автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Смешанный метод конечных элементов в создании и исследовании моделей формообразования тонкостенных профилей

На правах рукописи

Лавыгин Дмитрий Сергеевич

СМЕШАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СОЗДАНИИ И ИССЛЕДОВАНИИ МОДЕЛЕЙ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 и ДПР 2014

Ульяновск - 2014 005546891

005546891

Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ульяновский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Леонтьев Виктор Леонтьевич

Научный консультант: кандидат технических наук

Левщанов Владимир Викторович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор,

ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет», профессор кафедры материаловедения и обработки металлов давлением Филимонов Вячеслав Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет», доцент кафедры прикладной математики и информатики Саушкин Михаил Николаевич

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тольятшнский государственный университет»

Защита диссертации состоится «14» мая 2014 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет» по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияги, 106, корп.1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа - http://ppo.ulsu.ru, с авторефератом -на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации http://vak.ed.gov.ru.

Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан «Од>> ОЦ 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.278.02 кандидат физико-математических наук, доцент Волков М. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена созданию и исследованию моделей процессов формообразования тонкостенных профилей смешанным методом конечных элементов с использованием ортогональных финитных функций.

Актуальность исследования

Широкое распространение тонкостенных металлических профилей обусловлено постоянно нарастающими объемами отечественного промышленного производства. Область их применения включает в себя строительство, машиностроение, авиастроение, автомобилестроение и др. Сложность производства металлических профилей сопряжена с большими трудозатратами и наукоемкостью при проектировании и отладке технологии их изготовления, что оказывает существенное влияние на конечную стоимость продукции. Другим сдерживающим фактором являются значительные затраты времени на подготовку соответствующей технологической платформы, которые связаны с аналитическими и экспериментальными исследованиями. Натурный эксперимент является наиболее трудоемким и длительным этапом и предполагает использование дорогостоящего оборудования. Перспективным направлением в решении этой проблемы является применение новых методов математического моделирования процессов формообразования в средах специализированных конечно-элементных программных комплексов и их использование с целью повышения уровня проектирования соответствующего технологического оборудования.

В настоящее время для моделирования формообразования тонкостенных профилей используются такие программные продукты зарубежных производителей, как ANSYS, LS-DYNA, COPRA RollForm и др. Современные CAD-системы, как правило, имеют в своем составе расчетные конечно-элементные модули, позволяющие проводить анализ напряженно-деформированного состояния конструкции. Однако, подобные программные продукты зачастую имеют ограниченный инструментарий для постпроцессорной обработки результатов и характеризуются высокими требованиями к аппаратной части вычислительных систем, что вынуждает пользователей использовать модели меньшей размерности, либо вводить упрощения и ограничения, отрицательно влияющие На точность получаемых результатов. Большинство недостатков существующих конечно-элементных пакетов связано с особенностью используемой формулировки метода конечных элементов "в перемещениях". Увеличение производительности вычислений и точности получаемых решений может быть достигнуто применением смешанных формулировок метода конечных элементов, основанных на вариационном принципе Рейс-снера1, с использованием ортогональных финитных функций2. Создание комплекса программ, реализующего метод конечных элементов (МКЭ) в смешанной постановке с использованием ортогональных финитных функций и предназначенно-

' Wisniewski К. Finite rotation shells. Basic equations and finite elements for Reissner kinematics. - Springer, 2010. P. 483.

2 Леонтьев В. Л. О свойствах ортогональных финитных функций и об их использовании в алгоритмах численных методов // Фундаментальные исследования. 2012. № 11 (3). С. 696-699.

го для математического моделирования формообразования тонкостенных профилей, является актуальной задачей.

Объектом исследования являются процессы формообразования и их изучение с помощью конечно-элементных моделей, а также реализация этих моделей и алгоритмов метода конечных элементов в комплексе программ.

Предметом исследования являются алгоритмы численных методов и конечно-элементные математические модели, а также приложения их программной реализации в технических задачах.

Цель и задачи диссертации

Целью данной работы является разработка комплекса программ конечно-элементного анализа в смешанной форме с использованием ортогональных финитных функций и его применение для решения технических задач - получения схем формообразования и технологических параметров формообразующих инструментов при производстве корытообразных профилей специальной формы.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Построение численных методов теории стержней в форме смешанного вариационно-сеточного метода и метода конечных элементов с использованием функций Куранта и ортогональных финитных функций для проведения сравнения методов;

2. Построение смешанного метода конечных элементов теории пластин с использованием ортогональных финитных функций и соответствующих конечно-элементных моделей пластин;

3. Построение смешанного метода конечных элементов трехмерной теории термоупругости с использованием ортогональных финитных функций и соответствующих конечно-элементных моделей трехмерных упругих элементов конструкций;

4. Разработка структуры программного комплекса конечно-элементного анализа в смешанной форме, учитывающей его взаимодействие с внешними программными библиотеками решателей систем алгебраических уравнений, с существующими препроцессорами и с комплексом АЫвУБ;

5. Верификация приближенных численно-аналитических решений, получаемых с помощью созданного конечно-элементного комплекса;

6. Применение созданного программного продукта к решению актуальных задач формообразования перфорированных корытообразных профилей специальной формы.

Методы исследования

В диссертационной работе применялись методы конечно-элементного моделирования, численные методы решения систем алгебраических уравнений, объектно-ориентированного и структурного программирования, вариационного исчисления, механики сплошных сред, теории аппроксимации.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в создании новых алгоритмов численно-аналитических смешанных методов конечных элементов, связанных с ортогональными финитными функциями, в их программной реализации, верификации и в получении решений актуальных технических задач с более высокими характе-

ристиками, создающими возможности для повышения уровня проектирования технологических процессов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Алгоритмы новых смешанных методов конечных элементов для одномерных, двумерных и трехмерных задач напряженно-деформированного состоянии упругих конструкций, связанные с использованием ортогональных финитных функций;

2. Новые конечно-элементные модели упругих стержней, пластин, трехмерных тел, порождаемые алгоритмами смешанного метода конечных элементов;

3. Новый алгоритм решения разреженных систем уравнений смешанного метода конечных элементов, построенных с использованием ортогональных финитных функций;

4. Комплекс программ конечно-элементного анализа, включающий в себя подпрограммы, реализующие алгоритмы смешанного метода конечных элементов, решатели, верификаторы, средства обработки входных и выходных данных и среду трехмерной визуализации результатов;

5. Конечно-элементные модели корытообразных профилей специальной формы.

Достоверность и обоснованность результатов

Достоверность результатов, полученных в данной работе, обеспечивается корректностью применения математического аппарата и строгостью постановки задачи. Достоверность также подтверждается проведенными компьютерными экспериментами и результатами тестирования разработанного программного комплекса. Ряд результатов, полученных в данной работе, подтверждается известными исследованиями других авторов.

Практическая и теоретическая значимость

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в возможности, с учетом применения ортогональных финитных функций, использования смешанных конечно-элементных моделей больших размерностей для решения технических задач формообразования.

