автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Метод решения задач строительной механики и теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ К'ССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

ш—и-—--

На правах рукописи

г 1 ИЛИ .855

' /

КУРБАЦКИЙ ЕВГЕНИЙ НИКОЛАЕВИЧ

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ОСНОВАННЫЙ НА СВОЙСТВАХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФУРЬЕ ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 05.23.17 "Строительная яехоника''

Автореферат диссертации йа соискание ученой ствпеии доктора технических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения.

Официальные оппоненты:- доктор технических наук,

заседании специализированного совета ДП4.05.02. -при Московском государственном университете путей сообщения ( МИИТ ) по адресу: 101475 ГСП Москва, А-55, ул.Образцова 15, ауд 7618.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "4(" 1995 г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу совета университета.

профессор ЛУЖИН О.В. доктор физико-математических наук, профессор БРАТУСЬ A.C. доктор технических наук ДАШЕВСКИЙ М.А.

Ведущая организация А.О. НШОГАЗ

Защита состоится

1995 г. в час. на

Учений секретарь специализированного совета д.т.н., профессор

В.П.МАЛЬЦЕВ

ЦЕЛЬ И ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ньютон считал самым важным своим достижением открытый км способ решения дифференциальных и алгебраических уравнений при помощи бесконечных степенных рядов. . Современный математический аппарат (теория обобщённых функций и интегральные преобразования обобщенных функций) позволяет свести решение многих задач к простым операциям над степенными рядами в области изображений.

Наличие быстрых алгоритмов и быстродействующих компьютеров позволяет без больших затрат времени осуществлять переход из области изображений в область оригиналов даже для больших массивов чисел. В настоящее время в различных областях науки и техники, в особенности в •теории систем управления и связи, нашли .широкое применение дискретные преобразования Фурье, Уолшз, Хаара и др. Созданы быстрые алгоритмы и сверхбыстродействующие фурье-процессоры на поверхностных акустических волнах, позволяющие на несколько порядков уменьшить время обработки числоеых массивов. При этом всё возрастающий спрос в обеспечении потребностей обработки информации осуществляется в следующих двух направлениях: разрабатываются специализированные компьютеры с быстродействующими процессорами для обработки цифровой информации (например компьютерные томографы в медицине), а также \ врабатываются новые быстрые алгоритмы обработки цифровой информации. Следует отметить, что все эти достижения ещё недостаточно широко используются в механике.

Преобразование.Фурье является наиболее физичным по сравнению с другими преобразованиями и выполняется естественным путем при протекании физических процессов, представляющих собой колебания и распространение волн. Могло сказать, что преобразование Фурье з

линейннх системах представляет собой не только некоторый математический прибм, но и является действие?.:, которое выполняется в процессе работы механической или какой-либо другой системы.

Целью работы является разработка метода решения задач строительной механики и теории упругости, позволяющего использоеэть свойства изображений Фурье финитных функций и быстрые алгоритмы обработки информации, а также приложение этого метода к решению конкретных технических задач.

Актуальность. Развитие вычислительной- техники существенно расширило область применения численных методов к решению задач механики. В строительной механике и теории упругости в последние десятилетия широкое развитие и распространение получили метод конечного элемента (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ), совершенствовался и развивался- катод конечных разностей. Несмотря на универсальность и многие другие достоинства этих методов можно утверждать, что при решении некоторых задач могут быть найдены более эффективные методы, использующие современные достижения математики и обработки цифровой информации. Исследования в области совершенствования существующих методов расчета и исследования в области создания новых методов всегда являются отусиътжи.

•.Научная новизна. В основу предлагаемого в настоящей работе метода 'решения задач строительной механики и теории упругости положена теорема Бинера-Пэли-Шварца, утверждающая, что изображение Фурье финитной функции представляет собой целую функцию конечной степени. Это свойство финитных функций позволяет свести решение дифференциальных уравнений к алгебраическим операциям в области изображений. Для того, чтобы воспользоваться этой теоремой, необходимо, используя обобщенное дифференцирование, записать-дифференциальные уравнения для финитных функций.

-э-

Для этой цели функции, списывающие напряжённо-деформированное состояние конечной части бесконечной области или тэло ограниченных размеров, представляются финитными функциями, т.о. функциями, равными нулю вне области, занимаемой телом. В правых частях записанных таким образом уравнений кромз нагрузки появятся дельта -функции, сосредоточенные на поверхностях, огра^тсивающих тело. Эти функции описывают взаимодействие тела с окружающей средой и представляют собой значения функций на границе тала и значения их производных по нормали к границе. Часть этих функций пзмстна из заданных условий на границе, остающуюся часть функций мошо определить, воспользовавшись теоремой'Винера-Пэли-Шварца. Все-эти операции можно выполнить в, области изображений, предварительно дискрзтизируя изображения Фурье функций, выбрав обоснованно заг дискретизация. В теории информации хороио известна и часто используется теорема Котельникова - Шеннона, позволяющая представлять как угодно точно изображения Фурье финитных функций через их дискретные значения.

В настоящей работе теорема Котельникова-Шеннона используется не только для выбора обоснованного щага дискретизации изображений Фурье функций, описывающих напрякбнно-деформированное состояние тел, но и самих объектов. Новиествоя является и использование квантования функций - представление функций в виде ряда дельта -- функций и их производных, умноженных на интегралы от этих функций по конечным областям. Дискретизация и квантование непрерывных функций позволяет получить результат с какой-то погрешностью. Здесь мы сталкиваемся с одной из форм принципа неопрейелёнг-ноатх - познание окружающего мира возможно лишь в условиях неточного его описания.

-Для определения неизвестных функций на границе автором насто-

ящей работы доказывается, что значения этих функций определяются значениями изображений Фурье нагрузки на нулях полинома, соответствующего дифференциальному уравнению в области изображений. Численная реализация этого услоеия может быть проведена различными способами.

Таким образом, применив . обобщенное преобразование Фурье к дифференциальным уравнениям, записанным в финитных функциях, сводим решение задач к операциям над степенными рядами в области изображений. В этом и заключается существо разработанного и предлагаемого в настоящей работе метода.

Метод позволяет также решать и задачи с начальными условиями ( динамические задачи ), если рассматривать движение на конечном интервале времени (0,Т). В этом случае значение функции 1Т(хД), определяющей напряжённо-деформированное состояние тела и её производной по времени при г=0, определяется из начальных условий. Функция ЩхД) и е5 производная по времени при t=T определяются из того условия, что Щг»,ш) должна быть целой также ПО' параметру и ( параметр преобразования Фурье по времени ). Эти условия позволяют из общего решения выделить частное, соответствующее заданным начальным условиям.

