автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Изгиб пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами

На правах рукописи

ОО3452329

I/

Сазонов Александр Петрович

ИЗГИБ ПЛАСТИН, ВЫПОЛНЕННЫХ ИЗ МАТЕРИАЛОВ С УСЛОЖНЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Орел - 2008

003452329

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель - доктор техн. наук, профессор

Официальные оппоненты - доктор техн. наук, профессор

Малинина Надежда Аркадьевна - кандидат техн. наук, доцент

Ведущая организация - ГОУ ВПО «Тверской государственный

Защита состоится 28 ноября 2008 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.182.05 при ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» по адресу: г. Орел, Наугорское шоссе, 29, главный корпус, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет».

Автореферат разослан 27 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Трещев Александр Анатольевич

Сенющенков Михаил Александрович

технический университет»

к.т.н., доцент А.И.

Никулин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время в машиностроении, ракетостроении, строительстве и других отраслях промышленности для изготовления элементов конструкций и деталей машин используются материалы с усложненными свойствами. Значительную сложность в расчете конструкций, выполненных из таких материалов, является тот факт, что механические характеристики материала меняются в зависимости от вида напряженного состояния. К таким материалам относятся бетоны, керамика, серые и ковкие чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, ряд полимеров, и большинство композитов.

До недавнего времени ставилось под сомнение влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов, а результаты экспериментов, подтверждающих это явление, связывались с низким качеством постановки самих экспериментов. Наибольший прогресс в этом направлении был достигнут за последние десятилетия советскими и российскими учеными. По мере накопления экспериментальных данных явление разносопротивляемости отмечалось уже у широкого класса материалов и стало вызывать заметный интерес среди ученых.

Подобные явления проявляется уже при упругой стадии работы конструкции и во многом влияют на распределение напряжений. Сложность поднимаемой проблемы заключается в том, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций и связанные с явлением разносопротивляемости материалов, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия, что проявляется, например, при изгибе пластин.

Несмотря на сравнительно большое число предложенных определяющих соотношений материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования эффектов, вызванных с разносопротивляемостью материалов конструкций, сдерживаются наличием существенных недостатков известных моделей, недостаточным для решения данного класса задач развитием численных методов, а также недостаточной ориентацией известных методов строительной механики на их дальнейшее использование в приложениях.

Таким, образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов при определении напряженно-деформированного состояния элементов конструкций является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане, поскольку существующие варианты методов решения задач строительной механики не позволяют эффективно решать такие задачи.

Объект и предмет исследования. Объектами исследования являются пластины, опертые по контуру, выполненные из ди-латирующих разносопротивляющихся материалов, а предметом исследования - методы учета усложненных свойств материалов и напряженно-деформированного состояния (НДС) пластин из этих материалов.

Целью представленной работы является построение в рамках подхода, связанного с нормированным пространством деформаций, обобщенной модели деформирования тонких пластин, выполненных из материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решение ряда прикладных задач упругого деформирования тонких пластин при малых и конечных прогибах.

Методы исследования. Основные методы, использованные в работе:

- классические методы строительной механики расчета тонких пластин;

- метод конечных разностей;

- метод последовательных нагружений;

- метод Навье;

- метод Ритца-Тимошенко.

Новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

1) построение нормированных пространств деформаций и потенциала напряжений для изотропного разносопротивляю-щегося дилатирующего материала;

2) предложенные определяющие соотношения для материалов, сопротивление деформированию которых зависит от вида напряженного состояния;

3) уравнения, описывающие упругое деформирование тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами в геометрически линейной и нелинейной постановках;

4) полученные решения, демонстрирующие новые количественные характеристики напряженно-деформированного со~ стояния тонких пластин, связанные с явлением разносопро-тивляемости материалов.

Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях строительной механики, приемлемым соответствием полученных результатов имеющимся экспериментальным данным, сравнением расчетных параметров деформирования пластин с классическими и с результатами исследований на основе иных подходов.

Практическая ценность работы, проведенной в рамках госбюджетной НИР ТулГУ № 27.06 "Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций", заключается в построении моделей анализа напряженно-деформированного состояния плоских элементов конструкций,

выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями. Данные модели могут быть использованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

- вариант использования нормированных пространств деформаций для построения потенциала напряжений для изотропного разносопротивляющегося дилатирующего материала;

- определяющие соотношения для материалов, сопротивление деформированию которых зависит от вида напряженного состояния;

- пригодность полученных соотношений для определения напряженно-деформированного состояния конкретных конструкционных материалов;

- дифференциальные уравнения, описывающие упругое деформирование тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами при малых прогибах;

- дифференциальные уравнения, описывающие упругое деформирование тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами при больших прогибах;

- численные и аналитические результаты расчетов пластин и их сравнение с известными ранее теориями;

- преимущества предложенных методик расчета напряженно-деформированного состояния материалов с усложненными свойствами и пластин из них, базирующихся на разработанных определяющих соотношений, по сравнению с известными моделями.

Внедрение результатов работы осуществлено в ООО "ПСП "Стройэкспертиза" (г. Тула). Использование результатов работы подтверждено актом о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались :

- на 4-й , 6-й и 8-й Международных конференциях «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (г. Тула, ТулГУ, 2003 г., 2005 г., 2007 г.);

- на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, ТулГУ, 2003 г. , 2006 г. ) ;

- на 6-м Международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» (г. Тверь, ТверьГТУ, 2006 г.);

на Международной научно-технической конференции «Композиционные строительные материалы. Теория и практика» (г. Пенза, ПГУАС-ПДЗ, 2007 г.);

на расширенном заседании кафедры «Строительство, строительные материалы и конструкции» ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» в апреле 2008 г;

- на расширенном заседании кафедры «Строительные конструкции и материалы» ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» в июне 2008 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 работ, в том числе одна статья в журнале, определенном перечнем ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, сформированным Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 185 наименований и 5 приложений. Диссертация содержит 145 страницы основного текста, в том числе 3 таблицы, 11 рисунков и приложения на 48 страницах, содержащих 54 рисунка, 7 таблиц, текст программы расчета круглой пластины и документы о внедрении.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертации, поставлены цели и задачи диссертационной работы, сформулированы основные научные положения, которые выносятся на защиту, дана аннотация содержания диссертации .

В первом разделе приводится обзор основных направлений в моделировании свойств изотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, а также в описании напряженно-деформированного состояния тонких пластин при малых и конечных прогибах.

Существующие в настоящее время работы, посвященные поведению материалов с усложненными свойствами, основаны на различных подходах к построению определяющих соотношений разносопротивляющихся сред. Эти подходы вытекают из тех или иных гипотез и зачастую не связаны друг с другом, но все их можно разделить на три группы.

В первой группе моделей параметры, определяющие вид зависимости между напряжениями и деформациями, принимают различные значения в зависимости от знака среднего напряжения сгср либо от знаков и главных напряжений. Вторая

группа базируется на более широком понимании разносопро-тивляемости и определяет жесткость материалов в зависимости от непрерывных функций вида напряженного состояния. Модели третьей группы строятся посредством учета взаимосвязи изменения объема и формоизменения, либо же при использовании в качестве составной части деформаций деформации разрыхления.

Многообразие моделей определяющих соотношений для разносопротивляющихся материалов объясняется кроме большого разнообразия свойств реальных материалов еще и сложностью поставленной задачи.

Анализу напряженно-деформированного состояния пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов посвящены работы С. А. Амбарцумяна, Берта, Редди, Б.В.Пономарева, Р.М.Джонса, Д.А.Р.Нельсона,

Л.А.Толоконникова, Г.В.Бригадирова, A.B. Березина, О.В.Потудина, В.М.Логунова, А.А.Хачатряна, А.Г.Галояна, В.В.Петрова, А.Ф.Макеева, И.Г.Овчинникова, Е.В.Ломакина, Г.О.Гаспаряна, Ю.Н.Работнова, Н.М. Матченко, A.A. Трещева и других.

При этом следует отметить, что большинству моделей указанных авторов присущи определенные недостатки:

- привлечение к расчету кусочных и непотенциальных зависимостей;

- большое количество констант, входящих в определяющие соотношения;

- наличие ограничений, накладываемых на некоррелируемые константы материалов;

- узкая область устойчивости потенциалов деформаций или напряжений.

Во втором разделе предлагается вариант построения определяющих соотношений структурно изотропных упругих материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Предложенный подход основан на инвариантах тензора деформаций, связанных с нормированным пространством деформаций.

Деформированное состояние в точке деформируемого тела в нормированном пространстве главных деформаций количественно предложено определять модулем вектора полной деформаций D = -Je^ , а качественно - косинусами направляющих углов ak=Cos9k=ekl D, которые связаны условием нормировки акак = 1, где к = 1, 2, 3 .

Модуль вектора D является нормой векторного пространства главных деформаций, а направляющие косинусы а, главными нормированными деформациями.

