автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Исследование ребристых пластин асимптотическими методами

РТй ин

ПРИДНЕПРОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕККАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

На правах рукописи

Буртова Нора Эрнестовна

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН АСИМПТОТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Специальность: 05.23.17. Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Днепропетровск - 1995

Диссертация является рукописью

Работа выполнена на кафедре высшей математики ПГАСиА Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Авдрианов И.В.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профес-

сор Грицак В.З.

кандидат технических наук, дощэнт Запорожец В.Б.

Ведущая организация: Транспортный технический университет

Защита состоится 1995 г. в " /3 " часов на

заседании специализированного совета К 068.32.01 при Приднепровской государственной академии строительства и архитектуры по адресу:

ЗйСвОО, г. Днепропетровск, ул. Чернышевского, 24 "а" С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГАСиА

Автореферат разослан " ^% " «"¿У^-*?- 1995 г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета, к.т.н., д(

В.Л. Седин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной строительной механике часто встречаются задачи, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных с разрывными или быстроизменяю-щимися коэффициентами. Это обусловлено широким распространением конструкций с периодическими неоднородностями формы или структуры в промышленном и гражданском строительстве. Решение уравнений указанного вида численными методами затруднено даже при использовании современных ЭВМ, в связи с чем особую ценность приобретает аналитическая информация о поведении объекта. Широко распространенные в инженерной практике конст-руктивно-ортотропные теории позволяют правильно определить глобальные характеристики системы (частоты колебаний, критические усилия, перемещения), определение же полного напряженно-деформированного состояния на основе лишь осредненных соотношений невозможно. Поэтому разработка простых аналитических подходов к решению статических и динамических задач теории пластин и оболочек сложной периодической формы и структуры представляется актуальной. Целями работы являются:

- разработка нового аналитического подхода к исследованию конструкций сложной периодической формы и структуры;

- решение на основе предложенного подхода новых задач те ории конструкций указанного вида.

Научная новизна состоит в развитии метода осреднения для расчета оболочечных конструкций сложной периодической формы и структуры. Сочетание метода осреднения с другими асимптотичес кими подходами позволило получить аналитические решения ряда новых задач теории пластин, исследование которых другими приемами затруднительно.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждена:

- построением последовательного асимптотического процесса, позволяющего находить решение с любой степенью точности;

- сравнениями с результатами численных и аналитических решений других авторов:

- сравнение с точными решениями, когда последние могут быть получены;

- физической наглядностью полученных предельных систем.

Теоретическое и практическое значение. Предложенные и развитые методы отличаются высокой эффективностью и простотой. Полученные на их основе решения ряда задач механики пластин и оболочек сложной периодической формы и структуры четко отражают физическую природу задачи и сводятся к аналитическим выражениям, особенно полезным в проектировочных расчетах. Большое практическое значение имеют опенки областей применимости известных приближенных инженерных схем.

Внедрение результатов. Отдельные результаты работы используются при чтении различных спецкурсов аспирантам и студентам. Апробация. Основные результаты работы докладывались на XX Югославском конгрессе по теоретической и прикладной механике (Ниш, Югославия, август 1993 г.); на II Польско-Украинском семинаре "Теоретические основы строительства" (Польша, Варшава, июнь 1994 г.); на международной конференции "Материалы для строительства", 7-10 сентября 1993 г., Днепропетровск, ДИСИ; на международной конференции 1СМВ'94, 8-10 июня 1994, Днепропетровск, ПГАСиА; на итоговой научной конференции Днепропетровского инженерно-строительного института (ныне ПГАСиА) в 1993 г.; на Днепропетровском городском семинаре "Асимптотические метода механики" в 1993-1995 гг.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из предисловия, введения, 2 глав, заключения и списка литературы (175 наименований) и содержит стр. машинописного текста, 3 стр. рисунков, стр. таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится конспективный обзор аналитических методов, применяемых в настоящее время для решения краевых задач строительной механики периодически неоднородных пластин. При расчете указанным конструкций приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных с разрывными ш быстроизменяющимися коэффициентами. Если неоднородности в каком-то смысле малы, можно применять метод возмущений, отправляясь от гладкой конструкции. Ограниченность такого подхода ясна. Обычно неоднородности конструкции имеют периодический характер. В этом случае ценную информацию о ее поведении мож-

но получить, заменяя конструкцию более простой с некоторыми приведенными (осредненными) характеристиками. При этом, однако, можно получить правильную информацию лишь о глобальных характеристиках системы (частота колебаний, критические усилия, перемещения), локальные же (напряжения) определяются с большими погрешностями. Кроме того, нахождение приведенных параметров является самостоятельной сложной задачей. На практике дая этой цели часто используют приемы, оценка области применимости которых затруднена, а возможности уточнения отсутствуют. Поэтому возникает необходимость создания методов, позволяющих преодолеть указанные выше трудности.

