автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный метод исследования моделей упругих пластин, связанный с ортогональными финитными функциями

На правах рукописи

Красильннков Антон Рястамович

"г

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ УПРУГИХ ПЛАСТИН, СВЯЗАННЫЙ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ФИНИТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Специальность 05.13.18 -математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физтсо-математича

Ульяновск -2005

Работа выполнена на кафедре механики и теории управления государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Леонтьев Виктор Леонтьевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Самарский государственный технический университет

Защита состоится 12 октября 2005 г. в 11:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г.Ульяновск, Набережная р. Свияги, 40, ауд. 703. Отзывы по данной работе просим направлять по адресу:

432970, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42,УлГУ,У правление научных исследований

доктор физико-математических наук, профессор Горбунов Владимир Константинович доктор технических наук, профессор Санкин Юрий Николаевич

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан « » сентября 2005 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Веревкин А.Б.

Т2931

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Вариационно-сеточные методы (ВСМ) являются одним из основных инструментов исследования математических моделей - краевых задач теории пластин. Основное развитие ВСМ теории пластин связано с использованием вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно1. Экстремальные функционалы Лагранжа и Кастильяно позволяют вводить энергетические нормы и исследовать сходимость приближенных решений, а также давать при совместном использовании функционалов апостериорную оценку точности этих решений. Недостатками ВСМ, построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, являются: высокие требования к свойствам базисных функций, необходимость выполнения кинематических краевых условий при формировании аппроксимирующих линейных комбинаций базисных функций, пониженная гладкость и точность приближенных решений для деформаций и напряжений, вызванная численным дифференцированием приближенных решений для перемещений. Основной недостаток ВСМ, основанных на вариационном принципе Кастильяно, состоит в необходимости использования статически допустимых тензоров напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям. В вариационном принципе Рейс-снера2 независимо аппроксимируются и варьируются перемещения и напряжения, что является причиной отсутствия у основанных на нем ВСМ недостатков, которые характерны численным методам, основанным на вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно. Независимой аппроксимацией точных решений для перемещений и напряжений создаются предпосылки для сближения гладкости и точности кинематических и силовых приближенных решений.

Актуальность темы исследования. При решении краевых задач теории пластин наиболее часто применяются методы, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Определение напряжений при этом посредством дифференцирования полученного для перемещений приближенного решения приводит к приближенным решениям для напряжений, которые характеризуются пониженными точностью и гладкостью. В теории пластин при использовании вариационного принципа Лагранжа переход от приближенных решений для перемещений к приближенным решениям для изгибающих и крутящего моментов определяется вторыми частными производными и является причиной значительного снижения гладкости и точности силовых решений по сравнению с решениями для перемещений. Вариационный принцип Рейсснера является основой для построения численных методов, дающих в теории пластин приближенные решения для перемещений и напряжений, которые характеризуются одинаковой гладкостью и одним порядком точности. Особенно актуальным это является для задач с большими градиентами перемещений и напряжений. Развитие смешанных ВСМ началось в

Розин ЛА Вариационные постановки задач для упругих систем Л изд-во ЛГУ, 1978,224 с. 2 Reissner Е. On a variational theorem in elasticity // J Math. Phys, 29, N 2, 1950, p 90-95.

60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время. Основной недостаток ВСМ - высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин, обостряется в смешанных ВСМ, так как независимая аппроксимация перемещений и напряжений дает значительное увеличение числа сеточных неизвестных. На устранение этого недостатка смешанных методов направлено использование здесь систем ортогональных финитных функций (ОФФ). Исключение силовых неизвестных, возможное благодаря применению ОФФ, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. При этом приближенные решения как для перемещений, так и для их частных производных (моментов, сил) характеризуются одинаковой гладкостью и точностью одного порядка. Разработка и исследование численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, является актуальной задачей.

До работ ШаиЬесЫез3,4 считалось5, что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с наличием у функций компактных конечных носителей. Последнее является основным у функций, применяемых в ВСМ, поскольку делает матрицы систем сеточных уравнений разреженными. В работах ШачЬесЫев3-4 построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями. Но функции ШаиЬесЫеБ обладают сложной структурой, их симметрия (за исключением базиса Хаара) невозможна. Снижение степени несимметрии функций порождает увеличение длин конечных носителей функций и таким образом ведет к утрате основного свойства базисных функций, предназначенных для использования в алгоритмах численных методов. Ортонормированные базисы вейвлетов Г.ОаиЬесЫез с компактными носителями не записываются в аналитической форме, что осложняет использование таких базисных функций в численных методах. Вейвлеты созданы для использования в цифровой обработке сигналов, изображений и не отвечают ряду основных требований алгоритмов численных методов. Поэтому разработка ОФФ двух переменных, связанных с треугольными сетками в областях со сложными границами и не имеющих указанных недостатков вейвлетов, является актуальной задачей. Решение этой задачи создает фундамент для построения смешанных ВСМ, обладающих эффективными алгоритмами и не имеющих основных недостатков классических смешанных ВСМ.

Развитие численных методов исследования математических моделей механики деформируемого твердого тела связано с работами

3 Daubechies I Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm Pure and Appl Math., 41, 1988, p. 909-996.

4 Добеши И Десять лекций по вейвлетам Пер с англ. Ижевск НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, Ш с

5 Стренг Г , Фикс Дж Теория метода конечных элементов Пер с англ М Мир, 1975,541 с

Н.П.Абовского6, Н.П.Андреева6, В.Б.Андреева7, В.И.Астафьева8, А.П.Деруги6, В.Г.Корнеева9, В.Л.Леонтьева10, С.Г.Михлина", Л.А.Оганесяна12, Б.Е.Победри", В.А.Постнова14, В.Я.Ривкинда12, Л.А.Розина15, Л.А.Руховца12, А.А.Самарского7, Ю.Н.Санкина16, В.С.Черниной17, В.М.Фридмана17, И.Я.Хархурима14, P.G.Ciarlet18, R.Courant19, G.Fix5, E.Reissner2, G.Strang5,0.C.Zienkiewicz20.

Создание и развитие теории ортогональных вейвлетов с компактными носителями определялось работами I.Daubechies3,4. Теория ортогональных финитных функций, являющаяся обобщением теории B-сплайнов и дополнением теории ортогональных вейвлетов с компактными носителями, основана в работах В.Л.Леонтьева21'22. Эта теория и ее применение в смешанных численных методах решения краевых и эволюционно-краевых задач получили развитие в статьях В.Л. Леонтьева и его учеников.

Абовский H П, Андреев H П, Деруга А П Вариационные принципы теории упругости и теорки оболочек M.' Гл ред физ -мат лит изд-ва "Наука", 1978,288 с

7 Самарский А. А, Андреев В Б Разностные методы для эллиптических уравнений M Гл ред физ -мат. лит изд-ва "Наука", 1976,352 с.

8 Астафьев В.И Смешанная формулировка метода конечных элементов в задачах изгиба тонких пластин при установившейся ползучести // В книге Дкформированис и разрушение твердых тел. М. изд-во МГУ, 1977, с. 71-77

9 Корнеев В Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности Л • изд-во ЛГУ, 1977, 208 с.

10 Леонтьев В Л. Метод конечных элементов Смешанные вариационные формулировки. Ульяновск-изд-во Средневолжекого научного центра, 1998, 168 с

11 Михлин С Г. Вариационные методы в математической физике M : ГИТТЛ, 1957,476 с

12 Оганесян Л.А., Ривквнд В Я, Руховец Л А Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. ЧI - Дифференциальные уравнения и их применение, 1973, вып 5, Вильнюс, 394 с

13 Победря Б Е. Численные методы в теории упругости и пластичности M изд-во МГУ, 1981, 343 с.

14 Постнов В А, Хархурим И Я Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций Л ' Судостроение, 1974, 341 с.

15 Розии Л А Метод конечных элементов в применении к упругим системам M. Стройиздат, 1977, 128с

16 Санкин Ю H Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами Саратов, изд-во С ГУ, 1977,312 с

17 Фридман В M, Чернина В С Видоизменение метода Бубнова-Галеркина-Ригца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Известия АН СССР МТТ, 1969, N1, с. 64-78

18 Сьярле Ф Метод конечных элементов для эллиптических задач M . Мир, 1980,512 с

19 Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math Soc, 49, N1, 1943, p.1-23.

20 Зенкевич О Метод конечных элементов в технике. Пер с англ M Мир, 1975,541 с

21 Леонтьев В Л Методы конечных элементов, основанные на использовании обобщенных функций Куранта в теории упругих колебаний // Тезисы докладов Всероссийского научного семинара "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин", 18-20 мая 1993 года, С-Петербург изд-во Института машиноведения РАН.