При переходе от главных осей к произвольной ортогональной системе координат получено

D = \Fö^ >' a,j=e,j/D; а>1ач = 1 ■

В пространстве, связанном с октаэдрической площадкой, модуль вектора полной деформации D0 определялся как функция средней и сдвиговой деформаций £>0 = £ = +<?2+е3)/3. Э = -¿ч)2 +(f2 -f3)" +{е3 —f,)2 • Направление

вектора полной деформации определялось углом ц/ между нор-

малью к октаэдрической площадке и вектором D0, а также фазой деформаций /: Cosy/ = ¿; = e/D0; Sint// = rj = Э/Da; Cos3f = 4láet{sIJ)l3\ (2)

Так как между главными и октаэдрическими деформациями существует зависимость

e¡ + e¡+e¡=3 (е2 + Э2), (3)

то введенные характеристики напряженного состояния D0, ц/, /, однозначно связаны с инвариантами D,Ia,IIIa:

D0=DlS; = IIIа =(3<f + 9£т?2 Cos3f)l-Jb , (4)

где Ia-ak=a¡+a2 + a3; IIa = akak = 1; IIIa = a¡ + a¡ + a¡ .

Условие нормировки имеет вид

£'+»72 = 1. (5)

Использование нормированного пространства, связанного с октаэдрической площадкой при построении определяющих соотношений разносопротивляющихся материалов более предпочтительно, так как параметры r¡ и фазовый инвариант Coslf имеют достаточно простой геометрический смысл. Кроме того, большинство экспериментов по сложному деформированному состоянию сопряжены с вычислением фазы деформаций /.

На базе введенных количественной и качественных характеристик. деформированного состояния определяющие соотношения для изотропных разносопротивляющихся материалов сформулированы в виде потенциала напряжений:

U = 0,5[( А + fía, )е? +(А + Ва2 )е] + (А + Ва3 )e¡ ] + [С + Еаъ + G(a, + а2 )]e¡e2 +

+[С + £а, + G(a2 + а3 )]е2е, +[С + Еаг + G(a, + «3)]е,е3; ( б)

U = (¿, + Ъ£ )ег + (¿2 + b¿ + btfCosi/)Э2, (7)

где Ьх =1,5(Л+ 2С); Ьг=\,5(А-С); Ьъ = 1,5(5+ 4G + 2£)/V3 ; К =4,5(В-£)/л/з ; ¿j =0,75(5-2G + 2£)>/2/л/з .

Соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций были получены путем дифференцирования потенциала напряжений U согласно формулам Грина:

стк = Aek+Ce, + Cem+Tt , (k-*l->m), (8)

^^{bi+2b2)e„+^(bl-b2)eJI+^(bi-b1)eu+T„; (i(9)

(/*./), (10) где 7¡ = 0,5Ba.el (з - a,2) + Ea, (e„ - акатек) + Ga, (e, + ej(2-a2), (W = U,3); T = b¿e2+b¿32+b#Cos3f32.

3e„

Для оценки непротиворечивости предложенных зависимостей было проведено исследование устойчивости определяющих

соотношений в малом по Друккеру. В результате установлена область ограничений на механические характеристики материалов, вытекающих из условия единственности решения. Физико-механические характеристики всех исследуемых в работе материалов укладывались в рамки данных ограничений.

Для анализа реальности предлагаемых соотношений и их согласованности с экспериментальными данными были получены:

а) закон изменения объема

сгЛк0е + ^Д0Э; (11)

б) закон изменения формы

т = ^ + ¡2С0Э + ^Д0еУ (12)

в) уравнение, определяющее фазовую характеристику

= ЗЬ5?;5шЗ/(6?/С0 + £Д0), (13)

где К0 - обобщенный «модуль» объемных деформаций; -

обобщенный «модуль» формоизменения (сдвига); Д0 - обобщенный «модуль» дилатации; а>-<р-/ - разность фаз деформированного и напряженного состояния.

Анализ выражения законов (11)-(13) позволил заключить , что полученные определяющие соотношения для квазилинейных материалов учитывают дилатационные свойства. С другой стороны, среднее напряжение зависит от объемной и сдвиговой деформации. Но при гидростатическом напряжении не возникают деформации сдвига.

Для оценки пригодности предложенных модельных соотношений к описанию напряженно-деформированных состояний (НДС) слабо нелинейных разносопротивляющихся материалов было проведено сопоставление экспериментальных зависимостей «напряжение-деформация» с теоретическими предсказаниями.

Сплошными прямыми на рисунке 1 представлены рассчитанные рекомендуемые диаграммы деформирования в осях универсальных инвариантов для графита АРВ. Кривые линии представляют собой экспериментальные диаграммы деформирования.

Аналогичные результаты были получены для графита ВПП, бетона с пределами прочности Л" =28,4 МПа, к' = 32,04 МПа , Я~ =33,91 МПа .

Анализ представленных диаграмм позволяет утверждать, что предложенные соотношения (6), (7) достаточно надежно отражают реальные напряженно-деформированные состояния рассмотренных слабо нелинейных разносопротивляющихся материалов в самом широком диапазоне изменения вида этих состояний. Для иллюстрации преимуществ предложенных зависимостей на рисунке 1 штриховыми линиями нанесены расчетные теории

упругости. Цифрой 1 показаны диаграммы деформирования, рассчитанные по модели С.А. Амбарцумяна, цифрой 2 - по модели Б.М. Матченко и Г.В. Бригадирова, цифрой 3 - по уравнениям P.M. Джонса, цифрой 4 - по зависимостям, полученным Н.М. Матченко и JI.A. Шерешевского, цифрой 5 - полученные на основе соотношений Г. С. Шапиро, 6 - согласно модели Л.А. Толоконникова, 7 - диаграммы, рассчитанные по уравнениям, полученным И.Ю. Цвелодубом.

б) 2ft МПа

15

СУ,

0,3 % 0.4

в) 20 МПа

15

10

СУ,

п. I 5,6/ Й

Г

г) 20 МПа 15

01

е,

ОД 0,2 0,3 % 0,4

Д) 15

CS

МПа 10

б, 7 V / Д 2,3, 4,5^ // /мт

' /^

/у ¿¿7

е,

о

0,1 0.2 0.3 % 0,4

е,

0,1 0,2 0.3 % 0,4

7 ,6

1, 2.3.4

4

е,

0 0.1 0,2 0,3 % 0,4

Рисунок 1 - Диаграммы деформирования графита АРВ при пропорциональном нагружении и их квазилинейные аппроксимации: а) - <т, :<т3:<73 =-1:0:0; б) - сг, :сг2 :сг3 = +1:0:0 ; в) - сг,: сг2: сг3 = -1: +1:0 ; г) - сг, :сг2 :сг3 = +1 :+0,325 :0 ; д) - сг, :ег2 :сг3 =+1:+1:0

Таким образом, можно утверждать, что предложенные потенциальные соотношения (6), (7) достаточно универсальны и вполне применимы для расчета НДС конструкций, выполненных из разносопротивляющихся материалов и обладают более высокой точностью, чем известные ранее модели.

В третьем разделе для предлагаемого варианта определяющих соотношений разработана общая методика решения задач упругого деформирования тонких пластин Кирхгофа из разносопротивляющихся материалов в геометрически линейной постановке. Решены задачи об изгибе круглой и прямоугольной пластин при различных видах опирания.

В первой части третьего раздела рассматриваются основные гипотезы и их следствия для рассматриваемого класса задач.

В рамках принятых гипотез для отличных от нуля перемещений и деформаций можно записать:

- в декартовой системе координат

e,j = S,J + *3 Z.J '• 2e,J = v +UJ' X,J = <14)

- в цилиндрической системе координат

ek=£k+zXk¡ £r=u,r\se=ulr\ zr=-w,„; Xe=~wlr' {к = г,в). (15)

Во второй части рассмотрены задачи поперечного изгиба прямоугольной и круглой тонких пластин.

В качестве определяющих соотношений при рассмотрении прямоугольной пластины использованы уравнения, вытекающие из потенциала напряжений (9) - (10).

Уравнение равновесия имеют вид:

Nu,l+N¡2,2=0-, Л^2>1 = М„„, +2Л/,,,12 +М22т = -q(хх,х2)- Nnw,u - 2Nnw,n - N22w,22, где N - усилия в срединной поверхности пластины; Мц - изгибающие и крутящие моменты.

Подчеркнутые слагаемые в уравнении (16) представляют собой произведения мембранных усилий на соответствующие кривизны срединной поверхности и практически не оказывают влияние при малых прогибах пластин. При дальнейшем рассмотрении они были опущены.

Используя уравнения (14), определяя интегральные характеристики напряженного состояния обычным образом и подставляя полученные результаты в уравнения равновесия (16), получим дифференциальные уравнения изгиба тонких прямоугольных пластин при малых прогибах.

£>nVSf х2)+ Ju,u+2Jn,n+Jn,n ;

с, „, +(с„ + с„ )и2 т +спщ ,2, = -í!mlbiA. (17)

и

Г 1, A-ir А-Г ^ А-С 7,

12 2>11 \ 12 22 / 1'12 11 2'22 ~ j '

ас, &,&2 йс2 5П С,,

т иг „ _

-А/2 -Л/2 "l "l

Решение полученных уравнений производилось численно с привлечением конечно-разностной аппроксимацией второго порядка методом последовательных приближений в форме «упругих решений» A.A. Ильюшина.