Апробация работы

Результаты основных положений диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-практической конференции «Современная наука: теоретический и практический взгляд» (Уфа, 29-30 октября 2013 г.), на итоговом весеннем мероприятии по программе «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» (Ульяновск, 2013 г.), на международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2012» (Одесса, 2-12 октября 2012 г.), на 45-й научно-технической конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 24-29 января 2011 г.), на всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и вопросы преподавания информатики в учебных заведениях» (Ульяновск, 31 марта 2010 г.), на 12-й региональной молодежной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2-4 декабря 2009 г.), а

также на заседании кафедры информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета (в полном объеме диссертации).

Личный вклад

Постановки краевых задач и определение общей структуры алгоритмов методов конечных элементов, связанных с использованием ортогональных финитных функций, в одномерных, двумерных и трехмерных задачах, а также определение основных направлений их применения при решении технических задач осуществлялись научным руководителем профессором Леонтьевым В.Л. Личный вклад соискателя состоит в разработке и программной реализации новых алго--ритмов смешанных методов конечных элементов решения задач теории стержней, задач теории пластин и трехмерных задач теории термоупругости, в которых используются различные ортогональные финитные функции, а также в решении технических задач формообразования корытообразного профиля с использованием авторского комплекса программ, основанного на разработанных конечно-элементных моделях и численных методах. Консультирование по вопросам решения конкретных технических задач осуществлялось кандидатом технических наук Левщановым В.В.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 4 статьи из перечня изданий, рекомендованных ВАК, и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 120 наименований. Основная часть работы изложена на 157 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 38 таблиц.

Использование результатов

Результаты проведенных исследований рассмотрены экспертной комиссией ОАО «Ульяновский НИАТ», были отмечены научная новизна и практическая значимость работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрены актуальность исследования и цель работы.

В первой главе проведен обзор литературных источников, отражающих методы и способы получения тонкостенных перфорированных профилей. Показано, что применение перфорированных профилей обусловлено рядом экономических факторов. Несмотря на неоспоримые преимущества профилированных изделий, их реальное использование зачастую затруднительно в виду ряда сложностей, связанных с необходимостью проведения предварительных прочностных расчетов. Современные численные методы, основанные на вариационных принципах механики деформируемого твердого тела, позволяют проводить анализ напряженно-деформированного состояния твердых тел, обладающих геометрической неоднородностью. Однако, среди существующих программных реализаций вариационно-сеточных методов, наибольшее распространение получил метод конечных элементов «в перемещениях», основанный на вариационном принципе Лагранжа. Данный метод отличается относительной простотой программной реа-

лизадии и приемлемым затратами машинного времени, но не обеспечивает достаточной гладкости и точности получаемых приближенных решений для напряжений и деформаций. Эти недостатки отсутствуют в смешанном вариационно-сеточном методе, но при этом появляется другой недостаток - значительно большее число узловых неизвестных. Известно , что применение ортогональных финитных функций позволяет устранить последний недостаток смешанных вариационно-сеточных методов. Однако матричные алгоритмы численных методов такого типа в форме методов конечных элементов, придающей алгоритмам преимущества, позволяющие осуществлять создание эффективных универсальных комплексов, предназначенных для решения сложных технических задач, отсутствовали.

Анализ существующих пакетов программ конечно-элементного моделирования показал, что смешанные вариационно-сеточные методы чаще всего реализованы в исследовательских программных продуктах, таких как: БЕшСЗ, В1йраск, ЬМтГеш, ЕВтГеш и СИтГет, с целью решения задач динамики жидкостей и вязких сред. Программный комплекс РгоЬ8о1 использует возможности смешанного вариационно-сеточного метода решения двумерных задач теории пластин с применением ортогональных финитных функций, однако построен в форме вариационно-сеточного метода с использованием исследовательского математического пакета и не предоставляет возможностей пре- и постпроцессинга, что делает практическое применение данного комплекса затруднительным при решении сложных инженерных задач.

Среди программных комплексов, позволяющих осуществлять прикладные исследования, следует выделить АИБУЗ, который, однако, не предоставляет смешанных постановок с использованием ортогональных финитных функций для задач механики деформируемого твердого тела. Пакет АЫБУБ обладает недостатками, характерными для метода конечных элементов «в перемещениях» (типа Ла-гранжа).

Первая глава позволила сформулировать цели и задачи диссертационного исследования.

Во второй главе выполнено построение алгоритмов смешанного вариационно-сеточного метода и смешанного метода конечных элементов теории стержней с использованием одномерных аппроксимирующих функций Куранта и ортогональных финитных функций2:

(л/4Т - 5) (*, - X - /ч-ОДг^-!), ж е [1Н. *[-1 + /¡1-1/4],

¿"1-1

1 + (>/41 - 5)(*, - х)/(2км1 X £ [х, - ht.J4.Xt],

?>!(*) Н 1 + (>/4Т-5)(х-х,)/(2Л|). хе + Л,_1/4], (1)

уг _ ,е[;С1 + ,,.1/4Ди _ Л.1_1/4],

(>/41 - 5)(х - - ад/рад, г 6 [*(+! - Л[/4,*т],

О, х Е [*(_!, х|+1],

где кI — х(+1 — х,- - шаг конечно-элементной сетки.

Запись величин задачи теории стержней в матричном виде и их дальнейшие преобразования позволили перейти к смешанному вариационно-сеточному мето-

ду в форме метода конечных элементов, сумма локальных матриц которого по всем конечным элементам имеет вид:

[Л] =

/а-м

"00

а*С1) "01

0

«Ч^ + сч®

О

\о

где «г-

жесткости, содержащей

,.(2) 12

о о

—

■21

,<С2)

+43

(3)

О О о о

„•(»-« "п- 1?Г

"п-ш

1 + ал-1п-1

О О О О

\

(2)

локальной

матрицы. функций.

матричные коэффициенты производные аппроксимирующих Аналогичным образ.ом строятся системы с коэффициентами локальных матриц [В] и [В*], которые не содержат производных аппроксимирующих функций.

Подстановка сумм локальных матриц в функционал /(/?,<?, А/,И0 = рт[А}М + РТ[В](} + ШТ[А](} + ШТ[Р] - МТ[А]Р + МТ[В']М - (}Т[А]Ш + (}Т[В]Р и его дифференцирование по узловым неизвестным р1 — углам певорота нормали к срединной поверхности пластины, — перерезывающим силам, Мг — изгибающим моментам, Щ - крутящему моменту, являющихся элементами матриц-столбцов /?, (}, М, IV, приводит к построению глобальной системы сеточных уравнений с использованием локальных матриц жесткости конечных элементов.