22 Леонтьев В Л Об одном обобщении функций Куранта К Теория функций и приближений Труды 7-й Саратовской зимней школы, 30 01-4 02 1994 года (памяти А А Привалова). Межвуз сб научн тр., ч.З, Саратов. СГУ, 1995, с. 36-40

Цель работы.

1. Разработка новых ОФФ, определяемых на треугольных сетках, исследование их аппроксимирующих свойств.

2. Разработка нового смешанного ВСМ, основанного на применении таких ОФФ, характеризующегося следующим:

- приближенные решения для перемещений («основных» неизвестных функций) и для силовых факторов (частных производных «основных» неизвестных функций) имеют одинаковую гладкость, одинаковый порядок величин их относительных отклонений от точных решений и высокое качество;

- применение ОФФ, основанных на треугольных сетках, позволяет получать такие кинематические и силовые приближенные решения для областей со сложными, криволинейными границами в задачах изгиба пластин с переменными физическими свойствами и переменной толщиной;

- число неизвестных в глобальной системе сеточных уравнений смешанного ВСМ совпадает с числом неизвестных ВСМ, основанного на вариационном принципе Лагранжа, в результате исключения узловых неизвестных силовых факторов, возможность которого создается использованием ОФФ

3. Исследование эффективности ВСМ в краевых задачах изгиба упругих пластин, имеющих сложную, криволинейную границу и переменные физические и геометрические характеристики.

4. Исследование практической точности приближенных решений и апостериорные оценки приближенных решений.

Научную новизну составляют следующие результаты работы.

1. Развитие теории ОФФ, связанное с построением новых ОФФ на треугольных сетках.

2. Разработка нового численного метода - смешанного вариационно-сеточного метода решения задач изгиба однородных и неоднородных упругих пластин переменной толщины, имеющих сложную геометрию границы.

Положения выносимые на защиту.

1. Создание новых систем параметрических финитных функций на треугольных сетках, исследование их аппроксимирующих свойств. Определение значений параметров ортогональных финитных функций.

2. Новый численный метод исследования математических моделей упругих пластин, который

- основан на смешанном вариационном принципе;

- связан с использованием ОФФ;

- является эффективным инструментом изучения изгиба неоднородных пластин, имеющих переменную толщину и сложную геометрию границы;

- позволяет находить приближенные решения краевых задач изгиба упругих пластин для основных неизвестных функций (прогиба пластины), для их первых частных производных (углов поворота нормали к срединной плоскости пластины), вторых частных производных (изгибающих и крутящего момен-

тов), третьих частных производных (перерезывающих сил), характеризующиеся одинаковой гладкостью и точностью одного порядка; - обеспечивает определение приближенных решений для кинематических и силовых факторов за счет примерно такого же числа арифметических операций, как в ВСМ «в перемещениях», позволяющем на первом (основном) шаге алгоритма метода находить только приближенные решения для перемещений. 3. Исследование точности и характера сходимости силовых и кинематических приближенных решений, получаемых с помощью смешанного ВСМ в задачах теории однородных и неоднородных пластин, имеющих сложную границу.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы теории сплайнов, теории вейвлетов, теории ортогональных финитных функций, вычислительной математики, линейной алгебры, функционального анализа, вариационного исчисления, механики сплошных сред, теории оболочек и пластин.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов исследования и решения.

Теоретическое значение диссертационной работы заключается в создании новых параметрических систем ортогональных непрерывных базисных ОФФ, связанных с последовательностями сгущающихся треугольных сеток, и на их основе - смешанного ВСМ исследования математических моделей теории упругих пластин, у которого отсутствует основной недостаток, имеющийся у классических смешанных ВСМ и связанный с увеличенным числом узловых неизвестных. Приближенные решения для перемещений и для их первых производных (углов поворота нормали), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов) и третьих частных производных (перерезывающих сил), которые дает такой ВСМ, характеризуются тем, что они имеют одинаковую гладкость и точность одного порядка. Получение таких решений достигается, в отличие от классических смешанных методов, решением систем сеточных уравнений, имеющих в два раза меньшее число узловых неизвестных. Это число неизвестных совпадаете числом неизвестных в методе «в перемещениях», основанном на вариационном принципе Лагранжа. Но данный метод превосходит метод «в перемещениях», поскольку дает приближенные решения для перемещений и моментов, сил (производных перемещений) одинаковой гладкости и точности. Предлагаемый вариационно-сеточный метод обладает количественными преимуществами перед классическими смешанными численными методами и качественными преимуществами перед численными методами «в перемещениях». Практическое значение диссертационной работы состоит в следующем:

- созданные системы ОФФ являются средством математического моделирования технических устройств;

- созданный на основе таких систем ОФФ смешанный вариационно-сеточный метод может использоваться в тех разработках пластинчатых элементов механизмов и конструкций, имеющих сложные, криволинейные участки границ и переменные физические свойства, переменную толщину, которые требуют одновре-

менного анализа «основных» величин (перемещений) и их частных производных (деформаций, напряжений).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на:

• 5-ой Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», секция «Численные методы и вычислительная физика» (Саранск, 2002),

• 5-ой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003),

• Тринадцатой Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003),

• Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике», секция «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2002),

• Международных конференциях «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформагака в науке, технике и экономике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2003, 2005),

• Научно-практическом семинаре «Практика и перспективы применения ИПИ-технологий в производстве» (Ульяновск, 2004),

• Всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004,2005).

Результаты диссертации обсуждались на научных конференциях УлГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, в том числе в 11 статьях.

Личный вклад. Алгоритмы построения ОФФ на треугольных сетках и исследования их свойств были разработаны научным руководителем д.ф.-м.н Леонтьевым В.Л. при участии автора диссертации. Реализация этих алгоритмов при построении параметрических систем базисных финитных функций, при исследовании их аппроксимирующих свойств, при определении значений параметров ОФФ, разработка алгоритма численного метода, численное решение задач и анализ полученных решений осуществлялись автором под научным руководством Леонтьева В.Л.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 133 наименований. Общий объем работы составляет 124 страницы, основной текст изложен на 111 страницах. Диссертация содержит 42 рисунка и 13 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении даются краткие описания В-сплайнов, ортогональных вейвлетов и ОФФ, характеристики вариационных принципов теории упругости и соответст-

вующих им ВСМ, проводится сравнительный анализ достоинств и недостатков различных базисных функций, а также ВСМ, основанных на различных вариационных принципах. Показывается, что смешанные вариационные принципы являются фундаментом построения численных методов, имеющих существенно более широкую область применения, чем ВСМ, основанные на вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно. Отмечается, что применение ОФФ, связанных с треугольными сетками, позволяет устранить основной недостаток алгоритмов классических смешанных ВСМ и использовать потенциальные достоинства смешанных ВСМ при решении задач изгиба упругих пластин с криволинейными границами и переменными параметрами. За счет примерно такого же числа арифметических операций, как при использовании ВСМ, связанных с вариационным принципом Лагранжа, удается получать аппроксимации частных производных основного решения более высокой гладкости и существенно более высокой точности в краевых задачах указанного класса.

В главе I даются постановки задач изгиба упругих пластин в трех формах: в смешанной форме, «в перемещениях», «в напряжениях». Формулируются вариационные принципы Рейсснера, Лагранжа и Кастильяно, равносильные соответственно этим трем постановкам. В §2.1 главы II на основе анализа свойств известных финитных функций показывается актуальность построения новых ОФФ на треугольных сетках. В §2.2 проводится построение новых ОФФ на треугольных сетках, исследование их аппроксимирующих свойств и определяются значения параметров сеточных ОФФ, являющихся ортогональными на каждой конкретной треугольной сетке.

Область i2 с R2 разбивается на треугольники AP,PjPfc с вершинами в точках

Р;, Р;, Рк. hj. = \P,Pj\ - длины сторон треугольников, h = тах кц . На каждой

O.J)

из сторон PjPj берутся точки PtJ и Pjj, удаленные на расстояние hy / 3 от и Pj соответственно. Используются обозначения: С((2) - пространство непрерывных функций на Q с нормой \An/ i=,, = тах\и(х)I; - банахово про-

L{li> хьй

странство функций, имеющих непрерывные в £2 производные до порядка к

к

включительно; W~ (Cl) (к -0,1,2,...)- гильбертовы пространства с нормами

где йу =(д/дх/"(д/ду)п1 у = (т,п); т,п = 0,1,2,. ,к;\*\ = т + п.