Решение уравнений для прямоугольной шарнирно закрепленной пластины (17) также было получено последовательными приближениями в рамках метода Навье. Форма первого уравнения (17) в этом случае совпадает с уравнением изгиба пластины в классической строительной механики, и его решение представляется в виде двойного тригонометрического ряда:

= £f>«ISin^Sm^; «,« = 1,2,3...,

m=l »i *2

где -F^--/, = 2а;/,=26; Z^/,- размеры пласти-

ж Dnmn

m , , +

ны в плане.

Последующие приближения искались в виде:

тжх, _ П7ГХ-,

m*I и=1 m=l л=1 >1

/2

(18)

т=1 и=1 ^

Используя соотношений (18), можно найти к-ое приближение для срединной плоскости:

/»»1 л=1 'i

тюг, _ плх-, -Cos--

h

гг-YL^LCos'-^Cos^: (19)

ffi=l i7=l 1

mw, пяхг

Sin-

h

Из полученной системы уравнений были получены:

V:

л Cnmilf + Cnnllf -Н, 4 /, /,

yi _ * L 'I_iiJ_'j

л-2 (ci21-2C12C22-C2J2)mV + C11C12[m4 + «4]

(20)

В работе были рассмотрены квадратные пластины при 6//г = 25, где й - толщина пластины, 2Ь - ширина пластины, в условиях жесткого защемления на контуре под действием

В численных расчетах четвертая часть плана прямоугольной пластины покрывалась сеткой 21x21 точек, с разбиением по толщине на 12 участков.

Результаты расчета пластин согласно предложенным соотношениям практически совпадает с вариантом модели A.A. Трещева, что объясняется общностью подхода к построению определяющих соотношений. Разница значений характеристик напряженного состояния для этих вариантов достигает 3%.

Дополнительно была рассмотрена квадратная пластина тех же размеров в условиях шарнирного опирания на контуре, выполненная из полистирола. Разница значений относительных прогибов для предложенной модели и классического решения с использованием осредненных значений модулей упругости и коэффициентов Пуассона достигает 21%, а при использовании в расчете механических характеристик на сжатие - 112%. По напряжениям разница достигает 45%.

В осесимметричных задачах в качестве определяющих соотношений использовался потенциал напряжений в форме (8). Дифференциальные уравнения изгиба круглых пластин при малых прогибах примут вид:

поперечной нагрузки интенсивностью

М.V> = - \ч{r)rdr + (Jr - Jg)/r + Jr„ ;

n

Где =

J Trct, Jr = J Trzdz .

-V2

В данном разделе получено приближенное аналитическое решение задачи изгиба тонкой круглой жестко защемленной пластинки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки.

Деформированное состояние пластины определялось компонентами перемещений точек срединной поверхности в следующем виде:

где а - радиус пластины; Ь - толщина пластины; А,, 2?,, С, - параметры, подлежащие определению.

Выражение для полной энергии системы с учетом рассмотрения потенциала напряжений в качестве удельной потенциальной энергии деформации пластины принимает вид

Минимизируя выражение (25) по искомым параметрам А], Вх и С,, согласно методу Ритца-Тимошенко, была получена система уравнений

Решая систему уравнений (26), интегрируя почленно подынтегральные функции, и подставляя найденные параметры в выражения (23) - (24), получаем приближенное аналитическое решение задачи.

Были рассмотрены пластины при жесткой заделке и скользящем защемлении под действием поперечной нагрузки интенсивностью qa*jЕфА = 0,293 при различных сочетаниях механических характеристик материала. Полученные результаты характеризуются отклонением от классических решений аналогично квадратной пластины. При этом обнаружены отдельные совпадения параметров напряженного состояния пластин для предложенных соотношений и модели A.C. Амбарцумяна. Расхождения по напряжениям с этой моделью не превышают 3-15%, а качественные картины аналогичны. Использование кусочных соотношений Н.М. Матченко приводит к погрешностям,-достигающим для напряжений в центре пластины до 20%.

(23)

(24)

(25)

На примере расчета круглой жестко защемленной опертой пластины, выполненной из полистирола, установлено, что неучет эффекта разносопротивляемости может привести к погрешностям в определении основных параметров НДС: максимального прогиба - до 15% (рисунок 2), напряжений - до 40% (рисунок 3). При построении графиков введены следующие обозначения: П - численное решение, полученное с использованием предложенных соотношений; КО - по классической теории при осредненных значениях модулей упругости и коэффициентов Пуассона; В - предложенный вариант нахождения аналитического решения.

в 0,2 0.4 6.6 0,8 I

Рисунок 2 - Изменение прогиба по радиусу пластины из полистирола

н?.6

Рисунок 3 - Изменение напряжений по радиусу пластины из полистирола

При аналитическом решении компоненты перемещении точек срединной поверхности задачи определились в следующем виде:

и = —\ 0,05956-- 1--

г

-0,02974-| -

„а

и' = 0.03096 И

Наблюдается практически полное совпадение

2 Г

рассматри-вариацион-

ваемых вариантов, а количественное расхождение ного метода «В» с численным решением «П» возникают в зонах минимальных напряжений.

В четвертом разделе для предлагаемого варианта определяющих соотношений разработана общая методика решения задач упругого деформирования тонких пластин из разносопро-тивляющихся материалов в геометрически нелинейной постановке типа Кармана. Решены задачи об изгибе круглой и прямоугольной пластинах при различных видах опирания.

В первой части четвертого раздела рассматриваются основные гипотезы и их следствия для данного класса задач.

Применительно к конкретным условиям задачи деформации и кривизны срединной поверхности записываются следующим образом:

- в декартовой системе координат

2ец = и, +и} „ ; %ц = , (27)

- в цилиндрической системе координат

ег =и,г+0,5(>,г)2; ед=и/г; = -м/,гг; %в = -п,г/г. (28)

Во второй части рассмотрены задачи поперечного изгиба прямоугольной и круглой тонких пластин при конечных прогибах.

Дифференциальные уравнения изгиба пластин при конечных прогибах получаются при использовании той же методики, что и при малых прогибах. При этом уравнения для вычисления мембранных усилий в силу принятых геометрических соотношений в форме (19) преобразовались к виду:

- для круглых пластин

N. = £>01[и ,г +0,5(м>,г )2 + Вии / Впг] +1г;

Ив = От{и1г + Вп[и „М),5{™,г)2уви}+1в; (29)

- для прямоугольных пластин

1 = А[и, „ +0,5(-и>,, )2 ] + С22И[и2,2 +0,5(м>,2 )2 ] + /,, ;

= С,,й[и2,2 +0,5(и>,2 )2 ] + С22/7[И,„ +0,5(И'„ )2] + Л,; (30) Ып = Спк(их,1+и1,х+м'лIV,2) + 1и .

Величина поперечной силы для круглой пластины определялась следующим образом:

1 г

— \я{г)гЛ-, (31)

г о

Полученные таким образом дифференциальные уравнения подвергались линеаризации согласно методу последовательных нагружений, предложенному Петровым В.В. и модифицированному Трещевым А. А под названием «пошагово-итерационный». В конечном итоге были получены следующие разрешающие уравнения нелинейного изгиба пластин:

- для круглых пластин

Ан[(и*.гН5р]?)+ Виик 1Виг]8(р-- Д,, (<ркди„+ Вп<рк3и / В, ,/•) = = 0,5 гбд + \1гк8(р + <рк51г + (<5/, - <5/„ )/г + <£/,. )г ]; (32) Вт{Ч2г8и + [{<рк8<р),г+ркг<р{\-Вп1Ви)1г]}= -(61,-61д)1г-31г,г,

- для прямоугольных пластин

D,- (alt „ +0,5 (wk „ )2 )(С,, Jw„, +C223w,22) --(Sum +м>4>1 Sw^C^w^ +C22wk,22)~ ~(ii2k ,2 +0,5(щ,2)2 )(C22£w„, +Cn£w,22) -- (Su2,2 +u>t ,2 Swn) (C22wk ,,, +C„ w, ,22 ) --2C]2h(wk,n (Sux,2 +Su2,x +Swn wk,2) + Sw,n (uikn +u2in +wk,1 wk,2)) =

= 5q +(SJnm+2SJu,n +6J22,22) + (33)

+luk Sw,u +8luwkm+21nkS\v,n +2 8Juwkm +I22kSw ,22 +SI22wk ,22 ; Cn6um+{Cn+C22)S ti2n2 -rC[2Su^22 — = -Cn(wk,i Sw,n +Sw,x wkm)- C12(>ft,1 Sw,22 +Swnwk,22)~

-(C12 + C22)K,2Sw,n +Sw,2 wkm)- ;

С12Л/РП +(C12 + C22)<5m,,12 +Cn(5iij,22 = = -C„ ( wk,2 öw,22 +öw,2wk,22)-Cn(wk,2<5w,n +5w,2 wkH1)~

-(C,2 + Cn){wk4Sw,l2 +Swnwk,i2)~ SInn^I22n

Были рассмотрены круглые и квадратные пластины, выполненные из графитов АРВ и ВПП и полистирола при различных граничных условиях.