•. Достоверность полученных результатов подтверждается: ■

1.- Сравнением решений тестовых примеров с известными решениями.

2. Сопоставлением с экспериментальными данными.

- Практическая ценность работы заключается в испол1 вании метода в решении следующих конкретных технических задач:

1. Динамический расчёт электродных систем сухих пластинчатых электрофильтров, используемых для защиты окружающей- среды от вредных промышленных выбросов в атмосферу.

-72. Прогнозирование уровней вибраций в жилых домах, расположенных вблизи линий метрополитена, и расчёт эффективности виброзащитных устройств. Результаты исследований использовались при создании Ведомственных строительных норм BCH-2II-9I, СССР, Минтранстрой, 1991.

3. Оценка искажений измерений колебаний породы, вносимых приборами и обсадной трубой, при проведении геофизических изысканий методами сейсморазведки.

Аппробация и ознакомление научной общественности с содержанием исследований по мере получения результатов было осуществлено путем сообщений на кафедре и семинарах, а также в публикациях в научных журналах и сборниках.

Отдельные-фрагменты работы докладывались на научном семинаре при кафедре "Прикладная математика" МШТа под руководством профессора А.Д. Мышкиса и на научном семинаре при кафедре "Строительная механика" МШТа под руководством профессора A.B. Александрова.

Метод решения краевых задач, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций, предложенный автором диссертации, использовался студентами механико-математического факультета МГУ в дипломных работах,-выполненных на кафедрах "Теория пластичности" и "Общих проблем управления".

Результаты исследований были долок чы на международных и всесоюзных конференциях и симпозиумах:

1. Результаты теоретического и экспериментального исследования динамики осадительного электрода электрофильтра. Доклад ( в соавторстве ) на международном симпозиуме по экологии в рамках СЭВ, Москва, 1973 г.

2. Исследование динамики и прочности коронирующих электродов промышленных электрофильтров. Доклад (в соавторстве) на Третьем

советско-американском симпозиуме "Технология очистки газов от твердых частиц", Москва, 1979 г.

3. Математическая модель процесса отрыва слоя шли от осада-тельного элемента при продольном ударе. Доклад (в соавторстве) на Четвертом советско-американском симпозиуме по технологии очистки

газов от твердых частиц и технике их измерений.", Москва, 1982 г.

4. Оценка влияния конструктивных особенностей тоннельных обделок и верхнего строения пути на уровень передающихся в грунт вибраций. Доклад на Всесоюзной конференции "Совершенствование перевозочного процесса и технических средств метрополитенов СССР", Ленинград,1981 г..

5. Быстрое преобразование Фурье в задачах с обобщенными функциями. Доклад (в соавторстве) на VII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики".. Горький, 1938 г.

6. Оценка виброзащитннх свойств тоннельных обделок с увеличенной жёсткостью. Доклад (в соавторстве) на Всесоюзной конференции "Лути и методы ускорения научно-технического прогресса метрополитенов страны", Москва, 1987 г. •

7. Динамический расчет эффективности и регенерации электродов промышленных электрофильтров. Доклад (в соавторстве) на Международном конгрессе "Экология России", Москва, 1993 г.

. 8. Оценка уровня вибраций грунтового массива вблизи линий-метрополитенов и наземных железнодорожных трасс. Доклад (в соавторстве) на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта", Москва, 1994 г.

. 9.Distortion of seismic signals on dovmhole , seismic measurements. Report. International Exposition & Sixty - Forth Annual Meeting Society of Exploration Geophyslclsta. Los Angeles. USA, 1994-. -

По теме диссертации опубликовано в отраслевых журналах и

межвузовских сборниках 25 статей. Получено также авторское свидетельство на изобретение.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трбх разделов, 10-ти глав, выводов, списка литературы, включающего 114 наименований, и содержит 205 с. текста и 46 рисунков.

ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность выбранной темы"исследований и дабтся общая характеристика работы. Приводится обзор исследований, в которых используется метод' интегральных преобразований.

Интенсивное развитие математиками (Соболев С.Л., Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Владимиров B.C. и др. ) теории обобщенных функций, особенно, после появления работ Лорана Щварца, а также распространение на обобщенные функции преобразования Фурье дало мощный ■■ толчок применению этого преобразования в различных прикладных задачах.

Применение обобщенных функций позволяет снять .многие ограничения и использовать преобразование в тех случаях, когда это бывает невозможно осуществить для функций, понимаемых в классическом смысле. В последние десятилетия была развита теория ( Зе-манян А.Г., Залманзон Л.А., Врычков Ю.А.) и других интегральных преобразований обобщенных функций - таких, как преобразование*Мел-лина, Ганкеля, Гильберта, Стильтьесса, Вейерштрасса, Харда и др.

Первым решением из области теории упругости, связанным с аппаратом интегралов Фурье, следует, по-видимому, считать исследование Файлона (1903 г.). Из работ, часто цитируемых и ставших классическими, следует - отметить "Введение ~ теорию интегралов Фурье" Б-. Титчмарша и "Преобразование Фурье" И. Снеддона. В них, кроме изложения теории интегральных преобразований, приводится приложение метода интегральных преобразований к разнообразным задачам

математической физики. Из ученых, Енесших большой вклад в развитие и внедрение методов интегрального преобразования Фурье в теорг; упругости и динамику сооружений, следует отметить В. Новацкого, В.З. Партона, П.И. Перлина.

В работах A.M. Цейтлина изложены метода решения краевых задач строительной механики с использованием аппарата интегральных преобразований с различными ядрами и теории обобщенных функций. Приводятся решения большого количества разнообразных задач, для получения которых строятся специальные интегральные преобразования.

В последнее время интенсивно развиваются прямые методы решения разностных уравнений, использующие дискретное преобразование Фурье (Г.И. Марчук, R.W. Hockney), что стало возможным в связи с появлением алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Одним из важных направлений в развитии численных методов является построение конечно-разностных схем, основанных на законах сохранения, свойственных большинству физических процессов. A.A. Дородницыным предложен метод интегральных соотношений, в котором используется разностная аппроксимация уравнений в дивергентной форме. Отметим, что при численной реализации метода, основанного на свойствах изображений Фурье финитных функций, уравнения, полученные автором диссертации, совпадают с некоторыми уравнениями дивергентной разностной схемы.

Из учёных, успешно использующих в последнее время интегральные преобразования при решении динамических задач строительной механики, можно отметить Бурчака Г.П..Золотова А.р., Лужина О.В., Мурзвского Г.Б., Иванченко И.И., Сеницкого Ю.Э. и др. Перечислить в кратком обзоре огромное количество работ, авторы которых примелют интегральные преобразования не представляется возможным.

