Исследования колебаний плоских элементов конструкций

Егорычев, Олег Олегович

Строительная механика

автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Исследования колебаний плоских элементов конструкций

доктора технических наук: Егорычев, Олег Олегович
город: Волгоград
год: 2005
специальность ВАК РФ: 05.23.17

Диссертация по строительству на тему «Исследования колебаний плоских элементов конструкций»

Автореферат диссертации по теме "Исследования колебаний плоских элементов конструкций"

На правах рукописи

ЕГОРЫЧЕВ ОЛЕГ ОЛЕГОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

05.23.17. - Строительная механика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Волгоград 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московский государственный строительный университет (МГСУ).

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор, академик

Международной академии информатизации Смирнов Владимир Анатольевич.

доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Сергей Владимирович

доктор технических наук, профессор Пшеничкина Валерия Александровна.

Ведущая организация: ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко

Защита состоится « 6 » октября 2005г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 при Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 400074 г. Волгоград, ул. Академическая, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан « 6 » сентября 2005г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Л .В. Кукса

йООй-Ч IZOfZ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Постоянное совершенствование современной техники, в частности строительной, выдвигает повышенные требования к исследованиям в области строительной механики, развитию более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, особенно при динамических нагрузках, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вяз-коупругие свойства.

Законы внутреннего развития фундаментальных исследований в строительной механике выявили тенденции к возможно более полному учету механических и физических свойств исследуемых материалов, эффектов взаимосвязи деформационных полей. Среди всех перечисленных факторов одно из ведущих мест занимает теоретический и экспериментальный анализ волновых и колебательных процессов в деформируемых средах, в частности в плоских элементах строительных конструкций различного назначения.

начальных и граничных условий. В силу чтпго ар^дт^ тюпучрннму в диссерта-

t toc HAIltOIAJMUl I

ционной работе граничных условий при реЬениц ^¡дд^уудач cl поперечных

! _

колебаниях прямоугольных в плане пластин и сравнительный анализ решений для различных видов уравнений колебания (т. е. для различных теорий колебания) являются весьма актуальной темой для научного поиска, имеющего несомненный практический интерес.

Цель диссертационной работы состоит в развитии теории нестационарных колебаний плоских элементов конструкций и сооружений, разработке новых аналитических методов решения актуальных научных и прикладных задач нестационарного поведения упругих и вязкоупругих тел; получении новых аналитических решений ряда краевых задач о колебаниях ограниченных в плане и безграничных слоистых пластин при различных граничных условиях в сравнении с решениями, полученными ранее.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- предложен принципиально новый подход при построении уравнений поперечных колебаний пластин и постановке граничных и начальных условий для этих уравнений;

- предложена строгая формулировка и вывод граничных и начальных условий для приближенных уравнений поперечных колебаний пластин четвертого и более высоких порядков производных по линейным координатам и времени;

- получено аналитическое решение задачи о собственных поперечных колебаниях упругой прямоугольной в плане пластины, шарнирно закрепленной по всем четырем краям, для широкого диапазона материалов и геометрических размеров пластин;

- предложен новый приближенный метод решения краевых задач для пластин с произвольным способом закрепления краев метод декомпозиций;

- разработана постановка большего числа краевых задач для прямоугольной в плане упругой пластины с произвольным способом закрепления краев; выведены приближенные частотные уравнения собственных колебаний пластин, получены их решения;

- получено аналитическое решение частотного уравнения собственных колебаний прямоугольной пластины при смешанных граничных условиях;

- получено решение нестационарной задачи о нормальном ударе по всей плоскости упругой пластины, когда края пластины шарнирно оперты, и для случая, когда два противоположных края шарнирно оперты, а два других имеют произвольные граничные условия;

- получено аналитическое решение задачи при воздействии нормальной динамической нагрузки на конструкцию из упругою и вязкоупругого материала, состоящую из двух пластин, пространство между которыми заполнено деформируемой средой, при этом вся конструкция по одной из координат ограничена жесткими стенками;

- разработано решение задачи о колебаниях слоистой пласгины, лежащей на основании, при воздействии на нее подвижной нагрузки; получены аналитические решения для случая упругой слоистой пластины и упругого основания.

Практическое значение проведенных исследований заключается в разработке общей и приближенной теорий колебаний пластин, использовании аналитических методов в решении актуальных прикладных задач, уточнении существующих приближенных теорий колебаний указанных выше элементов конструкций и сооружений при нестационарных внешних воздействиях, получении частотных уравнений и картины изменения частот плоских элементов в зависимости от их материала и геометрии. Решения многих прикладных задач доведены до числа, представлены графики расчета.

Достоверность положений и выводов диссертационной работы обусловлена корректной математической постановкой задач, применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязкоупругости. Достоверность общей и основанной на ней уточненной теорий колебаний подтверждается математическим обоснованием применимости приближенных

уравнений, сопоставлением с классическими теориями колебаний и исследованиями других авторов.

На защиту выносятся:

- анализ общих уравнений поперечных колебаний пластин и исследование применимости усеченных уравнений колебания;

- вывод граничных и начальных условий для приближенных уравнений колебания пластин четвертого порядка;

- решение задач о собственных поперечных колебаниях прямоугольных пластин приближенным методом декомпозиции при любых граничных условиях;

- вывод точного аналитического решения задач о собственных поперечных колебаниях пластин со специальным выбором граничных условий;

- анализ всех решений задач о собственных колебаниях пластин; сравнительный анализ различных теорий колебаний и методов решения для различных геометрических размеров и упругих свойств исследуемых пластин;

- формулировка и решение упругих и вязкоупругих задач колебаний слоистых конструкций, ограниченных по одной из линейных координат, сравни гельный анализ полученных результатов;

- постановка и решение с помощью преобразования Лапласа и Фурье задач о колебаниях безграничных слоистых упругих и вязкоупругих пластин, лежащих на основании, при воздействии подвижной нагрузки.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались:

на 2-м (1993 г.), 3-м (1994 г.), 4-м (1995 г.), 6-м (1997 г.), 7-м (1998 г.), 8-м (1999 г.), 9-м (2000 г), 10-м (2001 г) 11-м (2002 г) российско-польском семинарах «Теоретические основы строительства», г. Варшава;

на республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», г. Самарканд, КНИИРП, Самаркандское отделение АН, 1997 г.;

на 1-й (1998г.) и 2-й (1999г.) конференциях молодых ученых, аспирантов и докторантов в Московском Государственном строительном университете, г. Москва;

на международной конференции «Современные проблемы механики жидкостей, многофазных сред и распространения волн в сплошных средах», г. Ташкент, 1999 г.

на совместном заседании кафедр «Строительная механика», «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов» в Московском Государственном строительном университете, г. Москва, 2005;

на совместном заседании кафедр «Строительная механика» и «Строительные конструкции, основания и надежность сооружений» в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете, г Волгоград, 2005.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы освещено в тридцати пяти статьях и докладах на конференциях и семинарах, в том числе в 7 изданиях, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа содержит титульный лист, оглавление, 5 глав основного текста, заключение, список литературы. Диссертация изложена на 244 страницах машинописного текста, содержит 39 рисунков, библиографический список составлен из 180 наименований литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель, задачи и объект исследования. Излагаются новые положения при выводе общих уравнений колебания упругой или вязкоупругой пластины, используются новые методы решения динамической задачи теории упругости, перечисляются основные результаты, которые выносятся па защиту, отмечается их научное значение и практическая ценность.

Глава 1. «Краткий обзор литературы». Вопросы теории и практики поведения элементов строительных конструкций при динамических воздействиях

постоянно требовали развития математических методов и моделей, которые были бы применимы для вычислительной реализации и в достаточной мере точно отражали механическую сущность задачи.

Поведение подобных конструкций при статических нагрузках достаточно хорошо изучено, изучение поведения этих конструкций при динамических нагрузках еще далеки от завершения, а как показали классические работы российских и зарубежных ученых, поведение, например, слоистых конструкций при динамических воздействиях может существенно отличаться от их поведения при статических нагрузках.

Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.В. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, A.A. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р. Кристенсен, В.Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Я.Г. Пановко, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничное, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т. Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов, П.М. Чулков и многие другие.

Видное место в литературе занимают публикации, связанные с широким анализом таких физических факторов, как анизотропия, неоднородность и вязкость. Эти вопросы исследовались в работах: С.А. Амбарцумяна, В.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна, Г.Б. Колчина, C.B. Кузнецова, С.Г. Лех-ницкого, В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и многие другие.

Наряду с этим широко применяются численные методы решения, что отражено в работах: В.А. Андреева, И.А. Бригера, Я.М. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, A.M. Проценко, В.И. Соломина, P.A. Хечумова, H.H. Шапошникова и многих других.

Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений связаны с работами таких ученых, как Л.Я. Айнола, А.Я. Александров, A.A. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев,

JI.M. Бриховский, Г.С. Варданян, М.А. Дашевский, O.A. Егорычев, Г. Кауде-рер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский, Л.Н. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Най-вельт, У.К. Нигул, H.A. Николаенко, И Н. Преображенский, А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, С.П. Тимошенко, Я.С. Уфлянд, Г.Л. Хесин, А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаб-линский, Т.Ш. Ширенкулов и многие другие.

Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах многих ученых: Д. Бленд, А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, Р.Д. Минд-лин, Г.И. Петрашень, С.Б.Смирнов, А.Я. Сагомянян, Л.И. Слепян, Х.А. Рахма-тулин, И.Г. Филиппов, Я.С. Уфлянд и многие другие.

Проблемам вывода уравнений поперечных колебаний пластин и методов их решения посвящены работы большого числа авторов.

Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита в работах Г. Кирхгофа.

Густав Кирхгоф в статье «О равновесии и движении упругой пластины» оспорил поставленные С. Пуассоном граничные условия и с помощью принципа возможных перемещений получил дифференциальное уравнение изгиба пластины в форме Ж. Лагранжа и С. Пуассона, но с другими граничными условиями. Его метод основан на двух допущениях: 1) что линейные элементы, которые до деформации перпендикулярны к срединной плоскости, остаются прямолинейными и нормальными к искривленной срединной поверхности после деформации, 2) что элементы срединной плоскости не подвергаются растяжению. Он нашел, что усилия для поперечной силы и крутящего момента объединяются одним условием.