Рисунки 4, 5, характеризующие зависимости максимальных прогибов и изгибающих моментов от действующей нагрузки соответственно для шарнирно опертой круглой пластины, выполненной из графита АРВ, показывают, что с увеличением нагрузки эффект разносопротивляемости проявляется значительнее . При этом следует отметить, что предложенный вариант расчета практически полностью совпадает с вариантом A.A. Трещева, изображенным на рисунки кривой «ГР».

Установлено, что свойства разносопротивляемости материалов пластин могут привести к отклонениям значений изгибающих моментов и напряжений от классической теории, например, для квадратной пластины, соответственно до 17% и 49% (см. рис. 6,7), причем на величину этой разницы определенное влияние оказывают граничные условия.

0.9

С, 6

0.3

Рисунок 5 - Зависимость момента в центре пластины от нагрузки

Рисунок 4 - Зависимость прогиба в центре пластины от нагрузки

Рисунок б - Изменение момента вдоль средней линии пластины

Рисунок 7 - Изменение напряжений вдоль средней линии пластины

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Теоретически доказано, что для описания НДС изотропных дилатирующих материалов возможно использовать количественные и качественные характеристики нормированных пространств деформаций в главных осях или связанных с октаэн-дрической площадкой. На основе анализа известных экспериментов продемонстрирована возможность использования этих пространств для формулировки потенциалов напряжений, определяющих характеристики НДС широкого класса конструкционных материалов типа графиты, бетон, чугуны, керамика, что подтверждает достоверность полученных соотношений, точность которых заметно выше, чем у известных моделей.

2. Продемонстрирована возможность использования полученных потенциалов напряжений в качестве физических зависимо-

стей при построении разрешающих уравнений изгиба тонких пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов при малых и больших прогибах.

3. Показано, что рассмотрение потенциала напряжений в качестве удельной потенциальной энергии деформации пластины, записанной в перемещениях, получает получить приближенное аналитическое решение изгиба пластин из материалов, чувствительных к виду напряженного состояния.

4. Установлено, что при проектировании пластинчатых конструкций необходимо учитывать свойства разносопротивляемо-сти. Неучет этих свойств может привести к существенным погрешностям в определении напряженно-деформированных Состояний. Особенно это важно при изгибе пластин элементов при больших прогибах. В этом случае погрешность традиционных методик может достигать: по прогибам - 20%; по напряжениям - 4 9%.

5. Аналитическое решение, полученное для геометрически линейных задач изгиба круглой жестко защемленной пластины, адекватно описывает ее напряженно-деформированное состояние и практически совпадает с численным.

6. Установлено, что жесткость разномодульных пластин при малых прогибах и любых граничных условиях заметно больше, чем жесткость аналогичных конструкций из классического материала с осредненным модулем упругости равным

(l/£0 ={i/E+ +\/Е~}12 ). Причем это справедливо как для подвижного, так и для неподвижного опирания пластин, но для последнего отклонение жесткости от данных классической теории при Е =0,294 и Е IE =3,4 на 9_12% больше, а при

р- / _ л с с— / гг+ _ о п

' ^ -">-> и а ' ^ - на 4-6%. Жесткость разномодуль-

ных пластин при конечных прогибах может быть как больше, так и меньше аналогичных конструкций из классического материала и зависит от условий опирания.

По материалам диссертации опубликованы 18 работ, основные из которых следующие.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций

1. Трещев, A.A. Геометрически нелинейный изгиб тонких пластин из материалов с усложненными свойствами [текст]/ A.A. Трещев, А.П. Сазонов // Известия ОрелГТУ. Сер. «Строительство. Транспорт». - Орел: ОрелГТУ, 2007.- № 4.-С. 74-79.

Публикации в других изданиях

2. Сазонов, А.П. Анализ качества потенциала напряжений для изотропных квазилинейных материалов [текст]/ А.П.Сазонов, A.A. Трещев // Вестник отделения строительных

наук PAACH. - Курск: РААСН-КГТУ. -2007. - Вып. 11. - С. 206-211.

3. Сазонов, А.П. Конечные прогибы круглых пластин из дилатиругацих изотропных материалов в пространстве деформаций [текст]/ А.П. Сазонов, A.A. Трещев // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов 8-й Международной конференции. - Тула: ТулГУ. -2007.-С. 71-72.

4. Сазонов, А.П. Конечные прогибы тонких пластин из материалов с усложненными свойствами [текст]/ А.П. Сазонов, A.A. Трещев // Сборник статей Международной научно-технической конференции «Композиционные строительные материалы. Теория и практика». - Пенза: ПГУАС-ПДЗ. - 2007. -С. 243-245.

5. Трещев, A.A. Геометрически нелинейный изгиб тонких пластин из материалов с усложненными деформационными свойствами [текст] /A.A. Трещев, А.П. Сазонов // Вестник отделения строительных наук. Вып. 12.- Белгород: БГТУ.- 2008.-с. 204-211.

6. Трещев, A.A. Использование потенциала напряжений для описания изгиба тонких пластин из разносопротивляющих-ся материалов [текст]/ A.A. Трещев, А.П. Сазонов // Известия ТулГУ. Строительные материалы, конструкции и сооружения. - Тула: ТулГУ. -2005. - Вып. 8. - С. 172-180.

7. Трещев, A.A. Использование пространства деформаций для описания изгиба прямоугольных пластин с усложненными свойствами [текст]/ A.A. Трещев, А.П. Сазонов // Социально-экономические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики. - Тула: ТулГУ. - 2005.- С. 81-86.

8. Трещев, A.A. Использование пространства деформаций для определения напряженного состояния разносопротивляю-щихся деформируемых тел [текст]/ A.A. Трещев, А.П. Сазонов // Известия ТулГУ. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. - Тула: ТулГУ. - 2004. Вып.6.-С.156-164.

9. Трещев, A.A. Использование пространства деформаций для определения напряженного состояния разносопротивляю-щихся деформируемых тел [текст]/ A.A. Трещев, А.П. Сазонов // Известия ТулГУ. Сер. Строительство, архитектура и реставрация. - Тула: ТулГУ. - 2005. Вып. 8.- С. 265-273.

10. Трещев, A.A. Потенциал напряжений для упругих изотропных дилатирующих материалов / A.A. Трещев, А.П. Сазонов // Сборник научных трудов Международной научно-технической конференции. - Композиционные строительные материалы. Теория и практика. - Пенза: ПГУАС. - 2004. - С. 310-311.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии «Папирус» 300041, г. Тула, ул. Ленина, д. 12 Тел. (4872) 38-40-09 Заказ № 178. Тир. 100.

1 Предпосылки теории деформирования пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами.

1.1 Некоторые экспериментальные сведения по деформированию материалов с усложненными свойствами.

1.2 Обзор некоторых вариантов построения теории изгиба пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов

2 Определяющие соотношения для изотропных разносопротивляющихся материалов

2.1 Пространства нормированных деформаций

2.1.1 Нормированное пространство №

2.1.2 Нормированное пространство №

2.2 Потенциал напряжений

2.3 Замечания о геометрических уравнениях, уравнениях равновесия, движения и сплошной среды

2.4 Обоснование определяющих соотношений .1.

2.4.1 Законы изменения объема и формы, фазовая характеристика. Соотношения между инвариантами напряжений и деформаций

2.4.2 Определение констант определяющих соотноше

2.4.3 Исследование ограничений, накладываемых на механические характеристики материалов условием единственности решения.

3 Геометрически линейная теория деформирования тонких упругих пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами

3.1 Основные гипотезы для расчета пластин и их следствия

3.2 Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин

3.2.1 Разрешающие уравнения изгиба прямоугольных пластин

3.2.2 Поперечный изгиб прямоугольных пластин при малых прогибах

3.2.2.1 Численная реализация

3.2.2.2 Аналитическая реализация

3.2.3 Результаты расчета прямоугольных пластин при малых прогибах

3.2.4 Разрешающие уравнения изгиба круглых пластин

3.2.5 Поперечный изгиб круглых пластин при малых прогибах

3.2.5.1 Численная реализация

3.2.5.2 Аналитическая реализация

3.2.6 Результаты расчета круглых пластин при малых прогибах

4 Геометрически нелинейная теория деформирования тонких упругих пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами

4.1 Основные гипотезы для расчета пластин и их следствия

4.2 Определение напряженно-деформированного состояния тонких гибких пластин

4.2.1 Разрешающие уравнения изгиба круглых пластин

4.2.2 Поперечный изгиб круглых пластин при конечных прогибах

4.2.3 Результаты расчета круглых пластин при конечных прогибах

4.2.4 Разрешающие уравнения изгиба прямоугольных пластин

4.2.5 Поперечный изгиб прямоугольных пластин при конечных прогибах

4.2.6 Результаты расчета прямоугольных пластин при конечных прогибах

Развитие науки, техники и строительства с использованием в несущих конструкциях высокопрочных материалов выдвинуло перед учеными и конструкторами качественно новые задачи, решение которых может быть получено лишь на основе теорий, учитывающих различные нелинейные эффекты.