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДЛАГАЕМОГО МЕТОДА

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ для удобства чтения работы приводится перечень определений и теорем, пока еще редко используемых механиками и неоходимых для изложения метода.

Основная для данной работы теорема - Теорема Винэра-Пэли-Швар-ца: - "Преобразование Фурье финитной функции Г(г), обращающейся в нуль при | г; | , есть целая аналитическая функция. <р переменного в = а+1т, при каждом q = 0,1,2,.., удовлетворяющая неравенству |з>(зЖсчеа|,г|4".

Подготовительная теорема Вейерштрасса обобщающая на функции п переменных свойство функций одного переменного обращаться в нуль как целые степени Ъ-а.

Теорема Котельникова-Шеннона (теорема отсчетов) о возможности представление целой функции конечной степени с интегрируемым квадратом на вещественной оси в виде равномерно сходящегося ряда через ,её дискретные значения с обоснованным шагом дискретизации.

Формулируется и доказывается теорема о граничных функциях. Пусть П - ограниченная область с границей Б и

9(П)=. х'е п - характеристическая функция О, х Ц П этой области,

тогда Щх) = Ш(х)}9(Ш - финитная функция.

Пусть С дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами в области П. Применяя оператор С к функции Щх), получим дифференциальное уравнение, записанное в обобщенных функциях:

£ и = а (ас) + 2 ^©'"(Э) £7ке<кЬ), (1)

где д(х) - в задачах механики - внешняя нагрузка; ( к )

6 (Б) - дельта-функции и их производные, сосредоточенные на

гракице области Б;

- заданные значения функции и(х) и ее производных по нормали к границе Б;

- неизвестные значения функции (1(х) и ее производных по нормали к границе Б.

Теорема. "Значения неизвестных функций и их производных на границе области Б определяются значениями изображений Фурье правой части уравнения (нагрузки) на нулевых множествах полинома, соответствующего оператору С

Доказательство.;. Применим преобразование Фурье к дифференциальному уравнению (1) по всем переменным и найдем изображение Фурье функции и(х):

(3)) +Р(2 ткос,с> СБ)) Й(у) = -:- , (2)

где V - параметр преобразования Фурье,

¡¡(т), У( 2 б!к>(Б)) и 142 (5)) - изображения Фурье

функций я (х), 2 М-ке<к> (Б) и 2 Т^'СБ).

Так как и(х). - функция финитная, то изображение Фурье, этой функции - Щг>) должно быть целой функцией. . С другой стороны знаменатель выражения (2) представляет собой полином не нулевой " степени- и, следовательно, превращается в нуль на некоторых множествах в соответствии с основной теоремой алгебры ( в одномерном случае эти множества состоят из изолированных точек ).

Числитель выражения (2) представляет собой целую функнгсч,.так как равен сумме изображений Фурье финитных функций. Поэтому для того, чтобы функция и(у) была целой, необходимо и достаточно, чтобы нулевые множества числителя содержали нулевые ■ множества. знаменателя ,то есть числитель должен превращаться в нуль на нуле-

вых множествах знаменателя : 5(V) +р(2 цке'к>(3))+Р(1; тк51к,(5)) = о, V г> е с": £(у)=о. (3)

Что и требовалось доказать.

Доказанную выше теорему в терминах, используемых в задачах механики, можно сформулировать следующим образом.

Теорема. "Если состояние механической системы описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами,' то сумма изображений Фурье всех функций, определяющих внешнее воздействие (включая граничные и начальные условия), равна нулю на нулях полинома, соответствующего этому дифференциальному уравнению".

В этой же главе показывается, что после применения преобразования Фурье к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными и переменными коэффициентами, представленным в финитных обобщённых функциях, решение сводится к операциям со сходящимися степенными рядами.

Излагается методика решения уравнений в частных производных, в которой также используются свойства изображений Фурье финитных функций и разложение изображений Фурье функций в ряд Тэйлора в-окрестности нуля. Отмечается, что коэффициенты этих разложений представляют собой моменты функций различных порядков, деленные на

. и т

факториалы: Утп= ^^ / ; и(х,Х)хтГатЖ.

-1- -т

Приводится краткое описание различных модификаций численных реализаций метода.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ обсуждаются вопросы дискретизации изображений Фурье финитных функций и функций, и* чощих финитный спектр.

Теорема Котельникова-Шеннона позволяет для финитных функций обоснованно произвести дискретизацию в области изображений.

Обычно изображения Фурье функций, . описывающих состояние

механических систем, убывают на действительных осях. Поэтому можно задавшись погрешностью урезать спектры (изображения Фурье) этих функций, т.е. получить функции с финитным спектром. Это в свою очередь даёт возможность применить теорему отсчётов к функции в области оригиналов или к самому объекту.

Квантование функций позволяет предста.влять функции через интегралы от этих функций по конечным подобластям. Например, распределенную нагрузку ц(х) можно записать в виде:

q(,x) = 2 Рк0(х-кД) + 2 ткв' (х-кА) [Н/м],

&А+Л/2 йД+Л/2

СЗк = | ц(х)бх и тк = | д(х)(х-ЬА)&г .

&Д-Д/2 кА-А/2

Такой .прием часто используется в механике при замене распределенной нагрузки д(х) сосредоточенными силами (Т.е используется только первая группа слагаемых). Таким же образом можно представлять и функции перемещений:

ША/г

и(х)=2 икб(х-кА), где ик- | и(х)Ох .

ЙД-А/2 •

•. Обсуждается вопрос правомерности такого представления функций' и определения условий, при которых такие операции не приводят к потере информации, т.е. к появлению ошибок.

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ЧЕТВЁРТОЙ ГЛАВЕ приводятся иллюстративные примеры решения-задач строительной м-эханшей, выполненные под руководством автора

диссертации студентами факультета Мосты и тоннели и доложенные на научном студенческом семинаре. И краевые задачи, и задачи Кош решены с использованием свойств изображений Фурье финитных функций. Специально для студенческого научного семинара были выпущены "Методические указания по решению задач механики с использованием •преобразования Фурье"

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ излагается метод решения задач теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций. Уравнения теории упругости, описывающие.состояние упругого тела, занимающего ограниченную выпуклую область П, на интервале времени СО.ТЗ представляются в финитных обобщённых функциях. Пусть, Ш.(х1,х2,х9)> - функции, описывающие перемещения точек тела.

Введем функции: и. (хД)=Ш. ,хг,ха)}8(£1)6(Т) ;

6(П) и в(Т) - характеристические функции области, занимаемой телом, и интервала времени [0,Т]. Таким образом, функции, описывающие перемещения точек, продолжаются нулями вне области, занимаемой телом. Используя обобщённое дифференцирование, получим: иД. . . + (Х,+и.)и. . ,-рй.= -Р. + [о. .3 соз(п-х )0 +

+А.СС11.] соз(П'Х. )8 ] . + ц[Си. ] соз(п-х.)б ] .+ •.