Первая глава посвящена построению эффективных характеристик подкрепленных пластин, исследованию влияния ширины ребер, их дискретности, а также динамике неоднородных конструкций.

Расчет подкрепленных конструкций при учете реального (дискретного) характера размещения ребер - тематика, имеющая достаточно длительную историю. При большом числе ребер естественным является переход к схеме конструктивной ортотропии. Как было показано в ряде работ, подобная упрощенная инженерная схема совпадает с первым приближением метода осреднения дифференциальных уравнений с быстропеременными коэффициентами. При этом, как правило, используются методы интегрирования дифференциальных уравнений с быстропеременными правыми частями и граничными условиями ш деухмасштабные разложения. Основными недостатками подобных подходов являются: необходимость решения задачи на ячейке, что в случае подкрепления перекрестной системой ребер приводит к существенно двумерной задаче, а также громоздкость выкладок, усложняющая построение высших приближений. Кроме того, основные результаты в этом направлении получены дая случая, когда ребра считаются одномерными. Значительно сложнее обстоит дело с аналитическим учетом ширины ребер.

В то же время сейчас в асимптотике успешно развивается подход, основанный на асимптотическом разложении обобщенных функций. Эта техника может быть с успехом использована для исследования подкрепленных конструкций с учетом дискретного размещения ребер, а также их ширины. Рассмотрим изгибную деформацию бесконечной пластанки, подкрепленной периодическими системами ребер в двух главных направлениях и лежащей на уп-

ругом основании. Исходное дифференциальное уравнение в частных производных может быть в этом случае записано в следующем виде:

ъш +с* + <х)иг}ооос+ в2?2 (у)»?уууу= q{x,y) (i)

00

Здесь ?1 (х) = 2 СН(х + пег ] - Н(х + пЕ^ а)] ;

со

?2(х) = 2 [Н(У + П^] - Н(у + ПЙ2+ а)] ;

г.- - со

с - жесткость основания; Н(х) - функция Хевисайса; 2,, Е,- расстояния между ребрами; а, Ь - их толщины.

Считая параметры а, Ъ малыми (т.е. ребра тонкими), разложим функции Р1 (х), ?2<у) в ряды по этим малым параметрам. В результате исходное уравнение равновесия (I) переписывается в виде:

вдд«г + cw + Б1Ф1 1<Х.У> » <2>

где

ос

(х) = Ф10(х) + Ф14 (X) + Ф12(х) = У аО(х + пг1 ) -

П--00

00 00 00 -0.5 7 а2<5(х + пг ) + У У <-1>какмВ{п)<х + п21) ;

Г!--00 П--00 к=*2

со

Ф2(у) = ф20 (У) + Ф21 (У) + Ф22(у> = У Э5(у + п^) -

*" П = - 00

00 00 оо

-0.5 У агб(у + пг2)+ У У (-1)как^1б1")(у + пг2) .

Решение уравнения (2) можно искать в виде следующего асимптотического разложения по малым параметрам а, Ъ

00 00

В результате в нулевом приближении получаем конструкцию одномерными ребрами

DAAw0+ cw0+ (x)w05OOO<+ В2ф20 (y)w0yyyy= q(x,y) (3)

Учет ширины ребер легко осуществляется в следующих приближениях, т.к. левые части соответствующих дифференциальных уравнений для всех приближения одни и те же, и для построения соответствующих функций Грина, обеспечивающих их единообразное решение, могут быть использован известные методы.

В частности, в первом приближении имеем (в предположении а ~ Ь)

DAAw1+ cw1+ Dj®,, (x)w1>oo<x+ В2ф21 (У)«0уууу= О

Здесь Wj = w01+ w10.

Построение рекуррентной системы уравнений последующих приближений тривиально.

