0

29 10,60 31,78 0,5 0,5 1,0

30 10,19 30,57 0,5 0,5 1,0

31 8,71 26,14 0,5 0,5 1,0

32 0,56 0,56 0,020 0,007 0,027

33 9,75 29,24 0,5 0,5 1,0

34 12,84 38,51 0,5 0,5 1,0

п метод спуска метод выравнивания

ь, ь2 О/ о? (оп о>,)/сг„ ъ, ь3 <?/ а2 (а,+<т2)/ав

1 11.63 37.89 0.35 0,22 0,57 12,23 24,46 0,5 0,5 1,0

2 14 78 38 24 0.53 0,41 0,94 16,52 33,03 0,5 0,5 1,0

3 18.07 39.88 0.47 0,43 0,89 18,37 36,75 0,5 0,5 1,0

4 18.24 39 82 0.51 0,47 0,98 19,06 38,12 0,5 0,5 1,0

5 17.87 39.48 0 51 0,47 0,98 18,82 37,63 0,5 0,5 1,0

6 15.48 40.24 0.53 0,42 0,95 17,57 35,13 0,5 0,5 1,0

7 11.93 38.29 0.53 0,35 0,87 14,74 29,47 0,5 0,5 1,0

8 7.14 37.92 0.20 0,04 0,24 1,71 1,71 0,03 0,015 0,045

9 15.14 37.91 0.53 0,41 0,94 16,11 32,22 0,5 0,5 1,0

10 20.99 43.66 0.51 0,48 0,99 21,06 42,12 0,5 0,5 1,0

11 25.36 49.85 0.50 0,50 1,00 24,92 49,84 0,5 0,5 1,0

12 20.99 43.66 0.51 0,48 0,99 21,06 42,12 0,5 0,5 1,0

13 15.14 37.91 0.53 0,41 0,94 16,11 32,22 0,5 0,5 1,0

14 7.14 37.92 0.20 0,04 0,24 1,71 1,71 0,03 0,015 0,045

15 11.93 38.29 0.53 0,35 0,87 14,74 29,47 0,5 0,5 1,0

16 15.48 40.24 0.53 0,42 0,95 17,57 35,13 0,5 0,5 1,0

17 17.87 39.48 0.51 0,47 0,98 18,82 37,63 0,5 0,5 1,0

18 18.24 39.82 0.51 0,47 0,98 19,06 38,12 0,5 0,5 1,0

19 18.07 39.88 0.47 0,43 0,89 18,37 36,75 0,5 0,5 1,0

20 14.78 38.24 0.53 0,41 0,94 16,52 33,03 0,5 0,5 1,0

21 11.63 37.89 0.53 0,22 0,57 12,23 24,46 0,5 0,5 1,0

В заключении приводятся основные выводы по результатам проведенной работы:

1. Выведены аналитические уравнения, выражающие особые свойства стержней наименьшего веса прямоугольного поперечного сечения при варьировании параметрами сечений и наличии разнородных ограничений.

2. На основании реализации выявленных особых свойств создан метод синтеза оптимальных конструкций.

3. Обоснованы алгоритмы и программы, позволяющие проводить реализацию предложенного метода при учете ограничений по прочности, устойчивости, на величину первой

частоты собственных колебаний и конструктивных ограничений на размеры сечений.

4. Разработан алгоритм реализации метода синтеза при произвольных условиях опирания, загружения и различных сочетаниях разнородных ограничений.

5. Предложенный метод может быть использован для оценки решений, полученных другими методами.

6. На численных примерах исследована сходимость и эффективность предложенных алгоритмов.

7. Составлена программа реализации метода синтеза стержней наименьшего веса на основе их особых свойств.

Основные положения диссертации опубликованы в статьях:

1. Ляхович Л.С., Ижендеева С.Р. Метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств// Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - Томск, 2002. -№1(6).-С. 97-109.

2. Ижендеева С.Р. Метод синтеза механических систем наименьшего веса при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину низшей частоты собственных колебаний. //Труды НГАСУ. - Новосибирск, 2003. - Т. 6, №6(27) - С. 67-72.

3. Ижендеева С.Р. Метод синтеза механических систем наименьшего веса при статической и динамической нагрузке и различных ограничениях. // Строительство -< формирование среды жизнедеятельности: Материалы первой международной научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов. - Кн.2 - Москва: МГСУ, 2003. -С. 95-99.