.1 « ' V • , J " V* в , V

+ц[[ЩЗвсоз(п-х. )ввг с -реи.

+ рси.]1=тб(1гТ)-р[й.]1жоа(г)+ршл1=тб(г-Т),

где б» - дельта- функция, сосредоточенная на поверхности тела,

Ш. Зв и Со. . - скачки функций и. и а. при переходе извне через границу области О и, так как функции и. и о вне этой области равны нулю, ги^ и Со. ^ представляют значения этих функций на границе области._ ■

Функции: - [и, 31'_о; си 11=т, , и ' ШД.^ • представляй*

соОой начальные и конечные условия, то есть перемещения и скорости точек тела при г=0 и г=Т.

Обозначив ■ правую часть уравнений через Хь получим:

ЦИЬ11+-(й.+Ц)и1>и - ри. =х.

В правых частях этих уравнений содержится вся- информация о внешнем воздействии на тело: массовая нагрузка, воздействие на границе тела, которое может быть задано в перемещениях, напряжениях, или в виде соотношений между ними, а так же и начальные условия (скорости и перемещения точек тела при t=0). Кроме того, в правых частях присутствуют неизвестные фукции: напряжения и перемещения на части границы области и конечные условия (скорости и перемещения точек тела при которые определяются в результате

решения.

Применив преобразование Фурье по всем переменным к уравнениям и решив систему алгебраических уравнений относительно неизвестных функций, получим:

. шг ]Х. +(аг-1 )Х.а>. v.

123 Vх- а

и.=- *

рс4 (г^+г^+г^-а2«2) (г^+т'+у'-и1)

. Числитель полученного выражения представляет собой целую-функцию- конечной степени четырёх переменных, так как состоит из суммы произведений изображений Фурье финитных функций на полиномы и экспоненты. Эти функции представляют собой изображения Фурье функций, описывающие массовую нагрузку-и воздействия на- .ранице тела. Среди этих функций находятся неизвестные на границе функции и конечные условия. Неизвестные функции можно определить, приравнивая числитель нулю на нулевых множествах знаменателя, так. как функции и должны быть целыми, т.е. числитель этого выражения

должен делится без остатка на знаменатель. Для обоснования возможности определения неизвестных функций перемещений и напряжений на границе упругого тела в области изображений используется Подготовительная теорема Вейерштрасса и возможность дискретизации функций.

В ШЕСТОЙ ГЛАВЕ приводятся интегральные тождества, следующие из разложений изображений Фурье решений уравнений теории упругости и механики в ряд Тэйлора. Если уравнения движения или уравнения равновесия упругогр тела записать для конечного интервала времени в финитных обобщённых функциях и применить к ним преобразование Фурье, все функции, входящие в левую и правую часть уравнения будут целыми. Разлагая левую и правую часть уравнений в окрестности нуля в ряд Тэйлора и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, можно получить тождества, часть из которых представляет собой законы равновесия и известные законы сохранения, другая часть устанавливает связь между моментам функций различных порядков. В простейшем случае для материальной точки, движущейся под действием силы F(t) на конечном интервале времени (tn,tK ), первое интегральное тождество

U

mun - muk + J F(t)dt = 0 соответствует

in

теореме о сохранении количества движения. Второе тождество связывает конечные скорости и конечные перемещения с моментом первого порядка силы по времени:

tk

тх - ш. + яш t - mv.t, + Г F(t)t dt = О

n k nrt kkJ

tn

Приводятся интегральные тождества, следующие из уравнений продольных колебаний стержней и уравнений теории упругости.

Используя разложения изображений Фурье решений уравнений

трёхмерной теории упругости в ряд Тзйлора, можно получить технические теории колебаний балок и пластин.

Как известно, в стержне со свободными от напряжений гранями в соответствии с уравнениями теории упругости плоская волна распространятся не может. Т. е., элементарная теория продольных колебаний стержня в этом смысле противоречит теории упругости. Интегральные соотношения, полученные из разложений изображений Фурье, позволяют объяснить какие возмущения распространяются вдоль стержня без искажений. Доказывается (без использования гипотезы плоских сечений!), что в стержне со свободными от напряжений боковыми поверхностями проекция главного вектора напряжений на ось стержня распространяется без дисперсии со стержневой скоростью. Стержневая скорость - Е/р=с*(\-v-2v2 )/(1-у) меньше скорости продольных волн в безграничной среде. (с1- скорость распространения продольных волн в безграничной среде, V - коэффициент Пуассона).

Интегральные тождества позволяют получать точные соотношения между интегральными 'характеристиками силовых и кинематических факторов на гранях элементов без введения гипотез на характер распределения напряжений и перемещений внутри элемента.

В СЕДЬМОЙ ГЛАВЕ свойство изображений Фурье финитных функций используются для построения конечных и граничных элементов.

Свойство изображений Фурье финитных функций быть целыми функциями позволяет найти соотношения между значениями функций на границах элементов и действующей на элемент нагрузкой. Условие равенства коэффициентов сходящихся степенных рядов, в которые раскладываются функции в области изображений, описывающую, напряжённо-деформированное состояние элемента и нагрузку и неизвестные функции на границах элемента, позволяют свести решение задач'к решению-системы алгебраических уравнений. Для элементов достаточно малых

размеров, занимающих простые по форме области: - прямоугольную, треугольную, паралеллепипед и т. д., можно получить систему уравнений* устанавливающих связь между интегралами всех силовых и кинематических параметров на границах элемента и действующей на него нагрузкой. Эти элементы можно назвать интегрально сопрягаемыми конечными элементами. Число неизвестных у этих элементов автоматически согласовывается с порядком дифференциального уравнения. При этом имеется возможность оценить порядок аппроксимации, в зависимости от размеров элемента.

Дальнейшие вычисления проводятся по схеме метода конечных элементов, в которой в качестве неизве'стных используются интегралы от функций напряжений и перемещений по границам (т.е. моменты нулевого порядка) и, если необходимо, моменты от них первого и более высоких порядков. Для областей больших размеров, используя теорему о граничных функциях, можно получить уравнения для определения дискретных значений функций на границе области. В этом случае- метод представляет собой некоторую модификацию метода граничных элементов. Возможно и построение пространственно - временных элементов. В этом случае часть получаемых уравнений совпадает с уравнениями дивергентной конечно-разностной схемы.

Приведены примеры, показывающие, что предлагаемый метод позволяет получать разрывные решения для в ¡новых задач с достаточной точностью даже при небольшом количестве элементов.'

