автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Интегральные преобразования, связанные с финитными функциями, в спектральном анализе моделей сигналов

На правах рукописи

Риков Евгений Александрович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ФИНИТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ, В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ МОДЕЛЕЙ СИГНАЛОВ

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2006

Работа выполнена на кафедре механики и теории управления государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет.

Научный руководитель: доктор физикр-математических наук,

профессор Леонтьев Виктор Леонтьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Журавлев Виктор Михайлович

доктор технических наук, профессор Крашенинников Виктор Ростиславович

Ведущая организация: Мордовский государственный университет

им. Н.П. Огарева

Защита диссертации состоится «13» декабря 2006 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском

государственном университете по адресу: г. Ульяновск, Университетская набережная, 1, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, УНИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан « Л » 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ряды и интегралы Фурье - классические средства спектрального анализа (см. Г.М. Фихтенгольц'), позволяющие выделять присутствующие в математической модели сигнала гармоники и отдельные всплески. Они имеют существенный недостаток (см. И. Добеши2) - сложность алгоритмов извлечения информации о наличии в математической модели сигнала высокочастотных пульсаций с коротким сроком их действия, то есть информации о детальной структуре сигнала. Анализ Фурье в случае, когда в сигнале возникают (или исчезают) некоторые гармонические составляющие или частота плавно изменяется с течением времени, также дает неудовлетворительные результаты (см. A. Abatte3). Вейвлет-анализ (см. И. Добеши2, A.A. Короновский4) спектра сигналов не имеет этих недостатков и является важнейшим средством спектрального анализа. Развитие этого направления - создание новых средств спектрального анализа, не имеющих подобно интегральным вейвлет-преобразованиям указанных недостатков анализа Фурье и отличающихся от вейвлет-преобразования более простыми алгоритмами реализации, является актуальной задачей.

В работах В.Л. Леонтьева5,6 предлагаются сеточные ортогональные базисные функции с конечными носителями (ОФФ), которые имеют более простую по сравнению с вейвлетами структуру и являются основой для построения интегральных преобразований более эффективных по сравнению с вейвлет-преобразованиями в спектральном анализе моделей сигналов.

Цель работы. Целью диссертационной работы является получение интегральных преобразований, основанных на использовании ортогональных финитных функций, предложенных в работах В.Л. Леонтьева5'', и В -сплайнов,

1 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и ит-ея-рапьного исчисления. — М.: Наука, 1970, т. 3. — 656 с.

2 Добеши И. Десять лекций по вейалетам. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 464 с.

3 Agostino Abatte, Casimer M. DeCusatis, Pankaj K. Das Wavelets and subbands. Fundamentals and applications. 2001. -551 p.

4 Короновский A.A., Храмов A.E. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -176 с.

'Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. — Ульяновск: УлГУ, 2003. - 178 с.

6 Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, т. 9, в. 3. - с. 497-504.

3

исследование их эффективности в спектральном анализе математических моделей сигналов.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных вещественных финитных функций (ортогональных финитных функций и В-сплайнов) различных степеней;

- построение комплексных финитных функций на основе вещественных финитных функций;

- создание с помощью комплексных финитных функций систем сеточных комплексных ортогональных финитных функций (КОФФ), исследование их ортогональности и аппроксимирующих свойств;

- модслирование.сигналов с помощью ортогональных финитных функций;

- получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных комплексных ортогональных финитных функций и разработка связанных с ними алгоритмов численных методов спектрального анализа сигналов;

- создание на базе полученных в работе теоретических результатов программы Transform реализации численных методов спектрального анализа сигналов;

- исследование эффективности численных алгоритмов, определяемых новыми интегральными преобразованиями, полученными на основе использования комплексных и действительных финитных функций, в спектральном анализе тестовых математических моделей сигналов и при исследовании моделей реальных сигналов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического анализа, функционального анализа, теории аппроксимации, математического моделирования, линейной алгебры, вычислительной математики. Для программной реализации численных методов спектрального анализа сигналов использован язык программирования Object Pascal и среда разработки программ Delphi 6.0.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгостью формулировок теоретических положений и их математических доказательств, а также проверкой адекватности полученных теоретических результатов на основе численных расчетов. Достоверность подтверждается сравнением результатов численных расчетов с аналогичными результатами, полученными в работах других авторов.

Научная новизна. В результате выполненной научной работы:

- получены сеточные комплексные финитные функции, основанные па вещественных финитных функциях, исследованы их ортогональность и аппроксимирующие свойства;

- разработана методика математического моделирования сигналов с помощью ОФФ и КОФФ;

- построены на основе комплексных и действительных финитных функций прямые и обратные интегральные преобразования, которые по структуре и способам получения отличаются от комплексных и действительных прямых и обратных интегральных вейвлет-преобразовапий;

- изучены основные свойства полученных интегральных преобразований, которые подобны аналогичным свойствам интегральных вейвлет-преобразований;

- показана более высокая эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральными вейвлет-преобразованиями.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее практическая ценность определяется тем, что полученные теоретические результаты могут быть использованы в построении математических моделей сигналов различного физического происхождения и в их спектральном анализе.

На защиту выносятся:

- построение сеточных комплексных финитных функций, основанных на вещественных финитных функциях, исследование ортогональности и аппроксимирующих свойств КОФФ;

- создание методики математического моделирования сигналов, основанной на использовании ОФФ и КОФФ;

- разработка и исследование интегральных преобразований, связанных с комплексными и действительными финитными функциями;

- программа ТгапэГопп компьютерной реализации численных методов спектрального анализа сигналов, основанных на полученных в работе теоретических результатах;

- исследование эффективности новых численных методов спектрального анализа сигналов при решении тестовых задач, подтверждающее достоверность созданных в диссертации теоретических основ и показывающее более высокую эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральным преобразованием Фурье и интегральными вейвлет-преобразованиями;

- исследование эффективности полученных интегральных преобразований в спектральном анализе реальных метеорологических сигналов, заданных в цифровой форме.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи, 2005 г.);

- Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2005 г.);

- Шестой Международной конференции «Математическое моделирование физических, технических, экономических социальных систем и процессов» (Ульяновск: УлГУ, 2005 г.);

- Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Кисловодск, 2006 г.);

- VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2006 г.);

- Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2006 г.), а также на научных семинарах Ульяновского государственного университета и Ульяновского государственного технического университета.

Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем, д.ф-м.н., профессором В.Л. Леонтьевым. Построение комплексных ортогональных финитных функций различных порядков на основе действительных ортогональных финитных функций, исследование их свойств, доказательства теорем, разработка программы Transform, проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (3 работы в журналах из списка ВАК). Список опубликованных работ помещен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов, списка литературы из 94 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации составляет 162 страницы (основной текст - 110 страниц). Работа содержит 166 рисунков, 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация формул, рисунков и таблиц в автореферате совпадает с нумерацией формул, рисунков и таблиц в диссертации.

Введение содержит . обоснование актуальности темы диссертации. Определяются цель, методы исследования, научная новизна, практическая и теоретическая значимость и структура диссертационной работы.

В главе 1 содержится аналитический обзор работ в исследуемой области.

В главе 2, состоящей из четырех параграфов, проводится построение комплексных сеточных ортогональных финитных функций на основе действительных ортогональных финитных функций, предложенных В.Л. Леонтьевым5,6, строятся интегральные прямые и обратные преобразования,

7

•л

связанные с КОФФ, ОФФ и В-сплайнами различных степеней, исследуются их свойства. Переход в диссертационной работе от ОФФ- к КОФФ-преобразованиям вызван установленной необходимостью повышения качества спектрального анализа, которое было достигнуто созданием комплексных ортогональных финитных функций и соответствующих интегральных преобразований.

В параграфе 2.1 содержится вывод формул прямого и обратного интегральных преобразований, основанных на использовании ОФФ первого порядка (см. В.Л. Леонтьев5), которые в результате их сдвига и растяжения дают на сетке А=1! </2 <...</„ =В систему сеточных ортогональных финитных функций ОФФ:

(■Л + 1)(г-*у.)/Л„ + 1,/е [/,._, +

(72+1,/+ Ал/2], (/;„ = /у+1 = со,ш{])\ (2.1)

(л/2 +1)(/у+1 +Л/2,Г;Ч1],

о.

после нормировки имеющих вид:

=<*>,/%/Ап. (2.2)

Аппроксимация функции /(г)еА2([ЛВ]) функциями у/,-, последовательность наборов которых на сгущающихся сетках образует систему базисных функций в функциональном пространстве Ь2([Л,В]} квадратично суммируемых функций (см.

В.Л. Леонтьев5), имеет вид

в

(2-3)

j=^ л

В параграфе 2.1 доказана следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть /(/) е - финитная функция первого порядка,

порождающая после сдвига и растяжения сеточные ОФФ (ру и после их нормировки - функции у/у последовательность наборов которых на сгущающихся сетках образует систел1у базисных функций в Ь2 ([Л, й]). Тогда

II В*2а В

а А А

где Н=В — А .

В (2.4) присутствуют ОФФ, построенные на всех сетках и образующие полную в ¿2 ([Л,в]) систему функций. Соотношение (2.4) является обратным ОФФ-преобразованием, восстанавливающим функцию /(/) на [Л,б],.а внутренний интеграл

в

Л

- соответствующим прямым интегральным ОФФ-преобразованием. Формула, полученная в ходе доказательства теоремы 2.1,

где //=/?]>... > Ьк (К - число сеток); /г„е(0,#]; [////¡„] - целая часть дроби, определяет обратное дискретное ОФФ-преобразование. Получено следующее следствие.

Следствие 2.1. Пусть /(/)еЬ2[А,В], - финитная функция первого порядка,

порождающая с помощью сдвига и растяжения сеточные функции (2.1) и после их нормировки — сеточные ОФФ у/. (2.2), последовательность наборов которых на сгущающихся сетках образует систему базисных функций в ЛД[Л,В]). Если А —> —оо, В —» оо (Н = (В — А)со), то имеет место формула:

СО 00 -ОС

'О = 1/Д^^}^- (2.16)

а -оо —оо

Соотношение (2.16) является обратным преобразованием, восстанавливающим функцию /(/) на интервале (-оо.оо), а внутренний интеграл

-со

- соответствующим прямым интегральным ОФФ-преобразованием.

В пункте 2.1.1 исследуются свойства интегрального ОФФ-преобразования функции , которые, как показывается, аналогичны соответствующим свойствам интегральных вейвлет-преобразований. Линейность:

Гоу, [а/, (г) + /3/2 (/)] = аГа,г [/ ] + ргОРР [/2] = = ^игр.г, М) + Р^ОРГ,^ (а.Ь) Ча,р е К. Инвариантность относительно сдвига: Рогр [/(' - Ь0)] = РОРГ/ (а,Ь + Ь0)\/Ь0еШ. Из этого свойства следует коммутативность дифференцирования, в частности, [/] = Гогр[М, где д,=д/д1. Инвариантность относительно растяжения (сжатия):

^«-[/('/«о)] = ао/70№,/(й/ао-г,/ао) е«о >0-

Наличие частотно-временного окна (масштабно-временная локализация). ОФФ-преобразование обладает адаптивным частотно-временным окном, узким на больших частотах и широким на малых, то есть обладает важнейшим свойством интегрального вейвлет-прсобразования, отличающим его от интегрального преобразования Фурье. Дифференцирование: 00

= ("О' ]7/еН.

-00

В параграфе 2.2 содержится вывод формул прямого и обратного интегральных преобразований, основанных на использовании ОФФ 2-го и более высоких порядков

(ОФФ("°, т> 2). Также в данном параграфе рассматриваются свойства ОФФ^-преобразований, которые аналогичны соответствующим свойствам интегральных ОФФ-преобразований.