Построен алгоритм смешанного метода конечных элементов теории пластин, связанный с ортогональными финитными функциями. Коэффициенты при узловых матричных неизвестных в локальных подсистемах сеточных уравнений:

1 (3У! - 5Ук - 3У/ + 2Ук 3 ук - 2 У) - у(

4е) ЗУ1-У;-2Ук 5ук -5у,

\Ук-2У1-ЗУ1 ЗУ]~Ук~2у1

/5х, - 5хк XI - ЗxJ + 2хк А^ = -— Зх1-х1 - 2хк - 5Х(

^ - 2Х] - 3х1 Щ -хк- 2х1

1 0 -рц* 0 1 0 , ь \0 0 1/

2у, + у,- Зук

Зхк - 2Х] - X; 2x1 Зхк

5х1 — 5Х]

(3)

п

1у

о

3

входящие в локальные матрицы жесткости конечного элемента, были непосредственно включены в глобальную систему сеточных уравнений без использования матрицы кинематических связей, что существенно уменьшило число арифметических операций, затрачиваемых на формирование дискретной конечно-элементной модели пластины, математическое описание которой дается полученными в работе матрицами жесткости конечного элемента.

Построен алгоритм смешанного метода конечных элементов в трехмерной теории термоупругости. Переход к трехмерной задаче теории упругости с использованием кубического конечного элемента (рис. 1) потребовал получения соответствующих функций формы, которые были определены через тензорные произведения одномерных аппроксимирующих функций (1). Преобразования к матричному виду величин исходного функционала Рейсснера, построенного на основе

г'

т/

У

Рисунок 1 - Форма трехмерного конечного элемента

трех уравнений равновесия и шести соотношений обобщенного закона Гука с учетом термоупругости, привели к получению четырех локальных матриц узловых коэффициентов с использованием функций Куранта:

Jyz

к

« » Т

2 -1

-1 1

"4

л

1 1

2 1

2

1 -i = .

1

2 1 4 1

Vi

А

1 1

JW

- К

_1 2 -1

-1

2 _1 4 _1

2 1

1 4 1 1

2 2 1 1 2 2

-1

2 1

~2 -1

_1

2 1

"4 1

-1

2 1

2

-1 1

/lii;

оСО

rte) _ XZ ^ ~ ка

1 1

2 4 1 1 4 2 1 1

V? л I

V

2 1

_4

4 _1

2 -1 1 2 1

~2 -1/

2

1 1

В М =

"fcT

4

V5 /1 1 2 1

4 1

2 1 2 1 4 1 8

vi

-1

2 _1

4 1

2

-1

1

~г

4 2

1

~2

-1

1

~2 1

1

~4

2 -1

1

2 2 4

2 1

_4 _1

2

-1

1

2

_1\ 2 _1

4

2 -1

2 4 2

2 "4 "2 -1/

(4)

где SyZ\ SxZ\ S^ - площади граней конечного элемента е, параллельных плоскостям уOz,xOz,xOy соответственно; V^ - объем конечного элемента е. Для функций Куранта ка = 18,кь = 27, для ортогональных финитных функций (1) ка = кь = 8. Установлено, что при использовании ортогональных финитных функций в Ах \ Ау^ и А^ происходит четырехкратное уменьшение количества ненулевых элементов (все элементы, кроме 1 и -1 равны нулю), а В(е) приводится к диагональному виду, что в конечном итоге приводит к значительному снижению количества ненулевых элементов глобальной разреженной системе и к ускорению расчетов. Построение глобальной матрицы жесткости выполняется аналогично одномерному методу.

В третьей главе дается описание' структуры (рис. 2) и схемы обмена данными авторского программного комплекса ViSolver.

Основой программного комплекса ViSolver является ядро, функционирование которого обеспечивается авторской программной библиотекой VTOOLS. Интерфейсы обработки данных (CONVERTER и COMPARATOR) предназначены для обмена информацией между программными модулями комплекса и внешними приложениями.

Программный комплекс VISolver

Построители Решатели

( BEAM ] [ UMFSOLVER ]

[UMFOSOLVER]

[ PLANE ) [ MKLSOLVER j

[mklosqlver]

[ SOUD ] 1 U5TSOLVER j

Выполнена программная реализация построителей систем конечно-элементных уравнений трех типов для одномерных (BEAM), двумерных (PLANE) и трехмерных (SOLID) задач. Разработано 5 типов решателей систем, в том числе универсальные (IMFSOLVER, MKLSOLVER) и специализированные (UMFOSOLVER, MKLOSOLVER, LISTSOLVER), которые предназначены для решения задач с ортогональными финитными функциями. Созданы верификационные программы (TEST_BEAM и TEST_PLANE) для проверки корректности результатов, получаемых с использованием одномерных и двумерных построителей. Разработан и программно реализован постпроцессор ViPost, предназначенный для визуализации результатов решения трехмерных задач теории упругости.

Передача информации о конечно-элементной модели вне и внутри комплекса происходит путем обмена файлами различных текстовых и бинарных форматов (рис. 3) и затрагивает три основных этапа:

1. Предварительная подготовка (препроцессинг), которая включает в себя построение расчетной конечно-элементной модели, задание моделей материалов, нагрузок и закреплений. Данный /-----------------------

I I

f TEST_BEAM 1 j j [ CONVERTER") } TEST_PLANE~j j ! [COMPARATOR]

Постпроцессор VIPost

Рисунок 2 - Структура программного комплекса ViSolver

этап может быть выполнен как в сторонних сеточных построителях (ОтвЬ) и конечно-элементных комплексах (АЖУЗ), так и путем ручного задания параметров конечно-элементной модели с помощью авторского текстового формата БЕШ,;

2. Обработка модели (процес-синг), включающая в себя ряд подэтапов:

а) Преобразование входных данных внешних построителей в авторский бинарный формат VSOL, пригодный для использования компонентами комплекса;

б) Проверка корректности конечно-элементной модели и построение глобальной матрицы

Подготовка модели (препроцессинг)

ботка и решение внутри ViSolver

CONVERTER ") (COMPARATOR)

•.Построители) (Решатели^

'бёрифика I,____торы_____}

Выходные данные

Анализ результатов (постпроцесс^нг) *

[Microsoft Excel £

ViPost

zn

Рисунок 3 - Схема межпрограммного обмена данными при работе с комплексом У18о1уег

жесткости для одномерной, двумерной или трехмерной задач с использованием аппроксимирующих функций Куранта или ортогональных финитных функций;

в) Решение систем уравнений, представленных с использованием разреженных матриц, с помощью встроенных решателей комплекса;

г) Преобразование полученных результатов решения в форматы, пригодные для последующего анализа.

3. Анализ результатов (постпроцессинг), включающий получение численных значений искомых величин для каждого из узлов конечно-элементной модели, а также возможность визуального контроля деформированной модели.

В четвертой главе с помощью программного комплекса Л-^оЬ/ег получены верифицирующие решения для одномерных задач изгиба стержней, которые подтвердили высокую эффективность смешанного метода конечных элементов, связанного с использованием ортогональных финитных функций, а также построителей и решателей систем сеточных уравнений. Наибольшая производительность была достигнута при использовании решателей МКЬБОЬУЕЯ и МКЬОБОЬУЕЯ (табл. 1), что обусловило их выбор и дальнейшее использование в качестве основных.