Изд. лиц. № 021253 от 31.10.97. Подписано в печать /У. 03 Формат 60x90/16. Бумага офсет. Гарнитура Тайме, печать офсет. Уч.-изд. л. 2. Тираж 100 экз. Заказ №

Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная 2. Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ. 634003, г.Томск, >л. Партизанская, 15.

£оОЗ -fl

* 2 О 6 р'

Введение.

1. Краткий обзор и анализ методов оптимального проектирования стержневых систем.

1.1. Краткий обзор и анализ работ, посвященных решению задач оптимизации на основе методов математического программирования

1.2. Исторический обзор методов оптимизации, использующих критерии оптимальности.

1.3. Постановка задачи.

2. Особые свойства стержней наименьшего веса при одновременном учете разнородных ограничений.

2.1. Особые свойства стержней наименьшего веса при действии пространственной статической нагрузки и ограничениях по прочности

2.2. Особые свойства стержней наименьшего веса при действии продольной силы и ограничениях по прочности и общей устойчивостиЗЗ

2.3. Особые свойства стержней наименьшего веса при ограничениях на величину первой частоты собственных колебаний.

2.4. Особые свойства стержней наименьшего веса при действии пространственной статической нагрузки и разнородных ограничениях.

3. Метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств.

3.1. Дискретная модель расчета стержневых систем.

3.2. Основная идея метода синтеза оптимальных систем. Выражение внутренних усилий, критической нагрузки и частоты собственных колебаний как функций параметров сечений.

3.3. Алгоритм метода реализации особых свойств стержневых систем наименьшего веса при их синтезе.

4 Вычислительный эксперимент по исследованию сходимости и точности метода.

4.1. Исследование сходимости и точности метода при ограничениях по прочности.

4.2. Исследование сходимости и точности метода при ограничениях по устойчивости.

4.3. Исследование сходимости и точности метода при ограничениях на величину первой частоты собственных колебаний.

4.4. Исследование сходимости и точности метода при действии пространственной нагрузки и разнородных ограничениях.

5. Некоторые возможности метода синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств.

5.1. Использование метода синтеза для проектирования систем наименьшего веса.

5.2. Использование метода синтеза для оценки решений, полученных другими способами.

Теория проектирования оптимальных конструкций является одним из основных направлений строительной механики и тем ключевым направлением науки, на основе достижений которой могут быть созданы прогрессивные конструкции и сооружения.

Разработка проблем проектирования оптимальных конструкций позволяет преодолеть трудности, обусловленные несовершенством конструктивных форм, большой материалоемкостью сооружений. Следует отметить, что эффект от внедрения методов оптимального проектирования конструкций (ОПК) тем выше, чем сложнее проектируемая конструкция, и величина его может быть в отдельных случаях значительна [106]. ОПК сохраняет свое значение при разработке новых транспортных и строительных сооружений еще и потому, что снижение затрат материалов уменьшает расход энергии, уровень загрязнения среды и интенсивность эксплуатации минеральных ресурсов [97].

Данное направление в теории проектирования инженерных сооружений и строительной механике получило в последнее время интенсивное развитие. Число публикаций, посвященных оптимальному проектированию, весьма велико и продолжает возрастать. В последние десятилетия сформировались новые научные направления в проектировании оптимальных конструкций, получены значительные результаты, важные в теоретическом и прикладном отношениях.

Большой вклад в развитие теории ОПК внесли отечественные ученые Н.В.Баничук, А.И.Виноградов, Л.Н.Воробьев, Ю.Б.Гольдштейн, Б.В.Гринев, В.А.Киселев, В.А.Комаров, И.Б.Лазарев, Л.С.Ляхович, В.П.Малков, Д.А.Мацюлявичюс, Ю.В.Немировский, Е.Л.Николаи, Ю.М.Почтман, И.М.Рабинович, Ю.А.Радциг, А.Р.Ржаницын, А.П.Сейранян, Н.Д.Сергеев, Н.Н.Складнев, А.Ф.Смирнов,

В.А.Троицкий, А.П.Фипиппов3 А.А.Чирае и другие Среди зарубежных ученых наибольший вклад внесли Я.Арора, З.Васютинский, Д.Келлер, М.Леви, З.Мруз, Ф.Ниордсон, Н.Ольхофф, В.Прагер, Д.Рожваны, Д.Тейлор, М.Тернер, Э.Хог, Р.Шилд и другие.

В трудах вышеперечисленных ученых заложены не только основы теории ОПК, но и получено решение целого ряда задач, предложено много новых эффективных методов и алгоритмов решения задач оптимизации.