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРАБОТАННОЙ ТЕОРИИ В РЕШЕНИИ

КОНКРЕТНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ВОСЬМОЙ ГЛАВЕ приводятся результаты, полученные при исследовании динамической работы электродных систем сухих пластин-

чатых электрофильтров. Электрофильтры являются одним из основных типов пылеулавливающих аппаратов и находят широкое применение в ■различных отраслях промышленности. Как правило, электроды представляют собой совокупность тонкостенных стержней, подвешенных сверху на несущей балке и объединенных снизу балкой встряхивания и рамные конструкции, на которые натянуты струны различной формы. Очистка электродоз от накапливаемой пыли - регенерация -производится механическим путйм.

Схема осадителыюго электрода

Схема коронирувщего электрода

РШ-

з

///

л±с

7-осадительный элемент, 7-коронирующие элемент"

2-балка встряхивания, 2-несущие элементы (трубы),

3-наковальня. 3-нэковальня..

В настоящее время как в отечественной так и в зарубежной практике преобладает ударный способ отряхивания электродных систем, так на}; пока не существует надежного вибрационного оборудования.

создающего необходимые для отряхивания шли ускорения.

При проектировании механического оборудования электрофильтров возникает необходимость расчета параметров механизма встряхизаккЯ, позволяющим достигнуть необходимого уровня ускорений с одной стороны, и обеспечить надёжность и долговечность - с другой.

Для определения изменения во времени контактной силы при ударе решается интегральное уравнение с учётом нелюйнаой (по закону Герца) зависимости силы от деформвции. Представлено дез решения этого нелинейного уравнения. В первом решении применяется преобразование Фурье к предварительно линеаризованному 'интегральному уравнению. (Линеаризация уравнения проводится из условия минимизации максимального отклонения линеаризованной зависимости от исходной в метрике пространства Я^). Для определения контактной силы и её спектральной плотности получены явные выражения. (Заметим, что стандартный способ линеаризация по методу равенства энергий деформаций но позволяет получить непосредственно аналитическое' решение).

График изменения контактной силы.

Р»104 В т - 5 кг, V = 3,13 м/с

Во втором решении применятся метод последовательних

приближений с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. Решение сводится к выполнению .прямого и обратного преобразования Фурье финитной функции на каждом шаге итерации. За семь итераций из нулевого начального приближения получено решение с относительной погрешностью $=1СГ5, хорошо согласующееся с экспери-

»

ментом.

В результате экспериментально-теоретических исследований установлено, что максимум ускорений реализуется, как правило, при первом прохождении волны возмущения. Поэтому для определения параметров распространяющихся возмущений применён способ разложения изображений Фурье по бегущим волнам, который использовался Бром-вичем ешё в 1916 году для изображений Лапласа.

Определение перемещений в механических системах, состоящих из стершей и балок, при кратковременных воздействиях путем разложения го формам собственных колебаний приводит к медленно сходящимся рядам. Нахождение ускорений таким способом без введения демпфирующих множителей, гасящих высшие гармоники, практически не представляется возможным.

Для описания преломления и отражения волн в узлах используется матрица рассеяния волн, коэффициенты которой определяют комплекснне амплитуды отражённых и преломлённых волн в зависимости от комплексных амплитуд падающих волн. Применение матрицы рассеяния волн и разложений по бегущим волнам позволяет получить ускорение в любом сечении электрода в виде сумма конечного, числа функций, каждая из которых представляет собой начальное возмущение, смещенное во времени и умноженное ^ некоторый коэффициент, именно ' этот способ по предложению автора настоящей работы используется• для определения ускорений в элементах электродов в программах, разработан:;:;?. г, МЖГс. Ниже приведены примеры расчётов. ■

Расчётное распределение уровня ускорений по коронирующе/лу электроду ратой кострукции

• Распределение ударного илпулъса между осадтелъньит элементам

\ \ < \ 1 / 1 - расчёт, (т = 5 кг) 2 - эксперимент.

2 1— — -с ,

__//

' 1 3 5-7 9 п

Анализ характера распределения ускорений позволил группе авторов (проф.Мещерякову В.Б., ст.н.сотр. Молчанову В.Н. и автору настоящей работы) разработать-более эффективную конструкцию с принципиально новой системой встряхивания. Фильтр такой конструкции установлен на Красноярском алюминиевом заводе и эффективно и надёжно работает уже несколько лет.

По разработанной в МИИТе, с участием автора, методике много-

кратно проводились серийные расчёты эффективности работы электрофильтров и давались рекомендации по проектированию к модернизации оборудования. Получено авторское свидетельство об изобретении.

В ДЕВЯТОЙ ГЛАВЕ излагаются исследования, посвящёшше проблеме защиты от вибраций зданий,-расположенных вблизи линии метрополитена. В процессе проектирования метрополитенов мелкого заложения возникает задача в определении уровней вибраций в жилых домах, расположен: х вблизи линий метро, так как вибрации, создаваемые подвижным составом, и передающиеся в здания, могут превышать допустимый уровень. Из исследователей, внесших существенный вклад в решение Злемы защиты жилых зданий от ЕиОраций, возникающих при движении поездов метрополитенов, следует отметить Дашевского К.А, Ильичева В.А, Курнавина С.А , Полякова В.С, Соловьёва B.C. и др. Обзор зарубежного опыта с большим количеством ссылок на работы в этой области зарубежных исследователей приводится в работа Дормана К.Я.

В настоящее время при решении вопросов защиты жилых застроек от вибраций, возникающих при движении поездов метрополитенов,' используются Нормы "Прогнозирование .уровней вибраций в жилых домах, расположенных вблизи линий метрополитенов, и проектирование виброзадитных мероприятий" - BCH-2II-9I. Основные положения Норм разработаны Всесоюзным научно-исследовательским институтом транспортного строительства (ЦНИИС). В разработке норм принимали участие сотрудники научно-исследовательских институтов: НШОСП, ПЩИСК, ВШИТ, Метрогипротранс, МИИТ. От >.Л1Та в разработке .Норм принимал участие автор диссертации.

Для оценки влияния конструктивных - особенностей тоннельных обделок метрополитенов и верхнего строения пути на ~ уровень

передающихся в грунт вибраций автором диссертации предложены модели, состоящие из двух, а при наличии в тоннеле виброзашитных плит, - из трёхслойных балок на упругом основании.

Поперечное сечение конструкции с виброзащитной плитой и расчётная схела

Трехслойная балка. Р (t) = Р„ е1ь)о t s (x-vt)

V

рельсу

^ ii ч i; >; Ч S S

й £ •i й й й i

балка- тоннель

' Свойства упругих прослоек зависят от упругих и вязких свойств, рельсовых креплений,- шпал, прокладок между плитам! и тоннельной обделкой. Колебания такой системы балок описываются системой трех уравнений в частных производных.