Для построения первого семейства ОФФ берутся следующие точки на сторонах ЛР^^Р^х /д, =(хру,уру ), удаленная на расстояние {Ягу от Ру в сторону

вершины P¡; Руу - (Хуу, y^j), находящаяся на расстоянии yh¡j от P¡j в направлении вершины Pj ; Р^,, удаленная на расстояние {¡hy от Pj¡ в сторону вершины Pj ; Zjj/ , находящаяся на расстоянии yh¡j от Pj¡ в направлении вершины P¡. Параметры р и у удовлетворяют условиям: 0 <р<1/3, 0<у< 1/6.. На треугольнике AP¡PjPk строятся отрезки P¡P,jk, Ppi]Pljk, PtJPljk, PyijP¡jk, p,jk,

Pjiñjk' PjPyk' Pk ñjk > Ppk¡Pyk-> PkiPijk > I'ykiñjk > Pytk. Рук> PikPijk>

РргкРцк. соединяющие вершины треугольника и точки на сторонах P¡Pj и Я,/^ с точкой Рук пересечения медиан треугольника. Область AP¡PjPk разбивается на пятнадцать треугольников. Семь дополнительных треугольников, образованных ЛИНИЯМИ РкРук , PpigP,jk, PlgP,jk. > PjPijk> ис-

пользуются при вычислении скалярных произведений функций, связанных с различными узлами. Финитная сеточная функция ф,(х,у,а,р,у) отлична от нуля только на конечном носителе, состоящим из треугольников сетки, имеющих общую вершину P¡. Функция является непрерывной, кусочно-билинейной и имеет следующие значения во введенных узлах и вспомогательных точках:

<р,(Р,)=1, <pt(Pp,J) = <pl(Pm) = 2/3 + 0,<pi(Plj) = <p¡(Pik) = H-a,

<р,(Рт ) = <pt(Pyik) = 2/ 3-у, <pt(Pv) = <P,(Prk¡) = 1/3 + r, P,(Pjt) = 9,(i\, ) = -<*> <Р,(Р&) = <Рг(Р/31а) = 1/3~/3,<р1(Рьк) = 1/3, на стороне P¡ Рк функция (p¡(x,y,a,p,y) равна нулю; а - параметр, принимающий действительные значения и придающий базисным функциям свойство ортогональности.

Получено выражение

а„ = {6(у -р)-7±3[(р + у)(12 + Р(1 + 2р)2 + +у- 4р2у -4(1 + Р)у2+ 4у3 )]1/21(р + у)}/12 (v = 1,2) для значений а, определяющих ортогональность функций. Доказана теорема. Теорема 1. Для любой функции и( х,у)е wj( Q) найдется функция

uh е wj'*1 и постоянные С/, С2 такие, что

II Ы(П) ' 11 ^2<ü> sin&o f^ll II C(Q)

щ—'

у

Здесь С2 - (I + За ) (р + у) /162 > 0, для ортогональных функций

(С2)У=(4Р3 +4Р2-4р2у + ¡}-4у2 Р*2П1/2 р + + у-4у2 +6 + Ц1'2 + 4у3 ±2?]1/2у)/144 (у = 1,2),

где

т, = 4у4-8у2р2 -4у2р~4у3 +4р4 + 4р3 +4р2у + р2 +2¡Зу +у2 +12Р + 12у. Постоянные С[, С2 не зависят от параметров сетки и от функции и(х, у), 9д - минимальный из углов всех треугольников сетки, Б - площадь области П, - линейное подпространство функционального пространства IV2 (£2). В §2.3 для построения второго семейства ОФФ вводятся точки Рд,, Р^ , Рр),, расположенные в следующем порядке: Р1, Рд,, Рц, Р^, Р^, Pj¡, Р^, Ру, таким образом, что

\рр>}рь\ = , = г ' \ршрл\ = ' \РЛ\ = М/ •

Из определения непрерывной, кусочно-билинейной функции <р1(х,у,а,р1,р2,У1,У2) следует, что

= <Р1(Р№) = 2/3 + р1, <Р1(Ррцс) = 2/3 + Р2, <Р1(рц) = Ъ(рИс) = 1+<*. <Р1(рп)=2/3-у1, 91(р^к) = 2/3~у2, Щ(рт) = 1/3+у2, <р1(Рук1)=1/3+у1, щ(Р}1) = <р1(РЫ) = -а,

<Р1(р№) = 1/3~Р2. <Р1(рцк) = 1'3-

на Р]Рк функция щ равна нулю. За пределами конечного носителя, состоящего

из треугольников сетки с общей вершиной Рг, функция равна нулю. Получено выражение

= {-21X - Щ±3[(7х + 6ц)2 -8х(5х + 6ц-27)],/2}/(ЗбХ),

где

Х = Р1+Р2+Г1+У2, Ч = р1 + Р22-у]-у] (V = 1,2), для значений а, определяющих ортогональность функций. Они зависят от выбора значений Р!, Р2, У], у2, удовлетворяющих условиям 0 < /?/ < I/ 3, 0<У1< 1/6 (I -1,2). Доказана теорема об аппроксимирующих свойствах этих ОФФ.

Теорема 2. Для любой и(х,у) <е1¥2(О)С\С(1)(П )

найдется линейная комбинация иА функций щ :

II и-и" 0 *С1к2Ц„2(а/бС28)'/2кТ Ш _

Постоянные С1: С2 не зависят от параметров сетки и от функции и(х,у),

С2 = (1 + За) (Р1+ Р2 + ?1 + У2)/324, - минимальный из углов всех треугольников сетки, 5 - площадь области £.2.

Глава III посвящена ВСМ, основанному на применении вариационного принципа Рейсснера и ОФФ, введенных в главе II на основе треугольных сеток. Использование треугольных сеток включает в область применения смешанного ВСМ задачи о напряженно-деформированном состоянии пластин, имеющих криволинейные границы и переменные параметры. За счет ортогональности базисных функций неизвестные узловые значения перерезывающих сил, изгибающих и крутящего моментов, то есть преобладающая часть всех неизвестных, исключаются из системы сеточных уравнений. Это значительно снижает требования методов к оперативной памяти ЭВМ и делает их такими же, как у ВСМ, основанного на вариационном принципе Лагранжа. В численном методе, основанном на вариационном принципе Лагранжа, после определения перемещений выполняется их численное дифференцирование для перехода к деформациям и напряжениям, приводящее к функциям, имеющим пониженную гладкость и разрывы на границах элементов сетки, и к снижению точности приближенных решений. В смешанном ВСМ после определения перемещений силовые факторы определяются по формулам, следующим из сеточных уравнений упругости в силу ортогональности базисных функций, причем приближенные решения для перемещений и для силовых факторов характеризуются одинаковой гладкостью и отсутствием разрывов.

Разработан ВСМ, в котором используется вариационный принцип Рейсснера и ОФФ, введенные в главе II на треугольных сетках. Условие стационарности функционала Рейсснера

2я = \rnPi+^ -

+М1(Р1.х уМ2)) + М2(Р2,Х -УМ,))+

ЕЙ3 ЕЙ3

' и,-5

-(М,1Х +Му-(М1Х+М2,у +02,у +2р)ЦГ]<Б +

+ \(Мп-2М„)Рп<Г+ \(Мт-2Мг)рт<1Г + ¡{в„-2ё„)1Г4Г-Г1 Г2 Г3

-J Мп(рп-2р„)с1Г- \мт(рх-2рх)с1г- \оп(\У-2Ш)йГ Г1 Г2 г3

равносильно системе уравнений равновесия, соотношений упругости и краевых

условий пластины. Здесь 5- срединная плоскость, Ql - перерезывающие силы, А/,- - изгибающие моменты, М - крутящий момент, IV - прогиб, /?, - углы поворота нормали к срединной плоскости, Е(х,у) - модуль упругости, 0(х,у) - модуль сдвига, у(х,у) - коэффициент Пуассона, И(х,у) - толщина пластины, р(х,у) - внешняя нормальная нагрузка, п - (п],п2) - орт внешней нормали к границе Г срединной плоскости, г - орт касательной к границе, Рп= Р1Щ+Р2П2, Р2п1-Р1"2> Мп=М1Г?1+2МщП2 + М2п],

Мт=(М2-М1)п1п2+М(п21-п22), + Мп,Йх,&„, рп,рт,

№ - заданные значения моментов, сил, углов и прогиба на границе; Г, + Г, = Г (г = 1,2,3)', IV у, - первые частные производные. Приближенное

решение для прогиба разыскивается в виде:

N

Г = ^1<рг(х,у,а,р1,г1,р2,у2). 1=0

Аналогичным образом представляются А/,-, М, и /?,. После подстановки в условие стационарности функционала Рейсснера 511 = 0 таких линейных комбинаций ОФФ в аналитическом виде определены коэффициенты глобальной системы сеточных уравнений, определены ее матрицы. Разработан алгоритм формирования системы сеточных уравнений и вектора правых частей. Алгоритм реализован в комплексе программ, с помощью которого получаются приближенные решения для IV, М, Ql, р,, М, (г =/,2). Сравнение с точными решениями показывает сходимость приближенных решений ВСМ, алгоритм которого обладает всеми преимуществами смешанных ВСМ.