На основе этих предположений Г. Кирхгоф вывел уравнение поперечных колебаний безграничной в плане пластины 4-го порядка по линейным координатам и 2-го порядка по производным по времени. Это уравнение параболического типа и, как отмечалось многими авторами, удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам.

Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Кирхгофа является уравнение, полученное Уфляндом на основе модели Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого угла. Уравнение, полученное Уфляндом, является гиперболическим уравнением (в отличие от уравнения Кирхгофа) 4-го порядка по производным по линейным координатам, так и по времени, описывает распространение не одного, как у Кирхгофа, а двух типов волн с дисперсией, которые оказываются связанными.

Одним из основных методов построения приближенных уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые примененный еще в работах Копт и Пуассона. С помощью этого метода трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной.

В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Г. Селезов. Впоследствии Г.И. Петрашень дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации.

Несмотря на наличие большого числа новых уточненных теорий поперечных колебаний пластин, до недавнего времени при расчете пластин применялись классические теории, основанные на гипотезах Кирхгофа. Это объяснялось тем, что в теориях, на основе которых получаются уравнения колебаний гиперболического типа, которые содержат производные по времени 4-го и более высоких порядков, отсутствует четкий подход к формулированию необходимого числа начальных и граничных условий. В этом отношении в более выгодном положении находится теория построения уравнения колебания, основанная на математическом подходе, который наибольшее развитие получил в работах И.Г. Филиппова. Этот подход, подробно изложенный во 2 главе, отличает относительная свобода от большого числа предварительных гипотез, а

также тот факт, что для уравнений колебаний любого порядка по производным по времени и по линейным координатам, полученных на основе этого метода, предложена методика однозначного формулирования начальных и граничных условий, исходя из классических.

При этом точное аналитическое решение задачи о собственных колебаниях прямоугольной пластшгы существует только для пластины, шарнирно опертой по всему контуру. Однако, существуют и приближенные решения этой задачи, так, например, М.П. Галин для решения выше поставленной задачи применяет приближенный метод Галеркина и получает решение мало отличное от точного.

Задача об определении частот и форм собственных колебаний защемленной по контуру (жестко заделанной) прямоугольной пластины не поддается решению в аналитической форме и может быть решена лишь приближенными методами. Чаще всего формы собственных колебаний ищутся в виде произведения балочных функций, соответствующих балке с защемленными концами. Если же пластина свободна по контуру, то для решения применяется метод Ре-лея-Ритца, используя при приближенном определении форм свободных колебаний балочные функции, соответствующие балкам со свободными концами.

Широкое применение получил асимптотический метод расчета колебания пластин, разработанный В.В. Болотиным. Согласно этому методу асимптотическое решение для форм свободных колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и поправочных решений, которые называются динамическими краевыми эффектами.

В настоящей работе предлагается новый приближенный метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Г.И. Пшеничновым и переработанный И.Г. Филипповым и О.О. Егорычевым для динамических задач, изложенный в 3 главе. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа, кото-

рых преобразует их в алгебраические частотные уравнения. Метод изложен в главе 4.

Глава 2. Постановка краевых задач в теории поперечного колебания пластин.

В данной главе анализируются различные приближенные постановки краевых задач в теории поперечного колебания пластин. На основе строгого математического подхода к задаче о поперечных колебаниях пластин выводятся начальные и граничные условия для пластин, ограниченных в плане. Показано, что такой подход позволяет более строго выводить уравнения колебаний и формулировать краевые условия.

В первом параграфе кратко описываются основные теории колебания пластин и получение на их основе уравнения (классическое уравнение параболического типа Кирхгофа, уравнения гиперболического типа, полученные на основе различных гипотез, Тимошенко, Б.Ф.Власовым, ВгипеНе, Селезовым) поперечных колебаний пластин, а также приведена постановка граничных и начальных условий для этих уравнений.

Во втором параграфе подробно излагается теория построения уравнений колебания пластин, основанная на математическом подходе, выписаны общие и приближенные уравнения поперечных колебаний пластин.

Рассматривается упругая изотропная бесконечная в плане пластина, которая в недсформированном состоянии занимает следующую область:

П = {-со<х,у<+оо;-Н^2<к}. (1)

Зависимости напряжений от деформаций принимаются в виде обобщенного закона Гука, компоненты тензора деформаций удовлетворяют соотношениям Коши.

Граничные условия на поверхности пластины г = ±Л имеют вид:

^ = (2) Начальные условия нулевые.

Решение краевой задачи методом интегральных преобразований позволяет перемещения точек пластины и, у, выразить через смещения и деформации точек срединной плоскости пластины. Общее уравнение поперечных колебаний пластины имеет вид:

ч=0

А+2//

+1У1

л=0

А + ^ /а(0

А + 2ц

(л(2')-л)е„+д{л:

/г2" •г(2«)! +

(3)

(2и+1)!'

где

где Лиц- константы Ламе, Д плоский оператор Лапласа,

(и+т)

л<"> =

-А| ; Л<"> =

М 3/

(4)

(5)

л + 2/и з/г

при этом И' перемещение, а II и К - деформации в срединной плоскости г^О пластины, р - плотность.

Общие уравнения колебаний мало пригодны для проведения инженерных расчетов и поэтому удобнее использовать приближенные уравнения конечного порядка по производным, получаемые из общих ограничением числа слагаемых в рядах по А. Например, ограничиваясь в рядах членами порядка не выше И2, получим:

ь( Н--

ду) 61

ЗА + 4// . рд

-—Д-——-

А + 2/и цд1г

Р д2 2(Л+р) цЫ1 Л + 2р

_ дх (6)

где

Рп = р-Г- +-

0 ид12 6

/?2(ЗЯ + 7//) д* 4р(и + 4М)^д2 {8^(Д + л)д2" //(Я+ 2//) д? Я+ 2/г Ыг А. + 2/л

Это уравнение гиперболического типа четвертого порядка по производным. Ограничиваясь общим числом членов в общих уравнениях колебаний можно получить приближенные уравнения гиперболического типа более высоких порядков.

В третьем параграфе представлены исследования пределов применимости приближенных уравнений колебания пластин.

Применяя известный принцип Даламбера сходимости рядов, для каждого ряда, входящего в уравнение (3) определим интервал сходимости. Выбирая наименьший из них, находим интервал сходимости всех рядов, входящих в уравнение (3) в целом.

Геометрически это представляется фигурой, полученной из сопряжения однополюсного и двухполюсного гиперболоидов, при этом областью применимости уравнений колебания является внутренняя часть криволинейной фигуры, заключенной в первом октанте.

В заключении следует отметить, что усеченные уравнения, в том числе и уравнения четвертого порядка, не описывают высокочастотные и коротковолновые процессы.

В четвертом параграфе предлагается подход для строгого формулирования граничных и начальных условий для приближенных уравнений поперечных колебаний пластин 4-го порядка и более высоких порядков по производным линейных координат и времени, и выведены граничные и начальные условия для приближенного уравнения 4-го порядка для наиболее распространенных случаев закрепления.

Для уравнения поперечных колебаний (6) нулевые начальные условия будут выглядеть следующим образом:

__ дЖ д2ж д3Ж - -

№ =-= —— = —г- = 0 при ( = 0.

д( дг2 Э/3 (7)

Граничные условия для того же уравнения для разных видов закрепления будут записываться в следующем виде;

а) жесткая заделка края х=сотГ.

Г-^-О;

дх (8)

б) шарнирная заделка края х=сотС.

¡V = = 0;

ах2 (9)

Для жесткой и шарнирной заделки, вновь выведенные условия совпадают с классическими.

в) свободный край х=соти

М д? ду2 +2Д + 3// дх2 ' дхг ^ '

Эти граничные условия свободного края для уравнения 4-го порядка отличаются от классических.

Первое граничное условие (10) учитывает динамическую деформируемость свободного края, в этом условии появляется инерционный член, что вполне соответствует физическому пониманию поведения свободного от нагрузок края, т.е. здесь усматривается аналогия с появлением инерционного члена в принципе Даламбера в теоретической механике.

г) край пластины упруго соединен с краем пластины из другого материала

-[/>, (1 + И) Л, -рг(1 + А) А,] ¿25. = м2(2 + ЗА) ^

.2 '

дхду

= 2 АМ2

2 .

Эх

.3 '

(11а)

где у,,у2 - коэффициенты Пуассона.

Если пластина упруго соединена с вертикальной пластиной из другого материала, то

зм а3^

[ ^

Зр^ 5%

дх{

д)

4 э^а/2 ■АМ ^

(116)

Эти условия существенно отличаются от известных классических условий, т.к. из классических условий можно получить только граничные условия жесткой заделки и шарнирное опирание, а из вновь полученных (11) - жесткую заделку и условия на свободном крае.

В главе 3 - «Исследование поперечных колебаний пластин» строго формулируются краевые задачи о собственных колебаниях прямоугольных в плане пластин из однородного изотропного материала при различных видах закрепления. Выведены частотные уравнения и приведены примеры расчета собственных частот колебания. Даны сравнения результатов для различных видов уравнений колебания пластин.

В параграфе 1 представлена общая постановка краевых задач колебания прямоугольных пластин, при решении задач пользуемся полученным ранее приближенным уравнением колебания пластин вида:

А,—г-Лд—;Г + А2А2ПГ +—5- = О, ^ а*4 ^ дI2 ^ д1г (12)

где А, - коэффициенты, соответствующие той теории колебаний, в рамках которой проводятся исследования: Для уравнения Кирхгофа

-4х-о; (13) 3(1 -у)

Для уравнения С.П. Тимошенко

Л~2Ь2' А~ 3(1-У) (И)

Для нового уравнения

Л~12Ь2(1-у)' 3(1-у) '

(15)

В параграфе 2 представлено аналитическое решение задачи о собственных колебаниях пластины шарнирно опертой по контуру, получено частотное уравнение:

-^{А^2 ++ А^С = 0, (16)

где

2 2 г П т

/2 /2 »1 »2

Используя соотношения (13) для уравнения Кирхгофа получим частотное уравнение вида:

и его решение У^^С- (18)

Вид уравнений Тимошенко и нового уравнения (15) имеет одну и ту же форму, отличие только в численных значениях (14) и (15), его общее решение имеет вид:

(19)

Приведен общий анализ полученного решения.

В параграфе 3 излагается приближенный метод декомпозиций, так как только для пластины, шарнирно опертой по контуру, имеется аналитическое решение, для всех остальных видов закрепления решения только приближенные.