Колебания трёхслойных балок и трёхслойных плит с использованием разложения по собственным формам колебаний ранее исследовались Лужиным О.В. и другими авторами.

В настоящей работе рассматривается движение гармонической сосредоточенной силы ) по трёхслойной или двухслойной

бесконечной балке на упруго-вязком основании. Для решения используется преобразование Фурье по двум переменным.

Для оценки эффективности плит и определения степ ш влияния различных параметров конструкции в^хнего строения пути и тоннельной обяслки па уровень колебаний, передающихся в грунт, предложено использовать бсзрозкоршй коэффициент передачи силы с рельса на

грунт. Коэффициент передачи ^авен отношению амплитуды сила, дейст-вуюшей на рельс, к интегральной силе, передающейся на грунт с тонко льной обделки. Для определения интегральной силы давления йСи тоннельной обделки на грунт выполняется обратное преобразование Фурье функции перемещения тоннельной обделки Уо(у,и) по переменной у, которое можно найти в явном виде, так*как множителем числителя этой функции является дельта-функция.' Параметр преобразования

Фурье по пространственной координате V полагается равным нулю.

+00

Действительно, Д(4) = Ка $ ио(х,г)Ы = Ка ?о(0,П ,

-со

Коэффициент передачи силы является функцией частоты возмущающей лы и всех параметров, характеризующих инерционные, упругие и вязкие свойства конструкции верхнего и нижнего строения пути, тоетельной обделки и грунта. Ниже приведен пример оценки эффективности плит, расположенных на упругих прокладках между рельсами и лотковой частью тоннельной обделки.

Влияние погонной лпссы вийроизолирухщих плит на уровень передающихся в грунт виараций

Погонная масса обделки : 12000 кг/ж, коэффициент упругого ' отпора грунта : 12-107 НЛв2, коэффициент, характеризующий упругие свойства прокладок под плитам ; 2-107 И/мг.

Погонная масса плиты.:

1 - 300 кг/л,

2 - 1200 кг/я,

3 ~ 6000 кг/м, 700 120 f.(Гц)

В соответствии с Нормами "Прогнозирование уровней вибраций, в жилых домах, расположенных вблизи линий метрополитенов, и проектирование виброзащитных мероприятий" при проектировании линий метрополитенов в городах обязательно расчитываются ожидаемые уровни вибраций в домах, если фундаменты зданий расположены ближе 40 метров от тоннельной обделки. Для проведения подобного рода расчетов и оценки эффективности экранов разработан программный комплекс, з котором используются интегрально сопрягаемые конечные элементы.

Зависимости коэффициентов передачи колебаний на поверхность грунта от расстояния во оси тоннельной обделка

А/А о

О 2

"7 :

/ I / 1 / 1 / 1 31,5 Гц

- \ А

г 50 Гц

^ Х-1 1

10

20

30

4 О/Л

вилрозюныа экран и бсз экраж1! М/ из пенопласта 2- с экраном.

о.4л а,

-14м

Характеристики грунта: скорость продольных волн - 900 л/с, скорость поперечных волн - 400 м/с, плотность - 2000 кг/л

I ДЕСЯТОЙ ГЛАВЕ излагается решения некоторых задач сейсморазведки. В сейсморазведке возбуждаемые искуственным путём волны, отражаясь от различных слоёв породы, несут в себе информацию о находящихся под землёй залежах полезных ископаемых. Отраженные волны записываются высокочувствительными приборами сейсмоприбмни-никами. Волны напряжений, записываемые сейсмоприёмниками при проведении сейсморазведки, характеризуются очень малыми скоростями смещений частиц грунта (часто не превосходящими 10~а м/с). Наличие скважины грунте и самого прибора обязательно приводит к искажению волнового поля вблизи прибора. Все искажения, связанные с механическим взаимодействием прибора и среда, можно разделить на три группы.

Первая груша искажений - это искажения, которые вносит сам прибор как инородное тело в упругой среде. Для определения неискажённого сигнала необходимо уметь оценивать влияние распределения массы прибора на волновое поле, полагая прибор впаенным в породу, в которой распространяются продольные и поперечные упругие волны.

Другая группа искажений, которую также невозможно избежать, это искажение волнового поля, которое вносят отражённые от скважи-' ны волны. Отражённые от скважины волны в различной мере присутствуют в любом случае независимо от того, есть ли в скважине обсадная труба и цементная оболочка вокруг неб (цементаж).

Следующая группа искажений сигнала связана с колебаниями прибора относительно стенок скважины. Эти искажения можно, го всей видимости, уменьшить выбором более рациональной конструкции крепления прибора к стенкам скважины. Во всех случаях искажения можно уменьшить на этапе обработки сигналов.

Для оценки искажений измерений первой группы решена задача колебания абсолютно твёрдого тела в упругой среде при падении на не-

го плоских продольных и поперечных волн. Для определения главного вектора и главного момента реакции среды от движения прибора использовались разложения изображений Фурье напряжений в ряд Тэйлора. Определялись комплексные амплитуды премещений центра масс и углов поворота тела при падении на него плоской, гармонической волны. Если начало координат расположить в центра масс прибора и принять амплитуду падающей волны равной единице, а фазу в начале координат - равной нулю, то амплитуда колебании прибора будет определять амплитудные искажения, а фаза - фазовые.

Для оценки искажений при измерениях, вносимых колонной (обедней трубой), решена задача о колебаниях балки Тимошенко в слоистой упругой среде при распространении в слоях гармонических волн. Дифференциальные уравнения, для каждого элемента балки, на которое расчленяется обсадная труба, записываются в обобщённых финитных функциях. Для получения алгебраических уравнений, устанавливающих связь между значениями перемещений, углов поворота сечений, момен--тами и поперечными силами на границах элементов и параметрами падающей волны используется теорема о граничныл. функциях. Разработан программный комплекс "Коррекция измерений", позво. .ющий выполнять в диалоговом режиме на персональном компьютере следующие операции.

1. Определять параметры колебаний сечений обсадной колонны практически любой длины, находящейся в различных по своим характеристикам слоях грунта, при падении плоских продольных и пенеречных волн.;

2. Определять в любом диапазоне частот амплитуду и фазу колебаний любого сечэния колонны с учётом отсутствия на некоторых участках контакта колонны с грунтом, в зависимости от стоты падающих волн.

3. Определять искажения амплитуды и фазы измеренного сигнала.

вносише обсадной трубой и ^висящие от массы и изгибной жесткости колонны, цементного кольца и массы прибора, находящегося внутри скважины.