Достаточно полные обзоры исследований, посвященных задачам оптимального проектирования различных типов конструкций, даны в работах В.В.Болотина, И.И.Гольденблата и А.Ф.Смирнова [13], А.И.Виноградова, О.П.Дорошенко и И.С.Храповицкого [20], Ф.Ниордсона и П.Педерсена [73], В. Прагера [88], М.И.Рейтмана и Г.С.Шапиро [94], Н.Д.Сергеева и А.И.Богатырева [105], В.А.Троицкого и Л.В.Петухова [111], Э.Хога и Я.Ароры [115], С.Чжу и В.Прагера [120] Герасимова Е.Н., Почтмана Ю.М. и Скалозуба В.В. [26], Круглова А.И. и Лазарева И.Б. [47], Образцова И.Ф. и Васильева В.В. [75], Почтмана Ю.М. и Харитона Л.Е. [87] и других.

Заметим, что первоначально решение задач оптимального проектирования стержневых конструкций проводилось с использованием методов классического вариационного исчисления. Однако они позволяли решать лишь частные задачи ОПК. Появление в середине прошлого века вычислительной техники и ее применение к решению задач оптимизации привело к интенсивному развитию методов математического программирования, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи расчета и оптимизации конструкций.

Главная альтернатива методам математического программирования применительно к оптимизации конструкций появилась в последние десятилетия в виде методологии критериев оптимальности. Существенным моментом при разработко методов, основанных на критериях оптимальности, было использование преимуществ, связанных с особыми свойствами оптимальных конструкций.

Известно (E.JI. Николаи, А.Ф. Смирнов, А.И. Виноградов, Н. Ольхофф и др.), что системы наименьшего веса обладают особыми свойствами. Эти свойства зависят от класса сооружений, типа варьируемых параметров и набора ограничений. В настоящее время свойства систем минимального веса и соответствующие им критерии оптимальности выявлены только для небольшого числа частных случаев.

Выявленные свойства могут использоваться как критерии систем наименьшего веса и служить основой для построения методов их синтеза. При этом задача о поиске минимума заменяется задачей о синтезе систем с заранее заданными свойствами. Кроме того, такая постановка не только позволяет создавать эффективный вычислительный алгоритм, но и с высокой степенью достоверности оценивать уровень приближения полученного решения к оптимальному.

В диссертации рассматриваются особые свойства стержневых систем наименьшего веса и разработаный на их основе метод синтеза таких систем.

Диссертация выполнена на кафедре строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, заключаются в следующем:

1. Выведены аналитические уравнения, выражающие особые свойства стержней наименьшего веса прямоугольного поперечного сечения при варьировании параметрами сечений и наличии разнородных ограничений.

2. На основании реализации выявленных особых свойств создан метод синтеза оптимальных конструкций.

3. Обоснованы алгоритмы и программы, позволяющие проводить реализацию предложенного метода при учете ограничений по прочности, устойчивости, на величину первой частоты собственных колебаний и конструктивных ограничений на размеры сечений.

4. Разработан алгоритм реализации метода синтеза при произвольных условиях опирания, загружения и различных сочетаниях разнородных ограничений.

5. Предложенный метод может быть использован для оценки решений, полученных другими методами.

6. На численных примерах исследована сходимость и эффективность предложенных алгоритмов.

7. Составлена программа реализации метода синтеза стержней наименьшего веса на основе их особых свойств.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров А.В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек. Тр.МИИТ, 1971, вып. 364, С. 3-9.

2. Александров А.В., Карпенко Н.И., Шапошников Н.Н. О развитии новых направлений в теории расчета и проектирования строительных конструкций зданий и сооружений./УПромышленное и гражданское строительство. №4, 1994. С.27-30.

3. Ал футов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. - 311 с.

4. Аннин Б.Д. Механика деформируемого твердого тела в СО РАН в 1988-1997 годы //Прикладная механика и техническая физика. Т.38, №4, 1997.-С. 28-45.

5. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977.344 с.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1958. - 628 с.

7. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982. - 583 с.

8. Банди Б. Методы оптимизации. М.: Радио и связь, 1988. 128 с.

9. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. -256 с.

10. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. - N 2. - С. 110-124.

11. Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования. М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

12. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

13. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирили А Ф Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. М.: Стройиздат, 1972. - 191 с.

14. Вакуленко Л.Д., Мазалов В.Н. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1948-1974 гг./ Под ред. Ю.В. Немировского. - Новосибирск: Сибирское отд-ние АН СССР, 1975, ч. I, II. - 472 с.