Стремление к уменьшению веса конструкции при улучшении их качества вызывает необходимость использования в процессе проектирования современных методов расчета, в которых наиболее полно отражаются реальные условия работы конструкций и механические свойства материала.

В настоящее время в машиностроении, ракетостроении, строительстве и других отраслях промышленности для изготовления элементов конструкций и деталей машин используются материалы с усложненными свойствами. Значительная сложность в расчете конструкций, выполненных из таких материалов, заключается в том, что механические характеристики материала меняются в зависимости от вида напряженного состояния. К таким материалам относятся бетоны, керамика, серые и ковкие чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, ряд полимеров и большинство композитов.

До недавнего времени ставилось под сомнение влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов, а результаты экспериментов, подтверждающих это явление, связывались с низким качеством постановки самих экспериментов. Прогресс в этом направлении был достигнут за последние десятилетия советскими и российскими учеными. По мере накопления экспериментальных данных явление разносопротивляемости отмечалось уже у широкого класса материалов и стало вызывать заметный интерес среди ученых. Естественно, что развитие исследований в этой области привело к появлению фундаментальных результатов в области построения определяющих соотношений разносопротивляющихся сред.

Подобные явления проявляются уже при упругой стадии работы конструкции и во многом влияют на распределение напряжений. Сложность поднимаемой проблемы заключается в том, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций и связанные с явлением разносопротивляемости материалов, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия.

Несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей определяющих соотношений сред, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования эффектов, вызванных разносопротивляемостью материалов конструкций, сдерживаются наличием существенных недостатков известных моделей, недостаточным для решения данного класса задач развитием численных методов, а также недостаточной ориентацией известных моделей механики разносопротивляющихся сред на их дальнейшее использование в приложениях.

Таким образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов при определении напряженно-деформированного состояния элементов конструкций является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане, поскольку существующие варианты методов решения задач механики деформирируемого тела не позволяют эффективно решать такие задачи.

Целью представленной работы является построение в рамках подхода, связанного с нормированным пространством деформаций, обобщенной модели деформирования тонких пластин, выполненных из материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решение ряда прикладных задач упругого деформирования тонких пластин при малых и конечных прогибах.

Для этой цели необходимо:

- рассмотреть трехмерные пространства нормированных деформаций и построить в них потенциалы напряжений;

- привлечь систему инвариантов деформированного состояния, позволяющую подойти к построению уравнений состояния разносопротивляющихся сред;

- на основе предлагаемых количественной и качественной характеристик нормированных пространств деформаций получить определяющие соотношения разносопротивляющихся упругих сред;

- указать систему простейших экспериментов для определения констант, входящих в уравнения состояния, описать методику вычисления констант;

- подтвердить адекватность предлагаемых соотношений реальным состояниям конкретных материалов;

- построить разрешающие уравнения упругого деформирования тонких пластин с учетом разносопротивляемости в геометрически линейной и нелинейной постановках;

- решить ряд прикладных задач по упругому деформированию тонких пластин при различных видах закрепления, сравнить полученные результаты с аналогичными, полученными на основе других моделей.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

- построение нормированных пространств деформаций и потенциала напряжений для изотропного разносопротив-ляющегося дилатирующего материала; предложенные определяющие соотношения для материалов, сопротивление деформированию которых зависит от вида напряженного состояния;

- соотношения, описывающие упругое деформирование тонких круглой и прямоугольной пластин, выполненных из материалов с усложненными свойствами; полученные численные и аналитические результаты расчетов, выявляющие новые количественные эффекты напряженно-деформированного состояния тонких пластин, связанные с явлением разносопротивляемости материалов.

Достоверность представленных в работе положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, использованием классических законов строительной механики, хорошим соответствием полученных результатов имеющимся экспериментальным данным, а также сравнением расчетных данных с классическими и с результатами исследований на основе иных подходов.

Полученные в работе результаты имеют важное практическое значение для построения моделей анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями. Данные модели могут быть использованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций с разными уровнями точности.

Внедрение результатов работы осуществлено в проектную практику ООО «ПСП «Стройэкспертиза» (г. Тула). Использование результатов работы подтверждено актом о внедрении пакета прикладных программ.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

Основные результаты работы состоят в следующем.

X. Теоретически доказано, что для описания НДС изотропных дилатирующих: материалов возможно использовать количественные и качественные характеристики нормированного пространства деформаций в главных осях и нормированного пространства, связанного с октаэндрической площадкой. На основе анализа известных экспериментов продемонстрирована возможность использования этих пространств для формулировки потенциалов напряжений, определяющих характеристики НДС широкого класса конструкционных материалов типа графиты, бетон, чугуны, керамика, что подтверждает достоверность полученных соотношений, точность которых заметно выше, чем у известных моделей.

2. Продемонстрирована возможность использования полученных потенциалов напряжений в качестве физических зависимостей при построении разрешающих уравнений изгиба тонких пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов при малых и больших прогибах.

3. Показано, что рассмотрение потенциала напряжений в качестве удельной потенциальной энергии деформации пластины, записанной в перемещениях, позволяет получить приближенное аналитическое решение изгиба пластин из материалов, чувствительных к виду напряженного состояния.

4. Установлено, что при проектировании пластинчатых конструкций необходимо учитывать свойства разносопротив-ляемости. Неучет этих свойств может привести к существенным погрешностям в определении напряженно-деформированных состояний. Особенно это важно при изгибе пластин элементов при больших прогибах. В этом случае погрешность традиционных методик может достигать: по прогибам - 20°; по напряжениям - 4 9%.

5. Аналитическое решение, полученное для геометрически линейных задач изгиба круглой жестко защемленной пластины, адекватно описывает ее напряженно-деформированное состояние и практически совпадает с численным.

6. Установлено, что жесткость разномодульных пластин при малых прогибах и любых граничных условиях заметно больше, чем жесткость аналогичных конструкций из классического материала с осредненным модулем упругости равным (l/-£"0 ~{l/E+ +lj) .Причем это справедливо как для подвижного, так и для неподвижного опирания пластин, но для последнего отклонение жесткости от данных классической теории при Е~ /Е+ = 0,294 и Е~ /Е+= 3,4 на 9-12% больше, а при Е~ /Е+= 0,5 и Е~ /Е+= 2,0 - на 4-6%. Жесткость разно-модульных пластин при конечных прогибах может быть как больше, так и меньше аналогичных конструкций из классического материала и зависит от условий опирания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенного в первом разделе диссертации анализа известных экспериментальных данных показано, что характер упругого деформирования многих конструкционных материалов не соответствует гипотезе «единой кривой» и деформирование их может происходить по дилатационному принципу. Такие материалы названы материалами с усложненными свойствами. Показано, что большинство известных определяющих соотношений для материалов с усложненными свойствами имеют ряд недостатков.

Решение прикладных задач строительной механики для конструкций из материалов с усложненными свойствами требует применения достаточно универсальных и надежных определяющих соотношений, однозначно и адекватно описывающих их напряженно-деформированное состояние.

Анализ результатов работы указывает на то, что полученные определяющие соотношения для материалов с усложненными свойствами и используемые численные и вариационные методы решения практически важных задач изгиба пластин могут служить удовлетворительной основой для исследования напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, выполненных из этих материалов. Следует отметить, что использование для описания изгиба тонких пластин из разносопротивляющихся материалов потенциала напряжений (по сравнению с потенциалом деформаций) имеет ряд достоинств. Во-первых, из процесса формирования дифференциальных уравнений изгиба пластин выпадает процедура перехода от деформаций к напряжениям, поскольку в этом случае мы изначально работаем в пространстве деформаций. Во-вторых, потенциал напряжений открывает большие возможности применения к решению задач изгиба пластин энергетических методов, поскольку потенциал напряжений можно рассматривать в качестве удельной потенциальной энергии тела с одной стороны, и записан он в деформациях с другой.

1. Авхимков, А.П. О плоской задаче разномодульной теории упругости Текст./ А.П. Авхимов // Докл. 9-й науч. -техн. конф. инж. факультета Ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. М., 1974. - С. 39-43.

2. Авхимков, А. П. О плоской задаче теории упругости для разномодульного тела Текст. / А.П. Авхимов, Б.Ф. Власов // Докл. 8-й науч.-техн. конф. инж. факультета Ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. М. -1972. - С. 34 - 36.

3. Александров, А.Я. Решение осесимметричной задачи при помощи аналитических функций Текст. / А. Я. Александров // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 13 9. - № 2. - С. 10-14.

4. Амбарцумян, С. А. Осесимметричная задача круговой цилиндрической оболочки, изготовленной из материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию Текст./ С. А. Амбарцумян // Изв. АН СССР. Механика. 19 65. -№4. - С. 77-85.