4. Анализировать распространение изгибных волн в колоше, возникающих от взрывов внутри . скважины и от других источников возмущений.

5. Учитывать искажения измеряемых сигналов, возникающих вследствии колебаний приборов относительно обсадной трубы, для различных талов крепления приборов.

Для коррекции изображения Фурье измеренных сигналов умножаются на комплексные корректирующие функции. Для определения корректирующих функций необходимо определить расчётным путём амплитудные и фазовые искажения измеряемых величин (в сейсморазведке обычно измеряются скорости). Ниже приводится пример расчёта.

Влияние на результаты измерений отсутствия контакта обсадной трубы с породой (искажения амплитуды)

члши участков без контакта обсадной трубы с породой: bit - правая 1; Зм - кривая 2; 5м - кривая 3.

Исгользуя свойства изображений Фурье финитных функций, можно определить фазовые скорости волн в пластах слоистой среды, зная значения комплексных амплитуд скоростей перемещений в трёх точках, по формуле:

(ОД

7 -- .

агссоэ ((^ + иэ)/(2Лг))

Полученная формула совпадает с формулой, ранее полученной геофизиками, с использованием конечно-разностной схемы.

В этой же главе излагается приложение метода к решения задач распространения продольных и поперечных волн в слоистой среде при малых углах падения пластов. Виду того, что приёмник аходится на расстояниях, иссчисляемых сотнями и даже тысячами метров от источника возмущения, решается плоская задача теории упругости.

Дифференциальные уравнения теории упругости записываются в финитных по глубине обобщённых функциях для каждого слоя. При такой записи в правых частях уравнений появляются дельта функции,1 сосредоточенные на границах, умноженные на направляющие косинусы нормали к границам и на функции напряжений и перемещения на верхней и нижней границах слоя (всего восемь функций). Теорема о граничных функциях позволяет установить необходимое для их определения число соотношений. Для верхней границы самого верхнего слоя (дневной поверхности) две из четырёх функций известны. Нижняя граница самого нижнего слоя принимается горизонтальной и на аей задаются соотношения между напряжениями и перемещениями, соответствующие условиям излучения для продольных и поперечных волн.

Дискретизация по частоте. Шаг дискретизации по частоте зависит от продолжительности действия возмущения и времени наблюдения и может зить определен из шраайния: йи £ Время наблюдения

-Г при сейсмических асследоьякклх имеет порядок нескольких секунд.

Дискретизация по пространственным частотам. Необходимость в дискретизации в области изображений по вертикальной координате не не возникает, так как неизвестные функции зависят только от горизонтальных координат. Так как дискретизация изображения Фурье приводит к периодическому продолжению оригинала, шаг дискретизации выбирается таким образом, 'чтобы не возникло наложения распространяющейся волны и её периодического продолжения. Учитывая конечность скорости распространения возмущений в упругой среде и ограниченность времени наблюдения, всегда можно оценить размеры области, на которую за известный момент времени распространилось возмущение. Все функции, описывающие напряжённо-деформированное состояние этой области, можно представить финитными, полагая их равными нулю вне области. Таким образом, изображения Фурье функции на границах могаю дискретизировать, используя теорему Котель-никова, или разлагать в ряд Тэйлора. В разработанной к настоящему времени программе используется разложение в ряд Тэйлора с удержанием перЕых двух членов ряда. При таком подходе программа работает только при малых углах наклона пластов, информация о поверхностных волнах Рэлея полностью теряется. Заметим, что в сейсморазведке при ' обработке записей поверхностные волны ослабляют путём фильтрации, так как ни являются помехами для отражённых с больших глубин волн. Ниже приводится расчётная сейсмограмма, для пласта перемен-юй мощности. Ча поверхности Еерхнего слоя с мощностью 500л задавалось возмущение озэ= а^е'40* э1п801. Ниже слоя с шгориэонивльной границей расположен полубесконечный слой. Времена прихода и характер отражённых волн соответствуют реальности. (Для получения -нормированных волн, более чётко выделяющих границы-слобв, изображения Фурье отраженных волн были разделены на изображения Фурье ролл падающих). .' -

Расчётная сейглогралт. Охранение продольных волн от слоя переданной мощности Норлтированные волны

глубине свойствами. Оценивается возможность контроля изменений свойств продуктивных пластов после создания в них гидроразривов по параметрам стражених волн. (Гидроразрывы - искусственное создание в продуктивных пластах давления, значительно превышающего горнее, для увеличения их производительности).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан метод решения задач строительной механики и корни упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций. С точки зрения теории обобщённых функций доказанная теорема о граничных функциях представляет собой довольно прозрачное утверждение, однако оно не находило регулярного применения в механике. Исключение, составляют отдельные одномерные задачи теории управления, контактные задачи теории упругости и идейно близкая процедура метода Винера-Хопфа.

1.1. Метод позволяет обосновано производить дискретизацию как исследуемых объектов, так и изображений Фурье функций, описывающих их состояние . динамическое поведение.

1.2. Метод допускает эффективное использование быстрых стандартных алгоритмов обработки информации, в частности ^Т.

'.3. Интегральные тождества, полученные при разложении изображений Фурье финитных функций в ряд Тэйлора, позволяют строить граничные и интегрально сопрягаемые конечные элементы, а так же и дивергентные конечно-разностные схемы, основанные на законах сохранения.

1.4. Для обширного класса задач при их численной реализации предложенный метод позволяет упростить процедуру получения разрешающей системы уравнений и уменьшить время счбта. Физически это объясняется более адекватнш учетом "сглаживающих" свойств базисных элементов при определении передачи' .отклика на динамическую нагрузку. Число неизвестных автоматически согласуется с порядком системы дифференциалных уравнений, относительная погрешность одинакова для напряжений и перемещений. В результате• матрица тлеет большую ширину ленты в сравнении с методом конечного элемента, но меньшее число элементов." ,

2.Метод успешно использовался при решении ряда задач в различных областях техники. Единый подход применялся к объектам различной размерности (одномерным, плоским), жёстким и деформируемым телам, стационарным и нестационарным режимам нагружения.

2.1.Разработаны алгоритмы для динамического расчёта механического оборудования электрофильтров, используемых для защиты окружающей среды от вредных выбросов.

2.2.Решены задачи о передаче вибраций в сооружения, находящиеся вблизи линий метрополитенов мелкого заложения.

2.3.Решена серия задач, позволяющих оценивать искажения, вносимые приборами в сейсмические записи, и осуществлять коррекцию экспериментальных данных в процессе их обработки.

. 3.Результаты исследований использованы рядом научных и проектных организаций, о чём имеются соответствующие отзывы.