В главе IV приводятся результаты решений ряда краевых задач изгиба линейно-упругих пластин. Решения части тестовых задач характеризуют точность приближенных решений и сходимость метода. Решения другой части задач показывают высокую эффективность численного метода в исследованиях математических моделей неоднородных пластин, имеющих переменную толщину и сложную, криволинейную границу.

В тестовой задаче изгиба квадратной пластины постоянной толщины, жестко защемленной по всей границе, граничное условие IV-0 являлось главным и удовлетворялось заранее в каждом узле границы, граничные условия Рп- О, Рт =0 учитывались вариационным принципом как естественные условия. Последовательности приближенных решений были получены на десяти сетках, содержащих от 98 до 3042 треугольных элементов сетки.

На рис. 1 (К - число треугольных элементов сетки) приводятся величины относительных отклонений е приближенных решений (IV-О, М] - О) от известного решения23. Рис. 1 показывает, что с ростом числа треугольных элементов сеток е в центре пластины уменьшается и на сетке с 3042 элементами составляет меньше 0.2% для силовых и кинематических величин (моментов и прогиба). При этом точности прогиба и моментов, являющихся вторыми частными производными прогиба, примерно одинаковы. Одинаковой является также гладкость приближенных решений для кинематических и силовых величин. Такой особенностью обладают смешанные численные методы, но у классических смешанных численных методов есть существенный недостаток - повышенное число узловых неизвестных по сравнению с методами «в перемещениях». Исследуемый здесь метод не имеет этого недостатка, поскольку применяются ортогональные финитные функции.

23 Тимошенко С П Курс теории упругости / Под ред Григолюка Э И Киев Наукова думка, 1972,

12

К

Рис.1.

501с.

В тестовой задаче изгиба квадратной пластины, шарнирно опертой по всей границе, на десяти сетках получены аналогичные результаты.

Результатом применения ВСМ для решения задачи изгиба треугольной пластины постоянной толщины, шарнирно опертой по всей границе, являются последовательности приближенных решений на девяти сетках, содержащих от 25 до 1521 треугольного элемента сетки. Установлено, что с ростом числа треугольных элементов сеток относительное отличие £ приближенных решений от известного решения24 уменьшается и на сетке, состоящей из 1521 треугольного элемента, составляет меньше 3.1% для силовых и кинематических величин (моментов и прогиба). При этом точности прогиба и моментов, являющихся вторыми частными производными прогиба, примерно одинаковы.

Исследование с помощью ВСМ изгиба эллиптической пластины постоянной толщины, жестко защемленной по всей границе, проводилось на девяти сетках (от 25 до 1521 треугольных элемента сетки). Сравнения полученных приближенных решений с точным решением23 показало, что с ростом числа узлов и треугольных элементов сеток отличия приближенных решений от известного точного решения уменьшаются и на сетке с 1521 треугольным элементом составляют меньше 0.2% для прогиба и менее 1.5% - для моментов.

В задаче изгиба неоднородной квадратной пластины переменной толщины, жестко защемленной по всей границе, получены последовательности приближенных решений на тринадцати сетках (от 32 до 3528 треугольных элементов сетки). С ростом числа треугольных элементов сеток погрешность уменьшалась и на самой густой сетке составила меньше 0.12% для силовых и кинематических величин (моментов и прогиба).

В двух задачах изгиба однородных крестообразных пластин постоянной толщины со смешанными граничными условиями на сепсе, имеющей 1976 узлов, ошибки в приближенных решениях для прогиба и для изгибающих моментов, то есть для основной неизвестной функции и для ее вторых частных производных, оказались существенно меньше 1%.

Исследование с помощью ВСМ изгиба квадратной пластины со смешанными граничными условиями показало, что на сетке, имеющей 625 узлов, ошибки в приближенных решениях для прогиба и для изгибающих моментов существенно меньше 0.01% во всех рассмотренных точках пластин.

В задаче изгиба неоднородной крестообразной пластины, жестко защемленной по всей границе, на сетке, имеющей 1680 узлов, ошибки для прогиба и для изгибающих моментов имеют величины существенно меньше 0.5% во всех рассмотренных точках пластин.

В задаче изгиба треугольной пластины, жестко защемленной по всей границе, как показывают рис. 2 (УУ), рис. 3 (А//) (N - число узлов сетки), приближенные

24 Тимошенко С II Войновский-Кригер С Пластинки и оболочки Пер с англ / М • Физматиз, 1966, 636с

решения в центре пластины сходятся к решению25 и на сетке, имеющей 1275 узлов, ошибки приближенных решений для прогиба и для изгибающего момента существенно меньше 1%.

Применение ВСМ для решения задачи изгиба эллиптической пластины, шар-нирно опертой по всей границе, и сравнение полученных приближенных решений с решением25 показало (рис. 4 ( М]), рис. 5 (М2)) сходимость метода.

Сравнение приближенных решений задачи изгиба пластины, имеющей форму кругового сектора (1/4 круга), шарнирно опертой по всей границе, полученных с помощью ВСМ, отражено на рис. 6 (IV) и на рис.7 (М/). На сетке, имеющей 820 узлов, величины ошибок приближенных решений меньше 2% для изгибающего момента и для прогиба.

25 Калманок А С Расчет пластинок Москва, 1959,212 с

Также в главе IV приводится апостериорная оценка точности приближенных решений краевой задачи изгиба пластины. Используются выпуклые функционалы Лагранжа и Кастильяно, порождающие энергетические нормы. Апостериорную оценку точности приближенных решений дают значения этих функционалов, вычисленные для линейных комбинаций тригонометрических функций, постоянные . * коэффициенты которых определяются приближенными решениями, полученными

вариационно-сеточным методом, таким образом, что значения приближенных решений ВСМ для сил, моментов, прогиба, углов и значения этих линейных комбинаций совпадают в узлах сетки. Значения функционалов Лагранжа и Кастильяно, полученные указанным образом и характеризующие точность приближенных решений задачи изгиба квадратной, шарнирно опертой по границе, пластины на пяти сетках, представлены в следующей таблице.

ж%

120

10 21 36 55 210 «5 820

Рис. 7.

м2

16 -83.7025898 -83,02113394 0.6814558

36 -83.6957610 -83,46136226 0.2343987

64 -83.6944140 -83,58705954. 0.1073544

100 -83.6940353 -83.63608098 0.0579543

144 -83.6939033 -83.65909382 0.0348094

Приведенные в таблице значения функционалов Лагранжа и Кастильяно, являющихся энергетическими нормами, показывают, что величины энергии пластины, соответствующие приближенным решениям, близки к величине энергии, соответствующей точному решению.

В заключении приводятся основные результаты.

1. Разработаны две новые параметрические системы базисных ОФФ двух переменных на треугольных сетках, исследованы их аппроксимирующие свойства, определены значения параметров, для которых сеточные финитные функции являются ортогональными на каждой конкретной треугольной сетке.

2. Построен алгоритм нового численного метода - смешанный ВСМ, основанный на использовании вариационного принципа Рейсснера и ОФФ, связанных с треугольными сетками, предназначенный для исследования математических моделей изгиба упругих пластин.

3. Создан комплекс компьютерных программ на языке программирования С++, реализующих смешанный ВСМ, связанный с использованием смешанного вариационного принципа и ОФФ на треугольных сетках, в краевых задачах изгиба упругих пластин, имеющих сложную, криволинейную границу, переменные физические свойства и переменную толщину.

4. С помощью этого численного метода получены последовательности приближенных решений ряда задач, выполнено их взаимное сравнение и сравнение с известными решениями, приведены результаты исследования практической сходимости кинематических («основных» неизвестных функций) и силовых приближенных решений (частных производных «основных» неизвестных функций) и апостериорные оценки их сходимости. Показана высокая эффективность смешанного ВСМ в исследованиях математических моделей указанного класса упругих пластин, подтверждено, что кинематические и силовые приближенные решения имеют одинаковые характеристики гладкости, точности и высокое качество.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. О сходимости вариационно-сеточного метода // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия: Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 1 (11), 2002, с. 103-110. Соавтор: Леонтьев В.Л.

2. Об ортогональных сплайнах, связанных с треугольными сетками // Труды Средневолжского Математического Общества. Т. 3-4, №1, 2002, с. 168-174. Соавтор: Леонтьев В.Л.

3. Ортогональные финитные функции // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Труды Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике» (14-16 мая, 2002 г.). Т. 5. Ульяновск: УлГТУ, 2002, с. 29-31. Соавтор: Леонтьев В.Л.

4. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных квадратных пластин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.10, вып. 2, 2003, с. 489-491.

5. О сходимости вариационно-сеточного метода // Труды Тринадцатой Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (29-31 мая, 2003 г.). Самара: СамГТУ, 2003, с. 94-97. Соавтор: Леонтьев В.Л.

6. О сходимости вариационно-сеточного метода // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Труды Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (13-15 мая, 2003 г.). Т. 5. Ульяновск: УлГТУ, 2003, с. 76-79. Соавтор: Леонтьев В.Л.

7. Ортогональные финитные функции, связанные с треугольными сетками // Труды 5-ой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (16-18 июня, 2003 г.). Ульяновск: УлГУ, 2003, с. 113-116. Соавтор: Леонтьев В.Л.

8. О сходимости вариационно-сеточного метода теории пластин // Труды 5-ой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (16-18 июня, 2003 г.). Ульяновск: УлГУ, 2003, с. 99-101.

9. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных крестообразных пластин //Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.11, вып. 3, 2004, с. 654-656. Соавтор: Леонтьев ВЛ.

10.0 сходимости вариационно-сеточного метода в задачах изгиба крестообразных пластин со смешанными граничными условиями // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (26-28 мая, 2004 г.). Самара: СамГТУ, 2004, с. 129-131.

11.0 компьютерной технологии проектирования механических конструкций, связанной с использованием ортогональных финитных функций // Практика и перспективы применения ИПИ технологий в производстве: Труды научно-практического семинара (9-10 сентября, 2004 г.). Ульяновск: УлГУ, 2004, с 63. Соавтор: Леонтьев В.Л.

12. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных крестообразных пластин // Практика и перспективы применения ИПИ технологий в производстве: Труды научно-практического семинара (9-10 сентября, 2004 г.). Ульяновск: УлГУ, 2004, с. 60-61.

13.0 вариационно-сеточном методе теории пластин // Математическое моделирование. Т. 17, №3,2005, с. 23-34. Соавтор: Леонтьев В.Л.

14. Апостериорная оценка точности приближенного решения краевой задачи изгиба пластины // Труды Второй Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (1-3 июня, 2005 г.). Самара: СамГТУ, 2005, с. 157-160. Соавтор: Леонтьев В.Л.

15. Вариационно-сеточный метод решения задач изгиба пластин с различными граничными условиями // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и технике. Труды Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (17-19 мая, 2005 г.). Т. 4, Ульяновск: УлГТУ, 2005, с. 138-140. Соавтор: Леонтьев В.Л.

Подписано в печать 26.07.05. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №96/

Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

<

f

¡

/

í

11596t

РНБ Русский фонд

2006-4 12982

/

2.2.1. Определение системы функций

2.2.2. Ортогональность финитных функций, заданных на треугольной сетке

2.2.3. Аппроксимирующие свойства функций

§2.3. Обобщение двумерных ортогональных финитных функций

2.3.1. Триангуляция области, определение системы функций

2.3.2. Ортогональность функций

2.3.3. Аппроксимирующие свойства функций

Глава III. Смешанный вариационно-сеточный метод, основанный на применении ортогональных финитных функций на треугольных сетках

§3.1. Вариационный принцип и вариационносеточные уравнения

§3.2. Коэффициенты вариационно-сеточных уравнений

Глава IV. Исследование смешанного вариационно-сеточного метода, связанного с применением ортогональных финитных функций на треугольных сетках

§4.1. Исследование точности приближенных решений вариационно-сеточного метода и их сходимости в краевых задачах изгиба однородных и неоднородных пластин с различной формой границ

4.1.1. Изгиб квадратной пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.2. Изгиб квадратной пластины, шарнирно опертой по всей границе

4.1.3. Изгиб треугольной пластины, шарнирно опертой по всей границе

4.1.4. Изгиб эллиптической пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.5. Изгиб неоднородной квадратной пластины переменной толщины, жестко защемленной по всей границе

4.1.6. Изгиб крестообразных пластин со смешанными граничными условиями

4.1.7. Изгиб квадратной пластины со смешанными граничными условиями

4.1.8. Изгиб неоднородной крестообразной пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.9. Изгиб треугольной пластины, жестко защемленной по всей границе

4.1.10. Изгиб эллиптической пластины, шарнирно опертой по всей границе

4.1.11. Изгиб пластины, имеющей форму кругово го сектора и шарнирно опертой по всей границе

§4.2. Апостериорная оценка точности приближен ного решения краевой задачи изгиба пластины Заключение Литература

Вариационно-сеточные методы (ВСМ) являются одним из основных инструментов исследования математических моделей - краевых задач теории пластин [6, 9, 10, 37, 43, 57, 86, 87]. Основное развитие ВСМ теории пластин было связано с использованием вариационных принципов Ла-гранжа и Кастильяно [1, 47]. Экстремальные функционалы Лагранжа и Кастильяно позволяют вводить так называемые энергетические нормы [39] и исследовать сходимость решений, а также давать при совместном использовании функционалов апостериорную оценку точности приближенных решений [1]. Недостатками ВСМ, построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, являются: высокие требования к базисным функциям, необходимость выполнения кинематических краевых условий на этапе формирования аппроксимирующих линейных комбинаций базисных функций, пониженная гладкость и точность приближенных решений для деформаций и напряжений, вызванная численным дифференцированием приближенных решений для перемещений. Основной недостаток ВСМ, основанных на вариационном принципе Кастильяно, состоит в необходимости использования тензоров напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям. В вариационном принципе Рейсснера [85, 110] независимо аппроксимируются и варьируются перемещения и напряжения, что является причиной отсутствия недостатков, которые характерны методам, основанным на вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно, и указаны выше. Независимой аппроксимацией точных решений для перемещений и напряжений создаются предпосылки для сближения гладкости и точности приближенных решений для кинематических и силовых функций. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и продолжается в настоящее время (см., например, [7, 8, 11, 48, 49, 51, 52, 61, 63, 66, 68, 73, 74, 75, 81, 83, 84]). Функционал Рейсснера не имеет экстремума и не порождает норму, что затрудняет исследование сходимости приближенных решений. Указанным недостатком смешанных функционалов не обладают экстремальные смешанные функционалы В.И.Сливкера [52], но они сохраняют недостатки вариационного принципа Лагранжа: высокий порядок входящих в функционал производных, принадлежность кинематических условий группе главных краевых условий.

Актуальность темы исследования. При решении краевых задач теории пластин наиболее часто применяются методы, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Однако определение напряжений посредством дифференцирования полученного для перемещений приближенного решения приводит к приближенным решениям для напряжений, которые характеризуются пониженными точностью и гладкостью (см. [48]). В теории пластин при использовании вариационного принципа Лагранжа переход от приближенных решений для перемещений к приближенным решениям для изгибающих и крутящего моментов определяется вторыми частными производными и является причиной значительного снижения гладкости и точности силовых решений по сравнению с решениями для перемещений. Вариационный принцип Рейсснера является основой для построения численных методов, дающих в теории пластин приближенные решения для перемещений и напряжений, которые характеризуются одинаковой гладкостью и одним порядком точности. Особенно актуальным это является для задач с большими градиентами перемещений и напряжений. Развитие смешанных ВСМ началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время (см., например, [15, 17, 20, 62, 66, 67, 69, 71, 72, 75, 76, 89, 90, 91, 92, 93, 95, 96, 97, 99, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 112, 117]). Основной недостаток ВСМ - высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин, обостряется в смешанных ВСМ, так как независимая аппроксимация перемещений и напряжений дает увеличение числа сеточных неизвестных. На устранение этого недостатка смешанных методов направлено использование здесь

• систем ортогональных финитных функций (ОФФ). Исключение силовых неизвестных, возможное благодаря применению ортогональных финитных функций, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. При этом приближенные решения для перемещений и их частных производных (моментов, сил) характеризуются одинаковой гладкостью и точностью одного порядка.