Таблица 1

Производительность решателей разных типов для одномерных задач __(10 ООО конечных элементов) __

Решатель Погрешность А% Погрешность М,% Погрешность &% Погрешность % Время решения, сек.

Функции Куранта

иМРЗОЬУЕЫ 1,33е-06 3,ЗЗе-07 1,59е-11 1,19е-06 1,12

МКЬБОЬУЕЯ 1,33е-06 3,ЗЗе-07 9,39е-12 1,19е-06 0,34

Ортогональные финитные функции

иМРБОЬУЕЯ 7,00е-06 1,00е-06 1,59е-11 8,00е-06 1,01

МКЬЗОЬУЕЯ 7,00е-06 1,00е-06 9,39е-12 8,00е-06 0,29

иБТБОЬУЕК 8,92е-02 5,75е-02 7,66е-02 6,56е-02 0,28

иМРОБОЬУЕК 7,00е-0б 1,00е-06 9,62е-09 8,00е-06 0,33

МКЮБОЬУЕК 7,00е-06 1,00е-06 2,81е-10 8,00е-06 0,12

Были получены верифицирующие решения для двумерных задач изгиба прямоугольной пластины и получена оценка зависимости величины погрешности приближенных решений от количества конечных элементов.

Гистограмма (рис.4) показывает, что при малой размерности задачи величина погрешности для решателей ViSolver выше, чем для ANSYS (его погрешность составила 1% для всех представленных размерностей). С увеличением размерности, величина погрешности для решений на основе функций Куранта снижается до минимального значения 1,7%, что соответствует задаче в 65-100 тыс. элементов, и в дальнейшем имеет тенденцию к возрастанию. Для результатов, полученных с помощью МКЭ, связанного с ортогональными финитными функциями, наблюдается снижение величины погрешности при увеличении числа конечных элементов. При этом время получения решений при использовании смешанного метода конечных элементов значительно ниже, чем при использовании ANS YS. Установлено, что максимальный выигрыш по времени достигается в задаче, в которой используется 1 048 576 конечных элементов, и составляет 33% от времени решения задачи в ANSYS при одном порядке фактической точности решений для перемещений и более высокой точности получаемых здесь решений для деформаций и напряжений.

Для трехмерной верифицирующей задачи теории упругости показано, что с увеличением размерности конечно-элементной сетки производительность (т.е. уменьшение времени решения) комплекса программ ViSolver с применением ортогональных финитных функций растет (рис. 5). При размерности задачи в 17 ООО конечных элементов наблюдалось 9% превышение производительности авторского комплекса над ANSYS. В дальнейшем увеличение скорости решения возросло до 30% при значительном увеличении размерности сетки (от 320 000 элементов и выше). Была проведена визуализация решения трехмерной задачи с помощью авторского постпроцессора ViPost, входящего в состав комплекса ViSolver.

Моделирование формообразования профиля корытообразного типа из стальной перфорированной ленты

Целью исследования являлась разработка схемы формообразования и получение технологических параметров формообразующего инструмента для произ-

16384 65536 102400 262144 589824 1048576 Количество элементов Ш \ZiSolver ф. Куранта Ш Х^оЬег ОФФ Рисунок 4 - Гистограмма зависимости величины погрешности приближенных решений от количества конечных элементов

5000 16 875 40000 78125 320000 625000 1 080000

Количество элементов

в ф. Куранта в ОФФ

Рисунок 5 - Гистограмма производительности комплекса ViSolver в сравнении с ANSYS

водства корытообразного профиля специальной формы (рис. 6), получаемого из тонкостенной перфорированной ленты (сталь 08кп). Особенностью схемы формообразования (рис. 7) являлась необходимость исключения контакта формообразующего инструмента с перфорированными областями профиля.

Ж

А

Рисунок 6 - Сечение профиля: Рисунок 7 - Предлагаемая схема фор-

г - требуемый радиус скругления; мообразования профиля корытооб-

а - требуемый угол подгибки полки разного типа специальной формы: 1 -профиля; I - протяженность плоского верхние ролики; 2 - угловые зоны участка дна профиля профиля; 3 — перфорированная лента

(заготовка); 4 - нижние ролики

Для достижения цели были решены следующие задачи:

1. Исследование напряженно-деформированного состояния дна и стенок профиля на каждом технологическом переходе;

2. Расчет суммарной величины подгибки полок профиля на каждом технологическом переходе;

3. Расчет оптимальной величины перемещения рабочих граней формообразующего инструмента при условии сохранения упругих деформаций в областях дна и полок профиля;

4. Получение на основе данных о деформации и радиусе скругления угловых зон требуемых геометрических характеристик (радиусов) формообразующего инструмента.

Согласно теории формообразования равномерное распределение продольных деформаций по всем переходам обеспечивается примерно постоянным углом подгибки полок, при этом вычисление среднего угла подгибки может быть произведено по формуле:

(5)

где

N '

суммарный угол подгибки, N - количество переходов. В данном случае, при суммарном угле подгибки 53 % средний угол вард составит 17,7 ° при N = 3. Предварительно проведенные вычислительные эксперименты показали, что необходимая точность результатов может быть обеспечена при соотношении толщины заготовки и размера конечного элемента в пропорции 1:1. Таким образом, на всю толщину модели приходится один конечный элемент. Схема закреплений и приложенных нагрузок показана на рисунке 8.

Рисунок 8 - Схема закреплений и нагрузок модели: 1 - полки профиля;

2 — угловые зоны профиля; 3 — дно профиля Анализ результатов был выполнен в программной среде ХЛРоэг. Постпроцессорная обработка позволила получить величины требуемых технологических параметров для каждого перехода: угла подгибки полок профиля, угла изгиба дна профиля, величины перемещения инструмента и радиуса скругления угловых зон, зависящие от кинематических и силовых величин. Общий вид напряженно-деформированного состояния дискретной конечно-элементной модели на финальном (третьем) переходе показан на рисунке 9.

Рисунок 9 - Общий вид напряженно-деформированного состояния профиля на третьем этапе формообразования (интенсивность напряжений в МПа) Следует отметить, что картина напряженно-деформированного состояния симметрична относительно продольной оси профиля, а максимальные напряжения сконцентрированы в локальных областях изгиба (угловых зонах). Значения напряжений в материале полок профиля находятся в диапазоне до 50 МПа, что свидетельствует об отсутствии пластических деформаций. Напряженно-деформированное состояние дна профиля является неравномерным. Минимальные значения напряжения локализуются вблизи зоны изгиба и находятся в диапа-

зоне до 0,01 МПа. При удалении от зоны изгиба, напряжения нарастают и достигают максимальных (до 200 МПа) значений в средней части дна. Значения этих напряжений близки к границе предела упругости данного материала, но не превышают его. Использование смешанного МКЭ позволяет при этом повысить точность проводимого исследования напряженно-деформированного состояния и точность определения перехода к пластическому состоянию. Следовательно, после окончания формообразующего воздействия роликовых калибров произойдет восстановление исходной плоскостности дна профиля. Превышение значения предела упругости приведет к появлению остаточных деформаций и к искажению заданных геометрических характеристик.