15. Вандерплаат Р.Н. Оптимизация конструкций прошлое, настоящее и будущее.//Аэрокосмическая техника. - 1983, Т.1, №2 -С. 129-140.

16. Васильев П.Ф. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.-552 с.

17. Виноградов А.И. Вопросы расчета сооружений наименьшего веса. Тр. ХИИЖТ. - Харьков, 1965, вып.25. - 175 с.

18. Виноградов А.И. О сходимости прочностного перерасчета в задачах оптимизации. Строительная механика и расчет сооружений, 1971, №3.-С. 11-13.

19. Виноградов А.И. Проблема оптимального проектирования в строительной механике. Харьков: Вища школа, изд-во Харьков, гос. ун-та, 1973. - 167 с.

20. Виноградов А.И., Дорошенко О.П., Храповицкий И.С. Некоторые направления в теории оптимальных стержневых систем. В сб.: Тр. Харьк. ин-та инжен. жел.-дор. трансп. - Харьков, 1967, №102. -С. 5-52.

21. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

22. Геминтерн В.И., Каган Б.М. Методы оптимального проектирования. М.: Энергия, 1980. - 160 с.

23. Геммерлииг А.В. О методах оптимизации конструкций.// Строительная механика и расчет сооружений, 1971, №2, с. 20-22.

24. Геммерлинг А.В. Оптимальное проектирование конструкций. -Строительная механика и расчет сооружений. 1974. - №4. - С. 10-13.

25. Герасимов Е.Н. Об иерархии ограничений многокритериальной задачи оптимизации шарнирно-стержневых конструкций. Ижевск, 1982. - С. 28 -35. - Рук. деп. в ВИНИТИ 27 июля 1982, №4032-82.

26. Герасимов Е.Н., Почтман Ю.М., Скалозуб В.В. Многокритериальные задачи теории оптимального проектирования конструкций//Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск, 1981. - Вып. 6. - С.101-111.

27. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

28. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационная задача статики оптимальных стержневых систем. JL: Изд-во ЛГУ, 1980.- 208 с.

29. Гребенюк Г.И., Безделев В.В., Попов Б.Н. Минимизация в задачах оптимизации строительных конструкций. Деп. во ВНИИИС № 4967-84, 1984.

30. Гребенюк Г.И., Попов Б.Н., Яньков Е.В. Основы расчета и оптимизации конструкций с использованием метода конечных элементов. Новосибирск: изд-во НИСИ, 1992. - 96 с.

31. Громицкий B.C., Калинин Н.И. Численное сравнение эффективности критериев оптимальности в задачах строительной механики. Механика твердого тела, 1978. - №4. - С.149-155.

32. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. М.: Мир, 1972. - 307 с.

33. Демокритов В.Н. Оптимальное проектирование колеблющихся балок при соблюдении прочности и жесткости. В кн.: Механика ипроцессы управления. Динамика и прочность машин, приборов и аппаратуры. Саратов, 1981. - С. 59 - 69.

34. Елизаров А.Ф. О проектировании стержней наименьшего объема, подверженных потери устойчивости //Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. Томск: Изд-во ТГУ, 1974.-С. 16-20.

35. Жичковский М., Гаевский А. Оптимальное проектирование конструкций с учетом требований устойчивости //Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика. М.: Наука, 1991. -С. 237-262.

36. Иеги Э.М. Математическая модель задачи оптимального проектирования стержневых систем/Юптимальное проектирование. №50, 1978. С. 57-64.

37. Ижендеева С.Р. Метод оптимизации сооружений на основе особых свойств систем наименьшего веса //Архитектура и строительство. Наука, образование, технологии, рынок: Тезисы докладов международной научно-технической конференции. Томск: ТГАСУ, 2002. - С. 6.

38. Ижендеева С.Р. Метод синтеза механических систем наименьшего веса при ограничениях по прочности, устойчивости и на величину низшей частоты собственных колебаний. // Труды НГАСУ. -Новосибирск, 2003. Т.6, N6(27) - С. 67-72.

39. Ижендеева С.Р., Ижендеев А.В. Замена р-симплекса возможных нагрузок конечным множеством точек при поиске опасных сочетаний нагрузок//Вестник ТГАСУ.- Томск: ТГАСУ, 2000. N1. - С. 113-116.

40. Исследование сложных непрерывно-дискретных систем //под ред. К.Я. Кухта, А.Г. Бойко, Н.З. Гармаш и др. Киев: Наук, думка, 1981.-272 с.

41. Круглов А.И., Лазарев И.Б. Метод штрафных функций в задачах проектирования оптимальных конструкций //Исследование работы искусственных сооружений. Новосибирск, 1971. Вып. 157. -С. 30-35.