В параграфе 2.3 проводится построение комплексных финитных функций порядка т, основанное на домножении вещественных финитных функций (р^ порядка т (см. В.Л. Леонтьев5) на ехр(2лк):

где i - мнимая единица. В результате сдвига и растяжения ф^ дают сеточные' функции:

<р\ ' — (рх '

В данном параграфе также доказывается, что после нормировки образуют

систему нормированных комплексных ортогональных финитных функций (КОФФ) ¡^И}, и исследуются их аппроксимирующие свойства. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.3. Функция ф^ (/) порождает в результате ее сдвига и масштабирования систему сеточных ортогональных комплексных финитных функций порядка т, которые после нормировки имеют вид:

/г» ^

^' 11 а^ла^ают свойством =

\л

Теорема 2.4. Пусть - система нормированных КОФФ^т\ порождаемая

процедурой сдвига, масштабирования и нормировки финитной функции (<). Функции обладают аппроксимирующими свойствами, т.е для любой /(/) € Ь2 существует линейная комбинация

где аj - некоторые постоянные; М„ - линейная оболочка функций и

выполняются следующие условия:

где с - постоянная, не зависящая от /(/) и И„.

Теорема 2.5. Пусть /(/)е¿¿([Л,/?]), - комплексная финитная функция

порядка т, порождающая в результате процедуры сдвига, растяжения и

нормировки сеточные КОФФ последовательность наборов которых на

сгущающихся сетках образует систему базисных функций в ([ . Тогда

имеет место формула:

II В+2а в

а А А

где Н=В — А; * - комплексное сопряжение.

Соотношение (2.35) является обратным преобразованием, восстанавливающим функцию /(г) на [Л,й], а внутренний интеграл

А

- соответствующим прямым интегральным КОФФ'■"''-преобразованием. Формула, полученная в ходе доказательства теоремы 2.5,

К У'/К 1+1 Г у Ч.Я , ч 1

где Н = /г, >... >ЬК >0, [////г„] - целая часть дроби, определяет обратное дискретное КОФФ'"1' -преобразование.

Следствие 23. Пусть Ь2\Л,В\, ф^(/) - комплексная финитная функция

порядка т, порождающая после сдвига, растяжения и нормировки систему сеточных функций |, последовательность наборов которых на сгущающихся

сетках образует систему базисных функций в L7 ([ Л, /ij). Если Л —> -со, В -> оо (Н = (В — Л)—> со), то имеет место формула:

ЭО 00 оо

= J^"^) (2.47)

5 —00 —OD

Соотношение (2.47) является обратным преобразованием, восстанавливающим • функцию /(f) на интервале (-оо.оо), а внутренний интеграл

00

PKOFF» [А')] = FKO,^.Mh) = *W {^-)dt

—00

- соответствующим прямым интегральным КОФФ^-преобразованием.

Показано, что интегральные КОФФ^ -преобразования обладают теми же свойствами, что и ОФФ-преобразования.

В параграфе 2.4 содержится вывод прямого и обратного интегральных преобразований, основанных на В -сплайнах различных степеней. Интегральные

-преобразования обладают теми же свойствами, что и ОФФ-преобразования. Также в этом параграфе для использования в спектральном анализе проводится построение комплексных Кв№ -функций степени т, основанное на домиожении вещественных В -сплайнов степени т на ехр(2лИ):

KB^(t)=exp(2^ii) В(т"> которые в результате сдвига и растяжения дают сеточные функции:

В главе 3 при решении тестовых задач исследуется эффективность интегральных ОФФ(т)-, КОФФ(т)-, и КВ^

-преобразований в сравнении с действительными и комплексными интегральными всйвлет-прсобразованиями, основанными на следующих вейвлетах:

-WAVE: (p{t) = texp(-t2 /2), t- время;

-МНАТ: ^(/) = (l-/2)exp(-f2/2);

- DOG: <p(t) = exp{-\tf / 2) - 0.5exp[-\tf /8^; -Морле: <p{t) = exp{6it)exp(-t2 /2}.

В случае интегральных ОФФ^-преобразований и КОФФ'"'-преобразований

используются ОФФМ и КОФФ^ (ш=1, 2). В случае интегральных В^- и КВ^'*-преобразований рассматриваются В -сплайны и КБ-функции первой, второй и третьей степеней.

Возможности ОФФ(ш)-, КОФФ(т) -, В{'п)- и /СВ^-преобразований исследовались на основе следующих тестовых сигналов:

(A) гармонический сигнал: f{t)=sin{2jcvt) (v=500);

(B) гармонический сигнал с пиком:

f{t)=sin{2.nvi)+yS(t-t]),(v =500, =750, у = 1.5, S(t) - S-функция);

(C) гармонический сигнал с пятью пиками: f(t)=sin(2Mvt)+7(S(t-t1) + S(t-t2) + S(t-t3) + S(t-t4) + S(i-ts)) (v=500, t) =720 мс, /2=735 мс, /3=750 мс, /4=765 мс, /5=780мс, у = 1.5);

(D) сумма двух гармонических сигналов: f(t)=sin(2^vit) + sin(2irw2t) (v, =500, г2=1000);

(E) сумма двух гармонических сигналов с двумя пиками:

/(t) = sin(2л-|/,Г) + sin(27tv2t) + y[S(t -l,) + S(t-12)] О, =500, v2=1000, у = 1.5, =700 мс, t2=800 мс);

(F) сигнал, составленный из последовательно действующих гармонических сигналов:/(f)=yj (i)+/2(i), где

[о,/>tv~ 11/2(0 la^i,,-

^=500, v2=1000, 7,=750 мс;

(G) сигнал с плавно изменяющейся частотой: f(t)=sin{2x/t) (/ЙЛ>0);

(H) фрактальное множество, построенное на основе однородного триадного канторовского множества (см. C.B. Божокин7) (для анализа использовалось 4-е поколение канторовского множества). В параграфе 3.1 проводится анализ спектров указанных тестовых сигналов при

помощи численных методов, определяемых интегральными вейвлет-, ОФФ^-,

КОФФМ-, B(m}-, À'fiW -преобразованиями. Например на рис. 3.9.с, 3.12с и 3.17.С (горизонтальная ось - время, вертикальная - частота) представлены результаты спектрального анализа сигнала (С), полученные с использованием интегрального

вейвлет-преобразования Морле, а также интегральных КОФФ^- и А'//'*-преобразований соответственно. По этим рисункам видно, что гармонические и пиковые составляющие хорошо определились всеми преобразованиями. Присутствие в сигнале (Е) двух гармонических составляющих и резкая смена частоты сигнала также четко определяются (см. соответственно рис. 3.9.е, 3.12е, 3.17.е и 3.9.f, 3.12.f, 3.17.Î).