Перейдем теперь к решению дифференциального уравнения (3). Разложим сначала функции Ф10(х), Ф20 (у) в ряд Фурье

со

О (х) = 1/Ej+ <2£j) J cos 2кта/2

k--oo

(4)

Ф20(у) = 1/L+ (?л2) У cos 2kicx/L

к--oo

Оставляя в разложениях (4) только постоянные составляющие, приходим к соотношениям конструктивно-ортотропной теории

DAAw0 + cw00+ (Dj а/Е1 )wQ0

хххх <D2b/E2)W00yyyy= Ч<Х'У) <5>

Пусть характерные периоды изменения внешней нагрузки q(x,y) - Lj,L2, причем ™ Lz, существенно превосходят расстояния между ребрами (21/L1= е << 1). Тогда переменные части выражений (4) можно рэзложшъ по малому параметру е. Для этого рассмотрим сначала функцию ср(£) = cos 1 (£ = x/bj) на периоде - 0.5е i £ £ 0.5s. Применив к ней двусторонее преобразование Лапласа, получаем

Ф(р) = 4exp((-pe))e2pWz/M + (pe/itk)2], к = 2п + 1;

ф(р) = □, к = 2п , Разложив далее функцию от ф(р) в степенной ряд

ф(р) = 4e2p(itk)~2- 4е3р2 (itk)~2+ ...

и переходя почленно к оригиналам, имеем

ср(0 = 4е2 (тек)"2 [С (О + е5" (4) + ... ] (6)

Учитывая периодичность функций £>10 (х) и Ф20(у), получаем

00

Ф10(х) = 1/г1-ь (2/г4)[ О.Бе2 ^б' (х + пг1) + 00

+ 0.5е3 У б" (X + пй, ) + .. .1 ; (7)

1 Л

00

ф20(х> = 1/^+ <2/е2)г о.бе2 У б- (х + пе2) +

I- п-1

со

+ 0.5е3 ^б" (х + пе,)+...] ; (8)

где г = .

Решение уравнения (2) можно представить в виде разложения

»0= №оо+ ЕЧо1+ еЧо1+ •■• <9>

Подставляя далее разложения (7)-(9) в уравнение (2) и производя разщепление по е, имеем рекуррентную систему уравнений

МЧо1+ ст001+ №1а/В1)*001зооо(+ (В2Ь/г2)*001уууу=

(Ю)

СО 00

= - (2/г1 )[о.бе2 2 5' (х + пг^ - (2/е2)о.5е2 е2 ^б' (х + пе2)] ;

МИо2+ СТ002+ (С1а/е1)№002хххх+ <^Ь/г2>^02УУУУ= (П)

00 00 = -(2/г1 )[о.5е2 2 (X + пе1 )-(2/е2)0.5Е2 е2 £ б" (х + пК2)] ;

Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами (10), (II),... не представхяет труда и особенно просто может быть выполнено после построения соответствующей функции Грина однородного уравнения (5).

Исследование динамики неоднородных конструкций наталкивается на определенные труднети как при аналитических, так и

при численных подходах. Первые, основанные, как правило, на методе последовательного разделения исходной системы на подсистемы с их последующей стыковкой, приводят к системам алгебраических уравнений высокого порядка. Численные методы не всегда легко применять из-за резкого изменения характеристик системы в местах стыка, из-за чего приходится иметь дело с жесткими (с точки зрения вычислительной математики) системами. Между тем при исследовании задач для неоднородных конструкций мы можем отправляться от предельного случая, когда характеристики подсистем одинаковы. Тогда можно построить асимптотическое решение при помощи известных приемов, а затем получить улучшеннное решение на основе аппроксимаций Паде.

Рассмотрим сначала стержень с плотностью р и площадью поперечного сечения имеющий на участке (-1 £ х < О) модуль упругости , а на участке (0 < х < 1) Е2. Волновые уравнения для этих участков имеют вид:

Екг^^^'-Р?^1^0 . (К)

где - продольное перемещение.

Решение уравнений (12) можно записать в виде:

и*'"'(х) = 1 (х)(Асоз шг + Ваш оЛ) . (13)

Подставляя (13) в (12), получаем уравнения:

eV

( - ) , ,2 Е.

+ = 0 , где afi2i=

1(2)

^ а'1(2, решения которых таковы:

и •-' = с:'-'cos х + cr'-'aln х .

1 1 с 2 ) 2 1(2)

Произвольные постоянные СГ<_', I = 1,2 определяются из граничных условий:

" |-i= " |i = 0

и условия равенства в нуле перемещений и продольных сил.