42. Кузмицкас А.В., Мацюлявичюс Д.Д. Алгоритм среднего направления для оптимизации строительных конструкций. Литовский механический сборник. - 1982, №25. - С. 5 - 17.

43. Кузнецов И.Л., Сафин Р.К. О критерии оптимальности арочных покрытий. В кн.: Исследования, расчет и испытание металлических конструкций. - Казань, 1978. - С. 25-28.

44. Лазарев И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы. Новосибирск: Сибирская государственная академия путей сообщения. - 1995. - 295 с.

45. Лазарев И.Б. Математические методы оптимального проектирования конструкций. Новосибирск: НИИЖТ. - 1974. - 191 с.

46. Липин Е.К., Чедрик В.В. Применение критериев оптимальности для решения задачи оптимизации конструкции при ограничениях на напряжения и перемещения. //Уч. зап. ЦАГИ.-1989.-№4. С.73-83.

47. Лихтарников Я.М. Вариантное проектирование и оптимизация стальных конструкций. Новосибирск: НИИЖТ. - 1974. - 191 с.

48. Ляхович Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. Томск.: Изд-во ТГУ, 1970. - С.159.

49. Ляхович Л.С. Оптимизаия сооружений как двойственная задача минимизации веса или синтеза систем, обладающих особыми свойствами. // Вестник ТГАСУ. Томск, 2000. - №1(2). - С. 98-108.

50. Ь/. Ляхович Л.С., Ижендеева С.Р. Метод синтеза г.трржневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств. // Вестник ТГАСУ. Томск, 2002. - №1(6). - С. 97-109.

51. Ляхович Л.С., Малиновский А.П. К вопросу формирования ограничений по устойчивости при оптимальном проектировании систем, подверженных потере устойчивости //Вопросы механики и прикладной механики. Томск: Изд-во ТГУ. - 1983.

52. Ляхович Л.С., Малиновский А.П. Проектирование стержней минимального веса, находящихся под действием параметрической и вибрационной нагрузки //Исследования по расчету сооружений. Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - С. 70 - 79.

53. Ляхович Л.С., Плахотин А.Н. Критерий оптимальности связей в задачах устойчивости и собственных колебаний упругих систем //Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1986. - Т 7. - С. 26-30.

54. Мажид К.И. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Высшая школа, 1979. - 237 с.

55. Малиновский А.П. Численные методы расчета стержней на прочность, устойчивость и колебания //Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - С. 85-96.

56. Малиновский А.П. Проектирование стержневых систем наименьшего веса с учетом ограничений по прочности, устойчивости и частоте колебаний: Дис. канд. техн. наук. Томск, 1984. - 209 с.

57. Малков В.П., Маркина М.В. Многокритериальная оптимизация механических систем с использованием энергетических критериев //Тез. докл. Всерос. симп. "Динам, и технол. пробл. мех. конструкций и сплош. сред", М., 1995.-С.ЗЗ.

58. Малков В.П. Весовая оптимизация стержней с ограничениями по прочности, жесткости и частоте собственных колебаний. В сб.: Автоматизированное оптимальное проектирование инженерных объектов и технологических процессов. - Горький: БИ, 1974. - С.99 - 106.

59. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. -М.: Наука, 1981.-288 с.

60. Матевосян P.P. О современных задачах кинематики, устойчивости и прочности сооружений из крупных панелей с учетом действия продольных сил. М.: Госстройиздат, 1963. - С. 169-194.

61. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столяров Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. - 352 с.

62. Николаи E.JI. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны //Известия Санкт-Петербургского политихнического института. -Т. VIII.- 1907.

63. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955.584 с.

64. Ниордсон Ф., Педерсен П. Обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций. Механика: Период, сб. пер. иностр.статей. - 1973, №2. - С. 136-158.

65. Новые направления оптимизации в стрпитяпьном проектировании / Под ред. Э.Атрека, Р.Г.Галлагера, К.М.Рэгзделла, О.К.Зенкевича. М.: Стройиздат, 1989. - 592 с.

66. Образцов И.Ф., Васильев В.В. Оптимальное проектирование пластинок и оболочек из армированных пластмасс //Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. - С. 204-215.

67. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир. - 1981.

68. Ольхофф Н., Тейлор Д.Е. Проектирование сплошных стержней с минимальной стоимостью материала и внутренних опор // Механика. Новое в зарубежной науке. М., 1981. - N 27. - С. 155-170.

69. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель, под ред. Ю.В. Немировского. Новосибирск: институт гидродинамики СО АН СССР. - 1975.

70. Пермяков В.А. Оптимальное проектирование стальных стержневых конструкций (обзор работ). / Киев, инж.-строит. ин-т. -Киев, 1992. 78с. - Рук. Деп. в УкрИНТЭИ 29.04.92,535-Ук92.

71. Пиковский А.А. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. М.: Физматгиз. - 1961. - 394 с.

72. Пиковский А.А., Даниелов Э.Р. Оптимальное проектирование сжато-изогнутых стержневых систем при деформационном расчете. -Известия вузов. Строительство и архитектура. 1972, №7. - С. 51 - 55.

73. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

74. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. - 279 с.

75. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика/ Под ред. Дж.Томпсона и Дж.Ханта. М.: Наука. - 1991. - 424 с.

76. Почтман Ю.М. Оптимальное проектирование методами математического программирования некоторых стержневых иконтинуальных систем с учетом потери устойчивости. Обзор //Гидроаэромеханика и теория упругости. 1975. Вып. 19. - С. 107-114.

77. Почтман Ю.М., Филатов Г.В. Оптимальное проектирование конструкций методом случайного поиска//Проблемы случайного поиска. Рига, 1975. - Вып.4.

78. Почтман Ю.М., Харитон JI.E. Оптимальное проектирование конструкций с учетом надежности //СМиРС. 1976. №6. - С. 8-15.

79. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977. - 109 с.

80. Пратусевич Я.Л. Вариационные методы в строительной механике. М.-Л.: Гос. изд-во техн. л-ры, 1948. - 400 с.

81. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3 / Под ред. И.А.Биргера и Я.Г.Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 568 с.

82. Рабинович И.М. Приближенный способ определения частот и форм собственных колебаний параболических и других арок. В кн.: Исследования по теории сооружений. - М., 1951, вып. 5. - С. 77-97.

83. Рабинович И.М. Стержневые системы минимального веса. -Тр. Второго всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., 1966, вып. 3. - С. 265 - 275.

84. Разани Р. Поведение равнонапряженной конструкции и ее отношение к конструкции минимального веса //Ракетная техника и космонавтика. Т.З, №12, 1965. - С. 115-124.

85. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. - 266 с.

86. Рейтман М.И. Постановка задачи оптимального проектирования строительных конструкций. Строительная механика и расчет сооружений, 1978, №4. - С. 6-14.

87. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. М.: Мир, 1986. Кн.1 - 349 с. Кн. 2 - 320 с.

88. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. М.: Стройиздат, 1980 - 316 с.

89. Рубин С. Проектирование сложных конструкций минимального веса при ограничении, накладываемом на величину собственной частоты. Ракетная техника и космонавтика. - Москва, 1970. - Т.8, №5. -С.78-84.

90. Саурин В.В. Определение оптимальных форм равнонапря-женной балки минимального веса. /Тр. ЦАГИ, 1991. №2476. - С. 59-63.

91. Сеа Ж. Оптимизация: теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.244 с.

92. Сейранян А.П. Квазиоптимальные решения задачи оптимального проектирования с различными ограничениями. Прикладная механика. 1977, № 6. - С. 18 - 26.

93. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балки с ограничениями на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, №1. - С. 147-152.

94. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балок при ограничениях по прогибам. Известия АН Арм. ССР. Механика, 1975, т. 28, № 6. - С. 24 - 33.

95. Сейранян А.П. Задача оптимизации конструкций при наличии нескольких ограничений. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1976, №5.-С. 190.

96. Сергеев Н.Д., Богатырев А.И. Проблемы оптимального проектирования конструкций. JI.: Стройиздат, 1971. - 136 с.

97. Складнев Н.Н. Оптимальное проектирование конструкций и экономия материальных ресурсов. Приложение к журналу "Строительная механика и расчет сооружений". - 1982, №6. - С. 17-21.

98. Смирнив А.Ф. Стержни и арки наименьшего Rfina при продольном изгибе. Тр. МИИТ, 1950, вып. 74. - С. 3 - 40.

99. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958.

100. Темнов В.Г. Конструктивные системы в природе и в строительной технике. JL: Стройиздат, 1987. - 256 с.

101. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946 - 532 с.

102. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982. - 432 с.

103. Трофимович В.В., Пермяков В.А. Оптимальное проектирование металлических конструкций. Киев: Будивельник, 1981. -136 с.

104. Уайлд Д. Оптимальное проектирование.-М.: Мир, 1981.272 с.