В параграфе 3.2 содержатся результаты анализа спектров тестовых сигналов,

которые показывают высокую эффективность КОФФ^ и -преобразований в

задачах анализа спектров математических моделей сигналов. КОФФ^- и КВ^-преобразования обладают всеми преимуществами вейвлет-преобразований по сравнению с интегральным преобразованием Фурье и требуют времени на их численную реализацию на 51% и 55% соответственно меньше, чем комплексное вейвлет-преобразование, основанное на вейвлете Морле (см. табл. 3.1). Показано,

что интегральные ОФФ^- и В^-преобразования являются эффективными в анализе локальных (пиковых) составляющих сигналов и требуют минимального времени на реализацию основанных на них численных методов спектрального анализа (см. табл. 3.1).

Также в параграфе 3.2 приводятся результаты восстановления функций при помощи обратного интегрального ОФФ-преобразования, показывающие, что это преобразование хорошо восстанавливает основную структуру сигнала, при этом сглаживаются содержащиеся в нем всплески с коротким периодом действия.

7 Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 200]. - 128с.

Таблица 3.1. Время в мс., затраченное на вычисление интегральных преобразований

тестовых сигналов с использованием различных вейвлетов и финитных функций

"—-—^Сигналы Функции __ (А) (В) (С) (D) (Е) (F) (С) (Н)

WAVE 69499 69504 69482 69517 69516 69544 69481 69497

МНАТ 70781 70815 70797 70765 70827 70768 70807 70770

DOG 92728 92763 92701 92722 92728 92765 92742 92750

Морле 111458 111483 111421 1J1434 111463 111426 111445 111426

ОФФ(1) 43547 43595 43532 43575 43578 43531 43531 43531

ОФФ(2) 63813 63862 63861 63817 63875 63873 63867 63831

КОФФ(,) 55028 54995 55043 54989 54995 55016 55028 54997

КОФФ(2) 73930 73910 73954 73925 73922 73947 73930 73920

я(|) 38132 38133 38151 38136 38117 38107 38100 38128

В(2) 42502 42507 42535 42546 42544 42552 42517 42541

д(з) 44278 44252 44256 44258 44266 44289 44234 44241

КВ^ 50268 50210 50230 50234 50244 50215 50221 50225

кв^ 53434 53431 53441 53434 53418 53448 53460 53464

КВ& 54914 54913 54901 54889 54872 54880 54884 54894

6500 5500 45(H) J 500 2500 1500 500

350 45(1 550 650 750 850 950 1950 1150

Рис. З.9.С. Вейвлет-преобразование сигнала (С) (Морле).

6500 1 "

5500 4500 3500 2500 1500 500

65(H) 5500 4500 3500 2500 1500 500

350 450 550 650 750 850 950 10501150

Рис. 3.12.С. КОФФ сигнала (С).

3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

(О.

преобразование

350 450 550 650 751» 850 950 10501150 Рис. 3.17.C. KB''' - преобразование сигнала (С).

ш

400 500 600 700 8(H) 900 10(H) 1100 Рис. 3.9.е. Вейвлет-преобразование сигнала (Е) (Морле).

M Ii)

3000 2S00 200» 1500 1000 sim

ЗЯК1 3000 2504) 2000 1500 1000 500

400 500 600 700 SOO 900 1000 1100

''' -преобразование

Рис. 3.12.C. КОФФ сигнала (Е).

400 500 600 700 800 900 1000 1100 Рис. 3.17.е. AT?''1 -преобразование сигнала (Е).

3500 3500

3000 3000

2500 2500

2000 2000

1500 1500

1000 ^ШШЁШЁЁШ "«о

500

350 450 550 650 750 850 950 1050 1150 350 450 550 650 750 850 950 10501150

Рис. 3.9.f. Вейвлет-преобразование сигнала (F) (Морле).

Рис. 3.12.f. КОФФ сигнала (F).

(О

преобразование

3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

350 450 550 650 750 850 950 1050 1150

Рис. 3.17.f. КВ^ -преобразование сигнала (F).

Глава 4 посвящена исследованию эффективности численных методов спектрального анализа реальных временных метеорологических рядов, основанных на ОФФМ-, КОФФKßM-преобразованиях. '

В параграфе 4.1 содержится обзор процесса Южного Колебания (см. G.T. Walker8, H.A. Вязилова9) и Эль-Ниньо (см. Н.М. Астафьева10) (ЮКЭН) и связи

* Walker G. T. Correlation in seasonal variations of weather.lX: A further study of world weather (World Weather II) // Memoirs India Meteorol. Dept., 1924. Vol. 24. - p. 275-332.

долгосрочного прогнозирования погоды на Земле и ЮКЭН, показывающий актуальность спектрального анализа соответствующих этим процессам метеорологических данных — моделей сигналов.

Параграф 4.2 содержит результаты анализа временных метеорологических рядов. Объектом анализа являются следующие временные ряды:

(A) данные, свидетельствующие о динамике событий Эль-Ниньо за 517 лет (с 1470-го по 1987 гг.), из работы Wang Shaowu";

(B) среднемесячные значения индекса Южного Колебания за период с января 1876-го по июнь 2006 гг.;

(C) суточные значения индекса Южного Колебания за период с 06.06.1991 по 15.07.2006.