Введя обозначения е = (Е2- Et)/Ъ1; ш*= w/a1 , запишем искомое трансцендентное уравнение в виде:

1/У1+е соз ш'зш ш*У1+е + зш ш*соз со*/1 + е =0. (14)

Найдем приближенное решение, рааложив функцию со* в ряд Тейлора до третьего члена включительно:

со* % ш0 + еш1+ есо2 . (15)

Подставляя отрезок ряда (15) в (14), выполняя элементарные преобразования и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях б, получаем:

Ч - " I + I2] ; ша= ( I + ^ ] (1 " I - |2) •

Аппроксимации Паде для корней со: и со2 при к = 1 таковы: ,, _ % Г 4 + ЗЕ 1 ... % 1_ .

[тгтпг-]' тту '

_ % г 4 + ЗЕ 1 . _ _ 4_

Ч[1/п-5 [т+т-] - Ч.*,,,-' тг ■

Численно найдены также решения ш трансцендентного уравнения (14) с точностью до 10~6. Полученные результаты приведены в таблице I. Очевидно, что применение аппроксимаций Паде существенно улучшает результаты и позволяет использовать их даже для больших значений е.

Таблица I

Е аь со, '11/1) Ч со/11 Ч Ч С 1 / 1 3 Ч (0/1 э

0.01 1.566888 1.566888 1.566879 3.1338 3.1338 3.13376

0.1 1.53251 1.53339 1.532484 3.06849 3.077019 3.064968

0.3 1.451702 1.468353 1.¿61206 2.94812 2.96034 2.922412

0. 1.39808 1.413716 1.396263 2.85139 2.879793 2.792527

1 1 .265572 1.308996 1.25663 2.666309 2.74889 2.513274

2 1.07977 1.178097 1.047198 2.39736 2.617994 2.094395

з 0.955317 1.099557 0.897599 2.186276 2.552544 1.795196

5 0.796394 1.009798 0.698132 1.872274 2.487094 1.396263

Рассмотрим далее поперечные колебания призматического стержня.

Введем малый параметр е - (Е2- Ех)/Е1 ..тогда модуль упругости на всем участке [0;1] записывается в виде

Е = Е^ ен[х - \ ]Ег

Исходное уравнение для собственных колебаний можно представить в следующей форме:

Е1иЛ- яРо/ш = О (16)

и граничные условия:

ту = = 0 при х= 0,1 . (17)

Представив решение в виде отрезков рядов:

2 2 2 2 2 2 ш й + ео^ + е ш2 ; V) и>0+ г^е + шгв , (18)

подставим (18) в (16) и (17) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е:

е°: = о ; (19)

% = "'охх = 0 при х = 0,1 , (20)

рР рР

е1:

IV г* 2 г 2 ттГ 11 IV

^ - ТЕ^о^ = Щ Н[х - ;

= Ш1хх = о при X = 0,1 ,

Решение краевой задачи (19) и (20) имеет следующий вид: /-ЩТГ

шо = / ~р7~ > % = К-зш(кта) .

Для нахождения используем стандартную процедуру метода возмущений. В результате получаем:

(,2 кЧ4 Ш0 ш " -2--рГ ш -ТГ •

Аналогично находим

„2 к4«4

2 - рР~ ■

Окончательно

^-[1 + | + -й } • (21)

Аппроксимация Паде в данном случае имеет вид: '

\izir ** (^4-"Е)) •

В таблице 2 приведены результаты расчета X через отрезок ряда (21), аппроксимацию Паде и численное решение трансцендентного уравнения с точностью до 10 (А^6) дая различных значения к и при 8=1.

Таблица 2

X /к 1 2 3 4 5 6 7

2.64 5.28 7.92 10.56 13.2 15.85 18.49

X 2.69 5.39 8.099 10.799 13.499 16.20 18.90

ХС1/1> 2.69 5.38 8.07 10.77 13.46 16.15 18.84

Во второй главе приведены решения статических и динамических плоских задач теории упругости дая подкрепленных орто-тропных прямоугольных и круглых пластин, полученные при учете дискретности размещения ребер. При анализе состояния типа пограничного слоя, компенсирующего невязки в краевых условиях за счет быстроосциллирующей поправки, использовалось расщепление по малому параметру, выражающему отношение сдвиговой жесткости пластины к жесткости на растяжение-сжатие. Благодаря этому упрощению удается довести решение до простых расчетных формул. Показано, что перемещения, частоты колебания и усилия в главных направлениях достаточно хорошо определяются по конструктивно-ортотропноя теории. Расчет же сдвигающих усилий, особенно в окрестностях максимально нагруженных ребер, требует учета дискретности подкрепляющих элементов.

Рассмотрены важные дая практики задачи о передаче нагрузки через торцевой упругий элемент на стрингерную ортотропную полосу.