Основные положения диссертации отражены в следующих работах:

1. К вопросу об интерполяции целых функций п переменных при решении краевых задач механики, Деп. в ВИНИТИ 13.04.87, Л 3267 -В87. ■

2. Методические указания по решению задач механики с использованием преобразования Фурье. - М.: Тип.МИИТ, 1979.-44 с.

3. Реализация дискретного преобразования Фурье при решении краевых задач теории упругости. Деп. в ВИНИТИ 13.04.87, Ж3267-В87

4. Реализация дискретного преобразования Фурье при решении краевых задач механики. Расчёты на прочность и жёсткость:

Ме«вузовский сборник. - М. Мосстанкин, 1990.- 184 с.

5. Численный метод решения волновых задач, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций.--. М. 1991.- 16с. Деп. ВИНИТИ, 03.12.1991, 4487 - B9I.(Соавтор КойлыОаева З.К.)

6. Метод расчета строительных конструкций с использованием дискретного преобразования Фурье. В кн.: "Конструкции жилых зданий." М.: ЦНИИЭП жилища, 1937.

7. Расчет уровней колебаний обделок тоннелей и метрополитенов. Деп. в ВНИИС Госстроя СССР, М.,1989. ( Соавтор КуркаЕИН С.А.)

8. Быстроэ преобразование Фурье в задачах с обобщенными функциями. Тезисы до1Слэдоб на VII Всесоюзной конференцш "Проблемы теоретической кибернетики" Горький. 1988.

( Соавтор Рябых Б.М. )

9. Численный метод решения краевых задач, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций. Межвузовский сб. науч. тр., М.: Ш1Т, 1989, - Вып. 817, С.92.

10. Распространение волн напряжений в элементах металлических мостов. - Тр. МИИТа, 1971, вып.389, с. 129-138.

11. доследование динамики и прочности коронирукхцих электродов промышленных электрофильтров. - I.!.: ЦИНТИхимнефтемаш, 1979, III сов.-амер. симпозиум "Технология очистки газов от твердых частиц" - с.6. ( Соавторы: Мещеряков В.Б..Рудомэтов E.H. )

12. Оценка влияния конструктивных особенностей тоннельных обделок и верхнего строения пути на уровень передающихся в грунт вибраций. 'Доклад на Всесоюзной конференции "Совершенствование перевозочного процесса и технических средств метрополитенов СССР", Ленинград, 1981 г.

.13. Математическая модель процесса . отрыва. слоя,- пыли от ■ осадителького .'^элемента,' ,.«при. продольном.-ударе.; Доклад ".на

Четвертом советско - американское симпозиуме по технолог™ очистки газов от твердых частиц и технике их измерений.", Москва, 1982.г. ( Соавтор Мещеряков В.Б. ).

14. Распространение продольных волн по стержню с присоединенными сосредоточенными массами. - Вопросы механики на транспорте и в строительстве. Тр МШТа, 1975, вып. 476, с. I38-I4I.

15. Динамическая модель пути переменной жбсткости и его расчбт под воздействием вертикальных сил. Вестник ВНЮТТ.. 1988. Ж с. 52-54. (Соавторы: Клинов С.П., Бондаренко А.И., Захаров Д.Д.)

16. Оценка подвижной нагрузки на предпортальные участки пути. Метрострой. 1987. JS6 с.19-21. ( Соавторы: Архипов A.C.,

. Клинов С.И. ).

17. Оценка вяорозащитных свойств тоннельных обделок с увеличенной жбсткостыо. Доклад на Всесоюзной конференции "Пути и методы ускорения научно - технического прогресса метрополитенов страны", Москва, 1987 г. ( Соавтор Курыавнн С.А. ).

18. Оценка эффективности виброзащитных устройств в же'лезнодо -рожпых тоннелях. Межвузовский сб.,МШТ, вып.720, с.

19. Рассеяние плоских продольных и поперечных гармонических волн на абсолютно твердом теле, впаянном в упругое пространство. Доклад на юбилейной конференции МИИТа, 1993.

20. Оценка уровня вибраций грунтового массива вблизи линий метрополитенов и наземных железнодорожных трасс. Доклад на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта", Москва, 1994, ( Соавтор Курнавин С.А. ).

21. Динамичеасий расчет эффективности и регенерации электродов промышленных электрофильтров. Доклад иа Международном

конгрессе "Экология ^оссии". Москва, 1993. ( Соавторы: Мещеряков В.Б..Молчанов В.Н. ).

22. Определение контактной силы при интенсивном поперечном ударе по бесконечной балке.- Известия ВНИИГа им. Б.Е. Веденеева. Сб. научн. тр., 1986.191, с. I07-III. ( Соавтор' Ваксман С.М. ).• *

23. Измерение динамических напряжений в коронирующих электродах рамной конструкции. - В НТРС: Пром. и сан. очистка газов. М.: ЦИНТИхкмнефтемаш , 1980, N 3, с. 4-5. ( Соавторы: Мещеряков В.Б., Рудометов E.H. ).

24. Kurbatsky1 Eugene П., Shakirov Rustam A., Shevcheriko Alexel A.,Nlkitenko VacLim G.: Distortion oí seismic signals on dovmhole seismic measurements. Report. International Exposition & Sixty - Forth Annual Meeting Society oí Exploration Gt.ophyslcists. los Angeles, 1994.

25. Динамика электродных систем сухих пластинчатых электрофильт -ров. Обзорная информация. - М.: ЦИНТИхимнефтемаш, 1988, с. 24. ( Соавторы: Мещеряков В.Б.,Завьялов А.И. ).

26. Приближенное определение контактной силы при ударе сосредо- • точенной массы по стержневой чсистеме. Труда МИИТ - 1979, Вып. 643. - С. 21-25. ( Соавтор Мещеряков В.Б. ).

27. BCH-21I-9I "Прогнозирование уровней вибраций в жилых домах, расположенных вблизи линий метрополитенов, и проектирование виброзащитшх мероприятий". СССР, Минтранстрой, 1991г. (участие в разработке).

Изобретение:

Мещеряков В.Б., Курбацкий E.H., Гузаев В.А. Встряхивающее' устройство электрофильтра.- A.c. 1079296. (СССР),1993 г.

КУРБАЦКИЙ ЕВГЕНИЙ НИКОЛАЕВИЧ

Му-_

МЕТОД РШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ И ТЕОР№' УПРУГОСТИ, ОСНОВАННЫЙ НА СВОЙСТВАХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФУРЬЕ ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ Специальность 05.23.17 "Строительная механика"

Сдано, в набор ОЗ. 0$,95, Подписано к печати 03,05.95,

Формат бумаги ^Л^^^Объбм Заказ 574, Тираж 100

Типография МИИТа, Москва, ул. Образцова 15.