105. Фишер В.Ф. Оптимальное распределение материала и рациональная расстановка связей в задачах устойчивости и колебаний стержневых систем: Дисс. . канд. техн. наук. Томск, 1983. - 135 с.

106. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. -Механические системы и конструкции. М.: Мир, 1983. - 479 с.

107. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. - 428 с. .

108. Чижас А.П. Оптимизационные задачи строительной механики в Вильнюсском инженерно-строительном институте //Прикладная механика и оптимизация (Лит. мех. сб., Т 27). Вильнюс, 1985. - С. 5-12.

109. Чирас А.А. Общая постановка задач оптимизации в строительной механике. В сб.: Исследования по теории сооружений.-1975, вып.21. - С. 18-25.

110. НУ. Чирае А.А., Боркауокао А.Э., Каркяугкаса Р,П. Теория и методы оптимизации упруго-пластических систем. JL: Стройиздат, 1974.-280 с.

111. Чжу С., Прагер В. Последние достижения в оптимальном проектировании конструкций. Механика: Период, сб. пер. иностр. статей, 1969, №6. - С. 129-142.

112. Шмит JI.A. Возникновение и развитие методов синтеза конструкций //Ракетная техника и космонавтика. Т.19, №11, 1981. С.3-22.

113. Шмит JI.A. Оптимизация конструкций. Некоторые основополагающие идеи и понятия //Новые направления оптимизации в строительном проектировании. М.: Стройиздат, 1989. - С. 8-55.

114. Шмит JI.A., Флери К. Применение двойственных методов для синтеза конструкций с дискретными и непрерывными множествами допустимых значений параметров //Ракетная техника и космонавтика. Т. 18, №12, 1980.-С. 133-144.

115. Шмит JL, Фарши Б. Некоторые концепции апроксимации для синтеза конструкций //Ракетная техника и космонавтика. Т.12, №5, 1974. -С. 145-155.

116. Эпельцвейг Г.Я. Вопросы синтеза сложных конструктивных систем //Строительная механика и расчет сооружений. N1, 1980. С. 2124.

117. Юдин Ю.Я. Поиск оптимальной арки с учетом ограничений по прочности, пространственной устойчивости и некоторых технологических ограничений. Томск: Изд-во ТГУ, 1976. - С. 124 - 132.

118. Arora I.J., Haug E.I., Rajan S.D. Efficient treatment of constraints in large-scale structural optimization. Eng. Optim., 1981, vol. 5, N 2, p. 105120.

119. Berlce L. An Efficient Approach to the Minimum Weight Design of Deflection Limited Structures, AFFDL-TM-70-4-FDTR, Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson AFB, 1970, Ohio.

120. Berke L., Khot N.S. Use of optimality criteria methods for large scale systems, AGARD Lecture Series, 70//Structural Optimization, 1974, p. 1-29.

121. Berke L., Khot N.S. A Simple Virtual Strain Energy Method to Fully Stress Design Structures with Dissimilar Stress Allowables and Material Properties, AFFDL-TM-77-28-FBR, 1977, Air Force Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson AFB, 1977.

122. Dobbs M.w., Felton L.P. Optimization of truss geometry// Proc. ASCE, 1969, V. 95, ST10. p. 2105-2118.

123. Dougherty B.K. A Newmark-type approach to the analysis of elastic beam buckling. Civ. Eng. S. Afr.- 1990. - 32, №12.- p. 516-522.

124. Gallagher R.H. Fully-stressed design. Optimum Structural Design, Theory and Applications, R.H. Gallagher and O. Zienkiewicz (Eds.), 1973, John Wiley and Sons.

125. Gellatly R.A., Berke L. Optimal Structural Design// AFFDL-TR-70-165, 1971, Air Force Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson AFB, Ohio.

126. Haug E.I. A computational method for optimal structural design. -AIAA Journal, 1981, vol. 19, N 4. p. 517-522.

127. Haug E.I, Wehage R.A., Mani N.K. Design sensitivity analysis of large-scale constaraind dynamic mechanical systems. Trans. ASME: I. Mech.Transmiss. and Autom.Des., 1984, vol.106, N 2.- p. 156-162.

128. Karihalov B.L. Optimum design of vibrating beams under axid compression. Ript. Dan.Center Appl. Math, and Mech., 1972, N 29. - 16 p.

129. Karihalov B.L., Niordson F. Optimum design of vibrating beams under axid compression. Archives of Mechanics, vol. 24. - p. 5-6.