До работ I.Daubechies [12, 79] считалось [54, с. 258], что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с наличием у функций компактных конечных носителей. Последнее является основным у функций, применяемых в вариационно-сеточных методов, поскольку делает матрицы системы сеточных уравнений разреженными. В работах [12, 79] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями. Но функции [12, 79] обладают сложной структурой, их симметрия (за исключением базиса Хаара), как показано в [12, 79], невозможна. Снижение степени несимметрии функций порождает [12, с. 342] увеличение длин конечных носителей функций и таким образом ведет к утрате основного свойства базисных функций, предназначенных для использования в алгоритмах численных методов. Регулярность этих функций возрастает с ростом длин их конечных носителей, что также приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений численных методов. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями [12, 79], не записываются в аналитической форме, что осложняет использова

• ние таких базисных функций в численных методах. Вейвлеты созданы для использования в цифровой обработке сигналов, изображений и не отвечают ряду требований алгоритмов численных методов. Применение таких базисных функций в алгоритмах численных методов решения краевых задач в областях с переменными характеристиками и с криволинейными границами порождает значительные трудности. Поэтому разработка ортогональных финитных функций двух переменных, связанных с треугольными сетками в областях со сложными границами, является актуальной задачей. Такие функции дают более точную аппроксимацию искомого точного решения краевой задачи в случаях областей с переменными геометрическими и физическими параметрами, в случаях областей со сложной границей за счет адаптивной геометрии треугольной сетки. Ортогональные финитные функции построены на треугольных сетках на основе функций Куранта таким образом, что эти ортогональные финитные функции отличаются от функций Куранта в меньшей части их конечного носителя. Вследствии этого аппроксимационные свойства ортогональных финитных функций на треугольных сетках определяются аппроксимацион-ными свойствами функций Куранта, а модификация связана только с приданием функциям свойства ортогональности. При сгущении треугольных сеток в аппроксимирующих линейных комбинациях ортогональных финитных функций повышается степень взаимной компенсации дополнительных финитных функций, деформирующих функции Куранта. Уменьшение размеров конечных носителей этих дополнительных функций является актуальной задачей, поскольку уже на редких сетках такие ортогональные финитные функции дают аппроксимацию, в большей части области близкую к аппроксимации функциями Куранта. При этом такие функции являются ортогональными и могут быть использованы для устранения основного недостатка смешанных вариационно-сеточных методов - повышенного по сравнению с вариационно-сеточными методами "в перемещениях" числа узловых неизвестных. Решение этой задачи создает фундамент для построения смешанных вариационно-сеточных методов, обладающих эффективными алгоритмами и не имеющих основных недостатков классических смешанных вариационно-сеточных методов.

Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов и

• численных методов механики деформируемого твердого тела, входящими в число основных методов математического моделирования и исследования математических моделей механики деформируемого твердого тела, внесли: Н.П.Абовский, В.И.Агошков, Н.П.Андреев, В.Б.Андреев,

B.И.Астафьев, Н.С.Бахвалов, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, К.З.Галимов,

A.П.Деруга, Л.М.Зубов, Ю.Г.Исполов, Л.М.Качанов, В.П.Кандидов, Г.М.Кобельков, В.Г.Корнеев, В.Л.Леонтьев, А.И.Лурье, Г.И.Марчук,

C.Г.Михлин, Л.А.Оганесян, Б.Е.Победря, В.А.Постнов, В.Л.Рвачев,

B.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, Л.А.Руховец, А.А.Самарский, Ю.Н.Санкин, Л.И.Седов, В.И.Сливкер, И.Г.Терегулов, В.С.Чернина, К.Ф.Черных, В.М.Фридман, J.H.Argiris, I.Babuska, G.Birkhoff, J.H.Bramble, F.Brezzi, P.G.Ciarlet, R.Courant, G.Fix, L.R.Herrmann, E.Hellinger, H.C.Hu, J.L.Lions, J.T.Oden, T.H.H.Pian, W.Prager, C.A.Prato, P.A.Raviart, J.N.Reddy, E.Reissner, G.Strang, R.Temam, E.Tonti, R.S.Varga, F.deVeubeke, K.Washizu,

A.Zenisek, O.C.Zienkiewicz, M.Zlamal. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G.Battle, C.K.Chui, R.R.Coifman, A.Cohen, I.Daubechies, P.G.Lemarie, S.Mallat, Y.Meyer, J.O.Stromberg, Ph.Tchamitchian, K.G.Wilson. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли: Н.М.Астафьева, М.З.Берколайко, В.А.Желудев, В.Г.Захаров,

B.Ф.Кравченко, Р.А.Лоренц, Т.П.Лукашенко, С.М.Машарский, В.Н.Малоземов, И.Я.Новиков, А.П.Петухов, В.И.Пустовойт, В.А.Рвачев, А.А.Саакян, М.А.Скопина, С.Б.Стечкин, Н.А.Стрелков, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных. Теория ортогональных финитных функций, являющаяся

• обобщением теории В-сплайнов и дополнением теории вейвлетов, создана в работах В.Л.Леонтьева [21, 22, 27, 31]. Эта теория и ее применение в смешанных вариационно-сеточных методах решения краевых задач получили развитие в работах В.Л.Леонтьева и его учеников [23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 94].

Цель работы: разработка ортогональных финитных непрерывных ку

• сочно-билинейных базисных функций на треугольных сетках, их исследование; создание на их основе эффективного смешанного вариационно-сеточного метода решения краевых задач теории пластин, его исследование.

Научную новизну составляют следующие результаты работы.

1. Развитие теории ОФФ, связанное с построением новых ОФФ на треугольных сетках.

2. Разработка нового численного метода - смешанного вариационно-сеточного метода решения задач изгиба однородных и неоднородных упругих пластин переменной толщины, имеющих сложную геометрию границы.

Положения выносимые на защиту.

1. Создание новых систем параметрических финитных функций на треугольных сетках, исследование их аппроксимирующих свойств. Определение значений параметров ортогональных финитных функций.

2. Новый численный метод исследования математических моделей упругих пластин, который

- основан на смешанном вариационном принципе;

- связан с использованием ОФФ;

- является эффективным инструментом изучения изгиба неоднородных пластин, имеющих переменную толщину и сложную геометрию границы;

- позволяет находить приближенные решения краевых задач изгиба упругих пластин для основных неизвестных функций (прогиба пластины),

• для их первых частных производных (углов поворота нормали к срединной плоскости пластины), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов), третьих частных производных (перерезывающих сил), характеризующиеся одинаковой гладкостью и точностью одного порядка;

- обеспечивает определение приближенных решений для кинематиче

• ских и силовых факторов за счет примерно такого же числа арифметических операций, как в ВСМ «в перемещениях», позволяющем на первом (основном) шаге алгоритма метода находить только приближенные решения для перемещений.

3. Исследование точности и характера сходимости силовых и кинематических приближенных решений, получаемых с помощью смешанного ВСМ в задачах теории однородных и неоднородных пластин, имеющих сложную границу.

Теоретическое значение диссертационной работы заключается в создании новых параметрических систем ортогональных непрерывных базисных ОФФ, связанных с последовательностями сгущающихся треугольных сеток, и на их основе - смешанного ВСМ решения краевых задач теории пластин, у которого отсутствует основной недостаток, имеющийся у классических смешанных ВСМ и связанный с увеличенным числом узловых неизвестных. Приближенные решения для перемещений и для их первых производных (углов поворота нормали), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов) и третьих частных производных (перерезывающих сил), которые дает такой ВСМ, характеризуются тем, что они имеют одинаковую гладкость и точность одного порядка. Получение таких решений достигается, в отличие от классических смешанных методов, решением систем сеточных уравнений, имеющих более чем в два раза меньшее число узловых неизвестных. Это число неизвестных совпадает с числом неизвестных в методе "в перемещениях", основанном на вариаци

• онном принципе Лагранжа. Но данный метод превосходит метод "в перемещениях", поскольку дает приближенные решения для перемещений и моментов, сил (производных перемещений) одинаковой гладкости и точности. Таким достоинством метод "в перемещениях" не обладает, поскольку при определении приближенного решения для моментов и сил требует численного дифференцирования, приводящего к значительному снижению точности, характеризующей приближенной решение для перемещений, и к появлению разрывов. Численное дифференцирование может привести к статически неуравновешенной системе внутренних сил и моментов в задаче статики. Таким образом, предлагаемый вариационно-сеточный метод обладает качественными и количественными преимуществами перед классическими смешанными численными методами и перед численными методами "в перемещениях". Предлагаемый вариационно-сеточный метод может быть использован также для решения краевых задач математической физики, теории упругости и др. Для этого следует использовать соответствующие вариационные принципы или проекционные условия.

Предложенные ортогональные финитные функции, с помощью которых строятся ВСМ, основанные на вариационном принципе Рейсснера, могут быть также использованы в ВСМ, связанных с другими вариационными принципами, а также при построении геометрических моделей механических устройств.

Практическое значение диссертационной работы состоит, во-первых, в том, что построенный ВСМ является эффективным инструментом исследования пластинчатых элементов механизмов и конструкций, в которых необходимо проводить анализ основных неизвестных функций (перемещений) и их производных (деформаций, напряжений), и, во-вторых, в том, что созданные системы ортогональных финитных функций являются средством математического моделирования механических устройств.