Решение уравнения (12) будем искать в виде:

.йГ

1Г{х,у,е) = 1Г{х,у)ар\Ц-

и введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба

ьУ

,4 '

х = —а; у Л А;

л л л

(20)

(21)

Тогда в новых координатах уравнение (12) будет:

да4 "

др* 1 л1

(

да2др2 ~2

,2 Л

эр2

+в.

2 л*

7 = 0, (22)

-1 .

где

„Л. в д

к2 ' А2

Для апробации приближенного метода выведем частотное уравнение для задачи, изложенной в параграфе 2, получим:

2= = 0 и/я/ /? = 0,;г;

(23)

(24)

дА

да2др

+ 5,

д2 . 2

52 Л

да2+* др2

+в.

^ + >¡ + /2=0; (25)

Следуя методу декомпозиций, будем приближенно полагать

Ц = + (26)

в заданных точках.

Здесь .Л («.£)=£<£1&Нпа)МтР)> (27)

" а{1) аг

у1 М= Е яп(яа)яп(«/»)-+—^ (/?)+

Л,Л1=1 Л о •

» а(0 йЗ

л,ж=1 т О

(28)

Р1

+■^<Рг («) ■+ М («)+% («). где - произвольные постоянные, ¿=1,2.,^ и произвольные функции.

Удовлетворяя общим решениям (28) и граничным условиям, находим, что функции V) и У2 имеют вид:

- а« - а(1)

V, = £ -и-8т(лсфт(т/?); Г2 = £ -^8т(«а)яп(|»1£). (29)

л.т-1 л,т-1 т

Используя решение (29), а также соотношения (25) и приближенные условия (26) получим систему алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой приводит к частному уравнению вида, при условии, что

а 71 а = В = —:

Л^4+ + А.ЛХ2 =0. (30)

Таким образом, приближенный метод декомпозиций в данной задаче приводит к тому же результату, что и прямой аналитический метод.

В §4 представлена задача о выводе частотного уравнения собственных колебаний пластины жестко закрепленной по контуру, для решения задачи

применяется приближенный метод декомпозиций. В результате решения полу-

чено частотное уравнение вида, когда « = /? =—, п-т = \

4Н

? + 2 А,

1 +

(31)

=0,

где пг

ПК

Ил

Используя коэффициенты уравнения Кирхгофа, получим:

1 + ^1

.21, 2

-v)

(32)

Если пользоваться коэффициентами уравнений Тимошенко и нового уравнения (15), получим:

(33)

Р 2

где —

2 4

2Л7Л 1

1 +

В §5 представлена задача о выводе частотного уравнения собственных колебаний пластин, три края которой жестко закреплены, а четвертый край свободен.

Решая задачу методом декомпозиций и пользуясь вновь полученным граничным условием на свободной границе (10), получим частотное уравнение вида:

где й. - постоянная, зависящая от v.

* !

Рассмотрим случай, когда для той же задачи граничные условия на свободном крае представлены в классическом виде, получим частотное уравнение вида:

, Я 2

- 1

е + Мгч

4ЬН

(35)

/,2 , I. л_ Л 4 , где к\,кг - постоянные.

В следующих параграфах даттой главы представлен ряд задач о выводе

частотного уравнения собственных колебаний пластин, полученные приближенным методом декомпозиций, когда краевые условия различны. Так, в §6 -два края пластины жестко закреплены, а два свободны; в §7 - три края свободны, а один жестко закреплен; в §8 - все четыре края свободны; в §9 - два края шарнирно оперты, один жестко закреплен и последний свободен; в §10 - два края шарнирно оперты, а два других жестко закреплены; в §11 - три края шарнирно оперты, а один жестко закреплен; в §12 - три края шарнирно оперты, а один свободен; в §13 - два края шарнирно оперты, а два свободны; в §14 - три края жестко закреплены, а четвертый упруго закреплен; в § 16 - три края свободны, а последний упруго закреплен. Для задач, где содержатся граничные условия для свободного края или для края упруго закрепленного, представлены граничные условия, записанные в классическом виде, так и вновь полученные.

В §17 приведены примеры численного расчета и построены графики. Так на рис.1 представлены графики зависимости частоты от V для пластины, два края которой шарнирно оперты, один край жестко закреплен, а четвертый край свободен, решение представлено в §9. На рис.2 графики сравнения частот для задач изложенных в §7 и в §16.

Из анализа приведенных графиков видно, что численное значение частоты, полученное из уравнения Кирхгофа (к) больше первой частоты, полученной из уравнения Тимошенко (Т) и Егорычева (Е), а вторая частота для этих уравнений

на порядок больше первых частот; сравнение частот для пластины, имеющей один край, жестко заделанный с пластиной, у которой тот же край упруго заделан, показывает, что частоты этих обеих пластин близки, однако частота для пластины с упругой Заделкой всегда меньше.

Рис.1

§7.Зсв.+1ж. íf = °>1; Й = 0-51'. Еи>Т1»К,'Е22>ТП

§16. Зсв.+lynp. (у--0,1, й = 0,5 j; Еи,Тн,К2,Еы,Т,

В главе 4 - «Аналитический вывод частотного уравнения собственных колебаний прямоугольной пластины при смешанных граничных условиях», рассматриваются задачи, граничные условия которых имеют специальный вид: два противоположных края пластины шарнирно оперты, а два других могут иметь произвольные граничные условия, т.е. жестко закреплены, свободны, упруго закреплены или шарнирно оперты.

Приведены решения следующих задач:

1. Края пластины (х=0, х=/у) жестко закреплены,

2. Края пластины (х=0, х=1]) свободны от напряжений,

3. Край пластины х=0 жестко закреплен, а другой свободен от напряжений

4. Край пластины х=0 шарнирно оперт, а край при х=/; свободен от напря-

5. Край пластины х=0 жестко закреплен, а край при х=1/ шарнирно оперт,

6. Край пластины х=-0 жестко закреплен, а другой при х=/у упруго закреплен с вертикально деформируемой пластиной.

В §1 для решения поставленной задачи пользуемся уравнением колебания пластин (12), а так как края пластины (у=0, у=12) шарнирно оперты, то решение можно представить в виде:

Тогда для ^ (х) получим обыкновенное дифференциальное уравнение

при Х-/;,

жений,

(36)

(37)

где

Общее решение уравнения (37) запишем в виде:

+съ

соз(й:0х) со8(«,дс) —— + :

«I

+ С

ап

а.

+ С,

«п

сов(а0х) сов^,*)

а.

где С, - постоянные интегрирования, ¡«о,; - корни характеристического уравнения:

)

а* + Вйаг + Вх= 0. , (39)

Целые числа (п,т) выбираются при удовлетворении граничных условий на левом краю пластины при х=0, а другие граничные условия х=1/ приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот колебания пластины.

Так, например, для задачи 5 получаем частотное уравнение в виде:

а0со^{а011)Б1п(ог1/,) - а, со8(а,/,)5т(а0/1) = 0. (40)

Для других задач получаем аналогичные трансцендентные частотные уравнения.

В §2 трансцендентные уравнения представляются в виде двойных алгебраических рядов и приводится анализ полученных рядов.

В §3 используя принцип Даламбера определяется область применимости полученных в §2 рядов.

Таким образом, представлен метод, позволяющий аналитически получать решения задач о выводе частотных уравнений колебания пластин со специальными граничными условиями.

В §4 приведены примеры численного расчета некоторых задач и проведено сравнение с решениями, полученными методом декомпозиций, изложенными в главе 3.

§3.10. 2ш.+2ж. f—= 0,1; А = 0,05

§4.3. 2ш.+2ж. Í¿ = 0,1; A = 0,05j К^.Е^Т^Е»

0,03--

0,05 о,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

Рис.3

На рис.3 представлен график зависимости частоты от коэффициента v, когда две противоположные стороны пластины шарнирно оперты, а две другие жестко закреплены, при этом символы К1,Т1,Е1,Т1,Е1 обозначают графики частот, полученные методом декомпозиций, а К15,Т15,Е15,Т2},Е2}, полученные аналитическим методом. Из анализа рис.3 следует, что численные задачи одноименных корней уравнений мало отличаются, однако, численное значение частот, определяемых аналитическим методом всегда выше частот, определяемых методом декомпозиций, следовательно, метод декомпозиций достаточно хорошо применим к решению подобных задач.

Глава 5 «Исследование вынужденных колебаний пластин при воздействии динамических нагрузок» представлена в двух частях. В первой части рассмотрены задачи о вынужденных колебаниях ограниченных в плане пластин.

В §1 представлено аналитическое решение задачи о нормальном ударе по поверхности прямоугольной пластины шарнирно опертой по контуру.

В §2, используя аналитический метод, изложенный в главе 4, представлено решение задачи о нормальном ударе по поверхности прямоугольной пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а два других могут быть закреплены произвольным образом.

В §3 представлено решение задачи о нестационарном колебании двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой. Бесконечные по одной из координат пластины ограничены по другой координате жесткими стенками. Пластины жестко соединены со стенками. Трение между стенкой и наполнителем отсутствует, а между наполнителем и пластинами полное прилипание. В связи с тем, что стенки полагаются абсолютно жесткими, то возмущенное поле в упругой среде будем приближенно считать соответствующим плоскому деформированному состоянию, т.е. производные компонент вектора смещения частиц среды по координате х, в силу их малости по сравнению с производными компонент вектора смещения частиц по координате г, будем пренебрегать в уравнениях движения частиц среды. Следовательно, задача

определения возмущенного поля в упругом наполнителе сводится к волновому уравнению. Колебание пластин описывается уравнением (12). При решении задачи используется преобразование Лапласа. Получено аналитическое решение.

Представлено также решение, когда пластина шарнирно связана с жесткими стенками.

В §4 и §5 рассмотрены случаи, когда верхняя пластина отсутствует, и импульсная нагрузка действует непосредственно на упругую среду или когда нижняя пластина заполнена жестким основанием. Получены аналитические решения.

В §6, §7 и §8 представлены аналитические решения задач изложенных в §3, §4, §5 при условии, что материал пластины и заполняющей среды вязкоуп-ругий, а функция воздействия есть периодическая нечетная функция.

В §9 приведены примеры численного расчета. Характерные геометрические размеры остаются постоянными для всех задач.

А — 1; А, = Аз =0,01.

Пластина и среда упругие.