Ряды (В) и (С) составлены по данным сайта12 Департамента Природных ресурсов, Минералов и Воды (Квинсленд, Австралия).

Исследуемые ряды анализируются с помощью численных методов, в которых используются интегральные преобразования, основанные на некомплексном

вейвлете МНАТ, комплексном вейвлете Морле, а также ОФФ, В^ -сплайне,

КОФФ(1), КВ^ -функции. Полученные результаты показывают, что

преобразования, основанные на ОФФ и

в( О

-сплайне дают результаты по качеству близкие результатам, полученным при помощи вейвлета МНАТ. Временные затраты на спектральный анализ с помощью численных методов, связанных с ОФФ и сплайном, меньше, чем в случае с вейвлетом МНАТ, на 28% и 38% соответственно. В случае с комплексными функциями спектральный анализ исследуемых рядов,

основанный на КОФФ^ и КВ^-сплайне, дает такие же по качеству результаты как и спектральный анализ исследуемых сигналов, основанный на вейвлете Морле: на рис. 4.3.b, 4.6.Ь и 4.7.Ь (горизонтальная ось — время, вертикальная ось — масштаб) видны периодические составляющие сигнала (В) на масштабах 160, 240 и 540

9 Визилова H.A. Эль-Ниньо - Южное колебание: Методика определейия. Особенности развития // Электронный журнал «Новости ЕСИМО» - Обнинск: 2005, вып. 24.

10 Астафьева H.M. Вейвлет-анализ - основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996, т. 166, № 11,- с. 1145-1170.

" Wang Shaowu Reconstruction of El Niño event chronology for the last 600 year period : Acta Meteorológica Sínica, 1992, Vol. 6, № 1.-p. 47-57.

12 Сайт: State of Queensland (Department ofNatural Resources, Mines and Water), http://www.longpaddock.qld.gov.au/index.html.

месяцев (на соотв. рисунках они выделены штриховыми линиями). На временных отметках в окрестностях 1957, 1983 и 1993 годов также заметны максимумы значений коэффициентов преобразований (наиболее темные участки) масштабов 160, 240 и 540 месяцев, что соответствует сильным Эль-Ниньо в 1957, 1982-1983, 1997 годах. Временные затраты на реализацию алгоритмов численных методов

спектрального анализа, связанных с КОФФ^ и КВ^ -функцией меньше, чем в случае с вейвлетом Морле, на 38% и 42% соответственно.

В главе 5 содержится описание программы Transform, с помощью которой были получены результаты спектрального анализа тестовых сигналов и моделей реальных временных рядов.

В параграфе 5.1 изложено описание возможностей программы Transform, ее основные особенности, минимальные системные требования к компьютеру.

Инструкция по применению программы с описанием ее внешнего вида и структуры меню содержится в параграфе 5.2.

В параграфе 5.3 приводится описание средств, с помощью которых был написан исходный текст программы Transform, а также характеристика исходного текста, реализующего алгоритмы численных методов спектрального анализа, определяемого действительными и комплексными интегральными преобразованиями.

В выводах перечислены основные результаты диссертационной работы, подчеркнута их новизна, теоретическое и практическое значение.

В приложениях представлены рисунки, таблицы, блок-схемы и листинг части программы Transform, реализующей алгоритмы численных методов спектрального анализа сигналов.

Выводы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Получены сеточные комплексные финитные функции, основанные на вещественных финитных функциях, показана их ортогональность, исследованы аппроксимирующие свойства.

2. Создана методика математического моделирования сигналов с использованием ортогональных финитных функций.

19И0 1 93(1 1957

Рис. 4.3.Ь. Вейилет-преобразование ряда (В) (Морле).

1982

1997

1900 1930 1957 1982

Рис. 4.6.Ь. Преобразование ряда (В) (КОФФ первого порядка).

1997

1957

1982

1997

Рис. 4.7.Ь. Преобразование ряда (В) (Л'В-сплайн первого порядка).

3. Построены новые интегральные преобразования, связанные с комплексными и действительными финитными функциями и определяющие алгоритмы численных методов спектрального анализа сигналов.

4. Изучены основные свойства полученных интегральных преобразований, которые подобны аналогичным свойствам интегральных вейвлет-преобразований.

5. С помощью разработанных численных методов спектрального анализа сигналов и реализующей их программы ТгапвГогш показана более высокая эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей тестовых и реальных сигналов по сравнению с интегральными вейвлет-преобразованиями.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора диссертации:

Публикации в журналах из списка ВАК

1. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. О переходе от дискретного обратного ОФФ-преобразования к интегральному // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2005, т. ] 2, в. 4.-е. 1025-1027.

2. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями, в задачах спектрального анализа математических моделей сигналов // Математическое моделирование, 2006, т. 18,№7.-с. 93-100.

3. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Обратные интегральные преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями различных степеней // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: Редакция журнала «ОПиПМ»,

. 2006, т. 13, в. 4.-е. 667-668.

Другие публикации

4. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ-преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями, в задачах спектрального анализа сигналов // Ученые записки УлГУ. — Ульяновск: УлГУ. 2005. - с. 59-65.

5. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Обратное интегральное ОФФ-прсобразование // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". -Ульяновск: УлГУ, 2005. - с. 66-69.

6. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ-преобразования в задачах спектрального анализа сигналов // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". — Ульяновск: УлГУ, 2005. — с. 69-72.

7. Риков Е.А. Интегральные КОФФ-преобразования в задачах спектрального анализа сигналов // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". — Ульяновск: УлГУ, 2005. — с. 102-105.

8. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ преобразования в задачах восстановления сигналов // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды Междунар. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (17-19 мая 2005 г.). - Ульяновск: УлГТУ, 2005, т. 4. - с. 141-143.

9. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ-преобразования в задачах моделирования сигналов // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара, 1-3 июня 2005 г., часть 2.-с. 168-170.

10. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Л-сплайны и ортогональные финитные функции различных порядков в спектральном анализе сигналов // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды Междунар. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (16-18 мая 2006 г.). — Ульяновск: УлГТУ, 2006, т. 4. — с. 196-202.

11. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Математическое моделирование сигналов с использованием Л-сплайнов и ортогональных финитных функций различных степеней Н Труды Средневолжского Математического Общества. — Саранск, 2006 г. т. 8, №1. - с. 247-250.

Подписано в печать 18.10.2006. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №154/¿ТУ

Отпечатано с оригинал-макета в типографии Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

ВВЕДЕНИЕ.

1. Аналитический обзор.

2. Интегральные ОФФ^-, КОФФ^-, В^- и

О^-преобразования.

2.1. Интегральное ОФФ-преобразование

2.1.1. Свойства интегрального ОФФ-преобразования.

2.2. Интегральные ОФФ ^-преобразования.

2.3. Интегральные КОФФ^ -преобразования.

2.4. Интегральные В^- и -преобразования.

3. Исследования интегральных ОФФ^-, КОФФ^-, ВМ-, КВ^-преобразований.

3.1. Анализ ОФФ(,и)-, КОФФМ-, В-спектров.

3.2. Результаты анализа спектров.

4. Анализ временных метеорологических рядов.

4.1. Процесс Южное Колебание - Эль-Ниньо.

4.2. Анализ временных метеорологических рядов.

5. Программа TRANSFORM.

5.1. Описание программы.

5.2. Инструкция по применению программы.

5.3. Исходный текст программы.

ВЫВОДЫ.

Ряды и интегралы Фурье - классические средства спектрального анализа [1], позволяющие выделять присутствующие в математической модели сигнала гармоники и отдельные всплески. Они имеют существенный недостаток [2] - сложность алгоритмов извлечения информации о наличии в математической модели сигнала высокочастотных пульсаций с коротким сроком их действия, то есть информации о детальной структуре сигнала. Анализ Фурье в случае, когда в сигнале возникают (или исчезают) некоторые гармонические составляющие или частота плавно изменяется с течением времени, также дает неудовлетворительные результаты. Вейвлет-анализ [2, 3] спектра сигналов не имеет этих недостатков и является важнейшим средством спектрального анализа. Развитие этого направления -создание новых средств спектрального анализа, не имеющих подобно интегральным вейвлет-преобразованиям указанных недостатков анализа Фурье и отличающихся от вейвлет-преобразования более простыми алгоритмами реализации, является актуальной задачей.

В [4, 5, 6] предлагаются сеточные ортогональные базисные функции с конечными носителями, которые обладают рядом свойств вейвлетов, имеют более простую по сравнению с вейвлетами структуру и являются основой для построения интегральных преобразований более эффективных по сравнению с вейвлет-преобразованиями в спектральном анализе моделей сигналов.

Цель работы. Целью диссертационной является получение интегральных преобразований, основанных на использовании ортогональных финитных функций [4, 5, 6] и В -сплайнов, исследование их эффективности в спектральном анализе математических моделей сигналов.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных вещественных финитных функций (ортогональных финитных функций и В -сплайнов) различных степеней;

- построение комплексных финитных функций на основе вещественных финитных функций;

- создание с помощью комплексных финитных функций систем сеточных комплексных ортогональных финитных функций (КОФФ), исследование их ортогональности и аппроксимирующих свойств;

- моделирование сигналов с помощью ортогональных финитных функций;

- получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных комплексных ортогональных финитных функций и разработка связанных с ними алгоритмов численных методов спектрального анализа сигналов;

- создание на базе полученных в работе теоретических результатов программы Transform реализации численных методов спектрального анализа сигналов;

- исследование эффективности численных алгоритмов, определяемых новыми интегральными преобразованиями, полученными на основе использования комплексных и действительных финитных функций, в спектральном анализе тестовых математических моделей сигналов и при исследовании моделей реальных сигналов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического анализа, функционального анализа, теории аппроксимации, математического моделирования, линейной алгебры, вычислительной математики. Для программной реализации численных методов спектрального анализа сигналов использован язык программирования Object Pascal и среда разработки программ Delphi 6.0.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгостью формулировок теоретических положений и их математических доказательств, а также проверкой адекватности полученных теоретических результатов на основе численных расчетов. Достоверность подтверждается сравнением результатов численных расчетов с аналогичными результатами, полученными в работах других авторов.

Научная новизна. В результате выполненной научной работы:

- получены сеточные комплексные финитные функции, основанные на вещественных финитных функциях, исследованы их ортогональность и аппроксимирующие свойства;

- разработана методика математического моделирования сигналов с помощью ОФФ и КОФФ;

- построены на основе комплексных и действительных финитных функций прямые и обратные интегральные преобразования, которые по структуре и способам получения отличаются от комплексных и действительных прямых и обратных интегральных вейвлет-преобразований;

- изучены основные свойства полученных интегральных преобразований, которые подобны аналогичным свойствам интегральных вейвлет-преобразований;

- показана более высокая эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральными вейвлет-преобразованиями.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее практическая ценность определяется тем, что полученные теоретические результаты могут быть использованы в построении математических моделей сигналов различного физического происхождения и в их спектральном анализе.

На защиту выносятся:

- построение сеточных комплексных финитных функций, основанных на вещественных финитных функциях, исследование ортогональности и аппроксимирующих свойств КОФФ;

- создание методики математического моделирования сигналов, основанной на использовании ОФФ и КОФФ;

- разработка и исследование интегральных преобразований, связанных с комплексными и действительными финитными функциями;

- программа Transform компьютерной реализации численных методов спектрального анализа сигналов, основанных на полученных в работе теоретических результатах;

- исследование эффективности новых численных методов спектрального анализа сигналов при решении тестовых задач, подтверждающее достоверность созданных в диссертации теоретических основ и показывающее более высокую эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральным преобразованием Фурье и интегральными вейвлет-преобразованиями;

- исследование эффективности полученных интегральных преобразований в спектральном анализе реальных метеорологических сигналов, заданных в цифровой форме.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи, 2005 г.);

- Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2005 г.);

- Шестой Международной конференции «Математическое моделирование физических, технических, экономических социальных систем и процессов» (Ульяновск: УлГУ, 2005 г.);

- Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Кисловодск, 2006 г.);

- VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2006 г.);

- Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2006 г.), а также на научных семинарах Ульяновского государственного университета и Ульяновского государственного технического университета,

Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем, д.ф-м.н., профессором B.JI. Леонтьевым. Построение комплексных ортогональных финитных функций различных порядков на основе действительных ортогональных финитных функций, исследование их свойств, доказательства теорем, разработка программы Transform, проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ [7-17] (3 работы в журналах из списка ВАК).