130. Khan M.R. Optimality criterion techniques applied to frames having general cross-sectional relationships. AIAA Journal, 1984, vol. 22, N 5. - p. 669-676.

131. Khot N.S. Algorythms on optimality criteria to design minimum weight structures// Engineering Optimization, 1981, v. 5. p. 73-90.

132. Khot N.S. Optimality criterion methods. Foundations of Structural Optimization: A Unified Approach, 1982, Chapter 5, A J.Morris (Ed.), John Wiley.

133. Khot N.S., Berke L., Venkayya V.B. Comparisons of optimality criteria algorithms for minimum weight design of structures. AIAA J., 1979, v. 19.-p. 182-190.

134. Khot N.S., Venkayya V.B., Berke L. Optimum Design of Composite Structures with Stress and Displacement Constraintd. AIAA Paper 75-141, AIAA 13th Aerospace Sciences Meeting, Pasadena, California, 1975.

135. Khot N.S., Venkayya V.B., Berke L. Optimum structural design with stability constraints// Int. J. Num. Meth. Engrg., 1976, v.10. p. 10971114.

136. Kiusalaas J. Optimal design of structures with buckling constraints// Int. J. Solids Struct., 1973, v. 9. p. 863-878.

137. Kiusalaas J., Shaw R. An algorithm for optimum design with trequency constraints// Int. J. Num. Meth. Engrg., 1978, v. 13. p. 2-24.

138. Lev O.E. (Ed.) Structural Optimization: Recent Developments and Applications// ASCE Publication, New York, 1981.

139. Levy R. Stress constraints and scheming for optimality criteria design. AIAA Journal, 1983, vol. 21, N 7. - p. 1028 - 1038.

140. Melart B.R., Haug E.J., Streeter T.D. Optimal Design of Structures with Constraints on Natural Frequency. AIAA Journal, N6. - p. 1011-1019.

141. Murthy K.N., Christiana P Optimal Design for Prescribed Buckling Loads. Journal of the Structural Division, ASCE, vol. 100, N 11, 1974.-p. 2175-2189.

142. Nagtegaal J., Prager W. Optimal lavout of a truss for alternative loads// Int. J. Mech. Sci., 1973, v.15. p. 583-592.

143. Prager S., Prager W. A note on optimal design of columns. -IntJ.Mech., 1979, vol. 21, N 4. p. 249 - 251.

144. Prager W. Optimization of Structural Design. Journal of optimization theory and applications, 1970, vol. 6, N 7.

145. Prager W., Taylor J.E. Problems of optimal structural design// J. Appl. Mech., 1968, V. 35, No. 1. p. 102-106.

146. Prasad B. Explicit constraint approximation forms in structural optimization. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1983, vol. 40, N 1. - p. 1-20.

147. Rizzi D. Optimization of multi-constrained structures based on optimality criteria// Proceedings AIAA/ASME/SAE 17th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, 1976, King of Prussia, Pennsylvania. p. 448-462.

148. Segenreich S.A., Mcintosh S.C. Weight minimization of structures for fixed flutter sped via an optimality criterion// Proc. AISS/ASME/SAE 16th 17th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, 1975, Denver, Colorado.

149. Sheu C.Y., Prager W. Recent developments in optimal structural design//Applied Mechanics Reviews, 1968, V. 21, No. 10. p. 985-992.

150. Taig I.C., Kerr R.I. Optimization of aircraft structures with multiple stiffness requirements// AGARD-CP-123, Second Symposium on Structural Optimization, 1973, NATO, Milan, Italy. p. 161-164.

151. Venkayya V.B. Structural Optimization: A review and some recommendations// Int. J. Num. Meth. Engrg., 1978, v.13. p. 203-228.

152. Venkayya V.B., Khot N.S. Design of optimum structures tu impulse type loading// AIAAJ, 1975, v.13. p. 989-994.

153. Venkayya V.B., Khot N.S., Berke L. Application of optimality criteria approaches on automated design of large practical structuresV/Second Symposium on Structural Optimization, AGARD CP-123, 1973, Milan, Italy, -p. 31-39.

154. Venkayya V.B., Khot N.S., Tischler V.A., Taylor J.E. Design of optimum structures for dynamic loadsV/Third Conf. Matrix Meth.Struct. Mech., 1971, Wright Patterson AFB, Ohio. p. 619-658.

155. Venkayya V.B., Khot N.S., Reddy V.S. Energy Distribution in an Optimum Structural Design// AFFDL-TR-68-156, 1969, Flight Dynamic Laboratory, Wright-Patterson AFB, Ohio.