На рисунке 10 изображены исходный и деформированный контуры после третьего перехода и схема измерения углов подгибки полок полученного профиля. Цифрами обозначены номера контрольных узлов конечно-элементной сетки модели.

Рисунок 10 - Измерение угла подгибки полок профиля: 1 - контур исходной модели; 2 - контур деформированной модели Результаты измерений показали, что полка после окончания формообразования на третьем переходе отклонилась на угол 33,5 0 от исходного положения. Угол между касательными к деформированной поверхности дна и к исходной поверхности дна составил 20°. При разгрузке (окончание формообразования) заготовки профиля упругое дно профиля вернется в исходное (плоское) состояние и полный угол подгибки полок составит 53,5 что незначительно (около 1%) превысит требуемый угол. Технологические параметры формообразования профиля, полученные в результате конечно-элементного моделирования представлены в таблице 2.

Таблица 2

Результаты конечно-элементного моделирования__

Параметры Технологические переходы

I II Ш

Угол подгибки полки а, град. 8,0 15,0 33,5

Прирост угла подгибки полки, град. 7,0 18,5

Угол отклонения дна /?, град. 5,0 10,0 20,0

Суммарный угол подгибки ат, град. 13,0 25,0 53,5

Радиус угловой зоны г, мм 23,8 16,7 10,0

Перемещение инструмента, мм 1,6 3,2 5,6

Контролируемый размер 1, мм 112 112 112

Таким образом, в результате проведенного конечно-элементного моделирования гибки корытообразного профиля специальной формы в роликовых калибрах с помощью программного комплекса ViSolver были получены все основные технологические параметры процесса формообразования. При этом проводился анализ кинематических характеристик (перемещений, углов и деформаций) и силовых характеристик (напряжений). Высокая точность получаемых величин напряжений и деформаций была необходима при исследовании угловых зон перфорированных полок и дна профиля. Контроль этих параметров позволил корректно определить величину нагружения профиля в угловых зонах.

Основные направления дальнейших исследований

Математическое моделирование процессов формообразования с помощью смешанного метода конечных элементов с использованием ортогональных финитных функций, реализованного в авторском программном комплексе ViSolver, показало высокую эффективность смешанного МКЭ, смешанных моделей и их реализующего комплекса программ. Применение ортогональных финитных функций позволило существенно сократить затраты машинного времени по сравнению с классическими смешанными МКЭ и получать при этом приближенные решения для напряжений и деформаций более высокой гладкости и точности, чем в классических МКЭ «в перемещениях», реализованных, в частности, в ANS YS. Разработанный комплекс программ позволяет использовать конечно-элементные модели большей размерности по сравнению с классическими методами, дающие приближенные решения для напряжений и деформаций повышенной по сравнению с ANSYS точности и гладкости. Сформулированы направления дальнейшего совершенствования разработанного комплекса программ, определяемые универсальностью его структуры, порождаемой использованием смешанных вариационных принципов в алгоритмах МКЭ и соответствующих смешанных конечно-элементных моделей:

1. Совершенствование и программная реализация оптимизированных алгоритмов построения матриц жесткости для решения двумерных и трехмерных задач;

2. Совершенствование математического аппарата построителей систем уравнений с целью дополнения их возможностей при исследовании анизотропных и ортотропных материалов;

3. Расширение библиотеки смешанных конечных элементов с использованием ортогональных финитных функций, включающих в себя элементы тетрагональной формы;

4. Совершенствование инструментов постпроцессорной обработки и расширение взаимодействия с другими конечно-элементными пакетами;

5. Обобщение построенных конечно-элементных моделей элементов конструкций с учетом нелинейной упругости и пластичности;

6. Расширение области применения комплекса программ, его адаптация, в частности, к техническим задачам формообразования профилей других видов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В рамках данной работы были получены следующие основные результаты:

1. Созданы алгоритмы трех численных методов - новых смешанных методов конечных элементов теории стержней, теории пластин и трехмерной теории термоупругости с использованием аппроксимирующих функций Куранта и ортогональных финитных функций. Смешанные методы конечных элементов с применением ортогональных финитных функций построены впервые.

2. Алгоритмы трех новых методов конечных элементов привели к созданию новых смешанных конечно-элементных моделей стержневых, пластинчатых и трехмерных упругих конструкций, обладающих высокой степенью универсальности, позволяющей дополнительно учитывать переменные физические и геометрические свойства неоднородного и анизотропного материала, нелинейность характера деформирования и др.

3. Новые алгоритмы и модели реализованы в комплексе программ ViSolver, позволяющем получать решения сложных технических задач, характеризующиеся высокой точностью и гладкостью как перемещений и углов, так и деформаций и напряжений, за минимальное по сравнению с другими смешанными методами конечных элементов время.

4. Дискретная модель теории стержней записана в матричном виде, сформированы локальные матрицы жесткости стержня.

5. Дискретная модель пластины записана в матричной форме, построены локальные матрицы жесткости пластины.

6. Дискретная модель трехмерного упругого тела записана в матричной форме, получены локальные матрицы жесткости.

7. Разработан алгоритм эффективного решения глобальных систем сеточных уравнений предложенных методов конечных элементов на основе метода Гаусса.

8. Создано ядро авторского программного комплекса ViSolver, основанное на библиотеке VTOOLS и на использовании алгоритмов смешанных методов конечных элементов и локальных матриц жесткости стержня (одномерные задачи), пластины (двумерные задачи) и трехмерного тела (трехмерные задачи).

9. Разработаны интерфейсы обработки данных (CONVERTER, COMPARATOR) для обмена информацией между программными модулями комплекса и внешними приложениями.

10. Выполнена программная реализация построителей систем уравнений трех типов для одномерных (BEAM), двумерных (PLANE) и трехмерных (SOLID) задач, реализующих созданные дискретные модели.

11. Выполнена программная реализация пяти типов решателей систем, в том числе универсальных (UMFSOLVER, MKLSOLVER) и специализированных (UMFOSOLVER, MKLOSOLVER, LISTSOLVER), предназначенных для решения задач численными методами, использующими ортогональные финитные функции.

12. Созданы верификационные программы (TEST_BEAM, TEST_PLANE) для проверки корректности результатов, получаемых с использованием предложенных численных методов.

13. Разработан и программно реализован постпроцессор ViPost, предназначенный для визуализации результатов решения трехмерных задач теории упругости.

14. С помощью программного комплекса ViSolver получены тестовые решения для одномерных задач изгиба стержней, подтвердившие высокую эффективность смешанного метода конечных элементов, основанного на использовании ортогональных финитных функций. Также была показана высокая эффективность построителей и решателей систем уравнений, наибольшая производительность была достигнута с использованием решателей на основе библиотеки Intel MKL.