а) рассмотрим численный расчет задачи, изложенной в §4.

Упругие свойства и пластины у=0,39; у2 = 0,3.

Результат зависимости безразмерной функции прогиба от безразмерною времени г, представлены на рис.4.

б) Рассмотрим расчет задачи, изложенный в §5. График зависимости от г представлен на рис.5.

Пластина упругая, среда вязкоупругая.

1) Вязкоупругие свойства среды. у = 0,36

Д = 1,6 -104 мкс; ух = 0,3-105;

Д =1,6-10 5мкс; уг =0,15-105;

Д =1,6 Л06мкс; уг = 0,07-103;

2) Вязкоупругие свойства среды, у = 0,4

Д = 1,5*10л1кс; у1 =0,3-105;

Д =1,510 гмкс; уг = 0,15105;

Д = 1,5 • 10 5мкс; уъ = 0,07 • 105;

График функции в зависимости от г для задачи а) и среды «2» представлен на рис.6.

График функции уу, в зависимости от т для задачи б) и среды «1» представлен на рис.7.

Для всех задач численные расчеты по определению функции прогиба велись для точки дг=0.

Проводя анализ численных расчетов, следует отметить, что изменение функции прогиба существенное влияние оказывает как геометрические соотношения конструкции, так и механические характеристики материала среды и пластины.

Для всех конструкций колебательный процесс проходит не около линии равновесия -и>=0, а около, так называемой, кривой затухания, подобный эффект отмечен ранее при расчете колебания балок на упругом основании в работах А.Р.Ржаницына.

Во второй части рассмотрены нестационарные задачи о колебании безграничных пластин, при воздействии на них подвижной нагрузки.

В §10 приведено решение динамической задачи о колебании двух бесконечно длинных, тонких упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой толщиной А, лежащей на упругом полупространстве. Контакт между пластинами и упругими средами в любой момент времени не нарушается, трение между средами и пластинами отсутствует.

На одну из пластин воздействует подвижная нагрузка постоянного профиля, движущаяся с постоянной скоростью У>а/г где а] - наибольшая из продольных скоростей.

В подвижной системе координат уравнение движения, записанные через потенциальные функции ф и у/ в упругом заполнителе и в упругой полуплоскости, будут иметь вид:

где а)={уг1а)~ 1); Ц] = (У*!Ъ]-1),

Ь} - скорость поперечной волны.

Все величины с индексом «1» относятся к упругой среде, а с индексом «2» - к упругому полупространству.

На одну из пластин воздействует подвижная нагрузка постоянного профиля, движущаяся с постоянной скоростью У>а], где а] - наибольшая из продольных скоростей.

Уравнение движения пластин в подвижных координатах запишем в виде:

(А21 ~2АпУ* + АГК + 2аА/Ч = /{х)Н{х)-{а1уу) ;

(42)

(А22 -2А,гУ2 + А/4X + 2РгА/< здесь А2,,А,,,А01,А22,А12,А02 - коэффициенты, определяемые соотношениями (13,14,15).

Граничные условия принимаем в виде:

1->

дф1 ду/х = дф2 дугг. ду дх ду дх

и условия стремления к нулю функций и (д:,^) при >> -> оо.

Для величин смещения и у/г при |х| —> оо выполняется условие затухания.

При решении задачи (41) - (43) пользуемся преобразованием Фурье и Лапласа. Получено аналитическое решение.

В §11 рассмотрено решение задачи о колебании двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой, при воздействии подвижной нагрузки и воздействие подвижной нагрузки на упругую пластину, лежащую на вязкоупругом основании. В изображениях задача решена полностью.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- Поставлена и решена проблема об исследовании колебаний плоских элементов строительных конструкций и сооружений.

Основой исследований является концепция рассмотрения элементов, как трехмерных деформируемых тел, решении трехмерных уравнений динамики таких тел посредством применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа, построении общих решений краевых задач в преобразованиях разложение характеристик напряженно деформируемого состояния тел по степеням поперечной координаты.

- Дан сравнительный анализ приближенных теорий колебания плоских элементов с аналогичными теориями других исследователей, определение области применимости приближенных теорий.

- Строго обоснованная постановка различных краевых задач колебания элементов конечных размеров, исходя из обншх решений трехмерных задач теории упругости и вязкоупругости, в частности, показали, что граничные условия для свободного края или упруго-заделанного края существенно отличаются от классических.

- Разработка эффективных аналитических и приближенных методов решения нестационарных задач колебаний плоских элементов, материал которых является упругим или вязкоупругим, взаимодействуют с дефор-

мируемым основанием. Предлагаемый подход ориентирован на решении актуальных инженерных проблем, возникающих в строительной механике, в механике современных конструкций и сооружений, современной технике и других научно-технических отраслей; позволяет приводить решение рассматриваемых задач к достаточно простым инженерным алгоритмам, а в ряде случаев к замкнутым расчетным формулам.

- Из анализа выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач и их решений выявлены новые механические эффекты. В частности, можно сделать выводы:

используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближенное уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, зависящие от V, в отличной от теории Кирхгофа, первая близкая к значениям частот, определяемых уравнением Кирхгофа, при этом всегда, при любых граничных условиях, эта частота больше первых частот, получаемых при решении ранее названного уравнения, вторая частота на порядок больше первой частоты;

величина численного значения частот, в первую очередь, зависит от граничных условий, так численное значение частоты для пластины жестко заделанной по контуру всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями;

существенную роль в определении частоты играет изменение коэффициента Пуассона, с его ростом растет и численное значение частоты;

влияние изменения толщины пластины связано с выбором граничных условий, так для пластины жестко закрепленной по контуру с уменьшением ее толщины численное значение частоты интенсивно падает;

используя новое представление граничных условий для свободного края пластины получаем три частоты, при этом первые две частоты близки к частотам, определяемыми ранее полученными граничными условиями, а третья частота значительно больше;

из сравнения значений частот для двух пластин, граничные условия которых отличаются тем, что у одной пластины одна сторона закреплена жестко, а у другой эта же сторона закреплена упруго, при равенстве граничных условий на трех оставшихся сторонах, следует, что эта разница существует, но незначительна.

Таким образом, развиваемый в диссертационной работе математический подход позволяет обобщать известные классические и приближенные теории колебаний, строго формулировать граничные и начальные условия, т.е. строго обоснованно математически и механически формулировать различные краевые задачи колебания плоских элементов конструкций и сооружений.

- Найдено решение плоской задачи в элементарных функциях о нестационарных совместных колебаниях двух упругих пластин, жестко или шарнирно закрепленных по одной из координат жесткими стенками и упругой среды, заполняющей пространство между пластинами и стенками.

- Получено точное решение в элементарных функциях ряда плоских динамических задач о совместном колебании упругой пластины, жестко или шарнирно скрепленной по одной из координат с жесткими стенками и упругой средой. Определено влияние геометрических размеров конструкций на величину прогиба пластины.

- Получено решение ряда плоских задач в комплексных рядах Фурье о совместном колебании вязкоупругих и упругих пластин и вязкоупругой и упругой среды, ограниченных по одной из координат жесткими сгенка-ми. Установлена зависимость величины амплитуды и длины волны функции прогиба от упругих и вязкоупругих свойств заполняющей среды, а так же влияние геометрических размеров на изменение амплитуды функции прогиба.

- Найдено решение задачи в элементарных функциях о нестационарном колебании трехслойной упругой пластины, лежащей на упругом осно-

вании, при воздействии на пластину подвижной нагрузки. Установлено, что существенную роль на характер изменения функции прогиба упругой пластины, лежащей на упругом основании, при действии подвижной нагрузки, оказывает ее скорость.

- Приведено решение в изображениях о нестационарном колебании трехслойной вязкоупругой пластины, лежащей на вязкоупругом основании, при воздействии подвижной на1рузки.

- Рассмотрены частные случаи решения задач о колебании упругой или вязкоупругой трехслойной или однослойной пластины, лежащей на вязкоупругом основании, при действии на них подвижной нагрузки.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Егорычев О.О., Филиппов И.Г., Джанмулдаев Б.Д., Скропкин С.А., Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций. Док.2-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». - Варшава. 1993.- С.24-34.

2. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Неклассическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций. Док.З-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», -М„ 1994. - С.35-39.

3. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Численный метод декомпозиций в исследовании колебаний пластин. Док. 3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», - М., 1994. - С.40-45.

4. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Анализ краевых задач в теории элементов строительных конструкций. Док. 4-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава. 1995. - С.55-62.

5. Егорычев О.О., Егорычев О.Л., Филлипов С.И. Область применимости усеченных уравнений колебания пластин. Доклады 6-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». - Варшава, 1997.-С. 45-55.

6. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Решение задачи о собственных колебаниях упругих пластин на основе различных теорий колебания. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия». КНИИРП. Сам. отд. АН Руз. Самарканд, 1997.-С. 145-153.

7. Егорычев 0.0., Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Влияние слоистости деформированного основания на колебания плоских элементов. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия». КНИИРП. Сам. отд. АН Руз. Самарканд. 1997. - С. 154-164.

8. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», КНИИРП, Сам. отд. АН Руз, Самарканд. 1997. -С. 165-176.

9. Егорычев О.О. Исследование поперечных колебаний на основе различных приближенных теорий. Сб. трудов республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», КНИИРП, Сам. отд. АН Руз. Самарканд, 1997. - С. 177-185

10. Егорычев О.О. Собственные колебания упругой прямоугольной пластины. Сб. тезисов I конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов. МГСУ. - М., 1998. - С.23-29.

11. Егорычев 0.0. Решение задачи о собственных колебаниях прямоугольной пластины с использованием различных уравнений колебания. ВИНИТИ № 1441-В 98.13.05.98.-С.34-40.

12. Егорычев О.О. Воздействие подвижной нагрузки на упругую трехслойную пластину, лежащую на упругом основании. ВИНИТИ №1442-В 98. 13.05.98. - С. 41-47.

13. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Исследование поперечных колебаний прямоугольной пластинки свободной по трем краям и жестко закрепленной по одному краю. Док. 7-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». - М., 1998. - С. 42-52.

14. Егорычев 0.0. Вывод частного уравнения колебания упругой пластины, свободной по контуру. ВИНИТИ № 1443- В 98. 13.05.98. - С. 48-58.