Заключение

1. Разработаны две новые параметрические системы ортогональных финитных функций двух переменных на треугольных сетках, исследованы их аппроксимирующие свойства, определены значения параметров, для которых сеточные финитные функции являются ортогональными на каждой конкретной треугольной сетке.

2. Построен алгоритм нового численного метода - смешанного вариационно-сеточного метода, основанного на использовании вариационного принципа Рейсснера и ортогональных финитных функций, связанных с треугольными сетками, предназначенный для исследования математических моделей изгиба упругих пластин.

3. Создан комплекс компьютерных программ на языке программирования С++, реализующих данный смешанный вариационно-сеточный метод исследования краевых задачах изгиба упругих пластин, имеющих сложную, криволинейную границу, переменные физические свойства и переменную толщину.

4. С помощью этого вариационно-сеточного метода с использованием комплекса программ получены последовательности приближенных решений ряда задач, выполнено их взаимное сравнение и сравнение с известными решениями, приведены результаты исследования практической сходимости кинематических («основных» неизвестных функций) и силовых приближенных решений (частных производных «основных» неизвестных функций) и апостериорные оценки их сходимости. Показана высокая эффективность смешанного вариационно-сеточного метода в исследованиях математических моделей указанного класса упругих пластин, подтверждено, что кинематические и силовые приближенные решения имеют одинаковые характеристики гладкости и точности. Приближенные решения характеризуются высоким качеством.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978, 288 с.

2. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физич. наук, т. 166, N11, 1998, с.1145-1170.

3. Астафьев В.И. Смешанная формулировка метода конечных элементов в задачах изгиба тонких пластин при установившейся ползучести // В книге: Деформирование и разрушение твердых тел. М.: изд-во МГУ, 1977, с. 71-77.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973, 631 с.

5. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Пер.с англ. М.: Мир, 1987. 542 с.

6. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956, 419 с.

7. Ворошко П.П. Формулировка вариационных принципов типа Рейсснера для классических задач термоупругости // Доклады АН УССР, N3, 1984, с. 31-34.

8. Ворошко П.П. Смешанные вариационные формулировки задач теории упругости и их реализация методом конечных элементов // Проблемы прочности, N1, 1985, с. 100-105.

9. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки // Вестник инженеров, т. 1, N 19, 1915, с. 897-908.

10. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976, 512 с.

11. К.З.Галимова, 80-летию проф. М.С.Корнишина, 26-30 июня 2000 г., Казань, 2000, с. 36.

12. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001,464 с.

13. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1982, 568 с.

14. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН, Механика твердого тела, N3, 1992, с. 48-64.

15. Заботина Л.Ш., Карчевский М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории непологих оболочек // Матем. моделир. и краевые задачи: Труды 8-й Научной межвуз. конф., Самара, 26-28 мая, 1998, часть 1, Самара: СамГТУ, 1998, с. 64-66.

16. Исполов Ю.Г., Сливкер В.И. Об одном эффекте возникающем при использовании метода конечных элементов в смешанной форме // Строительная механика и расчет сооружений, N1, 1984, с. 43-48.

17. Карчевский М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории тонких оболочек // Журнал вычислит, математики и матем. физики, т. 38, N2, 1998, с. 324-329.

18. А. С. Калманок, Расчет пластинок. М: Гос. издат. лит. по строит., архит. и строит, матер., 1959, 212 с.

19. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Ортонормированные системы типа wavelet на основе атомарных функций // Доклады РАН, т. 351, N1, 1996, с. 16-18.

20. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Контактная задача для многослойной анизотропной оболочки вращения // Прикл. проблемы механики тонкостенных конструкций: Сб. научн. ст., Ин-т мех. МГУ, М: МГУ, 2000, с. 205-223.

21. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов теории упругости. Смешанныевариационные формулировки. Ульяновск: изд-во Средневолжского научн. центра, 1998, 168 с.

22. Леонтьев В.Л., Лукашанец Н.Ч.О сеточных базисах ортогональных финитных функций // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1999, т. 39, N7, с. 1158-1168.

23. Леонтьев В.Л., Леонтьев А.В. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные колебания упругих оболочек // Математическое моделирование, т. 12, N3, 2000, с. 31-32.

24. Леонтьев В.Л., Яшин Д.А.Ортогональные финитные функции на тетраэдральных сетках // Обозрение прикл. и промышл. математики, т.8, вып. 2, 2001, с. 633.

25. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные значения // Журнал вычислит, математики и матем. физики, том 41, N6, 2001, с. 874-880.

26. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Ортогональные финитные функции в вариационно-сеточных методах теории криволинейных стержней // Математическое моделирование, т. 14, N 2, 2002, с. 39-50.

27. Леонтьев В.Л., Ортогональные сплайны и вариационно-сеточный метод // Математическое моделирование, т. 14, N 3, 2002, с. 117-127.

28. Леонтьев В.Л. О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода // Сибирский журнал вычислит, математики, т. 5, N1, 2002, с. 25-34.

29. Леонтьев В.Л. Вариационно-сеточный метод решения задач о собственных колебаниях упругих трехмерных тел, связанный с использованием ортогональных финитных функций // Известия РАН. Механика твердого тела. N3, 2002, с. 117-126.

30. Леонтьев В.Л., Мелентьев А.Ю. Сеточные методы теории криволинейных стержней // Математическое моделирование, т. 15, N10, 2003, с. 95-104

31. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // Прикладная математика и механика, т. 4, N 2, 1940, с. 7-34.

32. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1981, 416 с.

33. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, 1957, 476 с.

34. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Физматгиз, 1966, 432 с.

35. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977, 455 с.

36. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук, т. 53, N 6 (324), 1998, с. 53-128.

37. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962, 431 с.

38. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. 4.1 Дифф. уравнения и их применение, 1973, вып. 5, Вильнюс, 394 с.

39. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: изд-во МГУ, 1981, 343 с.

40. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999, 132 с.

41. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1978, 224 с.

42. Розин Л.А. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов // Известия вузов. Стр-во, N8, 1999, с. 22-28

43. Ромашов Ю.В., Сало В.А. Метод двусторонней оценки численных решений задач теории упругости, полученных при помощи функционала Рейсснера // Вестник Харьков, политехнич. ун-та, N53, 1999, с. 25-30.

44. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1987, 288 с.

45. Санкин Ю.Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами. Саратов: изд-во СГУ, 1977, 312 с.

46. Сливкер В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем // Известия АН СССР, Механика твердого тела, N4, 1982, с. 88-97.

47. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976,248 с.

48. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1977, 349 с.

49. Субботин Ю.Н. Почти-ортогонализация в методе конечных элементов // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 36, N3, 1996, с. 101-108.

50. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. / Под ред. Галимова К.З. -Казань: изд-во Казан, ун-та, 1977,211 с.

51. Тимошенко С.П Пластинки и оболочки. Пер. с англ. / M.-JL: Гостехиздат, 1948, 460 с.

52. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Пер. с англ. /М.: Физматгиз, 1966, 636 с.

53. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. / Под ред. Шапиро Г.С. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1979, 560 с.

54. Тимошенко С.П. Курс теории упругости / Под ред. Григолюка Э.И. Киев: Наукова думка, 1972, 501 с.

55. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости // В сб. переводов "Механика", N5 (117), 1969, с. 124-138.

56. Фаворский А.П. Об использовании вариационных принципов в численном моделировании // В книге: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, с. 312-320.

57. Фридман В.М., Чернина B.C. Видоизменение метода Бубнова-Галеркина-Ритца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1969, N1, с. 64-78.

58. Чуй К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001, 412 с.

59. Antoine J.P., Bagarello F. Wavelet-like orthonormal bases for the lowest Landau level // J. Phys. A., 27, N7, 1994, p. 2471-2481.

60. Auricchio F., Taylor R.L. A mixed-enhanced finite elements for the analysis of laminated composites // Int. J. Numer. Meth. Eng., 44, 1999, p. 1481-1504.

61. Batoz J.-L., Katili I. On a simple triangular Reissner-Mindlin plate element based on imcompatible modes and discrete constraints // Int. J. Numer. Meth. Eng., 35, N8, 1992, p. 1603-1632.

62. Beltran F.J., Alarcon E. Accuracy estimates based on multifield variational principles // Eur. J. Mech. А., П, N4, 1992, p. 487-518.

63. Bergmann V.L., Mukherjee S. A hybrid strain finite element for plates and shells // Int. J. Numer. Meth. Eng., 30, N2, 1990, p. 233-257.

64. Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Comput., 24, 1970, p. 809-821.

65. Brezzi F., Bathe K.J., Fortin M. Mixed-interpolated elements for Reissner-Mindlin plates // Int. J. Numer. Meth. Eng., 28, N8, 1989, p. 1787-1801.