5. Амбарцумян, С.А. Разномодульная теория упругости Текст./ С.А. Амбарцумян. М.: Наука, 1982. - 320 с.

6. Амбарцумян, С.А. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию Текст. / С.А. Амбарцумян, А.А. Хачатрян // Инж. журн. МТТ. 19 66. - №2. - С. 44-53.

7. Амбарцумян, С.А. К разномодульной теории упругости Текст./ С.А. Амбарцумян, А.А. Хачатрян // Инж. журн. МТТ. 1966. - №6. - С. 64-67.

8. Аркания, З.В. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных анизотропных средах Текст./ З.В.Аркания // Механика сплошных сред. Тбилиси: ГПИ, 1984. - №9. - С. 86-87.

9. Аркания, З.В. К построению определяющих уравнений теории упругости изотропных сред Текст./ З.В. Аркания, Н.М. Матченко, А.А. Трещев // Механика сплошных сред. Тбилиси: ГПИ, 1984. - №9. - С. 88-90.

10. Аркания, З.В. Один подход к определению закона упругости для квазилинейных сред Текст./ З.В. Аркания, Н.М. Матченко, А.А. Трещев // ТулПИ. Тула, 1992. -5с.- Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, №1886-В92.

11. Артемов, А.Н. Определяющие соотношения для нелинейных разносопротивляющихся материалов Текст./ А.Н. Артемов, J1.A. Зиборов, Н.М. Матченко // Проблемы прочности. 1989. - №4. - С. 39-42.

12. Березин, А.В. Деформируемость и разрушение изотропных графитовых материалов Текст./ А.В. Березин, В. И. Строков, В.Н. Барабанов // Конструкционные материалы на основе углерода. М.: Металлургия, 1976. -Вып. 11. - С. 102-110.

13. Березин, И. С. Методы вычислений. В 2 т. Т. 1 Текст./ И.С. Березин, Н.П. Жидков М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 195 9. - Т. 1. - 4 64 с.

14. Бертяев, В.Д. Вариант построения теории упругости разносопротивляющихся тел Текст./ В.Д. Бертяев,

15. JI.А. Толоконников // Механика и прикладная математика. Тула: Приокс. кн. изд-во, 1989. - С. 4-7.

16. Бригадиров, Г.В., Матченко Н.М. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости Текст./ Г.В. Бригадиров, Н.М. Матченко // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - №5. - С. 109-111.

17. Бригадиров, Г.В. Вариант построения разномодульной теории изгиба пластинок Текст./ Г.В.Бригадиров, JI.А.Толоконников // Сб. работ по теории упругости. Тула: ТПИ, 1968. - С. 21 - 30.

18. Бригадиров, Г.В. Большие прогибы пластин из разномодульного материала Текст./ Г. В. Бригадиров // Сб. работ по теории упругости. Тула: ТПИ, 19 68. - С. 15 - 20.

19. Бригадиров, Г.В. К изгибу пластин из разномо-дульных материалов Текст. / Г.В. Бригадиров, В.М. Логунов, Л.А. Толоконников // Технология машиностроения. -Тула: ТПИ, 1969. Вып. 14. - С. 78 - 83.

20. Бригадиров, Г. В. К разномодульной теории пластин Текст./ Г. В. Бригадиров // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 17- 21.

21. Быков, Д. Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды Текст./ Д.Л. Быков // Инж. журн. МТТ. 1966. - №4. - С. 58-64.

22. Быков, Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах Текст./ Д.Л. Быков // Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1971. - Вып. 2. - С. 114 - 128.

23. Вазов, В. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных Текст./ В. Вазов, Дж. Форсайт. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. -487 с.

24. Варвак, П.М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций Текст./ П. М. Варвак, Л.П. Варвак. М.: Стройиздат, 1977. - 160 с.

25. Гаврилов, Д.А. Зависимости между напряжениями и деформациями для квазилинейного разномодульного тела Текст./ Д.А. Гаврилов // Проблемы прочности. 1979. -№9. - С. 10-12.

26. Гаврилов, Д.А. Определяющие уравнения для нелинейных тел неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию Текст./ Д.А. Гаврилов // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. - 1980. - №3. - С. 37-41.

27. Галоян, А. Г. Осесимметричный изгиб круглой кольцевой пластинки, изготовленной из разномодульного материала Текст./ А.Г. Галоян // Учен. зап. Ереванского гос. ун-та. Естеств. науки, 197 6. № 2. - С. 24 -30.

28. Глаголева, М.О. Вклад Л.А.Толоконникова в развитие нелинейной теории упругости Текст./ М.О. Глаголева, А.А. Маркин, А.А Трещев // Тезисы докл. Международ . конф. «Итоги развития механики в Туле». Тула: ТулГУ. - 1998. - С. 54-55.

29. Глаголева, М.О. Свойства изотропных упругих материалов Текст./ М.О. Глаголева, Н.М. Матченко, А.А. Трещев // Изв. ТулГУ. Сер.: Математика, механика, информатика. Тула: ТулГУ. - 1998. - Вып. 2. Механика. -Т.4. - С. 15-19.

30. Гордеев, Ю.С. Об аппроксимации диаграмм деформирования нелинейных разномодульных композитных материалов Текст./ Ю.С. Гордеев, И.Г. Овчинников // СПИ. -Саратов, 1982. 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.08.82, №427982 .

31. Гордеев, Ю.С. Методика определения параметров кривых деформирования нелинейных разномодульных материалов Текст./ Ю.С. Гордеев, И.Г. Овчинников, А.Ф. Макеев // СПИ. Саратов, 1983. - 61 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.83, №447-84.

32. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды Текст./ А. Грин, Дж. Ад-кинс. М.: Мир, 19 65. - 456 с.

33. Деревянко, Н.И. Свойства армированного полистирола при кратковременном растяжении, сжатии и изгибе // Механика полимеров Текст./ Н.И. Деревянко. 1968. -№6. - С. 1059-1064.

34. Елсуфьев, С.А. Исследование деформирования фто-ропласта-4 при линейном и плоском напряженном состояниях Текст./ С.А. Елсуфьев // Механика полимеров. -1968. №4. - С. 742-746.

35. П.Н.Ельчанинов, М.И. Климов // Расчет строит, конструкций с учетом физичес. нелинейности материала на стати-чес. и динамичес. нагрузки. JI.: Изд-во ЛИСИ, 1984. -С. 42-47.

36. Еремичев, А.Н. Определяющие уравнения материала, деформирование которого зависит от вида напряженного состояния Текст./ А.Н. Еремичев // МВТУ им. Н.Э.Баумана. М., 1984. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.01.84, №2356-84.

37. Жуков, A.M. Упругие, прочностные и деформационные свойства некоторых полимеров Текст./ A.M. Жуков // Механика композитных материалов. 1984. - № 1. - С. 815.

38. Касимов, Р.Г. Прочность и деформативность бетона при трехосном сжатии Текст./ Р. Г. Касимов. Дис. . канд. техн. наук / НИИЖБ. - М., 197 6. - 180 с.

39. Каудерер, Г. Нелинейная механика Текст./ Г. Каудерер. М.: Изд-во иностр. лит., 19 61. - 77 9 с.

40. Ковальчук, Б.И. О деформировании полухрупких тел Текст./ Б. И. Ковальчук // Проблемы прочности. -1982. №9. - С. 51-57.

41. Ковалев, Д.Г. Описание НДС материалов, чувствительных к виду напряженного состояния Текст./ Д.Г. Ковалев, А.А. Трещев // Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. «Механика машиностроения». Набережные Челны: КамПИ. - 1997. - С. 42-43.

42. Ковалев, Д.Г. Исследование деформирования полухрупких конструкционных материалов Текст./ Д. Г. Ковалев, А.А. Трещев // IV Академические чтения РААСН: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: ПГАСА. -1998. - Ч. 1. - С. 164.

43. Кожухов, А. Г. Учет деформационных особенностей композиционных материалов при расчете дорожных одежд Текст./ А.Г. Кожухов, К.Г. Кожухов // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1989. - № 11. - С. 101 -104 .

44. Корнишин, М.С. Нелинейные задачи теории пластинок и пологих оболочек и методы их решения Текст./ М.С. Корнишин. М.: Наука, 1964. - 192 с.

45. Кузнецов, В. П. Результаты испытаний трубчатых образцов серого чугуна на растяжение и сжатие Текст./ В.П.Кузнецов, В. А. Стеценко // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 43-45.

46. Кузнецов, С. А. Дилатационные зависимости для полухрупких разномодульных материалов Текст./ С.А. Кузнецов, Н.М. Матченко // ТулПИ. Тула, 198 9. - 8 с.- Деп. в ВИНИТИ 20.11.89, №7051-В89.

47. Кузнецов, С. А. Потенциальные уравнения состояния нелинейно-упругого изотропного материала / С.А. Кузнецов, Н.М. Матченко // ТулПИ. Тула, 1989. - 14 с.- Деп. в ВИНИТИ 20.11.89, №7050-В89.