15. Егорычев О.О. Колебание трехслойной вязкоупругой пластины, лежащей на вязкоупругой полуплоскости, при воздействии подвижной нагрузки. ВИНИТИ № 1444-В 98. 13.05.98. - С. 56-67.

16. Егорычев О.О. Нестационарные колебания двух вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой. «Вопросы прикладной математики и вычислительной техники». МГСУ. -М., 1999.-С. 20-30.

17. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Вывод частотного уравнения колебаний упругой пластинки жестко закрепленной по двум краям и свободной по двум другим. Сборник трудов МГСУ «Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве».-М., 1999.-С.67-71.

18. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Колебания упругой трехслойной пластины, лежащей на упругом основании, при воздействии подвижной нагрузки. «Сейсмика в строительстве». №4. - М., 1999. - С. 120-125.

19. Егорычев О.О. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой свободны, а четвертый край упруго закреплен. «2-ая конференция молодых ученых, аспирантов, докторантов МГСУ». - М., 1999.-С. 12-17.

20. Егорычев О.О. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый край упруго заделан. ВИНИТИ. №1613-В 99. -С. 46-55.

21. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Нестационарные колебания двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой. Ташкент. Международная конференция «Современные проблемы механики жидкостей, многофазных сред и распространения волн в сплошных средах». 1999. -С. 35-50.

22. Егорычев О.О. Собственные колебания элементов строительных конструкций. «Сейсмика в строительстве». №4. - М., 1999. - С. 12-17.

23. Егорычев О.О., Егорычев O.A., Филиппов С.И. Нормальный удар по поверхности прямоугольной пластины. Доклад 8-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». - Варшава, 1999.-С. 47-55.

24. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Собственные колебания прямоугольной пластины. «Фундаментальные науки в современном строительстве». Сборник докладов МГСУ. 2001. - С.38-48.

25. Егорычев О.О., Скропкин С.А. Статика. Учебное пособие. МГСУ. - М., 2000.-110 с.

26. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Собственные колебания упругой прямоугольной пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других свободны от закрепления. Док. 9-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства. Варшава. 2000. -С. 34-39.

27. Егорычев О.О., Егорычев О А. Аналитический вывод частотного уравнения собственных колебаний прямоугольной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен. Док. 10-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». -Варшава. 2001. - С. 56-61.

28. Егорычев О.О., Филиппов С.И. Аналитические методы исследования пластин. «Фундаментальные науки в современном строительстве». Сборник докладов МГСУ. 2001. - С. 38-42.

29. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Анализ решения задач о колебании пластин различными методами. Док.11-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства. Варшава. 2002. - С.163-173.

30. Егорычев О.О., Бархаев С.Ю., Пашков A.B. Кинематика. Учебное пособие. МГСУ. 2003. - 316 с.

31. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Собственные колебания прямоугольной изотропной пластины. «Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве». Сборник научных трудов №10 МГСУ. 2003. - С.138-148.

32. Егорычев О.О. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. ПГ'С. 9. 2004. - С.30-32.

33. Егорычев О.О. Влияние вязкоупругости материала на совместные колебания пластин и среды, лежащей на жестком основании. «Строительные материалы и оборудование технологии XXI века». 10. 2004. -С. 56-61.

34. Егорычев О.О. Исследование поперечных колебаний пластин на основе различных приближенных теорий. ПГС. 10.2004. - С.23-27.

35. Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебания пластин. ПГС. 12.2004.-С.45-50.

36. Егорычев О.О. Воздействие динамической нагрузки на слоистую вязкоупругую конструкцию. «Недвижимость: экономика, управление». 2005. - С.23-25.

37. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. Издательство «АСВ». - М., 2005. - 240 с.

Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.1997 г.

Подписано в печать Об* 0$, 03 Формат 60x84 1/16 Печать офсетная _Объему3 пл._Т. /ОО_Заказ 2.'2

Московский государственный строительный университет. Типография МГСУ. 129337, Москва, Ярославское ш., 26

№1594!

РНБ Русский фонд

2006-4 13013

Оглавление автор диссертации — доктора технических наук Егорычев, Олег Олегович

Введение

1. Краткий обзор литературы и состояние вопроса о выводе уравнений колебаний пластин и методов их решения.

2. Постановка краевых задач в теории поперечных колебаний пластин

2.1. Классические и уточненные краевые задачи в теории поперечных колебаний пластин.

2.2. Математический подход к построению теорий колебаний пластин.

2.3. Исследование пределов применимости приближенных уравнений колебания пластин.

2.4. Формулировка граничных и начальных условий на основе математического подхода.

3. Исследование поперечных колебаний пластин.

3.1. Общая постановка краевых задач колебания прямоугольных пластин.

3.2. Аналитический вывод и решение частного уравнения колебаний пластин, шарнирно закрепленных по контуру.

3.3. Приближенный метод декомпозиций и его апробация.

3.4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, жестко закрепленной по контуру. . бУ

3.5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой жестко закреплены, а четвертый край свободен.

3.6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два края которой жестко закреплены, а два других свободны.

3.7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой свободны, а четвертый жестко закреплен.

3.8. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, свободной по контуру.

3.9. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, один жестко и один свободен.

3.10. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других жестко закреплены.

3.11. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два края которой шарнирно оперты, край при а = 0 жестко закреплен, а край при а = и шарнирно оперт.

3.12. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, край при а = 0 шарнирно оперт, а край при а-п свободен от напряжений

3.13. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других свободны от напряжений.

3.14. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, когда три края жестко закреплены, а четвертый шарнирно

3.15. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый упруго закреплен.777.7Г. .Т. ~7.7.7Г7 Г. .Т. :т: .77.

3.16. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой свободны, а четвертый упруго закреплен.

3.17. Примеры численного расчета.

Выводы.

4. Аналитический вывод частотного уравнения собственных колебаний прямоугольной пластины при смешанных граничных условиях.

4.1. Решение задач.

4.2. Анализ трансцендентных уравнений.

4.3. Область применимости степенных рядов.

4.4. Примеры численного расчета и выводы.

5. Исследования вынужденных колебаний пластин при воздействии динамических нагрузок.

5.1. Пластины, ограниченные в плане.

5.1.1. Нормальный удар по поверхности прямоугольной упругой пластины, шарнпрно опертой по контуру.

5.1.2. Нормальный удар по поверхности прямоугольной упругой пластины, имеющей смешанные граничные условия.

5.1.3. Нестационарные колебания двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой.

5.1.4. Нестационарные колебания упругой среды, лежащей на упругой пластине.:.

5.1.5. Плоская динамическая задача о совместном колебании упругой пластины и упругой среды, лежащей на жестком основании.

5.1.6. Нестационарные колебания двух вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой

5.1.7. Плоская динамическая задача о совместном колебании вязкоупругой среды и вязкоупругой пластины.

5.1.8. Плоская динамическая задача о совместном колебании вязкоупругой пластины и вязкоупругой среды, лежащей на жестком основании.;.

5.1.9. Примеры численного расчета. ~

5.2. Колебание безграничных пластин при действии подвижной нагрузки.

5.2.1. Воздействие подвижной нагрузки на слоистую упругую пластину, лежащую на упругом основании.

5.2.2. Колебание составной трехслойной вязкоупругой пластины, лежащей на вязкоупругом полупространстве, при воздействии подвижной нагрузки.

5.2.3. Колебание двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой.

5.2.4. Воздействие подвижной нагрузки на упругую пластину, лежащую на вязкоупругом основании.

Введение 2005 год, диссертация по строительству, Егорычев, Олег Олегович

Пластины как плоские элементы конструкций имеют широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется тем, что тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность. Одним из важных вопросов строительной науки является расчет колебания ограниченных в плане плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теории колебаний пластин, а также точная формулировка краевых задач — одни из актуальнейших разделов прикладной теории упругости. Отметим, что многие уточненные теории поперечных колебаний пластин основываются на ряде допущений и гипотез физического и геометрического характера, в ряде случаев, не согласующихся между собой, а также отсутствует строгое обоснование начальных и граничных условий. В силу этого анализ полученных в диссертационной работе граничных условий при решении краевых задач о поперечных колебаниях прямоугольных в плане пластин и сравнительный анализ решений для различных видов уравнений колебания (т. е. для различных теорий колебания) являются весьма актуальной темой для научного поиска, имеющего несомненный практический интерес.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- получено аналитическое решение задачи о собственных поперечных колебаниях —упругой прямоугольной^ в плане пластины, шарнирно закрепленной по всем четырем краям, для широкого диапазона материалов и геометрических размеров пластин;

- предложен новый приближенный метод решения краевых задач для пластин с произвольным способом закрепления краев — метод декомпозиций;

- получено аналитическое решение задачи при воздействии нормальной динамической нагрузки на конструкцию из упругого и вязкоупругого материала, состоящую из двух пластин, пространство между которыми заполнено деформируемой средой, при этом вся конструкция по одной из координат ограничена жесткими стенками;

- разработано решение задачи о колебаниях слоистой пластины, лежащей на основании, при воздействии на нее подвижной нагрузки; получены аналитические решения для случая упругой слоистой пластины и упругого основания.

Практическое значение проведенных исследований заключается в разработке общей и приближенной теорий колебаний пластин, использовании аналитических методов в решении актуальных прикладных задач, уточнении существующих приближенных теорий колебаний указанных выше элементов конструкций и сооружений при нестационарных внешних воздействиях, получении частотных уравнений и картины изменения- частот—плоских, элементов в зависимости. от их„ материала и геометрии. Решения многих прикладных задач доведены до числа, представлены графики расчета.