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов, списка литературы из 94 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации составляет 162 страницы (основной текст -110 страниц). Работа содержит 166 рисунков, 3 таблицы.

выводы

1. Получены сеточные комплексные финитные функции, основанные на вещественных финитных функциях, показана их ортогональность, исследованы аппроксимирующие свойства.

2. Создана методика математического моделирования сигналов с использованием ортогональных финитных функций.

3. Построены новые интегральные преобразования, связанные с комплексными и действительными финитными функциями и определяющие алгоритмы численных методов спектрального анализа сигналов.

4. Изучены основные свойства полученных интегральных преобразований, которые подобны аналогичным свойствам интегральных вейвлет-преобразований.

5. С помощью разработанных численных методов спектрального анализа сигналов и реализующей их программы Transform показана более высокая эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей тестовых и реальных сигналов по сравнению с интегральными вейвлет-преобразованиями.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1970, т. 3. - 656 с.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

3. Короновский A.A., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 176 с.

4. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. Ульяновск: УлГУ, 2003. - 178 с.

5. Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, т. 9, в. 3. с. 497-504.

6. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ-преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями, в задачах спектрального анализа сигналов // Ученые записки УлГУ. Ульяновск: УлГУ. 2005.-с. 59-65.

7. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. О переходе от дискретного обратного ОФФ-преобразования к интегральному // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2005, т. 12, в. 4.-с. 1025-1027.

8. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Обратные интегральные преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями различных степеней // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2006, т. 13, в. 4, - с. 667-668.

9. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Обратное интегральное ОФФ-преобразование // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". Ульяновск: УлГУ, 2005. -с. 66-69.

10. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ-преобразования в задачах моделирования сигналов // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 1-3 июня 2005 г., часть 2. - с. 168-170.

11. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями, в задачах спектрального анализа математических моделей сигналов // Математическое моделирование, 2006, т. 18, №7. с. 93-100.

12. Крашенинников В.Р. Основы теории обработки изображений: Учебное пособие. Ульяновск: УлГТУ, 2003. - 150 с.

13. Васильев К.К., Крашенинников В.Р., Синицын И. Н., Синицын В. И. Представление и быстрая обработка многомерных изображений // Наукоемкие технологии, 2002, т. 3. с. 4-24.

14. Калинов Д.В., Крашенинников В.Р., Панкратов Ю.Г. Фильтрация речевых сигналов // Труды Ульяновского научного центра «Ноосферные знания и технологии» РАЕН, Ульяновск, 2001, т. 3, вып. 1. -с. 76-78.

15. Dudgeon D.E., Mersereau R.M. Multidimensional digital signal processing. Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, 1984.-488 p.

16. Журавлев B.M., Дворянинов Г.С., Прусов A.B. Метод максимальной энтропии в многомерном спектральном анализе (Часть 1. Теория, тесты). Препринт, МГИ АН УССР, 1987. - 45 с.

17. Журавлев В.М., Дворянинов Г.С., Прусов А.В. Метод максимальной энтропии в многомерном спектральном анализе (Часть 2. Спектральные оценки метеорологический параметров в области ВЗК). Препринт, МГИ АН УССР, 1987. - 23 с.

18. Журавлев В.М., Дворянинов Г.С., Прусов А.В. Метод максимальной энтропии в многомерном спектральном анализе временных рядов. -Морской гидрофизический журнал, 1987, № 3. с. 41-48.

19. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Издательство «Мир», 1972, выпуск 2. - 288 с.

20. Марпл C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Издательство «Мир», 1990. - 584 с.

21. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Издательство «Мир», 1971, выпуск 1 -318 с.

22. Секу нов Н.Ю. Обработка звука на PC. СПб.: БХВ-Петербург, 2001.-1248 с.

23. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 936 с.

24. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Издательство «Мир», 1965, т. 1.-616 с.

25. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.-368 с.

26. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. Изд. 2-е, доп. М.: Изд-во АФЦ, 1999. - 550 с.

27. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958.-508 с.

28. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962.-360 с.

29. Математика. Большой Энциклопедический Словарь Математика. / Гл. ред. Прохорова Ю.В. 3-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.-848 с.

30. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Москва-Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 480.

31. Князев П.Н. Интегральные преобразования. М.: Едиториал УРСС, 2004.-200 с.

32. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз, 1963. - 256 с.

33. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М., 1964.-268 с.

34. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.

35. Претт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. — Кн. 1. — 312 с.

36. Претт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.-Кн.2.-480 с.

37. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. С.-Петербург: ВУС, 1999. - 204 с.

38. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли Теория и приложения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 175 с.

39. Дёч К. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. - М., 1971. - 288 с.

40. Хелгасон С. Преобразование Радона: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. -152 с.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных сотрудников и инженеров). М., 1974. - 832 с.

42. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996, т. 166, № 11, - с. 1145-1170.

43. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на Евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - 334 с.

44. Блатер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004, -280 с.

45. Agostino Abatte, Casimer М. DeCusatis, Pankaj К. Das Wavelets and subbands. Fundamentals and applications. 2001. 551 p.

46. Чуй К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. -М.: Мир, 2001.-412 с.

47. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal, 1984, v. 15. -pp. 723-736.

48. Dinggang Shen, Horace H.S. Ip Discriminative wavelet shape descriptors for recognition of 2-D patterns // Pattern recognition, February 1999, PR(32),№ 2.-pp. 151-165.