48. Кузьменко, В. А. Новые схемы деформирования твердых тел Текст./ В. А. Кузьменко Киев: Наукова думка, 1973. - 200 с.

49. Кязимова, Р. А. О выборе аналитического потенциала напряжений Текст./ Р. А. Кязимова // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. - Вып. 28. - С. 8083.

50. Леонов, М.Я. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел Текст./ М.Я. Леонов, В.А. Паняев, К.Н. Русинко // Инж. журн. МТТ. 1967. -№6. - С. 26-32.

51. Логунов, В.М. Конечные прогибы тонких плит из физически нелинейного материала Текст./ В.М. Логунов// Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 52-61.

52. Логунов, В.М. Изгиб физически нелинейных пластин, занимающих конечную двухсвязную область Текст./ В.М.Логунов// Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. - Вып. 28. - С. 183-191.

53. Ломакин, Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния Текст./ Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. -1980. №4. - С. 92-99.

54. Ломакин, Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел Текст./ Е.В. Ломакин. М., 1980. -64 с. (Препринт ин-та пробл. механики АН СССР; - №15 9).

55. Текст./ Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. 1979.2. С. 42-45.

56. Ломакин, Е.В. Разномодульность композитных материалов Текст./ Е.В. Ломакин // Механика композитных материалов. 1981. - №1. - С. 23-29.

57. Ломакин, Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния Текст./ Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. - №3. - С. 63-69.

58. Ломакин, Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред Текст./ Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. - 6. - С. 66-75.

59. Ломакин, Е.В. Поперечный изгиб разномодульных пластин Текст./ Е.В. Ломакин, Г.О. Гаспарян // Механика композит, материалов, 1984. № 1. - С. 67-73.

60. Макеев, А.Ф. Изгиб пластинки из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию Текст./ А.Ф. Макеев, И.Г. Овчинников // Приклад. теория упругости. Саратов: СПИ, 1979. - Вып. 2. - С. 115-122.

61. Макеев, А.Ф. Об изгибе пластинки из разносопротивляющегося нелинейно-упругого материала Текст./ А.Ф. Макеев // Строительная механика пространственных конструкций. Саратов: СПИ, 1980. - с. 7 9-8 6.

62. Макеев, А.Ф. К расчету пластинок из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению исжатию Текст./ А.Ф. Макеев // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во СГУ, 1979. - С. 50-57.

63. Матченко, Н.М. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах Текст./ Н. М. Матченко, JI.A. Толоконников // Инж. журн. МТТ. 1968. №6. - С. 108-110.

64. Матченко, Н.М. О нелинейных соотношениях разно-модульной теории упругости Текст./ Н.М.Матченко, JI.A. Толоконников // Сборник работ по теории упругости. -Тула: ТПИ, 1968. С. 69-72.

65. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 1. Квазилинейные соотношения / Н.М. Матченко, JI.A. Толоконников, А. А. Трещев // Изв. РАН. МТТ. 1995. - №1. - С. 73-78.

66. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 2. Нелинейные соотношения Текст./ Н.М. Матченко, JI.A. Толоконников, А.А. Трещев // Изв. РАН. МТТ. 1999. - №4. - С. 87-95.

67. Матченко, Н.М. К плоской задаче разномодульной теории упругости Текст./ Н.М. Матченко, JI.A. Толоконников, А.А. Трещев, М.В. Аруцев // ТулПИ. Тула, 1984. -Юс.- Деп. в ВИНИТИ 07.06.84, №3755-84.

68. Матченко, Н.М. К решению разрешающих дифференциальных уравнений изгиба разномодульных пластин

69. Текст./ Н.М.Матченко, А.А. Трещев // Дифференциал, уравнения и приклад, задачи. Тула: ТулПИ, 1985. - С. 95-102.

70. Матченко, Н.М. К описанию свойств разносопротв-ляемости изотропных материалов Текст./ Н.М. Матченко, А.А.Трещев // Приклад, задачи механики сплош. сред. -Воронеж: Изд-во ВГУ. 1999. - С. 176-183.

71. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения Текст./ Н.М. Матченко, А.А. Трещев. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2000. - 149 с.

72. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости Текст./ Н.М. Матченко, А.А. Трещев. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2004. - 211 с.

73. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки Текст./ Н.М. Матченко, А.А. Трещев. М.;-Тула: РААСН; ТулГУ, 2005. - 186 с.

74. Текст./ Р.Е. Мкртчан // Изв. АН Арм. ССР. Механика.1970. Т. 23. - №5. - С. 37-47.

75. Мкртчан, Р.Е. О соотношениях плоской задачи изотропного материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия Текст./ Р.Е. Мкртчан // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1983. - Т. 36. - №2. - С. 2636.

76. Мкртчан, Р.Е. Большие упругие деформации несжимаемого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия Текст./ Р.Е. Мкртчан // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1972. - Т. 25. - №1. - С. 28-41.

77. Мкртчан, Р.Е. Закон упругости для слоистого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия Текст./ Р.Е. Мкртчан // Механика полимеров. -1978. №2. - С. 199-203.

78. Молчанов, И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости Текст.// И.Н. Молчанов. -Киев: Наукова думка, 1979. 315 с.

79. Мясников, В.П. Нелокальная модель разномодуль-ного вязкоупругого тела Текст./ В. П. Мясников, В. А. Ляховский, Ю.Ю. Подладчиков // Докл. АН СССР. 1990. -Т. 312. - №2. - С. 302-305.

80. Мясников, В. П. Деформационная модель идеально сыпучей зернистой среды Текст./ В.П. Мясников, А.И. Олейников // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316. - №3. - С. 565-568.

81. Мясников, В.П. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разносопротивляющейся среды

82. Текст./ В.П.Мясников, А.И. Олейников // Докл. АН СССР. 1992. - Т. 322. - №1. - С. 57-60.

83. Некоторые особенности методик исследования прочности свойств графитов при плоском напряженном состоянии Текст./ А.М.Фридман, В.Н.Барабанов, Ю.П.Ануфриев, В.И. Строков // Заводская лаборатория. -1972. №9. - С. 1137-1140.

84. Новожилов, В.В. Теория упругости Текст./ В.В. Новожилов. JI.: Судпромгиз, 1958.-370 с.

85. Огибалов, П.М. Оболочки и пластины Текст./ П.М. Огибалов, Колтунов М.А. М.: МГУ, 1969. 695 с.

86. Панферов, В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение Текст./ В.М. Панферов // Докл. АН СССР. 1968. - Т. 180. - №1. - С. 41-44.

87. Панферов, В.М. О нелинейной теории упругости огнеупорных материалов Текст./ В.М. Панферов // Избранные вопросы современной механики. М.: Наука, 1982. - Ч. 2. - С. 96-106.

88. Папкович, П.Ф. К вопросу об аналогии между плоской задачей теории упругости и задачей о деформации, симметричной относительно оси Текст./ П.Ф. Папкович // Прикл. механика и математика. 1939. - Т. 3. - № 3. -С. 107 - 119.

89. Пахомов, Б.М. Модель деформирования изотропных разносопротивляющихся материалов Текст./ Б.М. Пахомов // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. - №9. - С. 3-6.

90. Пачулия, В.Ш. Чистый изгиб прямоугольных пластин из нелинейного материала Текст./ В.Ш. Пачулия,

91. А. А. Трещев // Механика сплошных сред. Тбилиси: ГПИ, 1986. - №6. - С. 97-99.

92. Петров, В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек Текст./ В. В. Петров. Саратов: СГУ, 1975. - 119 с.

93. Петров, В. В. Расчет пластинок и пологих оболочек из нелинейно-упругого материала Текст./ В.В. Петров, И.Г.Овчинников, В. И. Ярославский. Саратов: СГУ, 1976. - 133 с.

94. Петров, В.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругого разносопротивляющегося растяжению и сжатию материала Текст./ В. В. Петров, А.Ф. Макеев, И.Г. Овчинников // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. - №8. - С. 42-47.

95. Петров, В.В. Деформирование элементов конструкций из нелинейно разномодульного неоднородного материала Текст./ В.В. Петров, И.Г. Овчинников, В.К. Иноземцев. Саратов: СГУ, 1989. - 160 с.

96. Писаренко, Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии Текст./ Г. С. Писаренко, А. А. Лебедев. Киев: Наукова думка, 1976. - 416 с.

97. Пономарев, Б. В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука

98. Текст./ Б.В.Пономарев // Сб. тр. МИСИ. М. - 1967. -№54. - С. 75-82.

99. Пономарев, Б.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругих материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие Текст./ Б.В.Пономарев // ПМ. -1968. Т. 4. - Вып. 2. -С. 20-27.

100. Потудин, О. В. Осесимметричные задачи теории упругости разномодульных материалов Текст./ О.В. Потудин // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Тула, 19 69. - 125 с.

101. Расчеты на прочность в машиностроении Текст./ С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К. К. Лихачев [и др.] . -М.: Машгиз, 1958. Т. 2. - 720 с.