На защиту выносятся:

- вывод граничных и начальных условий для приближенных уравнений колебания пластин четвертого порядка;

- формулировка и решение упругих и вязкоупругих задач колебаний слоистых конструкций, ограниченных по одной из линейных координат, сравнительный анализ полученных результатов;

- постановка и решение с помощью преобразования Лапласа и Фурье задачоколебаниях^безграничных слоистых упругих^^яз^угц)уп^мастин, лежащих на основании, при воздействии подвижной нагрузки.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались: на 2-м (1993 г.), 3-м (1994 г.), 4-м (1995 г.), 6-м (1997 г.), 7-м (1998 г.), 8-м (1999 г.), 9-м (2000 г), 10-м (2001 г) 11-м (2002 г) российско-польском семинарах «Теоретические основы строительства», г. Варшава; на республиканской научной конференции «Актуальные проблемы механики контактного взаимодействия», г. Самарканд, КНИИРП, Самаркандское отделение АН, 1997 г.; на 1-й (1998г.) и 2-й (1999г.) конференциях молодых ученых, аспирантов и докторантов в Московском Государственном строительном университете, г. Москва; на международной конференции «Современные проблемы механики жидкостей, многофазных сред и распространения волн в сплошных средах», г. Ташкент, 1999 г. на совместном заседании кафедр «Строительная механика», «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов» в Московском Государственном строительном университете, г. Москва, 2005; на совместном заседании кафедр «Строительная механика» и «Строительные конструкции, основания и надежность сооружений» в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете, г. Волгоград, 2005.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа содержит титульный лист, оглавление, 5 глав основного текста, заключение, список

----—литературы. Диссертация изложена на 244 страницах машинописного текста, содержит 39 рисунков, библиографический список составлен из 180 наименований литературных источников.

Диссертационная работа выполнена в Московском государственном строительном университете на кафедре теоретической механики согласно утвержденному плану.

Автор выражает глубокую благодарность доктору технических наук профессору И. Г. Филиппову за постоянное внимание к работе и необходимую консультацию.

Заключение диссертация на тему "Исследования колебаний плоских элементов конструкций"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставлена и решена проблема исследования колебаний плоских элементов строительных конструкций и сооружений.

Основой исследований является концепция рассмотрения элементов как трехмерных деформируемых тел, решения трехмерных уравнений динамики таких тел посредством применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа, построения общих решений краевых задач в преобразованиях, разложения характеристик напряженно-деформированного состояния тел по степеням поперечной координаты.

Даны сравнительные анализы приближенных теорий колебания плоских элементов с аналогичными теориями других исследователей и определение области применимости приближенных теорий.

Строго обоснованная постановка различных краевых задач колебания элементов конечных размеров исходя из общих решений трехмерных задач теории упругости и вязкоупругости, в частности, показали, что граничные условия для свободного края или упруго заделанного существенно отличаются от классических.

Разработаны эффективные аналитические и приближенные методы решения нестационарных задач колебаний плоских элементов, материал которых являясь упругим или вязкоупругим, взаимодействуют с деформируемым основанием. Предлагаемый подход ориентирован на решение актуальных инженерных проблем, возникающих в строительной механике, механике со—временных конструкций и сооружений, совремешюй технике и-других-науч-но-технических отраслях, и позволяет приводить решение рассматриваемых задач к достаточно простым инженерным алгоритмам, а в ряде случаев к замкнутым расчетным формулам.

Анализ выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач и их решений выявил новые механические эффекты. В частности, можно сделать следующие выводы: используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближенное уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, зависящие от V. В отличие от теории Кирхгофа первая близка к значениям частот, определяемых уравнением Кирхгофа, при этом всегда, при любых граничных условиях, эта частота больше первых частот, получаемых при решении ранее названного уравнения, вторая частота на порядок больше первой частоты; величина численного значения частот в первую очередь зависит от граничных условий. Так, численное значение частоты для пластины, жестко заделанной по контуру, всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями; существенную роль в определении частоты играет изменение коэффициента Пуассона, с его ростом растет и численное значение частоты; влияние изменения толщины пластины связано с выбором граничных условий. Так, для пластины, жестко закрепленной по контуру, с уменьшением ее толщины численное значение частоты интенсивно падает; используя новое представление граничных условий для свободного края пластины, получаем три частоты; при этом первые две частоты близки к частотам, определяемым классическим представлением граничных условий, а третья частота значительно больше; из сравнения значений частот для двух пластин, граничные условия которых отличаются тем, что у одной пластины одна сторона закреплена жестко, а у другой эта же сторона закреплена упруго, при равенстве граничных условий на трех оставшихся сторонах следует, что эта разница существует, но незначтельна.

Таким образом, развиваемый в диссертационной работе математический подход позволяет обобщать известные классические и приближенные теории колебаний, строго формулировать граничные и начальные условия, т. е. строго обоснованно математически и механически формулировать различные краевые задачи колебания плоских элементов конструкций и сооружений.

Найдено решение в элементарных функциях плоской задачи о нестационарных совместных колебаниях двух упругих пластин, жестко или шар-нирно закрепленных по одной из координат с жесткими стенками и упругой средой, заполняющей пространство между пластинами и стенками.

Получено точное решение в элементарных функциях ряда плоских динамических задач о совместном колебании упругой пластины, жестко или шарнирно закрепленной по одной из координат с жесткими стенками и упругой средой. Определено влияние геометрических размеров конструкций на величину прогиба пластины.

Получено решение ряда плоских задач в комплексных рядах Фурье о совместном колебании вязкоупругих и упругих пластин и вязкоупругой и упругой среды, ограниченных по одной из координат жесткими стенками. Установлена зависимость величины амплитуды и длины волны функции прогиба от упругих и вязкоупругих свойств заполняющей среды, а также влияние геометрических размеров на изменение амплитуды функции прогиба.

Найдено решение задачи в элементарных функциях о нестационарном колебании трехслойной упругой пластины, лежащей на упругом основании, при воздействии на нее подвижной нагрузки. Установлено, что существенное влияние на характер изменения функции прогиба упругой пластины, лежащей на упругом основании, при действии подвижной нагрузки оказывает ее скорость, которая по формуле М. А. Садовского непосредственно определяется максимальным значением самой подвижной нагрузки.

Приведено решение в изображениях о нестационарном колебании трехслойной вязкоупругой пластины, лежащей на вязкоупругом основании, при воздействии подвижной нагрузки.

Рассмотрены частные случаи решения задач о колебании упругой или вязкоупругой трехслойной или однослойной пластины, лежащей на вязкоупругом основании, при действии подвижной нагрузки.

Библиография Егорычев, Олег Олегович, диссертация по теме Строительная механика

1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. - 258 с.

2. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 560 с.

3. Бабешко В. А. Колебание плит на упругом слое / В. А. Бабешко, С. П. Пельц ; АН СССР. — Механика твердого тела. — 1976. — № 1. С. 131—135.

4. Бабич Д. В. Свободные колебания пластинки со сосредоточенными массами / Д. В. Бабич, В. И. Борисенко, С. Г. Шпакова; АН УССР. — Прикладная механика. — 1969. — Т. 5. — Вып. 5.— С. 71—75.

5. Бейтман Г. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа и Меллина / Г. Бейтман, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1969. -— Т. 1. — 344 с.

6. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. — М. : Мир, 1965. — 200 с.

7. Блох М. В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластинки на упругом полупространстве // Динамика и прочность машин : респ. межвед. научно-технический сб. — 1967. — Вып. 6. — С. 54—58.

8. Блох М. В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины на упругом инерционном полупространстве // Исследования по теории сооружений.— М. : Стройиз-дат, 1968. — Вып. 16. — С. 47—60.

9. Болотин В. В. О потере устойчивости упругих оболочек под действием импульсной нагрузки // Строительная механика и расчет сооружений. — 1959. —№ 2. — С. 9—16.

10. Болотин В. В. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек : тр. Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек / КФАН СССР. — Казань, 1961.- С.9 20.

11. Болотин В. В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек. — Киев : Наукова думка, 1962. — С. 16—32.

12. Болотин В. В. Динамический краевой эффект при колебаниях упругих пластин // Инженерный сборник. — 1961. — Т. 31. С. 15 - 80.

13. Болотин В. В. Случайные колебания упругих пластин. — М.: Наука, 1979.-102 с.

14. Варданян Г. С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформированного твердого тела / МИСИ, — М., 1980. — 104 с.

15. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — М. : JL, 1949. — Т. 1. С. 20 - 58.

16. Власов Б. Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин / АН СССР ОТН. — 1957. — № 12.— С. 57—60.

17. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение к технике. — M. : JI. : Гос-техиздат, 1949. — 784 с.

18. Власов В. 3. Техническая теория расчета фундаментов на упругом основании / В. 3. Власов, H. Н. Леонтьев : тр. МИСИ,— 1956. — Сб. № 14. С.35 - 67.

19. Власов В. 3. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. 3. Власов, H. Н. Леонтьев. М. : Госиздат физ.-мат. литературы, 1960. — 492 с.

20. Власов В. 3. Избранные труды / АН СССР. — М., 1962. — Т. 1. —528 с.

21. Волос Н. П. Об одном виде основных уравнений модифицированной теории изгиба пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений. — 1982. — № 40. — С. 143—147.

22. Гаврилов А. К. Экспериментальное исследование колебаний трехслойных плит // Вопросы техн. диагностики. — 1977. — №17. —- С. 10—13.

23. Галин M 77. О поперечных колебаниях пластинки // Прикладная математика и механика.— 1948. — Вып. 3. С. 37 - 45.

24. Галиныш А. К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Иссл. по теор. пластин и оболочек / КГУ. — Казань, 1970. — № 7. — С. 24—26.

25. Гелъфонд А. О. Вычиты и их приложения. — М. : Наука. 1966. — 112 с.

26. Григолюк Э. И. О динамическом изгибе трехслойных круговых пластин с сжимаемым заполнителем / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков, Ф. А. Коган; АН УССР. — Прикладная механика.— 1978. — № 1. — С. 78—87.

27. Григолюк Э. И. Малые деформации, устойчивость и колебания несимметричных трехслойных плит с жестким заполнителем // Докл. АН СССР. — 1968. —Т. 149. — № 1. — С. 62—64.

28. Григолюк Э. И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э. И. Григолюк, И. Т. Селезов; ВНИИТИ // Итоги науки и техники (Сер. «Механика твердых деформированных тел»). — Т. 5. — М., 1973. С. 113 - 125.

29. Грей Э. Функции Бесселя и их приложение к физике и механике / Э. Грей, Г. Б. Мэттюз. — М., 1949. — 372 с.

30. Гузъ А. И. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости / А. И. Гузь, В. Д. Кубенко, М. А. Черевко. — Киев : Выща школа, 1982. — 350 с.

31. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразований Лапласа и z-преобразований. М. : Наука, 1971. — 288 с.

32. Даннея Л. Г. Балки, пластины и оболочки. — М. : Мир, 1985. — 567 с.

33. Егорычев О. О. Неклассическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций / О. О. Егорычев, И. Г. Филиппов // Докл. 3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — М., 1994. С. 35 - 39.