15. Получены тестовые решения в программном комплексе ViSolver для двумерных задач изгиба прямоугольных пластин. Показано, что, начиная с размерности задачи в 16 тыс. элементов, производительность комплекса программ ViSolver на ортогональных финитных функциях существенно превышает производительность ANSYS при более высокой точности получаемых решений для деформаций и напряжений.

16. Получены тестовые решения для трехмерной задачи теории упругости. Показано, что с увеличением размерности задачи производительность комплекса программ ViSolver с применением ортогональных финитных функций растет. При размерности задачи в 17 ООО конечных элементов, наблюдалось 9% превышение производительности авторского комплекса над ANSYS. Производительность возрастает до 30% при увеличении размерности сетки до 320 ООО элементов и более.

17. Была проведена визуализация решений трехмерных задач с помощью авторского постпроцессора ViPost, входящего в состав комплекса ViSolver.

18. Выполнено решение актуальной технической задачи формоизменения тонкостенных перфорированных стальных пластин. С помощью программы ViPost были получены основные технологические параметры изгиба: критический угол отклонения полки, радиус изгиба угловой зоны. Показано, что увеличение изгибающей нагрузки сопровождается линейным изменением угла отклонения полки. Радиус изгиба увеличивается, что приводит к распространению деформаций на область умеренных напряжений.

19. Получена оценка вычислительной производительности комплекса программ ViSolver на основе 12 решений задач различной размерности сеток модели и с различными схемам! нагружения в рамках задач формоизменения перфорированных пластин.

20. Выполнено решение технических задач формообразования профилей корытообразного типа специальной формы с перфорацией. Была разработана технологическая схема формообразования.

21. На основе проведенного математического моделирования, получены картины напряженно-деформированного состояния дна и стенок профиля на каждом технологическом переходе, что позволило выполнить проектирование технологического процесса на высоком уровне. Проведен расчет суммарной величины подгибки полок профиля. Получены технологические параметры формообразующего инструмента для каждого технологического перехода.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях из списка ВАК

1. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов в трехмерных задачах теории упругости / Д. С. Лавыгин // Современные проблемы науки и образования (электронный журнал). - 2013. - №5. - Режим доступа: www.science-education.ru/111-10651.

2. Лавыгин, Д. С. Алгоритм смешанного метода конечных элементов решения задач теории стержней / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Инженерный вестник Дона (электронный журнал). - 2013.. - №4. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/ magazine/archive/n4y2013/1910.

3. Лавыгин, Д. С. Исследование эффективности библиотеки MaLLBa на примере задач максимальной выполнимости / Д. С. Лавыгин, А. В. Цыганов, О. И. Булычов // Программные продукты и системы. - Тверь, 2009. - Т. 87. - №3. - С. 116-120. - ISSN 0236-235Х.

4. Лавыгин, Д. С. Способ трехмерной визуализации эксплуатационных параметров тепловыделяющих элементов реакторов ВВЭР-1000 / Д. С. Лавыгин, В. В. Левщанов // Программные продукты и системы. — Тверь, 2013. - Т. 104. — №4. - С. 277-281.-ISSN 0236-235Х.

Работы, приравненные к публикациям в изданиях из списка ВАК

5. , Свидетельство № 2012617956 о гос. регистрации программы для ЭВМ. Программный комплекс конечно-элементного анализа в смешанной форме ViSolver / Лавыгин Д. С., Леонтьев В. Л.; заявитель и правообладатель ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет». - № 2012615593 ; заявл. 05.06.2012; опубл. 03.09.2012.

6. Свидетельство № 2012613324 о гос. регистрации программы для ЭВМ. Fuel Elements Data System / Лавыгин Д. С., Левщанов В. В., Булычов О. И., Левкина О. Ю.; заявитель и правообладатель ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет». - № 2012610928 ; заявл. 13.02.2012 ; опубл. 09.04.2012.

Публикации в других изданиях

7. Лавыгин, Д. С. Смешанный вариационно-сеточный метод, связанный с ортогональными финитными функциями, в задачах теории стержней / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Прикладная математика и механика. - Ульяновск : Ул-ГТУ, 2011. - С. 362-367. - ISBN 978-5-9795-0904-4.

8. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов, связанный с использованием ортогональных финитных функций / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - С. 142-147. - ISBN 978-5-9795-0905-1.

9. Лавыгин, Д, С. Применение современных средств компьютерного моделирования для исследования деформации твердого тела / Д. С. Лавыгин, В. В. Левщанов, В. В. Шишкарев, Н. В. Буздалова // Вестник УлГПУ. - Ульяновск : УлГПУ, 2010. - Т. 6. - С. 206-210. - ISBN 978-5-86045-370-8.

10. Лавыгин, Д. С. Реализация комплекса программ ViSolver для решения задач теории стержней, пластин и трехмерной теории упругости / Д. С. Лавыгин // Современная наука: теоретический и практический взгляд. Международная научно-практическая конференция. 29-30 октября 2013 г. Часть 2. - Уфа : РИЦ БашГУ, 2013. - С. 88-91. - ISBN 978-5-7477-3347-3.

11. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов в задачах изгиба упругих пластин / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Современная наука: теоретический и практический взгляд. Международная научно-практическая конференция. 29-30 октября 2013 г. Часть 2. - Уфа : РИЦ БашГУ, 2013. - С. 83-87. -• ISBN 978-5-7477-3347-3.

12. Лавыгин, Д. С. Смешанный метод конечных элементов теории стержней / Д. С. Лавыгин, В. Л. Леонтьев // Вузовская наука в современных условиях. Тезисы докладов 45-й научно-технической конференции УлГТУ (24-29 января 2011 г.). - Ульяновск : УлГТУ, 2011,- С. 88-91.

13. Лавыгин, Д. С. Применение метода конечных элементов для совершенствования технологии обработки металлов на машиностроительных и металлообрабатывающих предприятиях / Д. С- Лавыгин // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники. Материалы 12-й региональной научной школы-семинара. 1-5 декабря 2009 г. Том 2. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 5456. - ISBN 978-5-9795-0523-7.

14. Лавыгин, Д. С. Использование программного комплекса ANSYS/LS-DYNA при проведении научно-исследовательской работы студентов / Д. С. Лавыгин, Н. В. Буздалова // Информационные технологии и вопросы преподавания информатики в учебных заведениях. Материалы Всероссийской научно-практической конференции 31 марта 2010 года. — Ульяновск : УлГПУ, 2010. — С. 111-114.- ISBN 978-5-86045-371-5.

15. Лавыгин, Д. С. Программная реализация средств трехмерной визуализации эксплуатационных параметров ТВЭЛов реакторов ВВЭР-1000 / Д. С. Лавыгин, В. В. Левщанов, О. Ю. Левкина// Сборник научных трудов SWorld. Материалы международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2012». Выпуск 3. Том 1.. - Одесса : Куприенко, 2012.