102. Сазонов, А.П. Потенциал напряжений для упругих изотропных дилатирующих материалов Текст./ А.П. Сазонов, А.А.Трещев // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тула: ТулГУ. - 2005. - С. 2 62263.

103. Сазонов, А.П. Определяющие соотношения для изотропных линейно упругих разносопротивляющихся материалов Текст./ А.П. Сазонов, А.А. Трещев, Корнеев М.В., Улинкин В. В. // Тул. гос. ун-т. Тула, 2005. -15 с. - Рус. - Деп. В ВИНИТИ 13.05.05. №684-B2005.

104. Салиев, А.Б. О методах определения деформаций и напряжений в полухрупком диске Текст./ А. Б. Салиев // 2-я Всесоюз. конф. по нелинейности теории упругости: Тез. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1985. - С. 67-68.

105. Саркисян, М.С. К теории упругости изотропных тел, материал которых по-разному сопротивляется растяжению и сжатию Текст./ М.С. Саркисян // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - №5. - С. 99-108.

106. Свекло, В.А. Соотношения нелинейной теории упругости для сред, чувствительных к виду напряженного состояния Текст./ В. А. Свекло, О. А. Чернышов // 2-я Всесоюз. конф. по нелинейной теории упругости: Тез. докл. Фрунзе: ИЛИМ, 1985. - С. 30-31.

107. Сергеева, С. Б. Описание деформирования конструкционных материалов с усложненными свойствами Текст./ С.Б. Сергеева, А.А. Трещев // Тр. 51-й Между-нар. конф. молодых ученых. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 19 97. - 4.1. - С. 187-193.

108. Стеценко, В.А. О выборе потенциала серого чугуна Текст./ В.А. Стеценко // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. - Вып. 28. - С. 128-133.

109. Строков, В.И. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния Текст./ В. И. Строков, В.Н. Барабанов // Заводская лаборатория. 1974. - №9. - С. 1141-1144.

110. Тамуров, Н.Г. Закон упругости для изотропного материала с различными характеристиками при растяжении и сжатии Текст./ Н.Г. Тамуров, Г.В. Туровцев // Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: ДГУ, 1983. - С. 76-80.

111. Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов Текст./ С.П.Тимошенко. М.; JI.: Гостехтеориздат, 1946. - 456с.

112. Толоконников, Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях Текст./ Л.А. Толоконников // ПММ. 1957. - Т. 21. - Вып. 6. - С. 815-822.

113. Толоконников, Л.А. Вариант соотношений разно-модульной теории упругости Текст./ Л.А. Толоконников // Прочность и пластичность. М. : Наука, 1971. - С. 102-104.

114. Толоконников, Л. А. Механика деформируемого твердого тела Текст./ Л.А. Толоконников. М. : Высшая шкала, 1979. - 318 с.

115. Толоконников, Л.А. О выборе аналитического выражения потенциала напряжений Текст./ Л.А. Толоконников, Г.Б. Киреева // Прикл. механика. 1971. - Т. 7. - №4. - С. 118-121.

116. Толоконников, А.А.Трещев // Тр. 9-й Междунар. конф. попрочности и пластичности. М. : Изд-во ИПМ РАН,

117. ПРОФСЕРВИС. 1996. - Т. 2. - С. 160-165.

118. Трещев, А. А. Геометрически нелинейные задачи теории изгиба разномодульных пластин Текст./ А.А. Трещев // Актуал. пробл. механики оболочек. Казань: Изд-во КИСИ, 1985. - С. 219.

119. Трещев, А. А. К расчету прямоугольных пластин из полухрупких материалов Текст./ А.А. Трещев // Дифференциал. уравнения и прикл. задачи. Тула: ТулПИ,1989. С. 63-69.

120. Трещев, А.А. Вариант подхода к построению определяющих соотношений разносопротивляющихся материалов и использование его при расчете элементов конструкций Текст./ А.А. Трещев // Дис. . д-ра. техн. наук / ТулГТУ. Тула, 1995. - 501 с.

121. Трещев, А.А. Нелинейный изгиб тонких пластин, выполненных из деформационно-анизотропных материалов Текст./ А.А. Трещев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1990. - № 2. - С. 29-33.

122. Трещев, А.А. К расчету тонких пластин из материалов, обладающих структурной и деформационной анизотропией Текст./ А.А. Трещев, З.В. Аркания // ТулПИ. -Тула. 1992. 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, №1889-В92.

123. Трещев, А. А. О единственности решения задач теории упругости разносопротивляющихся сред Текст. / А.А. Трещев, С.А. Воронова // ТулПИ. Тула, 1987. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.03.87, №2040-В87.

124. Трещев, А. А. К расчету гибких прямоугольных пластин, выполненных из дилатирующих материалов Текст./ А.А. Трещев, А.Е. Жидков, П.А.Полтавец // Изв. ТулГУ. Строительные материалы, конструкции и сооружения. Тула: ТулГУ, 2003. - Вып. 5. - С. 142 -145.

125. Трещев, А.А. К изгибу пластин из квазилинейных материалов Текст./ А.А. Трещев, В.Н. Кудинов // ТулПИ. Тула, 1986. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.06.86, №4496-В86.

126. Трещев, А. А. О соотношениях теории упругости для изотропного разномодульного тела Текст./ А.А. Трещев, Н.М. Матченко // ТПИ. Тула, 1982. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.82, №2056-82.

127. Трещев, А.А. Геометрически нелинейный изгиб тонких пластин из материалов с усложненными свойствами Текст./ А.А. Трещев, А.П. Сазонов // Известия ОрелГТУ. Строительство и транспорт. Орел: ОрелГТУ. - 2007. -С. 74-79.

128. Трещев, А. А. Геометрически нелинейный изгиб тонких пластин из материалов с усложненными деформационными свойствами Текст./А.А. Трещев, А.П. Сазонов //

129. Вестник отделения строительных наук. Выпуск 12. Белгород: БГТУ. - 2008. - с. 204-211.

130. Туровцев, Г.В. О построении определяющих уравнений для изотропных упругих тел с усложненными свойствами Текст./ Г.В. Туровцев // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1981. - Вып. 53. - С. 132 - 143.

131. Туровцев, Г. В. Пластическое деформирование сред, характеристики которых зависят от вида напряженного состояния Текст./ Г. В. Туровцев // 3-я Всесоюз. конф. «Механика неоднородных структур»: Тез. докл. -Львов, 1991. С. 335.

132. Турсунов, B.C. О свойствах потенциала напряжений упругих тел Текст./ B.C. Турсунов // ПММ. 1970. -Т. 34. - Вып. 1. - С. 15-22.

133. Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры Текст./ Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.; Л.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963. - 734 с.

134. Цвелодуб, И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов Текст./ Ю.И. Цвелодуб // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1977. - Вып. 32. - С. 123-131.

135. Текст./Г. С. Шапиро // Инж. журн. МТТ. 1966. №2. - С. 123-125.

136. Энциклопедия полимеров Текст. М. : Советская энциклопедия, 1977. - Т. 3. - 1150 с.

137. Bazant, Z.P. Endochronic Theory of Inelasticity and Failure of Concrete Текст./ Z.P. Bazant, P.D. Bhat // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1976. - Vol. 102. - № EM4. - P. 701-722.

138. Jones, R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Materials Текст./ R.M. Jones // AIAA Journal. 1980. - Vol. 18. - №8 . - P. 9951001.

139. Jones, R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression Текст./ R.M. Jones // AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - №1. - P. 16-25.

140. Jones, R.M. Further Characteristics of a Nonlinear Material Model for ATJ-S Graphite Текст./ R.M. Jones, D.A.R.Nelson // Jounal Composit Materials.1975. Vol. 9. - №7. - P. 251-265.

141. Jones, R.M. Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite Текст./ R.M. Jones, D.A.R.Nelson // AIAA Journal. 1976. - Vol. 14 - №10. - P. 1427-1435.

142. Jones, R.M. Material for nonlinear Deformation Текст./ R.M. Jones, D.A.R.Nelson // AIAA Journal.1976. Vol. 14. - №6. - P. 709-716.

143. Kamiya, N. Large deflection of a different modulus circular plate Текст./ N. Kamiya // Trans. ASME. 1975. - Vol. 97. - Ser. H. - P. 52-56.

144. Kamiya, N. An energy method applied to large elastic deflection of a thin plate of bimodulus material Текст./ N. Kamiya // Journal Struct. Mech. -1975. Vol. 3. - №3. - P. 317-329.

145. Kamiya, N. Transverse shear effect in a bimodulus plate Текст./ N. Kamiya // Nucl. Engng Design. V. 32. - N 3. - P. 351 - 357.

146. Kupfer, H.B. Das nicht-linear Verhalten des Betons bei Zweiachsinger Beanspruchung Текст./ H.B. Kupfer // Beton und Stahlbetonbau. 1973. - №11. - P. 269-274.

147. Tasuji, M.E. Stress-Strain Response and Fracture of Concrete in Biaxial Loading Текст./ M.E. Tasuji, F.O. Slate, A. H. Nilson // ACI Journal. 1979. -№7. - P. 806-812.