34. Егорычев О. О. Численный метод декомпозиций в исследовании колебаний пластин / О. О. Егорычев, И. Г. Филиппов // Докл. 3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — М., 1994. С. 40-45.

35. Егорычев О. О. Анализ краевых задач в теории элементов строительных конструкций // О. О. Егорычев, И. Г. Филиппов // Докл. 4-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — Варшава, 1995. — С. 55—62.

36. Егорычев О. О. Область применимости усеченных уравнений колебания пластин / О. О. Егорычев, О. А. Егорычев, С. И. Филлипов // Докл. 6-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — Варшава, 1997. С. 45-55.

37. Егорычев О. О. Собственные колебания упругой прямоугольной пластины// Сб. тезисов I конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов / МГСУ. — М., 1998.- С. 23 29.

38. Егорычев О. О. Решение задачи о собственных колебаниях прямоугольной пластины с использованием различных уравнений колебания / ВИНИТИ. — № 1441-В 98. — 13.05.98. С. 34-40.

39. Егорычев О. О. Воздействие подвижной нагрузки на упругую трехслойную пластину, лежащую на упругом основании / ВИНИТИ. — № 1442-В 98. — 13.05.98. С. 4147.

40. Егорычев О. О. Вывод частного уравнения колебания упругой пластины, свободной по контуру / ВИНИТИ. — № 1443- В 98. — 13.05.98. С.48 - 55.

41. Егорычев О. О. Колебание трехслойной вязкоупругой пластины, лежащей на вязкоупругой полуплоскости, при воздействии подвижной нагрузки / ВИНИТИ. — № 1444-В 98.1305.98. С. 56-67.

42. Егорычев О. О. Нестационарные колебания двух вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой // Вопросы прикладной математики и вычислительной техники / МГСУ. — М., 1999. С. 20-30.

43. Егорычев О. О. Колебания упругой трехслойной пластины, лежащей на упругом основании, при воздействии подвижной нагрузки / О. О. Егорычев, О. А. Егорычев // Сейсмика в строительстве. —М., 1999. —№ 4. С.120-125.

44. Егорычев О. О. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой свободны, а четвертый край упруго закреплен // Вторая конференция молодых ученых, аспирантов, докторантов МГСУ. — М., 1999. С.12-17.

45. Егорычев О. О. Собственные колебания прямоугольной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый край упруго заделан / ВИНИТИ. —№ 1613-В 99. -С. 46-55.

46. Егорычев О. О. Собственные колебания элементов строительных конструкций // Сейсмика в строительстве.— М., 1999.— №4,- С. 12-17.

47. Егорычев О. О. Нормальный удар по поверхности прямоугольной пластины / О. О. Егорычев, О. А. Егорычев, С. И. Филиппов // Докл. 8-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — Варшава, 1999. С. 47-55.

48. Егорычев О. О. Собственные колебания прямоугольной пластины / О. О. Егорычев, О. А. Егорычев // Фундаментальные науки в современном строительстве : сб. докл. МГСУ. — 2001. — С. 38—48.

49. Егорычев О. О. Статика : учебное пособие / О. О. Егорычев, С. А. Скропкин ; МГСУ. — М., 2000,- 110 с.

50. Егорычев О. О. Аналитические методы исследования пластин / О. О. Егорычев, С. И. Филиппов // Фундаментальные науки в современном строительстве : сб. докл. МГСУ. — 2001.-С.38-42.

51. Егорычев О. О. Анализ решения задач о колебании пластин различными методами / О. О. Егорычев, О. А. Егорычев // Докл. 11-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». — Варшава, 2002. — С. 163—173.

52. Егорычев О. О. Кинематика : учебное пособие / О. О. Егорычев, С. Ю. Бархаев, А. В. Пашков ; МГСУ. — 2003. — 316 с.

53. Егорычев О. О. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. ПГС 9. — 2004. — С. 30—32.

54. Егорычев О. О. Влияние вязкоупругости материала на совместные колебания пластин и среды, лежащей на жестком основании // Строительные материалы и оборудование технологии XXI века. — 2004. — 10. С. 56-61.

55. Егорычев О. О. Исследование поперечных колебаний пластин на основе различных приближенных теорий // ПГС. — 2004. — 10.- С. 23-27.

56. Егорычев О. О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебания пластин // ПГС. — 2004. — 12. С. 45-50.

57. Егорычев О. О. Воздействие динамической нагрузки на слоистую вязкоупругую конструкцию // Недвижимость: экономика, управление. — 2005. С. 23-25.

58. Егорычев О. О. Колебания плоских элементов конструкций. — М. : АСВ, 2005.240 с.

59. Илыошгш А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

60. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1971. —704 с.

61. Каюмов Э. К. Колебание вязкоупругих трехслойных пластин с нелинейно упругим и вязкоупругим заполнителем // Вопросы вычислительной и прикладной математики.

62. Ташкент, 1977, —№48. —С. 171—182.

63. Килъчевский Н. А. Основы аналитической механики оболочек / АН УССР. — Киев, 1963. —Т. 1. —354 с.

64. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 192 с.

65. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. — М.: Наука. 1991.- 200 с

66. Коренев Б. Г. Некоторые задачи динамики балок на упругом основании / Б. Г. Коренев, М. Н. Румчинский. — М. : Госстройиздат, 1955. 203 с.

67. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. — М.: Госиздат, физ-мат. литературы, 1960.- 265 с.

68. Коренев Б. Г. Расчет плит на упругом основании / Б. Г. Коренев, Е. И. Черниговская. — М. : Госстройиздат, 1962. —356 с.

69. Коренев Б. Г. О движении нагрузок по пластинке, лежащей на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. — 1965. — № 6. — с.34-42.

70. Коренев Б. Г. Динамический расчет сооружений / Б. Г. Коренев, Я. Г. Пановко // Сб. «Строительная механика в СССР 1917—1967». — М. : Стройиздат, 1969. — С. 280—329.

71. Кристенсеи Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М. : Мир. 1974. — 340 с.

72. Курант А. Г. Методы математической физики / А. Г. Курант, Д. Гильберт. — Изд. 3-е. — М.: Л.: ГИТТЛ, 1951. — Т. 1, 2. 340 с.

73. КурошА. Г. Курс высшей алгебры. — Изд. 10-е. — М.: Наука. 1971.—■ 431 с.

74. Лсшзюк В. Д. Об отставании пластинки от многослойного основания под действием подвижной нагрузки / В. Д. Ламзюк, В. И. Пожуев // Устойчивость и прочность элементов конструкции : сб. статей / Днепропетровский ун-т. — 1975. — Вып. 2. — С. 169—177.

75. Ламзюк В. Д. К определению критических скоростей движения нагрузки, лежащей на многослойном основании / В. Д. Ламзюк, В. И. Пожуев // Динамика и прочность машин : сб. статей. — Харьков : Выща школа, 1978. — Вып. 2. — С. 105—111.

76. Лурье А. Н. Теория упругости. — М. : Наука. 1970. — 939 с.

77. Лэмб Г. Динамическая теория звука. -— М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. — 372 с.

78. ЛявА. Математическая теория упругости. — М. : Л. : ОНТИ, 1935. — 674 с.

79. Майлз. Реакция слоистого полупространства на движущуюся нагрузку / / Прикладная механика. — (Сер. Е . № 3). — М.: Мир, 1966. — С. 232—234.

80. Молотков Л. А. Об инженерных уравнениях колебаний пластин, имеющих слоистую структуру // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн/ЛГУ. 1961, — Сб. №5. — С. 308—313.

81. Москаленко В. Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин. Теория пластин и оболочек / АН УССР. — Киев, 1962.1. С. 264—266.

82. Муравский Г. Б. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины, лежащей на упругом основании при действии подвижной нагрузки : труды МИИТ. — М., 1964. — Вып. 193. —С. 166—171.

83. Найвельт В. В. Действие подвижной нагрузки на бесконечную плиту, лежащую на упругом основании // Изв. высших учебных заведений «Строительство и архитектура».1967.— №5. — С. 161—169.

84. Найвельт В. В. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты, лежащей на упругом основании, при движении по ней инерционного груза // Прикладная механика / АН УССР. — 1969. — Т. 5. — Вып. 8.— С. 123—128.

85. Ониашвши О. Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек / АН СССР.1. М., 1957. —С. 196.

86. Нигул У. К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин // Тр. XII Всесоюзной конф. : Теория пластин и оболочек. — М. : Наука, 1970. — С. 846—883.

87. Нигул У. К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты // Изв. АН ЭССР — (Сер. физ-мат. и техн. наук). — 1965. — № 3. — С. 345—384.

88. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. — М. : Изд-во МГУ, 1963.-300 с.

89. Огибалов П. М. Оболочки и пластины / П. М. Огибалов, М. А. Колтунов. -— М.: Изд-во МГУ, 1969. 347 с.

90. Омецинская Е. Б. Обобщенные уравнения динамики пластин // Прикладная механика. — 1965. — № 5. — С. 64—70.

91. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г. Пановко, И. И. Губанов. — М.: Наука, 1967. — 420 с.

92. Пановко Я. Г. Исторический очерк развития теории динамического действия подвижной нагрузки // Труды ЛВВИА. — Л., 1948. — Вып. 17. С.36 - 55.

93. Петрашенъ Г. И. К теории колебаний тонких пластин // Ученые записки ЛГУ,—Л., 1951. — Вып. 24. —№ 149. — С. 172—249.

94. Петрашенъ Г. И. Проблемы теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности / ЛГУ. — Л., 1966. — № 5. — С. 3—33.

95. Петрашенъ Г. И. Об инженерных уравнениях колебаний неидеально-упругих тонких пластин / Г. И. Петрашенъ, Э. В. Хинен // Труды Математического института им. В. А. Стеклова / АН СССР. — Л.: Наука, 1968. —С. 151—183.

96. Петрашенъ Г. И. Об условиях применимости инженерных уравнений колебаний неидеально-упругих пластин / Г. И. Петрашенъ, Э. В. Хинен // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. — М. : Наука, 1971. — № 11. — С. 48—56.

97. Приварников В. И. Влияние инерциональности основания на динамический изгиб упругой пластины / В. И. Приварников, И. И. Приварников ; АН УССР // Прикладная механика. — 1972. —Т. 8. — Вып. 1. С. 67 - 73.