49. Пшеничников С.Б., Пшеничников Б.С. Гиперкомплексный анализчисловых последовательностей размерности 2й // Математические методы распознавания образов. Доклады 11-й Всероссийской конференции.-М., 2003.-с. 165-166.

50. Бойков Ф.Г., Старожилова Т.К. Применение вейвлет-анализа сигнала в системе распознавания речи // Математические методы разпоснавания образов. Доклады 11-й Всероссийской конференции. -М, 2003,-с. 247-250.

51. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. -272 с.

52. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001, т. 171, № 5. -с. 465-501.

53. Aldroubi A., Unser М. Wavelets in medicine and biology. Boca Raton: CRC Press, 1996.-616 p.

54. Браже P.A., Куделин O.H. Вейвлет-анализ конвективных неустойчи-востей жидкостей в вертикальной тороидальной ячейке // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. -Ульяновск: УлГТУ, 2006, т. 4. с. 59-60.

55. Кузахметов И.А. Разработка комбинированного метода сжатия изображения // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". Ульяновск: УлГУ, 2005. -с. 54-56.

56. Eleftherios Kofidis, Nicholas Kolokotronis, Aliki Vassilarakou, Sergios Theodoridis Wavelet-based medical image compression // Future Generation Computer Systems, 1999, 15. pp. 223-243.

57. Amato U., Vuza D.T. Wavelet simultaneous approximation from samples affected by noise // Computers Math. Application, 1998, Vol. 36, No. 5. -pp, 101-111.

58. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учебное пособие. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 58 с.

59. Pouligny В., Gabriel G., Muzy J.F., Arnéodo A., Argoul A. and Freysz E., J. Optical Wavelet Transform and Local Scaling Properties of Fractals // Appl. Cryst., 1991, v. 24. pp. 526-530.

60. Muzy J.F., Bacry E, Arneodo A. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data // Phys. Rev. Lett., 1991, v. 67.-pp. 3515-3518.

61. Farge M. Wavelet transforms and their applications, to turbulence // Ann. Rev. Fluid Mech., 1992, v. 24. p. 395-457.

62. Paul T. Functions analytic on the half-plane as quantum mechanical states //J. Math. Phys., 1984, v. 25(11). pp. 3252-3263.

63. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. Pure and Appl. Math. 1998,41. pp. 909-996.

64. Gibbs J. W. Fourier's Series: Letter to the editor // Nature, 1899, 59. -p. 606.

65. Shim H. T., Volkmer H. On the Gibbs phenomenon for wavelet expansions // Approx. Theory, 1996, 84(1). pp. 74-95.

66. Strang G., Nguyen T. Wavelets and Filter Banks // Boston: Wellesley-Cambridge Press, 1996. pp. 367-370.

67. Walter G. G., Shen X. Continuous non-negative wavelets and their use in density estimation // Communication in Statistics-Theory and Method, 1999, v. 28.-p. 1-18.

68. Baiser T. New Approximations for Avoiding Gibbs Phenomenon in Wavelet Subspaces. The University of Wisconsin-Milwaukee, 1998, p. 64.

69. Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», т. 9, в. 3,2002.-с. 497-504.

70. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-416 с.

71. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 128 с.

72. Walker G. Т. Correlation in seasonal variations of weather,IX: A further study of world weather (World Weather II) // Memoirs India Meteorol. Dept., 1924. Vol. 24.-p. 275-332.

73. Вязилова H.A. Эль-Ниньо Южное колебание: Методика определения. Особенности развития // Электронный журнал «Новости ЕСИ-МО» - Обнинск: 2005, вып. 24. http://www.oceaninfo.ru/news/news24.htm.

74. Bjerknes J. Atmospheric teleconnections from the equatorial Pacific // Mon. Wea. Rev., 1969, v. 97. pp. 163-172.

75. Carton J. A., G. Chepurin, X. Cao A Simple Ocean data Assimilation analysis of the global upper ocean 1950-1995. Part 2: Results // J.Phys. Oceanogr., 2000, v.30. pp. 311-326.

76. Meinen С., M. J. McPhaden Observations of warm water volume changes in the equatorial Pacific and their relationship to El Nino and La Nina // J. Climate, 2000, v. 13. pp. 3551-3559.

77. Wilson S. G. How Ocean Vertical Mixing and Accumulation of Warm Surface Water Influence the "Sharpness" of the Equatorial Thermocline // J. Climate, 2000, v. 13. pp. 3638-3656.

78. Николаев Г. Союз океана и атмосферы правит климатом // Наука и жизнь, 1998, № 1. — с. 27-33.

79. Советский энциклопедический словарь. / Гл. ред. Прохоров A.M. 4-е издание. - М.: Советская энциклопедия, 1989.-е. 1632.

80. Сайт: State of Queensland (Department of Natural Resources, Mines and Water), http://www.longpaddock.qld.gov.au/index.html.

81. Wyrtki K. El-Nino The dynamic response of the equatorial Pacific Ocean to atmosphere forcing // Journ. Phys. Oceanography, 1975, Vol. 5, № 4, -p. 572-584.

82. MacKenzie D. How the Pacific drains the Nile // New Scientist, 16 April 1987.-p. 16-17.

83. Сидоренков H. С. Характеристики явления Южное Колебание-Эл-Ниньо // Труды Гидрометцентра СССР, 1991, вып. 316. с. 31-44.

84. Wang Shaowu Reconstruction of El Niño event chronology for the last 600 year period : Acta Meteorológica Sinica, 1992, Vol. 6, № 1. p. 47-57.

85. Трухильо С. Графика для windows: библиотека программиста (+CD). СПб.: Питер Ком, 1998. - 320 с.

86. Загуменнов А.П. Компьютерная обработка звука. М.: ДМК, 1999.-384 с.

87. Гордеев О.В. Программирование звука в Windows. СПб.: БХВ -Санкт-Петербург, 1999. - 384 с.

88. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.