Подписано в печать 11.03.2014. Формат 60 х 84/16. Гарнипура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ № 14 US'

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

04201457929 На правах рукописи

Лавыгин Дмитрий Сергеевич

СМЕШАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СОЗДАНИИ И ИССЛЕДОВАНИИ МОДЕЛЕЙ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Леонтьев Виктор Леонтьевич

Научный консультант: кандидат технических наук Левщанов Владимир Викторович

Ульяновск — 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 5

1 Обзор известных результатов, задачи диссертационной работы 10

1.1 Способы получения тонкостенных перфорированных профилей 10

1.1.1 Получение перфорированных изделий методом листовой штамповки........................11

1.1.2 Применение механообработки в процессах перфорирования ...............................15

1.1.3 Лазерная резка........................15

1.1.4 Типы перфорации пластин.................16

1.1.5 Технологии получения перфорированных гнутых профилей .............................18

1.2 Методы анализа напряженно-деформированного состояния перфорированных изделий .....................20

1.3 Сравнительный анализ существующих комплексов программ, реализующих метод конечных элементов.............26

1.3.1 Программный комплекс А^УБ ..............26

1.3.2 Программный комплекс РЕшСБ..............28

1.3.3 Программный комплекс Б1йраск..............29

1.3.4 Программные модули ЬМтГет, ЕВт£ет и СЫп^ет ... 30

1.3.5 Программный комплекс РгоЬЗо1..............30

1.4 Выводы................................31

2 Смешанные методы конечных элементов, связанные с использованием ортогональных финитных функций 34

2.1 Смешанный вариационно-сеточный метод в задачах теории стержней ...............................34

2.2 Смешанный метод конечных элементов в задачах теории стержней ...............................40

2.3 Алгоритм эффективного решения систем сеточных уравнений смешанных численных методов, связанных с ортогональными финитными функциями.......................46

2.4 Смешанный метод конечных элементов в задачах теории пластин 49

2.5 Смешанный метод конечных элементов в трехмерной задаче теории упругости...........................57

2.6 Выводы................................62

3 Реализация комплекса программ Л^ЗоЬгег для решения задач теории стержней, пластин и трехмерной теории упругости 64

3.1 Общая структура программного комплекса............64

3.2 Межпрограммное взаимодействие и форматы обмена данными . 67

3.2.1 Авторский текстовый формат РЕМЬ............69

3.2.2 Авторские бинарные форматы УБОЬ, УМАТ и УКЕБ . . 72

3.3 Работа с программным комплексом ................82

3.3.1 Использование интерфейсов обработки данных......84

3.3.2 Работа с построителями систем уравнений ........86

3.3.3 Решение систем уравнений с помощью встроенных решателей ............................88

3.3.4 Применение верифицирующих программ.........90

3.3.5 Постпроцессорная обработка результатов в среде У1Роб1 91

3.4 Выводы................................95

4 Применение программного комплекса У^ЗоЬ^ег к решению задач формообразования 96

4.1 Цель и задачи исследований ....................96

4.2 Используемые программные и аппаратные средства.......96

4.3 Свойства применяемых моделей материалов и констант.....98

4.4 Верифицирующие решения задач изгиба стержней круглого сечения под действием распределенной нагрузки..........99

4.4.1 Препроцессорная подготовка................99

4.4.2 Построение систем уравнений................100

4.4.3 Решение систем уравнений .................101

4.4.4 Анализ результатов решений................101

4.5 Верифицирующие решения задач изгиба квадратной пластины

под действием распределенной нагрузки..............105

4.5.1 Препроцессорная подготовка................106

4.5.2 Получение решения в ViSolver...............108

4.5.3 Анализ результатов решений................108

4.6 Верифицирующие решения трехмерных задач изгиба балки квадратного сечения под действием силы тяжести........111

4.6.1 Препроцессорная подготовка................112

4.6.2 Получение решений .....................112

4.6.3 Анализ результатов решений................113

4.7 Исследование напряженно-деформированного состояния перфорированной заготовки.......................116

4.7.1 Программа и задачи исследования.............116

4.7.2 Препроцессорная подготовка................117

4.7.3 Допущения, принятые при моделировании ........118

4.7.4 Получение решений .....................118

4.7.5 Анализ результатов .....................119

4.8 Моделирование формообразования профиля корытообразного типа из перфорированной ленты..................123

4.8.1 Программа и задачи исследования.............123

4.8.2 Схема формообразования..................124

4.8.3 Препроцессорная подготовка................127

4.8.4 Допущения, принятые при моделировании ........129

4.8.5 Получение решений .....................129

4.8.6 Анализ результатов .....................129

4.9 Основные направления дальнейших исследований........138

4.10 Выводы................................139

Заключение 141

Список литературы

144

ВВЕДЕНИЕ

Широкое распространение тонкостенных металлических профилей обусловлено постоянно нарастающими объемами отечественного промышленного производства. Область их применения включает в себя такие важнейшие отрасли промышленности, как строительство, машиностроение, авиастроение и др. Сложность производства профильной продукции сопряжена с большими трудозатратами и наукоемкостью при проектировании и отладке технологического процесса, что оказывает существенное влияние на конечную стоимость продукции. Другим сдерживающим фактором являются временные затраты на подготовку технологической платформы, которые включают в себя аналитические и экспериментальные исследования. Натурный эксперимент является наиболее трудоемким этапом и предполагает использование дорогостоящего оборудования. Перспективным направлением в решении этой проблемы является применение методов математического моделирования в средах специализированных конечно-элементных программных комплексов [31,32].

В настоящее время для моделирования формообразования тонкостенных профилей используются такие программные продукты зарубежных производителей, как ANSYS, LS-DYNA, COPRA RollForm и др. Современные CAD-систсмы, как правило, имеют в своем составе расчетные конечно-элементные модули, позволяющие проводить анализ напряженно-деформированного состояния конструкции. Однако, подобные программные продукты зачастую имеют ограниченный инструментарий для постпроцессорной обработки результатов и характеризуются высокими требованиями к аппаратной части вычислительных систем, что вынуждает пользователей использовать модели меньшей размерности, либо вводить упрощения и ограничения, отрицательно влияющие на точность получаемых результатов. Большинство недостатков существующих конечно-элементных пакетов связано с особенностью используемой формулировки метода конечных элементов в перемещениях, что находит подтверждение в работах [25,45].

Увеличение производительности вычислений и точности получаемых решений может быть достигнуто путем применения смешанных формули-

ровок метода конечных элементов с использованием ортогональных финитных функций, математическое обоснование которых представлено в работах [45,46]. Однако, сдерживающим фактором использования данного метода является отсутствие его программной реализации.

В связи с этим, создание комплекса программ, реализующего метод конечных элементов в смешанной постановке с использованием ортогональных финитных функций и предназначенного для математического моделирования формообразования тонкостенных профилей является актуальной задачей.