98. Пожуев В. И. Влияние величины постоянной скорости нагрузки на реакцию пластины, лежащей на упругом основании / АН СССР // Механика твердого тела. — 1981. —№6. —С. 112—118.

99. Пшеничное Т. И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач / ДАН СССР. — М., 1985. — Т. 282. — № 4. — С. 792—794.

100. Пшеничное Т. И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиций // Строительная механика и расчет сооружений. — 1986. — № 4. — С. 12—17.

101. Рабинович И. М. Расчет сооружений на импульсное воздействие / И. М. Рабинович, А. П. Синицын, О. В. Лужин, Б. М. Теренин. — М. : Стройиздат, 1970. 268 с.

102. Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. — М.: Госиздат техн.-теор. лит., 1949. 312 с.

103. Ржаницын А. Р. Пологие оболочки и волнистые пластины. — М. : Госиздат лит. по строит., архит. и строит, матер., 1960. 267 с.

104. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пологих оболочек // Пространственные конструкции в СССР. — JI.: М. : Госстройиздат, 1964. — 345 с.

105. Рэ/саницын А. Р. Теория ползучести. — М. : Изд-во литературы по строительству, 1968.-269 с.

106. Россохин Ю. А. О нестационарных колебаниях пластин на упругом основании // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42. — Вып. 2. —С. 333—339.

107. Сагомонян А. Я. Волны напряжений в сплошных средах. — М. : Изд-во МГУ, 1985.— 416 с.

108. Седов Л. И. МСС. т.1, 2-М. : Наука, 1973. — С. 492, 584.

109. Селезов И. Г. Исследование распространения упругих волн в плитах и оболочках // Тр. конф. по теор. пластин и оболочек. — 1960, Казань. — С. 347-—352.

110. Селезов И. Г. Концентрация гиперболичности в теории упругих динамических систем // Кибернетика и вычислительная техника. —Киев : Наукова думка. 1969. — Вып. 1.—С. 131—137.

111. Слепян JI. И. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики / Л. И. Слепян, Ю. С. Яковлев. — Л.: Судостроение, 1980. — 344 с.

112. Смирнов А. И. Неустановившиеся колебания свободной трехслойной полосы // Докл. АН СССР. — Т. 172. — № 5. — 1967. С. 134 -142.

113. Снеддон И. Преобрзования Фурье. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1955. —667 с.

114. Сорокин Е. С. Исследование свободных поперечных колебаний балки как плоской задачи колебания упругости // Строительная механика. — М. : Стройиздат, 1966. — С. 134—141.

115. Соколов Е. А. Колебания свободной пластинки на упругом основании под действием динамической нагрузки // Изв. АН СССР ОТН. — 1958. — № 6. С. 123-134.

116. Терентьев В. Н. Динамическое действие периодической нагрузки, движущейся прямолинейно по поверхности пластинки, лежащей на упругом полупространстве // Тр.VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. — М.: Наука, 1966. — С. 134—738.

117. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат, 1955.

118. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — М. : Наука, 1966. 340 с.

119. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. — М. : Наука, 1967. —450 с.

120. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. — М. : Наука, 1975. —704 с.

121. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М. : J1. : ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. —479 с.

122. Тихонов Л. Н. Уравнения математической физики / Л. Н. Тихонов, А. К. Самарский. — Изд. 4-е. — М.: Наука, 1972. 467 с.

123. Уфлянд Я. С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // ПММ. — 1948. — 12. — С. 287—300.

124. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. — Изд. 2-е. — Л. : Наука, 1967. — 402 с.

125. Филиппов А. П. Колебания упругих тел / АН УССР. — Киев, 1956. — 465 с.

126. Филиппов А. П. Колебания механических систем. — Киев : Наукова думка, 1965.-357 с.

127. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. —М.: Машиностроение, 1970.-250 с.

128. Филиппов А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций / А. П. Филиппов, С. С. Кохманюк, Ю. С. Воробьев. — Киев : Наукова думка, 1974. —360 с.

129. Филиппов И. Г. Приближенный метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред / АН СССР. — 1979. — Т. 43. — Вып. 1.— С. 133—137.

130. Филиппов И. Г. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах / И. Г. Филиппов, О. А. Егорычев. — М.: Машиностроение, 1983. — 269 с.

131. Филиппов И. Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней / И. Г. Филиппов, В. Г. Чебан. — Кишинев : Штиинца, 1988. — 190 с.

132. Франк Ф. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики / Ф. Франк, Р. Мизес. М.: Л.: ОНТИ, 1937. — 998 с.

133. Хесин Г. И. Некоторые экспериментальные и теоретические исследования распространения волн напряжений в линейных вязкоупругих средах. Фотоупругость. Развитие методики. Инженерные приложения. — М., 1975. — С. 34—41.

134. Шмаков В. П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова-Галеркина к решению краевых задач (о колебании оболочек и пластин) // Изв. АН СССР. МТТ. — 1967. — № 5. С.46-55.

135. Ширинкулов Т. Ш. Расчет конструкций на сплошном основании. — Ташкент : ФАН, 1969.-230 с.

136. Achenbach L. D. Wave propagation in elastic solids. — Amsterdam : Nord-Holand, 1973. —425 p.

137. Ando Y., Y. Yagawa G., Kawai T. Three-dimensional theory on the natural vibration of circular cylindrical shells Nuclear. Eng. Design. — 1971. — V. 15. — № 2. —P. 135—148.

138. Biot M. A. Linear thermodinamics and the Mechanics of solids. Proc. 3-rd U.S. Nat Congr. Mech. — 1958. — V. 25. — P. 87—94.

139. Brunelle E. J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates // AIAA Journal. — 1971. —9. —№6. —P. 1018—1022.

140. Callahan W. R. Flexural vibrations of elliptical plates when transverse shear and rotary inertia are condidered. J. Acoust. Soc. Amer. — 1964. — № 5. — P. 823—829.

141. CauchyA. L. Aur I equilibre el le mouvement d une lame solide. Exercises Math. — 1928, —S. 245—S26.

142. Chao C. G., Hao Y.- H On the flexural motion of plates at the cut off frequency // ASME. — 1964. — ESL. — № 1. — P. 22—24.

143. Goodman R. R. Reflection from a thin infinite plate using the Epstein method. J. Acoust. Sec. Amen., 1961. —№ 8. — P. 1096—1098.

144. Hasegawa M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations of isotropic, elastic, rectangular plates. Proc. 16 Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo, 1967. — P. 291—295.

145. Heimann L. H., Kolsky H. The propagation of elastic waves in thin cylindrical shills. Mech and phis. Solids. —1966.—V. 14.—№ 3, —P. 121—130.

146. Huang Т. C. Transient response of two fluid-coupled cylindrical elastic shells, strain and temperature Fields in viscoelastic solids. L. Mech. Phys. Solids. — 1961. — V. 39. — № 9. — P. 326—335.

147. Huang Т. C. Application of variation methods to the vibration of plates including rotary inertia and shear/ Developm. Mech. — Vol I. —P. 61—72.

148. Lones L. P. Whititor L.S. Dynamics jf a flexibly bonded two-layered Timoshenko type cylindrical shells.AJAA L. — 1969. — V. 7. — № 2. — P. 244—250.

149. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischert Scheibe. J. Reine und angew. Math. — 1850. — 40. — № 1. — P. 51—88.

150. Kirchhoff G. Yorlesugen user mathematische Physic. Mechanic. Leipzig, 1876. (Киргоф Г. Механика. Лекции по математической физике / АН СССР. М., 1962). — С. 56-66

151. Lamb H. On the flexure of an elastic plate (Appendix). Froc. Lond. Math. Sec. 1889—1890, —21. —P. 85—90.

152. Lamb H. On waves in an elastic plate. Proc. Roy. Sec. London, 1917. Ser. — A. 93.1. A648. — P. 114—128.

153. Mange J. N. Bending wave propagation in rods and plates. J. Acoust. Soc. Amen. — 1965. —P. 878—888.

154. Medick M. A. On classical plate theory and wave propagation. Trans. ASME. — 1961. — E25. — № 2. — 225—228.

155. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions ofisotropic, elastic plates. J.Appl. Mech. — 1951. — 18. — № 1. — P. 31—38.

156. Mindlin R. D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates. J. Appl. Phis.1951. —22. —№3.-516—825.

157. Mindlin R. D., Schacknow A., Deresiewicz H. Flexural vibration of rectangular plates. Paper Amen. Sec. Mech. Engrs. 1955. № A-78; J. Appl. Mech. — 1956. — 23. — № 3.1. P. 480—486.

158. Mindlin R. D. Vibrations of an infinite, elastic plate at its cut-off frequencies. Proc. Srd U.S. Nat. Congr. Appl. Mechanics, Providence, Rhode Island, 1958. New York, 1958. — P. 225—226.

159. Poisson S. D. Memoire sur 1' eguilibre el le mouvement des corps élastiques. Mem. Acad. Roy. Set. — 1829. — 8. — P. 857—570.

160. Rayleigh J. W. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. Froc. London Math. Sec. 1888—1889. — 20. — № 357. — P. 225—234.

161. Reinssner E. On the theory of bending of elastic plates. J.Matli. and Phys. — 1944.23. —№4. —P. 184—191.

162. Reinssner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. J. Appl. Mech. — 1945. — 12. — № 2. — A-69-A-77.

163. Reinssner E. On bending of elastic plates. Quart. Appl. Math. — 1947. — 5. — № 1, —P. 55—68.

164. Shirakawa K. Effects of shear deformation and rotatory inertia on vibration and buckling of cylindrical shells. L. Sound and vibration. —1983. — V. 91. — № 3. — P. 425-^137.

165. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates; low and high mode dispersion. J. Acoust. Sec. Amen. — 1957. — 29. — P. 87^12.

166. Westbrook D R. Symbolic approach to dynamicm problems in plates. J. Acoust. Sec. Amen. — 1968. — 44. — № 4. — P. 1085—1092.

167. Wider a O. E. An asymptotic theory for the motion on elastic plates. Actamech. — 1970. — 9. — № 1—2. — P. 54—66.

168. Wilkinson J. P. D. Comments on the paper: «Flexural vibration of a circular ring when transvers shear and rotatoryinertia are considered» by Bakshi J.S. and Callahan W. R. J. Acoust. Sec. Amen. — 1967. — 41. — № 2. — 520—524.

Похожие работы

Строительство
05.23.00