66. Campbell J.S., Horgan B. A curved triangular plate bending element for Kirchhoff plates using a CO coharmonic mixed two-field formation // Commun. Appl, Numer. Meth., 6, N5, 1990, p. 351-358.

67. Carrera E. Developments, ideas and evaluations based upon Reissner's mixed variational theorem in the modeling of multilayered plates and shells // Applied Mechanics Review, 54, 2001, p. 301-329.

68. Carrera E. A Reissner's mixed variational theorem applied to vibration analysis of multilayered shells // J. Applied Mechanics, 66, No. 1, 1999, p. 69-78.

69. Carrera E, Demasi L. Sandwich plate analysis by finite plate element and Reiss-ner mixed theorem // V Int. Conf. Of Sandwich Construction, I, 2000, p. 301-312, Zurich, Sept. 5-7.

70. Celigoy C.C. A strain-and-displacement-based variational method applied to geometrically non-linear shells // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N13, 1996, p. 2231-2248.

71. Ciarlet P.G. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the plate problem // Lect. Notes Math., 363,1974, p. 21-31.

72. Cohen A., Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets III: Better frequency localization // SIAM J. Math. Anal., 24, 1993, p. 520-527.

73. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. « Pure and Appl. Math., 41, 1988, p. 909-996.

74. Daubechies I. Wavelet transforms and orthonormal wavelet bases // Differ. Per-spect. Wavelets: Amer. Math. Soc. Short Course. San Antonio, Tex., Jan. 11-12, 1993. Providence (R.I.), 1993, p. 1-33.

75. Dost S., Tabrrok B. A mixed variational formulation for large deformation analysis of plates // Appl. Math, and Mech., 10, N7, 1989, p. 611-621.

76. Harvey J.W., Kelsey S. Triangular plate bending element with enforced compatibility//AIAA J., 9, N6, 1971, p. 1023-1026.

77. He J.-H. Further study of the equivalent theorem of Hellinger-Reissner and Hu-Washizu variational principles // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 20, N5, 1999, p. 545-556.

78. He J.-H. Generalized Hellinger-Reissner principle // Trans. ASME J. Appl. Mech., 67, N2,2000, p. 326-331.

79. Hellinger E. Dir allegemeinen Ansatze der Mechanik der Kontinua // In: Ency-clopadie der Mathematischen Wissenschaften, Bd.4, Teil 4, Teubner, Leipzig, 1914, p. 601-694.

80. Herrmann L.R. A bending analysis for plates // Proc. (First) Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.- AFFDL -TR-66-80, Oct. 1965, p. 577-604.

81. Herrmann L.R. Finite element bending analysis of plates // J. Engng. Mech. Div. ASCE, 93, No. EM-5, 1967, p. 13-26.

82. Ни H.C. On some variational principles in the theory of elasticity and plasticity // Scintia Sinica, 4, N1, 1955, p. 33-54.

83. Johnson C. On the convergence of a mixed finite element method for plate bend-» ing problems // Numer. Math., 21, N1, 1973, p. 43-62.

84. Kim Y.Y., Kim J.G. A simple and efficient mixed finite element for axisymmet-ric shell analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N11, 1996, p. 1903-1914.

85. Kim J.G., Kim Y.Y. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N5, 1998, p. 925-940.

86. Kikuchi F., Ando Y. Rectangular finite element for plate bending analysis based on Hellinger-Reissner's variational principle // J. Nuclear Sci. and Tech., 9, 1972, p. 28-35.

87. Kikuchi F., Ando Y. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending // Nuclear Engin. and Design, 24, 1973, p. 357-373.

88. Li X.K.,Cescotto S., Duxbury P.G. A mixed strain element method for pressure-dependent elastoplasticity at moderate finite strain // Int. J. Numer. Meth. Eng., 43, N1, 1998, p. 111-129.

89. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Trans. Amer. Math. Soc., 315, N1, 1989, p. 69-87.

90. Meftah F., Reynouard J.M. A multilayered mixed beam element in gradient plasticity for the analysis of localized failure modes // Mech. Cohesive-Friction. Mater., 3, N4, 1998, p. 305-322.

91. Meyer Y. Ondelettes sur l'intervalle // Rev. Math. Iberoamericana, 7, 1992, p. 115-133.

92. Nakazawa M. A note on the convergence of nonconforming finite element solutions in plate bending // J. Faculty Textile Science and Technol. Shinshu University, N70, 1976, p. 15-40.

93. Nataraj N., Brattacharyya P.K., Balasundaram S., Gopalsamy S. On a mixedhybrid finite element method for anisotropic plate bending problems // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N23, 1996, p. 4063^1089.

94. Noor A.K., Andersen C.M. Mixed isoparametric finite element models of laminated composite shells // Сотр. Meth. Appl. Mech. and Eng., 11, N3, 1977, p. 255-280.

95. Pereira E.M.B.R., Freitas J.A.T. A mixed-hybrid finite element model based on orthogonal functions // Int. J. Numer. Meth. Eng., 39, N8, 1996, p. 1295-1312.

96. Pian T.H.H. Variational and finite element methods in structural analysis // Isr. J. Technol., 16, N1-2, 1978, p. 23-33.

97. Piltner R., Taylor R.L. A systematic construction of B-bar functions for linear and non-linear mixed-enhanced finite elements for plane elasticity problems // Int. J.r

98. Numer. Meth. Eng., 44, N5, 1999, p. 615-639.

99. Prato C.A. Shell finite element method via Reissner's principle // Int. J. Solids and Struct., 5, N10, 1969, p. 1119-1133.

100. Quadrelli B.M., Atluri S.N. Analysis of flexible multibody systems with spatial beams using mixed variational principles // Int. J. Numer. Meth. Eng., 42, N6, 1998, p. 1071-1090.

101. Reissner E. The effect of transverse-shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech., 12, No. 2, 1945, p. A.69-A.77.

102. Reissner E. On a variational theorem in elasticity // J. Math. Phys., 29, No. 2, 1950, p. 90-95.

103. Reissner E. A note on variational principles in elasticity // Int. J. Solids and * Struct., 1, N 1, 1965, p. 93-95.

104. Rigby F.H., Webster J.J., Henshell R.D. Hybrid and Hellinger-Reissner plate and shell finite elements // Hybrid and mixed finite elem. meth. Int. Symp., Atlanta, 8-10 Apr., 1981, Chichester e.a., 1983, p. 73-92.

105. Strang G. Approximation in the finite element method // Numer. Math., 19, 1972, p. 91-98.

106. Strang G. Wavelets // Amer. Sci., 82, N3, 1994, p. 250-255.

107. Washizu K. On the variational principles of elasticity and plasticity // Massachusetts Institute of Technology, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Cambridge, Massachusetts, March 1955.

108. Zenisek A. Interpolation polynomials on the triangle // Numer. Math., 15, 1970, p. 283-296.

109. Zenkour Ashraf M. Natural vibration analysis of symmetrical cross-ply laminated plates using a mixed variational formulation // Eur. J. Mech. A., 19, N3, 2000, p. 469-485.

110. Zhou Y., Wang J., Zheng X. Application of wavelet Galerkin fem to bending of beam and plate structures // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 19, N8, 1998, p. 745-755.

111. Научные работы автора диссертации:

112. О сходимости вариационно-сеточного метода // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия: Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 1 (11), 2002, с. 103-110. Соавтор: Леонтьев В.Л.

113. Об ортогональных сплайнах, связанных с треугольными сетками // Труды Средневолжского Математического Общества. Т. 3-4, №1, 2002, с. 168-174. Соавтор: Леонтьев В.Л.

114. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных квадратных пластин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 10, вып. 2, 2003, с. 489-491.

115. О сходимости вариационно-сеточного метода // Труды Тринадцатой Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (29-31 мая, 2003 г.). Самара: СамГТУ, 2003, с. 94-97. Соавтор: Леонтьев В.Л.

116. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных крестообразных пластин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 11, вып. 3, 2004, с. 654-656. Соавтор: Леонтьев В.Л.

117. Сходимость вариационно-сеточного метода для неоднородных крестообразных пластин // Практика и перспективы применения ИЛИ технологий в производстве: Труды научно-практического семинара (9-10 сентября, 2004 г.). Ульяновск: УлГУ, 2004, с. 60-61.

118. О вариационно-сеточном методе теории пластин // Математическое моделирование. Т. 17, №3, 2005, с. 23-34. Соавтор: Леонтьев В.Л.

119. Апостериорная оценка точности приближенного решения краевой задачи изгиба пластины // Труды Второй Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (1-3 июня, 2005 г.). Самара: СамГТУ, 2005, с. 157-160. Соавтор: Леонтьев В.Л.