Третья глава посвящена исследованию ребристых пластан при учете дискретности размещения ребер. Метод осреднения по-

зволяет получить сооношения нулевого приближения, поправки к собственным числам (критическим усилиям) и формам потери устойчивости во всех приближениях.

Конструктивно-ортотропная схема позволяет достаточно точно определять критические усилия, форма же потери устойчивости может быть определена достоверно лишь при учете дискретности расположения ребер. Отметим, что, несмотря на малость поправки к собственной форме в краевой зоне (составляющая типа погранслоя мала по сравнению с осредненным решением), поправка к изгибающим моментам у края того же порядка, что и в основной зоне.

В заключении сформулированы основные результаты работы, которые сводятся к следующему:

1. Развит аналитический метод решения статических и динамических задач для ребристых пластин, основанный ка исполь-использовании осреднения в сочетании с другими асимптотическими методами. Осреднекные соотношения выступают в качестве первого приближения, а учет дискретного характера структуры производится при помощи асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений с быстропеременными правыми частями и граничными условиями.

Существенно, что достоверно определяются не только глобальные характеристики конструкций (частоты колебаний, критические усилия, перемещения), но и ее полное напряженно-деформированное состояние. Сопоставления с известными аналитическими и численными решениями подтверждают достаточную точность предлагаемого метода.

2. Предложен новый асимптотический метод, сочетающий асимптотическое приближение с теорией обобщенных функций, давшей возможность учитывать толщину ребер.

3. Проведено асимптотическое исследование динамики неоднородных конструкций, показавшее эффективность преобразования Паде.

4. Показано, что учет крутильной жесткости ребер существен лишь в сочетании с учетом их ширины. Для одномерных ребер крутильная жесткость ребер не существенна.

5. Получены решения статических и динамических плоских задач теории упругости для подкрепленных ортотропных прямоугольных и круглых пластин при учете дискретности размещения ребер.

6. Построены уточненные решения, учитывающие дискретность размещения ребер, для задач устойчивости сжатых подкрепленных пластин.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

I. Андрианов И.В., Буртова Н.Э. Об испытаниях на разрушение образцов, выполненных в форме параллелепипеда // Материалы для строительства (Тезисы докладов II международной научно-технической конференции, 7-10 сентября 1993 г.).- Днепропетровск: ДИСИ. - 1993. - С. 186-187.

2 Андрианов И.В., Буртова Н.Э., Оленченко Т.Ф. Расчет НДС куба и динамики стержней при помощи метода возмущения вида граничных условий // Международная научная конференция 1СМВ'94, 8-10 июня 1994 г. - Днепропетровск: ПГАСА. - т.1. - 1994. -О. 117.

3. Буртова H.S. Застосування методу збурення межових умов для тривим1рн1х задач Teopii пружностт // Iнтенсиф1кащя буд!вниц-тва. - Кшв: Мастерство ocbith Украiни. - 1994. - С. 49-51.

4. Андрианов И.В., Буртова Н.Э. и др. Асимптотическое исследование динамики неоднородных конструкций // Theoretical Foundations in Civil Engineering. Dnepropetrovsk: 1394. - C. 126- 129.

Burtova N.E. Investigation of the reinforced plates by asymptotic procedures. Thesis submitting for the application of the Ph. D. in the field of Structural Mechanics, Prydnep-rovie State Academy of Civil Engineering and Architecture, Dnepropetrovsk, 1995.

Thesis is devoted to the reinforced plates. Effective analytical approaches for above mentioned objects are proposed. Asymptotic procedures, in particular homogeneization technique, are used. Constructed solutions have comfortable for engineering practice form. It may be used for a lot of problem of modern Structural Mechanics.

Буртова H.E. Досл1даення ребристих пластин асимлтотичними методами. Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата техшчних наук по спещальности 05.23.17 - буд1вельна ме-хашка, Придопровська державна aKafleMiH буд1внкщза та ар-х1тектури, Дн1пропетовськ, 1995.

Об'ект досл1даення дисертащйно'1 робота - ребрист пластини. Кета - розробка анал1тичних конструктивних мето-д1в досл1даення вказаних систем. Використаш асимггготичнх метода, зокрема метод гомогеш зац1 i. Одержат ршення мають зручний для застосування у ¡нженершй практищ вигляд. Вони можуть бути застосован1 при досл1 даеюп широкого кола пи-тань сучано1 буд1вельно! мехашки.

Ключов! слова:

пластина, ребро, асимптотика, аналттичне розв'язання.