Целью данной работы является разработка комплекса программ конечно-элементного анализа в смешанной форме с использованием ортогональных финитных функций и его применение для решения технических задач — получения схем формообразования и технологических параметров формообразующих инструментов при производстве корытообразных профилей специальной формы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:

1. Построить алгоритмы численных методов теории стержней в форме смешанного вариационно-сеточного метода и метода конечных элементов с использованием функций Куранта и ортогональных финитных функций для проведения сравнения методов;

2. Построить смешанный метод конечных элементов теории пластин с использованием ортогональных финитных функций и соответствующих конечно-элементных моделей пластин;

3. Построить смешанный метод конечных элементов трехмерной теории термоупругости с использованием ортогональных финитных функций и соответствующих конечно-элементных моделей трехмерных упругих элементов конструкций;

4. Разработать структуру программного комплекса конечно-элементного анализа в смешанной форме, учитывающую его взаимодействие с внешними программными библиотеками решателей систем линейных алгебраических уравнений, существующими препроцессорами и с комплексом ANS YS;

5. Провести верификацию приближенных численно-аналитических решений, получаемых с помощью созданного конечно-элементного комплекса;

6. Применить созданный программный продукт к решению актуаль-

ных задач формообразования перфорированных корытообразных профилей специальной формы.

Объектом исследования являются процессы формообразования и их изучение с помощью конечно-элементных моделей, а также реализация этих моделей и алгоритмов метода конечных элементов в комплексе программ.

Предметом исследования являются алгоритмы численных методов и конечно-элементные математические модели, а также приложения их программной реализации в технических задачах.

Научная новизна заключается в создании новых алгоритмов численно-аналитических смешанных методов конечных элементов, связанных с ортогональными финитными функциями, в их программной реализации, верификации и в получении решений актуальных технических задач с более высокими характеристиками, создающими возможности для повышения уровня проектирования технологических процессов.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в возможности, с учетом применения ортогональных финитных функций, использования смешанных конечно-элементных моделей больших размерностей для решения технических задач формообразования.

В диссертационной работе применялись методы конечно-элементного моделирования, численные методы решения систем линейных уравнений, методы структурного и объектно-ориентированного программирования, вариационного исчисления, механики сплошных сред, теории аппроксимации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы новых смешанных методов конечных элементов для одномерных, двумерных и трехмерных задач напряженно-деформированного состоянии упругих конструкций, связанные с использованием ортогональных финитных функций;

2. Новые конечно-элементные модели упругих стержней, пластин, трехмерных тел, порождаемые алгоритмами смешанного метода конечных элементов;

3. Новый алгоритм решения разреженных систем уравнений смешанного метода конечных элементов, построенных с использованием ортогональных финитных функций;

4. Комплекс программ конечно-элементного анализа, включающий в себя подпрограммы, реализующие алгоритмы смешанного метода конечных элементов, решатели, верификаторы, средства обработки входных и выходных данных и среду трехмерной визуализации результатов;

5. Конечно-элементные модели корытообразных профилей специальной формы.

Результаты основных положений диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-практической конференции «Современная наука: теоретический и практический взгляд» (Уфа, 29-30 октября 2013 г.), на итоговом весеннем мероприятии по программе «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» (Ульяновск, 2013 г.), на международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2012» (Одесса, 2-12 октября 2012 г.), на 45-й научно-технической конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 24-29 января 2011 г.), на всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и вопросы преподавания информатики в учебных заведениях» (Ульяновск, 31 марта 2010 г.), на 12-й региональной молодежной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2-4 декабря 2009 г.).

Апробация проведенных исследований проходила на базе ОАО «Ульяновский НИАТ» (Ульяновский научно-исследовательский институт авиационной технологии и организации производства).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 120 наименований. Основная часть работы изложена на 157 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 38 таблиц.

В первой главе описаны способы получения перфорированных изделий, рассмотрены методы анализа их напряженно-деформированного состояния. Проведен сравнительный анализ существующих программных комплексов, в том числе реализующих метод конечных элементов в смешанной форме.

Во второй главе рассмотрены численные методы исследования математических моделей, использующие ортогональные финитные функции. Осу-

щсствляются математические преобразования, приводящие к построению систем для одномерных, двумерных и трехмерных задач. Предлагается новый алгоритм решения разреженных систем уравнений смешанного одномерного метода конечных элементов, построенных с использованием ортогональных финитных функций.

Третья глава посвящена реализации авторского комплекса программ У18о1уег. Приведена общая структура программного комплекса. Описаны механизмы межпрограммного взаимодействия и авторские форматы обмена данными. Рассмотрены основные приемы работы пользователя с комплексом и его составляющими элементами.

В четвертой главе проведены верификационные решения для всех типов задач деформирования твердых тел. Проведены численные исследования напряженно-деформированного состояния перфорированной заготовки. Решена техническая задача формообразования тонкостенного перфорированного корытообразного профиля специальной формы. Получены основные технологические параметры профиля и формообразующего инструмента.

Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ, 6 статей в сборниках трудов конференций и тезисов докладов.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, научному консультанту и ОАО «Ульяновский НИАТ» за оказанную помощь и поддержку в процессе подготовки работы.

1. ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ, ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1.1. Способы получения тонкостенных перфорированных профилей

Современный технический прогресс в областях авиа-, суд о- и машиностроения неразрывно связан с применением конструкций, состоящих из тонкостенных перфированных профилей [27,48]. Перфорированные элементы, получаемые путем изготовления значительного числа правильно расположенных отверстий в листовом материале [108], обладают значительной жесткостью при минимальной массе и играют особую роль при проектировании конструкций, обеспечивая существенную экономию материала (до 20-30%) и, как следствие, уменьшение стоимости конечной продукции [55].

Примеры применения перфорированных изделий в различных отраслях промышленности показаны в таблице 1.1.

Таблица 1.1 — Применение перфорированных изделий в отраслях промышленности

Отрасль Применение

Машиностроение корпусные детали тракторов и автомобилей; воздухозаборники тракторов, автомобилей и комбайнов; каркасы масляных фильтров; конструктивные элементы глушителей; защитные экраны и кожухи для промышленного оборудования; конвеерные ленты.

Архитектура и дизайн элементы фасадов; лестничные и балконные ограждения; интерьерные светильники; декоративное оформление колонн и элементов интерьера.

Строительство защитные оконные экраны; шумогасящие и ветрозащитные панели; крепежные уголки; крепежно-соединительные пластины; перфорированные крепежные ленты; профили перфорированные монтажные.

Продолжение таблицы 1.1

Отрасль Применение

Пищевая промышленность противни для хлебопекарных предприятий; сита; фильтры; изделия инвентаря.

Радиотехника корпусные детали; элементы систем охлаждения; антенные решетки; крепежные изделия.

Топливно- энергетическая промышленность корпусные детали; фильтрующие элементы; решетки; сепараторы; элементы монтажных конструкций; кабель-каналы.

На сегодняшний день существует три основных способа получения перфорированных изделий:

1. Листовая штамповка (просечка, выдавливание и др.);

2. Механообработка (сверление, фрезерование и др.);

3. Лазерная резка.

1.1.1. Получение перфорированных изделий методом листовой штамповки

В качестве оборудо